98级高等数学(上)期中试题
98-03高数上册
历年高等数学(A)Ⅰ期末考试卷1998级一. 试解下列各题(24分)1. 讨论极限112lim 21-+-→x x x x 2.求x dt e e xt t x cos 1)(lim 0 0--⎰-→ 3.求⎰xdx arccos4.求dx x x ⎰-2cos sin π二. 试解下列各题(35分)1. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1,11,01,1)(x x x x f 及x e x g =)(,确定)]([x g f 与)]([x f g 的间断点,指出其类型2. 设)(x y y =由方程y x x arctg y +=所确定,求y ' 3. 求⎰+41x x dx 4.求⎰+ 02sin 1πθθd 5.设)(x y y =由方程组⎩⎨⎧+=+=tt y arctgtt x 63所确定,求)(x y '' 三. 求圆域222)(a c y x ≤-+ )0(c a <<绕x 轴旋转而成的旋转体的体积(10分)四. 设有底面为等边三角形的一个直柱体,其体积为常量V (0>V ),若要使其表面积达到最小,底面的边长应是多少?(10分)五. 设函数f (x ) 在[0,1]上可导且0< f (x )<1,在(0,1)上有1)(' ≠x f ,证明在(0,1)内有且仅有一个x ,使f (x )=x .(8分)六. 连接两点M (3, 10, -5)和N (0, 12, z )的线段平行平面0147=-++z y x ,确定N 点的未知坐标(6分)七、自点P (2, 3, -5)分别向各坐标面作垂线,求过三个垂足的平面方程(7分)1999级一. 试解下列各题(30分) 1. 求)12(lim +-+∞→n n n n2.验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在[-1,3]上的正确性3.x arctgxx x 30sin lim -→ 4.求⎰++dx x x 1322 5.设)(x y y =由方程1=++y xy x 确定,求y ' 二.试解下列各题(28分)1.设⎩⎨⎧+=+=t t y t t x 2222,求22dx y d 2.求⎰-πθθ 0 3)sin 1( d 3.求⎰1 0 dx e x4.试求空间直线⎩⎨⎧-=+=7652z y z x 的对称式方程三.求由y = ln x , y =0和 x = 2所围图形的面积及该平面图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积(12分)四. 求函数⎰+=xtdt t y 0arctan )1(的极小值(12分)五. 设j i a +=,k j b +-=2,求以向量b a,为边的平行四边形的对角线的长度(8分)六. 证明:当0≠x 时,有不等式x e x +>1(10分)一、试解下列各题(30分)1. 求x x x )3ln(2lim+∞→ ; 2. 求dx x x⎰-31 ; 3. 设x x e e y -+=,求y '' ;4. 求曲线)2()1(2-+=x x y 的凹凸区间;5. 求过球面9)4()1()3(222=++++-z y x 上一点2)- 0, ,1(p 的切平面方程。
数学试卷98年普通高等国统一考试(上海卷)数学试题
1998年全国普通高校招生统一考试(上海卷)数学试题一、填空题:1、1g20+1og 10025= 。
2、若函数y=2sinx+x a cos +4的最小值为1,则a= 。
3、若1lim →x 23332=+++x ax x ,则a= 。
4、函数f(x)=(x-1)31+2的反函数是f -1(x)= 。
5、棱长为2的正四面体的体积为 。
6、以直角坐标系的原点O 为极点,X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若椭圆两焦点的极坐标分别是⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1,2,1ππ,长轴长是4,则此椭圆的直角坐标方程是 。
7、与椭圆244922y x +=1有相同焦点且以y=x 34±为渐近线的双曲线方程是 。
8、函数y= 1,510,30,32〉+-≤〈+≤+x x x x x x 的最大值是。
9、设n 是一个自然数,n n x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式中x 3的系数为161则n= 。
10、在数列{a n }和{b n }中,a 1 =2,且对任意自然数n,3a n+1-a n =0,b n 是a n 与a n+1的等差中项,则{b n }的各项和是 。
11、函数f(x)=a x(a>0,a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大2a ,则a 的值为 。
二、选择题:12、下列函数中,周期为2π的偶函数是( ) A 、y=sin4x B 、y=cos 22x-sin 22x C 、y=tg2x D 、y=cos2x13、若0<a<1,则函数y=log a (x+5)的图象不经过( )A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限14、在下列命题中,假命题是( )A 、若平面α内的一条直线l 垂直于平面β内的任一直线,则α⊥βB 、若平面α内的任一直线平行于平面β,则α∥βC 、若平面α⊥平面β,任取直线l ⊂α,则必有l ⊥βD 、若平面α∥平面β,任取直线l ⊂α,则必有l ∥β15、设全集为R ,A={x|x 2-5x-6>0},B={x||x-5|<a}(a 是常数),且11∈B ,则( )A 、A ⋃B=RB 、A ⋃B =RC 、A ⋃B =RD 、A ⋃B=R16、设a,b,c 分别是ΔABC 中∠A ,∠B ,∠C 所对边的边长,则直线sinA ·x+ay+c=0与bx-sinB ·y+sinC=0 的位置关系是( )A 、平行B 、重合C 、垂直D 、相交但不垂直三、解答题17、设α是第二象限角,sin α=53,sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 2637π的值。
1998年高考数学试题及答案(全国理)-推荐下载
对全部高中资料试卷电气设备,在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验;通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关,1系电过,力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层,机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2,高总而中体且资配可料置保试时障卷,各调需类控要管试在路验最习;大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试,况卷要下安加与全强过,看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高;中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整,处核或理对者高定对中值某资,些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定,卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置,跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等,料,编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气,线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术,技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项;资方对料式整试,套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资,气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技,进术合行,理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对:于于在调差分试动线过保盒程护处中装,高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时,术,作是应为指采调发用试电金人机属员一隔,变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内;图部同纸故一资障线料时槽、,内设需,备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切,验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中,术资要资料进料试行,卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。
高数上期中试卷及答案
2013-2014学年高数1期中试卷答案2013—2014学年第一学期期中考试一、(每小题5分,共10分)求解或证明下列各题1、写出函数y =的定义域。
解 函数是由基本初等函数arcsin y u v ==和简单的初等函数11x v x +=-复合而成的。
2分 由 11arcsin00111x x x x ++≥⇒≤≤--, 3分 于是当10x ->时,得011x x ≤+≤-,无解;当10x -<时,得011x x ≥+≥-,解得1x ≤-,即函数的定义域为(,1]D =-∞-。
5分2、用定义证明:21231lim11x x x x →-+=-。
证明 任给0ε>,要2231|1||(21)1|2|1|1x x x x x ε-+-=--=-<-,即要|1|/2x ε-<, 2分 3分取/2δε=,则当0|1|x δ<-<时,恒有2231|1|1x x x ε-+-<-, 故 21231lim11x x x x →-+=- 5分 二、(每小题5分,共10分)求下列极限1、21sin(1)lim ln x x x→-; 2、1lim (123)x x xx →+∞++。
解 1、原式21sin(1)limln[1(1)]x x x →-=+- 2分 2、原式1ln(123)ln(123)limlim x x x x x xx x ee→+∞++++→+∞== 2分211lim1x x x →-=- 4分 2ln 23ln3lim123x x x xx e →+∞+++=(2/3)ln 2ln3lim1(1/3)(2/3)x x xx e→+∞+++= 4分1lim(1)2x x →=+= 5分 ln 30ln31003ee+++=== 5分三、(8分)求函数||tan x y x=的间断点,并判断间断点的类型;若为可去间断点,补充定义使2013-2014学年高数1期中试卷答案函数连续。
1998年全国高考数学试题及答案
1998年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题共65分)一、 选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)设集合M={x │0≤x<2},集合N={x │x 2-2x-3<0},集合M ∩N 为 (A){x │0≤x<1} (B){x │0≤x<2} (C){x │0≤x ≤1} (D){x │0≤x ≤2} [Key] B(2)如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a 为32)(23)(6)(3)(D C B A ---[Key] B(3)函数)x 31x 21(tg y -=在一个周期内的图象是[Key] A(4)已知三棱锥D-ABC 的三个则面与底面全等,且AB=AC=3,BC=2,则BC 为棱,以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是32)D (2)C (31arccos)B (33arccos)A (ππ[Key] C(5)函数x2cos )x 23sin(y +-π=的最小正周期是 ππππ4)D (2)C ()B (2)A ([Key] B(6)满足arccos(1-x)≥arccosx 的x 的取值范围是]1,21)[(]21,0)[(]0,21)[(]21,1)[(D C B A --[Key] D(7)将y=2x 的图象(A)先向左平行移动1个单位 (B)先向右平行移动1个单位 (C)先向上平行移动1个单位 (D)先向下平行移动1个单位 再作关于直线y=x 对称的图象,可得到函数y=log 2(x+1)的图象.[Key] D(8)长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是ππππ200)(50)(225)(220)(D C B A[Key] C(9)曲线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2111t y tx (t 是参数,t ≠0),它的普通方程是 11)(1)1(1)()1()2()(1)1()1)((2222+-=--=--==--x xy D x y C x x x y B y x A[Key] B(10)函数y=cos 2x-3cosx+2的最小值为6)(41)(0)(2)(D C B A -[Key] B(11)椭圆C 与14)2(9)3(22=-+-y x 椭圆关于直线x+y=0对称,椭圆C 的方程是 (A) 19)3(4)2(22=+++y x(B) 14)3(9)2(22=-+-y x (C) 14)3(9)2(22=+++y x (D) 19)3(4)2(22=-+-y x[Key] A(12)圆台上、下底面积分别为π、4π,侧面积为6π,这个圆台的体积是337)(637)(32)(332)(ππππD C B A[Key] D(13)定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数;偶函数g(x)在区间[0,+∞)的图象与f(x)的图象重合.设a>b>0,给出下列不等式①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b); ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a), 其中成立的是(A)①与④ (B)②与③ (C)①与③ (D)②与④ [Key] C(14)不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 22330的解集是 (){}20<<x x A (){}5.20<<x x B (){}60<<x x C (){}30<<x x D[Key] C(15)四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有 (A)150种 (B)147种 (C)144种 (D)141种[Key] D(16)已知92⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-xx a 的展开式中x 3的系数为49,常数a 的值为_________. [Key] 4(17)已知直线的极坐标方程22)4sin(=+πθρ则极点到该直线的距离是_______。
高等数学考试题及答案
