2020年中考数学第二轮重点难点题型突破四 二次函数与特殊三角形判定问题
2020中考数学考点分析及二次函数+中考数学复习策略+创新思维
7分解答题
6分解答题 5分解答题
解答题
考试内容 应用题
构造分式并化简求值 分式化简求值 解分式方程 分式找规律
分式先化简后求值
应用题（利润率）
解二元一次方程组 解二元一次方程组
应用题
分值 7 5 6 4 4 6
7
6 5 4
第二单元：方程与不等式
考点 一元二 次方程
不等式
年份 2010 2012 2013 2014 2015 2015 2012 2013
分值 3 3 3 4 4 3 1 4 1 2 2 1
第二单元：方程与不等式
考点
分式 分式方程
一元一次方 程
二元一次方 程组
年份 2011 2013 2014 2015 2015 2015
2014
2012 2013 2015
题号 16 18 18 13 15 18
21
13 17 22
题型 7分解答题 5分解答题 6分解答题
考点 倒数 相反数
绝对值
年份 2011 2010 2013 2012 2012
2013 2014 2015
题号 1 1 1 1 9
12 17 1
题型
考试内容
选择题
计算
选择题
计算
选择题
计算
选择题 填空题 填空题 6分解答题 选择题
计算
绝对值的非 负性质
绝对值的非 负性质
绝对值
绝对值
分值 3 3 3 3 4
性质(开口、对称轴、增减性） 二次函数应用 二次函数应用
分值 3 3 2 3 4 3 3 9 3 3 3 3
教你打篮球
（1）你们喜欢打篮球吗？
2020年陕西中考二次函数与三角形探究(含答案)
二次函数与三角形综合探究二次函数的综合探究是陕西中考的必考题型，每年以压轴题的形式在解答题第24题考查．这类题型考查的形式较多，常涉及最值问题、特殊图形的存在性问题、相似三角形的存在性问题等，将方程、函数、图形等融为一体进行考查，是数与形的完美结合．类型1 二次函数与特殊三角形的存在性问题1．二次函数与等腰三角形存在性问题(1)数形结合，注意使用等腰三角形的性质与判定．(2)函数问题离不开方程，注意方程与方程组的使用．(3)找动点，使之与已知两点构成等腰三角形．已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△P AB为等腰三角形“两圆一垂”(1)直角三角形一般涉及勾股定理，注意勾股定理及其逆定理；同时注意直角三角形的特殊角的三角函数的运用．(2)直角三角形与二次函数属于代数与几何的结合，把几何问题数字化，这类问题要注意平面直角坐标系的作用．(3)综合问题注意对全等、相似、勾股定理、解直角三角形等知识的使用．(4)找动点，使之与已知两点构成直角三角形．问题作图求点坐标直角三角形已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△P AB为直角三角形“两垂一圆”分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，BP，AP的长度，由△AB2＝BP2＋AP2，△BP2＝AB2＋AP2，△AP2＝AB2＋BP2列方程解出坐标作垂线，用勾股定理或相似建立等量关系抛物线的对称轴交x轴于点D.已知A(－1，0)，C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；【解答】把A(－1，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋mx＋n，得⎩⎪⎨⎪⎧－1－m＋n＝0，n＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m＝2，n＝3，△抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.(2)判断△ACD的形状，并说明理由；【解答】△ACD是等腰三角形．理由如下：△由(1)知，抛物线的对称轴为直线x＝－22×（－1）＝1，△D(1，0)．△A(－1，0)，C(0，3)，△AD＝2，AC＝12＋32＝10，CD＝12＋32＝10.△AC＝CD，△△ACD是等腰三角形．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】存在．如答图1，由(2)知CD＝10.△△CDP是以CD为腰的等腰三角形，△CP1＝DP2＝DP3＝CD，△P2(1，10)，P3(1，－10)．过点C作CM垂直对称轴于点M，△MP1＝MD＝3.△DP1＝6，△P(1，6)综上所述，符合条件的点P的坐标为(1，6)或(1，10)或(1，－10)．(4)点P是线段BC上的一动点，是否存在这样的点P，使△PCD是等腰三角形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】存在．△B(3，0)，C(0，3)，△直线BC的解析式为y＝－x＋3.设点P(m，－m＋3)(0＜m＜3)．△C(0，3)，D(1，0)，△CP2＝m2＋(－m＋3－3)2＝2m2，DP2＝(m－1)2＋(－m＋3)2，CD2＝10，△PCD是等腰三角形分三种情况：△当CP＝DP时，则CP2＝DP2，△2m 2＝(m －1)2＋(－m ＋3)2，△m ＝54，△P 1(54，74)；△当CP ＝CD 时，则CP 2＝CD 2，△2m 2＝10，△m ＝5或m ＝－5(舍去)，△P 2(5，3－5)； △当DP ＝CD 时，则DP 2＝CD 2，△(m －1)2＋(－m ＋3)2＝10，△m ＝4(舍去)或m ＝0(舍去)． 综上所述，符合条件的点P 的坐标为(54，74)或(5，3－5)．(5)设抛物线的顶点为E ，在其对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PEC 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】存在．由(1)知，E 点坐标为(1，4)，对称轴为直线x ＝1. 如答图2，分两种情况讨论：△若以CE 为底边，则PE ＝PC . 设点P 的坐标为(x ，y )， 则(x －1)2＋(y －4)2＝x 2＋(y －3)2， 化简得y ＝4－x .又△点P (x ，y )在抛物线上， △4－x ＝－x 2＋2x ＋3，解得x ＝3±52.△3－52＜1，应舍去．△x ＝3＋52，y ＝4－x ＝5－52.即点P 的坐标为(3＋52，5－52)．△若以CE 为腰，因为点P 在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性可知，点P 与点C 关于直线x ＝1对称，此时P 点坐标为(2，3)．综上所述，符合条件的点P 的坐标为(3＋52，5－52)或(2，3)．练习1．如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C (0，－2)，点A 的坐标是(2，0)，P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD △x 轴于点D ，交直线BC 于点E ，抛物线的对称轴是直线x ＝－1.