专题1.2 一元一次不等式与不等式组章末重难点题型(举一反三)(沪科版)(原卷版)
《一元一次不等式》PPT课件(沪科版)
在第④步中___正_确_____.
这节课学了什么?
用类比学习的方法得到了解一元 一次不等式的方法 解一元一次不等式的步骤有哪些
是需要我们注意的？
解法比较
一元一次方程 解 （1）去分母
（2）去括号
法 （3）移项
（4）合并同类项
步 （5）系数化为1
两边同时除以未 骤 知数的系数
解的 情况
一般只有一个解
解：去括号，得： 2x+5 ≤ 14-7x 移项， 得： 2x+7x ≤ 14-5
合并同类项，得： 9x ≤ 9 两边都除以9，得： X ≤ 1
不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来.如X≤1
可用数轴上表示1的点及左边所有点来表示
解方程的
这个不等式的解集在数轴上表示如下： 移项变形
对于解不
等式同样
-1 0
一元一次不等式 （1）去分母
（2）去括号
（3）移项
（4）合并同类项
（5）系数化为1
在（1）与（5）这两步若 乘数（或除数）为负数，
要把不等号方向改变
一般解集含有无数个解
一元一次不等式的解集在数轴上表示
解集
xa
xa
xa
xa
边界点 实心 空心 实心 空心
方向 向右 向右 向左 向左
如图
a
a
a
a
对于不等式200+1.8x>245：
当x取26时，代入原不等式左边，得
200+1.8x26=246.8超过了245. 对于不等式200+1.8x>245 当x取25时，代入原不等式左边，得
200+1.8x25=245.
当x取24时，代入原不等式左边，得 200+1.8x24=243.2少于245. 这就是说，当x取某些值（如26）时，不等式 200+1.8x>245成立；当x取另一些值（如24、25） 时不等式不成立.
2021-2022学年沪科版七年级数学下册第7章一元一次不等式与不等式组必考点解析试题(含详解)
七年级数学下册第7章一元一次不等式与不等式组必考点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、﹣（﹣a）和﹣b在数轴上表示的点如图所示，则下列判断正确的是（）A．﹣a＜1 B．b﹣a＞0 C．a＋1＞0 D．﹣a﹣b＜02、不等式3+2x≥1的解在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．3、如果关于x的方程ax﹣3（x+1）＝1﹣x有整数解，且关于y的不等式组31252130ya y+⎧≤⎪⎨⎪+-≤⎩有解，那么符合条件的所有整数a的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6 4、下列不等式组，无解的是（）A ．1030x x ->⎧⎨->⎩B ．1030x x -<⎧⎨-<⎩C ．1030x x ->⎧⎨-<⎩D ．1030x x -<⎧⎨->⎩ 5、若不等式﹣3x ＜1，两边同时除以﹣3，得（ ）A ．x ＞﹣13 B ．x ＜﹣13 C ．x ＞13 D ．x ＜136、不等式组1030x x ->⎧⎨-<⎩的解集是（ ） A ．1x > B ．3x > C ．13x << D ．无解7、已知关于x 的不等式组0320x a x ->⎧⎨->⎩的整数解共有3个，则a 的取值范围是（ ） A ．21a -≤<- B ．21a -<≤ C ．21a -<<- D ．21a -≤≤8、下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）A ．5+4>8B ．2x -1C ．2x ≤5D ．2x +y >79、如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1g ，则物体A 的质量m （g ）的取值范围，在数轴上可表示为（ ）A ．B ．C ．D ．10、设m 为整数，若方程组3131x y m x y m+=-⎧⎨-=+⎩的解x 、y 满足175x y +>-，则m 的最大值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若不等式组240x x m->⎧⎨<⎩无解，则m 的取值范围是______． 2、若关于x 的不等式122334455a x x x x x ≥+++++++++有解，则a 的取值范围是__________.3、若方程组31323x y k x y k-=+⎧⎨+=-⎩的解满足2x ﹣3y ＞1，则k 的的取值范围为 ___． 4、不等式组62021x x x -≥⎧⎨<+⎩的解集为______． 5、不等式353x x -<+的非负整数解有______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、解方程组或不等式组：（1）2435x y x y +=⎧⎨-=⎩； （2）2(2)3134x x x x +≤+⎧⎪+⎨⎪⎩＜． 2、解不等式组231125123x x x x +<+⎧⎪+⎨->-⎪⎩，并把解集表示在数轴上． 3、解下列不等式组（1）313112123x x x x +<-⎧⎪++⎨≤+⎪⎩（2）213(1)4x x x +>-≥-．4、2020年春节前夕，突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情造成口罩紧缺，为满足社会需求，某工厂现需购买一批材料，用于生产甲、乙两种型号的口罩，已知生产乙型口罩所需的材料费比生产甲型口罩所需的材料费每件多100元，且生产甲型口罩40件和生产乙型口罩30件需购买材料的费用相同．（1）求生产甲、乙两种型号口罩所需的材料费每件各多少元？（2）若工厂购买这批材料的资金不超过135000元，且需生产两种口罩共400件，求至少能生产甲种口罩多少件？5、解不等式（组）：（1）5231x x ->+ ；（2）()253213212x x x x ⎧+≤+⎪⎨+-<⎪⎩-参考答案-一、单选题1、B【分析】化简﹣（﹣a ）＝a ，根据数轴得到a ＜﹣1＜﹣b ＜0，再结合有理数的加减、不等式的性质逐项分析可得答案．【详解】解：﹣（﹣a ）＝a ，由数轴可得a ＜﹣1＜﹣b ＜0，∵a ＜﹣1，∴﹣a ＞1，故A 选项判断错误，不合题意；∵﹣b ＜0，∴b ＞0，b ﹣a ＞0，故B 正确，符合题意；∵a ＜﹣1，∴a +1＜0，故C 判断错误，不合题意；∵a ＜﹣b ，∴a +b ＜0，∴﹣a ﹣b ＞0，故D 判断错误，不合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了有理数的加减法则、不等式的性质、用数轴表示数等知识，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．2、B【分析】不等式移项，合并同类项，把x 系数化为1求出解集，表示在数轴上即可．【详解】解：不等式3+2x ≥1，移项得：2x ≥1﹣3，合并同类项得：2x ≥﹣2，解得：x ≥﹣1，数轴表示如下：．故选：B ．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．不等式的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点．3、C【分析】先解关于y 的不等式组可得解集为2133a y +≤≤，根据关于y 的不等式组有解可得2133a +≤，由此可得4a ≤，再解关于x 的方程可得解为42x a =-，根据关于x 的方程ax ﹣3（x +1）＝1﹣x 有整数解可得42a-的值为整数，由此可求得整数a的值，由此即可求得答案．【详解】解：31252130ya y+⎧≤⎪⎨⎪+-≤⎩①②，解不等式①，得：3y≤，解不等式②，得：213ay+≥，∴不等式组的解集为2133ay+≤≤，∵关于y的不等式组有解，∴2133a+≤，解得：4a≤，∵ax﹣3（x+1）＝1﹣x，∴ax﹣3x﹣3＝1﹣x，∴ax﹣3x＋x＝1＋3，∴(a﹣2)x＝4，∵关于x的方程ax﹣3（x+1）＝1﹣x有整数解，a为整数，∴a﹣2＝4，2，1，﹣1，﹣2，﹣4，解得：a＝6，4，3，1，0，﹣2，又∵4a≤，∴a＝4，3，1，0，﹣2，∴符合条件的所有整数a的个数为5个，故选：C此题考查了解一元一次不等式组、解一元一次方程，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．4、D【分析】根据不等式组的解集的求解方法进行求解即可．【详解】解：A、1030xx->⎧⎨->⎩，解得13xx>⎧⎨>⎩，解集为：3x>，故不符合题意；B、1030xx-<⎧⎨-<⎩，解得13xx<⎧⎨<⎩，解集为：1x<，故不符合题意；C、1030xx->⎧⎨-<⎩，解得13xx>⎧⎨<⎩，解集为：13x<<，故不符合题意；D、1030xx-<⎧⎨->⎩，解得13xx<⎧⎨>⎩，无解，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了求不等式组的解集，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”取不等式组的解集是关键．5、A【分析】根据题意直接利用不等式的性质进行计算即可得出答案．【详解】解：不等式﹣3x＜1，两边同时除以﹣3，得x＞﹣13．【点睛】本题主要考查不等式的基本性质．解不等式依据不等式的性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．特别是在系数化为1这一个过程中要注意不等号的方向的变化．6、C【分析】分别解出两个不等式，即可求出不等式组的解集．【详解】解：1030 xx->⎧⎨-<⎩①②解不等式①得 x＞1，解不等式②得x＜3，∴不等式组的解集为1＜x＜3．故选：C【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确解出两个不等式，并正确确定两个不等式的公共解是解题关键，求不等式组的解集可以借助口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”确定，也可以根据数轴确定．7、A【分析】先分别求出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，最后根据整数解的个数确定a的范围．【详解】解：0 320 x ax->⎧⎨->⎩①②解不等式①得：x>a,解不等式②得：x<32，∴不等式组的解集是a<x<32，∵原不等式组的整数解有3个为1,0，-1，∴-2≤a<-1．故选择：A．【点睛】本题考查了解一元一次不等式、解一元一次不等式组、不等式组的整数解的应用，确定不等式组的解集是解答本题的关键．8、C【分析】从是否含有不等号，是否含有未知数，未知数的个数是否一个，这个未知数的指数是否为1，四个方面判断即可．【详解】∵5+4>8中，没有未知数，∴不是一元一次不等式，A不符合题意；∵2x-1，没有不等号，∴不是一元一次不等式，B不符合题意；∵2x≤5是一元一次不等式，∴C符合题意；∵2x+y>7中，有两个未知数，∴不是一元一次不等式，D不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义即含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式，正确理解定义是解题的关键．9、A【分析】根据天平的图片得到m的取值范围，在数轴上表示m的取值，问题得解．【详解】解：由图可知，12mm⎧⎨⎩＞＜，∴m的取值范围在数轴上表示如图：．故选：A【点睛】本题考查了用数轴表示不等式的取值范围，理解题意，正确得到不等式组是解题关键．10、B【分析】先把m当做常数，解一元二次方程，然后根据175x y+>-得到关于m的不等式，由此求解即可【详解】解：3131x y m x y m +=-⎧⎨-=+⎩①②把①×3得：9333x y m +=-③，用③+①得：1042x m =-，解得25m x -=， 把25m x -=代入①得6315m y m -+=-，解得125m y --=， ∵175x y +>-， ∴21217555m m ---+>-，即131755m ->-， 解得6m <，∵m 为整数，∴m 的最大值为5，故选B ．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式和求不等式的整数解，解题的关键在于能够熟练掌握解二元一次方程组的方法．二、填空题1、2m ≤【分析】求得第一个不等式的解集，借助数轴即可求得m 的取值范围．【详解】解不等式240x ，得x >2因不等式组无解，把两个不等式的解集在数轴上表示出来如下：观察图象知，当m ≤2时，满足不等式组无解故答案为：2m ≤【点睛】本题考查了根据不等式组解的情况确定参数的取值范围，借助数轴数形结合是关键．2、15a ≥【分析】 根据绝对值的几何意义，可把122334455x x x x x +++++++++视为数轴上表示数x 的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和，得到当x 位于第8个点时，122334455x x x x x +++++++++取得最小值15，即可求出a 的取值范围．【详解】解：由绝对值的几何意义可得， 把122334455x x x x x +++++++++视为数轴上表示数x 的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和，∴当x 位于第8个点时，即当x =-4时，122334455x x x x x +++++++++的最小值为15， ∵122334455a x x x x x ≥+++++++++，∴当关于x 的不等式122334455a x x x x x ≥+++++++++有解时，a 的取值范围是15a ≥．故答案为：15a ≥．【点睛】 此题考查了绝对值的几何意义和不等式性质，解题的关键是根据题意求得122334455x x x x x +++++++++的最小值．3、34k >## 【分析】将①－②即可得2342x y k -=-，结合题意即可求得k 的范围．【详解】31323x y k x y k -=+⎧⎨+=-⎩①②①-②得，2342x y k -=-2x ﹣3y ＞1421k ∴-> 解得34k > 故答案为：34k >【点睛】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式，利用加减消元法得出方程组的解是解题关键． 4、1x <【分析】根据解一元一次不等式组的方法求解即可．【详解】解：620 21xx x-≥⎧⎨<+⎩①②由不等式①得：3x≤由不等式②得：1x<不等式组62021xx x-≥⎧⎨<+⎩的解集为1x<故答案为1x<【点睛】本题考查了求解一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．5、0，1，2，3【分析】先求出不等式的解集，再根据非负整数的定义得到答案．【详解】解：353x x-<+，2x<8，x<4，∴不等式353x x-<+的非负整数解有0，1，2，3，故答案为：0，1，2，3．【点睛】此题考查了解不等式，求不等式的非负整数解，正确解不等式是解题的关键．三、解答题1、（1）21xy=⎧⎨=⎩；（2）1x≤-．【分析】（1）利用代入消元法求解即可；（2）先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可．【详解】解：（1）2435x y x y +=⎧⎨-=⎩①② 由②得：35y x =-③，将③代入①得2(35)4x x +-=，解得2x =将2x =代入③得：1y =∴方程组的解为：21x y =⎧⎨=⎩； （2）解不等式组2(2)3134x x x x +≤+⎧⎪⎨+⎪⎩①＜② 由①得：243x x ++≤，解得1x ≤-，由②得：433x x +＜，解得3x ＜，∴不等式组的解集为：1x ≤-．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算方法．2、45＜x ＜8．【分析】先分别解出两个不等式，再求出公共解即可．【详解】解：2311 25123x xxx+<+⎧⎪⎨+->-⎪⎩①②解不等式①，得x＜8．解不等式②，得x＞45．∴等式组的解集是45＜x＜8，不等式的解集在数轴上表示如图：．【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法，求两个不等式的公共解可以借助数轴求公共部分，也可借助口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”求公共部分．3、（1）-5≤x＜-2；（2）14 2x-≤<【分析】（1）按不等式的解法求出两个不等式的解集，在求其公共解，即可解答（2）将原不等式变形得：213(1)3(1)4x xx x+>-⎧⎨-≥-⎩，求出两个不等式的解集，在求其公共解，即可解答【详解】（1）解不等式313x x+<-，得2x<-解不等式112123x x++≤+，得5x≥-故不等式组的解集为52x -≤<-．（2）原不等式可变为：213(1)3(1)4x x x x +>-⎧⎨-≥-⎩①②解①得：4x < 解②得：21x ≥- 故原不等式组的解集为142x -≤<． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组解集的求法，熟记不等式组的解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题关键．4、（1）甲为300元，乙为400元．（2）250件【分析】（1）设生产每件甲型口罩所需的材料费为x 元，则生产每件乙型口罩所需的材料费为（x +100）元，然后根据生产甲型口罩40件和生产乙型口罩30件需购买材料的费用相同，列出方程求解即可；（2）设生产甲型口罩m 件，则生产乙型口罩（400﹣m ）件，然后根据工厂购买这批材料的资金不超过135000元，列出不等式求解即可．（1）解：设生产每件甲型口罩所需的材料费为x 元，则生产每件乙型口罩所需的材料费为（x +100）元， 依题意得：40x ＝30（x +100），解得：x ＝300，∴x +100＝300+100＝400．答：生产每件甲型口罩所需的材料费为300元，生产每件乙型口罩所需的材料费为400元．（2）解：设生产甲型口罩m件，则生产乙型口罩（400﹣m）件，依题意得：300m+400（400﹣m）≤135000，解得：m≥250．答：至少能生产甲型口罩250件．【点睛】本题主要考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键在于能够准确理解题意列出式子求解．5、（1）x>1.5；（2）-1≤x<3【分析】（1）根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤可得x的范围；（2）首先求出两个不等式的解集，然后取其公共部分即为不等式组的解集．【详解】（1）解：5x-2>3x+1，移项得：5x-3x>1+2，合并同类项得：2x>3，系数化为1得：x>1.5；（2）解：解不等式2x+5≤3(x+2)，得x≥-1，解不等式2x-132x<1，得x<3，∴不等式组的解集为-1≤x<3．【点睛】此题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式，解一元一次不等式组的方法．。
沪教版六年级下册数学——一元一次不等式(组)及其解法-
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随堂检测
【习题 1】 【习题 2】
已知 a 1 ，在下列各式中错误的是（ B． a 0
） D． 3a 2a
A． a 1 0
C． 2a a 1 ）
如图，数轴表示的解集是不等式组（
x 2 A． x 3
x 2 B． x 3
不等式的概念用不等号不等式的性质1不等式的两边同时加上或减去同一个数或用一个含字母的式子不等号的方向不变
一元一次不等式（组）及其解法
内容分析 一元一次不等式（组）是初中数学六年级下学期第 2 章第 3 节的内容．本讲 的重点是理解不等式的概念及其性质，并利用性质解不等式及不等式组．
知识结构
模块一：不等式及其性质
2 1
0
1
（2）
2
1
0
1 ） D．
2 4 x
【例 11】 下列不等式中，是一元一次不等式的是（ A． 2 x 1 y B． 7 2 0
C． 3 x 2 x 3
【例 12】 填空： （1）满足不等式 x 5 的最大整数解是______； （2）满足不等式 x 4 的非负整数解是______． 【例 13】 填空：不等式 3x 15 的解集是___________； 不等式 3 x 15 的解集是___________． 【例 14】 解下列不等式，并把它们的解集分别在数轴上表示出来： x （1） 3 3 ； （2） 2 x 5 4 x 0.5 ； 2
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模块二：一元一次不等式的解法
知识精讲
1、 不等式的解和解集 在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 不等式的解的全体叫做不等式的解集． 不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，如： 不等式 x < 3 的解集在数轴上的表示如下：
沪科版七年级数学下册期末专题复习三【一次不等式及不等式组的应用】
期末复习专题三【一次不等式及不等式组的应用】一、教学目标1.了解一元一次不等式（组）解决实际问题的一般步骤；2.会用一元一次不等式（组）解决实际问题.二、教学重难点重点：用一元一次不等式（组）的知识去解决实际问题难点：审题，根据具体信息列出一元一次不等式（组）三、知识梳理一元一次不等式（组）解决实际问题的一般步骤⑴审题，找出不等关系→⑵设未知数→⑶列出不等式（组）→⑷求出不等式（组）的解集→⑸找出符合题意的值→⑹作答.四、例题精讲题型一：分配问题【例1】用若干辆,载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空.试求有多少辆汽车运货，这批货物有多少吨？【变式1】幼儿园有玩具若干份，分给小朋友，如果每人分3件，那么还余59件.如果每人分5件，那么最后一个人不少于3件但不足5件，试求这个幼儿园有多少件玩具，有多少个小朋友?题型二：速度时间问题【例2】爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区，导火索至少需要多长？【变式2】王凯家到学校2.1千米，现在需要在18分钟内走完这段路.已知王凯步行速度为90米/ 分，跑步速度为210米/分，问王凯至少需要跑几分钟？题型三：工程问题【例3】某工人计划在15天里加工408个零件，最初三天中每天加工24个，问以后每天至少要加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？【变式3】某工人一天能生产25个零件，每生产一个零件，合格品得工钱5元，不合格品罚款1元.问至少每天要生产几个合格品才能使日收入超过100元？题型四：价格问题【例4】中秋节期间苹果很热销，一商家进了一批苹果，进价为每千克2元，销售中有6％的苹果损耗，商家把售价至少定位每千克多少钱，才能避免亏本？【变式4】某商店准备购进甲、乙两种商品．已知甲商品每件进价15元，售价20元；乙商品每件进价35元，售价45元．（1）若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去3100元，求购进甲、乙两种商品各多少件？（2）若该商店准备购进甲、乙两种商品共100件，其中甲种商品应多于30件且这两种商品全部售出后获利不少于840元，问应该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润是多少？（利润=售价﹣进价）题型五：方案选择问题【例5】．甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌800元，每张椅子80元．甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买一张桌子送三张椅子；乙厂家：桌子和椅子全部按原价8折优惠．现某公司要购买3张办公桌和若干张椅子，若购买的椅子数为x张（x≥9）．（1）分别用含x的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额；（2）购买的椅子至少多少张时，到乙厂家购买更划算？【变式7】为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：已知可供建造沼气池的占地面积不超过370m2，该村农户共有498户．(1)满足条件的方案共有哪几种?写出解答过程．(2)通过计算判断，哪种建造方案最省钱?造价最低是多少万元?五、巩固练习1.某储运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往青岛，这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢50节．已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A、B 两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请设计出来．2.某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台．三种家电的进价和售价如下表所示：（1）在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案？（2）国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13%领取补贴．在（1）的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元？3.为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用）已知小王家91元.a,的值.（1）求b（2）随着夏天的到来用水量将增加，为了节约开支，小王计划把6月份水费控制在家庭月收入的2 %，若小王家月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？六、课后练习1.学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元.（1）求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元？（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由.2.某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．（1）这两次各购进这种衬衫多少件？（2）若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？3.扬州商场某商家计划购进一批甲、乙两种LED节能灯共120只，这两种节能灯的进价、售价如下表：进价（元/只）售价（元/只）甲型2530乙型4560（1）如果进货总费用恰好为4600元，请你设计出进货方案．（2）如果规定：当销售完这批节能灯后，总利润不超过进货总费用的30%，请问如何进货，使得该商家获得的总利润最多，此时总利润最多为多少元？4.某商场购进甲、乙两种服装，每件甲种服装比每件乙种服装贵25元，该商场用2000元购进甲种服装，用750元购进乙种服装，所购进的甲种服装的件数是所购进的乙种服装的件数的2倍．（1）分别求每件甲种服装和每件乙种服装的进价；（2）若每件甲种服装售价130元，将购进的两种服装全部售出后，使得所获利润不少于750元，问每件乙种服装售价至少是多少元？七、课堂反馈。
沪科版九年级数学中考复习一元一次不等式(组)的应用(含答案)
