谈构造数学模型巧解数学问题
初中数学必考模型及解题方法
初中数学必考模型及解题方法初中数学是中学阶段的重要学科之一，也是学生日后职业发展中不可或缺的知识。
在初中数学考试中，模型化问题是很关键的一部分。
以下是初中数学必考模型及解题方法的列表：1. 百分数问题百分数问题是初中数学中最基础的模型之一。
通常，百分数问题涉及到以下类型的问题：百分数的计算，百分数的转化等等。
其解题方法如下：（1）计算百分数：a. 计算百分数的值：将百分数表示成小数，乘以对应的数值。
b. 计算数值对应的百分数：将给定的数值除以总数，把结果转成百分数即可。
（2）转化百分数：a. 百分数转化为小数：直接将百分数除以100。
b. 小数转化为百分数：将小数乘以100即可。
2. 比例问题比例问题通常涉及到两个数值之间的比值关系，其解题方法如下：（1）计算比例值：将给定的比例值化为分数，根据题目要求进行计算。
（2）计算比例数值：将给定的两个数值相除，得出对应的比例值。
（3）利用比例解决问题：通过构建等比例关系，解决实际问题。
3. 均值问题均值问题通常涉及到多个数值之间的加减运算关系，其解题方法如下：（1）计算平均数值：将给定的数值加起来，再除以数值的个数。
（2）解决均值问题：通过平均数的特点，解决实际问题。
4. 几何问题几何问题通常涉及到图形的构造和运算，其解题方法如下：（1）计算几何图形的面积、周长等：根据给定的几何图形，选择相应的公式进行计算。
（2）构造几何图形：通过给定的信息，构造出符合要求的几何图形。
5. 等价关系问题等价关系是初中数学中比较难的模型，通常涉及到不同数值之间的等价关系。
其解题方法如下：（1）确定等价的数值：通过给定的条件，确定两个或多个数值之间的等价关系。
（2）解决等价关系问题：通过等价关系的特点，解决实际问题。
总之，初中数学必考模型及解题方法对于初中数学学习非常重要，学生需要借助规律和公式，灵活运用解题方法，多加练习，才能在数学中取得更好的成绩。
构建数学模型 巧解数学习题
函数 － ） 图像 与 轴 有 一 个 交 点 或 无 交 厂 的 （
点 ，． ＝［ （ ．△ ・ ２ ａ＋ｂ ］ ８ ａ ＋ｂ ） ） 一 （ ≤Ｏ，
即 （ ８一ｃ 一 （０ ｃ ） ， １ ） ２ １ ８一 ≤０
’ ． ．
３ ３ ｃ ０ ≤０ ３ ｃ ６ Ｇ０，． ＝ ． ｃ 一 ６ ＋１８ ，（ 一 ） ．ｃ ６
￣ １／。 １ ／ ＋ ￣６＋ 求式 但
小 于表 示数 ｂ的点 到原 点 的距 离 ， 根 据 相 反数 的 再 几何 意 义表示 ～ａ 一 ， 以 ａ 一 ， ， ｂ四个数 在 ， ｂ所 ， ａｂ 一
数轴 上 的排列顺 序如 图 ：
．
・ ．
１ 构建数轴 ， 比较 两 数 大 小
数轴 是 进行 数 形 结合 的极好 工 具 ， 能直 观 地 它 解释 相反数 和绝 对 值 的几 何 意 义 ， 因此 在 实 数 的 大 小 比较 时 ， 常常根 据数 轴上 点 的位 置来 说 明． 例 １ ａ＞ ， ０且 ｌ ＞Ｉ ， 比较 ａ 一ａ ０ ｂ＜ ｌ ｌ试 ｂ ａ ， ，
ｂ Ｏ ａ － ｂ
子的特点， 则可把 √ １ ｖ １ ｏ 十 和 ／ ＋ 看做两个直角 ６
三 角形 的斜边 长 ， 而构 建两个 直角 三角 形． 从 解： 建立 如 图所 示 的两个直 角三 角形．
４
Ｂ
ｎ
Ｄ ｂ
Ｃ
２ 构 建 二次 函数 ， 方 程 组 解
魏
Ｓｌ ｎ
Ｓ１ ｎ
Ａ Ｌ
１ Ａ 乙 ５
５ 构造二次不等式求解
例 ５ 已知 ａ ｂｃ ｄ ｅ 满 足 等式 ａ＋ ， ，， ， 是 ６＋ｃ ＋ｄ ＋ｅ ８ 口 ＝ ， ＋６ ＋ｄ ｅ ＋ｃ ＋ ：１ 实数 ， 确定 ｅ ６的 试
大学课件--探索构造法解题模式-论文
探索构造法解题模式【关键字】构造法数学模型【摘要】本文通过一些实例探讨构造法在信息学竞赛解题中的应用，首先阐述了数学方法在解题中的巧妙应用，引进了数学建模的思想。
较详细地讨论建立模型的方法，包括直接构造问题解答的模型，图论模型，网络流模型以及组合数学模型。
介绍了构建模型的基本方法和基本思路。
同时也分析了数学模型的类型和作用。
【正文】引言“构造法”解题，就是构造数学模型解决问题。
信息学竞赛中，它的应用十分广泛。
构造恰当的模型或方法，能使问题的解决，变得非常简洁巧妙。
就我们现在所能接触的问题而言，构造的数学模型，从数学方法的分类来看，它是属初等模型、优化模型这两种。
一般地，数学模型具有三大功能：1．解释功能：就是用数学模型说明事物发生的原因；2．判断功能：用数学模型判断原来的知识，认识的可靠性。
3．预见功能：利用数学模型的知识、规律和未来的发展，为人们的行为提供指导或参考。
构造法解题的思路或步骤可以归纳为：问题假设建模分析实现检验、修改本文的目的，在于利用构造数学模型的思想，构建我们对问题的解法。
数学的巧妙应用数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性、结论的明确性，而且在于它应用的广泛性。
我们讲数学方法是指把错综复杂的问题简化、抽象为合理的数学结构的方法。
我们以具体的问题为例析，解释这些观点的应用，通过这些问题展示了数学的奇妙作用，让我们体会利用数学方法来解决问题时的一种乐趣。
〖问题1〗跳棋问题设有一个n×n方格的棋盘，布满棋子。
跳棋规则如下：1.每枚棋子跳动时，其相邻方格（有公共边的方格）必须有一枚棋子为垫子，才能起跳；2.棋子只能沿水平或垂直方向跳动；3.棋子跳过垫子进入同一方向的空格，并把垫子取出棋盘。
把n×n方阵棋盘扩展成m×m，试求出最小的m，使得棋子能依规则跳动，直到棋盘内只剩下一枚棋子，并给出一种跳棋方案。
本题若用盲目搜索法解决，对n=4,5或许能行，但也要很高的费用。
构建数学模型 解决实际问题——例谈新课改下的初中数学建模策略
解析式变 形 为 ＿ （－ ４ｔ５ ２ （ ） ＝ ２ ３ ） １ ：３ 画 卜
４ ０ ８ ｘ 的最 小 值 。解 得 ， ６ （－ ） 当租 用４ 出二 次 函数 图 像 （ ２ 图略 ） 南图 像 可 后． 座 客 车 ５辆 ．０座 客 车 ３辆 时 ． ６ 租金 知 ， 要使 月销 售利润 不低 于 ４ ０万 元 ． ８
