陕西省黄陵中学2018届高三(重点班)上学期期末考试数学(理)试卷(含答案)

高三重点班期末考试 数学试题（理）一、选择题: 本大题共12小题, 每小题5分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 如果复数miim -+12是实数，则实数=m ( )A.1-B. 1C. 2-D. 22. 集合}2|1||{<-=x x A ，}9391|{<<=x x B ，则A B =（ ） A ．)3,1(- B ．)2,1(- C ．)2,2(- D ．)3,2(- 3. 已知向量),3,()3,(-==x b x a ， 若b b a ⊥+)2(，则=||（ ）A. 1B.2C.3D.2 4. 已知,31tan ,21tan -==βα 则=+-βαβααββαsin sin 2cos cos cos sin cos sin 3（ ） A.87 B. 811 C. 47 D. 4115. 函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数21x x ，，都有0)()(212112>--x x x f x x f x ,记)5.0(4)1()2(log 3log 2312f c f b f a ==⋅-=，，，则（ ） A. a b c << B. c a b << C. b a c << D.c b a <<6．已知数列{n a }满足*331log 1log ()n n a a n ++=∈N ，且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++的值是（ ）A 15-B 5-C 5 D157. —空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为（ ）8. 设 为公比为q ＞1的等比数列，若 和是方程 的两根，则 + =（ ） A 18 B 10 C 25 D 99．已知 是实数，则函数 的图像可能是( )A B C D10.若点P （cos α，sin α）在直线y=﹣2x上，则的值等于（ ）ABCD11.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为(0)p p >，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围是（A ）7(0,)12（B ）7(,1)12（C ）1(0,)2（D ）1(,1)212.已知函数()()()323211169,1323a f x x x x g x x x ax a +=-+=-+->，若对任意的[]10,4x ∈，总存在[]20,4x ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为2011a2010a 03842=+-x x {}n a 2012a 2013a ()cos f x a ax =a（A ）91,4⎛⎤ ⎥⎝⎦（B ）[)9,+∞（C ）[)91,9,4⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦（D ）[)39,9,24⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13、在等比数列{a n }中，若12...21-=+++nn a a a ，则=+++22221...n a a a 14.已知()():44,:210p a x a q x x -<<+--<，若p ⌝是q ⌝的充分条件，则实数a 的取值范围是____．15. 若函数(),()y f x x R =∈满足(1)(1)f x f x +=-且[]1,1x ∈-时，2()1f x x =-，函数lg ,0()1,0x x g x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则实数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内零点的个数为 .16．如图，PA ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E 、F 分别是点A 在PB 、PC 上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC ；⑤PBC PAC ⊥平面平面． 其中正确命题的序号是 ．三、解答题（70分） 17. （本题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B,C 的对边分别是,,a b c 且满足(2)cos cos a c B b C -=（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆333b =且，求a c +的值.18.（本题满分12分）设数列{}n a ，其前n 项和23n S n =-，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+.（Ⅰ）求数列{}{}n n b a ,的通项公式； （Ⅱ）若(2)(1)n n n n b c b b =--，数列{}n c 的前n 项和n T ，求证：213n T ≤<19．（满分12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC=90°PA=PD=AD=2BC=2，CD=，Q 是AD 的中点，M 是棱PC 上的点，且PM=3MC ．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥底面ABCD ； （Ⅱ）求二面角M ﹣BQ ﹣C 的大小．20. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知00(,)R x y 是椭圆22:12412x y C +=上的一点，从原点O 向圆2200:()()8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于点,P Q ．（1）若R 点在第一象限，且直线,OP OQ 互相垂直，求圆R 的方程；（2）若直线,OP OQ 的斜率存在，并记为12,k k ，求12k k 的值；21.（本小题满分12分）已知函数),(cos sin )(R b a x b x a x f ∈+=，曲线)(x f y =在点))3(,3(ππf 处的切线方程为：3π-=x y . （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）设R k ∈，求函数)3()(π+-=x f kx x g 在]2,0[π上的最大值.22.（本小题10分）已知平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点极坐标为(3,)4π，曲线C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=-（θ为参数）．（1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；（2）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l ：2cos 4sin 2ρθρθ+=的距离的最小值．