江苏省南通市、泰州市2020届01月15日高三一模数学试卷(含附加题)+解析

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【解析】江苏省南通市、泰州市2019-2020学年高三上学期第一次调研考试数学试题

2019-2020南通、泰州高三第一次调研试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1.已知集合{1,0,2}A =-，{1,1,2}B =-，则A B =_____. 答案：{1,2}-解：因为{1,0,2}A =-，{1,1,2}B =-，所以{1,2}A B =-2.已知复数z 满足(1)2i z i +=，其中i 是虚数单位，则z 的模为_______.解：22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -===+++-，则||z 3.某校高三数学组有5名党员教师,他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35,35,41,38,51,则这5名党员教师学习积分的平均值为______. 答案：40 解：3535413851405++++=4.根据如图所示的伪代码，输出的a 的值为______. 答案：11 解：模拟演示：1,1a i == 2,2a i == 4,3a i == 7,4a i ==11,5a i ==此时输出11a =5.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1a d的值为____. 答案：1解：由题意得：2214a a a =⋅，则2111()(3)a d a a d +=⋅+，整理得1a d =，所以11a d=6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为___. 答案：38解：223113()()228P C =⋅⋅=7.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，则三棱锥111A BB C -的体积为____.解：112232V =⨯⨯⨯=8.已知函数()sin()3f x x πω=-(0)ω>，若当6x π=时，函数()f x 取得最大值，则ω的最小值为_____. 答案：5 解：由题意得：2632k ωππππ-=+，k z ∈，则512k ω=+，k z ∈，因为0ω>，所以当0k =时ω取得最小值，即5ω=9.已知函数2()(2)(8)f x m x m x =-+-()m R ∈是奇函数，若对于任意的x R ∈，关于x 的不等式2(+1)()f x f a <恒成立，则实数a 的取值范围是____. 答案：1a <10.在平面直角坐标系xOy 中,已知点,A B 分别在双曲线22:1C x y -=的两条渐近线上,且双曲线C 经过线段AB 的中点，若点A 的横坐标为2，则点B 的横坐标为_____. 答案：1211.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如.地震时释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震,它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的____倍. 答案：100012.已知ABC ∆的面积为3，且AB AC =，若2CD DA =，则BD 的最小值为_____.13.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:8C x y +=与圆222:20C x y x y a +++-=相交于,A B 两点，若圆1C 上存在点P ，使得ABP ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为____.14.已知函数||1|1|,0(),01x x f x xx x --≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，若关于x 的方程22()2()10f x af x a ++-=有五个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_____.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABCBC AC的中⊥，,D E分别为,-中，PA⊥平面ABC，PC AB点.求证：（1）AB∥平面PDE；（2）平面PAB⊥平面PAC.16.（本小题满分14分）在ABC∆中，已知4AC=，3BC=，1 cos4B=-.（1）求sin A的值. （2）求BA BC⋅的值.17.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆2222:1x yEa b+=(0)a b>>的焦距为4，两条准线间的距离为8，A,B分别为椭圆E的左、右顶点。

江苏省南通市、泰州市2020届01月15日高三一模数学试卷(含附加题)+解析

交于 A, B 两点，若圆 C1 上存在点 P ，使得 ∆ABP 为等腰直角三角形，则实数 a 的值组成的集合为____. 14.已知函数 f (x) = |x| xx−−11, x| −<10|, x ≥ 0 ，若关于 x 的方程 f 2 (x) + 2af (x) + 1 − a2 = 0 有五个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是_____. 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答．解答
在 ∆ABC 中，已知 AC = 4 ， BC = 3 ， cos B = − 1 .
4
（1）求 sin A 的值.
（2）求
uuur BA
⋅
uuur BC
的值.
2
17.（本小题满分 14 分）
如图,在平面直角坐标系
xOy
中,椭圆 E :
x2 a2
+
y2 b2
=1
(a
>b
>
0) 的焦距为
4，两条准线
①设 bn
=
a2n +
2 3
，求数列{bn} 的通项公式；
∑ ②设 Cn
=
1 n ⋅ 3n
2n
ai ，证明：对于任意的 p, m ∈ N * ，当 p > m ，都有 Cp
i −1
≥ Cm .
4
20.（本小题满分 16 分）设函数 f (x) = (ax − 1 − a)ex (a ∈ R) ，其中 e 为自然对数的底数.
间的距离为 8，A,B 分别为椭圆 E 的左、右顶点。
(1)求椭圆 E 的标准方程:
(2)已知图中四边形 ABCD 是矩形，且 BC=4，点 M,N 分别在边 BC,CD 上，AM