（ ） 间 的 函 数 关 系 式 （ 必 写 的 ＡＢ 的 长 ） 精 确 到 ０１ ｍ ） 元 之 不 （ ．ｋ
４ｘ ３５ 采 用 “ 一 法 ” ２１ ８ ． ＞ 进 取 最 小 正 取值 范围 ） ：
（ ） 此刻 在 飞 船 正 下 方 １ ０ ｍ ２若 ５ｋ
整 数 值再 乘 以 ３０元 ． 即得 ４ ２ ２座 车
等 问题 ． 可 建 立 函数模 型 求解 常 生 才 会 在 主动 探 索 中 感 受 几 何 模 型 的存 在 ． 并会 主 动 构建 的思 想 方 法 ． 以便 更 好 地适 应 当今 竞 争激 烈 的 社会 例 ７ 某 校有 ２ ０ ０ ０名 学 生 ． 想 要
辅助 才 能 解决 的问 题 时 ． 要用 数 学 就
三 、 建 函 数模 型 求解 构
函数 的 产 生 是 人 类 对 现 实 世 界 题 ． 是 解决 这 类 问题 的常 规思 路 这
认知 的一 次重 大 飞 跃 ． 反 映着 量 与 它 四 、 建几 何 模 型求 解 构
中 的 建模 思 想 来 将 实 际 问 题 的 元 素 与 几 何 图 形 中 的量 对 应 并 转 化 才 能
高中数学二轮复习关于三角函数解题中常用数学模型构造
二轮复习关于三角函数解题中常用数学模型构造构造数学模型是一种比较重要、灵活的思维方式，它没有固定的模式。
在解题中要想用好它，需要有敏锐的观察、丰富的联想、灵活的构思、创造性的思维等能力。
应用好构造思想解题的关键有二：一是要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是弄清条件的本质特点和背景，以便重新进行逻辑组合。
常用的有构造命题、构造表达式、构造几何体等，本文拟就通过介绍几种解三角函数的具体问题，对构造的各种思维方式作一些探讨。
1 构造直角三角形例1 设x ∈[4π，2π]，求证：cscx -ctgx ≥2-1 思路分析：由2、1联想等腰直角三角形，不仿构造一个等腰直角三角形来研究。
作Rt ⊿ABC ，令∠Ｃ=900，AC=1，在ＡＣ上取一点D ，记∠ＣＤＢ＝x ，则ＢＤ＝cscx ，ＣＤ＝ctgx ，ＡＤ＝１-ctgx ，利用ＡＤ＋ＤＢ≥ＡＢ＝2，可得cscx -ctgx ≥2-1，等号仅在x ＝4π时成立。
2 构造单位圆例 2若0<β<α<2π，求证：α-β<tg α-tg β 思路分析：构造单位圆，借助三角函数线与三角函数式的关系，把数的比较转化为几何图形面积的比较。
作单位圆O ，AP 1=β，AP 2=α，∴ P 1P 2=α-β，AT 1=tg β，AT 2=tg α，S ⊿AT O =21tg α，S ⊿AP O =21tg β，由于S 扇形OAP=21α，S 扇形OAP =21β。
∴S 扇形OP P =21（α-β），S ⊿OT Ｔ=21tg α－21tg β。
则S ⊿OT Ｔ>S 扇形OP P即 21（α-β）<21（tg α－tg β） 所以 α-β<tg α-tg β3 构造函数表达式例3已知x 、y ∈[-4π，4π]，a ∈R ，且⎩⎨⎧=++=-+0cos sin 402sin 33a y y y a x x ，求cos （x+2y ）思路分析：由x 3+sinx 与2（4y 3+sinycosy ），这两部分形式完全类似，由此可构造函数形式。
构造数学模型巧解三角题
g 敝学幕
嚣 撼辫麟
潦氨 讣学
司
离 考数学
一
1
．
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．
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一
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，
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t 。。 y
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，
．
构造平 几 模型
1
【 例 的值
．
】
求
s
in
。
10 +
。
CO S
。
40
。
+
s
in l O
。
CO S
40
。
由重 要 不 等 式 得
，
ta n
~
+
ta n
8+
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7
,
C
一
堑旦 三 上 』 五星
1
，
亲 装 善
即
1
c 。s a
一
≤
，
刮
a
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。
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．
。
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为此 可 构造
，
一
个长方体
=
A B CD
一
—
A -B
-
c
=
，
D
，
，
如
丁
，
又
a
为锐角 所 以
，
一
号
图 使 么 C 。A D
口
，
么C1A B
口么 C1A A
，
l
y
，
28
燃 偈
．
剐
一
鲫 鹏
鞫
中考数学模型巧构辅圆解难题一题多解
中考数学模型巧构辅圆解难题一题多解一道题目，11种解法，不同的构造方法，不同的思路，每一种解法都是一道思维的火花，点燃智慧的火焰。
方法一：巧构圆如图，构造△ABC的外接圆，圆心O，过O作OE⊥AB于E，过O作OF//AB，交CD延长线于F.连接OA,OC,AB.∵AD=6,BD=20∴AE=BE=13∴DE=7∵∠ACB=135°∴∠AOB=90°∴OE=13,AO=BO=CO=13√2由辅助线易得，四边形OEDF是矩形.∴OF=7由勾股定理可得，CF=17∴CD=4方法二：勾股定理如图，延长AC，过点B作BE⊥AC延长线于E设，BE=x,因为∠ACB=135°，所以∠BCE=45°，则CE=x,BC=√2x,则勾股定理可得其余线段的长度如上图。
