2011届高三数学一轮复习：3.4《不等式的实际应用》测试题(人教B版必修5)
高中数学第三章不等式3.4不等式的实际应用练习(含解析)新人教B版必修5
高中数学第三章不等式3.4不等式的实际应用练习（含解析）新人教B版必修5课时过关·能力提升1如图所示,已知P是球O的直径AB上的动点,PA=x,过P点,且与AB垂直的截面面积记为y,则y=f(x)的大致图象是()解析不妨设球的半径为R(常数).因为PA=x,所以OP=|R-x|.所以截面圆的半径r=.所以y=πr2=2πRx-πx2(0≤x≤2R),故选A.答案A2乘某市出租车,行程不足4千米时,车票10.40元,行程不足16千米时,大于或等于4千米的部分,每0.5千米车票0.8元,计程器每0.5千米计一次价.例如当行驶路程x(千米)满足12≤x<12.5时,按12.5千米计价;当12.5≤x<13时,按13千米计价.若某人乘车从A地到B地共付费28元,则从A地到B地行驶的路程m(千米)满足()A.10.5≤m<11B.11≤m<11.5C.14.5≤m<15D.15≤m<15.5解析可以根据条件首先判断出m的大致范围,然后代入验证即可.当m=15时,付费10.40+(15-4)×2×0.8=28元.故选C.答案C3一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间有如下关系:y=-2x2+220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上,则它在一个星期内大约应该生产摩托车数量的范围为()A.{x|41≤x≤49,x∈N}B.{x|51≤x≤59,x∈N}C.{x|61≤x≤69,x∈N}D.{x|71≤x≤79,x∈N}解析设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车.根据题意,得-2x2+220x>6000.移项整理,得x2-110x+3000<0.方程x2-110x+3000=0有两个实数根x1=50,x2=60.由二次函数y=x2-110x+3000的图象得不等式的解集为50<x<60.因为x只能取整数值,所以当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在{x|51≤x≤59,x∈N}内时,这家工厂能够获得6000元以上的收益.答案B4某品牌彩电为了打开市场,促进销售,准备对其特定型号彩电降价,有四种降价方案:方案(1):先降价a%,再降价b%;方案(2):先降价b%,再降价a%;方案(3):先降价%,再降价%;方案(4):一次性降价(a+b)%.其中a>0,b>0,a≠b,上述四种方案中,降价幅度最小的是()A.方案(1)B.方案(2)C.方案(3)D.方案(4)解析设原来的价格为1,按四种方案降价后的价格分别为:方案(1):(1-a%)(1-b%),方案(2):(1-b%)(1-a%),方案(3):,方案(4):1-(a+b)%.很明显(1-a%)(1-b%)=(1-b%)(1-a%)<.又-[1-(a+b)%]=>0,所以按方案(3)降价后的价格最高.故降价幅度最小的是方案(3).答案C5某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,则每批应生产产品()A.60件B.80件C.100件D.120件解析若每批生产x件产品,则每件产品的生产准备费用是,仓储费用是,总的费用是≥2=20,当且仅当,即x=80时,等号成立.所以每批应生产产品80件,才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小.答案B6某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:10万元)与营运年数x(x∈N+)为二次函数的关系(如图),则每辆客车营运年,营运的年平均利润最大.解析设年平均利润为Q,由图象,得函数解析式y=-(x-6)2+11=-x2+12x-25,则年平均利润Q==-x-+12=-+12≤-2+12=2.当且仅当x=,即x=5时,年平均利润最大.答案57某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=吨.解析某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,则需要购买次,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,所以一年的总运费与总存储费用之和为万元,而·4+4x≥160,当且仅当=4x,即x=20时,一年的总运费与总存储费用之和最小.答案208某商场在促销期间规定:商场内所有商品按标价的80%出售;同时,当顾客在该商场内消费满一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券:消费金额的范围/元[200,400) [400,500) [500,700) [700,900) …获得奖券的金额/元30 60 100 130 …根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如,购买标价为400元的商品,则消费金额为320元,获得的优惠额为400×0.2+30=110(元).设购买商品得到的优惠率=.试问:(1)若购买一件标价为1 000元的商品,顾客得到的优惠率是多少?(2)对于标价在[500,800](元)内的商品,顾客购买标价为多少元的商品,可得到不小于的优惠率? 解(1)=33%.(2)设商品的标价为x元,则500≤x≤800,消费额:400≤0.8x≤640.由已知,得①或②不等式组①无解,不等式组②的解集为625≤x≤750.因此,当顾客购买标价在[625,750]元内的商品时,可得到不少于的优惠率.★9对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度含污物体的清洁度的定义为:1-为0.8,要求清洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为a(1≤a≤3).设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是(x>a-1),用y质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中c(0.8<c<0.99)是该物体初次清洗后的清洁度.(1)分别求出方案甲以及当c=0.95时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;(2)若采用方案乙,当a为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论a取不同数值时对最少总用水量的影响.解(1)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有=0.99,解得x=19.由c=0.95得方案乙初次用水量为3,第二次用水量y满足方程=0.99,解得y=4a,故z=4a+3.即两种方案的用水量分别为19与4a+3.因为当1≤a≤3时,x-z=4(4-a)>0,即x>z,故方案乙的用水量较少.(2)设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y,类似(1)得x=,y=a(99-100c).(*)于是x+y=+a(99-100c)=+100a(1-c)-a-1.当a为定值时,x+y≥2-a-1=-a+4-1.当且仅当=100a(1-c)时,等号成立.此时c=1+(不合题意,舍去)或c=1-∈(0.8,0.99).将c=1-代入(*)式,得x=2-1>a-1,y=2-a.故c=1-时总用水量最少,此时第一次与第二次用水量分别为(2-1)与(2-a),最少总用水量是T(a)=-a+4-1.当1≤a≤3时,T(a)是增函数(可以用二次函数的单调性判断).这说明,随着a的值的增加,最少总用水量增加.。
11-12学年高中数学 3.4 不等式的实际应用优化训练 新
3.4 不等式的实际应用 优化训练1．银行计划将某资金给项目M 和N 投资一年，其中40%的资金给项目M,60%的资金给项目N ，项目M 能获得10%的年利润，项目N 能获得35%的年利润，年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户．为了使银行年利润不小于给M 、N 总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户回扣率的最小值为( )A ．5%B ．10%C ．15%D ．20%解析：选 B.设共有资金a 元，给储户的回扣率为x ，由题意，得0.1a ≤0.1×0.4a ＋0.35×0.6a －xa ≤0.15a ，解得0.1≤x ≤0.15.2．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段计算：全月应纳税所得额 税率 不超过500元的部分 5% 超过500元至2000元的部分 10% 超过2000元至5000元的部分 15%…… …某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于( ) A ．800～900元 B ．900～1200元 C ．1200～1500元 D ．1500～2800元解析：选C.分别以全月工资、薪金所得为900元，1200元，1500元，2800元计算应交纳此项税款额，它们分别为：5元，20元，70元，200元．∵20<26.78<70，所以某人当月工资、薪金所得介于1200～1500元．3.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N ＋)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运多少年，营运的年平均利润最大( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.求得函数式为y ＝－(x －6)2＋11， 则营运的年平均利润 y x ＝－x －62＋11x＝12－(x ＋25x)≤12－225＝2，此时x ＝25x，解得x ＝5.4．某公司一年购买某种货物400 t ，每次都购买x t ，运费为每次4万元，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________t.解析：设一年的总费用为y 万元，则y ＝4×400x ＋4x ＝1600x＋4x≥21600x·4x ＝160.当且仅当1600x＝4x ，即x ＝20时等号成立．答案：205．国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.解：设税率调低后“税收总收入”为y 元． y ＝2400m (1＋2x %)·(8－x )%＝－1225m (x 2＋42x －400)(0＜x ≤8)．依题意，得y ≥2400m ×8%×78%，即－1225m (x 2＋42x －400)≥2400m ×8%×78%，整理，得x 2＋42x －88≤0，解得－44≤x ≤2.根据x 的实际意义，知0＜x ≤8，所以0＜x ≤2为所求．1．某商品在最近30天内的价格f (t )与时间t (单位：天)的函数关系是f (t )＝t ＋10(0＜t ≤30，t ∈N )；销售量g (t )与时间的函数关系是g (t )＝－t ＋35(0＜t ≤30，t ∈N )，则这种商品日销售金额的最大值是( )A ．505元B ．506元C ．510元D ．600元解析：选B.销售金额ω＝f (t )g (t )＝(t ＋10)(－t ＋35)＝－t 2＋25t ＋350＝－(t －252)2＋6254＋350， 当t ＝12或13时，ωmax ＝506.2．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个．每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定为( )A ．每个95元B ．每个100元C ．每个105元D ．每个110元解析：选A.设每个涨价x 元，则所获利润y ＝(x ＋10)(400－20x )＝－20x 2＋200x ＋4000＝－20(x －5)2＋4500，∴当x ＝5时，y 值最大．∴涨价5元即每个售价95元能获得最大利润．3．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处解析：选A.设仓库到车站的距离为x 千米，则y 1＝k 1x，y 2＝k 2x . 当x ＝10时，y 1＝2，y 2＝8， ∴k 1＝20，k 2＝0.8.∴y 1＋y 2＝20x＋0.8x ≥20.8x ·20x＝8.当且仅当0.8x ＝20x，即x ＝5时，(y 1＋y 2)min ＝8，因此应选A.4．如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内，它的行程就超过2200 km ，如果它每天的行程比原来少12 km ，那么它行同样的路程就得花9天多时间，那么这辆汽车原来行程的千米数为( )A ．259＜x ＜260B ．258＜x ＜260C ．257＜x ＜260D ．256＜x ＜260 解析：选D.设原来每天行x km ， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋19·8＞2200x －12·9＜x ＋19·8， 解得256＜x ＜260.5．某债券市场常年发行三种债券，A 种面值为1000元，一年到期本息和为1040元；B 种面值为1000元，但买入价为960元，一年到期本息和为1000元；C 种面值为1000元，半年到期本息和为1020元．设这三种债券的年收益率分别为a 、b 、c ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a ＝c 且a ＜bB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．c ＜a ＜b解析：选C.一年到期的年收益率分别为a ＝401000＝0.04，b ＝40960＝0.0416，c ＝(1＋2%)2－1＝0.0404，所以a <c <b .6．某城市为控制用水，计划提高水价，现有四种方案，其中提价最多的方案是(已知0<q <p )( )A ．先提价p %，再提价q %B ．先提价q %，再提价p %C ．分两次都提价 q 2＋p 22%D ．分两次都提价p ＋q2%解析：选C.主要考查公式21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22的应用．7．市场上常有这样一个规律：某商品价格愈高，购买的人愈少；价格愈低，购买的人愈多．现有某杂志，若定价每本10元，则可以发行20万本，若每本价格提高x 元，发行量就减少12500x 本．要使总收入不低于210万元，则杂志的定价范围是____________．解析：由题意可列不等式(10＋x )(200000－12500x )≥2100000，即x 2－6x ＋8≤0. ∴2≤x ≤4,12≤x ＋2≤14， ∴杂志的定价范围是[12,14]． 