沪科版九年级数学中考复习一元一次不等式(组)的应用（含答案）一、选择题1. (·齐齐哈尔)为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3 000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买()A. 16个B. 17个C. 33个D. 34个2. (·台湾)已知在卡乐芙超市内购物总金额超过190元时，购物总金额有打8折的优惠，安妮带200元到卡乐芙超市买棒棒糖．若棒棒糖每根9元，则她最多可买棒棒糖()A. 22根B. 23根C. 27根D. 28根二、填空题3. (·台州)商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为________元/千克．4. (·牡丹江)某种商品的进价为每件100元，商场按进价提高50%后标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则至多可以打________折．三、解答题5. (·沈阳)小明要代表班级参加学校举办的消防知识竞赛，共有25道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分，只有得分超过90分才能获得奖品，问小明至少答对多少道题才能获得奖品？6. (·贵港)某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分超过15分才能获得参赛资格．(1) 已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；(2) 如果乙队要获得参加决赛的资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？7. (·邵阳)某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满．已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17.(1) 求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；(2) 由于最后参加活动的人数增加了30，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值．8. (·泰安)某水果商从批发市场用8 000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．(1) 大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？(2) 该水果商第二次仍用8 000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%.若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？9. (·聊城)在推进城乡义务教育均衡发展工作中，我市某区政府通过公开招标的方式为辖区内全部乡镇中学采购了某型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑，其中，A乡镇中学更新学生用电脑110台和教师用笔记本电脑32台，共花费30.5万元；B乡镇中学更新学生用电脑55台和教师用笔记本电脑24台，共花费17.65万元．(1) 该型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑的单价分别是多少万元？(2) 经统计，全部乡镇中学需要购进的教师用笔记本电脑台数比购进的学生用电脑台数的15少90，在两种电脑的总费用不超过预算438万元的情况下，至多能购进的学生用电脑和教师用笔记本电脑各多少台？10. (·桂林)为进一步促进义务教育运恒发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5 000万元，年投入基础教育经费7 200万元．(1) 求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率．(2) 如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1 500台，调配给农村学校．若购买一台电脑需3 500元，购买一台实物投影仪需2 000元，则最多可购买电脑多少台？11. (·温州)小黄准备给长8米、宽6米的矩形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个矩形ABCD区域Ⅰ(涂色部分)和一个环形区域Ⅱ(空白部分)，其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ∥AD，如图所示．(1) 若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元/米2，面积为S(米2)，区域Ⅱ的瓷砖均价为200元/米2，且两区域的瓷砖总价不超过12 000元，求S的最大值．(2) 若区域Ⅰ满足AB∶BC＝2∶3，区域Ⅱ四周宽度相等．①求AB，BC的长；②若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/米2，乙、丙瓷砖单价之比为5∶3，且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4 800元，求丙瓷砖单价的取值范围．第11题12. (·鸡西)由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销．某药店准备购进一批口罩，已知1个A型口罩和3个B型口罩共需26元；3个A型口罩和2个B型口罩共需29元．(1) 一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？(2) 药店准备购进这两种型号的口罩共50个，其中A 型口罩的数量不少于35个，且不多于B型口罩的3倍，有哪几种购买方案，哪种方案最省钱？13. (·东营)为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A，B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7 800万元，改扩建3所A类学校和1所B 类学校共需资金5 400万元．(1) 改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？(2) 该县计划改扩建A，B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付资金不超过11 800万元；地方财政投入资金不少于4 000万元，其中地方财政投入到A，B两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元．请问共有哪几种改扩建方案？14. (·天水)天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两行环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．(1) 购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？(2) 预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B 型公交车的总费用不超过1 220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？2. 一元一次不等式(组)的应用一、 1. A 2. C 二、 3. 10 4. 8三、 5. 设小明答对了x 道题．根据题意，得6x ＋(25－x)×(－2)>90，解得x ≥1712.∵ x 为非负整数，∴ x 至少为18.∴ 小明至少答对18道题才能获得奖品6. (1) 设甲队胜了x 场，则负了(10－x)场．根据题意，得2x ＋10－x ＝18，解得x ＝8，此时10－x ＝2.∴ 甲队胜了8场，负了2场 (2) 设乙队在初赛阶段胜a 场．根据题意，得2a ＋(10－a)>15，解得a>5，∴ a 的最小整数值为6.∴ 乙队在初赛阶段至少要胜6场7. (1) 设每辆小客车的乘客座位数是x ，大客车的乘客座位数是y.根据题意，得⎩⎨⎧y －x ＝17，6y ＋5x ＝300，解得⎩⎨⎧x ＝18，y ＝35.∴ 每辆小客车的乘客座位数是18，大客车的乘客座位数是35 (2) 设租用a 辆小客车．根据题意，得18a ＋35(11－a)≥300＋30，解得 a ≤3417，∴ 符合条件的a 的最大整数值为3.∴ 租用小客车数量的最大值为38. (1) 设小樱桃的进价为每千克x 元，大樱桃的进价为每千克y 元．根据题意，得⎩⎨⎧200x ＋200y ＝8 000，y －x ＝20，解得⎩⎨⎧x ＝10，y ＝30，∴ 200×[(40－30)＋(16－10)]＝3 200(元)．∴ 小樱桃的进价为每千克10元，大樱桃的进价为每千克30元，销售完后，该水果商共赚了3 200元 (2) 设大樱桃的售价为a 元/千克．根据题意，得(1－20%)×200×16＋200a －8 000≥3 200×90%，解得a ≥41.6.∴ 大樱桃的售价最少应为41.6元/千克9. (1) 设该型号的学生用电脑的单价为x 万元，教师用笔记本电脑的单价为y 万元．依题意，得⎩⎨⎧110x ＋32y ＝30.5，55x ＋24y ＝17.65，解得⎩⎨⎧x ＝0.19，y ＝0.3.∴ 该型号的学生用电脑的单价为0.19万元，教师用笔记本电脑的单价为0.3万元 (2) 设能购进的学生用电脑为m 台，则能购进的教师用笔记本电脑为⎝⎛⎭⎫15m －90台．依题意，得0.19m ＋0.3×⎝⎛⎭⎫15m －90≤438，解得m ≤1 860.此时15m －90≤15×1 860－90，即15m －90≤282.∴ 至多能购进学生用电脑1 860台，教师用笔记本电脑282台10. (1) 设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x.根据题意，得 5 000(1＋x)2＝7 200，即(1＋x)2＝3625，解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(不合题意，舍去)．∴ 该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20% (2) 2018年投入基础教育经费为7 200×(1＋20%)＝8 640(万元)．设购买电脑m 台，则购买实物投影仪(1 500－m)台．根据题意，得 3 500m ＋2 000(1 500－m)≤86 400 000×5%，解得m ≤880.∴ 最多可购买电脑880台11. (1) 由题意，得300S ＋200(6×8－S)≤12 000，解得S ≤24，∴ S 的最大值为24 (2) ① 设区域Ⅱ四周宽度为a 米，则由题意，得(6－2a)∶(8－2a)＝2∶3，解得a ＝1，∴ AB ＝6－2a ＝4米，BC ＝8－2a ＝6米．∴ AB ，BC 的长分别为 4米，6米 ② 设乙、丙瓷砖的单价分别为5x 元/米2和 3x 元/米2，则甲的单价为(300－3x)元/米2.∵ PQ ∥AD ，∴ 两块甲瓷砖的面积和为2S 甲＝12S矩形ABCD＝12×4×6＝12(米2)．设两块乙瓷砖的面积和为W 米2，则丙的面积为(12－W)米2.由题意，得12(300－3x)＋5x ·W ＋3x ·(12－W)＝4 800，解得W ＝600x .∵ 0<W<12，∴ 0<600x <12，解得x>50.又∵ 300－3x>0，即x<100，∴ 50<x<100，此时150<3x<300.∴ 丙瓷砖单价范围为大于150元/米2，且小于300元/米212. (1) 设一个A 型口罩的售价是a 元，一个B 型口罩的售价是b 元．依题意，有⎩⎨⎧a ＋3b ＝26，3a ＋2b ＝29，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝7.∴ 一个A 型口罩的售价是5元，一个B 型口罩的售价是7元 (2) 设购进A 型口罩x 个，B 型口罩y 个．依题意，有⎩⎨⎧x ≥35，x ≤3（50－x ），解得35≤x ≤37.5.∵ x 为整数，∴ x ＝35，36，37.三种方案如下表：按方案一购进需要5×35＋7×15＝280(元)，按方案二购进需要5×36＋7×14＝278(元)，按方案三购进需要5×37＋7×13＝276(元)．∵ 280>278>276，∴ 方案三(购进A 型口罩37个，B 型口罩13个)最省钱13. (1) 设改扩建1所A 类学校需资金x 万元，改扩建1所B 类学校需资金y 万元．由题意，得⎩⎨⎧2x ＋3y ＝7 800，3x ＋y ＝5 400，解得⎩⎨⎧x ＝1 200，y ＝1 800，∴ 改扩建1所A 类学校需资金1 200万元，改扩建1所B 类学校需资金1 800万元 (2) 设A 类学校有a 所，则B 类学校有(10－a)所．由题意，得⎩⎨⎧（1 200－300）a ＋（1 800－500）（10－a ）≤1 1800，300a ＋500（10－a ）≥4 000，解得3≤a ≤5，∴ 整数a ＝3，4，5.从而有下列3种改扩建方案，方案一：A 类学校有3所，B 类学校有7所；方案二：A 类学校有4所，B 类学校有6所；方案三：A 类学校有5所，B 类学校有5所14. (1) 设购买A 型公交车每辆需x 万元，购买B 型公交车每辆需y 万元．由题意，得⎩⎨⎧x ＋2y ＝400，2x ＋y ＝350，解得⎩⎨⎧x ＝100，y ＝150，∴ 购买A 型公交车每辆需100万元，购买B 型公交车每辆需150万元 (2) 设购买A 型公交车a 辆，则购买B型公交车(10－a)辆．由题意，得⎩⎨⎧100a ＋150（10－a ）≤1 220，60a ＋100（10－a ）≥650，解得285≤a ≤354.∵ a 是整数，∴ a ＝6，7，8，此时10－a ＝4，3，2.∴ 该公司共有下列三种购车方案：① 购买A 型公交车6辆，B 型公交车4辆，需要费用100×6＋150×4＝1 200(万元)；② 购买A 型公交车7辆，B 型公交车3辆，需要费用100×7＋150×3＝1 150(万元)；③ 购买A 型公交车8辆，B 型公交车2辆，需要费用100×8＋150×2＝1 100(万元)．∵ 1 200>1 150>1 100，∴ 购买A 型公交车8辆，B 型公交车2辆费用最少，最少总费用为1 100万元。
初中数学-沪科版-初一下-《一元一次不等式与不等式组》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《一元一次不等式与不等式组》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的基本性质；2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；3.会利用不等式的基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的一种重要途径.【知识网络】【要点梳理】要点一、不等式1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.要点诠释：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如x a>，x a≤等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2. 不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c )．不等式的基本性质4：如果a＞b，那么b＜a.不等式的基本性质5：如果a＞b，b＞c，那么a＞c.要点二、一元一次不等式1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.要点诠释：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 要点三、一元一次不等式组关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.要点诠释：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.（4）一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．【典型例题】类型一、不等式1.用适当的符号语言表达下列关系.．（1）a与5的和是正数.（2）b与-5的差不是正数.（3）x的2倍大于x.（4）2x与1的和小于零.（5）a的2倍与4的差不少于5.【答案与解析】解：（1）a+5＞0；（2）b-（-5）≤0；（3）2x＞x；（4）2x+1＜0；（5）2a-4≥5. 【总结升华】正确运用不等符号翻译表述一些数学描述是学好不等式的关键，要关注一些常见的描述语言，如此处：不是、不少于、不大于……举一反三：【变式】用适当的符号语言表达下列关系：（1）y的12与3的差是负数.（2）x的12与3的差大于2.（3）b的12与c的和不大于9.【答案】（1）1302y-<；（2）1322x->；（3）12b c+≤9．2.用适当的符号填空：（1）如果a ＜b ，那么a-3__b-3； 7a__7b ；-2a__-2b. （2）如果a ＜b ，那么a-b__0；a+5b__6b ；11__22a b b -. 【思路点拨】不等式的基本性质1,2,3． 【答案】（1）＜； ＜；＞． （2）＜；＜；＜． 【解析】（1）在不等式a ＜b 两边同减去3，得a-3＜b-3；在不等式a ＜b 两边同乘以7，得7a ＜7b ； 在不等式a ＜b 两边同乘以﹣2，得-2a ＞-2b ． （2）在不等式a ＜b 两边同减去b ，合并得a-b ＜0；在a ＜b 两边同加上5b ，合并得a+5b ＜6b ；在a ＜b 两边同减去12b ，合并得1122a b b -<． 【总结升华】刚开始在面对不等式的基本变形时，要不断强化在变形上所运用的具体性质，同时也要逐步积累一些运用性质变形后的化简结果，这样学习到的不等式的基本性质才能落在实处．举一反三：【变式1】用适当的符号填空： （1）7a+6__7a-6；（2）若ac ＞bc ，且c ＜0，则a b ． 【答案】（1）＞；（2）＜．【高清课堂：一元一次不等式章节复习 410551 例1】 【变式2】判断（1）如果a b >，那么22ac bc >； （2）如果22ac bc >，那么a b >. 【答案】（1）×；（2）√． 类型二、一元一次不等式3. （2015•巴中）解不等式：≤﹣1，并把解集表示在数轴上．【思路点拨】先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1即可．【答案与解析】解：去分母得，4（2x﹣1）≤3（3x+2）﹣12，去括号得，8x﹣4≤9x+6﹣12，移项得，8x﹣9x≤6﹣12+4，合并同类项得，﹣x≤﹣2，把x的系数化为1得，x≥2．在数轴上表示为：．【总结升华】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．【变式】解不等式5113xx-->，并把解集在数轴上表示出来．【答案】解：去分母得5x-1-3x＞3，移项、合并同类项，得2x＞4，系数化为1，得x＞2，解集在数轴上的表示如图所示．4.某种商品进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商店准备降价出售，但要保证利润不低于10%，那么商店最多降价多少元出售商品？【思路点拨】利润＝售价－进价，售价＝进价＋利润＝进价×（1＋利润率）. 【答案与解析】解：设商店降价x 元出售该商品，则225x -≥150(110%)⨯+， 解得 x ≤60. 答：商店最多降价60元出售商品．【总结升华】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，解答过程中应注意“设”与“答”的区别． 类型三、一元一次不等式组5. 解不等式组：，并求出正整数解．【思路点拨】分别解出各不等式，取所有的公共部分．【答案与解析】解：由不等式①得x≤2，由不等式②得4x<，∴由①②得，即x≤2．∴原不等式组的解集是2≤x，正整数解为1,2．【总结升华】求不等式(组)的特殊解的一般步骤是先求出不等式(组)的解集，再从中找出符合要求的特殊解．举一反三：【变式】（2015•南昌）不等式组的解集是．【答案】﹣3＜x≤2.解：，由①得：x≤2，由②得：x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x≤2．类型四、综合应用6.若关于x,y的方程组3223x y ky x+=⎧⎨-=⎩的解满足11xy<⎧⎨>⎩，求k的整数值.【思路点拨】从概念出发，解出方程组（用k表示x、y），然后解不等式组. 【答案与解析】解：解方程组3223x y k x y +=⎧⎨-+=⎩43,729.7k x k y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩得∵11x y <⎧⎨>⎩，431,729 1.7k k -⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩即解得：512k -<<,∴整数k 的值为0，1，2.【总结升华】方程组的未知数是x 、y ，k 在方程组里看成常数.通过求解方程组可以用k 表示x 、y.方程组的解满足不等式，那么可以将x 、y 用含k 的式子替换，得到关于k 的不等式组，可以求出k 的取值范围，进而可以求出k 的整数值. 【高清课堂：一元一次不等式章节复习 410551 例3（1）】 举一反三：【变式】m 为何值时，关于x 的方程：6151632x m m x ---=-的解大于1？ 【答案】解：由6151632x m m x ---=-，得315m x -=， ∴3115m ->，解得2m >．∴当2m >时，关于x 的方程：6151632x m m x ---=-的解大于1. 7.某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位．（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元．根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满．．．．．）．请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金．【思路点拨】（1）设单独租用35座客车需x 辆．根据单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满和单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位，分别表示出总人数，从而列方程求解；（2）设租35座客车y 辆，则租55座客车（4-y ）辆．根据不等关系：①两种车坐的总人数不小于175人；②租车资金不超过1500元．列不等式组分析求解． 【答案与解析】解：（1）设单独租用35座客车需x 辆，由题意得：3555(1)45x x =--,解得：5x =.∴35355175x =⨯=（人）.答：该校八年级参加社会实践活动的人数为175人．（2）设租35座客车y 辆，则租55座客车（4y -）辆，由题意得：3555(4)175320400(4)1500y y y y +-⎧⎨+-⎩≥≤， 解这个不等式组，得111244y ≤≤．∵y 取正整数，∴y = 2. ∴4－y = 4－2 = 2（辆）.∴320×2＋400×2 = 1440（元）.所以本次社会实践活动所需车辆的租金为1440元．【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．。
专题 一次函数章末重难点题型(举一反三)(原卷版)
专题一次函数章末重难点题型【考点1 函数的概念】【例1】（鼓楼区校级期中）下列的曲线中，表示y是x的函数的共有（）个．A．1B．2C．3D．4【变式1-1】（新乐市期中）下列变量之间的关系不是函数关系的是（）A．一天的气温和时间B．y2＝x中的y与x的关系C．在银行中利息与时间D．正方形的周长与面积【变式1-2】（苍溪县期中）下列关系式中，y不是x的函数的是（）A．y＝B．y＝2x2C．y＝（x≥0）D．|y|＝x（x≥0）【变式1-3】（如皋市期中）下列各图中能说明y是x的函数的是（）A．B．C．D．【考点2 函数自变量的取值范围】【例2】（资中县期中）函数y＝中自变量x的取值范围是（）A．x≠2B．x≥0C．x＞0且x≠2D．x≥0且x≠2【变式2-1】（乳山市期中）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≥2B．x≥2且x≠2C．x＞﹣2D．x＞﹣2且x≠2【变式2-2】（巴彦淖尔模拟）在关于x的函数y＝+（x﹣1）0中，自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣2B．x≥﹣2且x≠0C．x≥﹣2且x≠1D．x≥1【变式2-3】（沙坪坝区校级月考）函数y＝的自变量x的取值范围是（）A．x≥2B．x≠3且x≠﹣3C．x≥2且x≠3D．x≥2且x≠﹣3【考点3 一次函数的概念】【方法点拨】一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。
当b=0时，y=kx+b即y=kx，是正比例函数。
所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
【例3】（锦江区校级期末）若y＝（m﹣1）x2﹣|m|+3是关于x的一次函数，则m的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．±2【变式3-1】（沧州期末）①y＝kx；②y＝x；③y＝x2﹣（x﹣1）x；（④y＝x2+1：⑤y＝22﹣x，一定是一次函数的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【变式3-2】（芙蓉区校级模拟）若函数y＝（k+1）x+k2﹣1是正比例函数，则k的值为（）A．0B．1C．±1D．﹣1【变式3-3】（定陶区期末）已知y＝（k﹣3）x|k|﹣2+2是一次函数，那么k的值为（）A．±3B．3C．﹣3D．无法确定【考点4 一次函数图象的判定】【方法点拨】一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．【例4】（孝义市期末）同一平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与y＝nx+m（mn为常数）的图象可能是（）A．B．C．D．【变式4-1】（西湖区期末）若实数a，b，c满足a+b+c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝﹣cx﹣a的图象可能是（）A．B．C．D．【变式4-2】（温江区期末）如果ab＞0，bc＜0，则一次函数y＝﹣x+的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【变式4-3】（沙坪坝区校级月考）两条直线y1＝ax﹣b与y2＝bx﹣a在同一坐标系中的图象可能是图中的（）A．B．C．D．【考点5 一次函数动点问题】【例5】（昌平区期中）如图①，在矩形MMPQ中，动点R从点N出发，沿着N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么下列说法不正确的是（）A ．当x ＝2时，y ＝5B ．矩形MNPQ 的周长是18C ．当x ＝6时，y ＝10D ．当y ＝8时，x ＝10【变式5-1】建宁县期中）如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，它沿A →D →C →B →A 的路径匀速移动，设P 点经过的路径长为x ，△APD 的面积是y ，则下列图象能大致反映变量y 与变量x 的关系图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式5-2】（锦江区期末）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A 为直角，动点P 从点A 开始沿A →B →C →D 的路径匀速前进到D ，在这个过程中，△APD 的面积S 随时间的变化址程可以用图象近似地表示为（ ）A B C D ．【变式5-3】（镇平县期末）如图①，四边形ABCD 中，BC ∥AD ，∠A ＝90°，点P 从A 点出发，沿折线AB →BC →CD 运动，到点D 时停止，已知△P AD 的面积s 与点P 运动的路程x 的函数图象如图②所示，则点P 从开始到停止运动的总路程为（ ）A ．6 B ．9 C ．10 D ．11【考点6 求一次函数解析式】【方法点拨】先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。
八年级数学 二次根式章末重难点题型(举一反三)(沪科版)
