2019版二轮复习数学通用版：专题跟踪检测圆锥曲线的方程与性质 Word版含解析

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(通用版)2019版高考数学二轮复习课件+训练：第一部分专题十二圆锥曲线的方程与性质讲义理

专题十二圆锥曲线的方程与性质[题组全练]1.如图，椭圆x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，∠F 1PF 2＝120°，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即m ＋4＝2a .①在△PF 1F 2中，由余弦定理得42＋m 2－2×m ×4×cos 120°＝4(a 2－2)．② 联立①②，解得a ＝3.2．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 解析：选D 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b 4＋b2，即第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b2，2b 4＋b 2.由双曲线和圆的对称性，得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b2，4b4＋b 2，故8×4b 4＋b 2＝2b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.3．(2018·唐山模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.解析：设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1>x 2，将直线AB 的方程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2,4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p 2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p2＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.答案：44．(2018·合肥质检)抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，过抛物线E 上一点P (在第一象限内)作l 的垂线P Q ，垂足为Q.若四边形AFP Q 的周长为16，则点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，其中x >0，y >0，由抛物线的定义知|PF |＝|P Q|＝x ＋1.根据题意知|AF |＝2，|Q A |＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋＋2＋y ＝16，y 2＝4x⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－6(舍去)．所以点P 的坐标为(4,4)．答案：(4,4)[系统方法]1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)． (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．[由题知法][例1] (2018·陕西质检)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3 C ．2D. 5[解析] 因为OM ⊥PF ，且M 为FP 的中点，所以△POF 为等腰直角三角形，即∠PFO ＝45°，则不妨令切线FM 的方程为x ＋y ＝c ，由圆心到切线的距离等于半径得c2＝a ，所以e ＝ca＝2.[答案] A[例2] (2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14[解析] 如图，作PB ⊥x 轴于点B.由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1.由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1，故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠PAB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14.[答案] D[例3] 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A ．5B ．6 C.163D.203[学解题]法一：直接法(学生用书不提供解题过程)如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.法二：性质法(学生用书提供解题过程)如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.[答案] C [类题通法]1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a的值或范围．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为0，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或a b的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程． ③利用e ＝1＋b 2a2求离心率． 3．抛物线焦点弦的性质若线段AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)焦半径|AF |＝x 1＋p2；(3)1|AF |＋1|BF |＝2p； (4)弦长l ＝x 1＋x 2＋p .当弦AB ⊥x 轴时，弦长最短为2p ，此时的弦又叫通径．[应用通关]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．4解析：选B 法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13x .设两条渐近线的夹角为2α，则有tan α＝13＝33，所以α＝30°.所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3.故选 B.法二：因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2,0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －，y ＝33x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，所以|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.2．(2018·贵阳模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM ，切点为M ，交y 轴于点P ，若PM ―→＝λMF ―→，且双曲线的离心率e ＝62，则λ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 如图，|OF |＝c ， |OM |＝a ，OM ⊥PF ，所以|MF |＝b ，根据射影定理得|PF |＝c 2b ，所以|PM |＝c 2b－b ，所以λ＝|PM ―→||MF ―→|＝c 2b －b b ＝c 2－b 2b 2＝a 2b 2.因为e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，所以b 2a 2＝12.所以λ＝2.3．已知椭圆x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A ，C ，上顶点为 B.过F ，B ，C 三点作圆P ，其中圆心P 的坐标为(m ，n )，当m ＋n >0时，椭圆的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，22 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，22 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，22 解析：选A 由题意知F ，B ，C 的坐标分别为(－c,0)，(0，b )，(1,0)，则FC ，BC 的垂直平分线分别为x ＝1－c 2，y －b 2＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－c2，y －b 2＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－c2，y ＝b 2－c2b .∴m ＋n ＝1－c 2＋b 2－c2b >0，即b －bc ＋b 2－c >0，整理得(1＋b )(b －c )>0，∴b >c ，从而b 2>c 2，即a 2>2c 2，∴e 2<12，又e >0，∴0<e <22.4．(2019届高三·武汉调研)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与准线交于点M ，且FM ―→＝3FP ―→，则|FP ―→|＝________.解析：过点P 作PP 1垂直准线于P 1，由FM ―→＝3FP ―→，得|PM |＝2|PF |，又由抛物线的定义知|PF |＝|PP 1|，所以|PM |＝2|PP 1|.由三角形相似得|PP 1|p ＝|PP 1|2＝|MP ||MF |＝23，所以|PP 1|＝43，所以|FP ―→|＝43.答案：43[多维例析]角度一直线与圆锥曲线的交点个数问题[例1] 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e <22.以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若点P (x 0，y 0)为椭圆C 上一点，直线l 的方程为3x 0x ＋4y 0y －12＝0，求证：直线l 与椭圆C 有且只有一个交点．[解] (1)依题意，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，由题设条件知，4a ＝8，a ＝2， 2×12×2c ×b ＝23，b 2＋c 2＝a 2＝4，所以b ＝3，c ＝1或b ＝1，c ＝3(经检验不合题意，舍去)，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：当y 0＝0时，由x 204＋y 203＝1，可得x 0＝±2，当x 0＝2，y 0＝0时，直线l 的方程为x ＝2，直线l 与椭圆C 有且只有一个交点(2,0)．当x 0＝－2，y 0＝0时，直线l 的方程为x ＝－2，直线l 与椭圆C 有且只有一个交点(－2,0)．当y 0≠0时，直线l 的方程为y ＝12－3x 0x 4y 0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12－3x 0x 4y 0，x 24＋y23＝1，消去y ，得(4y 20＋3x 20)x 2－24x 0x ＋48－16y 20＝0.① 由点P (x 0，y 0)为椭圆C 上一点，得x 204＋y 203＝1，可得4y 20＋3x 20＝12.于是方程①可以化简为x 2－2x 0x ＋x 20＝0，解得x ＝x 0，将x ＝x 0代入方程y ＝12－3x 0x4y 0可得y ＝y 0，故直线l 与椭圆C 有且只有一个交点P (x 0，y 0)，综上，直线l 与椭圆C 有且只有一个交点，且交点为P (x 0，y 0)． [类题通法]直线与圆锥曲线交点个数问题的解题策略判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧．角度二弦长及面积问题[例2] (2018·兰州检测)已知椭圆K ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e ＝22，以原点为圆心，椭圆的半焦距为半径的圆与直线x －3y ＋2＝0相切． (1)求K 的方程；(2)过F 2的直线l 交K 于A ，B 两点，M 为AB 的中点，连接OM 并延长交K 于点C ，若四边形OACB 的面积S 满足：a 2＝3S ，求直线l 的斜率．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，21＋3＝c ，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1.故椭圆K 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由于直线l 的倾斜角不可为零，所以设直线l 的方程为my ＝x －1，与x 22＋y 2＝1联立并化简可得 (m 2＋2)y 2＋2my －1＝0.设M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2，可得y 0＝－mm 2＋2，x 0＝my 0＋1＝2m 2＋2. 设C (x ，y )，又OC ―→＝λOM ―→(λ>0)，所以x ＝λx 0，y ＝λy 0.因为C 在K 上，故λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 202＋y 20＝1⇒m 2＋2＝λ2.①设h 1为点O 到直线l 的距离，h 2为点C 到直线l 的距离，则h 1h 2＝|OM ―→||MC ―→|＝1λ－1⇒h 2＝(λ－1)h 1.又由点到直线的距离公式得，h 1＝11＋m2＝1λ2－1.而|AB |＝1＋m 2·y 1＋y 22－4y 1y 2 ＝22＋m 2m 2＋2＝22λ2－λ2，所以S ＝12|AB |(h 1＋h 2)＝2λ2－λ2·λλ2－1＝ 2 λ2－1λ. 由题意知，S ＝a 23＝23，所以 2 λ2－1λ＝23⇒λ＝ 3.将λ＝3代入①式得m ＝±1，所以直线l 的斜率为±1.[类题通法] 弦长问题的解题策略(1)在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2)弦长计算公式：直线AB 与圆锥曲线有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2，其中k 为弦AB 所在直线的斜率．角度三弦的中点问题[例3] 已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是P Q 的中点，证明：AR ∥F Q ；(2)若△P Q F 的面积是△ABF 面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．[解] 由题意可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2.(1)证明：记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 因为点F 在线段AB 上，所以ab ＋1＝0，记直线AR 的斜率为k 1，直线F Q 的斜率为k 2，所以k 1＝a －b 1＋a 2，k 2＝b－12－12＝－b ，又因为ab ＋1＝0，所以k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ，所以k 1＝k 2，即AR ∥F Q.(2)设直线AB 与x 轴的交点为D (x 1,0)，所以S △ABF ＝12|a －b ||FD |＝12|a －b |×⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，又S △P Q F ＝|a －b |2，所以由题意可得S △P Q F ＝2S △ABF ，即|a －b |2＝2×12×|a －b |×⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，解得x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE ，可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)．又2a ＋b ＝1y，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以所求轨迹方程为y 2＝x －1. [类题通法] 弦中点及弦问题的解题策略(1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．(2)圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是k ＝－b 2x 0a 2y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，k ＝b 2x 0a 2y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1，k ＝p y 0(抛物线y 2＝2px )．其中k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为弦的端点坐标．[综合训练]1．(2019届高三·山西八校联考)如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使得PB 2⊥Q B 2，求直线l 的方程．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因为△AB 1B 2是直角三角形，且|AB 1|＝|AB 2|，所以∠B 1AB 2＝90°，因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c2.由c 2＝a 2－b 2，得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2. 由题设条件S △AB 1B 2＝4，得b 2＝4，所以a 2＝5b 2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1. (2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2，代入椭圆方程并整理得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1y 2＝－16m 2＋5，又B 2P ―→＝(x 1－2，y 1)， B 2Q ―→＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P ―→·B 2Q ―→＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16m 2＋1m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥Q B 2，得B 2P ―→·B 2Q ―→＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线l 有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.2.(2018·惠州调研)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (2,0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A 且斜率为12的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 且斜率大于12的直线与椭圆交于M ，N 两点(|PM |>|PN |)，若S △PAM ∶S △PBN ＝λ，求实数λ的取值范围．解：(1)因为BF 1⊥x 轴，所以点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b 2a ＋c ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)因为S △PAM S △PBN ＝12|PA |·|PM |·sin∠APM12|PB |·|PN |·sin∠BPN ＝2·|PM |1·|PN |＝λ⇒|PM ||PN |＝λ2(λ>2)，所以PM ―→＝－λ2PN ―→. 由(1)可知P (0，－1)，设直线MN ：y ＝kx －1⎝ ⎛⎭⎪⎫k >12，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y23＝1，化简得(4k 2＋3)x 2－8kx －8＝0.则x 1＋x 2＝8k 4k 2＋3，x 1x 2＝－84k 2＋3. 又PM ―→＝(x 1，y 1＋1)， PN ―→＝(x 2，y 2＋1)，则x 1＝－λ2x 2，即x 1x 2＝－λ2，所以x 1＋x 22x 1x 2＝x 1x 2＋2＋x 2x 1＝－λ2＋2－2λ＝－8k24k 2＋3，即－λ2λ＝16k 24k 2＋3. 因为k >12，所以16k 24k 2＋3＝163k2＋4∈(1,4)，则1<－λ2λ<4且λ>2⇒4<λ<4＋2 3.综上所述，实数λ的取值范围为(4,4＋23)．[典例细解][例1] (2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0， 3 ]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0， 3 ]∪[4，＋∞)[解析] 当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则a b≥tan 60°＝3，即3m≥3，解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则a b≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． [答案] A[启思维] 本题考查椭圆的标准方程及椭圆的对称性，求解本题时，要注意椭圆的长轴所在的坐标轴，题目中只说A ，B 为椭圆长轴的两个端点，并未说明椭圆长轴所在的坐标轴，因此，需要根据m 与3的大小关系，讨论椭圆长轴所在的坐标轴．[例2] (2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3D ．3 3[解析] 法一：依题意，得直线FM 的倾斜角为60°，则|MN |－|MF |cos 60°＝2，由抛物线的定义，得|MN |＝|MF |＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形，所以点M 到直线NF 的距离为4×32＝2 3. 法二：由题意，得F (1,0)，则直线FM 的方程是y ＝3(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝3x －，y 2＝4x ，得x ＝13或x ＝3.由M 在x 轴的上方，得M (3,23)，由MN ⊥l ，得|MN |＝|MF |＝3＋1＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形，所以点M 到直线NF 的距离为4×32＝2 3. [答案] C[启思维] 本题考查抛物线的标准方程及其几何性质．涉及抛物线焦点和准线的有关问题，应充分利用抛物线的定义求解．本题中直线的倾斜角为特殊角60°，通过解三角形更快捷．[例3] (2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34[解析] 如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)．设E (0，m )，由PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |，则|MF |＝m a －ca.① 又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m a ＋c2a.② 由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，所以e ＝c a ＝13.[答案] A[启思维] 本题考查椭圆的标准方程、性质及直线与圆锥曲线的位置关系，解决本题时，要注意数形结合思想的应用．[综合训练]1．(2018·福州模拟)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M ，N 在E 上，MN ∥F 1F 2，|MN |＝25|F 1F 2|，线段F 2M 交E 于点Q ，且F 2Q ―→＝Q M ―→，则E 的离心率为( )A. 5B.15 C ．2 3D.10解析：选B 设双曲线E 的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，∵MN ∥F 1F 2，|MN |＝25|F 1F 2|， ∴|MN |＝45c ，不妨设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 5，y 0. ∵F 2Q ―→＝Q M ―→，∴Q 是线段F 2M 的中点，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 10，y 02.把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 5，y 0，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 10，y 02分别代入E 的方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，可得⎩⎪⎨⎪⎧4c 225a 2－y 2b2＝1，9c 2100a 2－y204b 2＝1，∴c 2a2＝15，∴e ＝15. 2．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.43解析：选D 抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－p2，因为点A (－2,3)在准线上，所以－p2＝－2，即p ＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2,0)．设切线方程为y －3＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x ，消去x ，化简得k8y 2－y ＋2k ＋3＝0(k ≠0)，①由Δ＝1－4×k 8×(2k ＋3)＝0，得k ＝－2或k ＝12，因为切点在第一象限，所以k ＝12.将k ＝12代入①中得y ＝8，再将y ＝8代入y 2＝8x 中，得x ＝8，所以点B 的坐标为(8,8)，所以直线BF 的斜率为8－08－2＝43.3.(2018·石家庄模拟)如图，两个椭圆的方程分别为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和x 2ma2＋y 2mb2＝1(a >b >0，m >1)，从大椭圆的两个顶点分别向小椭圆引切线AC ，BD ，若AC ，BD 的斜率之积恒为－1625，则大椭圆的离心率为( )A.35B.34C.45D.74解析：选A 易知大椭圆和小椭圆的离心率相等．大椭圆的方程为x 2ma2＋y 2mb2＝1，则A (ma,0)，B (0，mb )，设切线AC 的方程为y ＝k 1(x －ma )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －ma ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y ，得(a 2k 21＋b 2)x 2－2mk 21a 3x ＋m 2k 21a 4－a 2b 2＝0，由Δ＝(－2mk 21a 3)2－4(k 21a 2＋b 2)(m 2k 21a 4－a 2b 2)＝0，化简得k 21a 2－m 2k 21a 2＋b 2＝0⇒k 21＝b 2a 2·1m 2－1，设直线BD 的斜率为k 2，同理可得k 22＝b 2a2(m 2－1)，∴k 21k 22＝b 2a 2·1m 2－1·b 2a 2(m 2－1)＝b 4a 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16252，∴b a ＝45，∴e ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝35.[专题跟踪检测](对应配套卷P193)一、全练保分考法——保大分1．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y b＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.故选B.2．(2019届高三·湖南长郡中学模拟)已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，其关于双曲线C 的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5解析：选C 依题意，设双曲线的渐近线y ＝b a x 的倾斜角为θ，则有3θ＝π，θ＝π3，b a ＝tan π3＝3，双曲线C 的离心率e ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝2.3．(2019届高三·南宁、柳州名校联考)已知双曲线x 23－y 2b＝1(b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±13xB ．y ＝±33x C ．y ＝±3xD ．y ＝±3x解析：选B 由题意知，抛物线的焦点是(2,0)，即双曲线x 23－y 2b＝1的一个焦点坐标是(2,0)，则c ＝2，且双曲线的焦点在x 轴上，所以3＋b ＝22，即b ＝1，于是双曲线的渐近线方程为y ＝±33x . 4．(2018·昆明调研)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN |＝|AB |，则l 的倾斜角为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°解析：选B 分别过A ，B ，N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，Q ，由抛物线的定义知|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|N Q|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12|AB |，因为|MN |＝|AB |，所以|N Q|＝12|MN |，所以∠MN Q ＝60°，即直线MN 的倾斜角为120°，又直线MN 与直线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为30°.5．(2018·南昌模拟)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )A.12B.22C ．1D. 2解析：选B 如图，设F 1，F 2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P是第一象限的点，椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.设|F 1F 2|＝2c ，又∠F 1PF 2＝π4，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得，4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cosπ4，化简得(2－2)a 21＋(2＋2)a 22＝4c 2，设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，∴2－2e 21＋2＋2e 22＝4，又2－2e 21＋2＋2e 22≥22－2e 21·2＋2e 22＝22e 1·e 2， ∴22e 1·e 2≤4，即e 1·e 2≥22， ∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为22. 6．(2018·长春质检)已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线上任意一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( )A ．1B ．2C ．4D.12解析：选A 不妨设P 在双曲线的左支，如图，延长F 1H 交PF 2于点M ，由于PH 既是∠F 1PF 2的平分线又垂直于F 1M ，故△PF 1M 为等腰三角形，|PF 1|＝|PM |且H 为F 1M 的中点，所以OH 为△MF 1F 2的中位线，所以|OH |＝12|MF 2|＝12(|PF 2|－|PM |)＝12(|PF 2|－|PF 1|)＝1. 7．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝________.解析：抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2.从而椭圆E 的半焦距c ＝2.可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为离心率e ＝c a ＝12，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝12.由题意知|AB |＝2b 2a ＝2×124＝6.答案：68．(2018·南宁模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4，1)，则椭圆的离心率是________．解析：设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2. 易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得，x 1＋x 2x 1－x 2a2＋y 1＋y 2y 1－y 2b2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e ＝c a＝1－b 2a 2＝32. 答案：329．(2019届高三·惠州调研)已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝a b x 平行的直线为y ＝ab x ＋c ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ab x ＋c ，y ＝－ab x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－bc2a ，y ＝c2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a ，c2.因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22<c 2，化简得b 2<3a 2，即c 2－a 2<3a 2，解得ca <2，又双曲线的离心率e ＝ca ＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．答案：(1,2)10．(2018·辽宁五校协作体联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B ，若△BF 1F 2的周长为6，且点F 1到直线BF 2的距离为 B.(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 1，A 2是椭圆C 长轴的两个端点，P 是椭圆C 上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P 交直线x ＝m 于点M ，若以MP 为直径的圆过点A 2，求实数m 的值．解：(1)由题意得F 1(－c,0)，F 2(c,0)，B (0，b )，则2a ＋2c ＝6.①直线BF 2的方程为bx ＋cy －bc ＝0，所以|－bc －bc |c 2＋b 2＝b ，即2c ＝a .②又a 2＝b 2＋c 2，③所以由①②③可得a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)不妨设A 1(－2,0)，A 2(2,0)，P (x 0，y 0)，则直线A 1P 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，所以M ⎝⎛⎭⎪⎫m ，y 0x 0＋2m ＋.又点P 在椭圆C 上，所以y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204. 若以MP 为直径的圆过点A 2，则A 2M ⊥A 2P ，即A 2M ―→·A 2P ―→＝0，所以⎝⎛⎭⎪⎫m －2，y 0x 0＋2m ＋·(x 0－2，y 0)＝(m －2)(x 0－2)＋y 20x 0＋2(m ＋2)＝(m －2)(x 0－2)＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204x 0＋2(m ＋2)＝(x 0－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14m －72＝0. 又点P 不同于点A 1，A 2，所以x 0≠±2，所以14m －72＝0，解得m ＝14.11．(2018·唐山模拟)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴、y 轴上滑动，CP ―→＝2PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求四边形AOBM 的面积．解：(1)设C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP ―→＝ 2 PD ―→，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，所以⎩⎨⎧x －m ＝－2x ，y ＝2n －y ，得⎩⎨⎧m ＝2＋x ，n ＝2＋12y ，由|CD ―→|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2，所以(2＋1)2x 2＋2＋22y 2＝(2＋1)2，整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，知点M 坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．由题意知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2.由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋y 1＋y 222＝1，即4k 2k 2＋2＋8k 2＋2＝1，解得k 2＝2.所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝x 1＋x 22－4x 1x 2]＝322，又原点到直线AB 的距离d ＝11＋k2＝33，所以平行四边形OAMB 的面积S ＝|AB |·d ＝62. 12．(2019届高三·洛阳第一次统考)已知短轴长为2的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，直线n 的横、纵截距分别为a ，－1，且原点O 到直线n 的距离为32. (1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 经过椭圆E 的右焦点F 且与椭圆E 交于A ，B 两点，若椭圆E 上存在一点C 满足OA ―→＋3OB ―→ －2OC ―→＝0，求直线l 的方程．解：(1)∵椭圆E 的短轴长为2，∴b ＝1. 依题意设直线n 的方程为x a－y ＝1，由11a2＋1＝32，解得a ＝3，故椭圆E 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，当直线l 的斜率为0时，显然不符合题意．当直线l 的斜率不为0或直线l 的斜率不存在时，F (2，0)，设直线l 的方程为x ＝ty＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，x ＝ty ＋2消去x ，得(t 2＋3)y 2＋22ty －1＝0，∴y 1＋y 2＝－22t t 2＋3，y 1y 2＝－1t 2＋3，①∵OA ―→＋ 3 OB ―→－2OC ―→＝0， ∴x 3＝12x 1＋32x 2，y 3＝12y 1＋32y 2，又点C 在椭圆E 上，∴x 233＋y 23＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＋32x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 1＋32y 22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x 213＋y 21＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 223＋y 22＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 1x 2＋y 1y 2＝1，又x 213＋y 21＝1，x 223＋y 22＝1， ∴13x 1x 2＋y 1y 2＝0，② 将x 1＝ty 1＋2，x 2＝ty 2＋2及①代入②得t 2＝1，即t ＝1或t ＝－1.故直线l 的方程为x ＋y －2＝0或x －y －2＝0.二、强化压轴考法——拉开分1．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：选C 法一：不妨设一条渐近线的方程为y ＝bax ，则F 2到y ＝b ax 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b.在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－6a22ac＝－cos ∠POF 2＝－a c，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝c a＝ 3.法二：如图，过点F 1向OP 的反向延长线作垂线，垂足为P ′，连接P ′F 2，由题意可知，四边形PF 1P ′F 2为平行四边形，且△PP ′F 2是直角三角形．因为|F 2P |＝b ，|F 2O |＝c ，所以|OP |＝a .又|PF 1|＝6a ＝|F 2P ′|，|PP ′|＝2a ，所以|F 2P |＝2a ＝b ，所以c ＝a 2＋b 2＝3a ，所以e ＝ca＝ 3.2．(2018·合肥质检)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)解析：选D 由于椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞6－a 2，6－a 2＞1，解得3<a 2<5.设椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)． 3．(2019届高三·辽宁五校协作体联考)一条动直线l 与抛物线C ：x 2＝4y 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AB ―→＝2AG ―→，则(OA ―→－OB ―→)2－4OG ―→2的最大值为( )A ．24B ．16C ．8D ．－16解析：选B 由AB ―→＝2AG ―→知G 是线段AB 的中点， ∴OG ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)，∴(OA ―→－OB ―→)2－4OG ―→2＝(OA ―→－OB ―→)2－(OA ―→＋OB ―→)2＝－4OA ―→·OB ―→. 由A ，B 是动直线l 与抛物线C ：x 2＝4y 的交点，不妨设A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，∴－4OA ―→·OB ―→＝－4⎝⎛⎭⎪⎫x 1x 2＋x 21x 2216 ＝－4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x 1x 24＋2 2－4＝16－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 24＋22≤16，∴(OA ―→－OB ―→)2－4OG ―→2的最大值为16.4．(2018·合肥检测)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线于A ，B 两点，且|AF |＝3|FB |.直线l 1，l 2分别过点A ，B ，且与x 轴平行，在直线l 1，l 2上分别取点M ，N (M ，N 分别在点A ，B 的右侧)，分别作∠ABN 和∠BAM 的角平分线并相交于点P ，则△PAB 的面积为( )A.643B.323C.3239D.6439解析：选C 因为抛物线方程为y 2＝4x ，所以其焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，如图所示，不妨设点B 在x 轴上方，过点B 向l 1作垂线，垂足为C .设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，因为|AF |＝3|FB |，所以x A ＋1＝3(x B ＋1)，所以x A －x B ＝2(x B ＋1)＝2|FB |，所以cos ∠BAC ＝2|FB |4|FB |＝12，所以∠BAC ＝60°，因为AP ，BP 分别为∠BAM 与∠ABN 的角平分线，所以∠BAP ＝60°，∠ABP ＝30°，所以∠APB ＝90°，所以|AP |＝2|FB |＝2x B ＋2，所以S △PAB ＝12|AP ||AB |sin 60°＝12×2(x B ＋1)×4(x B ＋1)×32＝23(x B ＋1)2.由∠BAC ＝60°，F (1,0)可得直线AB 的方程为y ＝－3(x －1)，联立⎩⎨⎧y ＝－3x －，y 2＝4x ，解得x＝13或x ＝3，易知x B ＝13，所以S △PAB ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12＝3239. 5．已知等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝4，∠BAD ＝60°，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段CD (包括端点C ，D )有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为坐标原点O ，过点O 且垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (－2,0)，B (2,0)，C (1，3)．设以A ，B 为焦点的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则c ＝2.由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝4－a 2，当x ＝1时，y 2＝a 2＋4a 2－5.要使双曲线与线段CD (包括端点C ，D )有两个交点，则a 2＋4a2－5≥3，解得a 2≥4＋23或0＜a 2≤4－23，由a 2≥4＋23得a ≥3＋1＞2，舍去，∴a 2≤4－23，即0＜a ≤3－1.∴双曲线的离心率e ＝ca≥23－1＝3＋1.即该双曲线的离心率的取值范围是[3＋1，＋∞)．答案：[3＋1，＋∞)6．(2018·洛阳统考)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P (x 0，y 0)是双曲线C 右支上的一点，连接PF 1并过F 1作垂直于PF 1的直线交双曲线左支于R ，Q ，其中R (－x 0，－y 0)，△Q F 1P 为等腰三角形，则双曲线C 的离心率为________．解析：设O 为坐标原点，连接OP ，OR ，F 2P ，F 2R ，因为P ，R 关于原点对称，所以|OP |＝|OR |，又|OF 1|＝|OF 2|，PF 1⊥R Q ，故四边形F 1RF 2P 为矩形．设|PF 1|＝m ，由双曲线的定义，得|PF 2|＝m －2a . 法一：因为△Q F 1P 为等腰直角三角形，所以|Q F 1|＝|PF 1|＝m ，|P Q|＝2m ，连接Q F 2，则|Q F 2|＝m ＋2a .在△Q PF 2中，∠Q PF 2＝45°＋90°＝135°，由余弦定理得(m ＋2a )2＝(m －2a )2＋(2m )2－2(m －2a )·2m ·cos 135°，化简得m ＝3a .在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，|F 1F 2|＝2c ，所以(3a )2＋a 2＝(2c )2，即5a 2＝2c 2，c a ＝102，即双曲线的离心率为102. 法二：因为△Q F 1P 为等腰直角三角形，所以|Q F 1|＝|PF 1|＝m ，连接Q F 2，则在Rt △Q RF 2中，|R Q|＝2m －2a ， |RF 2|＝m ，|Q F 2|＝m ＋2a ，由勾股定理得(2m －2a )2＋m 2＝(m ＋2a )2，化简得m ＝3a .在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，|F 1F 2|＝2c ，所以(3a )2＋a 2＝(2c )2，即5a 2＝2c 2，c a ＝102，即双曲线的离心率为10 2.答案：10 2。

