经济数学基础小抄(1).doc

经济数学基础1．在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（A ．y = x 2 + 3）． 2. 若⎰+1d )2(x k x = 2，则k =（A ．1）．3．下列等式不成立的是 D ．)1d(d ln xx x =4．若cx x f x +-=-⎰2ed )(，则)(x f '= D .2e 41x-- 5.-⎰)d(e xx6. 若cx x f xx+-=⎰11e d e)(，则f (x ) =C ．21x．7. 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立8．下列定积分中积分值为0910．设R '(q )=100-4q5单位，则收入R 11是线性微分方程．12．微分方程0)()(432=+'''+'xy yy y 的阶是13．函数()1lg +=x xy 的定义域是14．若函数)(x f 的定义域是[0，1]，则函数)2(x f 的15．下列各函数对中，中的两个函数相等．16．设11)(+=x x f ，则))((x f f 17．下列函数中为奇函数的是（ C ．11ln+-=x x y）．18．下列函数中，（ C ．)1ln(-=x y）不是基本初等函数．19．下列结论中，（ C ．奇函数的图形关于坐标原点对称）是正确的．20. 当x →0时，下列变量中是无穷大量． 21. 已知1tan )(-=xxx f 时，)(xf 为无穷小量.22．函数sin ,0(),0xx f x xk x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续，则k =23. 函数⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f 在x = 024．曲线11+=x y 在点（0, 1）25. 曲线x y sin =在点(0, 0)26．若函数x x f =)1(，则)(x f '27．若xx x f cos )(=，则='')(x f 28．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ B ．e x ）．29．下列结论正确的有A ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 030. 设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为E p31．设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ A ．AB ）可以进行. 32．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 B .T T T )(A B AB =33．设B A ,为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是34．设B A ,均为n 阶方阵，在下列情况下能推出A是单位矩阵的是．设A 是可逆矩阵，且A AB I +=，则A -=1（C . I B + ）.36．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T＝ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--523237．设下面矩阵A , B , C 能进行乘法运算，那么（B ．AB = AC ，A 可逆，则B = C ）成立. 38．设A 是n 阶可逆矩阵，k 是不为0的常数，则()kA -=1（C . --kA 1）．39．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=314231003021A ，则r (A ) = 40．设线性方程组b AX =的增广矩阵通过初等行变换化为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00000120004131062131，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为 A ．41．线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解的情况是（A . 无解 ）．42．若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01221λA ，则当λ时线性方程组无解．43． 线性方程组AX =0只有零解，则AX b b =≠()0（B . 可能无解 ）.44．设线性方程组AX=b 中，若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则该线性方程组（ B ．无解 ）． 15．设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =C ．只有零解二、填空题 1．⎰-x xd e d22．函数x xf 2sin )(=的原函数是c 是任意常数3．若c x x x f ++=⎰2)1(d )(4．若cx F x x f +=⎰)(d )(，则xf x x)d e (e--⎰5．=+⎰e12dx )1ln(d d x x 0 6．=+⎰-1122d )1(x x x7．无穷积分⎰∞++02d )1(1x x 是 收敛的．（判别其敛散性）8．设边际收入函数为R '(q ) = 2 + 3q ，且R (0) = 0，则平均收入函数为9.0e )(23='+''-y y x 是阶微分方程.10．微分方程2xy ='的通解是11．函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=20,105,2)(2x x x x x f 的定义域是[-5，2] 12．函数xx x f --+=21)5ln()(的定义域 (-5, 2 )13．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则)(x f14．设函数1)(2-=u u f ，xx u 1)(=，则=))2((u f ．43-15．设21010)(xx x f -+=，对称．16．已知生产某种产品的成本函数为C (q ) = 80 + 2q ，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为3.6．17．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) = 45q – 0.25q 218.+∞→xxx x sin lim19．已知xxx f sin 1)(-=，)(x f 为无穷小量．20. 已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1111)(2x a x x x x f ，若f x ()在),(∞+-∞内连续，则a 21. 函数1()1e xf x =-22．函数)2)(1(1)(-+=x x x f 的连续区间是23曲线y =在点)1,1(处的切线斜率是24．函数y = x 2 + 1的单调增加区间为(0, +∞)． 25．已知x x f 2ln )(=，则])2(['f =0． 16．函数y x =-312()27．需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(pp q -⨯=，28．已知需求函数为p q 32320-=，其中p 为价格，则需求弹性E p = 29两个矩阵B A ,既可相加又可相乘的充分必要条件是A与B 是同阶矩阵30．计算矩阵乘积[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡10211000321=[4]31．若矩阵A =[]21-，B=[]132-，则A T B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---264132 34．设A 为m n ⨯矩阵，B 为s t ⨯矩阵，若AB 与BA都可进行运算，则m n s t ,,,有关系式m t n s ==,35．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ，当a = 0 时，A是对称矩阵.36时，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=a A 131可逆.37．