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P 在第二象限内，且PE ＝14OD ，求△PBE 的面积；(3)在(2)的条件下，若M 为直线BC 上一点，在x 轴的上方，是否存在点M ，使△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)△点A 的坐标是(2，0)，抛物线的对称轴是直线x ＝－1， △点B 的坐标为(－4，0)．设抛物线的函数表达式为y ＝a (x －2)(x ＋4) ＝a (x 2＋2x －8)，将C (0，－2)代入得－8a ＝－2，解得a ＝14，故抛物线的函数表达式为y ＝14x 2＋12x －2.(2)设直线BC 的表达式为y ＝mx ＋n ， 将点B ，C 的坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧0＝－4m ＋n ，－2＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－2，故直线BC 的表达式为y ＝－12x －2.设点D (x ，0)，则点P (x ，14x 2＋12x －2)，点E (x ，－12x －2)．△PE ＝14OD ，△PE ＝14x 2＋12x －2＋12x ＋2＝14(－x )，解得x ＝－5或0(舍去)，即点D (－5，0)， △PE ＝14OD ＝14×5＝54，BD ＝－4－(－5)＝1.△S △PBE ＝12PE ·BD ＝12×54×1＝58.(3)存在．由(1)可知，tan△ABC ＝12，则sin△ABC ＝55.由题意得△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形，且M 在x 轴上方． △当BD ＝BM ＝1时，y M ＝BM sin△ABC ＝1×55＝55， 则x M ＝－20＋255，则点M (－20＋255，55)；△如答图，当BD ＝DM ′＝1时，设M ′(x ，－12x －2)，过M ′作MF △x 轴于点F ，则DF 2＋M ′F 2＝DM ′2，故(－5－x )2＋(－12x －2)2＝1，解得x ＝－285或x ＝－4(舍去)，则点M ′(－285，45)．综上所述，符合条件的点M 的坐标为(－20＋255，55)或(－285，45)．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；(2)请在y 轴上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；(3)试探究：在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)， 即y ＝ax 2－2ax －3a ， △－2a ＝2，解得a ＝－1，△抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.当x ＝0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝3，则C (0，3)． 设直线AC 的解析式为y ＝px ＋q ， 把A (－1，0)，C (0，3)代入得⎩⎪⎨⎪⎧－p ＋q ＝0，q ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3，q ＝3， △直线AC 的解析式为y ＝3x ＋3. (2)△y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， △顶点D 的坐标为(1，4)．如答图1，作B 点关于y 轴的对称点B ′，连接DB ′交y 轴于点M ，连接BM ，则B ′(－3，0)．△MB ＝MB ′，△MB ＋MD ＝MB ′＋MD ＝DB ′，此时MB ＋MD 的值最小，而BD 的值不变， △此时△BDM 的周长最小， 易得直线DB ′的解析式为y ＝x ＋3， 当x ＝0时，y ＝x ＋3＝3， △点M 的坐标为(0，3)． (3)存在．如答图2，过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P .△直线AC 的解析式为y ＝3x ＋3， △直线PC 的解析式可设为y ＝－13x ＋b ，把C (0，3)代入得b ＝3，△直线PC 的解析式为y ＝－13x ＋3.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋3，y ＝－13x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝73，y ＝209， 则此时P 点坐标为(73，209)；如答图2，过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ′，直线P ′A 的解析式可设为y ＝－13x ＋b ′，把A (－1，0)代入得13＋b ′＝0，解得b ′＝－13，△直线P ′A 的解析式为y ＝－13x －13.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋3，y ＝－13x －13， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝103，y ＝－139，则此时P 点坐标为(103，－139)．综上所述，符合条件的点P 的坐标为(73，209)或(103，－139)．类型2 二次函数与相似三角形的存在性问题探究三角形相似的一般思路：解答三角形相似的存在性问题时，要运用分类讨论的思想及数形结合的思想，具体方法步骤如下：(1)假设结论成立，分情况讨论．探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应角(尤其是以文字形式出现要证明两个三角形相似的题目)，或者涉及动点问题，因动点问题中点位置的不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；(2)确定分类标准．在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三对角对应来分类讨论；(3)建立关系式，并计算．由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标．例题如图，已知抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋4与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C .若已知B 点的坐标为(8，0)．(1)求抛物线的解析式及其对称轴；【解答】△点B (8，0)在抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋4上，△－14×64＋8b ＋4＝0，解得b ＝32.△抛物线的解析式为y ＝－14x 2＋32x ＋4.△－b2a ＝－322×（－14）＝3， △其对称轴为直线x ＝3.(2)连接AC ，BC ，试判断△AOC ，△COB和△ABC 是否相似？