高等数学第10章多元函数微分学典型例题解析
多元函数积分学辅导讲义与典型例题答案解析
一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1．了解二重积分的概念, 知道二重积分的性质.2．掌握二重积分在直角坐标系下和极坐标系下的计算方法. 3．会用二重积分解决简单的实际应用题(体积、质量). 4．了解曲线积分的概念和性质. 5．会计算简单的曲线积分.重点 二重积分的概念，直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算，曲线积分的概念，格林公式，曲线积分的计算，用二重积分解决简单的实际应用题.难点 直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算，格林公式，曲线积分的计算，用二重积分解决简单的实际应用题.（二）内容提要 1．二重积分设二元函数),(y x f z =是定义在有界闭区域D 上的连续函数，用微元法先找出体积微元，再累加求出总体，由这两步所得的表达式，即⎰⎰Dy x f σd ),(称为函数),(y x f z =在闭区域D 上的二重积分，其中),(y x f 称为被积函数，σd ),(y x f 称为被积表达式，D 称为积分区域，σd 称为面积元素，y x 与称为积分变量.2．二重积分的几何意义 在区域D 上当0),(≥y x f 时，⎰⎰Dy x f σd ),(表示曲面),(y x f z =在区域D 上所对应的曲顶柱体的体积.当),(y x f 在区域D 上有正有负时，⎰⎰Dy x f σd ),(表示曲面),(y x f z =在区域D 上所对应的曲顶柱体的体积的代数和.3． 二重积分的性质 (1)可加性[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±DDDy x g y x f y x g y x f σσσd ),(d ),(d ),(),(.(2)齐次性⎰⎰⎰⎰=DDk y x f k y x kf )( d ),(d ),(为常数σσ.(3)对积分区域的可加性 设积分区域D 可分割成为1D 、2D 两部分，则有⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=12d ),(d ),(d ),(D D Dy x f y x f y x f σσσ.(4)(积分的比较性质) 若),(),(y x g y x f ≥，其中D y x ∈),(，则σσd ),(d ),(⎰⎰⎰⎰≥DDy x g y x f .(5)（积分的估值性质） 设M y x f m ≤≤),(，其中D y x ∈),(，而M m ,为常数，则⎰⎰≤≤DM y x f m σσσd ),( ,其中σ表示区域D 的面积.(6)（积分中值定理）若),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则在D 上至少存在一点D ∈),(ηξ，使得σηξσ),(d ),(f y x f D=⎰⎰.4. 二重积分的计算⑴ 二重积分在直角坐标系下的计算 直角坐标系下的面积元素y x •d d d =σ , ①若D :)()(21x y x ϕϕ≤≤,b x a ≤≤,则⎰⎰D y x y x f d d ),(=x y y x f x x b ad d ),()()(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰ϕϕ， ②若D : )()(21y x y ψψ≤≤,d y c ≤≤,则⎰⎰Dy x y x f d d ),(=y x y x f y x d cd d ),()()(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰ψψ. ⑵二重积分在极坐标系下的计算极坐标系下的面积元素θσd d d r r =，极坐标与直角坐标的关系⎩⎨⎧θ=θ=.sin ,cos r y r x若D : )()(21θθr r r ≤≤,βθα≤≤,则⎰⎰Dy x y x f d d ),(=⎰⎰Dr r r r f θθθd d )sin ,cos (=θθθθθβαd d )sin ,cos ()()(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰r r r r r r f . 5. 对坐标的曲线积分设L 是有向光滑曲线,j ),(i ),(),F(y x Q y x P y x +=是定义在L 上的向量函数,且),( , ),(y x Q y x P 在L 上连续,利用微元法,先写出弧微元j i l y x d d d +=,作乘积=w d L F d ⋅=y )y ,x (Q x )x ,x (P d d +,再无限累加,由这两步所得的表达式,即⎰+y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d 称为函数)y ,x (F 在有向曲线L 上对坐标的曲线积分,其中有向曲线L 称为积分路径.如果),( , ),(y x Q y x P 中有一个为零，则这时曲线积分的形式为⎰⎰y )y ,x (Q x )y ,x (P L Ld d 或,如果曲线L 是封闭曲线，L 上积分记为⎰+y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d .6.对坐标的曲线积分的性质① 设L 为有向曲线弧，-L 是与L 方向相反的有向曲线弧，则y )y ,x (Q x )y ,x (P y )y ,x (Q x )y ,x (P L L d d d d +-=+⎰⎰-.② 如果21L L L +=，则有.y )y ,x (Q x )y ,x (P y )y ,x (Q x )y ,x (P y )y ,x (Q x )y ,x (P L L Ld d d d d d 21+++=+⎰⎰⎰7.格林公式 设D 是平面上以分段光滑曲线L 为边界的有界闭区域,函数),(y x P 及),(y x Q 在D 上有一阶连续偏导数,则有格林公式⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+σd d d D L y P x Q y Q x P ,其中L 是区域D 的正向边界.8.曲线积分与路径无关(1)定义 设D 是一个单连通区域,将),(y x P 简称为),(,y x Q P 简称为Q ,如果对D 内任意指定的两点A ,B 以及D 内从A 点到B 点的任意两条不相同的曲线21 , L L ,若有y Q x P y Q x P L L d d d d 21+=+⎰⎰,则称曲线积分⎰+y Q x P L d d 在D 内与路径无关.这时,可将曲线积分记为⎰+BAy Q x P d d .(2)曲线积分与路径无关的定理 ①在单连通区域D 内，曲线积分⎰+y Q x P Ld d 与路径无关的充分必要条件是：对D 内任意一条闭曲线L ，均有⎰=+0d d y Q x P L.②设函数),(y x P 和),(y x Q 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则曲线积分⎰+Lx Q x P d d 与路径无关的充分必要条件是:yPx Q ∂∂=∂∂在区域D 内恒成立. 9. 曲线积分的计算方法 ⑴积分路径由参数方程给出设xOy 面上的有向曲线L 的参数方程为⎩⎨⎧==,)t (y ,)t (x ψϕ且满足:① 当参数t 单调地由α变到β时,曲线上的点由起点A 运动到终点B ; ② )(t ϕ,)(t ψ在以α和β为端点的闭区间I 上具有一阶连续导数,且()()0)()(22≠'+'t t ψϕ;③),(y x P ,),(y x Q 在有向曲线弧L 上连续.则曲线积分⎰+y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d 存在,且y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d +⎰={}t )t ()]t (),t ([Q )t ()]t (),t ([P d ψψϕϕψϕβα'+'⎰.⑵ 积分路径由)(x f y =给出设xOy 面上的有向曲线弧L 的方程为 )(x f y =，这时可先将有向曲线弧L 的方程看作是以x 为参数的参数方程⎩⎨⎧==,)x (f y ,xx 然后再按（1）中的方法计算.要特别注意:在将对坐标的曲线积分转换为定积分时,积分下限一定要对应积分路径的 起点， 积分上限一定要对应积分路径的终点.二 、主要解题方法1．在直角坐标系下二重积分的计算例1 计算 ⎰⎰Dy x y x d d 2其中D 由直线2=y ，x y =和曲线1=xy 所围成.解 画出区域D 的图形如图所示，求出边界曲线的交点坐标A （21，2）, B （1，1）, C （2，2），选择先对x 积分，这时D 的表达式为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,y x y,y 121 于是⎰⎰Dy x y xd d 2=x y x y y y d d 1221⎰⎰=y x y yy d ]3[11321⎰ =⎰-2142d )1(31y yy =3312111()333y y -+=7249 .分析 本题也可先对y 积分后对x 积分，但是这时就必须用直线1=x 将D 分1D 和2D 两部分.其中1D ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,21,121y xx 2D ⎩⎨⎧≤≤≤≤,2,21y x x由此得⎰⎰D y x y x d d 2=⎰⎰1d d 2D y x y x +⎰⎰2d d 2D y x y x=y y x x xd d 212121⎰⎰+y y x x x d d 2221⎰⎰=⎰121212d ][ln x y x x+⎰2122d ][ln x y x x =⎰+1212d ]ln 2[ln x x x +⎰-212d ]ln 2[ln x x x=7249. 显然，先对y 积分后对x 积分要麻烦得多，所以恰当地选择积分次序是化二重积分为二次积分的关键步骤.例2 计算σ++⎰⎰d )1(Dy x ，其中D ：1≤+y x .解 画出积分区域D 的图形， 观察被积函数，无论先对x 积分后对y 积分还是先对y 积分后对x 积分都需要将积分区域分成两部分，计算都较繁，这里选择先对y 积分后对x 积分，其中110,11,x D x y x -≤≤⎧⎨--≤≤+⎩201,11,x D x y x ≤≤⎧⎨-≤≤-⎩ 因此σ++⎰⎰d )1(Dy x =σ++⎰⎰d )1(1D y x +σ++⎰⎰d )1(2D y x =σ++⎰⎰+---d )1(d 1101x xy x x +σ++⎰⎰--d )1(d 1110x x y x x=4σ+⎰d )1(21-x +4x x d )1(1⎰-=423+103=. 例3 已知 I =x y x f y yd ),(d 010⎰⎰+x y x f y y d ),(d 2021⎰⎰- 改变积分次序.解 积分区域21D D D +=，其中1D ⎩⎨⎧≤≤≤≤,0,10y x y 2D ⎩⎨⎧-≤≤≤≤,20,21y x y画出积分区域D 的图形， 改变为先对y 积分后对x 积分， 此时 D ⎩⎨⎧-≤≤≤≤,2,102x y x x 因此I =x y x f y yd ),(d 010⎰⎰+x y x f y y d ),(d 2021⎰⎰-=y y x f x x xd ),(d 221⎰⎰- .小结 把二重积分化为累次定积分的关键在于正确选择积分次序及积分的上、下限，这里要求上限大于下限.在具体计算重积分时，正确地利用对称性可以使计算简化，但是要注意：只有当积分区域和被积函数均关于所给坐标轴对称时，对称性才能应用，切不可只顾积分域而忘了被积函数.2． 在极坐标系下二重积分的计算 例4 计算⎰⎰σDx y d arctan ，其中D 由422=+y x , 122=+y x ,0=y ,x y = 所围成的第一象限内的区域.解 画出积分区域D 的图形，由于积分区域的边界曲线有圆周， 所以选极坐标系积分. 此时 θ=xyarctan，于是 ⎰⎰σDx yd arctan=⎰θ4π0d ⎰θ21d r r =⎰πθθ40d 212]2[r=234π22θ=6432π. 例 5 求半球体2220y x a z --≤≤在圆柱ax y x =+22(0>a )D 内那部分的体积.解 把所求立体投影到y x o 面，即圆柱ax y x =+22(0>a ）内部,容易看出所求立体的体积以D 为底，以上半球面222y x a z --=为顶的曲顶柱体的体积.由于积分区域的边界曲线为圆周，所以采用极坐标系较好.2xθ此时D ⎪⎩⎪⎨⎧θ≤≤≤θ≤-,cos 0,2π2πa r故 V =y x y x a Dd d 222⎰⎰--=⎰-θ2π2πd ⎰θ-cos 022d a r r r a=32⎰θθ-2π033d )cos 1(a =（3π94-）3a . 小结 在计算二重积分时，当积分区域为圆形区域、圆环区域或扇形区域时，选择用极坐标为好，其他情况用直角坐标为宜.3．对坐标的曲线积分的计算方法例 6 设 I =⎰--Ly y x x xy x d d )3(222 ，其中L 是沿上半圆周22y x +=1上的点A （1，0）到)0,1(-B 一段弧，如图.解一 首先验证曲线积分是否与路径无关.223xy x P -=，y x Q 2-=，因为yP∂∂=xy 2-=x Q ∂∂ ，所以曲线积分与路径无关，可选一条简单路径，即选择线段AB 路径. 得I =⎰--ABy y x x xy x d d )3(222 ，在线段AB 上0=y ，0d =y ，x 从1到1-，所以I =⎰-112d 3x x =113-x =2-.解二 用参数方程代入法，设t 为参数t x cos = ，t y sin =，t 从0到π 得I =⎰---π222d ]cos sin cos )sin )(sin cos cos 3[(t t t t t t t t=⎰--π2d ]4sin 41sin cos 3[t t t t =（t 3cos +161cos4t ）π=2-.显然，法一比法二简单.例7 计算⎰-+-Lx x y y x y y d )1cos e (d )sin e ( ，其中L 为),0(a A ,)0,(a B 联成直线段.解 显然积分路径不是封闭曲线，不能直接用格林公式， 加直线段BO ，OA 构成封闭曲线，所以⎰-+-Lx x y y x y y d )1cos e (d )sin e ( =⎰++---OABO L xxy y x y y d )1cos e (d )sin (e⎰-+--BOx x y y x y y d )1cos e (d )sin e (⎰-+--Axxy y x y y 0d )1cos e (d )sin e (，其中 y y P x -=sin e ，1cos e -=y Q x ，yp∂∂= 1cos e -y x ，x Q ∂∂= y x cos e .因为封闭曲线是反方向，所以由格林公式，得⎰++-+-OABO L x xy y x y y d )1cos e (d )sin e(=y x y Px Q D d d )(⎰⎰∂∂-∂∂-=y x Dd d ⎰⎰-=22a -. 又因为在BO 上0=y ，0=dy ，故⎰---BOxx y y x y y d )1cos e (d )sin e (=0. 在OA 上 0=x ，0d =x ，y 从0变到a ，于是⎰---Axx y y x y y 0d )1c o s e (d )s i n e ( =⎰-ay y 0d ]1[cos =a a -sin ，因此 ⎰---Lxxy y x y y d )1c o s e (d )s i ne (=--22a （a a -sin ）. 小结 计算对坐标的曲线积分⎰+Ly y x Q x y x P d ),(d ),(，（1） 若在单连通域内x Q ∂∂=yP∂∂时，曲线积分与路径无关。
《高等数学教程》第十章多元函数微分法习题参考答案
《高等数学教程》第十章 多元函数微分法 习题参考答案10－1 (A)1.)()(y x xy +2.x xy xy y x 2)()(++5.(1)}012),({2>+-x y y x ; (2)}0,0),({>->+y x y x y x ; (3)}4,10),({222x y y x y x ≤<+<; (4)}0,0,0),,({>>>z y x z y x ; (5)},0,0),({2y x y x y x ≥≥≥; (6)}1,0,0),({22<+≥>-y x x x y y x ; (7)},),({+∞≤≤-∞+∞≤≤∞-y x y x ; (8)}2,0),({x y x y x π≤≠;(9)}),,({22222R z y x r z y x ≤++<; (10)}0,0),,({22222≠+≥-+y x z y x z y x .6.(1)2ln ; (2)0; (3)∞+;(4)41- (5)不存在； (6)0(7)0 (8)e 9.(1)在)0,0(点不连续(2)在0≠+y x 上所有),(y x 点均连续 (3) 在)0,0(点不连续10－1 (B)1．21x +2．1,22-+=+=x y z x x f3．yy x +-1)1(210－2 (A)1.(1)52(2)1,2ln 22+ (3)3334,3,2e e e2. 13.(1)x y x yz y y x x z 23323,3-=∂∂-=∂∂ (2)221,1vu u v s u v v u s -=∂∂-=∂∂ (3))ln(21,)ln(21xy y y z xy x x z =∂∂=∂∂ (4))]2sin()[cos()],2sin()[cos(xy xy x y z xy xy y x z -=∂∂-=∂∂ (5)y x yx y z y x y x z 2csc 2,csc 222-=∂∂=∂∂ (6)]1)1[ln()1(,1)1(2xyxy xy xy y z xy y xy x z y y++++=∂∂++=∂∂ (7)x x zy z u x z y u x z y x u z yz y y zln ,1,21⋅-=∂∂=∂∂=∂∂-(8)zz x z z z y x y x y x z u y x y x z y u y x y x z x u 22121)(1)ln()(,)(1)(,)(1)(-+--=∂∂-+--=∂∂-+-=∂∂-- 6.4π 7.6π 10.(1)2222812y x x z -=∂∂,2222812x y yz -=∂∂,xy y x z 162-=∂∂∂ (2)22222)(2y x xy x z +=∂∂,22222)(2y x xy y z +-=∂∂,2222222)(y x x y x z +-=∂∂ (3)y y x z x 222ln =∂∂,222)1(--=∂∂x y x x yz ,)ln 1(12y x y y x z x +=∂∂∂- (4))sin()cos(222y x x y x xz+-+=∂∂,)sin(22y x x yz+-=∂∂, )sin()cos(2y x x y x y x z +-+=∂∂∂. 11. 2;2;0;012.023=∂∂∂y x z ,2231y y x z -=∂∂∂.10－2 (B)2.74arctan , )74arctan(-.10－3 (A)1.