高等数学考试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 函数f(x) = x^2 - 3x + 2在区间[1, 4]上的最大值是:A. 0B. 3C. 5D. 62. 级数∑(1/n^2)从n=1到∞的和是:A. π^2/6B. eC. 1D. 23. 微分方程dy/dx + y = x^2的通解是:A. y = x^2 - x + CB. y = x^2 + CC. y = x^2 + x + CD. y = x^2 - 2x + C4. 曲线y = x^3 - 2x^2 + 3x在点(1, 2)处的切线斜率是:A. -1B. 0C. 1D. 25. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的周期是:A. πB. 2πC. π/2D. 16. 曲线y = x^2与直线y = 4x在第一象限的交点坐标是:A. (2, 8)B. (0, 0)C. (1, 4)D. (4, 16)7. 极限lim(x→∞) (1 + 1/x)^x的值是:A. eB. 1C. 0D. ∞8. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的零点个数是:A. 0B. 1C. 2D. 39. 已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1,求f'(x):A. 2x + 2B. 2x + 1C. 2x - 1D. x^2 + 210. 函数y = ln(x)的导数是:A. 1/xB. xC. ln(x)D. 1二、填空题(每题2分,共20分)11. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的极值点是________。
12. 函数f(x) = sin(x)的反函数是________。
13. 曲线y = x^2 - 4x + 4在x轴上的截距是________。
14. 曲线y = 1/x在点(1, 1)处的切线斜率是________。
15. 函数f(x) = x^2 - 4的根是________。
2016年广州98中初三上学期数学期中试卷含答案
2016学年第一学期期中检测题九年级数学问卷本试卷共4页,25小题,满分150分,考试时间120分钟。
可以使用计算器,用2B 铅笔画图,所有答案都要写在答卷上,答在问卷上的答案无效。
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1、下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )2.方程x x 22=的根是( )A.2B.0C.2,0D.-2,03.设一元二次方程0342=+-x x 两个实根为1x 和2x ,则下列结论正确的是( )。
A.221=+x x B.421=+x x C.-321=x x D.421=x x 4.一元二次方程0122=--x x 的根的情况为( )A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根5.平面直角坐标系内,点P (-3,4)关于原点对称点的坐标是( ) A.(4,-3) B.(3,4) C.(-3,-4) D.(3,-4)6.把抛物线42-=x y 的图象向右平移3个单位,再向上平移2个单位,所得图象的函数关系式是( ) A. B. C.D.7.如图所示,在一幅长为50cm,宽为30cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边,制成一幅矩形挂图,如果要使整个挂图的面积是3500cm 2,求金色纸边的宽为x cm ,则x 满足的方程是( )A.3500)30(50=++x x )(B.3500)2(30)250(=++x xC.3500)30)(50(=--x xD.3500)230)(2-50=-x x ( 8.一小球被抛出后,距离地面的高度(米)和飞行时间(秒)满足下面函数关系式:6)2(52+--=t h ,则小球距离地面的最大高度是( ) A.1米 B.5米 C.6米 D.7米9.二次函数362+-=x kx y 的图象与x 轴有交点,则k 的取值范围是( )。
1998年全国高考文科数学试题及其解析
1998年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)一.选择题:本大题共15小题;第(1)-(10)题每小题4分,第(11)-第(15)题每小题5分,65分.在每小题给出四项选项,只一项符合题目要求的学教案并加给事中化学教案后又迁为吏部尚书试卷试题八年化学教(1) sin600º( )(A)21 (B) -21(C) 23 (D) -232(2) 函数y =a |x |(a >1)的图像是 ( )(3) 已知直线x =a (a >0)和圆(x -1)2+y 2=4相切,那么a 的值是( )(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2(4) 两条直线A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0垂直的充要条件是( )(A) A 1A 2+B 1B 2=0 (B) A 1A 2-B 1B 2=0 (C)12121-=B B A A (D) 12121=A A BB (5) 函数f (x )=x1( x ≠0)的反函数f -1(x )= ( )(A) x (x ≠0) (B)x 1(x ≠0) (C) -x (x ≠0) (D) -x1(x ≠0)(6) 已知点P(sin α-cos α,tg α)在第一象限,则[ 0,2π]内α的取值范围是( )(A) (432ππ,)∪(45ππ,) (B) (24ππ,)∪(45ππ,)(C) (432ππ,)∪(2325ππ,) (D) (24ππ,)∪(ππ,43)(7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º(8) 复数-i 的一个立方根是i ,它的另外两个立方根是( )(A)2123±I (B) -2123±I (C) ±2123+I (D) ±2123-i (9) 如果棱台的两底面积是S ,S ′,中截面的面积是S 0,那么( )(A) 2S S S '+=0 (B) S 0=S S '(C) 2S 0=S +S ′ (D) S S S '=220(10) 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士.不同的分配方法共( )(A) 6种 (B) 12种 (C) 18种 (D) 24种(11) 向高为H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如右图所示,那么水瓶的形状是( )(12) 椭圆31222y x +=1的焦点为F 1,点P 在椭圆上,如果线段PF 1的中点M 在y 轴上,那么点M 的纵坐标是( )(A) ±43 (B) ±23 (C) ±22 (D) ±43显化学教案见景仁化学(13) 球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为61,经过这3个点的小圆的周长为4π,那么这个球的半径为( )(A) 43 (B)23 (C) 2 (D)3孩子的一个暑假》里提(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列,其最小内角的正弦值为( )(A)251- (B) 2252- (C) 215- (D) 2252+D (15) 等比数列{a n }的公比为-21,前n 项的和S n 满足∞→n lim S n =11a ,那么11a 的值为 ( )(A)3± (B)±23 (C) 2±(D) 26±的影响化学教案乙二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.(16) 设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点,圆心在双曲线上,则圆心到双曲线中心距离是__________不为退试卷试题”只愿(用这话)时时提醒自己试卷试题我近来要好好研读各种经书(17) (x +2)10(x 2-1)的展开的x 10系数为____________(用数字作答)震撼化学教案(18) 如图,在直四棱柱A 1B 1C 1D 1-ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足条件____________时,有A 1C ⊥B 1D 1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考试所有可能的情形)(19) 关于函数f (x )=4sin(2x +3π)(x ∈R ),有下列命题①y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x -6π);②y =f (x )是以2π为最小正周期的周期函数;③y =f (x )的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛-06,π对称; ④y =f (x )的图像关于直线x =-6π对称.其中正确的命题的序号是______ (注:把你认为正确的命题的序号都.填上.)三.解答题:本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(20) (本小题满分10分)设a ≠b ,解关于x 的不等式a 2x +b 2(1-x )≥[ax +b (1-x )]2.21) (本小题满分11分)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,设a +c =2b ,A -C=3π,求sin B 的值.以下公式供解题时参考:2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+, 2sin2cos2sin sin ϕθϕθϕθ-+=-,2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+, 2sin2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+-=-.(22) (本小题满分12分)如图,直线l 1和l 2相交于点M ,l 1 ⊥l 2,点N ∈l 1.以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形,|AM |=17,|AN |=3,且|BN |=6.建立适当的坐标系,求曲线C 的方程.(23) (本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC -A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直,∠ABC =90º,BC =2,AC=23,且AA 1 ⊥A 1C ,AA 1= A 1 C 1.(Ⅰ)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小;(Ⅱ)求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小; (Ⅲ)求侧棱B 1B 和侧面A 1 ACC 1的距离.(24) (本小题满分12分)如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.污水从A 孔流入,经沉淀后从B 孔流出.设箱体的长度为a 米,高度为b 米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a ,b 的乘积ab 成反比.现有制箱材料60平方米.问当a ,b 各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计).(25) (本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列,b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=100.(Ⅰ)求数列{b n }的能项b n ; (Ⅱ)设数列{a n }的通项a n =lg(1+nb 1),记S n 是数列{a n }的前n 项的和.试比较S n 与21lg b n +1的大小,并证明你的结论.1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.第(1)-(10)题每小题4分,第(11)-(15)题每小题5分.满分65分.(1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D (9) A (10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D 二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.(16)316(17) -5120 (18) AC ⊥BD ,或任何能推导出这个条件的其他条件.例如ABCD 是正方形,菱形等(19)①,③注:第(19)题多填、漏填的错填均给0分. 三.解答题:(20)本小题主要考查不等式基本知识,不等式的解法.满分10分.解:将原不等式化为(a 2-b 2)x +b 2≥(a -b )2x 2+2(a -b )bx +b 2, 移项,整理后得 (a -b )2(x 2-x ) ≤0, ∵ a ≠b 即 (a -b )2>0, ∴ x 2-x ≤0, 即 x (x -1) ≤0.解此不等式,得解集 {x |0≤x ≤1}.(21) 本小题考查正弦定理,同角三角函数基本公式,诱导公式等基础知识,考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.满分11分.解:由正弦定理和已知条件a +c =2b 得sin A +sin C =2sin B .由和差化积公式得B CA C A sin 22cos 2sin 2=-+. 由A +B +C =π,得 2)sin(C A +=2cos B,又A -C =3π,得23cos 2B=sin B ,∴23cos 2B =2sin 2B cos 2B. ∵ 0<2B <2π, 2cos B≠0, ∴sin2B =43, 从而cos2B =2sin 12B -=413 ∴ sin B =⨯23413=839(22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系,求曲线方程的解析几何的基本思想.考查抛物线的概念和性质,曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力.满分12分.解法一:如图建立坐标系,以l 1为x 轴,MN 的垂直平分线为y 轴,点O 为坐标原点.依题意知:曲线段C 是以点N 为焦点,以l 2为准线的抛线段的一段,其中A 、B 分别为C 的端点.设曲线段C 的方程为y 2=2px (p >0),(x A ≤x ≤x B ,y >0),其中x A ,x B 分别为A ,B 的横坐标,P =|MN |.所以 M (-2P ,0),N (2P,0). 由 |AM |=17,|AN |=3得(x A +2P )2+2Px A =17, ① (x A -2P)2+2Px A =9. ②由①、②两式联立解得x A =P4,再将其代入①式并由p >0解得⎩⎨⎧==14A x p 或⎩⎨⎧==22Ax p . 因为△AMN 是锐角三角形,所以2P>x A ,故舍去⎩⎨⎧==22A x p . ∴ P =4,x A =1.由点B 在曲线段C 上,得x B =|BN |-2P=4. 综上得曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4,y >0).解法二:如图建立坐标系,分别以l 1、l 2为x 、y 轴,M 为坐标原点.作AE ⊥l 1,AD ⊥l 2,BF ⊥l 2,垂足分别为E 、D 、F .设 A (x A ,y A )、B (x B ,y B )、N (x N ,0).依题意有x A =|ME|=|DA|=|AN|=3, y A =|DM |=22DA AM-=22,由于△AMN 为锐角三角形,故有x N =|AE |+|EN |=4. =|ME |+22AE AN -=4X B =|BF |=|BN |=6.