并说明理由；【解答】△ABC △△ACO △△CBO . 理由：如答图1，由(1)可得，当x ＝0时，y ＝4，则C (0，4)．当y ＝0时，则－14x 2＋32x ＋4＝0，解得x ＝8或－2.则A (－2，0)．在Rt△AOC 中，tan△CAO ＝OC AO ＝42＝2. 在Rt△BOC 中，tan△BCO ＝OB OC ＝84＝2. △△CAO ＝△BCO . △△BCO ＋△OBC ＝90°， △△CAO ＋△OBC ＝90°，△△ACB ＝90°.△△ABC △△ACO △△CBO .(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN △x 轴于点N ，使得以点A ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】存在．理由如下：由(2)可知，△ABC △△ACO △△CBO .△M 点与C 点重合，即点M 坐标为(0，4)时，△MAN △△BAC .△根据抛物线的对称性，当点M 坐标为(6，4)时，△MAN △△ABC .△当点M 在第四象限时，设M (n ，－14n 2＋32n ＋4)，则N (n ，0)． △MN ＝14n 2－32n －4，AN ＝n ＋2. AC ＝22＋42＝25，BC ＝82＋42＝4 5.当MN AN ＝AC BC ＝12时，MN ＝12AN ， 即14n 2－32n －4＝12(n ＋2)， 整理得n 2－8n －20＝0，解得n 1＝10，n 2＝－2(舍去)，△M (10，－6)．当MN AN ＝BC AC ＝21时，MN ＝2AN ，即14n 2－32n －4＝2(n ＋2)， 整理得n 2－14n －32＝0，解得n 1＝－2(舍去)，n 2＝16，△M (16，－36)．综上所述，存在点M ，使得以点A ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似，点M 的坐标为(0，4)或(6，4)或(10，－6)或(16，－36)．(4)在y 轴的正半轴上是否存在点P ，使以点P ，O ，B 为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．如答图2，由(1)可知，OA ＝2，OB ＝8，OC ＝4，设OP ＝y .若△POB △△AOC ，则OP OA ＝OB OC ＝2， △OP ＝4，△P (0，4)．若△BOP △△AOC ，则OP OC ＝OB OA＝4， △OP ＝16，△P (0，16)．综上所述，在y 轴的正半轴上存在点P 1(0，4)和点P 2(0，16)，使以点P ，O ，B 为顶点的三角形与△ABC 相似．(5)点D (m ，n )是线段BC 上的一个动点(点D 不与B ，C 重合)，过点D 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，垂足为E ，是否存在点D ，使△CDE △△CEB ？若存在，求出D 点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】存在．理由如下：如答图3，△△ECD ＝△BCE ，△当△CED ＝△CBE 时，△CDE △△CEB .△△COB ＝△DEB ＝90°，△DE △OC .△△OCE ＝△CED ＝△CBE .设E (m ，0)，OC ＝4，OB ＝8.△tan△OCE ＝OE OC ＝m 4，tan△CBE ＝OC OB ＝12， △m 4＝12，解得m ＝2. 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，将B (8，0)，C (0，4)代入得⎩⎪⎨⎪⎧8k ＋b ＝0，b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝4，△y ＝－12x ＋4，△n ＝－12×2＋4＝3，△点D 坐标为(2，3)．(6)点M 在线段OB 上运动，过M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于Q .在抛物线上是否存在点P ，使得△MBQ 与△CPQ 相似？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【解答】存在．P 点坐标为(6，4)．【解法提示】如答图4，△MP △x 轴，设M (m ，0)，△P (m ，－14m 2＋32m ＋4)． 由(5)可知，直线BC 的解析式为y ＝－12x ＋4，OB ＝8，OC ＝4. △在△MBQ 和△CPQ 中，△BQM ＝△CQP ，△BMQ ＝90°，△若使△CPQ 和△MBQ 相似，则需△PCQ ＝90°或△CPQ ＝90°.分以下两种情况讨论：△当△PCQ ＝90°时，过点P 作PE △y 轴于点E ，则△PCE ＋△CPE ＝90°，PE ＝m ，CE ＝－14m 2＋32m ＋4－4＝ －14m 2＋32m . △△PCQ ＝90°，△△PCE ＋△BCO ＝90°，△△BCO ＝△CPE ，△Rt△PEC △Rt△COB ，△PE CO ＝CE BO ，则m 4＝－14m 2＋32m 8. 解得m ＝0(舍去)或m ＝－2，当m ＝－2时，点P 位于第二象限，故不合题意，舍去．△当△CPQ ＝90°时，CP △PM ，△点P 的纵坐标为4，△－14m2＋32m＋4＝4，解得m＝0(舍去)或m＝6，△P(6，4)．综上所述，符合条件的点P的坐标为(6，4)．。
中考数学解答题压轴题突破 重难点突破七 二次函数综合题 类型四：二次函数与特殊四边形问题
Ⅰ)如答图①，连接AC，分别过点A，B作对边的平行线交于 点F. 在▱ ACBF中，∵C(0，－5)向右平移1个单位长度，再向上平 移5个单位长度得到A(1，0)， ∴B(5，0)按照相同的平移方式得到F(6，5)；
解：设点Q的坐标为(a，b)，过点Q作QM∥x轴，过点B作BM∥y轴，交QM 于点M，过点F作FN∥y轴交QM于点N，过点E作EK∥x轴交BM于点K， ∴△BMQ≌△QNF≌△EKB， ∴NF＝KB＝MQ＝|a＋2|，QN＝EK＝BM＝|b|， ∴点F的坐标为 (a－b，a＋b＋2)， 点E的坐标为 (－2－b，a＋2)，
Ⅱ)如答图②，分别过点A，C作BC，AB的平行线交于点 F，在▱ ABCF中，∵B(5，0)向左平移5个单位长度，再向 下平移5个单位长度得到C(0，－5)， ∴A(1，0)按照相同的平移方式得到F(－4，－5)；
Ⅲ)如答图③，连接AC，分别过点B，C作对边的平行线交 于点F.在▱ ACFB中，∵A(1，0)向左平移1个单位长度，再 向下平移5个单位长度得到C(0，－5)， ∴B(5，0)按照相同的平移方式得到F(4，－5)； 综上所述，满足条件的点F分别为(6，5)，(－4，－5)或 (4，－5)．
(1)求抛物线的函数解析式； (2)把抛物线 y＝x2＋bx＋c 平移，使得新抛物线的顶点 为点 P(2，－4)．M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对 称轴上一点，直接写出所有使得以点 A，B，M，N 为顶点 的四边形是平行四边形的点 M 的坐标，并把求其中一个 点 M 的坐标的过程写出来．