2020年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷

2020年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={-1，0，2}，B={-1，1，2}，则A∩B=______．2.已知复数z满足（1+i）z=2i，其中i是虚数单位，则z的模为______．3.某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值为______．4.根据如图所示的伪代码，输出的a的值为______．5.已知等差数列{a n}的公差d不为0，且a1，a2，a4成等比数列，则的值为______．6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为______．7.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=2，则三棱锥A1-BB1C1的体积为______．8.已知函数（ω＞0），若当时，函数f（x）取得最大值，则ω的最小值为______．9.已知函数f（x）=（m-2）x2+（m-8）x（m∈R）是奇函数，若对于任意的x∈R，关于x的不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，则实数a的取值范围是______．10.在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别在双曲线C：x2-y2=1的两条渐近线上，且双曲线C经过线段AB的中点．若点A的横坐标为2，则点B的横坐标为______．11.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如．地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的______倍．12.已知△ABC的面积为3，且AB=AC，若，则BD的最小值为______．13.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=8与圆C2：x2+y2+2x+y-a=0相交于A、B两点．若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为______．14.已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+2af（x）+1-a2=0有五个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PC⊥AB，D，E分别为BC，AC的中点．求证：（1）AB∥平面PDE；（2）平面PAB⊥平面PAC．16.在△ABC中，已知AC=4，BC=3，cos B=-．（1）求sin A的值．（2）求的值．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的焦距为4，两条准线间的距离为8，A，B分别为椭圆E的左、右顶点．（1）求椭圆E的标准方程：（2）已知图中四边形ABCD是矩形，且BC=4，点M，N分别在边BC，CD上，AM与BN相交于第一象限内的点P．①若M，N分别是BC，CD的中点，证明：点P在椭圆E上；②若点P在椭圆E上，证明：为定值，并求出该定值．18.在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a的正三角形ABC绕其中心O逆时针旋转θ到三角形A1B1C1，且顺次连结A，A1，B，B1，C，C1，A，得到六边形徽标AA1BB1CC1．（1）当θ=时，求六边形徽标的面积；（2）求六边形微标的周长的最大值．19.已知数列{a n}满足：a1=1，且当n≥2时，a n=λa n-1+（λ∈R）．（1）若λ=1，证明：数列{a2n-1}是等差数列；（2）若λ=2．①设b n=a2n+，求数列{b n}的通项公式；②设C n=，证明：对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有C p≥C m．20.设函数（a∈R），其中e为自然对数的底数．（1）当a=0时，求函数f（x）的单调减区间；（2）已知函数f（x）的导函数f'（x）有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）．①求a的取值范围；②若m1，m2（m1＜m2）是函数f（x）的两个零点，证明：x1＜m1＜x1+1．21.已知a，b∈R，向量是矩阵A=的属于特征值3的一个特征向量．（1）求矩阵A；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'（2，2），求点P的坐标．22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），求椭圆C上的点P到直线l的距离的最大值．23.已知a，b，c都是正实数，且=1．证明：（1）abc≥27；（2）≥1．24.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AB⊥AD，AB=AD=AA1=2BC=2．（1）求二面角C1-B1C-D1的余弦值；（2）若点P为棱AD的中点，点Q在棱AB上，且直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，求AQ的长．25 一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只．现从口袋中先后有放回地取球2n次（n∈N*），且每次取1只球．（1）当n=3时，求恰好取到3次红球的概率；（2）随机变量X表示2n次取球中取到红球的次数，随机变量，求Y的数学期望（用n表示）．2020年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷答案和解析【答案】1. {-1，2}2.3. 404. 115. 16.7.8. 59. （-∞，1）10.11. 100012.13. {7，8，9}14.15. 证明：（1）∵D，E分别为BC，AC的中点，∴DE是三角形ABC的一条中位线，∴DE∥AB，∵AB不在平面PDE内，DE在平面PDE内，∴AB∥平面PDE；（2）∵PA⊥平面ABC，AB在平面ABC内，∴PA⊥AB，又PC⊥AB，PA∩PC=P，且PA，PC都在平面PAC内，∴AB⊥平面PAC，∵AB在平面PAB内，∴平面PAB⊥平面PAC．16. 解：（1）如图，∵，∴，又AC=4，BC=3，∴根据正弦定理得，，解得；（2）∵，∴，∴cos C=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=sin A sin B-cos A cos B=，∴===．17. 解：（1）设椭圆的E的焦距为2c，则由题意，得，解得，所以b2=a2-c2=4，所以椭圆E的标准方程为；（2）①证明：由已知，得M（2，2），N（0，4），B（2，0），直线AM的方程为，直线BN的方程为，联立，解得，即P（，），因为，所以点P在椭圆上；②解法一：设P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则，，直线AP的方程为，令，得，直线BP的方程，令y=4，得，所以=====．解法二：设直线AP的方程为（k1＞0），令，得，设直线BP的方程为（k2＜0），令y=4，得，所以==|k1k2|，设P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则，所以k1k2=•===，所以=．18. 解：（1）因为正三角形ABC的边长为a，所以∠AOB=120°，且OA=OA1=OB=OB1=OC=OC1=，由旋转图形的性质可知，△A1AC1≌△AA1B≌△B1BA1≌△BB1C≌△C1CB1≌△CC1A，所以∠AA1B=∠A1BB1=∠BB1C=∠B1CC1=∠CC1A=∠C1AA1=120°，在等腰△AOA1中，因为∠AOA1=θ=，所以∠AA1O=，所以∠BA1O=，因此∠A1OB=，依此类推可得，∠BOB1=∠COC1=，∠B1OC=∠C1OA=，所以六边形徽标的面积S=+=3（）=3•=，故六边形徽标的面积为．（2）由（1）可知，A1A=B1B=C1C，A1B=B1C=C1A，不妨设A1A=x，A1B=y，则六边形徽标的周长L=3（x+y）．在△AA1B中，由余弦定理得，cos∠AA1B=cos120°=所以xx2+y2+xy=a2，变形得（x+y）2-xy=a2①由基本不等式可知，②由①②解得，x+y≤，当且仅当x=y=时取等号所以六边形徽标的周长L=3（x+y）≤3×=故六边形徽标的周长的最大值为．19. 解：（1）当λ=1时，则根据a1=1，a n=a n-1+（n≥2），得，所以a2n+1=a2n-1+1，即a2n+1-a2n-1=1为常数，即数列{a2n-1}是首项为1，公差为1的等差数列；（2）λ=2时，a1=1，且当n≥2时，a n=2a n-1+，①当n≥2时，，所以a2n=4a2n-2+2，则a2n+=4（a2n-2+），又因为b n=a2n+，即有b n=a2n+=4（a2n-2+），而b1=a2+=2a1+=≠0，所以=4是常数，所以数列{b n}时首项为，公比为4的等比数列，则b n的通项公式为b n=•4n-1=•4n（n∈N+）；②由①知，a2n=b n-=（4n-1），a2n-1=a2n=（4n-1），则===（）-n=，所以C n==[]（n∈N+），则C n+1-C n=-=，当n=1时，C2-C1=0，则C2=C1；当n=2时，C3-C2=0，则C3=C2；当n≥3时，C n+1-C n＞0，则C n+1＞C n，故对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有C p≥C m．20. 解：（1）当a=0时，，其定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），．令f'（x）＜0，则x＞1，∴f（x）的单调递减区间为（1，+∞）．（2）①由，得，设g（x）=ax3-x+1，则导函数f'（x）有三个零点，即函数g（x）有三个非零的零点．又g′（x）=3ax2-1，若a≤0，则g′（x）=3ax2-1＜0，∴g（x）在（-∞，+∞）上是减函数，g（x）至多有1个零点，不符合题意，∴a＞0．令g′（x）=0，，则当x∈∪时，g'（x）＞0；当x∈，g'（x）＜0，∴g（x）在上单调递减，在和上单调递增，∴，即，∴．又g（0）=1＞0，∴g（x）在上有且只有1个非零的零点．∵当时，，，且，又函数g（x）的图象是连续不间断的，∴g（x）在和上各有且只有1个非零的零点，∴实数a的取值范围是．②由f（m1）=f（m2）=0，得，设p（x）=ax2-ax-1（a＞0），且p（m1）=p（m2）=0，∴．又∵m1＜m2，∴m1＜0＜m2．∴x＜m1或x＞m2时，p（x）＞0；m1＜x＜m2时，p（x）＜0．由①知a＞0，x1＜0＜x2＜x3．∵，∴，，∴，，∴x1＜m1＜x1+1成立．21. 解：（1）由矩阵特征值和特征向量的关系可知：Aα=3α，带入可知：=3，即，解得a=2，b=-1，故矩阵A=．（2）设P为（x，y），因为点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'（2，2），所以，解得x=1，y=0，故P（1，0）．22. 解：已知直线l的参数方程（t为参数），转换为直角坐标方程为x+2y+3=0，椭圆C的参数方程为（θ为参数），设椭圆上的点P（2cosθ，sinθ）到直线l 的距离d==，当sin（）=1时，．23. 证明：（1）∵a，b，c都是正实数，∴，又∵=1，∴，即abc≥27，得证；（2）∵a，b，c都是正实数，∴，，，由①+②+③得，，∴，得证．24. 解：（1）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∵AA1⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，∴AB⊥AA1，AD⊥AA1，∵AB⊥AD，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=AD=AA1=2BC=2．∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（2，1，2），D1（0，2，2），=（-2，2，0），=（0，1，-2），设平面B1CD1的一个法向量=（x，y，z），则，取x=2，则=（2，2，1），∵AB⊥平面B1C1C，∴平面B1CC1的一个法向量=（2，0，0），设二面角C1-B1C-D1的的平面角为α，由图形得锐角，∴二面角C1-B1C-D1的余弦值为：cosα==．（2）设AQ=λ（0≤λ≤2），则Q（λ，0，0），∵点P是AD中点，则P（0，1，0），=（λ，-1，0），=（λ-2，0，-2），设平面B1PQ的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，2λ，λ-2），设直线B1C与平面B1PQ所成角大小为β，∵直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，∴sinβ===，解得λ=1或．∴AQ=1．25. 解：（1）当n=3时，从装有5只小球的口袋中有放回地取球6次，共有n=56个基本事件，记“恰好取到3次红球”为事件A，则事件A包含的基本事件个数为m=，∴当n=3时，恰好取到3次红球的概率P（A）==．（2）由题意知随机变量Y的所在可能取值为0，1，3，5，…，2n-1，（n∈N*），则P（Y=2t+1）=•（2i+1）==．（0≤i≤n-1，i∈N），∴E（Y）=0•P（Y=0）+3P（Y=3）+5P（Y=5）+…+（2n-1）P（Y=2n-1）=（+++…+），令x n=+++…+，y n=++，则，x n-y n=（4-1）2n-1=32n-1．∴．∴E（Y）===．【解析】1. 解：∵集合A={-1，0，2}，B={-1，1，2}，∴A∩B={-1，2}．故答案为：{-1，2}．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2. 解：由（1+i）z=2i，得．则复数z的模为：．故答案为：．把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3. 解：根据题意，5名党员教师的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值=（35+35+41+38+51）=40，故答案为：40根据题意，由平均数的计算公式计算可得答案．本题考查平均数的计算，注意平均数的计算公式即可，属于基础题．4. 解：模拟程序语言的运行过程知，该程序的功能是计算并输出a=1+1+2+3+4=11．故答案为：11．模拟程序语言的运行过程知，该程序的功能是计算并输出a的值．本题考查了利用程序计算并几个连续自然数和的应用问题，是基础题．5. 解：由题意，可知=a1a4，∴（a1+d）2=a1（a1+3d），即+2a1d+d2=+3a1d．化简，得a1=d．∴=1．故答案为：1．本题根据等比中项有=a1a4，然后根据等差数列通项公式代入化简，可得a1与d的关系式，即可得到的值．本题主要考查等差数列和等比数列的基础知识，考查了方程思想的应用和数学运算能力．本题属中档题．6. 解：将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为：P==．故答案为：．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，利用n次独立试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出恰好出现2次正面向上的概率．本题考查概率的求法，考查n次独立试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7. 解：如图所示，由正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=2，则三棱锥A1-BB1C1的体积==••B1B==．故答案为：．由正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=2，可得：棱锥A1-BB1C1的体积==••B1B，代入即可得出．本题考查了正三棱柱的性质、三棱锥的体积计算公式、等边三角形的面积计算公式、等积变形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8. 解：当x=时，f（x）取得最大值，即f（）=sin（ω-）=1，即ω-=+2kπ，k∈Z，即ω=12k+5，k∈Z，由于ω＞0，所以当k=0时，ω的最小值为5．故答案为：5．由已知可得sin（ω-）=1，利用正弦函数的性质可得ω-=+2kπ，k∈Z，结合ω＞0，可求ω的最小值．本题主要考查三角函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于基础题．9. 解：由奇函数的性质可得，f（-x）=-f（x）恒成立，即（m-2）x2-（m-8）x=-（m-2）x2-（m-8）x，故m-2=0即m=2，此时f（x）=-6x单调递减的奇函数，由不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，可得x2+1＞a恒成立，结合二次函数的性质可知，x2+1≥1，所以a＜1．故答案为：（-∞，1）由已知结合奇函数的定义可求m，然后结合不等式的恒成立与最值的相互关系及二次函数的性质可求．本题主要考查了奇函数的定义及单调性奇偶性在不等式恒成立问题中的应用，属于基础试题．10. 解：设点B的横坐标为m，因为双曲线C：x2-y2=1，所以双曲线的渐近线方程为y=±x，不妨设点A在直线y=x上，点B在直线y=-x上．则点A坐标为（2，2），点B坐标为（m，-m），所以线段AB的中点坐标为，因为双曲线C经过线段AB的中点，所以，解得，故答案为：．写出双曲线的渐近线方程，从而得到A和B两点的坐标，再利用中点坐标中式求得线段AB的中点，将其代入双曲线的标准方程，即可得解．本题主要考查了双曲线的渐近线方程和中点坐标公式，属于简单题．11. 解：地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M．2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量满足：lg E1=4.8+1.5×8.0，2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量满足：lg E2=4.8+1.5×6.0．∴lg E1-lg E2=3，解得：=103=1000．故答案为：1000．根据地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M．分别计算出：2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量E1，2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量E2，利用对数运算性质即可得出．本题考查了对数运算性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12. 解：如图，设AB=AC=x，由，得AD=，设∠BAC=θ（0＜θ＜π），由余弦定理可得：cosθ=，得，①由△ABC的面积为3，得，即，②联立①②，得，∴，令y=，则y sinθ=5-3cosθ，∴y sinθ+3cosθ=5，即（θ+φ）=5，得sin（θ+φ）=，由，解得y≥4或y≤-4（舍）．即，得BD，∴BD的最小值为．故答案为：．由题意画出图形，设AB=AC=x，由，得AD=，设∠BAC=θ（0＜θ＜π），由余弦定理及△ABC的面积为3得，则，令y=，再由三角函数求最值，即可求得BD的最小值．本题考查平面向量的数量积运算，考查三角形的解法，训练了利用三角函数求最值，是中档题．13. 解：已知圆C1：x2+y2=8与圆C2：x2+y2+2x+y-a=0相交于A、B两点，则AB所在直线的方程为2x+y-a+8=0，若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，分2种情况讨论：①，P为直角顶点，则AB为圆C1的直径，即直线2x+y-a+8=0经过圆C1的圆心C1，必有-a+8=0，解可得a=8；②，A或B为直角顶点，则点C1到直线AB的距离d=r=，则有d==，解可得a=7或9，综合可得：a的取值的集合为{7，8，9}；故答案为：{7，8，9}．根据题意，求出AB所在直线的方程，按直角顶点的位置分情况讨论，求出a的值，综合即可得答案．本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的基本性质，属于中档题．14. 解：令f（x）=t，则g（t）=t2+2at+1-a2，作f（x）的图象如下，设g（t）的零点为t1，t2，由图可知，要满足题意，则需，故，解得．故答案为：．令f（x）=t，则g（t）=t2+2at+1-a2，作f（x）的图象，观察图象可知，函数g（t）在（0，1）及（1，+∞）各有一根，由二次函数的根的分布列出不等式组得解．本题考查函数与方程的综合运用，考查数形结合思想，属于中档题．15. （1）由中位线的性质可知DE∥AB，由此即可得证；（2）先由PA⊥平面ABC，可证PA⊥AB，再结合已知PC⊥AB，即可证得AB⊥平面PAC，进而得证．本题考查线面平行及面面垂直的判定，掌握基本的判定定理是解题的关键，属于基础题．16. （1）根据条件可求出，然后根据正弦定理即可求出；（2）可以求出，然后根据cos C=cos[π-（A+B）]即可求出cos C=，从而由进行数量积的运算即可求出答案．本题考查了正弦定理，sin2x+cos2x=1，三角函数的诱导公式，以及向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于中档题．17. （1）根据椭圆的性质列方程组即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）①求得直线AM和BN的方程，联立，求得P点坐标，由P满足椭圆方程，即可判断P在椭圆E上；②解法一：根据直线的斜率公式及直线的斜率公式分别求得直线AP和BP的方程，求得M和N点坐标，表示出，利用P在椭圆上，即可证明为定值；解法二：设直线AP和BP的方程，同理求得M和N点坐标，根据直线斜率公式即可证明为定值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的方程及斜率公式的应用，考查定点的证明，考查计算能力，属于中档题．18. （1）由旋转图形的性质可知，图中存在全等三角形，再结合边长和角度的计算以及三角形的正弦面积公式，即可求出六边形徽标的面积；（2）由全等三角形的性质，可知六边形徽标的周长等于3（AA1+BA1），再结合余弦定理和基本不等式的性质，即可得最大值．本题考查了解三角形中的正弦定理和余弦定理的应用，以及利用基本不等式求最值，突破口是找出图形在旋转过程中存在的规律，考查了学生的观察能力和直观想象能力，属于中档题．19. （1）将λ=1代入，则可得到，故a2n+1-a2n-1=1为常数，进而判断为等差数列；（2）λ=2时，a1=1，且当n≥2时，a n=2a n-1+，①有b n=a2n+=4（a2n-2+），所以=4是常数，所以数列{b n}时首项为，公比为4的等比数列，即可求出其通项公式；②C n==[]（n∈N+），当n=1时，C2-C1=0，则C2=C1；当n=2时，C3-C2=0，则C3=C2；当n≥3时，C n+1-C n＞0，则C n+1＞C n，故对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有C p≥C m．本题考查等差等比数列的证明，考查数列通项公式的求法，属于难题．20. （1）将a=0代入f（x）中，然后求导，再由f'（x）＜0得到f（x）的单调递减区间；（2）①对f'（x）求导，然后构造函数g（x）=ax3-x+1，再根据f'（x）有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），得到函数g（x）有三个非零的零点，进一步求出a的范围；②根据m1，m2（m1＜m2）是函数f（x）的两个零点，得到f（m1）=f（m2）=0，然后p （x）=ax2-ax-1（a＞0），进一步证明x1＜m1＜x1+1．本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，不等式的证明，考查了转化思想和函数思想，属难题．21. （1）由矩阵特征向量，特征值得关系，可以得到满足的等式，代入可得．（2）直接由矩阵变换，代入等式可求．本题考察矩阵与特征值，特征向量的关系，以及点的变换，属于基础题．22. 首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23. （1）利用，即可得证；（2）利用基本不等式直接证明即可．本题考查利用基本不等式证明不等式，考查推理论证能力，属于基础题．24. （1）推导出AB⊥AA1，AD⊥AA1，AB⊥AD，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C1-B1C-D1的余弦值．（2）设AQ=λ（0≤λ≤2），则Q（λ，0，0），求出平面B1PQ的法向量，利用向向量能求出AQ．本题考查二面角的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25. （1）当n=3时，从装有5只小球的口袋中有放回地取球6次，共有n=56个基本事件，记“恰好取到3次红球”为事件A，则事件A包含的基本事件个数为m=，由此能求出当n=3时，恰好取到3次红球的概率．（2）由题意知随机变量Y的所在可能取值为0，1，3，5，…，2n-1，（n∈N*），则P （Y=2t+1）=•（2i+1）=．（0≤i≤n-1，i∈N），E（Y）=（+++…+），令x n=+++…+，y n=++，由此求出．从而能求出E（Y）．本题考查概率、离散型随机变量的数学期望的求法，考查排列组合、古典概型、二项式定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。