一、A B D D C B A A C B C C13、314-n14. [2,5]-15. 8 16．①②③⑤ 二、解答题17. 解：（1）∵(2)cos cos a c B b C-=，∴2cos cos cos ,a Bb Cc B =+∴2sin cos sin cos sin cos sin()sin()sin A B B C B C B C A A π=+=+=-=∵0,sin 0A A π<<∴>，∴12cos 1,cos 2B B == 又∵3,0ππ=∴<<B B(2)11333sin 622S ac B ac ====， 2222222cos ()33b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=+-=∴2()21,21a c a c +=∴+=分18. 解：(1)当1n =时，13n a S ==-，当2n ≥时，2213[3(1)]63n n n a S S n n n -=-=----=-+，当1n =时，也满足63n a n =-+，∴63n a n =-+，∵等比数列{}n b ，∴2132b b b =，∴3123225128b b b b b ==⇒=，又∵1133a b a b +=+，∴2122n n n b b q -+==（4分）；（2）由（1）可得：111112211(22)(21)(21)(21)2121n n n n n n n n n c +++++===-------，∴123n n T c c c c =++++2231111111()()()212121212121n n +=-+-++------- 111121n +=-<-，显然数列{}n T 是递增数列，∴123n T T ≥=，即213n T ≤<.(12分）19.（Ⅰ）证明：连结BQ ，∵四边形ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AD=2BC ，Q 为AD 的中点，∴四边形ABDQ 为平行四边形，又∵CD=，∴QB=，∵△PAD 是边长为2的正三角形，Q 是AD 的中点，∴PQ ⊥AD ，PQ=，在△PQB 中，QB=，PB=，有PQ 2+BQ 2=PB 2，∴PQ ⊥BQ ，∵AD∩BQ=Q ，AD 、BQ ⊂平面ABCD ，∴PQ ⊥平面ABCD ，又∵PQ ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）解：由（I ）可知能以Q 为原点，分别以QA 、QB 、QP为x 、y 、z 轴建立坐标系如图，则Q （0，0，0），B （0，，0），∵BC=1，CD=，Q 是AD 的中点，∴PQ===，QC===2，∴PC===，又∵PM=3MC ，∴M （﹣，，），∴=（0，，0），=（﹣，，），设平面MBQ 的一个法向量为=（x ，y ，z ），由，即，令z=，得=（1， 0，），又=（0，0，1）为平面BCQ 的一个法向量，∴==，∴二面角M ﹣BQ ﹣C 为．20．（1）由圆R 的方程知圆R 的半径r =,OP OQ 互相垂直，且和圆R 相切，所以4OR ==，即22016x y += ①又点R 在椭圆C 上，所以220012412x y += ②联立①②，解得00222x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩R 的方程为22(22)(22)8x y -+-=．（2）因为直线1:OP y k x =和2:OQ y k x =都与圆R 10021221k x y k-=+20022221k x y k -=+化简得20122088y k k x -=-，因为点00(,)R x y 在椭圆C 上，所以220012412x y +=， 即22001122y x =-，所以201220141282x k k x -==--．21. （本小题12分）解：（Ⅰ）由切线方程知，当3π=x 时，0=y∴02123)3(=+=b a f π....................................................1分 ∵x b x a x f sin cos )(-='....................................................2分∴由切线方程知，12321)3(=-='b a f π.......................................3分 ∴23,21-==b a ..........................................................4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，)3sin(cos 23sin 21)(π-=-=x x x x f .......................5分 ∴x kx x g sin )(-=，x k x g cos )(-='.........................................6分 当0≤k 时，当]2,0[π∈x 时，0)(≤'x g ，故)(x g 单调递减∴)(x g 在]2,0[π上的最大值为0)0(=g .........................................7分②当10<<k 时∵01)0(<-='k g ，0)2(>='k g π∴存在)2,0(0π∈x ，使0)(0='x g当),0[0x x ∈时，0)(<'x g ，故)(x g 单调递减 当]2,(0πx x ∈时，0)(>'x g ，故)(x g 单调递增∴)(x g 在]2,0[π上的最大值为)0(g 或)2(πg ....................................9分 又0)0(=g ，12)2(-=ππk g ∴当π20<<k 时，)(x g 在]2,0[π上的最大值为0)0(=g当12<<k π时，)(x g 在]2,0[π上的最大值为12)2(-=ππk g ......................10分 当1≥k 时，当]2,0[π∈x 时，0)(≥'x g ，故)(x g 单调递增∴)(x g 在]2,0[π上的最大值为12)2(-=ππk g ..................................11分 综上所述，当π2≤k 时，)(x g 在]2,0[π上的最大值为0)0(=g当π2>k 时，)(x g 在]2,0[π上的最大值为12)2(-=ππk g .........................12分 22.（本小题10分） 解：（1）点P 的直角坐标为3232(． 由2cos()4πρθ=-，得22cos 2sin ρρθρθ=+，①将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入①，可得曲线C 的直角坐标方程为2222(()1x y +=．（2）直线l ：2cos 4sin ρθρθ+=的直角坐标方程为240x y +=，设点Q的直角坐标为cos ,sin )22θθ++，则cos sin )22M θθ， 那么M 到直线l 的距离22cos sin |2(2)4(2)2|52cos 2sin |222524d θθθθ+++===+， ∴52510125d --≥=sin()1θϕ+=-时取等号）， 所以M 到直线l ：2cos 4sin 2ρθρθ+=101-．。