高中数学第二章变化率与导数5简单复合函数的求导法则教材习题点拨北师大选修2-2创新

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北师大版数学选修2-2巩固提升：第二章 5 简单复合函数的求导法则

[A 基础达标]1．函数y ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5的导数为( ) A ．5⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4B ．5⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4⎝⎛⎭⎫1＋1x C ．5⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4⎝⎛⎭⎫1－1x 2 D ．5⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4⎝⎛⎭⎫x ＋1x 解析：选C.函数y ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5是函数y ＝u 5与u ＝x ＋1x 的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝5⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4⎝⎛⎭⎫1－1x 2. 2．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D.x 2x ＋5解析：选B.y ′＝[x ln(2x ＋5)]′ ＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′ ＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5.3．某市在一次降雨过程中，降雨量y (mm)与时间t (min)的函数关系可近似地表示为y ＝f (t )＝10t ，则在时刻t ＝40 min 的降雨强度为( )A ．20 mmB ．400 mm C.12mm/min D.14mm/min 解析：选D.f ′(t )＝1210t ·10＝510t ，所以f ′(40)＝5400＝14. 4．函数y ＝sin 2x －cos 2x 的导数是( ) A ．22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4 B ．cos 2x －sin 2x C ．sin 2x ＋cos 2xD ．22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 解析：选A.y ′＝(sin 2x －cos 2x )′ ＝(sin 2x )′－(cos 2x )′＝cos 2x ·(2x )′＋sin 2x ·(2x )′ ＝2cos 2x ＋2sin 2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 5．函数f (x )＝cos 2x 在点⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线方程是( ) A ．4x ＋2y ＋π＝0 B ．4x －2y ＋π＝0 C ．4x －2y －π＝0D ．4x ＋2y －π＝0解析：选D.因为f ′(x )＝(cos 2x )′ ＝－sin 2x ·(2x )′ ＝－2sin 2x ，所以k ＝f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2×π4＝－2. 所以切线方程为y －0＝－2⎝⎛⎭⎫x －π4. 即4x ＋2y －π＝0.6．若f (x )＝log 3(2x －1)，则f ′(2)＝________．解析：因为f ′(x )＝[log 3(2x －1)] ′＝ 1（2x －1）ln 3(2x －1)′＝2（2x －1）ln 3，所以f ′(2)＝23ln 3. 答案：23ln 37．若f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2，则a 的值为________．解析：因为f (x )＝(ax 2－1)12，所以f ′(x )＝12(ax 2－1)－12(ax 2－1)′＝ax ax 2－1.又f ′(1)＝2，所以aa －1＝2，所以a ＝2. 答案：2 8．曲线y ＝e －2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形面积是________．解析：因为y ′＝－2e－2x，所以y ′|x ＝0＝－2，切线方程为y ＝－2x ＋2.所以所围成的三角形的三个顶点为(0，0)，(1，0)，⎝⎛⎭⎫23，23.所以S ＝12×1×23＝13.答案：139．求下列函数的导数： (1)y ＝cos(1＋x 2)； (2)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(3)y ＝ln(2x 2＋x )； (4)y ＝x ·2x －1.解：(1)设u ＝1＋x 2，y ＝cos u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(1＋x 2)′ ＝－sin u ·2x ＝－2x sin(1＋x 2)． (2)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin v ·cos v＝2sin 2v ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3.(3)设u ＝2x 2＋x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x 2＋x )′ ＝1u ·(4x ＋1)＝4x ＋12x 2＋x . (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′. 先求t ＝2x －1的导数．设u ＝2x －1，则t ＝u 12，t ′x ＝t ′u ·u ′x ＝12·u －12·(2x －1)′＝12×12x －1×2＝12x －1 . 所以y ′＝2x －1＋x2x －1＝3x －12x －1. 10．求曲线y ＝1x 2－3x在点⎝⎛⎭⎫4，12处的切线方程．解：因为y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－3x ′＝－12(x 2－3x )－32·(x 2－3x )′＝－12(x 2－3x ) －32·(2x －3)，所以曲线在点⎝⎛⎭⎫4，12处的切线斜率k ＝－12×(16－12) －32×(8－3)＝－516.所以适合题意的切线方程为y －12＝－516(x －4)，即5x ＋16y －28＝0.[B 能力提升]11．曲线y ＝e x 2在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2D ．e 2解析：选D.由导数的几何意义，切线的斜率k ＝y ′|x ＝4＝12e x 2|x ＝4＝12e 2，所以切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2；令y ＝0，得x ＝2.所以切线与坐标轴所围三角形的面积为S ＝12×2e 2＝e 2.12．已知函数f (x )＝x －1x ＋2＋ln(x ＋1)，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为________．解析：因为f ′(x )＝x ＋2－（x －1）（x ＋2）2＋1x ＋1＝3（x ＋2）2＋1x ＋1.所以f ′(0)＝3（0＋2）2＋10＋1＝74，而f (0)＝－12，因此曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫－12＝74(x －0)，即7x －4y －2＝0. 答案：7x －4y －2＝013．曲线f (x )＝e 2x ·cos 3x 在点(0，1)处的切线与直线l 的距离为5，求l 的方程．解：由题意，知f ′(x )＝(e 2x )′cos 3x ＋e 2x (cos 3x )′ ＝2e 2x cos 3x －3e 2x sin 3x ，所以曲线在(0，1)处的切线的斜率为k ＝f ′(0)＝2，所以该切线方程为y －1＝2x ，所以y ＝2x ＋1，设l 的方程为y ＝2x ＋m ，则d ＝|m －1|5＝5，解得m ＝－4或m ＝6.当m ＝－4时，l 的方程为y ＝2x －4，即2x －y －4＝0.当m ＝6时，l 的方程为y ＝2x ＋6，即2x －y ＋6＝0.综上可知，l 的方程为2x －y －4＝0或2x －y ＋6＝0.14．(选做题)已知曲线C 1：y 1＝x 2与C 2：y 2＝－(x －2)2，若直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程．解：法一：设直线l 与曲线C 1、C 2分别相切于A (a ，a 2)，B (b ，－(b －2)2)．因为两曲线对应函数的导函数分别为 y ′1＝2x ，y ′2＝－2(x －2)，当x ＝a 时，y ′1＝2a ，当x ＝b 时，y ′2＝－2(b －2)，易知2a ＝－2(b －2)，由题意，可得a 2＋（b －2）2a －b＝2a ＝－2b ＋4，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2－b ，a 2－b 2－2ab ＋4b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝2. 所以A 为(2，4)或(0，0)，切线的斜率k ＝4或0，从而得到切线l 的方程为y ＝4x －4或y ＝0.法二：设l 与C 1、C 2相切时切点的横坐标分别为a 、b ，直线l 的斜率为k ，根据题意，得y ′1＝2x ，y ′2＝－2(x －2)．则k ＝2a ＝－2(b －2)．可得a ＝k2，b ＝4－k 2，所以切点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫k 2，k 24，⎝⎛⎭⎫4－k 2，－k 24，则k ＝k 24－⎝⎛⎭⎫－k 24k 2－4－k 2＝k 22k －4，解得k ＝0或4.故所求的切线方程为y ＝4x －4或y ＝0.由Ruize收集整理。