(1)dy y x dx y y )11()1(2-++;(2))(1dy dx xye x x y--;(3)xdz yx xdy zx dx yzx yz yz yz ln ln 1⋅+⋅+- (4)])1()1[(22)(dy x yx dx y x y eyx x y -+-+- 2.(1)dy dx 3231+ (2)dy dx 5252-3. 0.25e4. (1)2.95 (2)0.005 (3)2.039 (4)0.50235. -5厘米6. 55.3立方厘米10－3 (B)1.xdy e ydx e du yxyx ⋅+⋅=--222210－4 (A)1.)sin (cos cos sin 32θθθθρ-=∂∂pz]cos )sin 2(cos sin )cos 2[(sin 223θθθθθθρθ-+-=∂∂z2.)]23ln(2233[22y x xy x x y x z ---=∂∂]23)23[ln(22yx y y x x y y z ---=∂∂ 3.]2[244)(22yx y x x e x z xyy x -+=∂∂+ ]2[244)(22xyx y y e y z xyy x -+=∂∂+ 4.])()(cos[])(3))((21[322xyz xz yz xy z y x yz xyz z y zx yz xy xu++++++⋅+++++=∂∂ ])()(cos[])(3))((21[322xyz xz yz xy z y x xz xyz z x zx yz xy yu++++++⋅+++++=∂∂ ])()(cos[])(3)(21[3222xyz xz yz xy z y x xy xyz zx yz xy zu++++++⋅++++=∂∂ 5.)6(cos 22sin 2t t e t t -- 6.232)43(1)41(3t t t ---7.xx e x x e 221)1(++ 8.11sin 2++⋅a a x e ax9.)ln 1(1x y x xzy x y +=∂∂-+,x x y z y x y 2ln +=∂∂ 11.(1)'2'12f ye xf xzxy +=∂∂,'2'12f xe yf y z xy +-=∂∂ (2)'11f y x u =∂∂,'2'121f z f y x y u +-=∂∂,'22f zy z u -=∂∂ (3)'3'2'1yzf yf f x u ++=∂∂,'3'2xzf xf y u +=∂∂,'3xyf zu=∂∂ (4))1('yz y f x u ++⋅=∂∂,)('xz x f x u +⋅=∂∂,xy f xu⋅=∂∂' 14.(1)''2'2242f x f x z +=∂∂,''24xyf y x z =∂∂∂,''2'2242f y f yz +=∂∂(2)''222''12''112212f yf y f x z ++=∂∂ '22''22''12221)1(f y f y f y x y x z -+-=∂∂∂ ''2242'23222f yx f y x y z +=∂∂ (3)''2222''123''114'222442f y x f xy f y yf xz +++=∂∂''1223''223''113'2'1252222f y x yf x f xy xf yf yx z ++++=∂∂∂ ''224''123''1122'122442f x yf x f y x xf yz +++=∂∂ (4)''33)(2''12''112'1'322cos 2cos sin f e xf e xf f x f e xz y x y x y x ++++++⋅-=∂∂''33)(2''32''13''12'32sin cos sin cos f e yf e xf e yf x f e yx z y x y x y x y x +++++-+-=∂∂∂ ''33)(2''23''222'2'322sin 2sin cos f e yf e yf f y f e y z y x y x y x ++++-+⋅-=∂∂10－4 (B)1. )1()()()(212122121ψψϕψϕϕψψϕψϕϕ'+'+'-'=∂∂'-'+'+'=∂∂xx y z x yy x z 2. vvuv uu xv xu v u v u x yf x f xy x xf f x xf xf f y x zyf f f x f x z2222)2(22)2(+++++++=∂∂∂+++=∂∂3. z t y f z f z u x t y f x y f x f x u ∂∂∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂ψϕψϕϕ.10－5 (A)1.xy y e y x 2cos 2--;2.-1;3.xxy x y xy y ln ln 22--. 4.xy xyz xyz yz x z --=∂∂,xyxyz xyzxz y z --=∂∂2 5.z x zx z +=∂∂,)(2z x y z y z +=∂∂ 6. zy y z zxe x z x cos 3,cos 252-=∂∂-=∂∂ 7.dy dx xee x dz xy z xy z ++-+=----1)1(1 8.322224)()2(xy z y x xyz z z ---⋅ 9.32232)(22xy e e z y z xy ze y z z z --- 10. 2 11. 2 12.(1))13(2)16(++-=z y z x dx dy ,13+=z x dx dz (2)y x z y dz dx --=, yx x z dz dy --= (3)y x u y x u -+-=∂∂, y x y v y u -+-=∂∂； y x x u x v -+=∂∂, yx xv y v -+=∂∂10－5 (B)5.32)()()(v u u vv v uv u uv v uu u v u v uu u uv F F F F F F F F F F F F F F F F F -⋅-⋅+⋅+⋅---⋅-⋅ 7.'1'2'2'1'1'2'2'1)12)(1()12(g f yvg xf g f yvg uf x u------=∂∂ '1'2'2'1'1'1'1)12)(1()1(g f yvg xf uf xf g x v----+=∂∂8.1)cos (sin sin +-=∂∂v v e v x u u ,1)cos (sin cos +--=∂∂v v e v y u u ]1)cos (sin [cos +--=∂∂v v e u e v x v u u ,]1)cos (sin [sin +-+=∂∂v v e u e v y v uu 10－61.321＋2.32 3.)(2122b a ab+ 4.2948 5. 5 6.14227.1412 8.202020000zy x z y x ++++9. }6,2,3{)0,0,0(--=gradf , }0,3,6{)1,1,1=（gradf10－71.切线方程：222111)12(-=-=--z y x π 法平面方程：422+=++πz y x2.切线方程：8142121-=--=-z y x 法平面方程：011682=-+-z y x 3.切线方程：000211z z z y m y y x x --=-=- 法平面方程:0)(21)()(00000=---+-z z z y y y m x x 4.切线方程：1191161--=-=-z y x 法平面方程:024916=--+z y x5.)1,1,1(1---P 及)271,91,31(2--P7.(1)切平面方程：042=-+y x法线方程：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-02112z y x(2)切平面方程:22π=+-z y x ， 法线方程:241111π-=--=-z y x(3)切平面方程:002002002202020)()()(1z z z c y y y b x x x a c z z b y y a x x -=-=-=++， 8.2112±=+-z y x 9.)3,1,3(--,133113-=+=+z y x 11.223cos =r10－8])4(21)4(22)[2sin()4(22222)2sin(.122ππηξπ-+-++--++=+y y x x y x y x其中 ).10()4(4<<-+==θπθπηθξy x ，])1(2)1(313)1[ln(!)2(!21.23322232y y x y x x y e y xy y z ηηηξξ+++-++++-+= 其中 ).10(,<<==θθηθξy x ，1021.1.3 10)!1()(!)(.4)(10<<++++=++=+∑θθy x n nk k yx e n y x k y x e10－9(A)1.(1)驻点)0,0(;极大点)0,0((2)驻点)2,2(),0,2(),2,0(),0,0(;极大点)0,0(;极小点(2,2).(3)驻点)0,2(),0,76(-;极大点)0,716(;极小点)0,2(-.2.(1)极小值：3231313),(a a a f =； (2)极小值：0)1,1(=-f ； (3)极大值：8)2,2(=-f ；(4)极小值：2)1,21(ef -=-.3.极大值：41)21,21(=z .4.当两边都是2e 时，可取得最大周界.5.当长、宽、都是32k ，而高为3221k 时，表面积最小. 6. 购买A 原料100吨, 购买B 原料25吨,可使生产量达到最大值. 7. 368. .3,521==D D 利润 125)3,5(=L 9.X=15(千克), Y=10(千克)10. （1） 当电台广告费用万元），(75.01=x 当报纸广告费用万元），(25.12=x 时可使利润最大。
多元函数微分学的应用习题及详细解答
（x, y) 0 下的极值点，下列选项正确的是（ D ）。
A.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0 C.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0
B.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0 D.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0
x 1 y 2 z 1. 1 1 1
5.已知曲面 z x2 y2 z2 上点 P 处的切平面 x 2y 2z 0 平行，求点 P 的坐标以及曲
面在该点的切平面方程。
解：曲面在点 P 处的法向量为 n Fx, Fy, Fz 2x, 2y, 2z 1 ，依题意，n 1, 2, 2 ，
(0, 0) 处取得极小值的一个充分条件是（ A ）。
A. f (0) 1, f (0) 0 C. f (0) 1, f (0) 0
B. f (0) 1, f (0) 0 D. f (0) 1, f (0) 0
(5)设 f (x, y)与（x, y) 均为可微函数，且y (x, y) 0,已知（x0, y0)是f (x, y)在约束条件
在何处？
解：行星表面方程为 x2 y2 z2 36 .令 L 6x y2 xz 60 (x2 y2 z2 36) ，求
解方程组 6 z 2x 0 ， 2 y 2 y 0 ， x 2z 0 ，则可得驻点
x
y
z
(4, 4, 2), ( 3, 0,3), (0, 0, 6) ，结合题意易知 H 在 (4, 4, 2) 处最小，且最小值为 12.
2x a2
2y b2
y
0,
y
b2 a2
x y
所以在点
a, 2
b 2
多元函数微分学
函数可导
函数可微 偏导数连续
(五)复合函数求导法则
定理1 如果函数 uu(t) 及 v v(t) 都在 t 点可导,
函数 zf(u,v)在对应点( u , v ) 具有连续偏导数,则
复合函数 zf[u (t),v(t)]在点t 可导,且
dzzduzdv. dt udt vdt
求全导数 d z .
u
dt
zv
t
解 dzzduzdvzdw dt udt vdt wdt
w
vetu ( sin t) co sw
e tc o s t e ts i n t c o s t
测试点 复合函数求导的链式法则.
例5 设 zz(x,y) 是由方程 xyzx2y2z22
(二)方向导数和梯度的公式
设函数 f(x, y,z)在点 P(x, y,z)可微, 方向 l 的
方向余弦为 c o s,c o s,c o s,则函数 f(x, y,z)
在点 P(x, y,z) 沿方向 l 的方向导数为
ffcosfcosfcos.
l x y
z
dz z dxzdy x y
所确定的隐函数.求 zz(x,y)在点 (1,0,1)的全微分.
解 令F (x ,y ,z ) x y z x 2 y 2 z 22
Fx yz
x ,
x2 y2 z2
Fy xz
y x2 y2 z2
z Fz xy x2y2z2
二、偏导数的应用
(一)微分法在几何上的应用 1 空间曲线的切线与法平面
空间曲线 :x ( t ) ,y ( t ) , z ( t ) .
其上一点 P0(x0,y0,z0)
高等数学 第十章 多元函数微分学.
第十章多元函数微分学一、本章提要１．基本概念多元函数，二元函数的定义域与几何图形，多元函数的极限与连续性，偏导数，二阶偏导数，混合偏导数，全微分，切平面，多元函数的极值，驻点，条件极值，方向导数，梯度．２．基本方法二元函数微分法：利用定义求偏导数，利用一元函数微分法求偏导数，利用多元复合函数求导法则求偏导数．隐函数微分法：拉格朗日乘数法．３．定理混合偏导数与次序无关的条件，可微的充分条件，复合函数的偏导数，极值的必要条件，极值的充分条件．二、要点解析问题１比较一元函数微分学与二元函数微分学基本概念的异同，说明二元函数在一点处极限存在、连续、可导、可微之间的关系．解析 (1)多元函数微分学的内容是与一元函数微分学相互对应的．由于从一元到二元会产生一些新的问题，而从二元到多元往往是形式上的类推，因此我们以二元函数为代表进行讨论．如果我们把自变量看成一点P，那么对于一元函数，点P在区间上变化；对于二元函数f(x,y)，点P(x,y)将在一平面区域中变化．这样，无论对一元、二元或多元函数都可以统一写成u=f(P)，它称为点函数．利用点函数，我们可以把一元和多元函数的极限和连续统一表示成P→P0limf(P)=A,limf(P)=f(P0)．P→P0（２）二元函数微分学与一元函数微分学相比，其根本区别在于自变量点P的变化从一维区间发展成二维为区域．在区间上P的变化只能有左右两个方向；对区域来说，点的变化则可以有无限多个方向．这就是研究二元函数所产生的一切新问题的根源．例如，考察二元函数的极限limxy，x→0x2+y2y→0容易看出，如果先让x→0再让y→0，那么lim(limy→0x→0xy)=lim0=0，22y→0x+y同样，先让y→0再让x→0，也得到lim(limx→0y→0xy)=0， 22x+y但是如果让(x,y)沿直线y=kx(k≠0)而趋于(0,0)，则有xykx2klim2=lim=，2x→0x+y2x→0x2(1+k2)1+ky→kx它将随k的不同而具有不同的值，因此极限limxy x→0x2+y2y→0不存在，从这里我们可以体会到，从一维跨入二维后情况会变得多么复杂．又如，在一元函数中，我们知道函数在可导点处必定连续，但是对于二元函数来说，这一结论并不一定成立．考察函数⎧xy22,x+y≠0,⎪2z=f(x,y)=⎨x+y2⎪x2+y2=0,⎩0,fx'(0,0)=lim∆x→0 f(0+∆x,0)-f(0,0)0-0=lim=0，∆x→0∆x∆x同样fy'(0,0)=lim∆y→0f(0,0+∆y)-f(0,0)0-0=lim=0，∆y→0∆y∆y所以f(x,y)在(0,0)点可导．然而，我们已经看到极限limf(x,y)=limx→0y→0xy x→0x2+y2y→0不存在，当然f(x,y)在(0,0)不连续．多元可导函数与一元可导函数的这一重大差异可能使初学者感到诧异，其实仔细想一想是可以理解的．因为偏导数fx'(0,0)实质上是一元函数f(x,0)在x=0处关于x的导数．它的存在只保证了一元函数f(x,0)在点x=0的连续．同理，偏导数fy'(0,0)的存在保证了f(0,y)在y=0点的连续，从几何意义来看，z=f(x,y)是一张曲面，z=f(x,0)，y=0为它与平面y=0的交线，z=f(0,y)，x=0为它与平面x=0的交线．函数z=f(x,y)在（0,0）处的可导，仅仅保证了上述两条交线在（0,0）处连续，当然不足以说明二元函数z=f(x,y)即曲面本身一定在（0,0）处连续．（３）在一元函数中，可微与可导这两个概念是等价的．但是对于二元函数来说，可微性要比可导性强，我们知道，二元函数的可导不能保证函数的连续，但若z=f(x,y)在(x0,y0)可微，即全微分存在，那么有全增量的表达式∆z=fx'(x0,y0)∆x+fy'(x0,y0)∆y+o(ρ)其中当ρ→0时，o(ρ)→0，从而lim∆z=0，∆x=0∆y=0因此函数在(x0,y0)可微，那么它在(x0,y0)必连续．函数是否可微从定义本身可以检验，但不太方便．然而我们有一个很简便的充分条件：若f(x,y)在(x0,y0)不仅可导而且偏导数都连续，那么f(x,y)必在(x0,y0)可微．函数f(x,y)的偏导数是容易求得的，求出两个偏导数后在它们连续的点处，全微分立即可以写出：dz=fx'(x,y)dx+fy'(x,y)dy．（４）二元函数的极限、连续、偏导、可微关系图：极限存在偏导数连问题２如何求多元函数的偏导数？解析求多元函数的偏导数的方法，实质上就是一元函数求导法．例如，对x求偏导，就是把其余自变量都暂时看成常量，从而函数就变成是x的一元函数．这时一元函数的所有求导公式和法则统统可以使用．对于多元复合函数求导，在一些简单的情况，当然可以把它们先复合再求偏导数，但是当复合关系比较复杂时，先复合再求导往往繁杂易错．如果复合关系中含有抽象函数，先复合的方法有时就行不通．这时，复合函数的求导公式便显示了其优越性．由于函数复合关系可以多种多样，在使用求导公式时应仔细分析，灵活运用．例1 设z=esiny,求xy∂z∂z,．∂x∂y∂z=yexysiny，∂x解直接求偏导数∂z=xexysiny+exycosy ，∂y利用全微分求偏导数dz=sinydexy+exydsiny=exysiny(ydx+xdy)+exycosydy =yexysinydx+(xexysiny+exycosy)dy，所以∂z∂z=yexysiny,=xexysiny+exycosy．∂x∂y∂z∂z,．∂x∂y例2 设z=f(exy,siny),求解由复合函数求导法则，得∂z=f1(exy,siynx)⋅yey，∂x∂z=f1(exy,siny)exy⋅x+f2(exy,siny)cosy，∂y其中f1,f2分别表示f(exy,siny)对exy,siny的偏导数．问题3 二元函数的极值是否一定在驻点取得？解析不一定．二元函数的极值还可能在偏导数不存在的点取得．例3 说明函数f(x,y)=1-x2+y2在原点的偏导数不存在，但在原点取得极大值．-∆x1-(∆x)2-1f(0+∆x,0)-f(0,0)解 lim，=lim=lim∆x→0∆x→0∆x→0∆x∆x∆x此极限不存在，所以在(0,0)处fx'(0,0)不存在．同理∆y→0lim-∆yf(0,0+∆y)-f(0,0) ，=lim∆y→0∆y∆y此极限不存在，所以，在点(0,0)处，fy'(0,0)不存在．但函数f(x,y)=1-x2+y2≤f(0,0)=1，即f(x,y)在点(0,0)取得极大值1．问题4 在解决实际问题时，最值与极值的关系如何？