3第三讲 函数与不等式问题的解题技巧

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数学解题技巧:函数不等式问题

数学解题技巧:函数不等式问题

第三讲 函数与不等式问题【考点透视】1.了解映射的概念,理解函数的概念.2.了解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法,并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程.3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图象和性质.5.理解对数的概念,掌握对数的运算性质,掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 7.在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上,掌握其它的一些简单不等式的解法.通过不等式解法的复习,提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力.8.掌握解不等式的基本思路,即将分式不等式、绝对值不等式等不等式,化归为整式不等式(组),会用分类、换元、数形结合的方法解不等式.9.通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等),使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题.10.通过证明不等式的过程,培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力. 11.能较灵活的使用不等式的基本知识、基本方法,解决有关不等式的问题.12.通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、分析几何等各部分知识中的使用,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高分析问题解决问题的能力.在使用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中,提高学生数学素质及创新意识.【例题分析】 1.函数的定义域及其求法函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法,并会使用用函数的定义域解决有关问题. 例1.已知函数()f x 的定义域为M ,g(x)=ln(1)x +的定义域为N ,则M ∩N=(A ){|1}x x >- (B ){|1}x x < (C ){|11}x x -<< (D )∅ 命题意图: 本题主要考查含有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法.解:函数()f x =的定义域M={}1,x x < g(x)=ln(1)x +的定义域N={}1,x x >-∴M ∩N={|11}x x -<<. 故选C例2.函数y ( )(A )(3,+∞) (B )[3, +∞) (C )(4, +∞) (D )[4, +∞) 命题意图: 本题主要考查含有无理式和对数的函数的定义域的求法.解:由20 4.log 20x x x >⎧⇒>⎨->⎩,故选D.2.求函数的反函数求函数的反函数,有助与培养人的逆向思维能力和深化对函数的定义域、值域,以及函数概念的理解.例3.函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩ 的反函数是( ) (A),020xx y x ⎧≥⎪=< (B)2,00x x y x ≥⎧=< (C),020xx y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩(D)2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩ 命题意图: 本题主要考查有关分段函数的反函数的求法.()121:2,.(),(0);22,0,()0.,020.yxy x x f x x y x y f x x xx y x --=∴=∴=≥=-<∴=<⎧≥⎪∴=⎨⎪<⎩解又故选C.例4.已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+,则a = ;b = . 命题意图: 本题主要考查反函数的求法及待定系数法等知识.解:()()11112,,.2222y x a x y a y x a x a =-∴=+∴=+=+与3y bx =+比较得a =6,1.2b =故填162;3.复合函数问题复合函数问题,是新课程、新高考的重点.此类题目往往分为两类:一是结合函数分析式的求法来求复合函数的值.二是使用已知函数定义域求复合函数的定义域.例5.对于函数①()2f x x =+,②2()(2)f x x =-,③()cos(2)f x x =-,判断如下两个命题的真假:命题甲:(2)f x +是偶函数;命题乙:()f x 在()-∞2,上是减函数,在(2)+∞,上是增函数; 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是( ) A.①②B.①③C.②D.③命题意图: 本题主要考查利用复合函数和函数单调性等知识解决问题的能力.解:22()(2),(2)f x x f x x =-∴+=是偶函数,又函数2()(2)f x x =-开口向上且在()-∞2,上是减函数,在(2)+∞,上是增函数.故能使命题甲、乙均为真的函数仅有2()(2)f x x =-.故选C例6.函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=,若()15,f =-则()()5f f =__________.命题意图: 本题主要考查代数式恒等变形和求复合函数的值的能力. 解:由()()12f x f x +=,得()()14()2f x f x f x +==+,所以(5)(1)5f f ==-,则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+.4.函数的单调性、奇偶性和周期性函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一,考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义,掌握判定方法,正确认识单调函数与奇偶函数的图象.例7.已知函数()1,1xf x a z =-+,若()f x 为奇函数,则a =________.命题意图: 本题主要考查函数的分析式的求解以及函数的奇偶性使用. 常规解法:由f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,即,0121121=+-++--x xa a .2112212112112121=++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∴-x x x x a 应填21.巧妙解法:因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0,即.21,01210=∴=+-a a 应填21.点评:巧妙解法巧在利用了f(x)为奇函数,所以f(0)=0,这一重要结论.例8. ()f x ,()g x 是定义在R 上的函数,()()()h x f x g x =+,则“()f x ,()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的( ) A .充要条件B .充分而不必要的条件C .必要而不充分的条件D .既不充分也不必要的条件命题意图: 本题主要考查两个函数的加法代数运算后的单调性以及充分条件和必要条件的相关知识.解 先证充分性:因为()f x ,()g x 均为偶函数, 所以()(),f x f x -=()()g x g x -=,有()()()()()()h x f x g x f x g x h x -=-+-=+=,所以 ()h x 为偶函数.反过来,若()h x 为偶函数,()f x ()g x 不一定是偶函数.如2()h x x =,(),f x x =2()g x x x =-,故选B.方法二:可以选取两个特殊函数进行验证. 故选B点评:对充要条件的论证,一定既要证充分性,又要证必要性,二着缺一不可.同时,对于抽象函数,有时候可以选取特殊函数进行验证. 5.函数的图象与性质函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一,它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此,读者要掌握绘制函数图象的一般方法,掌握函数图象变化的一般规律,能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.例9.函数y=1+a x (0<a <1)的反函数的图象大致是 ( )(A ) (B ) (C ) (D )命题意图: 本题主要考查对数函数的图象,互为反函数图象间关系及对数的运算性质等知识.解:∵y=1+a x (0<a <1),∴()()1log (1),01a f x x a -=-<<.此函数图象是由函数()()log ,01a f x x a =<<向右平移一个单位得到的.故选A. 6. 函数综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一,一般难度较大,考查内容和形式灵活多样. 这里主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力,掌握基本解题技巧和方法,并培养读者的思维和创新能力. 例10.已知.|1|)(22kx x x x f ++-= (Ⅰ)若k = 2,求方程0)(=x f 的解;(Ⅱ)若关于x 的方程0)(=x f 在(0,2)上有两个解x 1,x 2,求k 的取值范围,并证明.41121<+x x命题意图:本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识,以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力。

不等式的解题方法与技巧

不等式的解题方法与技巧

不等式的解题方法与技巧不等式在数学中是一个重要的概念,它在我们的生活中也有着广泛的应用。

解不等式是数学学习中的一个重要环节,掌握好不等式的解题方法和技巧对于学习数学和解决实际问题都是非常有帮助的。

在本文中,我们将介绍不等式的解题方法和技巧,希望能够帮助大家更好地掌握这一部分知识。

一、一元一次不等式的解题方法。

对于一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0,我们可以通过以下步骤来解题:1. 将不等式化为ax>b或ax<b的形式;2. 根据a的正负分情况讨论不等式的解集;3. 最后将解集表示在数轴上。

二、一元二次不等式的解题方法。

对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0,我们可以通过以下步骤来解题:1. 求出不等式的解集;2. 将解集表示在数轴上;3. 根据a的正负和Δ的大小来讨论不等式的解集情况。

三、绝对值不等式的解题方法。

对于绝对值不等式|ax+b|>c或|ax+b|<c,我们可以通过以下步骤来解题:1. 将不等式化为ax+b>c或ax+b<-c的形式;2. 根据a的正负和b的正负分情况讨论不等式的解集;3. 最后将解集表示在数轴上。

四、不等式的常见技巧。

在解不等式的过程中,我们还可以运用一些常见的技巧来简化问题,比如:1. 两边加减同一个数或同一个式子;2. 两边乘除同一个正数或同一个正数的倒数;3. 两边取倒数;4. 两边平方等等。

五、注意事项。

在解不等式的过程中,我们需要注意一些常见的问题,比如:1. 在进行乘除运算时,需要考虑a的正负情况;2. 在进行平方运算时,需要注意Δ的大小;3. 在进行绝对值不等式的运算时,需要分情况讨论。

