高中数学竞赛讲座 08几何变换
几何变换的性质与应用
几何变换的性质与应用几何变换是数学中一个重要的概念，它描述了平面上的图形在空间中的移动、旋转、翻转和缩放等操作。
几何变换不仅在数学中有着重要的地位，而且在实际生活中也有着广泛的应用。
本文将从几何变换的性质和应用两个方面进行论述，以帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用几何变换。
一、几何变换的性质1. 平移变换平移变换是指将图形沿着某个方向移动一定的距离，而不改变其形状和大小。
平移变换具有以下性质：（1）平移变换保持图形的对称性。
例如，一个正方形经过平移变换后仍然是一个正方形，只是位置发生了改变。
（2）平移变换保持图形的长度、角度和面积不变。
这是因为平移变换只是将图形整体移动，不改变其内部结构。
2. 旋转变换旋转变换是指将图形围绕某个点旋转一定的角度，而不改变其形状和大小。
旋转变换具有以下性质：（1）旋转变换保持图形的对称性。
例如，一个等边三角形经过旋转变换后仍然是一个等边三角形，只是方向发生了改变。
（2）旋转变换保持图形的长度、角度和面积不变。
这是因为旋转变换只是改变了图形的方向，不改变其内部结构。
3. 翻转变换翻转变换是指将图形关于某条直线对称，使得图形的每个点与直线上的对应点距离相等。
翻转变换具有以下性质：（1）翻转变换保持图形的对称性。
例如，一个长方形经过翻转变换后仍然是一个长方形，只是关于直线对称。
（2）翻转变换保持图形的长度、角度和面积不变。
这是因为翻转变换只是改变了图形的方向，不改变其内部结构。
二、几何变换的应用几何变换在实际生活中有着广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 地图导航地图导航是几何变换的典型应用之一。
通过将地图上的道路网络进行平移、旋转和缩放等变换，可以实现实时导航功能。
例如，当我们需要找到某个地点时，导航系统会根据我们的位置和目的地进行几何变换，将最佳路径显示在地图上。
2. 图像处理图像处理中的几何变换可以改变图像的大小、旋转角度和镜像等。
例如，当我们需要将一张图像进行放大或缩小时，就可以利用缩放变换实现。
数学中的几何变换与变形
数学中的几何变换与变形几何学是数学的一个重要分支，它研究空间形状和大小之间的关系。
而在几何学中，几何变换和几何变形是两个重要的概念。
本文将详细介绍数学中的几何变换与变形，并探讨它们在实际应用中的意义。
一、几何变换几何变换是指通过某种规则和方法，改变几何图形的形态、位置或大小。
常见的几何变换包括平移、旋转、镜像和缩放等。
1. 平移平移是指通过固定向量来改变几何图形的位置，使其在平面上或空间中整体移动。
平移不改变图形的形状和大小，只改变了它的位置。
2. 旋转旋转是指围绕某一点或某条轴线，使几何图形按照一定的角度旋转。
旋转可以是顺时针方向或逆时针方向，并且可以是围绕原点旋转或围绕其他点旋转。
3. 镜像镜像是指以一条直线或一个平面作为镜子，使几何图形对称地映射到另一侧。
镜像可以是关于一条直线的对称，也可以是关于一个平面的对称。
4. 缩放缩放是指通过改变几何图形的大小，使其变大或变小。
缩放可以按比例进行，也可以按照给定的倍数进行。
二、几何变形几何变形是指改变几何图形的形状，使其在保持面积或体积不变的前提下，变为另一种形状。
常见的几何变形包括相似变形和全等变形。
1. 相似变形相似变形是指通过等比例放缩、旋转和镜像等操作，使几何图形变为相似形状。
相似变形不改变几何图形的角度，只改变它们的尺寸和位置。
2. 全等变形全等变形是指通过平移、旋转和镜像等操作，使几何图形完全重合。
全等变形保持了几何图形的所有尺寸和角度不变。
三、几何变换与变形在实际应用中的意义几何变换与变形在实际应用中具有广泛的意义和应用价值。
以下是几个例子：1. 图像处理在计算机图形学和图像处理中，几何变换和变形常用于图像的平移、旋转、缩放和变形等操作，以便实现对图像的处理和编辑。
2. 计算机动画在计算机动画制作中，几何变换和变形用于控制和改变动画中物体的形状和位置，实现生动逼真的动画效果。
3. 建筑设计在建筑设计中，几何变换和变形可以帮助设计师快速调整和修改建筑物的形状和结构，提高设计效率和灵活性。
几何变换的基本概念与性质
性质：几何变换的组合具有结 合律和单位元，满足封闭性。
组合方式：顺序组合、嵌套组 合、逆序组合等。
应用：在计算机图形学、机器 人学、物理学等领域中广泛应 用。
几何变换的复合
性质：复合变换具有连续性 和可结合性，满足结合律。
定义：将两个或多个几何变 换按照一定的顺序进行组合， 得到一个新的几何变换。
域有广泛应用
举例：平面镜成 像、反射光线等
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04 几何变换的应用
在图形设计中的应用
几何变换可用于创建各种复杂的几何图形和图案 通过几何变换可以生成对称、旋转、平移等图形效果 在计算机图形学中，几何变换是实现三维模型渲染和动画效果的关键技术之一 几何变换在建筑设计、平面设计、服装设计等领域有着广泛的应用
的角度
错切变换：将图形 沿某一方向倾斜一
定的角度
几何变换的实现方法
矩阵变换：通过定义 变换矩阵，对原始几 何形状进行线性变换
投影变换：通过投影 方式将三维物体转换 为二维图像，常见于
计算机图形学
仿射变换：包括平移、 旋转、缩放等基本操 作，保持形状和大小
不变
组合变换：将多个基 本变换组合起来，实 现更复杂的几何变换
在机器人学中的应用
几何变换可用于描述机器人的运动和姿态 机器人通过几何变换实现精确的定位和导航 机器人通过几何变换实现姿态调整和姿态控制 几何变换在机器人学中具有广泛的应用前景
05 几何变换的组合与复合
几何变换的组合
定义：将两个或多个几何变换 按照一定的顺序组合在一起， 形成一个新的几何变换。
感谢您的观看
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计算方法：通过矩阵乘法或 相应的坐标变换公式进行计
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高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
数学名师叶中豪整理高中数学竞赛平面几何讲义(完整版)
完全四边形与Miquel点
垂足三角形与等角共轭
反演与配极，调和四边形
射影几何
复数法及重心坐标方法
例题和习题
1．四边形ABCD中，AB=BC，DE⊥AB，CD⊥BC，EF⊥BC，且。求证： 2EF=DE+DC。（10081902.gsp）
2．已知相交两圆O和O'交于A、B两点，且O'恰在圆O上，P为圆O的AO'B弧 段上任意一点。∠APB的平分线交圆O'于Q点。求证：PQ2=PA×PB。 （10092401-1. gsp）
（09022301.gsp）
31．已知半圆圆心为O，直径为AB，一直线交半圆于C、D，交AB延长线于 P，设M是△AOC与△BOD外接圆除O点外的另一交点。求证： OM⊥MP。（10091001.gsp）
32．凸四边形ABCD内接于圆O，两组对边所在直线分别交于点E、F，对角 线AC、BD交于G，作GH⊥EF于H，圆O的弦MN经过G点。求证：GH 与圆O交点恰是△HMN的内心。（10092103-2.gsp）
实用标准文档高中平面几何学习要点几何问题的转化ptolemy定理及应用几何变换及相似理论位似及其应用完全四边形与miquel垂足三角形与等角共轭反演与配极调和四边形射影几何复数法及重心坐标方法例题和习题1
高中平面几何
学习要点
几何问题的转化
叶中豪圆幂与根轴Biblioteka P’tolemy定理及应用
几何变换及相似理论
位似及其应用
53．已知：AD是高，O、H是外心和垂心，过D作OD垂线，交AC 于E。求证：∠DHE=∠C。（09022202.gsp）
54．△ABC中，AD为边BC上的中线，E、F、G分别为AB、AC、AD上
几何形的变换
几何形的变换几何形的变换是指通过平移、旋转、翻转和放缩等操作，使得原有的几何形状发生变化。
这些变换可以用来探索几何美学、解决几何问题以及创造出各种奇妙的图案。
一、平移变换平移变换是指将几何形状沿着一个方向移动一定的距离，而形状和大小保持不变。
在平面几何中，平移只有一个参数，即平移向量的大小和方向。
平移变换可以用于构造对称图形，移动点的位置以及改变空间内的物体位置。
例如，我们可以通过平移变换在平面上构造一个正方形。