设B A ,为两个已知矩阵，且B I -可逆，则方程X BX A =+38．设A 为n 阶可逆矩阵，则r (A 39．若矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--330204212，则r (A40．若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则线性方程组AX = b 无解41．若线性方程组⎩⎨⎧=+=-002121x x x x λ有非零解，则λ42．设齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A ，且秩(A ) = r < n ，则其一般解中的自由未知量的个数等于n – r ．43．齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000020103211A 则此方程组的一般解为44．线性方程组AX b =的增广矩阵A 化成阶梯形矩阵后为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→110000012401021d AAX b =有无穷多解.45．若线性方程组AX b b =≠()0有唯一解，则AX =0只有0解.三、计算题⎰xxx d 1sin2c x x x x x x +=-=⎰⎰1cos )1(d 1sin d 1sin2⎰xx x d 2c x xx xx x +==⎰⎰22ln 2)(d 22d2⎰x x x d sinc x x x x x x x x x x ++-=+-=⎰⎰sin cos d cos cos d sin⎰+x x xd 1)ln (⎰+x xx d 1)l n (=⎰+-+x x x x x d 1)(21ln 1)(2122=c x x x x x +--+4)ln 2(2122x x x d )e 1(e 3ln 02⎰+x x x d )e 1(e 3ln 02⎰+=⎰++3ln 02)e d(1)e 1(x x =3ln 03)e 1(31x +=356x xx d lne 1⎰ )(l n d 2ln 2)2(d ln d ln e 1e 1e 1e 1x x x x x x x xx ⎰⎰⎰-==e 1e 14e 2d 2e 2xx x-=-=⎰e24d 2e 2e 1-=-=⎰x x2e 1xxxx d ln 112e 1⎰+=)ln d(1ln 112e 1x x++⎰=2e 1ln 12x+=)13(2-xxx d 2cos 2π0⎰x x x d 2c o s 20⎰π=22sin 21πx x -x x d 2sin 2120⎰π=22cos 41πx =21-x x d )1ln(1e 0-+x x x x x x x d 1)1ln(d )1ln(1e 01e 01e 0⎰⎰---+-+=+=x x d )111(1e 1e 0⎰-+--- =1e 0)]1ln([1e -+---x x ＝e ln =112+=+'x xyy 满足初始条件47)1(=y 的特解． 因为 x x P 1)(=，1)(2+=x x Q用公式]d 1)e ([ed 12d 1c x x y xx xx +⎰+⎰=⎰-]d 1)e ([e ln 2ln c x x xx ++=⎰-x c x x c x x x ++=++=24]24[1324 由 4712141)1(3=++=c y ， 得 1=c 所以，特解为 xx x y 1243++=求微分方程0e 32=+'+yy xy满足初始条件3)1(=-y 的特解将方程分离变量：x y y x y d e d e 32-=- 等式两端积分得 c x y +-=--3e 31e 212 将初始条件3)1(=-y 代入，得c +-=---33e 31e 21，c =3e 61-- 所以，特解为：33e e 2e32--+=x y求微分方程x xyy ln =-'满足 11==xy 的特解.x1，得 x xx y x y ln 2=-' 即xxxy ln )(=' 两边求积分，得c x x x x x x x y +===⎰⎰2ln )(lnd ln d ln 2通解为： cx xx y +=2ln 2 由11==x y ，得1=c 所以，满足初始条件的特解为：x xx y +=2ln 2 y y x y ln tan ='的通解．将原方程分离变量x x yy yd c o t ln d =两端积分得 lnln y = ln C sin x通解为y = e C sin xx xy y x ln =-'的通解. 将原方程化为：xy x y ln 11=-'，它是一阶线性微分方程， x x P 1)(-=，xx Q ln 1)(= 用公式()d ()d e [()e d ]P x xP x xy Q x xc -⎰⎰=+⎰]d e ln 1[e d 1d 1c x x x x x x +⎰⎰=⎰- ]d e ln 1[e ln ln c x x xx +=⎰-]d ln 1[c x xx x +=⎰)ln (ln c x x += y x y -='2的通解． 微分方程yx y -='2中，x x Q x P 2)(,1)(==由通解公式)d e 2(e )d e 2(e d d c x x c x x y x x xx+=+⎰⎰=⎰⎰--e 2e 2(e )d e 2e 2(e c x c x x x x x x x x +-=+-=--⎰)e 22(x c x -+-=x x y y x sin =+'的通解．因为xx P 1)(=，x x Q sin )(=，由通解公式得 )d esin (e d 1d 1c x x y xx x x +⎰⎰=⎰-=)d e sin (e ln ln c x x x x +⎰-=)d sin (1c x x x x+⎰ =)sin cos (1c x x x x++-423lim 222-+-→x x x x423lim 222-+-→x x x x =)2)(2()1)(2(lim 2+---→x x x x x = )2(1lim 2+-→x x x = 41lim1→x 231lim 21+--→x x x x =)1)(2)(1(1lim 1+---→x x x x x=21)1)(2(1lim1-=+-→x x xx→0x →=0x →=xxx x x 2sin lim)11(lim 00→→++=2⨯2 = 42343sin(3)x x x x →-+-2343lim sin(3)x x x x →-+-=3(3)(1)lim sin(3)x x x x →---=333limlim(1)sin(3)x x x x x →→-⨯--= 22)1tan(lim 21-+-→x x x x解 )1)(2()1tan(lim 2)1tan(lim121-+-=-+-→→x x x x x x x x1)1tan(lim 21lim 11--⋅+=→→x x x x x 31131=⨯=))32)(1()23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x 解))32)(1()23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x =))32)(11()213()21(lim 625xx x x x x --++-∞→=2323)2(65-=⨯- y xx cos 2-=，求)(x y ' ． y '(x )=)2('-x x =22ln 2x x -=2cos sin 2ln 2x xx x x ++)(x f x x x ln sin 2+=，求)(x f 'xx x x f x x1c o s 2s i n 2ln 2)(++⋅=' xy cos 25=，求)2π(y '；解 因为 5ln 5sin 2)cos 2(5ln 5)5(cos 2cos 2cos 2x x x x x y -='='='所以5ln 25ln 52πsin 2)2π(2πcos 2-=⋅-='y y =32ln x ，求y d ．解 因为 )(ln )(ln 3231'='-x x y331ln 32)(ln 32xx x x ==-所以 x xxy d ln 32d 3=x y x5sin cos e+=，求y d ．解 因为)(cos cos 5)(sin e 4sin '+'='x x x y xx x x x sin cos 5cos e 4sin -=所以x x x x y x d )sin cos 5cos e (d 4sin -=xx y -+=2tan 3，求y d ．