2020年北京市高考数学模拟试卷(9)
北京市2020届高三下学期高考适应性测试数学试题含答案
2020年北京市高考适应性测试数学第一部分(选择题共40分)一、选择题共10题，每题4分,共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)在复平面内，复数i(i+2)对应的点的坐标为(A) (1, 2) (B) (-1, 2) (C) (2, 1) (D) (2, -1)(2)已知集合A={x|x<2}， B={-1,0,1,2,3}, 则A∩B=(){0,1}A (B) {0,1,2} (C) {-1,0,1} (D) {-1,0,1,2}(3)下列函数中，在区间(0,+∞)上为减函数的是()1A y x =+ 2()1B y x =- 1()()2x C y = 2()log D y x =(4)函数2()56f x x x =-+的定义域为(A) {x|x≤2或x≥3}(B) {x|x≤-3或x≥-2} (C) {x|2≤x≤3}(D) {x|-3≤x≤-2} (5)圆心为(2, 1)且和x 轴相切的圆的方程是22()(2)(1)1A x y -+-=22()(2)(1)1B x y +++= 22()(2)(1)5C x y -+-=22()(2)(1)5D x y +++= (6) 要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需要将函数y=sin2x 的图象 (A)向左平移3π个单位 (B)向左平移6π个单位 (C)向右平移3π个单位 (D)向右平移6π个单位 (7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为2()3A 4()3B (C) 2(D) 4(8)已知点A(2,0)，B(0,-2).若点P 在函数y x =的图象上，则使得△PAB 的面积为2的点P 的个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3(D) 4 (9)设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为.n S 则“*1,n n n S S +∀∈>N ”是“{}n a 为递增数列”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(10)学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A,B,C,D,E 五个等级.某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科,这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B.则该班（A ）物理化学等级都是B 的学生至多有12人（B ）物理化学等级都是B 的学生至少有5人（C ）这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人（D ）这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5题，每题5分，共25分。
数列小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)
数列小题大做一、单选题1．（2021·吉林省实验模拟预测（理））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若73a =，4516a a +=，则10S =（ ）A ．60B ．80C ．90D ．100【答案】A 【分析】由题意，利用等差数列通项公式将两式化为基本量1,a d 的关系式，计算1,a d ，然后代入等差数列前n 项和公式计算. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，所以7163a a d =+=，4512716+=+=a a a d ，联立得,1a 15d 2==-，所以101091015(2)602⨯=⨯+⨯-=S . 故选：A2．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】A 【分析】根据题目条件可得2S ，42S S -，64S S -成等比数列，从而求出641S S -=，进一步求出答案. 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和， ∴2S ，42S S -，64S S -成等比数列 ∴24S =，42642S S -=-= ∴641S S -=， ∴641167S S =+=+=. 故选：A.3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【详解】由题，当数列为2,4,8,---时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B ． 【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．4．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【答案】A 【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．5．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（ ） A ．2n –1 B ．2–21–n C ．2–2n –1 D ．21–n –1【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a -=-=可得：421153111122124a q a q q a a q a q ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以1111(1)122,21112n nn n n n n a q a a qS q ----=====---，因此1121222n nn n n S a ---==-.故选：B. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.6．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【答案】C 【分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列， 设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S -=-+，解方程即可得到n ，进一步得到3n S . 【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=， 设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块， 所以322729n n n n S S S S -=-+， 即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+ 即29729n =，解得9n =， 所以32727(9927)34022n S S +⨯===.故选：C 【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.7．（2021年浙江省高考数学试题）已知数列{}n a 满足)111,N 1nn na a n a *+=∈+.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．100332S << B ．10034S << C ．100942S <<D ．100952S << 【答案】A 【分析】 显然可知，10032S >，利用倒数法得到21111124n n n n a a a a +⎛⎫==-⎪⎪⎭，再放缩可得112n n a a +<，由累加法可得24(1)n a n ≥+，进而由11n n na a +=+113n n a n a n ++≤+，然后利用累乘法求得6(1)(2)n a n n ≤++，最后根据裂项相消法即可得到1003S <，从而得解．【详解】 因为)111,N 1nn n a a n a *+==∈+，所以0n a >，10032S >． 由2111111241n n n n n n n a a a a a a ++⎛⎫⇒==-⎪⎪+⎭ 21111122n n n n a a a a ++⎛⎫∴<⎪⎪⎭112n n a a +<11122nn n a -+≤+=，当且仅当1n =时取等号，12412(1)3111n n n n n n a n a a a n n a n ++∴≥∴=≤=+++++ 113n n a n a n ++∴≤+， 由累乘法可得6(1)(2)n a n n ≤++，当且仅当1n =时取等号，由裂项求和法得：所以10011111111116632334451011022102S ⎛⎫⎛⎫≤-+-+-++-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即100332S <<． 故选：A ． 【点睛】1,n n a a +24(1)n a n ≥+，由题目条件可知要证100S 小于某数，从而通过局部放缩得到1,n n a a +的不等关系，改变不等式的方向得到6(1)(2)n a n n ≤++，最后由裂项相消法求得1003S <．8．（2021年北京市高考数学试题）已知{}n a 是各项均为整数的递增数列，且13a ≥，若12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C 【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得n 可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到n 的最大值． 【详解】若要使n 尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小， 不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n 项和为，则，，所以11n ≤. 对于，，取数列各项为(1,2,10)n =⋯，1125a =,则1211100a a a ++⋅⋅⋅+=， 所以n 的最大值为11． 故选：C ．9．（2020年北京市高考数学试卷）在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）．A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【答案】B 【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项. 【详解】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--，则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， 注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<<，且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈，由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项， 由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=，故数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=. 故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T . 故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.10．（2021·四川·内江市教育科学研究所一模（文））已知函数()f x 是R 上单调递减的奇函数，数列{}n a 为等差数列．若20a >，则()1f a +()()23f a f a +的值（ ） A ．恒为0 B ．恒为正数C ．恒为负数D ．可正可负【答案】C 【分析】根据函数()f x 是R 上单调递减的奇函数，得到()00f =，0x >时，()0f x <，0x <时，()0f x >求解.【详解】因为函数()f x 是R 上单调递减的奇函数，所以()00f =，当0x >时，()0f x <，当0x <时，()0f x >， 因为数列{}n a 为等差数列，且20a >， 所以()20f a <，13220a a a +=>， 则13a a >-，所以()()13f a f a <-，即()()130f a f a +<， 所以()1f a +()()230f a f a +<， 故选：C11．（2019年浙江省高考数学试卷）设,a b ∈R ，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则A ．当101,102b a =>B ．当101,104b a =>C ．当102,10b a =->D ．当104,10b a =->【答案】A 【分析】若数列{}n a 为常数列，101a a a ==，则只需使10a ≤，选项的结论就会不成立.将每个选项的b 的取值代入方程20x x b -+=，看其是否有小于等于10的解.选项B 、C 、D 均有小于10的解，故选项B 、C 、D 错误.而选项A 对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A 选项正确. 【详解】若数列{}n a 为常数列，则1n a a a ==，由21n n a a b +=+，可设方程20x x b -+= 选项A ：12b =时，2112n n a a +=+，2102x x -+=， 1210∆=-=-<，故此时{}n a 不为常数列，222112n n n n a a a +=+=+≥， 且2211122a a =+≥，792a a ∴≥≥21091610a a >≥>，故选项A 正确； 选项B ：14b =时，2114n n a a +=+，2104x x -+=，则该方程的解为12x =， 即当12a =时，数列{}n a 为常数列，12n a =， 则101102a =<，故选项B 错误； 选项C ：2b =-时，212n n a a +=-，220x x --=该方程的解为1x =-或2，即当1a =-或2时，数列{}n a 为常数列，1n a =-或2，同样不满足1010a >，则选项C 也错误；选项D ：4b =-时，214n n a a +=-，240x x --=该方程的解为117x ±=同理可知，此时的常数列{}n a 也不能使1010a >， 则选项D 错误. 故选：A. 【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.12．（2021·河南·南阳中学高三阶段练习（文））数列{}n a 的通项cos sin 33n n n a n n ππ22⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其前n 项和为n S ，则S 18为（ ）A ．173B ．174C ．175D ．176【答案】B 【分析】化简n a 可得22cos3n n a n π=，讨论n 取不同值时n a 的通项公式，并项求和. 【详解】22222cos sin cos sin cos33333n n n n n n a n n n n πππππ22⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当3n k =()k N *∈ 时，()233k a k =；31n k =-()k N *∈时，()231312k k a --=-；32n k =-()k N *∈时，()232322k k a --=-()()()223212333231592223k k kk k a a a k k ----++-=-+=-所以()()18166530912669174222S +⨯=+++-⨯=⨯-= 故选：B二、填空题13．（2020年浙江省高考数学试卷）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭就是二阶等差数列，数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈ 的前3项和是________． 【答案】10 【分析】根据通项公式可求出数列{}n a 的前三项，即可求出． 【详解】 因为()12n n n a +=，所以1231,3,6a a a ===． 即312313610S a a a =++=++=． 故答案为：10. 【点睛】本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题．14．（2020年江苏省高考数学试卷）设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______． 【答案】4 【分析】结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得{}{},n n a b 的公差和公比，由此求得d q +. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意1q ≠. 等差数列{}n a 的前n 项和公式为()2111222n n n d d P na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， 等比数列{}n b 的前n 项和公式为()1111111n n n b q b bQ q qq q-==-+---， 依题意n n n S P Q =+，即22111212211nn b b d d n n n a n q q q ⎛⎫-+-=+--+ ⎪--⎝⎭， 通过对比系数可知111212211dd a q b q⎧=⎪⎪⎪-=-⎪⎨⎪=⎪⎪=-⎪-⎩⇒112021d a q b =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，故4d q +=.故答案为：4 【点睛】11本小题主要考查等差数列和等比数列的前n 项和公式，属于中档题.15．（2021·陕西商洛·模拟预测（理））已知等比数列{}n a 的公比0q >，其前n 项和为n S ，且236,14S S ==，则数列2211log log nn a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前2021项和为___________. 【答案】20212022【分析】根据等比数列的通项公式及前n 项和公式得到方程组，求出1a 和q ，即可得到n a ，从而得到2211log log n n a a +⋅，再利用裂项相消法求和即可； 【详解】解：因233212118,6a S S a q S a a q =-===+=，所以211143a q a a q =+，所以23440q q --=，得2q 或23-（舍去），所以12a =，故2n n a =. 因为2211111log log (1)1n n a a n n n n +==-⋅++， 所以20211111112021112232021202220222022T =-+-++-=-=. 故答案为：2021202216．（2021·上海嘉定·一模）已知集合{}*21,A x x n n ==-∈N ，{}*2,n B x x n ==∈N ，将A B 中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列{}n a ，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使得1000n S >成立的最小的n 的值为_____________.【答案】36【分析】由题可得2n 为数列{}n a 的12n n -+项，且利用分组求和可得1112422n n n n S --++=+-，通过计算即得.【详解】由题意，对于数列{}n a 的项2n ，其前面的项1，3，5，…，21n A -∈，共有12n -项，232,2,2,,2n B ⋅⋅⋅∈，共有n 项，所以2n 为数列{}n a 的12n n -+项，且()()()()112112211221221222422n n n n n n S ---++⎡⎤=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-++++=+-⎣⎦.可算得612638-+=（项），3864a =，381150S =，试卷第12页，共12页因为3763a =，3661a =，3559a =，所以371086S =，361023S =，35962S =， 因此所求n 的最小值为36.故答案为：36.13。
2020年新高考模拟数学试卷（含答案）2020年5月8日-20001
2020年新⾼考模拟数学试卷（含答案）2020年5⽉8⽇-200012020年新⾼考模拟数学试卷(含答案)2020年5⽉8⽇下午1.巳知全集U = 集今A = W + ■丹C V A =A.[0,1] (011) C*( —g,l] D. (—8,1)2.设复数富=⾈(其中i为虚数取位⽚则爱数⽦在复平⾯内对应的点所往的象限为上第⼀象限R第⼆魏駁C■第三酿限 D. ?四象隈3.加强体育锻炼⾧许少年⽜.活学习中⾮常議悪的组成梆分+某学冷做引体向上运动*处于如图所⽰的平衡状态时，若两只咯膊的夹谢为$0為毎⾙貉鱒的拉⼒⼤⼩均为400 N>Mm学⽣的体重(单位:kQ绡为(蠢考數据：取重⼒加遽厦⼤⼩为>f = 10 密壬1.732)A.63 B* 69C. 75 D* 814已划函数"I的部分图象如图，則的解析式可能星A* /B t /(x) = z+?in 2xG /(J)屯Jf—g&n 2jr5.⽅嵋医除的创设.在抗击卿冠肺炎疫悄中发挥了不可薔代的匿要作⽤?幕⽅枪医院医疗⼩级誓七名护⼟?悔名护⼠从周⼀到同⽇轮潦安排⼀个視5L若甲的夜廳⽐丙曖⼀天，丁的拽班⽐戊瞬期⼤，⼄的夜班⽐庚早三夭.⼰的救班在周四?且倚好在⼄和内的正中阖，则同五值厦班的护⼠为A.甲⽒丙 C.戊 D.庚6+已知抛物线贰=仏的焦点为F,直线IHF且与抛物线交于A初两点，过A作拋物线准线的垂线,垂⾜为M,/MAF的⾓平分线与抛物线的准线交于点P,线段AE的中点为Q. 若tAB|=8,((iJlPQ|-A. 2 B. 4 G6 D. 87?洛书，古称龟书?晁阴阳五⾏术数之源，蔽世界公认为组合数学的⿐祖*它是中华民姦对⼈类的伟⼤贡献之⼀*在古代传说中有神⿔出于浇⽔，其甲壳上有圏1严以五居中，五⽅⽩圈皆阳数,四隅鳩点为阴ST,这就是蛊早的三阶幻⽅.按麗上述说法，将1到9这九个数字*填在如图2所⽰的九官格⾥，九宫務的中间填5,四个⾓填偶数+基余位?i填奇数.则每⼀横⾏、每⼀竖列以及两条对⾓线上3久。
2020年北京市密云区高考数学第一次模拟测试试卷 含解析
2020年高考数学一模试卷一、选择题(共10题)1．已知集合M＝{x|x＞0}，N＝{x|﹣l≤x≤1}，则M∩N＝（）A．[﹣1，+∞）B．（0，1）C．（0，1]D．[0，1]2．已知复数z＝，则|z|＝（）A．l+i B．1﹣i C．D．23．设数列{a n}是等差数列，a1+a3+a5＝6，a7＝6．则这个数列的前7项和等于（）A．12B．21C．24D．364．已知平面向量＝（4，2），＝（x，3），∥，则实数x的值等于（）A．6B．1C．D．﹣5．已知x，y∈R，则“x＜y”是“＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．如果直线ax+by＝1与圆C：x2+y2＝1相交，则点M（a，b）与圆C的位置关系是（）A．点M在圆C上B．点M在圆C外C．点M在圆C内D．上述三种情况都有可能7．函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（）A．B．C．D．8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（）A．8B．C．8+2D．8+49．已知斜率为k的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0），则斜率k的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）10．在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是（）A．点F的轨迹是一条线段B．A1F与BE是异面直线C．A1F与D1E不可能平行D．三棱锥F﹣ABD1的体积为定值二、填空题11．已知的展开式中，含x3项的系数为（用数字作答）．12．双曲线y2﹣x2＝1的焦点坐标是，渐近线方程是．13．在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人．在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为，第天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．14．函数f（x）＝cos2x的最小正周期是，单调递增区间是15．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且b2+c2﹣a2＝bc．（I）已知_______，计算△ABC的面积；请从①a＝，②b＝2，③sin C＝2sin B这三个条件中任选两个，将问题（I）补充完整，并作答．注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分．（Ⅱ）求cos B+cos C的最大值．17．在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习惯，社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求．某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据．六类习惯是：（1）卫生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息规律状况类．经过数据整理，得到如表：卫生习惯状况类垃圾处理状况类体育锻炼状况类心理健康状况类膳食合理状况类作息规律状况类有效答卷份数380550330410400430习惯良好频率0.60.90.80.70.650.6假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立．（I）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；（Ⅱ）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯的概率；（Ⅲ）利用上述六类习惯调查的排序，用“ξk＝1”表示任选一位第k类受访者是习惯良好者，“ξk＝0”表示任选一位第k类受访者不是习惯良好者（k＝1，2，3，4，5，6）．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ADC＝60°，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是线段PD和BC的中点．（I）求直线CM与平面PAB所成角的正弦值；（Ⅱ）求二面角D﹣AP﹣B的余弦值；（Ⅲ）试判断直线MN与平面PAB的位置关系，并给出证明．19．已知函数f（x）＝e x（ax+1），a∈R．（I）求曲线y＝f（x）在点M（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）判断函数f（x）的零点个数．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（0，1）．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）点P是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，过点P作PQ⊥y轴于Q，线段PQ的中点为M．直线AM与直线y＝﹣l交于点N，D为线段BN的中点，设O为坐标原点，试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系．21．设等差数列{a n}的首项为0，公差为a，a∈N*；等差数列{b n}的首项为0，公差为b，b∈N*．由数列{a n}和{b n}构造数表M，与数表M*：记数表M中位于第i行第j列的元素为c i，j，其中c i，j＝a i+b j（i，j＝1，2，3，…）．记数表M*中位于第i行第j列的元素为d i，j，其中d i，j＝a i﹣b j+1．（1≤i≤b，i∈N*，j∈N*）．如：c1，2＝a1+b2，d l，2＝a1﹣b3．（I）设a＝5，b＝9，请计算c2，6，c396，6，d2，6；（Ⅱ）设a＝6．