设点P (x ,y )是曲线段C 上任一点,则由题意知P 属于集合{(x ,y )|(x -x N )2+y 2=x 2,x A ≤x ≤x B ,y >0}. 故曲线段C 的方程y 2=8(x -2)(3≤x ≤6,y >0).(23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,棱柱的性质,空间的角和距离的概念,逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.满分12分.注:题中赋分为得到该结论时所得分值,不给中间分. 解:(Ⅰ)作A 1D ⊥AC ,垂足为D ,由面A 1ACC 1⊥面ABC ,得A 1D ⊥面ABC ,∴ ∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角. ∵ AA 1⊥A 1C ,AA 1=A 1C ,∴ ∠A 1AD=45º为所求.(Ⅱ)作DE ⊥AB ,垂足为E ,连A 1E ,则由A 1D ⊥面ABC ,得A 1E ⊥AB .∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角.由已知,AB ⊥BC ,得ED ∥BC .又D 是AC 的中点,BC =2,AC =23,∴ DE =1,AD =A 1D =3,tg A 1ED=DEDA 1=3. 故∠A 1ED=60º为所求.(Ⅲ) 作BF ⊥AC ,F 为垂足,由面A 1ACC 1⊥面ABC ,知BF ⊥面A 1ACC 1.∵ B 1B ∥面A 1ACC 1,∴ BF 的长是B 1B 和面A 1ACC 1的距离. 在Rt △ABC 中,2222=-=BC AC AB ,∴ 362=⋅=AC BC AB BF 为所求. (24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识.满分12分.解法一:设y 为流出的水中杂质的质量分数,则y =abk,其中k >0为比例系数,依题意,即所求的a ,b 值使y 值最小.根据题设,有4b +2ab +2a =60(a >0,b >0), 得 aab +-=230 (0<a <30=, ① 于是 aa a k ab k y +-==230226432+-+-=a a k⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k()2642234+⋅+-≥a a k18k =当a +2=264+a 时取等号,y 达最小值.这时a =6,a =-10(舍去).将a =6代入①式得b =3.故当a 为6米,b 为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二:依题意,即所求的a ,b 的值使ab 最大.由题设知 4a +2ab +2a =60 (a >0,b >0)即 a +2b +ab =30 (a >0,b >0).∵ a +2b ≥2ab ,∴ 22ab +ab ≤30,当且仅当a =2b 时,上式取等号.由a >0,b >0,解得0<ab ≤18.即当a =2b 时,ab 取得最大值,其最大值18.∴ 2b 2=18.解得b =3,a =6.故当a 为6米,b 为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.(25) 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法,考查对数函数性质,考查归纳,推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力.满分12分.解:(Ⅰ)设数列工{b n }的公差为d ,由题意得 b 1=1,10b 1+d2)110(10-=100. 解得 b 1=1,d =2. ∴ b n =2n -1.(Ⅱ)由b n =2n -1,知S n =lg(1+1)+lg(1+31)+…+lg(1+121-n ) =lg[(1+1)(1+31)· … ·(1+121-n )], 21lg b n +1=lg 12+n .因此要比较S n 与21lg b n +1的大小,可先比较(1+1)(1+31)· … ·(1+121-n )与12+n 的大小.取n =1有(1+1)>112+⋅,取n =2有(1+1)(1+31)>112+⋅ 由此推测(1+1)(1+31)· … ·(1+121-n )>12+n . ① 若①式成立,则由对数函数性质可判定:S n >21lgb n +1. 下面用数学归纳法证明①式.(i)当n =1时已验证①式成立.(ii)假设当n =k (k ≥1)时,①式成立,即(1+1)(1+31)· … ·(1+121-k )>12+k , 那么,当n =k +1时,(1+1)(1+31)· … ·(1+121-k )(1+1)1(21-+k ) >12+k (1+121+k ) =1212++k k (2k +2). ∵ [1212++k k (2k +2)]2-[32+k ]2 =123848422+++++k k k k k =121+k >0, ∴1212++k k (2k +2) >32+k =()112++k . 因而 (1+1)(1+31)· … ·(1+121-k )(1+121+k )>1)1(2++k . 这就是说①式当n =k +1时也成立.1由(i),(ii)知①式对任何正整数n都成立.由此证得:S n>lg b n+1.2。
1998年全国高考理科数学试题及其解析
1998年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)一.选择题:本大题共15小题;第1—10题每小题4分,第11— 15题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(1) sin600º( )(A)21 (B) -21(C) 23 (D) -23(2) 函数y =a |x |(a >1)的图像是( )(3) 曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为( )(A) x 2+(y +2)2=4 (B) x 2+(y -2)2=4 (C) (x -2)2+y 2=4 (D) (x +2)2+y 2=4 (4) 两条直线A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0垂直的充要条件是( )(A) A 1A 2+B 1B 2=0 (B) A 1A 2-B 1B 2=0 (C)12121-=B B A A (D) 12121=A A B B(5) 函数f (x )=x1( x ≠0)的反函数f -1(x )= ( ) (A) x (x ≠0) (B) x 1(x ≠0) (C) -x (x ≠0) (D) -x1(x ≠0)(6) 已知点P (sin α-cos α,tg α)在第一象限,则在)20[π,内α的取值是 ( )(A) (432ππ,)∪(45ππ,) (B) (24ππ,)∪(45ππ,) (C) (432ππ,)∪(2345ππ,) (D) (24ππ,)∪(ππ,43) (7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数-i 的一个立方根是i ,它的另外两个立方根是( )(A)2123± i (B) -2123± i (C) ±2123+ i (D) ±2123-i (9) 如果棱台的两底面积分别是S ,S ′,中截面的面积是S 0,那么( )(A) 2S S S '+=0 (B) S 0=S S '(C) 2 S 0=S +S ′ (D) S S S '=22(10) 向高为H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如下图所示,那么水瓶的形状是( )(11) 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士.不同的分配方法共有( )(A) 90种 (B) 180种 (C) 270种 (D) 540种(12) 椭圆31222y x +=1的焦点为F 1和F 2,点P 在椭圆上,如果线段PF 1的中点在y 轴上,那么|P F 1|是|P F 2|的( )(A) 7倍 (B) 5倍 (C) 4倍 (D) 3倍 (13) 球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61,经过这3个点的小圆的周长为4π,那么这个球的半径为( )(A) 43 (B)23 (C) 2 (D) 3(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列,其最小内角为( )(A) arccos215- (B) arcsin215- (C) arccos251- (D) arcsin 251-(15) 在等比数列{a n }中,a 1>1,且前n 项和S n 满足∞→n lim S n =11a ,那么a 1的取值范围是( ) (A)(1,+∞) (B)(1,4) (C) (1,2) (D)(1,2)第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.16.设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是_________17.(x +2)10(x 2-1)的展开式中x 10的系数为____________(用数字作答)18.如图,在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1-ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足条件____________时,有A 1 C ⊥B 1 D 1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)19.关于函数f (x )=4sin(2x +3π)(x ∈R ),有下列命题: ①由f (x 1)= f (x 2)=0可得x 1-x 2必是π的整数倍; ②y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x -6π); ③y =f (x )的图像关于点(-6π,0)对称; ④y =f (x )的图像关于直线x =-6π对称.其中正确的命题的序号是_______ (注:把你认为正确的命题的序号都.填上.) 三、解答题:本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (20)(本小题满分10分)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,设a +c =2b ,A -C=3π.求sin B 的值. 以下公式供解题时参考: sin θ+sin ϕ =2sin2ϕθ+cos2ϕθ-, sin θ-sin ϕ=2cos2ϕθ+sin2ϕθ-,cos θ+cos ϕ=2cos 2ϕθ+cos 2ϕθ-, cos θ-cos ϕ=-2sin 2ϕθ+sin 2ϕθ-.(21)(本小题满分11分)如图,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1.以A,B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=17,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.(22)(本小题满分12分)如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a米,高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a,b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计).(23)(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC -A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直,∠ABC =90º,BC =2,AC=23,且AA 1 ⊥A 1C ,AA 1= A 1 C .Ⅰ.求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小;Ⅱ.求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小; Ⅲ.求顶点C 到侧面A 1 ABB 1的距离.(24)(本小题满分12分)设曲线C 的方程是y =x 3-x ,将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动t 、s 单位长度后得曲线C 1.Ⅰ.写出曲线C 1的方程; Ⅱ.证明曲线C 与C 1关于点A (3t ,2s)对称; Ⅲ.如果曲线C 与C 1有且仅有一个公共点,证明s =43t -t 且t ≠0.(25)(本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列,b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145. Ⅰ.求数列{b n }的通项b n ; Ⅱ.设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a >0,且a ≠1),记S n 是数列{a n }的前n 项和.试比较S n 与31log a b n +1的大小,并证明你的结论.1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考答案一、选择题(本题考查基本知识和基本运算.)1.D 2.B 3.B 4.A 5.B 6.B 7.C 8.D 9.A 10.B 11.D 12.A 13.B 14.B 15.D 二、填空题(本题考查基本知识和基本运算.)16.31617.179 18.AC ⊥BD ,或任何能推导出这个条件的其他条件.例如ABCD 是正方形,菱形等 19.②,③ 三、解答题20.本小题考查正弦定理,同角三角函数基本公式,诱导公式等基础知识,考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.解:由正弦定理和已知条件a +c =2b 得 sin A +sin C =2sin B .由和差化积公式得2sin 2C A +cos 2CA -=2sinB . 由A +B +C =π 得 sin 2C A +=cos 2B,又A -C =3π 得 23cos 2B=sin B ,所以23cos 2B =2sin 2B cos 2B. 因为0<2B <2π,cos 2B≠0, 所以sin2B =43, 从而cos2B =4132sin 12=-B 所以sinB=83941323=⨯.21.本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系,求曲线方程的解析几何的基本思想.考查抛物线的概念和性质,曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力.解法一:如图建立坐标系,以l 1为x 轴,MN 的垂直平分线为y 轴,点O 为坐标原点.依题意知:曲线段C 是以点N 为焦点,以l 2为准线的抛物线的一段,其中A ,B 分别为C 的端点.设曲线段C 的方程为y 2=2px (p >0),(x A ≤x ≤x B ,y >0),其中x A ,x B 分别为A ,B 的横坐标,p =|MN |. 所以 M (2p -,0),N (2p,0). 由|AM |= 17 ,|AN |=3 得(x A +2p )2+2px A =17, ① (x A -2p)2+2px A =9. ②由①,②两式联立解得x A =p4.