解：(1)该抛物线的函数解析式为y＝x2－72x－1. (2)满足条件的点M的坐标为 (2，－4)，(6，12)，(－2，12)． 由题意可知，平移后抛物线的函数解析式为 y＝x2－4x， 对称轴为直线x＝2，如答图．
2020中考数学 难题突破 二次函数与几何综合(含答案)
2020中考数学 难题突破 二次函数与几何综合（含答案）1. 如图①，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （-4，0），B （1，0），C （0，3），点P 在抛物线y=ax 2+bx+c 上，且在x 轴的上方，点P 的横坐标记为t ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图②，过点P 作y 轴的平行线交直线AC 于点M ，交x 轴于点N ，若MC 平分∠PMO ，求t 的值；（3）点D 在直线AC 上，点E 在y 轴上，且位于点C 的上方，那么在抛物线上是否存在点P ，使得以点C ，D ，E ，P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的面积；若不存在，请说明理由．第1题图解：（1）如解图①，第1题解图①设抛物线的解析式为(4)1y a x x =+-（），把（0，3）代入得到34a =-，∴抛物线的解析式为3(4)14y x x =-+-（），即239344y x x =-+-.(2) 如解图②中,第1题解图②∵A （-4，0），C （0，3）， ∴直线AC 的解析式为334y x =+， ∵P 的横坐标为t ， ∴M （t ,334t +），∵CM 平分PMO ∠，∴CMO CMP ∠=∠, ∵PM //OC ，∴CMP MCO ∠=∠ ∴CMO MCO ∠=∠∴OM=OC =3,∴223+94t t =（+3） 解得7225t =-或0（舍弃）.∴t 的值为7225-. (3)设239(,3)44P t t t --+,①当CE 为对角线时，四边形CPED 为菱形，如解图③，则点P 和D 关于y 轴对称，第1题解图③∴239(,3)44D t t t ---+把239(,3)44D t t t --+代入334y x =+得233933444t t t -+=-+-， 解得10t =(舍去)，22t =-，此时PD =4,CE =3,此时菱形的面积162PD CE =⋅=;②当CE 为菱形的边时，四边形CEPD 为菱形，如解图④，则PD ∥y 轴，CD=PD ，第1题解图④∴3(,3)4D t t +，∴2239333(3)34444PD t t t t t =--+-+=--， 而2222325(33)416CD t t t =++-=，即5,4CD t =- ∴235344t t t --=-，解得10t =(舍去)，273t =-，∴3512PD =， 此时菱形面积是35724512336⨯=. 综上所述，菱形的面积是6或24536.2. 如图①，若在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，抛物线228833y x x =--与x 轴交于点A 、C ，与y 轴交于点B ．（1）设抛物线的顶点为D ，求四边形OADB 的面积；（2）如图②，动点P 、Q 同时从点O 出发，其中点P 以每秒2个长度单位的速度沿折线OAB 按O→A→B 的路线运动，点Q 以每秒4个单位长度的速度沿折线按O→B→A 的路线运动，当P 、Q 两点相遇时，它们都停止运动，设t 秒时△OPQ的面积为S ．①求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；②判断在①的过程中，t 为何值时，△OPQ 的面积最大，最大面积是多少？第2题图解：(1) ∵抛物线228833y x x =--与x 轴交于点A 、C ,与y 轴交于点B ，∴点A 的坐标为(6,0),点C 的坐标为(-2,0),点B 的坐标为(0,-8). ∵22282328(2)3333y x x x =--=--, ∴顶点D 的坐标为(2,323-). 在解图①中,过点D 作DE ⊥x 轴于点E ,则OE =2，DE =323,AE =6-2=4,OB =8, ∴S 四边形OADB =S 梯形OEDB +ADE S ∆132132(8)242323=⨯+⨯+⨯⨯=40.第2题解图（2）①∵AB 2=OA 2+OB 2=62+82=100， ∴AB =10．设t 秒时，P 、Q 两点相遇，则：2t +4t =6+8+10， 解得：t =4．点P 在OA 上运动的时间为：6÷2=3（s ）， 点Q 在OB 上运动的时间为：8÷4=2（s ）．当0≤t ≤2时，如解图②，点P 在OA 上，点Q 在OB 上，OP =2t ，OQ =4t ， ∴21124422S OP OQ t t t =⋅=⨯⨯=,即S 关于t 的函数关系式为：24(02)S t t =≤≤;当23t <≤时，如解图③,点P 在OA 上，点Q 在BA 上，OP =2t ，BQ =4t -8, 过点Q 作QF ⊥OB 于F ,由△QFB ∽△AOB 得：FB OBBQ BA=,即84810FB t =-,∴4(48)5FB t =-,∴48(48)5OF t =--, ∴211416722[8(48)]22555S OP OF t t t t =⋅=⨯⨯--=-+,即S 关于t 的函数关系式为：21672(23)55S t t t =-+<≤; 当3＜t ≤4时，如解图④，P 、Q 两点都在AB 上，AP =2t -6，BQ =4t -8， PQ=AB-（AP+BQ ）=10-（2t -6+4t -8）=24-6t , ∵△AOB 的AB 边上的高6824105OA OB AB ⨯===， ∴12472288(246)2555S t t =⨯-⨯=-+, 即S 关于t 的函数关系式为：72288(34)55S t t =-+<≤. 综上所述：S 关于t 的函数关系式为：224(02)1672(23)5572288(34)55t t S t t t t t ⎧⎪≤≤⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪-+<≤⎪⎩;②当02t ≤≤时，2=42=16S ⨯最大; 当23t <≤时，22167216981S=()55545t t t -+=--+;当94t =时，81=5S 最大; 当34t <≤时，7228872=-3555S ⨯+=.图③ 图④ 第2题解图综上所述，当94t =时, △OPQ 的面积最大,最大面积为815. 3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线y=x 2平移，使平移后的抛物线经过点A （-3，0）、B （1，0）． （1）求平移后的抛物线的表达式；（2）设平移后的抛物线交y 轴于点C ，在平移后的抛物线的对称轴上有一动点P ，当BP 与CP 之和最小时，P 点坐标是多少？（3）若y=x 2与平移后的抛物线对称轴交于D 点，那么，在平移后的抛物线的对称轴上，是否存在一点M ，使得以M 、O 、D 为顶点的三角形与△BOD 相似？