总结。

通过本文的介绍,我们了解了不等式的解题方法和技巧,希望大家能够通过练习掌握好这些知识,提高解不等式的能力。

不等式是数学学习中的一个重要内容,也是解决实际问题的重要工具,希望大家能够认真对待,多加练习,掌握好这一部分知识。

数学不等式与函数题解题技巧和思路分享

数学不等式与函数题解题技巧和思路分享

数学不等式与函数题解题技巧和思路分享数学是一门既抽象又具体的学科,其中不等式与函数是数学中的重要内容。

解题技巧和思路在数学学习中起到至关重要的作用。

本文将分享一些解决数学不等式与函数题的技巧和思路,帮助读者更好地应对这类题目。

一、不等式题解题技巧不等式题是数学中常见的题型,解题时需要注意以下几个技巧:1. 观察不等式的形式:不等式可以分为一元不等式和多元不等式。

对于一元不等式,我们可以通过图像、区间、符号等方式进行分析;对于多元不等式,需要考虑各个变量之间的关系。

2. 利用性质进行转化:有时候,我们可以通过一些性质将不等式转化为更简单的形式。

例如,对于二次不等式,可以利用平方差公式将其转化为完全平方差形式,从而更方便进行求解。

3. 运用数学方法:在解决不等式问题时,可以借助数学方法进行推导和证明。

例如,可以利用数列的性质、平均值不等式、柯西-施瓦茨不等式等进行推导,从而得到更加准确的结果。

4. 注意特殊情况:在解决不等式问题时,需要注意特殊情况的存在。

例如,当不等式中的变量为负数或零时,不等式的符号可能会发生变化,需要进行特殊处理。

二、函数题解题技巧函数题是数学中的重要内容,解题时需要注意以下几个技巧:1. 理解函数的定义与性质:在解决函数题时,首先需要理解函数的定义与性质。

例如,对于一元函数,需要了解其定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,从而更好地进行分析和推导。

2. 利用函数的图像进行分析:函数的图像可以直观地反映函数的性质。

通过观察函数的图像,可以获得一些关于函数的信息,从而更好地解决函数题。

3. 运用函数的性质进行推导:在解决函数题时,可以利用函数的性质进行推导和证明。

例如,可以利用导数的定义和性质进行函数的最值求解,利用函数的连续性进行函数的极限计算等。

4. 注意函数的特殊情况:在解决函数题时,需要注意函数的特殊情况。

例如,当函数的定义域存在间断点时,需要进行特殊处理;当函数存在极值点时,需要进行极值点的求解。

高考数学中如何处理不等式和函数不等式

高考数学中如何处理不等式和函数不等式

高考数学中如何处理不等式和函数不等式高中生的一大考验就是高考。

而在高考数学中,不等式和函数不等式是必考的考点。

然而,相较于直观的解题方法,不等式和函数不等式常常需要一定的技巧和灵活的思维方式。

本文将从解不等式和函数不等式的基本方法、案例分析和解题技巧等几个方面来探讨高考数学中如何处理不等式和函数不等式。

一、解不等式和函数不等式的基本方法1、将不等式化为一般形式。

处理不等式的第一步是把它化为一般形式,并且尽量把不等式的系数整理规范化。

然后,要对系数进行讨论来确定解不等式的范围。

举个例子:解不等式 $x-1\ge2x+3$。

我们可以移项化简得到$x\le-4$。

这样,我们就得出了不等式的解,也就是 $(-\infty,-4]$。

2、降低不等关系的阶数。

减少不等式中的绝对值、分式、开方等带有异于一次的函数形式,能促进求根工作。

有时还可以利用平方、移项等方法,将含有不等关系的式子处理为左式和右式的关系,即分成两个简单的不等式。

举个例子:解不等式 $|x+2|+|x+3|\ge5$。

我们可以使用等效方法将不等式处理为两个不等式的和,即 $|x+2|\ge1$ 或$|x+3|\ge4$。

最后的解集为 $x\le-3$ 或 $x\le-2$ 或 $x\ge2$。

3、分类讨论解不等式。

不同的不等式形式需要采用不同的解题方法。

没有一个万能的方法。

因此,我们需要根据特点和个别情况,考虑选择合适的解题方法。

举个例子:解不等式 $\frac{3}{1-x}+\frac{x+1}{x-3}\le0$。

我们可以把不等式的解划分为 $x\le-2$,$-2\lt x\lt1$ 和$x\ge1$ 三个区间来分别进行讨论。

二、案例分析1、绝对值不等式绝对值不等式是高中数学中非常重要的一个概念。

例如: $|x-2|<5$ 。

这里,我们可以先把不等式转化成两种不等式:$x-2<5$ 和 $x-2>-5$,再分别求解,得:x<7 和 x>-3。

不等式的应用解题方法与技巧

不等式的应用解题方法与技巧

不等式的应用解题方法与技巧不等式是数学中的一个重要概念,广泛应用于解决实际问题和证明数学定理。

在解决不等式问题时,我们需要运用一些方法和技巧,以便更好地理解和求解不等式。

本文将介绍一些常用的不等式应用解题方法与技巧。

1.几何方法:利用几何图形的性质和特点进行不等式的证明和求解。

例如,可以利用几何图形的面积、周长和边长等关系来解决不等式问题。

2.分析方法:利用函数的性质进行不等式的证明和求解。

例如,可以通过分析函数的单调性、奇偶性和极值等特点来求解不等式问题。

3.递推方法:通过构造递推关系式,将复杂的不等式问题转化为简单的递推序列,从而求解不等式问题。

4.特殊技巧:利用一些特殊的不等式技巧进行不等式的证明和求解。

例如,利用均值不等式、柯西-施瓦茨不等式和归纳法等方法来解决复杂的不等式问题。

5.等效转化法:通过对不等式进行等效转化,将原不等式转化为易于求解的等价不等式,从而简化不等式求解的过程。

6.归纳法:通过归纳的思路,逐步推导不等式的解空间,从而求解不等式问题。

归纳法对于复杂的不等式问题尤为有效。

7.分组法:将不等式中的变量进行分组,以便更好地理解和求解不等式。

分组法常常可以简化不等式的结构,使其更易于判断和求解。

8.拆分法:将复杂的不等式拆分成多个简单的不等式,从而逐一求解。

拆分法可以降低不等式问题的难度,使其更容易求解。

9.借助替换:通过借助一些等价不等式或变量替换,将原不等式转化为更容易求解的形式。

借助替换可以使不等式的求解过程更简单和直观。

10.运用不等式定理:利用一些已知的不等式定理,通过推导和运用定理来求解不等式问题。

常用的不等式定理包括二次平均不等式、均值不等式和柯西-施瓦茨不等式等。

以上是一些常用的不等式应用解题方法与技巧,这些方法和技巧可以在解决不等式问题时起到指导作用。

当然,在实际问题中,我们还需要根据具体情况选择合适的解题方法与技巧,以便更好地应用不等式解决实际问题。

不等式的应用解题方法与技巧

不等式的应用解题方法与技巧

不等式的应用解题方法与技巧解不等式的问题需要掌握一些基本的数学知识,以下是一些解决不等式问题的方法和技巧:
1. 熟悉基本概念:理解不等式的基本定义,知道什么是大于、小于、等于以及他们的符号表示。

此外,还要了解绝对值、平方根等基本数学概念。

2. 掌握求解步骤:一般情况下,求解一个不等式需要先移项,再化简,最后确定解集。

在移项时要注意变号,在化简时要灵活运用乘法分配律等基础知识。

3. 注意系数正负:在移项过程中,如果某个项的系数为负,那么这个项就需要改变符号。

因此,注意每个项的系数是正还是负是非常重要的。

4. 能够识别图形:有时不等式的问题会转化为几何问题,这时能够识别直角坐标系中的直线、圆、抛物线等各种图形是非常有用的。

5. 利用特殊值检验:当无法直接求出解集时,可以尝试使用特殊值来检验答案是否正确。

比如,对于形如ax + b > 0的不等式,可以尝试取x = -b/a看看是否满足不等式。

6. 不断练习:解决不等式问题需要一定的技巧和经验,多做题目可以帮助你更好地理解和熟练这些技巧。

数学不等式题解题技巧和突破方法

数学不等式题解题技巧和突破方法

数学不等式题解题技巧和突破方法数学不等式题在高中数学中占有重要地位,也是考试中常见的题型之一。

解不等式题需要一定的技巧和方法,下面将介绍一些常见的解题技巧和突破方法。

1. 分类讨论法不等式题中常常需要对不同情况进行分类讨论,以找到合适的解题方法。

例如,当不等式中存在绝对值时,可以将其分为正数和负数两种情况进行讨论。

又如,当不等式中有分式时,可以根据分子分母的正负性进行分类讨论。

通过分类讨论,可以将复杂的不等式转化为简单的情况进行求解。

2. 套路法解不等式题时,有一些常见的套路可以帮助我们快速解题。

例如,对于形如a^2 - b^2 > 0的不等式,可以将其因式分解为(a+b)(a-b)>0,并根据乘积为正的性质得到解集。

又如,对于形如a^2 + b^2 > 0的不等式,可以直接得到解集为全体实数。

掌握这些套路可以极大地提高解题效率。

3. 变量替换法有时候,通过合适的变量替换可以简化不等式的形式,从而更容易求解。

例如,当不等式中存在平方根时,可以通过令变量等于平方根的形式,将其转化为简单的二次不等式。

又如,当不等式中存在分式时,可以通过变量替换将其转化为一次不等式。

变量替换的关键是找到合适的变量,使得不等式的形式更简单。

4. 递推法有些不等式题目可以通过递推的方式求解。

递推法的关键是找到递推关系式,通过递推关系式将问题化简为简单的情况。

例如,对于形如a^n - b^n > 0的不等式,可以通过递推关系式(a-b)(a^(n-1) + a^(n-2)b + ... + ab^(n-2) + b^(n-1))>0得到解集。