首先，选择一个点作为正方形的顶点，将这个点平移到正方形的另一个顶点位置，然后将这个新位置的点再次平移，如此重复直到构成正方形的四个顶点。
二、旋转变换旋转变换是指绕一个固定点按照一定的角度将几何形状旋转。
旋转变换可以是顺时针或逆时针方向，可以是一个完整的圆周旋转，也可以是一个部分角度的旋转。
旋转变换常用于制作对称图形、解决几何问题以及在计算机图形学中进行三维模型的旋转操作。
例如，在制作花纹图案时，可以通过旋转一个花朵的形状重复堆叠得到整个图案。
三、翻转变换翻转变换是指将几何形状绕一个固定的线对称翻转，使得形状按照对称轴左右对称。
翻转变换有水平翻转和垂直翻转两种形式。
翻转变换常用于制作对称图形、解决几何问题以及进行三维模型的对称操作。
例如，在制作字母、数字或者其他具有对称特点的图形时，可以通过水平或垂直翻转得到完整的图形。
四、放缩变换放缩变换是指按照一定的比例因子调整几何形状的大小。
放缩变换可以是增大或缩小形状的尺寸，比例因子可以是一个常数或者一个向量。
放缩变换常用于调整图像的大小、制作图形的透视效果以及在几何问题中进行比例关系的推导。
例如，在绘制地图时，可以通过放缩变换将地球的三维形状映射到平面上，从而得到精确的地理信息。
综上所述，几何形的变换是通过平移、旋转、翻转和放缩等操作使得形状发生变化的过程。
这些变换可以应用于各个领域，包括几何美学、几何问题的解决以及计算机图形学等。
通过灵活运用几何形的变换，我们能够创造出丰富多样的图案和形状，带来视觉上的享受和数学上的挑战。
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高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
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平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
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n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
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抽屉原理。
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极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
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注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
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全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
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几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
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图论问题。
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平面凸集、凸包及应用*。
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二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
几何变换的基本概念与性质
几何变换的基本概念与性质几何变换是指在平面或空间中对图形进行变换的操作。
通过对图形的平移、旋转、缩放和对称等操作，可以改变图形的位置、形状和大小。
几何变换在数学、物理和计算机图形学等领域都有广泛应用，具有重要的理论和实际价值。
本文将介绍几何变换的基本概念和性质，以及其在不同领域的应用。
一、平移变换平移变换是指将图形按照指定的方向和距离进行移动的操作。
在平面几何中，平移变换在坐标系中的表示为{(x,y)→(x+a,y+b)}，其中a和b分别表示沿x轴和y轴的平移距离。
平移变换可以保持图形的形状和大小不变，只改变其位置。
例如，将一个矩形图形沿x轴平移10个单位，结果是矩形整体右移10个单位。
平移变换具有以下性质：1. 平移变换不改变图形的形状和大小。
2. 平移变换满足平移合成律，即多次平移变换的结果与一个平移变换等效。
二、旋转变换旋转变换是指将图形按照指定的中心点和角度进行旋转的操作。
在平面几何中，旋转变换在坐标系中的表示为{(x,y)→[x*cosθ-y*sinθ,x*sinθ+y*cosθ]}，其中θ表示旋转的角度。
旋转变换可以改变图形的位置、形状和大小，但保持图形的某些性质不变，如图形的对称性或平行关系。
旋转变换具有以下性质：1. 旋转变换不改变图形的对称性和重心位置。
2. 旋转变换满足旋转合成律，即多次旋转变换的结果与一个旋转变换等效。
3. 在平面几何中，任意图形都可以通过旋转变换得到相似图形。
三、缩放变换缩放变换是指将图形按照指定的比例进行放大或缩小的操作。
在平面几何中，缩放变换在坐标系中的表示为{(x,y)→(kx,ky)}，其中k表示缩放的比例因子。
缩放变换可以改变图形的大小，但保持图形的形状和对称性不变。
缩放变换具有以下性质：1. 缩放变换不改变图形的形状和对称性。
2. 缩放变换满足缩放合成律，即多次缩放变换的结果与一个缩放变换等效。
四、对称变换对称变换是指将图形按照指定的直线对称、点对称或中心对称进行镜像的操作。
高中数学竞赛平面几何讲座非常详细
第一讲 注意添加平行线证题在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1、为了改变角的位置大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.例1 、设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ,A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D .连结DA .在△DBP ＝∠AQC 中,显然∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C . 由BP ＝CQ ,可知△DBP ≌△AQC .有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC .于是,DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP .则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP .所以AB ＝AC .这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅.例2、如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF ＝∠BCE .求证：∠EBA ＝∠ADE . 证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P ,连PE .由AB CD ,易知△PBA ≌△ECD .有PA ＝ED ,PB ＝EC . 显然,四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形.有∠BCE ＝∠BPE ,∠APE ＝∠ADE .由∠BAF ＝∠BCE ,可知∠BAF ＝∠BPE .有P 、B 、A 、E 四点共圆.于是,∠EBA ＝∠APE .所以,∠EBA ＝∠ADE .这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P 、B 、A 、E 四点共圆,紧密联系起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很巧妙.2、欲“送”线段到当处利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.