数学教案北师版 七升八-2 乘法公式
2.3 有理数的乘除运算(教案)北师大版(2024)数学七年级上册
2．3有理数的乘除运算第1课时有理数的乘法法则1．了解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法法则；2．理解倒数的概念，会求一个数的倒数．重点运用有理数乘法法则正确计算乘法．难点理解有理数乘法的符号法则．一、导入新课问题1：指名学生计算：(－2)＋(－2)＋(－2).问题2：你们知道有理数包括哪些数吗？小学学习的四则运算是在有理数的什么范围内进行的？(非负数)问题3：在有理数的加、减运算中，关键问题是什么？与小学所学的运算最主要的不同点是什么？(符号问题)学生讨论并举手回答，教师点评．教师：根据有理数加、减运算中引出的新问题主要是负数的加、减，运算的关键是符号的确定，你能不能猜出在有理数乘法以及以后学习的除法中将引出的新内容以及关键问题是什么？(负数问题，符号的确定)二、探究新知1．有理数乘法法则甲水库的水位每天升高3 cm，乙水库的水位每天下降3 cm，预计经过4天甲、乙水库水位的总变化量各是多少？如果用正号表示水位上升，用负号表示水位下降，那么经过4天甲水库的水位变化量为3＋3＋3＋3＝3×4＝12(cm)；乙水库的水位变化量为(－3)＋(－3)＋(－3)＋(－3)＝(－3)×4＝－12(cm).(1)课件出示：一只小虫沿一条东西向的跑道，以每分钟3 m的速度向东爬行2 min，那么它现在位于原位置的哪个方向？相距多少米？(规定向东为正，向西为负)引导学生用乘法来解答：3×2＝6.①即小虫位于原来位置的东边6 m处．(2)把上述问题变为：小虫以每分钟3 m的速度向西爬行2 min，那么结果有何变化？引导学生用乘法来解答：(－3)×2＝－6.②即小虫位于原来位置的西边6 m处．教师：请同学们比较上面两道算式，它们有什么特点呢？引导学生得出：当我们把“3×2＝6”中的一个因数“3”换成它的相反数“－3”时，所得的积是原来的积“6”的相反数“－6”．总结：把一个因数换成它的相反数，所得的积是原来的积的相反数．教师：应用此结论计算3×(－2)，(－3)×(－2)，(－3)×0，3×0.学生思考后举手回答，教师点评，并进一步引导学生归纳出有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数与0相乘，积仍为0.教师强调：“同号得正”中正数乘正数得正数就是小学学习的乘法，有理数中特别注意“负负得正”和“异号得负”．例1(课件出示教材第50页例1)要求学生独立完成后汇报答案，教师点评，并进一步讲解：如果两个有理数的乘积为1，那么称其中的一个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数．三、课堂练习1．教材第50页“随堂练习”．2．计算：(1)9×6；(2)(－9)×6；(3)3×(－4); (4)(－3)×(－4).【答案】2.(1)54(2)－54(3)－12(4)12四、课堂小结1．什么是倒数？2．有理数乘法法则是什么？五、课后作业教材第55页习题2.3第1，2题．有理数的乘法运算是在小学数的乘法运算知识的基础上进行教学的．本节课的关键是把中学引入负数后的乘法运算化归为小学算术数的乘法运算．由于有理数的乘法是有理数最基本的运算之一，因而它是今后学习实数运算、代数式的运算、解方程以及函数知识的基础．在教学过程中，通过设置问题让学生自主探索、合作交流，从新的角度去认识乘法，引导学生理解有理数乘法法则的实质，掌握运算规律，激发学生的学习兴趣，并让学生思考归纳，培养学生的归纳能力和语言表达能力．第2课时有理数的乘法运算律1．掌握多个有理数连续相乘的运算方法；2．正确理解乘法交换律、结合律和分配律，能用字母表示运算律的内容；3．能运用运算律较熟练地进行乘法运算．重点多个有理数连续相乘的运算方法以及乘法的运算律，运用运算律进行乘法运算．难点运用乘法对加法的分配律进行简便计算．一、导入新课1．有理数的乘法法则是什么？2．小学时大家学过乘法的哪些运算律？二、探究新知1．提出问题，激发学生探索的欲望和学习积极性．计算(－5)×89.2×(－2)的过程能否使用简便方法．这样做有没有依据．小学里数的运算律在有理数中是否适用？2．导入运算律：(1)通过计算①5×(－6)，②(－6)×5，比较结果得出5×(－6)＝(－6)×5.(2)用文字语言归纳乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等．(3)用公式的形式表示为：ab＝ba.这里的a，b表示有理数，讲解“a×b→a·b→ab”的过程．(4)分组计算，比较[3×(－4)]×(－5)与3×[(－4)×(－5)]的结果，讨论，归纳出乘法结合律．用文字语言归纳：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积相等．用公式的形式表示为：(ab)c＝a(bc)(5)全班交流，规范乘法结合律的两种表达形式：文字语言、公式形式．(6)分组计算、比较，5×[3＋(－7)])与5×3＋5×(－7)的结果，讨论归纳出乘法对加法的分配律．用文字语言归纳：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．用公式的形式表示为：a(b＋c)＝ab＋ac(7)一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．a(b＋c＋d)＝ab＋ac＋ad(8)确定下列积的符号，试分析积的符号与各因数的符号之间有什么规律？2×8×(－0.5)×(－7)，2×(－3)×(－0.5)×(－7)，(－2)×(－3)×(－0.5)×(－7).当负的乘数个数为奇数时，积为________；当负的乘数个数为偶数时，积为________.结论1：几个不等于0的数相乘，积的符号由____________决定；结论2：有一个乘数为0，则积为________；用两种方法计算：(13＋14－16)×12比较上面两种解法，它们在运算顺序上有什么区别？解法2用了什么运算律？哪种解法运算量小？三、课堂练习1．教材第52页“随堂练习”第1、2题．2．下列各式中用了哪条运算律？如何用字母表示？(1)(－4)×8＝8×(－4)；(2)[(－8)＋5]＋(－4)＝(－8)＋[5＋(－4)].【答案】2.(1)乘法交换律：a×b＝b×a(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)四、课堂小结这节课你有什么收获？1．乘法的运算律2．多个有理数相乘积的符号规律五、课后作业教材第55页习题2.3第3，7题这一节课既是前面所学知识的继续，又是有理数的混合运算的基础，起着承前启后的作用．本节课的学习按以下流程进行：探索有理数的乘法运算律→运用乘法运算律简化计算的方法．通过课堂练习、变式练习，让学生灵活掌握运算律的使用场景，加深乘法对加法的分配律的理解和掌握，培养学生应用所学知识解决问题的能力，以及独立完成练习的习惯．第3课时有理数的除法1．通过类比小学除法与乘法的关系归纳总结出有理数除法法则一，能理解有理数除法法则，感受类比思想，发展归纳总结的能力；2．通过计算观察归纳出有理数除法法则二，熟练掌握有理数的除法运算，发展从大量事实概括法则的能力．重点正确运用有理数除法法则进行有理数的除法运算．难点根据不同的情况选择更简便的方法求商．一、导入新课问题：请同学们思考：一个数乘以3等于12，这个数是多少？如何列算式表示？一个数乘以－3等于－12，这个数又是多少？如何列算式表示？根据学生所列算式，引出本节课题：第3课时有理数的除法．二、探究新知1．讨论探究，归纳分类让学生利用手中的卡片讨论有理数的除法有几种情况，并进行分类．六种情况：正数÷正数，负数÷负数，同号；正数÷负数，负数÷正数，异号；0÷正数，0÷负数，0除以任何非0的数．2．