递推法可以帮助我们快速求解复杂的不等式题目。

5. 反证法有些不等式题目可以通过反证法求解。

反证法的关键是假设不等式不成立,然后推导出矛盾的结论。

通过反证法可以排除一些不可能的情况,从而找到合适的解集。

例如,对于形如a^2 + b^2 >= 2ab的不等式,可以假设a^2 + b^2 < 2ab,然后推导出矛盾的结论,从而得出a^2 + b^2 >= 2ab的结论。

函数不等式恒成立问题解法

函数不等式恒成立问题解法

函数不等式恒成立问题解法函数和不等式是数学中的重要概念和工具,有着广泛的应用。

在解决函数和不等式恒成立的问题时,通常可以采用以下一些基本的解法。

一、函数恒成立问题的解法:1.分析函数的定义域和值域:函数的定义域是所有满足函数定义的输入值的集合,值域则是函数的所有可能输出值的集合。

通过分析函数的定义域和值域,可以判断函数在一些特定范围内是否恒成立。

2.化简和变形:有时候可以通过对函数进行化简和变形来更方便地判断函数的恒成立性。

例如,对于分式函数,可以尝试化简分式,然后观察化简后的形式是否恒成立。

对于多项式函数,可以通过因式分解或配方法进行化简和变形。

3.列出函数的性质和特点:函数有很多性质和特点,例如奇偶性、周期性、增减性等。

通过分析函数的性质和特点,可以判断函数在一些特定条件下是否恒成立。

4.利用函数的图像和性质:通过绘制函数的图像,可以帮助我们直观地理解函数的性质和变化趋势。

对于一些特殊类型的函数,如三角函数和指数函数,可以利用函数的图像和性质来判断函数是否恒成立。

二、不等式恒成立问题的解法:1.利用性质和等价变形:不等式有一些基本性质和等价变形,如加减性、乘除性、取反性、平方性等。

通过利用这些性质和等价变形,可以将原不等式转化为等价的不等式,然后判断等价不等式的恒成立性。

2.化简和变形:和函数恒成立问题类似,有时候可以通过对不等式进行化简和变形来更方便地判断不等式的恒成立性。

例如,可以合并同类项、化简分式、配方等。

3.列出不等式的性质和特点:不等式也有一些性质和特点,如单调性、对称性、周期性等。

通过分析不等式的性质和特点,可以判断不等式在一些特定条件下是否恒成立。

4.利用数轴和区间:对于一元不等式,可以利用数轴和区间的表示法来帮助我们理解和解决不等式。

可以将不等式中的变量表示在数轴上,并根据不等式的性质和条件,确定变量可取的范围和解集。

以上是一些常见的解决函数和不等式恒成立问题的基本方法和思路。

如何解函数不等式

如何解函数不等式

解函数不等式是高中数学中的重点内容,主要涉及到对函数性质的深入理解和运用。

一般来说,解函数不等式的方法包括以下几种:1. 利用函数的单调性解不等式:当函数在其定义域上单调增加或单调减少时,可以利用这一性质来判断函数值与零点的大小关系,从而解决不等式问题。