例3、在△ABC 中,BD 、CE 为角平分线,P 为ED 上任意一点.过P 分别作AC 、AB 、BC 的垂线,M 、N 、Q 为垂足.求证：PM ＋PN ＝PQ .证明：如图3,过点P 作AB 的平行线交BD 于F ,过点F 作BC 的 平行线分别交PQ 、AC 于K 、G ,连PG . 由BD 平行∠ABC ,可知点F 到AB 、BC∥＝A D BP QC图1PE D G A B FC图2A N E BQ K G CD M FP 图3两边距离相等.有KQ ＝PN . 显然,PD EP ＝FD EF ＝GDCG,可知PG ∥EC . 由CE 平分∠BCA ,知GP 平分∠FGA .有PK ＝PM .于是,PM ＋PN ＝PK ＋KQ ＝PQ . 这里,通过添加平行线,将PQ “掐开”成两段,证得PM ＝PK ,就有PM ＋PN ＝PQ .证法非常简捷.3 、为了线段比的转化由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的. 例4 设M 1、M 2是△ABC 的BC 边上的点,且BM 1＝CM 2.任作一直线分别交AB 、AC 、AM 1、AM 2于P 、Q 、N 1、N 2.试证：AP AB ＋AQAC＝11AN AM ＋22AN AM .证明：如图4,若PQ ∥BC ,易证结论成立. 若PQ 与BC 不平行, 设PQ 交直线BC 于D .过点A 作PQ 的平行线交直线BC 于E . 由BM 1＝CM 2,可知BE ＋CE ＝M 1E ＋M 2E , 易知AP AB ＝DE BE ,AQ AC ＝DE CE ,11AN AM ＝DE E M 1,22AN AM ＝DE E M 2.则AP AB ＋AQ AC ＝DECEBE +＝DE E M E M 21+＝11AN AM ＋22AN AM .所以,APAB＋AQ AC ＝11AN AM ＋22AN AM .这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE ,于是问题迎刃而解.例5、 AD 是△ABC 的高线,K 为AD 上一点,BK 交AC 于E ,CK 交AB 于F .求证：∠FDA ＝∠EDA .证明：如图5,过点A 作BC 的平行线,分别交直线DE 、DF 、 BE 、CF 于Q 、P 、N 、M .显然,AN BD ＝KA KD ＝AMDC .有BD ·AM ＝DC ·AN . (1)由BD AP ＝FB AF ＝BC AM ,有AP ＝BCAM BD ·. (2) 由DCAQ＝EC AE ＝BC AN ,有AQ ＝BC AN DC ·. (3)对比(1)、(2)、(3)有AP ＝AQ .显然AD 为PQ 的中垂线,故AD 平分∠PDQ .所以,∠FDA ＝∠EDA .这里,原题并未涉及线段比,添加BC 的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使AP 与AQ 的相等关系显现出来.4、为了线段相等的传递AP EDM 2M 1BQN 1N 2图4图5MP A Q NFB DC EK当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去.例6 在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,点M 在AB 边上,点N 在AC 边上,并且∠MDN ＝90°.如果BM 2＋CN 2＝DM 2＋DN 2,求证：AD 2＝41(AB 2＋AC 2). 证明：如图6,过点B 作AC 的平行线交ND 延长线于E .连ME .由BD ＝DC ,可知ED ＝DN .有△BED ≌△CND . 于是,BE ＝NC . 显然,MD 为EN 的中垂线.有 EM ＝MN .由BM 2＋BE 2＝BM 2＋NC 2＝MD 2＋DN 2＝MN 2＝EM 2,可知△BEM 为直角三角形,∠MBE ＝90°.有∠ABC ＋∠ACB ＝∠ABC ＋∠EBC ＝90°.于是,∠BAC ＝90°.所以,AD 2＝221⎪⎭⎫⎝⎛BC ＝41(AB 2＋AC 2).这里,添加AC 的平行线,将BC 的以D 为中点的性质传递给EN ,使解题找到出路. 例7、如图7,AB 为半圆直径,D 为AB 上一点,分别在半圆上取点E 、F ,使EA ＝DA ,FB ＝DB .过D 作AB 的垂线,交半圆于C .求证：CD 平分EF .证明：如图7,分别过点E 、F 作AB 的垂线,G 、H 为垂足,连FA 、EB . 易知DB 2＝FB 2＝AB ·HB ,AD 2＝AE 2＝AG ·AB . 二式相减,得DB 2－AD 2＝AB ·(HB －AG ),或 (DB －AD )·AB ＝AB ·(HB －AG ). 于是,DB －AD ＝HB －AG ,或 DB －HB ＝AD －AG . 就是DH ＝GD .显然,EG ∥CD ∥FH .故CD 平分EF .这里,为证明CD 平分EF ,想到可先证CD 平分GH .为此添加CD 的两条平行线EG 、FH ,从而得到G 、H 两点.证明很精彩.经过一点的若干直线称为一组直线束.一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等.如图8,三直线AB 、AN 、AC 构成一组直线束,DE 是与BC 平行的直线.于是,有BN DM ＝AN AM ＝NC ME ,即 BN DM＝NCME 或ME DM ＝NC BN . 此式表明,DM ＝ME 的充要条件是 BN ＝NC .利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮. 例8 如图9,ABCD 为四边形,两组对边延长后得交点E 、F ,对角线BD ∥EF ,AC 的延长线交EF 于G .求证：EG ＝GF .证明：如图9,过C 作EF 的平行线分别交AE 、AF 于M 、N .由BD ∥EF , 可知MN ∥BD .易知 S △BEF ＝S △DEF .有S △BEC ＝S △ⅡKG － *5ⅡDFC . 可得MC ＝CN . 所以,EG ＝GF .例9 如图10,⊙O 是△ABC 的边BC 外的旁切圆,D 、E 、F 分别为⊙O 与BC 、CA 、AB图6AN CDEB M AGD O HBFC E图7图8A DBN C EM图9ABM EF ND CG的切点.若OD 与EF 相交于K ,求证：AK 平分BC .证明：如图10,过点K 作BC 的行平线分别交直线AB 、AC 于Q 、P 两点,连OP 、OQ 、OE 、OF . 由OD ⊥BC ,可知OK ⊥PQ .由OF ⊥AB ,可知O 、K 、F 、Q 四点共圆,有∠FOQ ＝∠FKQ . 由OE ⊥AC ,可知O 、K 、P 、E 四点共圆.有∠EOP ＝∠EKP .显然,∠FKQ ＝∠EKP ,可知∠FOQ ＝∠EOP .由OF ＝OE,可知Rt △OFQ ≌Rt △OEP . 则OQ ＝OP .于是,OK 为PQ 的中垂线,故 QK ＝KP .所以,AK 平分BC .综上,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平行线,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用.练习题1. 四边形ABCD 中,AB ＝CD ,M 、N 分别为AD 、BC 的中点,延长BA 交直线NM 于E ,延长CD 交直线NM 于F .求证：∠BEN ＝∠CFN . (提示：设P 为AC 的中点,易证PM ＝PN .)2. 设P 为△ABC 边BC 上一点,且PC ＝2PB .已知∠ABC ＝45°,∠APC ＝60°.求∠ACB . (提示：过点C 作PA 的平行线交BA 延长线于点D .易证△ACD ∽△PBA .答：75°)3. 六边形ABCDEF 的各角相等,FA ＝AB ＝BC ,∠EBD ＝60°,S △EBD ＝60cm 2.求六边形ABCDEF 的面积.(提示：设EF 、DC 分别交直线AB 于P 、Q ,过点E 作DC 的平行线交AB 于点M .所求面积与EMQD 面积相等.答：120cm 2)4. AD 为Rt △ABC 的斜边BC 上的高,P 是AD 的中点,连BP 并延长交AC 于E .已知AC :AB ＝k .求AE :EC .(提示：过点A 作BC 的平行线交BE 延长线于点F .设BC ＝1,有AD ＝k ,DC ＝k 2.