(通用版)2019版高考数学二轮复习课件+训练：第一部分专题十二圆锥曲线的方程与性质讲义理(重点生,含解析)

专题十二圆锥曲线的方程与性质[题组全练]1.如图，椭圆x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，∠F 1PF 2＝120°，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即m ＋4＝2a .①在△PF 1F 2中，由余弦定理得42＋m 2－2×m ×4×cos 120°＝4(a 2－2)．② 联立①②，解得a ＝3.2．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 解析：选D 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b 4＋b2，即第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b2，2b 4＋b 2.由双曲线和圆的对称性，得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b2，4b4＋b 2，故8×4b 4＋b 2＝2b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.3．(2018·唐山模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.解析：设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1>x 2，将直线AB 的方程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2,4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p 2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p2＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.答案：44．(2018·合肥质检)抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，过抛物线E 上一点P (在第一象限内)作l 的垂线P Q ，垂足为Q.若四边形AFP Q 的周长为16，则点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，其中x >0，y >0，由抛物线的定义知|PF |＝|P Q|＝x ＋1.根据题意知|AF |＝2，|Q A |＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＋2＋y ＝16，y 2＝4x⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－6(舍去)．所以点P 的坐标为(4,4)．答案：(4,4)[系统方法]1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)． (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．[由题知法][例1] (2018·陕西质检)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3 C ．2D. 5[解析] 因为OM ⊥PF ，且M 为FP 的中点，所以△POF 为等腰直角三角形，即∠PFO ＝45°，则不妨令切线FM 的方程为x ＋y ＝c ，由圆心到切线的距离等于半径得c2＝a ，所以e ＝ca＝2.[答案] A[例2] (2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14[解析] 如图，作PB ⊥x 轴于点B.由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1.由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1，故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠PAB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14.[答案] D[例3] 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A ．5B ．6 C.163D.203[学解题]法一：直接法(学生用书不提供解题过程)如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.法二：性质法(学生用书提供解题过程)如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.[答案] C [类题通法]1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a的值或范围．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为0，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或a b的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程． ③利用e ＝1＋b 2a2求离心率． 3．抛物线焦点弦的性质若线段AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)焦半径|AF |＝x 1＋p2；(3)1|AF |＋1|BF |＝2p； (4)弦长l ＝x 1＋x 2＋p .当弦AB ⊥x 轴时，弦长最短为2p ，此时的弦又叫通径．[应用通关]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．4解析：选B 法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13x .设两条渐近线的夹角为2α，则有tan α＝13＝33，所以α＝30°.所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3.故选 B.法二：因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2,0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －，y ＝33x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，所以|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.2．(2018·贵阳模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM ，切点为M ，交y 轴于点P ，若PM ―→＝λMF ―→，且双曲线的离心率e ＝62，则λ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 如图，|OF |＝c ， |OM |＝a ，OM ⊥PF ，所以|MF |＝b ，根据射影定理得|PF |＝c 2b ，所以|PM |＝c 2b－b ，所以λ＝|PM ―→||MF ―→|＝c 2b －b b ＝c 2－b 2b 2＝a 2b 2.因为e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，所以b 2a 2＝12.所以λ＝2.3．已知椭圆x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A ，C ，上顶点为 B.过F ，B ，C 三点作圆P ，其中圆心P 的坐标为(m ，n )，当m ＋n >0时，椭圆的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，22 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，22 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，22 解析：选A 由题意知F ，B ，C 的坐标分别为(－c,0)，(0，b )，(1,0)，则FC ，BC 的垂直平分线分别为x ＝1－c 2，y －b 2＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－c2，y －b 2＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－c2，y ＝b 2－c2b .∴m ＋n ＝1－c 2＋b 2－c2b >0，即b －bc ＋b 2－c >0，整理得(1＋b )(b －c )>0，∴b >c ，从而b 2>c 2，即a 2>2c 2，∴e 2<12，又e >0，∴0<e <22.4．(2019届高三·武汉调研)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与准线交于点M ，且FM ―→＝3FP ―→，则|FP ―→|＝________.解析：过点P 作PP 1垂直准线于P 1，由FM ―→＝3FP ―→，得|PM |＝2|PF |，又由抛物线的定义知|PF |＝|PP 1|，所以|PM |＝2|PP 1|.由三角形相似得|PP 1|p ＝|PP 1|2＝|MP ||MF |＝23，所以|PP 1|＝43，所以|FP ―→|＝43.答案：43[多维例析]角度一直线与圆锥曲线的交点个数问题[例1] 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e <22.以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若点P (x 0，y 0)为椭圆C 上一点，直线l 的方程为3x 0x ＋4y 0y －12＝0，求证：直线l 与椭圆C 有且只有一个交点．[解] (1)依题意，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，由题设条件知，4a ＝8，a ＝2， 2×12×2c ×b ＝23，b 2＋c 2＝a 2＝4，所以b ＝3，c ＝1或b ＝1，c ＝3(经检验不合题意，舍去)，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：当y 0＝0时，由x 204＋y 203＝1，可得x 0＝±2，当x 0＝2，y 0＝0时，直线l 的方程为x ＝2，直线l 与椭圆C 有且只有一个交点(2,0)．当x 0＝－2，y 0＝0时，直线l 的方程为x ＝－2，直线l 与椭圆C 有且只有一个交点(－2,0)．当y 0≠0时，直线l 的方程为y ＝12－3x 0x 4y 0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12－3x 0x 4y 0，x 24＋y23＝1，消去y ，得(4y 20＋3x 20)x 2－24x 0x ＋48－16y 20＝0.① 由点P (x 0，y 0)为椭圆C 上一点，得x 204＋y 203＝1，可得4y 20＋3x 20＝12.于是方程①可以化简为x 2－2x 0x ＋x 20＝0，解得x ＝x 0，将x ＝x 0代入方程y ＝12－3x 0x4y 0可得y ＝y 0，故直线l 与椭圆C 有且只有一个交点P (x 0，y 0)，综上，直线l 与椭圆C 有且只有一个交点，且交点为P (x 0，y 0)． [类题通法]直线与圆锥曲线交点个数问题的解题策略判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧．角度二弦长及面积问题[例2] (2018·兰州检测)已知椭圆K ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e ＝22，以原点为圆心，椭圆的半焦距为半径的圆与直线x －3y ＋2＝0相切． (1)求K 的方程；(2)过F 2的直线l 交K 于A ，B 两点，M 为AB 的中点，连接OM 并延长交K 于点C ，若四边形OACB 的面积S 满足：a 2＝3S ，求直线l 的斜率．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，21＋3＝c ，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1.故椭圆K 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由于直线l 的倾斜角不可为零，所以设直线l 的方程为my ＝x －1，与x 22＋y 2＝1联立并化简可得 (m 2＋2)y 2＋2my －1＝0.设M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2，可得y 0＝－mm 2＋2，x 0＝my 0＋1＝2m 2＋2. 设C (x ，y )，又OC ―→＝λOM ―→(λ>0)，所以x ＝λx 0，y ＝λy 0.因为C 在K 上，故λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 202＋y 20＝1⇒m 2＋2＝λ2.①设h 1为点O 到直线l 的距离，h 2为点C 到直线l 的距离，则h 1h 2＝|OM ―→||MC ―→|＝1λ－1⇒h 2＝(λ－1)h 1.又由点到直线的距离公式得，h 1＝11＋m2＝1λ2－1.而|AB |＝1＋m 2·y 1＋y 22－4y 1y 2 ＝22＋m 2m 2＋2＝22λ2－λ2，所以S ＝12|AB |(h 1＋h 2)＝2λ2－λ2·λλ2－1＝ 2 λ2－1λ. 由题意知，S ＝a 23＝23，所以 2 λ2－1λ＝23⇒λ＝ 3.将λ＝3代入①式得m ＝±1，所以直线l 的斜率为±1.[类题通法] 弦长问题的解题策略(1)在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2)弦长计算公式：直线AB 与圆锥曲线有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2，其中k 为弦AB 所在直线的斜率．角度三弦的中点问题[例3] 已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是P Q 的中点，证明：AR ∥F Q ；(2)若△P Q F 的面积是△ABF 面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．[解] 由题意可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2.(1)证明：记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 因为点F 在线段AB 上，所以ab ＋1＝0，记直线AR 的斜率为k 1，直线F Q 的斜率为k 2，所以k 1＝a －b 1＋a 2，k 2＝b－12－12＝－b ，又因为ab ＋1＝0，所以k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ，所以k 1＝k 2，即AR ∥F Q.(2)设直线AB 与x 轴的交点为D (x 1,0)，所以S △ABF ＝12|a －b ||FD |＝12|a －b |×⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，又S △P Q F ＝|a －b |2，所以由题意可得S △P Q F ＝2S △ABF ，即|a －b |2＝2×12×|a －b |×⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，解得x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE ，可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)．又2a ＋b ＝1y，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以所求轨迹方程为y 2＝x －1. [类题通法] 弦中点及弦问题的解题策略(1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．(2)圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是k ＝－b 2x 0a 2y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，k ＝b 2x 0a 2y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1，k ＝p y 0(抛物线y 2＝2px )．其中k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为弦的端点坐标．[综合训练]1．(2019届高三·山西八校联考)如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使得PB 2⊥Q B 2，求直线l 的方程．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因为△AB 1B 2是直角三角形，且|AB 1|＝|AB 2|，所以∠B 1AB 2＝90°，因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c2.由c 2＝a 2－b 2，得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2. 由题设条件S △AB 1B 2＝4，得b 2＝4，所以a 2＝5b 2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1. (2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2，代入椭圆方程并整理得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1y 2＝－16m 2＋5，又B 2P ―→＝(x 1－2，y 1)， B 2Q ―→＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P ―→·B 2Q ―→＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16m 2＋1m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥Q B 2，得B 2P ―→·B 2Q ―→＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线l 有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.2.(2018·惠州调研)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (2,0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A 且斜率为12的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 且斜率大于12的直线与椭圆交于M ，N 两点(|PM |>|PN |)，若S △PAM ∶S △PBN ＝λ，求实数λ的取值范围．解：(1)因为BF 1⊥x 轴，所以点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b 2a ＋c ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)因为S △PAM S △PBN ＝12|PA |·|PM |·sin∠APM12|PB |·|PN |·sin∠BPN ＝2·|PM |1·|PN |＝λ⇒|PM ||PN |＝λ2(λ>2)，所以PM ―→＝－λ2PN ―→. 由(1)可知P (0，－1)，设直线MN ：y ＝kx －1⎝ ⎛⎭⎪⎫k >12，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y23＝1，化简得(4k 2＋3)x 2－8kx －8＝0.则x 1＋x 2＝8k 4k 2＋3，x 1x 2＝－84k 2＋3. 又PM ―→＝(x 1，y 1＋1)， PN ―→＝(x 2，y 2＋1)，则x 1＝－λ2x 2，即x 1x 2＝－λ2，所以x 1＋x 22x 1x 2＝x 1x 2＋2＋x 2x 1＝－λ2＋2－2λ＝－8k24k 2＋3，即－λ2λ＝16k 24k 2＋3. 因为k >12，所以16k 24k 2＋3＝163k2＋4∈(1,4)，则1<－λ2λ<4且λ>2⇒4<λ<4＋2 3.综上所述，实数λ的取值范围为(4,4＋23)．[典例细解][例1] (2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0， 3 ]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0， 3 ]∪[4，＋∞)[解析] 当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则a b≥tan 60°＝3，即3m≥3，解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则a b≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． [答案] A[启思维] 本题考查椭圆的标准方程及椭圆的对称性，求解本题时，要注意椭圆的长轴所在的坐标轴，题目中只说A ，B 为椭圆长轴的两个端点，并未说明椭圆长轴所在的坐标轴，因此，需要根据m 与3的大小关系，讨论椭圆长轴所在的坐标轴．[例2] (2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3D ．3 3[解析] 法一：依题意，得直线FM 的倾斜角为60°，则|MN |－|MF |cos 60°＝2，由抛物线的定义，得|MN |＝|MF |＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形，所以点M 到直线NF 的距离为4×32＝2 3. 法二：由题意，得F (1,0)，则直线FM 的方程是y ＝3(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝3x －，y 2＝4x ，得x ＝13或x ＝3.由M 在x 轴的上方，得M (3,23)，由MN ⊥l ，得|MN |＝|MF |＝3＋1＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形，所以点M 到直线NF 的距离为4×32＝2 3. [答案] C[启思维] 本题考查抛物线的标准方程及其几何性质．涉及抛物线焦点和准线的有关问题，应充分利用抛物线的定义求解．本题中直线的倾斜角为特殊角60°，通过解三角形更快捷．[例3] (2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34[解析] 如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)．设E (0，m )，由PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |，则|MF |＝m a －ca.① 又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m a ＋c2a.② 由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，所以e ＝c a ＝13.[答案] A[启思维] 本题考查椭圆的标准方程、性质及直线与圆锥曲线的位置关系，解决本题时，要注意数形结合思想的应用．[综合训练]1．(2018·福州模拟)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M ，N 在E 上，MN ∥F 1F 2，|MN |＝25|F 1F 2|，线段F 2M 交E 于点Q ，且F 2Q ―→＝Q M ―→，则E 的离心率为( )A. 5B.15 C ．2 3D.10解析：选B 设双曲线E 的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，∵MN ∥F 1F 2，|MN |＝25|F 1F 2|， ∴|MN |＝45c ，不妨设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 5，y 0. ∵F 2Q ―→＝Q M ―→，∴Q 是线段F 2M 的中点，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 10，y 02.把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 5，y 0，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 10，y 02分别代入E 的方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，可得⎩⎪⎨⎪⎧4c 225a 2－y 2b2＝1，9c 2100a 2－y204b 2＝1，∴c 2a2＝15，∴e ＝15. 2．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.43解析：选D 抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－p2，因为点A (－2,3)在准线上，所以－p2＝－2，即p ＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2,0)．设切线方程为y －3＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x ，消去x ，化简得k8y 2－y ＋2k ＋3＝0(k ≠0)，①由Δ＝1－4×k 8×(2k ＋3)＝0，得k ＝－2或k ＝12，因为切点在第一象限，所以k ＝12.将k ＝12代入①中得y ＝8，再将y ＝8代入y 2＝8x 中，得x ＝8，所以点B 的坐标为(8,8)，所以直线BF 的斜率为8－08－2＝43.3.(2018·石家庄模拟)如图，两个椭圆的方程分别为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和x 2ma2＋y 2mb2＝1(a >b >0，m >1)，从大椭圆的两个顶点分别向小椭圆引切线AC ，BD ，若AC ，BD 的斜率之积恒为－1625，则大椭圆的离心率为( )A.35B.34C.45D.74解析：选A 易知大椭圆和小椭圆的离心率相等．大椭圆的方程为x 2ma2＋y 2mb2＝1，则A (ma,0)，B (0，mb )，设切线AC 的方程为y ＝k 1(x －ma )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －ma ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y ，得(a 2k 21＋b 2)x 2－2mk 21a 3x ＋m 2k 21a 4－a 2b 2＝0，由Δ＝(－2mk 21a 3)2－4(k 21a 2＋b 2)(m 2k 21a 4－a 2b 2)＝0，化简得k 21a 2－m 2k 21a 2＋b 2＝0⇒k 21＝b 2a 2·1m 2－1，设直线BD 的斜率为k 2，同理可得k 22＝b 2a2(m 2－1)，∴k 21k 22＝b 2a 2·1m 2－1·b 2a 2(m 2－1)＝b 4a 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16252，∴b a ＝45，∴e ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝35.[专题跟踪检测](对应配套卷P193)一、全练保分考法——保大分1．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y b＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.故选B.2．(2019届高三·湖南长郡中学模拟)已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，其关于双曲线C 的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5解析：选C 依题意，设双曲线的渐近线y ＝b a x 的倾斜角为θ，则有3θ＝π，θ＝π3，b a ＝tan π3＝3，双曲线C 的离心率e ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝2.3．(2019届高三·南宁、柳州名校联考)已知双曲线x 23－y 2b＝1(b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±13xB ．y ＝±33x C ．y ＝±3xD ．y ＝±3x解析：选B 由题意知，抛物线的焦点是(2,0)，即双曲线x 23－y 2b＝1的一个焦点坐标是(2,0)，则c ＝2，且双曲线的焦点在x 轴上，所以3＋b ＝22，即b ＝1，于是双曲线的渐近线方程为y ＝±33x . 4．(2018·昆明调研)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN |＝|AB |，则l 的倾斜角为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°解析：选B 分别过A ，B ，N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，Q ，由抛物线的定义知|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|N Q|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12|AB |，因为|MN |＝|AB |，所以|N Q|＝12|MN |，所以∠MN Q ＝60°，即直线MN 的倾斜角为120°，又直线MN 与直线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为30°.5．(2018·南昌模拟)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )A.12B.22C ．1D. 2解析：选B 如图，设F 1，F 2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P是第一象限的点，椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.设|F 1F 2|＝2c ，又∠F 1PF 2＝π4，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得，4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cosπ4，化简得(2－2)a 21＋(2＋2)a 22＝4c 2，设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，∴2－2e 21＋2＋2e 22＝4，又2－2e 21＋2＋2e 22≥22－2e 21·2＋2e 22＝22e 1·e 2， ∴22e 1·e 2≤4，即e 1·e 2≥22， ∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为22. 6．(2018·长春质检)已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线上任意一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( )A ．1B ．2C ．4D.12解析：选A 不妨设P 在双曲线的左支，如图，延长F 1H 交PF 2于点M ，由于PH 既是∠F 1PF 2的平分线又垂直于F 1M ，故△PF 1M 为等腰三角形，|PF 1|＝|PM |且H 为F 1M 的中点，所以OH 为△MF 1F 2的中位线，所以|OH |＝12|MF 2|＝12(|PF 2|－|PM |)＝12(|PF 2|－|PF 1|)＝1. 7．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝________.解析：抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2.从而椭圆E 的半焦距c ＝2.可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为离心率e ＝c a ＝12，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝12.由题意知|AB |＝2b 2a ＝2×124＝6.答案：68．(2018·南宁模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4，1)，则椭圆的离心率是________．解析：设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2. 易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得，x 1＋x 2x 1－x 2a2＋y 1＋y 2y 1－y 2b2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e ＝c a＝1－b 2a 2＝32. 答案：329．(2019届高三·惠州调研)已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝a b x 平行的直线为y ＝ab x ＋c ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ab x ＋c ，y ＝－ab x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－bc2a ，y ＝c2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a ，c2.因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22<c 2，化简得b 2<3a 2，即c 2－a 2<3a 2，解得ca <2，又双曲线的离心率e ＝ca ＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．答案：(1,2)10．(2018·辽宁五校协作体联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B ，若△BF 1F 2的周长为6，且点F 1到直线BF 2的距离为 B.(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 1，A 2是椭圆C 长轴的两个端点，P 是椭圆C 上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P 交直线x ＝m 于点M ，若以MP 为直径的圆过点A 2，求实数m 的值．解：(1)由题意得F 1(－c,0)，F 2(c,0)，B (0，b )，则2a ＋2c ＝6.①直线BF 2的方程为bx ＋cy －bc ＝0，所以|－bc －bc |c 2＋b 2＝b ，即2c ＝a .②又a 2＝b 2＋c 2，③所以由①②③可得a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)不妨设A 1(－2,0)，A 2(2,0)，P (x 0，y 0)，则直线A 1P 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，所以M ⎝⎛⎭⎪⎫m ，y 0x 0＋2m ＋.又点P 在椭圆C 上，所以y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204. 若以MP 为直径的圆过点A 2，则A 2M ⊥A 2P ，即A 2M ―→·A 2P ―→＝0，所以⎝⎛⎭⎪⎫m －2，y 0x 0＋2m ＋·(x 0－2，y 0)＝(m －2)(x 0－2)＋y 20x 0＋2(m ＋2)＝(m －2)(x 0－2)＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204x 0＋2(m ＋2)＝(x 0－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14m －72＝0. 又点P 不同于点A 1，A 2，所以x 0≠±2，所以14m －72＝0，解得m ＝14.11．(2018·唐山模拟)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴、y 轴上滑动，CP ―→＝2PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求四边形AOBM 的面积．解：(1)设C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP ―→＝ 2 PD ―→，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，所以⎩⎨⎧x －m ＝－2x ，y ＝2n －y ，得⎩⎨⎧m ＝2＋x ，n ＝2＋12y ，由|CD ―→|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2，所以(2＋1)2x 2＋2＋22y 2＝(2＋1)2，整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，知点M 坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．由题意知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2.由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋y 1＋y 222＝1，即4k 2k 2＋2＋8k 2＋2＝1，解得k 2＝2.所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝x 1＋x 22－4x 1x 2]＝322，又原点到直线AB 的距离d ＝11＋k2＝33，所以平行四边形OAMB 的面积S ＝|AB |·d ＝62. 12．(2019届高三·洛阳第一次统考)已知短轴长为2的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，直线n 的横、纵截距分别为a ，－1，且原点O 到直线n 的距离为32. (1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 经过椭圆E 的右焦点F 且与椭圆E 交于A ，B 两点，若椭圆E 上存在一点C 满足OA ―→＋3OB ―→ －2OC ―→＝0，求直线l 的方程．解：(1)∵椭圆E 的短轴长为2，∴b ＝1. 依题意设直线n 的方程为x a－y ＝1，由11a2＋1＝32，解得a ＝3，故椭圆E 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，当直线l 的斜率为0时，显然不符合题意．当直线l 的斜率不为0或直线l 的斜率不存在时，F (2，0)，设直线l 的方程为x ＝ty＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，x ＝ty ＋2消去x ，得(t 2＋3)y 2＋22ty －1＝0，∴y 1＋y 2＝－22t t 2＋3，y 1y 2＝－1t 2＋3，①∵OA ―→＋ 3 OB ―→－2OC ―→＝0， ∴x 3＝12x 1＋32x 2，y 3＝12y 1＋32y 2，又点C 在椭圆E 上，∴x 233＋y 23＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＋32x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 1＋32y 22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x 213＋y 21＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 223＋y 22＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 1x 2＋y 1y 2＝1，又x 213＋y 21＝1，x 223＋y 22＝1， ∴13x 1x 2＋y 1y 2＝0，② 将x 1＝ty 1＋2，x 2＝ty 2＋2及①代入②得t 2＝1，即t ＝1或t ＝－1.故直线l 的方程为x ＋y －2＝0或x －y －2＝0.二、强化压轴考法——拉开分1．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：选C 法一：不妨设一条渐近线的方程为y ＝bax ，则F 2到y ＝b ax 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b.在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－6a22ac＝－cos ∠POF 2＝－a c，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝c a＝ 3.法二：如图，过点F 1向OP 的反向延长线作垂线，垂足为P ′，连接P ′F 2，由题意可知，四边形PF 1P ′F 2为平行四边形，且△PP ′F 2是直角三角形．因为|F 2P |＝b ，|F 2O |＝c ，所以|OP |＝a .又|PF 1|＝6a ＝|F 2P ′|，|PP ′|＝2a ，所以|F 2P |＝2a ＝b ，所以c ＝a 2＋b 2＝3a ，所以e ＝ca＝ 3.2．(2018·合肥质检)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)解析：选D 由于椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞6－a 2，6－a 2＞1，解得3<a 2<5.设椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)． 3．(2019届高三·辽宁五校协作体联考)一条动直线l 与抛物线C ：x 2＝4y 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AB ―→＝2AG ―→，则(OA ―→－OB ―→)2－4OG ―→2的最大值为( )A ．24B ．16C ．8D ．－16解析：选B 由AB ―→＝2AG ―→知G 是线段AB 的中点， ∴OG ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)，∴(OA ―→－OB ―→)2－4OG ―→2＝(OA ―→－OB ―→)2－(OA ―→＋OB ―→)2＝－4OA ―→·OB ―→. 由A ，B 是动直线l 与抛物线C ：x 2＝4y 的交点，不妨设A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，∴－4OA ―→·OB ―→＝－4⎝⎛⎭⎪⎫x 1x 2＋x 21x 2216 ＝－4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x 1x 24＋2 2－4＝16－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 24＋22≤16，∴(OA ―→－OB ―→)2－4OG ―→2的最大值为16.4．(2018·合肥检测)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线于A ，B 两点，且|AF |＝3|FB |.直线l 1，l 2分别过点A ，B ，且与x 轴平行，在直线l 1，l 2上分别取点M ，N (M ，N 分别在点A ，B 的右侧)，分别作∠ABN 和∠BAM 的角平分线并相交于点P ，则△PAB 的面积为( )A.643B.323C.3239D.6439解析：选C 因为抛物线方程为y 2＝4x ，所以其焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，如图所示，不妨设点B 在x 轴上方，过点B 向l 1作垂线，垂足为C .设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，因为|AF |＝3|FB |，所以x A ＋1＝3(x B ＋1)，所以x A －x B ＝2(x B ＋1)＝2|FB |，所以cos ∠BAC ＝2|FB |4|FB |＝12，所以∠BAC ＝60°，因为AP ，BP 分别为∠BAM 与∠ABN 的角平分线，所以∠BAP ＝60°，∠ABP ＝30°，所以∠APB ＝90°，所以|AP |＝2|FB |＝2x B ＋2，所以S △PAB ＝12|AP ||AB |sin 60°＝12×2(x B ＋1)×4(x B ＋1)×32＝23(x B ＋1)2.由∠BAC ＝60°，F (1,0)可得直线AB 的方程为y ＝－3(x －1)，联立⎩⎨⎧y ＝－3x －，y 2＝4x ，解得x＝13或x ＝3，易知x B ＝13，所以S △PAB ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12＝3239. 5．已知等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝4，∠BAD ＝60°，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段CD (包括端点C ，D )有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为坐标原点O ，过点O 且垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (－2,0)，B (2,0)，C (1，3)．设以A ，B 为焦点的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则c ＝2.由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝4－a 2，当x ＝1时，y 2＝a 2＋4a 2－5.要使双曲线与线段CD (包括端点C ，D )有两个交点，则a 2＋4a2－5≥3，解得a 2≥4＋23或0＜a 2≤4－23，由a 2≥4＋23得a ≥3＋1＞2，舍去，∴a 2≤4－23，即0＜a ≤3－1.∴双曲线的离心率e ＝ca≥23－1＝3＋1.即该双曲线的离心率的取值范围是[3＋1，＋∞)．答案：[3＋1，＋∞)6．(2018·洛阳统考)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P (x 0，y 0)是双曲线C 右支上的一点，连接PF 1并过F 1作垂直于PF 1的直线交双曲线左支于R ，Q ，其中R (－x 0，－y 0)，△Q F 1P 为等腰三角形，则双曲线C 的离心率为________．解析：设O 为坐标原点，连接OP ，OR ，F 2P ，F 2R ，因为P ，R 关于原点对称，所以|OP |＝|OR |，又|OF 1|＝|OF 2|，PF 1⊥R Q ，故四边形F 1RF 2P 为矩形．设|PF 1|＝m ，由双曲线的定义，得|PF 2|＝m －2a . 法一：因为△Q F 1P 为等腰直角三角形，所以|Q F 1|＝|PF 1|＝m ，|P Q|＝2m ，连接Q F 2，则|Q F 2|＝m ＋2a .在△Q PF 2中，∠Q PF 2＝45°＋90°＝135°，由余弦定理得(m ＋2a )2＝(m －2a )2＋(2m )2－2(m －2a )·2m ·cos 135°，化简得m ＝3a .在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，|F 1F 2|＝2c ，所以(3a )2＋a 2＝(2c )2，即5a 2＝2c 2，c a ＝102，即双曲线的离心率为102. 法二：因为△Q F 1P 为等腰直角三角形，所以|Q F 1|＝|PF 1|＝m ，连接Q F 2，则在Rt △Q RF 2中，|R Q|＝2m －2a ， |RF 2|＝m ，|Q F 2|＝m ＋2a ，由勾股定理得(2m －2a )2＋m 2＝(m ＋2a )2，化简得m ＝3a .在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，|F 1F 2|＝2c ，所以(3a )2＋a 2＝(2c )2，即5a 2＝2c 2，c a ＝102，即双曲线的离心率为10 2.答案：10 2。