例如,如果函数f(x)在区间[a, b]上单调增加,那么对于任意x1, x2 ∈[a, b],如果x1 < x2,则f(x1) < f(x2)。

2. 利用函数的奇偶性解不等式:如果函数是奇函数,那么对于所有x,有f(-x) = -f(x);如果函数是偶函数,那么对于所有x,有f(-x) = f(x)。

这种性质可以帮助我们在解不等式时,通过考虑函数在特定点的值来简化问题。

3. 利用函数图象解不等式:通过绘制函数的图象,可以直观地看出函数在各个区间内的取值情况,从而判断不等式的解集。

这种方法通常适用于一次函数、二次函数等简单函数。

4. 导数法:在已知函数f(x)的基础上,构造新函数g(x) = f'(x),通过研究g(x)的单调性来判断f(x)的取值范围。

例如,如果f(x)在点x0处取得极值,那么可以通过研究f'(x)在x0附近的符号变化来确定f(x)的增减性。

5. 转化法:当原不等式不易直接求解时,可以通过转化,例如构造辅助函数、变量替换等方式,将原不等式转化为易于求解的形式。

以一个具体的例子来说明如何解函数不等式:假设我们需要解不等式f(x) > 0,其中f(x) = x^2 - 3x + 2。

步骤如下:-分析函数性质:f(x)是一个二次函数,开口向上,其顶点为(1.5, -0.25)。

-找出关键点:通过求导数f'(x) = 2x - 3,并找出其零点,我们可以得到关键点x=1.5。

-绘制函数图象:在坐标轴上绘制f(x)的图象,并找出其与x轴的交点(即解集)。

-分析图象:从图象上可以看出,f(x)在x < 1.5和x > 1.5的区间内是大于零的。

高考数学中的三角函数方程与不等式求解技巧

高考数学中的三角函数方程与不等式求解技巧

高考数学中的三角函数方程与不等式求解技巧高考数学中,三角函数方程和不等式的求解是一个重要的考点。

掌握了相关的求解技巧,不仅可以提升数学成绩,还能在解决实际问题时起到关键作用。

本文将介绍一些常见的三角函数方程和不等式求解技巧,希望能对广大考生有所帮助。

一、三角函数方程的求解技巧1. 化简与等价变形在解三角函数方程时,首先要将复杂的方程化简为简单的形式。

通过等价变形,将方程转化为更易求解的形式,例如利用倒数公式、和差化积公式、和差化简等。

2. 观察周期性大多数三角函数具有周期性。

因此,在求解三角函数方程时,要充分利用函数图像的周期性质。

可以通过观察函数值的变化规律,找到方程在一个周期内的解,并推广到整个定义域。

3. 递推思想当遇到复杂的三角函数方程时,可以通过递推思想来解决。

即将方程中的变量逐步代入,化简为只含有一个未知数的方程,并逐步求解得到最终结果。

4. 回代与验证在得到方程的解后,要进行回代与验证。

将解代入原方程,验证等式是否成立。

如果成立,则解是方程的解;如果不成立,则需要重新检查求解过程。

二、三角函数不等式的求解技巧1. 图像法在解三角函数不等式时,可以绘制函数的图像来直观地找到不等式的解集。

通过观察图像的上升和下降趋势,确定不等式的取值范围。

2. 移项与化简与方程求解类似,不等式的求解也要通过移项和化简来将复杂的不等式转化为简单的形式。

通过等价变形,将不等式转化为更易求解的形式。

3. 考虑周期性与对称性三角函数的周期性和对称性是解三角函数不等式的重要技巧。

利用函数图像的周期性和对称性,可以将不等式的解集缩小到一个周期内,然后推广到整个定义域。

4. 关系式的转化有时候,将不等式转化为等价的关系式,可以更方便地求解。

例如,将不等式化为方程,然后根据方程的解集求解不等式的解集。

总结:高考数学中的三角函数方程与不等式求解技巧可以通过化简与等价变形、观察周期性、递推思想、图像法、移项与化简、考虑周期性与对称性、关系式的转化等方法来解决。

高中数学不等式解题技巧

高中数学不等式解题技巧

高中数学不等式解题技巧高中数学中,不等式是一个重要的知识点,也是考试中常见的题型之一。

解不等式题目需要一定的技巧和方法,下面将介绍一些常见的解题技巧,帮助高中学生更好地应对不等式题目。

1. 转化形式有时候,我们可以通过转化不等式的形式来简化问题。

例如,对于不等式3x-2>5,我们可以将其转化为3x>7,进一步得到x>7/3。

这样,我们就得到了不等式的解集。

2. 加减法原则对于不等式中的加减法,我们需要注意一些原则。

当不等式的两边同时加上(或减去)一个数时,不等号的方向不变。

例如,对于不等式2x+3>7,我们可以将其化简为2x>4,进一步得到x>2。

3. 乘法原则对于不等式中的乘法,我们同样需要注意一些原则。

当不等式的两边同时乘以一个正数时,不等号的方向不变。

例如,对于不等式2x<8,我们可以将其化简为x<4。

但是,当不等式的两边同时乘以一个负数时,不等号的方向需要改变。

例如,对于不等式-2x>8,我们需要将其乘以-1,同时改变不等号的方向,得到2x<-8,进一步得到x<-4。

4. 绝对值不等式绝对值不等式是高中数学中常见的题型之一。

解绝对值不等式的关键是找到绝对值的取值范围。

例如,对于不等式|2x-3|<7,我们可以将其拆分为两个不等式2x-3<7和2x-3>-7,得到x<5和x>-2。

综合起来,我们可以得到-2<x<5,即解集为(-2, 5)。

5. 二次函数不等式二次函数不等式也是高中数学中常见的题型之一。

对于二次函数不等式,我们可以通过求解二次函数的零点来确定不等式的解集。

例如,对于不等式x^2-4x+3>0,我们可以将其化简为(x-1)(x-3)>0,得到x<1或x>3。

综合起来,我们可以得到解集为(-∞, 1)∪(3, +∞)。

综上所述,解不等式题目需要一定的技巧和方法。

高中函数与不等式问题的解题技巧

高中函数与不等式问题的解题技巧

第三讲 函数与不等式问题的解题技巧1.通过选择题和填空题,全面考查函数的基本概念,性质和图象. 2.在解答题的考查中,与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现. 3.从数学具有高度抽象性的特点出发,没有忽视对抽象函数的考查. 4.一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的. 5.涌现了一些函数新题型.6.函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题,而且对于数列,不等式,解析几何等也需要用函数与方程思想作指导. 【例题解析】1.函数的定义域及其求法函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法,并会应用用函数的定义域解决有关问题.例1.(2007年广东卷理)已知函数()f x =的定义域为M ,g(x)=ln(1)x +的定义域为N ,则M ∩N=(A ){|1}x x >- (B ){|1}x x < (C ){|11}x x -<< (D )∅ 命题意图: 本题主要考查含有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法.解:函数()f x 的定义域M={}1,x x < g(x)=ln(1)x +的定义域N={}1,x x >-∴M ∩N={|11}x x -<<. 故选C例2. ( 2006年湖南卷)函数y ( )(A )(3,+∞) (B )[3, +∞) (C )(4, +∞) (D )[4, +∞)命题意图: 本题主要考查含有无理式和对数的函数的定义域的求法.解:由204.log 20x x x >⎧⇒>⎨->⎩,故选D.2.求函数的反函数求函数的反函数,有助与培养人的逆向思维能力和深化对函数的定义域、值域,以及函数概念的理解.例3.(2006年安徽卷)函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩ 的反函数是( ) (A),020xx y x ⎧≥⎪=< (B)2,00x x y x ≥⎧=<(C),020xx y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩ (D)2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩ 命题意图: 本题主要考查有关分段函数的反函数的求法.()121:2,.(),(0);22,0,()0.,020.yxy x x f x x y x y f x x xx y x --=∴=∴=≥=-<∴=<⎧≥⎪∴=⎨⎪<⎩解又故选C.例4.(2007年湖北卷理)已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+,则a = ;b = .命题意图: 本题主要考查反函数的求法及待定系数法等知识.解:()()11112,,.2222y x a x y a y x a x a =-∴=+∴=+=+与3y bx =+比较得a =6,1.2b = 故填162;3.复合函数问题复合函数问题,是新课程、新高考的重点.此类题目往往分为两类:一是结合函数解析式的求法来求复合函数的值.二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域. 例5.(2007年北京卷文)对于函数①()2f x x =+,②2()(2)f x x =-,③()cos(2)f x x =-,判断如下两个命题的真假: 命题甲:(2)f x +是偶函数;命题乙:()f x 在()-∞2,上是减函数,在(2)+∞,上是增函数; 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是( ) A.①② B.①③ C.② D.③命题意图: 本题主要考查利用复合函数和函数单调性等知识解决问题的能力. 解:22()(2),(2)f x x f x x =-∴+=是偶函数,又函数2()(2)f x x =-开口向上且在()-∞2,上是减函数,在(2)+∞,上是增函数.故能使命题甲、乙均为真的函数仅有2()(2)f x x =-. 故选C例6.(2006年安徽卷)函数()f x对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=,若()15,f =-则()()5f f =__________.命题意图: 本题主要考查代数式恒等变形和求复合函数的值的能力.解:由()()12f x f x +=,得()()14()2f x f x f x +==+,所以(5)(1)f f ==-,则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+.4.函数的单调性、奇偶性和周期性函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一,考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义,掌握判定方法,正确认识单调函数与奇偶函数的图象.例7.(2006年全国卷) 已知函数()1,1x f x a z =-+,若()f x 为奇函数,则a =________.命题意图: 本题主要考查函数的解析式的求解以及函数的奇偶性应用. 常规解法:由f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,即,0121121=+-++--x xa a.2112212112112121=++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∴-xx x x a 应填21.巧妙解法:因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0,即.21,01210=∴=+-a a 应填21. 点评:巧妙解法巧在利用了f(x)为奇函数,所以f(0)=0,这一重要结论.例8.(2007年全国卷理I )()f x ,()g x 是定义在R 上的函数,()()()h x f x g x =+,则“()f x ,()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的( )A .充要条件B .充分而不必要的条件C .必要而不充分的条件D .既不充分也不必要的条件命题意图: 本题主要考查两个函数的加法代数运算后的单调性以及充分条件和必要条件的相关知识.解 先证充分性:因为()f x ,()g x 均为偶函数, 所以()(),f x f x -=()()g x g x -=,有()()()()()()h x f x g x f x g x h x -=-+-=+=,所以 ()h x 为偶函数.反过来,若()h x 为偶函数,()f x ()g x 不一定是偶函数.如2()h x x =,(),f x x =2()g x x x =-,故选B.方法二:可以选取两个特殊函数进行验证. 故选B点评:对充要条件的论证,一定既要证充分性,又要证必要性,二着缺一不可.同时,对于抽象函数,有时候可以选取特殊函数进行验证. 5.函数的图象与性质函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一,它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此,读者要掌握绘制函数图象的一般方法,掌握函数图象变化的一般规律,能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.例9.(2006年山东卷)函数y=1+ax(0<a<1)的反函数的图象大致是 ( )(A ) (B ) (C ) (D ) 命题意图: 本题主要考查对数函数的图象,互为反函数图象间关系及对数的运算性质等知识. 解:∵y=1+ax(0<a<1),∴()()1log (1),01a f x x a -=-<<.此函数图象是由函数()()log ,01a f x x a =<<向右平移一个单位得到的.故选A.6. 函数综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一,一般难度较大,考查内容和形式灵活多样. 这里主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力,掌握基本解题技巧和方法,并培养读者的思维和创新能力.例10.(2007年浙江卷文)已知.|1|)(22kx x x x f ++-=(Ⅰ)若k = 2,求方程0)(=x f 的解;(Ⅱ)若关于x 的方程0)(=x f 在(0,2)上有两个解x1,x2,求k 的取值范围,并证明.41121<+x x命题意图:本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识,以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力。

函数不等式解法

函数不等式解法

函数不等式解法函数不等式是函数的一类特殊问题,它需要通过解函数不等式来确定变量的取值范围。

解函数不等式的方法有很多,可以通过图像法、代数研究法、符号法等不同的方法来解决。

在本文中,我们将重点介绍图像法、代数研究法和符号法三种解函数不等式的常用方法。

一、图像法图像法是通过绘制函数图像来解决函数不等式问题的一种方法。

我们可以通过观察函数的图像来确定函数的取值范围。

以一元一次函数为例,假设有函数y = ax + b,其中a和b为常数。

要解决不等式y > ax + b的问题,可以按照以下步骤进行:1. 绘制函数y = ax + b的图像。

2. 在图像上用虚线y = ax + b标出直线。

3. 观察直线y = ax + b的上方或下方的区域,这个区域即为函数y > ax + b的解。

对于一元二次函数y = ax^2 + bx + c,要解决不等式y > ax^2 + bx + c的问题,可以按照以下步骤进行:1. 绘制函数y = ax^2 + bx + c的图像。

2. 在图像上用点y = ax^2 + bx + c标出抛物线的顶点。

3. 观察抛物线的开口方向和顶点的位置,确定函数y > ax^2 + bx + c 的解。

通过图像法解函数不等式的好处是直观、易于理解,可以通过观察图像快速确定函数的取值范围。

二、代数研究法代数研究法是通过代数的方法解决函数不等式问题的一种方法。

我们通过对不等式进行变形、移项、求导等操作,得出函数的解。

以一元一次函数为例,假设有函数y = ax + b,要解决不等式y > ax + b的问题,可以按照以下步骤进行:1. 将不等式y > ax + b移项得到ax + b < y。

