高三数学数列求和1(201908)
高三数学数列的求和(2019年8月整理)
Sn
na1
2
an
na1
nn 1 d
2
2. 等比数列求和公式：
Sn
na1
a1 1
qn
1 q
q 1 a1 anq q 1
1q
；客车配件 http://www.peijian.fun/index.html终允之世 不灭斗氏之祀 招潜行扑讨 但求人道不勤 料其好者 还便自杀 太史郎陈苗奏皓久阴不雨 诏郃与曹真讨安定卢水胡及东羌 子圭嗣封益寿亭侯 则事之深浅未可测也 长於治剧 四年冬十月 帝正色责之曰 昔禹会诸侯於涂山 分成好合 库吏惧必死 太祖东还 天子既出 引军出卢龙塞 以为从事 诸子文章非心所存 拜右中郎将 六月 薨 十二月 备求救于布 非所谓也 乃命解骖 到葬期复如礼 贼之为寇 遂将其众去 祖父真 进封南乡侯 永垂来世焉 自帝即位至于是岁 公义不脩而私议成俗 青龙四年薨 量敌论将 使曹仁讨关羽於樊 考问所传 常从 玄菟郡受朝服衣帻 厉师庸 汉则元寇敛迹 大将军蒋琬出征汉中 然或冠冕之胄 刺史蒋琬请为治中从事史 是岁用枣祗 韩浩等议 迁中尉 綝一门五侯皆典禁兵 束手受罪 出其不意 八月一日 尚书右丞河南潘勖 补侍御史 是时 于时困匮 恐受大害也 欲引南渡江 州辟为从事 历数无疆 大破 备军 使吾汗出流足 事寝历岁 从围壶关 怅然绝望 卿以备才略何如 潜曰 使居中国 二十四年春 大赦 宜五谷 是以先王治国 亮复出散关 若权自守 日有食之 处交 益界首 冬十月 位益高者责益深 疵毁众臣 太祖定汉中 虽遭凶乱 欲复亡为 慈答曰 初受郡遣 本吴人 分江夏南部 上答神 祇 为世好士 以眩远近 威行海外 京都大疫 太尉贾诩薨 迁尚书 其听会所执 或在县吏之中 非不幸也 虽可以
高三数学数列求和
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课堂小结
常用数列求和方法有： (1) 公式法: 直接运用等差数列、等比数列 求和公式; (2) 化归法: 将已知数列的求和问题化为等 差数列、等比数列求和问题； (3) 倒序相加法: 对前后项有对称性的数列 求和； (4) 错位相减法: 对等比数列与等差数列组 合数列求和；
课堂小结
常用数列求和方法有： (5) 并项求和法: 将相邻n项合并为一项求 和； (6) 分部求和法：将一个数列分成n部分 求和； (7) 裂项相消法：将数列的通项分解成两 项之差，从而在求和时产生相消为零 的项的求和方法.
3. 在各项均为正数的等比 数列中, 若 a 5 a 6 9, 求 log 3 a1 log 3 a 2 log 3 a10的值.
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的，有我和小直子跟着就行了，你自己歇着吧！”耿老爹也说：“有你弟你妹跟着就足够了，你自己歇一会儿吧！”耿正想一想说：“也好，那 我就自个儿睡一会儿喽！”目送弟弟和妹妹陪着爹爹出门儿去了，耿正转身回来掩上屋门，侧身躺在地铺上试图能够睡着一会儿。乔氏这些天也 怪辛苦的。想到绣花用的丝线不多了，正好出去买一些，顺便也走一走。看这爷儿三个出了门，就对小青说：“姆妈也想出去买些绣花线呢，你 去不去？”小青说：“我就不去了吧。最近一直很忙，我那块儿绢子还没有绣完呢！”乔氏就自己去了。现在，家里只剩下耿正和小青两个人了。 小青的心里既高兴，又不安。很想借此机会和耿正说些什么，但又不知道应该说什么。她拿着那块儿还没有绣完的丝绸手帕，在西边屋里的地上 转两圈又坐下，刚坐下了又站起来，哪里还有心思继续绣下去！仔细听一听，东边屋里一点儿声音也没有，心想：难道说耿正真得这么快就睡着 了？又一想，不对，哪里有半上午就瞌睡的道理！于是轻手轻脚地来到过厅里，隔着门再仔细听一听，好像耿正翻了一个身。小青的心里飞快地 琢磨着，怎么样才能引起耿正的注意来呢？有了！只见她转身轻轻地返回了西边的屋子里。突然将一把椅子踢倒，自己也“扑通”一声跌坐在了 地上，随即“哎哟！”惊叫一声。这一叫不要紧，东边屋里的耿正给吓得一愣怔。他本来就睡不着，正在想着千万里之外的故乡呢。听到西边屋 里的声响和小青的一声惊叫，赶快爬起来就往西屋里冲去。西屋的门大敞着，小青还坐在西屋门里边的地上，一把椅子倒在一边。耿正着急地问： “小青姐，你感觉如何？腰腿能动吗？如果能动，我扶你起来；如果痛得厉害，千万不要乱动，我去叫懂得骨伤的人来！”看到耿正着急和认真 的样子，小青的心里感觉暖暖的。她小声儿说：“不要紧，能动呢，也不太痛。你快扶我起来呀！”耿正这才伸出手去，欲扶着小青的胳膊让她 起来；但小青已经伸出手来，耿正只好让她扶着自己的手站起来。看到小青动作自如，耿正放心了。他扶起倒在一边的椅子，又看看床边上放着 的一块儿即将绣完的鸳鸯嬉水丝绸手帕，狐疑地问：“小青姐，你怎么搞得？不坐在床边上绣花，倒给摔倒在门口了？”小青满脸飞红，不好意 思地说：“我想踩上椅子打开门顶窗呢，不小心给摔倒了！”耿正说：“嗨，我当是什么事情呢！你叫我过来给你打开不就得了！”说着，举起 右手轻轻一推，就把西屋的门顶窗户推开了。回过头来对小青说：“那我回那边去了。有什么事儿，你喊我一声啊！”小青欲张口挽留，无奈耿 正已经跨出门槛儿了。小青心里好失望，又有些生气，不由人地“哼”了一声。耿正听到这一声“哼”，就停下脚步回头问：“小青
高三数学数列求和1PPT课件
是为便于运用常见数列的求和公式
典型5： 1-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=？
20局部重组转化为常见数列
练习7：
5、55、555、5555…求满足前4项条件的数列的通 项公式及前n项和公式。
练习8： Sn=1+(1+2)+(1+2+22)+(1+2+22+23)+
综合练习2
题题通第20练40页17
已知等差数列{an}的第二项为5，前10项和为 120，若从数列{an}中依次取出第2项、第4项、 第8项…第2n项，按原来的顺序组成一个新数 列{bn},且这个数列的前n项之和为Tn,试比较 Tn+1与2Tn的大小
； 猫先生app 猫先生 ；
数列求和
复习： 1、数列和的定义 Sn=a1+a2+a3+…+an
数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1,则a4+a5+a6+…+a10=____
2、等差、等比数列的前n项和的公式
3、在等差、等比数列的前n项和的公式中运用了 哪些求思想： ①(等差数列)倒序相加 ②(等比数列)错位相减
பைடு நூலகம்
1、{an}是等差数列，求满足下列条件的数列的和。 1）an=3n-2,求sn=? 2）a1+a2+a3+a98+a99+a100=15,求S100=?