江苏泰州市届高三上学期第一次模拟考试数学试题word含解析

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}21A x x =≤，集合{}2,1,0,1,2B =--，则AB = ▲ ．【答案】}{1,0,1- 【解析】试题分析：{}[]21=-11A x x =≤，，{}2,1,0,1,2B =--，则A B =}{1,0,1-考点：集合运算2.如图，在复平面内，点A 对应的复数为1z ，若21i z z =（i 为虚数单位），则2z = ▲ ．【答案】2i -- 【解析】试题分析：()-12A ，，112z i =-+，2211i,z (12)2z z i i i i z ===-+=-- 考点：复数运算3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2212x y -=的实轴长为 ▲ ．【答案】【解析】试题分析：由双曲线方程得，a =2a =考点：双曲线性质4.某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从男学生中抽取的人数为100人，那么n = ▲ ．（第2题）【答案】200 【解析】试题分析：男学生占全校总人数80012008006002=++，那么1001,2002n n ==考点：分层抽样5.执行如图所示的伪代码，当输入,a b 的值分别为1,3时，最后输出的a 的值为 ▲ ．【答案】5 【解析】试题分析：第一次循环，134,413,112a b i =+==-==+=，第二次循环，415a =+= 考点：伪代码6.甲乙两人下棋，若甲获胜的的概率为15，甲乙下成和棋的概率为25，则乙不输棋的概率为▲ ．【答案】45【解析】试题分析：“乙不输棋”的对立事件为“甲获胜”，P （乙不输棋）=1-P （甲获胜）=45考点：概率7.已知直线(0)y kx k =>与圆22:(2)1C x y -+=相交于,A B 两点，若AB =，则k = ▲ ．【答案】12【解析】试题分析：圆心()2,0C ，半径为1，圆心到直线距离d =，而AB =，得221+=⎝⎭，解得12k =考点：直线与圆位置关系8.若命题“存在20,4R x ax x a ∈++≤”为假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】(2,)+∞ 【解析】试题分析：由题意得 20,1640a a >=-<V ，解得2a > 考点：命题真假9.如图，长方体1111ABCD A BC D -中，O 为1BD 的中点，三棱锥O ABD -的体积为1V ，四棱锥11O ADD A -的体积为2V ，则12V V 的值为 ▲ ．【答案】12【解析】试题分析：设长方体长宽高分别为,,a b c ，1122111111,,322123262Vabc abc V ab c V bc a V =⨯⨯==⨯⨯==考点：棱锥体积10.已知公差为2的等差数列{}n a 及公比为2的等比数列{}n b 满足11220,0a b a b +>+<，则33a b +的取值范围是 ▲ ．【答案】(,2)-∞- 【解析】1AA试题分析：1122111111210,220,02,2,24a b a b a b a b b b b b +>+=++<<+<--<-=<-，33222222220242a b a b a b b +=++=+++<+-=-，则33a b +的取值范围是(,2)-∞-考点：等差数列与等比数列综合11.设()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()2ln4xxf x =+，记(5)n a f n =-，则数列 {}n a 的前8项和为 ▲ ．【答案】16- 【解析】试题分析：123456784(4)(3)(2)(1)(0)(1)(2)(3)(4)4(4)2ln164a a a a a a a a f f f f f f f f f f +++++++=-+-+-+-++++=-=-=--=-考点：奇函数性质12.在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 分别为x 轴，y 轴上一点，且2AB =，若点P ，则AP BP OP ++的取值范围是 ▲ ．【答案】[7,11]考点：直线与圆位置关系13.若正实数,x y 满足2(21)(52)(2)xy y y -=+-，则12x y+的最大值为 ▲ ．【答案】12- 【解析】试题分析：令1,(0)2x t t y+=>，则222(22)(52)(2),(45)(88)80yt y y t y t y -=+--+-+=，因此222(88)32(45)0247001t t t t t ∆=---≥⇒+-≤⇒<≤-1t =-时，2440045t y x t -==>=>-，，因此12x y +的最大值为12- 考点：判别式法求最值14.已知函数π()sin()cos cos()262x x f x A x θ=+--（其中A 为常数，(π,0)θ∈-），若实数123,,x x x 满足：①123x x x <<，②31x x -<2π，③123()()()f x f x f x ==，则θ的值为▲ ．【答案】23π-考点：三角函数图像与性质二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.在ABC ∆中，角,A B 的对边分别为,a b ，向量(cos ,sin ),(cos ,sin )A B B A ==m n ．（1）若cos cos a A b B =，求证：//m n ；（2）若⊥m n ,a b >，求tan 2A B-的值．【答案】（1）详见解析（2）tan 12A B -= 【解析】试题分析：（1）因为//sin cos sin cos A A B B ⇔=m n ，所以由正弦定理得cos cos sin cos sin cos a A b B A A B B =⇒=，得证（2）由cos cos sin sin 0cos()0A B A B A B ⊥⇔+=⇔-=m n ，又a b >得2A B π-=，从而tantan 124A B π-== 试题解析：证明：（1）因为cos cos a A b B =，所以sin cos sin cos A A B B =，所以//m n . ……………7分（2）因为⊥m n ，所以cos cos sin sin 0A B A B +=，即cos()0A B -=，因为a b >，所以A B >，又,(0,)A B π∈，所以(0,)A B π-∈，则2A B π-=，…12分所以tan tan 124A B π-==.……………14分考点：正弦定理，向量平行与垂直16.如图，在三棱锥P ABC -中，90PAC BAC ∠=∠=︒，PA PB =，点D ，F 分别为BC ，AB 的中点．（1）求证：直线//DF 平面PAC ；（2）求证：PF ⊥AD ．【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行，一般从平面几何中进行寻找，如三角形中位线性质，本题点D ，F 分别为BC ，AB 的中点，故//DF AC 再应用线面平行判定定理即可（2）线线垂直证明，一般利用线面垂直的判定及性质定理，经多次转化进行论证：先从平面几何中找垂直，∵PA PB =，F 为AB 的中点，∴PF AB ⊥，再利用线面垂直判定定理进行转化，由已知条件AC AB ⊥及AC AP ⊥，转化到AC ⊥平面PAB ，再转化到AC PF ⊥，因此得到PF ⊥平面ABC ，即AD PF ⊥．试题解析：证明（1）∵点D ，F 分别为BC ，AB 的中点， ∴//DF AC ，又∵DF ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，∴直线//DF 平面PAC ． ……………6分（２）∵90PAC BAC ∠=∠=︒， ∴AC AB ⊥，AC AP ⊥，又∵ABAP A =，,AB AP 在平面PAB 内，∴AC ⊥平面PAB ， ……………8分 ∵PF ⊂平面PAB ，∴AC PF ⊥，∵PA PB =，F 为AB 的中点，∴PF AB ⊥， ∵AC PF ⊥，PF AB ⊥，ACAB A =，,AC AB 在平面ABC 内，∴PF ⊥平面ABC ， ……………12分 ∵AD ⊂平面ABC ，∴AD PF ⊥． ……………14分考点：线面平行判定定理，线面垂直的判定及性质定理17.一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以v 5的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设AOE θ∠=弧度，小球从A 到F 所需时间为T ．（1）试将T 表示为θ的函数()T θ，并写出定义域；（2）求时间T 最短时cos θ的值．【答案】（1）11()56sin 6T vv v θθθ=++，[,]44θ∈π3π（2）2cos 3θ=【解析】试题分析：（1）小球从A 到F 所需时间为T 分两段计算：56AE EF v v，；而AE θ=，EF 必过圆心O ，所以11sin EF θ=+，从而11()5656sin 6AE EF T v v v v vθθθ=+=++，又由矩形限制得定义域[,]44θ∈π3π （2）利用导数求函数最值：先求导数22221cos 6sin 5cos (2cos 3)(3cos 2)()56sin 30sin 30sin T v v v v θθθθθθθθθ-+-'=-==-，再求导函数零点02cos 3θ=，列表分析得结论当2cos 3θ=时，时间T 最短．试题解析：解：（1）过O 作OG BC ⊥于G ，则1OG =，1sin sin OG OF θθ==，11sin EF θ=+，AE θ=，所以11()5656sin 6AE EF T v v v v vθθθ=+=++，[,]44θ∈π3π．……7分（写错定义域扣1分）（2）11()56sin 6T vv vθθθ=++，22221cos 6sin 5cos (2cos 3)(3cos 2)()56sin 30sin 30sin T v v v v θθθθθθθθθ-+-'=-==-，…………9分记02cos 3θ=，0[,]44θ∈π3π，故当cos 3θ=时，时间T 最短． …………14分考点：函数实际问题，利用导数求函数最值18.已知数列{},{}n n a b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和．（1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式；（2）若n b n =，23a =，求数列{}n a 的通项公式；（3）在（2）的条件下，设nn na cb =，求证：数列{}nc 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．【答案】（1）12n b =（2）1n a n =+（3）详见解析【解析】试题分析：（1）先根据等比数列通项公式得1211()2()333n n n a -=-=--，再根据等比数列前n 项和公式得21[(1()]1133[(1()]1231()3n n n S --==----，代入2(2)n n nS a b =+得11()213222()23nn n n n S b a --===+--+（2）由题意得22n n S na n =+，因此利用n S 与n a 关系得112(1)2n n S n a ++=++，112(1)2n n n a n a na ++=+-+即1(1)2n n na n a +=-+，12(2)1(1)n n a a n n n n n +-=-≥--，利用累加法得21242[1]3111111n n n a a a n a n n n n n --=--⇒=-⇒=+----（3）因为1n n c n +=，所以由111n k t n k t +++=⋅确定k,t ，解不定方程，首先先分离(1)n k t k n+=-，再根据整数性质，可取1k n =+，则(2)t n n =+.试题解析：解：（1）因为1211()2()333n n n a -=-=--， 21[(1()]1133[(1()]1231()3n n n S --==----， …………2分所以11()2131222()23nn n n n S b a --===+--+． …………4分（2）若n b n =，则22n n S na n =+，∴112(1)2n n S n a ++=++，两式相减得112(1)2n n n a n a na ++=+-+，即1(1)2n n na n a +=-+，当2n ≥时，1(1)(2)2n n n a n a --=-+，两式相减得11(1)(1)2(1)n n n n a n a n a -+-+-=-，即112n n n a a a -++=， …………8分又由1122S a =+，22224S a =+得12a =，23a =，所以数列{}n a 是首项为2，公差为321-=的等差数列，故数列{}n a 的通项公式是1n a n =+． …………10分（3）由（2）得1n n c n+=，对于给定的*n N ∈，若存在*,,,k t n k t N ≠∈，使得n k t c c c =⋅，只需111n k t n k t +++=⋅，即1111(1)(1)n k t +=+⋅+，即1111n k t kt =++，则(1)n k t k n+=-， …………12分取1k n =+，则(2)t n n =+，∴对数列{}n c 中的任意一项1n n c n +=，都存在121n n c n ++=+和2222212n n n n c n n+++=+使得212n n n n c c c ++=⋅． …………16分考点：等比数列通项公式及前n 项和公式，累加法求和，不定方程正整数解19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆:O 224x y +=，椭圆:C 2214x y +=， A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于,B C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中6(,0)5D -．