因为 )(2ln 2)(cos 1332'-+'='-x x xy x 2ln 2cos 3322x x x --= 所以 x xx y xd )2ln 2cos 3(d 322--= 2sin 2cos x y x -=，求)(x y ' 解 )(cos )2(2sin )(22'-'-='x x x y xx2cos 22ln 2sin 2x x xx--= xx y 53eln -+=，求)(x y ' ．)5(e )(ln ln 3)(52'-+'='-x x x x y xx xx525e ln 3--= 2e e )1ln(=++xyx y确定y 是x的隐函数，求)(x y '．在方程等号两边对x 求导，得)e ()e (])1ln([2'='+'+xy x y0)(e 1)1ln(='+++++'y x y xyx y xyxy xy y xyy x x e 1]e )1[ln(-+-='++ 故]e )1)[ln(1(e )1(xyxyx x x y xy y +++++-=' 0e sin =+yxy 确定y 是x 的隐函数，求)(x y '.对方程两边同时求导，得 0e e cos ='++'y x y y yyyyy x y e )e (cos -='+)(x y'=yyx y ecos e +-. )(x y y =由方程y x y e 1+=确定，求d d =x xy ．x 求导，得 y x y y y '+='e eyy x y e1e -='当0=x 时，1=y所以，d d =x xye e01e 11=⨯-=x y x y=++e)cos(确定y 是x 的隐函数，求y d ．在方程等号两边对x 求导，得 )()e (])[cos('='+'+x y x y1e ]1)[sin(='+'++-y y y x y)sin(1)]sin(e [y x y y x y++='+-)sin(e )sin(1y x y x y y +-++='故 x y x y x y yd )sin(e )sin(1d +-++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=113421201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=303112B ，求B A I )2(T-．因为T2A I -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000100012T113421201⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200020002⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--142120311=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----142100311所以B A I )2(T -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----142100311⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-303112=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---1103051 矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=021201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010212B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=242216C ，计算C BA +T ．C BA +T =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010212⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-042006⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200210A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1121243613，求1-A ． 因为 (A I )=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1001120101240013613⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→100112210100701411⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→1302710210100701411⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→172010210100141011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→210100172010031001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→210100172010031001所以 A -1 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---210172031 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210，求逆矩阵1-A ．因为(AI)=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-120001010830210411100010001012411210⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→123124112200010001123001011200210201 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→21123124112100010001 所以 A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----21123124112A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡142136，计算(AB )-1．因为AB=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡142136=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1412(AB I ) =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1210011210140112⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→121021210112101102 所以 (AB )-1= ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡122121矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011，B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321，计算(BA )-1． 因为BA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2435 (BAI )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1024111110240135⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→54201111⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--→2521023101 所以 (BA )-1=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--252231 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--214332X ．