若存在，求点M 坐标；若不存在，说明理由．第3题图解：（1）设平移后抛物线的表达式为y=a（x+3）（x-1）．∵由平移的性质可知原抛物线与平移后抛物线的开口大小与方向都相同，∴平移后抛物线的二次项系数与原抛物线的二次项系数相同．∴平移后抛物线的二次项系数为1，即a=1．∴平移后抛物线的表达式为y=（x+3）（x-1），整理得：y=x2+2x-3；（2）∵y=x2+2x-3=（x+1）2-4，∴抛物线对称轴为直线x=-1，与y轴的交点C（0，-3），则点C关于直线x=-1的对称点C′（-2，-3），如解图①，连接B，C′，与直线x=-1的交点即为所求点P，由B（1，0），C′（-2，-3）可得直线BC′解析式为y=x-1，则11y xx=-⎧⎨=-⎩，解得12 xy=-⎧⎨=-⎩,∴点P坐标为（-1，-2）；图① 图②第3题解图（3）如解图②，由 21y x x ⎧=⎨=-⎩，得11x y =-⎧⎨=⎩ ，即D （-1，1）,则DE =OE =1，∴△DOE 为等腰直角三角形，∴45,135,2DOE ODE BOD OD ∠=∠=∠==, ∵1BO =, ∴5BD =, ∵135BOD ∠=︒ ∴点M 只能在D 上方， ∵135BOD ODM ∠=∠=︒， ∴当DM OD DO OB =或DM OBDO OD =时，以M 、O 、 D 为顶点的三角形与△AOB 相似， ①若DM OD DO OB =212=，解得2DM =， 此时点M 坐标为（-1，3）；②若DM OB DO OD =，则122DM =，解得1DM =， 此时点M 坐标为（-1，2）；综上，点M 坐标为（-1，3）或（-1，2）．4. 如图，二次函数y=0.5x 2+bx+c 的图象过点B （0，1）和C （4，3）两点，与x 轴交于点D 、点E ，过点B 和点C 的直线与x 轴交于点A ． （1）求二次函数的解析式；（2）在x 轴上有一动点P ，随着点P 的移动，存在点P 使△PBC 是直角三角形，请你求出点P 的坐标；（3）若动点P 从A 点出发，在x 轴上沿x 轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q 也从A 点出发，以每秒a 个单位的速度沿射线AC 运动，是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABD 相似？若存在，直接写出a 的值；若不存在，说明理由．第4题图解：(1) ∵二次函数2y 0.5x bx c =++的图象过点B (0.1)和C (4,3)两点,∴ 1384c b c=⎧⎨=++⎩，解得：3,12b c =-=，∴抛物线解析式213122y x x =-+， (2)设点P 坐标为（x ,0）， ∵P (x ,0),B (0,1),C (4,3)，∴PB ==CP ==，BC == 若90BCP ∠=，则222BP BC CP =+. ∴22120825x x x ++=-+， ∴112x =. 若90CBP ∠=,则222CP BC BP =+.∴22120825x x x +=+-+， ∴12x =.若90BPC ∠=,则222BC BP CP =+. ∴22182520x x x ++-+= ∴121,3x x ==综上所述：点P 坐标为（1，0），（3，0），（12，0），（112，0）(3)存在.∵抛物线解析式213122y x x =-+与x 轴交于点D ，点E ∴21301,22x x =-+ ∴121,2x x ==， ∴点D （1，0），∵点B （0，1），C （4，3）， ∴直线BC 解析式112y x =+. 当0y =时，2x =-， ∴点A （-2，0），∵点A （-2，0），点B （0，1），点D （1，0），∴3,AD AB == 设经过t 秒， ∴2,AP t AQ at ==. 若APQ ADB ∆∆∽，∴AP ADAQ AB=， 即2t at =，∴3a =. 若APQ ADB ∆∆∽，∴AP ABAQ AD=，即253t at =. ∴655a =， 综上所述：253a =或655.5. 如图，直线122y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点B 、C 和点A （-1，0）． （1）求该二次函数的关系式；（2）若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D ，则在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．第5题图解：（1）在直线122y x =-+中，令10,2=02y x =-+，解得4x = ∴B （0，4）.令x =0得：y =2,∴C （0，2）.设抛物线的解析式为(1)(4)y a x x =+-，将点C 的坐标代入得：42a -=，解得12a =-，∴抛物线的解析式为213222y x x =-++; (2)如解图①所示： 抛物线的对称轴为322b x a =-=， ∴32OD =，又∵2OC = ， ∴22352()22DC =+=.第5题解图①当PD=DC,P (32,52). 当P′D=CD 时，P′(32,-52).过点C 作CE 垂直于对称轴，垂足为E . 又∵CP ″=CD , ∴DE=EP ″. ∵DE=CO =2,∴DP ″=4. ∴P ″(32,4).∴点P 的坐标为P (32,52)或P′(32,-52)或P ″(32,4). 6. 阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线l 1：y=k 1x+b 1（k 1，b 1为常数，且k 1≠0），直线l 2：y=k 2x+b 2（k 2，b 2为常数，且k 2≠0），若l 1⊥l 2，则k 1•k 2=-1． 解决问题：(1)若直线124y x =-与直线2y mx =+互相垂直，求m 的值;(2) 如图，已知抛物线y=ax 2+bx+1经过A （-1，0），B （1，1）两点． ①求该抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P ，使得△P AB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第6题图解：(1) ∵直线124y x =-与直线2y mx =+相互垂直， ∴114m =-，∴4m =-;(2)①抛物线21y ax bx =++经过A (-1,0)，B (1,1),两点∴1011a b a b -+=⎧⎨++=⎩，∴1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的解析式为211122y x x =-++; ②∵A (-1,0),B(1,1),∴直线AB 的解析式为1122y x =+， ∵PAB ∆是以AB 为直角边的直角三角形， ∴当90PAB ∠=时，PA AB ⊥， ∴直线P A 的解析式为22y x =--（I ）， ∵抛物线的解析式为211122y x x =-++（II ），联立（I ）（II ）得22211122y x y x x =--⎧⎪⎨=-++⎪⎩, ∴10x y =-⎧⎨=⎩（舍）或614x y =⎧⎨=-⎩.