答案：[12,14]8．一批救灾物资随26辆汽车从某市以x km/h 的速度匀速开往400 km 处的灾区，为安全起见，每两辆汽车的前后间距不得小于(x20)2km ，问这批物资全部到达灾区，最少需要________ h.解析：设全部物资到达灾区所需时间为t h ，由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了25×(x 20)2＋400(km)所用的时间，因此，t ＝25×x202x＋400x≥225x 400×400x＝10，当且仅当25x 400＝400x， 即x ＝80时取“＝”号． 答案：109．一服装厂生产某种风衣，月销售x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P ＝160－2x ，生产x 件的成本总数R ＝500＋30x ，若月获得的利润不少于1300(元)，则该厂的月产量范围为____________．解析：由月获利y ＝(160－2x )·x －(500＋30x )＝－2x 2＋130x －500由－2x 2＋130x －500≥1300，解得20≤x ≤45. 答案：[20,45]10．光线透过一块玻璃，其强度要减弱110.要使光线的强度减弱到原来的13以下，求至少需这样的玻璃的块数．(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)解：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110x ≤13，x ≥lg 13lg 910＝10.4. ∴至少需这样的玻璃为11块．11．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)，为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解：设楼房每平方米的平均综合费用为y 元，则y ＝(560＋48x )＋2160×100002000x ＝560＋48x ＋10800x(x ≥10，x ∈N ＋)，因为48x ＋10800x≥248×10800＝1480， 所以y ≥560＋1480＝2000，当且仅当48x ＝10800x，即x ＝15时，y 取最小值2000.所以，为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．12．(2020年洛阳高二检测)某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f (n )表示前n 年的纯利润总和(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)．(1)该厂从第几年开始盈利？(2)若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案： ①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂．问哪种方案更合算？解：由题意知f (n )＝50n －[12n ＋n n －12×4]－72＝－2n 2＋40n －72.(1)由f (n )＞0，即－2n 2＋40n －72＞0，解得2＜n ＜18， 由n ∈N 知，从第三年开始盈利． (2)方案①：年平均纯利润 f n n ＝40－2(n ＋36n)≤16，当且仅当n ＝6时等号成立． 故方案①共获利6×16＋48＝144(万元)，此时n ＝6.方案②：f(n)＝－2(n－10)2＋128.当n＝10，f(n)max＝128.故方案②共获利128＋16＝144(万元)．比较两种方案，获利都是144万元，但由于第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案更合算．。
数学：3.4《不等式的实际应用》测试题(新人教b版必修5)
3.4 不等式的实际应用 测试题一．选择题：1．完成一项装修工程，请木工需要付工资每人50元，请瓦工需要付工资每人40元，现有工人工资元，设木工x 人，瓦工y 人，则所请工人的约束条件是（ ）Ａ．5x+4y< Ｂ．5x+4y ≥ Ｃ 5x+4y ＝ Ｄ．5x+4y ≤2．有一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为x 、y 、z ，则下列选项中能反映x 、y 、z 关系的是（ ）Ａ．x+y+z=65 Ｂ．⎪⎩⎪⎨⎧>>=++z y z x z y x 65 Ｃ．⎪⎩⎪⎨⎧>>>>=++0065z y z x z y x Ｄ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<=++65656565z y x z y x 3．买4枝郁金香和5枝丁香的金额小于22元，而买6枝郁金香和3枝丁香的金额和大于24元，那么买2枝郁金香和买3枝丁香的金额比较，其结果是（ ）A ．前者贵B ．后者贵C ．一样D ．不能确定4．如果f(x)=mx 2+(m －1)x+1在区间]1,(-∞上为减函数，则m 的取值范围（ ） A ． （0， ⎥⎦⎤31 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡31,0 C ．]⎢⎣⎡31,0 D （0，31） 5．设计用32m 2的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m ，则车厢的最大容积是（ ）A ．（38－3)73m 2B ．16 m 2C ． 42 m 2D ．14 m 2 6．把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个三角形的面积之和的最小值为（ ）Ａ．2323cm Ｂ．4cm 2 Ｃ．23 cm 2 Ｄ．23 cm 2 7．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费用为9万元，这种生产设备的维护费用：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量逐年递增，则这套生产设备最多使用（ ）年报废最划算。
3.4《不等式的实际应用》课时作业(人教B版必修5)
3.4不等式的实际应用一、选择题(每题5分，共20分)1．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处【解析】 设仓库建在离车站x km 处，则土地费用y 1＝k 1x，运输费用y 2＝k 2x 把x ＝10，y 1＝2代入得k 1＝20，把x ＝10，y 2＝8代入得k 2＝45， 故总费用y ＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8， 当且仅当20x ＝45x 即x ＝5时等号成立． 【答案】 A2．银行计划将某资金给项目M 和N 投资一年，其中40%的资金给项目M,60%的资金给项目N ，项目M 能获得10%的年利润，项目N 能获得35%的年利润，年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户，为了使银行年利润不小于给M 、N 总投资的10%而又不大于总投资的15%，则给储户的回扣率最小值为( )A ．5%B ．10%C ．15%D ．20% 【解析】 设给储户的回扣率为x ，由题意：⎩⎪⎨⎪⎧0.4×0.1＋0.6×0.35－x ≥0.10.4×0.1＋0.6×0.35－x ≤0.15， 解得0.1≤x ≤0.15，故x 的最小值是0.1＝10%.【答案】 B3．天文台用3.2万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910元(n ∈N *)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的日平均耗资最少)为止，一共使用了( )A ．600天B ．800天C ．1 000天D ．1 200天【解析】 日平均耗资为3 2000＋n ·12·⎝⎛⎭⎫5＋n ＋4910n＝3 2000n ＋n 20＋9920≥2 3 2000n ·n 20＋9920＝80＋9920，当且仅当3 2000n ＝n 20，即n ＝800时取等号． 【答案】 B4．用长度分别为2、3、4、5、6(单位：cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为( )A ．85 cm 2B ．610 cm 2C ．355 cm 2D ．20 cm 2【解析】 设三角形各边长为x 、y 、z ，且x 、y 、z ∈N ＋，则x ＋y ＋z ＝20.由于在周长一定的三角形中，各边长越接近的三角形面积越大，于是当三边长为7 cm 、7 cm 、6 cm 时面积最大，则S △＝12×6×72－32＝610(cm 2)，故选B.【答案】 B二、填空题(每题5分，共10分)5．建造一个容积为8 m 2，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．【解析】 设池底长x m ，则宽4xm ， 总造价y ＝(4x ＋16x)×80＋4×120 ≥24x ·16x×80＋480＝1 760， 当且仅当4x ＝16x即x ＝2时等号成立． 【答案】 1 7606．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价格24 000元，为了减少耕地损失，决定以每年损失耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，则t 的取值范围是____． 【解析】 由题意得(20－52t )×2 4000×t %≥9 000， 化简得t 2－8t ＋15≤0解得3≤t ≤5.【答案】 3≤t ≤5三、解答题(每题10分，共20分)7．某工厂建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1 200元/m 2，房屋侧面的造价为800元/m 2，屋顶的造价为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用，则建造此小房的最低总造价是多少元？【解析】 设房子的长为x m ，宽为y m ，总造价为t 元，则xy ＝12.t ＝3x ·1 200＋3y ·800·2＋5 800＝1 200(3x ＋4y )＋5 800≥1 200·212xy ＋5 800＝34600(当且仅当3x ＝4y 时取等号)．故最低总造价是34 600元．8．一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于(v 20)2 km ，那么这批物资全部安全到达灾区，最少需要多少小时？ 【解析】 第一辆汽车到达用400v h ，由题意每隔(v 20)2v h 到达一辆汽车， ∴400v ＋25×(v 20)2v ＝400v ＋v 16≥2400v ×v 16＝10(h)， 当且仅当400v ＝v 16，v ＝80 km/h 时取等号． ∴每辆汽车以80 km/h 的速度行驶，最少需10 h 这批物资全部安全到达灾区．9．(10分)工厂对某种原料的全年需要量是Q 吨．为保证生产，又节省开支，打算全年分若干次等量订购，且每次用完后可立即购买．已知每次订购费用是a 元．又年保管费用率是p ，它与每次购进的数量(x 吨)及全年保管费(S 元)之间的关系是S ＝12px .问全年订购多少次才能使订购费与保管费用之和最少？并求这个最少费用的和(为简便计算，不必讨论订购次数是否为整数)．【解析】 设每次购进的数量为x 吨，则全年定购费用＝a ·Q x ，全年保管费S ＝12px ， 定购费与保管费之和y ＝a ·Q x ＋12px . 由于a ·Q x ＋12px ≥212paQ ＝2paQ ， 当且仅当a ·Q x ＝12px ，即x ＝2aQp p时取等号， 即最优批量订购数为x 0＝2aQp p(吨)， 最小费用数为y min ＝2paQ (元)，全年最佳定购次数n ＝Q x 0＝2paQ 2a(次)． 故全年订购2paQ 2a次，才能使全年的订购费用与保管费用之和最少，最少费用为2paQ 元．高$考じ试(题╬库。
高中数学第三章不等式3.4不等式的实际应用同步精选测试新人教B版必修5
同步精选测试 不等式的实际应用(建议用时：45分钟)[基础测试]一、选择题1.某出版社，如果以每本2.50元的价格发行一种图书，可发行80 000本.如果一本书的定价每升高0.1元，发行量就减少2 000本，那么要使收入不低于200 000元，这种书的最高定价应当是( )A.2B.3C.4D.5 【解析】 设这种书的最高定价应当为x 元， 由题意得：80 000－x －2.50.1×2 000×x ≥200 000，解得52≤x ≤4，所以最高定价为4元.【答案】 C2.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N ＋)为二次函数关系(如图343所示)，则每辆客车营运多少年，其营运的年平均利润最大( )图343A.3B.4C.5D.6【解析】 设y ＝a (x －6)2＋11，将(4,7)代入求得a ＝－1，∴平均利润为：y x ＝－x －2＋11x＝－x －25x＋12≤－2×5＋12＝2，当x ＝25x，即x ＝5时，等号成立. 【答案】 C3.某商品在最近30天内的价格f (t )与时间t (单位：天)的函数关系是f (t )＝t ＋10(0＜t ≤20，t ∈N )；销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t ＋35(0＜t ≤30，t ∈N )，则使这种商品日销售金额不小于500元的时间t 满足( )A.15≤t ≤20B.10≤t ≤15C.10＜t ＜15D.0＜t ≤10【解析】 由题意知日销售金额为(t ＋10)(－t ＋35)≥500，解得10 ≤t ≤15. 【答案】 B4.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件(x ＞0)，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )【导学号：18082117】A.60件B.80件C.100件D.120件【解析】 记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f (x )，则f (x )＝800＋x8×x ×1x ＝800x ＋x8≥2800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80件(x ＞0)时，f (x )取最小值，故选B.【答案】 B5.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A.12元B.16元C.12元到16元之间D.10元到14元之间【解析】 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则：y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320，即x 2－28x ＋192＜0， 解得12＜x ＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间. 