2019数学中考第一轮复习课件第23讲_矩形、菱形、正方形
2020届中考数学总复习课件：第23课时 矩形、菱形、正方形
3．[2019·眉山]如图 23－1，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点 O 作 EF⊥AC 交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，则 DE 的长是( B )
图 23－1
A．1
B.74
C．2
D.1பைடு நூலகம்2
【解析】 如答图，连结 CE.∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝6， AD＝BC＝8，OA＝OC，∵EF⊥AC，∴AE＝CE，设 DE＝x，则 CE＝AE＝8－x，在 Rt△CDE 中，由勾股定理，得 x2＋62＝(8－x)2，解得 x＝74，即 DE＝74.
第五单元 四边形
第23课时 矩形、菱形、正方形
一、选择题(每题 3 分，共 15 分)
1．[2019·十堰]矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( C )
A 对边相等
B．对角相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
2．[2019·泸州]一个菱形的边长为 6，面积为 28，则该菱形的两条对角线的长度之和为
图 23－9
解：(1)证明：在矩形 EFGH 中，EH＝FG，EH∥FG， ∴∠GFH＝∠EHF. ∵∠BFG＝180°－∠GFH，∠DHE＝180°－∠EHF， ∴∠BFG＝∠DHE. 在菱形 ABCD 中，AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH. ∴△BGF≌△DEH(AAS)，∴BG＝DE；
第12题答图
【解析】 ∵阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比为 2∶3，∴S 阴影＝23×9＝6， ∴S 空白＝9－6＝3， ∵CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF，∴△BCE≌△CDF， ∴∠DCF＝∠CBE，∵∠DCF＋∠BCF＝90°， ∴∠CBE＋∠BCF＝90°，∴∠BGC＝90°， ∴S△BCG＝S 四边形 DEGF＝12×3＝32， 设 BG＝a，CG＝b，则12ab＝32，
(广西专用)2019中考数学一轮新优化复习 第一部分 教材同步复习 第五章 四边形 第23讲 矩形、菱形、正方形
20
【解答】∵四边形 ABCD 是正方形， ∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°， ∴∠OAM＝∠OBN＝135°. ∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°， ∴∠AOM＝∠BON. 在△OAM 和△OBN 中，∠OAO＝AMOB＝，∠OBN，
∠AOM＝∠BON， ∴△OAM≌△OBN(ASA)， ∴OM＝ON.
是平行四边形，
• ∴AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，∴∠A＝
90°，
• ∴四边形ABCD是矩形．
11
☞ 方法指导
(1)矩形判定的一般思路平行四边形＋①②一对个角内线角相为等90° 四边形＋有三个内角是直角
(2)应用矩形性质计算的一般思路 ①根据矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直角三角形，可用 勾股定理或解直角三角形求线段的长； ②根据矩形对角线相等且互相平分， 可借助对角线的关系得到全等三角形； ③矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，在矩形性质的相关计算和证 明中要注意这个结论的运用，建立能够得到线段或角度的等量关系．
24
性质 角线都平分④____一__组__对__角____(对角线与边的夹角为 45°)，即
AC⊥BD，AC 平分 BD，BD 平分 AC，AC＝BD，∠DAC＝
∠CAB＝∠DCA＝∠ACB＝45°，∠ADB＝∠BDC＝∠ABD
＝∠DBC＝45°； (4)对称性：既是⑤___中__心_____对称图形又是⑥___轴_____对称
AD＝EA， ∴△ADF≌△EAB(AAS)，∴DF＝AB. (2)解：∵∠ADF＋∠FDC＝90°， ∠DAF＋∠ADF＝90°，∴∠FDC＝∠DAF＝30°， ∴AD＝2DF.∵DF＝AB，∴AD＝2AB＝8.
中考数学复习 第23课时 矩形、菱形、正方形数学课件
例1题图
第二十六页，共五十四页。
证明(zhèngmíng)：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠F， ∵∠F＝45°，∴∠DAE＝45°， ∵AF是∠BAD的平分线， ∴∠EAB＝∠DAE＝45°，∴∠DAB＝90°，又∵四 边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形；
第四十四页，共五十四页。
类型 3 正方形的相关证明与计算
例2 如图，四边形ABCD是正方形，
△EBC是等边三角形．
(1)求证(qiúzhèng)：△ABE≌△DCE；
例2题图
【思维教练】要证△ABE≌△DCE，根据正方形ABCD和等边
△EBC的性质(xìngzhì)推出AB＝CD，∠ABE＝∠DCE，结合全等三角
例1题图
第二十七页，共五十四页。
(2)若AB＝14，DE＝8，求sin∠AEB的值．
第二十八页，共五十四页。
例1题图
解：如解图，过点B作BH⊥AE于点H， ∵四边形ABCD是矩形(jǔxíng)， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠DCB＝∠D＝90°， ∵AB＝14，DE＝8，∴CE＝6， 在Rt△ADE中，∠DAE＝45°， ∴∠DEA＝∠DAE＝45°， ∴AD＝DE＝8，∴BC＝8，
第四十三页，共五十四页。
方法指导
(2)求长度(线段(xiànduàn)或者周长)时，应注意使用等腰三角形的 性质．若菱形中有一个角为60°，则连接另外两点的对角线所分
割的两个三角形为等边三角形，故在计算时，可借助等边三角形 的性质求线段长； (3)求面积时，可利用菱形的两条对角线互相垂直，面积等于对角 线之积的一半求解．
第一部分 夯实 基础 (hānɡ shí) 多
第五单元 四边形 (dānyuán)
北师大版九年级数学中考一轮复习——矩形、菱形、正方形课件
1．（202X·襄阳）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于 AB的一半的长为半径画弧，两弧分别交于C，D两点，连接AC， BC，AD，BD，则四边形ADBC一定是（ ）
A．正方形 B．矩形
C．梯形
D．菱形
2．（19·临沂）如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点， BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形 AMCN是矩形，这个条件是（ ）
【解析】 如答图，连结 DE， ∵S△CDE＝12S 四边形 CEGF，S△CDE＝12S 正方形 ABCD， ∴矩形 ECFG 与正方形 ABCD 的面积相等．
7 [2019·杭州]如图 23－17，把某矩形纸片 ABCD 沿 EF，GH 折叠(点 E，H 在 AD 边上，点 F，G 在 BC 边上)，使点 B 和点 C 落在 AD 边上同一点 P 处，A 点的对 称点为 A′点，D 点的对称点为 D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP 的面积为 4，△D′PH 的面积为 1，则矩形 ABCD 的面积等于_1_0_＋__6___5__．
平行且相等
四个角 都是直角
互相平分且相等
平行 且四边相等
四个角 都是直角
互相垂直平分且相等，每 一条对角线平分一组对角
二、菱形、矩形、正方形的判定方法
四边形
条件
①定义：一组邻边相等的平行四边形 ②对角线互相垂直的平行四边形 ③四条边都相等的四边形 ①定义：有一个角是直角的平行四边形 ②对角线相等的平行四边形 ③三个角是直角的四边形
11．（202X·通辽）如图，在边长为3的菱形
AAMBC＝D中，A13D∠，A＝N是60A°B边，上M是的A一D动边点上，的将一△点A，M且N 沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接
中考总复习数学课件第一部分第五章第23课时矩形菱形正方形
矩形的四个角是___直__角___
(续表)
分类
矩形的判定
矩形的性质
对角线 对角线__相__等____的平行 四边形是矩形
矩形的对角线___互__相__平__分__且__相__等__
矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形；对称中心是对 对称性
角线的交点，有__2__条对称轴
2.菱形的判定和性质
分类
菱形的判定
四边形是菱形
平分且平分每一组对角
菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形；对称中心是对 对称性
角线的交点，有__2__条对称轴
3.正方形的判定和性质
分类
正方形的判定
正方形的性质
边
(定义)有一组邻边__相__等____ 正方形的对边_平__行___，四边
的矩形是正方形
_相__等___
角
有一个角是__直__角____的菱 形是正方形
图1
设 DQ＝x，QE＝y，则 AQ＝6－x， ∵CP∥DQ， ∴△CPE∽△QDE， ∴DCQP ＝DCEE＝2，
∴CP＝2x. ∵△ADE 沿 AE 翻折得到△AFE， ∴EF＝DE＝2，AF＝AD＝6，∠QAE＝∠FAE，
∴AE 是△AQF 的角平分线， ∴AAQF＝QEFE，即6－6 x＝2y. ① ∵∠D＝60°， ∴DH＝12DQ＝12x， HE＝DE－DH＝2－21x，
答案： 13 2
12.如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1，连接 AC，BD，CE 平分∠ACD 交 BD 于点 E，则 DE＝________.