再将其代入①式并由p >0解得 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,2;1,4AA x p x p 或 因为ΔAMN 是锐角三角形,所以2p> x A ,故舍去⎩⎨⎧==22A x p 所以p =4,x A =1.由点B 在曲线段C 上,得x B =|BN |-2p=4. 综上得曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4,y >0).解法二:如图建立坐标系,分别以l 1、l 2为x 、y 轴,M 为坐标原点. 作AE ⊥ l 1,AD ⊥ l 2,BF ⊥ l 2,垂足分别为E 、D 、F . 设A (x A ,y A )、B (x B ,y B )、N (x N ,0).依题意有x A =|ME |=|DA |=|AN |=3, y A =|DM |=2222=-DAAM,由于ΔAMN 为锐角三角形,故有 x N =|ME |+|EN | =|ME |+22AE AN -=4x B =|BF |=|BN |=6.设点P (x ,y )是曲线段C 上任一点,则由题意知P 属于集合{(x ,y )|(x -x N )2+y 2=x 2,x A ≤x ≤x B ,y >0}.故曲线段C 的方程为y 2=8(x -2)(3≤x ≤6,y >0).22.本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识.解法一:设y 为流出的水中杂质的质量分数,则y =abk,其中k >0为比例系数.依题意,即所求的a ,b 值使y 值最小.根据题设,有4b +2ab +2a =60(a >0,b >0), 得 b =aa+-230(0<a <30). ① 于是 y =ab k =aaa k+-230226432+-+-=a a k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k≥()2642234+⋅+-a a k18k =, 当a +2=264+a 时取等号,y 达到最小值. 这时a =6,a =-10(舍去). 将a =6代入①式得b =3.故当a 为6米,b 为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二:依题意,即所求的a ,b 的值使ab 最大. 由题设知 4b +2ab +2a =60(a >0,b >0),即 a +2b +ab =30(a >0,b >0). 因为 a +2b ≥2ab 2, 所以 ab 22+ab ≤30, 当且仅当a =2b 时,上式取等号. 由a >0,b >0,解得0<ab ≤18.即当a =2b 时,ab 取得最大值,其最大值为18. 所以2b 2=18.解得b =3,a =6.故当a 为6米,b 为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.23.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,棱柱的性质,空间的角和距离的概念,逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.Ⅰ.解:作A 1D ⊥AC ,垂足为D ,由面A 1ACC 1⊥面ABC ,得A 1D ⊥面ABC , 所以∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角. 因为AA 1⊥A 1C ,AA 1=A 1C , 所以∠A 1AD =45º为所求.Ⅱ.解:作DE ⊥AB ,垂足为E ,连A 1E ,则由A 1D ⊥面ABC ,得A 1E ⊥AB . 所以∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角. 由已知,AB ⊥BC ,得ED ∥BC . 又D 是AC 的中点,BC =2,AC =23, 所以DE =1,AD =A 1D =3, tg ∠A 1ED =DEDA 1=3. 故∠A 1ED =60º为所求.Ⅲ.解法一:由点C 作平面A 1ABB 1的垂线,垂足为H ,则CH 的长是C 到平面A 1ABB 1的距离.连结HB ,由于AB ⊥BC ,得AB ⊥HB . 又A 1E ⊥AB ,知HB ∥A 1E ,且BC ∥ED , 所以∠HBC =∠A 1ED =60º 所以CH =BC sin60º=3为所求. 解法二:连结A 1B .根据定义,点C 到面A 1ABB 1的距离,即为三棱锥C -A 1AB 的高h . 由ABC A AB A C V V --=11锥锥得D A S h S ABC B AA 131311∆∆=, 即 322312231⨯⨯=⨯h 所以3=h 为所求.24.本小题主要考查函数图像、方程与曲线,曲线的平移、对称和相交等基础知识,考查运动、变换等数学思想方法以及综合运用数学知识解决问题的能力.Ⅰ.解:曲线C 1的方程为y =(x -t )3-(x -t )+s .Ⅱ.证明:在曲线C 上任取一点B 1(x 1,y 1).设B 2(x 2,y 2)是B 1关于点A 的对称点,则有2221t x x =+, 2221sy y =+. 所以 x 1=t -x 2, y 1=s -y 2.代入曲线C 的方程,得x 2和y 2满足方程:s -y 2=(t -x 2)3-(t -x 2),即 y 2=(x 2-t )3-(x 2-t )+ s , 可知点B 2(x 2,y 2)在曲线C 1上.反过来,同样可以证明,在曲线C 1上的点关于点A 的对称点在曲线C 上. 因此,曲线C 与C 1关于点A 对称.Ⅲ.证明:因为曲线C 与C 1有且仅有一个公共点,所以,方程组⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=st x t x y xx y )()(33有且仅有一组解.消去y ,整理得3tx 2-3t 2x +(t 3-t -s )=0, 这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根. 所以t ≠0并且其根的判别式Δ=9t 4-12t (t 3-t -s )=0.即 ⎩⎨⎧=--≠.0)44(,03s t t t t所以 t t s -=43且 t ≠0. 25.本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法,考查对数函数性质,考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力.解:Ⅰ.设数列{b n }的公差为d ,由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.1452)110(1010,111d b b 解得⎩⎨⎧==.3,11d b 所以 b n =3n -2.Ⅱ.由b n =3n -2,知S n =log a (1+1)+ log a (1+41)+…+ log a (1+231-n ) = log a [(1+1)(1+41)……(1+231-n )], 31log a b n +1= log a 313+n . 因此要比较S n 与31log a b n +1的大小,可先比较(1+1)(1+41)……(1+231-n )与313+n 的大小.取n =1有(1+1)>3113+⋅,取n =2有(1+1)(1+41)>3123+⋅, ……由此推测(1+1)(1+41)……(1+231-n )>313+n . ① 若①式成立,则由对数函数性质可断定:当a >1时,S n >31log a b n +1. 当0<a <1时,S n <31log a b n +1. 下面用数学归纳法证明①式.(ⅰ)当n =1时已验证①式成立.(ⅱ)假设当n =k (k ≥1)时,①式成立,即(1+1)(1+41)……(1+231-k )>313+k . 那么,当n =k +1时,(1+1)(1+41)……(1+231-k )(1+()2131-+k )>313+k (1+131+k ) =13133++k k (3k +2). 因为()[]333343231313+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++k k k k ()()()()22313134323+++-+=k k k k ()013492>++=k k , 所以13133++k k (3k +2)>().1134333++=+k k 因而(1+1)(1+41)……(1+231-k )(1+131+k )>().1133++k 这就是说①式当n=k +1时也成立.由(ⅰ),(ⅱ)知①式对任何正整数n 都成立.由此证得:当a >1时,S n >31log a b n +1. 当0<a <1时,S n <31log a b n +1.。
1998年全国高中数学联赛试题及详细解析
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1. 若a > 1, b > 1, 且lg(a + b )=lg a +lg b , 则lg(a –1)+lg(b –1) 的值( ) (A )等于lg2 (B )等于1(C ) 等于0 (D ) 不是与a , b 无关的常数2.若非空集合A={x |2a +1≤x ≤3a – 5},B={x |3≤x ≤22},则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是( )(A ){a | 1≤a ≤9} (B ) {a | 6≤a ≤9} (C ) {a | a ≤9} (D ) Ø6.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( )(A ) 57 (B ) 49 (C ) 43 (D )37 二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果.1.若f (x ) (x ∈R )是以2为周期的偶函数, 当x ∈[ 0, 1 ]时,f (x )=x 11000,则f (9819),f (10117),f (10415)由小到大排列是 . 2.设复数z=cos θ+i sin θ(0≤θ≤180°),复数z ,(1+i )z ,2-z 在复平面上对应的三个点分别是P , Q , R .当P , Q , R 不共线时,以线段PQ , PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S , 点S 到原点距离的最大值是___________.3.从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有________种.4.各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项.5.若椭圆x 2+4(y -a )2=4与抛物线x 2=2y 有公共点,则实数a 的取值范围是 .6.∆ABC 中, ∠C = 90o , ∠B = 30o, AC = 2, M 是AB 的中点. 将∆ACM 沿CM 折起,使A ,B 两点间的距离为 2 2 ,此时三棱锥A -BCM 的体积等于__________.三、(本题满分20分)已知复数z=1-sinθ+i cosθ(π2<θ<π),求z的共轭复数-z的辐角主值.四、(本题满分20分)设函数f (x) =ax 2 +8x +3 (a<0).对于给定的负数a , 有一个最大的正数l(a) ,使得在整个区间 [0, l(a)]上, 不等式| f (x)| ≤ 5都成立.问:a为何值时l(a)最大? 求出这个最大的l(a).证明你的结论.五、(本题满分20分)已知抛物线y2= 2px及定点A(a, b), B( –a, 0) ,(ab≠ 0, b2≠ 2pa).M是抛物线上的点, 设直线AM, BM与抛物线的另一交点分别为M1, M2.求证:当M点在抛物线上变动时(只要M1, M2存在且M1 ≠M2),直线M1M2恒过一个定点.并求出这个定点的坐标.第二试二、(满分50分)设a1,a2,…,a n,b1,b2,…,b n∈[1,2]且nΣi=1a2i=nΣi=1b2i,求证:nΣi=1a3ib i≤1710nΣi=1a2i.并问:等号成立的充要条件.三、(满分50分)对于正整数a、n,定义F n(a)=q+r,其中q、r为非负整数,a=qn+r,且0≤r<n.求最大的正整数A,使得存在正整数n1,n2,n3,n4,n5,n6,对于任意的正整数a≤A,都有F n6(F n5(F n4(F n3(F n2(F n1(a))))))=1.证明你的结论.一九九八年全国高中数学联赛解答 第一试一.选择题(本题满分36分,每小题6分)2.若非空集合A={x |2a +1≤x ≤3a – 5},B={x |3≤x ≤22},则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是( )(A ){a | 1≤a ≤9} (B ) {a | 6≤a ≤9} (C ) {a | a ≤9} (D ) Ø 【答案】B【解析】A ⊆B ,A ≠Ø.⇒ 3≤2a +1≤3a -5≤22,⇒6≤a ≤9.故选B .4.设命题P :关于x 的不等式a 1x 2 + b 1x 2 + c 1 > 0与a 2x 2+ b 2x + c 2 > 0的解集相同;命题Q :a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2. 则命题Q ( )(A ) 是命题P 的充分必要条件(B ) 是命题P 的充分条件但不是必要条件 (C ) 是命题P 的必要条件但不是充分条件(D ) 既不是是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件【答案】D【解析】若两个不等式的解集都是R ,否定A 、C ,若比值为-1,否定A 、B ,选D .5.设E , F , G 分别是正四面体ABCD 的棱AB ,BC ,CD 的中点,则二面角C —FG —E 的大小是( )(A ) arcsin 63 (B ) π2+arccos 33 (C ) π2-arctan 2 (D ) π-arccot226.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( )(A ) 57 (B ) 49 (C ) 43 (D )37【答案】B【解析】8个顶点中无3点共线,故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心.⑴ 体中心为中点:4对顶点,6对棱中点,3对面中心;共13组; ⑵ 面中心为中点:4×6=24组;⑶ 棱中点为中点:12个.共49个,选B .二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果.1.若f (x ) (x ∈R )是以2为周期的偶函数, 当x ∈[ 0, 1 ]时,f (x )=x 11000,则f (9819),f (10117),f (10415)由小到大排列是 .2.设复数z=cos θ+i sin θ(0≤θ≤180°),复数z ,(1+i )z ,2-z 在复平面上对应的三个点分别是P , Q , R .当P , Q , R 不共线时,以线段PQ , PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S , 点S 到原点距离的最大值是___________. 【答案】3【解析】 →OS =→OP +→PQ +→PR =→OP +→OQ -→OP +→OR -→OP =→OQ +→OR -→OP=(1+i )z +2-z -z=iz +2-z=(2cos θ-sin θ)+i (cos θ-2sin θ).∴ |OS |2=5-4sin2θ≤9.即|OS |≤3,当sin2θ=1,即θ=π4时,|OS |=3.4.各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项.【答案】8【解析】设其首项为a ,项数为n .则得a 2+(n -1)a +2n 2-2n -100≤0.△=(n -1)2-4(2n 2-2n -100)=-7n 2+6n +401≥0.∴ n ≤8. 取n=8,则-4≤a ≤-3.即至多8项.(也可直接配方:(a +n -12)2+2n 2-2n -100-(n -12)2≤0.解2n 2-2n -100-(n -12)2≤0仍得n ≤8.)6.∆ABC 中, ∠C = 90o , ∠B = 30o, AC = 2, M 是AB 的中点. 将∆ACM 沿CM 折起,使A ,B 两点间的距离为 2 2 ,此时三棱锥A -BCM 的体积等于 .【答案】223【解析】由已知,得AB=4,AM=MB=MC=2,BC=23,由△AMC 为等边三角形,取CM 中点,则AD ⊥CM ,AD 交BC 于E ,则AD=3,DE=33,CE=233.折起后,由BC 2=AC 2+AB 2,知∠BAC=90°,cos ∠ECA=33. ∴ AE 2=CA 2+CE 2-2CA ·CE cos ∠ECA=83,于是AC 2=AE 2+CE 2.⇒∠AEC=90°.∵ AD 2=AE 2+ED 2,⇒AE ⊥平面BCM ,即AE 是三棱锥A -BCM 的高,AE=263. S △BCM =3,V A —BCM =223.三、(本题满分20分)2223222EBCAMD23222AEMDCB四、(本题满分20分)设函数f (x) =ax2 +8x+3 (a<0).对于给定的负数a , 有一个最大的正数l(a) ,使得在整个区间 [0, l(a)]上, 不等式| f (x)| 5都成立.问:a为何值时l(a)最大? 求出这个最大的l(a).证明你的结论.五、(本题满分20分)已知抛物线y 2 = 2px 及定点A (a , b ), B ( – a , 0) ,(ab ≠ 0, b 2≠ 2pa ).M 是抛物线上的点, 设直线AM , BM 与抛物线的另一交点分别为M 1, M 2. 求证:当M 点在抛物线上变动时(只要M 1, M 2存在且M 1 ≠ M 2.)直线M 1M 2恒过一个定点.并求出这个定点的坐标.第二试一、(满分50分)如图,O 、I 分别为△ABC 的外心和内心,AD 是BC 边上的高,I 在线段OD 上。