∴P (6,-14),当90PBA ∠=时，PB AB ⊥， ∴直线PB 的解析式为23y x =-+(III), ∵抛物线的解析式为211122y x x =-++（IV ），联立（III ）（IV ）得，22311122y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩， ∴11x y =⎧⎨=⎩（舍）或45x y =⎧⎨=-⎩.∴P (4,-5),即点P 的坐标为(6，-14)或(4，-5).7. 抛物线2+y ax bx =的顶点M （3，3）关于x 轴的对称点为B ，点A 为抛物线与x 轴的一个交点，点A 关于原点O 的对称点为A′;已知C 为A′B 的中点，P 为抛物线上一动点，作CD ⊥x 轴，PE ⊥x 轴，垂足分别为点D,E . (1)求点A 的坐标即抛物线的解析式；(2)当0<x <23时，是否存在点P 使以点C,D,P ,E 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由.第7题图解：（1）依题意得：抛物线2+y ax bx =经过顶点M 3，3）和（0，0）. ∴点A 与原点关于对称轴x 3 ∴A （30）.∴12230333a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 解得：123a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩.∴抛物线的解析式为：223y x x =-+;(2)假设存在点P 使以点C,D,P ,E 为顶点的四边形是平行四边形. 则PE //CD 且PE=CD .由顶点M （3，3）关于x 轴的对称轴点B （3，-3），可得BF =3, ∵CD ⊥x 轴，BM ⊥x 轴, ∴CD //BF .∵C 为A′B 的中点，∴CD 是A BF ∆'的中位线，得PE=CD =12BF =32. ∵点A 的坐标为（23，0）， ∴当0<x <23时，点P 应在x 轴上方. 可设点P 的坐标为3(,)2x ， ∴23232y x x =-+=， 解得632x =±，满足0<x <23， ∴存在点63(3,)22P +或63(3,)22-使得四边形是平行四边形.8. 如图，抛物线y=-x 2+bx+c ．经过A （-1，0），B （5，0）两点，与y 轴交于C点．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以CM为底边的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由．第8题图解：（1）将点A(-1,0),B(5,0)代入y=-x2+bx+c,得:10 2550b cb c--+=⎧⎨-++=⎩，解得：45bc=⎧⎨=⎩，∴此抛物线解析式为y=-x2+4x+5;（2）当a=1时，E（1，0），F（2，0），OE=1，OF=2．设P（x，-x2+4x+5），如解图①，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN=x，ON=-x2+4x+5，∴MN=ON -OM=-x 2+4x +4．第8题解图①S 四边形MEFP =S 梯形OFPN -S △PMN -S △OME111()222PN OF ON PN MN OM OE =+⋅-⋅-⋅ 22111(2)(45)(44)11222x x x x x x =+-++--++-⨯⨯ 29922x x =-++29153()416x =--+，∴当94x =时，四边形MEFP 的面积有最大值为15316， 当94x =时，29143(2)9416y =--+=. 此时点P 坐标为9143(,)416； (3) ∵M (0,1,),C (0,5), △PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形， ∴点P 的纵坐标为3.令y=-x 2+4x+5=3，解得x =26∵点P 在第一象限，∴P (26+,3).四边形PMEF 的四条边中，PM 、EF 长度固定，因此只要ME+PF 最小，则PMEF 的周长将取得最小值.如解图②，将点M 向右平移1个单位长度(EF 的长度)，得M 1(1,1);作点M 1关于x 轴的对称点M 2，则M 2(1,-1);连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME+PF= PM 2最小.第8题解图② 设直线PM 2的解析式为y=mx+n ,将P (26,3)，M 2(1,-1)代入得：(26)31m n m n ⎧++=⎪⎨+=-⎪⎩, 解得：464461,55m n ==-， ∴464461y x -+=-， 当0y =时，解得65x +=. ∴65(F +. ∵651a ++=∴a=∴当a=PMEF周长最小.。
专题三 二次函数中的相似三角形综合问题 2020年中考数学冲刺难点突破 二次函数问题(解析版)
2020年中考数学冲刺难点突破二次函数问题专题三二次函数中的相似三角形综合问题1、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点分别为A（﹣6，0）和点B（4，0），与y轴的交点为C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是线段OA上一动点（不与点A重合），过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上．①是否同时存在点D和点P，使得△APQ和△CDO全等，若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由；②若∠DCB=∠CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标．【答案】（1）y=﹣x2﹣x+3；（2）①点D坐标为（﹣，0）；②点M（，0）.【分析】（1）应用待定系数法问题可解；（2）①通过分类讨论研究△APQ和△CDO全等②由已知求点D坐标，证明DN∥BC，从而得到DN为中线，问题可解【解析】（1）将点（-6，0），C（0，3），B（4，0）代入y=ax2+bx+c，得，解得：，∴抛物线解析式为：y=-x2-x+3；（2）①存在点D，使得△APQ和△CDO全等，当D在线段OA上，∠QAP=∠DCO，AP=OC=3时，△APQ和△CDO全等，∴tan∠QAP=tan∠DCO，，∴，∴OD=，∴点D坐标为（-，0）.由对称性，当点D坐标为（，0）时，由点B坐标为（4，0），此时点D（，0）在线段OB上满足条件．②∵OC=3，OB=4，∴BC=5，∵∠DCB=∠CDB，∴BD=BC=5，∴OD=BD-OB=1，则点D 坐标为（-1，0）且AD =BD =5，连DN ，CM ，则DN =DM ，∠NDC =∠MDC ，∴∠NDC =∠DCB ，∴DN ∥BC ，∴，则点N 为AC 中点．∴DN 时△ABC 的中位线，∵DN =DM =BC =，∴OM =DM -OD =∴点M （，0）【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数待定系数法、三角形全等的判定、锐角三角形函数的相关知识．