b＝7，试求c i，j，d i，j的表达式（用i，j表示），并证明：对于整数t，若t不属于数表M，则t属于数表M*；（Ⅲ）设a＝6，b＝7，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值．参考答案一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M＝{x|x＞0}，N＝{x|﹣l≤x≤1}，则M∩N＝（）A．[﹣1，+∞）B．（0，1）C．（0，1]D．[0，1]【分析】进行交集的运算即可．解：∵M＝{x|x＞0}，N＝{x|﹣l≤x≤1}，∴M∩N＝（0，1]．故选：C．2．已知复数z＝，则|z|＝（）A．l+i B．1﹣i C．D．2【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得z，进而求得结论．解：因为复数z＝＝＝i（1﹣i）＝1+i；∴|z|＝＝；故选：C．3．设数列{a n}是等差数列，a1+a3+a5＝6，a7＝6．则这个数列的前7项和等于（）A．12B．21C．24D．36【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列的前7项和．解：∵数列{a n}是等差数列，a1+a3+a5＝6，a7＝6．∴，解得a1＝0，d＝1，∴这个数列的前7项和为：＝21．故选：B．4．已知平面向量＝（4，2），＝（x，3），∥，则实数x的值等于（）A．6B．1C．D．﹣【分析】利用向量共线的充要条件，列出方程求解即可．解：向量＝（4，2），＝（x，3），若∥，可得12＝2x，解得x＝6．故选：A．5．已知x，y∈R，则“x＜y”是“＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】“x＜y”与“＜1”相互推不出，与y的正负有关，即判断出关系．解：“x＜y”与“＜1”相互推不出，与y的正负有关，∴“x＜y”是“＜1”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．如果直线ax+by＝1与圆C：x2+y2＝1相交，则点M（a，b）与圆C的位置关系是（）A．点M在圆C上B．点M在圆C外C．点M在圆C内D．上述三种情况都有可能【分析】由直线与圆相交，可得圆心到直线的距离小于半径，转化为点M（a，b）到圆心的距离大于半径得答案．解：∵直线ax+by＝1与圆C：x2+y2＝1相交，∴圆心（0，0）到直线ax+by＝1的距离d＝＜1，即＞1．也就是点M（a，b）到圆C的圆心的距离大于半径．即点M（a，b）与圆C的位置关系是点M在圆C外．故选：B．7．函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（）A．B．C．D．【分析】图象上给出半个周期的长度，由此可以求出最高点、曲线和x轴交点的横坐标，即可看出增减区间．解：本题采用赋值法如图所示，此图象在x轴负半轴与x轴相交的点为﹣，x轴负半轴最高点对应的横坐标为﹣，x轴正半轴与中点为，所以我们所能看到的图象上对称的特殊点的横坐标分别为﹣，﹣，﹣，，，，增区间里面没有π，所以A、B答案错．C答案：当k＝1时，区间为（﹣，）为此函数的减区间，D答案：当k＝0时，区间为（﹣，﹣）为此函数的增区间．故选：D．8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（）A．8B．C．8+2D．8+4【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，（该题中的三视图要转换角度来看）如图所示：所以：＝8+4，故选：D．9．已知斜率为k的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0），则斜率k的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程为：y＝kx+b，与抛物线方程联立，由△＞0得kb＜1，利用韦达定理结合已知条件得b＝，m＝，代入上式即可求出k的取值范围．解：设直线l的方程为：y＝kx+b，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，消去y得：k2x2+（2kb﹣4）x+b2＝0，∴△＝（2kb﹣4）2﹣4k2b2＞0，∴kb＜1，且，，y1+y2＝k（x1+x2）+2b＝，∵线段AB的中点为M（1，m）（m＞0），∴＝2，，∴b＝，m＝，∵m＞0，∴k＞0，把b＝代入kb＜1，得2﹣k2＜1，∴k2＞1，∴k＞1，故选：C．10．在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是（）A．点F的轨迹是一条线段B．A1F与BE是异面直线C．A1F与D1E不可能平行D．三棱锥F﹣ABD1的体积为定值【分析】分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，以及体积公式分别进行判断．解：对于A．设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，则∵A1M∥D1E，A1M⊄平面D1AE，D1E⊂平面D1AE，∴A1M∥平面D1AE．同理可得MN∥平面D1AE，∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线∴平面A1MN∥平面D1AE，由此结合A1F∥平面D1AE，可得直线A1F⊂平面A1MN，即点F是线段MN上上的动点．∴A正确．对于B．∵平面A1MN∥平面D1AE，BE和平面D1AE相交，∴A1F与BE是异面直线，∴B正确．对于C，由A知，平面A1MN∥平面D1AE，∴A1F与D1E不可能平行，∴C错误．对于D，因为MN∥EG，则F到平面AD1E的距离是定值，三棱锥F﹣AD1E的体积为定值，所以D正确；故选：C．二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11．已知的展开式中，含x3项的系数为﹣10（用数字作答）．【分析】利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中含x3的系数．解：展开式的通项公式为，令5﹣2r＝3，解得r＝1，所以展开式中含x3的系数为．故答案为：﹣10．12．双曲线y2﹣x2＝1的焦点坐标是（0，），渐近线方程是y＝±x．【分析】通过双曲线的标准方程，求解c，，即可得到所求的结果．解：双曲线y2﹣x2＝1，可得a＝1，b＝1，则c＝，所以双曲线的焦点坐标是（0，），渐近线方程为：y＝±x．故答案为：（0，）；y＝±x．13．在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人．在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为8，第22天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．【分析】由题意得出院人数构成一个首项为1，公比为2的等比数列，由此能求结果．解：某医院一次性收治患者127人．第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，∴从第15天开始，每天出院人数构成以1为首项，2为公比的等比数列，则第19天治愈出院患者的人数为a4＝1×23＝8，＝127，解得n＝7，∴第7+15＝22天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．故答案为：8，22．14．函数f（x）＝cos2x的最小正周期是π，单调递增区间是[kπ+，kπ+π]，k∈Z 【分析】化简函数的表达式，利用余弦函数的图象和性质求解即可．解：∵函数f（x）＝cos2x＝cos2x+，∴可得最小正周期T＝＝π，令2kπ+π≤2x≤2kπ+2π，k∈Z，可得kπ+≤x≤kπ+π，k∈Z，可得单调递增区间是[kπ+，kπ+π]，k∈Z．故答案为：π，[kπ+，kπ+π]，k∈Z．15．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（﹣∞，3）．【分析】由函数f（x）的解析式画出函数的图象，再画y＝x+a的图象，求出一个交点时的a的值，然后平行移动可得有两个交点时的a的范围．解：函数f（x）的图象如图所示：方程f（x）＝x+a有且只有两个不相等的实数根，当过（0，3）点时两个函数有一个交点，即y＝a，时与函数f（x）有一个交点，向下平移后有两个交点，可得a＜3，故答案为：（﹣∞，3）．三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且b2+c2﹣a2＝bc．（I）已知_______，计算△ABC的面积；请从①a＝，②b＝2，③sin C＝2sin B这三个条件中任选两个，将问题（I）补充完整，并作答．注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分．（Ⅱ）求cos B+cos C的最大值．【分析】（Ⅰ）选②b＝2，③sin C＝2sin B．可得c＝2b＝4，结合b2+c2＝a2+bc，求得A＝．即可．若选①a＝，②b＝2．由b2+c2＝a2+bc可得c＝3由b2+c2＝a2+bc，求得A＝．即可．若选①a＝，③sin C＝2sin B，可得c＝2b，又b2+c2＝a2+bc，可得b＝，c＝即可；（Ⅱ）cos B+cos C＝cos B+cos[π﹣（B+）]＝cos B﹣cos（B+）＝cos B﹣+＝＝sin（B+）≤1即可．解：（Ⅰ）若选②b＝2，③sin C＝2sin B．∵sin C＝2sin B，∴c＝2b＝4，∵b2+c2＝a2+bc，∴cos A＝，又∵A∈（0，π），∴A＝．∴△ABC的面积S＝．若选①a＝，②b＝2．由b2+c2＝a2+bc可得c＝3，∵b2+c2＝a2+bc，∴cos A ＝，又∵A∈（0，π），∴A ＝．∴△ABC的面积S ＝＝．若选①a ＝，③sin C＝2sin B∵sin C＝2sin B，∴c＝2b，又b2+c2＝a2+bc，∴b2+4b2＝7+2b2，可得b ＝，c ＝∴△ABC的面积S ＝＝．（Ⅱ）∵A ＝．∴cos B+cos C＝cos B+cos[π﹣（B +）]＝cos B﹣cos（B +）＝cos B ﹣+＝＝sin（B +）∵，∴sin（B +）≤1，故cos B+cos C的最大值为1．．17．在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习惯，社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求．某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据．六类习惯是：（1）卫生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息规律状况类．经过数据整理，得到如表：卫生习惯状况类垃圾处理状况类体育锻炼状况类心理健康状况类膳食合理状况类作息规律状况类有效答卷份数380550330410400430习惯良好频率0.60.90.80.70.650.6假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立．（I）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；（Ⅱ）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯的概率；（Ⅲ）利用上述六类习惯调查的排序，用“ξk＝1”表示任选一位第k类受访者是习惯良好者，“ξk＝0”表示任选一位第k类受访者不是习惯良好者（k＝1，2，3，4，5，6）．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．【分析】（I）设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者“的事件为A，根据古典概型求出即可；（II）设该区“卫生习惯状况良好者“，“体育锻炼状况良好者“、“膳食合理状况良好者”事件分别为A，B，C，设事件E为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“，则P（E）＝P（AB）+P（A C）+P（BC）+P（ABC），求出即可；（III）根据题意，写出即可．解：（I）设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者“的事件为A，有效问卷共有380+550+330+410+400+430＝2500（份），其中受访者中膳食合理习惯良好的人数是400×0.65＝260人，故P（A）＝＝0.104；（II）设该区“卫生习惯状况良好者“，“体育锻炼状况良好者“、“膳食合理状况良好者”事件分别为A，B，C，根据题意，可知P（A）＝0.6，（B）＝0.8，P（C）＝0.65，设事件E为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“则P（E）＝P（AB）+P（A C）+P（BC）+P（ABC）＝P（A）P（B）P（）+P（A）P（）P（C）+P（）P（B）P（C）+P（A）P（B）P（C）＝0.6×0.8×0.35+0.6×0.2×0.65+0.4×0.8×0.65+0.6×0.8×0.65＝0.168+0.078+0.208+0.312＝0.766；（III）Dξ6＝Dξ1＞Dξ5＞Dξ4＞Dξ3＞Dξ2．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ADC＝60°，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是线段PD和BC的中点．（I）求直线CM与平面PAB所成角的正弦值；（Ⅱ）求二面角D﹣AP﹣B的余弦值；（Ⅲ）试判断直线MN与平面PAB的位置关系，并给出证明．【分析】取AD中点O，连接OC，则OC⊥AD，再由已知证明OP⊥平面ABCD，以O 为坐标原点，分别以OC，OD，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面PAB的一个法向量．（Ⅰ）求出的坐标，由与所成角的余弦值可得直线CM与平面PAB所成角的正弦值；（Ⅱ）求出平面PAD的一个法向量，再由两平面法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣AP﹣B的余弦值；（Ⅲ）求出的坐标，由，结合MN⊄平面PAB，可得直线MN∥平面PAB．解：∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠ADC＝60°，∴△ACD为等边三角形．取AD中点O，连接OC，则OC⊥AD，∵△PAD为等边三角形，∴OP⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴OP⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别以OC，OD，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则A（0，﹣1，0），D（0，1，0），C（，0，0），B（，﹣2，0），P（0，0，），M（0，，），N（，﹣1，0）．，，设平面PAB的一个法向量为．由，取y＝，得．（Ⅰ）证明：，设直线CM与平面PAB所成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝＝，即直线CM与平面PAB所成角的正弦值为；（Ⅱ）解：设平面DAP的一个法向量为，由cos＜＞＝，得二面角D﹣AP﹣B的余弦值为﹣；（Ⅲ）解：∵，∴，又MN⊄平面PAB，∴直线MN∥平面PAB．19．已知函数f（x）＝e x（ax+1），a∈R．（I）求曲线y＝f（x）在点M（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）判断函数f（x）的零点个数．【分析】（I）设曲线y＝f（x）在点M（0，f（0））处的切线的斜率为k，可求得k＝f′（0）＝a+1，f（0）＝1，利用直线的点斜式方程即可求得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f′（x）＝e x（ax+a+1），分a＝0时，a＞0，a＜0三类讨论，即可求得各种情况下的f（x）的单调区间为；（Ⅲ）分a＝0与a≠0两类讨论，即可判断函数f（x）的零点个数．解：（I）∵f（x）＝e x（ax+1），∴f′（x）＝e x（ax+1）+ae x＝e x（ax+a+1），设曲线y＝f（x）在点M（0，f（0））处的切线的斜率为k，则k＝f′（0）＝e x（ax+1）+ae x＝e0（a+1）＝a+1，又f（0）＝1，∴曲线y＝f（x）在点M（0，f（0））处的切线方程为：y﹣1＝（a+1）x，即（a+1）x ﹣y+1＝0；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f′（x）＝e x（ax+a+1），故当a＝0时，f′（x）＝e x＞0，所以f（x）在R上单调递增；当a＞0时，x∈（﹣∞，﹣），f′（x）＜0；x∈（﹣，+∞），f′（x）＞0；∴f（x）的递减区间为（﹣∞，﹣），递增区间为（﹣，+∞）；当a＜0时，同理可得f（x）的递增区间为（﹣∞，﹣），递减区间为（﹣，+∞）；综上所述，a＝0时，f（x）单调递增为（﹣∞，+∞），无递减区间；当a＞0时，f（x）的递减区间为（﹣∞，﹣），递增区间为（﹣，+∞）；当a＜0时，f（x）的递增区间为（﹣∞，﹣），递减区间为（﹣，+∞）；（Ⅲ）当a＝0时，f（x）＝e x＞0恒成立，所以f（x）无零点；当a≠0时，由f（x）＝e x（ax+1）＝0，得：x＝﹣，只有一个零点．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（0，1）．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）点P是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，过点P作PQ⊥y轴于Q，线段PQ的中点为M．直线AM与直线y＝﹣l交于点N，D为线段BN的中点，设O为坐标原点，试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系．【分析】（I）根据题意列出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c的值，即可得到椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点P（x0，y0），则M（，y0），求出直线AM的方程，进而求出点N的坐标，再利用中点坐标公式得到点D的坐标，下面结合点P在椭圆C上证出＝0，所以点M在以OD为直径的圆上．解：（I）由题意可知，，解得，∴椭圆C的标准方程为：；（Ⅱ）设点P（x0，y0），则M（，y0），∴直线AM的斜率为，∴直线AM的方程为：y＝x+1，令y＝﹣1得，x＝，∴点N的坐标为（，﹣1），∴点D的坐标为（，﹣1），∴＝（，y0）•＝，又∵点P（x0，y0）在椭圆C上，∴，，∴＝1﹣+y0＝1﹣（1+y0）+y0＝0，∴点M在以OD为直径的圆上．21．设等差数列{a n}的首项为0，公差为a，a∈N*；等差数列{b n}的首项为0，公差为b，b∈N*．由数列{a n}和{b n}构造数表M，与数表M*：记数表M中位于第i行第j列的元素为c i，j，其中c i，j＝a i+b j（i，j＝1，2，3，…）．记数表M*中位于第i行第j列的元素为d i，j，其中d i，j＝a i﹣b j+1．（1≤i≤b，i∈N*，j∈N*）．如：c1，2＝a1+b2，d l，2＝a1﹣b3．（I）设a＝5，b＝9，请计算c2，6，c396，6，d2，6；（Ⅱ）设a＝6．b＝7，试求c i，j，d i，j的表达式（用i，j表示），并证明：对于整数t，若t不属于数表M，则t属于数表M*；（Ⅲ）设a＝6，b＝7，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值．【分析】（Ⅰ）将a＝5，b＝9代入，可求出a n，b n，可代入求c i，j，d i，j，可求结果．（Ⅱ）可求c i，j，d i，j，通过反证法证明，（Ⅲ）可推出t∉M，t∈M*，t的最大值，就是集合M*中元素的最大值，求出．解：（1）由题意知等差数列{a n}的通项公式为：a n＝5n﹣5；等差数列{b n}的通项公式为：b n＝9n﹣9，得c i，j＝a i+b j＝（5i﹣5）+（9i﹣9）＝5i+9j﹣14，则c2，6＝50，c396，6＝2020，得d i，j＝a i﹣b j+1＝（5i﹣5）﹣[9（j+1）﹣9]＝5i﹣9j﹣5，故d2，6＝﹣49．（2）证明：已知a＝6．b＝7，由题意知等差数列{a n}的通项公式为：a n＝6n﹣6；等差数列{b n}的通项公式为：b n＝7n﹣7，得c i，j＝a i+b j＝（6i﹣6）+（7i﹣7）＝6i+7j﹣13，i∈N*，j∈N*）．得d i，j＝a i﹣b j+1＝（6i﹣6）﹣[7（j+1）﹣7]＝6i﹣7j﹣6，1≤i≤7，i∈N*，j∈N*）．所以若t∈M，则存在u∈N，v∈N，使t＝6u+7v，若t∈M*，则存在u∈N，u≤6，v∈N*，使t＝6u﹣7v，因此，对于正整数t，考虑集合M0＝{x|x＝t﹣6u，u∈N，u≤6}，即{t，t﹣6，t﹣12，t﹣18，t﹣24，t﹣30，t﹣36}．下面证明：集合M0中至少有一元素是7的倍数．反证法：假设集合M0中任何一个元素，都不是7的倍数，则集合M0中每一元素关于7的余数可以为1，2，3，4，5，6，又因为集合M0中共有7个元素，所以集合M0中至少存在两个元素关于7的余数相同，不妨设为t﹣6u1，t﹣u2，其中u1，u2∈N，u1＜u2≤6．则这两个元素的差为7的倍数，即（t﹣u2）﹣（t﹣6u1）＝6（u1﹣u2），所以u1﹣u2＝0，与u1＜u2矛盾，所以假设不成立，即原命题成立．即集合M0中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为t﹣6u0，u0≤6，u0∈N，则存在s∈Z，使t﹣6u0＝7s，u0∈N，u0≤6，即t＝6u0+7s，u0∈N，s∈Z，由已证可知，若t∈M，则存在u∈N，v∈N，使t＝6u+7v，而t∉M，所以S为负整数，设V＝﹣s，则v∈N*，且t＝6u0﹣7v，u0∈N，u0≤6，v∈N*，所以，当a＝6，b＝7时，对于整数t，若t∉M，则t∈M*成立．（Ⅲ）下面用反证法证明：若对于整数t，t∈M*，则t∉M，假设命题不成立，即t∈M*，且t∈M．则对于整数t，存在n∈N，m∈N，u∈N，u≤6，v∈N*，使t＝6u﹣7v＝6n+7m成立，整理，得6（u﹣n）＝7（m+v），又因为m∈N，v∈N*，所以u﹣n＝（m+v）＞0且u﹣n是7的倍数，因为u∈一、选择题，u≤6，所以u﹣n≤6，所以矛盾，即假设不成立．所以对于整数t，若t∈M*，则t∉M，又由第二问，对于整数t∉M，则t∈M*，所以t的最大值，就是集合M*中元素的最大值，又因为t＝6u﹣7v，u∈N，v∈N*，u≤6，所以t max＝（M*）max＝6×6﹣7×1＝29．。
北京市2020年高考数学模拟试卷(含解析)
2020北京高考模拟试卷数 学一．选择题（共10小题）1．若复数z 满足(12)z i i =-，则复平面内z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合2{|540}A x x x =-+<，{|24}x B x =<，则)(B C A R ⋃( )A ．(1，2]B ．[2，4)C ．[1，)+∞D ．(1,)+∞3．下列函数中，在(0,)+∞内单调递增，并且是偶函数的是( )A ．2(1)y x =--B ．cos 1y x =+C ．||2y lg x =+D ．2x y =4．函数1y =+的值域为( )A ．[0，)+∞B ．[1，)+∞C ．[2，)+∞D ．)+∞5．在圆22:4410M x y x y +---=中，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．6B ．12C ．24D ．366．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度后得到曲线1C ，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，则2C 的解析式为( )A ．sin y x =B ．cos y x =C ．sin 4y x =D ．cos4y x =7．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为( )A ．B ．4C ．D ．8．已知函数⎩⎨⎧≥=1ln 1,0)(x x x x f ，＜，若不等式k x x f -≤)(对任意的x R ∈恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．(-∞，1] B ．[1，)+∞ C ．[0，1) D ．(1-，0]9．已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，则“3152a a a >+”是“210n S -<”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( )A ．7班、14班、15班B ．14班、7班、15班C ．14班、15班、7班D ．15班、14班、7班二．填空题（共5小题） 11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点和点(2,)P a b 为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C 的离心率为 ．12．已知向量(1,1)a =，(3,)b m =-，若向量2a b -与向量b 共线，则实数m = ．13．如果抛物线22y px =上一点(4,)A m 到准线的距离是6，那么m = ．14．在四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，3CD =，4AD =，且120ABC ∠=︒，则AC = ，cos BCD ∠= ．15．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x g x g x =--，且()f x 在R 单调递增，对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，恒有1212()()()f x f x f x x =+，则使不等式21[)](2)02f f m +->成立的m 取值范围是 ． 三．解答题（共6小题）16．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是等腰梯形，//AD BC ，2AD =，4BC =，60ABC ∠=︒，PAD ∆为等边三角形，且点P 在底面ABCD 上的射影为AD 的中点G ，点E 在线段BC 上，且:1:3CE EB =．（1）求证：DE ⊥平面PAD ．（2）求二面角A PC D --的余弦值．。