由题很容易得到△ADC∽△AEB，则则CD=4或9√10（多出来一个解，有谁知道为什么吗？）.备注：上面的方程很难解！所以虽然这个方法可以解出来，但是不推荐。
如果数字小一点，可以使用。
向另外一边作垂线一样可以求出，如下图：评述：第一种方法，根据135度圆周角所对圆心角是90度，巧妙的构造圆，然后巧妙转化，解决问题。
第二种方法，从135度的邻补角是45度入手，构造直角三角形。
通过勾股定理来解决。
第一种方法辅助线多，构思巧妙，不容易想到，第二种方法容易想到，但是数字比较大，方程难解。
从普通的条件入手，开拓思路，张引路老师的方法还是很巧妙的解法三：面积法如上图，过A作AE//BC,BE//AC交于E点.过E作EF⊥BC于F.因为∠ACB=135°，所以∠CBE=45°∴∴∴解得 x=4简评：这个方法同样存在方程难题的问题，如果数字比较小可以用。
解法三变式三角形的面积公式可以表示为直接用三角形面积公式，不过初中没有学过这个公式，还有一个就是sin135°的问题，好的学生可以补充，老师参考一下，拓宽一下思路。
浅析构造数学模型解题
故ａ詈， 一 ． ＝ 即 詈
１ 构 造 函数
现 实 生 活 中 存 在 着 很 多 的 函 数 关 系 ， 此 我 们 可 因 用 函 数 的观 点 ， 用 函数 的性 质 去 解 决 问 题 ． 应
４ 构 造 数 列
数 列 的 实质 是 一 列 特 殊 的 函 数 值 ． 即数 列 不 仅 具 有 数 列 本 身 的特 殊 性 质 ， 且 具 有 函数 的 许 多 性 质 ， 而 因
几何 图形 的突 出优 点 在 于 它 的直 观 性 ． 我们 在 学 习
，
求 ： 卢詈 证ａ ＝ ． 一
分 析 ：先利 用 三 角恒 等 变 换 得 方 程 ：
・
６ ・ ０
数 学 教 育研 究
２１ 年第 １ ０１ 期
些基 本 概 念 、 理 时 也 常 常 涉 及 到 它 的几 何 意 义 ， 定 如 复 数 运算 的几 何 意义 、 数 的 向 量 表 示 、 合 的 韦 恩 图 、 复 集 三 角 函数 线 等 等 ， 样 就很 好 地 克 服 了 数 学 概 念 的 抽 象 这 性 ， 时 对 于一 些 较 难 下 手 的代 数 问 题 ， 可 构 造 一 个 有 也
’
．
Ｏ Ｄ＋Ｏ Ｂ≥ＢＤ＝√ ， Ａ＋ＯＣ ＡＣ ／ ２Ｏ ≥ ＝， ２ Ｏ Ａ＋０ Ｂ＋Ｏ Ｃ＋Ｏ Ｄ≥ ２／ ， ， 问题 得 证 ． ｇ
‘
．
．
构造 几何 图形 能避 免学 生 学 习数 学 时 产 生 的枯 燥 感 ， 现 出联 想 的 丰 富 性 ， 学 的趣 味 性 ， 而 激 发 学 体 数 从 生 学 习数 学 的积 极 性 ． 造 图形 的 思 路 并 不 唯 一 ， 求 构 要 我 们 的思 维 一 定要 灵 活 ．
初中数学几何压轴题模型与构造方法附解题技巧
初中数学几何压轴题模型与构造方法附解题技巧全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变换说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
几何最终模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。
构造函数模型“桥”解立体几何最值
Ｂ ＝ｓＯ Ｅ １ １ ｎｎｃ０竿ｓ２≤了 ，当且 １ ａｎ Ｂ・ ２Ｏｏ ＝ ｉ ａ Ｆ ｉ． Ｂ ｓ ｓ ｉ ｎ ｚ
仅 当 ｓ ２ ＝１即 ＝ ５ 时 等 号 成 立 ，从 而 Ｓ ，≤ ａ ｉ ０ ｎ ４。 ， －
（ 下 略 ）． 以
２在正 四棱柱 Ａ Ｃ － 。。Ｄ 中，顶 点 曰 到 ｌ Ｂ Ｄ ＡＢＣ 。
一
透 ，紧密结合的． 体几何题 中经常会涉及 到距离最 立
短 、面 积 与体 积 最 大 或最 小 等 问题 ，我 们 可 引入 适 当
．
曰。
：一 １
． 而得 出 Ｐ关 于 ． ， 从 ｓ
变量 ，运用立体几何 中的公式法则 ，写 出 目标 函数 ， 通过 函数搭桥 ，利用 函数性质或不等式理论 ， “ ” 桥 解出最值． 下面举例说明．
点评Ｉ 空间图形 中含 有一些 “ 态” 因素 （ 对 动 如
距 离、角度 、面积 等 ）的 问题 ，可考虑能否把 这一
“ 态 ” 因素 作 为 自变量 ，构 造 目标 函数 ， 用 函数 的 动
【 解析Ｉ（） （ Ｉ 证略 ）．
（Ｉ Ｉ）在 长 方体 内选 取 一 点 是 随 机 的 ，概 率 尸只
圈 设 面 长 。 高＝鲋 （ 。 底 边 为， ／一 则 、 ） 、２ 所 体 ＿ —－ 设： ／ 手， 积＝。３ ｔ ￣６ ｙ １ 以 １ ＝√ａ ａ 一 ＿ －ｚ ． Ｖ
， ｙ＝ ８３３ ￣当 Ｙ 则 ４ ａ－ ａ， 取最值 时， ４ 一 ： ｙ＝ ８ ３
１ａ ２４ 一
匿 结合选项可以看出， 的 取值范围 决定于
侧 棱 长 与 底 面边 长 的 大小 关 系 ， 因此 侧 棱 长 与 底 面 边 长 可 作 为 动 源 ． 为侧 棱 长 与 底 面 边 长 未 知 ， 分 别 假 因 可 设 出 来 用 于 联 系 ｈ ｄ两 个 变 量 ．不 妨 设 底 面边 长 为 １ ， ， 侧 棱 长 为 Ａ （ ＞ ）这 样 假 设 避 免 了产 生 两 个 未 知 量 ， Ａ０（
构造法在中学数学中的应用研究
构造法在中学数学解题中的应用研究摘要：构造法是一种重要的划归手段，学生通过观察、分析、抓住特征、联想熟知的数学模型，然后变换命题，恰当的构造新的数学模型来达到解题的目的，在中学数学解题中具有重要的作用，主要涉及函数，图形，方程，数列等内容。
构造法是一种富有创造性的方法，属于非常规思维，运用构造法解题有利于培养学生的创造性思维，提高学生观察、分析、解决问题的能力。
关键词：构造法，观察，分析，创造性，解题一、构造法研究背景构造法是数学解题中一种十分重要的基本方法，是根据题目中所给的条件或者结论，通过观察、分析、联想与综合，利用各种知识间的内在联系，有目的的构造一个特定的数学模型，从而将一个命题转化成一个与之等价的命题。