专题1.1 二次根式章末重难点题型【沪科版】【考点1 二次根式相关概念】【方法点拨】1．二次根式：形如a （0 a ）的代数式叫做二次根式． 2．最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，像这样的二次根式称为同类二次根式．【例1】（2019春•浉河区校级月考）在式子，，，（y ≤0），和（a ＜0，b ＜0）中，是二次根式的有（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 【变式1-1】（2019春•莱芜期中）二次根式：①；②；③；④；⑤中最简二次根式是（ ） A ．①②B ．③④⑤C ．②③D ．只有④ 【变式1-2】（2019春•左贡县期中）二次根式：①； ②； ③； ④中，与是同类二次根式的是（）A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④（2019春•海阳市期中）若两个最简二次根式和是同类二次根式，则n的值是（）【变式1-3】A．﹣1B．4或﹣1C．1或﹣4D．4【考点2 二次根式有意义条件】【方法点拨】二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．【例2】（2019春•泰山区期中）式子在实数范围内有意义的条件是（）A．x≥1B．x＞1C．x＜0D．x≤0【变式2-1】（2019春•西湖区校级期中）为使有意义，x的取值范围是（）A．x≥﹣2且x≠2B．x＞﹣2且x≠2C．x＞2D．x＞2或x≤﹣2【变式2-2】（2018春•西华县期中）使代数式有意义的整数x有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【变式2-3】（2019秋•安岳县校级期中）如果有意义，则x的取值范围（）A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x＜3【考点3 利用二次根式性质化简符号】【方法点拨】二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键．【例3】（2019春•海阳市期中）把a根号外的因式移入根号内，运算结果是（）A．B．C．﹣D．﹣【变式3-1】（2019春•汉阳区期中）已知ab＜0，则化简后为（）A．a B．﹣a C．a D．﹣a【变式3-2】（2018春•宜兴市期中）（a﹣1）变形正确的是（）A．﹣1B．C．﹣D．﹣【变式3-3】（2019春•城区校级期中）化简﹣x，得（）A．（x﹣1 ）B．（1﹣x）C．﹣（x+1 ）D．（x﹣1 ）【考点4 利用二次根式的性质化简】【方法点拨】二次根式的性质：（1））（）（02≥=a a a（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==）（）（）（00002a a a a a a a【例4】（2019春•庐阳区校级期中）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）A ．a ﹣b +3B ．a +b ﹣1C ．﹣a ﹣b +1D ．﹣a +b +1 【变式4-1】（2019春•丰润区期中）若2＜a ＜3，则＝（ ） A ．5﹣2aB ．1﹣2aC ．2a ﹣1D ．2a ﹣5【变式4-2】（2018秋•海淀区校级期中）实数a 、b 、C 在数轴上的位置所示，那么化简|c +a |+﹣的正确结果是（ ）A ．2b ﹣cB ．2b +cC ．2a +cD ．﹣2a ﹣c【变式4-3】（2018春•汉阳区期中）若0＜x ＜1，则﹣等于（ ）A ．B ．﹣C ．﹣2xD ．2x【考点5 二次根式的乘除运算】 【方法点拨】掌握二次根式的乘除法则 （1）），（00≥≥=⋅b a ab b a（2）），（00>≥=b a b aba 【例5】（2019春•邗江区校级期中）计算： （1）÷ （2）÷3×【变式5-1】（2018秋•松江区期中）计算：•（﹣）÷（a＞0）【变式5-2】（2019秋•闸北区期中）计算：【变式5-3】（2019春•新泰市期中）化简下列式子：•3．【考点6 利用二次根式性质求代数式的值】【例6】（2019春•萧山区期中）已知，，求下列式子的值：（1）a2b+ab2；（2）a2﹣30b+b2；（3）（a﹣2）（b﹣2）．【变式6-1】（2019春•芜湖期中）已知，，分别求下列代数式的值；（1）x2+y2；（2）．【变式6-2】（2019春•长白县期中）已知﹣＝2，求的值．【变式6-3】（2018秋•通川区校级期中）已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．【考点7 二次根式的加减运算】【方法点拨】二次根式的运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并．【例7】（2019春•武昌区期中）计算：（1）（2）【变式7-1】（2019春•萧山区期中）计算下列各式：（1）；（2）+4﹣+．【变式7-2】（2018春•襄城区期中）计算：（1）﹣+﹣（2）﹣﹣+2【变式7-3】（2018春•罗山县期中）（1）（2）【考点8 二次根式的混合运算】【例8】（2019春•泰兴市校级期中）计算：（1）（2）3【变式8-1】（2019春•广东期中）计算（1）（）÷（2）（3）2﹣（）（）【变式8-2】（2019春•杭锦后旗期中）计算：（1）﹣×+（2）（2﹣）2018（2+）2019﹣2×|﹣|﹣（）0【变式8-3】（2019春•莱州市期中）计算：（1）（2）【考点9 分母有理化的应用】【例9】（2019春•西城区校级期中）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：﹣＝＝分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较﹣和﹣的大小可以先将它们分子有理化如下：﹣＝﹣＝因为﹣＞+，所以﹣＜﹣再例如：求y＝﹣的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝当x＝2时，分母﹣有最小值2，所以y的最大值是2解决下述两题：（1）比较3﹣4和2的大小；（2）求y＝+﹣的最大值和最小值．【变式9-1】（2019春•微山县期中）【阅读材料】材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的例如：化简解：材料二：化简的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn＝b，那么＝m±n例如：化简解：+1【理解应用】（1）填空：化简的结果等于；（2）计算：①；②．【变式9-2】（2018秋•吴江区期中）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：，＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）4﹣的有理化因式可以是，分母有理化得．（2）计算：①已知x＝，求x2+y2的值；②．【变式9-3】（2019秋•唐河县期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝；＝＝＝﹣1．以上这种化简过程叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1．请任用其中一种方法化简：①；②．【考点10 二次根式的应用】【例10】（2018春•嘉祥县期中）阅读理解：对于任意正整数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a＝b时，等号成立；结论：在a+b≥2 （a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值2．根据上述内容，回答下列问题：（1）若a+b＝9，≤；（2）若m＞0，当m为何值时，m+有最小值，最小值是多少？【变式10-1】（2019•太原一模）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p＝，则三角形的面积S＝．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S＝．（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于．（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．【变式10-2】已知一个三角形的三边长分别为12，，．（1）求此三角形的周长P（结果化成最简二次根式）；（2）请你给出一个适当的a的值，使P为整数，并求出此时P的值．【变式10-3】斐波那契（约1170﹣1250，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n（n为正整数）个数a n可表示为[（）n﹣（）n]．（1）计算第一个数a1；（2）计算第二个数a2；（3）证明连续三个数之间a n﹣1，a n，a n+1存在以下关系：a n+1﹣a n＝a n﹣1（n≥2）；（4）写出斐波那契数列中的前8个数．【考点1 二次根式相关概念】【方法点拨】1．二次根式：形如a （0 a ）的代数式叫做二次根式． 2．最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，像这样的二次根式称为同类二次根式．【例1】（2019春•浉河区校级月考）在式子，，，（y ≤0），和（a ＜0，b ＜0）中，是二次根式的有（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式进行分析即可． 【答案】解：式子，，（y ≤0），（a ＜0，b ＜0）是二次根式，共4个，故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次根式定义，关键是注意被开方数为非负数． 【变式1-1】（2019春•莱芜期中）二次根式：①；②；③；④；⑤中最简二次根式是（ ） A ．①②B ．③④⑤C ．②③D ．只有④【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【答案】解：③＝＝|a ﹣1|，被开方数含有开得尽方的因式，不是最简二次根式；④＝＝，被开方数含有分母，不是最简二次根式； ⑤＝＝，被开方数含有小数（分数），不是最简二次根式；因此只有①②符合最简二次根式的条件． 故选：A ．【点睛】根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件： （1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断．【变式1-2】（2019春•左贡县期中）二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（）A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④【分析】根据同类二次根式的定义解答即可．【答案】解：∵，，，∴与是同类二次根式的是①和③故选：B．【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．需要注意化简前，被开方数不同也可能是同类二次根式．（2019春•海阳市期中）若两个最简二次根式和是同类二次根式，则n的值是（）【变式1-3】A．﹣1B．4或﹣1C．1或﹣4D．4【分析】根据最简二次根式以及同类二次根式即可求出答案．【答案】解：由题意可知：n2﹣2n＝n+4，∴解得：n＝4或n＝﹣1，当n＝4时，n+4＝8＞0，此时不是最简二次根式，不符合题意，当n＝﹣1时，n+4＝3＞0，综上所述，n＝﹣1故选：A．【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式以及同类二次根式，本题属于基础题型．【考点2 二次根式有意义条件】【方法点拨】二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．【例2】（2019春•泰山区期中）式子在实数范围内有意义的条件是（）A．x≥1B．x＞1C．x＜0D．x≤0【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【答案】解：式子在实数范围内有意义的条件是：x﹣1＞0，解得：x＞1．故选：B．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．【变式2-1】（2019春•西湖区校级期中）为使有意义，x的取值范围是（）A．x≥﹣2且x≠2B．x＞﹣2且x≠2C．x＞2D．x＞2或x≤﹣2【分析】根据二次根式有意义的条件题意可得2x+4≥0，再根据分式有意义的条件可得3x﹣6≠0，再解即可．【答案】解：由题意得：2x+4≥0，且3x﹣6≠0，解得：x≥﹣2且x≠2，故选：A．【点睛】此题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．【变式2-2】（2018春•西华县期中）使代数式有意义的整数x有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】直接利用二次根式的得出x的取值范围，进而得出整数x的值．【答案】解：∵代数式有意义，∴x+3＞0，3﹣3x≥0，解得：x＞﹣3，x≤1，则﹣3＜x≤1，故代数式有意义的整数x有：﹣2，﹣1，0，1，共4个数．故选：B．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x的取值范围是解题关键．【变式2-3】（2019秋•安岳县校级期中）如果有意义，则x的取值范围（）A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x＜3【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数和分式分母不为零的条件可得3﹣x＜0，再解即可．【答案】解：由题意得：3﹣x＜0，解得：x＞3，故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．【考点3 利用二次根式性质化简符号】【方法点拨】二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键．【例3】（2019春•海阳市期中）把a根号外的因式移入根号内，运算结果是（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】根据二次根式的性质，可得答案．【答案】解：a根号外的因式移到根号内，化简的结果是﹣，故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的性质，注意化简后不能改变原数的大小．【变式3-1】（2019春•汉阳区期中）已知ab＜0，则化简后为（）A．a B．﹣a C．a D．﹣a【分析】根据算术平方根和绝对值的性质＝|a|，进行化简即可．【答案】解：∵a2≥0，ab＜0，∴a＜0，b＞0，∴＝|a|＝﹣a，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，掌握算术平方根和绝对值的性质是解题的关键．【变式3-2】（2018春•宜兴市期中）（a﹣1）变形正确的是（）A．﹣1B．C．﹣D．﹣【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【答案】解：∵有意义，∴1﹣a＞0，∴a﹣1＜0，∴（a ﹣1）＝﹣＝﹣．故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 【变式3-3】（2019春•城区校级期中）化简﹣x，得（ ）A ．（x ﹣1 ）B ．（1﹣x ）C ．﹣（x +1 ）D ．（x ﹣1 ）【分析】根据已知式子得出x ＜0，再根据二次根式的性质把根号内的因式移入根号外，最后合并即可． 【答案】解：∵要使和有意义，必须x ＜0，∴﹣x ＝﹣x﹣x •（﹣）＝﹣x+＝（1﹣x ）， 故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简的应用，能把各个部分根式化成最简根式是解此题的关键． 【考点4 利用二次根式的性质化简】 【方法点拨】二次根式的性质：（1））（）（02≥=a a a（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==）（）（）（00002a a a a a a a【例4】（2019春•庐阳区校级期中）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）A ．a ﹣b +3B ．a +b ﹣1C ．﹣a ﹣b +1D ．﹣a +b +1【分析】根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案． 【答案】解：由数轴可知：﹣1＜a ＜0＜2＜b ， ∴a +1＞0，b ﹣2＞0， ∴原式＝|a +1|﹣|b ﹣2| ＝a +1﹣b +2＝a﹣b+3，故选：A．【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．【变式4-1】（2019春•丰润区期中）若2＜a＜3，则＝（）A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1D．2a﹣5【分析】根据二次根式的性质解答即可．【答案】解：因为2＜a＜3，所以＝a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5，故选：D．【点睛】此题考查二次根式的性质，关键是根据二次根式的性质解答．【变式4-2】（2018秋•海淀区校级期中）实数a、b、C在数轴上的位置所示，那么化简|c+a|+﹣的正确结果是（）A．2b﹣c B．2b+c C．2a+c D．﹣2a﹣c【分析】先由数轴知c＜b＜0＜a，且|c|＞|a|，据此得出c+a＜0，a﹣b＞0，再根据绝对值性质和二次根式的性质2化简可得．【答案】解：由数轴知c＜b＜0＜a，且|c|＞|a|，则c+a＜0，a﹣b＞0，∴原式＝﹣c﹣a﹣b﹣（a﹣b）＝﹣c﹣a﹣b﹣a+b＝﹣2a﹣c，故选：D．【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质2：＝|a|．【变式4-3】（2018春•汉阳区期中）若0＜x＜1，则﹣等于（）A．B．﹣C．﹣2x D．2x【分析】首先利用完全平方公式化简，进而利用二次根式的性质求出即可．【答案】解：﹣＝﹣＝﹣＝|x +|﹣|x ﹣| ∵0＜x ＜1， ∴x ﹣＜0，∴原式＝x ++x ﹣＝2x ． 故选：D ．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确利用完全平方公式是解题关键． 【考点5 二次根式的乘除运算】 【方法点拨】掌握二次根式的乘除法则 （1）），（00≥≥=⋅b a ab b a（2）），（00>≥=b a b aba 【例5】（2019春•邗江区校级期中）计算： （1）÷ （2）÷3×【分析】（1）根据二次根式的性质把除式变形，根据二次根式的乘法法则计算； （2）根据二次根式的乘除法法则计算即可． 【答案】解：（1）÷＝×＝ ＝；（2）÷3×＝××＝＝．【点睛】本题考查的是二次根式的乘除法、二次根式的性质，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键．【变式5-1】（2018秋•松江区期中）计算：•（﹣）÷（a＞0）【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．【答案】解：•（﹣）÷（a＞0）＝﹣•a2b÷＝﹣9a2＝﹣．【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．【变式5-2】（2019秋•闸北区期中）计算：【分析】利用除以一个数等于乘以这个数的倒数转化后利用二次根式的乘法运算法则进行计算即可．【答案】解：原式＝（2×6）＝12＝4【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，解题的关键是能够了解法则并能熟练的将除法转化为乘法进行运算．【变式5-3】（2019春•新泰市期中）化简下列式子：•3．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简得出答案．【答案】解：原式＝2ab×3×（﹣2）＝﹣12ab•a2＝﹣12a3b．【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．【考点6 利用二次根式性质求代数式的值】【例6】（2019春•萧山区期中）已知，，求下列式子的值：（1）a2b+ab2；（2）a2﹣30b+b2；（3）（a﹣2）（b﹣2）．【分析】（1）先分解因式，然后将a、b的值代入求值；（2）先变形，然后将a、b的值代入求值；（3）直接代入求值．【答案】解：（1）a2b+ab2＝ab（a+b）＝（）＝1×2；（2）a2﹣30b+b2＝（a+b）2﹣2ab﹣30b＝2﹣﹣30＝（2）2﹣2﹣30+60＝78﹣30；（3）（a﹣2）（b﹣2）＝（）（）＝（）＝5﹣4．【点睛】本题考查了根式的化简求值，适当对整式进行变形是解题的关键．【变式6-1】（2019春•芜湖期中）已知，，分别求下列代数式的值；（1）x2+y2；（2）．【分析】（1）先将x、y进行分母有理化，得到x＝﹣1，y＝+1，再求出x﹣y与xy的值，然后根据完全平方公式得出x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，再整体代入即可；（2）将所求式子变形为，再整体代入即可．【答案】解：（1）∵＝﹣1，＝+1，∴x﹣y＝﹣2，xy＝2﹣1＝1，∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝（﹣2）2+2×1＝6；（2）∵x2+y2＝6，xy＝1，∴原式＝＝＝6．【点睛】本题考查二次根式的化简求值，分母有理化，解题的关键是运用完全平方公式以及整体思想，本题属于基础题型．【变式6-2】（2019春•长白县期中）已知﹣＝2，求的值．【分析】利用已知结合完全平方公式求出x2+＝34，进而代入求出即可．【答案】解：∵﹣＝2，∴（﹣）2＝4，∴x+＝6，∴（x+）2＝36，∴x2+＝34，∴＝＝4．【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确利用完全平方公式是解题关键．【变式6-3】（2018秋•通川区校级期中）已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．【分析】先将x和y的值分母有理化后，计算xy和x+y的值，再分别代入（1）和（2）问代入计算即可．【答案】解：∵x＝＝＝3+2，y＝＝＝3﹣2，∴xy＝＝1，x+y＝3+2+3﹣2＝6，∴（1）x2y﹣xy2，＝xy（x﹣y），＝1×，＝4；（2）x2﹣xy+y2，＝（x+y）2﹣3xy，＝62﹣3×1，＝36﹣3，＝33．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，在解答时应先化简x和y的值，并利用提公因式法和完全平方公式将所求式子进行变形是关键．【考点7 二次根式的加减运算】【方法点拨】二次根式的运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并．【例7】（2019春•武昌区期中）计算：（1）（2）【分析】（1）直接化简二次根式进而合并得出答案；（2）直接化简二次根式进而合并得出答案．【答案】解：（1）原式＝2+3﹣＝0；（2）原式＝×3+6×﹣5＝2+3﹣5＝0．【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．【变式7-1】（2019春•萧山区期中）计算下列各式：（1）；（2）+4﹣+．【分析】（1）首先化简二次根式，然后再合并同类二次根式；（2）首先化简二次根式，然后再合并同类二次根式．【答案】解：（1）原式＝2++2﹣＝+2；（2）原式＝3+2﹣4+＝5﹣．【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．【变式7-2】（2018春•襄城区期中）计算：（1）﹣+﹣（2）﹣﹣+2【分析】（1）首先化简二次根式进而合并得出答案；（2）首先化简二次根式进而合并得出答案．【答案】解：（1）原式＝6﹣4+3﹣5＝﹣；（2）原式＝﹣﹣+10＝9．【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．【变式7-3】（2018春•罗山县期中）（1）（2）【分析】（1）先进行二次根式、三次根式的化简，然后进行加减合并．（2）先去绝对值符号，然后化简二次根式，最后进行合并运算．【答案】解：（1）原式＝9﹣3+＝；（2）原式＝﹣+﹣1﹣3+＝2﹣4．【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算，要先进行二次根式的化简，然后再进行合并运算．【考点8 二次根式的混合运算】【例8】（2019春•泰兴市校级期中）计算：（1）（2）3【分析】（1）先化简各二次根式，再进一步计算可得；（2）先化简各二次根式、除法转化为乘法，再进一步计算可得．【答案】解：（1）原式＝（2﹣）﹣3（+）＝2﹣﹣﹣3＝﹣﹣；（2）原式＝••（﹣）＝﹣2．【点睛】本题主要考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．【变式8-1】（2019春•广东期中）计算（1）（）÷（2）（3）2﹣（）（）【分析】（1）先化简各二次根式，再计算括号内的加减，最后计算除法即可得；（2）利用完全平方公式和平方差公式计算可得．【答案】解：（1）原式＝（5+4﹣3）÷2＝6÷2＝3；（2）原式＝19﹣6﹣3+4＝20﹣6．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．【变式8-2】（2019春•杭锦后旗期中）计算：（1）﹣×+（2）（2﹣）2018（2+）2019﹣2×|﹣|﹣（）0【分析】（1）根据二次根式的乘除法则运算；（2）根据积的乘方和零指数幂的意义计算．【答案】解：（1）原式＝﹣+2＝4﹣+2＝4+；（2）原式＝[（2﹣）（2+）]2018•（2+）﹣2×﹣1＝（4﹣3）2018•（2+）﹣﹣1＝2+﹣﹣1＝1．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【变式8-3】（2019春•莱州市期中）计算：（1）（2）【分析】（1）根据二次根式的加减法和除法可以解答本题；（2）根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题．【答案】解：（1）＝（9﹣2+）÷4＝8÷4＝2；（2）＝[（）+3][（）﹣3]＝（）2﹣18＝3﹣6+6﹣18＝﹣9﹣6．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．【考点9 分母有理化的应用】【例9】（2019春•西城区校级期中）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：﹣＝＝分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较﹣和﹣的大小可以先将它们分子有理化如下：﹣＝﹣＝因为﹣＞+，所以﹣＜﹣再例如：求y＝﹣的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝当x＝2时，分母﹣有最小值2，所以y的最大值是2解决下述两题：（1）比较3﹣4和2的大小；（2）求y＝+﹣的最大值和最小值．【分析】（1）利用分子有理化得到3﹣4＝，2﹣＝，然后比较3+4和2+的大小即可得到3﹣4与2﹣的大小；（2）利用二次根式有意义的条件得到0≤x≤1，而y＝+，利用当x＝0时，有最大值1，有最大值1得到所以y的最大值；利用当x＝1时，有最小值﹣1，有最下值0得到y的最小值．【答案】解：（1）3﹣4＝＝，2﹣＝＝，而3＞2，4＞，∴3+4＞2+，∴3﹣4＜2﹣；（2）由1﹣x≥0，1+x≥0，x≥0得0≤x≤1，y＝+，当x＝0时，+有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以y的最大值为2；当x＝1时，+有最大值，则有最小值﹣1，此时有最下值0，所以y的最小值为﹣1．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【变式9-1】（2019春•微山县期中）【阅读材料】材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的例如：化简解：材料二：化简的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn＝b，那么＝m±n例如：化简解：+1【理解应用】（1）填空：化简的结果等于；（2）计算：①；②．【分析】（1）根据分母有理化法则计算；（2）①根据完全平方公式、二次根式的性质化简；②先把原式分母有理化，再合并同类二次根式即可．【答案】解：（1）原式＝＝＝4+，故答案为：4+；（2）①＝＝＝﹣；②原式＝﹣1+﹣+4﹣+…+﹣＝﹣1．【点睛】本题考查的是分母有理化、二次根式的化简，掌握分母有理化法则、二次根式的性质是解题的关键．【变式9-2】（2018秋•吴江区期中）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：，＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）4﹣的有理化因式可以是，分母有理化得．（2）计算：①已知x＝，求x2+y2的值；②．【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；（2）①将x与y分母有理化后代入原式计算即可得到结果．②原式各项分母有理化，合并即可得到结果．【答案】解：（1）4﹣的有理化因式可以是4+，＝＝，故答案为：4+，；（2）①当x＝＝＝＝2+，y＝＝＝＝2﹣时，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（2++2﹣）2﹣2×（2+）×（2﹣）＝16﹣2×1＝14．②原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1．【点睛】此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．【变式9-3】（2019秋•唐河县期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝；＝＝＝﹣1．以上这种化简过程叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1．请任用其中一种方法化简：①；②．【分析】①根据平方差公式分母有理化即可求解；②把分子5变为12﹣7，再根据平方差公式分解因式，再约分计算即可求解．【答案】解：①＝＝；②＝＝＝2﹣．【点睛】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式．【考点10 二次根式的应用】【例10】（2018春•嘉祥县期中）阅读理解：对于任意正整数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a＝b时，等号成立；结论：在a+b≥2 （a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值2．根据上述内容，回答下列问题：（1）若a+b＝9，≤；（2）若m＞0，当m为何值时，m+有最小值，最小值是多少？【分析】（1）根据a+b≥2 （a、b均为正实数），进而得出即可；（2）根据a+b≥2 （a、b均为正实数），进而得出即可．【答案】解：（1）∵a+b≥2 （a、b均为正实数），∴a+b＝9，则a+b≥2，即≤；故答案为：；（2）由（1）得：m+≥2，即m+≥2，当m＝时，m＝1（负数舍去），故m+有最小值，最小值是2．【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，根据题意结合a+b≥2 （a、b均为正实数）求出是解题关键．【变式10-1】（2019•太原一模）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p＝，则三角形的面积S＝．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果。
专题1实数章末重难点题型举一反三沪科版原卷版