2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．i是虚数单位，=（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．﹣1+i2．已知全集U=R，函数y=ln（x﹣1）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}，则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）3．“”是“e a＞e b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．42 B．19 C．8 D．35．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A．B．或C．D．或6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）（注：结余=收入﹣支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3：1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．1 D．8．若圆x2+（y﹣1）2=r2与曲线（x﹣1）y=1没有公共点，则半径r的取值范围是（）A．0＜r＜B．0＜r＜C．0＜r＜D．0＜r＜二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是_______（用数字作答）．10．已知等差数列{a n}（n∈N*）中，a1=1，a4=7，则数列{a n}的通项公式a n=_______；a2+a6+a10+…+a4n+10=_______．11．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+y2=2，曲线C2的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点的极坐标为_______．12．不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则实数a的取值范围是_______．13．已知M为△ABC所在平面内的一点，且．若点M在△ABC的内部（不含边界），则实数n的取值范围是_______．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i（i=1，2，…，12）项能力特征用x i表示，，若学生A，B的十二项能力特征分别记为A=（a1，a2，…，a12），B=（b1，b2，…，b12），则A，B两名学生的不同能力特征项数为_______（用a i，b i表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为_______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数，ω＞0．（Ⅰ）若ω=1，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求f（x）的最小正周期T的表达式并指出T的最大值．16．为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如表．1 2 3 4 5男生 1 4 3 2 2女生0 1 3 3 1（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）．17．如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2．直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点．（Ⅰ）求证：A1C1⊥AP；（Ⅱ）当点P是线段BB1中点时，求二面角P﹣AM﹣B的余弦值；1（Ⅲ）是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由．18．已知函数f（x）=x+alnx，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；（Ⅲ）试问过点P（1，3）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由．19．已知点和椭圆C：．（Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，试求△PF1F2的周长及椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线l：与椭圆C交于两个不同的点A，B，直线PA，PB 与x轴分别交于M，N两点，求证：|PM|=|PN|．20．已知等差数列{a n}的通项公式．设数列{b n}为等比数列，且．（Ⅰ）若b1=a1=2，且等比数列{b n}的公比最小，（ⅰ）写出数列{b n}的前4项；（ⅱ）求数列{k n}的通项公式；（Ⅱ）证明：以b1=a2=5为首项的无穷等比数列{b n}有无数多个．2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．i是虚数单位，=（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．﹣1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果．【解答】解：===1+i，故选C．2．已知全集U=R，函数y=ln（x﹣1）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}，则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别解出关于M，N的范围，然后判断即可．【解答】解：由x﹣1＞0，解得：x＞1，故函数y=ln（x﹣1）的定义域为M=（1，+∞），由x2﹣x＜0，解得：0＜x＜1，故集合N={x|x2﹣x＜0}=（0，1），∴∁U N={x|x≥1或x≤0}，∴M⊆（∁U N），故选：D．3．“”是“e a＞e b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“”等价于a＞b，可得“e a＞e b”，反之不成立，例如取a=2，b=﹣1．即可判断出结论．【解答】解：∵“”⇔a＞b⇒“e a＞e b”，反之不成立，例如取a=2，b=﹣1．∴“”是“e a＞e b”的充分不必要条件．故选：A．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．42 B．19 C．8 D．3【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=4时不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为19．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=1满足条件i＜4，S=3，i=2满足条件i＜4，S=8，i=3满足条件i＜4，S=19，i=4不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为19．故选：B．5．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A．B．或C．D．或【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理表示出cosB，整理后代入已知等式，利用同角三角函数间基本关系化简，求出sinB的值，即可确定出B的度数．【解答】解：∵cosB=，∴a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知等式得：2ac•cosBtanB=ac，即sinB=，则B=或．故选：B．6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）（注：结余=收入﹣支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3：1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据折现统计图即可判断各选项．【解答】解：由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3：1，故A正确，由图可知，结余最高为7月份，为80﹣20=60，故B正确，由图可知，1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确，由图可知，前6个月的平均收入为（40+60+30+30+50+60）=45万元，故D错误，故选：D．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．1 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB⊥侧面PAB．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB⊥侧面PAB．该几何体的体积V=××1=．故选：A．8．若圆x2+（y﹣1）2=r2与曲线（x﹣1）y=1没有公共点，则半径r的取值范围是（）A．0＜r＜B．0＜r＜C．0＜r＜D．0＜r＜【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】求得圆的圆心和半径，设圆与曲线y=相切的切点为（m，n），代入曲线的方程，求出函数的导数和切线的斜率，由两点的斜率公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得切点，进而得到此时圆的半径，结合图象即可得到所求范围．【解答】解：圆的圆心为（0，1），半径为r，设圆与曲线y=相切的切点为（m，n），可得n=，①y=的导数为y′=﹣，可得切线的斜率为﹣，由两点的斜率公式可得•（﹣）=﹣1，即为n﹣1=m（m﹣1）2，②由①②可得n4﹣n3﹣n﹣1=0，化为（n2﹣n﹣1）（n2+1）=0，即有n2﹣n﹣1=0，解得n=或，则有或．可得此时圆的半径r==．结合图象即可得到圆与曲线没有公共点的时候，r的范围是（0，）．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是10（用数字作答）．【考点】二项式定理．【分析】先求出二项式（x2+）5的展开式中通项公式，令x的系数等于4，求出r的值，即可求得展开式中含x4的项的系数．【解答】解：二项式（x2+）5的展开式中通项公式为T r+1=x10﹣2r x﹣r=x10﹣3r．令10﹣3r=4，可得r=2，∴展开式中含x4的项的系数是=10，故答案为10．10．已知等差数列{a n}（n∈N*）中，a1=1，a4=7，则数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；a2+a6+a10+…+a4n+10=（n+3）（4n+11）．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式求出首项和公差，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}（n∈N*）中，a1=1，a4=7，∴a4=1+3d=7，解得d=2，∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∴a2=1+2=3，a6=1+5×2=11，a6﹣a2=8，∴a2+a6+a10+…+a4n+10=×3+×8=（n+3）（4n+11）．故答案为：2n﹣1，（n+3）（4n+11）．11．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+y2=2，曲线C2的参数方程为（t 为参数）．以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点的极坐标为（，）．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．【分析】将曲线C2的参数方程代入曲线C1的方程，可得t=1，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，tanθ=，求得ρ，θ，即可得到所求坐标．【解答】解：将曲线C2的参数方程（t为参数）代入曲线C1的方程为x2+y2=2，可得（2﹣t）2+t2=2，解得t=1，可得交点的直角坐标为（1，1），由x=ρcosθ，y=ρsinθ，tanθ=，可得ρ==，tanθ=1，0＜θ＜，可得θ=．可得交点的极坐标为（，）．故答案为：（，）．12．不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则实数a的取值范围是．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域图示：因为y=a（x+1）过定点C（﹣1，0）．当a≤0时，直线y=a（x+1）与区域D有公共点，满足条件．当a＞0时，当直线y=a（x+1）过点A时，由公共点，由得，即A（3，3），代入y=a（x+1）得4a=3，a=，又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．此时0＜a≤．综上所述，a≤．故答案为：．13．已知M为△ABC所在平面内的一点，且．若点M在△ABC的内部（不含边界），则实数n的取值范围是（0，）．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据题意可作出图形，将，带入并进行向量的数乘运算便可以得出，这样根据向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义便可得到，从而便可得出实数n的取值范围．【解答】解：如图，由得：；∴；∴；∴；∴；∴实数n的取值范围是．故答案为：．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i（i=1，2，…，12）项能力特征用x i表示，，若学生A，B的十二项能力特征分别记为A=（a1，a2，…，a12），B=（b1，b2，…，b12），则A，B两名学生的不同能力特征项数为（用a i，b i表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为22．【考点】函数模型的选择与应用；分段函数的应用．【分析】根据A，B两名学生的每一项的特征数是否相同，进行求解计算即可．【解答】解：若第i（i=1，2，…，12）项能力特征相同，则差为0，特征不相同，绝对值为1，则用x i表示A，B两名学生的不同能力特征项数为=|a1﹣b1|+|b2﹣c2|+…+|c12﹣a12|=，设第三个学生为C=（c1，c2，…，c12），则d i=|a i﹣b i|+|b i﹣c i|+|c i﹣a i|，1≤i≤12，∵d i的奇偶性和（a i﹣b i）+（b i﹣c i）+（c i﹣a i）=0一样，∴d i是偶数，3名学生两两不同能力特征项数总和为S=d1+d2+…+d12为偶数，又S≥7×3=21．则S≥22，取A=（0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1），B=（1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1），C=（1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，1），则不同能力特征数总和恰好为22，∴最小值为22，故答案为：，22三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数，ω＞0．（Ⅰ）若ω=1，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求f（x）的最小正周期T的表达式并指出T的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当ω=1时，利用两角和与差以及二倍角公式化简函数的解析式，然后求解函数的单调区间．（Ⅱ）化简函数的解析式为：f（x）=．通过，求出．然后求解T的最大值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当ω=1时，==．令．解得．所以f（x）的单调递增区间是．…（Ⅱ）由==．因为，所以．则，n∈Z．解得．又因为函数f（x）的最小正周期，且ω＞0，所以当ω=时，T的最大值为4π．…16．为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如表．1 2 3 4 5男生 1 4 3 2 2女生0 1 3 3 1（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；极差、方差与标准差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设事件A：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4．由此能求出这两名学生阅读名著本数之和为4的概率．（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．（Ⅲ）．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4．由题意可知，．…（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4．由题意可得，，，，．所以随机变量X的分布列为X 0 1 2 3 4P随机变量X的均值．…（Ⅲ）．…17．如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2．直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点．（Ⅰ）求证：A1C1⊥AP；（Ⅱ）当点P是线段BB1中点时，求二面角P﹣AM﹣B的余弦值；1（Ⅲ）是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）证明AC⊥AB．结合AC⊥AA1，证明AC⊥平面AA1B1B．推出A1C1⊥平面AA1B1B．即可证明A1C1⊥AP．（Ⅱ）以AC，AB，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABM的一个法向量，平面APM的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角P﹣AM﹣B的余弦值．（Ⅲ）存在点P，使得直线A1C∥平面AMP．设P（x1，y1，z1），求出平面AMP的一个法向量，求出，利用．求出λ，即可证明结果．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：由已知∠A1AB=∠A1AC=90°，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，所以∠BAC=90°，即AC⊥AB．又因为AC⊥AA1且AB∩AA1=A，所以AC⊥平面AA1B1B．由已知A1C1∥AC，所以A1C1⊥平面AA1B1B．因为AP⊂平面AA1B1B，所以A1C1⊥AP．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AC，AB，AA1两两垂直．分别以AC，AB，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示．由已知AB=AC=AA1=2A1B1=2A1C1=2，所以A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），B1（0，1，2），A1（0，0，2）．因为M为线段BC的中点，P为线段BB1的中点，所以．易知平面ABM的一个法向量=（0，0，1）．设平面APM的一个法向量为=（x，y，z），由，得取y=2，得=（﹣2，2，﹣3）．由图可知，二面角P﹣AM﹣B的大小为锐角，所以===．所以二面角P﹣AM﹣B的余弦值为．…（Ⅲ）存在点P，使得直线A1C∥平面AMP．设P（x1，y1，z1），且，λ∈[0，1]，则（x1，y1﹣2，z1）=λ（0，﹣1，2），所以x1=0，y1=2﹣λ，z1=2λ．所以．设平面AMP的一个法向量为=（x0，y0，z0），由，得取y0=1，得（显然λ=0不符合题意）．又，若A1C∥平面AMP，则．所以．所以．所以在线段BB1上存在点P，且时，使得直线A1C∥平面AMP．…18．已知函数f（x）=x+alnx，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；（Ⅲ）试问过点P（1，3）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，函数的导函数，通过（1）当a≥0时，（2）当a ＜0时，当0＜x＜﹣a时，当x＞﹣a时，导函数的符号，判断函数的单调性．（Ⅱ）（1）当﹣a≤1时，（2）当1＜﹣a＜2时，（3）当﹣a≥2时，分别求解函数的最值．（Ⅲ）设切点为（x0，x0+alnx0），则切线斜率，求出切线方程，切线过点P（1，3），推出关系式，构造函数（x＞0），求出导函数，（1）当a＜0时，判断g（x）单调性，说明方程g（x）=0无解，切线的条数为0．（2）当a＞0时，类比求解，推出当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线．（3）当a=0时，f（x）=x，说明不存在过点P（1，3）的切线．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}．．（1）当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）当a＜0时，令f′（x）=0，得x=﹣a．当0＜x＜﹣a时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；当x＞﹣a时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数．综上所述，当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．当a＜0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，﹣a），单调递增区间为（﹣a，+∞）．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当﹣a≤1时，即a≥﹣1时，函数f（x）在区间[1，2]上为增函数，所以在区间[1，2]上，f（x）min=f（1）=1，显然函数f（x）在区间[1，2]上恒大于零；（2）当1＜﹣a＜2时，即﹣2＜a＜﹣1时，函数f（x）在[1，﹣a）上为减函数，在（﹣a，2]上为增函数，所以f（x）min=f（﹣a）=﹣a+aln（﹣a）．依题意有f（x）min=﹣a+aln（﹣a）＞0，解得a＞﹣e，所以﹣2＜a＜﹣1．（3）当﹣a≥2时，即a≤﹣2时，f（x）在区间[1，2]上为减函数，所以f（x）min=f（2）=2+aln2．依题意有f（x）min=2+aln2＞0，解得，所以．综上所述，当时，函数f（x）在区间[1，2]上恒大于零．…（Ⅲ）设切点为（x0，x0+alnx0），则切线斜率，切线方程为．因为切线过点P（1，3），则．即．…①令（x＞0），则．（1）当a＜0时，在区间（0，1）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增；在区间（1，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以函数g（x）的最大值为g（1）=﹣2＜0．故方程g（x）=0无解，即不存在x0满足①式．因此当a＜0时，切线的条数为0．（2）当a＞0时，在区间（0，1）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以函数g（x）的最小值为g（1）=﹣2＜0．取，则．故g（x）在（1，+∞）上存在唯一零点．取，则=．设，u（t）=e t﹣2t，则u′（t）=e t﹣2．当t＞1时，u′（t）=e t﹣2＞e﹣2＞0恒成立．所以u（t）在（1，+∞）单调递增，u（t）＞u（1）=e﹣2＞0恒成立．所以g（x2）＞0．故g（x）在（0，1）上存在唯一零点．因此当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线．（3）当a=0时，f（x）=x，显然不存在过点P（1，3）的切线．综上所述，当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线；当a≤0时，不存在过点P（1，3）的切线．…19．已知点和椭圆C：．（Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，试求△PF1F2的周长及椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线l：与椭圆C交于两个不同的点A，B，直线PA，PB 与x轴分别交于M，N两点，求证：|PM|=|PN|．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的方程，求出a，b，c．通过椭圆的定义求解三角形的周长，求解椭圆的离心率．（Ⅱ）联立，利用直线l与椭圆C有两个交点，求出﹣4＜m＜0或0＜m＜4．设A（x1，y1），B（x2，y2），结合韦达定理，求解AB坐标，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，推出k1+k2=0，即可证明|PM|=|PN|．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，a2=4，b2=2，所以c2=2．因为是椭圆C上的点，由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=4．所以△PF1F2的周长为．易得椭圆的离心率．…（Ⅱ）证明：由得．因为直线l与椭圆C有两个交点，并注意到直线l不过点P，所以解得﹣4＜m＜0或0＜m＜4．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，．显然直线PA与PB的斜率存在，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，则======．因为k1+k2=0，所以∠PMN=∠PNM．所以|PM|=|PN|．…20．已知等差数列{a n}的通项公式．设数列{b n}为等比数列，且．（Ⅰ）若b1=a1=2，且等比数列{b n}的公比最小，（ⅰ）写出数列{b n}的前4项；（ⅱ）求数列{k n}的通项公式；（Ⅱ）证明：以b1=a2=5为首项的无穷等比数列{b n}有无数多个．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）（ⅰ）写出数列{a n}的前若干项，观察可得等比数列{b n}的公比最小为4，即可得到所求；（ⅱ）由（ⅰ）可知{b n}的通项公式，由等差数列的通项公式可得．证明k n为正整数即可；（Ⅱ）设数列{c n}是数列{a n}中包含的一个无穷等比数列，求出c1，c2，求得公比q，只要证是数列{a n}的项，运用归纳法，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）观察数列{a n}的前若干项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，…．因为数列{a n}是递增的整数数列，且等比数列以2为首项，显然最小公比不能是，最小公比是4．（ⅰ）以2为首项，且公比最小的等比数列的前四项是2，8，32，128．（ⅱ）由（ⅰ）可知b1=2，公比q=4，所以．又，所以，即．再证k n为正整数．显然k1=1为正整数，n≥2时，，即，故为正整数．所以，所求通项公式为；（Ⅱ）证明：设数列{c n}是数列{a n}中包含的一个无穷等比数列，且，，所以公比．因为等比数列{c n}各项为整数，所以q为整数．取k2=5m+2（m∈N*），则q=3m+1，故．只要证是数列{a n}的项，即证3k n﹣1=5•（3m+1）n﹣1．只要证（n∈N*）为正整数，显然k1=2为正整数．又n≥2时，，即，又因为k1=2，5m（3m+1）n﹣2都是正整数，故n≥2时，k n也都是正整数．所以数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，其公比q=3m+1有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故数列{a n}所包含的以a2=5为首项的不同无穷等比数列有无数多个．2020年9月12日。
2020年北京高考适应性测试数学(PDF版)
数学参考答案 第 1 页（共 6 页）2020年北京市高考适应性测试数学参考答案一、选择题（共10题，每题4分，共40分）（ 1 ）B（ 2 ）C （ 3 ）C （ 4 ）A （ 5 ）A （ 6 ）D （ 7 ）B （ 8 ）C （ 9 ）A （10）D二、填空题（共5题，每题5分，共25分）（11）1 （12）2-（13）1 （14）34（15）①③ 注：第14题第一空3分,第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。