设直线,AB AC 的斜率分别为12,k k ．（1）求12k k 的值；（2）记直线,PQ BC 的斜率分别为,PQ BC k k ，是否存在常数λ，使得PQ BC k k λ=？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC 必过点Q ．【答案】（1）1214k k =-（2）52λ=（3）详见解析试题解析：解：（1）设00(,)B x y ，则00(,)C x y --，220014x y +=所以2200012220000111422424x y y y k k x x x x -=⋅===--+--． …………4分（2）联立122(2)4y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222111(1)44(1)0k x k x k +-+-=，解得211122112(1)4,(2)11P P Pk k x y k x k k --==-=++，联立122(14y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得2222111(14)164(41)0k x k x k +-+-=，解得211122112(41)4,(1414B B Bk k x y k x k k --===++， …………8分所以121241B BC B y kk x k -==-，121122112141562(1)641515P PQ P k y k k k k k x k -+-===--+++，所以52PQ BC k k =，故存在常数52λ=，使得52PQ BC k k =． …………10分（3）当直线PQ 与x 轴垂直时，68(,)55Q --，则28156225AQ k k -===--，所以直线AC 必过点Q ．当直线PQ 与x 轴不垂直时，直线PQ 方程为：12156()415k y x k -=+-，联立1212256()4154k y x k x y -⎧=+⎪-⎨⎪+=⎩，解得21122112(161)16,161161Q Q k k x y k k --==++，所以1212211211616112(161)42161AQk k k k k k k +==-=---+，故直线AC 必过点Q ． …………16 分（不考虑直线PQ 与x 轴垂直情形扣1分）考点：直线与圆位置关系，直线与椭圆位置关系 20.已知函数()4212f x ax x =-，(0,)x ∈+∞，()()()g x f x f x '=-． (1)若0a >，求证：（ⅰ）()f x 在()f x '的单调减区间上也单调递减；（ⅱ）()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点；(2)若1a >，记()g x 的两个零点为12,x x ，求证：1244x x a <+<+．【答案】（1）（i ）详见解析（ii ）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）（i ）先确定导函数的单调减区间：因为3()4f x ax x '=-，所以()f x '的递减区间为，再确定x ∈时，32()4(41)0f x ax x x ax '=-=-<，（ii ）()432321140410(0)22g x ax ax x x ax ax x x =--+=⇔--+=>，变量分离得3214(2,0)22x x x x a x -=≠>-，利用导数研究函数3214()2x x x x ϕ-=-得当(0,2)x ∈时，1()x ϕ单调递增，1()x ϕ值域为(0,)+∞；当(2,)x ∈+∞时，1()x ϕ单调递增，且1(4)0ϕ=，1()x ϕ值域为(,)-∞+∞；因此1(0)2y a a=>与1()x ϕ有两个交点，所以1()x ϕ在(0,)+∞上恰有两个零点．（2）由零点存在定理确定12,x x 取值范围：111111(0)0()()22x a ϕϕϕ=<=<，112119(4)0()()22x a ϕϕϕ=<=<，所以1102x <<，2942x <<，121945422x x a <+<+=<+．试题解析：证：（1）（i ）因为()()42102f x ax x x =->，所以3()4f x ax x '=-，由32(4)1210ax x ax '-=-<得()f x '的递减区间为， …………2 分当x ∈时，32()4(41)0f x ax x x ax '=-=-<，所以()f x 在()f x '的递减区间上也递减． …………4 分（ii ）解1：()()()42343211(4)422g x f x f x ax x ax x ax ax x x '=-=---=--+，因为0x >，由()4321402g x ax ax x x =--+=得3214102ax ax x --+=，令321()412x ax ax x ϕ=--+，则21()382x ax ax ϕ'=--，因为0a >，且1(0)02ϕ'=-<，所以()x ϕ'必有两个异号的零点，记正零点为0x ，则0(0,)x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；0(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，若()x ϕ在(0,)+∞上恰有两个零点，则0()0x ϕ<， …………7 分由20001()3802x ax ax ϕ'=--=得2001382ax ax =+，所以0003217()939x ax x ϕ=--+，又因为对称轴为4,3x =所以81()(0)032ϕϕ==-<，所以08733x >>，所以0003217()()0933x ax x ϕ=---<，又3222111()41(8)(1)1222x ax ax x ax x x ax ϕ=--+=-+-+，中的较大数为M ，则()0M ϕ>，故0a >()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点． …………10 分解2：()()()42343211(4)422g x f x f x ax x ax x ax ax x x '=-=---=--+，因为0x >，由()4321402g x ax ax x x =--+=得3214102ax ax x --+=，令321()412x ax ax x ϕ=--+，若()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点，则()x ϕ在(0,)+∞上恰有两个零点，当2x =时，由()0x ϕ=得0a =，此时1()12x x ϕ=-+在(0,)+∞上只有一个零点，不合题意；当2x ≠时，由321()4102x ax ax x ϕ=--+=得321422x x a x -=-， …………7 分令322148()2422x x x x x x x ϕ-==-----，则22122572[()]2(58)24()0(2)(2)x x x x x x x x ϕ-+-+'==>--，当(0,2)x ∈时，()x ϕ单调递增，且由2824,2y x x y x =--=--值域知 ()x ϕ值域为(0,)+∞；当(2,)x ∈+∞时，1()x ϕ单调递增，且1(4)0ϕ=，由2824,2y x x y x =--=--值域知()x ϕ值域为(,)-∞+∞；因为0a >，所以102a >，而12y a =与1()x ϕ有两个交点，所以1()x ϕ在(0,)+∞上恰有两个零点． …………10 分（2）解1：由（2）知，对于321()412x ax ax x ϕ=--+在(0,)+∞上恰有两个零点12,x x ，不妨设12x x <，又因为(0)10ϕ=>，11()(67)028a ϕ=-<，所以1102x <<，……12 分又因为(4)10ϕ=-<，91()(65710)028a ϕ=->，所以2942x <<，所以121945422x x a <+<+=<+． …………16 分解2：由（2）知321422x x a x -=-，因为[0,2)x ∈时，1()x ϕ单调递增，17()212ϕ=，111111(0)0()()22x a ϕϕϕ=<=<，所以1102x <<， …………12 分当(2,)x ∈+∞时，1()x ϕ单调递增，1981()220ϕ=，112119(4)0()()22x a ϕϕϕ=<=<，所以2942x <<，所以121945422x x a <+<+=<+．…………16 分考点：利用导数研究函数单调性，零点存在定理附加题21.A （几何证明选讲，本题满分10分）如图,圆O 是ABC ∆的外接圆,点D 是劣弧BC 的中点,连结AD 并延长,与以C 为切点的切线交于点P ,求证:PC BDPA AC=.【答案】详见解析【解析】试题分析：由弦切角定理得PCD PAC ∠=∠,因此PCD ∆～PAC ∆，从而PC CDPA AC=，又等弧对等弦，所以CD BD =,即PC BDPA AC=.试题解析：证明：连结CD ，因为CP 为圆O 的切线，所以PCD PAC ∠=∠,又P ∠是公共角，所以PCD ∆～PAC ∆， ……………5分所以PC CDPA AC= , 因为点D 是劣弧BC 的中点,所以CD BD =,即PC BDPA AC=. ……………10分考点：三角形相似，弦切角定理21.B （矩阵与变换，本题满分10分）已知矩阵1252M x -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为2-,求2M . 【答案】264514M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：由矩阵特征多项式得2(1)(5)0x x λλ---+=一个解为2-，因此3x =，再根据矩阵运算得264514M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦试题解析：解：2λ=-代入212(1)(5)052x x xλλλλ+-=---+=--，得3x =矩阵12532M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦……………5分 ∴264514M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦……………10分考点：特征多项式21.C （坐标系与参数方程，本题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中,已知直线11:()72x t C t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与椭圆2cos :(0)3sin x a C a y θθθ=⎧>⎨=⎩为参数,的一条准线的交点位于y 轴上,求实数a 的值.【答案】a =【解析】试题分析：利用加减消元得直线1C 普通方程：29x y +=，利用平方关系22cos sin 1θθ+=消参数得椭圆2C 普通方程2221(03)9y x a a +=<<，得准线：y =，因此9=，即a =试题解析：解：直线1C ：29x y +=，椭圆2C :2221(03)9y x a a+=<<， …………………………5分准线：y =9=得，a =…………………………10分考点：参数方程化普通方程21.D （不等式选讲，本题满分10分）已知正实数,,a b c 满足231a b c ++=，求证：24627111a b c++≥. 【答案】详见解析【解析】试题分析：由均值不等式得246111a b c ++≥，23a b c ≥++24611127a b c ++≥ 试题解析：证明：因为正实数,,a b c 满足231a b c ++=，所以1≥23127ab c ≤， …………………………5分所以23127ab c ≥因此，24611127a b c ++≥ ……………………10分考点：均值不等式22.如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC = 3，BC = 4，AB = 5，AA 1 = 4．（1）设λ=，异面直线AC 1与CD，求λ的值；（2）若点D 是AB 的中点，求二面角D —CB 1—B 的余弦值．【答案】（1）15λ=或13λ=-（2【解析】试题分析：（1）利用空间向量研究线线角，先建立恰当的空间直角坐标系，设出各点坐标，表示出向量AC1及向量CD 坐标，再根据向量数量积求出向量夹角，最后根据线线角与向量夹角之间关系确定等量关系，求出λ的值（2）先根据方程组求出平面1CDB 的一个法向量及平面1CBB 的一个法向量，再根据向量数量积求出向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系，求二面角的余弦值。