2019版二轮复习数学通用版讲义：第一部分第二层级重点增分专题十一圆锥曲线的方程与性质 Word版含解析

重点增分专题十一圆锥曲线的方程与性质[全国卷3年考情分析](1)圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择题、填空题的形式考查，常出现在第4～12或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．(2)圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第19～20题的位置，一般难度较大．考点一圆锥曲线的定义保分考点·练后讲评 1.[椭圆的定义]设F 1，F 2为椭圆x29＋y25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF2||PF1|的值为( )A.514B.59C.49D.513D 如图，设线段PF 1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，解析：选轴，|PF 2|＝b2a ＝53，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，所以|PF2||PF1|＝513.可得PF 2⊥x2.[双曲线的定义]已知双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝62，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，且|AB |是|AF 2|与|BF 2|的等差中项，则|AB |等于( )A ．82B ．42C ．22D ．8 解析：选A 由题意可知2b ＝4，e ＝c a ＝62，于是a ＝2 2.∵2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，∴|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝|AF 2|－|AF 1|＋|BF 2|－|BF 1|＝4a ＝8 2.3.[抛物线的定义]过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.解析：设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＞x 2，将直线AB 的方程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2，4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p2＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.答案：4[解题方略] 圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)；(3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离)．[注意] 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.考点二圆锥曲线的标准方程保分考点·练后讲评 [大稳定——常规角度考双基]1.[双曲线的标准方程]已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为45，渐近线方程为2x ±y ＝0，则双曲线的方程为( )A.x24－y216＝1B.x216－y24＝1C.x216－y264＝1D.x264－y216＝1解析：选A 易知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点在x 轴上，所以由渐近线方程为2x ±y ＝0，得b a ＝2，因为双曲线的焦距为45，所以c ＝2 5.结合c 2＝a 2＋b 2，可得a ＝2，b ＝4，所以双曲线的方程为x24－y216＝1.2.[椭圆的标准方程]若椭圆的中心为坐标原点，短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到椭圆上的点的距离的最小值为3，则椭圆的标准方程为________．解析：设长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，由已知得⎩⎨⎧b ＝3c ，a －c ＝3，又a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎨⎧a ＝23，b ＝3，c ＝ 3.∴椭圆的标准方程为x212＋y29＝1或x29＋y212＝1.答案：x212＋y29＝1或x29＋y212＝13.[抛物线的标准方程]若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的标准方程为____________________．解析：因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点到抛物线对称轴的距离为6，若设该点为P ，则P (x 0，±6)．因为P 到抛物线焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离为10，根据抛物线的定义得x 0＋p2＝10.①因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0.②由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，所以抛物线的标准方程为y 2＝4x 或y 2＝36x .答案：y 2＝4x 或y 2＝36x[解题方略]求解圆锥曲线标准方程的思路[小创新——变换角度考迁移]1.[双曲线与向量交汇]已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA―→＝2AF ―→，且|BF ―→|＝4，则双曲线C 的方程为( )A.x26－y25＝1B.x28－y212＝1C.x28－y24＝1D.x24－y26＝1解析：选D 不妨设B (0，b )，由BA ―→＝2AF ―→，F (c,0)，可得A ⎝⎛⎭⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c2a2－19＝1， ∴b2a2＝32.①又|BF ―→|＝b2＋c2＝4，c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＋2b 2＝16.②由①②可得，a 2＝4，b 2＝6， ∴双曲线C 的方程为x24－y26＝1.2.[抛物线在物理知识中的创新]抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3，1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为()A.43 B ．－43C ．±43D ．－169解析：选B 将y ＝1代入y 2＝4x ，可得x ＝14，即A ⎝⎛⎭⎫14，1.由抛物线的光学性质可知，直线AB 过焦点F (1,0)，所以直线AB 的斜率k ＝1－014－1＝－43.3.[椭圆中的创新]如图，记椭圆x225＋y29＝1，y225＋x29＝1内部重叠区域的边界为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列四个命题： ①P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)，E 1(0，－4)，E 2(0,4)四点的距离之和为定值；②曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称；③曲线C 所围区域的面积必小于36；④曲线C 的总长度不大于6π.其中正确命题的序号为________．解析：对于①，若点P 在椭圆x225＋y29＝1上，则P 到F 1(－4，0)，F 2(4,0)两点的距离之和为定值，到E 1(0，－4)，E 2(0,4)两点的距离之和不为定值，故①错；对于②，联立两个椭圆的方程⎩⎨⎧x225＋y29＝1，y225＋x29＝1，得y 2＝x 2，结合椭圆的对称性知，曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称，故②正确；对于③，曲线C 所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故③正确；对于④，曲线C 所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线C 的总长度必大于圆的周长6π，故④错．所以正确命题的序号为②③.答案：②③考点三圆锥曲线的几何性质增分考点·深度精研 [析母题——高考年年“神”相似][典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14(2)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为5，△AOB 的面积为2，则p ＝( )A ．2B ．1C ．23D ．3(3)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2(e 为双曲线离心率)的值为________．如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1.由∠[解析](1)可得|PB |＝3，|BF 2|＝1，故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠PAB ＝|PB||AB|F 1F 2P ＝120°，＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14.(2)不妨设A 点在B 点上方，由双曲线的离心率为5，得1＋b2a2＝e 2＝5，解得ba＝2，所以双曲线的两条渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x .又抛物线的准线方程为x ＝－p2，则交点的坐标为A ⎝⎛⎭⎫－p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－p ，所以|AB |＝2p .由△AOB 的面积为2，得12|AB |·p 2＝2，即12×2p ×p2＝2，解得p ＝2，故选A.所示，因为|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|＝|AF 2|＋|BF 2|，(3)如图|BF 2|＝2a ，|BF 1|＝4a .所以|AF 1|＝22a ，所以22a －2a .|AF 2|＝因为|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2，所以(2c )2＝(22a )2＋(22a －2a )2，所以e 2＝5－2 2.[答案] (1)D (2)A (3)5－22[练子题——高考年年“形”不同]1．本例(3)若变为：已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2＝________.解析：设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝m ，因为△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，所以|AB |＝|AF 1|＝m ，|BF 1|＝2m .由椭圆的定义可知△F 1AB 的周长为4a ，所以4a ＝2m ＋2m ，即m ＝2(2－2)a .所以|AF 2|＝2a －m ＝(22－2)a . 因为|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，所以4(2－2)2a 2＋4(2－1)2a 2＝4c 2，所以e 2＝9－6 2. 答案：9－622．本例(3)若变为：F 1，F 2为双曲线的两个焦点，点A 在双曲线上，且△AF 2F 1为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为______．解析：注意到|F 2A |≠|F 1A |，不妨设|F 2A |＞|F 1A |.因为△AF 2F 1为等腰直角三角形，则|F 2A |∶|F 1F 2|∶|F 1A |＝2∶1∶1.所以e ＝c a ＝|F1F2||F2A|－|F1A|＝12－1＝2＋1.答案：2＋13．本例(3)中，若双曲线上存在一点P ，使得sin ∠PF1F2sin ∠PF2F1＝ac，求双曲线离心率的取值范围．解：如图所示，⎩⎪⎨⎪⎧sin ∠PF1F2sin ∠PF2F1＝|PF2||PF1|＝a c ，|PF1|－|PF2|＝2a ，由得|PF 1|＝2acc －a，且|PF 2|＝2a2c －a.又由|PF 1|≥a ＋c ，可得2acc －a≥a ＋c ，即e 2－2e －1≤0，解得1－2≤e ≤2＋1，又因为e >1，所以双曲线离心率的取值范围为(1，2＋1]．[解题方略]1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得．(2)用法：①可得b a 或ab的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．[多练强化]1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x解析：选A ∵e ＝ca ＝a2＋b2a＝3，∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a . ∴渐近线方程为y ＝±2x .2．(2018·阜阳模拟)已知F 1，F 2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫55，1 B.⎣⎡⎭⎫22，1 C.⎝⎛⎦⎤0，55D.⎝⎛⎦⎤0，22解析：选B ∵F 1，F 2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点，∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，c 2＝a 2－b 2.设点P (x ，y )，由PF 1⊥PF 2，得(x ＋c ，y )·(x －c ，y )＝0，化简得x 2＋y 2＝c 2.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2＝c2，x2a2＋y2b2＝1，整理得，x 2＝(2c 2－a 2)·a2c2≥0，解得e ≥22.又0＜e ＜1，∴22≤e ＜1.3．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.∵|AB |＝42，|DE |＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p2，5.∵点A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎨⎧16p2＋8＝r2，p24＋5＝r2，∴16p2＋8＝p24＋5，∴p ＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4.4．(2018·惠州调研)已知F 1，F 2是双曲线y2a2－x2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．图，不妨设F1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝abx 平行的解析：如x ＋c ，联立⎩⎨⎧y ＝abx ＋c ，y ＝－ab x ，直线为y ＝a b解得⎩⎨⎧x ＝－bc 2a，y ＝c2，即M ⎝⎛⎭⎫－bc 2a ，c 2.因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故⎝⎛⎭⎫－bc 2a 2＋⎝⎛⎭⎫c 22<c 2，化简得b 2<3a 2，即c 2－a 2<3a 2，解得c a <2，又双曲线的离心率e ＝ca＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．答案：(1,2)考点四直线与圆锥曲线增分考点·广度拓展 [分点研究]题型一直线与圆锥曲线的位置关系 [例1](2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH||ON|；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由． [解] (1)如图，由已知得M (0，t )，P⎝⎛⎭⎫t22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t2p ，t ，故直线ON 的方程为y ＝ptx ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t2p ，因此H ⎝⎛⎭⎫2t2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH||ON|＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点，理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点． [解题方略]1．直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定通常的方法是直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到一元二次方程，其Δ>0；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．2．直线与圆锥曲线只有一个公共点的结论直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切．题型二直线与圆锥曲线的弦长 [例2] 已知椭圆C ：x2a2＋y 2＝1(a ＞1)，F 1，F 2分别是其左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 有且仅有两个交点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P ，点P 横坐标的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，0，求线段AB 长度的取值范围． [解] (1)因为以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 有且仅有两个交点，所以b ＝c ＝1，即a ＝b2＋c2＝2，所以椭圆C 的方程为x22＋y 2＝1.(2)过点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于A ，B 两点，即直线AB 的斜率存在且不为0.设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，与x22＋y 2＝1联立，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M ，则x 1＋x 2＝－4k21＋2k2，x 1x 2＝2k2－21＋2k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝2k1＋2k2，即M ⎝⎛⎭⎫－2k21＋2k2，k1＋2k2.所以线段AB 的垂直平分线的方程为 y －k 1＋2k2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋2k21＋2k2，设点P (x P ，y P )，令y ＝0，得x P ＝－k21＋2k2.因为x P ∈⎝⎛⎭⎫－14，0，所以0＜k 2＜12. |AB |＝错误! ＝错误!＝错误!＝错误!错误!.因为0＜k 2＜12，所以32＜1＋11＋2k2＜2，即322＜|AB |＜2 2.故线段AB 长度的取值范围是⎝⎛⎭⎫322，22.[解题方略]直线与圆锥曲线的相交弦弦长的求法解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y 或x 后得到一元二次方程，当Δ＞0时，直线与圆锥曲线有两个交点，设为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系求出x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2，则弦长|AB |＝1＋k2·错误!＝错误!·错误!＝错误!·|y 1－y 2|＝错误!·错误!(k 为直线的斜率且k ≠0)，当A ，B 两点坐标易求时也可以直接用|AB |＝错误! 求之．[多练强化]已知点M ⎝⎛⎭⎫22，233在椭圆G ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)上，且点M 到两焦点的距离之和为4 3.(1)求椭圆G 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底作等腰三角形，顶点为P (－3,2)，求△PAB 的面积．解：(1)∵2a ＝43，∴a ＝2 3. 又点M ⎝⎛⎭⎫22，233在椭圆上，∴23＋43b2＝1，解得b 2＝4， ∴椭圆G 的方程为x212＋y24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x212＋y24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0. ①设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 的中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x1＋x22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m4.∵AB 是等腰△PAB 的底边，∴PE ⊥AB .∴PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0，解得x 1＝－3，x 2＝0，∴y 1＝－1，y 2＝2，∴|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，∴△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.数学运算——直线与圆锥曲线综合问题的求解[典例] 已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为(3，0)，且经过点⎝⎛⎭⎫－1，32，点M 是x 轴上的一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AM ―→＝2MB ―→，且直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切于点N ，求|MN |.[解](1)由题意知错误! 得(a 2－4)(4a 2－3)＝0，又a 2＝3＋b 2＞3，故a 2＝4，则b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x24＋y 2＝1.(2)设M (m,0)，直线l ：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AM ―→＝2MB ―→，得y 1＝－2y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x24＋y2＝1，x ＝ty ＋m得(t 2＋4)y 2＋2tmy ＋m 2－4＝0，则y 1＋y 2＝－2tmt2＋4，y 1y 2＝m2－4t2＋4.由y 1y 2＝－2y 2，y 1＋y 2＝－2y 2＋y 2＝－y 2，得y 1y 2＝－2[－(y 1＋y 2)]2＝－2(y 1＋y 2)2，所以m2－4t2＋4＝－2⎝⎛⎭⎫－2tm t2＋42，化简得(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2.易知原点O 到直线l 的距离d ＝|m|1＋t2，又直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切，所以|m|1＋t2＝47，即t 2＝74m 2－1.由错误!得21m 4－16m 2－16＝0，即(3m 2－4)(7m 2＋4)＝0，解得m 2＝43，此时t 2＝43，满足Δ＞0，所以M ⎝⎛⎭⎫±233，0.在Rt △OMN 中，|MN |＝43－47＝42121. [素养通路]本题是直线与椭圆、圆的综合问题：(1)由题意，列关于a ，b 的方程组，解方程组可得a ，b 的值进而求得椭圆的方程；(2)设出M ，A ，B 的坐标及直线l 的方程x ＝ty ＋m ，与椭圆方程联立，再结合根与系数的关系，得m 与t 的关系，由直线与圆相切，得另一关系式，联立可得M 的坐标进而得|MN |.考查了数学运算这一核心素养．[专题过关检测]A 组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x2a2＋y24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A.13B.12C.22D.223解析：选C ∵a 2＝4＋22＝8，∴a ＝22，∴e ＝c a ＝222＝22.2．一个焦点为(26，0)且与双曲线y24－x29＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.y218－x28＝1B.x218－y28＝1C.x216－y210＝1D.y216－x210＝1解析：选B 设所求双曲线方程为y24－x29＝t (t ≠0)，因为一个焦点为(26，0)，所以|13t |＝26.又焦点在x 轴上，所以t ＝－2，即双曲线方程为x218－y28＝1.3．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选B 设P (x 0，y 0)，依题意可得|PF |＝x 0＋1＝2，解得x 0＝1，故y 20＝4×1，解得y 0＝±2，不妨取P (1,2)，则△OFP 的面积为12×1×2＝1.4．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )A.2 B ．2C.322D ．22解析：选D ∵e ＝ca＝1＋b2a2＝2，∴b a＝1.∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0.∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝42＝2 2.5．已知双曲线x 2－y28＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，则|AB |＝( )A ．22B ．3C ．4D ．22＋1解析：选C 设双曲线的实半轴长为a ，依题意可得a ＝1，由双曲线的定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，又|AF 1|＝|BF 1|，故|AF 2|－|BF 2|＝4，又|AB |＝|AF 2|－|BF 2|，故|AB |＝4.6．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32B ．2－3 C.3－12D.3－1解析：选D 在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，方程x2a2＋y2b2＝1中，2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1，所以离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.二、填空题7．已知双曲线x2a2－y 2＝1(a >0)的渐近线方程为y ＝±33x ，则其焦距为________．解析：由渐近线方程y ＝±33x ，可得1a ＝33，解得a ＝3，故c ＝错误!＝2，故焦距为4.答案：48．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为________．解析：设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，由题意可知，直线l 过焦点，且垂直于x 轴，将x ＝c 代入双曲线方程，解得y ＝±b2a，则|AB |＝2b2a，由|AB |＝2×2a ，则b 2＝2a 2，所以双曲线的离心率e ＝ca＝1＋b2a2＝ 3.答案：39．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，准线为x ＝－1，直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，若线段MN 的中点为(1,1)，则直线l 的方程为________．解析：依题意易得抛物线的方程为y 2＝4x ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，因为线段MN 的中点为(1,1)，故x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，则x 1≠x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y21＝4x1，y22＝4x2，两式相减得y 21－y 2＝4(x 1－x 2)，所以y1－y2x1－x2＝4y1＋y2＝2，故直线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.答案：2x －y －1＝0三、解答题10．(2018·石家庄模拟)设A ，B 为曲线C ：y ＝x22上两点，A 与B 的横坐标之和为2.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，曲线C 在点M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x212，y 2＝x222，x 1＋x 2＝2，故直线AB 的斜率k ＝y1－y2x1－x2＝x1＋x22＝1.(2)由y ＝x22，得y ′＝x .设M (x 3，y 3)，由题设知x 3＝1，于是M ⎝⎛⎭⎫1，12.设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (1,1＋m )，|MN |＝⎪⎪⎪⎪m ＋12.将y ＝x ＋m 代入y ＝x22，得x 2－2x －2m ＝0. 由Δ＝4＋8m >0，得m >－12，x 1,2＝1±1＋2m.从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝2错误!.由题设知|AB |＝2|MN |，即错误!＝错误!，解得m ＝错误!，所以直线AB 的方程为y ＝x ＋72.11．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由错误!得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k2＋4k2.由题设知4k2＋4k2＝8，解得k ＝1或k ＝－1(舍去)．因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则错误!解得⎩⎪⎨⎪⎧ x0＝3，y0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x0＝11，y0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.12．已知直线x ＋ky －3＝0所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8.(1)求椭圆C 的标准方程．(2)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：mx ＋ny ＝1，试证：当点P (m ，n )在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交，并求直线l 被圆O 所截得的弦长l 的取值范围．解：(1)设椭圆C 的方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，直线x ＋ky －3＝0所经过的定点是(3,0)，即点F (3,0)．因为椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8，所以a ＋3＝8，a ＝5，所以b 2＝52－32＝16，所以椭圆C 的方程为x225＋y216＝1.(2)因为点P (m ，n )在椭圆C 上，所以m225＋n216＝1，即n 2＝16－16m225.又原点到直线l ：mx ＋ny ＝1的距离d ＝1m2＋n2＝1925m2＋16<1，所以直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1恒相交．则l 2＝4(12－d 2)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1925m2＋16，因为－5≤m ≤5，所以152≤l ≤465.故直线l被圆O所截得的弦长l的取值范围为⎣⎡⎦⎤152，465. B 组——大题专攻补短练 1．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．B 组——大题专攻补短练1．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)若AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切．解：(1)∵AB ∥l ，∴|AB |＝2p . 又|FD |＝p ，∴S △ABD ＝p 2＝1.∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x2＝2py消去y 得，x 2－2kpx －p 2＝0.∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2. 其中A ⎝⎛⎭⎫x1，x212p ，B ⎝⎛⎭⎫x2，x222p . ∴M ⎝⎛⎭⎫kp ，k2p ＋p 2，N ⎝⎛⎭⎫kp ，－p 2.∴k AN ＝x212p ＋p2x1－kp＝x212p ＋p2x1－x1＋x22＝x21＋p22p x1－x22＝x21－x1x22p x1－x22＝x1p .又x 2＝2py ，即y ＝x22p ，∴y ′＝xp.∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝x1p.∴直线AN 与抛物线相切．2．(2018·贵阳适应性考试)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 为短轴的上端点，MF1―→·MF2―→＝0，过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝ 2.(1)求椭圆C 的方程； (2)设经过点(2，－1)且不经过点M 的直线l 与C 相交于G ，H 两点．若k 1，k 2分别为直线MH ，MG 的斜率，求k 1＋k 2的值．解：(1)由MF1―→·MF2―→＝0，得b ＝c .①因为过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝2，所以b2a ＝22.②又a 2＝b 2＋c 2，③联立①②③，解得a 2＝2，b 2＝1，故椭圆C 的方程为x22＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即y ＝kx －2k －1，将y ＝kx －2k －1代入x22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (2k ＋1)x ＋8k 2＋8k ＝0，由题设可知Δ＝－16k (k ＋2)>0，设G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝错误!，x 1x 2＝错误!，k 1＋k 2＝y1－1x1＋y2－1x2＝kx1－2k －2x1＋kx2－2k －2x2＝2k －错误!＝2k －(2k ＋1)＝－1，所以k 1＋k 2＝－1.3．(2019届高三·唐山五校联考)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝2PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ，B 两点，OM―→＝OA―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求直线l 的方程．解：(1)设 C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP ―→＝2PD ―→，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，所以错误!得错误!由|CD ―→|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2，所以(2＋1)2x 2＋错误!y 2＝(错误!＋1)2，整理，得曲线E 的方程为x 2＋y22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，知点M 的坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x 1＋x 2＝－2kk2＋2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k2＋2.由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋错误!＝1，即错误!＋错误!＝1，解得k 2＝2. 此时直线l 的方程为y ＝±2x ＋1.4.如图，椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为点A ，B ，且|AB |＝52|BF |. (1)求椭圆C 的离心率；(2)若点M⎝⎛⎭⎫－1617，217在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，M 为线段P Q 的中点，且OP⊥O Q ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．解：(1)由已知|AB |＝52|BF |，得a2＋b2＝52a ，即4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2，所以e ＝c a ＝32.(2)由(1)知a 2＝4b 2，精选中小学试题、试卷、教案资料所以椭圆C 的方程可化为x24b2＋y2b2＝1. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由x214b2＋y21b2＝1，x224b2＋y22b2＝1，可得x21－x224b2＋y21－y22b2＝0，即错误!＋错误!＝0，即错误!＋错误!(y 1－y 2)＝0，从而k P Q ＝错误!＝2，所以直线l 的方程为y －217＝2⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫－1617，即2x －y ＋2＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2＝0，x24b2＋y2b2＝1消去y ，得17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0. 则Δ＝322＋16×17×(b 2－4)>0⇔b >21717， x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b217.因为OP ⊥O Q ，OP ―→·OQ ―→＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0，5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0，从而错误!－错误!＋4＝0，解得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x24＋y 2＝1.综上，直线l 的方程为2x －y ＋2＝0，椭圆C 的方程为x24＋y 2＝1.。

2019数学(文)通用版二轮精准提分练习第二篇第20练圆锥曲线的定义、方程与性质

第20练圆锥曲线的定义、方程与性质［小题提速练］［明晰考情]1。

命题角度：圆锥曲线的定义、方程与几何性质是高考考查的热点.2.题目难度：中等偏难.考点一圆锥曲线的定义及标准方程方法技巧（1)应用圆锥曲线的定义解题时，一定不要忽视定义中的隐含条件。

(2)凡涉及椭圆或双曲线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到焦点距离，一般可以利用定义进行转化.(3）求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”。

1.已知A（0，7），B（0，－7)，C（12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是(）A.y2－错误!＝1B.x2－错误!＝1C.y2－错误!＝1(y≤－1) D。

x2－错误!＝1(x≥1)答案C解析由两点间距离公式，可得|AC｜＝13,｜BC|＝15，｜AB|＝14，因为A，B都在椭圆上，所以|AF|＋｜AC｜＝|BF|＋|BC｜,|AF｜－｜BF｜＝|BC|－｜AC|＝2〈14，故F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下支。