专题1.1实数章末重难点题型【沪科版】• ••• ・・■•・・■♦・・V・・■・・■・・■*・・■・•■・・■■・・■••■・・■ • • ■・・•*・・■・• ■・・・・■・・■・・■ •••・・• ■・・■■・■・・—・・■• ・■・・^・・■・• ■・・■■・•■•• ■・・■ ••■・・■・・・■»•・* AO・・■ •・■・・・・■・• ■・・・B・・■・• ■・・■ ・・■・・・■・・■•・■・• ^・・■ • • ■・・■・•■・・■ •・■・・■・・•》•♦■・・・・■ •・■・・・・■ •・■・・・B・・■・•■・・■ ・・■・• ■・・■•・■・・^・・■ •・■・sx三【考点1平方根与立方根的定义】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个正数的平方根有2个：任意一个数的立方根只有1个.【例1】（2020春•东昌府区期末）下列说法中，正确的是（）A.-5是（-5）2的算术平方根B.16的平方根是±4C.2是-4的算术平方根D.27的立方根是±3【变式1-1】（2020春•南昌期末）下列结论中，其中正确的是（）A.眞的平方根是±9B.V100 =±10C.立方根等于本身的数只有0.1D.\/^6 = -V6【变式1-2] （2020春•海安市期中）下列说法：①±3都是27的立方根：②—的算术平方根是16 4 @_V^8=2；④后的平方根是±4：⑤-9是81的算术平方根，其中正确的有（）A. 1个B. 2个C・3个 D. 4个【变式1-3] （2020春•沐阳县期末）下列说法正确的是（）A.若后=_a,则aVO B・若屈=心贝U>0C.Ja4b8=Jb°D. 3 的平方根是VI【考点2算术平方根的小数点移动规律】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握一个被开方数的小数点向左或向右移动两位■它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位：【例2] （2020 春•嘉祥县期末）由V3 ^1.732,得V300 ^17.32,则V003 ，/30000 __________ ・从以上结果可以发现，被开方数的小数点向左或向右移动 ______ 位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位.【变式2-1] （2020春•海淀区校级期末）如表所示，被开方数a的小数点位垃移动和它的算术平方根亦的小数点位港移动规律符合一定的规律，若岳= 180,且-A24 = -1.8,则被开方数a的值为__________________ .d …0.000001 0.01 1 100 10000 1000000 …五…0.001 0.1 1 10 100 1000 …【变式2・2】（2020 春•唐县期末）若V2536 =5.036> V5議= 15.906,则丁253600 =（）A. 5036B. 503.6 C・ 159.06 D・ 1.5906【变式2-3】（2020春•杭州期中）设= m, V7 = n,贝忡0.056可以表示为（）mn mn mn mnA・ --- B・ C・ D・ ----------------------------------------------------------------25 20 15 10【考点3算术平方根的非负性】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握算术平方根，绝对值，偶次乘方均具有非负性.【例3】（2020春•滨城区期末）若实数x, y满足"3|+历万=0,则（x+y）彳的平方根为（）A. 4B. 8C. ±4D. ±8【变式3-1】（2019春•潍城区期中）已知实数x和y满足VPF+ （"+8）2=0,则*疗的值为（）A. 0 B. -4 C. 0或-4 D. ±4【变式3-2】（2020春•海勃湾区期末）已知（2a+b） ?与J3b + 12互为相反数,则肝= ________ .【变式3-3】（2020春•竹溪县期末）已知：实数a、b满足关系式（a-2） ?+|b+网+#2009 - c =0,求：b a+c+S的值.【考点4利用平方根与立方根性质解方程】【方法点拨】解决此类问题关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0;负数没有平方根.立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0・【例4】(2020春•广丰区期末)计算下列务式的x的值：(1)i%2 =8：2(2)i (x+1) 3= -9.3【变式4-1】(2020春•越秀区期末)求下列各式中x的值(1)25,=4；(2)(x+1) 3= -27・【变式4-2】(2020春•薪春县期中)求下列各•式中的x：(1) 4 (x+2) 2 - 16=0；(2)(2x- 1) 3+||=l.【变式4-3】(2020春•西城区校级期中)解方程：(1)(x ・ 4) 2=6；(2)|(x+ 3)3 -9=0.【考点5平方根与立方根性质的运用】【方法点拨】解决此类问题关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0;负数没有平方根.立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0・【例5] (2020春•石城县期末)已知4a+l的平方根是±3, b - 1的算术平方根为2.(1 )求Q与b的值：(2)求2a+b- 1的立方根.【变式5-1] (2020春•安泄区期末)已知4卄7的立方根是3, 2a+2b+2的算术平方根是4.(1)求6 b的值：(2)求6a+3b的平方根.【变式5-2] (2020春•盐池县期末)已知2a+l的平方根是±3, 3a+2b - 4的立方根是-2,求4a - 5b+8的立方根. 【变式5-3] (2020春•汉川市期末)已知3卄4a+5a+6d+7a+8a=165,且a+11的算术平方根是皿5a+2的立方根是几求岸的平方根.【考点6无理数的概念】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握无理数的定狡，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数.如TT, V2, 0. 8080080008-（毎两个8之间依次多1个0）等形式.2 2 TV【例6】（2020春•陇西县期末）在以下实数3.14159265,術，N/36,了中，无理数的个数为（）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个__ . . 4【变式6・1】（2020春・崇川区校级期末）在届，一纭・5.1& -篦，0.317311731117…，这几个数中，L 7无理数的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【变式6-2】（2020•开平区一模）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下而说法：①当输出值y为站时，输入值x为3或9：②当输入值x为16时，输出值y为©;③对于任意的正无理数严都存在正整数x,使得输入x后能够输出严④存在这样的正整数x,输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输岀$值.其中错误的是（）镐入x-------------取育平方根输出VA.①②B.②④C.①④D・®@【变式64】（2019春•南昌期中）如图是一个无理数筛选器的工作流程图.（1）当x为16时，值为_:（2）是否存在输入有意义的x值后，却输不岀），值？如果存在，写岀所有满足要求的x值：如果不存在, 请说明理由：（3）当输岀的y值是逅时，判断输入的x值是否唯一，如果不唯一，请写岀其中的两个.镐入”取驴平方根输出y【考点7估算无理数的大小】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握无理数的定狡，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数.如n,近，0. 8080080008-（每两个8之间依次多1个0）等形式.【例7】（2020-玄武区二模）下列整数中，与6-V11M接近的是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【变式7-1】（2020-福州模拟）若aV俪一V7Va+l,其中a为整数，则a的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【变式7-2】（2020春•鄰城县期中）阅读下而的文字，解答问题，例如:•:真V灯 <屈,即2<V7<3, Z.V7的整数部分为2,小数部分为（V7-2）.请解答：（1）血的整数部分是 _______ ,小数部分是_________ .（2）已知：5-V17小数部分是加，6+V17小数部分是“，且（卄1）2=加+〃，请求出满足条件的x的值. 【变式7-3】（2020春•延平区期中）阅读下而的文字，解答问题.大家知道返是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此返的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用返-1来表示返的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为迈的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.请解答：（1）若佰的整数部分为e小数部分为b,求^+6-713的值.（2）已知：10+、倚=^+?，其中x是整数，且0 <y< 1.求x-y的值.【考点8实数与数轴的对应关系】【例8】（2020春•孟村县期中）如图，在数轴上，.15= 4C. A, B两点对应的实数分别是逅和-1,则点C对应的实数是（）3Ac~__0 yiA. 2\/3B ・ 2\/3 -2C ・ V3+1D ・ 2V3+1【变式8-11 （2020春•西城区校级期中）如图，3, 在数轴上的对应点分别为C, B,点C 是-毎的中点,则点J 表示的数是（）4 g 鸟3 JUA. — JllB. 3—JTTC ・ y/11 —3D ・ 6—J11【变式8-2] （2019秋•桂林期末）在数轴上，点/表示实数3,以点.[为圆心，2+V5的长为半径画弧，交 数轴于点C,则点C 表示的实数是（ ）A. 5+曲B ・1 一苗C ・V5-1或5+岳D ・1 一洁或5+洁【变式8-3] （2020春•左州市校级期末）如图，一只蚂蚁从点2沿数轴向右直爬2个单位长度到达点点A 表示-返，设点B 所表示的数为加.（1）求加的值.（2）求〃？ - 1|+加+6的值.・2 ・1 0 1 2【考点9实数大小比较】 【例9】（2020春•西城区校级期中）比较下列实数的大小（填上〉. <或=）・>2"①IT _____ 3.14159：②V504:③— _______ -—・23【变式9-1】 （2019秋•沧州期末）5-V2, 2+学，2+逅的大小关系是（）A ・ yjx <x 2<x<丄B ・ x<x 2 <- <>JxC ・,Vx <>[x<-D ・-<y[x <x^<xxxxX【变式9-3] （2020-黄州区校级模拟）已知加初｛代，X 2, X ｝表示取三个数中最小的那个数，例如：当x=9,A. 2+运＞2+学 ＞5-逅B.5-迈＞2+学＞2+逅C. 2+^＞5-V2＞2+V2D. 5-逅＞2+血＞2+学【变式9・2】（2020春•文登区期中）已知0<xVl,则阪、-、«、x 的大小关系是（min{y!x, x2, x}—rnin{\^9f 92, 9}=3 ・当nii/i(V%, x}=时，则x 的值为( )1 1 1 1A・—B・—C・—D・—16 8 4 2【考点10实数的混合运算】【方法点拨】在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从商级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，灵后算加减.有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.另外，有理数的运算律在实数范国内仍然适用.正确化简各数是解题关键.【例10】(2020 春•巩义市期末)计算-1— ( -2) 3x|+V^27X|-||+|1-V3|【变式10-1] （2020 春•孝南区期末）计算：3X（V4-V3）X J TH|-|V3-2|【变式10-2] （2020春•潮南区期末）计算：（-1 ） 202。
专题7.8一元一次不等式与不等式组章末重难点突破(举一反三)(沪科版)(原卷版)
专题7.8 一元一次不等式与不等式组章末重难点突破【沪科版】【考点1 由不等式性质求字母范围 】【例1】（2021春•鼓楼区校级期中）已知实数a ，b ，c ，满足a +b ＝8，c ﹣a ＝10．若a ≥﹣2b ，则a +b +c 的最大值为 ．【变式11】（2021春•峡江县期末）如果关于x 的不等式（a +1）x ＞a +1的解集为x ＜1，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜0B ．a ＜﹣1C ．a ＞1D ．a ＞﹣1【变式12】（2021春•长春期中）已知a ＝3b ，﹣3≤b ＜2，则a 的取值范围为 ．【变式13】（2021春•铜官区期末）若关于x 的不等式ax ﹣b ＞0的解集是x ＜14，则关于x 的不等式（a +b ）x ＞b ﹣a 的解集是（ ） A ．x ＜35B ．x ＜−35C ．x ＞35D ．x ＞−35【考点2 不等式（组）解的归一问题】【例2】（2021春•杨浦区期末）若2m +23x ＞1与2﹣3x ＜0的解集是相同的，那么m 的值是（ ） A ．23B ．518C ．3−6m 2D ．35【变式21】（2021春•广陵区校级月考）如图，是关于x 的不等式2x ﹣m ＜﹣1的解集，则m 的值为（ ）A ．m ≤﹣2B ．m ≤﹣1C ．m ＝﹣2D ．m ＝﹣1【变式22】（2021春•镇原县期末）不等式组{x＞−2x＞m+1的解集是x＞﹣1，则m的值是（）A．﹣1B．﹣2C．1D．2【变式23】（2021春•城阳区期中）小明在解一个一元一次不等式时，发现不等式的右边有个数被墨迹污染看不清，所看到的不等式是1−2x2−1≥x+■3．他查看练习题的答案后，知道这个不等式的解集是x≤−78，那么“■”表示的数是．【考点3 不等式（组）的整数解问题】【例3】（2021•泰山区模拟）若关于x的不等式组{2x−a＜813x−12≥16有且只有4个整数解，则a的取值范围是（）A．3≤a≤4B．2＜a≤4C．2≤a＜4D．2＜a＜4【变式31】（2021春•乾县期末）已知关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，则满足条件的整数a的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【变式32】（2021春•南昌期末）若实数2是不等式3x﹣a﹣4＜0的一个解，则a可取的最小整数是（）A．1B．2C．3D．4【变式33】（2021春•城阳区期中）如果不等式组{2x+7＞5x−8x＜n的解集是x＜5，那么n的取值范围是（）A．n≤5B．n＜5C．n≥5D．n＝5【考点4 一元一次方程与不等式的综合问题】【例1】（2021春•丹阳市期末）若x＝﹣1是方程2（x+4）＝x﹣a的解，求不等式2（y−a4）≤1的解集．【变式41】（2021春•香坊区校级月考）关于x的方程6x+a﹣4＝2x+2a的解大于1，求a的取值范围．【变式42】（2021秋•海曙区期末）对于任意实数a ，b ，定义关于@的一种运算如下：a @b ＝2a ﹣b ，例如：5@3＝10﹣3＝7，（﹣3）@5＝﹣6﹣5＝﹣11． （1）若x @3＜5，求x 的取值范围；（2）已知关于x 的方程2（2x ﹣1）＝x +1的解满足x @a ＜5，求a 的取值范围．【变式43】（2021秋•碑林区校级期末）已知方程|x |＝ax +1有一个负根但没有正根，则a 的取值范围是 ． 【考点5 确定不等式组字母系数范围】【例5】（2021春•城阳区期中）如果不等式组{2x +7＞5x −8x ＜n 的解集是x ＜5，那么n 的取值范围是（ ）A ．n ≤5B ．n ＜5C ．n ≥5D ．n ＝5【变式51】（2021秋•钱塘区期末）若不等式组{x ≤−mx ≤−n 的解集为x ≤﹣m ，则下列各式正确的是（ ）A ．m ≥nB ．m ≤nC ．m ＞nD ．m ＜n【变式52】（2021•昭阳区校级模拟）若关于x 的不等式组{x −4≥0x −2≤a+2x 3无解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜﹣2B ．a ≥2C ．a ＞﹣2D ．a ≤2【变式53】（2021春•丰台区校级期末）已知实数a 是不等于3的常数，解不等式组{−2x +3≥−3①12(x −2a)+12x ＜0②并依据a 的取值情况写出其解集．【考点6 方程组与不等式组的综合问题】【例6】（2021春•海拉尔区期末）已知关于x ，y 的方程组{x +y =−3a +9x −y =−5a +1的解为正数．（1）求a 的取值范围； （2）化简|﹣4a +5|﹣|a +4|．【变式61】（2021春•柘城县期末）已知关于x 、y 的二元一次方程组{2x +y =1+2mx +2y =2−m 的解满足不等式组{x −y ＜8x +y ＞1，则m 的取值范围是什么？【变式62】（2021春•顺庆区期末）已知关于x ，y 的方程组{x +2y =4m2x +y =2m −1满足﹣2＜x ﹣y ＜1，求m 的取值范围．【变式63】（2021春•常州期末）已知关于x 的不等式组{x ＞−1x ≤1−k（1）如果这个不等式无解，求k 的取值范围； （2）如果这个不等式有解，求k 的取值范围；（3）如果这个不等式恰好有2013个整数解，求k 的取值范围．【考点7 解不等式（组）】【例7】（2021秋•江干区期末）解不等式组{6x +8＞4x +9x+113≤5−x ，并把不等式组的解在数轴上表示出来．【变式71】（2021春•宽城县期末）小明解不等式1+x 2−2x+13≤1的过程如下．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母，得：3（1+x ）﹣2（2x +1）≤1…① 去括号，得：3+3x ﹣4x +1≤1…② 移项，得：3x ﹣4x ≤1﹣3﹣1…③ 合并同类项，得：﹣x ≤﹣3…④ 两边都除以﹣1，得：x ≤3…⑤（1）错误的步骤有 处，分别为 ．（填序号） （2）请写出正确解答过程．【变式72】（2021秋•相城区期末）若代数式3+x 2−1的值不大于4x+36的值时，求x 的取值范围．【变式73】（2021春•息县期末）解下面的不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出x 的所有整数值． {5x +2＞3(x −1)12x −1≤7−32x．【考点8 方程（组）与不等式（组）的实际应用问题】【例8】（2021•黑龙江）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元． （1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种）请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？【变式81】（2021秋•南岗区校级月考）哈尔滨地铁“三号线”正在进行修建，现有大量的残土需要运输．某车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次可以运输110吨残土．（1）求该车队有载重量8吨、10吨的卡车各多少辆？（2）随着工程的进展，该车队需要一次运输残土不低于166吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共6辆，则最多购进载重量为8吨的卡车多少辆？【变式82】（2021春•甘井子区期末）某化工厂与A、B两地都分别有公路、铁路相连，从A地购买原料运回工厂制成产品运到B 地销售．已知3t 产品的销售款比4t 原料的进货款多20000元，2t 产品的销售款比1t 原料的进货款多15000元．（1）求每吨原料的进货款和产品的销售款分别多少元？（2）如表为该化工厂与A 、B 两地的距离，已知公路运价为1.5元/（t •km ），铁路运价为1.2元/（t •km ），且这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元，求这批原料比产品多多少吨？A 地B 地 公路段路程（km ） 10 20 铁路段路程（km ）120110（3）工厂原计划从A 地购买的原料和送往B 地的产品一共20t ，若要增加at 的产品，就要再购买85at 的原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差不少于66000元，同时满足原料总重量是产品总重量的2倍，求至少需要再购买多少吨的原料？【变式83】（2021春•通川区期末）某工厂用A ，B 两种原件组装成C ，D 两种产品，组装一件C 产品需1个A 原件和4个B 原件；组装一件D 产品需2个A 原件和3个B 原件．（1）现有A 原件162个，B 原件340个，若要组装C ，D 两种产品共100个，设组装C 产品x 个． ①根据题意，完成下面表格： 原件 产品 C （件）D （件）A （个） xB （个）3（100﹣x ）②按两种产品的生产件数来分，有哪几种生产方案？（2）现有A原件162个，B原件a个，组装C，D两种产品，A，B两种原件均恰好用完，已知290＜a＜306，求a的值．。
一元一次不等式与不等式组章末拔尖卷—2023-2024学年七年级数学下册举一反三(沪科版)(解析版)
一元一次不等式与不等式组章末拔尖卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2023春·河南南阳·七年级统考期中）若a<b<0，则下列式子中错误的是（）A．−a>−b B．a+1<b+2C．a+b<ab D．b>1a【答案】D【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．【详解】解：A．∵a<b<0，∴−a>−b，故本选项不符合题意；B．∵a<b，∴a+1<b+1<b+2，故本选项不符合题意；C．∵a<b<0，∴a+b<0,ab>0，即a+b<ab，故本选项不符合题意；D．∵a<b<0，∴1>b，a<1，故本选项符合题意；即ba故选：D．【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．2．（3分）（2023春·四川眉山·七年级坝达初级中学校考期中）关于x、y的二元一次方程x+y=5的正整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】根据x、y为正整数得出x>0,5−x>0，求出x的范围0<x<5，得出x=1或2或3或4，代入求出y的值，由此即可解答．【详解】解：∵二元一次方程x+y=5的解为正整数，∴{x>05−x>0，解得：0<x<5，∴当x=1时，y=4；当x=2时，y=3；当x=3时，y=2；当x=4时，y=1；∴二元一次方程x+y=5的正整数解有4个，故选：D．【点睛】本题考查了二元一次方程的整数解，求出x的取值范围是解决问题的关键．3．（3分）（2023秋·浙江金华·七年级校考期中）已知不等式2x+a≥0的负整数解恰好是−3，−2，−1，那么a满足条件（）A．6<a<8B．a≥6C．6≤a<8D．a≤6【答案】C【分析】先求出不等式的解集，根据不等式的负整数解得到关于a的不等式组，从而求出a的取值范围.【详解】解：∵2x+a≥0，∴2x≥−a，∴x≥−a2.∵不等式2x+a≥0的负整数解恰好是−3，−2，−1，∴−4<x≤−3，∴−4<−a2≤−3，∴6≤a<8.故选：C.【点睛】本题考查了不等式的整数解，解题的关键在于熟练掌握不等式的性质和确定−a2的取值范围. 4．（3分）（2023秋·重庆开州·七年级校联考期中）若数a使关于x的方程2−a=4(x−1)的解为正数，且使关于y的不等式组{y+23−y2>12(y−a)≤0的解集为y<−2，则符合条件的所有整数a的和为（）A．10B．12C．14D．16【答案】A【分析】根据关于x的方程的解为正数即可得出a<6且a≠2，根据不等式组的解集为y<−2，即可得出a≥−2，找出−2≤a<6且a≠2中所有的整数，即可解答．【详解】解：由方程2−a=4(x−1)的解为x=6−a4，∵x≠1，∴6−a4≠1，解得：a≠2；∵关于x的方程2−a=4(x−1)的解为正数，∴6−a4>0，解得：a<6∵{y+23−y2>1①2(y−a)≤0②解不等式①得：y<−2；解不等式②得：y≤a；∵关于y的不等式组{y+23−y2>12(y−a)≤0的解集为y<−2∴a≥−2；∴−2≤a<6，且a≠2；∵a为整数，∴a=−2、−1、0、1、3、4、5；∵−2+(−1)+0+1+3+4+5=10，所以符合条件的所有整数a的和是10．故选：A．【点睛】本题考查含参的方程以及不等式，熟练掌握解含参的方程和不等式是本题解题关键，注意分析含参的不等式时要考虑端点．5．（3分）（2023春·陕西西安·七年级统考期末）关于x的一元一次不等式组{2x>3x−33x−a>5只有4个整数解，则a的取值范围是（）A．−1≤a<2B．−11<a<−8C．−11≤a<−8D．−11<a≤−8【答案】C【分析】先求出不等式组的解集为5+a3<x<3，再根据这个不等式组只有4个整数解，确定−2≤5+a3<−1，再进行求解即可． 【详解】解：{2x >3x −3①3x −a >5②，由①得，x <3， 由②得，x >5+a 3，∴不等式组的解集为5+a 3<x <3，又∵x 的一元一次不等式组{2x >3x −33x −a >5只有4个整数解，∴−2≤5+a 3<−1，∴−11≤a <−8， 故选：C ．【点睛】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．6．（3分）（2023春·四川达州·七年级校考期中）七年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是( ) A ． 8x +7≤8+9(x −1) B ． 8x +7≥9(x −1) C ．{8x +7<8+9(x −1)8x +7≥9(x −1)D ．{8x +7≤9(x −1)8x +7≥9(x −1)【答案】C【分析】若设同学人数为x 人，则植树的棵数为(8x +7)棵，根据“每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵”列一元一次不等式组即可．【详解】解：若每人平均植树 9 棵，则(x −1)位同学植树棵数为9(x −1)， ∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为(7x +9)棵， ∴可列不等式组为：{8x +7<8+9(x −1)8x +7≥9(x −1)．故选：C ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键． 7．（3分）（2023春·四川遂宁·七年级统考期中）下列说法中，正确的有( ) ① x ＝7是不等式x ＞1的解； ②不等式2x ＞4的解是x ＞2；③不等式组{x>3x≥−2的解集是－2≤x＜3；④不等式组{x≥6x≤6的解集是x＝6；⑤不等式组{x>4x<2无解．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【详解】① x＝7是不等式x＞1的解，正确；②不等式2x＞4的解集是x＞2，原答案错误；③不等式组{x>3x≥−2的解集是x＞3，原答案错误；④不等式组{x≥6x≤6的解集是x＝6，正确；⑤不等式组{x>4x<2无解，正确，故选C．8．（3分）（2023春·全国·七年级期末）定义[x]表示不大于x的最大整数，如：[3.2]=3、[−3.2]=−4，[3]=3．则方程[x]+2=2x所有解的和为（）A．32B．52C．72D．92【答案】C【分析】令[x]=n，代入原方程可得n+2=2x，解方程并由题意可得[x]≤x<[x]+1，即可建立不等式并求解可知0<n≤2，结合题意n为整数，可推导n=1或2，当n=1或n=2时，分别计算x的值即可获得本题．【详解】解：令[x]=n，代入原方程可得n+2=2x，解得x=n+22，由题意可得[x]≤x<[x]+1，∴n≤n+22<n+1，解得0<n≤2，∵n为整数，∴n=1或2，当n=1时，x=32，当n=2时，x=2，则方程[x ]+2=2x 所有解的和为32+2=72． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了对新定义的理解、解一元一次方程以及不等式的应用，正确根据新定义得出x 的取值是解题关键．9．（3分）（2023秋·湖南永州·七年级统考期末）已知关于x 的不等式组{3x +5a >4(x +1)+3a12x +13>−13x的整数解只有三个，则a 的取值范围是（ ） A ．a >3或a <2 B ．2<a <52C ．3<a ≤72D ．3≤a <72【答案】C【分析】分别求出不等式的解集，根据不等式组有解得到−25<x <2a −4，再根据不等式组有三个整数解得到2<2a −4≤3，求解即可. 【详解】解：{3x +5a >4(x +1)+3a①12x +13>−13x②，解不等式①得x<2a -4， 解不等式②得x >−25， ∵不等式组有解， ∴−25<x <2a −4，∵不等式组的整数解只有三个， ∴2<2a −4≤3， 解得3<a ≤72， 故选：C.【点睛】此题考查不等式组的整数解的情况求参数，正确理解不等式组的整数解只有三个得到关于参数的不等式是解题的关键.10．（3分）（2023春·河南信阳·七年级河南省淮滨县第一中学校考期末）若不等式组{x ≥ax ≤b 无解，则不等式组{x >3−a x <3−b的解集是（ ）A ．x >3−aB ．x <3−bC ．3−a <x <3−bD ．