三、解答题（共6题，共85分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）因为,M N 分别为,AD PD 的中点， 所以//PA MN ．又因为PA ⊄平面MNC ， 所以//PA 平面MNC ． （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D xyz -．设2AD =， 则(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,4)P ，(1,0,0)M (0,0,2)N ，(2,2,4)PB =-， (0,2,2)NC =-，(1,0,2)MN =-． 设平面M NC 的法向量为(,,)n x y z =，则 0,0,MN NC −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即20,220.x z y z -+=⎧⎨-=⎩ 令1z =，则2x =，1y =．所以(2,1,1)=n ．数学参考答案 第 2 页（共 6 页）设直线PB 与平面MNC 所成角为α， 所以||1sin |cos ,|6||||PB PB PB α−−→−−→−−→⋅=〈〉==n n n ． （17）（共14分）解1：选择①因为312a =，所以13a =． 所以3(12)3(21)12n n n S -==--． 令2020k S >， 即202323k >． 所以使得2020k S >的正整数k 的最小值为10． 解2：选择② 因为312a =，所以148a =，148(1)1296(1)1212n n n S ⨯-==--． 因为962020n S <<，所以不存在满足条件的正整数k .解3：选择③因为312a =，所以13a =， 所以3(1(2))1(2)1(2)n n n S ⨯--==----． 令2020k S >, 即1(2)2020k -->，整理得(2)2019k -<-．当k 为偶数时，原不等式无解；当k 为奇数时，原不等式等价于22019k >，所以使得2020k S >的正整数k 的最小值为11．数学参考答案 第 3 页（共 6 页）（18）（共14分）解：设事件i A 为“甲是A 组的第i 株植物”，事件i B 为“乙是B 组的第i 株植物”，事件i C 为“丙是C 组的第i 株植物”，1,2,,7i =． 由题意可知1()()()7i i i P A P B P C ===，1,2,,7i =．（Ⅰ）设事件D 为“丙的高度小于15厘米”，由题意知，12D C C =，又1C 与2C 互斥，所以事件D 的概率12122()()()()7P D P C C P C P C ==+=． （Ⅱ）设事件E 为“甲的高度大于乙的高度”．由题意知，41516171526272637374E A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B =． 所以事件E 的概率4151617152()()()()()()P E P A B P A B P A B P A B P A B =++++6272637374()()()()()P A B P A B P A B P A B P A B +++++ 4110()P A B =4110()()P A P B = 1049=． （Ⅲ）0μ<1μ．（19）（共15分）解：（Ⅰ）因为21()e (1)e 2x a f x x x =--，所以()e e x a f x x x '=-． 所以(0)1f =-，(0)0f '=．所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线为1y =-．（Ⅱ）因为()e e (e e )x a x a f x x x x '=-=-，令()0f x '=，得0x =或a (0)a <．数学参考答案 第 4 页（共 6 页） ()f x 与()f x '在R 上的变化情况如下：由上表可知，当0x =时，()f x 有极小值(0)1f =-．（Ⅲ）当1x ≤时，()0f x <，且22(2)e 2e >e 20a f =-->．由（Ⅱ）可知，()f x 在(0,)+∞上单调递增， 所以函数()f x 的零点个数为1．（20）（共14分）解：（Ⅰ）由题设，得1,b c =⎧⎪⎨=⎪⎩所以2224a b c =+=，即2a =．故椭圆C 的方程为2214x y +=． （Ⅱ）设1(,)M x m ，则1(,)N x m -，10x ≠，11m -<<．所以直线BM 的斜率为11(1)10m m x x --+=-． 因为直线BD ，BM 的斜率的积为14-， 所以直线BD 的斜率为14(1)x m -+． 直线AN 的方程为111m y x x -=+． 直线BD 的方程为114(1)x y x m =--+． 联立1111,1,4(1)m y x x x y x m -⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪+⎩数学参考答案 第 5 页（共 6 页）解得点D 的纵坐标为221221114114D x m y x m --+=-+-．因为点M 在椭圆C 上，所以22114x m +=， 则0D y =． 所以点D 在x 轴上．（21）（共14分）解：（Ⅰ）11215A --⎛⎫= ⎪⎝⎭．（Ⅱ）01336A ⎛⎫= ⎪⎝⎭经S ϕ变换后得1336⎛⎫⎪--⎝⎭， 故0()13365S T A =+--=-．（Ⅲ）若1112a a ≠，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，含有11a 且不含12a 的子集共42个，经过变换后第一行均变为1112,a a --；含有12a 且不含11a 的子集共42个，经过变换后第一行均变为1112,a a --；同时含有11a 和12a 的子集共42个，经过变换后第一行仍为1112,a a ；不含11a 也不含12a 的子集共421-个，经过变换后第一行仍为1112,a a ．所以经过变换后所有l A 的第一行的所有数的和为444411121112111211122()2()2()(21)()a a a a a a a a ⨯--+⨯--+⨯++-⨯+1112a a =--．若1112a a =，则{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，含有11a 的子集共52个，经过变换后第一行均变为1112,a a --；不含有11a 的子集共521-个，经过变换后第一行仍为1112,a a ．数学参考答案 第 6 页（共 6 页）所以经过变换后所有l A 的第一行的所有数的和为55111211122()(21)()a a a a ⨯--+-⨯+1112a a =--．同理，经过变换后所有l A 的第二行的所有数的和为2122a a --． 所以0()S T A 的所有可能取值的和为11122122a a a a ----， 又因为11122122,,,{1,2,,6}a a a a ∈，所以0()S T A 的所有可能取值的和不超过4-．。
2023年北京市高考数学模拟试卷+答案解析(附后)
2023年北京市高考数学模拟试卷1. 若集合，，则( )A. B. C. D.2. 设复数z满足，则( )A. B. C. D. 53. 双曲线的两条渐近线所成锐角的大小等于( )A. B. C. D.4. 的展开式的二项式系数之和为8，则二项式展开式中的常数项等于( )A. 4B. 6C. 8D. 105. 在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角终边过点，则的值为( )A. B. C. D.6. 已知函数，则不等式的解集为( )A. B.C. D.7. 宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形.它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目.在黄金矩形ABCD中，，，那么的值为( )A. B. C. 4 D.8. 设为等比数列，若m，n，p，，则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 已知圆C：与直线1：，P为直线1上一动点，若圆上存在点A，使得，则的最大值为( )A. B. 4 C. 2 D.10. 《九章算术商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.意思是：如图，沿正方体对角面截正方体可得两个堑堵，再沿平面截堑堵可得一个阳马四棱锥，一个鳖臑三棱锥，若P为线段CD上一动点，平面过点P，平面，设正方体棱长为1，，与图中的鳖臑截面面积为S，则点P从点D移动到点C的过程中，S关于x的函数图象大致是( )A. B.C. D.11. 的零点为______.12. 正方形ABCD中，，P为BC中点，Q为DC中点，则______；若M为CD上的动点，则的最大值为______.13. 已知函数其中为实数，若对恒成立，则满足条件的值为______写出满足条件的一个值即可14. 已知抛物线C：的焦为，则抛物线C的方程是__________；若M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则__________.15. 小图给出了某池塘中的浮萍蔓延的面积与时间月的关系的散点图.有以下叙述：①与函数相比，函数作为近似刻画y与t的函数关系的模型更好；②按图中数据显现出的趋势，第5个月时，浮萍的面积就会超过；③按图中数据显现出的趋势，浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两倍；④按图中数据显现出的趋势，浮萍从2月的蔓延到至少需要经过3个月.其中正确的说法有______填序号16.如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，M为棱的中点．求证：；求证：平面；求二面角的余弦值．17. 在中，，，_____.求c的值.从①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. 某学校为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：得到A餐厅分数的频率分布直方图和B餐厅分数的频数分布表：B餐厅分数频数分布表分数区间频数235154035定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：分数满意度指数012在抽样的100人中，求对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数；以频率估计概率，从该校在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率；如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．19. 已知椭圆E：过点，且离心率为求椭圆E的方程；过右焦点F且不与x轴重合的直线与椭圆交于M，N两点，已知，过M且与y 轴垂直的直线与直线DN交于点P，求证：点P在一定直线上，并求出此直线的方程. 20. 已知函数当时，求曲线在点处的切线方程；若，讨论函数的单调性；当时，恒成立，求a的取值范围.21. 设数列A：，，…，的各项均为正整数，且…若对任意…，，存在正整数i，使得，则称数列A具有性质判断数列：1，2，4，7与数列：1，2，3，6是否具有性质T；只需写出结论若数列A具有性质T，且，，，求n的最小值；若集合…，2019，，且任意i，…，，求证：存在，使得从中可以选取若干元素可重复选取组成一个具有性质T的数列.答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为，所以，又因为，所以，故选：由集合的补集得：，由集合的交集得：，得解．本题考查了集合的交、并、补的混合运算，属简单题．2.【答案】C【解析】解：复数z满足，，故选：利用复数模长的定义和性质求解．本题主要考查了复数模长的定义和性质，是基础题．3.【答案】D【解析】解：因为双曲线的方程为：，所以它的渐近线方程为，即渐近线的斜率分别，即渐近线的倾斜角为和，所以一条渐近线与y轴的夹角为，故两条渐近线所成的锐角为故选：先求得渐近线的方程，进而求得渐近线的倾斜角，然后即可求得正确答案．本题考查了双曲线的渐近线的性质，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：的展开式的二项式系数之和为8，则，解得，故展开式的通项为，令，解得，故二项式展开式中的常数项等于故选：先求出n ，再结合二项式定理，即可求解．本题主要考查二项式定理，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：角的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点，，，，，，则，，故选：利用任意角的三角函数的定义求得、的值，再利用二倍角的正弦公式求得的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：令，得，得或；在同一坐标系内画出与的图象，如图所示，则不等式的解集为故选：令求得x 的值，在同一坐标系内画出对应函数的图象，结合图象求出不等式的解集．本题考查了函数图象与性质应用问题，也考查了结合函数图象求不等式解集的问题，是基础题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查黄金矩形的定义，以及向量数量积的定义和运用，考查运算能力，属于基础题．由黄金矩形ABCD的定义，可得AB，再由勾股定理和向量数量积的定义，计算可得所求值．【解答】解：由黄金矩形的定义，可得，，在矩形ABCD中，，则，故选：8.【答案】A【解析】解：设等比数列的公比为r，则，，若，则成立，即充分性成立，当时，若，则不一定成立，即必要性不成立，故是的充分不必要条件．故选：根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：圆C：的圆心坐标为，半径为1，圆心到直线l的距离，可知直线与圆相离，由正弦定理可得三角形PAC的外接圆的直径，P为直线1上一动点，当直线PA与圆相切时，此时为外接圆的直径，取得最大值为故选：由已知可得直线与圆相离，P为直线1上一动点，当直线PA与圆相切时，此时为外接圆的直径，取得最大值．本题考查直线与圆位置关系的应用以及正弦定理的应用，考查数形结合的解题思想方法，考查推理能力与计算能力，是中档题．10.【答案】B【解析】解：如图，设，，，，则为等腰直角三角形，则，，平面，，平面PMN，平面，平面平面，而平面平面，平面平面，，可得，则由，得，，即，则S关于x的函数图象大致是故选：由题意画出截面图，证明平面截三棱锥所得截面为等腰直角三角形，求其面积关于x的关系式，则答案可求．本题考查空间几何体的结构特征，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】，2【解析】解：当时，，解得；时，，解得，函数的零点为：，故答案为：，利用方程的根求解函数的零点即可．本题考查函数的零点的求法，是基础题．12.【答案】1 3【解析】解：以点D为原点，以直线DC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，，P为BC中点，Q为DC中点，则：，，，，，；设，，则，，时，取最大值故答案为：1，可以点D为原点，以直线DC为x轴，建立平面直角坐标系，然后即可得出，，，从而可得出的坐标，然后进行数量积的坐标运算即可求出的值；可据题意设，并且，而进行数量积的坐标运算即可求出，从而可得出的最大值．本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．13.【答案】【解析】解：由题意，对恒成立，可得时，取得最大值或最小值．若时，取得最大值，可得，若时，取得最小值，可得，故答案为：根据，可得时，取得最大值或最小值．即写出答案；本题考查了三角形函数的性质的应用．属于基础题14.【答案】6【解析】【分析】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．利用抛物线的焦点坐标，求解p，然后求解抛物线方程，进而结合抛物线的有关性质即可得解．【解答】解：抛物线C：的焦为，可得，则抛物线C的方程是；M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则，则故答案为：；615.【答案】①②③【解析】解：对于①，当浮萍蔓延的面积与时间月的关系为时，当，，，时，对应的y分别为，，，，当浮萍蔓延的面积与时间月的关系为时，当，，，时，对应的y分别为，，，，通过比较已知散点图可知，与函数相比，函数作为近似刻画y与t的函数关系的模型更好，故①正确，对于②，当时，，故第5个月时，浮萍的面积就会超过，故②正确，对于③，由可知，浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两倍，故③正确，对于④，由可知，当时，，当时，，即需要经过2个月，故④错误．故答案为：①②③．根据图象，求出函数的表达式，然后依次求解，本题主要考查根据实际问题选择函数类型，考查计算能力，属于中档题．16.【答案】证明：因为平面ABC，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，即证明：设的中点为N，连接MN，则，连接，因为且，所以是平行四边形，所以，所以平面平面，所以平面解：以C为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系如图，可得、、、、依题意，是平面ADE的一个法向量，，设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，，因为二面角的平面角是钝角，所以，二面角的余弦值为【解析】证明，结合，推出平面，然后证明设的中点为N，连接MN，则，连接，证明，推出平面平面，即可证明平面以C为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面ADE的一个法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．本题考查直线与平面垂直以及平面与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．17.【答案】解：选择①：由正弦定理知，，因为，，，所以，因为，所以，由余弦定理知，，所以，解得或5，当时，，所以，又，，所以，，所以，不符合题意，故选择②：因为，由正弦定理得，，又，，所以，由余弦定理知，，所以，解得或选择③：因为，所以，因为，所以，当时，由余弦定理知，，所以；当时，由余弦定理知，，所以，综上，或【解析】选择①：结合正弦定理与二倍角公式，可得，再由余弦定理求出或5，检验知，当时，，进而得解；选择②：结合二倍角公式与正弦定理，可得，再由余弦定理，得解；选择③：由三角形面积公式可得，从而知的值，再由余弦定理，得解．本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，二倍角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】本小题满分13分解：由对A餐厅评分的频率分布直方图，得对A餐厅“满意度指数”为0的频率为，分所以，对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数为分设“对A餐厅评价‘满意度指数’比对B餐厅评价‘满意度指数’高”为事件记“对A餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件；“对A餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件；“对B餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件；“对B餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件所以，，分由用频率估计概率得：，分因为事件与相互独立，其中，2，，所以分所以该学生对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率为如果从学生对A，B两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：A餐厅“满意度指数”X的分布列为：X012PB餐厅“满意度指数”Y的分布列为：Y012P因为；，所以，会选择B餐厅用餐．分注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可．【解析】由对A餐厅评分的频率分布直方图，求解对A餐厅“满意度指数”为0的频率．然后求解对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数．设“对A餐厅评价‘满意度指数’比对B餐厅评价‘满意度指数’高”为事件记“对A餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件；“对A餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件；“对B 餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件；“对B餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件求出概率，利用独立重复概率乘法公式求解即可．从学生对A，B两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：得到分布列，求出期望，即可推出结果．本题考查概率的应用，分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力．19.【答案】解：由已知可得，解得，，所以椭圆E的方程为，证明：由题意可知点P所在直线必然垂直于x轴，设为，设直线MN的方程为：，，，联立方程，消去y整理可得：，所以，，则直线DN的方程为：，令，则，所以，故点P在定直线上．【解析】由已知建立方程组，联立即可求解；设点P所在的直线为，再设出直线MN 的方程以及点M，N，的坐标，并与椭圆方程联立，再写出直线DN的方程，求出点P的横坐标，利用韦达定理化简即可求解．本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了学生的分析问题的能力以及运算推理能力，属于中档题．20.【答案】解：当时，，，，，所以曲线在点处的切线方程为：，即：由，可得，由于，的解为，，当，即时，，则在上单调递增，当，即时，在区间，上，；在区间上，，所以在，上单调递增；在上单调递减．当，即时，在区间，上，；在区间上，，则在，上单调递增，在上单调递减．当时，因为，所以，，所以，则在上单调递增，成立，当时，，所以在上单调递增，所以成立，当时，在区间上，；在区间，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在区间上，，不符合题意，综上所述，a的取值范围是【解析】本题考查导数的综合应用，导数的几何意义，函数单调性，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．当时，根据题意可得，计算，对求导得，再由导数的几何意义可得，进而写出切线方程．求导得，令的解为，，分三种情况：当，当，当，讨论正负，进而可得的单调区间．对求导得，分三种情况：当时，当时，当时，讨论导数的正负得到的单调性，进而可得a的取值范围．21.【答案】解：，，2，4，7不具有性质P；，，，，2，3，6具有性质P，即数列不具有性质T，数列具有性质由题意可知，，，，…，，若，且，，同理，，，，，，数列各项均为正整数，，数列前三项为1，2，数列A具有性质T，只可能为4，5，6，8之一，而又，，同理，有，，，，此时数列为1，2，4，8，16，32，64，128，但数列中存在，使得，该数列不具有性质T，当时，取A：1，2，4，8，16，32，36，64，100，构造数列不唯一，A：1，2，4，8，16，32，36，64，100，200，经验证，此数列具有性质T，的最小值为证明：假设结论不成立，即对任意…，都有：若正整数a，，，则，否则，当时，a，，b 是一个具有性质T 的数列；当时，，a，b 是一个具有性质T 的数列；当时，a，a，b 是一个具有性质T的函数．由题意可知，这6 个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337 个，不妨设此集合为，从中取出337 个数，记为，，…，且…，令集合…，由假设，对任意，2，…，336，，，在，，，，中至少有一个集合包含中的至少68 个元素，不妨设这个集合为，从中取出68 个数，记为，，…，，且…，令集合…，由假设，对任意，2，…，68，存在…，使得，对任意，由假设，，，在，，，中至少有一个集合包含中的至少17 个元素，不妨设这个集合为，从中取出17 个数，记为，，…，，且…，令集合…，，由假设，对任意，2，…，17，存在…，使得，对任意，同样，由假设可得，，同样，在，中至少有一个集合包含中的至少3 个元素，不妨设这个集合为，从中取出3 个数，记为，，，且，同理可得由假设可得，同上可知，，而又，，矛盾．假设不成立，原命题得证．【解析】根据，可知1，2，4，7不具有性质P，由，，，可知1，2，3，6具有性质P；由数列A具有性质T，结合条件可知，然后分别考虑，，时是否符合条件，进一步得到n的最小值；假设结论不成立，即对任意…，都有：若正整数a，，，则，否则，当时，a，，b 是一个具有性质T 的数列；当时，，a，b 是一个具有性质T 的数列；当时，a，a，b 是一个具有性质T的函数，然后找出矛盾结论，从而证明结论成立．本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列递推关系和不等式的性质，考查了考查了转化思想和分类讨论思想，属难题．。
2020年北京市石景山高考数学模拟试卷及答案解析
2020年北京市石景山高考数学模拟试卷及答案解析2020年北京市石景山区高三数学统一测试本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟。
请务必将答案写在答题卡上，试卷上的答案无效。
考试结束后，上交答题卡。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.设集合P={1,2,3,4}，Q={x||x|≤3,x∈R}，则P∩Q等于A.{1}B.{1,2,3}C.{3,4}D.{-3,-2,-1,0,1,2,3}2.在复平面内，复数5+6i，3-2i对应的点分别为A，B。
若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是A.8+4iB.2+8iC.4+2iD.1+4i3.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是A.y=-x+2B.y=x^2C.y=lnxD.y=2-x4.圆x+y-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=A.-4/3B.-3/4C.3D.25.将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（）种A.36B.64C.72D.816.如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为A.2.4B.5C.87.函数fx=cosωx+(6/π)的最小正周期为π，则f(x)满足A.在(0,π/3)上单调递增B.图像关于直线x=π/6对称C.f(3π/2-x)=f(x)D.当x=5π/6时有最小值-1/28.设{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n。
则“S_1+S_3>2S_2”是“{a_n}为递增数列”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.设f(x)是定义在R上的函数，若存在两个不等实数x_1,x_2∈R，使得x_1+x_2<f(x_1)+f(x_2)，则称函数f(x)具有性质P。
2020届北京市东城区高三高考第一次模拟(4月)数学试题(解析版)
故选：A.
【点睛】
本题考查对勾型函数的性质，其中涉及到基本不等式求最值，是一道容易题.
5．已知曲线C的方程为 ，则“ ”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
,即 为票价,
当 时, ,则 为固定成本,
由图象(2)知,直线向上平移,
不变,即票价不变,
变大,则 变小,成本减小.
故①错误,②正确;
由图象(3)知,直线与 轴的交点不变,直线斜率变大,
变大,即提高票价,
不变,则 不变,成本不变.
故③正确,④错误;
故答案为:②③
【点睛】
本题考查一次函数图象的变化,以及 和 对一次函数图象的影响,是基础题.
以 为原点，分别以 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，如图所示
， ， .
，
.
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ， .
设直线 和平面 所成的角为 ，则
，
所以直线 和平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】
本题考查线面垂直的性质定理和用向量的方法求空间角，考查学生的运算能力，属于中档题.
③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;
④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.
其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）
【答案】②③
【解析】根据图象可知盈利额 与观影人数 成一次函数关系,再分别根据(2)和(3)的图象进行分析即可得出答案.