无条件极值问题与有条件极值问题有何区别？如何用拉格朗日乘数法求极值？解析在实际问题中，需要我们解决的往往是求给定函数在特定区域中的最大值或最小值．最大、最小值是全局性概念，而极值却是局部性概念，它们有区别也有联系．如果连续函数的最大、最小值在区域内部取得，那么它一定就是此函数的极大、极小值．又若函数在区域内可导，那么它一定在驻点处取得．由于从实际问题建立的函数往往都是连续可导函数，而且最大（最小）值的存在性是显然的．因此，求最大、最小值的步骤通常可简化为三步： 4（1）根据实际问题建立函数关系，确定定义域；（2）求驻点；（3）结合实际意义判定最大、最小值．从实际问题所归纳的极值问题通常是条件极值．条件极值和无条件极值是两个不同的概念．例如，二元函数z=x2+y2的极小值（无条件极值）显然在(0,0)点取得，其值为零．但是(0,0)显然不是此函数的约束条件x+y-1=0下的条件极小值点．事实上x=0,y=0根本不满足约束条件．容易算出，这个条件极小值在点(,)处取得，其值为11221，从几何2上来看，它们的差异是十分明显的．无条件极小值是曲面z=x2+y2所有竖坐标中的最小⎧z=x2+y2,者，如图所示；而条件极小值是曲面对应于平面x+y-1=0上，即空间曲面⎨⎩x+y-1=0上各点的竖坐标中最小者．我们所说的把条件极值化成无条件极值来处理，并不是化成原来函数的无条件极值，而是代入条件后化成减少了自变量的新函数的无条件极值．例如把条件y=1-x代入函数z=x2+y2，便将原来的条件极值化成了一元函数y2z=x2+(1-x)2=2x2-2x+1 的无条件极值．用拉格朗日乘数法求出的点可能是极值点，到底是否为极值点还是要用极值存在的充分条件或其他方法判别．但是，若讨论的目标函数是从实际问题中得来，且实际问题确有其值，通过拉格朗日乘数法求得的可能极值点只有一个，则此点就是极值点，无需再判断．22例4 求z=x+y+5在约束条件y=1-x下的极值．解作辅助函数则有F(x,y,λ)=x2+y2+5+λ(1-x-y)， Fx'=2x-λ,Fy'=2y-λ，⎧⎪2x-λ=0,解方程组⎨2y-λ=0,⎪⎩1-x-y=0,1x=y=,λ=1．得 211 现在判断P(,)是否为条件极值点： 2222由于问题的实质是求旋转抛物面z=x+y+5与平面y=1-x的交线，即开口向上5的抛物线的极值，所以存在极小值，且在唯一驻点P(,)处取得极小值z=问题5 方向导数和梯度对于研究函数有何意义？解析二元函数z=f(x,y)在点(x,y)处的方向导数112211．2∂f刻画了函数在这点当自变量∂l沿着射线l变化时的变化率，梯度grad z的方向则是函数在点(x,y)处方向导数最大的射线方向．因此沿梯度方向也是函数值增加最快的方向，所以梯度对寻找函数的最大值很有帮助．例5 求函数u=xy2z在点P(1,-1,2)处函数值下降最快的方向．解负梯度方向是函数值下降最快的方向，因grad u=∂u∂u∂uk =y2zi +2xyzj +xy2k，i +j +∂x∂z∂y(1,-1,2) grad u(1,-1,2)=2i-4j+k，故所求方向为a=-grad u=-2i+4j-k．三、例题精选例6 求函数z=2x-y2ln(1-x-y)22的定义域，并作出定义域图形．解要使函数有意义，需满足条件 2⎧y≤2x,⎧2x-y≥0,⎪2⎪221-x-y>0, 即⎨⎨x+y<1, 21-x-y≠1,⎪(x,y)≠(0,0),⎪⎩⎩2定义域如图阴影部分所示．u例7 设f(u,v)=esinv,求 df(xy,x+y)． u解一因为 f(u,v)=esinv,所以 f(xy,x+y)=esin(x+y)，xy∂f=yexysin(x+y)+exycos(x+y)，∂x∂f=xexysin(x+y)+exycos(x+y)，∂yxyxy所df(xy,x+y)=[ysin(x+y)+cos(x+y)]edx+[xsin(x+y)+cos(x+y)]edy．解二由复合函数求导法则得∂f∂f∂u∂f∂v=+=exysin(x+y)y+exycos(x+y)，∂x∂u∂x∂v∂x∂f∂f∂u∂f∂v=+=exysin(x+y)x+exycos(x+y)，∂y∂u∂y∂v∂y所以df(xy,x+y)=exy[ysin(x+y)+cos(x+y)]dx+exy[xsinx(+y+)cxo+sy(]y．) dy，验证 x例8 设z=f(x,y,u)=xy+xF(u)，其中F为可微函数，且u=x∂z∂z+y=z+xy．∂x∂y证这是带有抽象符号的函数，其复合关系如图所示．∂z∂f∂f∂uydF⎛dF∂u⎫， =+=[y+F(u)]+ x⎪=y+F(u)-∂x∂x∂u∂xxdu⎝du∂x⎭同理有∂z∂f∂f∂udF∂udF=+=x+x=x+，∂y∂y∂u∂ydu∂yduxz y∂z∂zdFdF=2xy+xF(u)=z+xy． +y=xy+xF(u)-y+xy+y∂x∂ydudux2例９设f(x,y,z)=eyz，其中z=z(x,y)由方程x+y+z-xyz=0所确定，求fx'(0,1,-1)．解 f(x,y,z=)x2对eyzx求偏导，并注意到z是由方程所确定的x,y的函数，得 x2xfx'[x,y,z(x,y)]=eyz+2eyz⋅∂z ∂x ①下面求∂zF'∂z1-zy，由F(x,y,z)=x+y+z-xyz=0得，代入①得 =-x=-∂x∂xFz'1-yx于是 fx'[x,y,z(x,y)]=exyz2-2exyz⋅1-zy， 1-yx1-1⋅(-1)=5． 1-0⋅1fx'(0,1,-1)=e0⋅1⋅(-1)2-2e0⋅1⋅(-1)⋅222例10 求曲面x+2y+3z=21平行于平面x+4y+6z=0的切平面方程．解析此题的关键是找出切点．如果平面上的切点为(x0,y0,z0)，则曲面过该点的法7向量可由x0,y0,z0表示．要使所求的切平面与已知平面平行，一定有切平面的法向量与已知平面的法向量对应坐标成比例．于是切点的坐标可找出．解设曲面F(x,y,z)=x2+2y2+3z2-21=0 平行于已知平面的切平面与曲面相切于(x0,y0,z0)，故该切平面的法向量n=Fx'(x0,y0,z0),Fy'(x0,y0,z0),Fz'(x0,y0,z0) {}过(x0,y0,z0)的切平面方程为2x0(x-x0)+4y0(y-y0)+6z0(z-z0)=0，①该切平面与已知平面x+4y+6z=0平行，所以2x04y06z0==， 146 ②又由于(x0,y0,z0)在曲面上，所以222x0+2y0+3z0=21，③联立②与③式，解得⎧x01=1,⎪⎨y01=2,⎪z=2.⎩01⎧x02=-1,⎪⎨y02=-2, ⎪z=-2.⎩02将这两组值分别代入①，最后得到切平面方程为及3 2x+4y+6z-21=0, x+4y+6z+21=0.2例11 求函数z=x-4x+2xy-y的极值．解第一步：由极值的必要条件，求出所有的驻点⎧∂z2=3x-8x+2y=0,⎪∂x⎨∂z =2x-2y=0,⎪⎩∂y解出{x=2,x1=0, 2 y1=0,y2=2.{第二步：由二元函数极值的充分条件判断这两个驻点是否为极值点，为了简明列表如下： 8因此z(0,0)=0．例12 求曲线y=lnx与直线x-y+1=0 之间的最短距离．解一切线法．若曲线上一点到已知直线的距离最短，则过该点平行与已知直线的直线必与曲线相切；反之曲线上在该点处的切线必平行与已知直线．据此，我们先求y=lnx的导数y'=1,令y'=1（已知直线上的斜率为1），得 xx=1，这时y=0，故曲线y=lnx上点(1,0)到直线x-y+1=0的距离最短，其值为d=-0+1+(-1)22=2．解二代入条件法（利用无条件极值求解）．设(x,y)为曲线y=lnx上任意一点，则点(x,y)到已知直线的距离为d=12x-y+，将y=lnx代入上式得d=12x-lnx+1， 12易知x=lnx-1>0(x>0)，故d=(x-lnx+1)．①令u=x-lnx+1，则u'=1-1，由u'=0，得x=1，这是函数u=x-lnx+1在x(0,+∞)内唯一驻点，由问题本身可知，距离的最小值一定存在．于是由①式得所求的最短距离为d=12(1-ln1+1)=2．解三拉格朗日乘数法．设(x,y)为曲线y=lnx上任意一点，则该点到直线的距离为d=x-y+1+(-1)22=12x-y+，令z=d，则2z=12121x+y-xy+x-y+， 222显然，在上式中y=lnx，即y-lnx=0．引入辅导函数 F(x,y)=解方程组12121x+y-xy+x-y++λ(y-lnx)， 222'⎧⎪Fx(x,y)=x-y+1-λx=0,⎨Fy'(x,y)=y-x-1+λ=0, ⎪⎩y-lnx=0,①②③1①+②，得λ(1-)=0．因为λ≠0，故x=1，代入③，得y=0，于是(1,0)是唯一x可能的极值点，由问题本身可知，距离的最小值一定存在，故曲线y=lnx上点(1,0)到已知直线的距离最短，其值为d=12(1-0+1)=2．四、练习题1．判断正误(1) fx(x0,y0)=fx(x,y)x=x0=fx(x,y0)x=x0表达式成立；（√ ）y=y0解析 fx(x0,y0)表示f(x,y)在(x0,y0)对x的偏导数；fx(x,y)x=x0表示f(x,y)对y=y0函数f(x,y0)x的偏导数在(x0,y0)处的值；fx(x,y0)x=x表示f(x,y)先固定y=y0后，在x=x0处的导数．由偏导数定义及偏导数意义可知，三个表达式是相等的．(2) 若z=f(x,y)在(x0,y0)处偏导数存在，则z=f(x,y)在(x0,y0)处一定可微；（⨯）解析由可微的充分条件知，只有z=f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在且连续时，函数z=f(x,y)在该点一定可微．⎧2xy⎪,(x,y)≠(0,0)例如f(x,y)=⎨x2+y2在（0，0）处偏导数存在，但不可微．⎪(x,y)=(0,0)⎩0,(3) 若(x0,y0)为z=f(x,y)的极值点，则(x0,y0)一定为驻点；解析偏导数不存在的点也可能是极值点．（⨯）⎧∂z=⎪∂x⎪22例如 z=x+y在（0，0）处取得极小值，但⎨在（0，0）处偏导∂z⎪=∂y⎪⎩数不存在，不是驻点．(4)∂f∂xx=0y=0就是函数f(x,y)在(0,0)处沿x轴方向的方向导数．（√ ）解析沿x轴方向的方向导数2．选择题∂f∂f∂fπ∂f=cos0+co s=．∂l∂x∂y2∂x(1) 设f(x,y)=xy，则下列式中正确的是（ C ）；22x+y(A) f x,⎛⎝y⎫⎪=f(x,y)； (B)f(x+y,x-y)=f(x,y)； x⎭(C) f(y,x)=f(x,y)； (D) f(x,-y)=f(x,y)．解析 f(x,y)=xy是关于x，y的对称函数，故f(y,x)=f(x,y)． 22x+y∂2z(2)设z=ecosy，则； =（ D ）∂x∂yxx (A) esiny； (B) ex+exsiny；(C) -excosy； (D) -exsiny．∂z∂2zx=ecoys，解析 =-exsiny．∂x∂x∂y(3)已知f(x+y,x-y)=x2-y2，则∂f∂f； +=（ C ）∂x∂y(A) 2x+2y； (B) x-y； (C) 2x-2y (D) x+y．解析设 x+y=u，x-y=v，则 f(x+y,x-y)=x2-y2=(x+y)(x-y)变换为 f(u,v)=uv．∂f∂f∂u∂f∂v∂f∂f∂u∂f∂v=⋅+⋅=v+u， =⋅+⋅=v-u，∂x∂u∂x∂v∂x∂y∂u∂y∂v∂y所以∂f∂f+=(v+u)+(v-u)=2v=2x-2y．∂x∂y(4)函数z=x3+y3-3xy的驻点为（ B ）； (A)(0,0)和(-1,0)； (B)(0,0)和(1,1)；(C)(0,0)和(2,2)；(D)(0,1)和(1,1)．⎧∂z2=3x-3y=0,⎪∂xx=0,与x=1, 解析求两个偏导数⎨∂z ⇒ y=0,y=1,2⎪=3y-3x=0,⎩∂y{{所以驻点为(0,0)和(1,1)．(5)函数z=x2-y2+1的极值点为（ D ）． (A)(0,0)； (B)(0,1)； (C)(1,0)；(D)不存在．⎧∂z⎪∂x=2x=0,解析求两个偏导数⎨∂z 得驻点为（0，0），⎪=-2y=0,⎩∂y∂2z∂2z∂2z=2，B=又因为A==0，C=2=-2，则B2-AC=4>0，所以，驻点2∂x∂x∂y∂y 不是极值点，极值点不存在．3．填空题(1) z=y-x2+1的定义域为{(x,y)y≥x2-1} ；22解要使函数有意义，应满足y-x+1≥0，即y≥x-1(2) 已知f(x,x+y)=x2+xy，则解设 x+y=u，则∂f= 2x+y ；∂xf(x,x+y)=x2+xy=x(x+y)=xu，关于x的偏导数∂f∂f∂f∂u=()+=u+x=2x+y．∂x∂x∂u∂xx=1y=1 (3) 设z=ln(x2+y2)，则dz=dx+dy；解设 x2+y2=u，则 z=lnu，所以∂zdz∂u1∂zdz∂u1==⋅2x， ==⋅2y，∂xdu∂xu∂ydu∂yu从而dzx=1y=1=∂z∂xx=1dx+y=1∂z∂yx=1y=1dy=dx+dy．yππ(4) 曲面z=arctan()在点M(1,1,)处的切平面方程为 x-y+2z-=0 ； x42解令 F(x,y,z)=z-arctan(y)， xyy12=则 Fx=-，，F=xπ(1,1,)2x2+y2241+()x11-xF=-，， Fy=-=2yπ(1,1,)y2x+y2241+()x11π曲面的切平面方程为 (x-1)-(y-1)+(z-)=0 ， 224π即 x-y+2z-=0． 2-(5) 设z+ez=xy，则x∂z= ；z1+e∂yz解一令F(x,y,z)=z+e-xy，则 Fz=1+ez， Fy=-x，Fyx∂z=-所以 =．∂yFz1+ez解二设z=z(x,y)，两边对y求偏导数，有x∂zz∂z∂z+e=x ，即 =．z∂y∂y∂y1+e4．解答题 (1)设可微函数z=f(x,u),u=ϕ(x,t),t=sinx,求解偏导数为 dz；dxdz∂z∂z∂u∂z∂udt⋅⋅⋅ =++dx∂x∂u∂x∂u∂tdx∂f∂f∂ϕ∂f∂ϕ⋅⋅⋅cost．=++∂x∂u∂x∂u∂t(2)设z=f(x2+y2)，且f(u)可微，证明 y解设 x2+y2=u，则z=f(u)，∂z∂z-x=0．∂x∂y从而∂zdz∂u∂zdz∂u⋅=f'(u)⋅2x，⋅=f'(u)⋅2y，==∂xdu∂x∂ydu∂y则 y所以，原结论成立．∂z∂z-x=yf'(u)⋅2x-xf'(u)⋅2y=0，∂x∂yz∂z(3) 设x2+z2=yf()，其中f为可微函数，求．y∂y解令F(x,y,z)=x+z-yf()， 22zy设u=z，则 F(x,y,z)=x2+z2-yf(u)， yzz∂F∂F∂u)+⋅=-f(u)-yf'(u)⋅(-2)=f'(u)-f(u)，∂y∂u∂yyy∂F∂F∂u1)+⋅=2z-yf'(u)⋅=2z-f'(u)，∂z∂u∂zy从而 Fy=(Fz=(zzzzf'(u)-f(u)f()-f'()Fy∂zyyyy==-所以． =-2z-f'(u)∂yFz2z-f'()y⎧x=t,⎪(4) 在曲线⎨y=t2,上求一点，使其在该点的切线平行与平面x+2y+z=4，并写出⎪z=t3⎩23解设所求点为（t0，t0，t0），切线方程； dxdtt=t0=1，dydtt=t0=2t0，dzdtt=t02=3t0，23x-t0y-t0z-t0故切线方程为， ==212t03t02由于切线与平面平行，切线的方向向量s={1，2t0，3t0}与平面的法向量n={1，2，1}垂直，有s⋅n ={1，2t0，3t02}·{1，2，1}=1+4t0+3t02=0，解方程，得 t0=-1或-1， 3y-1z+1=； -2311y-z+11111= ，当t0=-时，切点为（-，，-），切线方程为x+=31339273-2311x+y-==z+1．即 3-227当t0=-1时，切点为（-1，1，-1），切线方程为 x+1= (5)用a元钱购料，建造一个宽与深相同的长方体水池，已知四周的单位面积材料费为底面单位面积材料费的1.2倍，求水池的长与宽为多少米，才能使容积最大．解设水池底面的长为x，宽和高为y（如图），底面单位面积材料费为b，则侧面单位面积材料费为1.2b，有bxy+1.2b(2xy+2y)=a，即 3.4bxy+2.4by=a，长方体体积 V=xy，22应用条件极值，设A=xy+λ(3.4bxy+2.4by-a)， 222得偏导方程，有⎧∂A2=y+λ⋅3.4by=0,⎪∂x⎪⎪∂A=2xy+λ(3.4bx+4.8by)=0, ⎨⎪∂y⎪∂A=3.4bxy+2.4by2-a=0,⎪∂λ⎩整理，得 x=45a15a，y=， 17b6b由于驻点（45a15a，）唯一，而使容积最大的情况存在，所以当长方体长为17b6b45a15a，宽和高为时，长方体水池容积最大． 17b6b。
高等数学基础教材课后答案详解
高等数学基础教材课后答案详解一、函数与极限1. 第一章函数与极限的概念在高等数学教材中，第一章讲述了函数与极限的概念及性质。
函数是数学中的基本概念，它描述了变量之间的关系。
而极限则关注函数在某一点处的变化趋势。
在考察函数与极限时，我们需要掌握函数的定义域、值域以及各种基本函数的性质。
同时，极限的概念也需要熟悉，特别是极限的存在性和唯一性。
2. 第一节函数的极限函数的极限是分析函数行为的重要工具。
在计算函数极限时，可以利用极限的基本运算法则，通过代数运算、函数性质和极限的定义进行求解。
需要注意的是，有些极限需要通过泰勒级数展开或者利用夹逼定理进行求解。
3. 第二节极限的性质与极限存在准则极限的性质包括保号性、四则运算性质以及复合函数的极限性质等。
这些性质是进行极限计算的基本工具。
极限存在准则包括单调有界准则、夹逼准则和柯西收敛准则等，它们在判断极限存在性时非常有用。
4. 第三节无穷小与无穷大无穷小与无穷大是描述极限性质的重要概念。
通过无穷小的定义和性质，我们可以更好地理解函数的极限行为。
无穷大则是对于无穷远处函数值的描述，它在研究函数的渐近线时非常有用。
二、微分学1. 第二章导数与微分导数是函数变化率的一种度量，它描述了函数在给定点附近的局部变化情况。
在微分学中，我们首先需要熟悉导数的定义和基本性质，然后可以利用导数进行函数的求导运算。
求导的常见方法包括基本函数的求导法则、常用公式以及高阶导数的计算。
2. 第一节导数的定义和几何意义导数的定义是基于函数的局部线性逼近，它可以解释为切线斜率的极限。
几何意义上，导数描述了函数图像上的切线斜率，具有重要的几何意义。
3. 第二节导数的计算方法导数的计算方法是微分学的核心内容之一。
通过利用导数的定义，可以求解各种类型函数的导数。
在计算导数时，常用的方法包括基本函数的求导法则、乘法法则、链式法则，以及隐函数求导等。
4. 第三节微分的概念和性质微分是导数概念的延伸，它由导数和自变量的微小增量构成。
D2-10多元函数微分学二(61p)
例6. (08.11分) 已知曲线 C : 求 C 上距离xoy 面最远的点和最近的点. 分析: 分析 点(x ,y ,z) 到xoy 面的距离为|z|.故求曲线 C 上 距离xoy面最远点和最近点的坐标,等价于求函数 (目标函数) 在条件 束下的最大值点和最小值点. 解: 令
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极值极其应用
一,知识点与考点
1. 二元函数z = f (x , y)极值的概念及求法 某邻域内一切异于 对于二元函数 z = f (x , y),若在 的点(x , y) 恒有 为 f (x , y) 在该邻域的一个极大(小)值. 函数的极大值与极小值通称函数的极值. 函数取得极值的点 称为函数的极值点. (1) 二元函数取得极值的必要条件: 可导函数的极值点必为函数的驻点. 驻点即方程组 的实根.