【答案】 C 二、填空题6.某地每年销售木材约20万m 3，每m 3价格为2 400元.为了减少木材消耗，决定按销售收入的t %征收木材税，这样每年的木材销售量减少52t 万m 3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t 的取值范围是________.【导学号：18082118】【解析】 设按销售收入的t %征收木材税时，税金收入为y 万元，则y ＝2 400⎝⎛⎭⎪⎫20－52t ×t %＝60(8t －t 2).令y ≥900，即60(8t －t 2)≥900，解得3≤t ≤5. 【答案】 [3,5]7.现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x 克，则x 的取值范围是________.【解析】 依题意，得5%＜x ·4%＋200·7%x ＋200＜6%，解得x 的范围是(100,400). 【答案】 (100,400)8.如图344，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm 2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm ，左右空白各宽1 dm ，则四周空白部分面积的最小值是______dm 2.图344【解析】 设阴影部分的高为x dm ，则宽为72xdm ，四周空白部分的面积是y dm 2.由题意，得y ＝(x ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫72x＋2－72＝8＋2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋144x ≥8＋2×2x ·144x＝56(dm 2).当且仅当x ＝144x，即x ＝12 dm 时等号成立. 【答案】 56 三、解答题9.甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润是100×⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【解】 (1)根据题意， 200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]. (2)设利润为y 元，则y ＝900x·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112， 故x ＝6时，y max ＝457 500元.即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克 该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元.10.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图345.设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积．．．为S (单位：m 2).图345(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值.【导学号：18082119】【解】 (1)由题设，得S ＝(x －8)⎝ ⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8,450).(2)因为8＜x ＜450， 所以2x ＋7 200x≥22x ×7 200x＝240.当且仅当x ＝60时等号成立，从而S ≤676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m 2.[能力提升]1.在如图346所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )图346A.[15,20]B.[12,25]C.[10,30]D.[20,30]【解析】 设矩形的另一边长为y m ，则由三角形相似知，x 40＝40－y 40，∴y ＝40－x . ∵xy ≥300， ∴x (40－x )≥300， ∴x 2－40x ＋300≤0， ∴10≤x ≤30. 【答案】 C2.某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比.如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A.5 km 处B.4 km 处C.3 km 处D.2 km 处【解析】 设仓库建在离车站x km 处，则土地费用y 1＝k 1x(k 1≠0)，运输费用y 2＝k 2x (k 2≠0)，把x ＝10，y 1＝2代入得k 1＝20，把x ＝10，y 2＝8代入得k 2＝45，故总费用y ＝20x＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时等号成立. 【答案】 A3.有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________.【解析】 设桶的容积为x 升，那么第一次倒出8升纯农药液后，桶内还有(x －8)(x ＞8)升纯农药液，用水补满后，桶内纯农药液的浓度为x －8x. 第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药液为x －x升，此时桶内有纯农药液⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －－x －x升. 依题意，得(x －8)－x －x≤28%·x .由于x ＞0，因而原不等式化简为 9x 2－150x ＋400≤0， 即(3x －10)(3x －40)≤0. 解得103≤x ≤403.又∵x ＞8，∴8＜x ≤403.【答案】 ⎝⎛⎦⎥⎤8，4034.如图347所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知AB ＝3米，AD ＝2米.图347(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ (2)当DN 的长度为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值.【导学号：18082120】【解】 (1)设DN 的长为x (x ＞0)米， 则|AN |＝(x ＋2)米. ∵|DN ||AN |＝|DC ||AM |，∴|AM |＝x ＋x ，∴S 矩形AMPN ＝|AN |·|AM |＝x ＋2x.由S 矩形AMPN ＞32，得x ＋2x＞32.又由x ＞0，得3x 2－20x ＋12＞0，解得0＜x ＜23或x ＞6.即DN 的长的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(6，＋∞). (2)由(1)知，矩形花坛AMPN 的面积为S 矩形AMPN ＝x ＋2x＝3x 2＋12x ＋12x＝3x ＋12x＋12(x ＞0)≥23x ·12x＋12＝24.当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时，矩形花坛的面积最小为24平方米.。
人教B版高中数学必修五课件3.4不等式的实际应用练习题
（金戈铁骑 整理制作）
3.4不等式的实际应用练习题
中国人民大学附属中学
1．设f(x)=3ax+1－2a在(－1，1)上存在x0，
使f(x0)=0，则实数a的取值范围是（ ）
（CA）－1<a<
（B）a>
（C）a>
或a<－1 1
5 1 5
（D）a<－11
5
2．在△ABC中，三边长为a，b，c， 若 1 , 1 , 1 成等差数列，则b所对的角
（D）分两次提价 p q %
2
6．把长为12cm的铁丝截为两段，各自围
成一个正三角形，那么这两个正三角形面
积之和的最小值是（ D ） （A）3 3 cm2（B）4 cm2
2
（C）3 c2m2（D）2 cm23
7．现有200根相同的钢管，把它们堆放 成正三角形垛，使剩余的钢管数尽可能 的少，那么剩余的钢管数为（ B ）
（A）9 （B）10 （C）19 （D）20
ห้องสมุดไป่ตู้
8．若直线2ax－by+2=0(a，b∈R)，始终
平分圆x2+y2+2x－4y+1=0的周长，则ab的
取值范围是。
(, 1] 4
9．已知函数f(x)=x2+ax+b－3(x∈R)的
图象恒过点(2，0)，则a2+b2的最小值为。
1 5
10．若关于x的方程4x+a·2x+a+1=0有实数 解，求实数a的取值范围。
的最低点坐标是（ D ） （A）(1，2) （B）(1，－2)
（C）(1，1) （D）(0，2)
5．某城市为控制用水，计划提高水价， 现有四种方案，其中提价最多的方案是 (已知0<q<p)（ C ） （A）先提价p%，再提价q% （B）先提价q%，再提价p% （C）分两次提价 p2 q2 %
高中数学第三章不等式3.4不等式的实际应用同步练习新人教B版必修5
3.4 不等式的实际应用1．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定为( )A ．95元B ．100元C ．105元D ．110元2．设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规定厢宽为2 m ，则车厢的最大容积是( )A ．(38－373) m3B ．16 m3C ．4 2 m3D ．14 m33．某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：(1)按照使用面积缴纳，每平方米4元；(2)按照建筑面积缴纳，每平方米3元．李明家的使用面积是60平方米．如果他家选择第(2)种方案缴纳供暖费较少，那么他家的建筑面积最多不超过__________．4．一段长为l m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，菜园的最大面积是__________ m2. 答案：1．A 设每个涨价x 元，则y ＝(x ＋10)(400－20x)＝－20x2＋200x ＋4 000， ∴当x ＝20040＝5时，y 取得最大值，即涨价5元，每个售价为95元时利润最大． 2．B 设长为b m ，高为a m ，由已知得2b ＋2ab ＋4a ＝32. ∴b ＝16－2a a ＋1.∴V ＝a ·b ·2＝2·16a －2a2a ＋1.设t ＝a ＋1，则V ＝2(20－2t －18t )≤2(20－22t ·18t )＝16.3．80平方米 根据使用面积应该缴纳的费用为60×4＝240元，设建筑面积为x ，则根据他所选择的方案知3x －240≤0，所以x ≤80，即建筑面积不超过80平方米． 4.l28 设墙的对边为x ，另一边为l －x 2， ∴面积S ＝x ·l －x 2≤12[x ＋(l －x)2]2＝l28， 当且仅当x ＝l －x 2，即x ＝l3时，面积最大．课堂巩固1．若a 、b 、m ∈R ＋，a<b ，将a g 食盐加入到(b －a) g 水中，所得溶液的盐的质量分数为P1，将(a ＋m) g 食盐加入到(b －a) g 水中，所得溶液的盐的质量分数为P2，则( ) A ．P1<P2 B ．P1＝P2 C ．P1>P2 D ．不确定2．某品牌彩电为了打开市场，促进销售，准备对其特定型号彩电降价，有四种降价方案： 方案(1)：先降价a%，再降价b%； 方案(2)：先降价b%，再降价a%； 方案(3)：先降价a ＋b 2%，再降价a ＋b2%；方案(4)：一次性降价(a ＋b)%.其中a>0，b>0，a≠b ，上述四种方案中，降价幅度最小的是( )A ．方案(1)B ．方案(2)C ．方案(3)D ．方案(4)3．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，则正方形的周长应为__________．4．某公司一年购买某种货物400 吨，每次都购买x 吨，运费4万元/次，一年总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．5．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？6．如图，某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x ，y(单位：米)的矩形，上部是斜边长为x 的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米． (1)求x ，y 的关系式，并求x 的取值范围； (2)问x ，y 分别为多少时用料最省？ 答案：1．A P1＝a a ＋(b －a)＝ab ，P2＝a ＋m (a ＋m)＋(b －a)＝a ＋m b ＋m ，P1－P2＝(a －b)m b(b ＋m).由0<a<b ，m>0，∴a －b<0，P1－P2<0，即P1<P2.2．C 设原来价格为1，四种方案降价后分别得新价： 方案(1)：(1－a%)(1－b%)， 方案(2)：(1－b%)(1－a%)， 方案(3)：(1－a ＋b2%)2，方案(4)：1－(a ＋b)%，很明显(1－a%)(1－b%)＝(1－b%)(1－a%) <(1－a%＋1－b%2)2＝(1－a ＋b 2%)2.又(1－a ＋b 2%)2－[1－(a ＋b)%]＝(a ＋b2%)2>0， ∴方案(3)的新价最高．故降价幅度最小的是方案(3)．3.14(π＋4)设正方形的周长为x ，则圆周长为1－x.设圆的半径为r ，则2πr ＝1－x ，r ＝1－x2π.所求面积之和为(x 4)2＋π(1－x 2π)2＝116π[(π＋4)x2－8x ＋4]＝π＋416π(x －4π＋4)2＋14(π＋4)，∴当x ＝4π＋4时，面积之和为14(π＋4)最小．4．20 因为每次都购买x 吨，一年购货400吨，所以购货次数为400x . 总运费与存储费用之和f(x)＝4x ＋4×400x ＝4(x ＋400x )≥4·2x ·400x ＝160(吨)．f(x)最小时，x ＝400x ⇔x ＝20.5．解：(1)由题意得y ＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0<x<1)， 整理得y ＝－60x2＋20x ＋200(0<x<1)．(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧y －(1.2－1)×1 000>0，0<x<1，即⎩⎪⎨⎪⎧－60x2＋20x>0，0<x<1. 解不等式得0<x<13.答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足0<x<13. 6．解：(1)由题意得x ·y ＋12x ·x2＝8(x>0，y>0)， ∵y ＝8x －x4>0，∴0<x<4 2. (2)设框架用料长度为l ，则l ＝2x ＋2y ＋2x ＝(32＋2)x ＋16x ≥46＋42＝8＋42，当且仅当(32＋2)x ＝16x ，x ＝8－42，y ＝22，满足0<x<4 2.答：当x ＝8－42米，y ＝22米时，用料最省．