【详解】
北京市2020年高考数学模拟试卷(附答案解析)
2020北京高考模拟试卷数 学一．选择题（共10小题）1．若复数z 满足(12)z i i =-，则复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合2{|540}A x x x =-+<，{|24}x B x =<，则)(B C A R ⋃( ) A ．(1，2]B ．[2，4)C ．[1，)+∞D ．(1,)+∞3．下列函数中，在(0,)+∞内单调递增，并且是偶函数的是( ) A ．2(1)y x =-- B ．cos 1y x =+ C ．||2y lg x =+ D ．2x y =4．函数1y =+的值域为( )A ．[0，)+∞B ．[1，)+∞C ．[2，)+∞D ．)+∞5．在圆22:4410M x y x y +---=中，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．6B ．12C ．24D ．366．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度后得到曲线1C ，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，则2C 的解析式为( ) A ．sin y x =B ．cos y x =C ．sin 4y x =D ．cos4y x =7．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为( )A ．B ．4C ．D ．8．已知函数⎩⎨⎧≥=1ln 1,0)(x x x x f ，＜，若不等式k x x f -≤)(对任意的x R ∈恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．(-∞，1]B ．[1，)+∞C ．[0，1)D ．(1-，0]9．已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，则“3152a a a >+”是“210n S -<”的( ) A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”． 老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( ) A ．7班、14班、15班 B ．14班、7班、15班 C ．14班、15班、7班 D ．15班、14班、7班二．填空题（共5小题）11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点和点(2,)P a b 为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C的离心率为 ．12．已知向量(1,1)a =，(3,)b m =-，若向量2a b -与向量b 共线，则实数m = ． 13．如果抛物线22y px =上一点(4,)A m 到准线的距离是6，那么m = ．14．在四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，3CD =，4AD =，且120ABC ∠=︒，则AC = ，cos BCD ∠= ． 15．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x g x g x =--，且()f x 在R 单调递增，对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，恒有1212()()()f x f x f x x =+，则使不等式21[)](2)02f f m +->成立的m 取值范围是 ．三．解答题（共6小题）16．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是等腰梯形，//AD BC ，2AD =，4BC =，60ABC ∠=︒，PAD ∆为等边三角形，且点P 在底面ABCD 上的射影为AD 的中点G ，点E 在线段BC 上，且:1:3CE EB =． （1）求证：DE ⊥平面PAD ． （2）求二面角A PC D --的余弦值．17．已知函数()log (k f x x k =为常数，0k >且1)k ≠．（1）在下列条件中选择一个 使数列{}n a 是等比数列，说明理由；①数列{()}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列{()}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；③数列{()}n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k =12241n n n a b n +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙同学从四种比赛中任选两种参与． （1）求甲参加围棋比赛的概率；（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率．19．已知函数22()f x a x alnx x=++，实数0a >． （1）讨论函数()f x 在区间(0,10)上的单调性；（2）若存在(0,)x ∈+∞，使得关于x 的不等式2()2f x a x <+成立，求实数a 的取值范围．20．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，它的四个顶点构成的四边形面积为()I 求椭圆C 的方程：()II 设P 是直线2x a =上任意一点，过点P 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为M ，N ，求证：直线MN恒过一个定点．21．定义：若数列{}n a 满足所有的项均由1-，1构成且其中1-有m 个，1有p 个(3)m p +，则称{}n a 为“(,)m p -数列”．（1）i a ，j a ，()k a i j k <<为“(3,4)-数列” {}n a 中的任意三项，则使得1i j k a a a =的取法有多少种？ （2）i a ，j a ，()k a i j k <<为“(,)m p -数列” {}n a 中的任意三项，则存在多少正整数对(,)m p 使得101≤≤≤p m ，且1i j k a a a =的概率为12．2020北京高考模拟试卷数学参考答案一．选择题（共10小题）1．若复数z 满足(12)z i i =-，则复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：(12)2z i i i =-=+，2z i =-在复平面内所对应的点(2,1)-位于第四象限．故选：D ．2．已知集合2{|540}A x x x =-+<，{|24}x B x =<，则()(R A B =⋃ ) A ．(1，2]B ．[2，4)C ．[1，)+∞D ．(1,)+∞【解答】解：根据题意，集合2{|540}(1,4)A x x x =-+<=，{|24}(,2)x B x =<=-∞， 则[2RB =，)+∞，则()(1R A B =⋃，)+∞； 故选：D ．3．下列函数中，在(0,)+∞内单调递增，并且是偶函数的是( ) A ．2(1)y x =--B ．cos 1y x =+C ．||2y lg x =+D ．2x y =【解答】解：A ．2(1)y x =--的对称轴为1x =，为非奇非偶函数，不满足条件．B ．cos 1y x =+是偶函数，但在(0,)+∞内不是单调函数，不满足条件．C ．||2y lg x =+为偶函数，在(0,)+∞内单调递增，满足条件，D ．2x y =，(0,)+∞内单调递增，为非奇非偶函数，不满足条件． 故选：C ．4．函数1y =+的值域为( )A ．[0，)+∞B ．[1，)+∞C ．[2，)+∞D ．)+∞【解答】解：10，∴1，则12y =+．∴函数1y =+的值域为[2，)+∞．故选：C ．5．在圆22:4410M x y x y +---=中，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．6B ．12C ．24D ．36【解答】解：根据题意，圆22:4410M x y x y +---=即22(2)(2)9x y -+-=，其圆心为(2,2)，半径3r =，过点(0,1)E 的最长弦AC 为圆M 的直径，则||6AC =，最短的弦为过E 与直径AC 垂直的弦，且||ME则有||24BD =， 又由AC BD ⊥，则四边形ABCD 的面积122()122ABC S S AC BE ∆=⨯=⨯⨯⨯=；故选：B ．6．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度后得到曲线1C ，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，则2C 的解析式为( ) A ．sin y x =B ．cos y x =C ．sin 4y x =D ．cos4y x =【解答】解：将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度后得到曲线1C ，1C 的解析式为sin 2()cos24y x x π=+=，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，2C 的解析式为cos2cos 2xy x ==． 故选：B ．7．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为( )A ．B ．4C ．D ．【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S ABD -，其中SC ⊥平面ABCD ；四面体S ABD -的四个面中SBD 面的面积最大，三角形SBD 是边长为8=故选：C ．8．已知函数0,1(),1x f x lnx x <⎧=⎨⎩，若不等式()||f x x k -对任意的x R ∈恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．(-∞，1]B ．[1，)+∞C ．[0，1)D ．(1-，0]【解答】解：作出函数0,1(),1x f x lnx x <⎧=⎨⎩的图象，由不等式()||f x x k -对任意的x R ∈恒成立，可得()y f x =的图象不在||y x k =-的图象的上方， 且||y x k =-的图象关于直线x k =对称，当0k 时，满足题意；当||y x k =-的图象与()y f x =的图象相切，即有y x k =-为切线，设切点为(,)m n ， 可得切线的斜率为11m=，则1m =，0n lnm ==，1k =， 则01k <时，也满足题意． 综上可得，k 的范围是(-∞，1]． 故选：A ．9．已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，则“3152a a a >+”是“210n S -<”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠， 由3152a a a >+，得241112a q a a q >+，若10a >，则42210q q -+<，即22(1)0q -<，此式不成立； 若10a <，则42210q q -+>，即22(1)0q ->，则1q ≠±，此时21121[1]01n n a q S q---=<-，充分性成立；反之，1n a =-，满足210n S -<，此时3152a a a =+，必要性不成立．∴ “3152a a a >+”是“210n S -<”的充分不必要条件．故选：B ．10．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”． 老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( ) A ．7班、14班、15班 B ．14班、7班、15班 C ．14班、15班、7班D ．15班、14班、7班【解答】解：假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，14∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误； 假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班； 假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班． 故选：C ．二．填空题（共5小题）11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点和点(2,)P a b 为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C的离心率为． 【解答】解：由题意可得左右焦点分别为：1(,0)F c -，2(,0)F c ， 因为P 在y 轴的右侧，所以相等的两边为112PF F F =或212PF F F =由题意可得：222(2)4a c b c ++=整理可得：222430c ac a --=，即22430e e -==，1e >，解得e =，或222(2)4a c b c -+=可得：22430e e +-=，1e >，解得1e =<，不符合双曲线的条件；综上所述，离心率e =． 12．已知向量(1,1)a =，(3,)b m =-，若向量2a b -与向量b 共线，则实数m = 3- ． 【解答】解：因为向量(1,1)a =，(3,)b m =-， 所以向量2(5,2)a b m -=-； 2a b -与向量b 共线；5(2)(3)03m m m ∴--⨯-=⇒=-；故答案为：3-．13．如果抛物线22y px =上一点(4,)A m 到准线的距离是6，那么m = ± 【解答】解：抛物线22y px =的准线方程为2p x =-，由题意得462p+=，解得4p =． 点(4,)A m 在抛物线22y px =上，2244m ∴=⨯⨯，∴m =±故答案为：±．14．在四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，3CD =，4AD =，且120ABC ∠=︒，则AC = ，cos BCD ∠= ．【解答】解：如图所示，四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，3CD =，4AD =，且120ABC ∠=︒， 则22212212cos1207AC =+-⨯⨯⨯︒=，所以AC =又2227916AC CD AD +=+==， 所以90ACD ∠=︒； 由sin sin AB ACACB B=∠∠，sin14ACB ∠===，cos cos(90)sin BCD ACB ACB ∠=∠+︒=-∠=15．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x g x g x =--，且()f x 在R 单调递增，对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，恒有1212()()()f x f x f x x =+，则使不等式21[)](2)02f f m ++->成立的m 取值范围是 [0，9) ．【解答】解：由于定义在R 上的函数()()()f x g x g x =--， 所以()()()()f x g x g x f x -=--=-，所以函数()f x 为奇函数； 对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，恒有1212()()()f x f x f x x =+，则21[)]1)2f f =；不等式21[)](2)02f f m +->⇔不等式1)(2)f f m >-，()f x 在R 单调递增，12m ∴>-；30m ∴-<；解得09m <；故答案为：[0，9)． 三．解答题（共6小题）16．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是等腰梯形，//AD BC ，2AD =，4BC =，60ABC ∠=︒，PAD ∆为等边三角形，且点P 在底面ABCD 上的射影为AD 的中点G ，点E 在线段BC 上，且:1:3CE EB =． （1）求证：DE ⊥平面PAD ． （2）求二面角A PC D --的余弦值．【解答】（1）证明：等腰梯形ABCD 中，点E 在线段BC 上，且:1:3CE EB =，∴点E 为BC 上靠近C 点的四等分点由平面几何知识可得DE AD ⊥．点P 在底面ABCD 上的射影为AD 的中点G ，连接PG ，PG ∴⊥平面ABCD ．DE ⊂平面ABCD ，PG DE ∴⊥．又ADPG G =，AD ⊂平面PAD ，PG ⊂平面PAD ．DE ∴⊥平面PAD ；（2）解：取BC 的中点F ，连接GF ，以G 为原点，GA 所在直线为x 轴，GF 所在直线为y 轴，GP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图．由（1）易知，DE CB ⊥，1CE =． 又60ABC DCB ∠=∠=︒，∴DE GF ==2AD =，PAD ∆为等边三角形，∴PG =．则(0G ，0，0)，(1A ，0，0)，(1D -，0，0)，P，(C -．∴(AC =-，(AP =-，(DC =-，DP =设平面APC 的法向量为1(m x =，1y ，1)z ，则00m AC m AP ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1111300x x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令1x =，则13y =，11z =，∴(3,3,1)m =． 设平面DPC 的法向量为2(n x =，2y ，2)z ，则00n DC n DP ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即222200x x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩．令2x =21y =，21z =-，∴(3,1,1)AP =-． 设平面APC 与平面DPC 的夹角为θ，则|||33cos ||||13m nm n θ+===⨯，∴二面角A PC D --的余弦值为17．已知函数()log (k f x x k =为常数，0k >且1)k ≠．（1）在下列条件中选择一个 ② 使数列{}n a 是等比数列，说明理由；①数列{()}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列；②数列{()}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；③数列{()}n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k =12241n n n a b n +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解答】解：（1）①③不能使数列{}n a 是等比数列，②可以．由题意()42(1)22n f a n n =+-=+，即log 22k n a n =+，可得22n n a k +=，且410a k =≠，242122n n n n a k k a k+++==，由常数0k >且1k ≠，可得2k 为非零常数， 则{}n a 是4k 为首项、2k 为公比的等比数列；（2）由（1）可得42122()n n n a k k k -+==，当k 时，12n n a +=，12241n n n a b n +=-，可得211111()41(21)(21)22121n b n n n n n ===---+-+， 前n 项和11111111(1)(1)2335212122121n n T n n n n =-+-+⋯+-=-=-+++． 18．某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙同学从四种比赛中任选两种参与．（1）求甲参加围棋比赛的概率；（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率．【解答】解：（1）依题意，甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”， 故甲参加围棋比赛的概率为12． （2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1，2，3，4，则所有的可能为：(1，2，1，2)，(1，2，1，3)，(1，2，1，4)，(1，2，2，3)，(1，2，2，4)，(1，2，3，4)，(1，3，1，2)，(1，3，1，3)，(1，3，1，4)，(1，3，2，3)，(1，3，2，4)，(1，3，3，4)，其中满足条件的有(1，2，3，4)，(1，3，2，4)两种，故所求概率21126p ==． 19．已知函数22()f x a x alnx x =++，实数0a >． （1）讨论函数()f x 在区间(0,10)上的单调性；（2）若存在(0,)x ∈+∞，使得关于x 的不等式2()2f x a x <+成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）22222222(2)(1)()a a x ax ax ax f x a x x x x +-+-'=-++==．，(0)x >， 令()0f x '=，可得1x a =，2x a =-（舍)． ①当110a >时，110a<． 函数()f x 在区间1(0,)a 上单调递减，在区间1(a ，10)上的单调递增； ②当1010a <时，函数()f x 在区间(0,10)上单调递减． （2）存在(0,)x ∈+∞，使得不等式2()2f x a x <+成立⇔存在(0,)x ∈+∞，使得不等式220alnx x +-<成立， 令2()2g x alnx x=+-，(0)x >， 2222()a ax g x x x x -'=-+=， 0a >，2()0g x x a ∴'>⇒>，2()00g x x a ︒<⇒<<， ()g x ∴在2(0,)a递减，在2(a ，)+∞递增， 2()()(2)2min g x g a a ln lna a∴==+--， 依题意只需220a aln alna +--<即可．令()22h x x xln xlnx =+--，()12120h x ln lnx ln lnx '=+--=-=，可得2x =． ()h x ∴在(0,2)递增，在(2,)+∞递减，且h （2）0=．∴实数a 的取值范围(0，2)(2⋃，)+∞．20．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，它的四个顶点构成的四边形面积为 ()I 求椭圆C 的方程：()II 设P 是直线2x a =上任意一点，过点P 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为M ，N ，求证：直线MN 恒过一个定点．【解答】解：()I由题意可知，22212222a b c e a a b c ⎧⨯⨯=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a =1b c ==， 所以椭圆的标准方程2212x y +=； ()II 证明：方法一：设点0(2,)P y ，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ．其中22112x y +=，22222x y +=，由PM OM ⊥，PN ON ⊥， 1011112y y y x x -=--，2022212y y y x x -=--，即221111020x y x y y +--=，222222020x y x y y +--=， 注意到22112x y +=，22222x y +=，于是，110220x y y --=，220220x y y --=， 所以，M ，N 满足0220x yy --=，由0y 的任意性可知，1x =，0y =，即直线MN 恒过一个定点(1,0)．方法二：设点0(2,)P y ，过点P 且与圆222x y +=相切的直线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，由圆的知识可知，M ，N 是圆以OP 为直径的圆22200(1)()1()22y y x y -+-=+和圆222x y +=的两个交点， 由222222002(1)()1()22x y y y x y ⎧+=⎪⎨-+-=+⎪⎩，消去二次项得直线MN 方程为0220x yy --=， 由0y 的任意性可知，1x =，0y =，即直线MN 恒过一个定点(1,0)．方法三：由圆的极点极线可知，已知0(M x ，0)y 为圆222:()()C x a y b R -+-=外一点，由点M 引圆C 的两条切线MA ，MB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 的方程为200()()()()x a x a y b y b R --+--=， 特殊地，知0(M x ，0)y 为圆222:C x y R +=外一点，由点M 引圆C 的两条切线MA ，MB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 的方程为200xx yy R +=．设点0(2,)P y ，由极点与极线可知，直线MN 的方程022x yy +=，即0220x yy +-=，由0y 的任意性可知，1x =，0y =，即直线MN 恒过一个定点(1,0)．所以直线MN 恒过一个定点(1,0)．21．定义：若数列{}n a 满足所有的项均由1-，1构成且其中1-有m 个，1有p 个(3)m p +，则称{}n a 为“(,)m p -数列”．（1）i a ，j a ，()k a i j k <<为“(3,4)-数列” {}n a 中的任意三项，则使得1i j k a a a =的取法有多少种？（2）i a ，j a ，()k a i j k <<为“(,)m p -数列” {}n a 中的任意三项，则存在多少正整数对(,)m p 使得1100m p ，且1i j k a a a =的概率为12． 【解答】解：（1）三个数乘积为1有两种情况：“1-，1-，1”，“1，1，1”，其中“1-，1-，1”共有：213412C C =种，“1，1，1”共有：344C =种，利用分类计数原理得：i a ，j a ，()k a i j k <<为“(3,4)-数列” {}n a 中的任意三项， 则使得1i j k a a a =的取法有：12416+=种．（2）与（1）基本同理，“1-，1-，1”共有21m p C C 种，“1，1，1”共有3p C 种，而在“(,)m p -数列”中任取三项共有3m p C +种， 根据古典概型有：213312m p pm p C C C C ++=， 再根据组合数的计算公式能得到： 22()(3232)0p m p p mp m m ---+--=，①p m =时，应满足11003m p m p p m ⎧⎪+⎨⎪=⎩，(m ∴，)(p k =，)k ，{2k ∈，3，4，⋯，100}，共99个， ②2232320p p mp m m --+--=时，应满足221100332320m p m p p p mp m m ⎧⎪+⎨⎪--+--=⎩， 视m为常数，可解得p 1m ，∴15，根据p m可知，p = 1m ，∴15，根据p m可知，p =（否则1)p m -，下设k =p 为正整数知k 必为正整数， 1100m ，549k ∴，化简上式关系式可以知道：21(1)(1)2424k k k m -++==， 1k ∴-，1k +均为偶数，∴设21k t =+，*()t N ∈，则224t ，21(1)246k t t m -+∴==，由于t ，1t +中必存在偶数， ∴只需t ，1t +中存在数为3的倍数即可， 2t ∴=，3，5，6，8，9，11，⋯，23，24， 5k ∴=，11，13，⋯，47，49．检验：(1)(1)48501002424k k p -++===，符合题意，共有16个，综上所述：共有115个数对(,)m p符合题意．。
北京市第二中学2024届第二次高考模拟高三数学试题试卷
北京市第二中学2024届第二次高考模拟高三数学试题试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'10x f x x f x -⋅+⋅>，若3(2)y f x e =+-是奇函数，则不等式1()20x x f x e +⋅-<的解集是（ ）A ．(),2-∞B ．(),1-∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞ 2．复数21i z i +=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是 A ．5z =B ．z 的共轭复数为31+22iC ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为θ，且5cos 5θ=，则该双曲线的离心率为（ ） A ．5 B ．52 C ．2 D ．44．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B ．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C ．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D ．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是1035．已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为4，E 、F 、G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点.若O 在三棱锥A BCD -内，且三棱锥A BCD -的体积是三棱锥O BCD -体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积的比值为（ ）A ．63πB ．83πC ．3πD ．3π6．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 7．231+=-i i （ ） A ．15i 22-+ B ．1522i -- C ．5522i + D ．5122i - 8．ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，2a =，1b =，则CD =（ ） A ．2133a b + B ．1233a b + C ．3455a b + D ．4355a b + 9．已知i 是虚数单位，则(2)i i +=（ ）A ．12i +B ．12i -+C ．12i --D ．12i -10．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱．下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形．若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（ ）A ．37B ．47C ．57D ．6711．已知()21,+=-∈a i bi a b R ，其中i 是虚数单位，则z a bi =-对应的点的坐标为（ ）A ．()12,-B ．()21,-C ．()1,2D ．()2,112．已知实数,x y 满足,10,1,x y x y y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．32C ．1D ．0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学模拟试卷文科9