无解【答案】C【分析】根据不等式组{x ≥a x ≤b 无解，得出a ＞b ，进一步得出3-a ＜3-b ，即可求出不等式组{x >3−ax <3−b 的解集．【详解】解：∵不等式组{x ≥ax ≤b 无解，∴a ＞b ， ∴-a ＜-b ， ∴3-a ＜3-b ，∴不等式组{x >3−ax <3−b 的解集是3−a <x <3−b ．故选：C【点睛】本题考查了求不等式组的方法，可以借助口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”求解集．解题的关键是根据已知得到a ＞b ，进而得出3-a ＜3-b ． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（2023春·河南新乡·七年级校考期中）若代数式5x+46的值不小于78−1−x 3的值，则满足条件的x的最小整数值为 ． 【答案】0【分析】根据题意得出关于x 的不等式，根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得x 的范围，继而可得答案． 【详解】解：根据题意得5x+46≥78−1−x 3，去分母得，4(5x +4)≥21−8(1−x )， 去括号得，20x +16≥21−8+8x ， 移项得，20x −8x ≥21−8−16， 合并同类项得，12x ≥−3， 系数化为1得，x ≥−14，则满足条件得x 的最小整数值为0． 故答案为：0．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．12．（3分）（2023春·福建福州·七年级校考期中）“输入一个实数x ，然后经过如图的运算，到判断是否大于154为止”叫做一次操作，那么恰好经过三次操作停止，则x 的取值范围是 ．【答案】203<x ≤18【分析】表示出第一次、第二次、第三次的输出结果，再由第三次输出结果可得出不等式，解出即可． 【详解】解：第一次的结果为：3x −2，没有输出，则3x −2≤154， 解得：x ≤52；第二次的结果为：3(3x −2)−2=9x −8，没有输出，则9x −8≤154， 解得：x ≤18；第三次的结果为：3(9x −8)−2=27x −26，输出，则27x −26>154， 解得：x >203．综上可得：x 的取值范围是203<x ≤18．故答案为：203<x ≤18．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据结果是否可以输出，得出不等式．13．（3分）（2023春·河南濮阳·七年级校考期末）若不等式组{x ≥−3x <a的解集中的整数和为-5，则整数a 的值为 ． 【答案】−1或2/2或-1【分析】由不等式组{x ≥−3x <a 的解集中的整数和为-5，可确定整数解为：x =−3,−2或x =−3,−2,−1,0,1，即可得出整数a 的值． 【详解】解：∵{x ≥−3x <a ，∴−3≤x <a ，∵不等式组{x ≥−3x <a 的解集中的整数和为-5，∴x =−3,−2或x =−3,−2,−1,0,1， ∴−1≤a <0或2≤a <3， 则整数a 的值为：−1或2， 故答案为：−1或2．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解决本题的关键是求不等式组的整数解，再确定参数a的范围．14．（3分）（2023春·河南南阳·七年级统考期末）已知不等式组{2x+1≥x−1−x+2≥2(x−1)，要使它的解集中的任意x的值都能使不等式3x≥m+3成立，则m的取值范围是．【答案】m≤−9【分析】解不等式组得到解集，结合3x≥m+3成立列式求解即可得到答案；【详解】解：分别解不等式得，x≥−2，x≤43，∴−2≤x≤43，∴−6≤3x≤4，∵3x≥m+3，∴m+3≤−6，解得：m≤−9，故答案为：m≤−9；【点睛】本题考查解不等式组及根据解集求参数，解题的关键是正确的求出不等式组的解集．15．（3分）（2023春·福建福州·七年级校考期中）已知实数a，b，c，a+b=2，c−a=1．若a≥−3b，则a+b+c的最大值为．【答案】6【分析】由c−a=1得c=a+1，与a+b=2相加得a+b+c=a+3，由a+b=2及a≥−3b，可得a的最大值为3，从而得出a+b+c的最大值．【详解】解：由c−a=1得c=a+1，由a+b=2得a+b+c=a+3，∵a+b=2及a≥−3b，∴a≥−3(2−a)解得：a≤3，∴a的最大值为3，∴a+b+c的最大值=3+3=6．故答案为：6．【点睛】本题考查了不等式的性质运用．关键是由已知等式得出a+b+c的表达式，再求最大值．16．（3分）（2023春·北京西城·七年级统考期末）小明沿街心公园的环形跑道从起点出发按逆时针方向跑步，他用软件记录了跑步的轨迹，他每跑1km软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前5km的记录如图所示．已知该环形跑道一圈的周长大于1km．（1）小明恰好跑3圈时，路程是否超过了5km？答：（填“是”或“否”）；（2）小明共跑了14km且恰好回到起点，那么他共跑了圈．【答案】否10【分析】（1）设环形跑道的周长为L，小明总计跑了x圈，结合图形即可作答；（2）利用环形道的周长与里程数的关系建立不等式求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方程即可求解．【详解】（1）设环形跑道的周长为L，小明总计跑了x（x为整数）圈，结合图形，根据题意有：4<3L<5，即小明恰好跑35km；（2）结合图形，根据题意有：{1<L<22<2L<34<3L<54L>5，解得：43<L<32，根据题意还有：xL=14，可得：x=14L，∵4 3<L<32，∴2 3<1L<34，∴283<14L<212，∵x为整数，∴14L 为整数，∴14L =10，即x =14L =10，即小明共跑了10圈，故答案为：否，10．【点睛】本题考查了不等式的应用，根据题意结合图形得出不等式组，是解答本题的关键．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）解不等式(组)(1)10−4(3−x )≤2(x −2)；(2){x −3(x −2)≥42x−15<x+12 ．【答案】(1)x ≤−1(2)−7<x ≤1【分析】（1）按照解一元一次不等式的一般步骤求解即可；（2）先求出两个不等式的解集，再取公共部分即可．【详解】（1）解：去括号得：10−12+4x ≤2x −4，移项得：4x −2x ≤−10+12−4合并同类项得：2x ≤−2系数化为1得：x ≤−1（2）{x −3(x −2)≥4①2x−15<x+12②解不等式①得：x ≤1，解不等式②得：x >−7，∴原不等式组得解集是−7<x ≤1．【点睛】本题考查一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，掌握解一元一次不等式和取公共解集的方法是解题的关键．18．（6分）（2023春·福建厦门·七年级校考期末）已知关于x 和y 的方程组{x +3y =4−a x −5y =3a，且a <3， (1)若a =2，求方程组的解；(2)若方程组的解满足不等式x −y >m ，且符合要求的整数a 只有两个，求m 的取值范围．【答案】(1){x=72y=−12；(2)2≤m<3．【分析】（1）将a=2代入方程组，再利用加减消元法求解即可；（2）两式相加可得2x−2y=4+2a，根据x−y>m，求得关于a的不等式，再根据解集情况，求解即可．【详解】（1）解：将a=2代入方程组可得：{x+3y=2 ①x−5y=6 ②①−②可得：8y=−4，解得y=−12将y=−12代入①可得：x−32=2，解得x=72则方程组的解为：{x=72y=−12；（2）解：{x+3y=4−a ①x−5y=3a ②①+②可得：2x−2y=4+2a，即x−y=2+a∵x−y>m∴2+a>m，即a>m−2∵a<3，符合要求的整数a只有两个∴整数a为1,2，即0≤m−2<1解得2≤m<3．【点睛】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式，根据题意得到关于m的不等式组是解题的关键．19．（8分）（2023春·安徽合肥·七年级合肥市庐阳中学校考期中）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．例如：方程2x−4=0的解集为：x=2，不等式组{x−1>05−x>0的解集为：1<x<5，因为1<2<5，所以称方程2x−4=0为不等式组{x−1>05−x>0的关联方程．(1)在方程①5x−2=0；②34x−1=0；③x−(2x−1)=0中，不等式组{2x−1<x+3x+5<3(x+1)的关联方程的是______．（填序号）(2)若不等式组{x −12<22x −4>−7x +5 的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是______．（写出一个即可） (3)若方程2x −1=x +2，3+x =2(x +12)都是关于x 的不等式组{x ≤2x −m x −2<m的关联方程，求m 的取值范围．【答案】(1)②(2)x −2=0(3)1<m ≤2【分析】（1）先求得不等式组的解集，再分别解方程①②③，逐一验证方程的解是否在不等式组的解集范围内即可；（2）先解不等式组求得其解集，再找出解集中的一个整数并以此整数构建一个方程即可；（3）先求得方程2x −1=x +2和方程3+x =2(x +12)的解，再求得不等式组的解集，然后根据两方程解的大小确定不等式组的解集上限和下限即可；【详解】（1）解：不等式组{2x −1<x +3x +5<3(x +1)中： 解不等式2x −1<x +3可得x <4，解不等式x +5<3(x +1)可得x >，∴不等式组的解集为1<x <4；解方程①5x −2=0可得x =25，方程的解不在1<x <4内，∴方程①不是不等式组的关联方程，解方程②34x −1=0可得x =43，方程的解在1<x <4内，∴方程②是不等式组的关联方程，解方程③x −(2x −1)=0可得x =1，方程的解不在1<x <4内，∴方程③不是不等式组的关联方程，故答案为：②；（2）解：不等式组{x −12<22x −4>−7x +5 中： 解不等式x −12<2可得x <52，解不等式2x−4>−7x+5可得x>1，∴不等式组的解集为1<x<52；x=2是不等式组的一个整数解，方程x−2=0的解为x=2，方程的解在1<x<52内且是整数，∴方程x−2=0是不等式组的关联方程；（3）解：解方程2x−1=x+2可得x=3，解方程3+x=2(x+12)可得x=2，不等式组{x≤2x−mx−2<m中：解不等式x≤2x−m可得x≥m，解不等式x−2<m可得x<m+2，∴不等式组的解集为m≤x<m+2，∵x=3，x=2都在不等式的解集内，∴{m≤2m+2>3，∴1<m≤2；【点睛】本题考查了解不等式组，解一元一次方程，掌握不等式组的解集由所构成的几个不等式解集的公共部分组成是解题关键．20．（8分）（2023春·全国·七年级期末）为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（x为正整数且45≤x≤75），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入调整为a((25+x)m6x)万元．(1)若这(100−x)名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，则调整后的技术人员最多有______人；(2)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内任意调整后，都能同时满足以下两个条件：①研发人员的年人均投入不超过(m−2)a；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．请说明理由．【答案】(1)即调整后的技术人员最多有75人；(2)m=6．【分析】（1）根据题意，求得这(100−x)名研发人员的年总投入和调整前100名技术人员的年总投入，列不等式求解即可；（2）由①可得(1+4x%)a≤(m−2)a，由②(100−x)(1+4x%)a≥a((25+x)m6x)x，根据题意，求解不等式组即可．【详解】（1）解：由题意可得：(100−x)(1+4x%)a≥100a，（a>0）解得：0<x≤75，又∵45≤x≤75，∴45≤x≤75即调整后的技术人员最多有75人；（2）解：由①可得(1+4x%)a≤(m−2)a，由②(100−x)(1+4x%)a≥a((25+x)m6x)x即{(1+4x%)a≤(m−2)a(100−x)(1+4x%)a≥a((25+x)m6x)x，解得{m≥x25+3m≤600−6x25又∵x为正整数且45≤x≤75，∴当x=75时，x25+3最大，为7525+3=6；当x=75时，600−6x25最小，为600−6×7525=6，综上，存在m=6，满足题意．【点睛】此题考查了不等式（组）的求解，解题的关键是理解题意，找到不等式关系，正确列出不等式．21．（8分）（2023春·重庆·七年级统考期末）定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f(a)．例如：a=12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12=33，和与11的商为33÷11=3，所以f(12)=3．根据以上定义，回答下列问题：(1)填空：①下列两位数：20，33，84中，“迥异数”为______；②计算：f(35)=_______．(2)如果一个“迥异数”b的十位数字是k，个位数字是2k+2，且f(b)=11，请求出“迥异数”b．(3)如果一个“迥异数”c，满足c−5f(c)>35，请求出所有满足条件的c的值．【答案】(1)①84；②8(2)38(3)81或91或92【分析】（1）①根据定义“个位数字与十位数字互不相同，且都不为零“，可以确定84是“迥异数”，而20和33不是．②根据所给定义代入并运算就可以求得f（32）的值．（2）根据“迥异数”的定义代入可得f（b）的值为3k+2=11，可求得k=3，再出b的值为38．（3）先设c的个位为n，十位为m，可以代入求得f（c）的值为m+n．再根据c-5f（c）＞35，可求得关于m和n的不等式，再对m、n进行讨论就可以求得c的值．【详解】（1）解：①由定义“个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为迥异数”可知，20，33，不符合定义a=84，对调个位数字与十位数字得到新两位数48，新两位数与原两位数的和为84+48=132，和与11的商为132÷11=12，所以f(84)=12．∴“迥异数”为84．②f（35）=（35+53）÷11=8．故答案为：84，8．（2）∵这个“迥异数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1），∴b=10×k+2（k+1）=12k+2．将这个数的个位和十位调换后为：10×2（k+1）+k=21k+20，∴f（b）=（12k+2+21k+20）÷11=3k+2，又f（b）=11，∴3k+2=11，∴k=3．故这个“迥异数”b=12k+2=38．（3）设这个“迥异数”c的个位为n，十位为m，则m≠n，且m，n均为大于1小于10的正整数．则c=10m+n，调换个位和十位后为：10n+m，故f（c）=（10m+n+10n+m）÷11=m+n，∵c-5f（c）＞35，∴10m+n-5（m+n）＞35．整理得：5m-4n＞35，，∴m＞35+4n5又∵m≤9，∴35+4n 5＜9，解得：n ＜2.5，又n 为正整数，故n =1或2，当n =1时，m =8或9，此时c =81或91；当n =2时，m =9，此时c =92；故所有满足条件的c 有：81或91或92．【点睛】本题主要考查学生对新定义的理解和运用，还考查了列代数式和解不等式的知识，最后一问需要讨论不等式的整数解，是本题的难点．22．（8分）（2023春·江苏扬州·七年级统考期末）对非负数x “四舍五入”到个位的值记为〈x 〉，即当n 为非负整数时，若n ﹣0.5≤x ＜n +0.5，则〈x 〉＝n ．反之，当n 为非负整数时，若〈x 〉＝n ，则n ﹣0.5≤x ＜n +0.5．如〈1.34〉＝1，〈4.86〉＝5．（1）〈π〉＝ ；（2）若〈0.5x ﹣1〉＝7，则实数x 的取值范围是 ；（3）若关于x 的不等式组{2x−13≥−1x−<a ><0 的整数解恰有4个，求a 的取值范围； （4）满足〈x 〉＝65x 的所有非负数x 的值为 ．【答案】（1）3；（2）15≤x <17；（3）2.5≤a <3.5；（4）0，56，53，52．【分析】（1）利用对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为＜x ＞，进而得出＜π＞的值；（2）根据题目中所给的定义得到7-0.5≤0.5x -1<7+0.5，然后解不等式组即可；（3）首先将＜a ＞看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a 的取值范围；（4）利用＜x ＞=65x ，设65x =k ，k 为整数，得出关于k 的不等关系求出即可．．【详解】解：（1）由题意可得：＜π＞=3；故答案为：3，（2）根据题意得7-0.5≤0.5x -1<7+0.5，解得15≤x <17．故答案为15≤x <17；（3）{2x−13≥−1①x −⟨a ⟩<0②解不等式①得，x ≥−1解不等式②得，x <＜a ＞，所以，不等式组解集为：-1≤x <＜a ＞，由不等式组整数解恰有4个得，2＜＜a ＞≤3，∴＜a ＞=3，故2.5≤a ＜3.5；（4）∵x ≥0，65x 为整数，设65x =k ，k 为整数，则x =56k ， ∴＜56k ＞=k ， ∴k -12≤56k ≤k +12，k ≥0，∴0≤k ≤3，∴k =0，1，2，3则x =0，56，53，52．故答案为：0，56，53，52．【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，新定义，根据题意正确理解＜x ＞的意义是解题关键．23．（8分）（2023春·1）阅读下面问题的解答过程并补充完整． 问题：实数x ，y 满足x −y =2，x +y =a ，且x >1，y <0，求a 的取值范围．解：列关于x ，y 的方程组{x −y =2x +y =a ，解得{x =a+22y =a−22，又因为x >1，y <0，所以{a+22>1a−22<0，解得______； （2）已知x −y =4，且x >3，y <1，求x +y 的取值范围；（3）若a ，b 满足3a 2+5|b|=7，S =2a 2−3|b|，求S 的取值范围．【答案】（1）0<a <2；（2）2<x +y <6；（3）−215⩽S ⩽143【分析】（1）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可；（2）根据（1）阅读中的方法解题即可求解；（3）先根据3a 2+5|b|=7求出|b|的值，再代入S =2a 2−3|b|中即可得到关于a 的二次函数，根据a 2的取值范围，求出S 的取值范围．【详解】解：（1）{a+22>1①a−22<2②， 解不等式①得：a >0，解不等式②得：a <2，∴不等式组的解集为0<a <2， 故答案为：0<a <2；（2）①设x +y =a ，则{x −y =4x +y =a， 解得：{x =a+42y =a−42， ∵x >3，y <1，∴ {a+42>3a−42<1， 解得：2<a <6，即2<x +y <6；（3）由3a 2+5|b|=7得|b|=7−3a 25， 则7−3a 25⩾0，解得a 2⩽73， ∴0⩽a 2⩽73，将|b|=7−3a 25，代入S =2a 2−3|b|中， 得S =195a 2−215， ∵0⩽a 2⩽73，∴当a 2=0时，S 取最小值为S =−215； 当a 2=73时，S 取最大值为S =195×73−215=143， ∴S 的取值范围为：−215⩽S ⩽143． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集．。
专题7.10一元一次不等式与不等式组章末测试卷(拔尖卷)(举一反三)(沪科版)(原卷版)
第7章 一元一次不等式与不等式组章末测试卷（拔尖卷）【沪科版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（2021春•靖远县校级月考）有下列数学表达式： ①3＞0；②4x +5＞0；③x ＝3；④x 2+x ；⑤x ≠﹣4；⑥x +2＜x +1． 其中是不等式的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．（3分）（2021春•开福区校级期末）下列各数中，不是不等式3x ﹣2＜2的解的是（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．23．（3分）（2021•邢台县一模）已知x ＞y 且xy ＜0，a 为任意实数，下列式子正确的是（ ） A ．﹣x ＞yB ．a 2x ＞a 2yC ．a ﹣x ＜a ﹣yD ．x ＞﹣y4．（3分）（2021春•南昌期末）若实数2是不等式3x ﹣a ﹣4＜0的一个解，则a 可取的最小整数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．（3分）（2021•十堰）不等式组{13x −1＜2m2x −m ＜6的解集为x ＜6m +3，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≤0B ．m ＝0C ．m ＞0D ．m ＜06．（3分）（2021•宁波校级一模）如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次的12．已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm ，若铁钉总长度为acm ，则a 的取值范围是（ ）A ．2.5＜a ＜4B ．2.5≤a ＜3.5C ．3≤a ＜4D ．3＜a ≤3.57．（3分）（2021•邢台县一模）若关于x 的不等式3﹣x ＞a 的解集为x ＜4，则关于m 的不等式2m +3a ＜1的解集为（ ） A ．m ＜2B ．m ＞1C ．m ＞﹣2D ．m ＜﹣18．（3分）（2021•新泰市校级模拟）若关于x 的不等式组{a −x−13≥03−2(x −1)＜3x 在实数范围内有解，则a 的取值范围为（ ） A ．a ＞0B ．a ≥0C ．a ＜0D ．a ≤09．（3分）（2021•玉环市一模）油电混动汽车是一种节油、环保的新技术汽车．它将行驶过程中部分原本被浪费的能量回收储存于内置的蓄电池中．汽车在低速行驶时，使用蓄电池带动电动机驱动汽车，节约燃油．某品牌油电混动汽车与普通汽车的相关成本数据估算如下：油电混动汽车普通汽车 购买价格（万元） 17.48 15.98 每百公里燃油成本（元）3146某人计划购入一辆上述品牌的汽车．他估算了未来10年的用车成本，在只考虑车价和燃油成本的情况下，发现选择油电混动汽车的成本不高于选择普通汽车的成本．则他在估算时，预计平均每年行驶的公里数至少为（ ） A ．5 000B ．10 000C ．15 000D ．20 00010．（3分）（2021春•江岸区校级月考）已知非负数x ，y ，z 满足3−x2=y+23=z+54，设W ＝3x ﹣2y +z ，则W 的最大值与最小值的和为（ ） A ．﹣2B ．﹣3C ．﹣4D ．﹣6二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2021春•东港市期中）在不等式ax +b ＞0，a 、b 是常数且a ≠0，当 时，不等式的解集是x ＜−ba ．12．（3分）（2021•诸城市二模）在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a △b ＝2a ﹣b ．已知不等式x △k ≥1的解集在数轴上如图表示，则k 的值是 ．13．（3分）（2021春•绵阳期末）若关于x 的不等式组{x+213≥3−x2x −1＜m的所有整数解的和为﹣5，则m 的取值范围是 ．14．（3分）（2021•玉环市一模）若关于x 的不等式2a ﹣3x ﹣1＞0的最大整数解为﹣2，则实数a 的取值范围是 ．15．（3分）（2021秋•海陵区校级月考）如图所示是计算机程序计算，规定：程序运行到“判断结果是否小于﹣5”为一次运算，设输入的数为x ，运算进行了2次停止，则满足条件的整数x 有 ．16．（3分）（2021春•高邮市月考）定义[x ]表示不大于x 的最大整数，{x }＝x ﹣[x ]，例如[2]＝2，[﹣2.8]＝﹣3，[2.8]＝2，{2}＝0，{2.8}＝0.8，{﹣2.8}＝0.2 则满足2{x }＝[x ]的非零实数x 值为 ． 三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2021春•宽城县期末）小明解不等式1+x 2−2x+13≤1的过程如下．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母，得：3（1+x ）﹣2（2x +1）≤1…① 去括号，得：3+3x ﹣4x +1≤1…② 移项，得：3x ﹣4x ≤1﹣3﹣1…③ 合并同类项，得：﹣x ≤﹣3…④ 两边都除以﹣1，得：x ≤3…⑤（1）错误的步骤有 处，分别为 ．（填序号） （2）请写出正确解答过程．18．（6分）（2021春•安庆期末）解不等式组{x −1＜2xx−13≤x+16，并将解集在数轴上表示出来．19．（8分）（2021春•泰兴市期末）已知{2x +y =3−2ax +2y =3+2a （a ≠0）是关于x ，y 的二元一次方程组．（1）求方程组的解（用含a 的代数式表示）； （2）若x ﹣2y ＞0，求a 的取值范围；（3）若x ，y 之间（不含x ，y ）有且只有一个整数，直接写出a 的取值范围．20．（8分）（2021春•海淀区校级期末）某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，求该班住宿生人数和宿舍间数．21．（8分）（2021春•颍州区期末）“一方有难，八方支援”，某公司准备向灾区捐赠一批帐篷和食品包共360个，其中帐篷比食品包多120个．（1）求帐篷和食品包各有多少个？（2）该公司准备一次性将这批帐篷和食品包运往灾区，现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，已知每辆甲种型号的货车最多可装45个帐篷和10个食品包，每辆乙种型号的货车最多可装25个帐篷和20个食品包，运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来．（3）在（2）的条件下，如果甲种型号的货车每辆需付运费1000元，乙种型号的货车每辆需付运费900元．假设你是决策者，应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？22．（8分）（2021秋•沙坪坝区校级期末）一个四位数，记千位数字与个位数字之和为x，十位数字与百位数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“对称数”（1）最小的“对称数”为；四位数A与2020之和为最大的“对称数”，则A的值为；（2）一个四位的“对称数”M，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为8，且千位数字a使得不等式组{3x−44−1≤x−225x−1＞a恰有4个整数解，求出所有满足条件的“对称数”M的值．23．（8分）（2021春•开福区校级期末）若任意一个代数式，在给定的范围内求得的最大值和最小值恰好也在该范围内，则称这个代数式是这个范围的“湘一代数式”．例如：关于x的代数式x2，当﹣1≤x≤1时，代数式x2在x＝±1时有最大值，最大值为1；在x＝0时有最小值，最小值为0，此时最值1，0均在﹣1≤x≤1这个范围内，则称代数式x2是﹣1≤x≤1的“湘一代数式”．（1）若关于x的代数式|x|，当1≤x≤3时，取得的最大值为，最小值为，所以代数式|x|（填“是”或“不是”）1≤x≤3的“湘一代数式”．（2）若关于x的代数式a|x|+2−1是﹣2≤x≤2的“湘一代数式”，求a的最大值与最小值．（3）若关于x的代数式|x﹣2|是m≤x≤4的“湘一代数式”，求m的取值范围．。
一元一次不等式(第1课时)(沪科版)
讲授新课
一 一元一次不等式的概念 前面问题中涉及的数量关系是： 工人重 + 货物重 ≤ 最大载重量.
设能载x件25kg重的货物，因为升降机最大 载重量是1200kg，所以有
75＋25x≤1200. ①
一元一次不等式的概念
像75 + 25x ≤1200 这样， 含有一个未知数，含未知数的项的次数是1、且不 等号两边都是整式的不等式叫作一元一次不等式.
例4 已知不等式 x＋8＞4x＋m (m是常数)的解集是 x＜3，求 m.
解：因为 x＋8＞4x＋m， 所以 x－4x＞m－8， 即－3x＞m－8，
x 1 (m 8). 3
因为其解集为x＜3， 所以 1 (m 8) 3 . 解得 m=3－1.
方法总结：已知解集求字母系数的值，通常是先解含有字 母的不等式，再利用解集唯一性列方程求字母的值．解题 过程体现了方程思想．
不等式的解
不等式的解集
定义 满足一个不等式的 满足一个不等式的
区别
未知数的某个值 未知数的所有值
特点
个体
形式 如:x=3是2x-3<7 的一个解
联系 某个解定是解集中
的一员
全体 如:x<5是2x-3<7 的解集
解集一定包括了 某个解
练一练
判断下列说法是否正确？
(1) x=2是不等式x+3<4的解；
2. 设 x<-6, 则 |3-|x+3|| 的 值是（ ）
（A）x
（B）6-x
（C）x-6 （D）-x-6
2、不等式的解: 使不等式成立的未知数的值.
例：-2是不是不等式2x-1>-3的解？4呢？
解：当X=-2时,2x-1=2×(-2)-1=5<-3,即不等式左边<右边,所以x=-2 不是不等式2x-1>-3.的解.当x=4时,2x-1=2×4-1=7>-3,即不等式左 边>右边,所以x=4是不等式2x-1>-3的解.