因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--10430132⎥⎦⎤⎢⎣⎡→10431111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→23101111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→23103401即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---233443321所以，X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--212334=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12解矩阵方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡02115321X. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡10530121⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13100121⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13102501 即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-132553211所以，X=153210211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-13250211= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--41038 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=+bax x x x x x x x 321321312022讨论当a ，b 为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解.因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--4210222021011201212101b a b a⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→310011102101b a所以当1-=a 且3≠b 时，方程组无解；当1-≠a 时，方程组有唯一解；当1-=a 且3=b 时，方程组有无穷多解. 43．设线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+--=+052231232132131x x x x x x x x ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=211011101201051223111201A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→300011101201 所以 r (A ) = 2，r (A ) = 3.又因为r (A ) ≠ r (A )，所以方程组无解.下列线性方程组的一般解：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x xx x x x x x x x x 因为系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111011101201351223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101201 所以一般解为⎩⎨⎧-=+-=4324312x x x x x x（其中3x ，4x 是自由未知量）⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-126142323252321321321x x x x x x x x x 因为增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=1881809490312112614231213252A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→00001941019101所以一般解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=1941913231x x x x （其中3x 是自由未知量）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ问λ取何值时方程组有非零解，并求一般解.因为系数矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---61011023183352231λλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→500110101λ所以当λ = 5时，方程组有非零解. 且一般解为⎩⎨⎧==3231x x x x （其中3x 是自由未知量λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++1542131321321x x xx x x x x λ 有解？并求一般解. 因为增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=26102610111115014121111λλA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→λ00026101501 所以当λ=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为： ⎩⎨⎧+-=-=26153231x x x x(x 3是自由未知量〕 b AX =的增广矩阵经初等行变换化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→→300000331013611λ A问λ取何值时，方程组b AX =有解？当方程组有解时，求方程组b AX =的一般解.λ=3时，2)()(==A r A r ，方程组有解. 当λ=3时，⎥⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→00000331010301000000331013611A一般解为⎩⎨⎧-=-=432313331x x x x x ， 其中3x ,4x为自由未知量.四、应用题36(万元)，且边际成本为)(x C '=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为⎰+=∆64d )402(x x C =642)40(x x +=100（万元）又 x c x x C x C x⎰+'=00d )()(=x x x 36402++ =xx 3640++ 令 0361)(2=-='xx C ， 解得6=x . x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.C '(x )=2（元/件），固定成本为0，边际收益R '(x )=12-0.02x ，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产 因为边际利润)()()(x C x R x L '-'='=12-0.02x –2 = 10-0.02x令)(x L '= 0，得x = 500 x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大.当产量由500件增加至550件时，利润改变量为5505002550500)01.010(d )02.010(x x x x L -=-=∆⎰=500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少25元. C '(x )=8x (万元/百台)，边际收入为R '(x )=100-2x （万元/百台），其中x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？