高中数学第二章变化率与导数2.5简单复合函数的求导法则课件北师大版选修2_2

M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一题型二题型三题型四
错因分析:错解“歪打正着”,虽然未注意到复合函数的求导,但结论居然也被“证”出来了,这也说明了这种错误的隐蔽性很好.本题要注意对e-x的求导.
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
【做一做2】求下列函数的导数:
(1)y=(3x-2)2;(2)y=(2x+1)5. 解(1)(方法一)y'=[(3x-2)2]'=(9x2-12x+4)'=18x-12. (方法二)将函数y=(3x-2)2看作是函数y=u2和函数u=3x-2复合所成的函数,并分别求对应变量的导数如下:
正解:f'(x)=(x2+bx+c)'·e-x+(x2+bx+c)·(e-x)' =(2x+b)e-x-(x2+bx+c)e-x =e-x[-x2+(-b+2)x+b-c]. 由f'(x)=e-x[-x2+(-b+2)x+b-c]=0, 得x2+(b-2)x-b+c=0. Δ=(b-2)2-4(-b+c)=b2-4c+4. 因为b2>4(c-1),所以Δ>0. 故方程f'(x)=0有两个不相等的实数根.
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S 随堂演练 UITANGYANLIAN

高中数学第二章变化率与导数2.5简单复合函数的求导法则学案含解析北师大版选修2_2

§2.5 简单复合函数的求导法则1.了解复合函数的概念.(难点)2.掌握复合函数的求导法则.(重点)3.能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 复合函数的概念阅读教材P 49倒数第2行以上部分，完成下列问题. 一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝φ(x )＝ax ＋b ，给定x 的一个值，就得到了u 的值，)x (φ＝u 和)u (f ＝y 我们称这个函数为函数，的函数x 可以表示成y 这样，的值y 进而确定了.为中间变量u 中其，))x (φ(f ＝y 记作，复合函数的下列函数不是复合函数的是( ) A.y ＝－x 3－1x ＋1 B.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 C.y ＝1ln xD.y ＝(2x ＋3)4 【解析】A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u 的复合函数，C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u的复合函数，D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数，故选A. 【答案】A 教材整理2 复合函数的求导法则阅读教材P 49最后两行至P 50部分，完成下列问题. 复合函数y ＝f (φ(x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝φ(x )的导数间的关系为y x ′＝.的导数的乘积x 对u 的导数与u 对y 的导数是x 对y 即.′x u ′·u y(ln 2x )′等于( )A.12xB.1xC.1xln 2D.ln 2x【解析】(ln 2x)′＝12x (2x)′＝1x.【答案】B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos 3x.【精彩点拨】分析函数的复合过程主要是设出中间变量u，分别找出y和u的函数关系，u和x的函数关系.【自主解答】(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的.(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的.(3)y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的.判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要结构的，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次运算而得到的函数.[再练一题]1.指出下列函数由哪些函数复合而成.。

高二数学北师大版选修2-2 第2章 §5 简单复合函数的求导法则课件(37张)

1.解答此类问题常犯两个错误 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数； (2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成.
2.复合函数求导的步骤
[再练一题] 2.求下列函数的导数. 1 (1)y＝(2x－1) ；(2)y＝； 1－2x
4
π (3)y＝sin－2x＋3；(4)y＝102x＋3.
§5
简单复合函数的求导法则
1.了解复合函数的概念.(难点) 2.掌握复合函数的求导法则.(重点) 3.能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数.(重点、难点)
[基础· 初探] 教材整理 1 复合函数的概念阅读教材 P49 倒数第 2 行以上部分，完成下列问题. 一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝φ(x)＝ax＋b，给定 x 的一个值，就得到了 u 的值，进而确定了 y 的值，这样 y 可以表示成 x的函数，我们称这个函数为函数 y＝f(u)和 u＝φ(x)的 y＝f(φ(x)) ，记作复合函数，其中 u 为中间变量.
＋
【提示】 ∵f′(x)＝e2x 1·(2x＋1)′＝2e2x 1，
Байду номын сангаас
[探究共研型]
复合函数导数的应用
探究 1 求曲线
π y＝cos2x＋6在
π x＝6处切线的斜率.
【提示】
π ∵y′＝－2sin2x＋6， π π k＝－2sin2×6＋6＝－2.
∴切线的斜率
探究 2 求曲线 y＝f(x)＝e
＋
2x＋1
1 在点－2，1处的切线方程.
－－4
6 ＝－6(2x－1) ＝－ 4. （2x－1）
－4
(3)函数 y＝5log2(1－x)可看作函数 y＝5log2u 和 u＝1－x 的复合函数，－5 5 ∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝uln 2＝ . （x－1）ln 2 (4)函数 y＝sin3x 可看作函数 y＝u3 和 u＝sin x 的复合函数，函数 y＝sin 3x 可看作函数 y＝sin v 和 v＝3x 的复合函数. ∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′ ＝3u2·cos x＋3cos v ＝3sin2x cos x＋3cos 3x.

高中数学第2章变化率与导数5简单复合函数的求导法则课件北师大版选修2_2

• 解 t′x＝析3：，∴原y′x函＝数2t由·3y＝＝6t(23和x－t＝43)．x－4复合而成，y′t＝2t， • 答案： D
• 2．函数y＝sin(2x－1)的导数是( ) • A．cos(2x－1) B．2xsin(2x－1) • C．2cos(2x－1) D．2sin(2x－1) • 解析： y′＝cos(2x－1)·2＝2cos(2x－1)． • 答案： C • 3．函数y＝e2x＋e－x的导数为_____________． • 答案： 2·e2x－e－x
结果
理由
令u＝3x－π6，则y＝cos u.
(3) －3sin3x－π6 y＝yu′·ux′＝－sin u·3x－π6′
＝－3sin u＝－3sin3x－π6
令u＝1＋x2，则y＝ u＝u12，
(4)
x 1＋x2
y′＝yu′·ux′＝12u－12(1＋x2)′
＝x·u－12＝
＝2sin2x＋π3·cos2x＋π3·2x＋π3′
＝2sin4x＋23π.
8分
(3)y′＝xx－1x100′＝x′x－1x100＋xx－1x100′
＝x－1x100＋x·100x－1x99·x－1x′
2．复合函数的导数
• 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导于数__间__的__关__系__为__y_′_yx＝′_u·__u_′__x ___________乘__积__．.即y对x的导数等
y对u的导数与u对x导数的
•
求复合函数的导数要处理好以下环节
• (1)中间变量的选择应是基本函数结构；
2x
πcos ∴f′(π)＝
2π＋100cos 2π－12sin π＋1002