构造法同样是一种创新的思维方法，解题过程中要打破常规思维，另辟蹊径，巧妙的解决。
构造法历史发展过程：从数学产生的那天起，数学中的构造性方法就伴随着产生了。
但是构造性方法这个术语的提出，以至把这个方法推向极端，并致力于这个方法的研究，是与数学基础的直观派有关。
直观派出于对数学的“可行性”的考虑，提出一个著名的口号：“存在必须是被构造。
”这就是构造主义。
构造法的发展历史主要包括以下几个过程：（一）直观数学阶段，先驱者是19世纪末德国的克隆尼克。
他认为“定义应当包括由有限步骤所定义对象的计算方法，而存在性的证明对于要确立其存在的那个量，应当许可计算到任意的精确度。
”曾计划把数学算术化并在数学领域中清除一切非构造性的成分及其根源。
后续代表人物包括彭加勒，其主张所有的定义和证明都必须是构造性的。
以及近代构造法的系统创立者布劳威，其主张存在必须被构造的观点。
（二）算法数学阶段，由于直觉数学难以为人读懂，同时直觉数学对排斥非构造数学和传统逻辑的错误做法，无法解释后者在一定范围内的应用上的有效性，所以产生了另外几种构造性倾向，主要是算法数学。
算法数学是马尔科夫及其合作者创立的，并将此定义为：一种把数学的一切概念归约为一个基本概念——算法的构造性方法。
构造组合模型巧证组合恒等式
构造组合模型巧证组合恒等式导读：本文构造组合模型巧证组合恒等式，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
构造组合模型巧证组合恒等式证明组合恒等式，一般是利用组合数的性质、数学归纳法、二项式定理等，通过一些适当的计算或化简来完成。
但是，很多组合恒等式，也可直接利用组合数的意义来证明。
即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一组问题的两种计算方法，由解的唯一性，即可证明组合恒等式。
例1证明Cnm=Cnm-1+Cn-1m-1.分析：原式左端为m个元素中取n个的组合数。
原式右端可看成是同一问题的另一种算法：把满足条件的组合分为两类，一类为不取某个元素a1,有Cnm-1种取法。
一类为必取a1有Cn-1m-1种取法。
由加法原理可知原式成立。
例2证明Cnm·Cpn=Cpm·Cn-pm-p.分析：原式左端可看成一个班有m个人，从中选出n个人打扫卫生，在选出的n个人中，p人打扫教室，余下的n-p人打扫环境卫生的选法数。
原式右端可看成直接在m人中选出p人打扫教室，在余下的m-p人中再选出n-p人打扫环境卫生。
显然，两种算法计算的是同一个问题，结果当然是一致的。
以上两例虽然简单，但它揭示了用组合数的意义证明组合恒等式的一般思路：先由恒等式中意义比较明显的一边构造一个组合问题的模型，再根据加法原理或乘法原理对另一边进行分析。
若是几个数（组合数）相加的形式，可以把构造的组合问题进行适当分类，如例1,若是几个数（组合数）相乘的形式，则应进行适当的分步计算，如例2,当然，很多情况下是两者结合使用的。
例3证明Ckm+n=C0mCkn+C1mCk-1n+C2mCk-2n+…+CkmC0n,其中当p>q时Cpq=0.证明：原式左边为m+n个元素中选k个元素的组合数。
今将这m+n个元素分成两组，第一组为m个元素，剩下的n个元素为第二组，把取出的k个元素，按在第一组取出的元素个数i（i=0,1,2,…，k）进行分类，这一类的取法数为CimCk-in.于是，在m+n个元素中取k个元素的取法数又可写成-in.故原式成立。
巧用长方体模型 妙解立体几何问题
巧用长方体模型妙解立体几何问题求莲萍（嵊州中学,浙江 嵊州312400）摘 要：文章通过教学案例指出构造长方体模型解决立体几何中的一些问题，培养学生的模型化处理意识以及局部与整体的相互转化意识,提高学生的空间想象能力.关键词：核心素养;模型意识;长方体模型;空间想象能力中图分类号：0123. 2文献标识码:A 文章编号：1003-6407（ 2021） 03-0016-04人教A 版普通高中课程标准实验教科书《数学（必修2）》（以下简称《必修2》）在第二章的章头引言中有这样一句话：“本章以长方体为载体,直观认识和理解空间中点、直线、平面的位置关 系”.《必修2》在学习点、直线、平面位置关系时，都 是先观察长方体，利用长方体为载体，直观认识和 理解空间中点、直线、平面的位置关系.《必修2》用这种无声的语言告诉我们，解决立 体几何问题一种非常有效的方法是利用长方体模 型•长方体模型是内涵非常丰富的几何图形，它包 含了空间中基本的线线关系、线面关系、面面关系， 故利用长方体模型可以把立体几何中的基本概念和定理梳理清楚.对长方体进行切割，可以得到多 种多样的柱体、锥体、台体，这样既可以拓展、丰富 立体几何的研究空间,又体现出图形与知识间的内 在联系⑴.许多空间问题如果放置在长方体模型 中便迎刃而解.1构造长方体模型解决三视图问题三视图在浙江省数学咼考中多以选择题或者 填空题的形式出现，难度多为中低档题，常见的命 题角度是根据几何体的三视图求几何体的体积或者表面积.例1祖眶是我国南北朝时代的伟大科学家, 他提出的“幕势既同，则积不容异”称为祖眶原理, 利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=sh ,其 中s 是柱体的底面积,h 是柱体的高.若某柱体的 三视图如图1所示（单位：cm ）,则该柱体的体积 （单位:cm 3）是 （ ）A. 158B. 162C. 182D. 324（2019年浙江省数学高考试题第4题）俯视图图1 图2分析 由三视图不难推断出原直观图是来自正方体的五棱柱（如图2），从棱长为6的正方体中 截取五棱柱ABCDE-A 1B 1C ]D x E .就生成了这道题, 体积为162.故选B .