计算猜测，探究法则根据有理数乘法法则完成以下问题：除法是乘法的逆运算，猜测以下式子结果：8×9＝________，72÷9＝______；2×(－3)＝________，(－6)÷(－3)＝________；(－4)×(－3)＝________，12÷(－4)＝________；(－1)×4＝________，(－4)÷4＝________；0×3＝________，0÷3＝________；(－10)×0＝________，0÷(－10)＝________.3．观察探究，总结法则问题1：小组合作，观察各组商的符号及商的绝对值与被除数和除数有何关系，归纳总结出有理数的除法法则，并用数学语言表述出来．问题2：想一想被除数是0的情况下，除法法则是什么？板书：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何非0的数都得0.提醒学生注意：0不能做除数．4．举例示范，理解法则例1.计算：(1)(－15)÷(－3)；(2)(－0.75)÷0.25；(3)7÷(－63)；(4)0÷(－13 49).板书：解：(1)(－15)÷(－3)＝＋(15÷3)＝5；(学生尝试完成第(1)题之后，引导学生分析得出步骤：)步骤：①判断类型；②确定符号；③绝对值相除．注意：负数在有理数运算中一定要加上括号．(2)(－0.75)÷0.25＝－(0.75÷0.25)＝－3；(3)7÷(－63)＝－(7÷63)＝－19 ； (4)0÷(－1349 )＝0.5．趁热打铁，熟练法则(1)(－64)÷4；(2)36÷(－9)；(3)0÷(－16).(一名学生成果展示，并讲解这三道题，教师及时鼓励学生). 问题3：对于有理数的除法还有其他解法吗？6．法则再探，柳暗花明计算：(男生做除法题，女生做乘法题)(1)1÷(－25 )与1×(－52 )；(2)0.8÷(－310 )与0.8×(－103 )；(3)(－14 )÷(－160 )与(－14 )×(－60).比较计算结果，你发现了什么？由此得到什么结论？并与同伴交流．引导学生归纳出有理数除法的又一个法则并板书：除以一个数等于乘这个数的倒数．并且通过观察、比较发现在非负数范围内成立的法则在有理数范围内也成立，除法的两个法则本质上是一致的．7．举例示范，理解法则例2.计算：(1)(－18)÷(－23 )；(2)16÷(－43 )÷(－98 )；(3)(－15)÷(－15 )÷(－2).学生尝试完成此题之后，引导学生分析得出步骤：①除号变为乘号；②除数变为倒数；③确定符号，绝对值相乘．本例的目的是巩固转化的思想，在书写上与例1有区别，突出了先转化再计算的思想．8．两个有理数相除，有两种方法方法一、有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何非0数都得0(0不能作除数).方法二、把除法转化为乘法：除以一个数等于乘这个数的倒数． 说说在进行除法运算时如何选择法则使计算更简便呢？如(－78)÷3运用上述第________种方法简便；425 ÷(－35 )用上述________种方法比较简便．引导学生总结：根据算式中所给数的不同合理选择法则，整数的除法先确定符号，再把两数绝对值相除；有分数或小数参与的运算，将除法转化为乘法，确定结果符号后再计算，一般情况下这样做会比较简便，学生做题时可有目的地选择方法．三、课堂练习计算：(1)(－18)÷6；(2)(－1)÷(－1.5)；(3)(－3)÷(－25 )÷(－14 )；(4)(－12)÷(－112 )÷(－100).【答案】(1)－3 (2)23 (3)－30 (4)1.44四、课堂小结1．通过本节课的学习，你学到了哪些知识？2．有理数除法法则是什么？3．计算有理数除法的一般步骤有哪些？五、课后作业教材第55页习题2.2第4、6题．让学生深刻理解除法是乘法的逆运算，对学好本节内容有比较好的作用．教学设计可以采用课本的引例作为探究除法法则的过程．让学生自己探索并总结除法法则，同时也让学生对比乘法法则和除法法则，加深印象．并讲清楚除法的两种计算方法：(1)在除式的项和数字不复杂的情况下直接运用除法法则计算．(2)分数除法，或多个有理数进行除法运算，或者是乘、除混合运算时应该把除法转化为乘法，然后统一用乘法的运算律进行计算．。
第一章专题复习课-整式乘法公式(教案)2022-2023学年北师大版七年级数学下册
-混合运算：解决如(x + 2)^2 - (x - 3)^2这样的问题，学生需要先将两个完全平方公式展开，然后应用平方差公式简化计算。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“整式乘法公式”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算面积或求解一些特定几何图形问题时，需要进行复杂的数学运算？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索整式乘法公式的奥秘。
此外，学生小组讨论的环节，我发现学生们对于整式乘法公式在实际生活中的应用有很好的想法，但在讨论过程中，有时会出现偏离主题的现象。为了提高讨论效率，我应该在讨论前给出更明确的主题和指导，以便学生能够更有针对性地展开讨论。
最后，总结回顾环节，我觉得可以进一步优化。在今后的教学中，我可以尝试让学生自己来总结今天所学的知识点，这样既能检验他们对知识的掌握程度，也能提高他们的归纳总结能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解整式乘法公式的基本概念。整式乘法公式包括完全平方公式、平方差公式和立方公式等，它们是解决整式乘法运算的快捷方法。这些公式在简化计算和解决实际问题中起着重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。例如，计算长方形(长为x+3，宽为x-2)的面积，我们可以使用完全平方公式来简化计算过程。
第一章专题复习课-整式乘法公式（教案）2022-2023学年北师大版七年级数学下册
一、教学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ容
本节课为2022-2023学年北师大版七年级数学下册“第一章专题复习课-整式乘法公式”。教学内容主要包括以下几部分：
(完整版)新北师大版七年级数学下册全册教案
周次日期教学内容课时备注1 2.15---2.16 同底数幂的乘法 12 2.17---2.21 幂的乘方与积的乘方法—同底数幂的除 52015—2016 学年度第二学期教学进度任课教师：学科：数学年（班）级：3 2.24---2.28 整式的乘法—平方差公式 54 3.3—3.7 完全平方公式—回顾与思考 55 3.10---3.14 两条直线的位置关系—探索直线平 5行的条件6 3.17---3.21 探索直线平行的条件—平行线的性质 57 3.24—3.28 回顾与思考—认识三角形 58 3.31---4.4 图形的全等—探索三角形全等的条件 4 清明节9 4.7---4.11 探索三角形全等的条件—用尺规作三 5角形10 4.14---4.18 利用三角形全等测距离—回顾与思考 511 4.21—4.25 复习期中考试 312 4.28---5.2 用表格表示的变量间关系—用关系 4 劳动节式表示的变量间关系13 5.5---5.9 用图象表示的变量间关系—回顾与 5思考14 5.12---5.16 轴对称现象—探索轴对称的性质 515 5.19---5.23 简单的轴对称图形 516 5.26---5.30 利用轴对称进行设计—回顾与思考 517 6.2---6.6 感受可能性—概率的稳定性 518 6.9---6.13 等可能事件发生的概率—回顾与思考 519 6.16—6.20 总复习 520 6.23---6.27 期末考试 5本学期总目标：培养学生良好的学习习惯，提高他们学习数学的热情，力争取得一个比较优异的学习成绩教研组长签字：说明：此表一式两份，一份作为教案附件之一粘贴在教案本上，一份上交教务处。