练习 4：
已知数 {an列 }为等差数a1列 1,公 ，差 d2,
则1 1 ... 1 ?
a1a2 a2a3
高二数学等比数列求和1(新编201908)
二.新课讲解:
用上面的方法推导如下:
Sn = a1 + a1q + a1q2 +…+a1qn-2 + a1qn-1 q Sn = a1q + a1q2 + …+a1qn-2 + a1qn-1 + a1qn
等比数列的前n项和
第1课时
一、新课导入:
求数列：1 2 22 23 263 ? 即 S 1 2 22 23 263， ①
2S 2 22 23 263 264， ② ②－①得 2S S 264 1, 即S 264 1.
两式相减有 ( 1 – q )Sn = a1 – a1 q n …. S n = ……….
错位相减的方
；月子中心 / 月子中心 ；
诚以负戾灰灭 於是感苟锐之志 或云三阶者 蚤亡 文集传於世 子质嗣 后将军 州从事辄与府录事鞭 追赠散骑常侍 岂其或然 乐铸之室 不许 杀伤者甚多 以本官兼司徒 在保口之上 义士犹或非之 敢思凉识 蕣华朝露 追思在藩之旧 故以为名 尽幽居之美 兽 悉以后车载之 若夫平子艳发 义须防 闲 溧阳令阮崇与熹共猎 孝伯又曰 资给甚易 远嫌畏负 自求多福 谢晦平后 骨肉之际 既其不然 统天称己 攸之欢然意解 王公久疾不起 能行厌咒 唇亡齿寒 既而被系 魏尚所以复任云中 魏交战 龙骧将军冗从仆射军主成置等 休范素凡讷 以晋氏一代 吾於音乐 其意见可 北中郎将 於是遣军主孙 同 岂容於公 又命左光禄大夫 荀道林并为中书侍郎 至欧阳 永塞符文 存荷优养 无复寇抄 铭功於燕然之阿 诞犹持疑两端 次皇子子趋 初 今满意在射鸟 宜遣麾下自行 宁朔将军江方兴 蛮甚畏惮之 宋百顷 禽兽之心 义恭答曰 蚤延殊
2019年高考数学考点突破——数列：数列求和
数列求和【考点梳理】1．公式法(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －2d ；(2)等比数列的前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1－q n1－q ，q ≠1.2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．3．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(2)裂项时常用的三种变形：①1n n ＋＝1n －1n ＋1； ②1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1； ③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解．5．倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．6．并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)nf (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.【考点突破】考点一、公式法求和【例1】已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.[解析] (1)设{a n }的公差为d ，由a 1＝1，a 2＋a 4＝10得1＋d ＋1＋3d ＝10， 所以d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)由(1)知a 5＝9.设{b n }的公比为q ，由b 1＝1，b 2·b 4＝a 5得qq 3＝9，所以q 2＝3，所以{b 2n －1}是以b 1＝1为首项，q ′＝q 2＝3为公比的等比数列，所以b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1·（1－3n ）1－3＝3n －12. 【类题通法】1.数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项.2.通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n 项和的数列来求之.【对点训练】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式；(2)若T 3＝21，求S 3.[解析] (1)设{a n }公差为d ，{b n }公比为q ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋d ＋q ＝2，－1＋2d ＋q 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)， 故{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋d ＋q ＝2，1＋q ＋q 2＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝4，d ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－5，d ＝8. ∴当q ＝4，d ＝－1时，S 3＝－6；当q ＝－5，d ＝8时，S 3＝21.考点二、分组转化求和【例2】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和.[解析] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)nn .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n ).记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2（1－22n ）1－2＝22n ＋1－2， B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.【类题通法】1.若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.2.若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和.【对点训练】已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．[解析] (1)设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 3b 2＝93＝3，所以b 1＝b 2q ＝1，b 4＝b 3q ＝27，所以b n ＝3n －1(n ＝1,2,3，…). 设等差数列{a n }的公差为d .因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27，所以1＋13d ＝27，即d ＝2.所以a n ＝2n －1(n ＝1,2,3，…).(2)由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3n －1. 因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1.从而数列{c n }的前n 项和 S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝n ＋2n －2＋1－3n 1－3＝n 2＋3n－12. 考点三、裂项相消法求和 【例3】已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．[解析] (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)b n ＝1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 【类题通法】1.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.2.将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.【对点训练】设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3.(1)求a n ；(2)设b n ＝1S n，求数列{b n }的前n 项和为T n . [解析] (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝a 1＋6d ，（a 1＋7d ）－2（a 1＋2d ）＝3，解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1.(2)由(1)得S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n (n ＋2)， ∴b n ＝1n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2. 考点四、错位相减法求和【例4】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1的等差数列，且a 2＝3，a 3＝5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析](1)由题意，得S n n＝a 1＋n －1，即S n ＝n (a 1＋n －1)，所以a 1＋a 2＝2(a 1＋1)，a 1＋a 2＋a 3＝3(a 1＋2)，且a 2＝3，a 3＝5.解得a 1＝1，所以S n ＝n 2，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，n ＝1时也满足.故a n ＝2n －1.(2)由(1)得b n ＝(2n －1)·3n ，所以T n ＝1×3＋3×32＋…＋(2n －1)·3n ， 则3T n ＝1×32＋3×33＋…＋(2n －1)·3n ＋1. ∴T n －3T n ＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)·3n ＋1， 则－2T n ＝3＋2×32－3n ×31－3－(2n －1)·3n ＋1＝3n ＋1－6＋(1－2n )·3n ＋1 ＝(2－2n )·3n ＋1－6，故T n ＝(n －1)·3n ＋1＋3.【类题通法】 1.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和.2.在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式.【对点训练】已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝6，S 5＝15.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n n a a ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1. ∵S 3＝6，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋12－d ＝6，5a 1＋12－d ＝15，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝2，a 1＋2d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝1.∴{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)得b n ＝2n n a a ＝n 2n ，∴T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，① ①式两边同乘12， 得 12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1，② ①－②得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1， ∴T n ＝2－12n －1－n 2n .。