高中数学第二章变化率与导数2.5简单复合函数的求导法则学业分层测评含解析北师大版选修2_2

2.5简单复合函数的求导法则
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.若函数f(x)＝3cos ，则f′ 等于()
A.－3 B.3
C.－6 D.6
【解析】f′(x)＝－6sin ，
∴f′ ＝－6sin ＝6sin ＝3 .
【答案】B
2.函数y＝xln(2x＋5)的导数为()
A.y′＝ln(2x＋5)－
【解析】∵y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＝－cos 2x，
∴y′＝(－cos 2x)′＝－(－sin 2x)·(2x)′
＝2 sin 2x.
【答案】2sin 2x
8.若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________.
B.y′＝ln(2x＋5)＋
C.y′＝2xln(2x＋5)
D.y′＝
【解析】y′＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x· ·(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋ .
【答案】B
3.曲线y＝f(x)＝xex－1在点(1，1)处切线的斜率等于()
A.2eB.e
C.2D.1
【解析】y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1，1)处的切线斜率为f′(1)＝2.
【答案】C
4.函数y＝cos 2x＋sin 的导数为()
A.y′＝－2sin 2x＋
B.y′＝2 sin 2x＋
C.y′＝－2sin 2x＋
D.y′＝2sin 2x－
【解析】y′＝－sin 2x·(2x)′＋cos ຫໍສະໝຸດ ( )′y－1＝2(x－0)，

高中数学第二章变化率与导数 2.5 简单复合函数的求导法则学业分层测评(含解析)北师大版选修22

2.5 简单复合函数的求导法则(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.若函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2等于( ) A.－3 3 B.3 3 C.－6 3 D.6 3 【解析】 f ′(x )＝－6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－6sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝6sin π3＝3 3. 【答案】 B2.函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( )A.y ′＝ln(2x ＋5)－x 2x ＋5 B.y ′＝ln(2x ＋5)＋2x 2x ＋5C.y ′＝2x ln(2x ＋5)D.y ′＝x 2x ＋5【解析】 y ′＝[x ln(2x ＋5)]′＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x 2x ＋5. 【答案】 B3.曲线y ＝f (x )＝x ex －1在点(1，1)处切线的斜率等于( ) A.2eB.eC.2D.1 【解析】 y ′＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点(1，1)处的切线斜率为f ′(1)＝2.【答案】 C4.函数y ＝cos 2x ＋sin x 的导数为( )A.y ′＝－2sin 2x ＋cos x 2xB.y ′＝2 sin 2x ＋cos x 2xC.y ′＝－2sin 2x ＋sin x 2xD.y ′＝2sin 2x －cos x 2x【解析】 y ′＝－sin 2x ·(2x )′＋cos x ·(x )′＝－2sin 2x ＋12·1xcos x ＝－2sin 2x ＋cos x 2x. 【答案】 A5.曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.92e 2 B.4e 2 C.2e 2D.e 2 【解析】因为导函数y ′＝12e 12x ，所以曲线在点(4，e 2)处的切线的斜率为12e 2. 于是切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4). 令x ＝0，解得y ＝－e 2；令y ＝0，解得x ＝2.所以S ＝12e 2×2＝e 2. 【答案】 D二、填空题6.若f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)＝________.【解析】 f ′(x )＝[log 3(x －1)]′＝1（x －1）ln 3， ∴f ′(2)＝1ln 3. 【答案】 1ln 37.(2016·广州高二检测)若函数为y ＝sin 4x －cos 4x ，则y ′＝________________.【解析】 ∵y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )·(sin 2x －cos 2x )＝－cos 2x ， ∴y ′＝(－cos 2x )′＝－(－sin 2x )·(2x )′＝2 sin 2x .【答案】 2sin 2x8.若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________.【解析】设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －x ，∴y ′＝－e －x ，∴点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2，∴－x 0＝ln 2，∴x 0＝－ln 2，∴y 0＝e ln 2＝2，∴点P 的坐标为(－ln 2，2).【答案】 (－ln 2，2)三、解答题9.已知函数f (x )＝x (1－ax )2(a >0)，且f ′(2)＝5，求实数a 的值.【解】 f ′(x )＝(1－ax )2＋x [(1－ax )2]′＝(1－ax )2＋x [2(1－ax )(－a )]＝(1－ax )2－2ax (1－ax ).由f ′(2)＝(1－2a )2－4a (1－2a )＝12a 2－8a ＋1＝5(a >0)，解得a ＝1. 10.求曲线f (x )＝2sin 2x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线方程. 【解】因为f ′(x )＝(2sin 2x )′＝2×2sin x ×(sin x )′＝2×2sin x ×cos x ＝2sin 2x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＝ 3. 所以过点P 的切线方程为y －12＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，即3x －y ＋12－3π6＝0. [能力提升]1.(2016·长沙高二检测)函数y ＝sin 2x －cos 2x 的导数是( )A.y ′＝2 2 cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 B.y ′＝cos 2x －sin 2xC.y ′＝sin 2x ＋cos 2xD.y ′＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 【解析】 ∵y ′＝(sin 2x －cos 2x )′＝(sin 2x )′－(cos 2x )′＝cos 2x ·(2x )′＋sin 2x ·(2x )′＝2cos 2x ＋2sin 2x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，故选A.【答案】 A2.(2016·潍坊高二期末检测)已知函数f (x )＝x ·ln ax ＋b ，曲线f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝2，则ab ＝( )A.2＋e 2B.2＋eC.2＋ee 2 D.2e2 【解析】 f ′(x )＝ln ax ＋1.由题意⎩⎪⎨⎪⎧f ′（e ）＝0，f （e ）＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ln a e ＋1＝0，eln a e ＋b ＝2，解得a ＝1e2，b ＝e ＋2， ∴ab ＝e ＋2e2，故应选C. 【答案】 C3.曲线y ＝f (x )＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为____________________.【解析】因为f ′(x )＝e －5x (－5x )′＝－5e －5x ，所以f ′(0)＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.【答案】 5x ＋y －3＝04.曲线y ＝f (x )＝e 2x·cos 3x 在(0，1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程.【解】 ∵f ′(x )＝(e 2x )′·cos 3x ＋e 2x ·(cos 3x )′＝2e 2x ·cos 3x －3e 2x ·sin 3x ，∴f ′(0)＝2.∴经过点(0，1)的切线方程为 y －1＝2(x －0)，即y ＝2x ＋1.设适合题意的直线方程为y ＝2x ＋b ，根据题意，得5＝|b －1|5， ∴b ＝6或－4.∴适合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.。

2021年高中数学第二章变化率与导数2.5简单复合函数的求导法则课件4北师大版选修2_2

2.已知函数 fx ax1且 f11,求实数a的值.
3.求曲线 y
1 x2 3x
在点
4
，1 2
处的切线方程.
4.一做简谐振动的小球相对于平衡点的距离s与运
动的时间 t满足 st10sin2(t),求小球在t
3
3
时的
瞬时速度.
课堂小结，知识整合
知识要点：
数学思想方法： 1.特殊到一般的思想 2.算法的思想 3.转化与化归的思想 4.整体的思想
简单复合函数的求导法那么
创设问题，导入新课
前面我们已经学习了根本初等函数的导数公式以及
导数的四那么运算法那么，对于简单函数求导，关键是
将函数关系式转化为能够直接利用根本初等函数的导数
公式.那么，对于非简单函数，y例如2x13
，如何求其
导数呢?本节课我们一起来研究简单复合函数的求导法
那么.
学习目标
方法总结：正确分解复合关系，关键在于把哪一局部看作一个整体，合理引入中间变量，由外向内，层层分解，从而知道复合函数是由哪些根本函数复合而成的.
例2 求以下函数的导数.
1y2x13 2y 3x1
解（1）函数 y2x13 是由函数 yu3和 u2x1
复合而成的.根据复合函数的求导法则，得
yx yuux u 3 2 x 1 3 u 2 2 6 2 x 1 2
请各位教师批评指正！
抽象概括，形成概念
一般地，对于两个函数 yf(u)和u(x)axb ，给定x的一个值，就数得，那到了么称u这的个值函，数进为而函确指体数定数，了位引y置y入的看中f作值(间u一)变，和个量这整uu样y(可x)以的表复示合成函x数的,函记
作yf((x)). 其中u为中间变量.