点评 虽然三视图的考查难度属于中低档题, 但是学生解题的正确率却并不令人满意，特别是涉 及到几何体的表面积时错误率居高不下，令人大跌眼镜•究其错误原因主要有两类:一是由三视图还 原几何体时绘制的几何体出现问题；二是绘制出几 何体后几何体中的点、线、面位置关系没有较好把握，导致求解几何体的体积、表面积时出错•若学生 能从长方体模型出发，根据三视图，对长方体进行 切割还原得到几何体，那么就能精确地把握几何体 中点、线、面的位置关系，求几何体的体积和表面积就容易得多•实际上命题者通常是先在长方体模型 中截取几何体，然后作出三视图，解题者则是刚好相反.教学中若能抓住这一本质，三视图问题就能 迎刃而解.2构造长方体模型解决四面体问题长方体中的棱、面对角线、体对角线所在直线的位置关系有平行、相交、异面.任取两条异面直 线,其所在棱或面对角线或体对角线的4个端点两收文日期：2020-09-18；修订日期：2020-10-20作者简介:求莲萍（1983—）,女,浙江嵊州人,中学一级教师•研究方向:数学教育.两连线就可以得到一个四面体,墙角型四面体、三节棍体、对棱相等四面体就是常见的从长方体中分离出来的四面体.例2如图3,在三棱锥A-BCD中，侧面ABD, ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边, AD=3,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形.1）求证:AD丄BC.2）求二面角B-AC-D的余弦值.3）在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30°角，若存在,确定点E的位置;若不存在，说明理由.（2006年江西省数学高考理科试题第20题）图3图4分析由条件可知AB=BC=AC=2,A BCD 是直角三角形.抓住A BCD是直角三角形这一特征，将A BCD放置于长方体底面一角，由侧面ABD,ACD是直角三角形可取点A是长方体的顶点，由长度关系可知该长方体为正方体•将三棱锥A-BCD放置于棱长为1的正方体中（如图4）,则第1）小题显然成立;半平面ACD即为正方体的对角面,分别取AC,DF的中点M,N,则Z BMN为二面角B-AC-D的平面角•又4642BM=,MN=1,BN=,2''2'可得C0S/BMN二亍.假设存在点E使得题设成立,过点E作EQ〃AP交PC于点Q,联结QD,则Z EDQ即为ED与面BCD 所成的角，且EQ=EQQD EQ2+13解得EQ二丄，72即EC=1.点评这是典型的三节棍体，该题中没有现成的两两互相垂直的3条直线，需要添加辅助线才能建立空间直角坐标系，很多学生感到有难度•把该三棱锥放置于正方体中后，空间直角坐标系的建立就显而易见了•借助于正方体中点、线、面的位置关系，用传统方法解决二面角、线面角所需的辅助线容易添加，数据的处理、计算的过程得到简化•这是高考中的大题目，构造了长方体模型之后,做起来变得轻松多了•解决与长方体有关的四面体问题,可以逆向思维，将其还原为长方体，这是解决此类问题的一种重要方法.3构造长方体模型解决面面垂直背景问题平行关系和垂直关系的考查是立体几何考查的主流•对学生而言，垂直关系的考查是难点，往往涉及空间角•对于空间角的处理，学生往往想到建立空间直角坐标系，若遇到没有现成的三线两两互相垂直的立体几何问题,则成了他们的障碍.例3如图5,已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1A CC］丄平面ABC,Z ABC=90°,乙BAC=30°,A1A=A1C=AC,E,F分别是AC,A1B1的中点.图51）证明：EF丄BC；2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.（2019年浙江省数学高考试题第19题）图6图7分析抓住几何体的特征Z ABC=90°,将△ABC放置于长方体底面一角中.由平面A1ACC］丄平面ABC可知平面A1A CC1就是长方体的对角面，由A1A=A1C可知A1为长方体上底面对角线的交点，将三棱柱ABC-A1B1C1放置于长方体中（如图6）.在长方体模型中，EF丄BC就显而易见了，直线EF与平面A1BC所成的角即为直线AM 与平面MNCB所成的角（如图7）.因为平面MNCB丄平面BADM,所以Z AMB即为直线AM与3平面MNCB所成的角.又C0s Z AMB=5,故直线3EF与平面A1BC所成角的余弦值为5.点评该题中没有现成的两两互相垂直的3条直线，需要添加辅助线才能建立空间直角坐标系,很多学生感到有难度，或者干脆采用“万能”建系法.若抓住三棱柱ABC-A1B1C1的两个特征“乙ABC=90°”与“平面A1A C1丄平面ABC”，将三棱柱ABC-A1B1C1放置于长方体模型中，则EF与BC的垂直关系、直线EF与平面A1BC所成的角就能够很容易地找出，这个高考题中的解答题就成了“小题”.无独有偶,2020年浙江省数学高考试题第19题又是以面面垂直为背景的线线垂直、线面角的考査例4如图8,在三棱台ABC-DEF中，平面ACFD丄平面ABC,乙ACB=乙ACD=45°,DC=2BC.1）证明：EF丄BD；2）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值.（2020年浙江省数学高考试题第19题）图8图9学生普遍认为该题较难,原因主要有两个:一是图8中没有现成的两两互相垂直的3条线或者是作出了三线两两互相垂直以后点坐标不容易写出；二是以三棱台为背景使得处理难度加大.事实上,该题中三棱台ABC-DEF即使棱BC长度给定它也不是一个定几何体，因此在建立空间直角坐标系时必定有点是没法固定表示的.在解题时若能抓住条件“平面ACFD丄平面ABC”与“乙ACB=Z ACD=45°”，把A ABC放置于正方体下底面，四边形ACFD放置于正方体的侧面，点B,D分别在正方体的面对角线上运动（如图9所示），肋〃BC,DF〃4C，则问题可转化为1）证明：BC丄DB；2）求直线AC与平面DBC所成角的正弦值.1）证明由平面ACFD丄平面ABC不难想到过点D作DH丄AC于点H,联结HB.