解答时，注意数形结合2、如图，已知二次函数22y x x m =-+的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，直线AC 交二次函数图象的对称轴于点D ，若点C 为AD 的中点.（1）求m 的值；（2）若二次函数图象上有一点Q ，使得tan 3ABQ ∠=，求点Q 的坐标；（3）对于（2）中的Q 点，在二次函数图象上是否存在点P ，使得QBP ∆∽COA ∆？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3m =-；（2）()4,21Q -或()2,3Q -；（3）不存在，理由见解析.【思路引导】（1）设对称轴与x 轴交于点E ，如图1，易求出抛物线的对称轴，可得OE 的长，然后根据平行线分线段成比例定理可得OA 的长，进而可得点A 的坐标，再把点A 的坐标代入抛物线解析式即可求出m 的值； （2）设点Q 的横坐标为n ，当点Q 在x 轴上方时，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，利用tan 3ABQ ∠=可得关于n 的方程，解方程即可求出n 的值，进而可得点Q 坐标；当点Q 在x 轴下方时，注意到tan 3BAC ∠=，所以点Q 与点C 关于直线1x =对称，由此可得点Q 坐标；（3）当点Q 为x 轴上方的点时，若存在点P ，可先求出直线BQ 的解析式，由BP ⊥BQ 可求得直线BP 的解析式，然后联立直线BP 和抛物线的解析式即可求出点P 的坐标，再计算此时两个三角形的两组对应边是否成比例即可判断点P 是否满足条件；当点Q 取另外一种情况的坐标时，再按照同样的方法计算判断即可.【解析】解：（1）设抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，如图1，∴y 轴//ED ，∴::1AC CD AO OE ==， ∵抛物线的对称轴是直线212x -=-=，∴OE =1，∴1AO OE ==，∴()1,0A - ∴将点()1,0A -代入函数表达式得：120m ++=，∴3m =-；（2）设()2,23Q n n n --， ①点Q 在x 轴上方时，0n <，如图2，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，∵tan 3ABQ ∠=，∴22333n n n--=-，解得：4n =-或3n =（舍），∴()4,21Q -；②点Q 在x 轴下方时，∵OA =1，OC =3，∴tan 3BAC ∠=，∵tan 3ABQ ∠=，∴点Q 与点C 关于直线1x =对称，∴()2,3Q -；（3）①当点Q 为()4,21-时，若存在点P ，使QBP ∆∽COA ∆，则∠PBQ =∠COA =90°，由B （3，0）、Q ()4,21-可得，直线BQ 的解析式为：39y x =-+，所以直线PB 的解析式为：113y x =-， 联立方程组：211323y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩，解得：1130x y =⎧⎨=⎩，2223119x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴211,39P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∵:1:3OA OC =，11:107101:39BP BQ =≠， ∴::BP BQ OA OC ≠，∴P 不存在；②当点Q 为()2,3-时，如图4，由B （3，0）、Q ()2,3-可得，直线BQ 的解析式为：39y x =-，所以直线PB 的解析式为：113y x =-+，联立方程组：211323y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=--⎩，解得：1130x y =⎧⎨=⎩，2243139x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴413,39P ⎛⎫-⎪⎝⎭，∵:1:3OA OC =，13:10:101:39BP BQ =≠，∴::BP BQ OA OC ≠，∴P 不存在.综上所述，不存在满足条件的点P ，使QBP ∆∽COA ∆.【方法总结】本题考查了平行线分线段成比例定理、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解法、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数和两个函数的交点等知识，综合性强、具有相当的难度，熟练掌握上述知识、灵活应用分类和数形结合的数学思想是解题的关键.3、在平面直角坐标系中，已知抛物线L ：()2y ax c a x c =+-+经过点A （-3，0）和点B （0，-6），L 关于原点O 对称的抛物线为L '.（1）求抛物线L 的表达式；（2）点P 在抛物线L '上，且位于第一象限，过点P 作PD ⊥y 轴，垂足为D .若△POD 与△AOB 相似，求符合条件的点P 的坐标.【答案】(1) y =－x 2－5x －6；(2)符合条件的点P 的坐标为(1，2)或(6，12)或(32，34)或(4，2)。
2020年中考数学重点难点专项训练：二次函数综合题
二次函数综合题本文档中包含大量公式，在网页中显示时可能会出现位置错乱或乱码的的情况，但下载后均可正常显示，欢迎下载！【命题趋势】首先告诉各位同学二次函数是中考必考内容之一，往往也是中考数学的压轴大戏．涉及题目数量一般2-3题，其中有一道大题．所占分值大约20-25分．二次函数在中考数学中常常作为压轴题，而在压轴题中，一般都设计成三至四小问，其中第一、二小问比较简单，最后一至两问难度很大．二次函数在考查时，往往会与一次函数、反比例函数、圆、三角形、四边形相结合，综合性很强，技巧性也很强，同时计算量一般很大，加上二次函数本身就比较抽象，这就导致了题目得分率非常低．其实我们只要能熟练掌握二次函数的基本知识，同时掌握一些常见的题型，提高对于二次函数的得分，不是什么难事，多多练习，多多总结．【满分技巧】一．通过思维导图整体把握二次函数所有考点二．熟练掌握各种常见有关二次函数的题型和应对策略1．线段最值（周长）问题——斜化直策略2．三角形或多边形面积问题——铅垂高、水平宽策略3．线段和最小值问题——胡不归+阿氏圆策略问题4．线段差——三角形三边关系或函数5．相似三角形存在性问题——根据相等角分类讨论6．平行四边形存在性问题——中点公式+平移法【限时检测】（建议用时：120分钟）1. (2019 山东省淄博市)如图，顶点为M 的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于(3,0)A ，(1,0)B -两点，与y 轴交于点C ．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y 轴上是否存在一点P ，使得PAM ∆为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D ，满足DA OA =，过D 作DG x ⊥轴于点G ，设ADG ∆的内心为I ，试求CI 的最小值．