2019版高考数学(文)大一轮优选(全国通用版)讲义：第42讲两条直线的位置关系+Word版含答案

第42讲 两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔！！！！__k 1＝k 2__####； ②当不重合的两条直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为！！！！__平行__####. (2)两直线平行或重合的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行或重合的充要条件是！！！！__A 1B 2－A 2B 1＝0__####.(3)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔！！！！__k 1k 2＝－1__####； ②如果l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l 1与l 2的关系为！！！！__垂直__####.(4)两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是！！！！__A 1A 2－B 1B 2＝0__####.2．两条直线的交点3．三种距离1．思维辨析(在括号内打“√”或“”)．(1)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．( × ) (2)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为||kx 0＋b 1＋k 2.( × )(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ )(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．( √ )(5)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB的中点在直线l 上．( √ )解析 (1)错误．当方程组有唯一解时两条直线相交，若方程组有无穷多个解，则两条直线重合．(2)错误．应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式，即点P 到直线的距离为|kx 0－y 0＋b |1＋k 2.(3)正确．因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长，即点到直线的距离． (4)正确．两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长，即两条直线上各取一点的最短距离．(5)正确．根据对称性可知直线AB 与直线l 垂直且直线l 平分线段AB ，所以直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB 的中点在直线l 上．2．已知l 1的倾斜角为45°，l 2经过点P (－2，－1)，Q (3，m )，若l 1⊥l 2，则实数m ＝( B ) A ．6B ．－6C ．5D ．－5解析 由已知得k 1＝1，k 2＝m ＋15. ∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，∴1×m ＋15＝－1，即m ＝－6.3．点(0，－1)到直线x ＋2y ＝3的距离为( B )A ．55B ．5C ．5D ．15解析 d ＝|0＋2×(－1)－3|5＝ 5.4．点(a ，b )关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是( B ) A ．(－a －1，－b －1) B ．(－b －1，－a －1) C ．(－a ，－b )D ．(－b ，－a )解析 设对称点为(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ′－b x ′－a ×(－1)＝－1，x ′＋a 2＋y ′＋b2＋1＝0，解得x ′＝－b －1，y ′＝－a －1.5．直线l 1：x －y ＝0与直线l 2：2x －3y ＋1＝0的交点在直线mx ＋3y ＋5＝0上，则m 的值为( D )A ．3B ．5C ．－5D ．－8解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x －3y ＋1＝0，得l 1与l 2的交点坐标为(1,1)，所以m ＋3＋5＝0，m ＝－8.一 两条直线的平行与垂直问题判断两条直线平行与垂直的注意点(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程系数间的关系得出结论． 【例1】 已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，分别求出满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解析 (1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)，∴此种情况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在． ∵k 2＝1－a ，k 1＝ab ，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即ab(1－a )＝－1.(*)又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.(**) 由(*)(**)联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在， k 1＝k 2，即ab＝1－a .①又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b ，②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.二 两条直线的交点问题常用的直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R ，且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )．(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1 ＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.【例2】 求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1,2)．由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1，l 2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1.故直线l 的方程为5x ＋3y －1＝0.三 距离公式的应用利用距离公式应注意的问题(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝||x 0－a ，到直线y ＝b 的距离d ＝||y 0－b . (2)应用两平行线间的距离公式的前提是把两直线方程中x ，y 的系数化为相等． 【例3】 已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？