由c＝7，a＝1，得b2＝48，所以F的轨迹方程是y2－错误!＝1（y≤－1)，故选C。

2.已知双曲线错误!－错误!＝1（a>0，b>0）的焦距为2错误!，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为（)A.错误!－y 2＝1B 。

x 2－错误!＝1 C.错误!－错误!＝1D 。

2019版高考数学二轮复习课件+训练：第一部分专题十二圆锥曲线的方程与性质讲义理

专题十二圆锥曲线的方程与性质卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ直线与抛物线的位置关系、平面向量数量积的运算·T8双曲线的几何性质·T5双曲线的几何性质·T112018双曲线的几何性质·T11直线的方程及椭圆的几何性质·T12直线与抛物线的位置关系·T16直线与抛物线的位置关系、弦长公式、基本不等式的应用·T10双曲线的几何性质·T9双曲线的渐近线及标准方程·T52017双曲线的几何性质·T15抛物线的定义及标准方程·T16椭圆的几何性质·T10双曲线的几何性质与标准方程·T52016抛物线与圆的综合问题·T10双曲线的定义、离心率问题·T11直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率问题·T11纵向把握趋势卷Ⅰ3年6考，且每年都有2个小题同时出现，涉及双曲线、抛物线的几何性质，特别是双曲线的几何性质及抛物线属每年必考内容．预计2019年仍会延续以上命题方式，注意圆锥曲线与其他问题的综合卷Ⅱ3年5考，且3年均考查了双曲线的几何性质．在2018年高考中考查了椭圆的几何性质，且难度较大．预计2019年仍会以选择题或填空题的形式考查双曲线的几何性质或椭圆的几何性质卷Ⅲ3年5考，涉及双曲线的几何性质、椭圆的几何性质、直线与抛物线的位置关系，既有选择题，也有填空题，难度适中．预计2019年仍会以选择题或填空题的形式考查双曲线或椭圆的方程及性质横向把握重点1.圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择题、填空题的形式考查，常出现在第4～12或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．2.直线与圆锥曲线的位置关系中与交点个数，弦长、面积中点弦有关的问题，一般难度中等.圆锥曲线的定义与方程[题组全练]1.如图，椭圆＋＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，∠x 2a 2y 22F1PF 2＝120°，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即m ＋4＝2a .①在△PF 1F 2中，由余弦定理得42＋m 2－2×m ×4×cos 120°＝4(a 2－2)．②联立①②，解得a ＝3.2．已知双曲线－＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双x 24y 2b2曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.－＝1B.－＝1x 243y 24x 244y 23C.－＝1D.－＝1x 24y 24x 24y 212解析：选D 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，b2联立Error!解得Error!或Error!即第一象限的交点为.由双曲线和圆的对称性，(44＋b2，2b 4＋b 2)得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为，，故＝84＋b 24b4＋b 28×4b4＋b 22b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为－＝1.x 24y 2123．(2018·唐山模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.解析：设直线AB 的方程为x ＝my ＋，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1>x 2，将直线AB 的方p2程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2,4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝p 2p24x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.答案：44．(2018·合肥质检)抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，过抛物线E 上一点P (在第一象限内)作l 的垂线P Q ，垂足为Q.若四边形AFP Q 的周长为16，则点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，其中x >0，y >0，由抛物线的定义知|PF |＝|P Q|＝x ＋1.根据题意知|AF |＝2，|Q A |＝y ，则Error!⇒Error!或Error!(舍去)．所以点P 的坐标为(4,4)．答案：(4,4)[系统方法]1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)．(2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M .2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．圆锥曲线的几何性质[由题知法]　(2018·陕西质检)过双曲线－＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的[例1]x 2a 2y 2b2切线FM (切点为M )，交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率是( )A. B.23C ．2D.5[解析]　因为OM ⊥PF ，且M 为FP 的中点，所以△POF 为等腰直角三角形，即∠PFO ＝45°，则不妨令切线FM 的方程为x ＋y ＝c ，由圆心到切线的距离等于半径得＝a ，所以e ＝＝.c2ca 2[答案]　A　(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C[例2]x 2a 2y 2b2的左顶点，点P 在过A 且斜率为的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C36的离心率为( )A. B.2312C. D.1314[解析]　如图，作PB ⊥x 轴于点B.由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1.由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝，|BF 2|＝1，故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan 3∠PAB ＝＝＝，解得a ＝4，所以e ＝＝.|PB ||AB |3a ＋236c a 14[答案]　D 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物[例3]线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A ．5B ．6C. D.163203[学解题]法一：直接法(学生用书不提供解题过程)如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝＝1，所以x 2＝p 2p 24，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝.13163法二：性质法(学生用书提供解题过程)如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为＋＝，|AF |＝4，所以|BF |＝，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋1|AF |1|BF |2p 43＝.43163[答案]　C [类题通法]1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求的值或范围．c a2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为0，分解因式可得．(2)用法：①可得或的值．b a a b②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．③利用e ＝求离心率．1＋b 2a23．抛物线焦点弦的性质若线段AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝，y 1y 2＝－p 2；p 24(2)焦半径|AF |＝x 1＋；p2(3)＋＝；1|AF |1|BF |2p(4)弦长l ＝x 1＋x 2＋p .当弦AB ⊥x 轴时，弦长最短为2p ，此时的弦又叫通径．[应用通关]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过Fx 23的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A. B ．332C ．2D ．43解析：选B 法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±x .设两条渐近线的夹角为2α，则有tan α＝＝，所以α＝13133330°.所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝.3在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝·tan 60°＝3.故选B.3法二：因为双曲线－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点Fx 2333的直线与直线y ＝x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，33又直线MN 过点F (2,0)，所以直线MN 的方程为y ＝－(x －2)，3由Error!得Error!所以M ，所以|OM |＝＝，(32，32)(32)2＋(32)23所以|MN |＝|OM |＝3，故选B.32．(2018·贵阳模拟)过双曲线－＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM ，x 2a 2y 2b2切点为M ，交y 轴于点P ，若＝λ，且双曲线的离心率e ＝，则λ＝( )PM ―→ MF ―→62A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 如图，|OF |＝c ，|OM |＝a ，OM ⊥PF ，所以|MF |＝b ，根据射影定理得|PF |＝，c 2b 所以|PM |＝－b ，c 2b所以λ＝＝＝＝.||||c 2b －b bc 2－b 2b 2a 2b2因为e 2＝＝＝1＋＝2＝，c 2a 2a 2＋b 2a 2b 2a 2(62)32所以＝.所以λ＝2.b 2a 2123．已知椭圆x 2＋＝1(0<b <1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A ，C ，上顶点为B.y 2b 2过F ，B ，C 三点作圆P ，其中圆心P 的坐标为(m ，n )，当m ＋n >0时，椭圆的离心率的取值范围为( )A.B.(0，22)(14，22)C. D.(13，22)(25，22)解析：选A 由题意知F ，B ，C 的坐标分别为(－c,0)，(0，b )，(1,0)，则FC ，BC 的垂直平分线分别为x ＝，y －＝，1－c 2b 21b (x －12)联立Error!解得Error!∴m ＋n ＝＋>0，1－c 2b 2－c2b 即b －bc ＋b 2－c >0，整理得(1＋b )(b －c )>0，∴b >c ，从而b 2>c 2，即a 2>2c 2，∴e 2<，12又e >0，∴0<e <.224．(2019届高三·武汉调研)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与准线交于点M ，且＝3，则||＝________.FM ―→ FP ―→ FP ―→解析：过点P 作PP 1垂直准线于P 1，由＝3，得|PM |＝2|PF |，FM ―→ FP ―→又由抛物线的定义知|PF |＝|PP 1|，所以|PM |＝2|PP 1|.由三角形相似得＝＝＝，|PP 1|p |PP 1|2|MP ||MF |23所以|PP 1|＝，所以||＝.43FP ―→43答案：43直线与圆锥曲线的位置关系[多维例析]角度一　直线与圆锥曲线的交点个数问题　已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e <.以两个焦点和短轴的[例1]22两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为2.3(1)求椭圆C 的方程；(2)若点P (x 0，y 0)为椭圆C 上一点，直线l 的方程为3x 0x ＋4y 0y －12＝0，求证：直线l 与椭圆C 有且只有一个交点．[解]　(1)依题意，设椭圆C 的方程为＋＝1(a >b >0)，焦距为2c ，x 2a 2y 2b2由题设条件知，4a ＝8，a ＝2，2××2c ×b ＝2，b 2＋c 2＝a 2＝4，123所以b ＝，c ＝1或b ＝1，c ＝(经检验不合题意，舍去)，33故椭圆C 的方程为＋＝1.x 24y 23(2)证明：当y 0＝0时，由＋＝1，x 204y 23可得x 0＝±2，当x 0＝2，y 0＝0时，直线l 的方程为x ＝2，直线l 与椭圆C 有且只有一个交点(2,0)．当x 0＝－2，y 0＝0时，直线l 的方程为x ＝－2，直线l 与椭圆C 有且只有一个交点(－2,0)．当y 0≠0时，直线l 的方程为y ＝，12－3x 0x4y 0联立Error!消去y ，得(4y ＋3x )x 2－24x 0x ＋48－16y ＝0.①202020由点P (x 0，y 0)为椭圆C 上一点，得＋＝1，x 204y 23可得4y ＋3x ＝12.2020于是方程①可以化简为x 2－2x 0x ＋x ＝0，20解得x ＝x 0，将x ＝x 0代入方程y ＝可得y ＝y 0，故直线l 与椭圆C 有且只有一个交点P (x 0，12－3x 0x4y 0y 0)，综上，直线l 与椭圆C 有且只有一个交点，且交点为P (x 0，y 0)．[类题通法]直线与圆锥曲线交点个数问题的解题策略判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧．角度二　弦长及面积问题　(2018·兰州检测)已知椭圆K ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，[例2]x 2a 2y 2b2其离心率e ＝，以原点为圆心，椭圆的半焦距为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．223(1)求K 的方程；(2)过F 2的直线l 交K 于A ，B 两点，M 为AB 的中点，连接OM 并延长交K 于点C ，若四边形OACB 的面积S 满足：a 2＝S ，求直线l 的斜率．3[解]　(1)由题意得Error!解得Error!故椭圆K 的方程为＋y 2＝1.x 22(2)由于直线l 的倾斜角不可为零，所以设直线l 的方程为my ＝x －1，与＋y 2＝1联立并化简可得x 22(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0.设M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－，y 1y 2＝－，2m m 2＋21m 2＋2可得y 0＝－，x 0＝my 0＋1＝.mm 2＋22m 2＋2设C (x ，y )，又＝λ (λ>0)，OC ―→ OM ―→所以x ＝λx 0，y ＝λy 0.因为C 在K 上，故λ2＝1⇒m 2＋2＝λ2.①(x 202＋y 20)设h 1为点O 到直线l 的距离，h 2为点C 到直线l 的距离，则＝＝⇒h 2＝(λ－1)h 1.h 1h 2||||1λ－1又由点到直线的距离公式得，h 1＝＝.11＋m21λ2－1而|AB |＝·1＋m 2 y 1＋y 2 2－4y 1y 2＝＝，22 1＋m 2 m 2＋222 λ2－1λ2所以S ＝|AB |(h 1＋h 2)＝·＝.122 λ2－1 λ2λλ2－12 λ2－1λ由题意知，S ＝＝，所以＝⇒λ＝.a 23232 λ2－1λ233将λ＝代入①式得m ＝±1，3所以直线l 的斜率为±1.[类题通法]　弦长问题的解题策略(1)在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2)弦长计算公式：直线AB 与圆锥曲线有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝·＝ ·，其中k 为弦AB 所在直线的斜1＋k 2 x 1＋x 2 2－4x 1x 21＋1k2 y 1＋y 2 2－4y 1y 2率．角度三　弦的中点问题　已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B [例3]两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是P Q 的中点，证明：AR ∥F Q ；(2)若△P Q F 的面积是△ABF 面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．[解]　由题意可知F ，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ，B ，P(12，0)(a 22，a )(b 22，b )，Q ，R .(－12，a )(－12，b )(－12，a ＋b2)(1)证明：记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.因为点F 在线段AB 上，所以ab ＋1＝0，记直线AR 的斜率为k 1，直线F Q 的斜率为k 2，所以k 1＝，k 2＝＝－b ，a －b 1＋a 2b－12－12又因为ab ＋1＝0，所以k 1＝＝＝＝＝－b ，a －b 1＋a 2a －b a 2－ab 1a －aba所以k 1＝k 2，即AR ∥F Q.(2)设直线AB 与x 轴的交点为D (x 1,0)，所以S △ABF ＝|a －b ||FD |＝|a －b |×，1212|x 1－12|又S △P Q F ＝，|a －b |2所以由题意可得S △P Q F ＝2S △ABF ，即＝2××|a －b |×，|a －b |212|x 1－12|解得x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE ，可得＝(x ≠1)．2a ＋b y x －1又＝，所以y 2＝x －1(x ≠1)．2a ＋b 1y当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.[类题通法]　弦中点及弦问题的解题策略(1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．(2)圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是k ＝－b 2x 0a 2y，k ＝，k ＝(抛物线y 2＝2px )．其中k ＝(x 1≠x 2)，(椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1)b 2x 0a 2y 0(双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1)p y 0y 2－y 1x 2－x 1(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为弦的端点坐标．[综合训练]1．(2019届高三·山西八校联考)如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使得PB 2⊥Q B 2，求直线l 的方程．解：(1)设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a >b >0)，右焦点x 2a 2y 2b2为F 2(c,0)．因为△AB 1B 2是直角三角形，且|AB 1|＝|AB 2|，所以∠B 1AB 2＝90°，因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝.c2由c 2＝a 2－b 2，得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝＝.c a 255在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |12＝·b ＝b 2.c2由题设条件S △AB 1B 2＝4，得b 2＝4，所以a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为＋＝1.x 220y 24(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2，代入椭圆方程并整理得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝，y 1y 2＝－，4m m 2＋516m 2＋5又＝(x 1－2，y 1)，＝(x 2－2，y 2)，B 2P ―→ B 2Q ―→所以·＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2B 2P ―→ B 2Q ―→＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－－＋1616 m 2＋1 m 2＋516m 2m 2＋5＝－，16m 2－64m 2＋5由PB 2⊥Q B 2，得·＝0，B 2P ―→ B 2Q ―→即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线l 有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.2.(2018·惠州调研)如图，椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的右顶点为x 2a 2y 2b 2A (2,0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A 且斜率为的直线与y 轴交于12点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 且斜率大于的直线与椭圆交于M ，N 两点(|PM |>|PN |)，若S △PAM ∶S △PBN ＝λ，12求实数λ的取值范围．解：(1)因为BF 1⊥x 轴，所以点B ，(－c ，－b 2a)所以Error!解得Error!所以椭圆C 的标准方程是＋＝1.x 24y 23(2)因为＝＝＝λ⇒＝(λ>2)，所以S△PAM S△PBN 12|PA |·|PM |·sin ∠APM 12|PB |·|PN |·sin ∠BPN 2·|PM |1·|PN ||PM ||PN |λ2PM ―→＝－.λ2PN ―→由(1)可知P (0，－1)，设直线MN ：y ＝kx －1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，(k >12)联立Error!化简得(4k 2＋3)x 2－8kx －8＝0.则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.8k 4k 2＋3－84k 2＋3又＝(x 1，y 1＋1)，＝(x 2，y 2＋1)，PM ―→ PN ―→则x 1＝－x 2，即＝－，λ2x 1x 2λ2所以＝＋2＋ x 1＋x 2 2x 1x 2x 1x 2x 2x1＝－＋2－＝－，λ22λ8k 24k 2＋3即＝.2－λ 2λ16k 24k 2＋3因为k >，所以＝∈(1,4)，1216k 24k 2＋3163k2＋4则1<<4且λ>2⇒4<λ<4＋2.2－λ 2λ3综上所述，实数λ的取值范围为(4,4＋2)．3重难增分圆锥曲线的定义、方程及性质的综合问题[典例细解] (2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：＋＝1长轴的两个端点．若C 上[例1]x 23y 2m存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0， ]∪[9，＋∞)3C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0， ]∪[4，＋∞)3[解析]　当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则≥tan 60°＝，即≥，a b33m3解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则≥tan 60°＝，即≥，解得m ≥9.ab 3m 33故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．[答案]　A[启思维]　本题考查椭圆的标准方程及椭圆的对称性，求解本题时，要注意椭圆的长轴所在的坐标轴，题目中只说A ，B 为椭圆长轴的两个端点，并未说明椭圆长轴所在的坐标轴，因此，需要根据m 与3的大小关系，讨论椭圆长轴所在的坐标轴．　(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为的直线交C 于点M (M [例2]3在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. B ．252C ．2D ．333[解析]　法一：依题意，得直线FM 的倾斜角为60°，则|MN |－|MF |cos 60°＝2，由抛物线的定义，得|MN |＝|MF |＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形，所以点M 到直线NF 的距离为4×＝2.323法二：由题意，得F (1,0)，则直线FM 的方程是y ＝(x －1)．3由Error!得x ＝或x ＝3.13由M 在x 轴的上方，得M (3,2)，3由MN ⊥l ，得|MN |＝|MF |＝3＋1＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形，所以点M 到直线NF 的距离为4×＝2.323[答案]　C[启思维]　本题考查抛物线的标准方程及其几何性质．涉及抛物线焦点和准线的有关问题，应充分利用抛物线的定义求解．本题中直线的倾斜角为特殊角60°，通过解三角形更快捷．　(2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的左焦[例3]x 2a 2y 2b2点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A. B.1312C. D.2334[解析]　如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)．设E (0，m )，由PF ∥OE ，得＝，|MF ||OE ||AF ||AO |则|MF |＝.①m a －ca又由OE ∥MF ，得＝，12|OE ||MF ||BO ||BF |则|MF |＝.②m a ＋c2a由①②得a －c ＝(a ＋c )，即a ＝3c ，所以e ＝＝.12c a 13[答案]　A[启思维]　本题考查椭圆的标准方程、性质及直线与圆锥曲线的位置关系，解决本题时，要注意数形结合思想的应用．[综合训练]1．(2018·福州模拟)已知双曲线E ：－＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，x 2a 2y 2b2点M ，N 在E 上，MN ∥F 1F 2，|MN |＝|F 1F 2|，线段F 2M 交E 于点Q ，且＝，则E 的离25F 2Q ―→ Q M ―→心率为( )A. B.515C ．2D.310解析：选B 设双曲线E 的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，∵MN ∥F 1F 2，|MN |＝|F 1F 2|，25∴|MN |＝c ，不妨设M .45(－2c5，y 0)∵＝，∴Q 是线段F 2M 的中点，∴Q .F 2Q ―→ Q M ―→ (3c 10，y 02)把M ，Q 分别代入E 的方程－＝1(a >0，b >0)，(－2c 5，y 0)(3c 10，y 02)x 2a 2y 2b2可得Error!∴＝15，∴e ＝.c 2a2152．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A. B.1223C. D.3443解析：选D 抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－，p2因为点A (－2,3)在准线上，所以－＝－2，即p ＝4，p2从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2,0)．设切线方程为y －3＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x ，消去x ，化简得y 2－y ＋2k ＋3＝0(k ≠0)，①k8由Δ＝1－4××(2k ＋3)＝0，得k ＝－2或k ＝，k 812因为切点在第一象限，所以k ＝.12将k ＝代入①中得y ＝8，12再将y ＝8代入y 2＝8x 中，得x ＝8，所以点B 的坐标为(8,8)，所以直线BF 的斜率为＝.8－08－2433.(2018·石家庄模拟)如图，两个椭圆的方程分别为＋＝x 2a 2y 2b 21(a >b >0)和＋＝1(a >b >0，m >1)，从大椭圆的两个顶点分x 2 ma 2y 2mb 2别向小椭圆引切线AC ，BD ，若AC ，BD 的斜率之积恒为－，则大椭圆的离1625心率为( )A. B.3534C. D.4574解析：选A 易知大椭圆和小椭圆的离心率相等．大椭圆的方程为＋＝1，x 2 ma 2y 2mb 2则A (ma,0)，B (0，mb )，设切线AC 的方程为y ＝k 1(x －ma )，联立Error!消去y ，得(a 2k ＋b 2)x 2－2mk a 3x ＋m 2k a 4－a 2b 2＝0，212121由Δ＝(－2mk a 3)2－4(k a 2＋b 2)(m 2k a 4－a 2b 2)＝0，212121化简得k a 2－m 2k a 2＋b 2＝0⇒k ＝·，212121b 2a 21m 2－1设直线BD 的斜率为k 2，同理可得k ＝(m 2－1)，2b 2a2∴k k ＝··(m 2－1)＝＝2，212b 2a 21m 2－1b 2a 2b 4a 4(－1625)∴＝，∴e ＝＝.[专题跟踪检测](对应配套卷P193)b a 451－(b a )235一、全练保分考法——保大分1．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的，则14该椭圆的离心率为( )A. B.1312C. D.2334解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为＋＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知＝×2b ，解得＝，即e ＝.故选 B.x c yb|－bc |b 2＋c 214c a 12122．(2019届高三·湖南长郡中学模拟)已知F 为双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的一个x 2a 2y 2b2焦点，其关于双曲线C 的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为( )A.B.23C ．2 D.5解析：选C 依题意，设双曲线的渐近线y ＝x 的倾斜角为θ，则有3θ＝π，θ＝，ba π3＝tan ＝，双曲线C 的离心率e ＝＝2.b a π331＋(b a )23．(2019届高三·南宁、柳州名校联考)已知双曲线－＝1(b >0)的一个焦点与抛物x 23y 2b线y 2＝8x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±x1333C ．y ＝±3xD ．y ＝±x3解析：选B 由题意知，抛物线的焦点是(2,0)，即双曲线－＝1的一个焦点坐标是x 23y 2b(2,0)，则c ＝2，且双曲线的焦点在x 轴上，所以3＋b ＝22，即b ＝1，于是双曲线的渐近线方程为y ＝±x .334．(2018·昆明调研)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN |＝|AB |，则l 的倾斜角为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°解析：选B 分别过A ，B ，N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，Q ，由抛物线的定义知|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|N Q|＝(|AA ′|＋|BB ′|)＝|AB |，因为|MN |＝1212|AB |，所以|N Q|＝|MN |，所以∠MN Q ＝60°，即直线MN 的倾斜角为120°，又直线MN 与直12线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为30°.5．(2018·南昌模拟)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )π4A. B.1222C ．1D.2解析：选B 如图，设F 1，F 2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P是第一象限的点，椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.设|F 1F 2|＝2c ，又∠F 1PF 2＝，则在△PF 1F 2中，由余弦定π4理得，4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos ，化简得(2－)a ＋(2＋)a π422122＝4c 2，设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，∴＋＝4，2－2e 212＋2e2又＋≥2＝，2－2e 212＋2e 22－2e 21·2＋2e 222e 1·e 2∴≤4，即e 1·e 2≥，22e 1·e 222∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为.226．(2018·长春质检)已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线上任意一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( )A ．1B ．2C ．4D.12解析：选A 不妨设P 在双曲线的左支，如图，延长F 1H 交PF 2于点M ，由于PH 既是∠F 1PF 2的平分线又垂直于F 1M ，故△P F 1M 为等腰三角形，|PF 1|＝|PM |且H 为F 1M 的中点，所以OH 为△MF 1F 2的中位线，所以|OH |＝|MF 2|12＝(|PF 2|－|PM |)＝(|PF 2|－|PF 1|)＝1.12127．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点12重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝________.解析：抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2.从而椭圆E 的半焦距c ＝2.可设椭圆E 的方程为＋＝1(a >b >0)，因为离心率e ＝＝，所以a ＝4，所以b 2＝a 2x 2a 2y 2b 2c a 12－c 2＝12.由题意知|AB |＝＝2×＝6.2b 2a 124答案：68．(2018·南宁模拟)已知椭圆＋＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝x 2a 2y 2b20，弦的中点坐标是M (－4，1)，则椭圆的离心率是________．解析：设直线x －y ＋5＝0与椭圆＋＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，x 2a 2y 2b2因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝＝1.y 2－y 1x 2－x 1由Error!两式相减得，＋＝0， x 1＋x 2 x 1－x 2a 2y 1＋y 2 y 1－y 2 b2所以＝－·，所以＝，y 1－y 2x 1－x 2b 2a 2x 1＋x 2y 1＋y 2b 2a 214于是椭圆的离心率e ＝＝＝.c a 1－b 2a232答案：329．(2019届高三·惠州调研)已知F 1，F 2是双曲线－＝1(a >0，b >0)的两个焦点，过y 2a 2x 2b2其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：如图，不妨设F1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝x ab平行的直线为y ＝x ＋c ，联立Error!a b解得Error!即M .因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2(－bc 2a ，c2)＋y 2＝c 2内，故2＋2<c 2，化简得b 2<3a 2，即c 2－a 2<3a 2，解得<2，又双曲线的离心(－bc 2a )(c 2)ca率e ＝＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．ca答案：(1,2)10．(2018·辽宁五校协作体联考)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，x 2a 2y 2b 2F 2，上顶点为B ，若△BF 1F 2的周长为6，且点F 1到直线BF 2的距离为B.(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 1，A 2是椭圆C 长轴的两个端点，P 是椭圆C 上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P 交直线x ＝m 于点M ，若以MP 为直径的圆过点A 2，求实数m 的值．解：(1)由题意得F 1(－c,0)，F 2(c,0)，B (0，b )，则2a ＋2c ＝6.①直线BF 2的方程为bx ＋cy －bc ＝0，所以＝b ，即2c ＝a .②|－bc －bc |c 2＋b 2又a 2＝b 2＋c 2，③所以由①②③可得a ＝2，b ＝，3所以椭圆C 的方程为＋＝1.x 24y 23(2)不妨设A 1(－2,0)，A 2(2,0)，P (x 0，y 0)，则直线A 1P 的方程为y ＝(x ＋2)，y 0x 0＋2所以M .(m ，y 0x 0＋2m ＋2 )又点P 在椭圆C 上，所以y ＝3.20(1－x 24)若以MP 为直径的圆过点A 2，则A 2M ⊥A 2P ，即·＝0，A 2M ―→ A 2P ―→所以·(x 0－2，y 0)(m －2，y 0x 0＋2m ＋2 )＝(m －2)(x 0－2)＋(m ＋2)y 2x 0＋2＝(m －2)(x 0－2)＋(m＋2)3(1－x 204)x 0＋2＝(x 0－2)＝0.(14m －72)又点P 不同于点A 1，A 2，所以x 0≠±2，所以m －＝0，解得m ＝14.147211．(2018·唐山模拟)在直角坐标系xOy 中，长为＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 2轴、y 轴上滑动，＝ .记点P 的轨迹为曲线E .CP ―→ 2PD ―→(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线E 相交于A ，B 两点，＝＋，当点M 在曲线EOM ―→ OA ―→ OB ―→上时，求四边形AOBM 的面积．解：(1)设C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由＝，得(x －m ，y )＝(－x ，n －y )，CP ―→ 2PD ―→2所以Error!得Error!由||＝＋1，得m 2＋n 2＝(＋1)2，CD ―→22所以(＋1)2x 2＋y 2＝(＋1)2，2 2＋1 222整理，得曲线E 的方程为x 2＋＝1.y 22(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由＝＋，知点M 坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．OM ―→ OA ―→ OB ―→由题意知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝－.2k k 2＋21k 2＋2y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝.4k 2＋2由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋＝1， y 1＋y 2 22即＋＝1，4k 2 k 2＋2 28 k 2＋2 2解得k 2＝2.所以|AB |＝|x 1－x 2|1＋k 2＝＝，3[ x 1＋x 2 2－4x 1x 2]322又原点到直线AB 的距离d ＝＝，11＋k233所以平行四边形OAMB 的面积S ＝|AB |·d ＝.6212．(2019届高三·洛阳第一次统考)已知短轴长为2的椭圆E ：＋＝1(a >b >0)，直x 2a 2y 2b2线n 的横、纵截距分别为a ，－1，且原点O 到直线n 的距离为.32(1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 经过椭圆E 的右焦点F 且与椭圆E 交于A ，B 两点，若椭圆E 上存在一点C 满足＋－2 ＝0，求直线l 的方程．OA ―→ 3OB ―→ OC ―→解：(1)∵椭圆E 的短轴长为2，∴b ＝1.依题意设直线n 的方程为－y ＝1，xa由＝，解得a ＝，11a 2＋1323故椭圆E 的方程为＋y 2＝1.x 23(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，当直线l 的斜率为0时，显然不符合题意．当直线l 的斜率不为0或直线l 的斜率不存在时，F (，0)，设直线l 的方程为x ＝ty ＋，22由Error!消去x ，得(t 2＋3)y 2＋2ty －1＝0，2∴y 1＋y 2＝－，y 1y 2＝－，①22tt 2＋31t 2＋3∵＋－2＝0，OA ―→ 3OB ―→ OC ―→∴x 3＝x 1＋x 2，y 3＝y 1＋y 2，12321232又点C 在椭圆E 上，∴＋y ＝2＋2＝＋＋＝1，x 2332313(12x 1＋32x 2)(12y 1＋32y 2)14(x 213＋y 21)34(x 23＋y 2)32(13x 1x 2＋y 1y 2)又＋y ＝1，＋y ＝1，x 21321x 232∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，②13将x 1＝ty 1＋，x 2＝ty 2＋及①代入②得t 2＝1，22即t ＝1或t ＝－1.故直线l 的方程为x ＋y －＝0或x －y －＝0.22二、强化压轴考法——拉开分1．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是x 2a 2y 2b2坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝|OP |，则C 的离心率为( )6A. B ．25C.D.32解析：选C 法一：不妨设一条渐近线的方程为y ＝x ，ba则F 2到y ＝x 的距离d ＝＝b.b a|bc |a 2＋b 2在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝a ，6又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝＝－cos ∠POF 2＝－，a 2＋c 2－ 6a 22aca c 即3a 2＋c 2－(a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝＝.6c a3法二：如图，过点F 1向OP 的反向延长线作垂线，垂足为P ′，连接P ′F 2，由题意可知，四边形PF 1P ′F 2为平行四边形，且△PP ′F 2是直角三角形．因为|F 2P |＝b ，|F 2O |＝c ，所以|OP |＝a .又|PF 1|＝a ＝|F 2P ′|，|PP ′|＝2a ，所以|F 2P |＝a ＝b ，所以c ＝62＝a ，所以e ＝＝.a 2＋b 23ca32．(2018·合肥质检)已知椭圆M ：＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共x 2a 2点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则的取值范围k 1k2为( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)解析：选D 由于椭圆M ：＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所x 2a2以Error!解得3<a 2<5.设椭圆M ：＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，x 2a2y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，x 0xa 2所以k 1＝－，k 2＝－，＝a 2，所以∈(3,5)．x 0y 0x 0a 2y 0k 1k 2k 1k23．(2019届高三·辽宁五校协作体联考)一条动直线l 与抛物线C ：x 2＝4y 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若＝2，则(－)2－42的最大值为( )AB ―→ AG ―→ OA ―→ OB ―→ OG ―→A ．24B ．16C ．8D ．－16解析：选B 由＝2知G 是线段AB 的中点，AB ―→ AG ―→∴＝(＋)，OG ―→ 12OA ―→OB ―→∴(－)2－42＝(－)2－(＋)2＝－4·.OA ―→ OB ―→ OG ―→ OA ―→ OB ―→ OA ―→ OB ―→ OA ―→ OB ―→ 由A ，B 是动直线l 与抛物线C ：x 2＝4y 的交点，不妨设A，B ，(x 1，x 214)(x 2，x 24)∴－4·＝－4OA ―→ OB ―→ (x 1x 2＋x 21x 216)＝－4 ＝16－42≤16，[2－4](x 1x 24＋2)∴(－)2－42的最大值为16.OA ―→ OB ―→ OG ―→4．(2018·合肥检测)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线于A ，B 两点，且|AF |＝3|FB |.直线l 1，l 2分别过点A ，B ，且与x 轴平行，在直线l 1，l 2上分别取点M ，N (M ，N 分别在点A ，B 的右侧)，分别作∠ABN 和∠BAM 的角平分线并相交于点P ，则△PAB 的面积为( )A. B.643323C. D.32396439解析：选C 因为抛物线方程为y 2＝4x ，所以其焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，如图所示，不妨设点B 在x 轴上方，过点B 向l 1作垂线，垂足为C .设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，因为|AF |＝3|FB |，所以x A ＋1＝3(x B ＋1)，所以x A －x B ＝2(x B ＋1)＝2|FB |，所以cos ∠BAC ＝＝，所以∠BAC ＝2|FB |4|FB |1260°，因为AP ，BP 分别为∠BAM 与∠ABN 的角平分线，所以∠BAP ＝60°，∠ABP ＝30°，所以∠APB ＝90°，所以|AP |＝2|FB |＝2x B ＋2，所以S △PAB ＝|AP ||AB |sin 60°＝1212×2(x B ＋1)×4(x B ＋1)×＝2(x B ＋1)2.由∠BAC ＝60°，F (1,0)可得直线AB 的方程为y ＝323－(x －1)，联立Error!解得x ＝或x ＝3，易知x B ＝，所以S △PAB ＝2×2＝.313133(13＋1)32395．已知等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝4，∠BAD ＝60°，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段CD (包括端点C ，D )有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为坐标原点O ，过点O 且垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (－2,0)，B (2,0)，C (1，)．设以A ，B 为焦点的双3曲线方程为－＝1(a >0，b >0)，则c ＝2.由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝4－a 2，当x ＝1时，y 2＝a 2＋x 2a 2y 2b2－5.要使双曲线与线段CD (包括端点C ，D )有两个交点，则a 2＋－5≥3，解得a 2≥4＋24a24a2或0＜a 2≤4－2，由a 2≥4＋2得a ≥＋1＞2，舍去，∴a 2≤4－2，即0＜a ≤－1.∴333333双曲线的离心率e ＝≥＝＋1.即该双曲线的离心率的取值范围是[＋1，＋∞)．ca23－133答案：[＋1，＋∞)36．(2018·洛阳统考)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：－＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，x 2a 2y 2b2P (x 0，y 0)是双曲线C 右支上的一点，连接PF 1并过F 1作垂直于PF 1的直线交双曲线左支于R ，Q ，其中R (－x 0，－y 0)，△Q F 1P 为等腰三角形，则双曲线C 的离心率为________．解析：设O 为坐标原点，连接OP ，OR ，F 2P ，F 2R ，因为P ，R 关于原点对称，所以|OP |＝|OR |，又|OF 1|＝|OF 2|，PF 1⊥R Q ，故四边形F 1RF 2P 为矩形．设|PF 1|＝m ，由双曲线的定义，得|PF 2|＝m －2a .法一：因为△Q F 1P 为等腰直角三角形，所以|Q F 1|＝|PF 1|＝m ，|P Q|＝m ，2连接Q F 2，则|Q F 2|＝m ＋2a .在△Q PF 2中，∠Q PF 2＝45°＋90°＝135°，由余弦定理得(m ＋2a )2＝(m －2a )2＋(m )2－2(m －2a )·m ·cos 135°，化简得m ＝223a .在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，|F 1F 2|＝2c ，所以(3a )2＋a 2＝(2c )2，即5a 2＝2c 2，＝，c a 102即双曲线的离心率为.102法二：因为△Q F 1P 为等腰直角三角形，所以|Q F 1|＝|PF 1|＝m ，连接Q F 2，则在Rt △Q RF 2中，|R Q|＝2m －2a ，|RF 2|＝m ，|Q F 2|＝m ＋2a ，由勾股定理得(2m －2a )2＋m 2＝(m ＋2a )2，化简得m ＝3a .在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，|F 1F 2|＝2c ，所以(3a )2＋a 2＝(2c )2，即5a 2＝2c 2，＝，c a 102即双曲线的离心率为.102答案：102。