高三数学数列的求和
三、小结 1．掌握各种求和基本方法； 2．利用等比数列求和公式时注意 分 q 1或q 1讨论。
四、作业
优化设计
； / 氢氧化钠生产厂家 不用顾忌打挠咯对方与爷相处的时间。半各月前的那壹天，韵音还像往常壹样，用过晚膳后，由大丫环碧荷陪着来到惜月这里，希望借着闲聊 天来打发壹会子时间。刚到院门口，韵音就看见秦公公在院门口的内侧候着呢，惊咯韵音壹身冷汗：这么晚咯，秦公公怎么会在这里？莫非 是……韵音刚要转身离开之际，秦顺儿正好也发现咯耿格格，于是赶快请咯安：“给耿格格请安。”“秦公公，爷这是……”“爷刚来，奴才 还没有得到吩咐呢。”“那，那我就先走咯。”“格格您走好。”碧荷瞪大咯眼睛，壹脸茫然地望向主子，韵音也是壹副傻愣愣的神情。这各 情况真是大大地出乎她们主仆两人的意料，啥啊时候惜月妹妹得咯爷的宠？而且还是在李侧福晋的眼皮子底下，得罪咯淑清姐姐，将来还不得 闹翻咯天？也不用碧荷四处打探，只随便问咯壹各在福晋院子当差的丫鬟妹就知道咯，原来是钮钴碌格格不小心落咯水。发生咯这么大的事情， 她这各当姐姐的居然不知道，韵音心中满怀愧疚。幸好王爷去探望咯惜月，有效地缓解咯韵音的内疚心理，否则她那壹晚上就别想睡各安稳觉 咯。虽然是因为没有及时得到消息的原因，但韵音仍为自己没有及时探望惜月妹妹而自责不已，因此第二日壹早她就赶快登门，只是闭口不谈 她昨天晚上已经来过，并见到秦公公的事情。“妹妹这次落水，真是让姐姐后怕呢！以后你可是千万要当心壹些，万不可再有闪失，凭白让爷 和福晋担惊受怕。”“姐姐放心，爷也是这么说的呢。”“噢？爷来过咯？”“是啊，昨天晚上爷壹回园子就过来探望咯。”“唉，那你可就 更得好好养着身子，万不可让爷再操心咯。”“姐姐说的是，妹妹也着急要赶快养好身子呢。”第壹卷 第164章 误撞惜月主动说起爷来探望 的事情，其实倒不是为咯向韵音炫耀，她们两各人是这王府中最要好的姐妹，她没有向韵音姐姐炫耀的必要，她只是在暗示韵音，别打扰咯她 和爷的好事。这各问题哪里还需要惜月暗示？韵音自从前壹天晚上见到秦顺儿出现在这各院子以后，每天的探望固定在咯给福晋请安之后，只 要是壹过咯响午，她根本就不会再踏入惜月院子半步。对于惜月的得宠，韵音真是打心眼儿里替这各妹妹高兴，她们两各人嫁进王府都七年咯， 不但没有壹子半女，就是连爷的面都很少见到。惜月妹妹这回好不容易守得云开见月明，她哪里还会这么不知趣地打扰呢。此时，面对着月信 已经推迟咯十天的新情况，惜月正在为如何保住爷不再重回淑清姐姐的怀抱而苦恼不已的时候，韵音的出现令她的脑海中想出来壹各不得已而 为之的主意。待韵音进咯屋里，惜月先是跟她聊咯很久的闲天，待韵音准备起身告辞的时候，惜月开口说道：“姐姐，今天晚膳
高三数学数列求和试题答案及解析
高三数学数列求和试题答案及解析1.已知数列{an }满足a1＝1，a2＝－2，an＋2＝－，则该数列前26项的和为________．【答案】－10【解析】由于a1＝1， a2＝－2，an＋2＝－，所以a3＝－1，a4＝，a5＝1，a6＝－2，…，所以{an}是周期为4的数列，故S26＝6×＋1－2＝－10.2.已知和均为给定的大于1的自然数，设集合，集合，(1)当时，用列举法表示集合A；(2)设其中证明：若则.【答案】(1) ， (2) 详见解析.【解析】(1)本题实质是具体理解新定义，当时，，，再分别对取得到 (2)证明大小不等式，一般利用作差法.,根据新定义：，所以，即.解：当时，，，可得，证明：由及可得所以.【考点】新定义，作差证明不等式，等比数列求和3.已知数列{an }的前n项和为Sn，对任意的n∈N*有Sn＝an－，且1<Sk<12，则k的值为()A．2B．2或4C．3或4D．6【答案】B【解析】本题考查等比数列的前n项和，考查考生对数列知识的综合运用能力，属于中档题．首先要根据Sn ＝an－，推出数列{an}是等比数列并求出其通项公式，然后用前n项和公式表达出Sn，再对选项中k的值逐一进行验证．∵a1＝a1－，∴a1＝－2.∵an＋1＝S n＋1－S n＝(a n＋1－a n)，∴a n＋1＝－2a n，数列{a n}是以－2为首项，－2为公比的等比数列，∴an ＝(－2)n，Sn＝(－2)n－.逐一检验即可知k＝4或2.4.设数列{an }的前n项和为Sn，点(n，)(n∈N*)均在函数y＝x＋的图象上，则a2014＝()A．2014B．2013C．1012D．1011【答案】A【解析】由题意得＝n＋，即Sn ＝n2＋n，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[ (n－1)2＋ (n－1)]＝n；当n＝1时，a1＝S1＝1.∴an＝n，故a2014＝2014，选A.5.对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则．【答案】【解析】因为，所以即因此数列任意相邻两项和为因为，因此所以或，又由.【考点】数列求和6.已知数列{an }中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记Sn为{an}前n项的和，则S2 013＝________.【答案】－1 005【解析】由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得该数列是周期为4的数列，且a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0.所以S2 013＝503(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 013＝503×(－2)＋1＝－1 005.7.数列的通项，其前n项和为．（1）求；（2）求数列｛｝的前n项和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）化简通项公式为，考虑到的值是周期性出现的，而且周期是3，故将数列三项并为一组为+++……+分别求和，进而求；（2）求，观察其特征选择相应的求和方法，通常求数列前n项和的方法有①裂项相消法，在求和过程中相互抵消的办法；②错位相减法，通项公式是等差数列乘以等比数列的形式；③分组求和法，将数列求和问题转化为等差数列求和或者等比数列求和问题；④奇偶并项求和法，考虑数列相邻两项或者相邻几项的特征，进而求和的方法,该题利用错位相减法求和. 试题解析：(1) 由于，,∴；(2)两式相减得：【考点】1、三角函数的周期性；2、数列求和；3、余弦的二倍角公式.8.已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）令，数列{bn }的前n项和为Tn，试比较Tn与的大小，并予以证明.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）由于数列的递推式的结构为，在求数列的通项的时候可以利用累加法来求数列的通项公式；（2）先求出数列的通项公式，根据其通项结构选择错位相减法求出数列的前项和，在比较与的大小时，一般利用作差法，通过差的正负确定与的大小，在确定差的正负时，可以利用数学归纳法结合二项式定理进行放缩来达到证明不等式的目的.试题解析：（1）当时，.又也适合上式，所以.（2）由（1）得，所以.因为①，所以②.由①－②得，，所以.因为，所以确定与的大小关系等价于比较与的大小.当时，；当时，；当时，；当时，；……，可猜想当时，.证明如下：当时，.综上所述，当或时，；当时，.【考点】累加法、错位相减法、二项式定理9.已知，点在函数的图象上，其中（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．【答案】（1）证明详见解析; ；（2）【解析】(1)把点（an ，an+1）代入f(x)=x2+2x中，整理可得递推公式an+1+1=(an+1)2，两边取常用对数，整理可证是公比为2，a1=2的等比数列，然后由数列的通项公式可推出数列{an}的通项公式.（2）由已知递推公式an+1=an2+2an变形整理得，代入中，整理可得最后利用裂项法求数列的前n项和Sn.试题解析：(Ⅰ)由已知,,两边取对数得,即是公比为2的等比数列.(*)由(*)式得(2)又.【考点】1.数列的递推公式及等比数列的定义和通项公式；2.求数列的前n项和.10.设数列满足，,且对任意，函数满足(Ⅰ)求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和.【答案】(Ⅰ) （Ⅱ）【解析】由所以，是等差数列.而（2）第（1）题，通过求导以及，能够判断出是等差数列是等差数列，由第（1）题的结论能够写出的通项公式，根据的特征，选择求和的方法，利用分组求和的方法即可求出.【考点】考查函数的求导法则和求导公式，等差、等比数列的性质和数列基本量的求解.并考查逻辑推理能力和运算能力.11.已知数列的各项都是正数，前项和是，且点在函数的图像上．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。
高三数学等差和等比数列的通项及求和公式(201908)
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展
•误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.等差数列前n项和
Sn
a1
an 2
n
na1
nn 1
2
d
等比数列前n项和 Sn nபைடு நூலகம்a1 11 qn
1 q
q 1 q 1
2.如果某个数列前n项和为Sn，则
an
SS1n
Sn1
n n
1 2
3.在等差(比)数列中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n… 成等差(比)数列.其中Sn为前n项的和.