答案： 2－1
13.(2023·张家界)如图，已知点 A，D，C，B 在同一条直线上， 且 AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.
中考数学专题复习课件(第23讲_矩形、菱形、正方形)
由 F 为 AB 的中点知，∠CFA＝90° ，∴ CF∥EA. 在等边三角形 ABC 中，CF＝ AD. 在等边三角形 ADE 中，AD＝EA，∴CF＝EA. ∴四边形 AFCE 为平行四边形． 又∵∠CFA＝90° ，∴四边形 AFCE 为矩形．
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考 点 知 识 精 讲 中 考 典 例 精 析
(1)(2010· 芜湖 )下列命题中是真命题的是( A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 D．两边相等的平行四边形是菱形
)
(2)(2009· 凉山 )如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，
举 一 反 三
使 C 落在 C′处，BC′交 AD 于点 E，则下列结论不一定 成立的是( ．．． A． AD ＝BC′ B．∠EBD＝∠EDB C．△ ABE∽△ CBD AE D．sin∠ ABE＝ ED
【点拨】本题综合考查等边三角形的性质和矩形的判定．
【解答】(1)在等边△ABC 中，∵点 D 是 BC 边的中点，∴∠DAC＝ 30° .又∵△ ADE 是 举 .∴∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝60° －30° ＝30° . 一 等边三角形，∴∠DAE＝ 60° 反 (2)由(1)知，∠EAF＝90° . 三
举 反 三
考 点 训 练
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考 点 知 识 精 讲 中 考 典 例 精 析
举 一 反 三
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考 点 知 识 精 讲 中 考 典 例 精 析
中考数学一轮复习 特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形 专题培优、能力提升复习讲义(含答案)
特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形专题培优、能力提升复习讲义中考考点梳理一、矩形1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积：S矩形=长×宽=ab二、菱形1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、正方形1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
3、正方形的判定（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。
先证它是菱形，再证有一个角是直角。
（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：第一步：先证明它是平行四边形；第二步：再证明它是菱形（或矩形）；第三步：最后证明它是矩形（或菱形）4、正方形的面积： 设正方形边长为a ，对角线长为b ，S 正方形=222b a 中考典例精选考点典例一、矩形的性质与判定【例1】如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,若AB ＝AO ， 求∠ABD 的度数.图6A B 【答案】∠ABD =60°.【解析】考点：矩形的性质；等边三角形的判定及性质.【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．【举一反三】1.已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．【答案】详见解析.【解析】试题分析：由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到△BEF≌△CFD，利用全等三角形对应边相等即可得证．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．2. 如图，将矩形ABCD 沿GH 对折，点C 落在Q 处，点D 落在E 处，EQ 与BC 相交于F ．若AD=8cm ，AB=6cm ，AE=4cm ．则△EBF 的周长是 cm ．【答案】8.【解析】试题分析：BE=AB-AE=2.设AH=x ，则DH=AD ﹣AH=8﹣x ，在Rt △AEH 中，∠EAH=90°，AE=4，AH=x ，EH=DH=8﹣x ，∴EH 2=AE 2+AH 2，即（8﹣x ）2=42+x 2，解得：x=3．∴AH=3，EH=5.∴C △AEH =12.∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠AEH=90°，∴∠BFE=∠AEH ．又∵∠EAH=∠FBE=90°，∴△EBF ∽△HAE ，∴32==∆∆AH BE C C HAE EFB ． ∴C △EBF =23=C △HAE =8．考点：1折叠问题；2勾股定理；3相似三角形.考点典例二、菱形的性质与判定【例2】如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB．（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．【答案】(1)详见解析；（2）四边形ABEF是菱形，理由详见解析.【解析】（2）四边形ABEF是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴BE=AB，由（1）得：AF=AB，∴BE=AF，又∵BE ∥AF ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AF=AB ，∴四边形ABEF 是菱形．考点：角平分线的画法；平行四边形的性质；菱形的判定.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟记各性质与平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．在利用菱形计算或证明时，应充分利用菱形的性质，如“菱形的四条边都相等”“菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一组对角线平分一组对角”等.对于菱形的判定，若可证出四边形为平行四边形，则可证一组邻边相等或对角线互相垂直；若相等的边较多，则可证四条边都相等.【举一反三】1. 如图，四边形ABCD 是菱形，8=AC ，6=DB ，AB DH ⊥于H ，则DH 等于A ．524 B ．512 C ．5 D ．4【答案】A.【解析】 考点：菱形的性质.2. 如图，菱形ABCD 的边AB=8，∠B=60°，P 是AB 上一点，BP=3，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点为A ′，当CA ′的长度最小时，CQ 的长为（ ）A. 5B. 7C. 8D. 213 CD H【答案】B．【解析】考点：菱形的性质；轴对称（折叠）；等边三角形的判定和性质；最值问题．考点典例三、正方形的性质与判定【例3】如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.(1)求证：∠ADB＝∠CDB；(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．【答案】证明见解析.【解析】考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形，具有矩形和菱形的所有性质.证明一个四边形是正方形，可以先判定为矩形，再证邻边相等或对角线互相垂直；或先判定为菱形，再证有一个角是直角或对角线相等.【举一反三】1.如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）A．B．2 C．D．10﹣5【答案】B.【解析】考点：正方形的性质；全等三角形的判定及性质；勾股定理.考点典例四、特殊平行四边形综合题【例4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE ⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形BECD是菱形，（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．理由见解析.【解析】（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：考点：正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 【举一反三】如图，正方形ABCD 的边长为1,AC 、BD 是对角线，将△DCB 绕点D 顺时针旋转450得到△DGH ， HG 交AB 于点E ，连接DE 交AC 于点F ，连接FG ，则下列结论：①四边形AEGF 是菱形 ②△AED ≌△GED③∠DFG ＝112.5︒ ④BC ＋FG ＝1.5其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）图5F EH G BA【答案】①②③. 【解析】试题分析：由旋转的性质可得HD=BD=2 ∴HA=12-考点：旋转的性质；全等三角形的判定及性质；菱形的判定.课后巩固、提高自测小练习一、选择题1．关于ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC ABCD是菱形B．若AC⊥BD ABCD是正方形C．若AC=BD，则ABCD是矩形D．若AB=AD ABCD是正方形【答案】C.【解析】试题分析：根据矩形的判定可得A、C项应是矩形；根据菱形的判定可得B、D项应是菱形,故答案选C.考点：矩形、菱形的判定.2. 下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．矩形的对角线互相垂直C．一组对边平行的四边形是平行四边形D．四边相等的四边形是菱形【答案】D.