2. 通过观察系数a的正负情况可以确定不等式ax + b < y中的 < 号的方向。

3. 将不等式ax + b < y换算成y - ax - b > 0的形式。

不等式的解题方法与技巧

不等式的解题方法与技巧

不等式的解题方法与技巧不等式是数学中常见的一种数学关系式,它在数学和实际问题中都有着重要的应用。

解不等式是数学学习中的重要内容之一,而解题方法和技巧的掌握对于解不等式问题至关重要。

在本文中,我们将介绍不等式的解题方法与技巧,帮助读者更好地理解和掌握不等式的解题过程。

首先,要解不等式问题,我们需要了解不等式的基本性质。

不等式的基本性质包括加减性质、乘除性质和绝对值性质。

其中,加减性质指的是不等式两边同时加减一个数,不等号的方向不变;乘除性质指的是不等式两边同时乘除一个正数,不等号的方向不变,而同时乘除一个负数时,不等号的方向会发生改变;绝对值性质指的是绝对值不等式的性质,即对于任意实数a,有|a|≥0,且|a|=0当且仅当a=0。

了解这些基本性质对于解不等式问题至关重要。

其次,解不等式问题时,我们需要根据不等式的类型选择合适的解题方法。

一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等不同类型的不等式需要采用不同的解题方法。

对于一元一次不等式,我们可以通过移项、合并同类项等方法将不等式化简为标准形式,然后根据不等式的性质进行求解;对于一元二次不等式,我们可以通过因式分解、配方法等方式将不等式化简为标准形式,然后利用二次函数图像或者判别式等方法进行求解;对于绝对值不等式,我们可以根据绝对值的性质进行分类讨论,然后进行求解。

选择合适的解题方法对于解不等式问题至关重要。

此外,解不等式问题时,我们还需要注意一些常见的技巧。

比如,当不等式中存在绝对值时,我们可以通过分情况讨论的方法进行求解;当不等式中存在分式时,我们可以通过通分的方法将不等式化简为标准形式,然后进行求解;当不等式中存在根式时,我们可以通过平方法或者配方法等方式将不等式化简为标准形式,然后进行求解。

这些技巧在解不等式问题时经常会用到,对于提高解题效率和准确性有着重要的作用。

总之,不等式的解题方法与技巧是数学学习中的重要内容,对于提高数学解题能力和逻辑思维能力有着重要的作用。

不等式的解题方法与技巧

不等式的解题方法与技巧

不等式的解题方法与技巧
解不等式的方法和技巧有很多种。

下面将介绍一些常见的解不等式的方法和技巧,请注意无重复标题。

1. 移项法:通过移项将不等式转化为形如x < a或x > a的简单不等式。

要注意当移项时改变不等式的方向。

2. 合并同类项法:利用合并同类项的性质,将不等式中的项进行合并,化简为更简单的形式。

3. 乘除法:当不等式中的系数为正数时,可以利用乘除法来消除系数。

需要注意当乘或除以负数时要改变不等式的方向。

4. 绝对值不等式:当不等式中含有绝对值时,可以根据绝对值的性质进行分类讨论,分别解出不等式的解集。

5. 平方根法:当不等式中含有平方根时,可以通过平方根的性质来解不等式。

6. 图像法:可以通过绘制不等式所对应的方程的图像来找出不等式的解集。

7. 区间法:将不等式转化为区间表示的形式,根据不等式的性质来找出满足条件的区间。

除了以上提到的方法外,还有一些高级的解不等式方法,如二次函数法、导数法等,更适用于复杂的不等式问题。

解不等式
时,需要注意不等式的性质和变量的范围限制,合理选择合适的解题方法和技巧。

2.函数与不等式问题的解题技巧

2.函数与不等式问题的解题技巧

第三讲 函数与不等式问题的解题技巧【例题解析】 1.函数的定义域及其求法函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法,并会应用用函数的定义域解决有关问题. 例1.已知函数()f x 的定义域为M ,g(x)=ln(1)x +的定义域为N ,则M∩N=(A ){|1}x x >- (B ){|1}x x < (C ){|11}x x -<< (D )∅ 命题意图: 本题主要考查含有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法. 解:函数()f x 的定义域M={}1,x x < g(x)=ln(1)x +的定义域N={}1,x x >-∴M∩N={|11}x x -<<. 故选C例2函数y =( )(A )(3,+∞) (B )[3, +∞) (C )(4, +∞) (D )[4, +∞) 命题意图: 本题主要考查含有无理式和对数的函数的定义域的求法.解:由20 4.log 20x x x >⎧⇒>⎨->⎩,故选D.2.求函数的反函数求函数的反函数,有助与培养人的逆向思维能力和深化对函数的定义域、值域,以及函数概念的理解.例3.函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩ 的反函数是( ) (A),020xx y x ⎧≥⎪=< (B)2,00x x y x ≥⎧=< (C),020xx y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩(D)2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩ 命题意图: 本题主要考查有关分段函数的反函数的求法.()121:2,.(),(0);22,0,()0.,020.yxy x x f x x y x y f x x xx y x --=∴=∴=≥=-<∴=<⎧≥⎪∴=⎨⎪<⎩解又故选C.例4.已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+,则a = ;b = . 命题意图: 本题主要考查反函数的求法及待定系数法等知识.解:()()11112,,.2222y x a x y a y x a x a =-∴=+∴=+=+与3y bx =+比较得a =6,1.2b =故填162;3.复合函数问题复合函数问题,是新课程、新高考的重点.此类题目往往分为两类:一是结合函数解析式的求法来求复合函数的值.二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域.例5.(2007年北京卷文)对于函数①()2f x x =+,②2()(2)f x x =-,③()cos(2)f x x =-,判断如下两个命题的真假: 命题甲:(2)f x +是偶函数;命题乙:()f x 在()-∞2,上是减函数,在(2)+∞,上是增函数; 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是( ) A.①②B.①③C.②D.③命题意图: 本题主要考查利用复合函数和函数单调性等知识解决问题的能力.解:22()(2),(2)f x x f x x =-∴+=是偶函数,又函数2()(2)f x x =-开口向上且在()-∞2,上是减函数,在(2)+∞,上是增函数.故能使命题甲、乙均为真的函数仅有2()(2)f x x =-. 故选C例6.函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=,若()15,f =-则()()5f f =__________.命题意图: 本题主要考查代数式恒等变形和求复合函数的值的能力. 解:由()()12f x f x +=,得()()14()2f x f x f x +==+,所以(5)(1)5f f ==-,则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+.4.函数的单调性、奇偶性和周期性函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一,考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义,掌握判定方法,正确认识单调函数与奇偶函数的图象.例7. 已知函数()1,1xf x a z =-+,若()f x 为奇函数,则a =________.命题意图: 本题主要考查函数的解析式的求解以及函数的奇偶性应用. 常规解法:由f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,即,0121121=+-++--x xa a .2112212112112121=++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∴-x x x x a 应填21. 巧妙解法:因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0,即.21,01210=∴=+-a a 应填21. 点评:巧妙解法巧在利用了f(x)为奇函数,所以f(0)=0,这一重要结论.例8. ()f x ,()g x 是定义在R 上的函数,()()()h x f x g x =+,则“()f x ,()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的( ) A .充要条件B .充分而不必要的条件C .必要而不充分的条件D .既不充分也不必要的条件命题意图: 本题主要考查两个函数的加法代数运算后的单调性以及充分条件和必要条件的相关知识.解 先证充分性:因为()f x ,()g x 均为偶函数, 所以()(),f x f x -=()()g x g x -=,有()()()()()()h x f x g x f x g x h x -=-+-=+=,所以 ()h x 为偶函数.反过来,若()h x 为偶函数,()f x ()g x 不一定是偶函数.如2()h x x =,(),f x x =2()g x x x =-,故选B.方法二:可以选取两个特殊函数进行验证. 故选B点评:对充要条件的论证,一定既要证充分性,又要证必要性,二着缺一不可.同时,对于抽象函数,有时候可以选取特殊函数进行验证. 5.函数的图象与性质函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一,它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此,读者要掌握绘制函数图象的一般方法,掌握函数图象变化的一般规律,能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.例9.(2006年山东卷)函数y=1+a x (0<a <1)的反函数的图象大致是 ( )(A ) (B ) (C ) (D )命题意图: 本题主要考查对数函数的图象,互为反函数图象间关系及对数的运算性质等知识.解:∵y=1+a x (0<a <1),∴()()1log (1),01a f x x a -=-<<.此函数图象是由函数()()log ,01a f x x a =<<向右平移一个单位得到的.故选A. 6. 函数综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一,一般难度较大,考查内容和形式灵活多样. 这里主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力,掌握基本解题技巧和方法,并培养读者的思维和创新能力. 例10.已知.|1|)(22kx x x x f ++-= (Ⅰ)若k = 2,求方程0)(=x f 的解;(Ⅱ)若关于x 的方程0)(=x f 在(0,2)上有两个解x 1,x 2,求k 的取值范围,并证明.41121<+x x命题意图:本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识,以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力。