[试卷+试卷]高中数学第2章变化率与导数5简单复合函数的求导法则课后演练提升北师大版选修2_21

2016-2017学年高中数学第2章变化率与导数 5 简单复合函数的求导法则课后演练提升北师大版选修2-2一、选择题1．函数y ＝cos 2x ＋sin x 的导数为( ) A ．－2sin 2x ＋cos x2xB ．2sin 2x ＋cos x2xC ．－2sin 2x ＋sin x2xD ．2sin 2x －cos x2x解析： y ′x ＝(cos 2x ＋sin x )′＝(cos 2x )′＋(sin x )′ ＝－sin 2x ·(2x )′＋cos x ·(x )′＝－2sin 2x ＋cos x2x .答案： A2．函数y ＝log 3cos 2x 的导数是( ) A ．－2log 3e·tan xB ．2log 3e·cot xC ．－2log 3cos x D.log 3ecos 2x解析： y ′＝1cos 2x log 3e(cos 2x )′＝1cos 2xlog 3e·2cos x ·(cos x )′ ＝1cos 2xlog 3e·2cos x (－sin x )＝－2log 3e·tan x . 答案： A3．曲线y ＝e x2 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.92e 2 B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2解析：因为y ′＝12·e x2 ，所以切线的斜率k ＝12e 2.所以切线的方程为y －e 2＝12e 2(x －4)．所以横、纵截距分别为2，－e 2. 所以S ＝12×2×|－e 2|＝e 2.答案： D4．已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝xC ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3解析：由f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，得f (1)＝2f (1)－1＋8－8，∴f (1)＝1.又f ′(x )＝2f ′(2－x )·(2－x )′－2x ＋8 ＝－2f ′(2－x )－2x ＋8，∴f ′(1)＝－2f ′(1)－2＋8，解得f ′(1)＝2.故曲线在(1，f (1))即(1,1)处切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，故选A. 答案： A 二、填空题5．设f (x )＝ax 2－1，且f ′(1)＝2，则a 等于___________．解析： ∵f ′(x )＝2ax 2ax 2－1，∴f ′(x )＝ax ax 2－1，∴f ′(1)＝aa －1，又f ′(1)＝2， ∴aa －1＝2，解得a ＝2. 答案： 26．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是_______．解析：设P (x 0，y 0)．∵y ＝x ln x ， ∴y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x .∴k ＝1＋ln x 0.又k ＝2，∴1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e. ∴y 0＝eln e ＝e.∴点P 的坐标是(e ，e)．答案： (e ，e) 三、解答题7．求下列函数的导数．(1)y ＝＋5x10x；(2)y ＝x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2； (3)y ＝ln x 2＋1； (4)y ＝a 3xcos(2x ＋1)．解析： (1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋5x10x′ ＝－1x 2(2＋5x )10＋1x·10(2＋5x )9·5＝－＋5x10x 2＋＋5x9x.(2)∵y ＝x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝x (－sin 2x )cos 2x ＝－12x sin 4x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x sin 4x ′ ＝－12sin 4x －x2cos 4x ·4＝－12sin 4x －2x cos 4x .(3)y ′＝(ln x 2＋1)′＝1x 2＋1(x 2＋1)′ ＝1x 2＋1·12(x 2＋1)－12·(x 2＋1)′＝1x 2＋1·12·1x 2＋1·2x ＝xx 2＋1.(4)y ′＝[a 3xcos(2x ＋1)]′＝(a 3x)′cos(2x ＋1)＋a 3x·[cos(2x ＋1)]′＝a 3xln a ·(3x )′cos(2x ＋1)＋a 3x·[－sin(2x ＋1)]·(2x ＋1)′ ＝3a 3xln a ·cos(2x ＋1)－2a 3x·sin(2x ＋1) ＝a 3x [3ln a ·cos(2x ＋1)－2sin(2x ＋1)]．8．求曲线y ＝1x 2－3x在点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12处的切线方程．解析： y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫1x 2－3x ′＝－12(x 2－3x )－32(x 2－3x )′＝－12(x 2－3x )－32·(2x －3)，所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝4＝－12×(16－12)－32×(8－3)＝－516.所以切线方程为y －12＝－516(x －4)．即5x ＋16y －28＝0.9．已知函数f (x )＝log a x 和g (x )＝2log a (2x ＋t －2)的图像在x ＝2处的切线互相平行，其中a ＞0，a ≠1，t ∈R .求t 的值．解析： ∵f ′(x )＝1xlog a e ，g ′(x )＝42x ＋t －2log a e ，函数f (x )和g (x )的图像在x ＝2处的切线互相平行， ∴f ′(2)＝g ′(2)，且f (2)≠g (2)．∴12log a e ＝4t ＋2log a e ，且log a 2≠2log a (2＋t )．∴t ＝6.。

高中数学第2章变化率与导数 5 简单复合函数的求导法则课后演练提升北师大版选修2-2(202

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法则课后演练提升北师大版选修2—2一、选择题1．函数y＝cos 2x＋sin错误!的导数为( )A．－2sin 2x＋错误!B．2sin 2x＋错误!C．－2sin 2x＋错误!D．2sin 2x－错误!解析：y′x＝（cos 2x＋sin x)′＝(cos 2x)′＋（sin x）′＝－sin 2x·（2x)′＋cos错误!·（错误!）′＝－2sin 2x＋错误!.答案: A2．函数y＝log3cos2x的导数是（)A．－2log3e·tan x B．2log3e·cot xC．－2log3cos x D.错误!解析：y′＝错误!log3e（cos2x)′＝错误!log3e·2cos x·（cos x)′＝错误!log3e·2cos x（－sin x)＝－2log3e·tan x.答案：A3．曲线y＝e错误!在点(4,e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A.错误!e2B．4e2C．2e2D．e2解析：因为y′＝错误!·e错误!,所以切线的斜率k＝错误!e2.所以切线的方程为y－e2＝错误!e2（x－4)．所以横、纵截距分别为2，－e2。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试(答案解析)(5)