【解析】考点：1菱形的判定；2矩形的性质；3平行四边形的判定.3．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C.【解析】试题分析：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．此时，EP+FP的值最小，值为EF′．∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．考点：1轴对称；2菱形.4.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（ ）A ．AB =AD B ．AC ⊥BD C ．AC =BD D ．∠BAC =∠DAC 【答案】C ． 【解析】考点：菱形的判定；平行四边形的性质．5. 如图，正方形ABCD 中，AB =6，点E 在边CD 上，且CE =2DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG =GC ；③EG =DE +BG ；④AG ∥CF ；⑤S △FGC =3.6．其中正确结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D ． 【解析】试题分析：∵正方形ABCD 的边长为6，CE =2DE ，∴DE =2，EC =4，∵把△ADE 沿AE 折叠使△ADE 落在△AFE 的位置，∴AF =AD =6，EF =ED =2，∠AFE =∠D =90°，∠FAE =∠DAE ，在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，∵AB =AF ，AG =AG ，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ），∴GB =GF ，∠BAG =∠FAG ，∴∠GAE =∠FAE +∠FAG =12∠BAD =45°，所以①正确； 设BG =x ，则GF =x ，C =BC ﹣BG =6﹣x ，在Rt △CGE 中，GE =x +2，EC =4，CG =6﹣x ，∵222CG CE GE +=，∴222(6)4(2)x x-+=+，解得x=3，∴BG=3，CG=6﹣3=3，∴BG=CG，所以②正确；∵EF=ED，GB=GF，∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正确；∵GF=GC，∴∠GFC=∠GCF，又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，而∠BGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴CF∥AG，所以④正确；过F作FH⊥DC．∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴EH EFGC EG=，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：EH EFGC EG==25，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=12×3×4﹣12×4×（25×3）=3.6，所以⑤正确．故正确的有①②③④⑤，故选D．考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．6.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了（）A．1次B．2次C．3次D．4次【答案】B．【解析】考点：翻折变换（折叠问题）．7.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【答案】D．【解析】考点：菱形的性质；平行四边形的性质．8.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60°D．∠ACB=60°【答案】B．【解析】试题分析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB//CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．故选B．考点：菱形的判定；平移的性质．二、填空题1.如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是（只填写序号）【答案】①②③④.【解析】考点：1菱形的性质和判定；2轴对称；3平行线的性质.2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．【答案】22.5°．【解析】试题分析：已知四边形ABCD是矩形，由矩形的性质可得AC=BD，OA=OC，OB=OD，即可得OA=OB═OC，由等腰三角形的性质可得∠OAC=∠ODA，∠OAB=∠OBA，即可得∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，再由∠EAC=2∠CAD，可得∠EAO=∠AOE，因AE⊥BD，可得∠AEO=90°，所以∠AOE=45°，所以∠OAB=∠OBA=67.5°，即∠BAE=∠OAB ﹣∠OAE=22.5°．考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．3. 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是．（1）EF=OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；（3）BE+BF=OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=；（5）OG•BD=AE2+CF2．【答案】（1），（2），（3），（5）．【解析】1（2）∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD，4∴S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正确；（3）∴BE+BF=BF+CF=BC=2OA；故正确；（5）∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，∴△OEG∽△OBE，∴OE：OB=OG：OE，∴OG•OB=OE2，∵OB=12BD，OE=22EF，∴OG•BD=EF2，∵在△BEF中，EF2=BE2+BF2，∴EF2=AE2+CF2，∴OG•BD=AE2+CF2．故正确．考点：四边形综合题．4.如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=8和BD=6，那么，菱形ABCD的面积为．【答案】24． 【解析】试题分析：根据菱形面积等于两条对角线的长度的乘积的一半即可得，菱形的面积=21×6×8=24. 考点：菱形的性质．5．将矩形ABCD 纸片按如图所示的方式折叠，EF ，EG 为折痕，试问∠AEF +∠BEG = ．【答案】90°． 【解析】考点：翻折变换（折叠问题）．6. 如图，四边形OABC 为矩形，点A ，C 分别在x 轴和y 轴上，连接AC ，点B 的坐标为（4，3），∠CAO 的平分线与y 轴相交于点D ，则点D 的坐标为 ．【答案】（0，43）．【解析】考点：矩形的性质；坐标与图形性质．三、解答题1.如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：C P=AQ；（2）若BP=1，PQ=22，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．2.如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．（1）求证：△PHC≌△CFP；（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，面积相等．【解析】试题分析：（1）由矩形的性质得出对边平行，再根据平行线的性质得出相等的角，结合全等三角形的判定定理AAS即可得出△PHC≌△CFP；（2）由矩形的性质找出∠D=∠B=90°，再结合对边互相平行即可证出四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，通过角的正切值，在直角三角形中表示出直角边的关系，利用矩形的面积公式即可得出两矩形面积相等．考点：矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．3.如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：A E=EF．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：先取AB的中点H，连接EH，根据∠AE F=90°和ABCD是正方形，得出∠1=∠2，再根据E是BC 的中点，H是AB的中点，得出BH=BE，AH=CE，最后根据CF是∠DCG的角平分线，得出∠AHE=∠ECF=135°，从而证出△AHE≌△ECF，即可得出AE=EF．试题解析：取AB的中点H，连接EH．∵∠AEF=90°，∴∠2+∠AEB=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠1+∠AEB=90°，∴∠1=∠2，∵E是BC的中点，H是AB的中点，∴BH=BE，AH=CE，∴∠BHE=45°，∵CF是∠DCG的角平分线，∴∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，在△AHE和△ECF中，∵∠1=∠2，AH=EC，∠AHE=∠ECF，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE=EF．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．4. 如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．【答案】详见解析.【解析】∵CE∥BD，∴四边形CEDB是平行四边形，∵BC=BD，∴四边形CEDB是菱形．考点：全等三角形的性质；菱形的判定．。
专题23菱形、矩形、正方形(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习