1.1 同底数幂的乘法教学目标：知识与技能：使学生在了解同底数幂乘法意义的基础上，掌握幂的运算性质(或称法则)，进行基本运算。
过程与方法：在推导“性质”的过程中，培养学生观察、概括与抽象的能力。
北师大版七年级数学下册乘法公式教案
北师大版七年级数学下册乘法公式教案一、知识概述1、平方差公式由多项式乘法得到 (a＋b)(a－b) ＝a2－b2.即两个数的和与这两个数的差的积，等于它们的平方差.2、平方差公式的特征①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对于形如两数和与这两数差相乘的形式，就可以运用上述公式来计算．3、完全平方公式由多项式乘法得到（a±b）2＝a2±2ab＋b2即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.推广形式：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca4、完全平方公式的特征(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a－b)2＝a2－2ab＋b2都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．①两公式的左边：都是一个二项式的完全平方，二者仅有一个符号不同；右边：都是二次三项式，其中有两项是公式左边两项中每一项的平方，中间是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个符号不同．②公式中的a、b可以是数，也可以是单项式或多项式．③对于形如两数和(或差)的平方的乘法，都可以运用上述公式计算．5、乘法公式的主要变式（1）a2－b2＝(a＋b)(a－b);（2）(a＋b)2－(a－b)2＝4ab;（3）(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)；（4）a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab（5）a3＋b3＝(a＋b)3－3ab(a＋b)．熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程．注意：(1)公式中的a，b既可以表示单项式，也可以表示多项式.(2)乘法公式既可以单独使用，也可以同时使用.(3)这些公式既可以正用，也可以逆用，因此在解题时应灵活地运用公式，以计算简捷为宜.二、典型例题讲解例1、计算：(1)(3a＋2b)(2b－3a)；(2)(x－2y)(－x－2y)；(3)；(4)(a＋b＋c)(a－b－c).分析：相乘的两个二项式，只要它们有一项完全相同，另一项互为相反数，就符合平方差公式.相乘的结果是相同项的平方减去相反项的平方.第(1)题的相同项是2b，相反项是3a与－3a.第(2)题可以按第(1)题的方法计算，也可以先改变第二个因式的符号再运算.第(3)题应先计算，恰好可以运用平方差公式，所得的积再与相乘，又恰好能再用平方差公式计算.第(4)题虽然不能直接运用平方差公式计算，但认真观察两个二项式中的相同项和相反项，就不难分组转化成平方差公式的结构形式.解：(1)原式＝(2b＋3a)(2b－3a)＝(2b)2－(3a)2＝4b2－9a2(2)原式＝(－2y＋x)(－2y－x)＝(－2y)2－x2＝4y2－x2(3)原式＝＝＝(4)原式＝[a＋(b＋c)][a－(b＋c)]＝a2－(b＋c)2＝a2－(b2＋2bc＋c2)＝a2－b2－2bc－c2例2、计算：(1)20042－19962(2)(x－y＋z)2－(x＋y－z)2(3)(2x＋y－3)(2x－y－3)．分析：由于2004与1996的和是一个特殊数，(x－y＋z)和(x＋y－z)的和为一个单项式，所以此类问题总是可逆用平方差公式，(2x＋y－3)和(2x－y－3)中相同项和相反项分组用公式．解：(1)20042－19962＝(2004＋1996)(2004－1996)＝4000×8＝32000(2)(x－y＋z)2－(x＋y－z)2＝[(x－y＋z)＋(x＋y－z)][ (x－y＋z)－(x＋y－z)]＝2x(－2y＋2z)＝－4xy＋4xz（3）(2x＋y－3)(2x－y－3)＝[(2x－3)＋y][(2x－3)－y]＝(2x－3)2－y2＝4x2－12x＋9－y2＝4x2－y2－12x＋9；例3、计算：(1)(3x＋4y)2；(2)(－3＋2a)2；(3)(2a－b)2；(4)(－3a－2b)2分析：运用两数和的平方公式应正确理解公式的特征，公式的左边是一个二项式的平方，显然四个小题都可以用完全平方公式，在运用公式时注意分清是用两数和，还是两数差.解：(1)原式＝(3x)2＋2·3x·4y＋(4y)2＝9x2＋24xy＋16y2(2)原式＝(－3)2＋2·(－3)·2a＋4a2＝4a2－12a＋9(3)原式＝(2a)2＋2·2a·(－b)＋(－b)2＝4a2－4ab＋b2(4)原式＝[－(3a＋2b)]2＝(3a＋2b)2＝(3a)2＋2·(3a)·2b＋(2b)2＝9a2＋12ab＋4b2例4、已知m＋n＝4， mn＝－12，求(1)；（2）；（3）．分析：本题可由完全平方公式进行推导．解：（1）；（2）；（3）．点评：公式是可以进行适当变形或重新组合的，乘法公式也是如此，如a2＝（a＋b）（a－b）＋b2，a2＋b2＝（a－b）2＋2ab，（a－b）2＝（a＋b）2－4ab，ab＝＝，a2＋b2＋c2＝（a＋b＋c）2－2（ab ＋bc＋ac）等.这些变形用起来更灵活、更巧妙，更能感受到数学的趣味和作用．例5、多项式9x2＋1加上一个单项式后，使它能够成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是________(填上一个你认为正确的即可)．分析：解答时，很多学生只习惯于课本上的完全平方的顺序，认为只有添加中间(两项的乘积的2倍)项，即9x2＋1＋6x＝(3x＋1)2或9x2－6x＋1＝(3x－1)2；但只要从多方面考虑，还会得出，9x2＋1－1＝9x2＝(3x)2，9x2＋1－9x2＝12，所以添加的单项式可以是6x，－6x，，－1，－9x2．答案：±6x或或－1或－9x2点评：要回答形如上面的问题，需对完全平方公式的特征非常熟悉．例6、计算：，并说明结果与y的取值无关．分析：在解题中往往只对字母平方，而忽略系数，这实际上是因对公式中的a和b 所指的对象不清楚而造成的．解：从上述结果可以看出，结果中不含y的项，因此结果与y的取值无关．点评：(1)利用平方差公式计算的关键是弄清具体题目中，哪一项是公式中的a，哪一项是公式中的b；(2)通常在各因式中，相同项在前，相反项在后，但有时位置会发生变化，因此要归纳总结公式的变化，使之更准确的灵活运用公式．①位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a2－b2；②符号变化：(－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b)2－a2＝b2－a2；③系数变化：(3a＋2b)(3a－2b)＝(3a)2－(2b)2＝9a2－4b2；④指数变化：(a3＋b3)(a3－b3)＝(a3)2－(b3)2＝a6－b6；⑤连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝(a2－b2)(a2＋b2)(a4＋b4)＝(a4－b4)(a4＋b4)＝a8－b8；⑥逆用公式变化：(a－b＋c)2－(a－b－c)2＝[(a－b＋c)＋(a－b－c)][(a－b＋c)－(a－b－c)]＝4c(a－b)．例7、已知．求的值．分析：若直接代入求解则十分繁杂。
北师大版七年级下册数学《整式的乘法》整式的运算说课教学课件复习提高
例3 已知 xa＝2，xb＝3， 求xa+b的值.