点评：在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；(3)在定义域内，求出函数的最值；(4)正确写出答案．1．把长为12 cm 的铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值为( )A.322 cm2 B ．4 cm2 C ．3 2 cm2 D ．2 3 cm2 1．答案：D 设12 cm 长的铁丝分成两段为x cm 和(12－x) cm ，则面积之和S ＝12×(x 3)2×sin60°＋12(12－x 3)2·sin60°＝34×19×[x2＋(12－x)2]≥336×[x ＋(12－x)]22＝23， 当且仅当x ＝12－x ，即x ＝6时等号成立．2．张先生买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入中国联通130网，经调查，收费标准如下表：(注：本地话费以分钟为单位计费，长途话费以6秒钟为单位计费)若张先生每月拨打本地电话的时间是长途电话时间的5倍，且每月通话时间(分钟)在区间(40,50)内，则选择较为省钱的网络为( )A ．甲B ．乙C ．甲或乙D ．分情况而定2．答案：B 设张先生每月拨打长途电话的时长为x 分钟，则有40<5x ＋x<50，即203<x<253， 使用甲和乙方式应付话费的差为10＋0.2×5x ＋0.03×10x －(0.3×5x ＋10x ×0.04)＝10－0.4x>0. ∴应选择乙方式．3.某公司一年急需购买某种货物100吨，每次都购买x 吨，运费为a 万元/次，一年的总存储费为ax 万元，要使一年的总运费与总存储费最小，则x ＝__________. 3．答案：10 y ＝100x ·a ＋ax ≥2100ax ·ax ＝20a(万元)，当且仅当100ax ＝ax ，即x ＝10时，y 取最小值．4．若Rt △ABC 的斜边长为1，则它的内切圆半径r 的最大值为__________． 4. 答案：2－12 如图，由题知a2＋b2＝1，由基本不等式2ab ≤a2＋b2，∴(a ＋b)2≤2(a2＋b2)．∴a ＋b ≤2(a2＋b2).根据切线的性质，如图，∴r ＝a ＋b －12≤2(a2＋b2)－12＝2－12.5．某家庭用14.4万元购买了一辆汽车，使用中维修费用逐年上升，第n 年维修费用约为0.2n 万元，每年其他费用为0.9万元．报废损失最小指的是购车费、维修费及其他费用之和的年平均值最小，则这辆车应在______年后报废损失最小．5．答案：12 年平均值y ＝14.4＋0.9n ＋0.2(1＋2＋…＋n)n ＝14.4n ＋0.1n ＋1≥3.4， 当且仅当14.4n ＝0.1n ，即n ＝12时，年平均值最小，所以12年后报废损失最小．6．商店经销某商品，年销售量为D 件，每件商品库存费用为I 元，每批进货为Q 件，每次进货所需的费用为S 元．现假定商店在卖完该货物时立即进货，使库存量为平均Q2件，问每批进货量Q 为多大时，整个费用最省？6．答案：解：设整个费用为y 元，则y 含有两部分，一部分是库存费用Q2·I ，另一部分是进货费用D Q ·S ，因此y ＝Q 2·I ＋DQ ·S ，其中D 、I 、S 均为定值，Q 为变量． ∵D 、I 、S 、Q>0， ∴y ＝Q 2·I ＋DQ ·S ≥2IQ 2·DSQ ＝2DIS.当且仅当IQ 2＝DSQ ，即Q ＝2DSI 时，整个费用y 最省．7．建造一个容积为8 m3、深2 m 的无盖长方体水池，如果池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，求这个水池的最低造价．7．答案：解：设水池的造价为y 元，池底的长为x m ，则宽为4x m ， 根据题意，有y ＝4×120＋2(2x ＋8x )·80＝480＋320(x ＋4x )≥480＋320·2x ·4x ＝1 760，∴当x ＝4x ，即x ＝2时，ymin ＝1 760(元)，即当且仅当池底的长为2 m 时，这个水池的造价最低，最低造价为1 760元．8．有一批影碟机(VCD)原销售价为800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？8．答案：解：设该单位需购买x(x ∈N ＋)台影碟机，甲、乙两商场的购货差价为y ，则因为去甲商场购买共花费(800－20x)·x 元，据题意800－20x ≥440， ∴1≤x ≤18.去乙商场购买共花费600x ，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (800－20x)x －600x ，－160x ，1≤x ≤18，x>18＝⎩⎪⎨⎪⎧ 200x －20x2，－160x ，1≤x ≤18，x>18，得⎩⎪⎨⎪⎧ y>0，y ＝0，y<0，1≤x<10，x ＝10，x>10.故若购买少于10台，去乙商场花费较少；若购买10台，去甲、乙商场花费一样；若多于10台，去甲商场花费少．9．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为1206t 吨(0≤t≤24)．(1)从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？9. 答案：解：(1)设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨，则y ＝400＋60t －1206t. 令6t ＝x ，则x2＝6t ，即y ＝400＋10x2－120x ＝10(x －6)2＋40，所以当x ＝6，即t ＝6时，ymin ＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨．(2)依题意400＋10x2－120x<80，解得4<x<8，即4<6t<8，83<t<323，即有323－83＝8， 所以每天约有8小时供水紧张．。
数学人教B版必修5同步训练：3.4不等式的实际应用 含解
3.4 不等式的实际应用5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.一元二次不等式ax 2+2x-1有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( ) A.a ＞1 B.a ＜1且a≠0 C.a ＜-1 D.a ＞-1且a≠0解析：一元二次不等式有两个不等的实数根，其判别式Δ=4+4a ＞0，即a ＞-1且二次项系数不能为0，即a≠0. 答案：D2.某企业生产一种产品x(百件)件的成本为(3x-3)万元,销售总收入为(2x 2-5)万元,如果要保证该企业不亏本,那么至少生产该产品数为_____________(百件).解析：要不亏本只需收入不小于成本,即2x 2-5-(3x-3)≥0,即2x 2-3x-2≥0,解之得x≤21-或x≥2,而产品件数不能是负数,所以,x 的最小值为2. 答案：23.已知不等式ax 2+bx-2＞0的解集为(1,2),那么实数a=__________,b=__________.解析：根据不等式解集的特点可知a ＜0,且方程ax 2+bx-2=0的两个实数根分别为1和2,代入方程或者利用根与系数的关系即可求出a,b 的值. 答案：-1 34.不等式x 2-ax+b ＜0的解集为{x|2＜x ＜3},则a=__________,b=__________.解析：根据条件2和3是方程x 2-ax+b=0的两个实根,由根与系数的关系可得⎩⎨⎧=⨯=+.32,32b a 即a=5,b=6.答案：5 610分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.关于x 的一元二次不等式x 2-ax+2a=0有一个正根和一个负根,那么实数a 的取值范围是( )A.a ＜0B.a ＞0C.a ＞1D.a ＜1解析：令函数f(x)= x 2-ax+2a,则f(x)与x 轴的两个交点分别在y 轴的两侧,结合二次函数的图象可知,应有f(0)= 2a ＜0,即a ＜0. 答案：A2.乘某种出租车，行程不足4千米时，车票10.40元，行程不足16千米时，大于或等于4千米的部分，每0.5千米车票0.8元，计程器每0.5千米计一次价.例如当行驶路程x （千米）满足12≤x≤12.5时，按12.5千米计价；当12.5≤x ＜13时，按13千米计价.若某人乘车从A 到B 共付费28元，则从A 地到B 地行驶的路程m 千米满足( ) A.10.5≤m ＜11 B.11≤m ＜11.5 C.14.5≤m ＜15 D.15≤m ＜15.5解析：可以根据条件首先判断出m 的大致范围,然后代入验证即可.当m=15时，付费10.40+（15-4）×2×0.8元=28元. 答案：D3.建造一个容积为8 m 3,深为2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价1 m 2分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为______________元.解析：设池底一边长为x m,水池的总造价为y 元,则依题意得y=4×120+2(2x+2×x 4)×80=480+320(x+x 4)(x ＞0).因为x+x 4≥xx 42∙=4,当且仅当x=x 4,即x=2时,取等号.所以,y 的最小值为1 760.答案：1 7604.已知直线l 过点P(2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为___________. 解析：设直线l 为by a x +=1(a ＞0,b ＞0)，则有关系b a 12+=1．对b a 12+=1应用二元均值不等式，得1=b a 12+≥abb a 22122=∙，即ab≥8．于是，△OAB 面积为S=21ab≥4．从而应填4．答案：45.定义域为［-1，1］的函数f(x)=kx+2k+1,其值域既有正数也有负数,则实数k 的取值范围是______________.解析：由已知可得f(x)=kx+2k+1是单调函数,其值域既有正数也有负数,应有f(-1)·f(1)＜0且k≠0,即(k+1)(3k+1)＜0且k≠0.所以31-＜k ＜-1. 答案：31-＜k ＜-1 6.若函数f(x)=862++-k kx kx 的定义域为R ,求实数k 的取值范围. 解:函数的定义域为R 等价于函数y=kx 2-6kx+k+8≥0对于一切x ∈R 都成立. (1)k=0时,y=8≥0恒成立; (2)当k≠0时,⎩⎨⎧>≤+-=∆.0,0)8(4362k k k k 解之得0＜k≤1,所以0≤k≤1. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.不等式ax 2+bx+2＞0的解集是{x|21-＜x ＜31}，则a-b 等于( )A.-4B.14C.-10D.10 解析：由ax 2+bx+2＞0的解集是{x|21-＜x ＜31},知21-、31是方程ax 2+bx+2=0的两根，且a ＜0,由韦达定理得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-.31212.3121aa b∴⎩⎨⎧-=-=.2,12b a∴a-b=-10.答案：C2.如图甲所示，P 是球O 的直径AB 上的动点，PA=x ，过P 点且与AB 垂直的截面面积记为y ，则y=f （x ）的大致图象是图乙中的（ ）图甲 图乙 解析：不妨设球的半径为R （常数）.∵PA=x ，∴OP=R-x.∴截面圆的半径r=2222)(x Rx x R R -=--.∴y=πr 2=2πRx-πx 2（0≤x≤R ）.∴选A. 答案：A3.一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （辆）与创造的价值y （元）之间有如下关系：y=-2x 2+220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产摩托车数量为( )A.41—49B.51—59C.61—69D.71—79 解析：设在一个星期内大约应该生产x 辆摩托车.根据题意，得-2x 2+220x ＞6 000.移项整理，得x 2-110x+3 000＜0.因为Δ=100＞0，所以方程x 2-110x+3 000=0有两个实数根x 1=50，x 2=60.由二次函数y=x 2-110x+3 000的图象得不等式的解为50＜x ＜60.因为x 只能取整数值，所以当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51—59辆之间时，这家工厂能够获得6 000元以上的收益. 答案：B4.若实数a 、b 满足a 2+b 2=1,且c ＜a+b 恒成立,则实数c 的取值范围是_____________. 解析：只需使c 小于a+b 的最小值,根据条件设a=cos θ,b=sin θ,则a+b=cos θ+sin θ=2sin (θ+4π),所以a+b 的最小值为2-,故只需c ＜2-.答案：(-∞,2-)5.在△ABC 中,三边a 、b 、c 的对角分别为A 、B 、C,若2b=a+c,则角B 的取值范围是___________.解析：因为2b=a+c,所以b=2ca +, 所以,cosB=2182682332)2(222222222=-≥-+=+-+=-+ac ac ac ac ac c a ac c a c a ac bc a ,所以,0＜B≤3π.答案：0＜B≤3π6.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=_____________吨.解析：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买x 400次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为x400·4+4x 万元，x 400·4+4x≥160，当x1600=4x ，即x=20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小. 答案：207.某种汽车购车时费用为10万元，每年保险、养路、汽油费用为9 000元；汽车的维修费各年为：第一年2 000元，第二年4 000元，第三年6 000元，以每年2 000元的增量递增，问这种汽车最多使用多少年报废最合算（即使用多少年的平均费用为最少）?（计算总维修费可用：2最后一年费用第一年费用+×年数）解:设使用n 年平均费用为y 万元，则y=n n n nn n 10102)2.02.0(9.010+=∙++++1≥2+1=3(万元).当且仅当n n 1010=，即n=10时等号成立. 答：最多使用10年报废最合算.8.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? 解:(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,租出的车辆数为5030003600-=12,所以这时租出了88辆.(2)设每辆车的租金定为x 元,则租赁公司的月收益为 f(x)=(100-503000-x )(x-150)-503000-x ×50,整理得f(x)=502x -+162x-21 000=501-(x-4 050)2+307 050.所以,当x=4 050时,f(x)最大,最大值为f(4 050)=307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时,租赁公司的月收益最大,最大收益为307 050元.9.某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地。