(通用版)2019版高考数学二轮复习课件+训练：第一部分专题十二圆锥曲线的方程与性质课件理

卷Ⅱ3年5考，且3年均考查了双曲线的几何性质．在2018年高考中考查了椭圆的几何性质，且难度较大．预计2019 年仍会以选择题或填空题的形式考查双曲线的几何性质或椭圆的几何性质
卷Ⅲ3年5考，涉及双曲线的几何性质、椭圆的几何性质、直线与抛物线的位置关系，既有选择题，也有填空题，难度适中．预计 2019年仍会以选择题或填空题的形式考查双曲线或椭圆的方程及性质
PQ ，垂足为 Q .若四边形 AFPQ 的周长为 16，则点 P 的坐标
为________．解析：设 P(x，y)，其中 x>0，y>0，由抛物线的定义知|PF|
＝|PQ |＝x＋1.根据题意知|AF|＝2，|Q A|＝y，
则2y2＝x＋4x1＋2＋y＝16， ⇒yx＝＝44，或xy＝＝－9，6 (舍去)．所以点 P 的坐标为(4,4)．答案：(4,4)
答案：C
[类题通法] 1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定 a，b，c 的等量关系或不等关系，然后把 b 用 a，c 代换，求ac的值或范围． 2．双曲线的渐近线的求法及用法 (1)求法：把双曲线标准方程等号右边的 1 改为 0，分解因式可得． (2)用法：①可得ba或ab的值． ②利用渐近线方程设所求双曲线的方程． ③利用 e＝ 1＋ab22求离心率．
[系统方法] 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)． (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)． (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点 F 不在直线 l 上，PM⊥l 于 M. 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” 所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的 a2，b2，p 的值．

2019版二轮复习数学(文) 重点增分专题十圆锥曲线的方程与性质

|PF2|＝
b2 a
＝
5 3
，|PF1|＝2a－|PF2|＝
13 3
，所以
||PPFF21||＝153.
答案：D
2. [双曲线的定义] 已知双曲线的虚轴长为4，离心率e＝
6 2
，
F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若过F1的直线与双曲
线的左支交于A，B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中
－
y2 b2
＝1(a＞0，b＞0)的焦点在x轴上，所
以由渐近线方程为2x±y＝0，得
b a
＝2，因为双曲线的焦距为
4 5，所以c＝2 5.结合c2＝a2＋b2，可得a＝2，b＝4，所以双
曲线的方程为x42－1y62 ＝1.
答案：A
2. [椭圆的标准方程] 若椭圆的中心为坐标原点，短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到椭圆上的点的距
项，则|AB|等于
()
A．8 2
B．4 2
C．2 2
D．8
解析：由题意可知2b＝4，e＝ac＝ 26，于是a＝2 2.
∵2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，∴|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋
|BF2|，得|AB|＝|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝4a＝8 2.
答案：A
3. [抛物线的定义] 过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝2|BF|＝6，则p＝________. 解析：设直线 AB 的方程为 x＝my＋p2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1＞x2，将直线 AB 的方程代入抛物线方程得 y2－2pmy－p2＝0，所以 y1y2＝－p2,4x1x2＝p2.设抛物线的准线为 l，过 A 作 AC⊥l，垂足为 C，过 B 作 BD⊥l，垂足为 D，因为|AF|＝2|BF|＝6，根据抛物线的定义知，|AF|＝|AC|＝x1＋p2＝6，|BF|＝|BD|＝x2＋p2＝3，所以 x1－x2＝3，x1＋x2＝9－p，所以(x1＋x2)2－(x1－x2)2＝4x1x2 ＝p2，即 18p－72＝0，解得 p＝4.

2019高考数学(文)优编增分二轮(全国通用版)文档：专题五第2讲圆锥曲线 Word版含答案

第2讲圆锥曲线[考情考向分析] 1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)．热点一圆锥曲线的定义与标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)．(2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于点M .2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．例1 (1)(2018·乌鲁木齐诊断)椭圆的离心率为22，F 为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点与F 关于直线y ＝x ＋4对称，则椭圆方程为( )A.x 218＋y 29＝1 B.x 29＋y 218＝1 C.x 218＋y 29＝1或x 29＋y 218＝1 D.x 28＋y 24＝1或x 24＋y 28＝1 答案 C解析由题意知，c a ＝22，得a 2＝2b 2＝2c 2，当F 在x 轴上时，不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，椭圆上任取点P ()x 0，y 0，取焦点F (－c,0)，则PF 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－c 2，y 02，根据条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ y 02＝x 0－c 2＋4，k PF ＝y 0x 0＋c ＝－1，联立两式解得x 0＝－4，y 0＝4－c ，代入椭圆方程解得a ＝32，b ＝3，由此可得椭圆方程为x 218＋y 29＝1. 同理，当F 在y 轴上时，椭圆方程为y 218＋x 29＝1. (2)(2018·龙岩质检)已知以圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为焦点的抛物线C 1与圆C 在第一象限交于A 点，B 点是抛物线C 2：x 2＝8y 上任意一点，BM 与直线y ＝－2垂直，垂足为M ，则|BM |－|AB |的最大值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．8答案 A解析因为圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为C (1,0)，所以可得以C (1,0)为焦点的抛物线方程为y 2＝4x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，(x －1)2＋y 2＝4，解得A (1,2)．抛物线C 2：x 2＝8y 的焦点为F (0,2)，准线方程为y ＝－2，即有|BM |－|AB |＝|BF |－|AB |≤|AF |＝1，当且仅当A ，B ，F (A 在B ，F 之间)三点共线时，可得最大值1.思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．跟踪演练1 (1)(2018·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学模拟)与椭圆C ：y 26＋x 22＝1共焦点且渐近线方程为y ＝±3x 的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1。

2019高考数学(文科)二轮习题：专题六第十二讲圆锥曲线及其性质 Word版含解析

第十二讲圆锥曲线及其性质1.(2018广西南宁二中、柳州高中联考)已知双曲线x 23-y 2b 2=1(b>0)的一个焦点与抛物线y 2=8x 的焦点重合,则该双曲线的渐近线方程为( )A.y=±13x B.y=±√33x C.y=±3xD.y=±√3x 2.(2018四川成都模拟)如图,已知双曲线E:x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),长方形ABCD 的顶点A,B 分别为双曲线E 的左,右焦点,且点C,D 在双曲线E 上,若|AB|=6,|BC|=52,则此双曲线的离心率为( )A.√2B.32C.52D.√53.直线l 过抛物线y 2=-2px(p>0)的焦点,且与该抛物线交于A,B 两点,若线段AB 的长是8,AB 的中点到y 轴的距离是2,则此抛物线的方程是( )A.y 2=-12xB.y 2=-8xC.y 2=-6xD.y 2=-4x4.(2018广东惠州模拟)设F 1,F 2为椭圆x 29+y 25=1的两个焦点,点P 在椭圆上,若线段PF 1的中点在y 轴上,则|PF 2||PF 1|的值为( ) A.514 B.59 C.49 D.513 5.(2018课标全国Ⅱ,11,5分)已知F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点.若PF 1⊥PF 2,且∠PF 2F 1=60°,则C 的离心率为( )A.1-√32B.2-√3 C.√3-12D.√3-16.(2018安徽合肥模拟)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=()A.13B.√23C.23D.2√237.(2018北京,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.8.(2018江西南昌模拟)已知双曲线C:x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作圆(x-a)2+y2=c216的切线,若该切线恰好与C的一条渐近线垂直,则双曲线C的离心率为.9.P是椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点,A为左顶点,F为右焦点,PF⊥x轴,若tan∠PAF=12,则椭圆的离心率e为.10.已知双曲线x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为.11.(2018湖北武汉调研)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x 2a2+y2=1(a>1,a∈R)上,过O的直线交椭圆C于A,B两点,F为椭圆C的左焦点.(1)若△FAB的面积的最大值为1,求a的值;(2)若直线MA,MB的斜率乘积等于-13,求椭圆C的离心率.。

通用版2019版高考数学(文)二轮复习：专题检测(十四) 圆锥曲线的方程与性质(含解析)

专题检测（十四）圆锥曲线的方程与性质A 组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A.13 B.12C.22D.223解析：选C ∵a 2＝4＋22＝8， ∴a ＝22，∴e ＝c a ＝222＝22.2．一个焦点为(26，0)且与双曲线y 24－x 29＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.y 218－x 28＝1 B.x 218－y 28＝1C.x 216－y 210＝1 D.y 216－x 210＝1解析：选B 设所求双曲线方程为y 24－x 29＝t (t ≠0)，因为一个焦点为(26，0)，所以|13t |＝26.又焦点在x轴上，所以t ＝－2，即双曲线方程为x 218－y 28＝1.3．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( ) A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选B 设P (x 0，y 0)，依题意可得|PF |＝x 0＋1＝2，解得x 0＝1，故y 20＝4×1，解得y 0＝±2，不妨取P (1,2)，则△OFP 的面积为12×1×2＝1.4．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322D ．2 2解析：选D ∵e ＝ca ＝1＋b 2a2＝2，∴b a ＝1. ∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0.∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝42＝2 2. 5．已知双曲线x 2－y 28＝1 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，则|AB |＝( )A ．2 2B ．3C ．4D ．22＋1解析：选C 设双曲线的实半轴长为a ，依题意可得a ＝1，由双曲线的定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，又|AF 1|＝|BF 1|，故|AF 2|－|BF 2|＝4，又|AB |＝|AF 2|－|BF 2|，故|AB |＝4.6．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32B ．2－ 3 C.3－12D.3－1解析：选D 在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1，所以离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.二、填空题7．已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的渐近线方程为y ＝±33x ，则其焦距为________．解析：由渐近线方程y ＝±33x ，可得1a ＝33，解得a ＝3，故c ＝(3)2＋1＝2，故焦距为4.答案：48．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为________．解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意可知，直线l 过焦点，且垂直于x 轴，将x ＝c 代入双曲线方程，解得y ＝±b 2a ，则|AB |＝2b 2a ，由|AB |＝2×2a ，则b 2＝2a 2，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋b 2a2＝ 3.答案： 39．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，准线为x ＝－1，直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，若线段MN 的中点为(1,1)，则直线l 的方程为________．解析：依题意易得抛物线的方程为y 2＝4x ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，因为线段MN 的中点为(1,1)，故x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，则x 1≠x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2，故直线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.答案：2x －y －1＝0 三、解答题10．(2018·石家庄模拟)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 22上两点，A 与B 的横坐标之和为2.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，曲线C 在点M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 212，y 2＝x 222，x 1＋x 2＝2，故直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22＝1.(2)由y ＝x 22，得y ′＝x .设M (x 3，y 3)，由题设知x 3＝1，于是M ⎝⎛⎭⎫1，12. 设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (1,1＋m )，|MN |＝⎪⎪⎪⎪m ＋12. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 22，得x 2－2x －2m ＝0.由Δ＝4＋8m >0，得m >－12，x 1,2＝1±1＋2m .从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝22(1＋2m ).由题设知|AB |＝2|MN |，即2(1＋2m )＝⎪⎪⎪⎪m ＋12，解得m ＝72，所以直线AB 的方程为y ＝x ＋72.11．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝1或k ＝－1(舍去)．因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)22＋16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.12．已知直线x ＋ky －3＝0所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8.(1)求椭圆C 的标准方程．(2)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：mx ＋ny ＝1，试证：当点P (m ，n )在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交，并求直线l 被圆O 所截得的弦长l 的取值范围．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，直线x ＋ky －3＝0所经过的定点是(3,0)，即点F (3,0)．因为椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8，所以a ＋3＝8，a ＝5，所以b 2＝52－32＝16，所以椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)因为点P (m ，n )在椭圆C 上，所以m 225＋n 216＝1，即n 2＝16－16m 225.又原点到直线l ：mx ＋ny ＝1的距离d ＝1m 2＋n 2＝1925m 2＋16<1，所以直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1恒相交．则l 2＝4(12－d 2)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1925m 2＋16，因为－5≤m ≤5，所以152≤l ≤465. 故直线l 被圆O 所截得的弦长l 的取值范围为⎣⎡⎦⎤152，465.B 组——大题专攻补短练1．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)若AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程； (2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N . 证明：直线AN 与抛物线相切．解：(1)∵AB ∥l ，∴|AB |＝2p . 又|FD |＝p ，∴S △ABD ＝p 2＝1.∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y . (2)证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py消去y 得，x 2－2kpx －p 2＝0. ∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2. 其中A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212p ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222p . ∴M ⎝⎛⎭⎫kp ，k 2p ＋p 2，N ⎝⎛⎭⎫kp ，－p 2. ∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22p x 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p .又x 2＝2py ，即y ＝x 22p，∴y ′＝xp .∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝x 1p .∴直线AN 与抛物线相切．2．(2018·贵阳适应性考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 为短轴的上端点，MF 1―→·MF 2―→＝0，过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点(2，－1)且不经过点M 的直线l 与C 相交于G ，H 两点．若k 1，k 2分别为直线MH ，MG 的斜率，求k 1＋k 2的值．解：(1)由MF 1―→·MF 2―→＝0，得b ＝c .①因为过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝2，所以b 2a ＝22.②又a 2＝b 2＋c 2，③联立①②③，解得a 2＝2，b 2＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即y ＝kx －2k －1，将y ＝kx －2k －1代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (2k ＋1)x ＋8k 2＋8k ＝0，由题设可知Δ＝－16k (k ＋2)>0，设G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k (2k ＋1)1＋2k 2，x 1x 2＝8k 2＋8k1＋2k 2，k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1－2k －2x 1＋kx 2－2k －2x 2＝2k －(2k ＋2)×4k (2k ＋1)1＋2k 28k 2＋8k 1＋2k 2＝2k －(2k ＋1)＝－1，所以k 1＋k 2＝－1.3．(2019届高三·唐山五校联考)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求直线l 的方程．解：(1)设 C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP ―→＝ 2 PD ―→，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，所以⎩⎨⎧x －m ＝－2x ，y ＝2(n －y )，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝(2＋1)x ，n ＝2＋12y ，由|CD ―→|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2，所以(2＋1)2x 2＋(2＋1)22y 2＝(2＋1)2，整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，知点M 的坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x 1＋x 2＝－2kk 2＋2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2. 由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)22＝1，即4k 2(k 2＋2)2＋8(k 2＋2)2＝1，解得k 2＝2. 此时直线l 的方程为y ＝±2x ＋1.4.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为点A ，B ，且|AB |＝52|BF |. (1)求椭圆C 的离心率；(2)若点M ⎝⎛⎭⎫－1617，217在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，M 为线段P Q 的中点，且OP ⊥O Q ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．解：(1)由已知|AB |＝52|BF |，得a 2＋b 2＝52a ，即4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2，所以e ＝c a ＝32.(2)由(1)知a 2＝4b 2，所以椭圆C 的方程可化为x 24b 2＋y 2b 2＝1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由x 214b 2＋y 21b 2＝1，x 224b 2＋y 22b 2＝1，可得x 21－x 224b 2＋y 21－y 22b2＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4b 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，即－3217(x 1－x 2)4＋417(y 1－y 2)＝0，从而k P Q ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，所以直线l 的方程为y －217＝2⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫－1617，即2x －y ＋2＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y 2b 2＝1消去y ，得17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0. 则Δ＝322＋16×17×(b 2－4)>0⇔b >21717，x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b 217.因为OP ⊥O Q ，OP ―→·O Q ―→＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0， x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0， 5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0，从而5(16－4b 2)17－12817＋4＝0，解得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.综上，直线l 的方程为2x －y ＋2＝0，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.。