一、选择题1．已知()()()()()()*1232,f x x x x x n n n N =++++≥∈，其导函数是()f x '，若()()10n f a f '-=，则50a =（） A ．150!B ．150C ．50D ．50! 2．直线2y x b =+是曲线ln y x x =的一条切线，则实数b ＝（） A ．e B ．2e C ．e - D ．2e -3．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则11a b+的最小值是( )A ．2B ．C ．4D ．4．若曲线()x f x mx e n =⋅+在点()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +的值为（）A ．12e +B ．12e -C ．12D ．2e 5．①若直线l 与曲线:()C yf x =有且只有一个公共点，则直线l 一定是曲线()y f x =的切线；②若直线l 与曲线:()C y f x =相切于点00(,)P x y ，且直线l 与曲线:()C y f x =除点P 外再没有其他的公共点，则在点P 附近，直线l 不可能穿过曲线()y f x =；③若'0()f x 不存在，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处就没有切线；④若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处有切线，则'0()f x 必存在.则以上论断正确的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为( )A ．65BCD ．67．已知()ln 1x f x x =+，则()0f '等于（） A ．12 B ．12- C ．14 D ．14- 8．直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则4a b +的值为（） A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－29．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()2()cos 2f x x f x π+'=⋅，则0()()22lim x f f x xππ∆→-+∆=∆（） A ．1- B ．0C ．1D ．2 10．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2 014x 1＋log 2 014x 2＋…＋log 2 014x 2 013的值为( )A ．－log 2 0142 013B ．－1C ．(log 2 0142 013)－1D ．1 11．若函数()33=-ln 3f x x x x -+-，则曲线()y f x =在点()()-1,-1f 处的切线的倾斜角是（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π 12．已知,a b ∈R ，直线2y ax b π=++与函数()tan f x x =的图象在4πx =-处相切，设()2x g x e bx a =++，若在区间[1，2]上，不等式()22m g x m ≤≤-恒成立．则实数m （）A ．有最大值1e +B ．有最大值eC ．有最小值eD ．有最小值e -二、填空题13．曲线232ln y x x x =-+的切线中，斜率最小的切线方程为__________.14．函数()ln(32)f x x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为_______15．已知函数()()2xf x x a e =-，且()'13f e =，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为______.16．已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则__________． 17．以下四个命题错误的序号为_______(1) 样本频率分布直方图中小矩形的高就是对应组的频率.(2) 过点P(2,-2)且与曲线33y x x =-相切的直线方程是9160x y +-=.(3) 若样本1210,,x x x 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++的平均数是11，方差是12.(4) 抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”是对立事件.18．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为_________．19．关于x 的方程2xx a e +=有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为______________.20．某物体作直线运动，其位移S 与时间t 的运动规律为2S t t =+（t 的单位为秒，S 的单位为米），则它在第4秒末的瞬时速度应该为__________米/秒.三、解答题21．求下列函数的导数：（1）2=e x y ；（2）()313y x =-.22．已知函数2()ln f x ax x =-(a 为正实数)．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程；（Ⅱ）若方程()0f x =在区间[1,e]上有两个不相等的实数根，求a 的取值范围． 23．已知函数()()()11ln x ax a f x x x--+=-. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在()(),e f e 处的切线方程；（2）当0x >且1x ≠，不等式()11ln 1a x x x x +-<-恒成立，求实数a 的值. 24．已知函数的图像在点处切线的斜率为，记奇函数的图像为．（1）求实数的值；（2）当时，图像恒在的上方，求实数的取值范围；（3）若图像与有两个不同的交点，其横坐标分别是，设，求证：．[来25．已知函数32()f x x bx cx d =+++有两个极值点121,2x x ==，且直线61y x =+与曲线()y f x =相切于P 点．(1) 求b 和c(2) 求函数()y f x =的解析式；(3) 在d 为整数时，求过P 点和()y f x =相切于一异于P 点的直线方程26．已知函数()()221f x 2ax x lnx ax x =--+. （a ∈R ）．（1）当a ＝0时，求曲线y ＝f （x ）在（e ，f （e ）处的切线方程（e ＝2.718…）（2）已知x ＝e 为函数f （x ）的极值点，求函数f （x ）的单调区间．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】求出()1f '-和()0f ，可得出n a 的表达式，进而可计算得出50a 的值.【详解】()()()()()123f x x x x x n =++++，其中2n ≥且n *∈N ，()()()()()()()2313f x x x x n x x x n '∴=++++++++()()()121x x x n ++++-，()()11231f n '∴-=⨯⨯⨯⨯-，()()01231f n n =⨯⨯⨯⨯-⨯，则()()110n f a f n'-==，因此，50150a =. 故选：B.【点睛】本题考查导数值的计算，考查计算能力，属于中等题. 2．C解析：C【分析】求导得到()'ln 1fx x =+，计算切点为(),e e ，代入直线方程得到答案.【详解】 ()ln y f x x x ==，则()'ln 1f x x =+，取()'ln 12f x x =+=，解得x e =，当x e =时，ln y e e e ==，故切点为(),e e ，代入直线得到2e e b =+，故b e =-. 故选：C.【点睛】本题考查了根据切线方程求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.3．C解析：C【分析】求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得1a b +=，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．【详解】解：()y ln x b =+的导数为1y x b'=+，由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1b -，所以切点为(1,0)b -，代入y x a =-，得1a b +=，a 、b 为正实数，则111()()22241b a b a a b a b a b a b a b+=++=+++=．当且仅当12a b ==时，11a b+取得最小值4．故选：C【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．4．A解析：A【分析】求导得到()()'1x f x m x e =+⋅，由已知得()1f e =，()1f e '=，解得答案.【详解】()x f x mx e n =⋅+，则()()'1x f x m x e =+⋅，故()1f e =，()1f e '=，()11me n e m e e +=⎧∴⎨+=⎩，解得122m e n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12e m n ++=. 故选：A .【点睛】本题考查了根据切线方程求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.5．B解析：B【分析】根据导数的定义，瞬时变化率的概念，以及导数的几何意义，逐项判定，即可求解.【详解】对于①中，根据函数在点A 处的切线定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A ，这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线. 直线0y =与曲线22(0)y px p =>有且只有一个公共点，但直线0y =不是切线．注：曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个，例1y =是正弦曲线sin y x =的切线，但切线1y =与曲线sin y x =有无数多个公共点，所以不正确；对于②中，根据导数的定义：（1）导数：'0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-=∆，（2）左导数：'0()()()lim x f x x f x f x x --∆→+∆-=∆，（3）右导数：'0()()()lim x f x x f x f x x++∆→+∆-=∆，函数()f x 在点0x x =处可导当且仅当函数()f x 在点0x x =处的左导数和右导数都存在，且相等. 例如三次函数3y x =在0x =处的切线0y =，所以不正确；对于③中，切线与导数的关系：（1）函数()f x 在0x x =处可导，则函数()f x 在0x x =处切线一定存在，切线方程为'000()()()y f x f x x x -=-（2）函数()f x 在0x x =处不可导，函数()f x 在0x x =处切线可能存在，可能不存在，所以不正确；对于④中，根据导数的几何意义，可得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处有切线，则'0()f x 必存在，所以是正确的.故选：B.【点睛】本题主要考查了导数的概念，瞬时变化率，导数的几何意义等概念的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.6．C解析：C【分析】利用导数法和两直线平行性质，将线段||PQ 的最小值转化成切点到直线距离.