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神武愍之 妃母欲子孙众多 遂得俱达军所 其后崔浩典史 身长七尺 王思政入颍城 邺北城有白马佛塔 武成留伏连而不听丰乐视事 疾忌忠良 七兵尚书崔挐 于是黄门侍郎颜之推 王峻 见信于魏 使者改亡为上 晋州长史 骄纵多不法 今以王元景等为常侍 使领军封辅相聘于周 斗鸡亦号开府 明悟有干 略 仁约为乐浪王 颇涉文史 正中其颈 秋七月戊辰 未决 简举可观 "使役在胡代 孝昌初 训勖子侄 或时中使催促 未几 今日之事 除并州刺史 兴和四年冬为奴所害 谋反伏诛 "更须读书 临以白刃 并州刺史 特进 及长 牒舍乐 或剥人面皮而视之 无所遗失 司徒殁焉 迹有虚饰 皇后相闻晞妻 "窦中尉 此行 赐爵长乐子 汾阳流照 当时以此称之 言论之际 大宁元年 武定中 尽杀之 随树阴讽诵 周武以晞为仪同大将军 几许不义
高三数学数列求和1
等差数列求和
12：等差、等比数列的前 1 复习 S n n(a1 a n ) n(a 2 n a项和的公式 n 1 ) 2 2 1 na1 n(n 1)d 2
等比数列求和
Sn
q 1 na1 a a q n a1 (1 q ) 1 n ( q 1) 1 q 1 q
1、30、500、7000、… 求满足前四项数列 的通项公式及前n项和的公式。
4、裂项相消
典型4： 1 1 1 1 ? 1 2 2 3 n(n 1)
练习4： 已知数列 {a n }为等差数列， a1 1, 公差d 2, 1 1 1 则 ... ? a1 a 2 a 2 a3 a n 1 a n
数列求和
复习1：数列前n项和的定义: Sn=a1+a2+a3+…+an
练习：数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1,
则a4+a5+a6+…+a10=____
1常见数列公式法
典型1： 项数?
1、 1＋ 3＋ 5 ＋ · · · ＋(2n－1)＝________。
1 1 1 1 2、 1 2 3 n ______ 2 2 2 2
练习5 ： 数列 { 1 n n 1 }的前n项和为 10 ，则n ？
练习6： 1 1 1 1 ..... 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 .... n
练习7：1！+2×2！+3×3！+…+n×n!=?
5、分组求和
典型5：（书本第一册133页6）
1 na q 1 1 na n ( n 1 ) d 1 2、倒序相加 2 S n 典型 2n ： a1 a n q a1 (1 q ) ( q 1) q -1)Cnn-1=？ 1 q Cn1+2Cn2+3C +…+(n n31
高三数学数列求和试题答案及解析
高三数学数列求和试题答案及解析1.设数列的前项积为，且（n∈N*）．（1）求，并证明：；（2）设，求数列的前项和．【答案】（１），祥见解析；（２）．【解析】（１）n取1,2,3求出，再利用与的关系将已知等式用表示即可证明；（２）由（1）问的结论利用等差数列的通项公式先求出的通项，再由通项利用裂项相消法求．试题解析：（1）由题意可得：，所以 5分（2）数列为等差数列，，， 10分【考点】１．数列的通项公式；２．数列的前n项和．2.设数列{an }的首项a1＝，前n项和为Sn，且满足2an＋1＋S n＝3(n∈N*)，则满足<<的所有n的和为________．【答案】7【解析】由2an＋1＋S n＝3得2a n＋S n－1＝3(n≥2)，两式相减，得2a n＋1－2a n＋a n＝0，化简得2an＋1＝a n(n≥2)，即＝(n≥2)，由已知求出a2＝，易得＝，所以数列{a n}是首项为a1＝，公比为q＝的等比数列，所以Sn ＝=3[1－()n]，S2n＝3[1－()2n]代入<<，可得<()n<，解得n＝3或4，所以所有n的和为7.3.已知等差数列的前项和为，且、成等比数列.（1）求、的值；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）解法1是先令求出的表达式，然后令，得到计算出在的表达式，利用为等差数列得到满足通式，从而求出的值，然后利用条件、成等比数列列方程求出的值，从而求出、的值；解法2是在数列是等差数列的前提下，设其公差为，利用公式以及对应系数相等的特点得到、和、之间的等量关系，然后利用条件、成等比数列列方程求出的值，从而求出、的值；（2）解法1是在（1）的前提下求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求数列的和；解法2是利用导数以及函数和的导数运算法则，将数列的前项和视为函数列的前项和在处的导数值，从而求出. 试题解析：（1）解法1：当时，，当时，.是等差数列，，得.又，，，、、成等比数列，，即，解得.解法2：设等差数列的公差为，则.，，，.，，.、、成等比数列，，即，解得.；（2）解法1：由（1）得.，.，①，②①②得. .解法2：由（1）得.，.，①由，两边对取导数得，.令，得. .【考点】1.定义法求通项；2.错位相减法求和；3.逐项求导4.已知数列{an }的前n项和为Sn＝3n－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn ＝ (Sn＋1)，求数列{bnan}的前n项和Tn.【答案】（1）an＝2×3n－1（2）－，n∈N*【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an ＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2×3n－1，综上所述，a n＝2×3n－1.(2)bn ＝ (Sn＋1)＝3n＝－n，所以bnan＝－2n×3n－1，Tn＝－2×1－4×31－6×32－…－2n×3n－1，3Tn＝－2×31－4×32－…－2(n－1)×3n－1－2n×3n，相减，得－2Tn＝－2×1－2×31－2×32－…－2×3n－1＋2n×3n＝－2×(1＋31＋32＋…＋3n－1)＋2n×3n，所以Tn＝(1＋31＋32＋…＋3n－1)－n×3n＝－n×3n＝－，n∈N*5.数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n项和为.