答：211k) 5. AB 为半圆直径,C 为半圆上一点,CD ⊥AB 于D ,E 为DB 上一点,过D 作CE 的垂线交CB 于F .求证：DE AD ＝FBCF.(提示：过点F 作AB 的平行线交CE 于点H .H 为△CDF 的垂心.)6. 在△ABC 中,∠A :∠B :∠C ＝4:2:1,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .求证：a1＋b 1＝c1.(提示：在BC 上取一点D ,使AD ＝AB .分别过点B 、C 作AD 的平行线交直线CA 、BA 于点E 、F .)7. △ABC 的内切圆分别切BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ,过点F 作BC 的平行线分别交直线DA 、DE 于点H 、G .求证：FH ＝HG.O图10(提示：过点A 作BC 的平行线分别交直线DE 、DF 于点M 、N .)8. AD 为⊙O 的直径,PD 为⊙O 的切线,PCB 为⊙O 的割线,PO 分别交AB 、AC 于点M 、N .求证：OM ＝ON .(提示：过点C 作PM 的平行线分别交AB 、AD 于点E 、F .过O 作BP 的垂线,G 为垂足.AB ∥GF .)第二讲 巧添辅助 妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路. 1、挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化. 1.1 作出三角形的外接圆 例1 如图1,在△ABC 中,AB ＝AC ,D 是底边BC 上一点,E 是线段AD 上一点且∠BED ＝2∠CED ＝∠A .求证：BD ＝2CD .分析：关键是寻求∠BED ＝2∠CED 与结论的联系.容易想到作∠BED 的平分线,但因BE ≠ED ,故不能直接证出BD ＝2CD .若延长AD 交△ABC 的外接圆于F ,则可得EB ＝EF ,从而获取.证明：如图1,延长AD 与△ABC 的外接圆相交于点F ,连结CF 与BF ,则∠BFA ＝∠BCA＝∠ABC ＝∠AFC,即∠BFD ＝∠CFD .故BF :CF ＝BD :DC .又∠BEF ＝∠BAC ,∠BFE ＝∠BCA ,从而∠FBE ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠BFE . 故EB ＝EF . 作∠BEF 的平分线交BF 于G ,则BG ＝GF . 因∠GEF ＝21∠BEF ＝∠CEF ,∠GFE ＝∠CFE ,故△FEG ≌△FEC .从而GF ＝FC . 于是,BF ＝2CF .故BD ＝2CD . 1.2 利用四点共圆例2 凸四边形ABCD 中,∠ABC ＝60°,∠BAD ＝∠BCD ＝90°,AB ＝2,CD ＝1,对角线AC 、BD 交于点O ,如图2.则sin ∠AOB ＝____. 分析：由∠BAD ＝∠BCD ＝90°可知A 、B 、C 、D四点共圆,欲求sin ∠AOB ,联想到托勒密定理,只须求出BC 、AD 即可.解：因∠BAD ＝∠BCD ＝90°,故A 、B 、C 、D 四点共圆.延长BA 、CD 交于P ,则∠ADP ＝∠ABC ＝60°.设AD ＝x ,有AP ＝3x ,DP ＝2x .由割线定理得(2＋3x )3x ＝2x (1＋2x ).解得AD ＝x ＝23－2,BC ＝21BP ＝4－3. 由托勒密定理有 BD ·CA ＝(4－3)(23－2)＋2×1＝103－12.A BGCD FE图1ABCDPO 图2又S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝233. 故sin ∠AOB ＝263615+. 例3 已知：如图3,AB ＝BC ＝CA ＝AD ,AH ⊥CD 于H ,CP ⊥BC ,CP 交AH 于P .求证：△ABC 的面积S ＝43AP ·BD .分析：因S △ABC ＝43BC 2＝43AC ·BC ,只须证AC ·BC ＝AP ·BD ,转化为证△APC ∽△BCD .这由A 、B 、C 、Q 四点共圆易证(Q 为BD 与AH 交点).证明：记BD 与AH 交于点Q ,则由AC ＝AD ,AH ⊥CD 得∠ACQ ＝∠ADQ .又AB ＝AD ,故∠ADQ ＝∠ABQ .从而,∠ABQ ＝∠ACQ .可知A 、B 、C 、Q 四点共圆. ∵∠APC ＝90°＋∠PCH ＝∠BCD ,∠CBQ ＝∠CAQ , ∴△APC ∽△BCD . ∴AC ·BC ＝AP ·BD .于是,S ＝43AC ·BC ＝43AP ·BD . 2 、构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝DB ＝p ,BC ＝q .求对角线AC 的长. 分析：由“AD ＝DC ＝DB ＝p ”可知A 、B 、C 在半径为p 的⊙D 上.利 用圆的性质即可找到AC 与p 、q 的关系. 解：延长CD 交半径为p 的⊙D 于E 点,连结AE .显然A 、B 、C 在⊙D 上.∵AB ∥CD ,∴BC ＝AE .从而,BC ＝AE ＝q .在△ACE 中,∠CAE ＝90°,CE ＝2p ,AE ＝q ,故 AC ＝22AE CE -＝224q p -. 2.2联想直径的性质构造辅助圆例5 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC .若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____.分析：由“∠BAC 为锐角”可知点A 在以定线段BC 为直径的圆外,又点A 在x 轴上侧,从而可确定动点A 的范围,进而确定AD 的取值范围.解：如图5,所给抛物线的顶点为A 0(1,9),对称轴为x ＝1,与x 轴交于两点B (－2,0)、C (4,0).分别以BC 、DA 为直径作⊙D 、⊙E ,则两圆与抛物线均交于两点P (1－22,1)、Q (1＋22,1).可知,点A 在不含端点的抛物线PA 0Q 内时,∠BAC ＜90°.且有A图3BPQDHC A EDCB图4图53＝DP ＝DQ ＜AD ≤DA 0＝9,即AD 的取值范围是3＜AD ≤9. 2.3 联想圆幂定理构造辅助圆例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M ,交AC 于N .求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN .分析：因AB 2－AN 2＝(AB ＋AN )(AB －AN )＝BM ·BN ,而由题设易知AM ＝AN ,联想割线定理,构造辅助圆即可证得结论.证明：如图6, ∵∠2＋∠3＝∠4＋∠5＝90°, 又∠3＝∠4,∠1＝∠5,∴∠1＝∠2.从而,AM ＝AN . 以AM 长为半径作⊙A ,交AB 于F ,交BA 的延长线于E . 则AE ＝AF ＝AN . 由割线定理有BM ·BN ＝BF ·BE ＝(AB ＋AE )(AB －AF )＝(AB ＋AN )(AB －AN )＝AB 2－AN 2,即 AB 2－AN 2＝BM ·BN .例7 如图7,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E ,延长AB 和DC 相交于E ,延长AD 和BC 相交于F ,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q .求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2. 分析：因EP 和FQ 是⊙O 的切线,由结论联想到切割线定理,构造辅助圆使EP 、FQ 向EF 转化.证明：如图7,作△BCE 的外接圆交EF 于G ,连结CG . 因∠FDC ＝∠ABC ＝∠CGE ,故F 、D 、C 、G 四点共圆. 由切割线定理,有EF 2＝(EG ＋GF )·EF ＝EG ·EF ＋GF ·EF ＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EP 2＋FQ 2, 即 EP 2＋FQ 2＝EF 2.2.4 联想托勒密定理构造辅助圆例8 如图8,△ABC 与△A ＇B ＇C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、b ＇、c ＇,且∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.