解：∵ xa＝2，xb＝3
xa+b=xa·xb
∴ xa+b＝ xa·xb＝2×3 ＝ 6．
变式：已知 xa+b ＝6， xb＝3，求 xa 的值. 延伸：已知 xa＝2，xb＝3， 求x2a+3b的值.
解：∵ xa＝2，xb＝3 ∴ x2a+3b＝ x2a·x3b ＝(xa )2 ·(xb)3 ＝22×33 ＝ 108．
x2a+3b＝ x2a·x3b (xa )2 (xb)3
拓展：已知am ＝2，bm ＝5，求 ( a3b2)m的值．
解：∵ am ＝2，bm ＝5， ∴ (a3b2)m ＝a3m ·b2m ＝ (am)3 ·(bm)2 ＝23×52 ＝200
( a3b2)m =a3mb2m
a3m＝(am)3 b2m＝ (bm)2
学法指导
1. 在进行整式运算时，首先要正确把握运算 顺序．在每一步的运算中，要看清运算类 型，正确运用运算性质和法则．计算过程 中，要时刻注意符号;
2. 乘法公式是本节的重点和难点，是计算和 化简求值的重要工具，对公式及其之间的 关系要清晰理解;
3. 各种运算性质和法则要能从正反两方面来 理解，会灵活运用;
教学重难点
重点
准确熟练地运用整式的乘法运算法 则进行计算．
难点
准确熟练地运用整式的乘法运算法 则进行计算．
ac5 bc2的乘积是多少？
ac5 bc2
a bc5 c2
abc52 abc7
知识要点
单项式与单项式相乘，把他们 的系数、相同字母分别相乘，对于 只在一个单项式里含有的字母，则 连同它的指数作为积的一个因式。
北师大七年级数学上册的教学计划（精选19篇）
北师大七年级数学上册的教学计划（精选19篇）北师大七年级数学上册的教学计划篇1一、学情分析通过七年级上学期的学习，学生在用字母代替数的数学计算、理解和综合应用等方面都得到了一定的发展，对图形有初步的感知，对数据统计和统计图形的认识有进一步的提高，通过数与代数，空间与图形和统计与概率的学习，学生正处于形象思维向逻辑抽象思维的转变。
从上册数学期末考试成绩来看，本班优秀率达到36%，基本达到预期目标，但及格率只达到60%多，与预期尚有一定的差距。
总体上来看，仅管绝大多数学生学习很努力，也掌握了一定的学习数学的方法和技巧，但基础知识的不扎实成为制约他们学习的瓶颈，造成班级发展不平衡，两极分化现象严重。
二、教育教学指导思想坚持党的__大教育方针，以《初中数学新课程标准》为基准，将新课程改革落到实处。
以提高学生的基础知识和基本技能为根本任务，制定切实可行的教学计划，重点培养学生创新思维和应用数学的能力。
通过本学期的数学教学，进一步培养学生学习数学的兴趣，激发其求知欲望。
本学期以新课程理念指导教研工作，紧紧围绕课程实施中的基本问题。
深入而全面展开教学研究。
总结课程实施过程中形成的经验，与教师共同探讨，共同寻找解决问题的方法，提升各自的研究水平和能力，努力实现三维目标。
三、本学期教学的主要任务和要求本期教材任务为完成沪教版七年级下数学教科书教材的数学五章节内容的教学，并进行一次学区联考和一次期末统考本期教材任务为完成沪科版七年级下数学“实数”、“一元一次不等式与不等式组”、“整式乘除与因式分解”、“分式”、“相交线、平行线与平移”、“频数分布”的章节内容教学。
四、教材内容的重点和难点分析第六章实数这部分的内容是七—九年级“数与代数”部分的重要内容，是在有理数之后，对数系的又一次扩展，是今后学习函数、方程、不等式等知识的基础。
第七章一元一次不等式与不等式组是在学生掌握了有理数的大小比较、等式及其性质、一元一次方程和不等式组等知识的基础上进行的。
数学教案北师版 七升八-2 乘法公式
第二讲乘法公式[教学内容]《动态数学思维》暑期衔接版，七升八年级第二讲“乘法公式”.[教学目标]知识技能1. 熟练掌握乘法公式及其变形，熟练地应用乘法公式进行计算.2. 熟练地利用完全平方公式进行配方.数学思考1. 通过乘法公式，进一步发展观察、概括等能力，发展有条理地思考及语言表达能力.2. 通过将高次偶数指数向2次指数的转化，培养学生的化归思想.问题解决1. 以学生为课堂的主体，让学生以自主探究、合作交流、分析讨论、概括总结等来调动其学习积极性和主动性.2.在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探索的结果.情感态度1. 培养学生发现问题，主动探索的能力.在与同伴的合作交流中，培养学生的责任心.2. 教学中逐步渗透转化与化归思想，培养学生思维的严谨性和深刻性.[教学重点和难点]教学重点掌握乘法公式，并利用乘法公式进行运算.教学难点利用完全平方公式进行配方.[教学准备]动画多媒体语言课件第一课时教学过程：教学路径互动说明方案说明在我们古代有很多数学家，大家耳熟能详就有很多，祖冲之，商高等等，你们听说过杨辉吗？既然杨辉是数学家，那么他在数学领域有什么发现呢？看一下我们的启动性问题，大家就清楚了.启动性问题杨辉，中国南宋末年杰出的数学家和数学教育家，著有《详解九章算法》、《日用算法》、《乘除通变本末》、《田亩比类乘除捷法》、《续古摘奇算法》。
他是世界上第一个排出幻方和讨论其构成规律的数学家。
在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n展开式的项数及各项系数的有关规律．(下一步)（a+b）0=1，它只有一项，系数为1；（a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；……根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）4 的展开式共有项，系数分别为；（2）（a+b）n的展开式共有项，系数和为．老师可以适当介绍一下数学家杨辉师：你们还记的怎么应用平方差公式和完全平方公式吗？下面让我们来看几个例题.探究类型之一“乘法公式”的几何背景例1 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式.例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2.你根据图乙能得到的数学公式是．师：观察甲图，你们考虑甲图的公式是怎么得到呢？生：利用不同的代数式表示甲图的面积，根据甲图面积相同得到的.师：说得非常好，那么我们怎么用不同的代数式表示求乙图的面积呢？生：a2=（a-b）2 +ab+ab+b2，经过整理发现（a-b）2=a2-2ab+b2师：对于这道题，我们除了表示乙图整体的面积，我们还能可以通过表示那个图形的面积来验证呢？生：边长为（a-b）的正方形的面积.解析：动画给乙图中标得涂色，然后出示：用不同的代数式表示图中阴影部分的面积：让学生自己探索平方差公式的几何意义第二课时教学过程：解：∵a2+b2=10a+8b-41，∴a2-10a+25+b2-8b+16=0，即（a-5）2+（b-4）2=0，∴a-5=0，b-4=0，解得a=5，b=4.下一步∵c是△ABC中最长的边，∴5≤c＜9．师小结：（1）利用完全平方公式配方成平方和的形式；（2）几个非负数的和为0，则这几个数都为0．师：例题讲完了，我们大家掌握的怎么样？下面我们来看一下类似性问题.课件出示类似性问题1．如图，正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等.如果13,9,3对面的数分别为a,b,c，则a2+b2+c2-ab-bc-ca的值等于 ( )A.48B.76C.96D.152师：此题有一定难度，老师可先让同桌和前后桌之间讨论，然后找有思路的学生说说解法，其他学生可以指正、补充，老师点评后出课件讲解.课件出示解析：本讲教材及练习册答案：类似性问题： 1．B 2．D 3. -24. 解：（2x -1）2-（3x +1）（3x -1）+5x （x -1）=4x 2-4x +1-（9x 2-1）+5x 2-5x =4x 2-4x +1-9x 2+1+5x 2-5x =-9x +2.任选一数，代入求值即可.比如x =1时，原式=-7．5. 解：原式= 224816111111111122222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 44816111111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ = 8816111111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ = 1616111122⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭= 32112-. 练习册答案 1.A 2.D 3.B 4.D 5.-56.-1217.- 112或928.x n-19.解：原式=m2-n2+m2-2mn+n2-2m2=-2mn.当m=1，n=-3时，原式=6．10.解：由2x+x2+9y2+2=-6y，得x2+2x+1+9y2+6y+1=0，即（x+1）2+（3y+1）2=0，∴x+1=0，3y+1=0，解得x=-1，y=-13，∴x-3y=-1-3×（-13）=-1+1=0．11.解：正确．理由：设四个连续的正整数为n，（n+1），（n+2），（n+3），则：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3n）（n2+3n+2）+1=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1=（n2+3n+1）2。