南通市、泰州市2020届高三一模数学试卷(含附加题)

2019-2020南通、泰州高三第一次调研试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1.已知集合{1,0,2}A =-，{1,1,2}B =-，则A B =I _____.2.已知复数z 满足(1)2i z i +=，其中i 是虚数单位，则z 的模为_______.3.某校高三数学组有5名党员教师,他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35,35,41,38,51,则这5名党员教师学习积分的平均值为______.4.根据如图所示的伪代码，输出的a 的值为______.5.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1a d的值为____.6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为___.7.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，则三棱锥111A BB C -的体积为____.8.已知函数()sin()3f x x πω=-(0)ω>，若当6x π=时，函数()f x 取得最大值，则ω的最小值为_____.9.已知函数2()(2)(8)f x m x m x =-+-()m R ∈是奇函数，若对于任意的x R ∈，关于x 的不等式2(+1)()f x f a <恒成立，则实数a 的取值范围是____.10.在平面直角坐标系xOy 中,已知点,A B 分别在双曲线22:1C x y -=的两条渐近线上,且双曲线C 经过线段AB 的中点，若点A 的横坐标为2，则点B 的横坐标为_____.11.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如.地震时释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震,它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的____倍.12.已知ABC ∆的面积为3，且AB AC =，若2CD DA =u u u ru u u r，则BD 的最小值为_____.13.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:8C x y +=与圆222:20C x y x y a +++-=相交于,A B 两点，若圆1C 上存在点P ，使得ABP ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为____.14.已知函数||1|1|,0(),01x x f x xx x --≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，若关于x 的方程22()2()10f x af x a ++-=有五个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_____.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，PC AB ⊥，,D E 分别为,BC AC 的中点.求证：（1）AB ∥平面PDE ；（2）平面PAB ⊥平面PAC .。

江苏省南通市、泰州市2020届高三上学期期末联考数学学科参考答案)

南通市2020届高三第一次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合，，则▲.【答案】2．已知复数满足，其中是虚数单位，则的模为▲.【答案】3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为，则这5名党员教师学习积分的平均值为▲.【答案】40 a←1 i←14．根据如图所示的伪代码，输出的a的值为▲．While i≤4【答案】11a←a+i i←i+1 End While5．已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，Print a 则的值为▲．（第4题）【答案】16．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为▲.【答案】7．在正三棱柱中，，则三棱锥的体积为▲.【答案】8．已知函数．若当时，函数取得最大值，则的最小值为▲.【答案】59．已知函数是奇函数．若对于任意的，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是▲．【答案】10．在平面直角坐标系中，已知点A，B分别在双曲线的两条渐近线上，且双曲线经过线段AB的中点．若点的横坐标为2，则点的横坐标为▲．【答案】11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的▲倍．【答案】100012．已知△ABC的面积为3，且．若，则的最小值为▲．【答案】13．在平面直角坐标系中，已知圆与圆相交于A，B两点．若圆上存在点，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数的值组成的集合为▲.【答案】14．已知函数若关于的方程有五个不相等的实数根，则实数的取值范围是▲.【答案】二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，平面，，分别为的中点．求证：（1）AB∥平面；（2）平面平面．【证】（1）在中，因为分别为的中点，所以AB∥DE．……3分又因为平面，平面，所以AB∥平面．……6分（2）因为平面，平面，所以．……8分又因为，平面，，所以平面．……11分因为平面，所以平面平面．……14分16．（本小题满分14分）在△ABC中，已知，，．（1）求的值；（2）求的值．【解】（1）在△ABC中，因为，，由，得．……2分又，，由正弦定理，得，……4分所以．……6分（2）（方法一）由余弦定理，得，……8分即，解得或（舍去）．……11分所以．……14分（方法二）在△ABC中，由条件得，所以，所以．所以．……8分所以．……10分由正弦定理，得，所以．……12分所以．……14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，两条准线间的距离为，分别为椭圆的左、右顶点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知图中四边形是矩形，且，点分别在边上，与相交于第一象限内的点．①若分别是的中点，证明：点在椭圆上；②若点在椭圆上，证明：为定值，并求出该定值．【解】（1）设椭圆的焦距为，则由题意，得解得所以．所以椭圆的标准方程为．……3分（2）①由已知，得，，，．直线的方程为，直线的方程为．联立解得即．……6分因为，所以点在椭圆上．……8分②（解法一）设，，则，．直线的方程为，令，得．……10分直线的方程为，令，得．……12分所以．……14分（解法二）设直线的方程为，令，得．设直线的方程为，令，得．……10分而．……12分设，，则，所以，所以．……14分18．（本小题满分16分）在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为的正三角形绕其中心逆时针旋转到三角形，且．顺次连结，得到O 六边形徽标．（1）当时，求六边形徽标的面积；（第18题）（2）求六边形徽标的周长的最大值．【解】连结．在正三角形中，，，，．……2分当正三角形绕中心逆时针旋转到正三角形位置时，有，，，所以≌≌，≌≌，所以，．……4分（1）当时，设六边形徽标的面积为，则……6分．答：当时，六边形徽标的面积为．……9分（2）设六边形徽标的周长为，则……11分，．……13分所以当，即时，取最大值．答：六边形徽标的周长的最大值为．……16分19．（本小题满分16分）已知数列满足：，且当时，．（1）若，证明：数列是等差数列；（2）若．①设，求数列的通项公式；②设，证明：对于任意的，当时，都有．【解】（1）时，由，得……2分所以，即（常数），所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．……4分（2）时，，时，．①时，所以．……6分所以．又，所以．……8分又，所以（常数）．所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以数列的通项公式为．……10分②由①知，，．所以，所以．……12分所以．……14分当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以．所以若，则．……16分20．（本小题满分16分）设函数，其中为自然对数的底数．（1）当时，求函数的单调减区间；（2）已知函数的导函数有三个零点，，．①求的取值范围；②若，是函数的两个零点，证明：．【解】（1）时，，其定义域为，．令，得，所以函数的单调减区间为．……3分（2）①，设，则导函数有三个零点，即函数有三个非零的零点．又，若，则，所以在上是减函数，至多有1个零点，不符合题意，所以．……5分令，．列表如下：极大值极小值所以即解得．……8分又，所以在上有且只有1个非零的零点．因为当时，，，，且，又函数的图象是连续不间断的，所以在和上各有且只有1个非零的零点．所以实数的取值范围是．……10分②（证法一）由，得设，且，所以．又因为，所以．所以或时，；时，．由①知，．因为，所以，，所以，．……14分所以成立．……16分（证法二）依题设知：，由①知，设，由①知，所以，在上单调递减．……12分又由，得：，即，所以，又，故，．于是（Ⅰ），即，又，，所以；……14分（Ⅱ），即，又，，故，又，所以，即．所以，得证．……16分21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知，向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量．（1）求矩阵；（2）若点在矩阵对应的变换作用下得到点，求点的坐标．【解】（1）因为向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量，所以，即，所以解得所以．……5分（2）设，则，所以解得所以点的坐标为．……10分B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程（t为参数），椭圆C的参数方程为(为参数)．求椭圆C上的点到直线的距离的最大值．【解】（方法一）直线的普通方程为．……2分设，则点到直线的距离．……8分当，即（）时，．……10分（方法二）直线的普通方程为．椭圆C的普通方程为．……4分设与直线平行的直线方程为，由消，得．令，得．……8分所以直线与椭圆相切．当时，点到直线的距离最大，．……10分C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知都是正实数，且．证明：（1）；（2）．【证】（1）因为都是正实数，所以．又因为，所以，即，得证．……4分（2）因为都是正实数，所以，①，②．③……6分由①+②+③，得，所以，又因为，所以，得证．……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，在直四棱柱中，，，．（1）求二面角的余弦值；（2）若点为棱的中点，点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长．【解】在直四棱柱中，（第22题）因为平面，，平面，所以，．又，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．由，得，．……2分（1），，设平面的一个法向量，则即不妨取，则，，所以．……4分因为平面，所以平面的一个法向量为．设二面角的平面角的大小为，根据图形可知，．所以二面角的余弦值为．……6分（2）设，则．又为的中点，则，，．设平面的一个法向量，由得取，则，，所以．……8分设直线与平面所成角的大小为，则，所以或（舍去）.所以.……10分23．(本小题满分10分)一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只.现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球.（1）当时，求恰好取到3次红球的概率；（2）随机变量表示次取球中取到红球的次数，随机变量求的数学期望（用表示）.【解】（1）当时，从装有5只小球的口袋中有放回的取球6次，共有个基本事件.记“恰好取到3次红球”为事件，事件包含基本事件有个.因为上述个基本事件发生的可能性相同，故.答：当时，恰好取到3次红球的概率为.……3分（2）由题意知，随机变量的所有可能取值为.则...……5分所以.……7分令，，则，.，所以.所以.答：的数学期望为.……10分。