(数二数三不要求 数二数三不要求) 数二数三不要求
切线方程为: 法平面方程为:
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若空间曲线Γ 的方程为 此时曲线方程可视为 以x为参数的参数方程 则 对应的曲线Γ上的点 处的
切线方程为: 法平面方程为:
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2.曲面的切平面方程和法线方程 曲面∑: F (x , y , z) = 0 上点 切平面方程为: 法线方程为:
(数二,数三不要求 数二,数三不要求) 数二
处
曲面∑: z = z (x , y)上点 切平面方程为:
处
法线方程为:
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二,典型例题分析与解答
题型1. 空间曲线的切线方程与法平面方程 题型2. 曲面的切平面方程和法线方程
多元函数的微分学典型例题
多元函数的微分学典型例题例 1 设 2 2 y xy x z + - = ．求它在点 ) 1 , 1 ( 处沿方向v = ) sin , cos ( a a 的方向导 数，并指出：（1） 沿哪个方向的方向导数最大？ （2） 沿哪个方向的方向导数最小？ （3） 沿哪个方向的方向导数为零？解 1 ) 1 , 1 ( = x z ， 1 ) 1 , 1 ( = y z ． ) 1 , 1 (v z¶ ¶ a a sin cos + = ．因此（1） 函数 a a a j sin cos ) ( + = 在 4pa = 取最大值，即沿方向 ) 1 , 1 ( 的方向导数最大．（2） 函数 a a a j sin cos ) ( + = 在 4 pa - = 取最小值，即沿方向 ) 1 , 1 ( - - 的方向导数最小．（3） 43pa - = 是函数 a a a j sin cos ) ( + = 的零点，即沿方向 ) 1 , 1 (- 的方向导数为零．例 2 如果函数 ) , ( y x f 在点 ) 2 , 1 ( 处可微， 且从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 2 , 2 ( 方向的方向 导数为2，从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 1 , 1 ( 方向的方向导数为 2 - ．求 （1） 该函数在点 ) 2 , 1 ( 处的梯度；（2） 该函数在点 ) 2 , 1 ( 处从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 6 , 4 ( 方向的方向导数． 解 （1） 设 x f 和 y f 分别表示函数 ) , ( y x f 在点 ) 2 , 1 ( 处关于x 和 y 的偏导 数，从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 2 , 2 ( 的方向为 1 l ，从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 1 , 1 ( 的方向为 2 l ，则 1 l 和 2 l 的方向余弦分别为 ) 0 , 1 ( 和 ) 1 , 0 ( - ，于是就有x f l f = ¶ ¶ 12 0 1 = × + × y f ，故 2 = x f ； 2 1 0 2 - = × - × = ¶ ¶ y x f f l f ，故 2 = y f ． 因此 ) 2 , 2 ( ) 2 , 1 ( = gragf ．（2） 在点 ) 2 , 1 ( 处从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 6 , 4 ( 方向的方向余弦为 ÷ ø öç è æ 5 4,5 3 ，设该方向为l ，则 l f ¶ ¶ ) 2 , 1 ( 5145 4 2 5 3 2 = ´ + ´ = ．例 3 验证函数) , ( y x f ïî ï í ì = + ¹ + + = . 0 ,0 , 0 , 2 2 22 22 y x y x yx xy 在原点 ) 0 , 0 ( 连续且可偏导，但它在该点不可微．验证 注意不等式 | | 2 2 xy y x ³ + ，就有0 | | 0 2 2 22 2 2 22 ® + = + + £ + £y x y x y x y x xy ， ) , ( y x ® ) 0 , 0 ( ．故而 0 ) , ( lim)0 , 0 ( ) , ( = ® y x f y x f = ) 0 , 0 ( ．因此， ) , ( y xf 在原点 ) 0 , 0 ( 连续． x f ) 0 , 0 ( = 0lim® x 0 )0 , 0 ( ) 0 , ( = - xf x f ，由变量对称性得 y f ) 0 , 0 ( 0 = ．即该函数在原点 ) 0 , 0 ( 可偏导．假如 ) , ( y x f 在原点 ) 0 , 0 ( 可微，就应有) , ( y x f = - ) 0 , 0 ( f x f ) 0 , 0 ( + x y f ) 0 , 0 ( ) ( 2 2 y x y + +o ，即 ) , ( y x f = ) ( 2 2 y x + o ．但这是不可能的，因为沿路径 ) 0 ( ¹ = k kx y ，就有= + ® 2 2 )0 , 0 ( ) , ( ), ( limyx y x f kx x = + ® 2 2 ) 0 , 0 ( ) , ( lim y x xykx x 0 1 lim 2 2 2 2 2 0 ¹ + = + ® k k x k x kx x ．可见， ) , ( y x f ¹ ) ( 2 2 y x + o ．因此， ) , ( y x f 在原点 ) 0 , 0 ( 不可微． 例 4 验证函数) , ( y x f ï îï íì = + ¹ + + + = . 0 , 0 , 0 , 1 sin ) ( 2 2 22 22 2 2 y x y x y x y x 的偏导函数 ) , ( y x f x 和 ) , ( y x f y 在原点 ) 0 , 0 ( 不连续，但它却在该点可微．验证x f ) 0 , 0 ( = 0lim® x 0 1sin lim ) 0 , 0 ( ) 0 , ( 2 0 = = - ® xx x f x f x ； ) , ( y x ¹ ) 0 , 0 ( 时，) , ( y x f x 22 2222222121 2sin()cos () x x x y x y x y x yæö =++- ç÷ +++ èø 2 2 2 2 2 2 1cos2 1 sin2 y x y x x y x x + + - + = ．因此， ) , ( y x f x ï î ï íì= + ¹ + + + - + = . 0 , 0 , 0 , 1 cos 2 1 sin 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 y x y x y x y x x y x x 由变量对称，得) , ( y x f y ï îï íì= + ¹ + + + - + = . 0 , 0 , 0 , 1 cos 2 1 sin 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 y x y x y x y x y y x y ) , ( y x f x 在点 ) 0 , 0 ( 不连续．事实上，沿路径 x y = ， ® ) , ( x x ) 0 , 0 ( 时，2 2 2 2 1 cos 2 2 2 1 sin2 ) , ( x x x x x x x f x - = 中，第一项趋于零，而第二项 22 1cos 1 x x - 的极限不存在(比如取 pk x k 2 1=， +¥ ® k 时有 0 ® k x ，而2 2 1cos 1 kk x x -¥ ® )．可见， x y x f ) 0 , 0 ( ) , ( lim ® ) , ( y x 不存在，因此 ) , ( y xf x 在点 ) 0 , 0 ( 不连续．同理可证 ) , ( y x f y 在点 ) 0 , 0 ( 不连续． 但由于0 1sin ) , ( 0 2 2 22 2 2 22 ® + £ + + =+ £y x y x y x y x y x f ，® ) , ( y x ) 0 , 0 ( ，就有 0 ) , ( 22® + yx y x f ，于是就有0 ) , ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) , ( 2222® + =+ - - - yx y x f yx yf x f f y x f y x ， ® ) , ( y x ) 0 , 0 ( ，即 ) ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) , ( 2 2 y x y f x f f y x f y x + + + = - o ． 可见 f 在点 ) 0 , 0 ( 可微． 例 5 证明函数) , ( y x f ï îïí ì = + ¹ + + = . 0 , 0 , 0 , 2 22 22 42 2 y x y x y x xy 在原点 ) 0 , 0 ( 处沿各个方向的方向导数都存在，但它在该点不连续，因此不可 微．证 设 ) sin , cos ( a a = l 则= - = ¶ ¶ ® tf t t f l f t )0 , 0 ( ) sin , cos ( lim 0 a a 32 2244 0 2cos sin lim ( cos sin )t t t t t a a a a ® = +3 0 , , , 22 2tan sin , , . 22p p a p p a a a ì= ï ï = íï ¹ ï î 可见在原点 ) 0 , 0 ( 处沿各个方向的方向导数都存在．但沿路径 2y x = ，有 = ® ) , ( lim )0 , 0 ( ) , ( 2y x f y y f y y y y y ¹ = + ® 1 2 lim 4 4 22 0 ) 0 , 0 ( 可见 f 在 原点 ) 0 , 0 ( 并不连续，因此不可微． 例 6 计算下列函数的高阶导数或高阶微分： （1） x yz arctan = ，求 2 2 x z ¶ ¶ ， y x z ¶ ¶ ¶ 2 22 y z ¶ ¶ ；解 x z ¶ ¶ 2 2 2 2 2 1 y x y x y x y + - = + -= ， y z ¶ ¶ 22 22 1 1 y x x xy x + = + =． 2 2 x z ¶ ¶ 2 2 2 ) ( 2 y x xy + = ， y x z ¶ ¶ ¶ 2 2 2 2 2 2 ) ( y x x y + - = ， 2 2 y z ¶ ¶ = 22 2 )( 2 y x xy+ - ． （2） xyxe z = ，求 y x z ¶ ¶ ¶ 2 3 和 23 y x z¶ ¶ ¶ ．解 x z ¶ ¶ = ) 1 ( xy e xye e xyxy xy + = + ， 2 2 x z ¶ ¶ ) 2 ( ) 1 ( xy ye y e xy ye xy xy xy + = + + = ；yx z¶ ¶ ¶ 2 ) 2 ( ) 1 ( xy xe xe xy xe xy xy xy + = + + = ． y x z ¶ ¶ ¶ 2 3 = = ¶ ¶ ¶¶ x y x z 3 = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ y x z x 2 xyxy xy xy e xy xye xye xy e ) 2 3 ( ) 2 ( + = + + + ；2 3 y x z ¶ ¶ ¶ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = y x z y 2 ( )= + + xy xy xe xy xe x ) 2 ( xye y x x x ) 3 ( 2 + ． （3） ) ln(xy x z = ，求 z d 2 ； 解 x z 1 ) ln( ) ln( + = + = xy xy xy xy， xy z y xy x 1 = = ， x xy y z xx 1= = ；y z y x xy x = = 2 ， yy z 2 yx- = ．2222222 2 12 xx xy yy d z dx dy z z dx z dxdy z dy x y x dx dxdy dy x y yæö¶¶ =+=++ ç÷ ¶¶ èø =+- ．（4） ) ( sin 2 by ax z + = ，求 z d 3 ．解 x z ) ( 2 sin by ax a + = ， xx z ) ( 2 cos 2 2 by ax a + = ， = 3x z ) ( 2 sin 4 3 by ax a + - ，) ( 2 sin 4 2 axby b a z xxy - = ； y z ) ( 2 sin by ax b + = ， ) ( 2 cos 2 2 by ax b z yy + = ，= = yyx xyy z z ) ( 2 sin 4 2 by ax ab + - ． = 3 y z ) ( 2 sin 4 3 by ax b + - ．z d 3 = = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶¶ z y dy x dx 33223322333 x x y xy y z dx z dx dy z dxdy z dy +++ ) ( 2 sin 12 ) ( 2 sin 4 2 3 by ax b a by ax a + - + - = ) ( 2 sin 12 2 by ax ab + - 3 4sin 2()b ax by -+ ) ( 2 sin ) ( 4 3 by ax b a + + - = ．例 7 利用链式规则求偏导数 ：（1） ÷ ÷ øö ç ç è æ = , y x xy f u ．求 x u¶ ¶ ， y u ¶ ¶ ， y x u ¶ ¶ ¶ 2 和 2 2 y u ¶ ¶ ．解 设 xy t = ， yxs = ．x u ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ = x s s f x t t f s f y t f y ¶ ¶ + ¶ ¶ 1 ， y u ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ = y s s f y t t f sfy x t f x ¶ ¶ - ¶ ¶ 2 ；y x u ¶ ¶ ¶ 2 ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = x u y ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ = y s s t f y t t f y t f 2 2 2 22 22 11 f f t f s y s y s t y s y æö¶¶¶¶¶ -++ ç÷ ¶¶¶¶¶¶ èø = ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ s t f y x t f x y t f 2 2 2 2 22 222 11 f f x f x y s y s t y s æö¶¶¶ -+- ç÷ ¶¶¶¶ èø 2 2 t f xy ¶ ¶ = s t f y x ¶ ¶ ¶ - 2 3 s fy t f ¶ ¶ - ¶ ¶ + 2 1 ．2 2 y u ¶ ¶ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = y u y 2 f x f x y t y s æö ¶¶¶ =- ç÷ ¶¶¶èø 23 2 2 2 2 y xs f y x y s s t f y t t f x - ¶ ¶ + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ = = ÷ ÷ øöç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ y s s f y t t s f 2 2 2 23 2 2 2 2 2 y xs f y x s t f y x tf x x - ¶ ¶ + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ = = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ 2 2 2 2 s f y x t sf x s f y x s f y x s t f y x t f x ¶¶ +¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ = 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 ． （2） ) ( 222z y x f u + + = ．求 x u ¶ ¶ ， y u ¶ ¶ ， z u¶ ¶ ， y x u ¶ ¶ ¶ 2 和 2 2 xu ¶ ¶ ．解 设 2 2 2 z y x t + + = ．x u ¶ ¶ ( 2 ) ( f x x tt f ¢ = ¶ ¶ ¢ = ) 2 2 2 z y x + + ， y u ¶ ¶ ( 2 ) ( f y yt t f ¢ = ¶ ¶ ¢= ) 2 2 2 z y x + + ， z u ¶ ¶ ( 2 ) ( f z zt t f ¢ = ¶ ¶ ¢ = ) 2 2 2 z y x + + ；y x u ¶ ¶ ¶ 2 = ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = x u y ( )= + + ¢ ¶ ¶) ( 2 2 2 2 z y x f x y 4( xyf ¢¢ ) 2 2 2 z y x + + ； 22 xu ¶ ¶ = ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = x u x ( ) 222 2() xf x y z x ¶¢ ++ ¶ 2( f ¢ = ) 2 2 2 z y x + + 2 4x + ( f ¢¢ ) 2 2 2 z y x + + ． 例 8 设函数 ) , ( y x f z = 具有二阶连续导数．写出 2 2 x z ¶ ¶ 2 2 y z ¶ ¶ + 在坐标变换2 2 y x u - = ， xy v 2 = 下的表达式．解x z ¶ ¶ = u z ¶ ¶ x u ¶ ¶ + v z ¶ ¶ x v ¶ ¶ x 2 = u z ¶ ¶ + y 2 vz¶ ¶ ，2 2 x z ¶ ¶ 2 = u z¶ ¶ ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ + x v v u z x u u z x 2 2 2 2 22 2 2 z u z v y v u x v x æö ¶¶¶¶ ++ ç÷ ¶¶¶¶¶ èø 2 2 24 u z x ¶ ¶ = v u z xy ¶ ¶ ¶ + 2 8 222 4 v z y ¶ ¶ + 2 + u z ¶ ¶ ．y z ¶ ¶ = u z ¶ ¶ y u ¶ ¶ + v z ¶ ¶ y v ¶ ¶ y 2 - = u z ¶ ¶ + x 2 vz¶ ¶ ，2 2 y z ¶ ¶ 2 - = u z¶ ¶ ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ - y v v u z y u u z y 2 2 2 2 22 2 2 z u z v x v u y v y æö ¶¶¶¶ ++ ç÷ ¶¶¶¶¶ èø u z vz x v u z xy u z y ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ = 2 4 8 4 222 2 2 2 2． 则2 2 x z ¶ ¶ 22 y z ¶ ¶ + 2 2 2 4 u z x ¶ ¶ = v u z xy ¶ ¶ ¶ + 2 8 2 22 4 v z y ¶ ¶ + 2 + u z ¶ ¶ = ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ + u z v z x v u z xy u z y 2 4 8 4 2 2 2 2 2 2 2÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶¶ + 2 2 2 22 2 ) ( 4 v z u z y x ． 例 9 （1）写出函数 ) , ( y x f 9 8 6 2 23 2 2 3 3 + - - - - + = y x xy y x y x 在点 ) 2 , 1 ( 的Taylor 展开式．解= ) 2 , 1 ( f 16 - ， = ) 2 , 1 ( x f 13 - ， = ) 2 , 1 ( y f 6 - ； = ) 2 , 1 ( xx f 10， = ) 2 , 1 ( xy f 12 - ， = ) 2 , 1 ( yy f 8；= ) 2 , 1 ( 3 x f 18， = ) 2 , 1 ( xxy f 4 - ， 4 ) 2 , 1 ( - = xyy f ， 6 ) 2 , 1 ( 3 = y f ．更高阶的导数全为零 ．因此， ) , ( y x f = + ) 2 , 1 ( f + - ) 1 )( 2 , 1 ( x f x ( 1 , 2 )(2)y f y - + - + 2 ) 1 )( 2 , 1 ( x f xx + - - ) 2 )( 1 )( 2 , 1 ( 2 y x f xy 2( 1 , 2 )(2) yy f y - 3 3 ( 1 , 2 )(1) x f x +- 3 ) 2 ( ) 1 )( 2 , 1 ( 3 2 + - - + y x f xxy 2) 2 )( 1 )( 2 , 1 ( - - y x f xyy 3 3 ( 1 , 2 )(2)y f y +- 22 1613(1)6(2)5(1)12(1)(2)4(2)x y x x y y =-----+----+- 3 2 2 3 ) 2 ( ) 2 )( 1 ( 2 ) 2 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 3 - + - - - - - - - + y y x y x x ．（2） 求函数 ) , ( y x f y x e + = 在点 ) 0 , 0 ( 的n 阶Taylor 展开式，并写出余项．解x f ¶ ¶ y x e + = ， y f ¶ ¶ yx e + = ，一般地，有 k h k h yx f ¶ ¶ ¶ + y x e + = ，则 1 ) 0 , 0 ( 00 = = ¶ ¶ ¶ + + e yx f kh k h ． 因此， ) , ( y x f 在点 ) 0 , 0 ( 的n 阶Taylor 展开式为) , ( y x f å = + ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ = n k kf y y x x k 0 ) 0 , 0 ( ! 1 )! 1 ( 1 + n 1( , )n x y f x y x y q q + æö ¶¶ + ç÷ ¶¶ èø å = + + = nk k y x k 0 ) ( ! 1 )! 