2021年中考数学专题23 菱形、矩形、正方形（知识点总结+例题讲解）一、菱形：1.菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）菱形的四条边相等；（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形；对称轴是两条对角线所在的直线，对称中心是对角线的交点。
3.菱形的判定：（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形；（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
4.菱形的有关计算：=4a (其中a为边长)；（1）周长C菱形=ah=两条对角线乘积的一半；(其中a为边长，h为此边上的高)。
（2）面积S菱形【例题1】(2020•牡丹江)如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是( )A．(0，2√3) B．(2，﹣4)C．(2√3，0) D．(0，2√3)或(0，﹣2√3)【答案】D【解析】点C旋转到y轴正半轴和y轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形的性质求解．解：根据菱形的对称性可得：当点D在x轴上时，A、B、C均在坐标轴上，如图，∵∠BAD＝60°，AD＝4，∴∠OAD＝30°，∴OD＝2，∴AO=√42−22=2√3=OC，∴点C的坐标为(0，−2√3)，同理：当点C旋转到y轴正半轴时，点C的坐标为(0，2√3)，∴点C的坐标为(0，2√3)或(0，−2√3)。
【变式练习1】(2020•营口)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA ＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为．【答案】4【解析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案．∵OA＝1，OB＝2，∴AC＝2，BD＝4，×2×4＝4。
2020年中考数学一轮专题复习课时练-第23课时矩形、菱形、正方形专题训练
2020年中考数学一轮专题复习课时练第五单元四边形第23课时矩形、菱形、正方形练习1 矩形点对点·课时内考点巩固35分钟1.(2019株洲)对于任意的矩形，下列说法一定正确的是()A. 对角线垂直且相等B. 四边都互相垂直C. 四个角都相等D. 是轴对称图形，但不是中心对称图形2.(2019眉山)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是()A. 1B. 74 C. 2 D.125第2题图3.如图，四边形ABCD和四边形BEFD都是矩形，且点C恰好在EF上．若AB＝1，AD＝2，则S△BCE 为()A. 1B. 255 C.23D.45第3题图4.如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边CD上．若AM平分∠DMB，则DM的长为()A.33 B.14 C. 3－32 D. 2－ 3第4题图5.如图，四边形ABCD为矩形，点O为对角线的交点，∠BOC＝120°，AE⊥BO交BO于点E，AB＝4，则BE的长等于()A. 4B. 3C. 2D. 1第5题图6.(2019陕西黑马卷)如图，在矩形ABCD中，点M是BC边上一点，连接AM，DM.过点D作DE⊥AM，垂足为点E.若AM＝AD，AE＝2EM，AB＝5，则BM的长为()A. 15B.25C. 5D. 2 5第6题图7.(2019西安交大附中模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝7，E、F、M分别为AB、BC、CD边上的点，连接EF、FM、ME，且AE＝3，DM＝2.若∠EFM＝90°，BF＞FC，则BF＝()A. 3B. 4C. 5D. 6第7题图8.(2019龙东地区)如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB∶BC＝3∶2，过点B作BE∥AC，过点C作CE∥DB，BE、CE交于点E，连接DE，则tan∠EDC＝()A. 29B.14C.26D.310第8题图9.(2018遵义)如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于点E、F，连接PB、PD.若AE＝2，PF＝8，则图中阴影部分的面积为()A. 10B. 12C. 16D. 18第9题图10.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为()A. 125B. 2 C.52D. 1第10题图11. (2019徐州)如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，M 、N 分别为BC 、OC 的中点，若MN ＝4，则AC 的长为________．第11题图12.(全国视野创新题推荐·2019百色)四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD 按箭头方向变形成平行四边形A ′B ′C ′D ′，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则∠A ′＝________°.第12题图13. 如图，在矩形ABCD 中，F 是BC 边上一点，AF 的延长线交DC 的延长线于点G ，DE ⊥AG ，垂足为点E ，且DE ＝DC .求证：BF ＝AE .第13题图14.(2019宁夏)如图，已知矩形ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，AB 上的点，EF ⊥EC ，且AE ＝CD . (1)求证：AF ＝DE ；(2)若DE ＝25AD ，求tan ∠AFE .第14题图点对线·板块内考点衔接20分钟1.(2019临沂)如图，在▱ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA .添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是( )第1题图A. OM ＝12ACB. MB ＝MOC. BD ⊥ACD. ∠AMB ＝∠CND2.(2019泰安)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是()A. 2B. 4C. 2D. 2 2第2题图3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上．若四边形EFGH为平行四边形，且EF∥AC，则▱EFGH的周长为____________．第3题图4.如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD中点，P为AB边上一动点(含端点)，F为CP的中点，则△CEF周长的最小值为________．第4题图4．(2019龙东地区)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△P AB＝12S△PCD，则PC＋PD的最小值为________．第5题图6.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC、DE相交于点O.(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)若∠AOE＝60°，AE＝2，求矩形ADCE对角线的长．第6题图练习2 菱形点对点·课时内考点巩固45分钟1.(2019大庆)下列说法中不正确．．．的是()A. 四边相等的四边形是菱形B. 对角线垂直的平行四边形是菱形C. 菱形的对角线互相垂直且相等D. 菱形的邻边相等2.(2019宁夏)如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是()A. AC⊥BDB. AB＝ADC. AC＝BDD. ∠ABD＝∠CBD第2题图3.(2019河北)如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝()A. 30°B. 25°C. 20°D. 15°第3题图4.(2019呼和浩特)已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为()A. 22B. 25C. 42D. 2105.(2019娄底)顺次连接菱形四边中点得到的四边形是()A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形6.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，点E是线段BC边上的一个点，点F、G分别是AE、CE的中点，则FG＝()A. 32B. 3 C. 22D. 2 3第6题图7.(2019永州)如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为()A. 40B. 24C. 20D. 15第7题图8.如图，菱形ABCD的边长为6，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E、F.若AE＝5，则四边形AECF的周长为()A. 16B. 17C. 32D. 34第8题图9.(2019陕西定心卷)如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AE⊥BC于点E，交对角线BD于点F.若AE＝4，则DF的长为()A. 352 B.552 C.52D.32第9题图10.(2019陕西黑白卷)如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD，垂足为点E，连接BD，过点E作EF⊥BD，分别交CD、BD于点F、G.若BC＝10，BE＝8，则EF的长为()A. 85B.855 C.165D.1655第10题图11.如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是()A. 3B. 2C. 3D. 2第11题图12.(2019十堰)如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为________．第12题图13.