高数(上)期中试题
《高等数学》(上)期中考试题及评分标准1.(6分)已知11()()()212xF x f x =+-为偶函数,判断()f x 的奇偶性。
解:令11()212xx ϕ=+-,于是1121()212122xx xx ϕ--=+=+--11()()212x x ϕ=-+=-- (4分)()()()()()F x f x x f x x ϕϕ-=--=--()()f x f x =-- (5分) ()f x ∴为奇函数。
(6分) 2.求极限(每小题4分,共12分) (1)lim 1)x x x →+∞--解:原式=22(2321)lim1x x x x x x x →+∞++---++ (2分)=22lim 1211x x→+∞==++ (4分) (2)cot 0lim(sin cos )xx x x →+解:原式=12tan 0lim(12sin cos )xx x x →+ (1分)1sin cos 2sin cos tan 0lim(12sin cos )x xx x xx x x ⋅→+ (2分)=sin lim cos tan 0x x xx e ⋅→ (3分) =e (4分)(3)22ln(122)lim1x x x x x e →++-2220(24)ln(122)122lim 2x x x x x x x x xe→++++++ (1分) 、 =2220001ln(122)24lim [lim lim ]2122x x x x x x x e x x x-→→→++++++ (2分)=20122(lim 2)2x x xx →++ (3分)=1(22)22+= (4分)3.(8分)当x →+∞时,判断下列各式哪些是无穷小,并指出其中是否有等价无穷小(写出判断过程)。
(1)- (2)3221x x ++ (3)11sin sin x x x x-解:2lim lim sin 0x x →+∞→+∞-==+ (2分)32122lim lim 011x x x x →+∞→+∞+==++ (4分)1sin11sin lim(sin sin )lim lim 1011x x x x x x x x xx→+∞→+∞→+∞-=-=-= (6分)x ∴→+∞时,(1),(2)两式是无穷小,(3)不是无穷小。
1998年考研数学一真题
1998年考研数学一真题1998年考研数学一真题1998年的考研数学一真题是一道经典的数学难题,它考察了考生对数学知识的理解和应用能力。
这道题目是一个多元函数的极值问题,需要考生运用微分学的知识进行求解。
在解答这道题目的过程中,考生需要运用到一系列的数学工具和技巧,同时也需要具备一定的逻辑思维和推理能力。
题目的具体内容是:已知函数f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4,求函数f(x, y)在闭区间D={(x, y)|0≤x≤2, 0≤y≤2}上的最小值和最大值。
首先,我们需要计算函数f(x, y)的偏导数。
对于这个函数,我们可以分别对x和y求偏导数,得到fx(x, y) = 2x - 2和fy(x, y) = 2y - 4。
接下来,我们需要找出函数f(x, y)的驻点。
驻点是指函数在该点处的偏导数为0的点。
对于这个题目,我们需要解方程组fx(x, y) = 0和fy(x, y) = 0,即2x - 2 = 0和2y - 4 = 0。
解这个方程组可以得到驻点为(1, 2)。
然后,我们需要计算函数f(x, y)在边界上的取值。
边界上的取值可以通过将边界上的点代入函数f(x, y)进行计算得到。
对于这个题目,边界上的点包括D的四个顶点(0, 0),(0, 2),(2, 0)和(2, 2)。
将这四个点代入函数f(x, y)可以得到相应的函数值。
最后,我们需要比较驻点和边界上的函数值,找出函数f(x, y)的最小值和最大值。
通过比较驻点和边界上的函数值,我们可以得到函数f(x, y)在闭区间D上的最小值为f(1, 2) = 1和最大值为f(0, 0) = 4。
通过解答这道题目,我们可以看到数学在解决实际问题中的重要性。
数学不仅仅是一门学科,更是一种思维方式和工具。
通过运用数学的知识和方法,我们可以更好地理解和解决问题。
总结起来,1998年考研数学一真题是一道经典的数学难题,它考察了考生对数学知识的理解和应用能力。
98数学试题(上〕
98级高数试题 一. 填空题(每小题4分,共28分)1. ⎩⎨⎧≤>=+=0x x 0 x )(|),|()(221x x g x x x f 则[()]f g x =_______________ 2. 设2x y xe =则()n y =_____________3. 设0→x 时,cos cos 2x x -与2kx 是等价无穷小, 则k =___________-4. 曲线3370x y xy +--=在点(1,2)处的切线斜率是_______________5. 设函数()f u 可微,且2(sin())y f x =则dy =________________.6. ⎰=+_______________143dx x x7. 设⎪⎩⎪⎨⎧-==⎰tt t y du u u x t cos sin sin 1则y ’x =_________ y ”x =________________ 二. 计算题(每小题6分,共36分)1. 试确定常数,a b 的值,使 )1)(()(---=x a x b e x f x 有无穷间断点 0x =, 有可去间断点1x =2. 求极限011lim()cot sin x x x x→- 3. 确定,a b 的值使()f x 在1x =处可导 ⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=1x b ax 1 x )(2x e x f 4. 计算定积分⎰--41011dx x x 5.求不定积分ln(x dx +⎰ 6. 判断广义积分⎰-e x x dx12)(ln 1的敛散性;若收敛,计算其值.三. (10分) 求曲线 211y x=+的凹凸区间及拐点 四. (12分)抛物线232y ax bx c =++通过原点(0,0) 并且当01x <<时0y >. 若它与直线1,0x y ==围成的曲边三角形的面积等于1 ,试确定,,a b c 使此曲边三角形绕X 轴旋转所得旋转体体积最小.五. (7分)证明 ⎰<<2422sin 21ππdx x x 六. (7分) 设函数()f x (1)在[,]a b 上可导 (2) '()'()f a m f b << , 证明:在(,)a b 内至少存在一点ξ 使得'()f m ξ=98级高等数学(上)B 卷一.填空题1.设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011)(x x x x f , ()x g x e =则f[g(x)][()]f g x =______; 2.设x e y 1=, 则__lim .__lim 00==-+→→x x y . 3.设sin 4y x = 则()n y=__________. 4.设方程y e xy e +=确定隐函数()y y x =则"(0)y ==______;5.设22arcsin()y x =则dy =_______;6.⎰-=22___cos )sin 1ππdx x x +(; 7.若曲线3(),(0)y ax b a =-≠有拐点3(1,())a b -(1, 则,常数,a b 满足关系式_________;二.计算题1.求极限131)23(lim -→-x x x ;2.设⎩⎨⎧+=+=)1ln(22t y t t x 求22dxy d dx dy 和 3求不定积分dx x x ⎰-314 .计算定积分⎰ee dx x 1|ln |5设⎩⎨⎧>≤-=-001)(x e x xx f x , 求'()f x6求极限121lim +∞→++p pp p n nn + , (p>0). 三.求曲线212y x =和该曲线在点(2,2)P -处的切线以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积。
高等数学1期中考试试题参考答案
《高等数学(Ⅰ)》试卷学院:______ 班级:_____学号:________姓名:________任课教师:_____一、选择题(每题2分,共16分)1、 下列极限存在的是…………………………………………………………( ) (A )xx 21l i m ∞→(B ) 1310lim -→x x (C ) e x 1l i m ∞→ (D ) xx 3lim ∞→2、0)(lim =→x f ax ,∞=→)(lim x g ax ,则下列不正确的是…………………………( )(A ) ∞=+→)]()([lim x g x f ax (B ) ∞=→)]()([lim x g x f ax(C ) 0][lim )()(1=+→x g x f ax (D ) 0)](/)(lim[=→x g x f ax3、,0)(lim >=→A x f ax ,0)(lim <=→B x g ax 则下列正确的是…………………………( )(A ) f (x )>0, (B ) g(x )<0, (C ) f (x )>g (x ) (D )存在a 的一个空心邻域,使f (x )g (x )<0。
4、已知, ,2lim)(0=→xx f x 则=→)2x (sin3x 0limf x ………………………………………………( )(A ) 2/3, (B ) 3/2 (C ) 3/4 (D ) 不能确定。
5、若函数在[1,2]上连续,则下列关于函数在此区间上的叙述,不正确的是……( ) (A ) 有最大值 (B ) 有界 (C ) 有零点 (D )有最小值6、下列对于函数y =x cos x 的叙述,正确的一个是………………………………………( ) (A )有界,且是当x 趋于无穷时的无穷大,(B )有界,但不是当x 趋于无穷时的无穷大, (C ) 无界,且是当x 趋于无穷时的无穷大,(D )无界,但不是当x 趋于无穷时的无穷大。
1998全国高考理科数学试题
1998年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)一.选择题:本大题共15小题;第1—10题每小题4分,第11— 15题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(1) sin600º的值是 ( )(A)21 (B) -21 (C)23 (D) -23 (2) 函数y =a |x |(a >1)的图像是 ( )(3) 曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为 ( )(A) x 2+(y +2)2=4 (B) x 2+(y -2)2=4 (C) (x -2)2+y 2=4(D) (x +2)2+y 2=4(4) 两条直线A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0垂直的充要条件是 ( )(A) A 1A 2+B 1B 2=0 (B) A 1A 2-B 1B 2=0 (C)12121-=B B A A (D)12121=A A B B (5) 函数f (x )=x1( x ≠0)的反函数f -1(x )= ( )(A) x (x ≠0)(B)x1(x ≠0) (A ) (B ) (C ) (D )111(C) -x (x ≠0) (D) -x1(x ≠0) (6) 已知点P (sin α-cos α,tg α)在第一象限,则在)20[π,内α的取值是 ( )(A) (432ππ,)∪(45ππ,) (B) (24ππ,)∪(45ππ,)(C) (432ππ,)∪(2345ππ,) (D) (24ππ,)∪(ππ,43)(7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )(A) 120º(B) 150º(C) 180º(D) 240º(8) 复数-i 的一个立方根是i ,它的另外两个立方根是 ( ) (A)2123±i (B) -2123±i (C) ±2123+i (D) ±2123-i (9) 如果棱台的两底面积分别是S ,S ′,中截面的面积是S 0,那么 ( )(A) 2S S S '+=0(B) S 0=S S ' (C) 2 S 0=S +S ′(D) S S S '=22(10) 向高为H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如下图所示,那么水瓶的形状是( )(11) 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士.不同的分配方法共有()hVH(A) 90种 (B) 180种 (C) 270种 (D) 540种(12) 椭圆31222y x +=1的焦点为F 1和F 2,点P 在椭圆上,如果线段PF 1的中点在y 轴上,那么|P F 1|是|P F 2|的( )(A) 7倍(B) 5倍(C) 4倍(D) 3倍(13) 球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61,经过这3个点的小圆的周长为4π,那么这个球的半径为( )(A) 43(B)23(C) 2(D)3(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列,其最小内角为 ( )(A) arccos215- (B) arcsin215-(C) arccos251- (D) arcsin251- (15) 在等比数列{a n }中,a 1>1,且前n 项和S n 满足∞→n lim S n =11a ,那么a 1的取值范围是( )(A)(1,+∞)(B)(1,4)(C) (1,2)(D)(1,2)第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.16.设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是_________17.(x +2)10(x 2-1)的展开式中x 10的系数为____________(用数字作答)18.