1 ( 1 + n yx n e y y x x 1q q + + ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ ， ) 1 0 ( < <q ．例 10 求下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数：（1） 0 arctan = - + a y a y x ，求 dx dy 和 2 2 dxy d ；解 0 1 1 2 = ¢ - ÷ øöç è æ + + ¢+ a y a y x a y ，即 a y y x a y a ¢ = + + ¢ + 2 2 ) ( ) 1 ( ，即 dx dy 22 ) ( y x a + = ． 由 2 2 ) ( y x y a + ¢ = ，再求导 0 ) 1 )( ( 2 ) ( 2 = ¢ + + ¢ + + ¢ ¢ y y x y y x y ，解得 2 ) ( ) 1 )( ( 2 y x y y x y y + ¢ + + ¢ - = ¢ ¢ ，代入 = ¢ y 22)( y x a + ，得 2 2 dx y d 22 23 () () x y a a x y ++ = + ． （2） 0 = -xyz e z，求 x z ¶ ¶ 、 y z ¶ ¶、 2 2 xz ¶ ¶ 和 y x z ¶ ¶ ¶ 2 ；解 方程 0 = -xyz e z 两端对x 求导，得 0 = - - x z x xyz yz e z ， x z ¶ ¶ xye yzz - = ；方程 0 = -xyz e z 两端对y 求导，得 0 = - - z z y xyz xz e z ， y z ¶ ¶ xye xzz - = ．0 = - - x z x xyz yz e z 再对x 求导，得 0 2 = - - - - + xx x x zx z xx xyz yz xz z e z e z ，解得2 2 x z ¶ ¶ xy e e z z y x z z zx x - - + + = 2 ) ( 32 2 2 2 ) ( ) ( xy e e z y xy e z y ze zzz z - - - + = ． 同理得y x z ¶ ¶ ¶ 2 32 2 2 2 )( ) ( xy e e z x xy e z x ze zzz z - - - + = ． （3） 0 ) , , ( = + + + x z z y y x f ，求 x z ¶ ¶ 和 yz ¶ ¶．解 设 y x u + = ， z y v + = ， x z w + = ，方程 0 ) , , ( = + + + x z z y y x f 两端对x 求导，得 = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ x w w f x v v f x u u f 0 1 = ÷ ø ö ç è æ + ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ x z w f x z v f u f，解得 x z¶ ¶ w v u w f f f f + + - = ；同理得 y z ¶ ¶ wv v u f f f f + + - = ．例 11 求下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数 ：（1） ï î ï í ì = + + = - - . 4 32 ,0 22 2 2 22 a z y x y x z 求 dx dy ， dx dz ， 2 2 dx y d 和 2 2 dx z d ； 解 方程对x 求导，注意 y 和z 是x 的函数，就有 î íì = ¢ + ¢ + = ¢ - - ¢ . 0 6 4 2 , 0 2 2 z z y y x y yx z *) 解得 dx dy ) 3 1 ( 2 6 z y xz x + + - = ， dx dzzx z y xy 3 1 ) 3 1 ( 2 2 + = + = ．方程 *)在对x 求导，有 ï î ï íì = ¢ + ¢ ¢ + ¢ + ¢ ¢ + = ¢ - ¢ ¢ - - ¢ ¢ . 0 6 6 4 4 , 0 2 2 2 2 2 2 z z z y y yx y y y z 解得 2 2 dx yd ) 3 1 ( 4 12 6 ) 3 1 ( 4 2 2 z y z z z y x + + ¢ + + ¢ + - = ， 2 2 dxz d ) 3 1 ( 2 6 ) 1 ( 4 4 2 2 z y z y xy y y y + ¢ - - + ¢ + = ；代入 dx dy 和 dxdz的表达式，即得2 2 dx y d 2 22 3 ) 3 1 ( 2 3 ) 3 1 ( 4 ) 6 1 ( 4 ) 3 1 ( 4 12 z y x z y z x z y z x + -+ + - + + - = ， 2 2 dx z d 222 3 ) 3 1 ( 3 ) 3 1 ( 2 ) 6 )( 1 ( ) 4 (2 1 z x z y xz x y x + - + + + + - = ． （2） î í ì - = + = . ) , (, ) , , ( 2y v x u g v y v x u f u 求 x u ¶ ¶ 和 y v ¶ ¶ ． 解 设 y v s + = ， x u t - = ， y v r 2 = ，方程对x 求导，注意u 和v 是x 的函 数，就有î íì + = + + = . ) , ( ) , (, ) , , ( ) , , ( ) , , (2 x r x t x x s x x u x r r t g t y v t g v s s x u f s x u f u s x u f u 即î íì + - = + + = . 2 ) , ( ) 1 )( , (, ) , , ( ) , , ( ) , , ( x r x t x x s x x u x yvv r t g u r t g v v s x u f s x u f u s x uf u 解得x u¶ ¶ ), ( ) , , ( ] 1 ) , ( 2 ][ 1 ) , , ( [ ) , ( ) , , ( ] 1 ) , ( 2 )[ , , ( r t g s x u f r t yvg s x u f r t g s x u f r t yvg s x u f t s r u t s r x - - - + - - = ； 方程对 y 求导，注意u 和v 是x 的函数，就有ï îï í ì + + = + + = . ) 2 )( , ( ) , ( , 1) )( , , ( ) , , ( 2 v yvv r t g u r t g v v s x u f u s x u f u y r y t y y s y u y 解得y v ¶ ¶), ( ) , , ( ] 1 ) , ( 2 ][ 1 ) , , ( [ ) , ( ) , , ( ] 1 ) , ( 2 )[ , , ( 2 r t g s x u f r t yvg s x u f r t g s x u f v r t yvg s x u f t s r u r s r s - - - - - -= ． 例 12 设函数 ) , ( y x f z = 具有二阶连续偏导数． 在极坐标 q cos r x = ， q sin r y = 变换下，求 + ¶ ¶ 2 2 x f 2 2 yf¶ ¶ 关于极坐标的表达式．解2 2 y x r + = ， xy arctan = q ．所以= ¶ ¶ x f = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ x f x r r f q q 2 2 2 2 y x y f y x x r f + ¶ ¶ - + ¶ ¶ q qq q ¶ ¶ - ¶ ¶ = f r r f sin cos ， = ¶ ¶ y f = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ y f y r r f q q 2 2 2 2 y x x f y x y r f + ¶ ¶ + + ¶ ¶ q q q q ¶ ¶ + ¶ ¶ = f r r f cos sin ； 2 2 x f ¶ ¶ ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶¶ = q q q f r r f x sin cos r ¶ ¶ = q cos sin cos f f r r q q q ¶¶ æö - ç÷ ¶¶ èø q q ¶ ¶ -r sin sin cos f f r r q q q ¶¶ æö- ç÷¶¶ èør fr f rf r r f r csos r f ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ = q q q q q q q q q q 2 22 2 2 2 2 2 2 2sin cos sin 2 sin sin 2 cos ； 类似有22 yf ¶ ¶ r f r f r f r r f r csos r f ¶ ¶ + ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ = q q q q q q q q q q 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cos cos sin 2 cos sin 2 sin ． 于是得 + ¶ ¶ 2 2 x f 2 2 yf ¶ ¶ = r fr f r r f ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ 1 1 2 2 2 2 2 q ．例 13 证明：通过线性变换 y x u l + = ， y x v m + = ，可以北将方程A 2 2 x f ¶ ¶B 2 + y x f ¶ ¶ ¶ 2C + 0 2 2 = ¶ ¶ yf，( 0 2 < - B AC )化简为 0 2 = ¶ ¶ ¶ v u f．并说明此时l 和m 为一元二次方程 0 2 2 = + + Ct Bt A 的两个相异实根．证 由 y x u l + = 和 y x v m + = 得x f ¶ ¶ v f u f ¶ ¶ + ¶ ¶ = ， y u ¶ ¶ vfu f ¶ ¶ + ¶ ¶ = m l ． 2 2 x f ¶ ¶ + ¶ ¶ = 2 2 u f + ¶ ¶ ¶ v u f 2 2 2 v f ¶ ¶ ， 2 2 y f ¶ ¶ lm l 2 2 2 2 + ¶ ¶ = u f + ¶ ¶ ¶ v u f 2 222 v f ¶ ¶ m ， = ¶ ¶ ¶ v u f 2 ) ( 2 2 m l l + + ¶ ¶ u f + ¶ ¶ ¶ v u f 2 2 22 vf ¶ ¶ m ． 代入A 2 2 x f ¶ ¶ B 2 + y x f ¶ ¶ ¶ 2 C + 0 2 2 = ¶ ¶ yf ，化简得) 2 ( 2l l C B A + + 2 2 u f ¶ ¶ + ) 2 ( 2 m m C B A + + 2 2 vf ¶ ¶] 2 ) ( 2 2 [ lm m l C B A + + + + 0 2 = ¶ ¶ ¶ vu f．可见，当且仅当l 和m 为一元二次方程 0 2 2 = + + Ct Bt A 的两个相异实根时，方 程就化成 0 2 = ¶ ¶ ¶ vu f．例 14 求椭球面 498 3 2 2 2 2 = + + z y x 的平行于平面 7 5 3 = + + z y x 的切平面．解 所求切平面的法向量为 ) 6 , 4 , 2 ( z y x ，应有 56 3 4 1 2 z y x = = k 令== ，就有 2 k x = ， k y 4 3 = ， k z 6 5 = ，代入方程 498 3 2 2 2 2 = + + z y x ，有 498 2483 2 = k ，得12 ± = k ． 在点M ) 10 , 9 , 6 ( 和N ) 10 , 9 , 6 ( - - - 的切平面与平面 7 5 3 = + + z y x 平 行．在点M ) 10 , 9 , 6 ( 的法向量为 ) 60 , 36 , 12 ( ，切平面为0 ) 10 ( 60 ) 9 ( 36 ) 6 ( 12 = - + - + - z y x ，即 0 83 5 3 = - + + z y x ；在点N ) 10 , 9 , 6 ( - - - 的法向量为 ) 60 , 36 , 12 ( - - - ，切平面为0 ) 10 ( 60 ) 9 ( 36 ) 6 ( 12 = + - + - + - z y x ，即 0 83 5 3 = + + + z y x ．综上，椭球面 498 3 2 2 2 2 = + + z y x 上，平行于平面 7 5 3 = + + z y x 的切平面 有两块，它们是 0 83 5 3 = ± + + z y x ．例15 证明曲面 a z y x = + + ) 0 ( > a 上任一点的切平面在各坐标轴上的 截距之和等于a ．证 设M ) , , ( 0 0 0 z y x 为曲面 a z y x = + + 上任的一点，曲面在该点的切面为0 2 2 2 00 00 00 = - + - + - z z z y y y x x x ，即0 ) ( 0 0 0 0 00 = + + - + + z y x z z y y x x ， 亦即0 0 0 0 = - + + a z z y y x x ．化为截距式即为 1 0 0 0= + + az zay y ax x ． 可见在各坐标轴上的截距之和为a az ay ax = + + 0 0 0 = + + ) ( 0 0 0 z y x a ．例 16 在 ] 1 , 0 [ 上用怎样的直线 b ax + = x 来代替曲线 2 x y = ，才能使它在平方 误差的积分 = ) , ( b a J ò - 10 2 ) ( dx y x 为极小意义下的最佳近似．解 = ) , ( b a J = - - ò 10 22) ( dx b ax x 51 32 23 2 2 + - - + + b a ab b a ．现求其中极小值．ï ï îï ï íì- + = - + = .3 2 2 ,2 1 3 2 a b J b a J b a 解得有唯一驻点M ÷ ø ö ç èæ- 6 1 , 1 ．0 3 1 1 2 3 2 | ) ( > = - ´ = - M ab bb aa J J J ，又 0 32| > = Maa J ，因此， ) , ( b a J 在点 M ÷ ø ö ç è æ- 6 1 , 1 取极小值．因为 ) , ( b a J 在R 2 中仅有唯一的极小值，可见该极小值还是最小值．因此，在 ] 1 , 0 [ 上用直线 61- = x x 来代替曲线 2 x y = ，才能使它在平方误差的积分为极小的意义下是最佳的近似．例 17 要做一圆柱形帐篷，并给它加一个圆锥形的顶．问在体积为定值时，圆柱的半径R ，高H 及圆锥的高h 满足什么关系时，所用的布料最省？解 设体积为定值V ，则 ÷ ø ö ç èæ+ = h H R V 3 1 2 p ，得 h R V H 3 1 2 - = p ．帐篷的全面积为2 2 2 2 322 2 ) , ( h R R Rh R V h R R RH h R S + + - =+ + = p p p p ， 0 > R ， 0 > H ． R S 0 3 2 2 2 2 2 22 2 = + + + + - - = hR R h R h R V p p p ，(*)0 3 2 2 2 = + + - = hR RhR S h p p ．(**)由(**)式的得 h h R 232 2 = + ，代入(*)式，有R S 0 6 4 5 12 242 2 = + + - = h R R h R Vh p p ，由 0 6 2 > h R ，应有 0 12 5 4 2 2 2 = - + Vh h R R p p ． 这就是驻点出应满足的关系式．由于该问题在于有最小值，这也是帐篷的全面 积 ) , ( h R S 取最小值时，圆柱的半径R 与圆锥的高h 所应满足的关系式． 例 18 抛物面 2 2 y x z + = 被平面 1 = + + z y x 截成一椭圆．求原点到这个椭圆的 最长距离与最短距离．解 这是求函数 2 2 2 ) , , ( z y x z y x d + + = 在约束条件 0 2 2 = - - y x z 与0 1= - + + z y x 之下的条件极值问题 ．构造 Lagrange 函数= ) , , , , ( m l z y x L l - + + 2 2 2 z y x m + - - ) ( 2 2 y x z ) 1 ( - + + z y x ．(5) . 0 1 (4) , 0 (3) , 0 2) 2 ( , 0 2 2 ) 1 ( , 0 2 2 2 2 ï ï ï î ïï ïí ì = - + + = = - + = = + - = = + + = = + + = z y x Lz y x L z L y y Lx x L z y x m l m l m l m l 由（1）和（2）有 0 ) 1 )( ( 2 = + - l y x ，由于 1 - ¹ l (否则由（1）得 0 = m ，据（3）得 2 1 - = z ，代入（4） ，导致 0 212 2 = + + y x 无解)，得 y x = ．把 y x = 代入（4）和（5） ，解得 2 3 1 2 , 1 ± - =x ， 231 2, 1 ± - = y ， 3 2 2 1 m = - = x z ．即得两个 驻点A ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - + - + - 3 2 , 2 3 1 , 2 3 1 和B ÷ ÷ øöç ç è æ + - - - - 3 2 , 2 3 1 , 2 3 1 ． 而该 问题必有最大值和最小值，因此，点A 和B 就是最大和最小值点．由于d ÷ ÷ ø öç ç è æ - + - + - 3 2 , 2 3 1 , 2 3 1 3 5 9- = ； d ÷ ÷ øöç ç è æ + - - - - 3 2 , 2 3 1 , 2 3 1 3 5 9+ = ． 可见点A 和B 分别是最小和最大值点．即原点到这个椭圆的最长距离为 3 5 9+ ，最短距离为 3 5 9- ．例 19 求椭圆 12 3 2 2 = + y x 的内接等腰三角形，其底边平行于椭圆的长轴，而使面积最大．解 所指内接等腰三角形的一半(如图) 是 ABC D ，设C 的坐标为(,) x y ，则三角(0,2)A yx(0,)B y o(,)C x y形 ABC D 面积为 ) 2 ( y x - 之半，于是所求内接等腰三角形的面积为 ) 2 ( y x - ．问题是求函数 ) 2 ( ) , ( y x y x S - = 在约束条件 12 3 2 2 = + y x 之下的条件极值． 设Lagrange 函数为) 12 3 ( ) 2 ( ) , , ( 2 2 - + + - = y x y x y x L l l ，( 0 > x ， 2 2 < < - y )，则ï î ïí ì = - + = = + -= = + - = (3) . 0 12 3 (2) , 0 6 ) 1 ( , 0 22 2 2 y x L y x L x y L y x ll l 从方程（1）和（2）中消去l ，得 y y x 6 3 2 2 - = ，代入（3） ，得 0 2 2 = - - y y ，解得 231± = y ． 2 = y 时， 0 ) 2 , ( = x S ．因此，得唯一的驻点 ) 1 , 3 ( - ．该问题有最大值，当底边右端点的坐标为 ) 1 , 3 ( - 时，所得内接等腰三角形的面 积最大．。
(完整版)多元函数微分学及其应用习题解答
(((x 2 + y 2 ≤ 1, x+ y }(1- (t + 4) 2 解：令 t=xy ， lim = lim= lim 2=- t →0 t →0习题 8-11. 求下列函数的定义域：(1) z =解： x -x - y ；y ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ D ={x, y ) y ≥ 0, x ≥ y }x(2) z = ln( y - x) +；1 - x2 - y 2解： y - x ≥ 0, x ≥ 0,1 - x 2 - y 2 ⇒ D ={ x , y ) y > x ≥ 0 且 x2+ y 2 < 1}(3) u = R 2 - x 2 - y 2- z 2 +1x 2 + y 2+ z 2 - r 2(R > r > 0) ；解： 0 ≤ R 2 - x 2 - y 2 - z 2，0 < x 2 + y 2 + z 2 - r 2 ⇒⇒ D = {x , y , z ) r 2< x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2}(4) u = arccoszx 2 + y 2。
解：z2 2 ≠ 0 ⇒ D = {x, y ) z ≤x 2 + y 2 且 x 2 + y 2≠ 02. 求下列多元函数的极限:：(1) lim ln( x + e y )x →1 x 2 + y 2y →0；解： limx →1y →0ln( x + e y ) x 2 + y 2 = ln(1+ 1)1= ln 2(2) lim 2 - xy + 4x →0xy y →0；1- 2 - xy + 4 2 t + 4 1 x →0xy t 1 4 y →01 / 28x →0 y →0x →0lim x +y = , m 不同时,极值也不同,所以极限不存在 。
(3) lim sin xyx →0x y →5；sin xy sin xy解： lim = 5lim = 5x →0 x 5xy →5y →01 - cos( x2 + y 2 ) (4) lim( x 2 + y 2 )e x 2 y 2；x →0 y →0解：Q 1 - cos( x 2 + y 2 ) = 2(sinx 2 + y 2 2)2 ,∴ l im x →0 y →01 - cos( x2 + y 2 ) 1= 2 ⋅ ⋅ 0 = 0( x 2 + y 2 )e x 2 y 2 2(5) lim( x 2 + y 2 ) xy 。
多元函数微分学(1)
微积分Ⅰ 微积分Ⅰ
第八章
多元函数微分学
9
二、典型例题分析
微积分Ⅰ 微积分Ⅰ
第八章
多元函数微分学
10
题型 1 求二元函数的极限
解题思路 (1) 利用多元初等函数的连续性求二元
函数的极限 (如例 1); 如例 (2) 利用变量替换将求二元函数极限的问题转化为 求一元函数极限的问题 (如例 2); 如例 (3) 利用夹逼定理求二元函数的极限 (如例 3); 如例 (4) 判定二元函数的极限不存在 (如例 4). 如例
多元函数微分学
21
例 5 设 z = z(x, y) 是由方程 x2 + y2 − z = ϕ( x + y + z) 所确定的函数, 所确定的函数 其中 ϕ 具有二阶导数且 ϕ′ ≠ −1 , (1) 求 dz ;
∂u 1 ∂z ∂z ( − ), 求 (2) 记 u( x, y) = . ∂x x − y ∂x ∂y
第八章
多元函数微分学
1
多元函数微分学】 【多元函数微分学】习题课 一、主要内容 二、典型例题分析
微积分Ⅰ 微积分Ⅰ
第八章
多元函数微分学
2
一、主要内容
微积分Ⅰ 微积分Ⅰ
第八章
多元函数微分学
3
1、区域 、 (1) 邻域
U ( P0 , δ ) = { P | PP0 | < δ }
= {( x , y ) | ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ }.