北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学模拟试卷文科创作人：百里严守创作日期：202B.03.31审核人：北堂本一创作单位：雅礼明智德学校一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（5分）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）A.1﹣iB.1+iC.﹣1﹣iD.﹣1+i2.（5分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A.（1，3）B.（1，4）C.（2，3）D.（2，4）3.（5分）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系（）A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜a＜cD.b＜c＜a4.（5分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（）个单位.A.向左平移B.向右平移C.向左平移D.向右平移5.（5分）当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是（）A.若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0B.若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0C.若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0D.若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤06.（5分）为比较甲，乙两地某月14时的气温，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（）A.①③B.①④C.②③D.②④7.（5分）在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“﹣1≤log（x+）≤1”发生的概率为（）A. B. C. D.8.（5分）若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（）A.（﹣∞，﹣1）B.（﹣1，0）C.（0，1）D.（1，+∞）9.（5分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A. B. C.2π D.4π10.（5分）设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（）A.1B.C.D.二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11.（5分）执行如图的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是.12.（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为.13.（5分）过点P（1，）作圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则=.14.（5分）定义运算“⊗”x⊗y=（x，y∈R，xy≠0）.当x＞0，y＞0时，x⊗y+（2y）⊗x的最小值为.15.（5分）过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为.三、解答题（共6小题，满分75分）16.（12分）某调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率.17.（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值.18.（12分）如图，三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点.（1）求证：BD∥平面FGH；（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.19.（12分）已知数列{a n}是首项为正数的等差数列，数列{}的前n项和为.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（a n+1）•2，求数列{b n}的前n项和T n.20.（13分）设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=.已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y=0平行.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）是否存在自然数k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数m（x）=min{f（x），g（x）}（min{p，q}表示p，q中的较小值），求m（x）的最大值.21.（14分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且点（，）在椭圆C上.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E：=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m 交椭圆E与A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求△ABQ面积的最大值.参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（5分）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）A.1﹣iB.1+iC.﹣1﹣iD.﹣1+i【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可.【解答】解：=i，则=i（1﹣i）=1+i，可得z=1﹣i.故选：A.【点评】本题考查复数的基本运算，基本知识的考查.2.（5分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A.（1，3）B.（1，4）C.（2，3）D.（2，4）【分析】求出集合B，然后求解集合的交集.【解答】解：B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3}，A={x|2＜x＜4}，∴A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）.故选：C.【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力.3.（5分）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系（）A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜a＜cD.b＜c＜a【分析】利用指数函数和幂函数的单调性，可判断三个式子的大小.【解答】解：函数y=0.6x为减函数；故a=0.60.6＞b=0.61.5，函数y=x0.6在（0，+∞）上为增函数；故a=0.60.6＜c=1.50.6，故b＜a＜c，故选：C.【点评】本题考查的知识点是指数函数和幂函数的单调性，难度中档.4.（5分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（）个单位.A.向左平移B.向右平移C.向左平移D.向右平移【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可.【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位.故选：B.【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点.5.（5分）当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是（）A.若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0B.若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0C.若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0D.若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0【分析】直接利用逆否命题的定义写出结果判断选项即可.【解答】解：由逆否命题的定义可知：当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x ﹣m=0有实根”的逆否命题是：若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0.故选：D.【点评】本题考查四种命题的逆否关系，考查基本知识的应用.6.（5分）为比较甲，乙两地某月14时的气温，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（）A.①③B.①④C.②③D.②④【分析】由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙甲，乙两地某月14时的气温抽取的样本温度，进而求出两组数据的平均数、及方差可得答案【解答】解：由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙甲，乙两地某月14时的气温抽取的样本温度分别为：甲：26，28，29，31，31乙：28，29，30，31，32；可得：甲地该月14时的平均气温：（26+28+29+31+31）=29，乙地该月14时的平均气温：（28+29+30+31+32）=30，故甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时温度的方差为：=[（26﹣29）2+（28﹣29）2+（29﹣29）2+（31﹣29）2+（31﹣29）2]=3.6乙地该月14时温度的方差为：=[（28﹣30）2+（29﹣30）2+（30﹣30）2+（31﹣30）2+（32﹣30）2]=2，故＞，所以甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温标准差.故选：B.【点评】本题考查数据的离散程度与茎叶图形状的关系，考查学生的计算能力，属于基础题7.（5分）在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“﹣1≤log（x+）≤1”发生的概率为（）A. B. C. D.【分析】先解已知不等式，再利用解得的区间长度与区间[0，2]的长度求比值即得.【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度.∵﹣1≤log（x+）≤1∴解得0≤x≤，∵0≤x≤2∴0≤x≤∴所求的概率为：P=故选：A.【点评】本题主要考查了几何概型，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.8.（5分）若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（）A.（﹣∞，﹣1）B.（﹣1，0）C.（0，1）D.（1，+∞）【分析】由f（x）为奇函数，根据奇函数的定义可求a，代入即可求解不等式.【解答】解：∵f（x）=是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）即整理可得，∴1﹣a•2x=a﹣2x∴a=1，∴f（x）=∵f（x））=＞3∴﹣3=＞0，整理可得，，∴1＜2x＜2解可得，0＜x＜1故选：C.【点评】本题主要考查了奇函数的定义的应用及分式不等式的求解，属于基础试题.9.（5分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A. B. C.2π D.4π【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可.【解答】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体.V=2×S•h=2×πR2•h=2×π×（）2×=.故选：B.【点评】本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力.是基础题.10.（5分）设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（）A.1B.C.D.【分析】直接利用分段函数以及函数的零点，求解即可.【解答】解：函数f（x）=，若f（f（））=4，可得f（）=4，若，即b≤，可得，解得b=.若，即b＞，可得，解得b=＜（舍去）.故选：D.【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，函数值的求法，考查分段函数的应用.二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11.（5分）执行如图的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是13 .【分析】模拟执行程序框图，依次写出得到的x，y的值，当x=2时不满足条件x＜2，计算并输出y的值为13.【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=1满足条件x＜2，x=2不满足条件x＜2，y=13输出y的值为13.故答案为：13.【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基本知识的考查.12.（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为 7 .【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+3y对应的直线进行平移，可得当x=1且y=2时，z取得最大值.【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，由可得A（1，2），z=x+3y，将直线进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值=1+2×3=7.∴z最大值故答案为：7【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+3y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题. 13.（5分）过点P（1，）作圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则=.【分析】根据直线与圆相切的性质可求PA=PB，及∠APB，然后代入向量数量积的定义可求.【解答】解：连接OA，OB，PO则OA=OB=1，PO=，2，OA⊥PA，OB⊥PB，Rt△PAO中，OA=1，PO=2，PA=∴∠OPA=30°，∠BPA=2∠OPA=60°∴===故答案为：【点评】本题主要考查了圆的切线性质的应用及平面向量的数量积的定义的应用，属于基础试题.14.（5分）定义运算“⊗”x⊗y=（x，y∈R，xy≠0）.当x＞0，y＞0时，x⊗y+（2y）⊗x的最小值为.【分析】通过新定义可得x⊗y+（2y）⊗x=，利用基本不等式即得结论.【解答】解：∵x⊗y=，∴x⊗y+（2y）⊗x=+=，由∵x＞0，y＞0，∴x2+2y2≥2=xy，当且仅当x=y时等号成立，∴≥=，故答案为：.【点评】本题以新定义为背景，考查函数的最值，涉及到基本不等式等知识，注意解题方法的积累，属于中档题.15.（5分）过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为 2+.【分析】求出P的坐标，可得直线的斜率，利用条件建立方程，即可得出结论.【解答】解：x=2a时，代入双曲线方程可得y=±b，取P（2a，﹣b），∴双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线的斜率为，∴=∴e==2+.故答案为：2+.【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础.三、解答题（共6小题，满分75分）16.（12分）某调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率.【分析】（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可.【解答】解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；这是一个古典概型，∴P（A）=；（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是一个古典概型，∴.【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用.17.（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值.【分析】①利用两角和与差的正弦函数公式以及基本关系式，解方程可得；②利用正弦定理解之.【解答】解：①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，所以sinA+cosA=①，结合平方关系sin2A+cos2A=1②，由①②解得27sin2A﹣6sinA﹣16=0，解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）；②由正弦定理，由①可知sin（A+B）=sinC=，sinA=，所以a=2c，又ac=2，所以c=1.【点评】本题考查了利用三角函数知识解三角形，用到了两角和与差的正弦函数、同角三角函数的基本关系式、正弦定理等知识.18.（12分）如图，三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点.（1）求证：BD∥平面FGH；（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.【分析】（I）证法一：如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF=M，连接MH.由已知可得四边形CFDG是平行四边形，DM=MC.利用三角形的中位线定理可得：MH∥BD，可得BD∥平面FGH；证法二：在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，H为BC的中点.可得四边形BHFE为平行四边形.BE∥HF.又GH∥AB，可得平面FGH∥平面ABED，即可证明BD∥平面FGH.（II）连接HE，利用三角形中位线定理可得GH∥AB，于是GH⊥BC.可证明EFCH是平行四边形，可得HE⊥BC.因此BC⊥平面EGH，即可证明平面BCD⊥平面EGH.【解答】（I）证法一：如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF=M，连接MH.在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G为AC的中点.∴，∴四边形CFDG是平行四边形，∴DM=MC.又BH=HC，∴MH∥BD，又BD⊄平面FGH，MH⊂平面FGH，∴BD∥平面FGH；证法二：在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，H为BC的中点.∴，∴四边形BHFE为平行四边形.∴BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，∴GH∥AB，又GH∩HF=H，∴平面FGH∥平面ABED，∵BD⊂平面ABED，∴BD∥平面FGH.（II）证明：连接HE，∵G，H分别为AC，BC的中点，∴GH∥AB，∵AB⊥BC，∴GH⊥BC，又H为BC的中点，∴EF∥HC，EF=HC，CF⊥BC.∴EFCH是矩形，∴CF∥HE.∵CF⊥BC，∴HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH=H，∴BC⊥平面EGH，又BC⊂平面BCD，∴平面BCD⊥平面EGH.【点评】本题考查了空间线面面面平行与垂直的判定及性质定理、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质定理，考查了空间想象能力、推理能力，属于中档题.19.（12分）已知数列{a n}是首项为正数的等差数列，数列{}的前n项和为.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（a n+1）•2，求数列{b n}的前n项和T n.【分析】（1）通过对c n=分离分母，并项相加并利用数列{}的前n项和为即得首项和公差，进而可得结论；（2）通过b n=n•4n，写出T n、4T n的表达式，两式相减后利用等比数列的求和公式即得结论.【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1、公差为d，则a1＞0，∴a n=a1+（n﹣1）d，a n+1=a1+nd，令c n=，则c n==[﹣]，∴c1+c2+…+c n﹣1+c n=[﹣+﹣+…+﹣]=[﹣]==，又∵数列{}的前n项和为，∴，∴a1=1或﹣1（舍），d=2，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）由（1）知b n=（a n+1）•2=（2n﹣1+1）•22n﹣1=n•4n，∴T n=b1+b2+…+b n=1•41+2•42+…+n•4n，∴4T n=1•42+2•43+…+（n﹣1）•4n+n•4n+1，两式相减，得﹣3T n=41+42+…+4n﹣n•4n+1=•4n+1﹣，∴T n=.【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题.20.（13分）设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=.已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y=0平行.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）是否存在自然数k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数m（x）=min{f（x），g（x）}（min{p，q}表示p，q中的较小值），求m（x）的最大值.【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a=1；（Ⅱ）求出f（x）、g（x）的导数和单调区间，最值，由零点存在定理，即可判断存在k=1；（Ⅲ）由（Ⅱ）求得m（x）的解析式，通过g（x）的最大值，即可得到所求.【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x+a）lnx的导数为f′（x）=lnx+1+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1）=1+a，由切线与直线2x﹣y=0平行，则a+1=2，解得a=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=（x+1）lnx，f′（x）=lnx+1+，令h（x）=lnx+1+，h′（x）=﹣=，当x∈（0，1），h′（x）＜0，h（x）在（0，1）递减，当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）递增.当x=1时，h（x）min=h（1）=2＞0，即f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，即有f（x）在（k，k+1）递增，g（x）=的导数为g′（x）=，当x∈（0，2），g′（x）＞0，g（x）在（0，2）递增，当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）在（2，+∞）递减.则x=2取得最大值，令T（x）=f（x）﹣g（x）=（x+1）lnx﹣，T（1）=﹣＜0，T（2）=3ln2﹣＞0，T（x）的导数为T′（x）=lnx+1+﹣，由1＜x＜2，通过导数可得lnx＞1﹣，即有lnx+1+＞2；e x＞1+x，可得﹣＞，可得lnx+1+﹣＞2+=＞0，即为T′（x）＞0在（1，2）成立，则T（x）在（1，2）递增，由零点存在定理可得，存在自然数k=1，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，m（x）=，其中x0∈（1，2），且x=2时，g（x）取得最大值，且为g（2）=，则有m（x）的最大值为m（2）=.【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，同时考查零点存在定理和分段函数的最值，考查运算能力，属于中档题.21.（14分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且点（，）在椭圆C上.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E：=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m 交椭圆E与A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求△ABQ面积的最大值.【分析】（Ⅰ）通过将点点（，）代入椭圆C方程，结合=及a2﹣c2=b2，计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）知椭圆E的方程为：+=1.（i）通过设P（x0，y0）、=λ可得Q（﹣λx0，﹣λy0），利用+=1及+=1，计算即可；（ii）设A（x1，y1）、B（x2，y2），分别将y=kx+m代入椭圆E、椭圆C的方程，利用根的判别式△＞0、韦达定理、三角形面积公式及换元法，计算即可.【解答】解：（Ⅰ）∵点（，）在椭圆C上，∴，①∵=，a2﹣c2=b2，∴=，②联立①②，解得：a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为：+y2=1；（Ⅱ）由（I）知椭圆E的方程为：+=1.（i）设P（x0，y0），=λ，由题意可得Q（﹣λx0，﹣λy0），∵+=1，及+=1，即（+）=1，∴λ=2，即=2；（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=kx+m代入椭圆E的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，由△＞0，可得m2＜4+16k2，由韦达定理，可得x1+x2=﹣，x1•x2=，∴|x1﹣x2|=，∵直线y=kx+m交y轴于点（0，m），=|m|•|x1﹣x2|∴S△OAB=|m|•==2，设t=，将y=kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△≥0，可得m2≤1+4k2，又∵m2＜4+16k2，∴0＜t≤1，∴S=2=2=≤2，当且仅当t=1，即m2=1+4k2时取得最大值2，=3S，由（i）知S△ABQ∴△ABQ面积的最大值为6.【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合问题，考查求椭圆方程、线段的比及三角形的面积问题，考查计算能力，利用韦达定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题创作人：百里严守创作日期：202B.03.31审核人：北堂本一创作单位：雅礼明智德学校。