设BC=1,则DC=2,DH=HC=72,HB=1,DB=73,从而DB丄BC.2）解由V D-HBC=V H-DBC，得从而直线AC与平面DBC所成角的正弦值为.d H-DBC相sin&=----=.HC3利用正方体模型,这个以三棱台为背景的线线垂直、线面角问题就转化成了三节棍体中的线线垂直与线面角问题.从模型中也不难看出，即使三棱台的棱BC长度给定,但正方体的棱长不能确定,故点A的位置也不固定.4构造长方体模型解决翻折问题将平面图形沿某直线翻折至立体图形,对立体图形中的点、线、面位置关系和几何量的研究就是翻折问题•翻折问题比较抽象，在历年高考中时常出现，是立体几何中的综合性应用问题,考查难度属于中高档题，也是学生感到困惑、难以突破的问题.例5在平面内直线EF与线段AB相交于点C,乙BCF=30°，且AC=BC=4,将此平面沿直线EF 折成60°的二面角a-EF-0,BP丄平面a,点P为垂足（如图10）.1）求A ACP的面积；2）求异面直线AB与EF所成角的正切值.（2009年浙江省数学高考理科试题备用卷第图11图12分析这是一个翻折问题，初看是动态立体几何问题，由于是折成60°的二面角a-EF-0,是一个静态立体几何问题•但是此翻折问题比较抽象，学生难以想象出几何体,建立空间直角坐标系,更不知道该如何添加辅助线•对于翻折问题，可以用实物长方形纸片翻折（如图11）,纸片满足条件AC= BC=4,乙BCF=30°，贝U BF=EA=2,AD=43.抓住翻折中的长方形纸片EFDA是矩形这一特征，将矩形EFDA放置于长方体模型的底面中（如图12）,抓住翻折中二面角a-EF-0的平面角Z BFD=60°这一特征，取长方体的高BP=3,P为DF的中点，则A ACP的面积为S AACP=S adf E-S AAEC-S ACFP-S AADP=33•Z BAD即为异面直线AB与EF所成的角，且BDtanZBAD=AD24336'点评本题是以翻折为背景的立体几何静态问题•对于翻折问题要理清翻折前后的不变量和改变量,折痕同侧的线段位置、长度、角度关系不变,折痕两侧的线段位置、长度、角度关系发生改变,这是解决翻折问题的关键.图形的翻折是由抽象到直观的过程，翻折问题由于辅助线的添加和空间直角坐标系建立的困难,使其成为学生恐惧的对象.根据翻折中图形的特征EFDA是矩形将其补形成长方体，在扩大的几何背景中研究原几何体,原几何体中几何元素间的关系更加直观.单墫老师说：“模式教育容易产生思维定式,束缚创造性，但完全没有模式，也使初学者难以把握,正如围棋中的定式,需要根据情况灵活应用、不可拘泥.”不以柱体、锥体、台体为载体的立体几何问题一直是学生的难点，利用长方体模型能够从整体上把握几何体中涉及的点、线、面的位置关系，使得求解的问题变得简单,解题过程简洁.利用长方体模型解决立体几何问题,关键在于正确建立长方体模型，从长方体中切割得到几何体是补形的最佳方式.根据几何体中的点在长方体中所处位置的不同可以分为三大类:一类是几何体的各个顶点都是长方体顶点，如例2；—类是几何体的某些点在长方体的棱、面多角线、体对角线上，如例1和例3；—类是几何体的某些点在长方体的面上或者长方体内部，如例4和例5.前两类问题多以静态几何体的形式出现，第三类多以动态几何体的形式如翻折问题、旋转问题中出现.第1类几何体多采用对长方体进行切割的方式实现.四面体是命题的热点，根据四面体的面在长方体面上的个数，可以分离出如图13所示4类四面体V-ABC:图131）墙角型四面体，某一顶点处三线两两互相垂直，有3个面在长方体的面上；2）三节棍体,3节短棍CV,E4,AB两两互相垂直,4个面都是直角三角形，有两个面在长方体的面上；3）退化的三节棍体,3节短棍CA,AB,BV中共面的两截短棍互相垂直，有一个面在长方体的面上；4）对棱相等型四面体2,各个面都不在长方体的面上,但它又具有完美的对称性.熟悉这4类长方体模型中分离出的四面体的结构特点就能快速地确定是否可以并如何将四面体放置于长方体模型中.第2,3类几何体呈现的形式多种多样，如例1中的五棱柱、例3中的三棱柱、例5中的抽象图形.关键是抓住几何体中的特点补形,常见的有：1）三视图时根据三视图的特征对长方体切割；2）根据三角形形状特征在长方体的面上截取三角形，直角三角形可放置于长方体面的一角；3）线面垂直时以线为长方体中的一条棱，面在长方体底面上按要求截取；4）面面垂直时以这两个面作为长方体相邻的侧面，在这两个相邻的侧面上按要求截取.无论几何体多复杂,本质上还是利用几何体的特征在长方体中截取需要的几何体.数学核心素养是课程目标的集中体现,是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用过程中逐步形成和发展的.当前，以数学素养为核心的教学改革正在全面开展,数学建模、直观想象是其中重要的两大素养.本文旨在培养学生运用数学建模的思想解决立体几何问题，培养学生的模型化处理意识、局部与整体的相互转化意识，提高学生的空间想象能力.在立体几何的教学中，要以长方体为纽带，降低立体几何的学习难度，激发学生的学习兴趣，进一步发展学生的空间想象能力、逻辑思维能力、数学建模能力，使学生在解题中能够开拓自己的思路，学会多角度地分析问题，并能巧妙地转化问题.参考文献[1]周顺钿.重点高中二轮复习用书（高中数学）[M].杭州：浙江大学出版社,2020:94-100.[2]王作顺.与长方体相关的三类四面体[J].中学生数学,2010（23）：12-13.。
构造法在初中数学解题中的应用
构造思想方法作为一种常用的数学思想方法，具有其自身独特的显著特征，主要表现在： 构造性、直观性、可行性、灵活性以及思维的多样性。
构造法的实质是一句某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征，用已知条件中的元 素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新
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的数学形式；或者利用具体问题的特殊性，为待解决的问题设计一个合理的框架，从而使问 题转化并得到解决的方法。它的具体解题过程可以用下面的框架来表示：
【关键词】 数学解题 构造法 数学问题