分析：因∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证明. 证明：作△ABC 的外接圆,过C 作CD ∥AB 交圆于D ,连结AD 和BD ,如图9所示.∵∠A ＋∠A ＇＝180°＝∠A ＋∠D , ∠BCD ＝∠B ＝∠B ＇, ∴∠A ＇＝∠D ,∠B ＇＝∠BCD .∴△A ＇B ＇C ＇∽△DCB . 有DC B A ''＝CB C B ''＝DBC A '', 即 DC c '＝aa '＝DB b '. 故DC ＝''a ac ,DB ＝''a ab .E A NCD B FM 12345图6(1)(2)图8ABCA'C'cb a'c'b'A BCDabb c图9又AB ∥DC ,可知BD ＝AC ＝b ,BC ＝AD ＝a .从而,由托勒密定理,得 AD ·BC ＝AB ·DC ＋AC ·BD ,即 a 2＝c ·''a ac ＋b ·''a ab . 故aa ＇＝bb ＇＋cc ＇. 练习题1. 作一个辅助圆证明：△ABC 中,若AD 平分∠A ,则AC AB ＝DCBD. (提示：不妨设AB ≥AC ,作△ADC 的外接圆交AB 于E ,证△ABC ∽△DBE ,从而ACAB＝DE BD ＝DCBD.) 2. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE ＝3a ,BC ＝CD ＝DE ,∠BCD ＝∠CDE ＝180°－2a .求证：∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .(提示：由已知证明∠BCE ＝∠BDE ＝180°－3a ,从而A 、B 、C 、D 、E 共圆,得∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .)3. 在△ABC 中AB ＝BC ,∠ABC ＝20°,在AB 边上取一点M ,使BM ＝AC .求∠AMC 的度数.(提示：以BC 为边在△ABC 外作正△KBC ,连结KM ,证B 、M 、C 共圆,从而∠BCM ＝21∠BKM ＝10°,得∠AMC ＝30°.) 4．如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作CF ⊥AF ,CE ⊥AE .求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2.(提示：分别以BC 和CD 为直径作圆交AC 于点G 、H .则CG ＝AH ,由割线定理可证得结论.)5. 如图11.已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ,直线CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D ,且AC ＝AD ,EC 、ED 分别切两圆于C 、D .求证：AC 2＝AB ·AE .(提示：作△BCD 的外接圆⊙O 3,延长BA 交⊙O 3于F ,证E 在⊙O 3上,得△ACE ≌△ADF ,从而AE ＝AF ,由相交弦定理即得结论.)6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点.求证：AB ·AC ＝AE 2－BE 2.(提示：以BE 为半径作辅助圆⊙E ,交AE 及其延长线于N 、M ,由△ANC ∽△ABM 证AB ·AC ＝AN ·AM .)7. 若正五边形ABCD E 的边长为a ,对角线长为b ,试证：a b －ba＝1. (提示：证b 2＝a 2＋ab ,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)F DAB EC图10图11第三讲 点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。
几何变换的性质
几何变换的性质几何变换是数学中的一个重要概念，描述了在平面或空间中对图形进行变换的过程。
在几何变换中，图形可以通过平移、旋转、缩放、翻转等方式进行转换。
几何变换具有一些独特的性质，下面将介绍其中几个重要的性质。
1. 保形性保形性是指几何变换后两个图形之间的相对位置关系保持不变。
换句话说，保形性保持了图形的形状和大小，但不改变其内部的角度和比例关系。
例如，一个直角三角形通过平移、旋转、缩放等操作进行变换后，仍然保持直角、等边和等比例的关系。
保形性是解决很多几何问题的基础，也是一些几何定理的前提条件之一。
2. 线性性质几何变换具有线性性质，即多个变换的组合等效于单个变换。
换句话说，对于两个几何变换A和B，其组合操作可以表示为AB。
线性性质使得我们可以将多个几何变换简化为一个等效的变换，从而简化了问题的求解过程。
例如，将一个图形先平移再旋转等于将其平移后再进行旋转。
3. 反变换几何变换中的每种变换都存在对应的反变换。
反变换是指将一个图形变回原始状态的变换。
例如，平移的反变换是向相反的方向平移相同的距离。
反变换在几何问题的求解中起到了关键的作用，可以帮助我们确定变换前的状态和性质。
4. 维度不变性几何变换不改变图形的维度。
换句话说，一个二维图形经过几何变换后仍然是二维的，一个三维图形经过几何变换后仍然是三维的。
这个性质对于研究平面和空间中的几何形状及其性质非常重要。
例如，一个平面上的圆经过旋转、缩放等变换后仍然是一个平面上的圆。
5. 可逆性几何变换是可逆的，即可以通过反变换将图形恢复到初始状态。
可逆性是几何变换的重要特性，使得我们可以在变换后还原图形，进行进一步的分析和计算。
例如，通过翻转一个图形，可以再次翻转回来，得到原始图形。
总结起来，几何变换是一种重要的数学工具，具有保形性、线性性质、反变换、维度不变性和可逆性等性质。
这些性质为解决几何问题提供了基础，可以简化问题的求解过程，同时也为我们研究几何形状及其性质提供了便利。
几何变换
几何变换在几何的解题中，当题目给出的条件显得不够或者不明显时，我们可以将图形作一定的变换，这样将有利于发现问题的隐含条件，抓住问题的关键和实质，使问题得以突破，找到满意的解答．图形变换是一种重要的思想方法，它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散的问题的思想，很好地领会这种解题的思想实质，并能准确合理地使用，在解题中会收到奇效，也将有效地提高思维品质．初中图形变换包含平移、翻折和旋转，我们要通过实验、操作、观察和想象的方法掌握运动的本质，在图形的运动中找到不变量，然后解决问题。
几何变换的定义几何变换是建立在集合的变换与映射基础上的。
设T是平面pai的一个变换，F是平面上的一个图形（即平面的一个子集），令F'=T（F）={T（A）|A属于F}那么，图形F'称为图形F在变换T下的像,T是一个几何变换。
基本性质如果平面上一个点A满足T(A)=A,那么A称为T的不动点;如果图形F满足T(F)=F,那么F是T 的不变图形。
如果对于平面上任意两点A,B与其象点T(A),T(B),总有AB=T(A)T(B),那么称T为合同变换如果存在一个常数k，使AB=T(A)T(B)/k,那么称T为相似变换，k为相似系数或相似比保持角的方向不变的相似变换为真正相似变换，角的方向相反的为镜像相似变换。
两图形真正相似也称顺相似或同向相似，镜像相似也称逆相似。
一、翻折变换内容提要：翻折变换是平面到自身的变换，若存在一条直线l，使对于平面上的每一点P及其对应点P′，其连线PP′都被定直线l垂直平分，则称这种变换为翻折变换，定直线l称为对称轴．翻折变换有如下性质：(1)把图形变为与之全等的图形；(2)关于l对称的两点连线被l垂直平分．证题过程中使用翻折变换，可保留原有图形的性质，且使原来分散条件相对集中，以利于问题的解决．二、平移变换内容提要：平移变换是平面到自身的变换，将平面上任一点P变换到P′，使得：(1)射线PP′有给定的方向；(2)线段PP′有给定的长度．则称这种变换为平移变换．在平移变换下，图形变为与之全等的图形，直线变为与之平行的直线．在解几何问题时，常利用平移变换使分散的条件集中在一起，具有更紧凑的位置关系或变换成更简单的基本图形．三、旋转变换内容提要：旋转变换是平面到它自身的变换，使原点O变换到它自身，其他任何点X变到X′，使得：(1)OX′=OX；(2)∠XOX′=θ(定角)．则称这样的变换为旋转变换，O称为旋转中心．旋转变换保持图形全等，但图形方位可能有变化．在几何解题中，旋转的作用是使原有图形的性质得以保持，但改变其位置，使能组合成新的有利论证的图形．【竞赛知识点拨】一、平移变换1．定义设是一条给定的有向线段，T是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X 变到X‘，使得=，则T叫做沿有向线段的平移变换。