2020年北京高考数学模拟试卷(4)
2020年北京高考数学模拟试卷4一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）命题：“∀x ≥1，x 2+x ﹣2＞0”的否定是（ ） A ．∃x ＜1，x 2+x ﹣2＞0 B ．∀x ≥1，x 2+x ﹣2≤0 C ．∃x ＜1，x 2+x ﹣2≤0D ．∃x ≥1，x 2+x ﹣2≤02．（4分）已知A ＝{x |x 2﹣1≥0}，B ＝{y |y ＝e x }，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，+∞） B ．（﹣∞，1]C ．[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）3．（4分）已知偶函数f （x ）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递增，若a ＝ln 3，b ＝log 213，c =log 1215，则f （a ），f （b ），f （c ）的大小关系为（ ） A ．f （a ）＞f （b ）＞f （c ） B ．f （b ）＞f （c ）＞f （a ） C ．f （c ）＞f （b ）＞f （a ）D ．f （a ）＞f （c ）＞f （b ）4．（4分）已知a =21.2，b =30.6，c =ln 83，则（ ） A ．b ＞a ＞cB ．a ＞b ＞cC ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b5．（4分）为了宣传今年9月即将举办的“第十八届中国西部博览会”（简称“西博会”），组委会举办了“西博会”知识有奖问答活动．在活动中，组委会对会议举办地参与活动的15～65岁市民进行随机抽样，各年龄段人数情况如表： 组号 分组 各组人数 各组人数频率分布直方图第1组 [15，25） 10第2组 [25，35） a 第3组 [35，45） b 第4组 [45，55） c 第5组[55，65]d根据以上图表中的数据可知图表中a 和x 的值分别为（ ） A ．20，0.15B ．15，0.015C ．20，0.015D ．15，0.156．（4分）若a →，b →，c →满足，|a →|=|b →|=2|c →|=2，则(a →−b →)⋅(c →−b →)的最大值为（ ） A ．10B ．12C ．5√3D ．6√27．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．48．（4分）已知a ，b ∈R ，则“|a |≤1”是“|a ﹣b |+|b |≤1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．（4分）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n 项和N 满足：①N ＞80②N 是2的整数次幂，则满足条件的最小的n 为（ ） A ．21B ．91C ．95D ．10110．（4分）关于函数f （x ）＝（x 2+ax ﹣1）e x ，有以下三个结论： ①函数恒有两个零点，且两个零点之积为﹣1； ②函数的极值点不可能是﹣1； ③函数必有最小值．其中正确结论的个数有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）11．（5分）二项式（3x ﹣1）11的二项展开式中第3项的二项式系数为 ．12．（5分）已知复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，且满足|z |＝5，z +z =6，则z 的实部为 ，虚部为 ．13．（5分）已知数列{a n +n}(n ∈N ∗)为等比数列，a 1＝1，a 2＝2，则a 3＝ ． 14．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A （0，1），B （1，1），P 为直线AB 上的动点，A 关于直线OP 的对称点记为Q ，则线段BQ 的长度的最大值是 ．15．（5分）给出下列4个命题，其中正确命题的序号 ．．①log 0.53＜213＜（13）0.2；②函数f （x ）＝log 4x ﹣2sin x 有5个零点； ③函数f(x)=lgx4−x的图象关于点（2，0）对称． ④已知a ＞0，b ＞0，函数y ＝2ae x +b 的图象过点（0，1），则1a+1b的最小值是4√2． 三．解答题（共6小题，满分85分）16．（13分）已知向量a →=(sinx ，cosx)，b →=(√3，−1)，f(x)=a →⋅b →． （1）若x ∈[5π，6π]，求函数f （x ）的对称中心； （2）若f(α+π6)=√3，α∈（0，π），求α．17．（14分）2019年6月，国内的5G 运营牌照开始发放．从2G 到5G ，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平．为了解高校学生对5G 的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：用户分类 预计升级到5G 的时段 人数 早期体验用户 2019年8月至2019年12月 270人 中期跟随用户 2020年1月至2021年12月530人 后期用户2022年1月及以后200人我们将大学生升级5G 时间的早晚与大学生愿意为5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出如图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G 套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%）．（Ⅰ）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率；（Ⅱ）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由．18．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD．底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝1，P A＝AD＝DC＝2，PD=2√2．（Ⅰ）求证：AB⊥PD；（Ⅱ）求二面角P﹣BC﹣D的余弦值；（Ⅲ）若M是棱P A的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行．19．（14分）已知椭圆G：x2a+y2b=1（a＞b＞0），上顶点为B（0，1），离心率为√22，直线l：y＝kx﹣2交y轴于C点，交椭圆于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求证：S△BOM•S△BCN为定值．20．（15分）已知函数f（x）＝a（x﹣1）lnx+ex（a∈R），其中e是自然对数的底数．（1）求函数f（x）在点x＝1处的切线方程；（2）若不等式f（x）﹣e x≤0对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．21．（14分）已知集合S n＝{x|x＝（x1，x2，…，x n），x i∈{0，1}，i＝1，2，…，n}（n≥2），对于A＝（a1，a2，…，a n）∈S n，B＝（b1，b2，…，b n）∈S n，定义A与B的差为A﹣B ＝（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，…，|a n﹣b n|）；A与B之间的距离为d（A，B）＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|a n﹣b n|．（Ⅰ）若A﹣B＝（0，1），试写出所有可能的A，B；（Ⅱ）∀A，B，C∈S n，证明：d（A﹣C，B﹣C）＝d（A，B）；（Ⅲ）∀A，B，C∈S n，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中是否一定有偶数？证明你的结论．2020年北京高考数学模拟试卷4参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）命题：“∀x ≥1，x 2+x ﹣2＞0”的否定是（ ） A ．∃x ＜1，x 2+x ﹣2＞0 B ．∀x ≥1，x 2+x ﹣2≤0 C ．∃x ＜1，x 2+x ﹣2≤0D ．∃x ≥1，x 2+x ﹣2≤0【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题， 即￢P ：∃x ≥1，x 2+x ﹣2≤0”， 故选：D ．2．（4分）已知A ＝{x |x 2﹣1≥0}，B ＝{y |y ＝e x }，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，+∞） B ．（﹣∞，1]C ．[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【解答】解：A ＝{x |x ≤﹣1或x ≥1}，B ＝{y |y ＞0}， ∴A ∩B ＝[1，+∞）． 故选：C ．3．（4分）已知偶函数f （x ）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递增，若a ＝ln 3，b ＝log 213，c =log 1215，则f （a ），f （b ），f （c ）的大小关系为（ ） A ．f （a ）＞f （b ）＞f （c ） B ．f （b ）＞f （c ）＞f （a ） C ．f （c ）＞f （b ）＞f （a ）D ．f （a ）＞f （c ）＞f （b ）【解答】解：偶函数f （x ）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递增，且函数的图象关于y 轴对称，∴f （x ）在区间（1，+∞）上单调递减，∵a ＝ln 3∈（1，2），b ＝log 213=−log 23，c =log 1215=log 25＞2，且ln 3＜log 23，则f （a ）＝f （ln 3），f （b ）＝f （log 23），f （c ）＝f （log 25）， ∴f （c ）＜f （b ）＜f （a ）， 故选：A ．4．（4分）已知a =21.2，b =30.6，c =ln 83，则（ ） A ．b ＞a ＞cB ．a ＞b ＞cC ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b【解答】解：由题意得：a ＝21.2∈（2，4），b ＝30.6∈(√3，3)，c =ln 83＜lne ＝1． ∵30.6=√31.2＜21，2，∴a ＞b ＞c ， 故选：B ．5．（4分）为了宣传今年9月即将举办的“第十八届中国西部博览会”（简称“西博会”），组委会举办了“西博会”知识有奖问答活动．在活动中，组委会对会议举办地参与活动的15～65岁市民进行随机抽样，各年龄段人数情况如表： 组号 分组 各组人数 各组人数频率分布直方图第1组 [15，25） 10第2组 [25，35） a 第3组 [35，45） b 第4组 [45，55） c 第5组[55，65]d根据以上图表中的数据可知图表中a 和x 的值分别为（ ） A ．20，0.15B ．15，0.015C ．20，0.015D ．15，0.15【解答】解：由频率分布直方图可知，第一组的频率为：0.010×10＝0.1， 又∵第一组的人数为10， ∴总人数为：100，1=100，∵第二组的频率为：0.020×10＝0.2， ∴第二组的人数a ＝0.2×100＝20，由频率分布直方图可知，x =110×[1﹣（0.01+0.02+0.03+0.025）×10]＝0.015， 故选：C ．6．（4分）若a →，b →，c →满足，|a →|=|b →|=2|c →|=2，则(a →−b →)⋅(c →−b →)的最大值为（ ） A ．10B ．12C ．5√3D ．6√2【解答】解：a →，b →，c →满足，|a →|=|b →|=2|c →|=2，则(a →−b →)⋅(c →−b →)=a →⋅c →−a →⋅b →−b →⋅c →+b →2=2cos ＜a →，c →＞−4cos ＜a →，b →＞−2cos＜b →，c →＞+4≤12，当且仅当a →，c →同向，a →，b →，反向，b →，c →反向时，取得最大值． 故选：B ．7．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．4【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：所以V =13×12×2×2×1=23． 故选：A ．8．（4分）已知a ，b ∈R ，则“|a |≤1”是“|a ﹣b |+|b |≤1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：|a ﹣b |+|b ≥|a ﹣b +b |＝|a |， 因为|a ﹣b |+|b |≤1，所以|a||≤1，故后者能推出前者，反之，比如a＝1，b＝3，推不出后者，故为必要不充分条件，故选：B．9．（4分）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n 项和N满足：①N＞80②N是2的整数次幂，则满足条件的最小的n为（）A．21B．91C．95D．101【解答】解：依题意，因为N满足条件①N＞80②N是2的整数次幂，所以S n＝N＝2k，（k∈N*，且k≥7）如图：第m行各项的和为2m﹣1，前m行之和S m(m+1)2=（21﹣1）+（22﹣1）+……+（2m﹣1）＝（2+22+23+……+2m）﹣m＝2m+1﹣m﹣2，设满足条件的n在第m+1行，则前m行之和为2m+1﹣m﹣2≤2m+1，故N＝2m+1，则m+2＝1+2+4+……+2s，则满足条件的m的最小值为13，且N为第14行的第4项．所以n=(1+13)132+4＝95．故选：C．10．（4分）关于函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x，有以下三个结论：①函数恒有两个零点，且两个零点之积为﹣1；②函数的极值点不可能是﹣1；③函数必有最小值．其中正确结论的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x的零点，即为函数y＝x2+ax﹣1的零点，令x2+ax﹣1＝0，则△＝a2+4＞0，∴方程必有两个不等实根x1，x2，设x1＜x2，由韦达定理可得x1x2＝﹣1，故①正确；f'（x）＝（2x+a）e x+（x2+ax﹣1）e x＝[x2+（a+2）x+a﹣1]e x，当x＝﹣1时，f'（x）＝（1﹣a﹣2+a﹣1）e﹣1＝﹣2e﹣1≠0，故﹣1不可能是函数f（x）的极值点，故②正确；令f'（x）＝0即x2+（a+2）x+a﹣1＝0，△＝（a+2）2﹣4（a﹣1）＝a2+8＞0，设x2+（a+2）x+a﹣1＝0的两个实数根为x3，x4且x3＜x4，则当x∈（﹣∞，x3），x∈（x4，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（x3，x4）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴f（x4）为函数极小值；由①知，当x∈（﹣∞，x1）时，函数f（x）＞0，∴当x∈（﹣∞，x3）时，f（x）＞0，又f（0）＝﹣e x＜0，∴0∈（x3，+∞），∴f（x4）≤f（0）＜0，∴f（x4）为函数的最小值，故③正确．故选：D．二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）11．（5分）二项式（3x﹣1）11的二项展开式中第3项的二项式系数为55．【解答】解：二项式（3x﹣1）11的二项展开式的通项公式T r+1=C11r•（3x）11﹣r•（﹣1）r，令r＝2，可得中第3项的二项式系数为C11r=C112=55，故答案为：55．12．（5分）已知复数z在复平面内对应的点位于第一象限，且满足|z|＝5，z+z=6，则z的实部为3，虚部为4．【解答】解：设复数z＝a+bi（a∈R，b∈R），且a＞0，b＞0，∵|z|＝5，z+z=6，∴√a2+b2=5，a+bi+a﹣bi＝6，∴a＝3，b＝4，∴z的实部为3，虚部为4，故答案为：3，4．13．（5分）已知数列{a n+n}(n∈N∗)为等比数列，a1＝1，a2＝2，则a3＝5．【解答】解：根据题意，数列{a n+n}(n∈N∗)为等比数列，设b n＝a n+n，其首项b1＝a1+1＝2，b2＝a2+2＝4，则其公比q =b 2b 1=42=2， 则有b 3＝a 3+3＝8，解可得a 3＝5， 故答案为：5．14．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A （0，1），B （1，1），P 为直线AB 上的动点，A 关于直线OP 的对称点记为Q ，则线段BQ 的长度的最大值是 √2+1 ． 【解答】解：根据题意，点A （0，1），B （1，1）， 如图，A 、Q 关于直线OP 对称，则|OA |＝|OQ |＝1， 则Q 的轨迹为以（0，0）为圆心，半径r ＝|OA |＝1的圆， 连接OQ 、QB ，分析可得：当O 、Q 、B 三点共线时，|BQ |最大，此时|BQ |＝1+√2， 故答案为：√2+1．15．（5分）给出下列4个命题，其中正确命题的序号 ②③ ．． ①log 0.53＜213＜（13）0.2；②函数f （x ）＝log 4x ﹣2sin x 有5个零点； ③函数f(x)=lgx4−x的图象关于点（2，0）对称． ④已知a ＞0，b ＞0，函数y ＝2ae x +b 的图象过点（0，1），则1a+1b的最小值是4√2． 【解答】解：①log 0.53＜0，213＞1，0＜（13）0.2＜1，∴log 0.53＜（13）0.2＜213，故①错误，②函数f （x ）＝log 4x ﹣2sin x 有5个零点；由f （x ）＝log 4x ﹣2sin x ＝0得log 4x ＝2sin x ， 作出函数y ＝log 4x 和y ＝2sin x 的图象如图：由图象两个函数有5个交点，即函数f （x ）有5个零点，故②正确， ③由x 4−x＞0得x （x ﹣4）＜0，得0＜x ＜4，则f(x)=lg x4−x =lgx ﹣lg （4﹣x ），则f （x +2）＝lg （x +2）﹣lg （4﹣x ﹣2）＝lg （x +2）﹣lg （2﹣x ）， 设g （x ）＝lg （x +2）﹣lg （2﹣x ），则g （﹣x ）＝lg （2﹣x ）﹣lg （2+x ）＝﹣（lg （x +2）﹣lg （2﹣x ））＝﹣g （x ）， 即g （x ）是奇函数，关于原点对称，则函数f(x)=lg x4−x的图象关于点（2，0）对称．故③正确，④已知a ＞0，b ＞0，函数y ＝2ae x +b 的图象过点（0，1）， 则2a +b ＝1， 则1a +1b =（1a +1b ）（2a +b ）＝2+1+b a +2a b ≥3+2√b a ⋅2ab =3+2√2， 当且仅当ba =2ab ，即b =√2a 时取等号，即1a+1b的最小值是3+2√2，故④错误，故正确是②③， 故答案为：②③三．解答题（共6小题，满分85分）16．（13分）已知向量a →=(sinx ，cosx)，b →=(√3，−1)，f(x)=a →⋅b →． （1）若x ∈[5π，6π]，求函数f （x ）的对称中心；（2）若f(α+π6)=√3，α∈（0，π），求α．【解答】解：由题意得f(x)=a⋅b=√3sinx−cosx=2sin(x−π6 )（1）由x−π6=kπ，k∈Z，得x=π6+kπ，k∈Z．又x∈[5π，6π]，∴x=31π6．即当x∈[5π，6π]时，函数f（x）图象的对称中心为(31π6，0)．（2）∵f(α+π6)=√3，∴2sinα=√3，∴sinα=√32．又α∈（0，π），∴α=π3或α=2π3．17．（14分）2019年6月，国内的5G运营牌照开始发放．从2G到5G，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平．为了解高校学生对5G的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：用户分类预计升级到5G的时段人数早期体验用户2019年8月至2019年12月270人中期跟随用户2020年1月至2021年12月530人后期用户2022年1月及以后200人我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生愿意为5G套餐支付更多的费用作比较，可得出如图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%）．（Ⅰ）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率；（Ⅱ）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意知从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，∴估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率为：P=2701000+5301000=0.8．（Ⅱ）由题间意X的所有可能取值为0，1，2，记事件A为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G多支付10元或10元以上”，事件B为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G多支付10元或10元以上”，由题意可知，事件A，B相互独立，P（A）＝1﹣40%＝0.6，P（B）＝1﹣45%＝0.55，∴P（X＝0）＝P（AB）＝（1﹣0.6）（1﹣0.55）＝0.18，P（X＝1）＝P（A B+AB）＝0.6×（1﹣0.55）+（1﹣0.6）×0.55＝0.49，P（X＝2）＝P（AB）＝0.6×0.55＝0.33，∴X 的分布列为：X 0 1 2 P0.180.490.33E （X ）＝0×0.18+1×0.49+2×0.33＝1.15．（Ⅲ）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”， 则P （D ）=C 2703C 10003≈0.02．∴样本中早期体验用户的人数有所增加．18．（15分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ．底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，且AB ＝1，P A ＝AD ＝DC ＝2，PD =2√2． （Ⅰ）求证：AB ⊥PD ；（Ⅱ）求二面角P ﹣BC ﹣D 的余弦值；（Ⅲ）若M 是棱P A 的中点，求证：对于棱BC 上任意一点F ，MF 与PC 都不平行．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为平面ABCD ⊥平面P AD ， 平面ABCD ∩平面P AD ＝AD ， AB ⊂平面ABCD ，AB ⊥AD ， 所以AB ⊥平面P AD ，又因为PD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥PD ．（Ⅱ）解：因为P A ＝AD ＝2，PD =2√2，所以P A ⊥AD ． 由（Ⅰ）得AB ⊥平面P AD ，所以AB ⊥P A ， 故AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A ﹣xyz ，则P （0，0，2），B （1，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0）． 因为P A ⊥平面BCD ，所以平面BCD 的一个法向量是n →=（0，0，1）．而PB →=(1，0，−2)，PC →=(2，2，−2)， 设平面PBC 的一个法向量为m →=（x ，y ，z ），则由{m →⋅PB →=0m →⋅PC →=0得{x −2z =0，2x +2y −2z =0．取z ＝1，有m →=（2，﹣1，1）， 所以cos ＜n →，m →＞=n →⋅m →|n →|⋅|m →|=16=√66． 由题知，二面角P ﹣BC ﹣D 为锐角， 所以二面角P ﹣BC ﹣D 的余弦值为√66． （Ⅲ）解：假设棱BC 上存在点F ，MF ∥PC ，设BF →=λBC →，λ∈[0，1]． 依题意，可知M （0，0，1），BC →=(1，2，0)，F ＝（λ+1，2λ，0）， 所以MF →=(λ+1，2λ，−1)，PC →=(2，2，−2)．根据假设，有{λ+1=2μ，2λ=2μ，−1=−2μ，而此方程组无解，故假设错误，故对于棱BC 上任意一点F ，MF 与PC 都不平行．19．（14分）已知椭圆G ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），上顶点为B （0，1），离心率为√22，直线l ：y ＝kx ﹣2交y 轴于C 点，交椭圆于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别交x 轴于点M ，N ．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）求证：S △BOM •S △BCN 为定值．【解答】解：（1）由题意可知：{b =1c a =√22a 2=b 2+c 2，解得{a =√2b =1c =1，∴椭圆G 的方程为：x 22+y 2=1；（2）设点P （x 1，y 1），点Q （x 2，y 2），联立方程{y =kx −2x 22+y 2=1，消去y 得：（1+2k 2）x 2﹣8kx +6＝0， ∴x 1+x 2=8k 1+2k2，x 1x 2=61+2k2①，∵点P （x 1，y 1），B （0，1），∴直线BP 的方程为：y ﹣1=y 1−1x 1x ，令y ＝0得，x =x11−y 1，∴M （x 11−y 1，0）， 同理可得N （x 21−y 2，0），∴S △BOM •S △BCN =12×1×|x M |×12×3×|x N | =34×|x M •x N | =34×|x11−y 1⋅x21−y 2|=34×|x 1x 2(3−kx 1)(3−kx 2)| =34×|x 1x 29−3k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2| 把①式代入上式得：S △BOM •S △BCN =34×|61+2k 29−24k 21+2k 2+6k 21+2k2|=34×|61+2k2⋅1+2k 29|=12， ∴S △BOM •S △BCN 为定值12．20．（15分）已知函数f （x ）＝a （x ﹣1）lnx +ex （a ∈R ），其中e 是自然对数的底数． （1）求函数f （x ）在点x ＝1处的切线方程；（2）若不等式f （x ）﹣e x ≤0对任意的x ∈[1，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）∵f （x ）＝a （x ﹣1）lnx +ex ，f ′（x ）＝a （lnx +1−1x ）+e ， 所以切线斜率k ＝f ′（1）＝e ，且f （1）＝e ， 故切线方程y ﹣e ＝e （x ﹣1）即y ＝ex ，（2）令g （x ）＝f （x ）﹣e x ＝a （x ﹣1）lnx +ex ﹣e x ，（x ≥1）， 则g ′（x ）＝a （lnx +1−1x ）+e ﹣e x ，①若a ≤0，则g ′（x ）在[1，+∞）上单调递减，且g （1）＝0， 所以g （x ）≤0恒成立，②若a ＞0，令h （x ）＝g ′（x ）＝a （lnx +1−1x ）+e ﹣e x ， 则h ′（x ）＝a （1x +1x2）﹣e x ，易得1x+1x 2与﹣e x 在[1，+∞）上单调递减，所以则h ′（x ）在[1，+∞）上单调递减，h ′（1）＝2a ﹣e ， （i ）若2a ﹣e ≤0即0＜a ≤12e 时，h ′（x ）≤0恒成立，故h （x ）在[1，+∞）上单调递减，即g ′（x ）在[1，+∞）上单调递减， 又g ′（1）＝0，所以g ′（x ）≤0恒成立，所以g （x ）在[1，+∞）上单调递减，且g （1）＝0， 所以g （x ）≤0恒成立，满足题意，（ii ）2a ﹣e ＞0即a ＞12e 时，∃x 0∈（1，+∞）使得h ′（x ）＝0， 所以h （x ）在（1，x 0）单调递增，此时h （x ）＞h （1）＝0，所以g ′（x ）＞0即g （x ）在（1，x 0）单调递增，g （x ）＞g （1）＝0，不合题意， 综上 可得，a 的范围[﹣∞，12e ]．21．（14分）已知集合S n ＝{x |x ＝（x 1，x 2，…，x n ），x i ∈{0，1}，i ＝1，2，…，n }（n ≥2），对于A ＝（a 1，a 2，…，a n ）∈S n ，B ＝（b 1，b 2，…，b n ）∈S n ，定义A 与B 的差为A ﹣B ＝（|a 1﹣b 1|，|a 2﹣b 2|，…，|a n ﹣b n |）；A 与B 之间的距离为d （A ，B ）＝|a 1﹣b 1|+|a 2﹣b 2|+…+|a n ﹣b n |．（Ⅰ）若A ﹣B ＝（0，1），试写出所有可能的A ，B ； （Ⅱ）∀A ，B ，C ∈S n ，证明：d （A ﹣C ，B ﹣C ）＝d （A ，B ）；（Ⅲ）∀A ，B ，C ∈S n ，d （A ，B ），d （A ，C ），d （B ，C ）三个数中是否一定有偶数？证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ） A ＝（0，0），B ＝（0，1）；A ＝（0，1），B ＝（0，0）； A ＝（1，0），B ＝（1，1）； A ＝（1，1），B ＝（1，0）．（Ⅱ）令A＝（a1，a2，…，a n），B＝（b1，b2，…，b n），C＝（c1，c2，…，c n），对i＝1，2，…，n，当c i＝0时，有||a i﹣c i|﹣|b i﹣c i||＝|a i﹣b i|；当c i＝1时，有||a i﹣c i|﹣|b i﹣c i||＝|1﹣a i﹣（1﹣b i）|＝|a i﹣b i|．