如图,在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1-ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足条件____________时,有A 1 C ⊥B 1 D 1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)19.关于函数f (x )=4sin(2x +3π)(x ∈R ),有下列命题: ①由f (x 1)= f (x 2)=0可得x 1-x 2必是π的整数倍; ②y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x -6π); ③y =f (x )的图像关于点(-6π,0)对称; ④y =f (x )的图像关于直线x =-6π对称.其中正确的命题的序号是_______ (注:把你认为正确的命题的序号都.填上.)三、解答题:本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(20)(本小题满分10分)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,设a +c =2b ,A -C=3π.求sin B 的值.以下公式供解题时参考: sin θ+sin ϕ =2sin2ϕθ+cos2ϕθ-,sin θ-sin ϕ=2cos 2ϕθ+sin 2ϕθ-,cos θ+cos ϕ=2cos 2ϕθ+cos 2ϕθ-,cos θ-cos ϕ=-2sin 2ϕθ+sin 2ϕθ-.(21)(本小题满分11分)如图,直线l 1和l 2相交于点M ,l 1 ⊥l 2,点N ∈l 1.以A , B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形,|AM |=17,|AN |=3,且|BN |=6.建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程.(22)(本小题满分12分)如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱,污水从A 孔流入,经沉淀后从B 孔流出.设箱体的长度为a 米,高度为b 米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a ,b 的乘积ab 成反比.现有制箱材料60平方米.问当a ,b 各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计).(23)(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC -A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直,∠ABC =90º,BC =2,AC=23,且AA 1 ⊥A 1C ,AA 1= A 1 C .Ⅰ.求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小;Ⅱ.求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小; Ⅲ.求顶点C 到侧面A 1 ABB 1的距离. (24)(本小题满分12分)设曲线C 的方程是y =x 3-x ,将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动t 、s 单位长度后得曲线C 1.Ⅰ.写出曲线C 1的方程; Ⅱ.证明曲线C 与C 1关于点A (3t ,2s)对称; Ⅲ.如果曲线C 与C 1有且仅有一个公共点,证明s =43t -t 且t ≠0.(25)(本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列,b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145. Ⅰ.求数列{b n }的通项b n ; Ⅱ.设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a >0,且a ≠1),记S n 是数列{a n }的前n 项和.试比较S n 与31log a b n +1的大小,并证明你的结论.1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考答案一、选择题(本题考查基本知识和基本运算.)1.D 2.B 3.B 4.A 5.B 6.B 7.C 8.D 9.A 10.B11.D 12.A 13.B 14.B 15.D二、填空题(本题考查基本知识和基本运算.)16.31617.179 18.AC ⊥BD ,或任何能推导出这个条件的其他条件.例如ABCD 是正方形,菱形等 19.②,③三、解答题20.本小题考查正弦定理,同角三角函数基本公式,诱导公式等基础知识,考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.解:由正弦定理和已知条件a +c =2b 得 sin A +sin C =2sin B .由和差化积公式得2sin 2C A +cos 2CA -=2sinB . 由A +B +C =π 得 sin 2C A +=cos 2B,又A -C =3π 得 23cos 2B =sin B , 所以23cos 2B =2sin 2B cos 2B .因为0<2B <2π,cos 2B≠0, 所以sin2B =43, 从而cos2B =4132sin 12=-B 所以sinB=83941323=⨯. 21.本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系,求曲线方程的解析几何的基本思想.考查抛物线的概念和性质,曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力.解法一:如图建立坐标系,以l 1为x 轴,MN 的垂直平分线为y 轴,点O 为坐标原点. 依题意知:曲线段C 是以点N 为焦点,以l 2为准线的抛物线的一段,其中A ,B 分别为C 的端点.设曲线段C 的方程为y 2=2px (p >0),(x A ≤x ≤x B ,y >0),其中x A ,x B 分别为A ,B 的横坐标,p =|MN |. 所以 M (2p -,0),N (2p,0). 由|AM |= 17 ,|AN |=3 得(x A +2p )2+2px A =17, ① (x A -2p)2+2px A =9. ②由①,②两式联立解得x A =p4.再将其代入①式并由p >0解得 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,2;1,4AA x p x p 或 因为ΔAMN 是锐角三角形,所以2p> x A ,故舍去⎩⎨⎧==22A x p 所以p =4,x A =1.由点B 在曲线段C 上,得x B =|BN |-2p=4. 综上得曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4,y >0).解法二:如图建立坐标系,分别以l 1、l 2为x 、y 轴,M 为坐标原点. 作AE ⊥ l 1,AD ⊥ l 2,BF ⊥ l 2,垂足分别为E 、D 、F . 设A (x A ,y A )、B (x B ,y B )、N (x N ,0). 依题意有x A =|ME |=|DA |=|AN |=3, y A =|DM |=2222=-DA AM ,由于ΔAMN 为锐角三角形,故有 x N =|ME |+|EN | =|ME |+22AE AN -=4x B =|BF |=|BN |=6.设点P (x ,y )是曲线段C 上任一点,则由题意知P 属于集合{(x ,y )|(x -x N )2+y 2=x 2,x A ≤x ≤x B ,y >0}.故曲线段C 的方程为y 2=8(x -2)(3≤x ≤6,y >0).22.本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识.解法一:设y 为流出的水中杂质的质量分数,则y =abk,其中k >0为比例系数.依题意,即所求的a ,b 值使y 值最小.根据题设,有4b +2ab +2a =60(a >0,b >0),得 b =a a+-230(0<a <30). ① 于是 y =abk=aa a k+-230226432+-+-=a a k⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k≥()2642234+⋅+-a a k18k =, 当a +2=264+a 时取等号,y 达到最小值. 这时a =6,a =-10(舍去). 将a =6代入①式得b =3.故当a 为6米,b 为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二:依题意,即所求的a ,b 的值使ab 最大. 由题设知 4b +2ab +2a =60(a >0,b >0), 即 a +2b +ab =30(a >0,b >0). 因为 a +2b ≥2ab 2, 所以 ab 22+ab ≤30, 当且仅当a =2b 时,上式取等号. 由a >0,b >0,解得0<ab ≤18.即当a =2b 时,ab 取得最大值,其最大值为18. 所以2b 2=18.解得b =3,a =6.故当a 为6米,b 为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.23.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,棱柱的性质,空间的角和距离的概念,逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.Ⅰ.解:作A 1D ⊥AC ,垂足为D ,由面A 1ACC 1⊥面ABC ,得A 1D ⊥面ABC , 所以∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角. 因为AA 1⊥A 1C ,AA 1=A 1C , 所以∠A 1AD =45º为所求.Ⅱ.解:作DE ⊥AB ,垂足为E ,连A 1E ,则由A 1D ⊥面ABC ,得A 1E ⊥AB . 所以∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角. 由已知,AB ⊥BC ,得ED ∥BC . 又D 是AC 的中点,BC =2,AC =23, 所以DE =1,AD =A 1D =3, tg ∠A 1ED =DEDA 1=3. 故∠A 1ED =60º为所求.Ⅲ.解法一:由点C 作平面A 1ABB 1的垂线,垂足为H ,则CH 的长是C 到平面A 1ABB 1的距离.连结HB ,由于AB ⊥BC ,得AB ⊥HB . 又A 1E ⊥AB ,知HB ∥A 1E ,且BC ∥ED , 所以∠HBC =∠A 1ED =60º 所以CH =BC sin60º=3为所求. 解法二:连结A 1B .根据定义,点C 到面A 1ABB 1的距离,即为三棱锥C -A 1AB 的高h . 由ABC A AB A C V V --=11锥锥得D A S h S ABC B AA 131311∆∆=, 即 322312231⨯⨯=⨯h 所以3=h 为所求.24.本小题主要考查函数图像、方程与曲线,曲线的平移、对称和相交等基础知识,考查运动、变换等数学思想方法以及综合运用数学知识解决问题的能力.Ⅰ.解:曲线C 1的方程为y =(x -t )3-(x -t )+s .Ⅱ.证明:在曲线C 上任取一点B 1(x 1,y 1).设B 2(x 2,y 2)是B 1关于点A 的对称点,则有2221t x x =+, 2221s y y =+. 所以 x 1=t -x 2, y 1=s -y 2.代入曲线C 的方程,得x 2和y 2满足方程:s -y 2=(t -x 2)3-(t -x 2),即 y 2=(x 2-t )3-(x 2-t )+ s ,可知点B 2(x 2,y 2)在曲线C 1上.反过来,同样可以证明,在曲线C 1上的点关于点A 的对称点在曲线C 上.因此,曲线C 与C 1关于点A 对称.Ⅲ.证明:因为曲线C 与C 1有且仅有一个公共点,所以,方程组⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=st x t x y x x y )()(33 有且仅有一组解.消去y ,整理得3tx 2-3t 2x +(t 3-t -s )=0,这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根.所以t ≠0并且其根的判别式Δ=9t 4-12t (t 3-t -s )=0.即 ⎩⎨⎧=--≠.0)44(,03s t t t t所以 t t s -=43且 t ≠0. 25.本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法,考查对数函数性质,考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力.解:Ⅰ.设数列{b n }的公差为d ,由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.1452)110(1010,111d b b 解得⎩⎨⎧==.3,11d b 所以 b n =3n -2.Ⅱ.由b n =3n -2,知S n =log a (1+1)+ log a (1+41)+…+ log a (1+231-n ) = log a [(1+1)(1+41)……(1+231-n )], 31log a b n +1= log a 313+n . 因此要比较S n 与31log a b n +1的大小,可先比较(1+1)(1+41)……(1+231-n )与313+n 的大小.取n =1有(1+1)>3113+⋅,取n =2有(1+1)(1+41)>3123+⋅, ……由此推测(1+1)(1+41)……(1+231-n )>313+n . ① 若①式成立,则由对数函数性质可断定:当a >1时,S n >31log a b n +1. 当0<a <1时,S n <31log a b n +1. 下面用数学归纳法证明①式.(ⅰ)当n =1时已验证①式成立.(ⅱ)假设当n =k (k ≥1)时,①式成立,即(1+1)(1+41)……(1+231-k )>313+k . 那么,当n =k +1时,(1+1)(1+41)……(1+231-k )(1+()2131-+k )>313+k (1+131+k )=13133++k k (3k +2). 因为()[]333343231313+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++k k k k ()()()()22313134323+++-+=k k k k ()013492>++=k k , 所以13133++k k (3k +2)>().1134333++=+k k 因而(1+1)(1+41)……(1+231-k )(1+131+k )>().1133++k 这就是说①式当n=k +1时也成立.由(ⅰ),(ⅱ)知①式对任何正整数n 都成立. 由此证得:当a >1时,S n >31log a b n +1. 当0<a <1时,S n <31log a b n +1.。
98级高数(上)期中试题参考答案
5 . 函 数 y y ( x ) 由 方 程 2 y x ( x y ) ln( x y ) 确 定 ,
2 ln( x y )
则 dy
3 ln( x y )
dx
.
1 x y ( dx dy ) ,
解 : 2 dy dx ( dx dy ) ln( x y ) ( x y )
1
x 0
lim (
x 0
e
2 ax
1
) 2 2 a f (0) a ,
x
得 a 2 。
3. 若 y f ( e
dy dx
e
x
x
) x
x
sin x
,其中 f
可导,
sin x x )
则
f (e
) x
sin x
(cos x ln x
.