2019版高考数学二轮复习课件+训练：专题跟踪检测(十三)圆锥曲线的方程与性质理

专题跟踪检测（十三）圆锥曲线的方程与性质一、全练保分考法——保大分1．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的，则14该椭圆的离心率为( )A. B ．1312C. D ．2334解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为＋＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知＝×2b ，解得＝，即e ＝.故选B ．x c yb|－bc |b 2＋c 214c a 12122．(2019届高三·湖南长郡中学模拟)已知F 为双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的一个x 2a 2y 2b2焦点，其关于双曲线C 的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为( )A. B ．23C ．2D ．5解析：选C 依题意，设双曲线的渐近线y ＝x 的倾斜角为θ，则有3θ＝π，θ＝，ba π3＝tan ＝，双曲线C 的离心率e ＝＝2.b a π331＋(b a )23．(2019届高三·南宁、柳州名校联考)已知双曲线－＝1(b >0)的一个焦点与抛物x 23y 2b线y 2＝8x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±x1333C ．y ＝±3xD ．y ＝±x3解析：选B 由题意知，抛物线的焦点是(2,0)，即双曲线－＝1的一个焦点坐标是x 23y 2b(2,0)，则c ＝2，且双曲线的焦点在x 轴上，所以3＋b ＝22，即b ＝1，于是双曲线的渐近线方程为y ＝±x .334．(2018·昆明调研)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN |＝|AB |，则l 的倾斜角为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°解析：选B 分别过A ，B ，N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，Q ，由抛物线的定义知|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|NQ |＝(|AA ′|＋|BB ′|)＝|AB |，因为|MN |＝1212|AB |，所以|NQ |＝|MN |，所以∠MNQ ＝60°，即直线MN 的倾斜角为120°，又直线MN 与直12线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为30°.5．(2018·南昌模拟)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )π4A. B ．1222C ．1D ．2解析：选B 如图，设F 1，F 2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P是第一象限的点，椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.设|F 1F 2|＝2c ，又∠F 1PF 2＝，则在△PF 1F 2中，由余弦定π4理得，4c 2＝(a1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a1＋a 2)(a 1－a 2)cos ，化简得(2－)a ＋(2＋)a π42212＝4c 2，设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，∴＋＝4，22－2e 212＋2e2又＋≥2＝，2－2e 212＋2e 22－2e 21·2＋2e 222e 1·e 2∴≤4，即e 1·e 2≥，22e 1·e 222∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为.226．(2018·长春质检)已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线上任意一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( )A ．1B ．2C ．4D ．12解析：选A 不妨设P 在双曲线的左支，如图，延长F 1H 交PF 2于点M ，由于PH 既是∠F 1PF 2的平分线又垂直于F 1M ，故△PF 1M 为等腰三角形，|PF 1|＝|PM |且H 为F 1M 的中点，所以OH 为△MF 1F 2的中位线，所以|OH |＝|MF 2|＝12(|PF 2|－|PM |)＝(|PF 2|－|PF 1|)＝1.12127．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点12重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝________.解析：抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2.从而椭圆E 的半焦距c ＝2.可设椭圆E 的方程为＋＝1(a >b >0)，因为离心率e ＝＝，所以a ＝4，所以b 2＝a 2x 2a 2y 2b 2c a 12－c 2＝12.由题意知|AB |＝＝2×＝6.2b 2a 124答案：68．(2018·南宁模拟)已知椭圆＋＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝x 2a 2y 2b20，弦的中点坐标是M (－4，1)，则椭圆的离心率是________．解析：设直线x －y ＋5＝0与椭圆＋＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，x 2a 2y 2b2因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝＝1.y 2－y 1x 2－x 1由Error!两式相减得，＋＝0， x 1＋x 2 x 1－x 2a 2 y 1＋y 2 y 1－y 2 b2所以＝－·，所以＝，y 1－y 2x 1－x 2b 2a 2x 1＋x 2y 1＋y 2b 2a 214于是椭圆的离心率e ＝＝＝.c a 1－b 2a232答案：329．(2019届高三·惠州调研)已知F 1，F 2是双曲线－＝1(a >0，b >0)的两个焦点，过y 2a 2x 2b2其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：如图，不妨设F1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝x ab平行的直线为y ＝x ＋c ，联立Error!a b解得Error!即M .因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2(－bc 2a ，c2)＋y 2＝c 2内，故2＋2<c 2，化简得b 2<3a 2，即c 2－a 2<3a 2，解得<2，又双曲线的离心(－bc 2a )(c 2)ca率e ＝＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．c a答案：(1,2)10．(2018·辽宁五校协作体联考)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，x 2a 2y 2b 2F 2，上顶点为B ，若△BF 1F 2的周长为6，且点F 1到直线BF 2的距离为B ．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 1，A 2是椭圆C 长轴的两个端点，P 是椭圆C 上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P 交直线x ＝m 于点M ，若以MP 为直径的圆过点A 2，求实数m 的值．解：(1)由题意得F 1(－c,0)，F 2(c,0)，B (0，b )，则2a ＋2c ＝6.①直线BF 2的方程为bx ＋cy －bc ＝0，所以＝b ，即2c ＝a .②|－bc －bc |c 2＋b 2又a 2＝b 2＋c 2，③所以由①②③可得a ＝2，b ＝，3所以椭圆C 的方程为＋＝1.x 24y 23(2)不妨设A 1(－2,0)，A 2(2,0)，P (x 0，y 0)，则直线A 1P 的方程为y ＝(x ＋2)，y 0x 0＋2所以M .(m ，y 0x 0＋2m ＋2 )又点P 在椭圆C 上，所以y ＝3.20(1－x 24)若以MP 为直径的圆过点A 2，则A 2M ⊥A 2P ，即·＝0，A 2M ―→ A 2P ―→所以·(x 0－2，y 0)(m －2，y 0x 0＋2m ＋2 )＝(m －2)(x 0－2)＋(m ＋2)y 2x 0＋2＝(m －2)(x 0－2)＋(m＋2)3(1－x 204)x 0＋2＝(x 0－2)＝0.(14m －72)又点P 不同于点A 1，A 2，所以x 0≠±2，所以m －＝0，解得m ＝14.147211．(2018·唐山模拟)在直角坐标系xOy 中，长为＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 2轴、y 轴上滑动，＝ .记点P 的轨迹为曲线E .CP ―→ 2PD ―→(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线E 相交于A ，B 两点，＝＋，当点M 在曲线EOM ―→ OA ―→ OB ―→上时，求四边形AOBM 的面积．解：(1)设C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由＝，得(x －m ，y )＝(－x ，n －y )，CP ―→ 2PD ―→2所以Error!得Error!由| |＝＋1，得m 2＋n 2＝(＋1)2，CD ―→22所以(＋1)2x 2＋y 2＝(＋1)2，2 2＋1 222整理，得曲线E 的方程为x 2＋＝1.y 22(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由＝＋，知点M 坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．OM ―→ OA ―→ OB ―→由题意知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝－.2k k 2＋21k 2＋2y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝.4k 2＋2由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋＝1， y 1＋y 2 22即＋＝1，4k 2 k 2＋2 28 k 2＋2 2解得k 2＝2.所以|AB |＝|x 1－x 2|1＋k 2＝＝，3[ x 1＋x 2 2－4x 1x 2]322又原点到直线AB 的距离d ＝＝，11＋k 233所以平行四边形OAMB 的面积S ＝|AB |·d ＝.6212．(2019届高三·洛阳第一次统考)已知短轴长为2的椭圆E ：＋＝1(a >b >0)，直x 2a 2y 2b2线n 的横、纵截距分别为a ，－1，且原点O 到直线n 的距离为.32(1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 经过椭圆E 的右焦点F 且与椭圆E 交于A ，B 两点，若椭圆E 上存在一点C 满足＋－2 ＝0，求直线l 的方程．OA ―→ 3OB ―→ OC ―→解：(1)∵椭圆E 的短轴长为2，∴b ＝1.依题意设直线n 的方程为－y ＝1，xa由＝，解得a ＝，11a 2＋1323故椭圆E 的方程为＋y 2＝1.x 23(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，当直线l 的斜率为0时，显然不符合题意．当直线l 的斜率不为0或直线l 的斜率不存在时，F (，0)，设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，2由Error!消去x ，得(t 2＋3)y 2＋2ty －1＝0，2∴y 1＋y 2＝－，y 1y 2＝－，①22tt 2＋31t 2＋3∵＋－2＝0，OA ―→ 3OB ―→ OC ―→∴x 3＝x 1＋x 2，y 3＝y 1＋y 2，12321232又点C 在椭圆E 上，∴＋y ＝2＋2＝＋＋＝1，x 2332313(12x 1＋32x 2)(12y 1＋32y 2)14(x 213＋y 21)34(x 23＋y 2)32(13x 1x 2＋y 1y 2)又＋y ＝1，＋y ＝1，x 21321x 232∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，②13将x 1＝ty 1＋，x 2＝ty 2＋及①代入②得t 2＝1，22即t ＝1或t ＝－1.故直线l 的方程为x ＋y －＝0或x －y －＝0.22二、强化压轴考法——拉开分1．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是x 2a 2y 2b2坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝|OP |，则C 的离心率为( )6A. B ．25C.D ．32解析：选C 法一：不妨设一条渐近线的方程为y ＝x ，ba则F 2到y ＝x 的距离d ＝＝b.b a |bc |a 2＋b 2在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝a ，6又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝＝－cos ∠POF 2＝－，a 2＋c 2－ 6a 22aca c 即3a 2＋c 2－(a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝＝.6c a3法二：如图，过点F 1向OP 的反向延长线作垂线，垂足为P ′，连接P ′F 2，由题意可知，四边形PF 1P ′F 2为平行四边形，且△PP ′F 2是直角三角形．因为|F 2P |＝b ，|F 2O |＝c ，所以|OP |＝a .又|PF 1|＝a ＝|F 2P ′|，|PP ′|＝2a ，所以|F 2P |＝a ＝b ，所以c ＝62＝a ，所以e ＝＝.a 2＋b 23ca32．(2018·合肥质检)已知椭圆M ：＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共x 2a 2点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则的取值范围k 1k2为( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)解析：选D 由于椭圆M ：＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所x 2a2以Error!解得3<a 2<5.设椭圆M ：＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，x 2a2y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，x 0xa 2所以k 1＝－，k 2＝－，＝a 2，所以∈(3,5)．x 0y 0x 0a 2y 0k 1k 2k 1k23．(2019届高三·辽宁五校协作体联考)一条动直线l 与抛物线C ：x 2＝4y 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若＝2，则(－)2－42的最大值为( )AB ―→ AG ―→ OA ―→ OB ―→ OG ―→A ．24B ．16C ．8D ．－16解析：选B 由＝2知G 是线段AB 的中点，AB ―→ AG ―→∴＝(＋)，OG ―→ 12OA ―→OB ―→∴(－)2－42＝(－)2－(＋)2＝－4·.OA ―→ OB ―→ OG ―→ OA ―→ OB ―→ OA ―→ OB ―→ OA ―→ OB ―→ 由A ，B 是动直线l 与抛物线C ：x 2＝4y 的交点，不妨设A，B ，(x 1，x 214)(x 2，x 24)∴－4·＝－4OA ―→ OB ―→ (x 1x 2＋x 21x 216)＝－4＝16－42≤16，[2－4](x 1x 24＋2)∴(－)2－42的最大值为16.OA ―→ OB ―→ OG ―→4．(2018·合肥检测)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线于A ，B 两点，且|AF |＝3|FB |.直线l 1，l 2分别过点A ，B ，且与x 轴平行，在直线l 1，l 2上分别取点M ，N (M ，N 分别在点A ，B 的右侧)，分别作∠ABN 和∠BAM 的角平分线并相交于点P ，则△PAB 的面积为( )A. B ．643323C. D ．32396439解析：选C 因为抛物线方程为y 2＝4x ，所以其焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，如图所示，不妨设点B 在x 轴上方，过点B 向l 1作垂线，垂足为C .设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，因为|AF |＝3|FB |，所以x A ＋1＝3(x B ＋1)，所以x A －x B ＝2(x B ＋1)＝2|FB |，所以cos ∠BAC ＝＝，所以∠BAC ＝2|FB |4|FB |1260°，因为AP ，BP 分别为∠BAM 与∠ABN 的角平分线，所以∠BAP ＝60°，∠ABP ＝30°，所以∠APB ＝90°，所以|AP |＝2|FB |＝2x B ＋2，所以S △PAB ＝|AP ||AB |sin 60°＝1212×2(x B ＋1)×4(x B ＋1)×＝2(x B ＋1)2.由∠BAC ＝60°，F (1,0)可得直线AB 的方程为y ＝323－(x －1)，联立Error!解得x ＝或x ＝3，易知x B ＝，所以S △PAB ＝2×2＝.313133(13＋1)32395．已知等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝4，∠BAD ＝60°，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段CD (包括端点C ，D )有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为坐标原点O ，过点O 且垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (－2,0)，B (2,0)，C (1，)．设以A ，B 为焦点的双3曲线方程为－＝1(a >0，b >0)，则c ＝2.由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝4－a 2，当x ＝1时，y 2＝a 2＋x 2a 2y 2b2－5.要使双曲线与线段CD (包括端点C ，D )有两个交点，则a 2＋－5≥3，解得a 2≥4＋24a 24a 2或0＜a 2≤4－2，由a 2≥4＋2得a ≥＋1＞2，舍去，∴a 2≤4－2，即0＜a ≤－1.∴333333双曲线的离心率e ＝≥＝＋1.即该双曲线的离心率的取值范围是[＋1，＋∞)．c a 23－133答案：[＋1，＋∞)36．(2018·洛阳统考)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：－＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，x 2a 2y 2b 2P (x 0，y 0)是双曲线C 右支上的一点，连接PF 1并过F 1作垂直于PF 1的直线交双曲线左支于R ，Q ，其中R (－x 0，－y 0)，△QF 1P 为等腰三角形，则双曲线C 的离心率为________．解析：设O 为坐标原点，连接OP ，OR ，F 2P ，F 2R ，因为P ，R 关于原点对称，所以|OP |＝|OR |，又|OF 1|＝|OF 2|，PF 1⊥RQ ，故四边形F 1RF 2P 为矩形．设|PF 1|＝m ，由双曲线的定义，得|PF 2|＝m －2a .法一：因为△QF 1P 为等腰直角三角形，所以|QF 1|＝|PF 1|＝m ，|PQ |＝m ，2连接QF 2，则|QF 2|＝m ＋2a .在△QPF 2中，∠QPF 2＝45°＋90°＝135°，由余弦定理得(m ＋2a )2＝(m －2a )2＋(m )2－2(m －2a )·m ·cos 135°，化简得m ＝223a .在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，|F 1F 2|＝2c ，所以(3a )2＋a 2＝(2c )2，即5a 2＝2c 2，＝，c a102即双曲线的离心率为.102法二：因为△QF 1P 为等腰直角三角形，所以|QF 1|＝|PF 1|＝m ，连接QF 2，则在Rt △QRF 2中，|RQ |＝2m －2a ，|RF 2|＝m ，|QF 2|＝m ＋2a ，由勾股定理得(2m －2a )2＋m 2＝(m ＋2a )2，化简得m ＝3a .在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，|F 1F 2|＝2c ，所以(3a )2＋a 2＝(2c )2，即5a 2＝2c 2，＝，c a102即双曲线的离心率为.102答案：102。

高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测：(十二) 圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质 Word版含

课时跟踪检测（十二）圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质[A 级——“12＋4”保分小题提速练]1．(2017·福州模拟)已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±33x B ．y ＝±3xC ．y ＝±2xD ．y ＝±5x解析：选A ∵双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴ca ＝2，即c 2＝4a 2，∴a 2＋b 2＝4a 2，∴a b ＝33，∴C 的渐近线方程为y ＝±33x .2．(2018届高三·广东三市联考)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点A (x 0，2)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选D 由题意3x 0＝x 0＋p 2，即x 0＝p4，将⎝⎛⎭⎫p 4，2代入y 2＝2px (p ＞0)，得p22＝2， ∵p ＞0，∴p ＝2.3．(2017·南京模拟)若双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的离心率为2，则b ＝( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选C 由题意得e ＝ca ＝1＋b 21＝2，解得b ＝ 3.4．(2017·长沙模拟)A 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时，∠OFA ＝120°，则抛物线的准线方程是( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－2D ．y ＝－2解析：选A 过A 向准线作垂线，设垂足为B ，准线与x 轴的交点为D .因为∠OFA ＝120°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF ＝30°，从而p ＝|DF |＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1.5．(2017·合肥模拟)已知双曲线y 24－x 2＝1的两条渐近线分别与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线交于A ，B 两点．O 为坐标原点．若△OAB 的面积为1，则p 的值为( )A ．1 B. 2 C ．2 2D ．4解析：选B 双曲线的两条渐近线方程为y ＝±2x ，抛物线的准线方程为x ＝－p2，故A ，B 两点的坐标为⎝⎛⎭⎫－p 2，±p ，|AB |＝2p ，所以S △OAB ＝12·2p ·p 2＝p 22＝1，解得p ＝ 2. 6．(2018届高三·张掖调研)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为103，则|AB |＝( ) A.133 B.143C ．5D.163解析：选D ∵p ＝2，∴|AB |＝2＋103＝163.7．(2017·广州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋3y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝7，则|PF 2|等于( )A ．1B ．13C ．4或10D ．1或13解析：选D 由一条渐近线方程为2x ＋3y ＝0和b ＝2可得a ＝3，|F 1F 2|＝29＋4＝213，由点P 在双曲线C 上，|PF 1|＝7，得|7－|PF 2||＝2a ＝2×3＝6，可得|PF 2|＝1或|PF 2|＝13，根据|PF 1|＝7，|PF 2|＝1，|F 1F 2|＝213，或者|PF 1|＝7，|PF 2|＝13，|F 1F 2|＝213，均能满足三角形成立的条件，选D.8．(2017·沈阳模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 与双曲线C 的焦点不重合，点M 关于F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在双曲线的右支上，若|AN |－|BN |＝12，则a ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选A 作出示意图如图所示，设MN 的中点为P .∵F 1为MA 的中点，F 2为MB 的中点，∴|AN |＝2|PF 1|，|BN |＝2|PF 2|，又|AN |－|BN |＝12，∴|PF 1|－|PF 2|＝6＝2a ，∴a ＝3.9．(2018届高三·武昌调研)已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|>|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线过F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则2e 1＋e 22的最小值为( )A ．6B ．3 C. 6D. 3解析：选A 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a ′，半焦距为c ，依题意知错误!∴2a ＝2a ′＋4c ，∴2e 1＋e 22＝2ac ＋c 2a ′＝2a ′＋4c c ＋c 2a ′＝2a ′c ＋c 2a ′＋4≥2＋4＝6，当且仅当c ＝2a ′时取“＝”，故选A.10．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13解析：选A 以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，由原点到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离d ＝2ab b 2＋a2＝a ，得a 2＝3b 2，所以C 的离心率e ＝ 1－b 2a 2＝63. 11．(2017·福州模拟)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若射线y ＝2(x －1)(x ≤1)与C ，l 分别交于P ，Q 两点，则|PQ ||PF |＝( ) A. 2 B ．2 C. 5D ．5解析：选C 由题意，知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，设准线l ：x ＝－1与x 轴的交点为F 1.过点P 作直线l 的垂线，垂足为P 1，由错误!得点Q 的坐标为(－1，－4)，所以|FQ |＝2 5.又|PF |＝|PP 1|，所以|PQ ||PF |＝|PQ ||PP 1|＝|FQ ||FF 1|＝252＝ 5.12．(2017·淄博模拟)已知抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线的距离不大于3，则双曲线E 的离心率的取值范围是( )A ．(1， 2 ]B ．(1,2]C ．[2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选B 抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，双曲线的一条渐近线方程为bx ＋ay ＝0，由题知|2b |a 2＋b2≤3，化简得b 2≤3a 2，又c 2＝a 2＋b 2，∴c 2≤4a 2，∴e ≤2，又e ＞1，∴e ∈(1,2]． 13．(2017·合肥模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：在双曲线中，b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝c 2a2－1＝e 2－1＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x .答案：y ＝±2x14．(2018届高三·西安八校联考)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝3(x －1)与C 交于A ，B (A 在x 轴上方)两点．若AF ―→＝m FB ―→，则m 的值为________．解析：由题意知F (1,0)，由⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎨⎧x 1＝13，y 1＝－233或⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝2 3.由A 在x 轴上方，知A (3,23)，B ⎝⎛⎭⎫13，－233，则AF ―→＝(－2，－23)，FB ―→＝⎝⎛⎭⎫－23，－233，因为AF ―→＝m FB ―→，所以m ＝3. 答案：315．(2018届高三·湘中名校联考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA ―→＋FB ―→＋FC ―→＝0，则1k AB ＋1k AC ＋1k BC＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，由FA ―→＋FB ―→＋FC ―→＝0，得y 1＋y 2＋y 3＝0.因为k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2p y 1＋y 2，所以k AC ＝2p y 1＋y 3，k BC ＝2p y 2＋y 3，所以1k AB ＋1k AC ＋1k BC＝y 1＋y 22p ＋y 3＋y 12p ＋y 2＋y 32p＝0. 答案：016．(2017·安徽二校联考)已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP ―→＝(λ－1)OA ―→ (λ∈R)(O 是坐标原点)，且OA ―→·OP ―→＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．解析：因为AP ―→＝(λ－1)OA ―→，所以OP ―→＝λOA ―→，即O ，A ，P 三点共线，因为OA ―→·OP ―→＝72，所以OA ―→·OP ―→＝λ|OA ―→|2＝72，设A (x ，y )，OA 与x 轴正方向的夹角为θ，线段OP 在x 轴上的投影长度为|OP ―→||cos θ|＝|λ||x |＝72|x ||OA ―→|2＝72|x |x 2＋y 2＝721625|x |＋9|x |≤72216×925＝15，当且仅当|x |＝154时取等号，故所求最大值为15. 答案：15[B 级——中档小题强化练]1．(2018届高三·菏泽摸底)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线x ＋3y＋1＝0垂直，则双曲线的离心率等于( )A. 6B.233C.10D. 3解析：选C 由于双曲线的一条渐近线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，可得b a ＝3，可得b 2＝9a 2，即c 2－a 2＝9a 2，亦即c 2＝10a 2，故离心率为e ＝ca ＝10.2．(2017·云南模拟)以双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上一点M 为圆心作圆，该圆与x 轴相切于C 的一个焦点，与y 轴交于P ，Q 两点．若△MPQ 为正三角形，则该双曲线的离心率等于( )A. 2B. 3 C ．2D. 5解析：选B 设圆M 与双曲线C 相切于点F (c,0)，则MF ⊥x 轴，于是可设M (c ，t )(t ＞0)，代入双曲线方程中解得t ＝b 2a ，所以|MF |＝b 2a ，所以|PQ |＝2⎝⎛⎭⎫b 2a 2－c 2.因为△MPQ 为等边三角形，所以c ＝32×2⎝⎛⎭⎫b 2a 2－c 2，化简，得3b 4＝4a 2c 2，即3(c 2－a 2)2＝4a 2c 2，亦即3c 4－10c 2a 2＋3a 4＝0，所以3e 4－10e 2＋3＝0，解得e 2＝13或e 2＝3，又e ＞1，所以e ＝ 3.3．(2017·兰州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a |PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(1,3]B ．[3，＋∞)C ．(0,3)D ．(0,3]解析：选A 根据双曲线的定义及点P 在双曲线的右支上，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m －n ＝2a ，m 2＝8an ，∴m 2－4mn ＋4n 2＝0，∴m ＝2n ，则n ＝2a ，m ＝4a ，依题得|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|，∴2c ≤4a ＋2a ，∴e ＝ca ≤3，又e ＞1，∴1＜e ≤3，即双曲线C 的离心率的取值范围为(1,3]．4．(2017·湘中名校联考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若|AB |≥35|CD |，则双曲线离心率的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫53，＋∞B.⎣⎡⎭⎫54，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤1，53 D.⎝⎛⎦⎤1，54 解析：选B 将x ＝c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y ＝±b 2a ，不妨取A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，所以|AB |＝2b 2a . 将x ＝c 代入双曲线的渐近线方程y ＝±b a x ，得y ＝±bca ，不妨取C ⎝⎛⎭⎫c ，bc a ，D ⎝⎛⎭⎫c ，－bc a ，所以|CD |＝2bca . 因为|AB |≥35|CD |，所以2b 2a ≥35×2bc a ，即b ≥35c ，则b 2≥925c 2，即c 2－a 2≥925c 2，即1625c 2≥a 2，所以e 2≥2516，所以e ≥54. 5．(2018届高三·武汉调研)已知抛物线Γ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点P 在Γ上且|PK |＝2|PF |，则△PKF 的面积为________．解析：由已知得，F (2,0)，K (－2,0)，过P 作PM 垂直于准线于点M ，则|PM |＝|PF |，又|PK |＝2|PF |，∴|PM |＝|MK |＝|PF |，∴PF ⊥x 轴，△PFK 的高等于|PF |，不妨设P (m 2,22m )(m ＞0)，则m 2＋2＝4，解得m ＝2，故△PFK 的面积S ＝4×22×2×12＝8.答案：86．(2016·石家庄模拟)已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过原点的直线l 与双曲线交于M ，N 两点，且MF ―→·NF ―→＝0，△MNF 的面积为ab ，则该双曲线的离心率为________．解析：因为MF ―→·NF ―→＝0，所以MF ―→⊥NF ―→.设双曲线的左焦点为F ′，则由双曲线的对称性知四边形F ′MFN 为矩形，则有|MF |＝|NF ′|，|MN |＝2c .不妨设点N 在双曲线右支上，由双曲线的定义知，|NF ′|－|NF |＝2a ，所以|MF |－|NF |＝2a .因为S △MNF ＝12|MF |·|NF |＝ab ，所以|MF ||NF |＝2ab .在Rt △MNF 中，|MF |2＋|NF |2＝|MN |2，即(|MF |－|NF |)2＋2|MF ||NF |＝|MN |2，所以(2a )2＋2·2ab ＝(2c )2，把c 2＝a 2＋b 2代入，并整理，得b a ＝1，所以e ＝ca ＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 2.答案： 2[C 级——压轴小题突破练]1．(2018届高三·河南八市联考)已知点M (－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是( )A.72 B ．3 C.52D ．2解析：选C 抛物线的准线方程为x ＝－12，依据抛物线的定义，得|QM |－|QF |≥|x Q ＋3|－⎪⎪⎪⎪x Q ＋12＝⎪⎪⎪⎪3－12＝52. 2．(2017·贵阳模拟)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，52 B.⎝⎛⎭⎫52，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫1，54 D.⎝⎛⎭⎫54，＋∞解析：选B 依题意，注意到题中的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，且“右”区域是由不等式组错误!所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1＜错误!，即错误!＞12，因此题中的双曲线的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2∈⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 3．(2018届高三·武汉调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，且AF ―→与FB ―→反向，则该双曲线的离心率为( )A.52B. 3C. 5D.52解析：选C 设实轴长为2a ，虚轴长为2b ，令∠AOF ＝α，则由题意知tan α＝ba ，在△AOB 中，∠AOB ＝180°－2α，tan ∠AOB ＝－tan 2α＝|AB ||OA |，∵|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，∴设|OA |＝m －d ，|AB |＝m ，|OB |＝m ＋d ，∵OA ⊥BF ，∴(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2，整理得d ＝14m ，∴－tan 2α＝－2tan α1－tan 2α＝|AB ||OA |＝m 34m ＝43，解得b a ＝2或b a ＝－12(舍去)，∴b ＝2a ，c ＝4a 2＋a 2＝5a ，∴e ＝ca ＝ 5.4．(2017·沈阳模拟)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线AB 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若2OA ―→＋OB ―→－3OP ―→＝0，则弦AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为________．解析：依题意得，抛物线的焦点F (0,1)，准线方程是y ＝－1，因为2(OA ―→－OP ―→)＋(OB ―→－OP ―→)＝0，即2FA ―→＋FB ―→＝0，所以F ，A ，B 三点共线．设直线AB ：y ＝kx ＋1(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由错误!得x 2＝4(kx ＋1)，即x 2－4kx －4＝0，x 1x 2＝－4，①又2FA ―→＋FB ―→＝0，因此2x 1＋x 2＝0，②由①②解得x 21＝2，弦AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为12[(y 1＋1)＋(y 2＋1)]＝12(y 1＋y 2)＋1＝18(x 21＋x 22)＋1＝5x 218＋1＝94.答案：94。