所以d（A﹣C，B﹣C）＝||a1﹣c1|﹣|b2﹣c2||+||a2﹣c2|﹣|b2﹣c2||+…+||a n﹣c n|﹣|b n﹣c n||＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|a n﹣b n|＝d（A，B）．（Ⅲ）∀A，B，C∈S n，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中一定有偶数．理由如下：因为（a i﹣b i）+（b i﹣c i）+（c i﹣a i）＝0，且（a i﹣b i）+（b i﹣c i）+（c i﹣a i）与|a i﹣b i|+|b i﹣c i|+|c i﹣a i|奇偶性相同．所以|a i﹣b i|+|b i﹣c i|+|c i﹣a i|为偶数，故d（A，B）+d（B，C）+d（A，C）为偶数，所以d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数不可能都是奇数，即d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中一定有偶数．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020年北京市高考数学模拟试卷（9）一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知集合A ＝{0，1，2，3}，集合B ＝{x ||x |≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，3}B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{0，1，2，3}2．（4分）若复数z 满足z （1﹣i ）2＝i （i 是虚数单位），则|z |为（ ） A ．13B ．12C ．14D ．153．（4分）已知定义在[m ﹣5，1﹣2m ]上的奇函数f （x ），满足x ＞0时，f （x ）＝2x ﹣1，则f （m ）的值为（ ） A ．﹣15B ．﹣7C ．3D ．154．（4分）已知数列{a n }为等差数列，且a 5＝5，则S 9的值为（ ） A ．25B ．45C ．50D ．905．（4分）在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点B ，C 的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），中线AD 的长度是4，则顶点A 的坐标满足的方程是（ ） A ．x 2+y 2＝16（y ≠0） B ．x 2+y 2＝16（x ≠0） C ．x 2+y 2＝4（y ≠0）D ．x 2+y 2＝4（x ≠0）6．（4分）下列不等式中，正确的是（ ） A ．若a ＞b ，c ＞d ，则a +c ＞b +d B ．若a ＞b ，则a +c ＜b +cC ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bdD ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac＞bd7．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，其中主视图是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．23πB ．23π4C ．64πD ．64π38．（4分）已知向量a →=（x 2﹣2x ，1），b →=（1，﹣3），则“﹣1＜x ＜3”是“a →，b →的夹角为钝角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件9．（4分）函数f （x ）＝x 2+e |x |的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（4分）函数y ＝f （x ）满足f （x +π2）＝f （x ），且当x ∈[0，π2]时，f （x ）={√2sinx ，sinx ≤cosx √2cosx ，sinx ＞cosx，则函数y ＝f （x ）﹣lgx 的零点个数为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．13二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）11．（5分）已知多项式（x +2）5＝a 5（x +1）5+a 4（x +1）4+a 3（x +1）3+a 2（x +1）2+a 1（x +1）+a 0，则a 2+a 4＝ ．12．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1．则AC →⋅BD →的值为 ．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 23−y 2b 2=1的两条渐近线与直线x =√3围成正三角形，则双曲线的离心率为 ．14．（5分）函数f （x ）＝sin （2x −π4）的最小正周期为 ，单调递增区间为 ． 15．（5分）如图，M 点在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱CC 1上（不含端点），给出下列五个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，AD1都是异面直线；②过M点有且只有一条直线与直线AB，AD1都相交；③过M点有且只有一条直线与直线AB，AD1都垂直；④过M点有无数个平面与直线AB，AD1都相交；⑤过M点有无数个平面与直线AB，AD1都平行；其中真命题是．三．解答题（共6小题，满分85分）16．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，∠DAB=π2，AP＝AB＝BC=12AD，E为AD的中点，AC与BE相交于点O．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线AB与平面PBD所成角的正弦值．17．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝7，A＝60°．（1）若△ABC的周长为20，求b，c；（2）求△ABC周长的取值范围．18．（14分）某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了9个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）．若用时不超过40（分钟），则称这个工人为优秀员工．（1）求这个样本数据的中位数和众数；（2）以这9个样本数据中优秀员工的频率作为概率，任意调查4名工人，求被调查的4名工人中优秀员工的数量x 分布列和数学期望．19．（14分）设函数f （x ）＝x 3+3|x ﹣a |，a ∈R ．（1）若a ＝1，求曲线y ＝f （x ）在x ＝2处的切线方程； （2）当x ∈[﹣1，1]时，求函数f （x ）的最小值；（3）已知a ＞0，且对任意的x ∈[1，+∞），都有f （x +a ）﹣f （1+a ）≥15a 2lnx ，求实数a 的取值范围．20．（15分）如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”．过椭圆第一象限内一点P 作x 轴的垂线交其“辅圆”于点Q ，当点Q 在点P 的上方时，称点Q 为点P 的“上辅点”．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上的点（1，√32）的上辅点为（1，√3）． （1）求椭圆E 的方程；（2）若△OPQ 的面积等于12，求上辅点Q 的坐标；（3）过上辅点Q 作辅圆的切线与x 轴交于点T ，判断直线PT 与椭圆E 的位置关系，并证明你的结论．21．（14分）给定数列{A n }，若对任意m ，n ∈N *且m ≠n ，A m +A n 也是{A n }的项，则称{A n }为“C 数列”．记数列{a n }的前n 项和为S n ．（1）若S n ＝n 2+n ，试判断{a n }是否为“C 数列”，并说明理由；（2）设“C 数列”{a n }满足对任意n ∈N *，有n （a 1+a n ）＝2S n ，若a 1＝6，a 2∈N *且a 2＞6，求a 2所有可能的取值；（3）设{a n }为公差为d （d ≠0）的等差数列，且对任意n ∈N *，S n 是{a n }中的项，求a 1d的取值集合并证明{a n }为“C 数列”．2020年北京市高考数学模拟试卷（9）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知集合A ＝{0，1，2，3}，集合B ＝{x ||x |≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，3}B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{0，1，2，3}【解答】解：A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |﹣2≤x ≤2}， ∴A ∩B ＝{0，1，2}． 故选：B ．2．（4分）若复数z 满足z （1﹣i ）2＝i （i 是虚数单位），则|z |为（ ） A ．13B ．12C ．14D ．15【解答】解：由z （1﹣i ）2＝i ，得z =i (1−i)2=i −2i =−12， ∴|z |=12． 故选：B ．3．（4分）已知定义在[m ﹣5，1﹣2m ]上的奇函数f （x ），满足x ＞0时，f （x ）＝2x ﹣1，则f （m ）的值为（ ） A ．﹣15B ．﹣7C ．3D ．15【解答】解：由奇函数的对称性可知，m ﹣5+1﹣2m ＝0， ∴m ＝﹣4，∵x ＞0时，f （x ）＝2x ﹣1，则f （m ）＝f （﹣4）＝﹣f （4）＝﹣15． 故选：A ．4．（4分）已知数列{a n }为等差数列，且a 5＝5，则S 9的值为（ ） A ．25B ．45C ．50D ．90【解答】解：数列{a n }为等差数列，且a 5＝5，则S 9=9(a 1+a 9)2=9×2a 52=9a 5＝45， 故选：B ．5．（4分）在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点B ，C 的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），中线AD 的长度是4，则顶点A 的坐标满足的方程是（ ） A ．x 2+y 2＝16（y ≠0）B ．x 2+y 2＝16（x ≠0）C ．x 2+y 2＝4（y ≠0）D ．x 2+y 2＝4（x ≠0）【解答】解：设A 的坐标：（x ，y ），由题意可得B ，C 的中点坐标为：（0，0），y ≠0 再由椭圆可得：x 2+y 2＝16，（y ≠0）； 故选：A ．6．（4分）下列不等式中，正确的是（ ） A ．若a ＞b ，c ＞d ，则a +c ＞b +d B ．若a ＞b ，则a +c ＜b +cC ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bdD ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac＞bd【解答】解：对于A 选项，若a ＞b ，c ＞d ，由不等式的基本性质可得a +c ＞b +d ，A 选项正确；对于B 选项，若a ＞b ，则a +c ＞b +c ，B 选项错误；对于C 选项，取a ＝2，b ＝1，c ＝﹣2，d ＝﹣3，则ac ＜bd ，C 选项错误；对于D 选项，取a ＝2，b ＝1，c ＝﹣2，d ＝﹣3，则ac＜bd ，D 选项错误．故选：A ．7．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，其中主视图是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．23πB ．23π4C ．64πD ．64π3【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：所以设外接球的球心为O ，故：A （2，4，0（ ）B （1，4，√3），O （1，2，z ）， 由于|OA →|=|OB →|，所以1+4+z 2=4+(z −√3)2，解得z =3， 故r 2=1+4+13=163． 所以S =4π×163=64π3． 故选：D ．8．（4分）已知向量a →=（x 2﹣2x ，1），b →=（1，﹣3），则“﹣1＜x ＜3”是“a →，b →的夹角为钝角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解答】解：a →•b →=x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣3）（x +1），当﹣1＜x ＜3时，a →•b →＜0，此时a →，b →的夹角为钝角或平角，即充分性不成立， 若a →，b →的夹角为钝角，则a →•b →＜0，得﹣1＜x ＜3，即必要性成立， 则“﹣1＜x ＜3”是“a →，b →的夹角为钝角”的必要不充分条件， 故选：B ．9．（4分）函数f （x ）＝x 2+e |x |的图象只可能是（ ）A ．B ．C．D．【解答】解：因为对于任意的x∈R，f（x）＝x2+e|x|＞0恒成立，所以排除A，B，由于f（0）＝02+e|0|＝1，则排除D，故选：C．10．（4分）函数y＝f（x）满足f（x+π2）＝f（x），且当x∈[0，π2]时，f（x）={√2sinx，sinx≤cosx√2cosx，sinx＞cosx，则函数y＝f（x）﹣lgx的零点个数为（）A．10B．11C．12D．13【解答】解：f（x+π2）＝f（x），函数f（x）为周期为π2，根据图象当x＝10时，y＝lgx＝1，当x=7π2＞10，f（x）最大值为1，从0到10，f（x）有前6个周期有11个交点，第七个周期，没有交点，所以共有11个，故选：B．二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）11．（5分）已知多项式（x+2）5＝a5（x+1）5+a4（x+1）4+a3（x+1）3+a2（x+1）2+a1（x+1）+a0，则a2+a4＝15．【解答】解：令x＝﹣1，解得a0＝1令x ＝﹣2（﹣2+2）5＝﹣a 5+a 4﹣a 3+a 2﹣a 1+1① 令x ＝0可得（0+2）5＝a +a 4+a 3+a 2+a 1+1② ①+②2（a 2+a 4）＝30 ∴a 2+a 4＝15． 故答案为：15．12．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1．则AC →⋅BD →的值为 ﹣3 ．【解答】解：∵AB ＝2，AD ＝1， ∴AC →⋅BD →=(AB →+AD →)⋅(BA →+BC →) =(AB →+AD →)⋅(AD →−AB →) =AD →2−AB →2 ＝1﹣4 ＝﹣3． 故答案为：﹣3．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 23−y 2b 2=1的两条渐近线与直线x =√3围成正三角形，则双曲线的离心率为 2√33． 【解答】解：双曲线x 23−y 2b =1的两条渐近线与直线x =√3围成正三角形，所以双曲线的渐近线的倾斜角为30°和150°， 所以√3=√33，所以b ＝1， 所以双曲线的离心率为：e =ca =3=2√33． 故答案为：2√33． 14．（5分）函数f （x ）＝sin （2x −π4）的最小正周期为 π ，单调递增区间为 [−π8+kπ，3π8+kπ]（k∈Z）．【解答】解：对于函数f（x）＝sin（2x−π4），它的最小正周期为2π2=π，令2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2，求得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，可得它的增区间为[kπ−π8，kπ+3π8]，k∈Z，故答案为：π；[kπ−π8，kπ+3π8]，k∈Z．15．（5分）如图，M点在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱CC1上（不含端点），给出下列五个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，AD1都是异面直线；②过M点有且只有一条直线与直线AB，AD1都相交；③过M点有且只有一条直线与直线AB，AD1都垂直；④过M点有无数个平面与直线AB，AD1都相交；⑤过M点有无数个平面与直线AB，AD1都平行；其中真命题是②③④．【解答】解：连接BC1，AD1，由题意可得BC1∥AD1，所以ABC1D1共面，M∈CC1，（不含端点），所以M不在面ABC1D1，在面ABC1D1任取一点E不在直线AB，AD1，得到的直线ME与直线AB，AD1都是异面直线；所以①不正确；只有过A，即只有MA是过M点有且只有一条直线与直线AB，AD1都相交；所以②正确；过M做面ABC1D1的垂线垂足为Q，即仅有一条过M点有且只有一条直线与直线AB，AD1都垂直；所以③正确；过M由无数多个平面与面ABC1D1相交，所以过M点有无数个平面与直线AB，AD1都相交，所以④正确；而过M点仅有一个平面与面ABC1D1平行，所以过M点有无数个平面与直线AB，AD1都平行不正确，即⑤不正确；故答案为：②③④．三．解答题（共6小题，满分85分）16．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，∠DAB=π2，AP＝AB＝BC=12AD，E为AD的中点，AC与BE相交于点O．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线AB与平面PBD所成角的正弦值．【解答】解：（I）证明：由已知AP⊥平面PCD，可得AP⊥PC，AP⊥CD，由题意得，ABCD为直角梯形，如图所示，∵BC∥=DE，∴BCDE为平行四边形，∴BE∥CD，∴AP⊥BE．又∵BE⊥AC，且AC∩AP＝A，∴BE⊥面APC，∵PO⊂平面APC，∴BE⊥PO，在直角梯形中，AC=√2AB=√2AP，∵AP⊥面PCD，∴AP⊥PC，∴△P AC为等腰直角三角形，O为斜边AC上的中点，∴PO⊥AC．且AC∩BE＝O，∴PO⊥平面ABCD．（II）以O为原点，分别以OB，OC，OP为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系．不妨设BO＝1，则A（0，﹣1，0），B（1，0，0），P（0，0，1），D（﹣2，1，0），PB →=（1，0，﹣1），AB →=（1，1，0），BD →=（﹣3，1，0）， 设n →=（x ，y ，z ）是平面PBD 的法向量．则{n →⋅PB →=x −z =0n →⋅BD →=−3x +y =0，令x ＝1，得n →=（1，3，1）， 设直线AB 与平面PBD 所成角为θ， 则直线AB 与平面PBD 所成角的正弦值为： sin θ=|AB →⋅n →||AB →|⋅|n →|=2√2211．17．（14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝7，A ＝60°． （1）若△ABC 的周长为20，求b ，c ； （2）求△ABC 周长的取值范围．【解答】解：（1）△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝7，A ＝60°． 所以a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，整理得49＝b 2+c 2﹣bc ， 由于a +b +c ＝20，所以b +c ＝13①． 故（b +c ）2﹣3bc ＝49②，由①②得b ＝5，c ＝8或b ＝8，c ＝5．（2）由于且a ＝7，A ＝60°．所以2R =14√33， 故三角形的周长L ＝a +b +c ＝7+14√33sin B +14√33sinC =7+14√33(sinB +sinC)=7+14√33[sinC +sin(2π3−C)]=7+14sin(C +π6)．由于0＜C ＜2π3，所以π6＜C +π6＜5π6，整理得12＜sin(C +π6)≤1．故所以三角形的周长L ∈（14，21]18．（14分）某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了9个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）．若用时不超过40（分钟），则称这个工人为优秀员工．（1）求这个样本数据的中位数和众数；（2）以这9个样本数据中优秀员工的频率作为概率，任意调查4名工人，求被调查的4名工人中优秀员工的数量x 分布列和数学期望．【解答】解：（1）中位数为43，众数为47；（2）被调查的4名工人中优秀员工的数量x ＝0，1，2，3，4， 任取一名优秀员工的概率为13，故x ～B （4，13），P （x ＝k ）=C 4k(13)k (1−13)4−k ，k ＝0，1，2，3，4，x 的分布列如下：x 01234P 168132812481881181故E （x ）=1×32+2×24+3×8+4×181=43． 19．（14分）设函数f （x ）＝x 3+3|x ﹣a |，a ∈R ．（1）若a ＝1，求曲线y ＝f （x ）在x ＝2处的切线方程； （2）当x ∈[﹣1，1]时，求函数f （x ）的最小值；（3）已知a ＞0，且对任意的x ∈[1，+∞），都有f （x +a ）﹣f （1+a ）≥15a 2lnx ，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝x 3+3|x ﹣1|，则当x ＞1时，f （x ）＝x 3+3x ﹣3，f ′（x ）＝3x 2+3所以f （2）＝8+6﹣3＝11，f ′（2）＝3×4+3＝15，则f （x ）在x ＝2处的切线方程为：y ﹣11＝15（x ﹣2），即15x ﹣y ﹣19＝0； （2）①当a ≤﹣1时，f （x ）＝x 3+3x ﹣3a ，则f ′（x ）＝3x 2+3＞0， 所以f （x ）在[﹣1，1]上单调递增，所以f （x ）min ＝f （﹣1）＝﹣4﹣3a ； ②当a ≥1时，f （x ）＝x 3﹣3x +3a ，则f ′（x ）＝3x 2﹣3≤0， 所以f （x ）在[﹣1，1]上单调递增，所以f （x ）min ＝f （1）＝﹣2+3a ； ③当﹣1＜a ＜1时，f （x ）={x 3+3x −3a ，a ＜x ＜1x 3−3x +3a ，−1＜x ≤a，由①②可知，函数f （x ）在（﹣1，a ）上单调递减，在（a ，1）单调递增， 所以f （x ）min ＝f （a ）＝a 3，综上：当a ≤﹣1时，f （x ）min ＝﹣4﹣3a ；当﹣1＜a ＜1时，f （x ）min ＝a 3，当a ≥1时，f （x ）min ＝﹣2+3a ；（3）当a ＞0时，且对任意的x ∈[1，+∞），都有f （x +a ）﹣f （1+a ）≥15a 2lnx ， 即对任意x ≥1有（x +a ）3+3x ﹣15a 2lna ﹣（a +1）3﹣3≥0，设g （x ）＝（x +a ）3+3x ﹣15a 2lna ﹣（a +1）3﹣3，则g （1）＝0，g ′（x ）＝3（x +a ）2+3−15a 2x， 设h （x ）＝g ′（x ）＝3（x +a ）2+3−15a 2x，因为a ＞0，x ≥1，所以h ′（x ）＝6（x +a ）+15a 2x 2＞0， 所以h （x ）在[1，+∞）上单调递增，所以h （x ）≥h （1），即g ′（x ）≥g ′（1）＝3（1+a ）2+3﹣15a 2＝﹣（a ﹣1）（2a +1）， 1′当g ′（1）≥0即0＜a ≤1时，g ′（x ）≥0恒成立，所以g （x ）在[1，+∞）上单调递增，此时g （x ）≥g （1）＝0满足题意；2′当g ′（1）＜0即a ＞1时，因为g ′（a ）＝12a 2﹣15a +3＝3（a ﹣1）（4a ﹣1）＞0，且g ′（x ）在[1，+∞）上单调递增，所以存在唯一的x 0＞1，使得g ′（x 0）＝0， 因此当1＜x ＜x 0时，g ′（x ）＜0，当x ＞x 0时，g ′（x ）＞0，所以g （x ）在（1，x 0）单调递减，（x 0，+∞）上单调递增， 所以g （x 0）＜g （1）＝0，不满足题意， 综上，0＜a ≤1．20．（15分）如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”．过椭圆第一象限内一点P 作x 轴的垂线交其“辅圆”于点Q ，当点Q 在点P 的上方时，称点Q 为点P 的“上辅点”．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上的点（1，√32）的上辅点为（1，√3）． （1）求椭圆E 的方程；（2）若△OPQ 的面积等于12，求上辅点Q 的坐标；（3）过上辅点Q 作辅圆的切线与x 轴交于点T ，判断直线PT 与椭圆E 的位置关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）∵椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上的点（1，√32）的上辅点为（1，√3）， ∴辅圆的半径为R =√1+3=2，椭圆长半轴为a ＝R ＝2，将点（1，√32）代入椭圆方程x 24+y 2b2=1中，解得b ＝1，∴椭圆E 的方程为x 24+y 2=1；（2）设点Q （x 0，y 0），则点P （x 0，y 1），将两点坐标分别代入辅圆方程和椭圆方程可得，x 02+y 02=4，x 024+y 12=1，故y 02=4y 12，即y 0＝2y 1，又S △OPQ =12x 0(y 0−y 1)=12，则x 0y 1＝1，将x 0y 1＝1与x 024+y 12=1联立可解得x 0=√2，则y 0=√2，∴点Q 的坐标为(√2，√2)；（3）直线PT 与椭圆E 相切，证明如下： 设点Q （x 0，y 0），由（2）可知，P(x 0，12y 0)， 与辅圆相切于点Q 的直线方程为y −y 0=−x 0y 0(x −x 0)，则点T(4x 0，0)， 直线PT 的方程为：y −0=12y 0x 0−4x 0(x −4x 0)，整理得y =−x2y 0+2y 0， 将y =−x 02y 0+2y 0与椭圆x 24+y 2=1联立并整理可得，1y 02x 2−2x 0y 02x +x 02y 02=0，由一元二次方程的判别式△=4x 02y 04−4x 02y 04=0，可知，上述方程只有一个解，故直线PT与椭圆E 相切．21．（14分）给定数列{A n }，若对任意m ，n ∈N *且m ≠n ，A m +A n 也是{A n }的项，则称{A n }为“C 数列”．记数列{a n }的前n 项和为S n ．（1）若S n ＝n 2+n ，试判断{a n }是否为“C 数列”，并说明理由；（2）设“C 数列”{a n }满足对任意n ∈N *，有n （a 1+a n ）＝2S n ，若a 1＝6，a 2∈N *且a 2＞6，求a 2所有可能的取值；（3）设{a n }为公差为d （d ≠0）的等差数列，且对任意n ∈N *，S n 是{a n }中的项，求a 1d的取值集合并证明{a n }为“C 数列”．【解答】解：（1）若S n ＝n 2+n ，则{a n }为“C 数列”． 理由如下：由S n ＝n 2+n ，得a n ＝2n ，对任意的m ，n ∈N *，且m ≠n ，都有a m +a n ＝2（m +n ）＝a m +n ， ∴{a n }是“C 数列”．（2）∵n （a 1+a n ）＝2S n ，①，∴（n ﹣1）（a 1+a n ﹣1）＝2S n ﹣1，（n ≥2），②由①﹣②，得a 1+na n ﹣（n ﹣1）a n ﹣1＝2a n ，即a 1+（n ﹣2）a n ﹣（n ﹣1）a n ﹣1＝0，（n ≥2），③则a 1+（n ﹣3）a n ﹣1﹣（n ﹣2）a n ﹣2＝0，（n ≥3），④由③﹣④，得：（n ﹣2）a n ﹣2（n ﹣2）a n ﹣1+（n ﹣2）a n ﹣2＝0，（n ≥3）， 整理得，a n ﹣2a n ﹣1+a n ﹣2＝0，（n ≥3），即a n ﹣a n ﹣1＝a n ﹣1＝a n ﹣2，（n ≥3）， ∴数列{a n }为等差数列，∵a 1＝6，∴a n ＝6+（n ﹣1）（a 2﹣6），∵{a n }是“C 数列”，∴对任意m ，n ∈N *，且m ≠n ，存在k ∈N *，使得a m +a n ＝a k ， ∴6+（m ﹣1）（a 2﹣6）+6+（n ﹣1）（a 2﹣6）＝6+（k ﹣1）（a 2﹣6）， ∵a 2＞6，∴k =6a 2−6+m +n −1，∵k ∈N *，∴6a 2−6为整数，∵a 2∈N ∗，且a 2＞6，∴a 2﹣6＝1，2，3，6，∴a 2＝7，8，9，12．（3）根据条件，对任意n ∈N *，存在k ∈N *，使得S n ＝a k ， 即na 1+n(n−1)2d =a 1+(k −1)d ， ∵d ≠0，对任意n ∈N *，k ＝1+n(n−1)2+（n ﹣1）⋅a 1d是正整数， 取n ＝2，k ＝2+a 1d 为正整数，则a 1d只可能是不小于﹣1的整数，当a 1d=−1时，k ＝1+n(n−1)2+n−1−1=n(n−3)2+2， 当n ＝1，2，3时，k 分别为1，1，2，均为正整数， 当n ＞3时，注意到n 与n ﹣3奇偶性相反，则n(n−3)2为正整数，∴k =n(n−3)2也是正整数， 当a 1d ∈N 时，k =1+n(n−1)2+(n −1)a 1d是正整数， ∴a 1d的取值集合为N ∪{﹣1}，下面证明{a n }是“C 数列”． 设a 1d=s ，（s ≥﹣1，且s ∈Z ），则a 1＝sd ，∴a n ＝sd +（n ﹣1）d ＝（s +n ﹣1）d ， 对任意m ，n ∈N *，且m ≠n ，有m +n ≥3， ∵s ≥﹣1，s ∈Z ，∴r ＝s +m +n ﹣1必为正整数，∵a m +a n ＝（s +m ﹣1）d +（s +n ﹣1）d ＝（2s +m +n ﹣2）d ， a r ＝a s +m +n ﹣1＝（2s +m +n ﹣2）d ，∴a m +a n ＝a r ，∴对任意m ，n ∈N *，且m ≠n ，存在r ＝s +m +n ﹣1∈N *，使得a m +a n ＝a r ， ∴{a n }为“C 数列”．。