解 : y f (e
3
2
2
1 确 定 ,
试求它的驻点,并判定它是否为极值点,如果是极 值点,是极大点还是极小点?(8 分)
解 : 6 y y 4 y y 2 ( y x y ) 2 x 0 , 即 3 y y 2 yy y xy x 0 ,
2
2
①
3 2
令 y 0 , 得 y x , 代 入 原 方 程 , 得 2 x x 1 0 ,
这时方程 e 2xa 0 才能有实根。
x
四 、 应 用 题 ( 2 × 10=20 分 )
17. 设 某 银 行 中 的 总 存 款 量 与 银 行 付 给 存 户 年 利 率 的 平 方 成 正 比 。 若 银 行 以 20 0 0 的 年 利 率 把 总 存 款 的90 0 0 贷 出 , 问 银行给存户的年利率定为多少,它才能获得最大利润?
1998年全国高考理科数学试题及其解析
1998年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)一.选择题:本大题共15小题;第1—10题每小题4分,第11— 15题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(1) sin600º( )(A)21 (B) -21(C) 23 (D) -23(2) 函数y =a |x |(a >1)的图像是( )(3) 曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为( )(A) x 2+(y +2)2=4 (B) x 2+(y -2)2=4 (C) (x -2)2+y 2=4 (D) (x +2)2+y 2=4 (4) 两条直线A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0垂直的充要条件是( )(A) A 1A 2+B 1B 2=0 (B) A 1A 2-B 1B 2=0 (C)12121-=B B A A (D) 12121=A A BB (5) 函数f (x )=x1( x ≠0)的反函数f -1(x )= ( ) (A) x (x ≠0) (B) x 1(x ≠0) (C) -x (x ≠0) (D) -x1(x ≠0)(6) 已知点P (sin α-cos α,tg α)在第一象限,则在)20[π,内α的取值是 ( )(A) (432ππ,)∪(45ππ,) (B) (24ππ,)∪(45ππ,) (C) (432ππ,)∪(2345ππ,) (D) (24ππ,)∪(ππ,43) (7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数-i 的一个立方根是i ,它的另外两个立方根是( )(A)2123± i (B) -2123± i (C) ±2123+ i (D) ±2123-i (9) 如果棱台的两底面积分别是S ,S ′,中截面的面积是S 0,那么( )(A) 2S S S '+=0 (B) S 0=S S '(C) 2 S 0=S +S ′ (D) S S S '=22(10) 向高为H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如下图所示,那么水瓶的形状是( )(11) 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士.不同的分配方法共有( )(A) 90种 (B) 180种 (C) 270种 (D) 540种(12) 椭圆31222y x +=1的焦点为F 1和F 2,点P 在椭圆上,如果线段PF 1的中点在y 轴上,那么|P F 1|是|P F 2|的( )(A) 7倍 (B) 5倍 (C) 4倍 (D) 3倍 (13) 球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61,经过这3个点的小圆的周长为4π,那么这个球的半径为( )(A) 43 (B)23 (C) 2 (D) 3(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列,其最小内角为( )(A) arccos215- (B) arcsin215- (C) arccos251- (D) arcsin 251-(15) 在等比数列{a n }中,a 1>1,且前n 项和S n 满足∞→n lim S n =11a ,那么a 1的取值范围是( ) (A)(1,+∞) (B)(1,4) (C) (1,2) (D)(1,2)第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.16.设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是_________17.(x +2)10(x 2-1)的展开式中x 10的系数为____________(用数字作答)18.如图,在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1-ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足条件____________时,有A 1 C ⊥B 1 D 1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)19.关于函数f (x )=4sin(2x +3π)(x ∈R ),有下列命题: ①由f (x 1)= f (x 2)=0可得x 1-x 2必是π的整数倍; ②y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x -6π); ③y =f (x )的图像关于点(-6π,0)对称; ④y =f (x )的图像关于直线x =-6π对称.其中正确的命题的序号是_______ (注:把你认为正确的命题的序号都.填上.) 三、解答题:本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (20)(本小题满分10分)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,设a +c =2b ,A -C=3π.求sin B 的值. 以下公式供解题时参考: sin θ+sin ϕ =2sin2ϕθ+cos2ϕθ-, sin θ-sin ϕ=2cos2ϕθ+sin2ϕθ-,cos θ+cos ϕ=2cos 2ϕθ+cos 2ϕθ-, cos θ-cos ϕ=-2sin 2ϕθ+sin 2ϕθ-.(21)(本小题满分11分)如图,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1.以A,B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=17,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.(22)(本小题满分12分)如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a米,高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a,b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计).(23)(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC -A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直,∠ABC =90º,BC =2,AC=23,且AA 1 ⊥A 1C ,AA 1= A 1 C .Ⅰ.求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小;Ⅱ.求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小; Ⅲ.求顶点C 到侧面A 1 ABB 1的距离.(24)(本小题满分12分)设曲线C 的方程是y =x 3-x ,将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动t 、s 单位长度后得曲线C 1.Ⅰ.写出曲线C 1的方程; Ⅱ.证明曲线C 与C 1关于点A (3t ,2s)对称; Ⅲ.如果曲线C 与C 1有且仅有一个公共点,证明s =43t -t 且t ≠0.(25)(本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列,b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145. Ⅰ.求数列{b n }的通项b n ; Ⅱ.设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a >0,且a ≠1),记S n 是数列{a n }的前n 项和.试比较S n 与31log a b n +1的大小,并证明你的结论.1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考答案一、选择题(本题考查基本知识和基本运算.)1.D 2.B 3.B 4.A 5.B 6.B 7.C 8.D 9.A 10.B 11.D 12.A 13.B 14.B 15.D 二、填空题(本题考查基本知识和基本运算.)16.31617.179 18.AC ⊥BD ,或任何能推导出这个条件的其他条件.例如ABCD 是正方形,菱形等 19.②,③ 三、解答题20.本小题考查正弦定理,同角三角函数基本公式,诱导公式等基础知识,考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.解:由正弦定理和已知条件a +c =2b 得 sin A +sin C =2sin B .由和差化积公式得2sin 2C A +cos 2CA -=2sinB . 由A +B +C =π 得 sin 2C A +=cos 2B,又A -C =3π 得 23cos 2B=sin B ,所以23cos 2B =2sin 2B cos 2B. 因为0<2B <2π,cos 2B≠0, 所以sin2B =43, 从而cos2B =4132sin 12=-B所以sinB=83941323=⨯.21.本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系,求曲线方程的解析几何的基本思想.考查抛物线的概念和性质,曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力.解法一:如图建立坐标系,以l 1为x 轴,MN 的垂直平分线为y 轴,点O 为坐标原点.依题意知:曲线段C 是以点N 为焦点,以l 2为准线的抛物线的一段,其中A ,B 分别为C 的端点.设曲线段C 的方程为y 2=2px (p >0),(x A ≤x ≤x B ,y >0),其中x A ,x B 分别为A ,B 的横坐标,p =|MN |. 所以 M (2p -,0),N (2p,0). 由|AM |= 17 ,|AN |=3 得(x A +2p )2+2px A =17, ① (x A -2p)2+2px A =9. ②由①,②两式联立解得x A =p4.再将其代入①式并由p >0解得 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,2;1,4AA x p x p 或 因为ΔAMN 是锐角三角形,所以2p> x A ,故舍去⎩⎨⎧==22Ax p所以p =4,x A =1.由点B 在曲线段C 上,得x B =|BN |-2p=4. 综上得曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4,y >0).解法二:如图建立坐标系,分别以l 1、l 2为x 、y 轴,M 为坐标原点. 作AE ⊥ l 1,AD ⊥ l 2,BF ⊥ l 2,垂足分别为E 、D 、F . 设A (x A ,y A )、B (x B ,y B )、N (x N ,0).依题意有x A =|ME |=|DA |=|AN |=3, y A =|DM |=2222=-DAAM,由于ΔAMN 为锐角三角形,故有 x N =|ME |+|EN | =|ME |+22AE AN -=4x B =|BF |=|BN |=6.设点P (x ,y )是曲线段C 上任一点,则由题意知P 属于集合{(x ,y )|(x -x N )2+y 2=x 2,x A ≤x ≤x B ,y >0}.故曲线段C 的方程为y 2=8(x -2)(3≤x ≤6,y >0).22.本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识.解法一:设y 为流出的水中杂质的质量分数,则y =abk,其中k >0为比例系数.依题意,即所求的a ,b 值使y 值最小.根据题设,有4b +2ab +2a =60(a >0,b >0), 得 b =aa+-230(0<a <30). ① 于是 y =ab k=aaa k +-230226432+-+-=a a k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k≥()2642234+⋅+-a a k18k =, 当a +2=264+a 时取等号,y 达到最小值. 这时a =6,a =-10(舍去). 将a =6代入①式得b =3.故当a 为6米,b 为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二:依题意,即所求的a ,b 的值使ab 最大. 由题设知 4b +2ab +2a =60(a >0,b >0),即 a +2b +ab =30(a >0,b >0). 因为 a +2b ≥2ab 2, 所以 ab 22+ab ≤30, 当且仅当a =2b 时,上式取等号. 由a >0,b >0,解得0<ab ≤18.即当a =2b 时,ab 取得最大值,其最大值为18. 所以2b 2=18.解得b =3,a =6.故当a 为6米,b 为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.23.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,棱柱的性质,空间的角和距离的概念,逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.Ⅰ.解:作A 1D ⊥AC ,垂足为D ,由面A 1ACC 1⊥面ABC ,得A 1D ⊥面ABC , 所以∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角. 因为AA 1⊥A 1C ,AA 1=A 1C , 所以∠A 1AD =45º为所求.Ⅱ.解:作DE ⊥AB ,垂足为E ,连A 1E ,则由A 1D ⊥面ABC ,得A 1E ⊥AB . 所以∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角. 由已知,AB ⊥BC ,得ED ∥BC . 又D 是AC 的中点,BC =2,AC =23, 所以DE =1,AD =A 1D =3, tg ∠A 1ED =DEDA 1=3. 故∠A 1ED =60º为所求.Ⅲ.解法一:由点C 作平面A 1ABB 1的垂线,垂足为H ,则CH 的长是C 到平面A 1ABB 1的距离.连结HB ,由于AB ⊥BC ,得AB ⊥HB . 又A 1E ⊥AB ,知HB ∥A 1E ,且BC ∥ED , 所以∠HBC =∠A 1ED =60º 所以CH =BC sin60º=3为所求. 