F ( x , y , u, v ) = 0 (1)F ( x , y ) = 0; (2)F ( x , y , z ) = 0; (3) . G ( x , y , u, v ) = 0
高等数学 多元函数微分学题
，利用链式法则（1）有
即压强的减少率为0.04155kPa/s。
例7设 ，尔 。利用全微分形式不变性求 和 。
解
因du=d(xy)=ydx+xdy
dv=d(x+y)=dx+dy
代入后归并含dx及dy的项，得
即
比较上式两边的dx、dy的系数，就同时得到两个偏导数
例1设 ，求 和 .
解将y看作常量，对x求导，得
＝2x y， ＝1.
把x看作常量，对y求导,得
=x+3 ， =3.
例2设 ，求 和 .
解
例3设 ，求证：
证因为将y和z视为常量，对x求导，得
；
将x和z视为常量，对y求导，得
；
将x和y视为常量，对z求导，得
.
从而
=
= =u.
例4求 的偏导数.
解 ;
由于所给函数关于自变量的对称性，立即可求出
解令 ，则 ，故
n的方向余弦为
，
u在点P的偏导数为
例3沙石运输问题.
假设有体积为V(m )的沙石用长方体形状的有底无盖且在底部装有滑行器的木箱运输，这种木箱可以反复使用（假设木箱永不损坏）。木箱的各部分造价是，箱底与两端的材料费用为a（元/m ），另外两个侧面的材料费用为b（元/m ），箱底两个滑行器与箱子同长，材料费为c（元/m）.又不论箱子中沙石是否装满（一般情况下，最后一箱沙石不会装满），每装一箱沙石需支付费用d（元）.
解设F(x , y , z)= ，则
, , ，
当z≠ln2时，应用公式（4）得
， .
再一次由 对y求偏导数，得
例3求由方程 所确定的函数 的偏导数，其中 均连续且 。
(完整版)多元函数微分学及其应用习题解答
1 / 28习题8-11. 求下列函数的定义域： (1) y x z -= ；解：0,0x y D ≥≥⇒=(){,0,x y y x ≥≥(2) 221)ln(yx xx y z --+-=；解：220,0,1y x x x y D -≥≥--⇒=(){}22,01x y y x xy >≥+<且(3) )0(122222222>>-+++---=r R rz y x z y x R u ；解：222222220R x y z x y z r ≤---<++-⇒，0D ⇒=(){}22222,,x y z rx y z R <++≤(4) 22arccosyx z u +=。
221,0x y D ≤+≠⇒=(){}22,0x y z x y ≤+≠2. 求下列多元函数的极限:： (1) 22y 01)e ln(limyx x y x ++→→；解：y 1ln 2x y →→== (2) xy xy y x 42lim0+-→→；解：令t=xy，1200001(4)12lim 14x t t y t -→→→→-+===-2 / 28(3) x xyy x sin lim50→→；解：0050sin sin lim5lim 55x x y y xy xyx x →→→→==(4) 22x 222200e)()cos(1limy y x y x y x ++-→→；解：22222222222x 001cos()11cos()2(sin ),lim 20022()ey x y x y x y x y x y →→+-+-+=∴=⋅⋅=+Q (5) xyy x y x )(lim 220+→→。
解：0,xy >设22ln()xy x y +两边取对数，由夹逼定理2200222222lim ln()2222000ln()()ln()0lim ln()0,lim()1x y xy x y xyx x y y xy x y x y x y xy xy x y x y e→→+→→→→≤+≤++<+=∴+==xylnxy 当时同理可得,3. 证明下列极限不存在： (1) y x yx y x -+→→00lim；证明：(1)(,)(,)(,)(1)m x x y y mx f x y f x mx m x+===-当沿直线趋于原点(0,0)时.001lim,1x y x y mm x y m →→++=--不同时,极值也不同,所以极限不存在。
多元函数微分学题目+简析
暑期培训（多元函数微分学）一、多元函数的偏导数1. f(x,y)可微，f(0,0)=0, m f x =)0,0(/，n f y =)0,0(/，)),(,()(t t f t f t =ϕ，求)0(/ϕ。
知识点：抽象的复合函数求偏导关键：理清函数结构 答案：2m mn n ++ 难度：易2. z=z(x,y)由f(y-x, yz)=0所确定，f 对各变量的二阶偏导函数连续，求xz∂∂，22x z ∂∂。
知识点：抽象的复合函数、隐函数求偏导关键：理清函数结构答案：/////11122/2,(,),(,);f zf f y x yz f f y x yz x yf ∂==-=-∂()()()22//////////2122211121232/22.f f f f f f f zx y f--+∂=∂难度：易 3.(,)z f x y z xyz =++，求,,.z x yx y z∂∂∂∂∂∂知识点：抽象的复合函数求偏导关键：3个变量，1个方程在一定条件下可确定一个2元函数，该2元函数的因变量可以是z ，也可以是x 或者.y答案：//////121212//////1212121;;.1f yzf f xzf f xyf zx y x f xyf y f yzf z f xzf ++--∂∂∂==-=∂--∂+∂+ 难度：易4. z=f(x,y)在（0,1）的某邻域内可微，且22),(321)1,(y x O y x y x f +=+++=+ρρ，一元函数y(x)由f(x,y)=1所确定，求)0(/y知识点：多元函数全微分的定义 关键：找到两个已知条件：“z=f(x,y)在（0,1）的某邻域内可微”与“(,1)123(),f x y x y O ρρ+=+++=之间的联系，从而从已知条件中发现求)0(/y 所需要的东西。
答案：23- 难度：中 5.3(),(),,uu f xyz F t t xyz x y z∂===∂∂∂求().F t知识点：3元的抽象的复合函数求偏导 关键：理清函数结构+耐心 答案：///2(3)()3()().f t tf t t f t ++难度：易6. 2(1,1)(,),.u uu e xy u u x y x y ∂+==∂∂确定了求知识点：隐函数求偏导关键：求出2u x y∂∂∂的表达式，明确(,)(1,1)x y =时?u =答案：///2(3)()3()().f t tf t t f t ++难度：易7. ,ln )1()(x y x x y xf z -+=f 二阶可微，求-∂∂222x z x 222y z y ∂∂. 知识点：抽象的复合函数求偏导关键：处理好()y f x答案：(1).x y + 难度：易 8.2222(),x y z xyf z f++=可微，求.z z xy x y∂∂+∂∂ 知识点：抽象的复合函数求偏导 关键：理清函数结构、处理好2()f z答案：/2.1()zxyf z - 难度：易9. (,,)u v w ϕ有二阶连续偏导数，(,)z z x y =由(,,)0bz cy cx az ay bx ϕ---=所确定，求.z za b x y∂∂+∂∂知识点：抽象的复合函数求偏导 关键：等号左边的ϕ有3个中间变量；(,)z z x y =。
多元泰勒级数展开原创高等数学重点内容及课后习题解读
多元泰勒级数展开原创高等数学重点内容及课后习题解读[恶搞]数学高考临场应考20招:ml高等数学重点内容及课后习题解读基础阶段的温习是以课本为主，主要任务两个，一是学习知识点(定义、定理、公式)并理解它们，二是完成一定的课后习题以检验自己对知识点的把握程度。
很多人在学习中都轻易忽视课本，觉得比起那些专门的参考资料，课本上的习题实际上是没什么值得关注的，但实在不然，一套经典的教材，它所配的习题很多都有值得我们往挖掘的地方。
以下以同济6版教材为准。
函数极限连续本章常考知识点和命题重点:复合函数，特别是分段函数的复合;极限概念与性质;极限存在准则;求极限的方法:利用极限四则运算法则;利用两个重要根限;利用等价无穷小量代换;利用夹逼原理;利用单调有界准则;无穷小量的阶;函数中断点的类型;有限闭区间上连续函数的介值定理和最大最小值定理。
本章每年直接命题约占总分的5.17%，约占高等数学的8.32%，假如加上间接命题至少达到高等数学的15%，可见这部分内容在高等数学中占有重要的基础地位。
本章命题的重点是函数极限与数列极限的计算。
从考试内容与要求来看，函数的连续性与中断点的分类一直没有命题，而闭区间上连续函数的性质尽管没有直接命题，但通过微分中值定理间接考核过。
因此在温习的过程中，要特别留意函数的中断点及其分类等相关的内容。
总习题一1是填空题，是考察与极限有关的一些概念，这个是很重要的，要把握好。
而且几乎每章的总习题都设了填空题，均与这些章节的重要概念有关。
所以每章的总习题里的填空题所涉及的知识点，比如谁是谁的什么条件之类，务必要搞清楚。
2分段点处函数的连续性，重点内容，务必熟练把握。
3(1)是无穷小的阶的比较，(2)是函数中断点的判别，均为重要考点。
4、5、6、7是与函数有关的题目，这个是学好高数的基础，但却不是高数侧重的内容，熟悉即可。
8、用定义证实极限，较难，一般来说能理解极限的概念就可以了，不需要把握。
专升本《高等数学》易错题解析-第八章：多元函数微分法
多元函数微分学 一、知识网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧线空间曲线的切平面与法曲线的切线与法平面几何应用拉格朗日乘数法定义法条件极值充分条件必要条件极值泰勒公式应用方程组一个方程隐函数复合函数的微分定义微分法质闭区域上连续函数的性关系连续性与全微分之间的偏导数极限与累次极限的关系性质全微分梯度方向导数偏导数连续极限有界闭区域区域集闭开边界点外点内点邻域距离图形多元函数变化域基本概念，、、、、、、、、、、、)( 二、典型错误分析例1.求.lim 222300y xy x xy x y x +-+→→[错解] 引入极坐标,并注意到02sin 211≠-θ,故原式02sin 211cos lim )sin cos 1()sin cos (cos lim 022330=-=-+→→θθθθθθθr r r r r[错因分析] 若A y x f y y x x =→→),(lim 00, 则要求动点),(y x Q 沿任何方向、任意方式趋于点),(00y x P 时,函数均趋于A. 本题的以上解法仅反映了动点),(y x Q 沿从原点引出的射线方向趋向于)0,0(时,函数的极限是零,这不足以说明该函数的极限就是零.[正确解法] 由于22222322230yxy x xy y xy x x y xy x xy x +-++-≤+-+< ||||243||222223y xy x y x y x x x +-+⎪⎭⎫⎝⎛-+= ||||34||||||43||223y x y x y x x x +=+≤且 0||||34lim 00=⎪⎭⎫⎝⎛+→→y x y x于是 .lim 222300y xy x xy x y x +-+→→例2.求.lim22y xy x yx y x +-+∞→∞→[错解] 由于222222222y xy x y x y xy x +-++=+-442)(22222222y x y x y x y x +++≥-++= 4)(424222y x xy y x +=++≥ 于是||4)(41||222y x y x y x y xy x y x +=++≤+-+ 又 ∞→∞→y x lim0||4=+y x故 .lim22y xy x yx y x +-+∞→∞→[错因分析] ∞→∞→y x lim0||4=+y x 未必成立,例如,取n y n x n n -==4,则1||4lim,lim lim =+∞==∞→∞→∞→nn n n n n n y x y x[正确解法] 由于 22222y x y xy x +≥+-)(2)(222y x y x +≤+)(2||22y x y x +≤+⇒于是 2222222222)(212yx y x y x yxy x yx +=++≤+-+而 ∞→∞→y x lim02222=+yx故 .lim22y xy x yx y x +-+∞→∞→例3.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1sin )(),(22222222y x y x y x y x y x f 问),(y x f 在点)0,0(处:(1)偏导数是否存在? (2)偏导数是否连续? (3)是否可微? [错解](1) 2222221cos 21sin2),(y x y x x y x x y x f x ++-+='2222221cos 21sin2),(yx y x y y x y y x f y ++-+=' 可见)0,0(x f '及)0,0(y f '都不存在.(2)显然可知),(y x f x '及),(y x f y '在)0,0(处不连续.(3)由上述知),(y x f 在)0,0(处不可微.[错因分析] 忽略了分段函数在其分界点处的偏导数必须利用定义来求. [正确解法] (1)由于0)(1sin)(lim )0,0()0(lim)0,0(2200=∆∆∆=∆-∆+='→∆→∆xx x xf x f f x x x故)0,0(x f '存在. 同理)0,0(y f '也存在且等于零. (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++-+='0,00,1cos 21sin 2),(2222222222y x y x y x y x x y x x y x f x ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++-+='0,00,1cos 21sin 2),(2222222222y x y x y x y x y y x y y x f y由于 ]1cos 21sin2[lim ),(lim 22222200y x y x x y x x y x f xy x x xy x ++-+='=→=→]21cos 121sin2[lim 220x x x x xy x -==→ 可知该极限不存在.同理可证),(lim 0y x f y xy x '=→不存在. 故),(y x f x '及),(y x f y '在)0,0(处不连续.(3)注意: 函数的偏导数连续是函数可微的充分条件, 而不是必要条件,因此不能由(2)直接得出),(y x f 在)0,0(处不可微.由于 =∆z α+∆'+∆'y f x f y x )0,0()0,0( 且知 )0,0(x f '0)0,0(='=y f因而 )0,0()0,0(f y x f z -∆+∆+=∆=α2222)()(1sin])()[(y x y x ∆+∆∆+∆=000lim lim →∆→∆→∆→∆=y x y x ρα0)()(1sin )()(])()[(222222=∆+∆∆+∆∆+∆y x y x y x 故函数),(y x f 在)0,0(处可微.例4.设),,(v u x f =ω,),(y x u ϕ=,x ),(y x v ψ=.试将u ∂∂ω,v∂∂ω用ψϕ,,f 的偏导数表示.[错解] 如下图,可知 xω u xv yxvv x u u dx dx x x ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂ωωωω x x vu x ψωϕωω'∂∂+'∂∂+∂∂=)(a 故0='∂∂+'∂∂x x vu ψωϕω )(b 又由yv v y u u dy dx x y ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂ωωωω y y vu ψωϕω'∂∂+'∂∂+=0 )(c 故yv u yy ∂∂='∂∂+'∂∂ωψωϕω )(d 由)(b ,)(d 联立解之, 得xy y x xx y y x xyv y u ψϕψϕωϕωψϕψϕωψω''-''∂∂'=∂∂''-''∂∂'-=∂∂,其中0≠''-''x y y x ψϕψϕ[错解分析]由)(a 得到的)(b 是错的. )(a 中等式左右两端的x∂∂ω不能消掉,这是因为两者的含义截然不同. 等式左边的x∂∂ω是在)),(),,(,(y x y x x f ψϕω=中把y 看作常量对x 求偏导而得;而等式右端的x∂∂ω是把x 与v u ,看作相互独立的变量,即把v u ,看作常量对x 求偏导而得. 以后凡遇到一个变量即是自变量又是中间变量的情况,两边对该变量的偏导数要写成不同的符号以示区别. [正确解法] 由前面图可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'∂∂+'∂∂+=∂∂'∂∂+'∂∂+∂∂=∂∂y y x x v f u f y v f uf x f x ψϕωψϕω0解之, 可得,xy y x x y y x f x u u f ψϕψϕψωψωω''-'''∂∂-'⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂=∂∂.xy y x y xx f x y v v f ψϕψϕϕωϕωω''-'''⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-'∂∂=∂∂=∂∂其中0≠''-''x y y x ψϕψϕ.例5.设),(t x f y =,而t 是由方程0),,(=t y x F 所确定的y x ,的函数,试求dxdy. [错解] 由),(t x f y =,则xt t f x f dx dy ∂∂∂∂+∂∂= )(a 又由0),,(=t y x F ,则t x F F x t''-=∂∂ )(b 将)(b 代入)(a 得t f x f dx dy ∂∂+∂∂=t x t t x t x F F f F f F F '''-''=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''- [错因分析] 没有弄清函数的关系是问题所在. 一般来说, 三个未知量两个方程所反映的函数关系是其中两个变量是另一个变量的函数.从所求之结果dxdy可知,t y ,均是x 的一元函数. [正确解法]由),(t x f y =及0),,(=t y x F 确定出t y ,为x 的函数)(),(x t t x y y ==,将给定的两个方程的两边对x 求导,便有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='+'+'∂∂+'=0dx dt F dx dy F F dxdt t f f dx dy t y x x解之, 得=dx dy t y t x t t x f F F F f F f ''+'''-'' 例6.设),,(v u x f z =,22,y x v e u xy-==,且f 具有二阶连续的偏导数,求22xz∂∂,yx z∂∂∂2. [错解]vf x u f ye x f x z xy ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂2 22xz ∂∂⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=v f x x u f ye x x f x xy 2x v f x v f x u f ye u f e y xf xy xy ∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂=2222222y x z ∂∂∂2⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=v f x y u f ye y x f y xy 2 yv f x v f y u f ye u f xye u f e y x f xy xy xy ∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂=22222 [错因分析]在求二阶偏导数时,把vfu f x f ∂∂∂∂∂∂,,仅仅看作是x 或y 的函数是不妥当的,事实上它们仍然是以v u x ,,为中间变量, 以y x ,为自变量的函数. [正确解法]xz u xv yvfx u f ye x f x z xy ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂222x z ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂=v f x u f ye xf x xy 2+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂=v u f x u f ye xu f ye u f e y v x f x u x f ye x f xy xy xy xy 22222222222 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂2222222v f x u v f ye x v f x v f xy +∂∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=u v f xye x v f x x u f ye vf x u f e y x f xy xy xy 2222222222224424 vfu f e y xy∂∂+∂∂22 y x z ∂∂∂2⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂=v f x u f ye x f y xy 2 +∂∂+∂∂+∂∂∂-∂∂∂+⋅∂∂=u f xye u f e v x f y u x f xe xf xy xy xy 222220+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂-∂∂+⋅∂∂∂v u f y u f xe x u f ye xy xy222220 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂+⋅∂∂∂2222202v f y u v f xe x v f x xy +∂∂+∂∂++∂∂∂-∂∂∂=22222)1(2u f xye u f xy e v x f y u x f xe xy xy xy222224)(2vf xy u v f e y x xy ∂∂-∂∂∂- 三、综合题型分析 例7.证明极限2200limyx xyy x +→→不存在.[分析] 为了证明二元函数),(y x f 在点),(00y x 处极限不存在,只需找出两条不同的路径1L 和2L ,使点),(y x 在定义域D 内沿1L 和2L 趋向于点),(00y x 时),(y x f 趋向于两个不同数值;或找出一条路径L ,使点),(y x 在定义域D 内沿L 趋向于点),(00y x 时),(y x f 的极限不存在.[证明] 因沿1L :0,0=≠y x ,有022=+yx xy,而沿2L :x y x =≠,0,有2122=+y x xy ,故2200limyx xyy x +→→不存在. 例8.