高中数学人教B版必修5 3.4 同步练习 《3.4不等式的实际应用》(人教B)
《3.4不等式的实际应用》同步练习就减少20个，为获得最大利润，售价应定在()A．每个95元B．每个100元C．每个105元D．每个110元2．在面积为S(S为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ 半径为r时，扇形周长最小，这时θ、r的值分别是()A．θ＝1 r＝S B．θ＝2 r＝4SC．θ＝2 r＝3S D．θ＝2，r＝S3．设计用32m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规定车厢宽为2m，则车厢的最大容积是()A．(38－373)m3B．16m3C．42m3D．14m34．做一个面积为1 m2，形状为直角三角形的铁架框，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是( )A ．4.6 mB ．4.8 mC ．5 mD ．5.2 m5．光线透过一块玻璃，其强度要减弱110 要使光线的强度减弱到原来的13以下，至少需这样的玻璃板________块。
(参考数据：lg2＝0.3010 lg3＝0.4771)6．一个矩形的周长为l 面积为S 给出下列实数对：①(4,1) ②(8,6) ③(10,8) ④(3，12) 其中可作为(l ，S)的取值的实数对的序号是________。
7．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元。
计算：(1)仓库底面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？8．某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年增加4万元，每年捕鱼收益50万元。
(1)问第几年开始获利？(2)若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船。
问哪种方案最合算？。
高中数学人教B版必修五3.4《不等式的实际应用》双基达标练
3.4 不等式的实际应用双基达标限时20分钟1．某工厂第一年产量为A ，第二年增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( )．A ．x ＝a ＋b2B ．x ≤a ＋b2C ．x >a ＋b2D ．x ≥a ＋b2解析 由题意知A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b ) 即x ＝1＋a1＋b －1≤1＋a ＋1＋b 2－1＝a ＋b2.答案 B2．某产品的总成本为C (万元)，它与产量x (台)的关系是C ＝3 000＋20x －0.1x 2，其中x ∈(0,240)且x 为正整数，若每台售价为25万元，那么生产厂家不亏本的最低产量是( )．A ．60台B ．90台C ．120台D ．150台解析 由题意得25x －C ≥0，即25x －(3 000＋20x －0.1x 2)≥0， 解得x ≥150或x ≤－200(舍去)． 答案 D3．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )． A ．5千里 B ．4公里 C ．3公里D ．2公里解析 设仓库到车站距离为x ，则y 1＝k 1x，y 2＝k 2x 且 k 1＝20，k 2＝45，∴S ＝20x ＋45x ≥8，当且仅当20x ＝45x .即x ＝5时，两项费用之和最小为8万元． 答案 A4．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，若池底每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，这个水池的最低造价为________元．解析 设水池的总造价为y 元，池底长为x m ，则宽为4xm ，由题意可得：y ＝4×120＋2(2x ＋8x )·80＝480＋320·(x ＋4x)≥480＋320·2x ·4x＝480＋320·24＝1 760.当x ＝4x，即x ＝2时，y min ＝1 760(元)．故当池底长为2 m 时，这个水池的造价最低，最低造价为1 760元． 答案 1 7605．某校要建一个面积为392 m 2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2 m 和4 m 的小路(如图所示)，则占地面积的最小值为 m 2.解析 设游泳池的长为x m ，则游泳池的宽为392xm ，又设占地面积为y m 2，依题意，得y ＝(x ＋8)(392x ＋4)＝424＋4(x ＋784x)≥424＋224＝648.当且仅当x ＝784x，即x ＝28时，取“＝”．。
数学3.4《不等式的实际应用》同步练习(3)(人教B版必修5)
• 国际上常用恩格尔系数（记为n）来衡量一个国
家和地区人民的生活水平的高低，它的计算公式 是食品消费额
n 消费支出总额 100 %
•家庭有尔关系贫机数穷构 的还 取制 值温定 范饱了围各：种小类康型的家庭富应裕达到的富最恩裕格 类
型
n n＞ 60%
50%＜ n≤60%
40%＜ n≤50%
30%＜ n≤40%
不等式的实际应用
例1．一般情况下，建筑民用住宅时。民 用住宅窗户的总面积应小于该住宅的占地 面积，而窗户的总面积与占地面积的比值 越大，住宅的采光条件越好，同时增加相 等的窗户面积和占地面积，住宅的采光条 件是变好了还是变差了？
解：设a，b分别表示住宅原来窗户的总面 积和占地面积的值，m表示窗户和占地所 增加的值（面积单位都相同），
3x2
6x
1≤ 0
解不等式组中的两个二次不等式，
由x>0，解得
x 4 15 1 15
0
x
≤
2
3 3
1
因此 4 15 1 x ≤ 2 3 1
15
3
因为 4 15 1 0.033 3.3%
15 2 3 1 0.155 15.5%
3
所以该乡镇居民生活如果在2005年达到 小康水平，那么他们的食品消费额的年增 长率就应在3.3%到15.5%的范围内取值， 也就是说，平均每年的食品消费额至多是 增长15.5%。
n≤30 %
例3．根据某乡镇家庭抽样调查的统计， 2003年每户家庭年平均消费支出总额为1 万元，其中食品消费额为0.6万元。预测 2003年后，每户家庭年平均消费支出总额 每年增加3000元，如果2005年该乡镇居民 生活状况能达到小康水平（即恩格尔系数 n满足条件40%<n≤50%），试问这个乡 镇每户食品消费额平均每年的增长率至多 是多少？（精确到0.1）
(人教B版必修5)3.4不等式的实际应用学案(含答案)
3.4 不等式的实际应用1．解有关不等式的应用题，首先要选用合适的字母表示题中的未知数，再由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)，然后解列出的不等式(组)，最后结合问题的实际意义写出答案．2．在实际应用问题中，若应用均值不等式求最值同样必须确保“一正、二定、三相等”的原则．“一正”即必须满足“各项为正数”；“二定”即求和的最小值必须拼凑成其积为“定值”，求积的最大值必须使其和为“定值”；“三相等 ”就是必须验证等号是否成立．3．对于形如y ＝x ＋kx(k >0)的函数，如果利用均值不等式求最值，等号条件不存在，那么这时就可以考虑利用函数的单调性进行求解．(1)当x >0时，f (x )＝x ＋kx≥2k (k >0)，当x ＝k 时取“＝”．另外，我们还可以证明f (x )在区间(0，k ]上为减函数，在区间[k ，＋∞)上为增函数，据此单调性来求函数的值域．(2)当x <0时，∵f (x )＝x ＋kx(k >0)(x ≠0)为奇函数．∴f (x )在(－∞，－k ]上为增函数，在[－k ，0)上为减函数．一、构建一元二次不等式模型解决 实际问题方法链接：二次函数、一元二次不等式在实际生活中有着广泛的应用，构建一元二次不等式模型时应注意自变量的实际含义．例1 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x (辆)与创造的价值y (元)之间有如下的关系：y ＝－2x 2＋220x .若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解 设在一个星期内大约应该生产x 辆摩托车， 根据题意，得－2x 2＋220x >6 000.移项整理，得x 2－110x ＋3 000<0，解得50<x <60. 因为x 只能取整数值，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51～59辆之间时，这家工厂能够获得6 000元以上的收益．二、利用均值不等式解决实际问题方法链接：均值不等式：ab ≤a ＋b2(a ，b 是正实数)在求最值问题中有着广泛的应用．应用时一定要注意“一正、二定、三相等”的要领．例2如图，某农厂要修建3个矩形养鱼塘，每个面积为10 000 m 2，鱼塘前面要留4 m 宽的运料通道，其余各边为2 m 宽的堤埂，问每个鱼塘的长、宽各为多少时占地面积最少？解 设每个鱼塘的宽为x m ，则x >0，且AB ＝3x ＋8，AD ＝10 000x＋6，总面积y ＝AB ·AD ＝(3x ＋8)⎝⎛⎭⎫10 000x ＋6＝30 048＋80 000x＋18x≥30 048＋280 000x ·18x ＝32 448，当且仅当18x ＝80 000x ，即x ＝2003时，等号成立，此时10 000x＝150.答 鱼塘的长为150 m ，宽为2003m 时，占地面积最少．三、利用函数单调性求最值问题方法链接：对于形如y ＝x ＋a 2x的函数，如果利用均值不等式求最值，等号条件不存在，那么这时就可以考虑用函数的单调性进行求解．例3 某工厂有旧墙一面，长14米，现在准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形、面积为126平方米的厂房，工程条件是：①建1米新墙的费用为a 元；②修1米旧墙的费用为a4元；③拆去1米旧墙，用所得材料建1米新墙的费用为a2元．经讨论有两种方案：(1)利用旧墙的一段x 米(x <14)为矩形厂房一面的边长；(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x ≥14；问如何利用旧墙，即x 为多少米时，建造费用最省？(1)、(2)两种方案哪个更好？分析 以建造总费用为目标函数，通过函数求最小值来解本题． 解 设利用旧墙的一面矩形边长为x 米，则矩形的另一面边长为126x米．(1)利用旧墙的一段x 米(x <14)为矩形一面边长，则修旧墙费用为x ·a4元．将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14－x )·a2元，其余建新墙的费用为⎝⎛⎭⎫2x ＋2×126x －14a 元．故总费用为y ＝x ·a 4＋14－x2·a ＋⎝⎛⎭⎫2x ＋252x －14a ＝a ⎝⎛⎭⎫74x ＋252x －7＝7a ⎝⎛⎭⎫x 4＋36x －1 (0<x <14) ≥7a ·⎝⎛⎭⎫2x 4·36x －1＝35a ， 当且仅当x 4＝36x，即x ＝12时，y min ＝35a 元．(2)若利用旧墙的一面矩形边长x ≥14，则修旧墙的费用为a 4·14＝72a 元．建新墙的费用为⎝⎛⎭⎫2x ＋252x －14a ， 故总费用为y ＝72a ＋⎝⎛⎭⎫2x ＋252x －14a＝72a ＋2a ⎝⎛⎭⎫x ＋126x －7 (x ≥14)． 设14≤x 1<x 2，则⎝⎛⎭⎫x 1＋126x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋126x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－126x 1x 2.∵14≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1·x 2>196.从而1－126x 1x 2>0，所以函数y 在[14，＋∞)上为增函数．故当x ＝14时，y min ＝72a ＋2a ⎝⎛⎭⎫14＋12614－7 ＝35.5a >35a .综上所述，采用第(1)种方案，利用旧墙12米为矩形的一面边长时，建墙总费用最省，为35a 元．四、函数、数列、不等式在实际问题中的综合应用方法链接：不等式的知识，尤其是解不等式、均值不等式求最值常常融于函数、数列应用题中加以考查．一般是先建立函数模型或数列模型，再利用不等式的知识求某些量的范围或最值．例4 2009年推出一种新型家用轿车，购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.7万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用，第二年为0.2万元，从第三年起，每年的维修费均比上一年增加0.2万元．(1)设该辆轿车使用n 年的总费用(包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费)为f (n )，求f (n )的表达式；(2)这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年，年平均费用最少)?解 (1)由题意得：每年的维修费构成一等差数列，n 年的维修总费用为n [0＋0.2(n －1)]2＝0.1n 2－0.1n (万元)所以f (n )＝14.4＋0.7n ＋(0.1n 2－0.1n ) ＝0.1n 2＋0.6n ＋14.4(万元)(2)该辆轿车使用n 年的年平均费用为f (n )n ＝0.1n 2＋0.6n ＋14.4n ＝0.1n ＋0.6＋14.4n≥20.1n ·14.4n＋0.6＝3(万元)．当且仅当0.1n ＝14.4n时取等号，此时n ＝12.答 这种汽车使用12年报废最合算． 五、均值不等式在物理学科中的应用方法链接：均值不等式在物理学科中的电学、力学部分中经常用到，应用时也要注意验证等号是否取到．例5如图所示，电路中电源的电动势为ε，内阻为r ，R 1为固定电阻，求可变电阻R 2调至何值时，它所消耗的电功率最大，其最大电功率是多少？分析 依据物理知识，建立数量关系，借助二元均值不等式求出最大值． 解 由电学公式，电功率P ＝UI ，有P 2＝U 2I 2＝U 2(ε－U 2)r ＋R 1.∵U 2(ε－U 2)≤⎣⎡⎦⎤U 2＋(ε－U 2)22＝ε24(定值)，∴仅当U 2＝ε－U 2，即2U 2＝ε时，P 2达到最大值，最大值为ε24(r ＋R 1).在ε＝2U 2的两端除以I (＝I 1＝I 2)，得2R 2＝r ＋R 2＋R 1. ∴R 2＝r ＋R 1.∴可变电阻R 2调至r ＋R 1时，所消耗的电功率最大，最大电功率是ε24(r ＋R 1).