I
Construction method in solving problems
Abstract
Mathematical thinking method plays a crucial role in the middle school mathematics teaching, in the junior middle school mathematics teaching, the structural thought method is a kind of creative mathematical thinking method, especially in solving hard mathematical problems, such as method to construct proper use can according to the specific problems, then will be hard, change numerous for brief, make the problem solved, it fully penetrated in other mathematical thinking method.
浅谈最短路的数学模型解问题
浅谈最短路的数学模型解问题在生产与科学实验中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分为若干个互相联系的阶段，在它的每一个阶段都需要做出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。
因此，各个阶段的决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。
当各个阶段决策确定后，就组成了一个决策序列，因而也就决定了整个过程的一条活动路线。
这种把一个问题可看作一个前后关联且具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题，而最短路问题是这类问题中的比较典型的一种。
现在我们一起来探讨这类问题的特点和解决方法。
问题1（最小价格的管道铺设方案）如下图用点表示城市，现有共7个城市。
点与点之间的连线表示城市间有道路相连。
连线旁的数字表示道路的长度。
现计划从城市A到城市D铺设一条天然气管道，请设计出最小价格管道铺设方案。
首选我们要明确以下2点：（1）管道长短与成本价格之间有什么关系？显然，管道越短，成本越低。
（2）你能在众多管道路线中找到一条最短的管道路线吗？答案是肯定的。
这是一般人都有的最直接最原始的思路。
我们在这里就是要寻找一个比较简便的方法。
本题的实质就是求从城市A到城市D的一条最短路。
1、建立数学模型：Min{d（xk，xk+1）+f（xk+1）}的含义是：前一个阶段距离加上后一状态变量到终点的最短距离，然后在这些距离和中取最小者，即为所求的最短距离。
其中xk+1=u（xk），即从状态xk出发，采取决策uk到达下一状态xk+1；Sk表示从状态xk 出发的所有可能选取的决策的集合；而f4（x4）=0称为边界条件，因为状态x4=D已经是终点；各个决策路径xk+1=u（xk）都是所有决策的集合Sk中的一种，即xk+1=u（xk）∈Sk。
2、模型求解：①从最后一个阶段即第三阶段开始，按f3的定义有②第二个阶段有2个状态，而每个状态又有3个决策可选取，因此有B1到D的最短路长得B1到D的最短路径B2到D的最短路长得B2到D的最短路径③当k=1时，有A到D的最短路长得A到D的最短路径，故从A到D的最短弧长为6，路径为最短路问题是最重要的优化问题之一，它不仅可以直接应用于解决生产实际的许多问题，如管道铺设、线路安排、厂区布局、设备更新等等，而且经常被作为一个基本工具，用于解决其它优化问题。
巧借数学模型,促进学生对数学意义的理解和建构
巧借数学模型，促进学生对数学意义的理解和建构作者：王志南来源：《教学与管理(小学版)》2013年第01期案例背景在教学完“圆的面积”一课后，学生较为清晰地掌握了圆的面积计算公式的推理过程，也初步掌握了圆的面积计算方法。
课后练习中，多数学生对已知半径或直径求面积都掌握得不错，但在课后的作业中，全班42名学生对其中一道题的解答，正确率只有35.7%。
这道题是这样的：推导圆的面积公式时，将圆等分成若干份，拼成一个近似的长方形。
已知长方形的长是9.42厘米，长方形的宽是（）厘米，面积是（）平方厘米。
为了分析学生的错误原因，我与部分学生进行交流，大多数学生表示对长方形的宽怎样求感到比较茫然，还有学生表示读这道题感觉读不懂，不怎么理解。
这番交流让我百思不得其解，为什么学生在学习圆的面积计算过程中，熟练掌握了圆的面积计算公式，却忽视了对圆的面积计算推导过程的理解和掌握呢？事实上，在推导圆的面积计算公式时，学生已认识到“圆与转化后的长方形之间的关系”是推导圆的面积公式的重要前提，但学生在数学学习的过程中更关注的是探究活动的结果，即圆的面积公式是什么。
而对于推理过程，学生只能说是在头脑中有一定的印象，并没有自觉地将公式的推导过程真正地内化、理解和掌握。
教学实践为了进一步促进学生对圆的面积推导过程的理解，笔者在练习课中展开了这样的教学：出示习题1：推导圆的面积公式时，将圆等分成若干份，拼成一个近似的长方形。
已知长方形的长是9.42厘米，长方形的宽是（）厘米，面积是（）平方厘米。
（如图1）师：结合圆的面积推导示意图，你知道推导过程中的圆和长方形有怎样的联系吗？生：长方形的长是圆周长的一半，也就是лr，长方形的宽是圆的半径。
师：在解决这一问题的过程中，我们可以先求出什么？生：可以用9.42÷3.14求出圆的半径是3厘米，再用3.14×32求圆的面积。
出示习题2：推导圆的面积公式时，将圆等分成若干份，拼成一个近似的长方形，已知长方形的长比宽多6.42厘米，这个圆的半径是（）厘米，面积是（）平方厘米。
构造模型巧解四棱锥外接球问题