2020年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷

2020年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷一、填空题（共14题，共70分）1．已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝{﹣1，2}．2．已知复数z满足（1+i）z＝2i，其中i是虚数单位，则z的模为．3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值为40．4．根据如图所示的伪代码，输出的a的值为11．5．已知等差数列{a n}的公差d不为0，且a1，a2，a4成等比数列，则的值为1．6．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为．7．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则三棱锥A1﹣BB1C1的体积为．8．已知函数（ω＞0），若当时，函数f（x）取得最大值，则ω的最小值为5．9．已知函数f（x）＝（m﹣2）x2+（m﹣8）x（m∈R）是奇函数，若对于任意的x∈R，关于x的不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，1）．10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别在双曲线C：x2﹣y2＝1的两条渐近线上，且双曲线C经过线段AB的中点．若点A的横坐标为2，则点B的横坐标为．x x11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如．地震时释放出的能量 E （单位：焦耳）与地震里氏震级 M 之间的关系为 lgE ＝4.8+1.5M .2008年 5 月汶川发生里氏 8.0 级地震，它释放出来的能量是 2019 年 6 月四川长宁发生里氏 6.0级地震释放出来能量的 1000 倍．△12．已知 ABC 的面积为 3，且 AB ＝AC ，若，则 BD 的最小值为．13．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 1： 2+y 2＝8 与圆 C 2： 2+y 2+2x +y ﹣a ＝0 相交于 A 、B 两点．若圆C 1 上存在点 P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数 a 的值组成的集合为 {8，8﹣2，8+2 } ．14．已知函数 f （x ）＝，若关于 x 的方程 f 2（x ）+2af （x ）+1﹣a 2＝0有五个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是．二、解答题（共 6 题，共 90 分）15．如图，在三棱锥 P ﹣ABC 中，P A ⊥平面 ABC ，PC ⊥AB ，D ，E 分别为 BC ，AC 的中点．求证：（1）AB ∥平面 PDE ；（2）平面 P AB ⊥平面 P AC ．△16．在 ABC 中，已知 AC ＝4，BC ＝3，cos B ＝﹣ ．（1）求 sin A 的值．（2）求的值．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＝1（a＞b＞0）的焦距为4，两条准线间的距离为8，A，B分别为椭圆E的左、右顶点．（1）求椭圆E的标准方程：（2）已知图中四边形ABCD是矩形，且BC＝4，点M，N分别在边BC，CD上，AM与BN相交于第一象限内的点P．①若M，N分别是BC，CD的中点，证明：点P在椭圆E上；②若点P在椭圆E上，证明：为定值，并求出该定值．18．在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a的正三角形ABC绕其中心O逆时针旋转θ到三角形A1B1C1，且C1，A，得到六边形徽标AA1BB1CC1．（1）当θ＝时，求六边形徽标的面积；（2）求六边形微标的周长的最大值．顺次连结A，A1，B，B1，C，+（λ∈R）．19．已知数列{a n}满足：a1＝1，且当n≥2时，a n＝λa n﹣1（1）若λ＝1，证明：数列{a2n}是等差数列；﹣1（2）若λ＝2．①设b n＝a2n+，求数列{b n}的通项公式；②设∁n＝，证明：对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有∁p≥∁m．20．设函数（a∈R），其中e为自然对数的底数．（1）当a＝0时，求函数f（x）的单调减区间；（2）已知函数f（x）的导函数f'（x）有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）．①求a的取值范围；②若m1，m2（m1＜m2）是函数f（x）的两个零点，证明：x1＜m1＜x1+1．【选做题】（3选2，每题10分）21．已知a，b∈R，向量是矩阵A＝的属于特征值3的一个特征向量．（1）求矩阵A；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'（2，2），求点P的坐标．22．在平面直角坐标系x Oy中，已知直线l的参数方程（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），求椭圆C上的点P到直线l的距离的最大值．23．已知a，b，c都是正实数，且＝1．证明：（1）abc≥27；（2）≥1．【必做题】（每题10分）24．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝AA1＝2BC＝2．（1）求二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值；（2）若点P为棱AD的中点，点Q在棱AB上，且直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，求AQ的长．25．一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只．现从口袋中先后有放回地取球2n次（n∈N*），且每次取1只球．（1）当n＝3时，求恰好取到3次红球的概率；（2）随机变量X表示2n次取球中取到红球的次数，随机变量的数学期望（用n表示）．，求Y。

江苏省南通市、泰州市2019-2020学年高三上学期第一次调研考试数学试卷附加题教师版

2019-2020南通、泰州高三第一次调研试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1.已知集合{1,0,2}A =-，{1,1,2}B =-，则A B =_____. 答案：{1,2}-解：因为{1,0,2}A =-，{1,1,2}B =-，所以{1,2}A B =-2.已知复数z 满足(1)2i z i +=，其中i 是虚数单位，则z 的模为_______.解：22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -===+++-，则||z =3.某校高三数学组有5名党员教师,他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35,35,41,38,51,则这5名党员教师学习积分的平均值为______. 答案：40 解：3535413851405++++=4.根据如图所示的伪代码，输出的a 的值为______. 答案：11 解：模拟演示：1,1a i == 2,2a i == 4,3a i == 7,4a i ==11,5a i ==此时输出11a =5.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1a d的值为____. 答案：1解：由题意得：2214a a a =⋅，则2111()(3)a d a a d +=⋅+，整理得1a d =，所以11a d=6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为___. 答案：38解：223113()()228P C =⋅⋅=7.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，则三棱锥111A BB C -的体积为____.解：112232V =⨯⨯⨯8.已知函数()sin()3f x x πω=-(0)ω>，若当6x π=时，函数()f x 取得最大值，则ω的最小值为_____. 答案：5 解：由题意得：2632k ωππππ-=+，k z ∈，则512k ω=+，k z ∈，因为0ω>，所以当0k =时ω取得最小值，即5ω=9.已知函数2()(2)(8)f x m x m x =-+-()m R ∈是奇函数，若对于任意的x R ∈，关于x 的不等式2(+1)()f x f a <恒成立，则实数a 的取值范围是____. 答案：1a <10.在平面直角坐标系xOy 中,已知点,A B 分别在双曲线22:1C x y -=的两条渐近线上,且双曲线C 经过线段AB 的中点，若点A 的横坐标为2，则点B 的横坐标为_____. 答案：1211.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如.地震时释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震,它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的____倍. 答案：100012.已知ABC ∆的面积为3，且AB AC =，若2CD DA =，则BD 的最小值为_____.13.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:8C x y +=与圆222:20C x y x y a +++-=相交于,A B 两点，若圆1C 上存在点P ，使得ABP ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为____.14.已知函数||1|1|,0(),01x x f x xx x --≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，若关于x 的方程22()2()10f x af x a ++-=有五个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_____.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABCBC AC的中⊥，,D E分别为,-中，PA⊥平面ABC，PC AB点.求证：（1）AB∥平面PDE；（2）平面PAB⊥平面PAC.16.（本小题满分14分）在ABC∆中，已知4AC=，3BC=，1 cos4B=-.（1）求sin A的值. （2）求BA BC⋅的值.17.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆2222:1x yEa b+=(0)a b>>的焦距为4，两条准线间的距离为8，A,B分别为椭圆E的左、右顶点。

江苏南通市2020届高三学校第一次大联考数学试题含附加题及参考答案

2020届高三基地学校第一次大联考数学 I参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 为柱体的底面积，h 为高．球体的体积公式34π3V R =球体，其中R 为球体的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．已知集合{}11A x x =-<<，{}101B =-，，，则AB = ▲ ．2．已知复数z 满足10i z z =-（i 为虚数单位），则z 的虚部为 ▲ . 3．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ． 4．若样本数据3，4，5，x ，y 的平均数为4，且12xy =，则此样本的方差为 ▲ ．5．从1，2，3，4，5中随机取出两个不同的数，则两数之积大于10 的概率为 ▲ ．6．现有一个半径为3 cm 的实心铁球，将其高温融化后铸成一个底面圆半径为3 cm 的圆柱状实心铁器（不计损耗），则该圆柱铁器的高为 ▲ cm ．7．已知函数π()2sin()(0)3f x x ωω=+>的图象关于点π(0)2，对称，则ω的最小值为▲ ．8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a ≠，323a a =，则105S S 的值为 ▲ ． 9．在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线C ：22(0)x py p =>在点1x =处的切线为（第3题）l ．若l 与该抛物线的准线的交点横坐标为732，则p 的值为 ▲ ． 10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()log 2(1)f x x =+．则满足不等式2(2)40f a a -+>的实数a 的取值范围是 ▲ ． 11．已知x ，y 为正实数，则292y x x x y++的最小值为 ▲ ． 12．在ABC ∆中，已知π3A =，3AB =．若D 为BC 中点，且72AD =，则AC AD ⋅=▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知AB 是圆O ：224x y +=的直径．若与圆O 外离的圆1O ：222(6)(8)(0)x y r r -+-=>上存在点M ，连接AM 与圆O 交于点N ，满足BMON ，则半径r 的取值范围是 ▲ ．14．已知函数2()(1)1f x x m x =-+-与()ln 22g x x x m =--的零点分别为12x x ，和34x x ，．若1324x x x x <<<，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB AD =，BC BD ⊥．E 为CD 的中点，O 为BD 上一点，且AO ⊥平面BCD ．求证：（1）BC平面AOE ；（2）平面ABD ⊥平面AOE ．（第15题）16．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A B C ，，所对边分别为a b c ，，．已知sin sin 2B Ca Bb +=．（1）求角A 的值；（2）若π1cos()64B +=，求cosC 的值．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为(0)F，点1()2A ，在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知圆O ：222x y a +=，连接FA 并延长交圆O 于点B ，H 为椭圆长轴上一点（异于左、右焦点），过点H 作椭圆长轴的垂线分别交椭圆C 和圆O 于点P ，Q （P ，Q 均在x 轴上方）．连接PA ，QB ，记PA 的斜率为1k ，QB 的斜率为2k ．①求21k k 的值； ②求证：直线PA ，QB 的交点在定直线上．（第17题）18．（本小题满分16分）某生态农场有一矩形地块，地块内有一半圆形池塘（如图所示），其中4AB =百米，2AD =百米，半圆形池塘的半径为 1 百米，圆心O 与线段AB 的中点重合，半圆与AB 的左侧交点为E ．该农场计划分别在AE 和CD 上各选一点P ，Q ，修建道路A P Q C →→→，要求 PQ 与半圆相切．（1）若 60QPE ∠=︒，求该道路的总长；（2）若AP ，PQ 为观光道路，修建费用是4万元/百米，CQ 为便道，修建费用是 1 万元/百米，求修建观光道路与便道的总费用的最小值．19．（本小题满分16分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若2n n n S Aa Ba C =++（A B C ，，为常数）对任意n *∈N 恒成立．（1）若2nn a =，求A B C ，，的值；（2）若16A =，12B =，13C =，且1n a >． ①求数列{}n a 的通项公式；②若数列{}n b 满足212n an n b b +=，且238b b =，求证：数列{}n b 为等比数列．（第18题）20．（本小题满分16分）已知函数()ln f x a x x =-，（a ∈R ，0a ≠），1()()gx x x=-+（0x >）．（1）若函数()f x 与()g x 有相同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），求a 的值；（2）记()()()F x f x g x =-．①若在区间(]0e ，（e 为自然对数底数）上至少存在一点0x ，使得0()0F x <成立，求a 的取值范围；②若函数()F x 图象存在两条经过原点的切线，求a 的取值范围．2020届高三基地学校第一次大联考数学 II （附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4–2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知矩阵231t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的一个特征值为4，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．B ．[选修4–4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为11,22x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C的参数方程为2,2x s y s ⎧=⎨=⎩（s 为参数）．若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，求弦AB 的长．C ．[选修4–5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知关于x 的不等式x a b -<的解集为{}24x x <<，【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在某次数学测验中，学号为(1234)i i =，，，的四位同学的考试成绩{}()90929698f i ∈，，，，且满足(1)f ≤(2)f ≤(3)f ≤(4)f ．（1）求四位同学的考试成绩互不相同的概率；（2）设四位同学中恰有X 位同学的考试成绩为96分，求随机变量X 的概率分布列及数学期望．23．（本小题满分10分）已知2012(1)()n n n x a a x a x a x n *+=+++⋅⋅⋅+∈N ．（1）若215a =，求n 的值；（2）求01(1)nkn k kS a ==-∑的值．。