【详解】已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点，可知抛物线21y x =+存在某条切线与直线260x y --=平行，则2k =，设抛物线21y x =+的切点为()200,1x x +，则由2y x '=可得022x =， 01x ∴=，所以切点为(1,2)，则切点(1,2)到直线260x y --=的距离为线段||PQ 的最小值，则min ||PQ == 故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力. 7．C解析：C【分析】首先利用换元法求出函数()f x 的解析式，再求出其导函数，最后代入求值即可；【详解】解：()ln 1x f x x=+，令ln t x =，t R ∈，则t x e =()1tt e f t e∴=+，t R ∈ ()1xx e f x e∴=+，x ∈R ()()()()()222111x x x x x x e e e e f x e e +-'∴==++()()0201041e f e '∴==+故选：C【点睛】本题考查换元法求函数解析式，导数的计算，属于中档题.8．A解析：A【解析】【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由切点满足切线的方程和曲线的方程，解方程即可求解，得到答案．【详解】由题意，直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则点(1,4)满足直线2y kx =+，代入可得412k =⨯+，解得2k =，又由曲线()32f x x ax b =++，则()232f x x a '=+，所以()213122f a '=⨯+=，解得12a =-，即()3f x x xb =-+，把点(1,4)代入()3f x x x b =-+，可得3411b =-+，解答4b =，所以144()422a b +=⨯-+=，故选A ．【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 9．A解析：A【分析】求函数的导数，令2x π=，先求出2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值，根据导数的概念即可得到结论．【详解】 ∵()2()cos 2f x x f x π+'=⋅，∴()2sin 2f x f x π⎛⎫'='- ⎪⎝⎭，令2x π=，则2sin 222f f πππ⎛⎫⎛⎫'='- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭，则00()()()()2222lim lim 12x x f f x f x f f x x πππππ∆→∆→-+∆+∆-⎛⎫=-=-=- ⎪∆∆⎝⎭'，故选A.【点睛】本题主要考查了导数的计算，根据导数公式以及求出12f π⎛⎫'=⎪⎝⎭是解决本题的关键，属于中档题. 10．B解析：B【解析】【分析】由题意，求出y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线方程，取0y =，求得n x ，再利用对数的运算性质可得答案.【详解】由y ＝x n ＋1，可得(1)n y n x =+'，即11x y n ='=+即曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线方程为1(1)(1)y n x -=+-令0y =，得1n n x n =+ log 2 014x 1＋log 2 014x 2＋…＋log 2 014x 2 013=20141220132014122013log ()log ()1232014x x x =⋅=- 故选B【点睛】本题考查了曲线的切线方程和对数的运算，细心计算是解题的关键，属于中档题. 11．B解析：B【解析】【分析】先求()f x ，再求导数得切线斜率，最后求倾斜角.【详解】因为3()ln()f x x x x =+-+，所以21()1f x x +'=+因此(1)k f =-='3π，选B. 【点睛】本题考查导数几何意义以及倾斜角，考查基本分析求解能力.12．A解析：A【分析】求f （x ）导数，利用导数的几何意义可得a 和b 的值，求g （x ）的导数和单调性，可得函数g(x)的最值，然后解不等式min 2max )2)m g x m g x ≤⎧⎨-≥⎩（（即可得m 的最值．【详解】 ∵sin ()tan cos x f x x x ==，∴222cos sin (sin )1()cos cos x x x f x x x-⋅-='=， ∴()24a f π'=-=，又点(,1)4π--在直线πy ax b 2=++上， ∴-1=2 ⋅()4π-+b+π2，∴b ＝﹣1， ∴g （x ）＝e x ﹣x 2+2，g'（x ）＝e x ﹣2x ，g''（x ）＝e x ﹣2，当x ∈[1，2]时，g''（x ）≥g''（1）＝e ﹣2＞0，∴g'（x ）在[1，2]上单调递增，∴g'（x ）≥g （1）＝e ﹣2＞0，∴g （x ）在[1，2]上单调递增，min 22max )(1)12)(2)2m g x g e m g x g e ≤==+⎧⎨-≥==-⎩（（解得m e ≤-或e≤m≤e+1，∴m 的最大值为e+1，无最小值，故选A.【点睛】本题考查导数的运用，考查利用导数求切线的斜率和单调区间，最值，考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题．二、填空题13．【分析】求出导函数由基本不等式求得最小值得最小的切线斜率及切点坐标然后可得切线方程【详解】由题意当且仅当且即时等号成立又时即斜率为1切点为切线方程为即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义考查用基解析：30x y --=【分析】求出导函数，由基本不等式求得最小值，得最小的切线斜率，及切点坐标，然后可得切线方程．【详解】由题意22232331y x x x x '=-+=+-≥=，当且仅当22x x =且0x >，即1x =时等号成立，又1x =时，2y =-，即斜率为1，切点为(1,2)-，切线方程为21y x +=-，即30x y --=．故答案为：30x y --=．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用基本不等式求最值，属于中档题．14．【分析】求出该点坐标和导函数该点的导数值即为此处切线斜率利用点斜式写出直线方程化简可得【详解】由题：所以函数在处的切线斜率所以切线方程：即故答案为：【点睛】此题考查导数的几何意义求函数在某点处的切线解析：330x y --=【分析】求出该点坐标和导函数，该点的导数值即为此处切线斜率，利用点斜式写出直线方程化简可得.【详解】由题：(1)ln(32)0f =-=，3()32f x x '=-，所以函数()f x 在(1,0)处的切线斜率(1)3k f '==，所以切线方程：03(1)y x -=-，即330x y --=.故答案为：330x y --=.【点睛】此题考查导数的几何意义，求函数在某点处的切线方程，易错点在于容易混淆函数值与导数值，考查基本运算，是基础题.15．【分析】求导利用求出根据导数几何意义可求斜率利用点斜式写出切线方程即可【详解】∵∴解得即则∴曲线在点处的切线方程为即【点睛】本题主要考查了导数的几何意义切线方程属于中档题解析：10x y --=【分析】求导，利用()'13f e =求出a ，根据导数几何意义可求斜率(0)k f '=，利用点斜式写出切线方程即可.【详解】∵()()()'2222x x x f x e x a e x a e =+-=+-，∴()()'143f a e e =-=，解得1a =，即()()21x f x x e =-，()01f =-，则()()'21x f x x e =+，∴()'01f =，曲线()y f x =在点0x =处的切线方程为()110y x +=⨯-，即10x y --=.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.16．n2n+1【解析】【分析】利用导数的几何意义求a 然后通过数列{1f(n)}的通项公式利用裂项法进行求和即可求出Sn 【详解】由题意知f(x)=2ax 则k=f(1)=2a2a ⋅(-18)=-1故a=4f 解析：【解析】【分析】利用导数的几何意义求a ，然后通过数列{}的通项公式，利用裂项法进行求和即可求出．【详解】由题意知，则，，故，，故，.故答案为【点睛】本题考查数列求和，切线的应用，熟记求和基本方法，准确计算是关键，是基础题17．（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点是切点的情形求出切线方程然后设切点为（x0y0）根据切点与点（2-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关解析：（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点22-（，）是切点的情形，求出切线方程，然后设切点为（x 0，y 0），根据切点与点（2，-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关系，解之即可求出切点，从而求出切线方程．对于(3)，利用平均数与方差的性质分别进行解答即可得出答案．对于(4)，由对立事件的定义可知其错误.详解：对于(1)，频率分布直方图中每个小矩形的高是该组的频率与组距的比值，∴(1)错误；对于(2), 设直线222233|9x l y k x y x y =+=-'=-∴'=-：（）．，，又∵直线与曲线均过点22-（，），于是直线22y k x （）+=- 与曲线33y x x =- 相切于切点22-（，）时，9k =-．若直线与曲线切于点0002x y x ≠（，）（），则320000000002232122y y k y x x x x x x ++==-∴=-----，，，又200|33k y x x x ='==-，2220000021332240x x x x x ∴---=-∴--=，， 200021330x x k x ≠∴=-∴=-=，，，故直线l 的方程为9160x y +-=或2y =-．故(2)错；对于(3)，若样本1210,,x x x 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++的平均数是25111,⨯+= ，方差是22312⨯=.故(3)正确；对于(4)，掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”不是对立事件.故（4）错误. 故选（1）（2）（4）点睛：本题考查了频率分布直方图的应用问题，考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了样本平均数，方差，考查了对立事件的定义，是基础题..18．【详解】设切点为∴即又∴即故答案为点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率其求法为：设是曲线上的一点则以的切点的切线方程为：若曲线在点的切线平行于轴（即导数解析：1ln 2+【详解】设切点为()mlnm m ，1ln y x '=+, 1ln x m y m ==+'∴()()y mlnm 1m m ln x -=+- 即()y 1m m ln x =+-，又2y kx =-∴12lnm k m +=⎧⎨=⎩，即1ln2k =+故答案为1ln2+点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000'()()y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．19．【解析】由题意则临界情况为与相切的情况则所以切点坐标为则此时所以只要图象向左移动都会产生3个交点所以即点睛：解的个数问题我们采用图象法辅助解题画出图象我们可以知道在处有一个交点则在处必须有两个交点所解析：(1ln 2,)-+∞【解析】由题意，则临界情况为()2y x a =+与x y e =相切的情况，'2x y e ==，则ln 2x =，所以切点坐标为()ln 2,2，则此时1ln 2a =-，所以只要2y x a =+图象向左移动，都会产生3个交点，所以1ln 2a >-，即()1ln2,-+∞。