解析 (1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时直线l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时直线l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1， 所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.四 对称问题及其应用两种对称问题的处理方法(1)关于中心对称问题的处理方法①若点M (x 1，y 1)及点N (x ，y )关于点P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1.②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；或者求出一个对称点，再利用l 1∥l 2，由点斜式得到所求的直线方程．(2)关于轴对称问题的处理方法①点关于直线的对称若两点P 1 (x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在l 上，而且连接P 1P 2的直线垂直于l ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．【例4】 (1)已知直线l ：x ＋2y －2＝0.①求直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程； ②求直线l 关于点A (1,1)对称的直线方程．(2)光线由点A (－5，3)入射到x 轴上的点B (－2,0)，又反射到y 轴上的点M ，再经y 轴反射，求第二次反射线所在直线l 的方程．解析 (1)①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，x ＋2y －2＝0，解得交点P (2,0)．在l 1上取点M (0，－2)， M 关于l 的对称点设为N (a ，b )， 则⎩⎨⎧a 2＋2·b －22－2＝0，⎝⎛⎭⎫－12·b ＋2a ＝－1，解得N ⎝⎛⎭⎫125，145，∴kl 2＝145－0125－2＝7，又直线直l 2过点P (2,0)， ∴直线l 2的方程为7x －y －14＝0.②直线l 关于点A (1,1)对称的直线和直线l 平行，所以设所求的直线方程为x ＋2y ＋m ＝0.在l 上取点B (0,1)，则点B (0,1)关于点A (1,1)的对称点C (2,1)必在所求的直线上，∴m＝－4，即所求的直线方程为x ＋2y －4＝0.(2)点A (－5，3)关于x 轴的对称点A ′(－5，－3)在反射光线所在的直线BM 上， 可知l BM ：y ＝33(x ＋2)，∴M ⎝⎛⎭⎫0，233. 又第二次反射线的斜率k ＝k AB ＝－33，∴第二次反射线所在直线l 的方程为y ＝－33x ＋233，即x ＋3y －2＝0.1．“C ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( B ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析 点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3等价于|3×2＋4×1＋C |32＋42＝3，解得C ＝5或C ＝－25，所以“C ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的充分不必要条件．故选B ．2．(2018·湖北部分重点中学期中)已知A (4，－3)关于直线l 的对称点为B (－2,5)，则直线l 的方程是( B )A ．3x ＋4y －7＝0B ．3x －4y ＋1＝0C ．4x ＋3y －7＝0D ．3x ＋4y －1＝0解析 由题意得AB 的中点C 为(1,1)，又A ，B 两点连线的斜率为k AB ＝5＋3－2－4＝－43，所以直线l 的斜率为34，因此直线l 的方程为y －1＝34(x －1)，即3x －4y ＋1＝0.故选B ．3．设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 当m ＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l 1∥l 2时，显然m ≠0，从而有2m ＝m －1，解得m ＝2或m ＝－1，但当m ＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立．故选C ．4．已知直线l 1与直线l 2：4x －3y ＋1＝0垂直且与圆C ：x 2＋y 2＝－2y ＋3相切，则直线l 1的方程是！！！！__3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝0__####.解析 圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.设直线l 1的方程为3x ＋4y ＋c ＝0，则|3×0＋4×(－1)＋c |32＋42＝2，解得c ＝14或c ＝－6，即直线l 1的方程为3x ＋4y＋14＝0或3x ＋4y －6＝0.易错点 对变量认识不清晰错因分析：变量转换后，不能及时将变量由原变量转换为新变量，使解题受阻． 【例1】 设点A (1,0)，B (2,1)，如果直线ax ＋by ＝1与线段AB 有一个公共点，那么a 2＋b 2的最小值为！！！！______####.解析 ∵直线与线段AB 有一个公共点， ∴A ，B 在直线异侧或者其中一点在直线上， ∴(a －1)(2a ＋b －1)≤0，∴点(a ，b )在如图阴影部分所示的平面区域内． 又a 2＋b 2表示点(a ，b )到原点的距离的平方，∴a 2＋b 2的最小值为原点到直线2a ＋b －1＝0的距离的平方，即(a 2＋b 2)min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫||－14＋12＝15.答案 15【跟踪训练1】 (2018·山东临沂兰山区期中)已知点P (a ，b )与点Q (1,0)在直线2x ＋3y －1＝0的两侧，且a ＞0，b ＞0，则ω＝a －2b 的取值范围是( D )A ．⎣⎡⎦⎤－23，12B ．⎝⎛⎭⎫－23，0 C ．⎝⎛⎭⎫0，12 D ．⎝⎛⎭⎫－23，12 解析 由题意可知(2a ＋3b －1)·(2＋0－1)<0，则2a ＋3b <1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3b <1，a >0，b >0，则点(a ，b )在如图阴影部分所示的平面区域内．所以ω＝a －2b 在点A ⎝⎛⎭⎫12，0处取得最大值12，在点B ⎝⎛⎭⎫0，13处取得最小值－23，因为点A ⎝⎛⎭⎫12，0和点B ⎝⎛⎭⎫0，13不在点(a ，b )可取的范围内，所以ω的取值范围为⎝⎛⎭⎫－23，12.故选D ． 课时达标 第42讲[解密考纲]对直线方程与两条直线的位置关系的考查，常以选择题或填空题的形式出现． 一、选择题1．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于( D ) A ．1B ．－13C ．－23D ．－2解析 由a ×1＋2×1＝0，得a ＝－2.故选D ．2．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为( B ) A ．0B ．－8C ．2D ．10解析 k AB ＝4－mm ＋2＝－2，则m ＝－8.3．直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( C ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －5＝0D ．x ＋2y －5＝0解析 由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数．