专题1.5 一元一次不等式章末重难点题型(举一反三)(苏科版)(解析版)
专题1.5 一元一次不等式章末重难点题型【苏科版】【考点1 不等式的定义】【方法点拨】不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．【例1】（2020春•丛台区校级期中）式子①x ﹣y ＝2 ②x ≤y ③x +y ④x 2﹣3y ⑤x ≥0⑥12x ≠3中，属于不等式的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】利用不等式的定义进行解答即可． 【解答】解：①x ﹣y ＝2是二元一次方程； ②x ≤y 是不等式； ③x +y 是代数式； ④x 2﹣3y 是代数式； ⑤x ≥0是不等式；⑥12x ≠3是不等式；属于不等式的共3个， 故选：B ．【点评】此题主要考查了不等式定义，关键是掌握用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．【变式1-1】（2020春•巴州区校级期中）在下列数学表达式：①﹣2＜0，②2x ﹣5≥0，③x ＝1，④x 2﹣x ，⑤x ≠﹣2，⑥x +2＜x ﹣1中，是不等式的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】利用不等式定义进行解答即可．【解答】解：①﹣2＜0，②2x ﹣5≥0，⑤x ≠﹣2，⑥x +2＜x ﹣1是不等式，共4个， 故选：C ．【点评】此题主要考查了不等式定义，关键是掌握用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．【变式1-2】（2020春•叶集区期末）式子：①2＞0；②4x +y ≤1；③x +3≠0；④y ﹣7；⑤m ﹣2.5＞3．其中不等式有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．据此可得答案．【解答】解：不等式有：①2＞0；②4x +y ≤1；③x +3≠0；⑤m ﹣2.5＞3，共有4个． 故选：D ．【点评】本题主要考查不等式的定义，用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．【变式1-3】（2020春•毕节市期中）老师在黑板上写了下列式子：①x ﹣1≥1；②﹣2＜0；③x ≠3；④x +2；⑤x −12y ＝0；⑥x +2y ≤0．你认为其中是不等式的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】主要依据不等式的定义﹣﹣﹣﹣﹣用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．【解答】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，所以：①x﹣1≥1；②﹣2＜0；③x≠3；⑥x+2y≤0．为不等式，共有4个．故选：C．【点评】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞＜≤≥≠．【考点2 不等式的基本性质】【方法点拨】不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．【例2】（2020春•开封期末）下列不等式的变形正确的是（）A．若a＜b，且c≠0，则ac＜bc B．若a＞b，则1+a＜1+bC．若ac2＜bc2，则a＜b D．若a＞b，则ac2＞bc2【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可．【解答】解：A．若a＜b，当c＜0时，ac＞bc，故本选项不符合题意；B．若a＞b，则1+a＞1+b，故本选项不符合题意；C．若ac2＜bc2，则a＜b，故本选项符合题意；D．若a＞b，c＝0，则ac2＝bc2，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．【变式2-1】（2020春•江阴市期末）若a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+2c＜b+2c B．2c﹣a＜2c﹣b C．a+2c＞b+2c D．2ac＜2bc【分析】根据不等式的性质分别进行判断即可．【解答】解：A、∵a＜b，∴a+2c＜b+2c，原变形一定成立，故此选项符合题意；B、∵a＜b，∴2c﹣a＞2c﹣b，原变形不成立，故此选项不符合题意；C、∵a＜b，∴a+2c＜b+2c，原变形不成立，故此选项不符合题意；D、∵a＜b，∴2ac＜2bc（c＞0）或2ac＝2bc（c＝0）或2ac＞2bc（c＜0），原变形不一定成立，故此选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：不等式两边同时加上或减去一个数，不等式不改变方向；不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等式不改变方向；不等式两边同时乘以或乘以一个负数，不等式要改变方向．【变式2-2】（2020春•福田区期中）下列不等式变形错误的是（）A．若a＞b，则1﹣a＜1﹣bB．若a＜b，则ax2≤bx2C．若ac＞bc，则a＞bD．若m＞n，则mx2+1＞nx2+1【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．【解答】解：A、∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴1﹣a＜1﹣b，正确，故本题选项不符合题意；B、∵a＜b，∴ax2≤bx2，正确，故本题选项不符合题意；C、当c＜0时，根据ac＞bc不能得出a＞b，错误，故本题选项不符合题意；D、∵m＞n，∴mx2+1＞nx2+1，正确，故本题选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．【变式2-3】（2020春•泰山区期末）如果a＜b，c＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a+c＜b B．a﹣c＞b﹣cC．ac+1＜bc+1D．a（c﹣2）＜b（c﹣2）【分析】根据不等式的性质解答．【解答】解：A、由a＜b，c＜0得到：a+c＜b+0，即a+c＜b，故本选项符合题意．B、当a＝1，b＝2，c＝﹣3时，不等式a﹣c＞b﹣c不成立，故本选项不符合题意．C、由a＜b，c＜0得到：ac+1＞bc+1，故本选项不符合题意．D、由于c﹣2＜﹣2，所以a（c﹣2）＞b（c﹣2），故本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．【考点3 不等式性质的运用】【方法点拨】含字母系数的不等式的解法，有一定难度，注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【例3】（2020春•南岗区校级月考）如果一元一次不等式（m +2）x ＞m +2的解集为x ＜1，则m 必须满足的条件是（ ） A ．m ＜﹣2B ．m ≤﹣2C ．m ＞﹣2D ．m ≥﹣2【分析】根据解集中不等号的方向发生了改变，得出m +2＜0，求出即可． 【解答】解：∵不等式（m +2）x ＞m +2的解集是x ＜1， ∴m +2＜0， ∴m ＜﹣2， 故选：A ．【点评】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的解集的应用，关键是能根据题意得出m +2＜0． 【变式3-1】（2020春•郯城县校级期末）如果关于x 的不等式（a +2020）x ﹣a ＞2020的解集为x ＜1，那么a 的取值范围是（ ） A ．a ＞﹣2020B ．a ＜﹣2020C ．a ＞2020D ．a ＜2020【分析】根据解一元一次不等式的方法和不等式的性质，可以得到a 的取值范围． 【解答】解：∵不等式（a +2020）x ﹣a ＞2020的解集为x ＜1， ∴a +2020＜0， 解得，a ＜﹣2020， 故选：B ．【点评】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法和不等式的性质． 【变式3-2】（2020春•仁寿县期中）若不等式ax−52−2−ax 4＞0的解集是x ＞1，则a 的值是（ ）A ．3B ．4C ．﹣4D ．以上答案都不对【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：∵ax−52−2−ax 4＞0，∴2（ax ﹣5）﹣（2﹣ax ）＞0， 2ax ﹣10﹣2+ax ＞0， 3ax ＞12， ∴ax ＞4，∵不等式的解集为x ＞1， ∴a ＝4， 故选：B ．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．【变式3-3】（2020•回民区二模）如果不等式（a ﹣2）x ＞2a ﹣5的解集是x ＜4，则不等式2a ﹣5y ＞1的解集是（ ） A ．y ＜52B ．y ＜25C ．y ＞52D ．y ＞25【分析】先由不等式（a ﹣2）x ＞2a ﹣5的解集是x ＜4，根据不等式的性质得出a ﹣2＜0，2a−5a−2=4，解得a =32，则2a ＝3，再解不等式2a ﹣5y ＞1即可． 【解答】解：∵不等式（a ﹣2）x ＞2a ﹣5的解集是x ＜4， ∴a ﹣2＜0，2a−5a−2=4，解得a =32， ∴2a ＝3，∴不等式2a ﹣5y ＞1的解集为y ＜25． 故选：B ．【点评】本题考查了含字母系数的不等式的解法，有一定难度，注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【考点4 解一元一次不等式】【方法点拨】根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 【例4】（2020春•福山区期末）解下列不等式，并把解集表示在数轴上． （1）1−4x−13＞3x （2）2x+13≥3(x−1)2+1【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【解答】解：（1）1−4x−13＞3x ， 3﹣4x +1＞9x ， ﹣4x ﹣9x ＞﹣3﹣1， ﹣13x ＞﹣4， x ＜413，在数轴上表示为：；（2）2x+13≥3(x−1)2+1，4x +2≥9x ﹣9+6， 4x ﹣9x ≥﹣9+6﹣2， ﹣5x ≥﹣5， x ≤1，在数轴上表示为：．【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集的应用，注意：解一元一次不等式的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1． 【变式4-1】（2020春•南关区校级期中）解不等式：1+x 2−2x−13≤1，并把解集在数轴上表示出来．【分析】首先去分母，然后去括号，移项、合并同类项，系数化为1，即可求得原不等式的解集．【解答】解：去分母，得：3（1+x ）﹣2（2x ﹣1）≤6， 去括号，得：3+3x ﹣4x +2≤6， 移项，合并同类项，得：﹣x ≤1， 则x ≥﹣1． 在数轴上表示为：．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【变式4-2】（2020春•河南期末）解不等式：2x−1.50.5−3x−0.60.2＞0.19−0.3x 0.01；【分析】先把不等式的分母化为整数，再去括号，移项，合并同类项，把x 的系数化为1即可； 【解答】解：2x−1.50.5−3x−0.60.2＞0.19−0.3x 0.01，整理得，（4x ﹣3）﹣（15x ﹣3）＞19﹣30x ， 去括号得，4x ﹣3﹣15x +3＞19﹣30x ， 移项、合并同类项得，19x ＞19， 把x 的系数化为1得，x ＞1；【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 【变式4-3】（2020春•思明区校级月考）x 取何正整数时，代数式x+13−2x−14的值不小于代数式x−36的值？【分析】根据题意两个代数式建立不等式，求得不等式的解集，求得x 的正整数解即可． 【解答】解：由题意得x+13−2x−14≥x−364x +4﹣6x +3≥2x ﹣6 4x ﹣6x ﹣2x ≥﹣6﹣4﹣3 ﹣4x ≥﹣13 解得x ≤134，x 是正整数，可以取1、2、3．【点评】此题考查一元一次不等式的正整数解，求得不等式的解集是解决问题的关键． 【考点5 解一元一次不等式组】【方法点拨】不等式组的解的求解过程：分别求出每个不等式的解、把两个不等式的解表示在同一数轴上、取公共部分作为不等式组的解（若没有公共部分则无解）.口诀：大大取大，小小取小，大小小大两头夹，大大小小是无解.【例5】（2020春•雨花区校级月考）解不等式组{5x −4≤2+7xx −x−13＜1+x 2，并把它们的解在数轴上表示出来．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式5x ﹣4≤2+7x ，得：x ≥﹣3， 解不等式x −x−13＜1+x2，得：x ＜1， 则不等式组的解集为﹣3≤x ＜1， 将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式5-1】（2020春•太湖县期末）解不等式组：{x −32(2x −1)≤41+3x 2＞2x −1并将解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【解答】解：{x −32(2x −1)≤4①1+3x2＞2x −1②，由①得：x ≥−54， 由②得：x ＜3，∴不等式组的解集为−54≤x ＜3， 表示在数轴上，如图所示：【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．【变式5-2】（2020春•雨花区校级期中）解不等式组{5x +7≥3(x −1)①2−2x+53＞x −3②，并将解集在数轴上表示出来． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出公共部分，表示在数轴上即可． 【解答】解：{5x +7≥3(x −1)①2−2x+53＞x −3②， 由①得，x ≥﹣5， 由②得x ＜2，∴不等式组的解集为﹣5≤x ＜2． 在数轴上表示为：【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式5-3】（2020春•东阿县期末）根据要求解不等式组． （1）{2x −6＜3xx+25−x−14≥0； （2）{2x−13−5x−12≤15x −1＜3(x +1)（在数轴上把它的解集表示出来）．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：（1）解不等式2x ﹣6＜3x ，得：x ＞﹣6， 解不等式x+25−x−14≥0，得：x ≤13，则不等式组的解集为﹣6＜x ≤13；（2）解不等式2x−13−5x−12≤1，得：x ≥−511，解不等式5x ﹣1＜3（x +1），得：x ＜2， 则不等式组的解集为−511≤x ＜2，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【考点6 方程（组）的解构造不等式（组）求字母范围】【方法点拨】不等式组的解的求解过程：分别求出每个不等式的解、把两个不等式的解表示在同一数轴上、取公共部分作为不等式组的解（若没有公共部分则无解）.口诀：大大取大，小小取小，大小小大两头夹，大大小小是无解.【例6】（2020春•龙华区校级期末）已知关于x 的方程5x+m 3−x−12=m 的解为非负数，则m 的范围为 ． 【分析】解方程求出x =4m−37，根据方程的解为非负数得出关于m 的不等式，解之可得． 【解答】解：解方程5x+m 3−x−12=m 得x =4m−37， 根据题意，得：4m−37≥0，则4m ﹣3≥0，∴4m ≥3，解得m ≥34，故答案为：m ≥34．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．【变式6-1】（2020春•高州市期末）已知关于x ，y 的二元一次方程组{2x +y =1+2m x +2y =2−m的解满足不等式x +y 为非负数，求实数m 的取值范围．【分析】解此题时可以解出二元一次方程组中x ，y 关于a 的式子，代入x +y ＞0，然后解出a 的取值范围．【解答】解：方程组中两个方程相加得3x +3y ＝3+m ，即x +y ＝1+13m ，又x +y ≥0，即1+13m ≥0，解一元一次不等式得m ≥﹣3．【点评】本题是综合考查了二元一次方程组和一元一次不等式的综合运用，灵活运用二元一次方程组的解法是解决本题的关键．【变式6-2】（2020秋•大渡口区月考）已知方程组{3x +y =−13+m x −y =1+3m的解满足x 为非正数，y 为负数． （1）求m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，若不等式（2m +1）x ﹣2m ＜1的解为x ＞1，请写出整数m 的值．【分析】（1）解方程组用m 的代数式表示出x 、y ，根据x 为非正数，y 为负数列出关于m 的不等式组，解之求得m 的范围；（2）根据不等式的性质得出2m +1＜0，求得m 的范围，结合m 为整数及（1）中m 的范围可得答案．【解答】解：（1）解方程组{3x +y =−13+m x −y =1+3m得：{x =m −3y =−2m −4． ∵x ≤0，y ＜0，∴{m −3≤0−2m −4＜0． 解得﹣2＜m ≤3；（2）不等式（2m +1）x ﹣2m ＜1移项得：（2m +1）x ＜2m +1．∵不等式（2m +1）x ﹣2m ＜1的解为x ＞1，∴2m +1＜0，解得m ＜−12．又∵﹣2＜m ≤3，∴m 的取值范围是﹣2＜m ＜−12．又∵m 是整数，∴m 的值为：﹣1．【点评】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是得出关于m 的不等式组并求解．【变式6-3】（2020春•洪山区期末）已知关于x 、y 的方程组{3x −y =2a −5x +2y =3a +3的解都为正数，且满足a +b ＝4，b ＞0，z ＝a ﹣3b ，则z 的取值范围是（ ）A ．﹣8＜z ＜4B ．﹣7＜z ＜8C ．﹣7＜z ＜4D ．﹣8＜z ＜8【分析】先把不等式组解出，再根据解为正数列关于a 的不等式组解出即可得到a 的范围；根据题意得出b ＝4﹣a ＞0，即可得到1＜a ＜4，代入z ＝a ﹣3b 得到z ＝4a ﹣12，根据a 的取值可得结论．【解答】解：解这个方程组的解为：{x =a −1y =a +2， 由题意，得{a −1＞0a +2＞0， 则原不等式组的解集为a ＞1；∵a +b ＝4，b ＞0，∴b ＝4﹣a ＞0，∵a ＞1，∴1＜a ＜4，∵a ﹣3b ＝a ﹣3（4﹣a ）＝4a ﹣12，z ＝a ﹣3b ，故﹣8＜z ＜4．故选：A ．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程．【考点7 根据不等式（组）的解集求字母范围】【例7】（2020春•章丘区期末）若不等式2x+53−1≤2﹣x 的解集中x 的每一个值，都能使关于x 的不等式2x +m ＜1成立，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜−35B ．m ≤−35C ．m ＞−35D ．m ≥−35 【分析】求出不等式2x+53−1≤2﹣x 的解，求出不等式3（x ﹣1）+5＞5x +2（m +x ）的解集，得出关于m的不等式，求出m 即可．【解答】解：解不等式2x+53−1≤2﹣x 得：x ≤45， ∵不等式2x+53−1≤2﹣x 的解集中x 的每一个值，都能使关于x 的不等式2x +m ＜1成立，∴x ＜1−m 2，∴1−m 2＞45，解得：m ＜−35，故选：A ．【点评】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于m 的不等式是解此题的关键．【变式7-1】（2020春•邗江区期末）已知x ＝4是不等式mx ﹣3m +2≤0的解，且x ＝2不是这个不等式的解，则实数m 的取值范围为（ ）A ．m ≤﹣2B ．m ＜2C ．﹣2＜m ≤2D ．﹣2≤m ＜2 【分析】根据x ＝4是不等式mx ﹣3m +2≤0的解，且x ＝2不是这个不等式的解，列出不等式，求出解集，即可解答．【解答】解：∵x ＝4是不等式mx ﹣3m +2≤0的解，∴4m ﹣3m +2≤0，解得：m ≤﹣2，∵x ＝2不是这个不等式的解，∴2m ﹣3m +2＞0，解得：m ＜2，∴m ≤﹣2，故选：A ．【点评】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是根据x ＝4是不等式mx ﹣3m +2≤0的解，且x ＝2不是这个不等式的解，列出不等式，从而求出m 的取值范围．【变式7-2】（2020春•渝中区校级期末）关于x 的方程3﹣2x ＝3（k ﹣2）的解为非负整数，且关于x 的不等式组{x −2(x −1)≥32k+x 3≤x 无解，则符合条件的整数k 的值的和为（ ） A ．5 B ．2 C ．4 D ．6【分析】表示出方程的解，由方程的解为非负整数【解答】解：解方程3﹣2x ＝3（k ﹣2）得x =9−3k 2， ∵方程的解为非负整数，∴9−3k 2≥0，即k ≤3，即非负整数k ＝1，2，3，不等式组整理得：{x ≤−1x ≥k，由不等式组无解，得到k ＞﹣1，∴﹣1＜k ≤3，即整数k ＝0，1，2，3，综上，k ＝1，2，3，则符合条件的整数k 的值的和为6．故选：D ．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次方程的解，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．【变式7-3】已知不等式组{2x −3a ＜7b +26b −3x −3＜5b． ①若它的解集是4＜x ＜23，求a ，b 的取值．②若a ＝b ，且上述不等式无解，求a 的取值范围．【分析】①先用字母a ，b 表示出不等式组的解集13（b ﹣3）＜x ＜12（3a +7b +2），然后再根据已知解集是4＜x ＜23，对应得到相等关系联立成方程组，求出a ，b 的值；②把不等式组的解集用a 表示，进一步利用不等式组解集的求法得出答案即可．【解答】解：①原不等式可化为{x ＜12(3a +7b +2)x ＞13(b −3)， 则13（b ﹣3）＜x ＜12（3a +7b +2）， ∵4＜x ＜23，∴{13(b −3)=412(3a +7b +2)=23， 解得：{a =−613b =15； ②若a ＝b ，则不等式为{x ＜5a +1x ＞13(a −3)∵不等式无解，∴5a +1≤13（a ﹣3）解得：a ≤−37． 【点评】主要考查了一元一次不等式组的解定义，解此类题是要先用字母a ，b 表示出不等式组的解集，然后再根据已知解集，对应得到相等或不等关系，解关于字母a ，b 的方程组或不等式即可求解．【考点8 利用整数解求字母取值范围】【例8】（2020春•惠安县期末）已知关于x 的不等式3x ﹣2a ＜4﹣5x 有且仅有三个正整数解，则满足条件的整数a 的个数是（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【分析】先求出不等式的解集，根据不等式的整数解得出关于a 的不等式组，求出不等式组的解集，再求出整数a 即可．【解答】解：解不等式3x ﹣2a ＜4﹣5x 得：x ＜a+24，∵关于x 的不等式3x ﹣2a ＜4﹣5x 有且仅有三个正整数解，是1，2，3，∴3＜a+24≤4，解得：10＜a ≤14，∴整数a 可以是11，12，13，14，共4个，故选：B ．【点评】本题考查Lee 解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解和解一元一次不等式组等知识点，能得出关于a 的不等式组是解此题的关键．【变式8-1】（2020春•长沙期末）关于x 的不等式组{52x +1＞32(x −1)12x −1≤a −32x 只有四个整数解，则a 的取值范围为（ ）A ．1＜a ≤3B ．1≤a ＜3C ．3＜a ≤5D ．3≤a ＜5【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组只有四个整数解，确定出a 的范围即可．【解答】解：不等式组整理得：{x ＞−52x ≤a+12， 解得：−52＜x ≤a+12， 由不等式组只有四个整数解，得到整数解为﹣2，﹣1，0，1，∴1≤a+12＜2，解得：1≤a ＜3．故选：B ．【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集是解本题的关键．【变式8-2】（2020春•津南区校级期末）已知关于x 的不等式组{x −m ＞02x −n ≤0的整数解是﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，若m ，n 为整数，则m +n 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5或6D ．6或7【分析】先解两个不等式，结合不等式组的整数解得出m 、n 的取值范围，结合m 、n 为整数可以确定m 、n 的值，代入计算可得．【解答】解：解不等式x ﹣m ＞0，得：x ＞m ，解不等式2x ﹣n ≤0，得：x ≤n 2，∵不等式组的整数解是﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，∴﹣3≤m ＜﹣2，4≤n 2＜5，即8≤n ＜10，∵m ，n 为整数，∴m ＝﹣3，n ＝8或n ＝9，当n ＝8时，m +n ＝﹣3+8＝5；当n ＝9时，m +n ＝﹣3+9＝6；综上，m +n 的值为5或6，故选：C ．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式8-3】（2020春•万州区期末）已知关于x 、y 的方程组{ax +3y =12x −3y =0的解为整数，且关于x 的不等式组{2(x +1)＜x +53x ＞a −4有且仅有5个整数解，则所有满足条件的整数a 的和为（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣8D ．﹣6 【分析】根据不等式组求出a 的范围，然后再根据方程组求出a 的取值，从而确定的a 的可能值即可得出答案．【解答】解：解方程组{ax +3y =12x −3y =0得：{x =12a+1y =4a+1， ∵方程组{ax +3y =12x −3y =0的解为整数， ∴a +1＝±1、±2、±4，解得：a＝﹣2或0或1或﹣3或3或﹣5，解不等式组{2(x+1)＜x+53x＞a−4，得：a−43＜x＜3，∵不等式组{2(x+1)＜x+53x＞a−4有且仅有5个整数解，∴﹣3≤a−43＜−2，解得：﹣5≤a＜﹣2，∴满足条件的整数a有﹣5，﹣3、共2个，∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣8．故选：C．【点评】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据题意得出关于a的不等式组．【考点9 不等式（组）中的新定义问题】【例9】（2020春•高邮市期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．（1）不等式x≥2x≤2的“云不等式”：（填“是”或“不是”）．（2）若关于x的不等式x+2m≥0不是2x﹣3＜x+1的“云不等式”，求m的取值范围；（3）若a≠﹣1，关于x的不等式x+3＞a与不等式ax﹣1≤a﹣x互为“云不等式”，求a的取值范围．【分析】（1）根据云不等式的定义即可求解；（2）解不等式x+2m≥0可得x≥﹣2m，解不等式2x﹣3＜x+1得x＜4，再根据云不等式的定义可得﹣2m ＞3，解不等式即可求解；（3）分两种情况讨论根据云不等式的定义得到含a的不等式，解得即可．【解答】解：（1）∵不等式x≥2和不等式x≤2有公共整数解2，∴不等式x≥2是x≤2的“云不等式”，故答案为：是；（2）解不等式x+2m≥0可得x≥﹣2m，解不等式2x﹣3＜x+1得x＜4，∵关于x的不等式x+2m≥0不是2x﹣3＜x+1的“云不等式”，∴﹣2m≥4，解得m ≤﹣2．故m 的取值范围是m ≤﹣2；（3）①当a +1＞0时，即a ＞﹣1时，依题意有a ﹣3＜1，即a ＜4，故﹣1＜a ＜4；②当a +1＜0时，即a ＜﹣1时，始终符合题意，故a ＜﹣1；综上，a 的取值范围为a ＜﹣1或﹣1＜a ＜4．【点评】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．【变式9-1】（2020春•椒江区期末）规定min （m ，n ）表示m ，n 中较小的数（m ，n 均为实数，且mn ），例如：min {3，﹣1}＝﹣1，、min {√2，√3}=√2据此解决下列问题：（1）min {−12，−13}= −12 ；（2）若min {2x−13，2}=2，求x 的取值范围；（3）若min {2x ﹣5，x +3}＝﹣2，求x 的值．【分析】（1）利用题中的新定义确定出所求即可；（2）利用题中的新定义得出2x−13≥2，计算即可求出x 的取值；（3）利用题中的新定义分类讨论计算即可求出x 的值．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：min {−12，−13}=−12；故答案为：−12；（2）由题意2x−13≥2，解得：x ≥3.5；（3）若2x ﹣5＝﹣2，解得：x ＝1.5，此时x +3＝4.5＞﹣2，满足题意；若x +3＝﹣2，解得：x ＝﹣5，此时2x ﹣5＝﹣15＜﹣2，不符合题意，综上，x ＝1.5．【点评】此题考查了解一元一次不等式，弄清题中的新定义是解本题的关键．【变式9-2】（2020春•丹阳市校级期末）定义一种新运算“a ※b ”：当a ≥b 时，a ※b ＝2a +b ；当a ＜b 时，a ※b ＝2a ﹣b ．例如：3※（﹣4）＝2×3+（﹣4）＝2，（﹣6）※12＝2×（﹣6）﹣12＝﹣24．（1）填空：（﹣2）※3＝ ；（2）若（3x ﹣4）※（2x +3）＝2（3x ﹣4）+（2x +3），则x 的取值范围为 ；（3）已知（2x ﹣6）※（9﹣3x ）＜7，求x 的取值范围；（4）小明在计算（2x 2﹣2x +4）※（x 2+4x ﹣6）时随意取了一个x 的值进行计算，得出结果是0，小丽判断小明计算错了，小丽是如何判断的？请说明理由．【分析】（1）根据公式计算可得；（2）结合公式知3x ﹣4≥2x +3，解之可得；（3）由题意可得{2x −6≥9−3x 2(2x −6)+(9−3x)＜7或{2x −6＜9−3x 2(2x −6)−(9−3x)＜7，分别求解可得； （4）先利用作差法判断出2x 2﹣2x +4＞x 2+4x ﹣6，再根据公式计算（2x 2﹣2x +4）※（x 2+4x ﹣6）即可．【解答】解：（1）（﹣2）※3＝2×（﹣2）﹣3＝﹣7，故答案为：﹣7；（2）∵（3x ﹣4）※（2x +3）＝2（3x ﹣4）+（2x +3），∴3x ﹣4≥2x +3，解得：x ≥7，故答案为：x ≥7．（3）由题意知{2x −6≥9−3x 2(2x −6)+(9−3x)＜7或{2x −6＜9−3x 2(2x −6)−(9−3x)＜7， 解得：x ＜10；（4）∵2x 2﹣2x +4﹣（x 2+4x ﹣6）＝x 2﹣6x +10＝（x ﹣3）2+1＞0∴2x 2﹣2x +4＞x 2+4x ﹣6，原式＝2（2x 2﹣2x +4）+（x 2+4x ﹣6）＝4x 2﹣4x +8+x 2+4x ﹣6＝5x 2+4；∴小明计算错误．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤和弄清新定义是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．【变式9-3】（2019秋•九龙坡区校级月考）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程2x ﹣6＝0的解为x ＝3，不等式组{x −2＞0x ＜5的解集为2＜x ＜5．因为2＜3＜5．所以称方程2x ﹣6＝0为不等式组{x −2＞0x ＜5的相伴方程．（1）若关于x 的方程2x ﹣k ＝2是不等式组{3x −6＞4−x x −1≥4x −10的相伴方程，求k 的取值范围；（2）若方程2x +4＝0，2x−13=−1都是关于x 的不等式组{(m −2)x ＜m −2x +5≥m的相伴方程，求m 的取值范围；（3）若关于x 的不等式组{−x ＞−2x +12x ≤n +2的所有相伴方程的解中，有且只有2个整数解，求n 的取值范围．【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，根据相伴方程的定义列出关于k 的不等式组，解之即可；（2）先求出方程的解和不等式组的解集，分m ＞2和m ＜2讨论，即可得出答案； （3）先求出不等式组的解集，然后根据题意列出不等式即可求出答案．【解答】解：（1）∵不等式组为{3x −6＞4−x x −1≥4x −10，解得52＜x ≤3， ∵方程为2x ﹣k ＝2，解得x =2+k2， ∴根据题意可得，52＜k+22≤3，∴解得：3＜k ≤4， 故k 取值范围为：3＜k ≤4． （2）∵方程为2x +4＝0，2x−13=−1，解得：x ＝﹣2，x ＝﹣1；∵不等式组为{(m −2)x ＜m −2x +5≥m ，当m ＜2时，不等式组为{x ＞1x ≥m −5，此时不等式组解集为x ＞1，不符合题意，舍； ∴当m ＞2时不等式组解集为m ﹣5≤x ＜1，∴根据题意可得，{m ＞2m −5≤−2，解得2＜m ≤3；故m 取值范围为：2＜m ≤3．（3）∵不等式组为{−x ＞−2x +12x ≤n +2，解得1＜x ≤n+22，根据题意可得，3≤n+22＜4，解得4≤n ＜6， 故n 取值范围为4≤n ＜6．【点评】本题考查了新定义，解一元一次方程和一元一次不等式组，理解相伴方程的定义是解题关键，属于中档题．【考点10 不等式（组）的应用（程序框图）】【例10】（2020春•渝中区校级期末）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x 的取值范围是（ ）A ．2＜x ≤4B ．2≤x ＜4C ．2＜x ＜4D ．2≤x ≤4【分析】根据程序运算进行了3次才停止，即可得出关于x 的一元一次不等式组，解之即可得出x 的取值范围．【解答】解：依题意，得：{3(3x −2)−2≤283[3(3x −2)−2]−2＞28，解得：2＜x ≤4． 故选：A ．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．【变式10-1】（2020春•南岸区期末）如图，规定程序运行到“判断结果是否大于100”为第一次运算，若运算进行了三次才停止，则满足条件的整数x 的个数为 ．【分析】由该运算进行了三次才停止，即可得出关于x 的一元一次不等式组，解之即可得出x 的取值范围，再结合x 为正整数即可得出结论．【解答】解：依题意，得：{3(3x −1)−1≤1003[3(3x −1)−1]−1＞100，。