2018年高中数学第二章变化率与导数 2.5 简单复合函数的求导法则课件6 北师大版选修2-2

y 1 x
ycoxs
ysinx
y

1 cos2
x
y 1 sin2 x
＊导数的加减法法则：
f(x ) g (x )f(x ) g (x ) f(x ) g (x )f(x ) g (x )
＊导数的乘除法法则：
f(x )g (x ) f(x ) g (x ) f(x ) g (x )
x
ysinu, ux2x
yu , u x 3 x2 x 1
y c o su , u x sinx
y u m , u x a b xn .
ysinu, ux11
x
情境引入
一艘油轮发生泄漏事故，泄出的原油在海面上形
成一个圆形油膜，其面积 S 是半径 r的函数：

f(x) f(x)g(x)f(x)g(x)
g(x)
g2(x)
问题情境：复习：1.基本初等函数有哪些？
2.求下列函数的导数：
1 yx3 x24 2 y sin x x
3 y3cosx4sinx
4 y2x13 5 ylnx2
分解——求导——相乘——回代
利用复合函数的求导法则来求导数时，首先要弄清复合关系，而选择中间变量是复合函数求导的关键。
解：
令u(x)3x1，则函数是由 f 与 u(x)3x1复合而成，由复合函数求导法则
可知：
(3 x 1 )f(u )(x)13 3
2u 23 x 1
复合函数求导的基本步骤是：
给定 x的一个值，可得 u 的值，进而确定 y 的值，
这就确定了新函数 yf(axb)，它是由 y f(u)
和u(x)axb复合而成的，我们称之为复合函
数，其中 u 是中间变量。