利用均值不等式时忽略等号成立条件而致错例 甲、乙两地相距s km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地速度不得超过每小时c km ，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (km/h)的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元．(1)将全程运输成本y (元)表示为速度v 的函数，并指出该函数的定义域； (2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？[错解] (1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv ，因此全程运输成本为y ＝(a ＋b v 2)·s v ＝⎝⎛⎭⎫av ＋b v s ， ∵a >0，b >0，s >0，v >0，∴定义域为(0，c ]．(2)由(1)知：y ＝⎝⎛⎭⎫a v ＋b v s ≥2av ·b v ·s ＝2s ab .当a v ＝b v ，即v 2＝a b ，v ＝a b 时，取“＝”．所以，汽车以 abkm/h 的速度行驶时，全程运输成本最少．[点拨] 本题中的a ，b ，c 均为字母常量，且为正实数，v 是全程运输成本函数中的自变量，v ∈(0，c ]，但是 ab与c 的大小不确定，上述解答中的最小值2s ab 不一定能取到，应当按 ab与c 的大小分类讨论．[正解] (1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv ，全程运输成本为y ＝a ·s v ＋b v 2·s v ＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋b v ， 故所求函数及其定义域为y ＝s ⎝⎛⎭⎫av ＋b v ，v ∈(0，c ]．(2)∵s ，a ，b ，v 都是正数，∴⎝⎛⎭⎫a v ＋b v s ≥2s ab (当且仅当a v ＝b v ，即v ＝ab 时取“＝”)∴①若 a b ≤c ，则v ＝ab 时全程运输成本最少．②若 a b >c ，函数y ＝a v ＋b v 在⎝⎛⎦⎤0， a b 上是减函数，证明如下：设0<v 1<v 2≤ a b ，y 1－y 2＝a v 1＋b v 1－av 2－b v 2＝a v 2－a v 1v 1v 2＋b (v 1－v 2)＝(v 1－v 2)⎝⎛⎭⎫b －av 1v 2＝(v 1－v 2)b v 1v 2－av 1v 2＝b (v 1－v 2)⎝⎛⎭⎫v 1v 2－a b v 1v 2∵v 1<v 2，∴v 1－v 2<0.又∵v 1< a b ，v 2< ab∴v 1v 2<a b ，∴v 1v 2－ab <0，∴y 1－y 2>0，即y 1>y 2，∴函数y ＝a v ＋b v 在⎝⎛⎦⎤0， a b 上是减函数．又∵c < ab，∴函数在(0，c ]上也是减函数．∴v ＝c 时，全程运输成本最小．综上可知：当 a b ≤c 时，v ＝ab时全程运输成本最少；当ab>c 时，v ＝c时全程运输成本最少．例如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)?解 方法一 设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y ＝kab，其中k >0为比例系数，依题意，即所求的a 、b 值使y 值最小．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a ＝60 (a >0，b >0)，得b ＝30－a 2＋a (0<a <30)．①于是y ＝k ab ＝k 30a －a 22＋a ＝k －a ＋32－64a ＋2＝k 34－⎝⎛⎭⎫a ＋2＋64a ＋2≥k 34－2(a ＋2)·64a ＋2＝k18. 当且仅当a ＋2＝64a ＋2时取等号，y 取得最小值.这时a ＝6或a ＝－10(舍去)，将a ＝6代入①式得b ＝3，故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．方法二 依题意，即所求的a 、b 值使ab 最大． 由题设知4b ＋2ab ＋2a ＝60 (a >0，b >0)， 即a ＋2b ＋ab ＝30 (a >0，b >0)．∵a ＋2b ≥22ab ，∴22·ab ＋ab ≤30. 当且仅当a ＝2b 时，上式取等号． 由a >0，b >0，解得0<ab ≤18，即当a ＝2b 时，ab 取得最大值，其最大值为18. ∴2b 2＝18.解得b ＝3，a ＝6.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45 元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 解 (1)设矩形的另一边长为a m ， 则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝360x，所以y ＝225x ＋3602x－360(x >2)．(2)∵x >0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10 800.∴y ＝225x ＋3602x－360≥10 440.当且仅当225x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24 m ，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．赏析 本小题主要考查函数和不等式等基础知识，考查用均值不等式求最值和运用数学知识解决实际问题的能力．。
(人教B版必修5)3.4 不等式的实际应用学案(含答案)
3.4 不等式的实际应用1．解有关不等式的应用题，首先要选用合适的字母表示题中的未知数，再由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)，然后解列出的不等式(组)，最后结合问题的实际意义写出答案．2．在实际应用问题中，若应用均值不等式求最值同样必须确保“一正、二定、三相等”的原则．“一正”即必须满足“各项为正数”；“二定”即求和的最小值必须拼凑成其积为“定值”，求积的最大值必须使其和为“定值”；“三相等 ”就是必须验证等号是否成立．3．对于形如y ＝x ＋kx(k>0)的函数，如果利用均值不等式求最值，等号条件不存在，那么这时就可以考虑利用函数的单调性进行求解．(1)当x>0时，f(x)＝x ＋kx ≥2k(k>0)，当x ＝k 时取“＝”．另外，我们还可以证明f(x)在区间(0，k]上为减函数，在区间[k ，＋∞)上为增函数，据此单调性来求函数的值域．(2)当x<0时，∵f(x )＝x ＋kx(k>0)(x≠0)为奇函数．∴f(x)在(－∞，－k]上为增函数，在[－k ，0)上为减函数．一、构建一元二次不等式模型解决 实际问题方法链接：二次函数、一元二次不等式在实际生活中有着广泛的应用，构建一元二次不等式模型时应注意自变量的实际含义．例1 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间有如下的关系：y ＝－2x 2＋220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解 设在一个星期内大约应该生产x 辆摩托车，根据题意，得－2x 2＋220x>6 000.移项整理，得x 2－110x ＋3 000<0，解得50<x<60. 因为x 只能取整数值，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51～59辆之间时，这家工厂能够获得6 000元以上的收益．二、利用均值不等式解决实际问题方法链接：均值不等式：ab ≤a ＋b2(a ，b 是正实数)在求最值问题中有着广泛的应用．应用时一定要注意“一正、二定、三相等”的要领．例2如图，某农厂要修建3个矩形养鱼塘，每个面积为10 000 m 2，鱼塘前面要留4 m 宽的运料通道，其余各边为2 m 宽的堤埂，问每个鱼塘的长、宽各为多少时占地面积最少？解 设每个鱼塘的宽为x m ，则x>0，且AB ＝3x ＋8，AD ＝10 000x＋6，总面积y ＝AB·AD＝(3x ＋8)⎝ ⎛⎭⎪⎫10 000x ＋6＝30 048＋80 000x＋18x≥30 048＋280 000x ·18x＝32 448， 当且仅当18x ＝80 000x ，即x ＝2003时，等号成立，此时10 000x＝150.答 鱼塘的长为150 m ，宽为2003m 时，占地面积最少．三、利用函数单调性求最值问题方法链接：对于形如y ＝x ＋a2x的函数，如果利用均值不等式求最值，等号条件不存在，那么这时就可以考虑用函数的单调性进行求解．例3 某工厂有旧墙一面，长14米，现在准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形、面积为126平方米的厂房，工程条件是：①建1米新墙的费用为a 元；②修1米旧墙的费用为a4元；③拆去1米旧墙，用所得材料建1米新墙的费用为a2元．经讨论有两种方案：(1)利用旧墙的一段x 米(x<14)为矩形厂房一面的边长；(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14；问如何利用旧墙，即x 为多少米时，建造费用最省？(1)、(2)两种方案哪个更好？分析 以建造总费用为目标函数，通过函数求最小值来解本题． 解 设利用旧墙的一面矩形边长为x 米，则矩形的另一面边长为126x米．(1)利用旧墙的一段x 米(x<14)为矩形一面边长，则修旧墙费用为x·a4元．将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14－x)·a2元，其余建新墙的费用为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×126x －14a 元． 故总费用为y ＝x·a 4＋14－x 2·a＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋252x －14a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫74x ＋252x －7＝7a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋36x －1 (0<x<14)≥7a·⎝⎛⎭⎪⎫2x 4·36x －1＝35a ， 当且仅当x 4＝36x，即x ＝12时，y min ＝35a 元．(2)若利用旧墙的一面矩形边长x≥14，则修旧墙的费用为a 4·14＝72a 元．建新墙的费用为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋252x －14a ， 故总费用为y ＝72a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋252x －14a ＝72a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋126x －7 (x≥14)．设14≤x 1<x 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋126x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋126x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－126x 1x 2.∵14≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1·x 2>196.从而1－126x 1x 2>0，所以函数y 在[14，＋∞)上为增函数．故当x ＝14时，y min ＝72a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋12614－7 ＝35.5a>35a.综上所述，采用第(1)种方案，利用旧墙12米为矩形的一面边长时，建墙总费用最省，为35a 元． 四、函数、数列、不等式在实际问题中的综合应用方法链接：不等式的知识，尤其是解不等式、均值不等式求最值常常融于函数、数列应用题中加以考查．一般是先建立函数模型或数列模型，再利用不等式的知识求某些量的范围或最值．例4 2009年推出一种新型家用轿车，购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.7万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用，第二年为0.2万元，从第三年起，每年的维修费均比上一年增加0.2万元．(1)设该辆轿车使用n 年的总费用(包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费)为f(n)，求f(n)的表达式；(2)这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年，年平均费用最少)?解 (1)由题意得：每年的维修费构成一等差数列，n 年的维修总费用为n[0＋－2＝0.1n 2－0.1n(万元)所以f(n)＝14.4＋0.7n ＋(0.1n 2－0.1n)＝0.1n 2＋0.6n ＋14.4(万元)(2)该辆轿车使用n 年的年平均费用为n ＝0.1n 2＋0.6n ＋14.4n ＝0.1n ＋0.6＋14.4n≥20.1n·14.4n ＋0.6＝3(万元)．当且仅当0.1n ＝14.4n时取等号，此时n ＝12.答 这种汽车使用12年报废最合算． 五、均值不等式在物理中的应用方法链接：均值不等式在物理中的电学、力学部分中经常用到，应用时也要注意验证等号是否取到． 例5如图所示，电路中电源的电动势为ε，内阻为r ，R 1为固定电阻，求可变电阻R 2调至何值时，它所消耗的电功率最大，其最大电功率是多少？分析 依据物理知识，建立数量关系，借助二元均值不等式求出最大值． 解 由电学公式，电功率P ＝UI ，有P 2＝U 2I 2＝U 2ε－U 2r ＋R 1.∵U 2(ε－U 2)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤U 2＋ε－U 222＝ε24(定值)， ∴仅当U 2＝ε－U 2，即2U 2＝ε时，P 2达到最大值，最大值为ε2＋R 1.在ε＝2U 2的两端除以I(＝I 1＝I 2)，得2R 2＝r ＋R 2＋R 1. ∴R 2＝r ＋R 1.∴可变电阻R 2调至r ＋R 1时，所消耗的电功率最大，最大电功率是ε2＋R 1.利用均值不等式时忽略等号成立条件而致错例 甲、乙两地相距s km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地速度不得超过每小时c km ，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元．(1)将全程运输成本y(元)表示为速度v 的函数，并指出该函数的定义域； (2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？