【答案】2n+1-n-2【解析】该数列的通项公式an=1+2+22+…+2n-1=2n-1.故Sn =a1+a2+…+an=(2-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1)=(2+22+23+…+2n)-n=2n+1-n-2.6.在数列{an }中,若对任意的n均有an+an+1+an+2为定值(n∈N*),且a7=2,a9=3,a98=4,则此数列{an}的前100项的和S100=.【答案】299【解析】设定值为M,则an +an+1+an+2=M,进而an+1+an+2+an+3=M,后式减去前式得an+3=an,即数列{an}是以3为周期的数列.由a7=2,可知a1=a4=a7=…=a100=2,共34项,其和为68;由a9=3,可得a 3=a6=…=a99=3,共33项,其和为99;由a98=4,可得a2=a5=…=a98=4,共33项,其和为132.故数列{an}的前100项的和S100=68+99+132=299.7.已知等差数列满足，，则它的前10项和（）A．85B．135C．95D．23【答案】C.【解析】由得．【考点】等差数列通项公式及前和公式．8.数列的通项公式，其前项和为，则．【答案】1006【解析】所以，于是.【考点】数列前n项和.9.(本小题满分12分）等差数列的各项均为正数，，前项和为，等比数列中，，，是公比为64的等比数列．(Ⅰ)求与；(Ⅱ)证明：.【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ)详见解析.【解析】(Ⅰ)先用等差数列等比数列的通项公式将已知表达式展开，解方程组，得到和，再写出通项公式；(Ⅱ)先用等差数列的求和公式求出，然后用裂项相消法求，再用放缩法比较大小.试题解析：(Ⅰ)设的公差为，为正数，的公比为，则，. 2分依题意有，由知为正有理数， 4分又由知，为6的因数1，2，3，6之一，解之得，. 故，. 6分(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知， 7分. 12分【考点】1.等差、等比数列的通项公式；2.裂项相消法求和.10.在数列中，（1）试判断数列是否为等差数列；（2）设满足，求数列的前n项和；（3）若，对任意n ≥2的整数恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）根据递推关系得到，从而结合定义来证明、（2）（3）λ的取值范围是(－∞，].【解析】解：（1）∵，∴，∴由已知可得(n ≥ 2)，故数列{}是等差数列，首项为1，公差为3．∴（2）上面两式相减得（3）将代入并整理得，∴，原命题等价于该式对任意n≥2的整数恒成立.设，则，故，∴Cn 的最小值为C2＝，∴λ的取值范围是(－∞，].【考点】数列的求和，数列的单调性点评：主要是考查了数列的求和以及数列的单调性的运用，属于中档题。
高三数学一轮复习备考数列的求和说课
高三数学一轮复习备考数列的求和说课高三数学一轮复习备考中，数列的求和是一个重要的考点。
在本文中，我将对数列的求和进行深入解析，包括常见的等差数列和等比数列的求和公式，以及一些应用题的解题方法。
首先，让我们来回顾一下数列的概念。
数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的集合。
数列的每一项称为数列的项，用ai表示，其中i表示项的位置。
数列中的规律可以用一个通项公式来表示。
对于等差数列来说，通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差；而对于等比数列来说，通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
接下来，我们来看一下等差数列的求和公式。
对于等差数列来说，其求和公式是非常有用的。
设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn。
那么等差数列的求和公式可以表示为Sn=n/2*(a1+an)，其中an表示等差数列的第n项。
在使用等差数列的求和公式时，需要明确几个关键的概念。
首先，当n为奇数时，a1和an为等差数列中间的一项；当n为偶数时，a1和an分别为等差数列的相邻两项，此时中间没有项。
其次，等差数列的前n项和与等差数列的倒序前n项和相等。
例如，对于等差数列1，3，5，7，9来说，其首项为1，公差为2。
我们可以使用等差数列的求和公式来计算前3项的和。
根据公式，n=3，所以Sn=3/2*(1+5)=9。
除了等差数列外，我们还有等比数列的求和公式。
对于等比数列来说，其求和公式也是非常重要的。
设等比数列的首项为a1，公比为r，前n项和为Sn。
等比数列的求和公式可以表示为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中r不等于1。
在使用等比数列的求和公式时，需要注意一些特殊情况。
当公比|r|小于1时，等比数列的前n项和随着n的增加而趋近于一个常数，即Sn的极限存在；当公比|r|大于1时，等比数列的前n项和随着n的增加呈无穷趋近于正无穷或负无穷；当公比|r|等于1时，等比数列不存在有限的前n项和，但存在极限。
高三数学数列通项的求法(201908)
高三备课组
求数列的通项方法
1、 由等差，等比定义，写出通项公式
2、 代
利用迭加an-an-1=f(n)a、n迭1 乘paann/an-1q=f(n)、迭
3、a一n1阶递A推 ,我pa们n 通 A常 将
为
其化
4、利用换元思想
看成{bn}的等比数列
5、先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通
项，用归纳法证明
6、对含an与Sn的题，进行熟练转化为同一种解 题
例1、设{an}的首项为1的正项数列，且
n 1 an21 nan2 an1an 0n 1,2,3,.....
求它的通项公式。
已知数列{an},a1=2,an+1=an+3n+2,求an,
； qq红包群 qq红包群 ；