(2019广西北部湾经济区)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝________．第13题图14.(2019衢州)已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连接AE，AF.求证：AE＝AF.第14题图15.(2019岳阳)如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF.求证：∠1＝∠2.第15题图16.(2019青海)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F，连接CF.(1)求证：△AEF≌△DEB；(2)证明四边形ADCF是菱形．第16题图点对线·板块内考点衔接15分钟1.(全国视野创新题推荐·2019江西)如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有()A. 3种B. 4种C. 5种D. 6种第1题图2.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是()A. 25B. 3C. 5D. 6第2题图3.如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN.若四边形MBND是菱形，则AMMD等于()A. 38B.23C.35D.45第3题图4.如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，且EH∥BD，BE＝2AE.若四边形EFGH是矩形，则EF的长为()A. 1B. 43C.163D. 2第4题图5．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值为________．第5题图点对面·跨板块考点迁移2分钟1.(2019绵阳)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为()第1题图A. (2，3)B. (3，2)C. (3，3)D. (3，3)练习3 正方形点对点·课时内考点巩固6分钟1.(2019遵义)我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．已知四边形ABCD的中点四边形是正方形，对角线AC与BD的关系，下列说法正确的是()A. AC，BD相等且互相平分B. AC，BD垂直且互相平分C. AC，BD相等且互相垂直D. AC，BD垂直且平分对角2.(2019毕节)如图，点E在正方形ABCD边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为()A. 3B. 3C. 5D. 5第2题图3.(2019扬州)如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN.若AB＝7，BE＝5，则MN＝________．第3题图点对线·板块内考点衔接15分钟1.(人教八下P67第1(3)题改编)如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为()A. 45°B. 55°C. 60°D. 75°第1题图2.把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置．则图中阴影部分的面积为()A. 16B.13C.15D.14第2题图3.(2019陕师大附中模拟)如图，在边长为2的正方形ABCD中，以对角线AC为一边作菱形AEFC，连接AF交BC于点G，则BG的长为()A. 22－2B. 22－1C. 2D. 1第3题图4.(2019菏泽)如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF 的周长是________．第4题图5.(2019黄冈)如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G.求证：BF－DG＝FG.第5题图6.(2019凉山州)如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB.过点A 作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F.求证：OE＝OF.第6题图参考答案第23课时矩形、菱形、正方形练习1 矩 形点对点·课时内考点巩固1. C 【解析】矩形的性质有：邻边垂直；四个内角都是直角；是轴对称图形，也是中心对称图形；对角线互相平分且相等．故选C .2. B 【解析】如解图，连接EC ，∵OA ＝OC ，且EF ⊥AC ，∴EC ＝AE ，设DE ＝x ，则EC ＝AE ＝8－x ，根据勾股定理可得(8－x )2＝x 2＋62，解得x ＝74.第2题解图3. D 【解析】由题意得△BCD 的面积占矩形BDFE 的一半，S △BCD ＝1，∴S △BCE ＋S △CDF ＝1，又∵CD ∶BC ＝AB ∶AD ＝1∶2，∴S △BCE ∶S △CDF ＝4∶1，故可得S △BCE ＝45.4. D 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝2，AB ∥CD ，BC ＝AD ＝1，∠C ＝90°，∴∠BAM ＝∠AMD ，∵AM 平分∠DMB ，∴∠AMD ＝∠AMB ，∴∠BAM ＝∠AMB ，∴BM ＝AB ＝2，∴CM ＝MB 2－BC 2＝3， ∴DM ＝CD －CM ＝2－ 3.5. C 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝12AC ，OB ＝12BD ，AC ＝BD ，∴OA ＝OB ，∵∠BOC ＝120°，∴∠AOB ＝60°，∴△AOB 是等边三角形，∴OB ＝AB ＝4，∵AE ⊥BO ，∴BE ＝12OB ＝2.6. D 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝DC ＝5，∴∠ADM ＝∠DMC ，∵AD ＝AM ，∴∠ADM ＝∠AMD ，∴∠AMD ＝∠DMC ，∵DE ⊥AM ，∴∠DEM ＝∠C ＝90°，∴△DEM ≌△DCM (AAS )，∴DE ＝DC ＝5，EM ＝CM ，∵AE ＝2EM ，∴AE ＝23AM ＝23AD ，∴AE AD ＝23，设AE＝2x ，则AD ＝3x ，在Rt △AED 中，由勾股定理得(2x )2＋52＝(3x )2，解得x ＝5，∴AE ＝25，∵AM ＝AD ＝BC ，EM ＝CM ，∴BM ＝AE ＝2 5.7. B 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，CD ＝AB ＝6，∵AE ＝3，DM ＝2，∴BE ＝3，CM ＝4，∵EF ⊥FM ，∴∠BEF ＋∠BFE ＝∠BFE ＋∠MFC ＝90°，∴∠BEF ＝∠CFM ，∴△BEF ∽△CFM ，∴BF CM ＝BE CF ，即BF 4＝37－BF， 解得BF ＝4或BF ＝3(舍去)，∴BF ＝4.8. A 【解析】如解图，连接EO ，延长交AD 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴OB ＝OC ，又∵BE ∥OC ，CE ∥OB ，∴四边形OCEB 是菱形，∴BC ⊥EF ，∵BC ⊥DC ，∴EF ∥CD ，∠EDC ＝∠FED ，在△EFD 中，tan ∠FED ＝DF EF ＝12BC 32AB ＝29，∴tan ∠EDC ＝29.第8题解图9. C 【解析】如解图，过点P 作PM ⊥AD 于点M ，反向延长线交BC 于点N ，∵DF ＝AE ＝2，PF ＝8，∴S 矩形MPFD ＝DF ·PF ＝2×8＝16，S △PDF ＝8，∵S PDF S △PFC ＝DF FC ＝MPFC ，S △BEP ＝S △BNP ，S △BPN S △PNC ＝BN NC ，S △PNC ＝S △PFC ，∴S △BEP S △PFC ＝BN NC ＝EP NC ，∴四边形AEPM 与四边形PNCF 相似，∴PM PN ＝EP PF ，即DF FC ＝BNNC ，∴S △PFD S △PFC ＝S △BEP S △PFC，∴S △BEP＝S △PDF ，∴S △BEP ＝8，∴S 阴影＝16.第9题解图10. A 【解析】由题易得AC ＝BD ＝32＋42＝5，设AP ＝x ，则PD ＝4－x .∵∠EAP ＝∠DAC ，∠AEP ＝∠ADC ，∴△AEP ∽△ADC ，∴AP AC ＝PE CD ，故x 5＝PE 3①.同理可得△DFP ∽△DAB ，∴DP DB ＝PFBA ，故4－x 5＝PF 3②.①＋②得45＝PE ＋PF 3，∴PE ＋PF ＝125.11. 16 【解析】在△OBC 中，根据三角形中位线等于它所对的边的一半得到OB ＝2MN ＝8，又根据矩形的性质：对角线相等且互相平分得到AC ＝BD ＝2OB ＝16.12. 30 【解析】如解图，过点B ′作B ′E 垂直于A ′D ′于点E .设矩形ABCD 的边AD 长为a ，AB 长为b ，B ′E 长为c ，则S 矩形ABCD ＝ab ，S ▱A ′B ′C ′D ′＝ac .∵S ▱A ′B ′C ′D ′＝12S 矩形ABCD ，∴ac ＝12ab ，∴c ＝12b ，∴sin A ′＝cb ＝12，∴∠A ′＝30°.第12题解图13.证明：在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，BC ∥AD ，∠B ＝90°，DE ＝CD , ∴AB ＝DE ，∠BF A ＝∠EAD . ∵DE ⊥AG ， ∴∠AED ＝90°. ∴∠AED ＝∠B . 在△ABF 与△DEA 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BF A ＝∠EAD ∠B ＝∠AED AB ＝DE， ∴△ABF ≌△DEA (AAS )． ∴BF ＝AE .14. (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠D ＝90°. ∵EF ⊥CE ， ∴∠FEC ＝90°.∴∠AFE ＋∠AEF ＝∠AEF ＋∠DEC ＝90°. ∴∠AFE ＝∠DEC ， 在△AEF 与△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D ∠AFE ＝∠DEC AE ＝CD， ∴△AEF ≌△DCE (AAS )． ∴AF ＝DE ； (2)解：∵DE ＝25AD ，∴AE ＝32DE .