江苏省南通市、泰州市2019-2020学年高三上学期第一次调研考试数学试卷附加题教师版

2019-2020南通、泰州高三第一次调研试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1.已知集合{1,0,2}A =-，{1,1,2}B =-，则A B =_____. 答案：{1,2}-解：因为{1,0,2}A =-，{1,1,2}B =-，所以{1,2}A B =-2.已知复数z 满足(1)2i z i +=，其中i 是虚数单位，则z 的模为_______.解：22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -===+++-，则||z =3.某校高三数学组有5名党员教师,他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35,35,41,38,51,则这5名党员教师学习积分的平均值为______. 答案：40 解：3535413851405++++=4.根据如图所示的伪代码，输出的a 的值为______. 答案：11 解：模拟演示：1,1a i == 2,2a i == 4,3a i == 7,4a i ==11,5a i ==此时输出11a =5.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1a d的值为____. 答案：1解：由题意得：2214a a a =⋅，则2111()(3)a d a a d +=⋅+，整理得1a d =，所以11a d=6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为___. 答案：38解：223113()()228P C =⋅⋅=7.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，则三棱锥111A BB C -的体积为____.解：112232V =⨯⨯⨯8.已知函数()sin()3f x x πω=-(0)ω>，若当6x π=时，函数()f x 取得最大值，则ω的最小值为_____. 答案：5 解：由题意得：2632k ωππππ-=+，k z ∈，则512k ω=+，k z ∈，因为0ω>，所以当0k =时ω取得最小值，即5ω=9.已知函数2()(2)(8)f x m x m x =-+-()m R ∈是奇函数，若对于任意的x R ∈，关于x 的不等式2(+1)()f x f a <恒成立，则实数a 的取值范围是____. 答案：1a <10.在平面直角坐标系xOy 中,已知点,A B 分别在双曲线22:1C x y -=的两条渐近线上,且双曲线C 经过线段AB 的中点，若点A 的横坐标为2，则点B 的横坐标为_____. 答案：1211.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如.地震时释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震,它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的____倍. 答案：100012.已知ABC ∆的面积为3，且AB AC =，若2CD DA =，则BD 的最小值为_____.13.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:8C x y +=与圆222:20C x y x y a +++-=相交于,A B 两点，若圆1C 上存在点P ，使得ABP ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为____.14.已知函数||1|1|,0(),01x x f x xx x --≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，若关于x 的方程22()2()10f x af x a ++-=有五个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_____.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABCBC AC的中⊥，,D E分别为,-中，PA⊥平面ABC，PC AB点.求证：（1）AB∥平面PDE；（2）平面PAB⊥平面PAC.16.（本小题满分14分）在ABC∆中，已知4AC=，3BC=，1 cos4B=-.（1）求sin A的值. （2）求BA BC⋅的值.17.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆2222:1x yEa b+=(0)a b>>的焦距为4，两条准线间的距离为8，A,B分别为椭圆E的左、右顶点。

江苏省南通市、泰州市2019-2020学年高三上学期第一次调研考试数学试卷附加题学生版

2019-2020南通、泰州高三第一次调研试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1.已知集合{1,0,2}A =-，{1,1,2}B =-，则A B =_____.2.已知复数z 满足(1)2i z i +=，其中i 是虚数单位，则z 的模为_______.3.某校高三数学组有5名党员教师,他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35,35,41,38,51,则这5名党员教师学习积分的平均值为______.4.根据如图所示的伪代码，输出的a 的值为______.5.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1a d的值为____.6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为___.7.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，则三棱锥111A BB C -的体积为____. 8.已知函数()sin()3f x x πω=-(0)ω>，若当6x π=时，函数()f x 取得最大值，则ω的最小值为_____.9.已知函数2()(2)(8)f x m x m x =-+-()m R ∈是奇函数，若对于任意的x R ∈，关于x 的不等式2(+1)()f x f a <恒成立，则实数a 的取值范围是____.10.在平面直角坐标系xOy 中,已知点,A B 分别在双曲线22:1C x y -=的两条渐近线上,且双曲线C 经过线段AB 的中点，若点A 的横坐标为2，则点B 的横坐标为_____.11.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如.地震时释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震,它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的____倍.12.已知ABC ∆的面积为3，且AB AC =，若2CD DA =，则BD 的最小值为_____.13.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:8C x y +=与圆222:20C x y x y a +++-=相交于,A B 两点，若圆1C 上存在点P ，使得ABP ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为____.14.已知函数||1|1|,0(),01x x f x xx x --≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，若关于x 的方程22()2()10f x af x a ++-=有五个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_____.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，PC AB ⊥，,D E 分别为,BC AC 的中点.求证：（1）AB ∥平面PDE ；（2）平面PAB ⊥平面PAC .16.（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知4AC =，3BC =，1cos 4B =-. （1）求sin A 的值. （2）求BA BC ⋅的值.17.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆2222:1x yEa b+=(0)a b>>的焦距为4，两条准线间的距离为8，A,B分别为椭圆E的左、右顶点。