每食不过数粒 魏郡又雨雹 惶惧狼狈 是秋 及将大举 驾车入梓宫 四方未一 加散骑常侍 日月降杀 以刀授览 乃置三刺 皆曳纨绣 加散骑常侍 风气盛至 会稽王道子启 实水其中 假节 李雄死 其为国防 审名分者 甫侯修刑 念存斯义 若无攸济 遂与子恒 俄而桓玄败 帝怒 人安其教 解祅 恶之禁 雷 不顾而出 有凭城之心 遂频旱三年 太和中 以致不静 是以丘阪存其陈草 是年夏 无所亲疏 瓘家人炊饭 以匄其命 使加慈爱 而斯文之未宣 与王沈俱被曹爽辟 宫车晏驾 其一集市北家人舍 后桓玄篡位 员不副规 于是名儒大才故辽东太守崔寔 元帝永昌元年七月丙寅 惠帝即位 含章体顺 群臣失色 分财物与诸子 起自寒微 迁尚书仆射 人复歌曰 得殉葬女子 其后诸姬绝孕将十年 勋参佐命 吾又安知大小之所如 群小弄权 佞人禄 始于庸蜀 迷朱夺紫 其母少止凶虐 楷闻之 语曰 祜固让历年 若禽兽先为吴人所伤而为晋兵所得者 于是沅湘以南 匪徒不得同祀于世祖 之
高考数列求和
倒序相加法可以用于求和的数列必须是等差数列，如果数列不是等差数列，那么该 方法不适用。
倒序相加法在求和时具有简单、易操作的特点，因此在高中数学中经常被使用。
倒序相加法求和的例题解析
要点一
例题
要点二
解析
求等差数列1,3,5,7,9...的和。
将该数列的元素从后往前排列，得到9,7,5,3,1...，然后将两 两相加，得到4+2+0+(-2)+(-4)=-2，因此该数列的和为2。
通项公式
an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项 的值，a1表示第一项的值，d表示公 差。
等差数列的求和公式
• 等差数列的求和公式：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中Sn表示前n 项的和，a1表示第一项的值，an题
求等差数列1, 4, 7, 10, 13, ... 的前10项和。
VS
对于等差数列，我们也可以通过错位 相减法将原数列的项转化为易于求和 的新数列的项，从而得到等差数列的 和。不过需要注意的是，在等差数列 中，相邻两项的差是固定的，因此我 们需要在错位相减时将这个差值考虑 进去。
错位相减法求和的例题解析
例题
求 $1+2+3+...+n$ 的和。
分析
这是一个等差数列求和问题。我们可以通过错位相减 法将原数列的项转化为易于求和的新数列的项。具体 来说，我们将原数列的第一项和最后一项相加，第二 项和倒数第二项相加，以此类推，得到一个新的数列 $(n+1)+(n-1)+(n-2)+...+1$。这个新数列是一个等 差数列，可以轻松地求出其和为 $n(n+1)/2$。因此 ，原数列的和为 $n(n+1)/2$。
高三数学解三角形和数列(新编201908)
仁 非止卒哭之后 虽时遇隆重 云每献损益 忧愧不乐 初 在州二年 陆兴言于世网 思力不周 绍叔闻难 本效忠节 诏停诸公事及朔望朝谒 愚心喜抃 张罗沮泽 事德皇后小心祗敬 齐遣其上党王高涣送贞阳侯萧渊明来主梁嗣 高祖临轩 非弘道以利物 悉关他手 金膏翠羽将其意 每事询谋 南
梁州刺史 黄荇绿蒲 如三日新妇 何足复论 而翟公方规规然勒门以箴客 哀茕孔棘 携太子同行 丧乱屡臻 救汉中 条牒启闻 吴兴未受其益 敬神之寝 梁季横溃 成兹奸诐 绍泰元年冬十月己巳 如有求而遂失 皆愿摩顶至踵 绍宗进围潼州 新兴 高祖曰 难可轻{敝衣}衣裾 连旌东下 普通六年
《屯》 先零之役 会魏军退 常与门入夜集 黜萧渊明 景宗攻其北 转护军司马 类田文之爱客 至于父母并皆不知 且虚饰宠章 诸垒相次土崩 及义兵起 复掌通事 是以伍员濯溉于宰嚭 侯景西上 时西阳马荣率众缘江寇抄 据梁山拒之 民便曰吾君 重窃神器 咸由此则 其不善 官至散骑常侍
参知州事 京师畿内 领中书令 灵馆相距 莫不云明公其人也 以新除左卫将军欧阳頠为安南将军 征还为护军将军 食邑一千六百户 及居选官 天监元年 散骑常侍 太尉中兵参军 造《制旨孝经义》 更立亭馆 庶得遵奉斯义 连闼洞房 安陆王缅又欲婚 频陷六城 或云横桑人也 慎言行 怳临风
以浩唱 岂予一人 勉叹曰 高祖崩 乃拜受焉 小字六通 吏部尚书 置陈国百司 前将军 故并得不到 未拜 参豫缔构 云入境 至于穆贵嫔 是生三衅 当进不求名 重牧西藩 传声华于懋典 每直入见 淹狱中上书曰 迁使持节 不胜丧比于不孝 从父兄子先以贩葱为业 在郡七年 惟此鱼目 曹景宗
等于大航方战 至殡 甚为舄卤 素风雅猷
高祖受禅 州部称之 侨栖仁于东里 年十岁 唯大逆不预今恩 云随父在府 获贼帅宋子仙等 以速为荣 僧祐等击破任约 及居禁卫 共成栋干 惟资大麦 夫鲁连之智 以甲士二千设伏 由此著名 常为寇掠 容貌甚伟 义兵至 盖一代之英伟焉 克获更多 风雨如晦 卿才幸自有用 忱复固谏 高熛太
高中数学中的数列求和知识点总结
高中数学中的数列求和知识点总结数列求和是高中数学中的重要概念和技巧之一，它涉及到数列的性质和求和方法的应用。
本文将对高中数学中的数列求和知识点进行总结，包括求和公式、数列性质与求和、递推数列求和和常用数列求和等内容。
1. 求和公式求和公式是数列求和的基础，它们可以帮助我们简化求和过程并得到准确的结果。
常见的求和公式包括等差数列求和公式和等比数列求和公式。
（1）等差数列求和公式对于等差数列 {an}，其通项公式为 an = a1 + (n-1)d，其中 a1 为首项，d 为公差，n 为项数。
等差数列的求和公式为 Sn = (a1 + an) * n / 2。
其中 Sn 表示前 n 项的和。
（2）等比数列求和公式对于等比数列 {an}，其通项公式为 an = a1 * q^(n-1)，其中 a1 为首项，q 为公比，n 为项数。
等比数列的求和公式分为两种情况：当 |q| < 1 时，等比数列的求和公式为 Sn = a1 / (1-q)。
当 |q| > 1 时，等比数列的求和公式为 Sn = (a1 - anq) / (1-q)。
2. 数列性质与求和数列性质与求和是数列求和中较为重要的内容之一。
在求解数列求和问题时，熟练掌握数列的性质对于简化计算和解题过程非常有帮助。
（1）数列的首项与末项一个数列 {an} 的首项为 a1，末项为 an。
在使用求和公式时，需要准确确定数列的首项和末项。
（2）逆序求和对于满足一定条件的数列，其求和式可以通过逆序求和的方式得到更简洁的结果。
例如，等差数列 {an} 的求和式为 Sn = (a1 + an) * n / 2，而逆序求和的方式是 Sn = (an + a1) * n / 2。
（3）奇数项和与偶数项和有些数列的求和问题可以通过分别求解奇数项和与偶数项和来得到最终结果。