2019高考数学二轮复习课时跟踪检测十七圆锥曲线的方程与性质小题练理

课时跟踪检测（十七）圆锥曲线的方程与性质（小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1．(2018·广西南宁模拟)双曲线x 225－y 220＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±45B ．y ＝±54C ．y ＝±15D ．y ＝±255解析：选D 在双曲线x 225－y 220＝1中，a ＝5，b ＝25，∴其渐近线方程为y ＝±255，故选D.2．(2018·福州模拟)已知双曲线C 的两个焦点F 1，F 2都在轴上，对称中心为原点O ，离心率为 3.若点M 在C 上，且MF 1⊥MF 2，M 到原点的距离为3，则C 的方程为( )A.x 24－y 28＝1B.y 24－x 28＝1 C ．2－y 22＝1D ．y 2－x 22＝1解析：选C 由题意可知，OM 为Rt △MF 1F 2斜边上的中线，所以|OM |＝12|F 1F 2|＝c .由M 到原点的距离为3，得c ＝3，又e ＝ca＝3，所以a ＝1，所以b 2＝c 2－a 2＝3－1＝2.故双曲线C 的方程为2－y 22＝1.故选C.3．已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m >0)，如果直线y ＝22与椭圆的一个交点M 在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．2B ．2 2C ．8D ．2 3解析：选B 根据已知条件得c ＝16－m 2，则点⎝⎛⎭⎪⎫16－m 2，2216－m 2在椭圆x 216＋y 2m 2＝1(m >0)上，∴16－m 216＋16－m 22m 2＝1，可得m ＝2 2.4．已知抛物线C ：y 2＝4的焦点为F ，准线为l .若射线y ＝2(－1)(≤1)与C ，l 分别交于P ，Q 两点，则|PQ ||PF |＝( ) A. 2 B ．2 C. 5D ．5解析：选C 由题意，知抛物线C ：y 2＝4的焦点F (1,0)，设准线l ：＝－1与轴的交点为F 1.过点P 作直线l 的垂线，垂足为P 1(图略)，由⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2x －1x ≤1，得点Q 的坐标为(－1，－4)，所以|FQ |＝2 5.又|PF |＝|PP 1|，所以|PQ ||PF |＝|PQ ||PP 1|＝|QF ||FF 1|＝252＝5，故选C.5．(2018·湘东五校联考)设F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，过F 作双曲线一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于P ，Q ，若FP ―→＝3FQ ―→，则双曲线的离心率为( )A.62B.52C. 3D.102解析：选C 不妨设F (－c,0)，过F 作双曲线一条渐近线的垂线，可取其方程为y ＝ab (＋c )，与y ＝－b a 联立可得Q ＝－a 2c ，与y ＝b a 联立可得P ＝a 2c b 2－a 2，∵FP ―→ ＝3FQ ―→，∴a 2c b 2－a2＋c ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ＋c ，∴a 2c 2＝(c 2－2a 2)·(2c 2－3a 2)，两边同时除以a 4得，e 4－4e 2＋3＝0，∵e >1，∴e ＝ 3.故选C.6．(2019届高三·山西八校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为45，渐近线方程为2±y ＝0，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 216＝1 B.x 216－y 24＝1C.x 216－y 264＝1 D.x 264－y 216＝1 解析：选A 法一：易知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点在轴上，所以由渐近线方程为2±y ＝0，得b a＝2，因为双曲线的焦距为45，所以c ＝25，结合c 2＝a 2＋b 2，可得a ＝2，b ＝4，所以双曲线的方程为x 24－y 216＝1，故选A.法二：易知双曲线的焦点在轴上，所以由渐近线方程为2±y ＝0，可设双曲线的方程为2－y 24＝λ(λ>0)，即x 2λ－y24λ＝1，因为双曲线的焦距为45，所以c ＝25，所以λ＋4λ＝20，λ＝4，所以双曲线的方程为x 24－y 216＝1，故选A.7.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在轴上的射影恰好为右焦点F .若13<<12，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选C 由题图可知，|AF |＝a ＋c ，|BF |＝a 2－c 2a ，于是＝|BF ||AF |＝a 2－c 2a a ＋c .又13<<12，所以13<a 2－c 2a a ＋c <12，化简可得13<1－e <12，从而可得12<e <23，故选C. 8．(2018·陕西模拟)抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．若抛物线y 2＝4的焦点为F ，一平行于轴的光线从点M (3,1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( )A.43 B ．－43C ．±43D ．－169解析：选B 将y ＝1代入y 2＝4，可得＝14，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.由抛物线的光学性质可知，直线AB 过焦点F (1,0)，所以直线AB 的斜率＝1－014－1＝－43.故选B.9．(2018·郑州一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点分别为F 1，F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，若|MF 1|－|MF 2|＝2b ，该双曲线的离心率为e ，则e 2＝( )A ．2 B.2＋12C.3＋222D.5＋12解析：选D由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝c 2，y ＝b a x ，得⎩⎨⎧x 2＝a 2，y 2＝b 2，即点M (a ，b )，则|MF 1|－|MF 2|＝c ＋a2＋b 2－c －a2＋b 2＝2b ，即2c 2＋2ca －2c 2－2ca ＝2c 2－a 2，2e 2＋2e －2e 2－2e ＝2e 2－1，化简得e 4－e 2－1＝0，故e 2＝5＋12，故选D. 10．(2018·石家庄一模)已知直线l ：y ＝2＋3被椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)截得的弦长为7，有下列直线：①y ＝2－3; ②y ＝2＋1; ③y ＝－2－3；④y ＝－2＋3.其中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选C 易知直线y ＝2－3与直线l 关于原点对称，直线y ＝－2－3与直线l 关于轴对称，直线y ＝－2＋3与直线l 关于y 轴对称，故由椭圆的对称性可知，有3条直线被椭圆C 截得的弦长一定为7.故选C.11．(2018·洛阳尖子生统考)设双曲线C ：x 216－y 29＝1的右焦点为F ，过F 作双曲线C的渐近线的垂线，垂足分别为M ，N ，若d 是双曲线上任意一点P 到直线MN 的距离，则d|PF |的值为( ) A.34 B.45C.54D ．无法确定解析：选B 双曲线C ：x 216－y 29＝1中，a ＝4，b ＝3，c ＝5，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±34.不妨设M 在直线y ＝34上，N 在直线y ＝－34上，则直线MF 的斜率为－43，其方程为y ＝－43(－5)，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，34t ，代入直线MF 的方程，得34t ＝－43(t －5)，解得t ＝165，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫165，125.由对称性可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫165，－125，所以直线MN 的方程为＝165.设P (m ，n )，则d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m －165，m 216－n 29＝1，即n 2＝916(m 2－16)，则|PF |＝m －52＋n 2＝14|5m －16|.故d |PF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m －16514|5m －16|＝45，故选B. 12．已知椭圆x 29＋y 25＝1，F 为其右焦点，A 为其左顶点，P 为该椭圆上的动点，则能够使PA ―→·PF ―→＝0的点P 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选B 由题意知，a ＝3，b ＝5，c ＝2，则F (2,0)，A (－3,0)．当点P 与点A 重合时，显然PA ―→·PF ―→＝0，此时P (－3,0)．当点P 与点A 不重合时，设P (，y )，PA ―→·PF ―→＝0⇔PA ⊥PF ，即点P 在以AF 为直径的圆上，则圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝254.①又点P 在椭圆上，所以x 29＋y 25＝1，②由①②得42＋9－9＝0，解得＝－3(舍去)或34，则y ＝±534，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，±534.故能够使PA ―→·PF ―→＝0的点P 的个数为3. 二、填空题13．(2018·陕西模拟)若直线2－y ＋c ＝0是抛物线2＝4y 的一条切线，则c ＝________. 解析：由2＝4y ，可得y ′＝x 2，由于直线2－y ＋c ＝0的斜率＝2，因此令x2＝2，得＝4，代入2＝4y 得y ＝4，所以切点为(4,4)，代入切线方程可得8－4＋c ＝0，故c ＝－4.答案：－414．(2018·益阳、湘潭联考)已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端点，过F ，A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若AB ―→＝3FA ―→，则此双曲线的离心率为________．解析：F (－c,0)，不妨令A (0，b )，得直线AF ：y ＝b c＋b .根据题意知，直线AF 与渐近线y ＝ba 相交，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b c x ＋b ，y ＝ba x ，消去得，y B ＝bcc －a.由AB ―→＝3FA ―→，得y B ＝4b ，所以bcc －a ＝4b ，化简得3c ＝4a ，离心率e ＝43. 答案：4315．(2018·广州模拟)过抛物线C ：y 2＝2p (p >0)的焦点F 的直线交抛物线C 于A ，B两点．若|AF |＝6，|BF |＝3，则p 的值为________．解析：设抛物线C 的准线交轴于点F ′，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为A ′，B ′(图略)，设直线AB 交准线于点C ，则|AA ′|＝|AF |＝6，|BB ′|＝|BF |＝3，|AB |＝9，|FF ′|＝p ，|BB ′||AA ′|＝|BC ||AC |，即36＝|BC ||BC |＋9，解得|BC |＝9，又|BB ′||FF ′|＝|BC ||CF |，即3p ＝912，解得p ＝4. 答案：416．(2018·南昌质检)已知抛物线y 2＝2的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，若点A (3,2)，则|PA |＋|PF |取最小值时，点P 的坐标为________．解析：将＝3代入抛物线方程y 2＝2，得y ＝± 6. ∵6>2，∴A 在抛物线内部．如图，设抛物线上点P 到准线l ：＝－12的距离为d ，由定义知|PA |＋|PF |＝|PA |＋d ，则当PA ⊥l 时，|PA |＋d 有最小值，最小值为72，即|PA |＋|PF |的最小值为72，此时点P 纵坐标为2，代入y 2＝2，得＝2，∴点P 的坐标为(2,2)．答案：(2,2)B 级——难度小题强化练1．(2018·郑州模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点和上顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的平方为( )A.32B.3－52C.－1＋52D.3－12解析：选B 由题意得，A (－a,0)，B (0，b )，由在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，得点P 是以点O 为圆心，线段F 1F 2为直径的圆2＋y 2＝c 2与线段AB 的切点，连接OP ，则OP ⊥AB ，且OP ＝c ，即点O 到直线AB 的距离为c .又直线AB 的方程为y ＝ba＋b ，整理得b －ay ＋ab ＝0，点O 到直线AB 的距离d ＝ab b 2＋a2＝c ，两边同时平方整理得，a 2b 2＝c 2(a 2＋b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2)＝a 4－b 4，可得b 4＋a 2b 2－a 4＝0，两边同时除以a 4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 22＋b 2a 2－1＝0，可得b 2a 2＝－1＋52，则e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝1－－1＋52＝3－52，故选B.2.(2018·益阳、湘潭联考)如图，过抛物线y 2＝2p (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A ．5B ．6 C.163D.203解析：选C 法一：如图，设l 与轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4.设A (1，y 1)，B (2，y 2)，则|AF |＝1＋p2＝1＋1＝4，所以1＝3，解得y 1＝23，所以A (3,23)，又F (1,0)，所以直线AF 的斜率＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(－1)，代入抛物线方程y 2＝4，得32－10＋3＝0，所以1＋2＝103，|AB |＝1＋2＋p ＝163.故选C.法二：同法一得抛物线的方程为y 2＝4.设A (1，y 1)，B (2，y 2)，则|AF |＝1＋p2＝1＋1＝4，所以1＝3，又12＝p 24＝1，所以2＝13，所以|AB |＝1＋2＋p ＝163.故选C.3．(2018·长郡中学模拟)已知椭圆C ：x 29＋y 25＝1，若直线l 经过M (0,1)，与椭圆交于A ，B 两点，且MA ―→＝－23MB ―→，则直线l 的方程为( )A ．y ＝±12＋1B ．y ＝±13＋1C ．y ＝±＋1D ．y ＝±23＋1解析：选B依题意，设直线l ：y ＝＋1，点A (1，y 1)，B (2，y 2)．则由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 29＋y25＝1，消去y ，整理得(92＋5)2＋18－36＝0，Δ＝(18)2＋4×36×(92＋5)>0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－18k9k 2＋5，x 1x 2＝－369k 2＋5，x 1＝－23x 2，由此解得＝±13，即直线l 的方程为y ＝±13＋1，故选B.4．(2018·齐鲁名校联考)已知双曲线C 过点A (22，5)，渐近线为y ＝±52，抛物线M 的焦点与双曲线C 的右焦点F 重合，Q 是抛物线上的点P 在直线＝－4上的射影，点B (4,7)，则|BP |＋|PQ |的最小值为( )A ．6B ．5 2C ．－1＋5 2D ．1＋5 2解析：选D 由题意，双曲线C 的渐近线为y ＝±52，故可设双曲线C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 52＝λ(λ≠0)，即x 24－y 25＝λ(λ≠0)．又点A (22，5)在双曲线上，所以2224－525＝λ，解得λ＝1，故双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1，其右焦点为F (3,0)，所以抛物线M 的方程为y 2＝12.如图，作出抛物线M ，其准线为＝－3，显然点B 在抛物线的上方．设PQ 与直线＝－3交于点H ，连接PF ，则由抛物线的定义可得|PH |＝|PF |，所以|PQ |＝|PH |＋|QH |＝|PF |＋1，故|BP |＋|PQ |＝|BP |＋|PF |＋1，显然，当P 为线段BF 与抛物线的交点时，|BP |＋|PQ |取得最小值，且最小值为|BF |＋1＝4－32＋72＋1＝52＋1.所以|BP |＋|PQ |的最小值为1＋5 2.故选D.5．(2018·沈阳模拟)已知抛物线y 2＝4的一条弦AB 恰好以P (1,1)为中点，则弦AB 所在直线的方程是____________．解析：设A (1，y 1)，B (2，y 2)，且1≠2，则y 1＋y 2＝2，又点A ，B 在抛物线y 2＝4上，所以⎩⎨⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(1－2)，则y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2，即直线AB 的斜率＝2，所以直线AB 的方程为y －1＝2(－1)，即2－y －1＝0. 答案：2－y －1＝06．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2,4]，则PF 1―→·PF 2―→的最小值的取值范围是________．解析：设P (m ，n )，则m 2a 2－n 2b2＝1，即m 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2.又F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则PF 1―→＝(－1－m ，－n )，PF 2―→＝(1－m ，－n )，PF 1―→·PF 2―→＝n 2＋m 2－1＝n 2＋a 2⎝⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2－1＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2b 2＋a 2－1≥a 2－1，当且仅当n ＝0时取等号，所以PF 1―→·PF 2―→的最小值为a 2－1.由2≤1a ≤4，得14≤a ≤12，故－1516≤a 2－1≤－34，即PF 1―→·PF 2―→的最小值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1516，－34. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1516，－34。

2019版二轮复习数学(理·重点生)通用版：专题跟踪检测(十三) 圆锥曲线的方程与性质含解析

专题跟踪检测（十三）圆锥曲线的方程与性质一、全练保分考法——保大分1．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的，则14该椭圆的离心率为( )A. B ．1312C. D ．2334解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为＋＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知＝×2b ，解得＝，即e ＝.故选B ．x c y b |－bc |b 2＋c 214c a 12122．(2019届高三·湖南长郡中学模拟)已知F 为双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的一个焦x 2a 2y 2b 2点，其关于双曲线C 的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为( )A. B ．23C ．2D ．5解析：选C 依题意，设双曲线的渐近线y ＝x 的倾斜角为θ，则有3θ＝π，θ＝，＝tanb a π3ba ＝，双曲线C 的离心率e ＝＝2.π331＋(b a )23．(2019届高三·南宁、柳州名校联考)已知双曲线－＝1(b >0)的一个焦点与抛物线y 2x 23y 2b ＝8x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±x 1333C ．y ＝±3xD ．y ＝±x3解析：选B 由题意知，抛物线的焦点是(2,0)，即双曲线－＝1的一个焦点坐标是x 23y 2b (2,0)，则c ＝2，且双曲线的焦点在x 轴上，所以3＋b ＝22，即b ＝1，于是双曲线的渐近线方程为y ＝±x .334．(2018·昆明调研)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN |＝|AB |，则l 的倾斜角为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°解析：选B 分别过A ，B ，N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，Q ，由抛物线的定义知|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|NQ |＝(|AA ′|＋|BB ′|)＝|AB |，因为|MN |＝1212|AB |，所以|NQ |＝|MN |，所以∠MNQ ＝60°，即直线MN 的倾斜角为120°，又直线MN 与12直线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为30°.5．(2018·南昌模拟)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )π4A. B ．1222C ．1D ．2解析：选B 如图，设F 1，F 2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P是第一象限的点，椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.设|F 1F 2|＝2c ，又∠F 1PF 2＝，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得，4c 2π4＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos ，化简得(2－)a ＋(2＋)a ＝4c 2，设椭圆的π422122离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，∴＋＝4，2－2e 212＋2e2又＋≥2＝，2－2e 212＋2e 22－2e 21·2＋2e222e 1·e 2∴≤4，即e 1·e 2≥，22e 1·e222∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为.226．(2018·长春质检)已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线上任意一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( )A ．1B ．2C ．4D ．12解析：选A 不妨设P 在双曲线的左支，如图，延长F 1H 交PF 2于点M ，由于PH 既是∠F 1PF 2的平分线又垂直于F 1M ，故△PF 1M 为等腰三角形，|PF 1|＝|PM |且H 为F 1M 的中点，所以OH 为△MF 1F 2的中位线，所以|OH |＝|MF 2|＝(|PF 2|－|PM |)＝(|PF 2|－|PF 1|)＝1.1212127．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦12点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝________.解析：抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2.从而椭圆E 的半焦距c ＝2.可设椭圆E 的方程为＋＝1(a >b >0)，因为离心率e ＝＝，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝12.x 2a 2y 2b 2c a 12由题意知|AB |＝＝2×＝6.2b 2a 124答案：68．(2018·南宁模拟)已知椭圆＋＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，x 2a 2y 2b 2弦的中点坐标是M (－4，1)，则椭圆的离心率是________．解析：设直线x －y ＋5＝0与椭圆＋＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，x 2a 2y 2b 2因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝＝1.y 2－y 1x 2－x 1由Error!两式相减得，＋＝0，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2所以＝－·，所以＝，y 1－y 2x 1－x 2b 2a 2x 1＋x 2y 1＋y 2b 2a 214于是椭圆的离心率e ＝＝＝.c a 1－b 2a 232答案：329．(2019届高三·惠州调研)已知F 1，F 2是双曲线－＝1(a >0，b >0)的两个焦点，过y 2a 2x 2b 2其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：如图，不妨设F1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝xab 平行的直线为y ＝x ＋c ，联立Error!ab解得Error!即M .因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2(－bc 2a ，c2)＋y 2＝c 2内，故2＋2<c 2，化简得b 2<3a 2，即c 2－a 2<3a 2，解得<2，又双曲线的离心(－bc 2a )(c 2)ca率e ＝＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．ca答案：(1,2)10．(2018·辽宁五校协作体联考)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，x 2a 2y 2b 2上顶点为B ，若△BF 1F 2的周长为6，且点F 1到直线BF 2的距离为B ．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 1，A 2是椭圆C 长轴的两个端点，P 是椭圆C 上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P 交直线x ＝m 于点M ，若以MP 为直径的圆过点A 2，求实数m 的值．解：(1)由题意得F 1(－c,0)，F 2(c,0)，B (0，b )，则2a ＋2c ＝6.①直线BF 2的方程为bx ＋cy －bc ＝0，所以＝b ，即2c ＝a .②|－bc －bc |c 2＋b 2又a 2＝b 2＋c 2，③所以由①②③可得a ＝2，b ＝，3所以椭圆C 的方程为＋＝1.x 24y 23(2)不妨设A 1(－2,0)，A 2(2,0)，P (x 0，y 0)，则直线A 1P 的方程为y ＝(x ＋2)，y 0x 0＋2所以M .(m ，y 0x 0＋2(m ＋2))又点P 在椭圆C 上，所以y ＝3.20(1－x 204)若以MP 为直径的圆过点A 2，则A 2M ⊥A 2P ，即·＝0，A 2M ―→ A 2P ―→所以·(x 0－2，y 0)(m －2，y 0x 0＋2(m ＋2))＝(m －2)(x 0－2)＋(m ＋2)y 20x 0＋2＝(m －2)(x 0－2)＋(m ＋2)3(1－x 204)x 0＋2＝(x 0－2)＝0.(14m －72)又点P 不同于点A 1，A 2，所以x 0≠±2，所以m －＝0，解得m ＝14.147211．(2018·唐山模拟)在直角坐标系xOy 中，长为＋1的线段的两端点C ，D 分别在x2轴、y 轴上滑动，＝ .记点P 的轨迹为曲线E .CP ―→ 2PD ―→(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线E 相交于A ，B 两点，＝＋，当点M 在曲线EOM ―→ OA ―→ OB ―→上时，求四边形AOBM 的面积．解：(1)设C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由＝，得(x －m ，y )＝(－x ，n －y )，CP ―→ 2PD ―→2所以Error!得Error!由| |＝＋1，得m 2＋n 2＝(＋1)2，CD ―→22所以(＋1)2x 2＋y 2＝(＋1)2，2(2＋1)222整理，得曲线E 的方程为x 2＋＝1.y 22(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由＝＋，知点M 坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．OM ―→ OA ―→ OB ―→由题意知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝－.2k k 2＋21k 2＋2y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝.4k 2＋2由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋＝1，(y 1＋y 2)22即＋＝1，4k 2(k 2＋2)28(k 2＋2)2解得k 2＝2.所以|AB |＝|x 1－x 2|1＋k 2＝＝，3[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]322又原点到直线AB 的距离d ＝＝，11＋k 233所以平行四边形OAMB 的面积S ＝|AB |·d ＝.6212．(2019届高三·洛阳第一次统考)已知短轴长为2的椭圆E ：＋＝1(a >b >0)，直线nx 2a 2y 2b2的横、纵截距分别为a ，－1，且原点O 到直线n 的距离为.32(1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 经过椭圆E 的右焦点F 且与椭圆E 交于A ，B 两点，若椭圆E 上存在一点C 满足＋－2 ＝0，求直线l 的方程．OA ―→ 3OB ―→ OC ―→解：(1)∵椭圆E 的短轴长为2，∴b ＝1.依题意设直线n 的方程为－y ＝1，xa 由＝，解得a ＝，11a 2＋1323故椭圆E 的方程为＋y 2＝1.x 23(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，当直线l 的斜率为0时，显然不符合题意．当直线l 的斜率不为0或直线l 的斜率不存在时，F (，0)，设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，2由Error!消去x ，得(t 2＋3)y 2＋2ty －1＝0，2∴y 1＋y 2＝－，y 1y 2＝－，①22tt 2＋31t 2＋3∵＋－2＝0，OA ―→ 3OB ―→ OC ―→∴x 3＝x 1＋x 2，y 3＝y 1＋y 2，12321232又点C 在椭圆E 上，∴＋y ＝2＋2＝＋＋＝1，x 2332313(12x 1＋32x 2)(12y 1＋32y 2)14(x 213＋y 21)34(x 23＋y 2)32(13x 1x 2＋y 1y 2)又＋y ＝1，＋y ＝1，x 21321x 232∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，②13将x 1＝ty 1＋，x 2＝ty 2＋及①代入②得t 2＝1，22即t ＝1或t ＝－1.故直线l 的方程为x ＋y －＝0或x －y －＝0.22二、强化压轴考法——拉开分1．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐x 2a 2y 2b 2标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝|OP |，则C 的离心率为( )6A. B ．25C.D ．32解析：选C 法一：不妨设一条渐近线的方程为y ＝x ，ba 则F 2到y ＝x 的距离d ＝＝b.b a |bc |a 2＋b 2在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝a ，6又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝＝－cos ∠POF 2＝－，a 2＋c 2－(6a )22ac a c 即3a 2＋c 2－(a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝＝.6ca3法二：如图，过点F 1向OP 的反向延长线作垂线，垂足为P ′，连接P ′F 2，由题意可知，四边形PF 1P ′F 2为平行四边形，且△PP ′F 2是直角三角形．因为|F 2P |＝b ，|F 2O |＝c ，所以|OP |＝a .又|PF 1|＝a ＝|F 2P ′|，|PP ′|＝2a ，所以|F 2P |＝a ＝b ，所以c ＝62＝a ，所以e ＝＝.a 2＋b 23c a32．(2018·合肥质检)已知椭圆M ：＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，x 2a 2设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则的取值范围为( )k 1k2A ．(1,6) B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)解析：选D 由于椭圆M ：＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，x 2a 2所以Error!解得3<a 2<5.设椭圆M ：＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点x 2a2P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6x 0xa 2－a 2，所以k 1＝－，k 2＝－，＝a 2，所以∈(3,5)．x 0y 0x 0a 2y 0k 1k 2k 1k23．(2019届高三·辽宁五校协作体联考)一条动直线l 与抛物线C ：x 2＝4y 相交于A ，B两点，O 为坐标原点，若＝2，则(－)2－42的最大值为( )AB ―→ AG ―→ OA ―→ OB ―→ OG ―→A ．24B ．16C ．8D ．－16解析：选B 由＝2知G 是线段AB 的中点，AB ―→ AG ―→∴＝(＋)，OG ―→ 12OA ―→OB ―→∴(－)2－42＝(－)2－(＋)2＝－4·.OA ―→ OB ―→ OG ―→OA ―→ OB ―→ OA ―→ OB ―→ OA ―→ OB ―→ 由A ，B 是动直线l 与抛物线C ：x 2＝4y 的交点，不妨设A ，B ，(x 1，x 214)(x 2，x24)∴－4·＝－4OA ―→ OB ―→ (x 1x 2＋x 21x216)＝－4＝16－42≤16，[2－4](x 1x 24＋2)∴(－)2－42的最大值为16.OA ―→ OB ―→ OG ―→4．(2018·合肥检测)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线于A ，B 两点，且|AF |＝3|FB |.直线l 1，l 2分别过点A ，B ，且与x 轴平行，在直线l 1，l 2上分别取点M ，N (M ，N 分别在点A ，B 的右侧)，分别作∠ABN 和∠BAM 的角平分线并相交于点P ，则△PAB 的面积为( )A. B ．643323C.D ．32396439解析：选C 因为抛物线方程为y 2＝4x ，所以其焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，如图所示，不妨设点B 在x 轴上方，过点B 向l 1作垂线，垂足为C .设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，因为|AF |＝3|FB |，所以x A ＋1＝3(x B ＋1)，所以x A －x B ＝2(x B ＋1)＝2|FB |，所以cos ∠BAC ＝＝，所以∠BAC 2|FB |4|FB |12＝60°，因为AP ，BP 分别为∠BAM 与∠ABN 的角平分线，所以∠BAP ＝60°，∠ABP ＝30°，所以∠APB ＝90°，所以|AP |＝2|FB |＝2x B ＋2，所以S △PAB ＝|AP ||AB |sin 60°＝12×2(x B ＋1)×4(x B ＋1)×＝2(x B ＋1)2.由∠BAC ＝60°，F (1,0)可得直线AB 的方程为y ＝12323－(x －1)，联立Error!解得x ＝或x ＝3，易知x B ＝，所以S △PAB ＝2×2＝.313133(13＋1)32395．已知等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝4，∠BAD＝60°，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段CD (包括端点C ，D )有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为坐标原点O ，过点O且垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (－2,0)，B (2,0)，C (1，)．设以A ，B 为焦点的双曲线方程为－＝1(a >0，b >0)，则c ＝2.由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝4－3x 2a 2y 2b 2a 2，当x ＝1时，y 2＝a 2＋－5.要使双曲线与线段CD (包括端点C ，D )有两个交点，则a 2＋4a 2－5≥3，解得a 2≥4＋2或0＜a 2≤4－2，由a 2≥4＋2得a ≥＋1＞2，舍去，∴a 2≤44a23333－2，即0＜a ≤－1.∴双曲线的离心率e ＝≥＝＋1.即该双曲线的离心率的取33c a 23－13值范围是[＋1，＋∞)．3答案：[＋1，＋∞)36．(2018·洛阳统考)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：－＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，x 2a 2y 2b 2P (x 0，y 0)是双曲线C 右支上的一点，连接PF 1并过F 1作垂直于PF 1的直线交双曲线左支于R ，Q ，其中R (－x 0，－y 0)，△QF 1P 为等腰三角形，则双曲线C 的离心率为________．解析：设O 为坐标原点，连接OP ，OR ，F 2P ，F 2R ，因为P ，R 关于原点对称，所以|OP |＝|OR |，又|OF 1|＝|OF 2|，PF 1⊥RQ ，故四边形F 1RF 2P 为矩形．设|PF 1|＝m ，由双曲线的定义，得|PF 2|＝m －2a .法一：因为△QF 1P 为等腰直角三角形，所以|QF 1|＝|PF 1|＝m ，|PQ |＝m ，2连接QF 2，则|QF 2|＝m ＋2a .在△QPF 2中，∠QPF 2＝45°＋90°＝135°，由余弦定理得(m ＋2a )2＝(m －2a )2＋(m )2－2(m －2a )·m ·cos 135°，化简得m ＝3a .22在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，|F 1F 2|＝2c ，所以(3a )2＋a 2＝(2c )2，即5a 2＝2c 2，＝，ca 102即双曲线的离心率为.102法二：因为△QF 1P 为等腰直角三角形，所以|QF 1|＝|PF 1|＝m ，连接QF 2，则在Rt △QRF 2中，|RQ |＝2m －2a ，|RF 2|＝m ，|QF 2|＝m ＋2a ，由勾股定理得(2m －2a )2＋m 2＝(m ＋2a )2，化简得m ＝3a .在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，|F 1F 2|＝2c ，所以(3a )2＋a 2＝(2c )2，即5a 2＝2c 2，＝，ca 102即双曲线的离心率为.102答案：102。