北师版七升八数学暑假衔接班补课讲义
7．实数的几个概念： （1）相反数；（2）倒数；（3）绝对值都和有理数范围内的概念相同.
二、【例题精讲】
例 1：将下列各数填在相应括号内：
，
2
， 3.14，
0.21 ， 3 27， 1 2 ，
3 33 3，
3
有理数集合{
}；
整数集合 {
}；
正数集合 {
}；
例 2：判断正误 （1）有理数包括整数、分数和零 （2）无理数都是开方开不尽的数 （3）不带根号的数都是有理数
6、已知 3x+16 的立方根是 4，求 2x+4 的平方根。
7、求下列各式中的 x： ①(4x-1)3=343
② 3 x2 3 64
9
第三讲 实数
一、【基础知识精讲】
1．有理数：整数和分数统称有理数。
2．无理数：无限不循环小数叫做无理数。
3．实数.：有理数和无理数统称为实数.
4．实数的分类 ：
(2) (3 a )3 a
(3) (3 a3 ) a
二、【例题精讲】
例 1：求下列各数的立方根：
（1）512；
（2）－0.729；
（3） 2 10 ； 27
(4) 6
变式训练:
1．下列说法中正确的是（ ）
A. －4 没有立方根
C.
1
1
的立方根是
36
6
B. 1 的立方根是±1
D. －5 的立方根是 3 5
无理数有____________________________________________________．
2 ．（ 1 ） 在 实 数 中 绝 对 值 最 小 的 数 是 ________ ， 在 负 整 数 中 绝 对 值 最 小 的 数 是 ________．
2024北师大版数学七年级下册1.6.3《乘法公式综合运用》教案3
2024北师大版数学七年级下册1.6.3《乘法公式综合运用》教案3一. 教材分析《乘法公式综合运用》是北师大版数学七年级下册1.6.3的教学内容。
这部分内容是在学生掌握了平方差公式、完全平方公式等乘法公式的基础上进行学习的。
通过这部分的学习，学生能够灵活运用乘法公式解决实际问题，提高他们的解决问题的能力。
二. 学情分析面对七年级的学生，他们在之前的学习中已经掌握了平方差公式、完全平方公式等乘法公式。
但是，他们在运用这些公式解决实际问题时，往往会存在理解不深、运用不灵活的情况。
因此，在教学这部分内容时，需要引导学生深入理解乘法公式的内涵，提高他们解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握乘法公式的运用方法，能够灵活解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：乘法公式的运用。
2.难点：灵活运用乘法公式解决实际问题。
五. 教学方法采用自主学习、合作交流、教师引导相结合的教学方法，让学生在探究中掌握知识，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的乘法公式的资料，以便在教学中进行查阅。
2.准备一些实际问题，让学生进行练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问的方式，引导学生回顾之前学过的平方差公式、完全平方公式等乘法公式，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过展示一些实际问题，让学生尝试运用乘法公式进行解决。
学生在解决问题的过程中，教师给予适当的引导和提示。
3.操练（10分钟）学生分组进行练习，教师给出一些运用乘法公式的问题，学生通过合作交流，共同解决问题。
4.巩固（5分钟）教师挑选一些学生解决的实际问题，让学生上台进行讲解，以此巩固乘法公式的运用。
5.拓展（5分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生深入思考，提高他们解决问题的能力。
【精编】北师大版七年级下册数学 乘法公式(基础) 培训机构教案
乘法公式（基础）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(35)(35)x y x y +-（3）指数变化：如3232()()m n m n +-（4）符号变化：如()()a b a b ---（5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++要点二、完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=- 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+ ()()224a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.要点四、补充公式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±m ；33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++.【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果．(1)()()2332a b b a --； (2) ()()2323a b a b -++；(3) ()()2323a b a b ---+； (4) ()()2323a b a b +-；(5) ()()2323a b a b ---； (6) ()()2323a b a b +--．【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式.【答案与解析】解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算．(2) ()()2323a b a b -++＝()23b －()22a ＝2294b a -．(3) ()()2323a b a b ---+＝()22a - －()23b ＝2249a b -．(4) ()()2323a b a b +-＝()22a －()23b ＝2249a b -．(5) ()()2323a b a b ---＝()23b -－()22a ＝2294b a -．【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）．举一反三：【变式】计算：（1）332222x x y y ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）(2)(2)x x -+--； （3）(32)(23)x y y x ---．【答案】解：（1）原式2222392244x x y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）原式222(2)4x x =--=-．（3）原式22(32)(23)(32)(32)94x y y x x y x y x y =-+-=+-=-．2、计算：(1)59.9×60.1； (2)102×98．【答案与解析】解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝22600.1-＝3600－0.01＝3599.99(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝221002-＝10000－4＝9996．【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算．举一反三：【变式】（2015春•莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：（1）1232﹣124×122（2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ）【答案】解：（1）1232﹣124×122=1232﹣（123+1）（123﹣1）=1232﹣（1232﹣1）=1232﹣1232+1=1；（2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ）=（2a+b ）（2a ﹣b ）（4a 2+b 2）=（4a 2﹣b 2）（4a 2+b 2）=（4a 2）2﹣（b 2）2=16a 4﹣b 4．类型二、完全平方公式的应用3、计算：(1)()23a b +； (2)()232a -+； (3)()22x y -； (4)()223x y --．【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.【答案与解析】解：(1) ()()22222332396a b a a b b a ab b +=+⨯⋅+=++．(2) ()()()222223223222334129a a a a a a -+=-=-⨯⨯+=-+．(3) ()()22222222244x y x x y y x xy y -=-⋅⋅+=-+ ．