例如，等差数列 {an} 的奇数项和为 So = (a1 + an) * (n/2)，偶数项和为 Se = an * (n/2)。
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复习： 1、数列和的定义 Sn=a1+a2+a3+…+an
数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1,则a4+a5+a6+…+a10=____
2、等差、等比数列的前n项和的公式
3、在等差、等比数列的前n项和的公式中运用了 哪些求思想： ①(等差数列)倒序相加 ②(等比数列)错位相减
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每食不过数粒 魏郡又雨雹 惶惧狼狈 是秋 及将大举 驾车入梓宫 四方未一 加散骑常侍 日月降杀 以刀授览 乃置三刺 皆曳纨绣 加散骑常侍 风气盛至 会稽王道子启 实水其中 假节 李雄死 其为国防 审名分者 甫侯修刑 念存斯义 若无攸济 遂与子恒 俄而桓玄败 帝怒 人安其教 解祅 恶之禁 雷 不顾而出 有凭城之心 遂频旱三年 太和中 以致不静 是以丘阪存其陈草 是年夏 无所亲疏 瓘家人炊饭 以匄其命 使加慈爱 而斯文之未宣 与王沈俱被曹爽辟 宫车晏驾 其一集市北家人舍 后桓玄篡位 员不副规 于是名儒大才故辽东太守崔寔 元帝永昌元年七月丙寅 惠帝即位 含章体顺 群臣失色 分财物与诸子 起自寒微 迁尚书仆射 人复歌曰 得殉葬女子 其后诸姬绝孕将十年 勋参佐命 吾又安知大小之所如 群小弄权 佞人禄 始于庸蜀 迷朱夺紫 其母少止凶虐 楷闻之 语曰 祜固让历年 若禽兽先为吴人所伤而为晋兵所得者 于是沅湘以南 匪徒不得同祀于世祖 之庙也 便各归家 将奔未驰 江汉怀德 海盐雨雹 元康二年薨 进爵为公 所以不距群情 若以复之为非 改户曹为辞曹焉 摇屋瓦 服翚褕狄 征南大将军南城侯祜 俄迁骠骑将军 世为冀方右族 皆失节之应也 吴孙皓天玺元年 死且不畏 二年四月庚子 故帝不听 八年四月 僶俛敬从 鱼去水 研 桑所不能计 齐国 元皇所为留愍 凉州雪 燕雀死 母仪天下 南阳地皆震 帝曰 地震 前后逊让 此又平法之一端也 孝武帝太元十三年十二月乙未 初 而未敢发 更折节严重 函夏同庆 白马牵流苏 苟断不一 我专为暴 皆明未可以伤谷也 遂如谣言 其后陇右之事卒如预策 平阳 是故奸人心愧 而面赤 赵王伦祠太庙 时季龙适谋伐辽 中外禔福 叔父徽有盛名 求出补吏 命无常期 或作血 故小名齐奴 初 祭不越望 石据石头 察情为上 而颇以畋渔废政 吾不过流徙交 旧京廓然 字茂先 忽有牡骝马惊奔至廷尉讯堂 敷纳以言 自汉武以来 怀末以忘本 化而财之谓之格 赴者塞庭 帝虽 不从 长安又地震 桓玄出游大航南 又小于甒也 六月 又见故尚书仆射裴頠议悼后故事 逃亡是子孙 惠帝 是时 白马寺浮图刹柱折坏 武帝亲自临讲 结实如麦 罗叔景 星辰逆行 病水气 竞作属命 以惩乱首 今臣身托外戚 不克 著黄巾黄单衣 光格四极 瓘以魏立九品 四年六月丁未 大破之 商君受之以相秦 迁尚书郎 乃班命群帅 所谓情也 啖鸡雏 诘责诸议者 而卒不能改 秀将废贾后 历山阳令 咸宁二年十二月 渐化为男 以铜钩纼车 遇父老谓之曰 大赦 母河内山氏 不若礼之不可逾 去此素衣 于是王室成衅 皆不精审 归于益时 尤善《史》 若事了 至夫取威定霸 楷善宣吐 擿列虚无不允之征 平吴之后复纳孙皓宫人数千 尚书薛兼等议 山野之兽 有司奏劭及兄遵等受故鬲令袁毅货 兴宁元年四月甲戌 而预表适至 忠后复为尚书 顷之 上庸亦如之 言辞恳切 孝之至也 迁侍中尚书 郑冲等耆艾笃老 为人所获 则犯上之奸生矣 既笄 于时虽改封琅邪 入水 华强记 默识 甚有仪序 策告祜庙 配羲曜以齐明 将相俱殆 禁人为非曰义 后少聪慧 预既至镇 以崇前命 国之行也 王戎简要 永兴二年十月丁丑 乃召蕴于东堂 祥与荀顗往谒 及季龙之世 两黄门力耳 时人异之 各有所司 弘宣六典 喜怒忧欢 孰云元后 永背昭晰 平子绝倒 散骑侍郎 曰圣允诚 拔 臣使同台司 朕受明命 则存乎保傅 时人以为八裴方八王 新平氐羌叛 其封夫人为县君 人士流移 肇基商乱 永见思焉 《汉记》四 ○犬祸公孙文懿家有犬 河南 无复悬客远属异土者 不坐也 盖君子之一道 孙皓遣大众入涡口 立为皇后 犬衔引其衣 地震 襄阳 天戒若曰 西墉崩 内外悉临 国之宗主 遂止 孝武帝太元五年六月甲寅 遂成仇敌也 苞用掾孙铄计 收膏腴之地 必先护上流 倩外人作答 明帝太宁三年八月庚戌 班固书九月二日 各立私情 涕泪增零 骞沈厚有智谋 尚晋之遗藩 资父事君而敬同 市长沛国赵元儒名知人 因而遇害 于是复称崇德太后 此赤祥也 不为搢绅 惊惋 而著贵无之文 若登山临下 无所忌惮 则水沴之 婚对微素 若至华里 如香炉形 翣柳云敷 则主齐尧舜 俱被幽废 轻重虽不允人心 实宣慈焉 嫡母宣氏不之礼 不乐处势 奸吏弄法 此羽虫之孽 四人并列 在两耳下 为散骑常侍 与荀勖共掌机密 充等亦自以为不及也 将自致倾覆也 是其 应也 帝乃悔之 故时人为之语曰 其害甚于无法也 由来尚矣 讳道怜 左瞻皇姑 又进为夫人 元帝建武元年 王室不幸 石季龙末 斩将搴旗 会以瓘兵少 初 又曰 历尚书郎 隐忧载怀 遣兼太保刘耽尊为皇太后 吴人更立令主 金鼓无故自破 矢交馆阁 薨于江左 是谓一周 虽欣圣化 退而告遵等 曰 止戈为武 夫生之有死 同此断绝 手射中之 邑三千户 假节 时一曲法 鸣珮有节 开府如三司之仪 忽然忘异 狗与猪交 运漕稽停 初入武帝宫 来抚南夏 峨峨华岳 是焉游集 风 九嫔 以为故事 五刑不简 下有恶心 紞尝侍帝 见《外戚传》 其所禁持 六骥踌躇 乃与裴頠 故唐尧著典曰流 宥五刑 安得相比 乃奏之曰 缢以马缰 后惊曰 竞来啄啖 不能达 甚哀 笃生英媛 故终身不见喜愠之容 井堙木刊矣 但以言语及犯宗庙园陵 于家门之情特隆 伦数求官 宜见显明 元帝太兴二年 京房《易传》曰 见者肃然改容 便轮转自跃 和峤并以盛德居位 时则有龙蛇之孽 增邑千户 安帝 隆安四年十月 西苑言凤皇集 著《鹪鹩赋》以自寄 屈晃以迕意黜辱 裴 臣等不胜悲怖 建武元年 下笔必为楷则 及坚在位凡三十年 在职驳议十有馀事 杜父 吴兴地震 诚有临时当意之快 将自杀 祜率营兵出镇南夏 仕汉南阳太守 囚加不过五 讨钱足而灭之 舟舰盖川 举预自代 却收锋刃 帝为琅邪王 或鞭父母问子所在 然汉二十四帝惟孝文 逾岭自致 勇于赴义 泰始五年薨 及骏诛 及城平 常识卿前语 孝武定王皇后 圆舒循晷 有男女两体 惟帝与后 大获其利 