直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.4．“m ＝1”是“直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直” 的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 因为m ＝1时，两直线方程分别是x －y ＝0和x ＋y ＝0，两直线的斜率分别是1和－1，所以两直线垂直，所以充分性成立；当直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直时，有1×1＋(－1)·m ＝0，所以m ＝1，所以必要性成立．故选C ．5．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( A )A ．32B ．22C ．33D ．4 2解析 由题意知AB 的中点M 在到直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线上，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式，得|m ＋7|2＝|m ＋5|2，所以|m ＋7|＝|m ＋5|，解得m＝－6，故l ：x ＋y －6＝0.根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.6．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝( C )A ．4B ．6C ．345D ．365解析 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的垂直平分线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.二、填空题7．经过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线的方程是！！！！__2x －y ＋4＝0__####.解析 ∵y ′＝6x －4，∴y ′|x ＝1＝2，∴所求直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.8．过点(－1,1)的直线被圆x 2＋y 2－2x －4y －11＝0截得的弦长为43，则该直线的方程为！！！！__x ＝－1或3x ＋4y －1＝0__####.解析 圆x 2＋y 2－2x －4y －11＝0，即(x －1)2＋(y －2)2＝16，则圆心为点M (1,2)，半径r ＝4.由条件知，点(－1,1)在圆内，设过点N (－1,1)的直线为l .当l 的斜率k 不存在时，l ：x ＝－1，则交点A (－1,2－23)，B (－1，2＋23)，满足|AB |＝4 3.当l 的斜率k 存在时，设l ：y －1＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋1＝0，则圆心M (1,2)到直线l 的距离d ＝|k －2＋k ＋1|k 2＋1＝|2k －1|k 2＋1，则d 2＋(23)2＝16，即d 2＝(2k －1)2k 2＋1＝16－12＝4，解得k ＝－34.此时，y －1＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －1＝0. 综上所述，直线l 的方程为x ＝－1或3x ＋4y －1＝0.9．已知定点A (1,1)，B (3,3)，动点P 在x 轴上，则|P A |＋|PB |解析 点A (1,1)关于x 轴的对称点为C (1，－1)，则|P A |＝|PC |，设BC 与x 轴的交点为M ，则|MA |＋|MB |＝|MC |＋|MB |＝|BC |＝2 5.由三角形两边之和大于第三边知，当P 不与M 重合时，|P A |＋|PB |＝|PC |＋|PB |＞|BC |，故当P 与M 重合时，|P A |＋|PB |取得最小值．三、解答题10．正方形的中心为点C (－1,0)，一条边所在的直线方程是x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程．解析 点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105. 设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)，则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离 d ＝|－1＋m |1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7， 所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0.设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0，则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n |1＋9＝3105， 解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0. 综上知正方形的其他三边所在直线的方程分别为x ＋3y ＋7＝0，3x －y －3＝0,3x －y ＋9＝0.11．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线的方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线的方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解析 依题意知k AC ＝－2，A (5,1)，∴直线AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立直线AC 和直线CM 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0， ∴C (4,3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0＋12， 代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)， ∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)， 即6x －5y －9＝0.12．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )．(1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围；(2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解析 (1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2＋122＋14. 因为a 2≥0，所以b ≤0.又因为l 1与l 2不重合，所以a 2＋1≠3，所以b ≠－6. 故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．(2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a，|ab |＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2， 当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2.。