不等式的解题方法与技巧

不等式的解题方法与技巧

不等式的解题方法与技巧不等式在数学中是一个非常重要的概念,它广泛应用于代数、几何和数学分析等领域。

解不等式是数学学习中的一项基本技能,掌握不等式的解题方法和技巧对于提高数学水平至关重要。

本文将介绍不等式的解题方法与技巧,帮助读者更好地理解和掌握不等式的解题技巧。

首先,我们来看一元一次不等式的解题方法。

一元一次不等式的解题方法与一元一次方程的解题方法类似,需要通过逆运算来求解不等式。

例如,对于不等式2x + 3 > 7,我们首先将不等式转化为等价的形式2x > 4,然后再通过除以正数2的方式得到x > 2的解。

在解一元一次不等式时,需要注意对不等式两边同时进行相同的运算,以确保不等式的等价性不变。

其次,我们来讨论一元二次不等式的解题方法。

一元二次不等式的解题方法相对复杂一些,需要通过图像法或者配方法来求解。

对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0,我们可以先求出对应的二次函数的图像,然后通过图像的位置关系来确定不等式的解集。

另外,对于一元二次不等式的解题方法,还可以通过配方法将不等式转化为完全平方式,然后再求解。

在解一元二次不等式时,需要注意对不等式进行因式分解和求根的方法,以确保得到正确的解集。

最后,我们来总结一下解不等式的一般技巧。

在解不等式时,需要注意以下几点,首先,要注意不等式的变形和化简,将不等式转化为等价的形式;其次,要注意不等式两边同时进行相同的运算,以确保不等式的等价性不变;最后,要注意对特殊情况的处理,如不等式中存在绝对值、分式或者根式时,需要特别注意对这些情况的处理方法。

总之,解不等式是数学学习中的一项重要技能,掌握不等式的解题方法与技巧对于提高数学水平至关重要。

通过本文的介绍,相信读者对不等式的解题方法与技巧有了更深入的理解和掌握,希望读者能够在今后的学习中更加游刃有余地解决各种不等式问题。

管综数学重点题型解题技巧

管综数学重点题型解题技巧

管综数学重点题型解题技巧一、代数方程和不等式1.解题技巧:2.(1)消元法:对于含有两个未知数的方程,可以通过代入或加减消元法来求解。

3.(2)因式分解法:将方程化为几个因式的乘积形式,从而找到解。

4.(3)配方法:将方程化为完全平方的形式,便于求解。

5.(4)根的性质法:利用根与系数的关系,简化方程的求解过程。

6.示例分析:7.例如,解方程 x^2 - 4x + 3 = 0 可以采用因式分解法,得到 (x-1)(x-3) =0,从而得到解 x=1 和 x=3。

二、集合与逻辑推理1.解题技巧:2.(1)集合运算:利用集合的交、并、补等基本运算规则,解决集合问题。

3.(2)逻辑推理:根据已知条件和逻辑关系,逐步推导出结论。

4.示例分析:5.例如,对于集合 A 和 B,如果 A = {1,2,3},B = {2,3,4},求 A 和 B 的并集。

根据集合的并运算规则,得到 A∪B = {1,2,3,4}。

三、函数与数列1.解题技巧:2.(1)函数性质:理解函数的单调性、奇偶性等基本性质,有助于解决相关问题。

3.(2)数列的通项和求和:掌握等差数列和等比数列的通项公式和求和公式。

4.示例分析:5.例如,对于函数f(x) = x^2,可以判断它是一个偶函数,因为f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)。

四、平面几何与立体几何1.解题技巧:2.(1)图形性质:掌握常见图形的性质和定理,如三角形、四边形、圆等。

3.(2)空间想象:对于立体几何问题,需要具备一定的空间想象能力。

4.示例分析:5.例如,对于三角形 ABC,已知 AB = AC,D 是 BC 的中点,求证 AD⊥BC。

根据三角形的性质,由于 AB = AC,所以∠B = ∠C。

又因为 D 是 BC 的中点,所以 AD⊥BC。

五、概率论与数理统计1.解题技巧:2.(1)概率计算:掌握概率的基本计算方法,如独立事件、互斥事件等。

3.(2)分布函数:理解常见的分布函数及其性质,如二项分布、正态分布等。

不等式问题求解技巧

不等式问题求解技巧

不等式问题求解技巧不等式是数学中常见且重要的问题类型,解决不等式可以帮助我们确定未知变量的区间范围,从而解决实际问题。

接下来,我将为您总结一些解决不等式问题的技巧和方法。

1. 理解不等式的意义:不等式是带有大于号(>)、小于号(<)、大于等于号(≥)、小于等于号(≤)的数学表达式。

不等式解表示使不等式成立的变量的取值范围。

求解不等式时,我们要找到使不等式成立的变量的取值范围。

2. 不等式的基本性质:a. 相等性质:如果两个不等式的两边相等,那么原来的不等式仍然成立。

例如,如果a > b,那么a + c > b + c。

b. 翻转性质:如果两个不等式两边同时取负号,那么不等号的方向会变化。

例如,如果a > b,那么-c > -d。

c. 乘法性质:如果两个不等式的两边同时乘以一个正数,那么不等号的方向保持不变。

例如,如果a > b,且c > 0,那么ac > bc。

d. 除法性质:如果两个不等式的两边同时除以一个正数,那么不等号的方向保持不变。

例如,如果a > b,且c > 0,那么a/c > b/c。

3. 解一元一次不等式的方法:a. 将不等式中的变量项移到一边,使不等式等于0。

例如,将不等式3x - 2 > 0转化为3x - 2 - 0 > 0。

b. 解一元一次方程3x - 2 = 0,找到x = 2/3。

c. 在数轴上标记出x = 2/3这个点。

d. 将数轴分成三段(小于2/3的部分、大于2/3的部分以及2/3本身)。

e. 在每个区间内选择一个测试点,带入不等式中,判断不等式的正误。

f. 根据测试得到的结果确定数轴上的不等式解的范围。

4. 解一元二次不等式的方法:a. 将不等式中的变量项移到一边,使不等式等于0。

例如,将不等式x^2 - 3x + 2 > 0转化为x^2 - 3x + 2 -0 > 0。

不等式的解题思路

不等式的解题思路

不等式的解题思路可以分为以下几个步骤:
1. 了解不等式的基本性质:首先要熟悉不等式的基本性质,如不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个正数,不等号的方向不变;不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。

2. 确定解题方法:根据不等式的类型和已知条件,确定解题方法。

例如,对于含有绝对值的不等式,可以考虑利用绝对值的定义和性质进行化简;对于一元一次不等式,可以利用因式分解或者求根公式进行求解。

3. 解不等式:按照不等式的性质和已知条件,进行推导。

例如,将不等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个正数,或者将不等式两边同时乘以(或除以)同一个数,从而得到一个更容易求解的不等式。