专题1.2 一元一次不等式与不等式组章末重难点题型(举一反三)(沪科版)(解析版)
专题1.2 一元一次不等式与不等式组章末重难点题型【沪科版】【考点1 不等式的基本性质】【方法点拨】不等式的两边都加上（或减去）同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
【例1】（2019春•南平期中）下列四个不等式：（1）ac＞bc；（2）﹣ma＜mb；（3）ac2＞bc2；（4）＞1，一定能推出a＞b的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据不等式的性质逐个判断即可求得答案．【答案】解：在（1）中，当c＜0时，则有a＜b，故不能推出a＞b，在（2）中，当m＞0时，则有﹣a＜b，即a＞﹣b，故不能推出a＞b，在（3）中，由于c2＞0，则有a＞b，故能推出a＞b，在（4）中，当b＜0时，则有a＜b，故不能推出a＞b，综上可知一定能推出a＞b的只有（3），故选：A．【点睛】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键，特别是在不等式的两边同时乘或除以一个不为0的数或因式时，需要确定该数或因式的正负．【变式1-1】（2018春•江汉区期末）若a＞b，则下列结论：①a+x＞b+x；②＞；③ax2＞bx2；④ab＜b2；⑤﹣|a|＜﹣|b|．其中一定成立的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可．【答案】解：①∵a＞b，∴根据不等式的基本性质1可得：a+x＞b+x；所以，正确的个数为1个；②当x＜0时，＞不成立；③ax2＞bx2；④当b＞0时，ab＜b2不成立；⑤当0＞a＞b时，﹣|a|＜﹣|b|不成立．故选：A．【点睛】主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【变式1-2】（2019春•冠县期末）下列式子正确的是（）A．若＜，则x＜y B．若bx＞by，则x＞yC．若＝，则x＝y D．若mx＝my，则x＝y【分析】根据不等式的基本性质，以及等式的性质，逐项判断即可．【答案】解：∵若＜，则a＞0时，x＜y，a＜0时，x＞y，∴选项A不符合题意；∵若bx＞by，则b＞0时，x＞y，b＜0时，x＜y，∴选项B不符合题意；∵若＝，则x＝y，∴选项C符合题意；∵若mx＝my，且m＝0，则x＝y或x≠y，∴选项D不符合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质，以及等式的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变【变式1-3】（2019春•宜宾县校级期中）若ab＜0，且a＜b，下列解不等式正确的是（）A．由ax＜b，得x＜B．由（a﹣b）x＞2，得x＞C．由bx＜a，得x＞D．由（b﹣a）x＜2，得x＜【分析】先求出a，b的大小关系，再运用不等式的基本性质判定．【答案】解：∵ab＜0，且a＜b，∴a＜0＜b．A、由ax＜b，得x＞，故A选项错误；B、由（a﹣b）x＞2，得x＜，故B选项错误；C、由bx＜a，得x＜），故C选项错误；D、由（b﹣a）x＜2，得x＜，故D选项正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是确定x系数的正负值．【考点2 由实际问题抽象出一元一次不等式】【方法点拨】由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．【例2】（2019春•湘桥区期末）某种商品的进价为600元，出售时标价为900元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最低可打（）A．6折B．7折C．8折D．9折【分析】设该商品打x折销售，根据利润＝销售价格﹣进价结合利润率不低于5%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【答案】解：设该商品打x折销售，依题意，得：900×﹣600≥600×5%，解得：x≥7．故选：B．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．【变式2-1】（2019春•威远县校级期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式为（）A．8（x﹣1）＜5x+12＜8 B．0＜5x+12＜8xC．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．8x＜5x+12＜8【分析】设有x人，由于每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，则苹果有（5x+12）个；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果，就是苹果数﹣8（x﹣1）大于0，并且小于8，根据不等关系就可以列出不等式【答案】解：设有x人，则苹果有（5x+12）个，由题意得：0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8，故选：C．【点睛】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．【变式2-2】（2019春•肥城市期中）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队预计在2016﹣2017赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛．假设这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到目标，x应满足的关系式是（）A．2x+（32﹣x）≥48 B．2x﹣（32﹣x）≥48C．2x+（32﹣x）≤48 D．2x≥48【分析】根据题意表示出胜与负所得总分数大于等于48，进而得出不等关系．【答案】解：这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到目标，x应满足的关系式是：2x+（32﹣x）≥48．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等关系是解题关键．【变式2-3】（2019•江北区一模）某商店将定价为3元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．小聪有27元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小聪可以购买该种商品x件，则根据题意，可列不等式为（）A．3×5+3×0.8x≤27 B．3×5+3×0.8x≥27C．3×5+3×0.8（x﹣5）≤27 D．3×5+3×0.8（x﹣5）≥27【分析】设小聪可以购买该种商品x件，根据总价＝3×5+3×0.8×超出5件的部分结合总价不超过27元，即可得出关于x的一元一次不等式，此题得解．【答案】解：设小聪可以购买该种商品x件，根据题意得：3×5+3×0.8（x﹣5）≤27．故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．【考点3 解一元一次不等式】【方法点拨】解一元一次不等式组的步骤：（1）求出每个不等式的解集；（2）求出每个不等式的解集的公共部分；（一般利用数轴）（3）用代数符号语言来表示公共部分。
沪科版七年级数学下册第七章 一元一次不等式与不等式组 同步测试及解析.doc
安徽省宣城市孙埠中学七年级数学下（沪科版）第七章 一元一次不等式与不等式组 同步测试及解析一、填空（每小题3分，共30分）1.如果b a <，则a 321-b 321-（用“＞”或“＜”填空）. 2.当x 时，式子53-x 的值大于35+x 的值. 3.满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--->-x x x 211221的整数解为 . 4.不等式x x ->+2541的负整数解是 . 5.某足协举办了一次足球比赛，计分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分.若甲队比赛了5场后的积7分，则甲队平 场.6.若不等式组⎩⎨⎧<->-10a x a x 的解集中任何一个x 的值均在52≤≤x 的范围内，则a 的取值范围是 . 7.k 满足 时，方程3322+-=--x k x x 的解是正数. 8.不等式组⎩⎨⎧+≥-<-63622x x x 的解集是 . 9.已知不等式04≤-a x 的正整数解是1，2，则a 的取值范围是 .10.尚明要到离家5千米的某地开会，若他6时出发，计划8时前赶到，那么他每小时至少走 千米.二、选择（每小题3分，共30分）11.若0<<n m ，那么下列结论错误的是（ ）A.99-<-n mB.n m ->-C.m n 11> D.1>n m 12.一个数x 的31与-4的差不小于这个数的2倍加上5所得的和，则可列不等式是（ ） A.52431+>--x x B.52431+>+x x C.52431+≥-x x D.52431+≥+-x x 13.已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧+<-≥-122b a x b a x 的解集为53<≤x ，则a b 的值是( ) A.21- B.-2 C.-4 D.41- 14.若不等式组⎩⎨⎧><nx x 8有解，那么n 的取值范围是（ ）A.8>nB.8≤nC. 8<nD.8≤n15.已知253<-x k ，若要使x 不为负数，则k 的取值范围是（ ）A.32-<k B.32>k C.32≥k D.32≤k 16.若不等式6432+≥-x a x 的解集是4-≤x ，则a 的值是( ) A.34 B.22 C.-3 D.017.一家三口准备参加旅行团外出旅游，甲旅行社告知:“父母买全票，女儿按半价优惠.”乙旅行社告知：“家庭旅游可按团体票价，即每人均按全价的54收费.”若这两家旅行社的票价相同，那么（ ） A.甲比乙优惠 B.乙比甲优惠 C. 甲与乙相同 D.与原来票价相同18.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-<-622131m x m x 的解集是36+<m x ，则m 的取值范围是（ ）A. 0≤mB.0=mC. 0>mD.0<m19.已知31<<x ，化简13-+-x x 等于（ ）A.x 2B.-2C.2D.x 2-20.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤-->-x x x x 32311315的整数解的和为（ ） A.1 B.0 C.-1 D.-2三、解答题（60分）21．求下列不等式（组）的解集(8分) ⑴x x x ++≤--332311 ⑵⎪⎩⎪⎨⎧-<--≥+-xx x x 6)1(31324 22.求使不等式74756+>+x x 和3443)2(8+<+-x x 同时成立的自然数x .（8分） 23.如果52>m ，求不等式125-<x mx 的解集.（8分） 24.若不等式组⎩⎨⎧<->a x a x 无解，那么不等式⎩⎨⎧<+>-11a x a x 有没有解？若有解，请求出不等式组的解集；若没有请说明理由？（8分）25.已知不等式61254<--x 的负整数解是方程ax x =-32的解，试求出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+>--a x x a x 25133)(7的解集.（8分）生活应用：26.某体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共100只，付款总额不得超过11815元，已知两⑵若该商场把100只球全部以零售价售出，为使商场的利润不低于2580元，则采购员至少要购篮球多少只？该商场最多可盈利多少元？（10分）27.2008年北京奥运会的比赛门票开始接受公众预订．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷准备用8000元预订10张下表中比赛项目的门票．（1）若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票，问他可以订男篮门票和乒乓球门票各多少张？（2）若在现有资金8000元允许的范围内和总票数不变的前提下，他想预订下表中三种球类门票，其中男篮门票数与足球门票数相同，且乒乓球门票的费用不超过男篮门票的费用，求他能预订三种球类门票各多少张？一，填空 1.＞ 解析：在b a <的两边同时乘以-3，再同时加上21，即可得到. 2.4-<x 解析：由题意知3553+>-x x ，故可得4-<x3. -2，-1，0，1 解析：不等式组的解集为13≤<-x ， 故整数解为-3，-2，-1，0，1.4.-2, -1 解析：不等式组的解集为512->x ，故负整数解为-1.-2 5.1场或4场 解析：设甲队胜了x 场，平了y 场.由题意可得⎩⎨⎧≤≤=+5073y y x 可求得3732≤≤x ，x 取整数为1，2，可求得y =4或1.6.42≤≤a 解析：不等式组的解集为a x a +<<1由题意知，不等式所有的解均在52≤≤x 的范围内，所以可得⎩⎨⎧≤+≥512a a 故可得42≤≤a .7.k ＜2 解析：方程的解为536k x -=，由于方程的解为正数，所以0>x ，即0536>-k ，故k ＜2. 8.23-≤x 9.128<≤a 解析：不等式的解集是4a x ≤，由题意可知，342<≤a 故128<≤a . 10.2.5 解析：设每小时走x 千米，可得52≥x ，求得5.2≥x ，故每小时至少走2.5千米. 二、选择11.C12.B 解析：理解“不小于”的意思.13.B 解析：不等式化为⎪⎩⎪⎨⎧++≤+≥212a b x b a x ，所以不等式组的解集为212++≤≤+a b x b a 由题意可得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+52123a b b a ，解之得⎩⎨⎧=-=63b a ，故2-=a b . 14.C 解析：由不等式的解集确定的方法可以得到.15.C 解析：由不等式得523->k x ，由于x 不为负，所以0523≥-k ，求得32≥k ，故选C. 16.B 解析：由不等式可得1018--≤a x ，由题意得41018-=--a ，1求得a =22,故选B. 17.B 解析：设票价为a 元，则甲旅行社的收费=2a +a 21=2.5a ；乙旅行社的收费=a 54×3=2.4a .因为a ＞0，所以2.4a .＜2.5a ，故乙比甲便宜，选B.18.A 解析：不等式组化为⎪⎩⎪⎨⎧+<+<2636m x m x ，由题意得， 2636m m +≤+，可得0≤m ，故选A. 19.C 解析：原式=3-x +x -1=2,故选C.20.A 解析：不等式组的解集为10≤<x ，整数解为1，故和为1，选A.三、解答题21.⑴61≥x ⑵21≤<-x 22.4，5，6，7，8，9，10，11 解析：由题意知，可列不等式组为⎪⎩⎪⎨⎧+<+-+>+3443)2(874756x x x x ，解不等式组可得447722<<x ，x 取自然数为4，5，6，7，8，9，10，11. 23.251--<m x 解析：由题意知 不等式可以化为1)25(-<-m x ，因为52>m ，所以5m -2＞0，故可得251--<m x . 24.不等式组有解，解集为a x a -<<+11.解析：由已知条件知-a ≥a ,得a ≤0 ；作差=2a ＜0，所以a+1＜1-a ,故不等式组⎩⎨⎧<+>-11a x a x ，有解，解集为a x a -<<+11. 25.15219<<x 解析：解不等式可得2->x ，x 取负整数为-1.把1-=x 代入ax x =-32中可得a =5.把a =5代入不等式组得⎪⎩⎪⎨⎧<+>--525133)5(7x x x ，求得解集为15219<<x . 26. 解：（1）设采购员最多可购进篮球x 只，则排球是（100－x ）只，依题意得：()13010010011815x x +-≤．解得60.5x ≤． ∵x 是整数 ，∴x =60．答：购进篮球和排球共100只时，该采购员最多可购进篮球60只．（2）由表中可知篮球的利润大于排球的利润，因此这100只球中，当篮球最多时，商场可盈利最多，即篮球60只，此时排球40只，商场可盈利()()160130601201004018008002600-⨯+-⨯=+=（元）．即该商场可盈利2600元．27. 解：（1）设预订男篮门票x 张，则乒乓球门票(10)x -张．由题意得1000500(10)8000x x +-=，解得6x =．104x ∴-=．答：可订男篮门票6张，乒乓球门票4张．（2）设男篮门票与足球门票都订a 张，则乒乓球门票(102)a -张．由题意，得1000800500(102)8000500(102)1000.a a a a a ++-⎧⎨-⎩≤，≤ 解得132324a ≤≤． 由a 为正整数可得3a =．答：他能预订男篮门票3张，足球门票3张，乒乓球门票4张．初中数学试卷桑水出品。
沪科版七年级数学下册第七章 一元一次不等式与不等式组.docx
第七章 一元一次不等式与不等式组一、知识总结（一）不等式及其性质1、不等式：（1）定义用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.（2）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
（3）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程叫做解不等式。
不等式的解集与不等式的解的区别：解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值。
二者的关系是：解集包括解,所有的解组成了解集。
（4）解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式。
2、不等式的基本性质性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。
即：如果b >a ，那么c b c ±>±a .性质2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
即：如果b >a ，并且0c >，那么bc >ac ；cb c >a . 性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
即：如果b >a ，并且0c <，那么bc <ac ；c b c <a . 性质4：如果b >a ，那么a <b .（对称性）性质5：如果b >a ,c >b ,那么c >a .（传递性）（二）一元一次不等式1、定义：含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。
2.一元一次不等式的解法：根据是不等式的基本性质；一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变。
沪科版九年级数学中考复习一元一次不等式(组)的应用(含答案)
word版初中数学沪科版九年级数学中考复习一元一次不等式(组)的应用（含答案）一、选择题1. (·齐齐哈尔)为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3 000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买()A. 16个B. 17个C. 33个D. 34个2. (·台湾)已知在卡乐芙超市内购物总金额超过190元时，购物总金额有打8折的优惠，安妮带200元到卡乐芙超市买棒棒糖．若棒棒糖每根9元，则她最多可买棒棒糖()A. 22根B. 23根C. 27根D. 28根二、填空题3. (·台州)商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为________元/千克．4. (·牡丹江)某种商品的进价为每件100元，商场按进价提高50%后标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则至多可以打________折．三、解答题5. (·沈阳)小明要代表班级参加学校举办的消防知识竞赛，共有25道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分，只有得分超过90分才能获得奖品，问小明至少答对多少道题才能获得奖品？6. (·贵港)某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分超过15分才能获得参赛资格．(1) 已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；(2) 如果乙队要获得参加决赛的资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？7. (·邵阳)某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满．已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17.(1) 求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；(2) 由于最后参加活动的人数增加了30，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值．8. (·泰安)某水果商从批发市场用8 000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．(1) 大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？(2) 该水果商第二次仍用8 000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%.若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？9. (·聊城)在推进城乡义务教育均衡发展工作中，我市某区政府通过公开招标的方式为辖区内全部乡镇中学采购了某型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑，其中，A乡镇中学更新学生用电脑110台和教师用笔记本电脑32台，共花费30.5万元；B乡镇中学更新学生用电脑55台和教师用笔记本电脑24台，共花费17.65万元．(1) 该型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑的单价分别是多少万元？(2) 经统计，全部乡镇中学需要购进的教师用笔记本电脑台数比购进的学生用电脑台数的15少90，在两种电脑的总费用不超过预算438万元的情况下，至多能购进的学生用电脑和教师用笔记本电脑各多少台？10. (·桂林)为进一步促进义务教育运恒发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5 000万元，年投入基础教育经费7 200万元．(1) 求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率．(2) 如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1 500台，调配给农村学校．若购买一台电脑需3 500元，购买一台实物投影仪需2 000元，则最多可购买电脑多少台？11. (·温州)小黄准备给长8米、宽6米的矩形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个矩形ABCD区域Ⅰ(涂色部分)和一个环形区域Ⅱ(空白部分)，其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ∥AD，如图所示．(1) 若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元/米2，面积为S(米2)，区域Ⅱ的瓷砖均价为200元/米2，且两区域的瓷砖总价不超过12 000元，求S的最大值．(2) 若区域Ⅰ满足AB∶BC＝2∶3，区域Ⅱ四周宽度相等．①求AB，BC的长；②若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/米2，乙、丙瓷砖单价之比为5∶3，且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4 800元，求丙瓷砖单价的取值范围．第11题12. (·鸡西)由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销．某药店准备购进一批口罩，已知1个A型口罩和3个B型口罩共需26元；3个A型口罩和2个B型口罩共需29元．(1) 一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？(2) 药店准备购进这两种型号的口罩共50个，其中A 型口罩的数量不少于35个，且不多于B型口罩的3倍，有哪几种购买方案，哪种方案最省钱？13. (·东营)为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A，B 两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7 800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5 400万元．(1) 改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？(2) 该县计划改扩建A，B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付资金不超过11 800万元；地方财政投入资金不少于4 000万元，其中地方财政投入到A，B两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元．