∵AF ＝DE ，∴tan ∠AFE ＝AE AF ＝32DE DE ＝32.点对线·板块内考点衔接1. A 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，OA ＝OC ，∵BM ＝DN ，∴OM ＝ON ，∴四边形AMCN 是平行四边形．当OM ＝12AC 时，MN ＝AC ，∴四边形AMCN 是矩形，故选A .2. D 【解析】如解图，取DE 的中点M ，CD 的中点N ，连接MN ，则点P 一定在△CDE 的中位线MN 上，∴当BP ⊥MN 时，即点P 与CD 的中点N 重合时，PB 最小，此时点F 与点C 重合．∵AB ＝CD ＝4，P 为CD 的中点，∴PC ＝2.∵BC ＝AD ＝2，∠BCD ＝90°，∴PB ＝2 2.第2题解图3. 20 【解析】如解图，连接BD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴BD ＝AC ，∠ABC ＝90°，∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10，∵四边形EFGH 为平行四边形，且EF ∥AC ，∴EF ∥AC ∥GH ，EF ＝HG ，∴△BEF ∽△BAC ，△DHG ∽△DAC ，∴BE AB ＝EF AC ①，HG AC ＝DH DA ，∴BE AB ＝DH AD ，∴EH ∥BD ，∴EH ∥BD ∥FG ，∴AE AB ＝EH BD ，∴AE AB ＝EHAC ②，∴①＋②得BE ＋AE AB ＝EF ＋EH AC，∵BE ＋AE ＝AB ，∴EF ＋EH ＝AC ＝10，∴▱EFGH 的周长为20.第3题解图4.2＋1 【解析】如解图，连接PD ，∵E 为CD 中点，F 为CP 中点，∴EF ＝12PD ，∴C △CEF ＝CE ＋CF ＋EF ＝CE ＋12(CP ＋PD )＝12 (CD ＋PC ＋PD )＝12C △CDP ，∴当△CDP 的周长最小时，△CEF 的周长最小；即PC ＋PD 的值最小时，△CEF 的周长最小．作点D 关于AB 的对称点D ′，连接CD ′交AB 于点P ，∵AD ＝AD ′＝BC ，AD ′∥BC ，∴四边形AD ′BC 是平行四边形，∴AP ＝PB ＝1，PD ′＝PC ，∴CP ＝PD ＝2，∴C △CEF ＝12C △CDP ＝2＋1.第4题解图5. 45 【解析】∵S △P AB ＝12S △PCD ，AB ＝CD ，∴点P 在直线AD 的三等分的直线上，又∵AB ＝4，BC＝6，此题可以转化为在正方形A ′B ′CD 中求PC ＋PD 的最小值．如解图，点F 是点D 关于点A ′的对称点，∴PF ＝PD ，当PF 和PC 在一条直线上时，PC ＋PD 的值最小，FC ＝42＋82＝45，故PC ＋PD 的最小值是4 5.第5题解图6. (1)证明：∵四边形ABDE 是平行四边形， ∴BD ＝AE ，BD ∥AE . ∵D 为BC 的中点， ∴CD ＝BD ，∴CD ＝AE .∴四边形AECD 是平行四边形． 又∵AB ＝AC ， ∴∠ADC ＝90°， ∴四边形ADCE 是矩形； (2)解：∵四边形ADCE 是矩形， ∴AO ＝EO . ∵∠AOE ＝60°， ∴△AOE 为等边三角形． ∴AO ＝AE ＝2. ∴AC ＝2OA ＝4.故矩形ADCE 对角线的长为4.练习2 菱 形点对点·课时内考点巩固1. C 【解析】A .四边相等的四边形是菱形，这是菱形的一个判定定理，此选项正确；B .对角线互相垂直的平行四边形是菱形，这是菱形的一个判定定理，此选项正确；C .菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，此选项错误；D .菱形的四边都相等，邻边也一定相等，此选项正确．故选C .2. C 【解析】∵四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，且互相平分，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，当AB ＝AD 或AC ⊥BD 时，均可判定四边形ABCD 是菱形；当AC ＝BD 时，可判定四边形ABCD 是矩形，当∠ABD ＝∠CBD 时，由AD ∥BC 得：∠CBD ＝∠ADB ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∴AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形．3. D 【解析】根据菱形的性质可知∠DAB ＝180°－∠D ＝30°，∴∠1＝12∠DAB ＝15°.4. C 【解析】∵菱形的对角线相互垂直且平分，∴另一条对角线长为2×32－12＝4 2.5. C 【解析】顺次连接任意四边形的四边中点，得到四边形一定是平行四边形，如果原四边形的对角线相等，则可得中点四边形的邻边相等，即是菱形；如果原四边形的对角线互相垂直，则可得中点四边形的邻边垂直，即是矩形．菱形的对角线互相垂直，所以它的中点四边形是矩形．6. A 【解析】如解图，连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴BC ＝AB ＝3，∵∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AC ＝AB ＝3，∵点F 、G 分别是AE 、CE 的中点，∴FG 是△ACE 的中位线，∴FG ＝12AC ＝32.第6题解图7. B 【解析】∵AB ＝AD ，OB ＝OD ，∴AO ⊥BD ，∠ADO ＝∠ABO ，∵∠ABD ＝∠CDB ，∴AB ∥CD ，∠ADO ＝∠CDO ，又∵OD ⊥AC ，∴AD ＝CD .∴AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形．∴AC ＝2AO ＝2AB 2－OB 2＝6，∴S 菱形ABCD ＝12AC ×BD ＝24.8. D 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝6，AD ∥BC ，∴AF ∥CE ，∵AE ⊥AC ，AC ⊥CF ，∴AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴CF ＝AE ＝5，AF ＝CE ，∵AB ＝BC ，∴∠BAC ＝∠BCA ，∵AE ⊥AC ，∴∠EAC ＝90°，∴∠BAC ＋∠BAE ＝90°，∠BCA ＋∠E ＝90°，∴∠BAE ＝∠E ，∴BE ＝AB ＝6，∴CE ＝6＋6＝12，∴平行四边形AECF 的周长为2(AE ＋CE )＝2×(5＋12)＝34.9. B 【解析】∵AE ⊥BC ，AB ＝5，AE ＝4，∴在Rt △ABE 中，BE ＝AB 2－AE 2＝3.∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ∥BE ，∴∠DAF ＝∠BEF ＝90°，∵∠AFD ＝∠EFB ，∴△DAF ∽△BEF ，∴DA BE ＝AF EF ，即53＝AF 4－AF ，解得AF ＝52，∴在Rt △DAF 中，DF ＝AD 2＋AF 2＝552.10. D 【解析】如解图，连接AC ，交BD 于点O ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，AB ＝BC ＝AD ＝10，∵BE ⊥AD ，BE ＝8，∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得，AE ＝AB 2－BE 2＝6.∴DE ＝4.∴tan ∠ADB ＝BE DE ＝84＝2，∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∴tan ∠ABD ＝2，∴AOOB ＝2，在Rt △ABO 中，由勾股定理得：OB 2＋(2OB )2＝102，解得OB ＝25，∴AC ＝2AO ＝4OB ＝85，∵EF ⊥BD ，AC ⊥BD ，∴EF ∥AC ，∴DE DA ＝EF AC ＝25，∴EF ＝25AC ＝1655.第10题解图11. A 【解析】∵菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为2和3，∴△BCM ∽△BGF ，∴CM GF ＝BCBG ，即CM 3＝22＋3，解得CM ＝65，∴DM ＝2－65＝45，∵∠A ＝120°，∴∠ABC ＝180°－120°＝60°，∴菱形ABCD 边CD 上的高为2sin60°＝2×32＝3，菱形ECGF 边CE 上的高为3sin60°＝3×32＝332，∴S 阴影＝S △BDM ＋S △DFM ＝12×45×3＋12×45×332＝ 3.12. 24 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，BO ＝DO ，∵点E 是BC 的中点，∴OE 是△ABC 的中位线，∴AB ＝2OE ＝2×3＝6，∴菱形ABCD 的周长为4×6＝24.13.245 【解析】∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝12×AC ×8＝24，∴AC ＝6，∴OC ＝12AC ＝3，∴BC ＝42＋32＝5.∵BC ·AH ＝24，∴AH ＝245.14.证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D . ∵BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF (SAS)． ∴AE ＝AF .15.证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝CD .∵DF ＝DE ，∠D ＝∠D ， ∴△ADF ≌△CDE (SAS)．∴∠1＝∠2.16.证明：(1)∵点E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE . ∵AF ∥BC ，∴∠EAF ＝∠EDB ，∠AFE ＝∠DBE . 在△AEF 和△DEB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EAF ＝∠EDB ∠AFE ＝∠DBF ，AE ＝DE∴△AEF ≌△DEB (AAS )；(2)∵∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点， ∴AD ＝BD ＝DC . 