解法二:连结A 1B .根据定义,点C 到面A 1ABB 1的距离,即为三棱锥C -A 1AB 的高h . 由ABC A AB A C V V --=11锥锥得D A S h S ABC B AA 131311∆∆=, 即 322312231⨯⨯=⨯h 所以3=h 为所求.24.本小题主要考查函数图像、方程与曲线,曲线的平移、对称和相交等基础知识,考查运动、变换等数学思想方法以及综合运用数学知识解决问题的能力.Ⅰ.解:曲线C 1的方程为y =(x -t )3-(x -t )+s .Ⅱ.证明:在曲线C 上任取一点B 1(x 1,y 1).设B 2(x 2,y 2)是B 1关于点A 的对称点,则有2221t x x =+, 2221sy y =+. 所以 x 1=t -x 2, y 1=s -y 2.代入曲线C 的方程,得x 2和y 2满足方程:s -y 2=(t -x 2)3-(t -x 2),即 y 2=(x 2-t )3-(x 2-t )+ s , 可知点B 2(x 2,y 2)在曲线C 1上.反过来,同样可以证明,在曲线C 1上的点关于点A 的对称点在曲线C 上. 因此,曲线C 与C 1关于点A 对称.Ⅲ.证明:因为曲线C 与C 1有且仅有一个公共点,所以,方程组⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=st x t x y xx y )()(33有且仅有一组解.消去y ,整理得3tx 2-3t 2x +(t 3-t -s )=0, 这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根. 所以t ≠0并且其根的判别式Δ=9t 4-12t (t 3-t -s )=0.即 ⎩⎨⎧=--≠.0)44(,03s t t t t所以 t t s -=43且 t ≠0. 25.本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法,考查对数函数性质,考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力.解:Ⅰ.设数列{b n }的公差为d ,由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.1452)110(1010,111d b b 解得⎩⎨⎧==.3,11d b 所以 b n =3n -2.Ⅱ.由b n =3n -2,知S n =log a (1+1)+ log a (1+41)+…+ log a (1+231-n ) = log a [(1+1)(1+41)……(1+231-n )], 31log a b n +1= log a 313+n . 因此要比较S n 与31log a b n +1的大小,可先比较(1+1)(1+41)……(1+231-n )与313+n 的大小.取n =1有(1+1)>3113+⋅,取n =2有(1+1)(1+41)>3123+⋅, ……由此推测(1+1)(1+41)……(1+231-n )>313+n . ① 若①式成立,则由对数函数性质可断定:当a >1时,S n >31log a b n +1. 当0<a <1时,S n <31log a b n +1. 下面用数学归纳法证明①式.(ⅰ)当n =1时已验证①式成立.(ⅱ)假设当n =k (k ≥1)时,①式成立,即(1+1)(1+41)……(1+231-k )>313+k . 那么,当n =k +1时,(1+1)(1+41)……(1+231-k )(1+()2131-+k )>313+k (1+131+k ) =13133++k k (3k +2). 因为()[]333343231313+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++k k k k ()()()()22313134323+++-+=k k k k ()013492>++=k k , 所以13133++k k (3k +2)>().1134333++=+k k 因而(1+1)(1+41)……(1+231-k )(1+131+k )>().1133++k 这就是说①式当n=k +1时也成立.由(ⅰ),(ⅱ)知①式对任何正整数n 都成立.由此证得:当a >1时,S n >31log a b n +1. 当0<a <1时,S n <31log a b n +1.。
98年高考数学试卷
98年高考数学试卷
98年高考数学试卷指的是中国教育部于1998年为评估和选拔当年高中毕业生而制定的数学学科考试试卷。
该试卷主要测试学生在数学基础知识、数学思维方法、实际应用等方面的能力和水平。
以下是 98年高考数学试卷题目:
1、已知函数 f(x) = x^2 + ax + 3 在区间 [-1, 2] 上的最小值为 -1,则 a 的值为:
A. -2
B. -4
C. 2
D. 4
2、下列数列中,是等差数列的是:
A. 1, 2, 3, 4, 5
B. 1, 3, 5, 7, 9
C. -1, -3, -5, -7, -9
D. 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10
3、下列二次函数中,其图像与 x 轴有交点的是:
A. y = x^2 - 3x + 2
B. y = x^2 + 2x + 3
C. y = x^2 - x - 2
D. y = x^2 + x - 2
4、下列四个命题中,真命题是:
A. 若 a > b,则 a^2 > b^2
B. 若 a > b,则 a^3 > b^3
C. 若 a > b,则 a^4 > b^4
D. 若 a > b,则 a^5 > b^5
5、若方程 x^2 - mx + m = 0 有两个不等的实根,则实数 m 的取值范围是:
A. m < -2
B. m < -1
C. m > -2
D. m > -1。
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98级高等数学(上)期中试题一、填空题(3×8=24分)1.=--++→2211limx x x x 41-.解:∵)(81211122x o x x x +-+=+ ,)(81211122x o x x x +--=-,∴41)(41lim 211lim222020-=+-=--++→→x x o x x x x x x 。
2.若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0.x , a ,0,12sin )(2x xe x xf ax 在) ,(∞+-∞内连续,则=a -2 。
解:x ex x f axx x 12sin lim)(lim 200-+=→→a f a x e x x axx ==-=-+=→)0(22)12sin (lim 20,∴2-=a 。
3.若xx x e f y s i n )(+=-,其中f 可导,则=dx dy )sin ln (cos )(sin xx x x xe f e x x x ++'-=--. 解:x x x e e f y ln sin )(+=- )sin ln (cos )(ln sin x x x x e e f e dx dy x x x x ++'-=--)sin ln (cos )(sin xxx x x e f e x x x ++'-=--.4.若1)2(-='f ,则=---→x x f x f x )2()22(lim1 .解:x x f x f x )2()22(lim0---→x f x f x f x f x x ---+----=→→)2()2(lim 2)2()22(lim 201)2()2()2(2='-='+'-=f f f 。
5.函数)(x y y =由方程)ln()(2y x y x x y --=-确定,则=dy dx y x y x )ln(3)ln(2-+-+。
解:)(1)()ln()(2dy dx yx y x y x dy dx dx dy ---+--=-, dx y x dy y x )]ln(2[)]ln(3[-+=-+,dx y x y x dy )ln(3)ln(2-+-+=。
6.函数xxx f +-=11)(的带拉格朗日余项的三阶麦克劳林公式为 )0( 45)1(2322221)(之间与在x x x x x x f ξξ++-+-=。
解:11211)(-+=+-=xx x x f , 2)1(2)(x x f +-=',3)1(4)(x x f +='',4)1(12)(x x f +-=''',5)4()1(48)(x x f +=∴4)4(32!4)(!3)0(!2)0()0()0()(x f x f x f x f f x f ξ+'''+''+'+=4532)1(22221x x x x ξ++-+-=(ξ在0与x 之间)。
7.若)4cos()()(42x x x x f nπ+=,则=)0()(n f !n 。
解:)4cos()1()(4x x x x f nnπ+=,!)0()(n f n =。
8.曲线x xe y -=的单增区间为)1,(-∞,下凸区间为) ,2(∞+。
解:x xe y -=的定义域为) ,(∞+-∞,)1(x e y x -='-,)2(-=''-x e y x , 令0='y ,得1=x ;令0=''y ,得2=x 。
二、选择题(4×4=16分)9.当+→1x 时,2arccos3x-π与b x a )1(-为等价无穷小,则必有( A ) (A )3=a ,1=b ; (B )3=a ,1-=b ; (C )32=a ,1=b ; (D )32=a ,1-=b 。
解:141)1(23lim )1(2arccos3lim2111=-⋅-=--π-+→+→x x ab x a xb x b x ⇒3=a ,1=b 。
10.函数32)1()(2--+=x x x x f 的不可导点的个数是( C ) (A )3; (B )2; (C )1; (D )0。
解:)3)(1()1()(-++=x x x x f 的可能不可导点为1-=x ,3=x 。
∵01)3)(1)(1(lim )1()1()(lim )1(11=+--+=----=-'--→--→-x x x x x f x f f x x ,01)3)(1)(1(lim )1()1()(lim )1(11=+-++=----=-'--→+-→+x x x x x f x f f x x ,∴0)1(=-'f 。
∵3)3)(1)(1(lim3)3()(lim )3(33--++=--='--→→-x x x x x f x f f x x 10])1([lim 23-=+-=-→x x , 3)3)(1)(1(lim3)3()(lim )3(33--++=--='--→→+x x x x x f x f f x x 10)1(lim 23=+=-→x x , ∴)3(f '不存在。
11.曲线xx y -=12( C )(A )没有渐近线; (B )有一条渐近线; (C )有二条渐近线; (D )有三条渐近线。
解:∵∞=-∞→xx x 1lim 2,∴曲线无水平渐近线;∵∞=-→xx x 1lim 21, ∴直线1=x 是曲线的垂直渐近线;∵11lim )(lim 211-=-==→→x x xx x f a x x ,11lim )1(lim ])([lim 1211-=-=+-=-=→→→xx x x x ax x f b x x x , ∴直线1--=x y 是曲线的斜渐近线。
12.已知)(x f 在0=x 的某邻域内连续,且2)(lim2=→xx f x ,则在0=x 处( D )(A )不可导; (B )可导且0)0(≠'f ; (C )取得极大值; (D )取得极小值。
解:∵)(x f 在0=x 连续,∴0)0()(lim 0==→f x f x ,∵2)0()(lim)(lim220=-=→→xf x f x x f x x ,∴0)0()(2>-xf x f ,∴当0≠x 时,)0()(f x f >。
故应选(D )。
三、解答题 (30分)13.设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22211tt y t t x ,求022=t dx y d (6分) 解:212t tdx dy -=,323222)1()1(2t t dx y d -+=,2022==t dx y d 。
14.求极限:)sin(12)2(cos lim x x x →(6分)解:)sin(12cos 12cos 1)sin(10])12cos 1[(lim )2(cos lim x x x x x x x x --→→-+= 2)2(21lim )sin(12cos lim 22020-⋅--===→→e e e x x x x x x 。
15.设函数)(x y y =由方程1222223=-+-x xy y y 确定, 试求它的驻点,并判定 它是否为极值点,如果是极值点,是极大点还是极小点?(8分) 解:02)(2462=-'++'-'x y x y y y y y , 即0232=-'++'-'x y x y y y y y , ①令0='y ,得x y =,代入原方程,得01223=--x x , 0)12)(1(2=++-x x x ,得唯一驻点1=x ,此时1=y , 再对①式两边求导,得01])[(23)(6222=-''+'+'+''+'-''+'y x y y y y y y y y y , 012))(26()23(22=-'+'-+''+-y y y y x y y , ②把1=x ,1=y ,011='==y x y 代入②式,得02111>=''==y x y ,∴1=x 是极小值点。
16.试确定a 的范围,使方程02=--a x e x 有实根。
(10分)解题思路:设x e x f x 2)(-=,),(+∞-∞∈x 。
当且仅 a 属于函数x e x f x 2)(-=的值 域时,方程02=--a x e x 有实根。
首先确定x e x f x 2)(-=在) ,(∞+-∞∈x 内的值 域。
为此需要求)(x f 的极值。
2)(-='x e x f ,令0)(='x f ,得唯一驻点2ln =x ,∵0)(>=''x e x f ,∴2ln 22)2(ln -=f 是极小值,也是最小值, 又∵+∞=-=-∞→-∞→)2(lim )(lim x e x f x x x ,+∞=-=+∞→+∞→)2(lim )(lim x e x f x x x ,∴)(x f 的值域是) ,2ln 22[∞+-,∴当2ln 22-≥a 时,直线a y =才能与曲线)(x f y =相交, 这时方程02=--a x e x 才能有实根。
四、应用题(2×10=20分)17.设某银行中的总存款量与银行付给存户年利率的平方成正比。
若银行以 0020的年利率把总存款的0090贷出,问银行给存户的年利率定为多少,它才 能获得最大利润?解:设银行付给存户的年利率为 x ,总存款量为)x (Q ,总利润为)x (T ,则2kx )x (Q =(k 为常数),)x (Q )x (Q 2090)x (T 0000-⨯=,即 32kx kx 18.0)x (T -=,)x 12.0( kx 3kx 3kx 36.0)x (T 2-=-=',kx 6k 36.0)x (T -='', 令0)x (T =',得12.0x =,0x =(应舍去)。
∵0k 36.0)12.0(T <-='',∴12.0x =是极大值点,也是最大值点。
∴当银行给存户的年利率定为0012时,才能获得最大利润。
18.一盏m 5高的路灯照在一个距灯m 3远,从m 5高处自由下落的球上,球的影子 沿水平地面移动,求当球离地面m 3高时影子移动的速度(空气阻力忽略不计)。
解:以灯柱与地面的交点为原点,灯柱所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系。