请问共有哪几种改扩建方案？14. (·天水)天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两行环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．(1) 购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？(2) 预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B 型公交车的总费用不超过1 220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？2. 一元一次不等式(组)的应用一、 1. A 2. C 二、 3. 10 4. 8三、 5. 设小明答对了x 道题．根据题意，得6x ＋(25－x)×(－2)>90，解得x ≥1712.∵ x 为非负整数，∴ x 至少为18.∴ 小明至少答对18道题才能获得奖品6. (1) 设甲队胜了x 场，则负了(10－x)场．根据题意，得2x ＋10－x ＝18，解得x ＝8，此时10－x ＝2.∴ 甲队胜了8场，负了2场 (2) 设乙队在初赛阶段胜a 场．根据题意，得2a ＋(10－a)>15，解得a>5，∴ a 的最小整数值为6.∴ 乙队在初赛阶段至少要胜6场7. (1) 设每辆小客车的乘客座位数是x ，大客车的乘客座位数是y.根据题意，得⎩⎨⎧y －x ＝17，6y ＋5x ＝300，解得⎩⎨⎧x ＝18，y ＝35.∴ 每辆小客车的乘客座位数是18，大客车的乘客座位数是35 (2) 设租用a 辆小客车．根据题意，得18a ＋35(11－a)≥300＋30，解得 a ≤3417，∴ 符合条件的a 的最大整数值为3.∴ 租用小客车数量的最大值为38. (1) 设小樱桃的进价为每千克x 元，大樱桃的进价为每千克y 元．根据题意，得⎩⎨⎧200x ＋200y ＝8 000，y －x ＝20，解得⎩⎨⎧x ＝10，y ＝30，∴ 200×[(40－30)＋(16－10)]＝3 200(元)．∴ 小樱桃的进价为每千克10元，大樱桃的进价为每千克30元，销售完后，该水果商共赚了3 200元 (2) 设大樱桃的售价为a 元/千克．根据题意，得(1－20%)×200×16＋200a －8 000≥3 200×90%，解得a ≥41.6.∴ 大樱桃的售价最少应为41.6元/千克9. (1) 设该型号的学生用电脑的单价为x 万元，教师用笔记本电脑的单价为y 万元．依题意，得⎩⎨⎧110x ＋32y ＝30.5，55x ＋24y ＝17.65，解得⎩⎨⎧x ＝0.19，y ＝0.3.∴ 该型号的学生用电脑的单价为0.19万元，教师用笔记本电脑的单价为0.3万元 (2) 设能购进的学生用电脑为m 台，则能购进的教师用笔记本电脑为⎝⎛⎭⎫15m －90台．依题意，得0.19m ＋0.3×⎝⎛⎭⎫15m －90≤438，解得m ≤1 860.此时15m －90≤15×1 860－90，即15m －90≤282.∴ 至多能购进学生用电脑1 860台，教师用笔记本电脑282台10. (1) 设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x.根据题意，得 5 000(1＋x)2＝7 200，即(1＋x)2＝3625，解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(不合题意，舍去)．∴ 该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20% (2) 2018年投入基础教育经费为7 200×(1＋20%)＝8 640(万元)．设购买电脑m 台，则购买实物投影仪(1 500－m)台．根据题意，得 3 500m ＋2 000(1 500－m)≤86 400 000×5%，解得m ≤880.∴ 最多可购买电脑880台11. (1) 由题意，得300S ＋200(6×8－S)≤12 000，解得S ≤24，∴ S 的最大值为24 (2) ① 设区域Ⅱ四周宽度为a 米，则由题意，得(6－2a)∶(8－2a)＝2∶3，解得a ＝1，∴ AB ＝6－2a ＝4米，BC ＝8－2a ＝6米．∴ AB ，BC 的长分别为 4米，6米 ② 设乙、丙瓷砖的单价分别为5x 元/米2和 3x 元/米2，则甲的单价为(300－3x)元/米2.∵ PQ ∥AD ，∴ 两块甲瓷砖的面积和为2S 甲＝12S矩形ABCD＝12×4×6＝12(米2)．设两块乙瓷砖的面积和为W 米2，则丙的面积为(12－W)米2.由题意，得12(300－3x)＋5x ·W ＋3x ·(12－W)＝4 800，解得W ＝600x .∵ 0<W<12，∴ 0<600x<12，解得x>50.又∵ 300－3x>0，即x<100，∴ 50<x<100，此时150<3x<300.∴ 丙瓷砖单价范围为大于150元/米2，且小于300元/米212. (1) 设一个A 型口罩的售价是a 元，一个B 型口罩的售价是b 元．依题意，有⎩⎨⎧a ＋3b ＝26，3a ＋2b ＝29，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝7.∴ 一个A 型口罩的售价是5元，一个B 型口罩的售价是7元 (2) 设购进A 型口罩x 个，B 型口罩y 个．依题意，有⎩⎨⎧x ≥35，x ≤3（50－x ），解得35≤x ≤37.5.∵ x 为整数，∴ x ＝35，36，37.三种方案如下表：按方案一购进需要5×35＋7×15＝280(元)，按方案二购进需要5×36＋7×14＝278(元)，按方案三购进需要5×37＋7×13＝276(元)．∵ 280>278>276，∴ 方案三(购进A 型口罩37个，B 型口罩13个)最省钱13. (1) 设改扩建1所A 类学校需资金x 万元，改扩建1所B 类学校需资金y 万元．由题意，得⎩⎨⎧2x ＋3y ＝7 800，3x ＋y ＝5 400，解得⎩⎨⎧x ＝1 200，y ＝1 800，∴ 改扩建1所A 类学校需资金1 200万元，改扩建1所B 类学校需资金1 800万元 (2) 设A 类学校有a 所，则B 类学校有(10－a)所．由题意，得⎩⎨⎧（1 200－300）a ＋（1 800－500）（10－a ）≤1 1800，300a ＋500（10－a ）≥4 000，解得3≤a ≤5，∴ 整数a ＝3，4，5.从而有下列3种改扩建方案，方案一：A 类学校有3所，B 类学校有7所；方案二：A 类学校有4所，B 类学校有6所；方案三：A 类学校有5所，B 类学校有5所14. (1) 设购买A 型公交车每辆需x 万元，购买B 型公交车每辆需y 万元．由题意，得⎩⎨⎧x ＋2y ＝400，2x ＋y ＝350，解得⎩⎨⎧x ＝100，y ＝150，∴ 购买A 型公交车每辆需100万元，购买B 型公交车每辆需150万元 (2) 设购买A 型公交车a 辆，则购买B型公交车(10－a)辆．由题意，得⎩⎨⎧100a ＋150（10－a ）≤1 220，60a ＋100（10－a ）≥650，解得285≤a ≤354.∵ a 是整数，∴ a ＝6，7，8，此时10－a ＝4，3，2.∴ 该公司共有下列三种购车方案：① 购买A 型公交车6辆，B 型公交车4辆，需要费用100×6＋150×4＝1 200(万元)；② 购买A 型公交车7辆，B 型公交车3辆，需要费用100×7＋150×3＝1 150(万元)；③ 购买A 型公交车8辆，B 型公交车2辆，需要费用100×8＋150×2＝1 100(万元)．∵ 1 200>1 150>1 100，∴ 购买A 型公交车8辆，B 型公交车2辆费用最少，最少总费用为1 100万元。
专题7.6一元一次不等式(组)中的含参问题专项训练(30道)(举一反三)(沪科版)(原卷版)
专题7.6 一元一次不等式（组）中的含参问题专项训练（30道）【沪科版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择题10道，填空题10道，解答题10道，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，综合性较强！一．选择题（共10小题）1．（2021秋•通道县期末）不等式2（1﹣2x ）≤12﹣6x 最大整数解是2x a−x =4a的解，则a 的值是（ ）A ．43B ．65C ．0D ．﹣22．（2021秋•苏州期末）已知x ＝2不是关于x 的不等式2x ﹣m ＞4的整数解，x ＝3是关于x 的不等式2x ﹣m ＞4的一个整数解，则m 的取值范围为（ ） A ．0＜m ＜2B ．0≤m ＜2C ．0＜m ≤2D ．0≤m ≤23．（2021春•宁乡市期末）已知关于x 的不等式（2a ﹣b ）x +a ﹣5b ＞0的解集为x ＜107，则关于x 的不等式ax ＞b ﹣a 的解集为（ ） A ．x ＜﹣3B ．x ＞﹣5C ．x ＜−25D ．x ＞−254．（2021秋•沙坪坝区校级期末）已知关于x 、y 的二元一次方程组{3x +2y =−a −1x −29y =a +139的解满足x ≥y ，且关于s 的不等式组{s ＞a−73s ≤1恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a 的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．（2021秋•北碚区校级期末）若关于x 的不等式组{x 2−1＜2−x 3a −3x ≤4x −2有且仅有3个整数解，且关于y 的方程a−y 3=2a−y 5+1的解为负整数，则符合条件的整数a 的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．（2021秋•沙坪坝区校级期末）若整数m 使得关于x 的不等式组{2x+m 3−5x+m2≤15x −1＜3(x +1)有且只有三个整数解，且关于x ，y 的二元一次方程组{3x −y =mx +y =−1的解为整数（x ，y 均为整数），则符合条件的所有m 的和为（ ）A ．27B ．22C ．13D ．97．（2021秋•冷水滩区期末）已知不等式组{x +a ＞12x +b ＜2的解集为﹣2＜x ＜3，则（a +b ）2021的值为（ ）A ．﹣1B ．2021C ．1D ．﹣20218．（2021春•巴南区校级月考）关于x ，y 的二元一次方程组{ax +y =93x −y =1的解为正整数（x ，y 均为正整数）且关于t 的不等式组{13(2t +24)≥9，1+t ＜2(12a +1)无解，则所有满足条件的整数a 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．（2021秋•北仑区期中）已知关于x 的不等式{3x −a ≥2x2x +a ≤6无解，则a 的取值范围为（ ）A ．a ＜2B ．a ＞2C ．a ≤2D ．a ≥210．（2021秋•西湖区校级期中）整数a 使得关于x 的不等式组{6−2x ＞02(x +a)≥x +3至少有4个整数解，且关于y 的方程1﹣3（y ﹣2）＝a 有非负整数解，则满足条件的整数a 的个数是（ ） A ．6个B ．5个C ．3个D ．2个二．填空题（共10小题）11．（2021秋•西湖区校级期中）若x ＝3是关于x 的不等式x ＞2（x ﹣a ）的一个解，则a 的取值范围是 ． 12．（2021春•高邮市校级期末）若不等式a ≤x ≤a +1中每一个x 的值，都不是不等式1＜x ＜3的解，则a 的取值范围是 ．13．（2021春•岳麓区月考）已知关于x 的不等式（3a ﹣2b ）x ＜a ﹣4b 的解集是x ＞−23，则关于x 的不等式bx ﹣a ＞0的解集为 ．14．（2021秋•东营期末）关于x ，y 的二元一次方程组{3x +y =1+3a x +3y =1−a 的解满足不等式x +y ＞0，则a 的取值范围是 ．15．（2021春•南岗区校级月考）已知关于x 的不等式3x +m ﹣4＜0的最大整数解为﹣2，m 的取值范围是 ．16．（2018秋•华容县期末）若关于x 的不等式组{2x −b ≥0，x +a ≤0的解集为3≤x ≤4，则关于x 的不等式ax +b＜0的解集为 ．17．（2021春•武侯区校级月考）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．若方程10﹣x ＝x 、9+x ＝3x +1都是关于x 的不等式组{x +m ＜2x x −3≤m的相伴方程，则m 的取值范围为 ．18．（2020秋•简阳市 期末）已知关于x 、y 的二元一次方程组{2x +y =5ax −y =a +3的解满足x ＞y ，且关于x 的不等式组{2x−114≥372x +1＜2a无解，那么所有符合条件的整数a 的和为 ． 19．（2020秋•西湖区期末）对于任意实数p ，q ，定义一种运算：p @q ＝p ﹣q +pq ，例如2@3＝2﹣3+2×3＝5．请根据上述定义解决问题：若关于x 的不等式组{2@x ＜4x@2≥m ；有3个整数解，则m 的取值范围为 ．20．（2021春•南康区期末）已知m 、n 是整数，如果关于x 的不等式组{2x −m ≥0n −2x ≥0仅有三个整数解：﹣1，0，1，则mn 的值为 ． 三．解答题（共10小题）21．（2021春•丰台区校级期末）如果关于x 的方程1+x ＝m 的解也是不等式组{x−12＞x −32(x −3)≤x −4的一个解，求m 的取值范围．22．（2021春•聊城期末）若关于x ，y 的二元一次方程组{x +y =5k +2x −y =k 的解满足0＜x ﹣2y ＜1，求k 的取值范围．23．（2021春•临潼区期末）（1）若关于x 的不等式x ＜a 的解集中的任意x ，都能使不等式x−12＜1成立，求a 的取值范围；（2）若关于x 的不等式组{x−24＜x−132x −m ≤2−x有且只有两个整数解，求m 的取值范围．24．（2022•拱墅区校级开学）已知关于x 、y 的方程组{2x −y =−1x +2y =5a −8的解都为非负数．（1）求a 的取值范围；（2）已知2a ﹣b ＝1，求a +b 的取值范围；（3）已知a ﹣b ＝m （m 是大于1的常数），且b ≤1，求2a +b 最大值．（用含m 的代数式表示） 25．（2021春•大竹县校级月考）（1）已知方程组{3x +2y =m +12x +y =m −1，当m 为何值时，x ＞y ？（2）如果不等式2x−a 3＞a 2−1与xa＜2的解集完全相同，求a 的值．26．（2021春•孝南区月考）已知方程组{x +y =−7−mx −y =1+3m 的解满足x 为非正数，y 为负数．（1）求m 的取值范围；（2）化简：|m ﹣5|﹣|m +2|；（3）在m 的取值范围内，当m 为何整数时，不等式2mx +x ＜2m +1的解为x ＞1． 27．（2021春•江都区校级月考）已知：x ，y 满足3x ﹣4y ＝5． （1）用含x 的代数式表示y ，结果为 ； （2）若y 满足﹣1＜y ≤2，求x 的取值范围；（3）若x ，y 又满足x +2y ＝a ，且x ＞3y ，求a 的取值范围． 28．（2021秋•滨江区校级期中）阅读下列材料：解答“已知x ﹣y ＝2，且x ＞1，y ＜0，试确定x +y 的取值范围“有如下解法， 解：∵x ﹣y ＝2，又∵x ＞1，∴y +2＞1，即y ＞﹣1． 又y ＜0，∴﹣1＜y ＜0．…① 同理，得：1＜x ＜2．…②由①+②，得﹣1+1＜y +x ＜0+2，∴x +y 的取值范围是0＜x +y ＜2． 请按照上述方法，完成下列问题：已知关于x 、y 的方程组{2x +y =1x −y =5−3a 的解都为非负数．（1）求a 的取值范围．（2）已知2a ﹣b ＝﹣1，求a +b 的取值范围．（3）已知a ﹣b ＝m ，若12＜m ＜1，且b ≤1，求a +b 的取值范围（用含m 的代数式表示）．29．（2021春•海陵区校级期末）对x ，y 定义一种新的运算A ，规定：A （x ，y ）={ax +by(当x ≥y 时)ay +bx(当x ＜y 时)（其中ab ≠0）．（1）若已知a ＝1，b ＝﹣2，则A （4，3）＝ ． （2）已知A （1，1）＝3，A （﹣1，2）＝0．求a ，b 的值； （3）在（2）问的基础上，若关于正数p 的不等式组{A(3p ，2p −1)＞4A(−1−3p ，−2p)≥m恰好有2个整数解，求m的取值范围．30．（2021秋•开福区校级月考）若一个不等式（组）A 有解且解集为a ＜x ＜b （a ＜b ），则称a+b 2为A 的解集中点值，若A 的解集中点值是不等式（组）B 的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B 对于不等式（组）A 中点包含．（1）已知关于x 的不等式组A ：{2x −3＞56−x ＞0，以及不等式B ：﹣1＜x ≤5，请判断不等式B 对于不等式组A 是否中点包含，并写出判断过程； （2）已知关于x 的不等式组C ：{2x +7＞2m +13x −16＜9m −1和不等式组D ：{x ＞m −43x −13＜5m，若D 对于不等式组C 中点包含，求m 的取值范围．（3）关于x 的不等式组E ：{x ＞2n x ＜2m （n ＜m ）和不等式组F ：{x −n ＜52x −m ＞3n ，若不等式组F 对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m 之和为9，求n 的取值范围．。
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专题1.2 一元一次不等式与不等式组章末重难点题型【沪科版】【考点1 不等式的基本性质】【方法点拨】不等式的两边都加上（或减去）同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
【例1】（2019春•南平期中）下列四个不等式：（1）ac＞bc；（2）﹣ma＜mb；（3）ac2＞bc2；（4）＞1，一定能推出a＞b的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-1】（2018春•江汉区期末）若a＞b，则下列结论：①a+x＞b+x；②＞；③ax2＞bx2；④ab＜b2；⑤﹣|a|＜﹣|b|．其中一定成立的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-2】（2019春•冠县期末）下列式子正确的是（）A．若＜，则x＜y B．若bx＞by，则x＞yC．若＝，则x＝y D．若mx＝my，则x＝y【变式1-3】（2019春•宜宾县校级期中）若ab＜0，且a＜b，下列解不等式正确的是（）A．由ax＜b，得x＜B．由（a﹣b）x＞2，得x＞C．由bx＜a，得x＞D．由（b﹣a）x＜2，得x＜【考点2 由实际问题抽象出一元一次不等式】【方法点拨】由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．【例2】（2019春•湘桥区期末）某种商品的进价为600元，出售时标价为900元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最低可打（）A．6折B．7折C．8折D．9折【变式2-1】（2019春•威远县校级期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式为（）A．8（x﹣1）＜5x+12＜8 B．0＜5x+12＜8xC．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．8x＜5x+12＜8【变式2-2】（2019春•肥城市期中）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队预计在2016﹣2017赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛．假设这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到目标，x应满足的关系式是（）A．2x+（32﹣x）≥48 B．2x﹣（32﹣x）≥48C．2x+（32﹣x）≤48 D．2x≥48【变式2-3】（2019•江北区一模）某商店将定价为3元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．小聪有27元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小聪可以购买该种商品x件，则根据题意，可列不等式为（）A．3×5+3×0.8x≤27 B．3×5+3×0.8x≥27C．3×5+3×0.8（x﹣5）≤27 D．3×5+3×0.8（x﹣5）≥27【考点3 解一元一次不等式】【方法点拨】解一元一次不等式组的步骤：（1）求出每个不等式的解集；（2）求出每个不等式的解集的公共部分；（一般利用数轴）（3）用代数符号语言来表示公共部分。
（也可以说成是下结论）【例3】（2019秋•鹿城区校级期末）解不等式＞﹣1，并把解集在数轴上表示出来．【变式3-1】（2019春•黄州区校级期末）代数式的值不大于的值，求x的范围．【变式3-2】（2018•海淀区二模）解不等式x﹣＜，并把解集在数轴上表示出来．【变式3-3】（2019•巴中）解不等式：≤﹣1，并把解集表示在数轴上．【考点4 解一元一次不等式组】【方法点拨】不等式组的解的求解过程：分别求出每个不等式的解、把两个不等式的解表示在同一数轴上、取公共部分作为不等式组的解（若没有公共部分则无解）。
口诀：大大取大，小小取小，大小小大两头夹，大大小小是无解【例4】（2019•呼和浩特）求不等式组：的整数解．【变式4-1】（2019•黔东南州）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．【变式4-2】（2019•苏州模拟）解不等式组：，并求它的整数解的和．【变式4-3】（2019春•资阳期末）解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并求不等式组的整数解．【考点5 根据不等式（组）的解集求参数】【例5】（2019春•兰州期中）已知x＝3是关于x的不等式3x﹣的解，求a的取值范围．【变式5-1】若不等式组的解集为3≤x≤4，求不等式ax+b＜0的解集．【变式5-2】（2019春•简阳市期末）若不等式组①有解；②无解．请分别探讨a的取值范围．【变式5-3】（2019春•宁德期末）定义：如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等式②的蕴含不等式．例如：不等式x＜﹣3的解都是不等式x＜﹣1的解，则x＜﹣3是x＜﹣1的蕴含不等式．（1）在不等式x＞1，x＞3，x＜4中，是x＞2的蕴含不等式的是；（2）若x＞﹣6是3（x﹣1）＞2x﹣m的蕴含不等式，求m的取值范围；（3）若x＜﹣2n+4是x＜2的蕴含不等式，试判新x＜﹣n+3是否是x＜2的蕴含不等式，并说明理由．【考点6 利用整数解求参数】【例6】已知不等式3x﹣m＜4（x+1）的负整数解有且只有三个，求m的取值范围．【变式6-1】（2019春•耒阳市校级期末）已知关于x的不等式组的整数解有5个，求a的取值范围．【变式6-2】（2018春•金牛区校级月考）关于x的不等式组有四个整数解，求实数a的取值范围．【变式6-3】（2018春•东湖区校级期中）若不等式组（1）当a＝2时，解这个不等式组；（2）若这个不等式组的解集不是空集，求a的取值范围；（3）若这个不等式组的解集有且只有2018个整数解，求a的取值范围．【考点7 方程组的解构造不等式（组）求参数】【例7】（2019春•西城区校级期中）若二元一次方程组的解x＞y，求k的取值范围．【变式7-1】（2018春•沂源县期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足不等式组，则m的取值范围是什么？【变式7-2】（2018春•邻水县期末）是否存在整数k，使方程组的解中，x大于1，y不大于1，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．【变式7-3】（2019春•德城区期末）已知关于xy的方程组的解满足x≥0，y＜1 （1）求m的取值范围；（2）在m的取值范围内，当m取何整数时，关于x的不等式2x﹣mx＞2﹣m的解集为x＜1？【考点8 二元一次方程组与不等式的应用】【例8】（2019•资阳）某大型企业为了保护环境，准备购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元．（1）求出A型、B型污水处理设备的单价；（2）经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案．【变式8-1】（2019春•杭锦后旗期末）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台4台1200元第二周5台6台1900元（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．【变式8-2】（2019春•通城县期末）某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元．（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？【变式8-3】（2019春•南安市期末）泉州市某校准备组织教师、学生、家长到福州进行参观学习活动，旅行社代办购买动车票，动车票价格如表所示：运行区间大人票价学生票价出发站终点站一等座二等座一等座二等座泉州福州65（元）54（元）65（元）40（元）根据报名总人数，若所有人员都买一等座的动车票，则共需13650元；若都买二等座动车票，则共需8820元．已知家长人数是教师人数的2倍．（1）设参加活动的老师有m人，请直接用含m的代数式表示：教师和家长都购买一等动车票所需的总费用；（2）求参加活动的教师、家长、学生各有多少人？（3）如果二等座动车票共买到x张，其中学生全部购买二等座动车票，剩余的人员买一等座动车票，且买票的总费用不低于9000元，求x的最大值．【考点9 利用不等式解分段计费问题】【例9】（2018春•北海期末）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是某市的电价标准（每月）阶梯电量x（单位：度）电费价格（单位：元/度）一档0＜x≤180a二档180＜x≤400b三档x＞4000.95（1）已知陈女士家三月份用电256度，缴纳电费154.56元，四月份用电318度，缴纳电费195.48元请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值．（2）5月份开始用电增多，陈女士缴纳电费280元，求陈女士家5月份的用电量．【变式9-1】（2018春•黄梅县期末）“端午节”是中华民族古老的传统节日．甲、乙两家超市在“端午节”当天对一种原来售价相同的粽子分别推出了不同的优惠方案．甲超市方案：购买该种粽子超过200元后，超出200元的部分按95%收费；乙超市方案：购买该种粽子超过300元后，超出300元的部分按90%收费．设某位顾客购买了x元的该种粽子．（1）补充表格，填写在“横线”上：x（单位：元）实际在甲超市的花费（单位：元）实际在乙超市的花费（单位：元）0＜x≤200x x200＜x≤300xx＞300（2）列式计算说明，如果顾客在“端午节”当天购买该种粽子超过200元，那么到哪家超市花费更少？【变式9-2】（2019•宁阳县模拟）为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费见价目表．例如：某居民元月份用水9吨，则应收水费2×6+4×（9﹣6）＝24元每月用水量（吨）单价不超过6吨2元/吨超过6吨，但不超过10吨的部分4元/吨超过10吨部分8元/吨（1）若该居民2月份用水12.5吨，则应收水费多少元？（2）若该居民3、4月份共用15吨水（其中4月份用水多于3月份）共收水费44元（水费按月结算），则该居民3月、4月各用水多少吨？【变式9-3】（2019秋•江汉区校级月考）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表所示是该市居民“一户一表”生活用水及提示计费价格表的部分信息：自来水销售价格污水处理价格每户每月用水量单价：元/吨单价：元/吨17吨以下a0.80超过17吨但不超过30吨的部分b0.80超过30吨的部分 6.000.80（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费＝自来水费用+污水处理费用）已知小明家2017年5月份用水20 吨，交水费66元；6月份用水25吨交水费91元（1）求a、b的值；（2）为了节约开支，小明家计划把7月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若小明家的月收入为9200元，则小明家7月份最多能用水多少吨？【考点10 一元一次不等式组与方案设计问题】【例10】（2019•德阳）某单位需采购一批商品，购买甲商品10件和乙商品15件需资金350元，而购买甲商品15件和乙商品10件需要资金375元．（1）求甲、乙商品每件各多少元？（2）本次计划采购甲、乙商品共30件，计划资金不超过460元，①最多可采购甲商品多少件？②若要求购买乙商品的数量不超过甲商品数量的，请给出所有购买方案，并求出该单位购买这批商品最少要用多少资金．【变式10-1】（2019春•随县期末）某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价）甲乙进价（元/件）1435售价（元/件）2043（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？（2）若商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．【变式10-2】（2019•泸州）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．【变式10-3】（2018春•莒县期末）为解决中小学大班额问题，某县今年将改扩建部分中小学，根据预算，改扩建3所中学和2所小学共需资金6200万元，改扩建1所中学和3所小学共需资金4400万元（1）改扩建1所中学和1所小学所需资金分别是多少万元？（2）该县计划改扩建中小学共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付资金不超过8400万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到中小学的改扩建资金分别为每所500万元和300万元，请问共有哪几种改扩建方案？。