几何变换和对称性
几何变换和对称性几何变换是指平面或者空间中的图形，通过旋转、平移、缩放以及翻转等操作而得到的新图形。
几何变换是数学中一个重要的概念，它在几何学、物理学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
一、平移变换平移变换是将图形按照指定的方向和距离进行移动，图形的大小和形状保持不变。
在平面几何中，平移变换可以通过将图形上的每个点同时按照相同的向量平移来实现。
例如，将一个正方形沿着x轴正方向平移3个单位，则每个点的坐标都分别增加3。
二、旋转变换旋转变换是将图形按照指定的中心点和角度进行旋转，图形的大小和结构保持不变。
在平面几何中，旋转变换可以通过将图形上的每个点绕着中心点按照逆时针方向旋转指定角度来实现。
例如，将一个正方形绕着原点逆时针旋转45度，则每个点的新坐标可以通过对原坐标进行矩阵运算得到。
三、缩放变换缩放变换是将图形按照指定的比例因子进行放大或者缩小，图形的形状改变，但是结构保持不变。
在平面几何中，缩放变换可以通过将图形上的每个点的坐标分别乘上指定的比例因子来实现。
例如，将一个正方形按照x方向放大2倍、y方向缩小一半，则每个点的新坐标可以通过对原坐标进行相应的运算得到。
四、翻转变换翻转变换是将图形按照指定的轴线或者中心点进行镜像翻转，图形的结构和形状发生改变。
在平面几何中，翻转变换可以通过将图形上的每个点按照指定线段进行镜像翻转来实现。
例如，将一个正方形以x轴为轴线进行翻转，则每个点的新坐标可以通过对原坐标进行相应的运算得到。
五、对称性的应用对称性在几何变换中起着重要的作用。
对称性是指图形存在某种操作，使得通过该操作得到的新图形与原图形完全相同。
在几何学中，有三种常见的对称性，即点对称、轴对称和中心对称。
点对称是指图形在某一个点上对称，即通过这个点将图形翻转180度后，得到的新图形与原图形完全相同。
例如，一个圆的任意两个点之间都存在着点对称关系。
轴对称是指图形相对于一条直线对称，即通过这条直线将图形翻转180度后，得到的新图形与原图形完全相同。
高中数学竞赛专题讲座---平面几何选讲
平面几何选讲 反演变换基础知识 一. 定义1. 设O 是平面π上的一个定点，k 是一个非零常数．如果平面π的一个变换，使得对于平面π上任意异于O 的点A 与其对应点'A 之间，恒有（1）',,A O A 三点共线；（2）'OA OA k ⋅=，则这个变换称为平面π的一个反演变换，记做(,)I O k ．其中，定点O 称为反演中心，常数k 称为反演幂，点'A 称为点A 的反点．2. 在反演变换(,)I O k 下，如果平面π的图形F 变为图形'F ，则称图形'F 是图形F 关于反演变换(,)I O k 的反形．反演变换的不动点称为自反点，而反演变换的不变图形则称为自反图形．3. 设两条曲线u v 、相交于点A ，l 、m 分别是曲线u v 、在点A 处的切线（如果存在），则l 与m 的交角称为曲线u v 、在点A 处的交角；如果两切线重合，则曲线u v 、在点A 处的交角为0．特别地，如果两圆交于点，那么过点作两圆的切线，则切线的交角称为两圆的交角．当两圆的交角为90时，称为两圆正交；如果直线与圆相交，那么过交点作圆的切线，则切线与直线的交角就是直线与圆的交角．当这个交角为90时，称为直线与圆正交． 二. 定理定理1. 在反演变换下，不共线的两对互反点是共圆的四点．定理2. 在反演变换(,)I O k 下，设A B 、两点（均不同于反演中心O ）的反点分别为''A B 、，则有''B A =''kA B AB OA OB=⋅．定理3. 在反演变换下，过反演中心的直线不变．定理 4. 在反演变换下，不过反演中心的直线的反形是过反演中心的圆；过反演中心的圆的反形是不过反演中心的直线．定理5. 在反演变换下，不过反演中心的圆的反形仍是不过反演中心的圆．定理6. 在反演变换下，两条曲线在交点处的交角大小保持不变，但方向相反．定理7. 如果两圆或一圆一直线相切于反演中心，则其反形是两条平行直线；如果两圆或一圆一直线相切于非反演中心，则其反形（两圆或一圆一直线）相切．定理8.典型例题一. 证明点共线例1. ABC 的内切圆与边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，设L 、M 、N 分别是EF 、FD 、DE 的中点．求证：ABC 的外心、B内心与LMN 的外心三点共线．证明：如图，设ABC 的内心为I ，内切圆半径为r ．以内心I 为反演中心，内切圆为反演圆作反演变换2(,)I I r ，则A 、B 、C 的反点分别为L 、M 、N ，因而ABC 的反形是LMN的外接圆．故ABC 的外心、内心和LMN 的外心三点共线．二. 证明线共点 例2. 四边形ABCD 内接于O ，对角线AC 与BD 相交于P ，设外心分别为1O 、2O 、3O 、4O ．求证：OP 、13O O 、24O O 证明：作反演变换(,)I P PC PA ⋅，则A 、C 互为反点，B 、D 互为反点，O 不变，直线1PO 不变，ABP 的外接圆的反形是直线CD ．由于直线1PO 与ABP 的外接圆正交，因而1PO 与CD正交，即有1PO CD ⊥．又3OO CD ⊥，所以13//PO O O ；同理31//PO O O ，所以四边形13PO OO 为平行四边形，从而13O O 过PO 的中点；同理24O O 也过PO 的中点．故OP 、13O O 、24O O 三线共点． 三. 证明点共圆例3. 设半圆的直径为AB ，圆心为O ，一直线与半圆交于C 、D 两点，且与直线AB 交于M ．再设AOC 与DOB 的外接圆的第二个交点为N ．求证：ON MN ⊥．证明：以O 为反演中心作反演变换2(,)I O r ，其中，r 为半圆的半径，则半圆上的每一点都不变，()AOC 与()DOB 的反形分别为直线AC 、BD ．且设M 、N 的反点分别为'M 、'N ，则'N 为直线AC 与BD 的交点，'M 在直径AB 上，直线MN 的反形为''OM N 的外接圆，直线CD 的反形为CDO的外接圆．而'ON NM ON ⊥⇔是''OM N 外接圆的直径'''M N OM ⇔⊥．于是问题转化为证明'''M N OM ⊥．因为'AD BN ⊥，'BC AN ⊥，O 是AB 的中点，所以过O 、C 、D 三点的圆是'N AB的九点圆，而'M 在九点圆上，又在边AB 上（不同于O 点），故''M N AB ⊥，因此ON MN ⊥．四. 证明一些几何（不）等式O4例 4. 设六个圆都在一定圆内，每一个圆都与定圆外切，并且与相邻的两个小圆外切，若六个小圆与大圆的切点依次为1A 、2A 、3A 、4A 、5A 、6A ．证明：123456234561A A A A A A A A A A A A ⋅⋅=⋅⋅证明：如图以6A 为反演中心作反演变换6(,1)I A ，则O 与6O 的反形为两条平行线，其余5个圆的反形皆是与两条平行线中一条相切的圆；且反形中第一个圆与第五个圆均与两平行线相切，而其余三圆均与相邻的两圆相切．设1A 、2A 、3A 、4A 、5A 的反点分别为'1A 、'2A 、'3A 、'4A 、'5A，则其反形中的五个圆与两平行线中的一条（即O 的反形）依次切于'1A 、'2A 、'3A 、'4A 、'5A ；再设这五个圆的半径依次为1r 、2r 、3r 、4r、5r ，则由勾股定理可得''12A A==同理''23A A =，''34A A =''45A A =15r r =，于是''''''''12342345A A A A A A A A ⋅=⋅．但''12126162A A A A A A A A =⋅，''34346364A A A A A A A A =⋅，''23236263A A A A A A A A =⋅，''45456465A A A A A A A A =⋅．所以1234234561626364626364A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅342345636462636465A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋅=⋅⋅⋅⋅故123456234561A A A A A A A A A A A A ⋅⋅=⋅⋅．练习：1. （2002土耳其数学奥林匹克）两圆外切于点A ，且内切于另一Γ于点B 、C ，另D 是小圆内公切线割Γ的弦的中点，证明：当B 、C 、D 不共线时，A 是BCD 的内切圆圆心．2. （第30届IMO 预选题）双心四边形是指既有内切圆又有外接圆的四边形．证明双心四边形的两个圆心与对角线的交点共线．3. （1997全国高中数学联赛）已知两个半径不等的圆1O 与圆2O 相交于M 、N 两点，圆1O 与圆2O 分别于圆O 内切于S 、T ．求证：OM MN ⊥的充分必要条件是S 、N 、T 三点共线．'5A 4A 3A '2A '1A。