分别讨论下列函数在其定义域中的连续性:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=).0,0(),(,0),0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f (2) ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=).0,0(),(,0),0,0(),(,),(222y x y x y x y x y x f[分析] 题设的两个函数都是二元分段函数,当)0,0(),(≠y x 时它们分别是由自变量x 与自变量y 的一元基本初等函数经过四则运算得到的函数,利用已知一元函数的连续性知它们在)0,0(),(≠y x 处连续,在)0,0(),(=y x 点是否连续,则需按二元函数连续性定义来判断. [解](1) ),(y x f 当)0,0(),(≠y x 时连续, 但2200lim y x xyy x +→→不存在,故),(y x f 在点)0,0(处不连续.(2) ),(y x f 当)0,0(),(≠y x 时连续, 且由||||21222y y y x y x ≤≤+ 以及0||lim 00=→→y y x )0,0(f =. 可得),(lim 0y x f y x →→)0,0(0f ==, 即),(y x f 在其定义域全平面上连续.[注] 本例（１）中的函数),(y x f 在点)0,0(处不连续, 但两个偏导数都存在且)0,0(x f '=0)0,0(='y f ;而函数||||),(y x y x f +=则是在点)0,0(处连续,但两个偏导数)0,0(x f '和)0,0(y f '都不存在. 这两个例子表明对多元函数而言,连续性与偏导数存在这二者是既不充分又不必要的条件.与一元函数的情况不大相同.例9.设,sin y x e u x-=则y x u ∂∂∂2在点)1,2(π的值为______________.[答案] 2)(eπ[分析一] =∂∂xuy y x e y x e x x 1)cos (sin --+-)sin cos 1(y x y x y e x -=-,将该式对y 求导得y x u ∂∂∂2)].(cos )(sin 1cos 1[222y xy x y x y x y y x ye x -----=- 令π1,2==y x 并代入上式,得223222)()2cos 22sin 22cos (ee y x u πππππππ=++-=∂∂∂-.[分析二]=∂∂yu )(cos 2y x y x e x --2)1,2(2)1,(=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂∂x y x u dx d xy uππ22)cos (=--=x x x xe dx d ππ =---==--22)sin cos )1([x x x x xe x x e ππππ2)(eπ. 例10． 求下列极限(1) 2243002332lim y xy x y x y x +--→→; (2) y x yx xy y x y x +++→→24300lim[解] (1)由于224223224332)31(33)(2223320yy x y y x x xy xy x yx +-+-+≤+--≤224232932322y x y y xx+=+≤ 因为00lim →→y x 0292=⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 故原极限等于零.(2)令x x y -=3,则)()()()(lim lim 33243330024300x x x x x x x x x x x x y x y x xy y x y x y x -+-+-+-=+++→→→→ 1)(lim 344300-=+--=→→x x o x x y x .又令x y =,则02lim lim 3540024300=++=+++→→→→x x x x y x y x xy y x y x y x故y x yx xy y x y x +++→→24300lim 不存在. [方法小结]二元函数的极限比一元函数的极限要复杂得多, 计算也更困难. 通常从以下三个方面考虑.(1)设法利用变换化为一元函数的极限;(2)掌握绝对值不等式的放缩技巧, 使用夹逼定理;(3)通过观察, 若能大致估计所求极限不存在, 可选择两条不同路径, 求出不同的极限值, 借以证明原式极限不存在.例11．设f 具有二阶连续偏导数, 求函数),(2xyy x f z =, 求y x z ∂∂∂2,22x z ∂∂.[分析]本题给出的函数没有具体的表达式,这类函数称为抽象函数, 求抽象函数的偏导数, 一定要明确中间变量,中间变量可分别设为ω,,v u 等. 一般来说,抽象函数的高阶偏导数采用如下记号较为简便不易出错,用记号321,,f f f '''分别表示函数f 对第一、第二、第三中间变量的偏导数(多个中间变量可类推).用312312,,f f f '''''' 分别表示函数f 对第一、第二中间变量，第二、第三中间变量，第三、第一中间变量的二阶偏导数. 另外需注意,一般而言,函数对中间变量的偏导数仍是中间变量的函数,从而也是自变量的复合函数, 故对它们求高阶偏导时重复使用复合函数求偏导法则. 本题采用后一记号.[解]x z ∂∂22122122f x y f xy x y f xy f '-'=⎪⎭⎫⎝⎛-'+⋅'=y x z ∂∂∂2⎪⎭⎫⎝⎛'-'∂∂=2212f x y f xy y ⎪⎭⎫⎝⎛''+''-⎪⎭⎫ ⎝⎛''+''+'-'=2221221211222111212f x f x x y f x f x xy f x f x 22312113221212f xy f y f y x f x f x ''-''+''+'-'= 22x z ∂∂⎪⎭⎫⎝⎛'-'∂∂=2212f x y f xy x⎪⎭⎫⎝⎛''-''-⎪⎭⎫ ⎝⎛''-''+'+'=2222121221123122222f x y f xy x y f x y f xy xy f x y f y 224212211222314422f xy f x y f y x f x y f y ''+''-''+'+'= 例12．设),,(x v u f z =, ),(y x u ϕ=,)(y v ψ=,求复合函数)),(),,((x y y x f z ψϕ=的偏导数x z∂∂与yz ∂∂. [解] 由复合函数求导法,得321f x f x f x z '+∂∂'+∂∂'=∂∂ψϕ,31f xf '+∂∂'=ϕ =∂∂yz dy d f y f ψϕ21'+∂∂')(21y f y f ψϕ''+∂∂'=. [注] 在本题的情况下, 记号xf∂∂的含意是不清楚的. ),,(x v u f 作为x v u ,,的三元函数求x x v u f ∂∂),,(与)),(),,((x y y x f ψϕ作为y x ,的二元函数求xx y y x f ∂∂)),(),,((ψϕ的含意是不同的.因此,这里应避免使用记号xf∂∂,若要使用它,则必须对其含意加以说明.若x f ∂∂表示),,(x v u f 对x 的偏导数,则该例中)),(),,((x y y x f z ψϕ=的偏导数xz ∂∂,yz∂∂也可表示为 )(,y v f y u f y z x f x u f x z ψϕϕ'∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂. 应用复合函数求导法则应注意以下几点: ①复合函数对指定的自变量求偏导数∑=⨯=mi i 1量求偏导该中间变量对指定自变个中间变量求偏导数函数对第,其中m是中间变量的个数.原则上函数有几个中间变量,公式中就有几项.要分清中间变量与自变量,一定要注意对哪个自变量求导,对中间变量求导, 对中间变量求导不要漏项.有时公式中右端项的项数比中间变量个数少,那是因为有的中间变量与求偏导数的自变量无关,从而导数为零.如上例中yz ∂∂. ②复合函数求导公式中,函数对中间变量的偏导数仍然是中间变量的函数,如设),(v u f z =,),(y x u ϕ=,),(y x v ψ=, 则,xv f x u f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ψϕ 这里vfu f ∂∂∂∂,仍然是v u ,的函数,而),(y x u ϕ=,),(y x v ψ=. 于是,它们仍是y x ,的复合函数,求高阶偏导数时要注意这一点.例13. 设0),,,(2=--ωy z x y x F ,其中F 具有二阶连续偏导数, 且04≠'F , 求22y∂∂ω. [分析]隐函数求偏导数时,要弄清楚哪个是因变量, 哪个是自变量, 哪个是中间变量, 然后将方程两边对自变量求偏导, 再解相应的方程得出所出的偏导数. [解] 由所求结论可知ω是因变量, 又因只有一个方程, 可知z y x ,,均为自变量, 将方程0),,,(2=--ωy z x y x F )(a两边对y 求偏导, 有0)2()(4321=∂∂-'+-∂∂⋅'+'+∂∂'yy F z x y F F y x F ω )(b 由于z x ,与y 无关, 故0)(,0=-∂∂=∂∂z x yy x )(c 422F F y y ''+=∂∂ω)(d 将)(b 式的两边对y 求偏导, 得+∂∂-''+-∂∂⋅''+''+∂∂'')2()(24232221yy F z x y F F y x F ω0)2()2()()2(22444434241=∂∂-'+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-''+-∂∂⋅''+''+∂∂''∂∂-y F y y F z x y F F y x F y y ωωω 将)(c ,)(d 代入上式并整理可得22y∂∂ω34224442242422)()(2)(2F F F F F F F F ''''+''''-'''+= 例14. 证明曲面0,=⎪⎭⎫ ⎝⎛----c z b y c z a x f 的切平面通过一定点. [分析]所谓定点就是三个坐标均为固定常数的点, 由题设考虑, 极有可能是以c b a ,,为坐标的点.[证明] 由方程0,=⎪⎭⎫⎝⎛----c z b y c z a x f 有,1,121c z f f cz f f y x -⋅'='-⋅'=')]()([)(1212b y f a x fc z f z -'+-'--='其切平面方程为0)()()()()()(22121=--'-+'----'+--'z Z c z f b y f a x y Y c z f x X c z f即0)])(())([()])(())([(21='-----+'-----f z Z b y y Y c z f z Z a x x X c z 显然, 当),,(),,(c b a Z Y X =时,上式恒成立,故所证命题成立.例15.设),(y x f z =在区域D 上有定义,若在D 中任一点处),(y x f 的一阶偏导数存在且有界, 则),(y x f 在D 上连续. [分析] 由函数连续的定义可知, 若能证明lim 0=∆→∆→∆z y x 或),(),(lim 00y x f y y x x f y x =∆+∆+→∆→∆即可证明),(y x f 在D 中任一点),(y x 处连续.[证明] 设),(y x 为D 中任一点, 则 ),(),(y x f y y x x f z -∆+∆+=∆)],(),([)],(),([y x f y y x f y y x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+= )(a 由于),(),,(y x f y x f y x ''存在, 依据拉氏定理有=∆+-∆+∆+),(),(y y x f y y x x f x y y f x ∆∆+'),(ξ )(b =-∆+),(),(y x f y y x f y x f y ∆'),(η )(c其中ηξ,分别在x 与x x ∆+,y 与y y ∆+之间.又因),(),,(y x f y x f y x ''在D 中有界, 故∃一个0>M , 使得M y y f x ≤∆+'),(ξ, M x f y ≤'),(η )(d利用)(),(),(),(d c b a 式, 有)(y x M z ∆+∆≤∆于是 0000lim lim 0→∆→∆→∆→∆≤∆≤y x y x z 0)(=∆+∆y x M故lim 00=∆→∆→∆z y x即),(y x f 在点),(y x 处连续. 由于),(y x 在D 中的任一点处, 因而可知原结论成立.例16.求由方程010422222=--+-++z y x z y x 确定的函数),(y x f z =的极值.[解法一] 将方程010422222=--+-++z y x z y x 的两边分别对y x ,求偏导, 得⎩⎨⎧='-+'+='--'+0422204222y y x x z z z y z z z x )(a 由函数极值的必要条件知0,0='='y x z z ,将其代入)(a 得, 1,1-==y x 即得驻点)1,1(-P .由)(a 的两个方程分别对y x ,求偏导, 得zz A Pxx-=''=21)(b 0=''=Pxyz Bzz C Pyy-=''=21因为 0)2(1022<--=-z AC B )2(≠z故)1,1(-=f z 为极值.将1,1-==y x 代入方程010422222=--+-++z y x z y x ,得6,221=-=z z将21-=z 代入)(b 中可知041>=A故2)1,1(-=-=f z 为极小值.将61=z 代入)(b 中可知041<-=A 故6)1,1(=-=f z 为极大值. [解法二] 配方法.方程010422222=--+-++z y x z y x 可变形为16)2()1()1(222=-+++-z y x22)1()1(162+---±=-y x z显然, 当1,1-==y x 时, 根号中的极大值为4, 由此可知, 42±=z 为极值. 即6=z 为极大值, 2-=z 为极小值.例17.当0,0,0>>>z y x 时, 求函数z y x u ln 3ln 2ln ++=在球面22226r z y x =++上的最大值, 并证明对任意的正实数c b a ,,成立不等式6326108⎪⎭⎫⎝⎛++≤c b a c ab[解] 令λ+++=z y x z y x F ln 3ln 2ln ),,()6(2222r z y x -++有⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++=+='=+='=+=')4(06)3(023)2(022)1(0212222r z y x z z F y y F x x F z yx λλλ由)3(),2(),1(, 得22223,2x z x y ==代入)4(,得 r z r y r x 3,2,===及)3,2,(r r r P可知最大值为)36ln()3ln(3)2ln(2ln 6)3,2,(r r r r u r r r =++=即 ≤++z y x ln 3ln 2ln )36ln(6r亦即 63236r z xy ≤或 622226426)36(⎪⎪⎭⎫⎝⎛++≤z y x z y x 令c z b y a x ===222,,, 于是6326108⎪⎭⎫⎝⎛++≤c b a c ab例18.设方程x y e xy cos 2=+确定y 为x 的函数, 则dxdy=_______ [答案]yxe xye xy xy 2sin ++-[解法一] 设=),(y x F x y e xy cos 2-+,x ye F xy x sin +=', y xe F xy y 2+='由公式y x F F dx dy ''-=,得=dx dy yxe xye xy xy 2sin ++- [解法二] )(x y y =, 方程两端对x 求导, 得x y y y x y e xy sin 2)(-='+'+,解得yxe x ye y xyxy 2sin ++-=' 四、考研试题分析例19.(1991年数学一、二)由方程2222=+++z y x xyz 所确定的函数),(y x z z =在点)1,0,1(-处的全微分=dz __________ [答案]dy dx 2-[分析]本题是隐函数全微分的题. 有两种方法:其一是对方程两边求全微分,解出dz , 另一种方法是先求出yz x z ∂∂∂∂,.再利用全微分公式dy y zdx x z dz ∂∂+∂∂= . [解法一] 对方程两边求全微分可得+++xydz xzdy yzdx 0222=++++zy x zdz ydy xdx将1,0,1-===z y x 代入上式可得0)(21=-+-dz dx dy由此得到dy dx dz 2-=[解法二] 设=),,(z y x F 2222-+++z y x xyzx F '=222zy x x yz +++ ; y F '=222zy x y xz +++;z F '=222zy x z xy +++222222z y x xy z z y x yz x F F x zz x ++++++-=''-=∂∂;222222zy x xy z z y x xz y F F y z z y ++++++-=''-=∂∂=dz dx zy x xy z z y x yz x 222222++++++-dy zy x xy z z y x xz y 222222++++++-将1,0,1-===z y x 代入上式可得dy dx dz 2-=例20.(1998年数学一)设)()(1y x y xy f xz ++=ϕ,ϕ,f 具有二阶连续导数, 则y x z ∂∂∂2=__________.[答案])()()(y x y y x xy f y +''++'+''ϕϕ[分析]这是一道基本运算题, 求复合函数的导数. 依题意ϕ,f 是一元函数.[解答])()(1)(12y x y y xy f x xy f xx z +'+'+-=∂∂ϕ; )()()()(1)(122y x y y x x xy f x yxy f x x xy f xy x z +''++'+''+'+'-=∂∂∂ϕϕ )()()(y x y y x xy f y +''++'+''=ϕϕ[点评]本题中的)(),(y x xy f +ϕ,其中间变量均是一元, 如果考生误认为中间变量是二元,将出现y x y x f f ϕϕ'''',,,等记号,从而无法化简导致错误.)()()()(xy f y xy x xy f xy f x '=∂∂'=∂∂, )()()()(xy f x xy yxy f xy f y '=∂∂'=∂∂. 都是用)(xy f '表示,而不能将前一式写成)()(xy f y xy f xx '=∂∂, 后一式写成)()(xy f x xy f yy '=∂∂. 对于)(y x x +∂∂ϕ亦如此, )()(y x y x x+'=+∂∂ϕϕ. 而2000年数学一第四题设)(),(xyg y x xy f z +=,其中f 具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数, 求yx z ∂∂∂2. 这个题目从题设条件中就可看出),(y x xy f ,)(x yg 的不同,前者二个中间变量,后者一个中间变量,要区别开.g xyf y f y x z '-'+'=∂∂2211g xyg x f y x f x y f y f y x f x y f y x z ''-'-''-''+'-''-''+'=∂∂∂32222212212211121)(11)( g x yg x f y x f xy f y f ''-'-''-''+'-'=322231122111 例21.（2001年数学一）设函数),(y x f z =在点)1,1(处可微, ,1)1,1(=f3,2)1,1()1,1(=∂∂=∂∂yz xz,)),(,()(x x f x f x =ϕ, 求13)(=x x dx d ϕ [分析]求全导数,应用多元复合函数求全导数的法则求之. 关键是弄清复合函数的复合关系.如果)),(,()),(,()(21x x f x f x x f x f x '+'='ϕ,就少复合了一次. [解]1)1,1())1,1(,1()1(===f f f ϕ.)),(,()(3)()(3)(223x x f x f dxdx x dx d x x dx d ϕϕϕϕ== ))],(),())(,(,()),(,()[(321212x x f x x f x x f x f x x f x f x '+''+'=ϕ取1=x ,由于3)1,1()1,1(,2)1,1()1,1(21='='='='y x f f f f ,故13)(=x x dx d ϕ=51))32(32(3))]1,1()1,1()(1,1()1,1()[1(3=++='+''+'y x y x f f f f ϕ. 例22.(2002年数学一)考虑二元函数),(y x f 的下面4条性质:①),(y x f 在点),(00y x 处连续,②),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数连续,③),(y x f 在点),(00y x 处可微,④),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数存在.若用""Q P ⇒表示可由性质P 推出性质Q ,则有( ) (A) ②⇒③⇒①; (B) ③⇒②⇒①; (C) ③⇒④⇒①; (D) ③⇒①⇒④. [答案](A)[分析]本题考查下面因果关系的认知:①② ③④记住上述因果关系,不难看出应选(A).如果误认为偏导数存在必然为连续函数, 就有④⇒①,就选择了(C).错误在于把一元函数的情形搬到二元函数中来了. 例23.(2001年数学二)设函数)(x f y =由方程1)cos(2-=-+e xy e y x 所确定,则曲线)(x f y =在点)1,0(处的法线方程为__________. [答案]022=+-y x[分析]本题考查隐函数求导和曲线的法线方程,本题应注意的是求法线方程而不是切线方程.[解法一]方程两边对x 求导,得0)sin()()2(2='++'++xy y x y e y y x解得 )sin()sin(222xy x e xy y e dx dy yx y x ++-=++, 所以2)1,0(-=dx dy因此法线的斜率为21,法线方程为022=+-y x . [解法二]设),(y x F 1)cos(2+--=+e xy e y x)sin(22xy y e F y x x +='+, )sin(2xy x e F y x y +='+)sin()sin(222xy x e xy y e F F dx dy yx y x y x ++-=''-=++, 则2)1,0(-=dx dy因此法线的斜率为21,法线方程为022=+-y x . 例24.(1994年数学二)在椭圆4422=+y x 上求一点, 使其到直线0632=-+y x 的距离最短.[分析]点),(y x 到直线0632=-+y x 的距离|632|131-+=y x d ,因此问题变成了求函数d 在限制条件4422=+y x 下的极值问题.[解]问题可以转化成求函数=),(y x f 2)632(-+y x ,在限制条件4422=+y x 下的极值问题, 构造拉格朗日函数),,(λy x L =2)632(-+y x )44(22-++y x λ那么02)632(4=+-+=∂∂x y x xLλ08)632(6=+-+=∂∂y y x yLλ 04422=-+=∂∂y x Lλ消去λ, 解得53,58;53,582211-=-===y x y x ,于是,1311,131),(),(2211==y x y x dd由问题的实际意义知最短距离是存在的, 因此⎪⎭⎫⎝⎛53,58即为所求的点.例25.(2002年数学一)设有一小山, 取它的底面所在的平面为xoy 坐标面, 其底部所占的区域为}75|),{(22≤-+=xy y x y x D ,小山的高度函数为xy y x y x h +--=2275),(.