由(1)知，△AEF ≌△DEB . ∴AF ＝DB . ∴AF ＝DC . 又∵AF ∥BC ，∴四边形ADCF 是平行四边形． ∵AD ＝DC ，∴平行四边形ADCF 是菱形．点对线·板块内考点衔接1. D 【解析】根据题目所给图形可知，原图中已经有2个菱形了，再添2根小棒只要使拼接后的图形再增加一个菱形即可．符合条件的拼接方法有6种，如解图所示．第1题解图2. C 【解析】如解图，连接EF ，交AC 于点O ，∵四边形EGFH 是菱形，∴EF 与GH 互相垂直平分．又∵CF ∥AE ，∴△AOE ≌△COF ，∴AO ＝CO .在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝82＋42＝45，∴AO ＝12AC＝2 5.∵∠OAE ＝∠BAC ，∠AOE ＝∠ABC ＝90°.∴Rt △AOE ∽Rt △ABC ，∴AO AB ＝AE AC ，即258＝AE45，解得AE ＝5.第2题解图3. C 【解析】∵四边形MBND 是菱形，∴MD ＝MB .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°.设AB ＝x ，AM ＝y ，(x 、y 均为正数)则MB ＝2x －y .在Rt △ABM 中，AB 2＋AM 2＝BM 2，即x 2＋y 2＝(2x －y )2, 解得x ＝43y ，∴MD ＝MB ＝2x －y ＝53y , ∴AM MD ＝y 53y ＝35.4. C 【解析】如解图，设EF 交BD 于点I ，AC 交BD 于点J ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD .∵EH ∥BD ，四边形EFGH 是矩形，∴EF ∥AC ，则EI ∥AJ .∴△BEI ∽△BAJ .∵2AE ＝BE ，∴BEBA ＝BI BJ ＝EI AJ ＝23.∵AJ ＝12AC ＝4，∴EI AJ ＝EI 4＝23，解得EI ＝83. 易得EI ＝FI ，∴EF ＝2EI ＝2×83＝163.第4题解图5.3 【解析】如解图，连接DE 、BD ，DE 与AC 的交点即为点P .由菱形的对角线互相垂直平分，可得B 、D 关于AC 对称，则PD ＝PB ，∴PE ＋PB ＝PE ＋PD ＝DE ，即DE 就是PE ＋PB 的最小值，∵∠BAD ＝60°，AD ＝AB ，∴△ABD 是等边三角形，∵AE ＝BE ，∴DE ⊥AB ，在Rt △ADE 中，DE ＝AD 2－AE 2＝ 3.第5题解图点对面·跨板块考点迁移1. D 【解析】如解图，过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，∵四边形OABC 为菱形，∠AOC ＝60°，∴∠AOE ＝12∠AOC ＝30°，△AOC 为等边三角形，AC ⊥OB ，∴∠F AE ＝60°，∵A (4，0)，∴OA ＝4，∴AE ＝12AO ＝12×4＝2，∴AF ＝12AE ＝1，∴EF ＝AE 2－AF 2＝22－12＝3，∴OF ＝AO －AF ＝4－1＝3，∴E (3，3)．第1题解图练习3 正方形点对点·课时内考点巩固1. C 【解析】根据题意可得中点四边形一定是平行四边形，若AC 与BD 相等则中点四边形是菱形，若AC 与BD 互相垂直，则中点四边形是矩形，∴当AC 与BD 相等且互相垂直时，中点四边形是正方形．2. B 【解析】∵EC ＝2，EB ＝1，∠B ＝90°，利用勾股定理可得BC ＝3，则正方形ABCD 的面积为(3)2＝3.3.132 【解析】 如解图，连接FC ，则MN ＝12CF ，在Rt △CFG 中，FG ＝5，CG ＝5＋7＝12，∴CF ＝52＋122＝13，∴MN ＝132.第3题解图点对线·板块内考点衔接1. C 【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，又∵△ADE 是等边三角形，∴AE ＝AD ＝DE ，∠DAE ＝60°，∴AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∠BAE ＝90°＋60°＝150°，∴∠ABE ＝(180°－150°)÷2＝15°，又∵∠BAC ＝45°，∴∠BFC ＝45°＋15°＝60°.2. A 【解析】如解图，设BC ＝x ，则CE ＝1－x ，易证△ABC ∽△FEC ，∴AB FE ＝BC EC ＝12＝x1－x ，解得x＝13， ∴阴影部分面积为：S △ABC ＝12×13×1＝16.第2题解图3. A 【解析】如解图，连接EG .∵正方形ABCD 的边长为2，∴对角线AC ＝22，∠ACG ＝45°，∵四边形AEFC 为菱形，∴AE ＝AC ＝22，AF 平分∠CAE ，∴△ACG ≌△AEG (SAS)，∴∠BEG ＝∠ACG ＝45°，∴△BEG 是等腰直角三角形，∴BG ＝BE ＝AE －AB ＝22－2.第3题解图4. 85 【解析】如解图，连接BD ，∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴CD ＝AD ，∠DAE ＝∠DCF ＝45°，BD ⊥AC . ∵AE ＝CF , ∴△DAE ≌△DCF (SAS), ∴DE ＝DF ，同理可证：DE ＝BE ，BE ＝BF ，∴四边形BEDF 是菱形，∵AC ＝8，AO ＝OD ，AE ＝2，∴OE ＝2，OD ＝4，∴DE ＝OD 2＋OE 2＝42＋22＝25.∴四边形BEDF 的周长为4DE ＝8 5.第4题解图5.证明：∵BF ⊥AE ，DG ⊥AE ，∴∠DGA ＝AFB ＝90°，∠ABF ＋∠F AB ＝90°.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠F AB ＋∠DAG ＝90°.AB ＝AD .∴∠DAG ＝∠ABF ，∠DGA ＝∠AFB .在△DAG 和△ABF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAG ＝∠ABF ∠DGA ＝∠AFB AB ＝AD，∴△DAG ≌△ABF (AAS )．∴AF ＝DG , BF ＝AG .∴FG ＝AG －AF ＝BF －DG .∴BF －DG ＝FG .6.证明：在正方形ABCD 中，∵AC ⊥BD ，AM ⊥BE ，∴∠AOF ＝∠BOE ＝∠AME ＝90°.∴∠F AO ＋∠AEB ＝∠EBO ＋∠AEB ＝90°.∴∠F AO ＝∠EBO .∵AC ＝BD ，OA ＝12AC ，OB ＝12BD ， ∴OA ＝OB .∴△AOF ≌△BOE (ASA)． ∴OE ＝OF .。
专题23 矩形、菱形和正方形-中考数学总复习精品课件
核心考点精讲
(2)解：过 F 作 FH⊥AB 于 H，则四边形 AHFD 是矩形， ∴AH＝DF＝32，FH＝AD＝2，∴EH＝52－32＝1， ∴EF＝ FH2＋HE2＝ 22＋12＝ 5
核心考题突破
10．(2019·黑龙江)如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O， AB∶BC＝3∶2，过点 B 作 BE∥AC，过点 C 作 CE∥DB，BE，CE 交于点
核心考点精练
【对应训练2】(2019·兰州)如图，AC＝8，分别以A，C为圆心，以长 度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D.依次连接A，B，C，D，连 接BD交AC于点O.
(1)判断四边形ABCD的形状并说明理由； (2)求BD的长．
核心考点精讲
解：(1)由作法得 AB＝AD＝CB＝CD＝5，所以四边形 ABCD 为菱形 (2)∵四边形 ABCD 为菱形，∴OA＝OC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，在 Rt△AOB 中，OB＝ 52－42＝3，∴BD＝2OB＝6
核心考点精讲
【思路引导】(1)由菱形的性质得出 AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD， 得出 AB∶BE＝AD∶DF，证出 EF∥BD 即可得出结论；(2)由平行线的性 质得出∠G＝∠ADO，由三角函数得出 tanG＝tan∠ADO＝OODA＝12，得出 OA＝12OD，由 BD＝4，得出 OD＝2，得出 OA＝1.
核心考点精讲
考点二：菱形的性质与判定
【例3】(2019·杭州)如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形 CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD 和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2.
(1)求线段CE的长； (2)若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG. 【思路引导】(1)设出正方形CEFG的边长，然后根据S1＝S2，即可求得 线段CE的长；(2)根据(1)中的结果可以题目中的条件，可以分别计算出 HD和HG的长，即可证明结论成立．
2019年中考数学第一阶段复习课件：矩形、菱形、正方形 (共26张PPT)
【例2】（2018·泸州）如图，正方形ABCD的对角线交于 点O，点E、F分别在AB、BC上，且∠EOF＝９０°，OE、 DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN. （1）求证：OM=ON. （2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的 长.
走进山东中考
４.（2018·青岛）已知正方形ABCD的边长为5， 点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于 点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 .
考点例析
【例1】（2018·柳州）如图，四边形ABCD是菱形， 对角线AC，BD相交于点O，且AB=2． （1）求菱形ABCD的周长； （2）若AC=2，求BD的长．
【例2】 （2018·广西）如图，在平行四边形ABCD 中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF. （1）求证：平行四边形ABCD是菱形； （2）若AB=5，AC=6，求平行四边形ABCD的面积.