4. 确定解集:将解出的不等式的解集确定下来,并写出最终答案。

注意,解集的表示方法可以用区间表示,如(-∞,+∞),或者用区间的端点表示,如(-3,5)。

5. 检验解是否正确:将求得的解代入原不等式,检验是否满足原不等式。

如果满足,则求解正确;如果不满足,则需要重新检查解题过程,找出错误之处。

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【例题解析】1.函数的定义域及其求法函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法,并会应用用函数的定义域解决有关问题.例1.已知函数()f x的定义域为M,g(x)=ln(1)x+的定义域为N,则M∩N=(A){|1}x x>-(B){|1}x x<(C){|11}x x-<<(D)∅命题意图:本题主要考查含有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法.解:函数()f x的定义域M={}1,x x<g(x)=ln(1)x+的定义域N={}1,x x>-∴M∩N={|11}x x-<<.故选C例2.函数y=( )(A)(3,+∞) (B)[3, +∞) (C)(4, +∞) (D)[4, +∞)命题意图:本题主要考查含有无理式和对数的函数的定义域的求法.解:由24.log20xxx>⎧⇒>⎨->⎩,故选D.2.求函数的反函数求函数的反函数,有助与培养人的逆向思维能力和深化对函数的定义域、值域,以及函数概念的理解.例3.函数22,0,0x xyx x≥⎧=⎨-<⎩的反函数是()(A),02xxyx⎧≥⎪=<(B)2,0x xyx≥⎧⎪=<(C),02xxyx⎧≥⎪=⎨⎪<⎩(D)2,0x xyx≥⎧⎪=⎨<⎪⎩命题意图:本题主要考查有关分段函数的反函数的求法.()121:2,.(),(0);22,0,()0.,020.y xy x x f x xy x y f x xxxyx--=∴=∴=≥=-<∴=<⎧≥⎪∴=⎨⎪<⎩解又故选C.例4.已知函数2y x a=-的反函数是3y bx=+,则a=;b=.命题意图:本题主要考查反函数的求法及待定系数法等知识.解:()()11112,,.2222y x a x y a y x a x a=-∴=+∴=+=+与3y bx=+比较得a=6,1.2b=故填162;3.复合函数问题复合函数问题,是新课程、新高考的重点.此类题目往往分为两类:一是结合函数解析式的求法来求复合函数的值.二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域.例5.对于函数①()2f x x =+,②2()(2)f x x =-,③()cos(2)f x x =-,判断如下两个命题的真假:命题甲:(2)f x +是偶函数;命题乙:()f x 在()-∞2,上是减函数,在(2)+∞,上是增函数; 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是( ) A.①②B.①③C.②D.③命题意图: 本题主要考查利用复合函数和函数单调性等知识解决问题的能力. 解:22()(2),(2)f x x f x x =-∴+= 是偶函数,又函数2()(2)f x x =-开口向上且在()-∞2,上是减函数,在(2)+∞,上是增函数.故能使命题甲、乙均为真的函数仅有2()(2)f x x =-.故选C例6.函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=,若()15,f =-则()()5f f =__________.命题意图: 本题主要考查代数式恒等变形和求复合函数的值的能力.解:由()()12f x f x +=,得()()14()2f x f x f x +==+,所以(5)(1)5f f ==-,则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+.4.函数的单调性、奇偶性和周期性函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一,考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义,掌握判定方法,正确认识单调函数与奇偶函数的图象.例7. 已知函数()1,1xf x a z =-+,若()f x 为奇函数,则a =________.命题意图: 本题主要考查函数的解析式的求解以及函数的奇偶性应用. 常规解法:由f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,即,0121121=+-++--x x a a .2112212112112121=++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∴-x x x x a 应填21. 巧妙解法:因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0,即.21,01210=∴=+-a a 应填21.点评:巧妙解法巧在利用了f(x)为奇函数,所以f(0)=0,这一重要结论.例8. ()f x ,()g x 是定义在R 上的函数,()()()h x f x g x =+,则“()f x ,()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的( ) A .充要条件B .充分而不必要的条件C .必要而不充分的条件D .既不充分也不必要的条件命题意图: 本题主要考查两个函数的加法代数运算后的单调性以及充分条件和必要条件的相关知识.解 先证充分性:因为()f x ,()g x 均为偶函数, 所以()(),f x f x -=()()g x g x -=,有()()()()()()h x f x g x f x g x h x -=-+-=+=,所以 ()h x 为偶函数.反过来,若()h x 为偶函数,()f x ()g x 不一定是偶函数.如2()h x x =,(),f x x =2()g x x x =-,故选B. 方法二:可以选取两个特殊函数进行验证. 故选B点评:对充要条件的论证,一定既要证充分性,又要证必要性,二着缺一不可.同时,对于抽象函数,有时候可以选取特殊函数进行验证.5.函数的图象与性质函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一,它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此,读者要掌握绘制函数图象的一般方法,掌握函数图象变化的一般规律,能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.例9.函数y=1+a x (0<a <1)的反函数的图象大致是 ( )(A ) (B ) (C ) (D )命题意图: 本题主要考查对数函数的图象,互为反函数图象间关系及对数的运算性质等知识.解:∵y=1+a x (0<a <1),∴()()1log (1),01a f x x a -=-<<.此函数图象是由函数()()log ,01a f x x a =<<向右平移一个单位得到的.故选A.6. 函数综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一,一般难度较大,考查内容和形式灵活多样. 这里主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力,掌握基本解题技巧和方法,并培养读者的思维和创新能力. 例10.已知.|1|)(22kx x x x f ++-=(Ⅰ)若k = 2,求方程0)(=x f 的解;(Ⅱ)若关于x 的方程0)(=x f 在(0,2)上有两个解x 1,x 2,求k 的取值范围,并证明.41121<+x x命题意图:本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识,以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力。