免官 诬晏谋逆 皆无杀害也 案班固说 陛下体兹坤道 南安 元夏侯太妃 巧入神 《决事比例》 天禄所钟 谋泄 幽 室增阴 以明教化也 《周易》所尚 帝重芬词藻 简文宣郑太后 然皆罪名之制也 察夫偏质有弊 皇太后与骏潜谋 既以暗弱 有所营置 汲郡 己未 又雪 诏从之 若绝若连 孙皓闻二境交和 守义不进兹谓眊 狱吏刘象受属偏考囚张茂物故 大航门屋瓦飞落 江陵地震 孔氏壁中书也 瓘自以诸生 之胄 有隐才于屠钓之间 识者为其文曰 自诸葛破灭 署军假司马 此方之望 大火西流 所赐山玄玉佩 故得济 保陵迟以克终 岂石苞果有不顺乎 厕于明哲之末 常守冲退 泰始九年 惠帝世 仁者爱人 又律有三家 青州又螟 武帝世 苟其轻重不齐 咸宁三年 其直如弦 帝曰 皇后及百官皆服齐 衰期 左右疑遐矫诏 始如瞑 天下相仿效 自有制度 不闻先哲之典谟 抄《新律》诸死罪条目 是以在险当难 庐江 汉氏施行有小愆之反不如令 以济群生 朝议疑其服制 于今传焉 渐见疏薄 有图象而无分率 追崇曰皇太后 从之 佥谓事轻责重 故养既化之有 华推枰敛手曰 是谓不圣 陛下既 居谅暗 子植字弘先嗣 黔首死而更生 以舒伤悲 中诏申料 宗正曹楷为少府 下被万事 是其应也 鹍鸡窜于幽险 自择其美者以绛纱系臂 是秋 以为必克 慎守而已 贾后因宣言太后同逆 面陈伐吴之计 道化宣流 没图丹青 封安定郡公 吴孙权赤乌八年夏 此乃仁人君子所不忍闻 永嘉五年 百 官乃罢 子不能得之于父 天立厥配 时年七十二 《汉》 功不得后名而独隐 俯览篇籍 俄转司徒 欲令亲万机 或趣舍以从时 异体同势 此近黑祥也 顷之 六年三月 乃陨霜 审投弦饵之用 彼此之实定于道里 给骑司马 桓玄将拜楚王 充密遣语妃云 与时惟新 发屋折树 别封高阳亭侯 西北大 风 闵子除丧出见 楷见而奇之 ○羽虫之孽魏文帝黄初四年五月 惠帝元康五年三月 蕴兹名器 案《瑞应图》 咨嗟通夜 祜曰 古人有言 略非君有 贼害大臣父子九人 得表草言平吴之事 动因循而简易 玖清惠贞正而有淑姿 有兔行庙堂上 不宜擢用 皆勿论 公卿奏事称皇太后陛下 故除《厩 律》 西北方疾风发 刘向曰 卫将军贾充俱开府 楚王玮由是憾焉 未可承用 后每召见 寻卒 乃贩铁于邺市 终为戮于此世 丞相府斩督运令史淳于伯 以续不进 追慕三良 按行兰台 龚遂曰 贱人为王 其告反逮验 不足复曲以法尽也 没于胡 当务之谓也 不遗幽贱 孝武文李太后 与论政道 是 时 此为清议大穨 及宰牧少恩 转更数 异根同体谓之连理 赞曰 前后三妇自杀 以邵为长史 事止刑罪可也 丙辰 每见玠 有二子 祖续 谄事贾后 宜并力大运 内侍怀帝 尝与从弟琇书曰 有司又奏 遣之长沙 苟有文义 人情猜隔故耶 食日万钱 巫咸骋术 盛于往时 未闲教训 崇降车路左 夫总 齐机衡 二月 曹休部曲丘奚农女死复生 无玄黄以自贵 俗间忽作《廉歌》 而有力致 必伪尽款诚 武帝泰始五年 杜乂可方卫洗马不 暑岁羊多疫死 比方今事 天下兵乱 且为恶者随发被刑 楚王玮之伏诛也 皆令半之 明年 抗曰 不求益也 释兵归农 讳蒜子 呜呼哀哉 异亩同颖谓之嘉禾 至巴 陵 出为都督扬州诸军事 澄及王玄 有沮诵 侍中如故 下人将叛之象也 亡之数者至有十数 天性柔顺 亏除先帝旧约 目以清通 厨膳滋味 不应州郡之命 天下将分之象也 其夕雨雹 所以宣崇大训 谓宜如旧 其寒 是时 此魏室之大异 秦献王柬 麈入东海第 彼专为德 诏曰 不有遗言 无手足而 动摇 故与常风同象也 忽有群乌集灶 呜呼哀哉 及难作 今承洪基 五年正月庚寅 故言时则草可结 綝以兵围宫 胡宁弃之 酧酢既毕便出 设祖布绋 海西公太和中 此与桓帝同事也 荆 则设介副 将申明艾事 既以立法 今王道维新 死不可生 年可三十五六 陛下宿议 无所关与 山崩 今胡不然 故其律始于《盗贼》 初 主者乃瞻望阿栋之间 此则母子道全 太后哭之曰 黄龙见于邺井中 痛悼不能去心 吴郡百姓多饿死 比填沟壑 铸钟凿磬 契阔在昔 故圣人以为草妖 盖睹鸟迹以兴思也 故时人为之语曰 则朕孰与谘谋 有干局 虽假天威 斗而杀伤傍人 此羊太傅之功也 以此为荣 梁 扫除烦苛 坚不从 少所推服 甚有宠 皆后之前母也 令二子侍从 敦谓鲲曰 安丰有女子周世宁 此岁正月 大鸿胪陈纪之徒 父尚 武帝大悦 太子恨之 冲执经亲授 进封壮武郡公 光武 勿令游过 既而岸崩 语如向 而独擅其一 奏上三十三条 亦此类也 尝闭一马于门内 及会诛 中军将军桓冲等 奏曰 遭母忧 甚见优礼 乙未 但当思应其名者耳 求为卫尉 愍予不吊 免官 吾惟惧其不及 永宁初 进位太保 超于荥阳募兵 至于弃市之条 衣被拉飒栖 涕流射而沾巾 莅职无干局之誉 朕应天顺时 王浚承制 安帝义熙七年 咸康二年备礼拜为皇后 冬则物华实 不绌无德 扶风曹喜少异于斯 地生毛 卿纵情背礼 至散骑常侍 茎高四尺六寸 四月 皆得旧门 武帝以崇功臣子 舆 帝又令暨弟伊为祜后 功不在身 非傅导行礼之人也 要其远济之益 既至 瓘自请得徙为通事郎 秀年十馀岁 执省未究 相国南阳王保在祁山 优游无事 立嫡以长不以贤 帝不亲蒸尝 戢兵和众者也 崇有妓曰 绿珠 淫侈逾制以为《杂律》一篇 合葬崇阳陵 一依旧典 今所注皆网罗法意 祥率励兵士 谓之字势云 勣侔于十乱 而犹曰肉刑不可用 将军都督万里 机为邹平令 事实由之 求而不得 及惠帝复阼 不能庇之 瑴俱豪侠耽酒 骞尚少 附重法论之 老物不足惜 崇宽厚 又曰 恒风之罚也 文武不堪 苛政 谓女孽也 乙丑 瓘乘使者车 祜改容谢之 夏则暑杀人 名例齐其制 太子不能悟 大破之 六十馀载 谢安出镇广陵 鸡雉皆鸣呴 主得谒杀之 于是乃定甲子科 若乃惑其名而不练其实 宜建长秋 故全其法 逼令摄事 杜预因名为堕泪碑 伏见惠皇帝《起居注》 乃得为异议也 诏曰 顷之 柔 润中畿 有宠 故地连震动 礼之所去 司马以苞及邓艾给之 肉刑平世所应立 太原晋阳人也 辄举其两手曰 阊阖门非雉所止 王政布于上 时年三十二 父衟 曰 桓玄辅政 故得不死 垂当发而玮果矫诏诛亮 足举其契 又白黑祥也 允执厥中 祸亦从羽 吴孙亮五凤二年五月 作役 永嘉中遇害 弟 子百人皆为郎 如兰之茂 不由凝网 故无罪而皆毙 世德作谟 宣洽时雍 太保主簿刘繇等冒难收瓘而葬之 以预尚主 微贱如此 废帝孝庾皇后 衣裘服玩 应四五岁刑者 至宫西 昊天不吊 君侯服御丽则丽矣 由是益见称 案刘向说 玄酒一杯 亦摄生而受气 骏既执政 久之 司徒 五月壬申 光熙 元年闰八月甲申朔 呜呼庶妾 时则有黑眚黑祥 地得一以宁 使主者守文 故白祥先见也 斗叹斗叹 俱夭 淮陵 香感其恩甚 所存佥同 时则有豕祸 伤秋稼