[错解] (1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv，因此全程运输成本为y ＝(a ＋bv 2)·s v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋bv s ，∵a>0，b>0，s>0，v>0，∴定义域为(0，c]．(2)由(1)知：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋bv s≥2a v ·bv·s＝2s ab. 当a v ＝bv ，即v 2＝a b ，v ＝ab时，取“＝”． 所以，汽车以abkm/h 的速度行驶时，全程运输成本最少． [点拨] 本题中的a ，b ，c 均为字母常量，且为正实数，v 是全程运输成本函数中的自变量，v∈(0，c]，但是 a b 与c 的大小不确定，上述解答中的最小值2s ab 不一定能取到，应当按 ab与c 的大小分类讨论．[正解] (1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv，全程运输成本为y ＝a·s v ＋bv 2·s v ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋bv ，故所求函数及其定义域为y ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋bv ，v∈(0，c]． (2)∵s，a ，b ，v 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋bv s≥2s ab(当且仅当a v ＝bv ，即v ＝a b 时取“＝”) ∴①若 ab≤c，则v ＝ab时全程运输成本最少． ②若a b >c ，函数y ＝a v ＋bv 在⎝⎛⎦⎥⎤0， a b 上是减函数， 证明如下：设0<v 1<v 2≤a b ，y 1－y 2＝a v 1＋bv 1－a v 2－bv 2＝av 2－av 1v 1v 2＋b(v 1－v 2)＝(v 1－v 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a v 1v 2＝(v 1－v 2)bv 1v 2－av 1v 2＝1－v 2⎝ ⎛⎭⎪⎫v 1v 2－a b v 1v 2∵v 1<v 2，∴v 1－v 2<0.又∵v 1<ab，v 2< a b∴v 1v 2<a b ，∴v 1v 2－ab<0，∴y 1－y 2>0，即y 1>y 2，∴函数y ＝a v ＋bv 在⎝⎛⎦⎥⎤0， a b 上是减函数．又∵c<ab，∴函数在(0，c]上也是减函数． ∴v＝c 时，全程运输成本最小．综上可知：当 a b ≤c 时，v ＝ab时全程运输成本最少；当ab>c 时，v ＝c 时全程运输成本最少．例如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)?解 方法一 设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y ＝kab，其中k>0为比例系数，依题意，即所求的a 、b 值使y 值最小．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a ＝60 (a>0，b>0)，得b ＝30－a 2＋a (0<a<30)．①于是y ＝k ab ＝k 30a －a 2＋a ＝k －a ＋32－64a ＋2＝k 34－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2＋64a ＋2≥k 34－2＋64a ＋2＝k18. 当且仅当a ＋2＝64a ＋2时取等号，y 取得最小值.这时a ＝6或a ＝－10(舍去)，将a ＝6代入①式得b ＝3，故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．方法二 依题意，即所求的a 、b 值使ab 最大． 由题设知4b ＋2ab ＋2a ＝60 (a>0，b>0)， 即a ＋2b ＋ab ＝30 (a>0，b>0)．∵a＋2b≥22ab ，∴22·ab ＋ab≤30. 当且仅当a ＝2b 时，上式取等号． 由a>0，b>0，解得0<ab≤18，即当a ＝2b 时，ab 取得最大值，其最大值为18.∴2b 2＝18.解得b ＝3，a＝6.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45 元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 解 (1)设矩形的另一边长为a m ， 则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝360x，所以y ＝225x ＋3602x－360(x>2)．(2)∵x>0，∴225x＋3602x ≥2225×3602＝10 800.∴y＝225x ＋3602x－360≥10 440.当且仅当225x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24 m ，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．赏析 本小题主要考查函数和不等式等基础知识，考查用均值不等式求最值和运用数学知识解决实际问题的能力．。
高中数学 第三章 不等式 3.4 不等式的实际应用课后训
3.4 不等式的实际应用课后训练1．张先生买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入中国联通130网，经调(若张先生每月拨打本地电话的时间是长途电话时间的5倍，且每月通话时间(分钟)在区间(40，50)内，则选择较为省钱的网络为( )．A ．甲B ．乙C ．甲或乙D ．分情况而定2．用32 m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按规定厢宽为2 m ，则车厢的最大容积是( )．A ．(38-m 3B ．16 m 3C ．3D ．14 m 33．有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产基地以相同的价格购进粮食，他们各购进粮食三次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮10 000千克，乙每次购粮花费10 000元，在三次统计中，购粮的平均价格较低的是( )．A ．甲B ．乙C ．一样低D ．不确定4．如图所示，足球比赛场地的宽为a 米，球门AB 的宽为b 米，在足球比赛中，甲方边锋带球过人沿直线l (紧贴球场边线)向前推进，该边锋在距乙方底线__________米时起脚射门，可命中角最大．5．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，顶部每平方米造价20元，则仓库底面积S 的最大允许值是__________平方米．6．商店经销某商品，年销售量为D 件，每件商品库存费用为I 元，每批进货量为Q 件，每次进货所需的费用为S 元．再假定商店在卖完该货物时立即进货，使库存量为平均2Q 件，则每批进货量Q 为多大时，总费用最省？7．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为吨(0≤t ≤24)．(1)从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？8．某商场预计全年分批购入每台价值为2 000元的电视机共3 600台，每批都购入x 台(x ∈N ＋)，且每批均需运费400元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管费用总计43 600元，现在全年只有24 000元资金可以用于支付这笔费用，请问：能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？求出结论，并说明理由．100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)根据题中的条件写出m 的值；(2)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(3)要使此项税收在税率调整后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．参考答案1. 答案：B解析：设张先生每月拨打长途电话的时长为x 分钟，则有40＜5x ＋x ＜50，即202533x <<，使用甲和乙方式应付话费的差为12＋0.36×5x ＋0.06×10x －(0.6×5x ＋10x ×0.07)＝12－1.3x＞0.2. 答案：B解析：设长为b m ，高为a m ，由已知得2b ＋2ab ＋4a ＝32.∴1621a b a -=+. ∴2162221a a V a b a -⋅⋅⋅+==. 设t ＝a ＋1，则182********V t t ⎛⎛⎫--≤-= ⎪ ⎝⎭⎝＝. 3. 答案：B解析：设第一、二、三次购粮时粮食价格分别为a ，b ，c (元/千克)，则甲三次购粮的平均价格为10000300003a b c a b c(++)++=， 乙三次购粮的平均价格为 300003100001000010000111a b c a b c=++++， 由于a ，b ，c 互不相同，故3a b c ++ 又111a b c ++>=， ∴3111a b c <++，∴31113a b c a b c++>++. 故甲三次购粮的平均价格比乙高．4. 答案：2解析：设球离乙方底线水平距离为DC ＝x ，由对称性知，2a b AD +＝，2a b BD -＝，记足球对于球门的张角∠ACB ＝θ，于是tan∠ACD ＝2a b x +，tan∠BCD ＝2a b x -，tan θ＝tan(∠ACD －∠BCD )＝2222214a b a b x x a b x +---+＝2224b a b x x-+. 当且仅当224a b x x-=，即x =时，tan θ最大， 由于正切函数y ＝tan θ是π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的增函数，所以此时θ也最大．即该边锋在距乙方底线2米时起脚射门，可命中角最大． 5. 答案：100解析：设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，则有S ＝xy .由题意，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200.由均值不等式，得3200xy ≥＝20xy ＝20S ，∴S ＋16＞0S ≤100.当且仅当x ＝15，203y =时，等号成立． 6. 解：设总费用为y 元，则y 含有两部分，一部分是库存费用2Q ·I ，另一部分是进货费用D Q ·S ，因此2Q D y I S Q =⋅+⋅，其中D ，I ，S 均为定值，Q 为变量．∵D ，I ，S ，Q ＞0，∴2Q D y I S Q =⋅+⋅≥=当且仅当2IQ DS Q=，即Q =时，总费用y 最省． 7. 解：(1)设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨，则y ＝400＋60t －；＝x ，则x 2＝6t ，即y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40，所以当x ＝6，即t＝6时，y min ＝40，即从供水开始到第6小时，蓄水池水量最少，只有40吨．(2)依题意400＋10x 2－120x ＜80，解得4＜x ＜8，即4＜8，83＜t ＜323，即有323－83＝8，所以每天约有8小时供水紧张． 8. 解：设总费用为y 元，保管费用与每批电视机总价值的比例系数为k (k ＞0)，每批购入x 台，则y ＝3600x×400＋k ·(2 000·x )， 当x ＝400时，y ＝43 600，解出k ＝0.05.∴360040010024000y x x ⨯=+≥=. 当且仅当3600400x ⨯＝100x ，即x ＝120时取到等号．因此只需每批购入120台，便可使资金够用．9. 解：(1)m ＝200.(2)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)，由题意得y ＝200a (1＋2x %)(10－x )%＝150a (100＋2x )(10－x )(0＜x ＜10)． (3)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元)． 依题意得150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得x 2＋40x －84≤0，∴－42≤x ≤2.又∵0＜x ＜10，∴0＜x ≤2，即x 的取值范围是0＜x ≤2.。
高中数学人教B版高二数学必修5检测 3.4不等式的实际应用