(4) ()()()()2222222323222334129x y x y x x y y x xy y --=+=+⨯⨯+=++．【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．(2)注意()()22a b a b --=+之间的转化．4、（2015春•吉安校级期中）图a 是由4个长为m ，宽为n 的长方形拼成的，图b 是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形．（1）用m 、n 表示图b 中小正方形的边长为 ．（2）用两种不同方法表示出图b 中阴影部分的面积；（3）观察图b ，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n ）2，（m ﹣n ）2，mn ；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求（a ﹣b ）2的值．【答案与解析】解：（1）图b 中小正方形的边长为m ﹣n ．故答案为m ﹣n ；（2）方法①：（m ﹣n ）（m ﹣n ）=（m ﹣n ）2；方法②：（m+n ）2﹣4mn ；（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（m ﹣n ）2=（m+n ）2﹣4mn ；（4）由（3）得：（a ﹣b ）2=（a+b ）2﹣4ab ，∵a+b=7，ab=5，∴（a ﹣b ）2=72﹣4×5=49﹣20=29．【总结升华】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．5、已知7a b +=，ab ＝12．求下列各式的值：(1) 22a ab b -+；(2) 2()a b -．【答案与解析】解：(1)∵ 22a ab b -+＝22a b +－ab ＝()2a b +－3ab ＝27－3×12＝13．(2)∵ ()2a b -＝()2a b +－4ab ＝27－4×12＝1.【总结升华】由乘方公式常见的变形：①()2a b +－()2a b -＝4ab ；②22a b +＝()2a b +－2ab ＝()2a b -＋2ab ．解答本题关键是不求出,a b 的值，主要利用完全平方公式的整体变换求代数式的值．举一反三：【变式】已知2()7a b+=，2()4a b-=，求22a b+和ab的值．【答案】解：由2()7a b+=，得2227a ab b++=；①由2()4a b-=，得2224a ab b-+=．②①＋②得222()11a b+=，∴2211 2a b+=．① ②得43ab=，∴34 ab=．②【巩固练习】一.选择题1. 在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（ ）A.))((n m n m +--B.()()3333x y x y -+C.))((b a b a ---D.()()2222c d d c -+2．若x y +＝6，x y -＝5，则22x y -等于( )．A.11B.15C.30D.60 3．下列计算正确的是( )．A.()()55m m -+＝225m -B. ()()1313m m -+＝213m -C.()()24343916n n n ---+=-+D.( 2ab n -)(2ab n +)＝224ab n -4．下列多项式不是完全平方式的是( )．A.244x x --B.m m ++241 C.2296a ab b ++ D.24129t t ++5．（2015春•重庆校级期中）已知关于x 的二次三项式4x 2﹣mx+25是完全平方式，则常数m 的值为（ ）A ．10B ．±10C ．﹣20D ．±206．下列等式不能恒成立的是( )．A.()222396x y x xy y -=-+B.()()22a b c c a b +-=-- C.22241)21(n mn m n m +-=- D.()()()2244x y x y x y x y -+-=- 二.填空题7．若2216x ax ++是一个完全平方式，则a ＝______．8. 若2294x y +＝()232x y M ++,则M ＝______．9. 若x y +＝3，xy ＝1，则22x y +＝_______.10.（2015春•陕西校级期末）（1+x ）（1﹣x ）（1+x 2）（1+x 4）= ． 11. ()25(2)(2)21x x x -+--=___________.12.若()212x -=，则代数式225x x -+的值为________.三.解答题13.（2015春•兴平市期中）用平方差公式或完全平方公式计算（必须写出运算过程）．（1）69×71； （2）992．14.先化简，再求值：22)1(2)1)(1(5)1(3-+-+-+a a a a ，其中3=a ．15.已知：2225,7x y x y +=+=，且,x y >求x y -的值.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ；【解析】A 中m 和m -符号相反，n 和n -符号相反，而平方差公式中需要有一项是符号相同的，另一项互为相反数.2. 【答案】C ；【解析】()()22x y x y x y -=+-＝6×5＝30.3. 【答案】C ；【解析】()()55m m -+＝225m -；()()1313m m -+＝219m -；(2ab n -)(2ab n +)＝2224a b n -.4. 【答案】A ；【解析】2211()42m m m ++=+；22296(3)a ab b a b ++=+；224129(23)t t t ++=+.5. 【答案】D ；【解析】解：∵关于x 的二次三项式4x 2﹣mx+25是完全平方式，∴﹣m=±20，即m=±20．故选：D ．6. 【答案】D ；【解析】()()()()22222x y x y x y x y -+-=-.二.填空题7. 【答案】±4；【解析】222216244x ax x x ++=±⨯+，所以4a =±.8. 【答案】12xy -；【解析】2294x y +＝()23212x y xy +-.9. 【答案】7；【解析】()2222x y x y xy +=++，22927x y +=-=.10.【答案】1﹣x 8；【解析】解：（1+x ）（1﹣x ）（1+x 2）（1+x 4）=（1﹣x 2）（1+x 2）（1+x 4）=（1﹣x 4）（1+x 4）=1﹣x 8，故答案为：1﹣x 811.【答案】2421x x +-；【解析】()()()22225(2)(2)2154441421x x x x x x x x -+--=---+=+-.12.【答案】6；【解析】因为()212x -=，所以2221,256x x x x -=-+=.三.解答题13.【解析】解：（1）原式=（70﹣1）×（70+1）=4900﹣1=4899；（2）原式=（100﹣1）2=10000﹣200+1=9801．14.【解析】解：223(1)5(1)(1)2(1)a a a a +-+-+-()()()22232151221210a a a a a a =++--+-+=+当3,=231016a =⨯+=时原式.15.【解析】解：∵()2222x y x y xy +=++，且2225,7x y x y +=+=∴27252xy =+，∴12xy =，∵()2222252121x y x y xy -=+-=-⨯=∴1x y -=±∵,x y >即0x y ->∴1x y -=.。
全册教案(教案)2023-2024学年数学一年级上册北师大版
全册教案（教案）2023-2024学年数学一年级上册北师大版一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握基本的数学概念和运算方法，能够熟练地进行加减乘除运算，了解简单的几何图形，能够进行基本的测量和比较。
2. 过程与方法：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，学会观察、分析、归纳和总结，提高学生的逻辑思维能力和创新能力。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生独立思考和合作交流的能力，形成积极向上的学习态度。
二、教学内容1. 数的认识：使学生能够熟练地数数，理解数的含义，掌握数的顺序和大小比较，学会简单的数列排列。
2. 加减法运算：使学生掌握加减法运算的方法和规则，能够熟练地进行加减法计算，解决实际问题。
3. 乘除法运算：使学生掌握乘除法运算的方法和规则，能够熟练地进行乘除法计算，解决实际问题。
4. 几何图形的认识：使学生认识基本的几何图形，如圆形、正方形、长方形、三角形等，学会比较和测量几何图形的属性。
5. 测量与比较：使学生学会使用基本的测量工具，如尺子、天平等，能够进行基本的长度、重量和时间的测量和比较。
三、教学重点与难点1. 教学重点：加减乘除运算的方法和规则，几何图形的认识和测量，问题的解决方法。
2. 教学难点：加减乘除运算的熟练运用，几何图形的测量和比较，问题的分析和解决。