2020年12月1日理科考试研究•数学版• 29 •减少了计算量，但对学生数学抽象及对问题进行转化 的能力要求较高.师:有兴趣的同学可以进一步探究双曲线中的类 似问题.设计意图让学生体会圆锥曲线是一个整体.练习已知抛物线C :y2=2p*(P >0)过点/1(1，1).(1) 求抛物线C 的方程；(2) 如图1，直线M /V 与抛物线C 交于两个不同点（均与点4不重合），设直线的斜率分 别为名且h +h =3,求证:直线M V 过定点，并求 出定点.设计意图通过练习，发现上述解法可以解决斜 率之和为定值，直线过定点问题.思考上述练习（2)中，若条件改为斜率之积为 定值或斜率之和为定值《，直线过定点吗？能 否将此结论推广到椭圆和双曲线？试探究.设计意图留给学生探究，进一步熟悉圆锥曲线 中斜率之积、斜率之和为定值，直线过定点问题的计 算技巧.5结束语在二轮复习中，笔者认为应将圆锥曲线作为一个 整体进行复习.在教学过程中，应留给学生足够的时 间去尝试、去探索.鼓励学生探索不同解题思路，完善 解题过程，从而找到一类问题的最佳解决方案.通过 不同思路、不同解法的训练，培育学生数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养.(收稿日期=2020 -07 -05)构造棋型巧鮮四枝锥外接球问题李虎(中山市第一中学广东中山528400)摘要：多面体的外接球问题是近几年高考考查的热点，各类模拟题中也有非常多类似的题目，为了便于学生发现这类题的解题规律，教师给出了关于外接球的多种总结，比如：墙角模型，对棱相等四面体模型，正四面模型，由公共斜 边的直角三角形组成的四面体模型等.但在具体考題中，由于数量关系和空间位置关系的不同给法，学生往往束手无 策，究其根源，学生没有抓住问题的本质.本文以一类四棱锥外接球问题为例，谈一谈怎样活用模型巧解外接球问题.关键词：四棱锥；外接球；模型1拓展的墙角模型引理如图1，四面体0-.4B C 满足丄平面则此四面体的外接球的半径7?=加22+(2r)~(其中r 为A 4S C 外接圆的半径）•证明李海玲证明了空间中过不共面的四点存 在外接球"].从证明过程中还可以看出唯一性也是成 立的.即空间内过不共面的四面有唯一的外接球.记 A /1S C 的外接圆的圆心为0,连接C O 并延长交外接圆于点S '连接如图2，/lC丄 ■45'，由/!£)丄平面可得丄 平面4B 'C ，则四棱锥£» -/IB'C 即 为墙角模型的四面体.由于厶4B C 的外接圆上的点都在四面体0 -/IfiC的外接球上，结合唯一性可得 D -的外接球和的 外接球是同一个球.因为/1C2 +_4f i ，2 = (2r)2，基金项目：中山市2018年重点项目课题“高中数学学科核心素养之数学建模的教学实践研究”（项目编号：A 2018021 ).作者简介：李虎（ 1982 -),男，河北赵县人，领士，中学一级教师，研究方向：高中数学教学.• 30 •理科考试研究•数学版2020年12月1日故评注（1)此结论在已知线面垂直的情形下，只需底面的三角形便可以求得外接圆直径，即可求得外 接球的半径.D图2(2)此引理还指出，外接球问题本质上只需不共 面的四点即可唯一确定一个外接球，当顶点数较多 时，只需选取容易计算的不共面的四个顶点即可.例题1如图3,在四棱锥中，底面/1B-C O为正方形，= 2/1P= 4,乙= 60。
数学建模 建立函数模型解决实际问题
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课前预习
课堂互动
建模选题
@《创新设计》
一、固体废物数据的搜集与处理 我们通过技术手段(代码见附件)，在知名外卖网站“饿了么”上面定点抓取了一个地 区方圆7 500 m左右所有已在该网站上注册的店铺的数据约32 109条，合计月销量267 305份，并写了一个简单的基于字典的分类算法，分类了135 655份月销量，并按照一 个理想数值为每一种商品产生的垃圾进行估算.分类结果如下：
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课前预习
课堂互动
建模选题
教材知识探究
@《创新设计》
数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的，我国的 几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂.经过30多年的发展现 在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模 课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力 开辟了一条有效的途径.大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的，1989年 在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美 国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年参赛校数、队数占到相当大的比例.可以 说数学建模竞赛是在美国诞生，在中国开花、结果的.
数学建模 建立函数模型解决实际问题
@《创新设计》
课标要求
素养要求
收集、阅读一些现实生活、生产实际或者 通过生活中具体的数学模型，进行提出问
经济领域中的数学模型，体会人们是如何 题、分析数据、建立模型、检验模型来发
借助函数刻画实际问题，感悟数学模型中 展数据分析、数学抽象及数学建模素养.
参数的现实意义.
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课前预习
课堂互动
建模选题
@《创新设计》
[求解模型] 所谓“错位推进法”，对于本题来说，关键点为“乙在30千米和10千米 处给甲留下食物和水”，根据分析与假设推知结论：其中的一位沙漠探险家最多可深 入沙漠65千米. [检验结果] 从“第6天走到10千米处吃1份，然后回出发点”，感觉似乎还有10千米 可以走，但已经回出发点了，考虑一下甲还可以再往前推进5千米吗？