基本的几何变换
基本的几何变换几何变换是数学中一个重要的概念，指的是通过平移、旋转、缩放等操作来改变几何图形的形状、大小或位置。
在计算机图形学和计算机视觉领域，几何变换也扮演着至关重要的角色。
本文将介绍几个基本的几何变换，包括平移、旋转、缩放和镜像。
1. 平移在几何变换中，平移是指通过将图形沿着指定的方向移动一定的距离来改变图形的位置。
平移操作可以用以下公式表示：x' = x + dxy' = y + dy其中(x, y)是原始图形上的坐标，(x', y')是平移后的坐标，dx和dy 分别是在x和y方向上的平移量。
2. 旋转旋转是指通过围绕一个指定的点或轴旋转图形来改变图形的方向或角度。
旋转操作可以用以下公式表示：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中(x, y)是原始图形上的坐标，(x', y')是旋转后的坐标，θ表示旋转的角度。
3. 缩放缩放是指通过改变图形的尺寸来改变图形的大小。
缩放操作可以用以下公式表示：x' = x * scaleXy' = y * scaleY其中(x, y)是原始图形上的坐标，(x', y')是缩放后的坐标，scaleX和scaleY分别表示在x和y方向上的缩放比例。
4. 镜像镜像是指通过将图形沿着一个轴对称折叠来改变图形的位置或方向。
镜像操作可以用以下公式表示：x' = -xy' = -y其中(x, y)是原始图形上的坐标，(x', y')是镜像后的坐标。
这些基本的几何变换可以单独应用于图形，也可以组合在一起以实现更复杂的效果。
通过灵活组合这些变换操作，我们可以实现各种各样的几何变换，用于图像处理、游戏开发、计算机辅助设计等领域。
总结几何变换是一种重要的数学概念，可以通过平移、旋转、缩放和镜像等操作来改变几何图形的形状、大小和位置。
高中数学解析几何与几何变换
高中数学解析几何与几何变换高中数学是学生们在数学学科中的一个重要环节，解析几何与几何变换作为数学的一个分支，是高中数学复习中的重点内容之一。
本文将从解析几何的基本概念、几何变换的类型以及解析几何与几何变换的应用等方面进行详细介绍。
一、解析几何的基本概念解析几何是通过运用代数的方法研究几何问题的一门学科。
它将几何问题转化为代数问题，利用坐标系进行分析与研究。
在解析几何中，平面直角坐标系和空间直角坐标系是常用的坐标系，它们分别对应二维和三维空间。
1. 平面直角坐标系平面直角坐标系由两条互相垂直的坐标轴构成，用来描述平面内的点的位置。
其中，水平的坐标轴称为x轴，垂直的坐标轴称为y轴。
一个平面点的位置可以由它在x轴和y轴上的坐标确定。
2. 空间直角坐标系空间直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴构成，用来描述空间中物体的位置。
其中，水平的坐标轴称为x轴，垂直的坐标轴称为y轴，垂直于平面的坐标轴称为z轴。
一个空间点的位置可以由它在x轴、y轴和z轴上的坐标确定。
二、几何变换的类型几何变换是指在平面或空间中，根据一定的规则对图形或物体进行变换的方法。
常见的几何变换包括平移、旋转、对称和放缩等。
1. 平移平移是指保持图形形状不变，仅仅改变图形位置的变换。
在平面中，平移可以沿着x轴平移、沿着y轴平移或者沿着任意方向平移。
在空间中，同样可以沿着坐标轴进行平移变换。
2. 旋转旋转是指以一个固定的点为中心，围绕这个点旋转一定角度，保持图形形状和大小不变的变换。
在平面直角坐标系中，旋转可以沿着原点旋转或者沿着其他点进行旋转。
在空间直角坐标系中，同样可以围绕某一点进行旋转。
3. 对称对称是指图形通过某一直线、平面或点作为轴进行镜像变换的方法。
常见的对称包括关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称等。
在空间中，对称也可以围绕平面进行。
4. 放缩放缩是指通过改变图形的大小而不改变形状的变换方法。
放缩可以放大或缩小图形，放缩的比例可以是实数。
高中数学几何变换与坐标系知识点总结
高中数学几何变换与坐标系知识点总结高中数学中，几何变换与坐标系是重要的内容之一。
几何变换包括平移、旋转、对称和放缩，而坐标系则是表示和描述几何图形位置的数学工具。
本文将对这些知识点进行总结，以帮助学生更好地理解和应用。
一、平移变换平移变换是将几何图形按照一个方向移动一定距离，而图形的形状和大小不发生改变。
在平面几何中，平移变换可以用向量表示。
假设向量AB表示平移的方向和距离，对于平面上的点P(x, y)，它的平移后的位置P'(x', y')可以表示为：P' = P + AB = (x + a, y + b)其中，(a, b)是向量AB的坐标。
二、旋转变换旋转变换是将几何图形围绕一个中心点按照一定角度旋转，使得图形的形状和大小保持不变。
在平面几何中，旋转变换可以利用坐标公式进行计算。
假设点P(x, y)绕点O旋转θ角度后的位置为P'(x', y')，则有：x' = (x - h)cosθ - (y - k)sinθ + hy' = (x - h)sinθ + (y - k)cosθ + k其中，(h, k)是旋转中心的坐标。
三、对称变换对称变换是将几何图形围绕一个轴线进行对称，使得图形的形状和大小保持不变。
在平面几何中，对称变换可以利用坐标公式进行计算。
如果轴线是x轴，点P(x, y)关于x轴的对称点为P'(x, -y)；如果轴线是y轴，点P(x, y)关于y轴的对称点为P'(-x, y)；如果轴线是斜线y = x，点P(x, y)关于y = x的对称点为P'(y, x)。
四、放缩变换放缩变换是通过改变几何图形的大小，使其形状和位置保持不变。
在平面几何中，放缩变换可以通过坐标公式进行计算。
假设点P(x, y)进行放缩变换后的位置为P'(x', y')，则有：x' = kxy' = ky其中，k是放缩的比例因子。
高中数学中的几何变换总结
高中数学中的几何变换总结几何变换是我们在高中数学学习中经常遇到的一个重要概念。
它通过对几何图形进行平移、旋转、镜像和对称等操作，来产生新的图形。
几何变换不仅仅是数学的一部分，还有着广泛的应用，如计算机图形学、物理学等领域。
本文将对高中数学中的几何变换进行总结。
一、平移平移是一种基础的几何变换，它通过保持图形的大小和形状，将图形在平面上沿着某个方向移动一定距离。
平移可以用向量表达，设向量v表示平移的位移，对于平面上任意点P(x,y)，通过平移得到的新点P'(x',y')满足以下关系式：P' = P + v其中，x' = x + v₁，y' = y + v₂，v₁和v₂分别表示向量v的横纵分量。
平移还有一些性质，比如平移不改变图形的面积、长度和角度等。
二、旋转旋转是指将图形围绕一个旋转中心按一定的角度旋转。
旋转可以用两种方式进行描述：顺时针旋转和逆时针旋转。
对于平面上的点P(x,y)，绕旋转中心O旋转θ度之后得到的新点P'坐标为：x' = (x - Ox)cosθ - (y - Oy)sinθ + Oxy' = (x - Ox)sinθ + (y - Oy)cosθ + Oy其中，Ox和Oy是旋转中心的横纵坐标。
旋转也有一些性质，比如旋转不改变图形的面积、长度比例和角度等。
三、镜像镜像是指将图形通过一条直线对称成对称的两部分，这条直线称为镜像轴。
设点P(x,y)在镜像轴L上的对称点为P'，则有以下关系式：x' = xy' = -y镜像轴可以是水平轴、垂直轴，也可以是倾斜轴。
镜像也有一些性质，比如镜像不改变图形的面积、长度和角度等。
四、对称对称是指图形在某个点、直线或平面上镜像后与原来的图形完全相同。
对称有三种类型：点对称、线对称和面对称。
1. 点对称：图形绕一个点进行对称，相当于旋转180度。
2. 线对称：图形绕一条直线进行对称，可以是水平的、垂直的或者倾斜的直线。