四、教具与学具准备1. 教具：数学教材、教具模型、教学课件、练习册等。
2. 学具：铅笔、橡皮、尺子、计算器等。
五、教学过程1. 导入：通过故事、游戏或实例引入新课，激发学生的兴趣和好奇心。
2. 讲授：讲解数学概念、方法和规则，举例说明，引导学生观察、分析和总结。
3. 练习：设计练习题，使学生巩固所学知识，提高运算能力和解决问题的能力。
4. 小结：总结本节课的重点内容，强调学习方法和解题技巧。
5. 作业布置：布置适量的作业，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。
六、板书设计1. 数学一年级上册北师大版全册教案2. 目录：教学目标、教学内容、教学重点与难点、教具与学具准备、教学过程、板书设计、作业设计、课后反思3. 正文：按照教学内容和教学过程，逐步展示数学概念、方法和规则，配以示例和练习题。
2.7.2乘法运算律及应用(教案)2021-2022学年北师大版数学七年级上册
2.乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)；
3.乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c；
4.应用乘法运算定律进行简便计算；
5.实际问题引入，加深对乘法运算定律的理解。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算和问题解决能力。通过学习乘法运算律及应用，使学生能够：
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解乘法运算律的基本概念。乘法交换律指的是两个数相乘，交换乘数的位置，其结果不变。这是基本的数学性质，它在我们的计算中起着至关重要的作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设你有3个苹果，每个苹果的价格是5元，我们如何计算总价？通过乘法交换律，我们可以直接计算5×3或3×5，得到15元。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如“在哪些情况下使用乘法分配律可以使计算更简单？”
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实物或计算器，演示乘法分配律在计算长方形面积中的应用。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“乘法运算律在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.7.2乘法运算律及应用（教案）2021-2022学年北师大版数学七年级上册
中学七年级数学上册 第二章第8节有理数的乘法(2)教案 北师大版 教案
一、课题§2.8有理数的乘法（2）二、教学目标1．使学生掌握多个有理数相乘的积的符号法则；2．掌握有理数乘法的运算律，并利用运算律简化乘法运算；3．培养学生观察、归纳、概括及运算能力．三、教学重点和难点重点：乘法的符号法则和乘法的运算律．难点：积的符号的确定．四、教学手段现代课堂教学手段五、教学方法启发式教学六、教学过程（一）、从学生原有认知结构提出问题1．叙述有理数乘法法则．2．计算(五分钟训练)：(1)(-2)×3； (2)(-2)×(-3)； (3)4×(-1.5)； (4)(-5)×(-2.4)；(5)29×(-21)； (6)(-2.5)×16； (7) 97×0×(-6)；(17)1×2×3×4×(-5)； (18)1×2×3×(-4)×(-5)；(19)1×2×(-3)×(-4)×(-5)； (20)1×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)；(21)(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)．（二）、讲授新课1．几个有理数相乘的积的符号法则引导学生观察上面各题的计算结果，找一找积的符号与什么有关？(17)，(19)，(21)等题积为负数，负因数的个数是奇数个；(18)，(20)等题积为正数，负因数个数是偶数个．是不是规律？再做几题试试：(1)3×(-5)； (2)3×(-5)×(-2)； (3)3×(-5)×(-2)×(-4)；(4)3×(-5)×(-2)×(-4)×(-3)；(5)3×(-5)×(-2)×(-4)×(-3)×(-6)．同样的结论：当负因数个数是奇数时，积为负；当负因数个数是偶数时，积为正．再看两题：(1)(-2)×(-3)×0×(-4)； (2)2×0×(-3)×(-4)．结果都是0．引导学生由以上计算归纳出几个有理数相乘时积的符号法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．几个有理数相乘，有一个因数为0，积就为0．继而教师强调指出，这样以后进行有理数乘法运算时必须先根据负因数个数确定积的符号后，再把绝对值相乘，即先定符号后定值．注意：第一个因数是负数时，可省略括号．例2 计算：(1) 8+5×(-4)； (2)(-3)×(-7)-9×(-6)．解：(1) 8+5×(-4)=8+(-20)=-12； (先乘后加)(2) (-3)×(-7)-9×(-6)=21-(-54)=75． (先乘后减)通过例1、例2教师小结：在有理数乘法中，首先要掌握积的符号法则，当符号确定后又归结到小学数学的乘法运算上，四则运算顺序也同小学一样，先进行第二级运算，再进行第一级运算，若有括号先算括号里的式子．课堂练习(1)判断下列积的符号(口答)：①(-2)×3×4×(-1)；②(-5)×(-6)×3×(-2)；③(-2)×(-2)×(-2)；④(-3)×(-3)×(-3)×(-3)．③1+0×(-1)-(-1)×(-1)-(-1)×0×(-1)．2．乘法运算律在做练习时我们看到如果像小学一样能利用乘法的交换律和结合计算：(1)5×(-6)；(4)(-6)×5；(2)［3×(-4)］×(-5)； (3)3×［(-4)×(-5)］；(4)5×［3+(-7)］； (5)5×3+5×(-7)．教师指出，由上面计算结果，可以说明有理数乘法也同样有交换律，结合律和分配律，并让学生分别用文字叙述和含字母的代数式表达三种运算律．(1)乘法交换律文字叙述：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．代数式表达：ab=ba.(2)乘法结合律文字叙述：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．代数式表达：(ab)c=a(bc)．(3)乘法分配律文字叙述：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．代数式表达：a(b+c)=ab+ac.提问：这里为什么只说“和”呢？ 3×(5-7)能不能利用分配律？答：这里的“和”不再是小学中说的“和”的概念，而是指“代数和”， 3 ×(5-7)可以看成3乘以5与-7的和，当然可利用分配律．提问：如何表达三个以上有理数相乘或一个数乘以几个有理数的和时的运算律？答：乘法交换律：abc=cab=bca，或者说任意交换因数的位置，积不变；乘法结合律：a(bc)d=a(bcd)=……，或者说任意先乘其中几个因数，积不变；分配律：a(b+c+d+…+m)=ab+ac+ad+…+am，再把所得的积相加．继而教师作如下小结：(1)小学学习的乘法运算律都适用于有理数乘法．(2)我们研究数，总是由数的意义、数的认识(读、写、大小比较等)到数的运算和数的运算律这样一个顺序进行，小学学习的正数和0是这样，现在学习有理数也是这样，将来进一步学习范围更大的数还是这样．掌握了学习的方法，就掌握了自学的钥匙，希望予以注意．课堂练习计算(能简便的尽量简便)：(5)(-23)×(-48)×216×0×(-2)； (6)(-9)×(-48)+(-9)×48；(7) 24×(-17)+24×(-9)．（三）、小结教师指导学生看书，精读多个有理数乘法的法则及乘法运算律，并强调运算过程中应该注意的问题．七、练习设计1．计算：(7)(-7.33)×42.07+(-2.07)(-7.33)；(8)(-53.02)(-69.3)+(-130.7)(-5.02)；八、板书设计九、教学后记本节课教学的基本目的是让学生掌握有理数乘法的符号法则和运算律．为完成这一教学目标，可以采用直接传授的方法，即教师清楚明白地把乘法的符号法则和乘法的运算律告诉学生，然后通过做习题来加以巩固．这种教学方法具有直截了当的特点，但不利于开启学生思维，更不易使学生在接受知识的同时，提高观察、归纳和概括的能力．因此，我们采取了上述作法．为了充分发挥每个学生思维的积极性，上述设计强调学生与教师一起共同参与教学活动．只要我们坚持把数学活动过程体现在教学中，又尽力发挥学生的思维积极性，那么学生所学到的就不仅是一些数学知识，而且会学到分析问题和解决问题的一般方法．。
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第二讲乘法公式
[教学内容]
《动态数学思维》暑期衔接版，七升八年级第二讲“乘法公式”.