考点梳理
考点二 菱形的性质和判定
1.定义:一组邻边 相等的平行四边形叫菱形 2.性质: (1)菱形的对边平行,四条边都相等 (2)菱形的对角相等 (3)菱形的对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组 对角 (4)菱形既是轴对称图形又是中心对称图形 3.判定: (1)一组邻边相等的平行四边形是菱形 (2)四条边都相等的四边形是菱形 (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
考点梳理
考点一 矩形的性质和判定
1、定义:有一个角是直角 的平行四边形叫矩形 2 、性质 (1)矩形的对边平行且相等 (2)矩形的四个角都是直角 (3)矩形的两条对角线相等且相互平分 (4)矩形既是轴对称图形又是中心对称图形 3 、判定 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形 (2)有3个角是直角的四边形是矩形 (3)对角线相等的平行四边形是矩形
河北省2019年中考数学总复习第五单元四边形第23课时矩形菱形正方形课件20190102172
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直角 的平行四边形叫做正方形 直角 ,对角线互相 垂直平分
且
(1)正方形的四条边
相等 ,四个角都是
相等 ,并且每一条对角线平分一组对角,具有矩形和菱形的所有性质
(2)正方形既是轴对称图形也是中心对称图形,对称轴有 对角线的交点
四
条,对称中心是
课前双基巩固
正方形 的判定 正方形的有关 计算 (1)有一组邻边相等的 (2)有一个角是直角的 (3)对角线
2 1
图23-8
∴△ AEF 的周长为 18,故选 C.
高频考向探究
探究二 菱形的性质与判定6年3次单独考,1次涉及
例 2 [2018· 柳州] 如图 23-9,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC,BD 相 交于点 O,且 AB=2. (1)求菱形 ABCD 的周长; (2)若 AC=2,求 BD 的长.
图23-2
课前双基巩固
5.四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O,则下列几组条件中能判定四边形 ABCD 是正方形的 是 ①②④ .(填序号) ①AB=BC=CD=DA,AC=BD; ②AO=CO,BO=DO,AC⊥BD,AB⊥BC; ③四边形 ABCD 是矩形,并且 BC⊥CD; ④四边形 ABCD 是菱形,并且 AC=BD.
解:(1)证明:在平行四边形 ABCD 中, AF∥CD,AB=CD,∴∠FAD=∠CDG. ∵G 为 AD 的中点,∴AG=DG. 又∵∠AGF=∠DGC, ∴△ AGF≌△DGC(ASA),∴AF=CD. 又∵AB=CD,∴AB=AF.
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【答案】D
3．(2010·义乌)下列说法不正确的是( ) A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角形相等的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
【解析】本题考查正方形的判定．
【答案】D
4．(2010·聊城)如图，点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一个动点，矩形的两条边 AB、 BC 的长分别为 3 和 4，那么点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是( )
(1)求证：四边形 BCEF 是菱形； (2)若 AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE.
【点拨】本题综合考查菱形的判定和全等三角形的判定．
【解答】(1)证明：∵AD∥FE，∴∠FEB＝∠2.∵∠1＝∠2，∴∠FEB＝∠1，∴BF＝EF. ∵BF＝BC，∴BC＝EF，∴四边形 BCEF 是平行四边形． 又∵BF＝BC，∴▱BCEF 是菱形． (2)证明：∵EF＝BC，AB＝BC＝CD，AD∥FE. ∴四边形 ABEF、四边形 CDEF 均为平行四边形． ∴AF＝BE，FC＝ED，又∵AC＝2BC＝BD， ∴△ACF≌△BDE(SSS)．
A．15
15 3 B. 2
C．7.5
D．15 3
【点拨】本组题综合考查矩形、菱形、正方形的性质和判定．
【解答】(1)从“对角线”方面考查矩形的判定方法，故选 C. (2)△ABE 和△CBD 只满足∠A＝∠C＝90°，其余证相似的条件推不出，故选 C. (3)∵∠ADC＝120°，∴∠A＝60°. ∵AD＝AB，∴△ABD 是等边三角形． ∴BD＝AB＝15，即 B、D 两点之间的距离为 15，故选 A.
A．360°
B．540°
C．720°
D．630°
5．将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形 纸片的一条边上，则∠1＋∠2＝90°.
6．四边形 ABCD 是正方形，点 G 是 BC 上的任意一点，DE⊥AG 于 E，BF∥DE，交 AG 于 F.
求证：AF＝BF＋EF.
(2010·聊城)如图，在等边三角形 ABC 中，点 D 是 BC 边的中点，以 AD 为边 作等边三角形 ADE.
(1)求∠CAE 的度数； (2)取 AB 边的中点 F，连结 CF、CE，试证明四边形 AFCE 是矩形．
【点拨】本题综合考查等边三角形的性质和矩形的判定．
【解答】(1)在等边△ABC 中，∵点 D 是 BC 边的中点，∴∠DAC＝30°.又∵△ADE 是 等边三角形，∴∠DAE＝60°.∴∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝60°－30°＝30°.
【解析】本题考查菱形的判定．
【答案】D
2．(2010·南通)如图，菱形 ABCD 中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线 AC 的长是( )
A．20
B．15
C．10
D．5
【解析】在菱形 ABCD 中，AB＝BC＝5.∵∠BCD＝120°，AC 平分∠BCD，∴∠BCA ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AC＝AB＝5.
12 A. 5
6 B.5
24 C. 5
D．不确定
【解析】
过 P 点作 PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为 E、F.∵矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，∴AC ＝5.设 PE＝x，PF＝y，易求得 AP＝53x，PD＝53y，∴53x＋53y＝53(x＋y)＝4，∴x＋y＝152.
【答案】A
5．(2010·江西)如图，已知矩形纸片 ABCD，点 E 是 AB 的中点，点 G 是 BC 上的一点， ∠BEG>60°，现沿直线 EG 将纸片折叠，使点 B 落在纸片上的点 H 处，连结 AH，则与∠BEG 相等的角的个数为( )
D．5
3．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线(直角三角形的中位 线)剪去上面的小直角三角形．将留下的纸片展开，得到的图形是( A )
4．如图，已知矩形 ABCD，一条直线将该矩形 ABCD 分割成两个多边形(含三角形)，若
这两个多边形的内角和分别为 m 和 n，则 m＋n 不可能是( D )
1．下列命题中，真命题是( D ) A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
2．如图，在菱形 ABCD 中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线 AC 等于( D )
A．20B．15来自C．10(2)由(1)知，∠EAF＝90°. 由 F 为 AB 的中点知，∠CFA＝90°，∴CF∥EA. 在等边三角形 ABC 中，CF＝AD. 在等边三角形 ADE 中，AD＝EA，∴CF＝EA. ∴四边形 AFCE 为平行四边形． 又∵∠CFA＝90°，∴四边形 AFCE 为矩形．
(2010·安徽)如图，AD∥FE，点 B、C 在 AD 上，∠1＝∠2，BF＝BC.
使 C 落在 C′处，BC′交 AD 于点 E，则下列结论不．一．定．成立的是( ) A．AD＝BC′ B．∠EBD＝∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE＝AEDE
(3)(2010·宜昌)如图，在菱形 ABCD 中，AB＝15，∠ADC＝120°，则 B、D 两点之间的 距离为( )
考点四 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
(1)(2010·芜湖)下列命题中是真命题的是( ) A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 D．两边相等的平行四边形是菱形
(2)(2009·凉山)如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，
提示：证△ABF≌△DAE(AAS)
(第 5 题)
(第 6 题)
考点训练 23
矩形、菱形、正方形 训练时间：60分钟 分值：100分
矩形、菱形、正方形 训练时间：60分钟
分值：100分
一、选择题(每小题 4 分，共 40 分)
1．(2010·天津)下列命题中正确的是( ) A．对角线相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形