高考数学二轮总复习课时跟踪检测(十七)圆锥曲线的方程与性质理-人教版高三全册数学试题

课时跟踪检测(十七) 圆锥曲线的方程与性质一、选择题1．(2019·某某二模)中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )A ． 3B ．2C ．233D ． 2解析：选D 中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线互相垂直， ∴a ＝b ，∴c ＝a 2＋b 2＝2a ， ∴e ＝c a＝2，故选D ．2．(2019·某某模拟)已知双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b >0)的焦距为4，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±15xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±3x解析：选D 双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b >0)的焦距为4，则2c ＝4，即c ＝2，∵1＋b 2＝c 2＝4， ∴b ＝3，∴双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x ，故选D ．3．(2019·某某模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，焦距为8，则C 的方程为( )A ．x 27－y 29＝1B ．x 24－y 24＝1C ．x 216－y 216＝1 D ．x 28－y 28＝1解析：选D 双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，则a ＝b ，由2c ＝8，可得c ＝4，由a 2＋b 2＝c 2＝16，可得a 2＝b 2＝8，故选D ．4．(2019·某某一模)已知M 是抛物线C ：y 2＝2px 上的任意一点，以M 为圆心的圆与直线x ＝－1相切且经过点N (1,0)，设斜率为1的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点，则线段PQ 的中点的纵坐标为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选A 设M (x 0，y 0)，∵以M 为圆心的圆与直线x ＝－1相切且经过点N (1,0)， ∴|x 0＋1|＝(x 0－1)2＋y 20，又y 20＝2px 0，∴p ＝2. 即可得抛物线方程为y 2＝4x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，y 2＝4x ⇒y 2－4y －4b ＝0.y 1＋y 2＝4，∴线段PQ 的中点的纵坐标为y 1＋y 22＝2.故选A ．5．(2019·某某模拟)如图所示，A 1，A 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的短轴端点，点M 在椭圆上运动，且点M 不与A 1，A 2重合，点N 满足NA 1⊥MA 1，NA 2⊥MA 2，则S △MA 1A 2S △NA 1A 2＝( )A ．32B ．23C ．94D ．49解析：选C 由题意以及选项的值可知：S △MA 1A 2S △NA 1A 2是常数，取M 为椭圆的左顶点，由椭圆的性质可知N 在x 的正半轴上，如图：则A 1(0,2)，A 2(0，－2)，M (－3,0)，由|OM |·|ON |＝|OA 1|2，可得|ON |＝43，则S △MA 1A 2S △NA 1A 2＝12|OM |·|A 1A 2|12|ON |·|A 1A 2|＝|OM ||ON |＝343＝94.故选C ． 6．(2019·某某二模)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过焦点F 与抛物线C 分别交于A ，B 两点，且直线l 不与x 轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点T (5，0)，则S △AOB ＝( )A ．2 2B ． 3C ． 6D ．3 6解析：选A 如图所示，F (1,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点E (x 0，y 0)．线段AB 的垂直平分线的方程为y ＝－1k(x －5)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，化为ky 2－4y －4k ＝0，∴y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，∴y 0＝12(y 1＋y 2)＝2k ，x 0＝y 0k ＋1＝2k2＋1，把E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k2＋1，2k 代入线段AB 的垂直平分线的方程y ＝－1k(x －5)．可得2k＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋1－5，解得k 2＝1.S △OAB ＝12×1×|y 1－y 2|＝12(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝1216k2＋16＝2 2.故选A ．二、填空题7．(2019·某某二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆C 上一点，且∠F 1PF 2＝π3，若F 1关于∠F 1PF 2平分线的对称点在椭圆C 上，则该椭圆的离心率为________．解析：如图，∵F 1关于∠F 1PF 2平分线的对称点在椭圆C 上，∴P ，F 2，M 三点共线，设|PF 1|＝m ，则|PM |＝m ，|MF 1|＝m ，又|PF 1|＋|PM |＋|MF 1|＝4a ＝3m . ∴|PF 1|＝43a ，|PF 2|＝23a ，由余弦定理可得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝|F 1F 2|2，∴a 2＝3c 2，e ＝c a ＝33.答案：338．(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________．解析：设F 1为椭圆的左焦点，分析可知点M 在以F 1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上．因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋4)2＋y 2＝64，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15)．答案：(3，15)9．(2019·凉山州模拟)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，过点F 分别作两条直线l 1，l 2，直线l 1与抛物线C 交于A ，B 两点，直线l 2与抛物线C 交于D ，E 两点，若l 1与l 2的斜率的平方和为2，则|AB |＋|DE |的最小值为________．解析：设直线l 1，l 2的倾斜角分别为α，β，利用焦点弦弦长公式可得|AB |＋|DE |＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2α＋1sin 2β＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α＋cos 2αsin 2α＋sin 2β＋cos 2βsin 2β ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 21＋1＋1k 22＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋k 21＋k 22k 21·k 22＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2k 21·k 22≥2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋2⎝⎛⎭⎪⎫k 21＋k 2222＝8，当且仅当k 1＝k 2 时取等号， ∴则|AB |＋|DE |的最小值为8. 答案：8 三、解答题10．(2019·某某模拟)已知短轴的长为2的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，直线n 的横、纵截距分别为a ，－1，且原点O 到直线n 的距离为32. (1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 经过椭圆E 的右焦点F 且与椭圆E 交于A ，B 两点，若椭圆E 上存在一点C 满足OA →＋3OB →－2OC →＝0，求直线l 的方程．解：(1)∵椭圆E 的短轴的长为2，故b ＝1. 依题意设直线n 的方程为x a－y ＝1，由11a 2＋1＝32，解得a ＝3，故椭圆E 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，当直线l 的斜率为0时，显然不符合题意．当直线l 的斜率不为0或直线l 的斜率不存在时，F (2，0)，设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，x ＝ty ＋2，得(t 2＋3)y 2＋22ty －1＝0，∴y 1＋y 2＝－22t t 2＋3，y 1y 2＝－1t 2＋3，①∵OA →＋3OB →－2OC →＝0，∴x 3＝12x 1＋32x 2，y 3＝12y 1＋32y 2，又点C 在椭圆E 上，∴x 233＋y 23＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＋32x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 1＋32y 22 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x 213＋y 21＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 223＋y 22＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 1x 2＋y 1y 2＝1，又x 213＋y 21＝1，x 223＋y 22＝1， ∴13x 1x 2＋y 1y 2＝0，② 将x 1＝ty 1＋2，x 2＝ty 2＋2及①代入②得t 2＝1，即t ＝1或t ＝－1.故直线l 的方程为x ＋y －2＝0或x －y －2＝0.11．(2019·胶州模拟)已知椭圆Ω：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0且a ，b 均为整数)过点⎝⎛⎭⎪⎫2，62，且右顶点到直线l ：x ＝4的距离为2.(1)求椭圆Ω的方程；(2)过椭圆的右焦点F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1与椭圆Ω交于点A ，B ，l 2与椭圆Ω交于点C ，D .求四边形ACBD 面积的最小值．解：(1)由题意，得2a 2＋32b 2＝1，且|4－a |＝2，若a ＝2，则b 2＝3；若a ＝6，则b 2＝2717(舍去)，所以椭圆Ω的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，点F 的坐标为(1,0)．当l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在时，可得|AB |＝4，|CD |＝3或者|AB |＝3，|CD |＝4，此时四边形ACBD 的面积S ＝12×4×3＝6.当l 1，l 2的斜率均存在时，设直线l 1的斜率为k ，则k ≠0，且直线l 2的斜率为－1k.直线l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k(x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.由直线l 1过椭圆内的点，知Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2.|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 23＋4k 22－4×4k 2－123＋4k 2＝12(k 2＋1)3＋4k 2. 以－1k 代替k ，得|CD |＝12(k 2＋1)4＋3k 2.所以四边形ACBD 的面积S ＝12|AB |·|CD |＝72(k 2＋1)2(3＋4k 2)(4＋3k 2)≥72(k 2＋1)2⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3＋4k 2)＋(4＋3k 2)22＝72(k 2＋1)2⎣⎢⎡⎦⎥⎤7(k 2＋1)22＝28849，当且仅当k 2＝1，即k ＝±1时等号成立．由于28849<6，所以四边形ACBD 面积的最小值为28849.12．(2018·某某模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝6，直线y ＝kx 与椭圆交于A ，B 两点．(1)若△AF 1F 2的周长为16，求椭圆的标准方程； (2)若k ＝24，且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，求椭圆离心率e 的值； (3)在(2)的条件下，设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，且直线PA 的斜率k 1∈(－2，－1)，试求直线PB 的斜率k 2的取值X 围．解：(1)由题意得c ＝3，根据2a ＋2c ＝16，得a ＝5.结合a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝25，b 2＝16. 所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝24x ，得⎝⎛⎭⎪⎫b 2＋18a 2x 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b2b 2＋18a2，由AB ，F 1F 2互相平分且共圆，易知AF 2⊥BF 2，因为F 2A →＝(x 1－3，y 1)，F 2B →＝(x 2－3，y 2)，所以F 2A →·F 2B →＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋18x 1x 2＋9＝0.即x 1x 2＝－8，所以有－a 2b2b 2＋18a2＝－8，结合b 2＋9＝a 2，解得a 2＝12，所以离心率e ＝32. (3)由(2)的结论知，椭圆方程为x 212＋y 23＝1，由题可知A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，k 1＝y 0－y 1x 0－x 1，k 2＝y 0＋y 1x 0＋x 1，所以k 1k 2＝y 20－y 21x 20－x 21，又y 20－y 21x 20－x 21＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2012－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2112x 20－x 21＝－14，即k 2＝－14k 1，由－2<k 1<－1可知，18<k 2<14.即直线PB 的斜率k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14.。

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专题跟踪检测（十三）圆锥曲线的方程与性质一、全练保分考法——保大分1．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B ．12 C.23D ．34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y b ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.故选B ．2．(2019届高三·湖南长郡中学模拟)已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，其关于双曲线C 的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为( )A.2B ． 3 C ．2D ． 5解析：选C 依题意，设双曲线的渐近线y ＝b a x 的倾斜角为θ，则有3θ＝π，θ＝π3，ba ＝tan π3＝3，双曲线C 的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2.3．(2019届高三·南宁、柳州名校联考)已知双曲线x 23－y 2b ＝1(b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±13xB ．y ＝±33xC ．y ＝±3xD ．y ＝±3x解析：选B 由题意知，抛物线的焦点是(2,0)，即双曲线x 23－y 2b ＝1的一个焦点坐标是(2,0)，则c ＝2，且双曲线的焦点在x 轴上，所以3＋b ＝22，即b ＝1，于是双曲线的渐近线方程为y ＝±33x .4．(2018·昆明调研)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN |＝|AB |，则l 的倾斜角为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°解析：选B 分别过A ，B ，N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，Q ，由抛物线的定义知|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|NQ |＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12|AB |，因为|MN |＝|AB |，所以|NQ |＝12|MN |，所以∠MNQ ＝60°，即直线MN 的倾斜角为120°，又直线MN 与直线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为30°.5．(2018·南昌模拟)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )A.12B ．22 C ．1D ． 2解析：选B 如图，设F1，F 2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P 是第一象限的点，椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.设|F 1F 2|＝2c ，又∠F 1PF 2＝π4，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得，4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos π4，化简得(2－2)a 21＋(2＋2)a 22＝4c 2，设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，∴2－2e 21＋2＋2e 22＝4，又2－2e 21＋2＋2e 22≥22－2e 21·2＋2e 22＝22e 1·e 2， ∴22e 1·e 2≤4，即e 1·e 2≥22， ∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为22. 6．(2018·长春质检)已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线上任意一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( )A ．1B ．2C ．4D ．12解析：选A 不妨设P 在双曲线的左支，如图，延长F 1H 交PF 2于点M ，由于PH 既是∠F 1PF 2的平分线又垂直于F 1M ，故△PF 1M 为等腰三角形，|PF 1|＝|PM |且H 为F 1M 的中点，所以OH 为△MF 1F 2的中位线，所以|OH |＝12|MF 2|＝12(|PF 2|－|PM |)＝12(|PF 2|－|PF 1|)＝1.7．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝________.解析：抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2.从而椭圆E 的半焦距c ＝2.可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为离心率e ＝c a ＝12，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝12.由题意知|AB |＝2b 2a ＝2×124＝6.答案：68．(2018·南宁模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4，1)，则椭圆的离心率是________．解析：设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2. 易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.由⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e ＝ca ＝1－b 2a 2＝32. 答案：329．(2019届高三·惠州调研)已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝a b x 平行的直线为y ＝ab x ＋c ，联立⎩⎨⎧y ＝ab x ＋c ，y ＝－ab x ，解得⎩⎨⎧x ＝－bc2a ，y ＝c2，即M ⎝⎛⎭⎫－bc 2a ，c2.因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故⎝⎛⎭⎫－bc 2a 2＋⎝⎛⎭⎫c 22<c 2，化简得b 2<3a 2，即c 2－a 2<3a 2，解得c a <2，又双曲线的离心率e ＝ca ＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．答案：(1,2)10．(2018·辽宁五校协作体联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B ，若△BF 1F 2的周长为6，且点F 1到直线BF 2的距离为B ．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 1，A 2是椭圆C 长轴的两个端点，P 是椭圆C 上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P 交直线x ＝m 于点M ，若以MP 为直径的圆过点A 2，求实数m 的值．解：(1)由题意得F 1(－c,0)，F 2(c,0)，B (0，b )，则2a ＋2c ＝6.①直线BF 2的方程为bx ＋cy －bc ＝0，所以|－bc －bc |c 2＋b 2＝b ，即2c ＝a .②又a 2＝b 2＋c 2，③所以由①②③可得a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)不妨设A 1(－2,0)，A 2(2,0)，P (x 0，y 0)，则直线A 1P 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，y 0x 0＋2(m ＋2). 又点P 在椭圆C 上，所以y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204.若以MP 为直径的圆过点A 2，则A 2M ⊥A 2P ，即A 2M ―→·A 2P ―→＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m －2，y 0x 0＋2(m ＋2)·(x 0－2，y 0) ＝(m －2)(x 0－2)＋y 20x 0＋2(m ＋2)＝(m －2)(x 0－2)＋3⎝⎛⎭⎫1－x 204x 0＋2(m ＋2)＝(x 0－2)⎝⎛⎭⎫14m －72＝0. 又点P 不同于点A 1，A 2，所以x 0≠±2，所以14m －72＝0，解得m ＝14.11．(2018·唐山模拟)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴、y 轴上滑动，CP ―→＝2PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求四边形AOBM 的面积．解：(1)设C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP ―→＝2PD ―→，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －m ＝－2x ，y ＝2(n －y )，得⎩⎨⎧m ＝(2＋1)x ，n ＝2＋12y ，由|CD ―→|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2，所以(2＋1)2x 2＋(2＋1)22y 2＝(2＋1)2，整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，知点M 坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．由题意知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x 1＋x 2＝－2kk 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2.由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)22＝1，即4k 2(k 2＋2)2＋8(k 2＋2)2＝1，解得k 2＝2. 所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝3[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝322，又原点到直线AB 的距离d ＝11＋k 2＝33，所以平行四边形OAMB 的面积S ＝|AB |·d ＝62. 12．(2019届高三·洛阳第一次统考)已知短轴长为2的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，直线n 的横、纵截距分别为a ，－1，且原点O 到直线n 的距离为32. (1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 经过椭圆E 的右焦点F 且与椭圆E 交于A ，B 两点，若椭圆E 上存在一点C 满足OA ―→＋3OB ―→ －2OC ―→＝0，求直线l 的方程．解：(1)∵椭圆E 的短轴长为2，∴b ＝1. 依题意设直线n 的方程为xa －y ＝1，由11a2＋1＝32，解得a ＝3，故椭圆E 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，当直线l 的斜率为0时，显然不符合题意．当直线l 的斜率不为0或直线l 的斜率不存在时，F (2，0)，设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，x ＝ty ＋2消去x ，得(t 2＋3)y 2＋22ty －1＝0， ∴y 1＋y 2＝－22t t 2＋3，y 1y 2＝－1t 2＋3，①∵OA ―→＋3OB ―→－2OC ―→＝0， ∴x 3＝12x 1＋32x 2，y 3＝12y 1＋32y 2，又点C 在椭圆E 上，∴x 233＋y 23＝13⎝⎛⎭⎫12x 1＋32x 22＋⎝⎛⎭⎫12y 1＋32y 22＝14⎝⎛⎭⎫x 213＋y 21＋34⎝⎛⎭⎫x 223＋y 22＋32⎝⎛⎭⎫13x 1x 2＋y 1y 2＝1，又x 213＋y 21＝1，x 223＋y 22＝1， ∴13x 1x 2＋y 1y 2＝0，② 将x 1＝ty 1＋2，x 2＝ty 2＋2及①代入②得t 2＝1，即t ＝1或t ＝－1.故直线l 的方程为x ＋y －2＝0或x －y －2＝0.二、强化压轴考法——拉开分1．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2C.3D ． 2解析：选C 法一：不妨设一条渐近线的方程为y ＝ba x ，则F 2到y ＝ba x 的距离d ＝|bc |a 2＋b2＝b.在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－(6a )22ac ＝－cos ∠POF 2＝－ac ，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca＝ 3.法二：如图，过点F 1向OP 的反向延长线作垂线，垂足为P ′，连接P ′F 2，由题意可知，四边形PF 1P ′F 2为平行四边形，且△PP ′F 2是直角三角形．因为|F 2P |＝b ，|F 2O |＝c ，所以|OP |＝a .又|PF 1|＝6a ＝|F 2P ′|，|PP ′|＝2a ，所以|F 2P |＝2a ＝b ，所以c ＝a 2＋b 2＝3a ，所以e ＝ca＝ 3.2．(2018·合肥质检)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)解析：选D 由于椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞6－a 2，6－a 2＞1，解得3<a 2<5.设椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)．3．(2019届高三·辽宁五校协作体联考)一条动直线l 与抛物线C ：x 2＝4y 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AB ―→＝2AG ―→，则(OA ―→－OB ―→)2－4OG ―→2的最大值为( )A ．24B ．16C ．8D ．－16解析：选B 由AB ―→＝2AG ―→知G 是线段AB 的中点， ∴OG ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)，∴(OA ―→－OB ―→)2－4OG ―→2＝(OA ―→－OB ―→)2－(OA ―→＋OB ―→)2＝－4OA ―→·OB ―→. 由A ，B 是动直线l 与抛物线C ：x 2＝4y 的交点，不妨设A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 224， ∴－4OA ―→·OB ―→＝－4⎝⎛⎭⎫x 1x 2＋x 21x 2216＝－4⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 1x 24＋22－4＝16－4⎝⎛⎭⎫x 1x 24＋22≤16， ∴(OA ―→－OB ―→)2－4OG ―→2的最大值为16.4．(2018·合肥检测)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线于A ，B 两点，且|AF |＝3|FB |.直线l 1，l 2分别过点A ，B ，且与x 轴平行，在直线l 1，l 2上分别取点M ，N (M ，N 分别在点A ，B 的右侧)，分别作∠ABN 和∠BAM 的角平分线并相交于点P ，则△PAB 的面积为( )A.643B ．323 C.3239D ．6439解析：选C 因为抛物线方程为y 2＝4x ，所以其焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，如图所示，不妨设点B 在x 轴上方，过点B 向l 1作垂线，垂足为C .设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，因为|AF |＝3|FB |，所以x A ＋1＝3(x B ＋1)，所以x A －x B ＝2(x B ＋1)＝2|FB |，所以cos ∠BAC ＝2|FB |4|FB |＝12，所以∠BAC ＝60°，因为AP ，BP分别为∠BAM 与∠ABN 的角平分线，所以∠BAP ＝60°，∠ABP ＝30°，所以∠APB ＝90°，所以|AP |＝2|FB |＝2x B ＋2，所以S △PAB ＝12|AP ||AB |sin 60°＝12×2(x B ＋1)×4(x B ＋1)×32＝23(x B＋1)2.由∠BAC ＝60°，F (1,0)可得直线AB 的方程为y ＝－3(x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3(x －1)，y 2＝4x ，解得x ＝13或x ＝3，易知x B ＝13，所以S △PAB ＝23×⎝⎛⎭⎫13＋12＝3239. 5．已知等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝4，∠BAD＝60°，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段CD (包括端点C ，D )有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为坐标原点O ，过点O 且垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (－2,0)，B (2,0)，C (1，3)．设以A ，B 为焦点的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则c ＝2.由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝4－a 2，当x ＝1时，y 2＝a 2＋4a 2－5.要使双曲线与线段CD (包括端点C ，D )有两个交点，则a 2＋4a 2－5≥3，解得a 2≥4＋23或0＜a 2≤4－23，由a 2≥4＋23得a ≥3＋1＞2，舍去，∴a 2≤4－23，即0＜a ≤3－1.∴双曲线的离心率e ＝c a ≥23－1＝3＋1.即该双曲线的离心率的取值范围是[3＋1，＋∞)．答案：[3＋1，＋∞)6．(2018·洛阳统考)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P (x 0，y 0)是双曲线C 右支上的一点，连接PF 1并过F 1作垂直于PF 1的直线交双曲线左支于R ，Q ，其中R (－x 0，－y 0)，△QF 1P 为等腰三角形，则双曲线C 的离心率为________．解析：设O 为坐标原点，连接OP ，OR ，F 2P ，F 2R ，因为P ，R 关于原点对称，所以|OP |＝|OR |，又|OF 1|＝|OF 2|，PF 1⊥RQ ，故四边形F1RF2P为矩形．设|PF1|＝m，由双曲线的定义，得|PF2|＝m－2a.法一：因为△QF1P为等腰直角三角形，所以|QF1|＝|PF1|＝m，|PQ|＝2m，连接QF2，则|QF2|＝m＋2a.在△QPF2中，∠QPF2＝45°＋90°＝135°，由余弦定理得(m＋2a)2＝(m－2a)2＋(2m)2－2(m－2a)·2m·cos 135°，化简得m＝3a. 在Rt△F1PF2中，|PF1|＝3a，|PF2|＝a，|F1F2|＝2c，所以(3a)2＋a2＝(2c)2，即5a2＝2c2，ca＝102，即双曲线的离心率为10 2.法二：因为△QF1P为等腰直角三角形，所以|QF1|＝|PF1|＝m，连接QF2，则在Rt△QRF2中，|RQ|＝2m－2a，|RF2|＝m，|QF2|＝m＋2a，由勾股定理得(2m－2a)2＋m2＝(m＋2a)2，化简得m＝3a.在Rt△F1PF2中，|PF1|＝3a，|PF2|＝a，|F1F2|＝2c，所以(3a)2＋a2＝(2c)2，即5a2＝2c2，ca＝102，即双曲线的离心率为10 2.答案：10 2。