[教学目标]
知识技能
1. 熟练掌握乘法公式及其变形，熟练地应用乘法公式进行计算.
2. 熟练地利用完全平方公式进行配方.
数学思考
1. 通过乘法公式，进一步发展观察、概括等能力，发展有条理地思考及语言表达能力.
2. 通过将高次偶数指数向2次指数的转化，培养学生的化归思想.
问题解决
1. 以学生为课堂的主体，让学生以自主探究、合作交流、分析讨论、概括总结等来调动其学
习积极性和主动性.
2.在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探索的结果.
情感态度
1. 培养学生发现问题，主动探索的能力.在与同伴的合作交流中，培养学生的责任心.
2. 教学中逐步渗透转化与化归思想，培养学生思维的严谨性和深刻性.
[教学重点和难点]
教学重点
掌握乘法公式，并利用乘法公式进行运算.
教学难点
利用完全平方公式进行配方.
[教学准备]
动画多媒体语言课件
第一课时
教学过程：
教学路径互动说明方案说
明在我们古代有很多数学家，大家耳熟能详就有很多，祖冲之，
商高等等，你们听说过杨辉吗？
既然杨辉是数学家，那么他在数学领域有什么发现呢？看一下
我们的启动性问题，大家就清楚了.
启动性问题
杨辉，中国南宋末年杰出的数学家和数学教育家，著有《详解
九章算法》、《日用算法》、《乘除通变本末》、《田亩比类乘除捷法》、
《续古摘奇算法》。
他是世界上第一个排出幻方和讨论其构成规律
的数学家。
在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此
图揭示了（a+b）n展开式的项数及各项系数的有关规律．
(下一步)
（a+b）0=1，它只有一项，系数为1；
（a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
（a+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系
数和为8；
……
根据以上规律，解答下列问题：
（1）（a+b）4 的展开式共有项，系数分别为；
（2）（a+b）n的展开式共有项，系数和为．
老师可以适当
介绍一下数学
家杨辉
师：你们还记的怎么应用平方差公式和完全平方公式吗？
下面让我们来看几个例题.
探究类型之一“乘法公式”的几何背景
例1 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式.例如，根
据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：
（a+b）2=a2+2ab+b2.你根据图乙能得到的数学公式
是．
师：观察甲图，你们考虑甲图的公式是怎么得到呢？
生：利用不同的代数式表示甲图的面积，根据甲图面积相同得到的.
师：说得非常好，那么我们怎么用不同的代数式表示求乙图的面积
呢？
生：a2=（a-b）2 +ab+ab+b2，经过整理发现（a-b）2=a2-2ab+b2
师：对于这道题，我们除了表示乙图整体的面积，我们还能可以通
过表示那个图形的面积来验证呢？
生：边长为（a-b）的正方形的面积.
解析：动画给乙图中标得涂色，然后出示：用不同的代数式表示图
中阴影部分的面积：
让学生自己探
索平方差公式
的几何意义
第二课时教学过程：
解：∵a2+b2=10a+8b-41，
∴a2-10a+25+b2-8b+16=0，
即（a-5）2+（b-4）2=0，
∴a-5=0，b-4=0，解得a=5，b=4.
下一步
∵c是△ABC中最长的边，
∴5≤c＜9．
师小结：
（1）利用完全平方公式配方成平方和的形式；
（2）几个非负数的和为0，则这几个数都为0．
师：例题讲完了，我们大家掌握的怎么样？下面我们来看一下类似性问题.
课件出示类似性问题
1．如图，正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等.如果13,9,3对面的数分别为a,b,c，则a2+b2+c2-ab-bc-ca的值等于 ( )
A.48
B.76
C.96
D.152
师：此题有一定难度，老师可先让同桌和前后桌之间讨论，然后找有思路的学生说说解法，其他学生可以指正、补充，老师点评后出课件讲解.
课件出示解析：
本讲教材及练习册答案：
类似性问题： 1．B 2．D 3. -2
4. 解：（2x -1）2-（3x +1）（3x -1）+5x （x -1）
=4x 2-4x +1-（9x 2-1）+5x 2-5x =4x 2-4x +1-9x 2+1+5x 2-5x =-9x +2.
任选一数，代入求值即可.比如x =1时，原式=-7．
5. 解：原式= 224816111111111122222⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
= 44816111111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-
+++ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ = 8816111111222⎛
⎫⎛⎫⎛⎫-
++ ⎪⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭ = 1616111122⎛⎫⎛⎫
-+ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
= 32112
-
. 练习册答案 1.A 2.D 3.B 4.D 5.-5
6.-121
7.- 11
2
或
9
2
8.x n-1
9.解：原式=m2-n2+m2-2mn+n2-2m2=-2mn.
当m=1，n=-3时，原式=6．
10.解：由2x+x2+9y2+2=-6y，
得x2+2x+1+9y2+6y+1=0，即（x+1）2+（3y+1）2=0，
∴x+1=0，3y+1=0，解得x=-1，y=-1
3
，
∴x-3y=-1-3×（-1
3
）=-1+1=0．
11.解：正确．
理由：设四个连续的正整数为n，（n+1），（n+2），（n+3），则：n（n+1）（n+2）（n+3）+1
=（n2+3n）（n2+3n+2）+1
=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1
=（n2+3n+1）2。