一、选择题1．如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天之内它的行程就超过2 200千米；如果它每天比原来少行驶12 km ，那么它行驶同样的路程就得花9天多的时间，这辆汽车原来每天行驶的千米数x 满足( )A ．259＜x ＜260B ．258<x <260C ．257<x <260D ．256<x <260【解析】 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧8(x ＋19)＞2 200，9(x －12)＜8(x ＋19)，解得：256<x <260.【答案】 D2．某出版社，如果以每本2.50元的价格发行一种图书，可发行80 000本．如果一本书的定价每升高0.1元，发行量就减少2 000本，那么要使收入不低于200 000元，这种书的最高定价应当是( )A ．2元B ．3元C ．4元D ．5元 【解析】 设这种书的最高定价应当为x 元．由题意得[80 000－(x －2.5)×20 000]×x ≥200 000，解得52≤x ≤4，所以最高定价为4元．【答案】 C3．某工人共加工300个零件．在加工100个零件后，改进了操作方法，每天多加工15个，用了不到20天的时间就完成了任务．改进操作方法前，每天至少要加工零件的个数为( )A ．9B ．10C ．8D ．11【解析】 设每天至少要加工x 个零件．由题意得100x ＋200x＋15<20.解得x>53或x<－53(舍去)，故每天至少要加工9个零件．【答案】 A4．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品() A．60件B．80件C．100件D．120件【解析】设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝800x＋x8≥2800x·x8＝20.当且仅当800x ＝x8(x>0)，即x＝80时“＝”成立，故选B.【答案】 B图3－4－15．某汽车运输公司买一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N＋)为二次函数关系(如图3－4－1所示)，则每辆客车营运的年平均利润最大时，营运了()A．3年B．4年C．5年D．6年【解析】设y＝a(x－6)2＋11，由条件知7＝a(4－6)2＋11，∴a＝－1.∴y＝－(x－6)2＋11＝－x2＋12x－25.∴每辆客车营运的年平均利润y x ＝－x 2＋12x －25x ＝－(x ＋25x )＋12≤－225＋12＝2，当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时等号成立，故选C.【答案】 C二、填空题6．某商店在节前进行商品降价促销活动，拟分两次降价．有三种降价方案：甲方案是第一次打a 折销售，第二次打b 折销售；乙方案是第一次打b 折销售，第二次打a 折销售；丙方案是两次都打a ＋b 2折销售且a ≠b .则________方案降价较少．【解析】 甲方案、乙方案降低后的价格都是ab 折，而丙方案降价后的价格是(a ＋b 2)2折．∵(a ＋b 2)2－ab ＝(a ＋b )2－4ab 4＝(a －b )24≥0， ∴当a ≠b 时，(a ＋b 2)2＞ab ，∴甲、乙方案降价多，丙方案降价少．【答案】 丙7．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．【解析】 据题意可得 3 860＋500＋2[500×(1＋x %)＋500×(1＋x %)2]≥7000，整理化简可得(1＋x %)2＋(1＋x %)－6625≥0，即[(1＋x %)－65][(1＋x %)＋115]≥0，解得(1＋x %)－65≥0，从而x ≥20，即x 的最小值为20.【答案】 208．有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，又倒出4升后再用水补满．此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________．【解析】设桶的容积为x升，那么第一次倒出8升纯农药液后，桶内还有(x－8)(x>8)升纯农药液，用水补满后，桶内纯农药液的浓度为x－8 x.第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药液为4(x－8)x升，此时桶内有纯农药液[(x－8)－4(x－8)x]升．依题意得(x－8)－4(x－8)x≤28%·x.因为x>0，所以原不等式化简为9x2－150x＋400≤0，即(3x－10)(3x－40)≤0.解得103≤x≤40 3.又∵x>8，∴8<x≤403.【答案】(8，40 3]三、解答题9．某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP公司可供选择．公司A每小时收费1.5元；公司B在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学如何选择ISP公司较省钱？【解】假设一次上网x小时，则公司A收取的费用为1.5x元，公司B收取的费用为x(35－x)20元．若能够保证选择A比选择B费用少，则x(35－x)20>1.5x(0<x<17)．整理得x2－5x<0，解得0<x<5.所以当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A的费用少；超过5小时，选择公司B的费用少．10．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．【解】(1)依题意，y＝100(1－x10)·100(1＋850x)．又售价不能低于成本价，所以100(1－x10)－80≥0. 所以y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)，定义域为[0,2]．(2)由题意得20(10－x)(50＋8x)≥10 260，化简得8x2－30x＋13≤0.解得12≤x≤13 4.所以x的取值范围是[12，2]．11．学校食堂定期从某粮店以每吨1500元的价格购买大米，每次购进大米需支付运输劳务费100元．已知食堂每天需用大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元，假定食堂每次均在用完大米的当天购买．(1)该食堂每多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少？(2)粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折优惠(即是原价的95%)，问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由．【解】(1)设每t天购进一次大米，易知每次购进大米量为t吨，那么库存总费用即为2[t ＋(t －1)＋…＋2＋1]＝t (t ＋1)．若设平均每天所支付的总费用为y 1，则y 1＝1t [t (t ＋1)＋100]＋1500＝t ＋100t ＋1501≥1521，当且仅当t ＝100t ，即t ＝10时，等号成立，故应每10天购买一次大米，能使平均每天支付的总费用最少．(2)若接受价格优惠条件，则至少每20天购买一次，设每t (t ≥20)天购买一次，每天支付总费用y 2，则y 2＝1t [t (t ＋1)＋100]＋1500×0.95＝t ＋100t ＋1426.令f (t )＝t ＋100t (t ≥20)，设20≤t 1≤t 2，f (t 2)－f (t 1)＝(t 2－t 1)(t 1t 2－100)t 1·t 2>0， 即f (t )在[20，＋∞)上单调递增．故当t ＝20时，y 2取最小值为1451元<1521元，从而知该食堂应接受价格优惠条件.。
人教B版高中数学必修五不等式的实际应用同步练习(1)
3.4 不等式的实际应用素材学习目标：1、通过实际问题，掌握不等式的实际应用和解决这类问题的一般步骤，2、学会从实际问题中抽象出不等式模型。
3、体验数学学习重点和难点:重点：不等式的实际应用难点：数学建模与日常生活的联系，感受数学的实用价值，提高实践能力。
学习过程：一、温故知新：1、比较两实数大小的常用方法△=b2-4ac △>0 △=0 △<0Y=ax2+bx+c(a>0)的图象ax2+bx+c=0（a>0）的根ax2+bx+>0（a>0）的解集ax2+bx+c<0（a>0）的解集二、情景引入b克糖水中含有a克糖（b>a>0），若在这些糖水中再添加m（m>0）克糖，则糖水就变甜了，根据此事实提炼一个关系式，三、典例分析：例1、甲、乙两人同时同地沿同一路线去同一地点，甲有一半的时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m≠n,问甲、乙两人谁先到达指定地点？分析：解：2、由例1、例2归纳出解不等式应用题的一般步骤:回归情景：对于糖水问题你能给出证明吗？例2、有纯农药一桶，倒出８升后用水补满，然后倒出4升再用水补满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的２８％.问桶的容积最大为多少？ 分析：解答：请同学们自己完成。
2、某工人共加工300个零件。
在加工100个零件后，改进了操作方法，每天 多加工15个，用了不到20天的时间就完成了任务。
问改进操作方法前，每天 至少要加工多少个零件？3、一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （辆）与创造的价值（元）之间有如下关系：y= -2x 2+220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条 流水线创收6000元以上，那么他在一星期内大约应该生产多少辆摩托车？四、小结：五、作业：课本P83 A 2 、4 B 2。
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3.4 不等式的实际应用 测试题
一．选择题：
1．完成一项装修工程，请木工需要付工资每人50元，请瓦工需要付工资每人40元，现有工人工资2000元，设木工x 人，瓦工y 人，则所请工人的约束条件是（ ）
Ａ．5x+4y<200 Ｂ．5x+4y ≥200 Ｃ 5x+4y ＝200 Ｄ．5x+4y ≤200
2．有一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为x 、y 、z ，则下列选项中能反映x 、y 、z 关系的是（ ）
Ａ．x+y+z=65 Ｂ．⎪⎩⎪⎨⎧>>=++z y z x z y x 65 Ｃ．⎪⎩⎪⎨⎧>>>>=++0065z y z x z y x Ｄ．⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<<<=++65656565z y x z y x 3．买4枝郁金香和5枝丁香的金额小于22元，而买6枝郁金香和3枝丁香的金额和大于24元，那么买2枝郁金香和买3枝丁香的金额比较，其结果是（ ）
A ．前者贵
B ．后者贵
C ．一样
D ．不能确定
4．如果f(x)=mx 2
+(m －1)x+1在区间]1,(-∞上为减函数，则m 的取值范围（ ） A ． （0， ⎥⎦⎤31 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡31,0 C ．]⎢⎣
⎡31,0 D （0，31） 5．设计用32m 2
的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m ，则车厢的最大容积是（ ）
A ．（38－3)73m 2
B ．16 m 2
C ． 42 m 2
D ．14 m 2 6．把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个三角形的面积之和的最小值为（ ）
Ａ．232
3cm Ｂ．4cm 2 Ｃ．23 cm 2 Ｄ．23 cm 2 7．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费用为9万元，这种生产设备的维护费用：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量逐年递增，则这套生产设备最多使用（ ）年报废最划算。
Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．7 Ｄ．10
8．某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：
若用同一行业中应聘人数和招聘人数的比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（ ）
A ．计算机行业好于化工行业
B ．建筑行业好于物流行业
Ｃ．机械行业最紧张 Ｄ．营销行业比贸易行业紧张
二．填空题：
9．某高校录取新生对语文、数学、英语的高考分数的要求是：（1）语文不低于70分；（2）数学应高于80
分；（3）三科成绩之和不少于230分。
若张三被录取到该校，则该同学的语、数、英成绩x 、y 、z 应满足的约束条件是_____________________．
10．用两种材料做一个矩形框，按要求其长和宽分别选用价格为每米3元和5元的两种材料，且长和宽必
须为整数，现预算花费不超过100元，则做成的矩形框所围成的最大面积是 ．
11．某市某种类型的出租车，规定3千米内起步价8元（即行程不超过3千米，一律收费8元），若超过3千米，除起步价外，超过部分再按1.5元／千米计价收费，若乘客与司机约定按四舍五入以元计费不找零，下车后乘客付了16元，则乘车里程的范围是 ．
三．解答题：
12．已知26辆货车以相同速度v 由A 地驶向400千米处的B 地，每两辆货车间距离为d 千米，现已知d 与v 的平方成正比，且当v=20（千米／时）时，d=1（千米）．
（1）写出d 与v 的函数关系；
（2）若不计货车的长度，则26辆货车都到达B 地最少需要多少小时？此时货车速度是多少？
13．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内某公路汽车的车流量y （千辆／时）与汽车的平均速度v （千米／时）之间的函数关系为)0(1600
39202>++=v v v v y （1） 在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量是多少（精确到0.1千辆
／时）？
（2） 若要求在该时段内车流量超过10千辆／时，则汽车的平均速度应该在什么范围内？
14．有三个新兴城镇，分别位于A 、B 、C 三个点处，且AB=AC=13千米，BC ＝10千米。
今计划合建一个中心医院。
为同时方便三个城镇，需要将医院建在BC 的垂直平分线上的点P 处。
若希望点P 到三个城镇距离的平方和最小，点P 应该位于何处？
参考答案
一．选择题：
1．D ；
2．C 解析：A 、C 、D 中都有可能x 、y 、z 为负数。
3．A 解析：设郁金香x 元／枝，丁香y 元／枝，则⎩
⎨⎧>+<+②①24362254y x y x ，∴由不等式的可加（减）性，得x>3，y<2，∴2x>6,3y<6，故前者贵。
4．C 解析：依题意知，若m=0,则成立；若m ≠0，则开口向上，对称轴不小于1，从而取并集解得C 。
5．B 解析：设长方体的长为xm,高为hm ，则V=2xh 而2x+2h ×2＋xh ×2=32∴可求得B 。
6．D 解析：设一段为x ，则面积和为22)3
12(43)3(43x x -+≥23 7．D 解析：设使用x 年，年平均费用为y 万元，则y=
x x x x 2)2.02.0(9.010÷+++ =3101012.02202≥++=++x
x x x x ，当且仅当x=10时等号成立。
8．B
二．填空题：
9．⎪⎩
⎪⎨⎧≥++>≥2308070z y x y x
10．解析：设长x 米，宽y 米，∴6x+10y ≤100即3x+5y ≤50∵100≥3x+5y ≥2y x 53∙，当且仅当3x=5y 时等号成立，∵x ，y 为正整数，∴只有3x=24,5y=25时，此时面积xy=40平方米。
11．解析：付款16元，肯定超出了3千米，设行程x 千米，则应该付款8＋1,5(x-3)∵四舍五入∴15.5≤8＋1.5(x-3)<16.5解得8≤x<8
32。
三．解答题：
12．解析：（1）设d=kv 2（其中k 为比例系数，k>0），由v=20,d=1得k=400
1∴d=24001v （2）∵每两列货车间距离为d 千米，∴最后一列货车与第一列货车间距离为25d ，∴最后一列货车达到B 地的时间为t=v d v 25400+，代入d=2400
1v 得 t=
16400v v +≥216400v v ＝10，当且仅当v=80千米／时等号成立。
∴26辆货车到达B 地最少用10小时，此时货车速度为80千米／时。
13．（1）依题意y=83920160023920)1600(3920=+≤++v
v ，当且仅当v=40等号成立。
最大车流量y=83920≈11.1(千辆／时)
（2）由条件得101600
39202>++v v v ，整理得v 2-89v+1600<0解得25<v<64。
14．解析：以BC 中点为原点，BC 所在直线为x 轴，建立坐标系，则B(-5,0),C(5,0)，A(012)，设P(0,y)
∴PA 2+PB 2+PC 2＝2（25＋y 2）+(12-y)2=3(y-4)2+146∴y ＝4时取最小值146，此时P 的坐标为（0，4）。