L '(x ) =R '(x ) -C '(x ) = (100 – 2x ) – 8x =100 – 10x 令L '(x )=0, 得 x = 10（百台）又x = 10是L (x )的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L (x )的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大. 又xx x x L L d )10100(d )(12101210⎰⎰-='=20)5100(12102-=-=x x即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元34)(-='x x C (万元/百台)，x 为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.⎰-=x x x C d )34()(=c x x +-322当x = 0时，C (0) = 18，得 c =18 即 C (x )=18322+-x x 又平均成本函数为xx x x C x A 1832)()(+-==令 0182)(2=-='x x A ， 解得x = 3 (百台)该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为9318332)3(=+-⨯=A (万元/百台)x x C +=3)((万元)，其中x 为产量，单位：百吨．销售x 百吨时的边际收入为x x R 215)(-='（万元/百吨），求：(1) 利润最大时的产量；因为边际成本为 1)(='x C ，边际利润)()()(x C x R x L '-'=' = 14 – 2x 令0)(='x L ，得x = 7由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L (x )的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大.(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为 87287)14(d )214(x x x x L -=-=∆⎰=112 –64 – 98 + 49 = - 1（万元） 即利润将减少1万元.设生产某种产品x 个单位时的成本函数为：x x x C 625.0100)(2++=（万元）,求：（1）当10=x 时的总成本、平均成本和边际成本1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：x x x C 625.0100)(2++=625.0100)(++=x xx C ，65.0)(+='x x C所以，1851061025.0100)10(2=⨯+⨯+=C5.1861025.010100)10(=+⨯+=C ， 116105.0)10(=+⨯='C（2）当产量x 为多少时，平均成本最小？ 令 025.0100)(2=+-='x x C ，得20=x （20-=x 舍去）因为20=x 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当=x 20时，平均成本最小.2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q p =-100010（q 为需求量，p 为价格）．试求：（1）成本函数，收入函数；（1）成本函数C q ()= 60q +2000． 因为 q p =-100010，即p q =-100110， 所以收入函数R q ()=p ⨯q =(100110-q )q =1001102q q -． （2）产量为多少吨时利润最大？因为利润函数L q ()=R q ()-C q () =1001102q q --(60q +2000)= 40q -1102q -2000 且'L q ()=(40q -1102q -2000')=40- 0.2q 令'L q ()= 0，即40- 0.2q = 0，得q = 200，它是L q ()在其定义域内的唯一驻点．所以，q = 200是利润函数L q ()的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元．又已知需求函数p q 42000-=，其中p 为价格，q为产量，这种产品在市场上是畅销的，试求：（1）价格为多少时利润最大？（1）C (p ) = 50000+100q =50000+100(2000-4p )=250000-400p R (p ) =pq = p (2000-4p )= 2000p -4p 2 利润函数L (p ) = R (p ) - C (p ) =2400p -4p 2 -250000，且令)(p L '=2400 – 8p = 0得p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300元时，利润最大.（2）最大利润是多少？ 最大利润 1100025000030043002400)300(2=-⨯-⨯=L （元） q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？ 解 （1）由已知201.014)01.014(q q q q qp R -=-==利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-=则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q .因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大， （2）最大利润是多少？ 最大利润为1125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元）q 件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C （元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？因为 C q ()=C q q ()=05369800.q q++ （q >0）'C q ()=(.)05369800q q ++'=0598002.-q 令'C q ()=0，即0598002.-q=0，得q 1=140，q 2= -140（舍去）. q 1=140是C q ()在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值.所以q 1=140是平均成本函数C q ()的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为C ()140=0514*******140.⨯++=176 （元/件）q 件产品的成本为C q q q ()=++25020102（万元）．问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？1） 因为 C q ()=C q q ()=2502010q q++'C q ()=()2502010q q ++'=-+2501102q 令'C q ()=0，即-+=25011002q ，得q 1=50，q 2=-50（舍去），q 1=50是C q ()在其定义域内的唯一驻点．所以，q1=50是C q()的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品．五、证明题A，B，AB均为n阶对称矩阵，则BA．因为A T = A，B T = B，(AB)T = AB所以AB = (AB)T = B T A T = BAA是n阶矩阵，若3A= 0，则21)(AAIAI++=--．因为))((2AAIAI++-=322AAAAAI---++=3AI-= I所以21)(AAIAI++=--)(21IBA+=，且AA=2，试证B是可逆矩阵，并求1-B.证因为)2(41)(41222IBBIBA++=+=，且AA=2，即)(21)2(412IBIBB+=++，得IB=2，所以B是可逆矩阵，且BB=-1设n阶矩阵A满足A I2=，TAA I=，证明A是对称矩阵.证因为AIA==TT IAAAA==T A所以A是对称矩阵.A，B均为n阶对称矩阵，则AB＋BA也是对称矩阵．因为BBAA==TT，，且TTT)()()(BAABBAAB+=+TTTT BAAB+=ABBA+=BAAB+=所以AB＋BA是对称矩阵．。