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竞赛专题讲座08
－几何变换
【竞赛知识点拨】
一、平移变换
1．定义设是一条给定的有向线段，T是平面上的一个变换，它把平面图形F 上任一点X变到X‘，使得=，则T叫做沿有向线段的平移变换。
记为X X’，图形F F‘ 。
2．主要性质在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。
两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。
二、轴对称变换
1．定义设l是一条给定的直线，S是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X’，使得X与X‘关于直线l对称，则S叫做以l为对称轴的轴对称变
换。
记为X X’，图形F F‘ 。
2．主要性质在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。
三、旋转变换
1．定义设α是一个定角，O是一个定点，R是平面上的一个变换，它把点O 仍变到O（不动点），而把平面图形F上任一点X变到X’，使得OX‘=OX，且
∠XOX’=α，则R叫做绕中心O，旋转角为α的旋转变换。
记为X X‘，
图形F F’ 。
其中α<0时，表示∠XOX‘的始边OX到终边OX’的旋转方向为顺时针方向；α>0时，为逆时针方向。
2．主要性质在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。
四、位似变换
1．定义设O是一个定点，H是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X
变到X‘，使得=k·，则H叫
做以O为位似中心，k为位似比的位似
变换。
记为X X’，图形
F F‘ 。
其中k>0时，X’在射线OX上，此时的位似变换叫做外位似；k<0时, X‘在射线OX 的反向延长线上，此时的位似变换叫做内位似。
2．主要性质在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心。
【竞赛例题剖析】
【例1】P是平行四边形ABCD内一点，且∠PAB=∠PCB。
求证：∠PBA=∠PDA。
【分析】作变换△ABP△DCP’，
则△ABP≌△DCP‘，∠1=∠5，∠3=∠6。
由PP’AD BC，ADPP‘、PP’CB都是平行四边形，知∠2=∠8，∠4=∠7。
由已知∠1=∠2，得∠5=∠8。
∴P、D、P‘、C四点共圆。
故∠6=∠7，即∠3=∠4。
【例2】“风平三角形”中，AA’=BB‘=CC’=2，∠AOB‘=∠BOC’=60°。
求证：Ｓ△AOB‘+Ｓ△BOC’+Ｓ
△COA‘<。
【分析】作变换△A’OC△AQR‘，△BOC’△B‘PR’‘，则R’、
R‘’重合，记为R。
P、R、Q共线，O、A、Q共线，O、B‘、P共线，△OPQ为等边三角形。
∴Ｓ△AOB’+Ｓ△BOC‘+Ｓ△COA’<Ｓ△OPQ=
【例3】在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边形。
【分析】取AC、BD的中点E、F，令AC A‘C’，则A‘BC’D是一个符合条件的平行四边形。
延长AF、CC‘交于G。
∵E是AC的中点且EF∥CC’，FC‘∥EC，∴F、C’分别为AG、CG的中点。
∴AD+BC=BG+BC≥2BC‘=A’D+BC‘。
同理可得AB+DC≥A’B+DC‘。
故当四边形为平行四边形时，周长最小。
【评注】当已知条件分散，尤其是相等的条件分散，而又不容易找出证明途径，或题目中有平行条件时，将图形的某一部分施行平移变换，常常十分凑效。
【例4】P是⊙O的弦AB 的中点，过P点引⊙O的两弦CD、EF，连结DE交AB于M，连结CF交AB于N。
求证：MP=NP。
（蝴蝶定理）
【分析】设GH为过P的直径，F F’F，显然‘∈⊙O。
又P∈GH，∴PF’=PF。
∵PF PF‘，PA PB，∴∠FPN=∠F’PM，PF=PF‘。
又FF’⊥GH，AN⊥GH，∴FF‘∥AB。
∴∠F’PM+∠MDF‘=∠FPN+∠EDF’
=∠EFF‘+∠EDF’=180°，∴P、M、D、F‘四点共圆。
∴∠PF’M=∠PDE=∠PFN。
∴△PFN≌△PF‘M，PN=PM。
【评注】一般结论为：已知半径为R的⊙O内一弦AB上的一点P，过P作两条相交弦CD、EF，连CF、ED交AB于M、N，已知OP=r，P到AB中点的距离为a，则。
（解析法证明：利用二次曲线系知识）
【例5】⊙O是给定锐角∠ACB内一个定圆，试在⊙O及射线CA、CB上各求一点P、Q、R，使得△PQR的周长为最小。
【分析】在圆O上任取一点P0，令P0P1，P0P2，连结P1P2分别交CA、CB于Q1、R1。
显然△P0Q1R1是在取定P0的情况下周长最小的三角形。
设P0P1交CA于E，P0P2交CB于F，则P0Q1 +Q1R1 +R1P0= P1P2=2EF。
∵E、C、F、P0四点共圆，CP0是该圆直径，由正弦定理，EF=CP0sin∠ECF。
∴当CP0取最小值时，EF为最小，从而△P0Q1R1的周长为最小，于是有作法：
连结OC，交圆周于P，令P P1，P P2，连结P1P2分别交CA、CB于Q、R。
则P、Q、R为所求。
【例6】
△ABC中，∠A≥90°，AD⊥BC于D，△PQR是它的任一内接三角形。
求证：
PQ+QR+RP>2AD。
【分析】设P P’，P P‘’。
则RP=RP‘，PQ=P’‘Q，
AP=AP’=AP‘’。
∴PQ+QR+RP= P‘’Q+QR+RP‘。
又∠A≥90°，∴∠P’AP+∠P‘’AP=2∠A≥180°，A点在线段P‘P’‘上或在凸四边形P’RQP‘’的内部。
∴P‘’Q+QR+RP‘>AP’+AP‘’=2AP>2AD。
∴PQ+QR+RP>2AD。
【评注】如果题设中有角平分线、垂线，或图形是等腰三角形、圆等轴对称图形，可以将图形或其部分进行轴对称变换。
此外，也可以适当选择对称轴将一些线段的位置变更，以便于比较它们之间的大小。
【例7】以△ABC的边AB、AC 为斜边分别向外作等腰直角三角形APB、AQC，M是BC的中点。
求证：MP=MQ，MP⊥MQ。
【分析】延长BP到E，使PE=BP，延长CQ到F，使QF=CQ，则△BAE、△CAF都是等腰三角形。
显然：E B，C F，∴EC=BF，EC⊥BF。
而PM EC，MQ BF，∴MP=MQ，MP⊥MQ。
【例8】已知O是
△ABC内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°；P是△ABC内任一点，求证：
PA+PB+PC≥OA+OB+OC。
（O为费马点）
【分析】将C C‘，O O’， P P‘，连结OO’、PP‘。
则△B OO’、△B PP‘都是正三角形。
∴OO’=OB，PP‘ =PB。
显然△BO’C‘≌△BOC，△BP’C‘≌△BPC。
由于∠BO’C‘=∠BOC=120°=180°-∠BO’O，∴A、O、O‘、C’四点共线。
∴AP+PP‘+P’C‘≥AC’=AO+OO‘+O’C‘，即PA+PB+PC≥OA+OB+OC。
【例9】⊙O与△ABC的三边BC、CA、AB分别交于点A1、A2、B1、B2、C1、C2，过上述六点分别作所在边的垂线a1、a2、b1、b2、，设a1、b2、c1三线相交于一点D。
求证：a2、b1、c2三线也相交于一点。
【分析】∵a1、a2关于圆心O成中心对称，
∴a1a2。
同理，b1b2，c1c2。
∴a1、b2、c1的公共点D在变换R（O，180°）下的像D’也是像a2、b1、c2的公共点，即a2、b1、c2三线也相交于一点。
【例10】AD是△ABC的外接圆O的直径，过D作⊙O的切线交BC于P，连结并延长PO分别交AB、AC于M、N。
求证：OM=ON。
【分析】设O O‘，N N’，而M B，
∵M、O、N三点共线，∴B、O‘、N’三点共线，且。
取BC中点G，连结OG、O‘G、DG、DB。
∵∠OGP=∠ODP=90°，∴P、D、G、O四点共圆。
∴∠ODG=∠OPG，而由MN∥BN’有∠OPG=∠O‘BG，
∴∠ODG=∠O’BG，∴O‘、B、D、G四点共圆。
∴∠O’GB=∠O‘DB。
而∠O’DB=∠ACB，∴∠O‘GB=∠AC B，O’G∥AC，而G是BC的中点，∴O‘是BN’的中点，O‘B= O’ N‘，
∴OM=ON。