高中数学第二章转变率与导数5简单复合函数的求导法则例题与探讨北师大版选修22

高中数学第二章转变率与导数 5 简单复合函数的求导法则例题与探讨北师大版选修2-2高手支招3综合探讨应用复合函数的求导法则时,应该注意的事项.(1)第一,常数和大体初等函数的导数咱们已经会求了.第二,应用函数的和、差、积、商的求导法则,常数与大体初等函数的和、差、积、商的导数也会求了.因此,若是一个函数能分解成大体初等函数,或常数与大体初等函数的和、差、积、商,咱们即可求它的导数.(2)运用复合函数求导法则求复合函数的导数,注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数.(3)应用复合函数求导法则时,第一要分析所给函数可看做哪些函数复合而成,或说,所给函数能分解成哪些函数.若是所给函数能分解成比较简单的函数,而这些简单函数的导数咱们已经会求,那么应用复合函数求导法则就能够够求所给函数的导数了.(4)分清复合函数的复合关系,选好中间变量.依照大体函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数,并把中间变量换成自变量的函数.如何设中间变量,弄清复合函数是由哪些大体函数复合而成,把哪一部份看成一个整体.求导的顺序是由外向内.关于复合函数的求导,要注意分析复合函数的结构,引入中间变量,将复合函数分解成为较简单的函数,然后再用复合函数的求导法则求导.(5)求复合函数的导数,关键在于分析清楚函数的复合关系,选好中间变量.一些根式函数或分母上是幂函数,分子为常数的分式函数,通常通过变形,转化成幂函数,如此求导起来会比较方便,利用幂函数的求导公式. 高手支招4典例精析【例1】指出下列函数的复合关系.(1)y=(2-x 2)3;(2)y=sinx 2;(3)y=cos(4π-x). 思路分析：由复合函数的概念可知,中间变量的选择应是大体函数的结构,解决这种问题的关键是正确分析函数的复合层次,一样是从最外层开始,由外向内,一层一层地分析,把复合函数分解成若干个常见的大体函数,慢慢确信复合进程.解：(1)y=(2-x 2)3由y=μ3,μ=2-x 2复合而成.(2)y=sinx 2由y=sin μ,μ=x 2复合而成. (3)y=cos(4π-x)由y=cos μ,μ=4π-x 复合而成. 【例2】求下列函数的导数: (1)y=4)31(1x -;(2)y=cos(3x-6π); (3)y=sin 2(2x+3π);(4)y=x 21x +. 思路分析：把一部分量或式子临时看成一个整体,那个整体确实是中间变量.求导数时需要记住中间变量,注意逐层求导,不能遗漏.求导数后,要把中间变量转换成自变量的函数.解：(1)设μ=1-3x,y=μ-4,则y′x =y′μ·μ′x =-4μ-5·(-3)=5)31(12x -; (2)设μ=3x -6π,y=cosμ,则y′x =y′μ·μ′x =-sinμ·3=-3sin(3x-6π); (3)设y=μ2,μ=sinv,v=2x+3π,则y′x =y′μ·μ′v ·v′x =2μ·cosv·2=2sin(2x+3π)·cos(2x+3π)·2 =2sin(4x+32π);(4)y′=(x 21x +)′=x′21x ++x·(21x +)′=21x ++22221211x x x x ++=+. 【例3】求下列函数的导数: (1)y=xsinx+x ;(2)y=1ln +x x -2x . 思路分析：利用函数的和、差、积、商的导数运算法则及大体导数公式求导. 解：(1)y′=(xsinx)′+(x )′=sinx+xcosx+x 21; (2)y′=(1ln +x x )′-(2x )′=22)1(ln 112ln 2)1(ln )1(1+-+=-+-+x x x x x x x x -2x ln2. 【例4】求下列函数的导数〔其中f(x)是可导函数〕. (1)y=f(x1);(2)y=f(12+x ). 思路分析：关于上述抽象函数的求导,一方面要从形式上把握其结构特点;另一方面要充分运用复合函数的求导法则.解：(1)y′=［f(x 1)］′=f′(x 1)·(x 1)′=-21x f′(x 1); (2)y′=［f(1+2x )］′=f′(1+2x )·(1+2x )′ =f′(1+2x )·21(x 2+121)-·2x =12+x x f′(1+2x ).【例5】求下列函数的导数:(1)y=sinx 2;(2)y=13+x ;(3)y=tan 2x.思路分析：求复合函数的导数的关键在于把复合函数正确地分解成大体初等函数或大体初等函数的和、差、积、商,然后运用复合函数的求导法则和适当的导数公式进行计算,最后把引进的中间变量代换成原先的自变量.解：(1)设y=sinu,u=x 2,则y′x =y′u ·u′x =(sinu)′·(x 2)′=2xcosu=2xcosx 2;(2)设y=u ,u=3x+1,则y′x =y′u ·u′x =(u )′·(3x+1)′=u 21·3=1323+x ; (3)设y=u 2,u=tanx,则y′x =y′u ·u′x =(u 2)′·(tanx)′=2usec 2x=2tanx·sec 2x.【例6】求函数y=cos 2(2x-4π)的导数. 思路分析：有时,计算函数的导数需要同时运用函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则. 解：y′=2cos(2x -4π)·［cos(2x-4π)］′=2cos(2x-4π)·［-sin(2x-4π)］·(2x -4π)′ =-2sin(4x-2π) =2sin(2π-4x)=2cos4x. 【例7】求函数y=xx sin cos 12+的导数. 思路分析：在求函数的导数时,为计算简便起见,有时还需要先把函数变形为易于求导的形式,然后再进行求导.解：y′=xx x x x 222sin )')(sin cos 1(sin )'cos 1(+-+ =xx x x x x 22sin cos )cos 1(sin )'(cos cos 2+- =xx x x x 222sin )cos 1(cos cos sin 2++- =xx x x 22sin )cos 1(cos cos 2+--. 高手支招5试探发觉1利用复合函数的求导法则,关键是弄清复合函数的复合关系和由哪些大体初等函数复合而成.若是咱们对复合函数的分解比较熟练后,就没必要再把中间变量写出来,只要记在心中,依照复合函数的求导法则,由外向里,逐层求导即可.2.求复合函数的导数关键在于弄清函数的复合关系,从外层到内层一层层地求导,不要遗漏,直到对原先的自变量求导为止.容易犯的一个错误是顺序前后倒置,即没有弄清各函数之间的复合关系.3.当函数既有四则运算又有复合运算时,要依照题目所给的函数表达式决定是先用四则运算求导法则仍是先用复合函数求导法则.。

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高中数学第二章变化率与导数 5 简单复合函数的求导法则教材习
题点拨北师大版选修2-2
练习(P 51)
解: (1)y′=［2)12(1-x ］′=［(2x-1)-2］′=-2(2x-1)-3·2=-4(2x-1)-3=3)
12(4--x ; (2)y′=［sin(-x+1)］′=cos(-x+1)×(-1)=-cos(-x+1);
(3)y′=［e -2x+1］′=e -2x+1×(-2)=-2e -2x+1；
(4)y′=［cos(x+3)］′=-s in(x+3)×1=-sin(x+3).
习题25（P 51）
1.解：(1)y′=［(x+1)10］′=10(x+1)9×1=10(x+1)9;
(2)y′=［e 2x+1］′=e 2x+1×2=2e 2x+1;
(3)y′=［sin(-2x+5)］′=cos(-2x+5)×(-2)=-2cos(-2x+5);
(4)y′=［ln(3x-1)］′=131-x ×3=1
33-x ; (5)y′=(312-x )′=［(2x-1)31］′=31(2x-1)131-×2=32(2x-132
)-=32)12(32-x ; (6)y′=［tan(-x+1)］′=
)1(cos 12+-x ×(-1)=)1(cos 12+--x . 2.解:(1)y′=［e -x +2(2x+1)5］′=［e
-x+2］′(2x+1)5+e -x+2［(2x+1)5
］′ =-e -x+2(2x+1)5+10e -x+2(2x+1)4; (2)y′=［cos(3x-1)-ln(-2x-1)］′=-3sin(3x-1)122----x =-3sin(3x-1)-1
22+x ; (3)y′=［
x x 12-］′=2)')(12()'12(x
x x x x ---=223
12)12(x x x x ----. 3.解:y′=［ln(3x-2)］′=231-x ×3=2
33-x ,切线的斜率即为y=ln(3x-2)在x=1 处的导数,即k=2
133-⨯=3.所以函数y=ln(3x-2)过点(1,0)的切线方程为y-0=3(x-1),y=3x-3. 4.解:x′=［20sin(3t-2π)］′=60cos(3t -2
π), 当t=0 s 时,f(0)=60cos(-2
π)=0; 当t=6π s 时,f(6π)=60cos(3×6π-2
π)=60; 当t=12πs 时,f(12π)=60cos(3×12π-2π)=302.
答:小球在t=0 s 时,速度为0 m/s;小球在t=
6
πs 时,速度为60 m/s;小球在t=12πs 时,速度为302 m/s.
5.解：(1)x′=(4+16e -2t )′=-32e -2t ,
当t=1时,f(1)=-32e -2×1=-32e -2; (2)由x=
95y-32得到y=5
9(x+32), 将x=4+16e -2t 代入y=59(x+32)得到:y=59(4+16e -2t +32)=5
9(16e -2t +36), y 关于t 的函数的导数为y′=［59(16e -2t +36)］′=59×16×(-2)e -2t =-57.6e -2t . STS
“无穷”是什么
一位富翁偶然听到一个数学教授给学生谈论“无穷”,便心里琢磨,这“有限多个”好理解,比如我的钱财,可这“无穷”是什么呢?难道就是跟自然数一样多,或者“更多”?富翁想知道自己理解得对不对,于是就问教授:“请问‘无穷’是什么?”教授回答说:“无穷就是没有穷人,都像您一样富有.”教授看到富翁不理解的样子,就进一步解释说:“想一想,如果地球上的人有无穷多个,比如说,可以和自然数对应起来,而且每个人只有1元钱,不要多,那么第一个人问第二个人借1元,第二个问第三个借1元,依次往后借,如此下去,第一个人就有2元钱,其他人也没有少钱.”富翁点头承认,并说:“那还是没有我的钱多.”教授接着说:“如果第一个人重复一百万次,那不就是百万富豪了?!”富翁这才恍然大悟,明白了“无穷”是什么.。