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点, 问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为),(00y x g ,试写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动, 为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点, 也就是说, 要在D 的边界线7522=-+xy y x 上找出使(1)中的),(y x g 达到最大值的点, 试确定攀登起点的位置. [分析和解法一](1)高度函数),(y x h 在点),(00y x M 处的梯度是j y x i x y y x gradh y x )2()2(),(0000),(0-+-=由梯度的几何意义知, 沿此梯度方向, 高度函数),(y x h 的方向导数取最大值, 并且这个最大值就是此梯度的模, 于是),(00y x g 200200)2()2(y x x y -+-=002020855y x y x -+=(2) 令),(),(2y x g y x f =xy y x 85522-+=,依题意, 只需求二元函数),(y x f 在约束条件7522=-+xy y x 下的最大值点.令),,(λy x L xy y x 85522-+=)75(22--++xy y x λ, 则,0)2(810=-+-='y x y x L xλ ,0)2(810=-+-='x y x y L y λ='λL 07522=--+xy y x 消去λ, 解得35,35;35,35;5,5;5,544332211-=-====-=-==y x y x y x y x , 于是得到4个可能的极值点)35,35(),35,35(),5,5(),5,5(4321----M M M M 又150)()(;450)()(4321====M f M f M f M f .故)5,5(),5,5(21--M M 可以作为攀登起点. [分析和解法二]把山看作曲面, 山岗某一处坡度的大小就是曲面在该处的切平面与水平面的夹角的大小, 也就是切平面的法线与z 轴的夹角(锐角的那个)的大小. 山曲面z ),(y x h =在点),(y x M 处的切平面法向量是}1,,{y x h h '', 设它与z 轴的夹角(锐角的那个)为θ,那么.8551)2()2(1)()(11cos 222222xyy x y x x y h h y x -+=-+-='+'+=θ由此可见, 为了要在D 的边界线7522=-+xy y x 上找出使θ最大, 只要θcos 最小, 也只要二元函数xy y x 85522-+在条件7522=-+xy y x 下找最大值.以下同解法一.例26.(1994年数学四)某养殖场饲养两种鱼, 若甲种鱼放养x (万尾), 乙种鱼放养y (万尾), 收获时两种鱼的收获量分别为x y x )3(βα--和)0()24(>>--βααβy y x , 求使产鱼总量最大的放养数.[解] 设总产量为z , 则z =xy y x y x βαα224322---+,由极值的必要条件,得方程组0223=--=∂∂y x xzβα0244=--=∂∂x x yzβα 0>>βα, 方程组的唯一解)2(234,223220220βαβαβαβα--=--=y x .记α222-=∂∂=x z A , ,22β-=∂∂∂=y x z B ,422α-=∂∂=yzC 有0,0)2(4222<<--=-A AC B βα, 因此z 在),(00y x 处有极大值. 又由问题的实际意义,知最大值是存在的, 所以z ),(00y x 即最大值.易验证0,000>>y x ,且⎪⎩⎪⎨⎧>=-->=--.02)24(,023)3(00000000y y y x x x y x αββα 综上所述, 0x 和0y 分别为所求甲和乙两种鱼的放养数. 例27.(2005年数学四)设二元函数),1ln()1(y x xe z y x +++=+则._________)0,1(=dz [答案]dy e edx )2(2++[分析]利用二元函数的全微分公式dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=,再在yzx z ∂∂∂∂,中以 0,1==y x 代入.[解]应用二元复合函数求偏导数法则得)1ln(y xe e xzy x y x +++=∂∂++, yx xe y z y x +++=∂∂+11, 所以 dx y xe e dz y x y x )]1ln([+++=+++dy y x xe y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++11, 以0,1==y x 代入得dy e edx dz )2(2)0,1(++=. 例28.(2005年数学四)设)(u f 具有二阶连续偏导数, 且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x yf x y f y x g ),(,求y x g y x g x ∂∂∂-∂∂22222. [解]利用复合函数偏导数的链锁法则,可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫⎝⎛'-=∂∂y x f x y f x y x g 2, =∂∂22x g ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''+⎪⎭⎫ ⎝⎛''+⎪⎭⎫ ⎝⎛'y x f y x y f x y x y f x y 12423 ,1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∂∂y x f y x y x f x y f x y g =∂∂22y g ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛''y x f y xy x f y x y x f y x x y f x 322221 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''+⎪⎭⎫ ⎝⎛''=y x f y xx y f x 3221于是y x g y x g x ∂∂∂-∂∂22222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''+⎪⎭⎫ ⎝⎛''+⎪⎭⎫ ⎝⎛'y x f y x x y f x y x y f x y 2222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''-⎪⎭⎫ ⎝⎛''-y x f y x x y f x y 222 ⎪⎭⎫⎝⎛'=x y f x y 2. 例29.(2004年数学三)函数),(v u f 由关系式)(]),([y g x y y xg f +=确定, 其中函数)(y g 可微, 且0)(≠y g , 则vu f∂∂∂2=______________.[答案] []2)()(v g v g '-[分析]第一种解法可令⎩⎨⎧==,,)(v y u y xg 解出),,(),,(v u y y v u x x ==代入)(]),([y g x y y xg f +=以求出),(v u f ,再计算所求的偏导数.第二种解法是,在题给的等式两边求偏导, 使出现待求的vu f∂∂∂2,从而解之.[解法一]令⎩⎨⎧==,,)(v y u y xg 即⎪⎩⎪⎨⎧==,,)(v y y g u x )(a 代入原式得)()(),(v g v g uv u f +=, 两边对u 求偏导得,)(1v g u f =∂∂ 两边对v 求偏导得[]22)()(v g v g v u f '-=∂∂∂. [解法二]在等式)(]),([y g x y y xg f +=两边对x 求偏导2次, 得,0)]([,1)(2=''=⋅'y g f y g f uuu 但按已知, 0)(≠y g , 所以0=''uuf . 在等式1)(=⋅'yg f u 两边对y 求偏导, 得0)(])([)(=''+'''+'⋅'y g f y g x f y g f uv uuu 以0=''uuf 代入, 并解出uv f ''得 )()()()(2y g y g f y g y g f u uv'-='⋅'-='', 其中v u y x ,,,满足方程组)(a , 从而)()(2v g v g f uv'-='' 例30.(2003年数学三)设),(v u f 具有二阶连续偏导数, 且满足,12222=∂∂+∂∂v fu f 又)](21,[),(22y x xy f y x g -=, 求2222yf x f ∂∂+∂∂.[分析]利用求偏导数的链锁法则求二元复合函数的偏导数.[解],vf x u f y xg ∂∂+∂∂=∂∂.vf y u f x yg ∂∂-∂∂=∂∂ vf v f x v u f xy u f y xg ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222.v f vf y v u f xy u f x yg ∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂2222222222. 22x g ∂∂22yg ∂∂+22222222)()(v f y x u f y x ∂∂++∂∂+=22y x +=. 例31.(2003年数学一)已知函数),(y x f 在点(0,0)的某个邻域内连续, 且1)(),(lim22200=+-→→y x xyy x f y x , 则(A)点(0,0)不是),(y x f 的极值点. (B)点(0,0)是),(y x f 的极大值点.(C)点(0,0)是),(y x f 的极小值点.(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为),(y x f 的极值点. [答案](A)[解]由),(y x f 在点(0,0)的连续性及1)(),(lim22200=+-→→y x xyy x f y x知0)0,0(=f .且α+=+-1)(),(222y x xyy x f ,其中0lim 00=→→αy x 则222222)()(),(y x y x xy y x f ++++=α令x y =, 得)(44),(22442x o x x x x x x f +=++=α令x y -=, 得)(44),(22442x o x x x x x x f +-=++-=-α从而),(y x f 在(0,0)点的邻域内始终可正可负, 又0)0,0(=f , 由极值定义可知),(y x f 在点(0,0)没有极值,故应选(A). 例32.(2004年数学一)设),(y x z z =是由方程0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数,求),(y x z z =的极值点极值.[分析]是求二元函数的极值问题. 应用隐函数求偏导法则求两个偏导数,并求出函数的驻点.再求二阶偏导数, 判断是否为极值点. [解法一]方程0182106222=+--+-z yz y xy x两边分别对y x ,求偏导得02262=∂∂-∂∂--xzz x z yy x )(a0222206=∂∂-∂∂--+-yz z y z yz y x )(b 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00yz x z, 得⎩⎨⎧=-+-=-,0103,03z y x y x故 ⎩⎨⎧==,,3y z y x将上式代入0182106222=+--+-z yz y xy x , 可得⎪⎩⎪⎨⎧===3,3,9z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.3,3,9z y x 方程)(a 两边分别对y x ,求偏导得,0222222222=∂∂-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-x z z x z x z y,02222622=∂∂∂-∂∂⋅∂∂-∂∂∂-∂∂--yx z z x z y z y x z y x z方程)(b 两边对y 求偏导得.022********22=∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-y zz y z y z y y z y z 所以,35,21,61)3,3,9(22)3,3,9(2)3,3,9(22=∂∂=-=∂∂∂==∂∂=yzC yx z B xzA故,03612<-=-AC B 又061>=A ,从而点(9,3)是),(y x z 的极小值点,极小值为 .3)3,9(=z 类似地, 由,35,21,61)3,3,9(22)3,3,9(2)3,3,9(22-=∂∂==∂∂∂=-=∂∂=---------yzC yx z B xzA可知,03612<-=-AC B 又061<-=A ,所以点)3,9(--是),(y x z 的极大值点,极大值为.3)3,9(-=--z[解法二]令182106),,(222+--+-=z yz y xy x z y x F 应用隐函数求偏导法则得zy y x z y y x F F x z z x +-=----=''-=∂∂32262zy zy x z y z y x F F y z z y +-+-=---+-=''-=∂∂103222206 由0,0=∂∂=∂∂yzx z 解得y z y x ==,3,与原式联立解得驻点为 )3,9(1P 与)3,9(2--P . 再求二阶导数,11)3()(1222P P x z y x z y z y xzA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂--++=∂∂=,6124112=⋅=P y y 111)(3()(3)(122P P y z y x z y z y yx zB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+--+-+=∂∂∂=,21)6(4112-=-=P y y11)1)(103())(10()(1222P P y z z y x z y y z z y yzC ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+-+--+∂∂-+=∂∂= ,35204112=⋅=P y y 于是,03612<-=-AC B 又061>=A ,从而点)3,9(1P 是),(y x z 的极小值点,极小值为.3)3,9(=z对于驻点2P ,类似地可求得,35,21,61-==-=C B A于是,03612<-=-AC B 又061<-=A ,从而)3,9(2--P 是),(y x z 的极大值点,极大值为.3)3,9(-=--z 例33.(2003数学一)曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面方程是________.[答案] 542=-+z y x[分析]利用偏导数先求曲面的法向量, 使其与已知平面的法向量平行, 再求切点的坐标, 最后写出切平面的点法式方程.[解]令022=-+=z y x F , 则)1,2,2(-=y x n ,又已知平行的法向量为)1,4,2(1-=n ,由于1||n n ,所以 ,114222--==y x 由此解得切点的坐标为(1,2,5),所以切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ,化简得542=-+z y x .。
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高等数学（2）第10章多元函数微分学典型例题解析
例1 （1）函数)1ln(1y x z --=
的定义域为 。
（2）设函数2
2e y x z +=，______)1,1(=-'x z 。
（3）可微函数),(y x f 在点),(00y x 达到极值，则必有 。
解 （1）因为函数)
1ln(1y x z --=的定义域应为： ⎩⎨⎧≠+->--1
101y x y x 即1<+y x 且0≠+y x 。
应该填写：1<+y x 且0≠+y x
（2）因为
22e 2y x x x
z +=∂∂，所以21)1(e 2e )1(2)1,1(22-=⋅-⋅=-'+-x z 。
应该填写：2e 2-
（3）由极值存在的必要条件知，可微函数),(y x f 在点),(00y x 达到极值，则0),(,0),(0000='='y x f y x f y x 。
应该填写：0),(,0),(0000='='y x f y x f y x
例2 （1）设),(y x xy f z =，求
y z x z ∂∂∂∂,及z d 。
（2）设)2cos(2y x z -=，求y
x z ∂∂∂2 （3）设xy xyz z =-e ，求y
x y z x z ∂∂∂∂∂∂,, 解 （1）设y
x v xy u ==,，其函数关系如图
利用“连线相乘，分线相加”的原则，得到
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z x z u u x z v v x
=+ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z y z u u y z v v y
=+ 且有 2,1,21,21y
x y v y x v y x y u x y x u -=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂ 于是
v z y u z x y x v v z x u u z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂121+=+= v
z y x u z y x y v v z y u u z y z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂221-=+= x u z y v
由函数),(v u f z =的全微分公式得
d d d z z x x z y y =
+∂∂∂∂=y v
z y x u z y x x v z y u z x y d ]21[d ]121[2∂∂∂∂∂∂∂∂-++ （2）因为 x y x x z 2)2sin(2⋅--=∂∂ y x z ∂∂∂2=)2)2sin(()(2x y x y
x z y ⋅--∂∂=∂∂∂∂ )2cos(4)2()2cos(22
2y x x y x x -=-⋅--=
（3）[方法一] 公式法： 令=),,(z y x F xy xyz z --e 则
y yz x
F --=∂∂ x xz y
F --=∂∂ xy z F z -=∂∂e 利用公式，得
xy y yz xy y yz z F x F x
z
z z -+=----=∂∂∂∂-=∂∂e e xy x xz xy x xz z F y F y
z
z z -+=----=∂∂∂∂-=∂∂e e y
yz x xz y yz x xz x
F y F y x
++-=-----=∂∂∂∂-=∂∂ [方法二] 因为方程有三个变量，所以只有两个变量是独立的，求
x z ∂∂时，将z 看成y x ,的函数。
即在方程两边同时对x 求导，得 y x z xy yz x z z =∂∂--∂∂e
解出
xy y yz x z z -+=∂∂e ， 同理 x y
z xy xz y z z =∂∂--∂∂e
解出 xy
x xz y z z -+=∂∂e ，
求
y
x ∂∂时，x 是z y ,的函数，方程两边求导得： y x y x y x yz xz ∂∂+=∂∂-- 解出
y
yz x xz y x ++-=∂∂ [方法三]利用微分形式的不变性和微分的运算求出全微分的同时，求出偏导数。
)(d )d(e xy xyz z =-
y x x y z xy y xz x yz z d d d d d dz e +=---
y x xy x y yz xy z d )(d )()dz e (+++=-
=z d +-+x xy y yz z d e y xy
x xz z d e -+ 所以 xy y yz x z z -+=∂∂e ，xy
x xz y z z -+=∂∂e 。
若把微分式整理成：
y x xy xy x y yz z d )()dz e (d )(+--=+
则 y
yz x xz y x ++-=∂∂ 例3（1）求曲面0582=++--z x xy x 在)1,3,2(-出的切平面及法线方程。
（2）求曲面122
22=++z y x 上平行于平面02=+-z y x 的切平面方程。
解（1）分析：由已知结论，曲面F x y z (,,)=0在点(,,)x y z 000处
切平面方程为： '-+'-+'-=F x x F y y F z z x y z ()()()0000
法线方程为：
x x F y y F z z F x y z -'=-'=-'
000 其中'''F F F x y z ,,是函数F x y z (,,)在点(,,)x y z 000处对三个自变量的偏导数，而切平面的法向量和法线的方向向量就是(,,)'''F F F x y z 。
因此，解题的关键是求出z y x F F F ''',,。
曲面的法向量： )1,,82(},,{x y x F F F z y x ---=''', )1,2,1()1,2,1(1,3,2-=--==-==z y x n
故切平面方程为：
0)1()3(2)2(=--++-z x x
即 52=-+z y x
法线方程为： 1
12312--=+=-z y x （2）分析：要使曲面某点处的切平面平行与已知平面，就要使该点处的法向量与已知平面的法向量平行。
曲面012),,(2
22=-++=z y x z y x F 的法向量为： },2,{}2,4,2{z y x z y x ==n
而已知平面的法向量为}2,1,1{0-=n
设所求切平面与曲面相切于),,(000z y x ，于是过该点的切平面的法向量为：
},,2,{000z y x =n
因为切平面平行于已知平面，于是有n //0n ，即
2
121000z y x =-= 又知),,,(000z y x 在曲面上，即012202020=-++z y x ，解联立方程得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==-=⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=-==112211221112,112211221112010102010101z y x z y x 故所求切平面方程为： 0)1122(2)11221()112(=-++--
z y x 0)11
22(2)11221()112(=++--+z y x 即 2112±
=+-z y x 例4 在平面22=+-z y x 上求一点，使该点到原点和)2,0,1(-的距离平方和最小。
解：设所求的点为（),,z y x ，则到原点和点)2,0,1(-的距离平方和为
2
22222)2()1(-++++++=z y x z y x l
又因为点（),,z y x 在平面22=+-z y x 上，得到
条件函数为 022=-+-z y x =),,,(λz y x F +-++++++222222)2()1(z y x z y x )22(-+-z y x λ
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+-=∂∂=+-+=∂∂=-+=∂∂=+-+=∂∂0220)2(220220
2)1(22z y x F z z z F y y y F x x x F λ
λλλ 解出1,0,2
1===z y x 由于只求出唯一驻点，又知一定存在平面上的点，该点到原点和定点的距离平方和最小，所以平面上的点)1,0,21(到原点和点)2,0,1(-的距离平方和最小。