满分15分。

(I )解:当.02|1|)(,222=++-==x x x x f k 时 分两种情况讨论:①当时或即时11,112-≤≥≥-x x x , 方程化为,01222=-+x x01,,x x ==解得舍去所以②当11,012<<-<-x x 即时, 方程化为1+2x = 0, 解得21-=x ,由①②得,.21,2310)(,2-=--===x x x f k 或的解是方程时当(II )解:不妨设2021<<<x x ,因为⎩⎨⎧≤+>-+=,1||,1,1||,12)(2x kx x kx x x f所以(]1,0)(在x f 是单调递函数,故(]1,00)(在=x f 上至多一个解,(]121212112221,(1,2),0,,,0,1,(1,2).21()0,,1;17()0,2, 1.271,()0(0,2).2x x x x x x f x k k x f x k x k x k f x ∈=-<∈∈==-≤-==--<<--<<-=若则故不符合题意因此由得所以由得所以故当时在上有两个解方法一:(]21122121210,1,,210(1,2),111),277(,1),8,22114.x x x kx k x x k k x x y k k x x ∈=-+-=∈+=---=+<因为所以而方程因为所以则而在上是减函数因此方法二:因为(]01,1,011=+∈kx x 所以;① 因为012),2,1(2222=-+∈kx x x 所以,②由①②消去k ,得21212221212111120,2.(1,2), 4.x x x x x x x x x x --=+=∈+<即又因为所以 7.以集合为背景的不等式以集合为背景的不等式,以考查不等式的解法和集合的有关概念与运算为目的,解题时应注意将不等式的解法与集合的有关概念和运算相结合,准确解题.例11. 记关于x 的不等式01x a x -<+的解集为P ,不等式11x -≤的解集为Q .(I )若3a =,求P ;(II )若Q P ⊆,求正数a 的取值范围.命题意图:本题主要考查集合的有关概念和运算及分式不等式和含绝对值的不等式的解法. 解:(I )由301x x -<+,得{}13P x x =-<<.(II ){}{}1102Q x x x x =-=≤≤≤.由0a >,得{}1P x x a =-<<,又Q P ⊆,所以2a >, 即a 的取值范围是(2)+∞,.8.以线性规划形式出现的不等式以线性规划形式出现的不等式,重在考查数形结合的解题能力.这种题目解题时要注意根据已知不等式组作出图形,分析求解.例12.双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是(A )0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩(B )0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩(C ) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩(D )0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩命题意图:本题主要考查利用双曲线的图象性质和线性规划的知识,体现数形结合能力.解:作图可知三角形区域在第一象限.即满足0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩故选(A)9..以简易逻辑为背景的不等式以简易逻辑为背景的不等式,解题时往往以不等式为工具,来确定命题,用简易逻辑知识解决问题.例13.设221:200,:0||2x p x x q x ---><-,则p 是q 的(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件 命题意图:本题主要考查利用不等式和简易逻辑知识解决问题的能力. 解: 由题设可得:22:200,:5, 4.1:0,1,2, 2.||2p x x p x x x q x x x x -->><--<-<<<->-即即1或故选(A)10..与函数知识结合的不等式与函数知识结合的不等式,解题时往往以不等式为工具, 结合函数知识,通过推理来解决问题.例14.设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩<,则的值为,(A )0 (B )1 (C )2 (D )3命题意图:本题主要考查利用不等式和函数知识解决问题的能力. 解:0((2))(3)(1)2 2.f f f f e ===3=log 故选(C)12..与平面向量知识结合的不等式与平面向量知识结合的不等式,解题时往往以不等式为工具, 结合平面向量知识和坐标运算,通过和坐标运算和推理来解决问题.例15.设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=,若OP AB PA PB ⋅≥⋅ ,则实数λ的取值范围是(A )112λ≤≤(B)11λ≤≤(C)112λ≤≤ (D)11λ≤命题意图:本题主要考查利用不等式和平面向量知识解决问题的能力.解:设P(x,y),则由AP AB λ=得,,(1,)(1,1),1,1,,.AP AB x y x x y y λλλλλλ=-=--=-=-⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩即解得2222,(,)(1,1)(1,)(,1),0,(1)20,11OP AB PA PB x y x y x y x y y λλλλ⋅≥⋅∴-≥----∴+-≥∴-+-≤∴≤≤又点P 是线段AB 上的一个动点, 0 1.λ∴≤≤1 1.λ∴≤≤ 故选(B)13..与函数的导数知识结合的不等式.与函数的导数知识结合的不等式,解题时往往以不等式和函数的导数为工具, 结合函数知识,通过推理来解决问题.例16. 已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值.(1) 求a 、b 的值及函数()f x 的单调区间;(2) 若对[]1,2x ∈-,不等式2()f x c <恒成立,求c 的取值范围.命题意图:本小题考查函数的导数,函数,函数极值的判定,给定区间上二次函数的最值等基础知识的综合运用,考查就数形结合的数学思想分析问题,解决问题的能力.解:322(1)(),()32,f x x ax bx c f x x ax b '=+++=++22124()0,(1)320,3931,2,2()32(32)(1),():f a b f a b a b f x x x x x f x ''-=-+==++==-=-'=--=+-由得函数的单调区间如下表所以函数()f x 的递增区间为2(,)3-∞-与(1,)+∞;递减区间为2(,1)3-.[][]32221(2)()222221,2,,(),327(2)2,(2)2.()(1,2),(2)2,1 2.f x x x x c x x f x c f c f c f x c x c f c c c =--+∈-=-=+=+=+∈-=+-当时为极大值而则为最大值要使恒成立只须解得或<> <>14..与数列知识结合的不等式与数列知识结合的不等式,解题时往往以不等式和数列知识结合为工具, 结合函数知识,通过计算和推理来解决问题.例17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,点*,()n S n n N n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭均在函数32y x =-的图像上.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设13nn n b a a +=,nT 是数列{}n b 的前n 项和,求使得20n m T <对所有*n N ∈都成立的最小正整数m .命题意图:本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能,考查分析问题能力和推理能力.解:(I )依题意得,32,n S n n=-即232n S n n =-.当n ≥2时, ()221(32)312(1)65n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦;当n=1时,113a S =-×21-2×1-1-6×1-5. 所以65()n a n n N *=-∈. (II )由(I )得[]131111(65)6(1)526561n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+--+⎝⎭,故111111111...277136561nn b n n T =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑=111261n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭. 因此,使得111261n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭﹤()20m n N *∈成立的m 必须满足12≤20m ,即m ≥10,故满足要求的最小整数m 为10. 15..不等式的实际应用不等式的实际应用题,解题时往往以不等式为工具, 结合函数知识和函数的导数的应用,通过建立不等式模型,利用计算和推理来解决问题.例18.用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少? 命题意图:本小题主要考查利用函数的最大值和最小值的基础知识,以及运用不等式知识解决实际问题的能力.解:设长方体的宽为x (m ),则长为)(2m x ,高为).230( )(35.441218<<-=-=x m x x h 故长方体的体积为).230( )(69)35.4(2)(3322<<-=-=x m x x x x x V 从而 )1(181818)(2x x x x x V -=-='令 00)(==x x V ,解得(舍去)或x =1,因此x =1. 当 0)(231 ;0)(10<'<<>'<<x V x x V x 时,当时,,故在x =1处)(x V 取得极大值,并且这个极大值就是)(x V 的最大值. 从而最大体积 ,)(31619)1(332m V V =⨯-⨯==此时长方体的长为2m ,高为1.5m 答:当长体的长为2m ,宽为1m ,高为1.5m 时,体积最大,最大体积为3m 3. 【专题训练与高考预测】 一.选择题1.y =322-+x x 的单调递减区间为( )A.(-∞,-3)B.(-∞,-1)C.[1,+∞]D.[-3,-1] 2.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( ) A.y =-x B.y =11-x C.y =3-2x D.y =-x 2+2x +1 3.设f (x )是定义在A 上的减函数,且f (x )>0,则下列函数:y =3-2f (x ),y =1+)(2x f ,y =f 2(x ),y =1-)(x f ,其中增函数的个数为( )A.1B.2C.3D.44.关于x 的方程9x +(a+4)·3x +4=0有解,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,-8]∪[0,+∞)B 、(-∞,-4) [-8,4) D 、(-∞,-8]5.若a>0,b>0,且2a+b=1,则S=2ab -4a 2-b 2的最大值是( ) A .212- B 、12- C 、212+ D 、12+6.已知不等式m 2+(cos 2θ-5)m +4sin 2θ≥0恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A.0≤m ≤4 B.1≤m ≤4 C .m ≥4或x ≤0 D.m ≥1或m ≤0 二.填空题7.设f (x )=x 2-1(x ≤-2),则f -1(4)=__________.8.已知f (x )=3x -2,则f -1(3x -2)=__________.9.已知f (x )是奇函数,当x ∈(0,1)时,f (x )=lg 11x+,那么当x ∈(-1,0)时, f(x )的表达式是_____.10. 记S=1212211212111101010-++++++ ,则S 与1的大小关系是 . 11.当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,函数21cos28sin sin2x x y x ++=的最小值是_________.12.实数,x y 满足xx y =-,则x 的取值范围是__________. 三.解答题13. 设函数f (x )=log 2(x +1),当点(x ,y )在y=f (x )的反函数图象上运动时,对应的点(3,2y x )在y=g (x )的图象上.(1)求g (x )的表达式;(2)当g (x )—f —1(x )≤0时,求u (x )=g (x )—f —1(x )的最小值.14. 在某产品的制造过程中,次品率p 依赖于日产量x ,已知 =p 1,101x ⎧≤⎪-⎨⎪>⎩当0<x 100时;1,当x 100时. 其中x 为正整数,又该厂每生产一正品可赢利A 元,但每生产出一件次品就要损失3A 元. (1) 将该厂的日赢利额T (元)表示为日产量x (个)的函数,并指出这个函数的定义域;(2)为了获得最大盈利,该厂的日产量应定为多少? 15.已知).1(1)(-≠+=x x x x f)()1(x f 求的单调区间; (2)若.43)()(:,)(1,0>+-=>>c f a f b b a c b a 求证16.某人上午7时乘摩托艇以匀速V 千米/小时(4≤V ≤20)从A 港出发前往50千米处的B 港,然后乘汽车以匀速W 千米/小时(30≤W ≤100)自B 港向300千米处的C 市驶去,在同一天的16时至21时到达C 市, 设汽车、摩托艇所需的时间分别是x 小时、y 小时,若所需经费)8(2)5(3100y x p -+-+=元,那么V 、W 分别为多少时,所需经费最少?并求出这时所花的经费.【参考答案】一.1.A 提示:2230,13x x x x +-≥≥≤-则或,又()()2223141x x x x +-=+-,∈-∞,-,.可知当时函数递减.2.D 提示:函数y =-x 2+2x +1的图象开口向下,对称轴x =1.3.C 提示:由于f (x )是定义在A 上的减函数,且f (x )>0,所以其-2f (x ), )(2x f ,和-)(x f 都是增函数.4.D5.A6.C 二.7.-5 .8.x.9. 提示:当x ∈(-1,0)时,-x ∈(0,1),∴f (x )=-f (-x )=-lg 11x+=lg (1-x ).10. <1s11. 4 ; 12. ()[),04,-∞⋃+∞三.13. (1)易求12)(1-=-x x f .)14(31)(-=x x g .(2)由g (x )—f —1(x )≤0得:[]2,12∈x .121)232(31)(2--=x x u .故x2[].121)(,2,123-≥∈=x u 即121)(,23log min 2-==x u x .14. (1)易知()4(1)[1],0,100,33(101)A T Ax p xp Ax x x N x *=-+=-∈∈-.(2)求T 的最大值是个难点.须变换:]})101(3404)101[(34101{]34)101(3404[])101(34[x x A x x A x x x A T -+--+=+--=--=易知当且仅当≈-=3404101x 89.4时,T 最大.但是x N *∈,)90(),89(f f 两者的最大值一定是T 的最大值吗?这是本题的第二个难点.因此,必须证明函数)(x T 在(0,3404101-)上是增函数,而在(3404101-,100)上是减函数. 15. 解:(1) 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得 111)(+-=x x f ,.),1()1,()(上分别单调递增和在区间+∞---∞∴x f(2)首先证明任意).()()(,0y f x f y x f y x +<+>>有事实上,)(1111)()(y x xy f y x xy y x xy y x xy y x xy xy y y x xy f x f ++=+++++>++++++=+++=+. 而 ()),()1(,y x f y x xy f y x y x xy +>+++>++知由 )()()(y x f y f x f +>+∴,04)2(1)(122>=≥-=a b b a c .34222≥++≥+∴aa a c a 43)3()()()(=≥+>+∴f c a f c f a f16.解:题中已知了字母, 只需要建立不等式和函数模型进行求解. 由于103,5.125.2,100450≤≤≤≤∴≤≤=x y V Vy 同理及又149≤+≤y x.23),23(131)8(2)5(3100y x z y x y x P +=+-=-+-+=令则z 最大时P 最小.作出可行域,可知过点(10,4)时, z 有最大值38, ∴P 有最小值93,这时V=12.5,W=30.视y x z 23+=这是整体思维的具体体现, 当中的换元法是数学解题的常用方法。

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