江苏省泰州市2020届高三数学第一次模拟考试试题

2019届高三年级第一次模拟考试数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积V ＝Sh ，锥体的体积V ＝13Sh一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 函数f(x)＝sin 2x 的最小正周期为________．2. 已知集合A ＝{4，a 2}，B ＝{－1，16}，若A ∩B ≠∅，则实数a ＝________． 3. 复数z 满足z i ＝4＋3i (i 是虚数单位)，则|z|＝________．4. 函数y ＝1－x 2的定义域是________． 5. 从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为________． 6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T 的值是________．7. 已知数列{a n }满足log 2a n ＋1－log 2a n ＝1，则a 5＋a 3a 3＋a 1＝________．8. 若抛物线y 2＝2px(p>0)的准线与双曲线x 2－y 2＝1的一条准线重合，则p ＝________． 9. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1MBC 的体积为V 1，四棱锥A 1BB 1C 1C 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．10. 已知函数f(x)＝2x 4＋4x 2，若f(a ＋3)>f(a －1)，则实数a 的取值范围为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，过圆C 1：(x －k)2＋(y ＋k －4)2＝1上任一点P 作圆C 2：x 2＋y 2＝1的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 的长最小时，k ＝________．12. 已知P 为平行四边形ABCD 所在平面上任一点，且满足PA →＋PB →＋2PD →＝0，λPA →＋μPB →＋PC →＝0，则λμ＝________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ＋2a ，x ≥a ，x 3＋3x －4a ，x<a ，若存在x 0＜0，使得f(x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．14. 在△ABC 中，已知sin A sin B sin (C －θ)＝λsin 2C ，其中tan θ＝12⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，若1tan A ＋1tan B ＋2tan C为定值，则实数λ＝________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分) 已知向量a ＝(sin x ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos x ，其中x ∈(0，π)． (1) 若a ∥b ，求x 的值；(2) 若tan x ＝－2，求|a ＋b |的值．16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，O 为对角线BD 的中点，E ，F 分别为棱PC ，PD 的中点，已知PA ⊥AB ，PA ⊥AD.求证：(1) 直线PB ∥平面OEF ； (2) 平面OEF ⊥平面ABCD.如图，三个小区分别位于扇形OAB 的三个顶点上，Q 是弧AB 的中点，现欲在线段OQ 上找一处开挖工作坑P(不与点O ，Q 重合)，为小区铺设三条地下电缆管线PO ，PA ，PB ，已知OA ＝2千米，∠AOB ＝π3，记∠APQ ＝θ rad ，地下电缆管线的总长度为y 千米．(1) 将y 表示成θ的函数，并写出θ的范围；(2) 请确定工作坑P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左顶点为A ，B 是椭圆C上异于左、右顶点的任意一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设点Q 的横坐标为x 0，求x 0的取值范围．设A ，B 为函数y ＝f(x)图象上相异两点，且点A ，B 的横坐标互为倒数，过点A ，B 分别作函数y ＝f(x)的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f(x)的“优点”．(1) 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，0<x<1，ax 2， x>1不存在“优点”，求实数a 的值；(2) 求函数f(x)＝x 2的“优点”的横坐标的取值范围；(3) 求证：函数f(x)＝ln x 的“优点”一定落在第一象限．已知首项不为0的数列{a n}的前n项和为S n，2a1＋a2＝a3，且对任意的n∈N，n≥2都有2nS n＋1－(2n＋5)S n＋S n－1＝ra1.(1) 若a2＝3a1，求r的值；(2) 数列{a n}能否是等比数列？说明理由；(3) 当r＝1时，求证：数列{a n}是等差数列．2019届高三年级第一次模拟考试数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－t ，y ＝12＋t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)设正数a ，b ，c 满足3a ＋2b ＋c ＝1，求1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c 的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，AA 1＝3，AB ＝1. (1) 求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值；(2) 求平面A 1BC 与平面AC 1D 所成二面角的正弦值．23. (本小题满分10分)已知函数f(x)＝1－|2x －1|，0≤x ≤1，设f n (x)＝f n －1(f 1(x))，其中f 1(x)＝f(x)，方程f n (x)＝0和方程f n (x)＝1根的个数分别为g n (0)，g n (1)． (1) 求g 2(1)的值；(2) 证明：g n (0)＝g n (1)＋1.2019届高三年级第一次模拟考试(七)(泰州)数学参考答案 1. π 2. ±4 3. 5 4. [－1，1] 5. 516. 87. 48.9. 4110. (－1，＋∞) 11. 2 12. －43 13. [－1，0) 14. 10515. (1) 因为a ∥b ，所以sin x cos x ＝21，即sin 2x ＝1. 因为x ∈(0，π)，所以x ＝4π. (2) 因为tan x ＝cos x sin x＝－2，所以sin x ＝－2cos x . 因为a ＋b ＝，1＋cos x 1，所以|a ＋b |＝＋（1＋cos x ）21＝＋sin x ＋2cos x 9＝23.16. (1) O 为BD 的中点，F 为PD 的中点，所以PB ∥FO.因为PB ⊄平面OEF ，FO ⊂平面OEF ，所以PB ∥平面OEF.(2) 连结AC ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AC 与BD 交于点O ，O 为AC 的中点．因为E 为PC 的中点，所以PA ∥OE.因为PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，AB ∩AD ＝A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD. 因为OE ⊂平面OEF ，所以平面OEF ⊥平面ABCD.17. (1) 因为Q 为弧AB 的中点，由对称性，知PA ＝PB ，∠AOP ＝∠BOP ＝6π，又∠APO ＝π－θ，∠OAP ＝θ－6π，由正弦定理，得6π＝sin （π－θ）OA ＝6π，又OA ＝2，所以PA ＝sin θ1，OP ＝6，所以y ＝PA ＋PB ＋OP ＝2PA ＋OP ＝6＝sin θ3sin θ－cos θ＋2，因为∠APQ ＞∠AOP ，所以θ>6π，∠OAQ ＝∠OQA ＝21(π－6π)＝125π，所以θ∈125π.(2) 令f(θ)＝sin θ3sin θ－cos θ＋2，θ∈125π， f′(θ)＝sin2θ1－2cos θ＝0，得θ＝3π，f(θ)在区间3π上单调递减，在区间(3π，125π)上单调递增，所以当θ＝3π，即OP ＝33千米时，f(θ)有唯一的极小值，即是最小值，则f(θ)min ＝2. 答：当工作坑P 与O 的距离为33千米时，地下电缆管线的总长度最小．18. (1) 依题意，得＝6，a2解得c ＝1，a ＝2，所以b ＝＝，所以椭圆C 的方程为4x2＋3y2＝1.(2) 由(1)知，A(－2，0)，设AB ：x ＝my －2，m ≠0，联立3x2＋4y2＝12，x ＝my －2，解得3m2＋412m 或y ＝0，x ＝－2，即B(3m2＋46m2－8，3m2＋412m )，则P(3m2＋4－8，3m2＋46m)，所以k OP ＝－43m ，OP ：y ＝－43mx.因为AB ⊥BQ ，所以k BQ ＝－m ，所以直线BQ 的方程为BQ ：y ＝－mx ＋3m2＋46m3＋4m，联立，6m3＋4m 得x 0＝3m2＋48（3m2＋2）＝8－3m2＋416∈(4，8)．19. (1) 由题意可知，f′(x)＝f′x 1对x ∈(0，1)∪(1，＋∞)恒成立，不妨取x ∈(0，1)，则f′(x)＝x 1＝x 2a ＝f′x 1恒成立，即a ＝21，经验证，a ＝21符合题意．(2) 设A(t ，t 2)，Bt21(t ≠0且t ≠±1)，因为f′(x)＝2x ，所以A ，B 两点处的切线方程分别为y ＝2tx －t 2，y ＝t 2x －t21，令2tx －t 2＝t 2x －t21，解得x ＝21t 1∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以“优点”的横坐标取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(3) 设A(t ，ln t)，b ，－ln t 1，t ∈(0，1)，因为f′(x)＝x 1，所以A ，B 两点处的切线方程分别为y ＝t 1x ＋ln t －1，y ＝tx －ln t －1，令t 1x ＋ln t －1＝tx －ln t －1，解得x ＝t 1>0，所以y ＝t 1·t 1＋ln t －1＝t2－1t2＋1(ln t －t2＋1t2－1)，设h(m)＝ln m －m2＋1m2－1，m ∈(0，1)，则h′(m)＝m （m2＋1）2（m2－1）2>0，所以h(m)单调递增，所以h(m)<h(1)＝0，即ln t －t2＋1t2－1<0.因为t2－1t2＋1<0，所以y ＝t 1·t 1＋ln t －1>0，所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数，在第一象限．20. (1)令n ＝2，得4S 3－9S 2＋S 1＝ra 1，即4(a 3＋a 2＋a 1)－9(a 2＋a 1)＋a 1＝ra 1，化简，得4a 3－5a 2－4a 1＝ra 1.因为2a 1＋a 2＝a 3，a 2＝3a 1，所以4×5a 1－5×3a 1－4a 1＝ra 1，解得r ＝1.(2) 假设数列{a n }是等比数列，公比为q ，则由2a 1＋a 2＝a 3得2a 1＋a 1q ＝a 1q 2，且a 1≠0，解得q ＝2或q ＝－1，由2nS n ＋1－(2n ＋5)S n ＋S n －1＝ra 1，得4S n ＝2na n ＋1－a n －ra 1(n ≥2)，所以4S n －1＝2(n －1)a n －a n －1－ra 1(n ≥3)，两式相减，整理得2na n ＋1＋a n －1＝(2n ＋3)a n ，两边同除以a n －1，可得2n(q 2－q)＝3q －1.因为q ＝2或－1，所以q 2－q ≠0，所以上式不可能对任意n ≥3恒成立，故数列{a n }不可能是等比数列．(3) r ＝1时，令n ＝2，整理得－4a 1－5a 2＋4a 3＝a 1，又由2a 1＋a 2＝a 3可知a 2＝3a 1，a 3＝5a 1，令n ＝3，可得6S 4－11S 3＋S 2＝a 1，解得a 4＝7a 1，由(2)可知4S n ＝2na n ＋1－a n －a 1(n ≥2)，所以4S n －1＝2(n －1)a n －a n －1－a 1(n ≥3)，两式相减，整理得2na n ＋1＋a n －1＝(2n ＋3)a n (n ≥3)，所以2(n －1)a n ＋a n －2＝(2n ＋1)a n －1(n ≥4)，两式相减，可得2n[(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)]＝(a n －a n －1)－(a n －1－a n －2)(n ≥4)．因为(a 4－a 3)－(a 3－a 2)＝0，所以(a n －a n －1)－(a n －1－a n －2)＝0(n ≥4)，即a n －a n －1＝a n －1－a n －2(n ≥4)，又因为a 3－a 2＝a 2－a 1＝2a 1，所以数列{a n }是以a 1为首项，2a 1为公差的等差数列．21. A. 将λ＝－2代入2＝λ2－(x －1)λ－(x ＋5)＝0，得x ＝3，B. 由题意得曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.将直线l 的参数方程＋t 1代入(x ＋1)2＋y 2＝4得－t ＋11＋＋t 1＝4，即4t 2－4t －3＝0，解得t 1＝－2，t 2＝2，则AB ＝|t 1－t 2|＝23＝2.C. 因为3a ＋2b ＋c ＝1，所以a 1＋a ＋b 1＋b ＋c 1＝(2a ＋a ＋b ＋b ＋c )·b ＋c 1≥(×a 1＋×a ＋b 1＋×b ＋c 1)2＝(＋1＋1)2＝6＋4，当且仅当a ＝a ＋b ＝b ＋c 时，等号成立，所以a 1＋a ＋b 1＋b ＋c 1的最小值为6＋4.22. (1) 以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则A 1(0，0，3)，B(1，0，0)，C 1(1，1，3)，所以→BA1＝(－1，0，3)，→AC1＝(1，1，3)，所以cos 〈→BA1，→AC1〉＝11－1＋9＝55110.(2) 由题意得C(1，1，0)，D(0，1，0)，所以→A1B ＝(1，0，－3)，→A1C ＝(1，1，－3)，→AC1＝(1，1，3)，→AD ＝(0，1，0)，设平面A 1BC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则·n1＝0，A1C 即x1＋y1－3z1＝0，x1－3z1＝0，令z 1＝1，则n 1＝(3，0，1)．设平面AC 1D 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则·n2＝0，AD 即y2＝0，x2＋y2＋3z2＝0，令z 2＝1，则n 2＝(－3，0，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝|n1||n2|n1·n2＝10－9＋1＝－54，所以平面A 1BC 与平面AC 1D 所成二面角的正弦值为53.23. (1) 当n ＝2时，f 2(x)＝f 1(1－|2x －1|)＝f(1－|2x －1|)＝1－|2(1－|2x －1|)－1|＝1，所以2(1－|2x －1|)＝1，所以1－|2x －1|＝21，所以2x －1＝±21，所以x ＝4或x ＝4，所以g 2(1)＝2.(2) 因为f(0)＝f(1)＝0，所以f n (0)＝f n (1)＝0.因为f 1(x)＝1－|2x －1|∈[0，1]，当x ∈21时，f 1(x)单调递增，且f 1(x)∈(0，1]，当x ∈，11时，f 1(x)单调递减，且f 1(x)∈[0，1)．下面用数学归纳法证明：方程f n (x)＝0(x ∈(0，1])、方程f n (x)＝1(x ∈(0，1])、方程f n (x)＝0(x ∈[0，1))、方程f n (x)＝1(x ∈[0，1))的根的个数都相等，且为g n (1)．(ⅰ) 当n ＝1时，方程f 1(x)＝0(x ∈(0，1])、方程f 1(x)＝1(x ∈(0，1])、方程f 1(x)＝0(x ∈[0，1))、方程f 1(x)＝1(x ∈[0，1))的根的个数都相等，且为1，上述命题成立．(ⅱ) 假设n ＝k 时，方程f k (x)＝0(x ∈(0，1])、方程f k (x)＝1(x ∈(0，1])、方程f k (x)＝0(x ∈[0，1))、方程f k (x)＝1(x ∈[0，1))的根的个数都相等，且为g k (1)，则当n ＝k ＋1时，有f k ＋1(x)＝f k (f 1(x))．当x ∈21时，f 1(x)∈(0，1]，方程f k ＋1(x)＝0的根的个数为g k (1)．当x ∈，11时，f 1(x)∈[0，1)，方程f k ＋1(x)＝0的根的个数也为g k (1)．所以方程f k ＋1(x)＝0(x ∈(0，1])的根的个数为g k ＋1(0)＝2g k (1)，同理可证：方程f k ＋1(x)＝1(x ∈(0，1])、方程f k ＋1(x)＝0(x ∈[0，1))、方程f k ＋1(x)＝1(x ∈[0，1))的根的个数都相等，且为2g k (1)，由(ⅰ)(ⅱ)可知，命题成立，又因为f n (0)＝f n (1)＝0，所以g n (0)＝g n (1)＋1.。

江苏省南通市、泰州市2019-2020学年高三上学期第一次调研考试数学试卷附加题学生版

2020届江苏省南通市、泰州市高三上学期第一次调研考试数学(理)试题(wod版)

2019-2020南通、泰州高三第一次调研试卷数学理科一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1.已知集合{1,0,2}A =-，{1,1,2}B =-，则A B =I _____. 答案：{1,2}-2.已知复数z 满足(1)2i z i +=，其中i 是虚数单位，则z 的模为_______. 答案：23.某校高三数学组有5名党员教师,他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35,35,41,38,51,则这5名党员教师学习积分的平均值为______. 答案：404.根据如图所示的伪代码，输出的a 的值为______. 答案：115.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1a d的值为____. 答案：16.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为___. 答案：387.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，则三棱锥111A BB C -的体积为____. 答案：238.已知函数()sin()3f x x πω=-(0)ω>，若当6x π=时，函数()f x 取得最大值，则ω的最小值为_____. 答案：59.已知函数2()(2)(8)f x m x m x =-+-()m R ∈是奇函数，若对于任意的x R ∈，关于x 的不等式2(+1)()f x f a<恒成立，则实数a的取值范围是____.答案：1a<10.在平面直角坐标系xOy中,已知点,A B分别在双曲线22:1C x y-=的两条渐近线上,且双曲线C经过线段AB的中点，若点A的横坐标为2，则点B的横坐标为_____.答案：1211.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如.地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg 4.8 1.5E M=+.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震,它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的____倍.答案：100012.已知ABC∆的面积为3，且AB AC=，若2CD DA=u u u r u u u r，则BD的最小值为_____.13.在平面直角坐标系xOy中，已知圆221:8C x y+=与圆222:20C x y x y a+++-=相交于,A B两点，若圆1C上存在点P，使得ABP∆为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为____.14.已知函数||1|1|,0(),01x xf x xxx--≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，若关于x的方程22()2()10f x af x a++-=有五个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_____.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC-中，PA⊥平面ABC，PC AB⊥，,D E分别为,BC AC的中点. 求证：（1）AB∥平面PDE；（2）平面PAB⊥平面PAC.16.（本小题满分14分）在ABC∆中，已知4AC=，3BC=，1 cos4B=-.（1）求sin A的值.（2）求BA BC ⋅u u u r u u u r的值.17.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1x y E a b+=(0)a b >>的焦距为4，两条准线间的距离为8，A ,B 分别为椭圆E 的左、右顶点。