【解析】（1）Q 抛物线23y ax bx =++过点(3,0)A ，(1,0)B -∴933030a b a b ++=⎧⎨-+=⎩解得：12a b =-⎧⎨=⎩ ∴这条抛物线对应的函数表达式为223y x x =-++（2）在y 轴上存在点P ，使得PAM ∆为直角三角形．2223(1)4y x x x =-++=--+Q∴顶点(1,4)M222(31)420AM ∴=-+=设点P 坐标为(0,)p222239AP p p ∴=+=+，22221(4)178MP p p p =+-=-+①若90PAM ∠=︒，则222AM AP MP +=22209178p p p ∴++=-+ 解得：32p =- 3(0,)2P ∴- ②若90APM ∠=︒，则222AP MP AM +=22917820p p p ∴++-+=解得：11p =，23p =(0,1)P ∴或(0,3)③若90AMP ∠=︒，则222AM MP AP +=22201789p p p ∴+-+=+ 解得：72p = 7(0,)2P ∴综上所述，点P 坐标为3(0,)2-或(0,1)或(0,3)或7(0,)2时，PAM ∆为直角三角形． （3）如图，过点I 作IE x ⊥轴于点E ，IF AD ⊥于点F ，IH DG ⊥于点HDG x ⊥Q 轴于点G90HGE IEG IHG ∴∠=∠=∠=︒∴四边形IEGH 是矩形Q 点I 为ADG ∆的内心IE IF IH ∴==，AE AF =，DF DH =，EG HG =∴矩形IEGH 是正方形设点I 坐标为(,)m nOE m ∴=，HG GE IE n ===3AF AE OA OE m ∴==-=-3AG GE AE n m ∴=+=+-3DA OA ==Q3(3)DH DF DA AF m m ∴==-=--=DG DH HG m n ∴=+=+222DG AG DA +=Q222()(3)3m n n m ∴+++-=∴化简得：22330m m n n -++= 配方得：22339()()222m n -++=∴点(,)I m n 与定点3(2Q ，3)2-∴点I 在以点3(2Q ，3)2- ∴当点I 在线段CQ 上时，CI 最小CQ =QCI CQ IQ ∴=-=CI ∴．2. (2019 四川省巴中市)如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣5（a ≠0）经过x 轴上的点A （1，0）和点B 及y 轴上的点C ，经过B 、C 两点的直线为y ＝x +n ．①求抛物线的解析式．②点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，△PBE 的面积最大并求出最大值．③过点A 作AM ⊥BC 于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B 、C 重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．【解析】①∵点B 、C 在直线为y ＝x +n 上，∴B（﹣n，0）、C（0，n），∵点A（1，0）在抛物线上，∴，∴a＝﹣1，b＝6，∴抛物线解析式：y＝﹣x2+6x﹣5；②由题意，得，PB＝4﹣t，BE＝2t，由①知，∠OBC＝45°，∴点P到BC的高h为BP sin45°＝（4﹣t），∴S△PBE＝BE•h＝＝，当t＝2时，△PBE的面积最大，最大值为2；③由①知，BC所在直线为：y＝x﹣5，∴点A到直线BC的距离d＝2，过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H．设N（m，﹣m2+6m﹣5），则H（m，0）、P（m，m﹣5），易证△PQN为等腰直角三角形，即NQ＝PQ＝2，∴PN＝4，Ⅰ．NH+HP＝4，∴﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝4解得m1＝1，m2＝4，∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，∴m＝4；Ⅱ．NH+HP＝4，∴m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）＝4解得m1＝，m2＝，∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，m＞5，∴m＝，Ⅲ．NH﹣HP＝4，∴﹣（﹣m2+6m﹣5）﹣[﹣（m﹣5）]＝4，解得m1＝，m2＝，∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，m＜0，∴m＝，综上所述，若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，点N的横坐标为：4或或．3. (2019 四川省成都市)如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．【解析】（1）由题意得：解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵抛物线与x轴交于B（﹣1，0），C（3，0），∴BC＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH＝2，由翻折得C′B＝CB＝4，在Rt△BHC′中，由勾股定理，得C′H＝＝＝2，∴点C′的坐标为（1，2），tan，∴∠C′BH＝60°，由翻折得∠DBH＝∠C′BH＝30°，在Rt△BHD中，DH＝BH•tan∠DBH＝2•tan30°＝，∴点D的坐标为（1，）．（3）取（2）中的点C′，D，连接CC′，∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°，∴△C′CB为等边三角形．分类讨论如下：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P．∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°，∴∠BCQ＝∠C′CP，∴△BCQ≌△C′CP（SAS），∴BQ＝C′P．∵点Q在抛物线的对称轴上，∴BQ＝CQ，∴C′P＝CQ＝CP，又∵BC′＝BC，∴BP垂直平分CC′，由翻折可知BD垂直平分CC′，∴点D在直线BP上，设直线BP的函数表达式为y＝kx+b，则，解得，∴直线BP的函数表达式为y＝．②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，∴CP＝CQ，BC＝CC′，∠CC′B＝∠QCP＝∠C′CB＝60°．∴∠BCP＝∠C′CQ，∴△BCP≌△C′CQ（SAS），∴∠CBP＝∠CC′Q，∵BC′＝CC′，C′H⊥BC，∴．∴∠CBP＝30°，设BP与y轴相交于点E，在Rt△BOE中，OE＝OB•tan∠CBP＝OB•tan30°＝1×，∴点E的坐标为（0，﹣）．设直线BP的函数表达式为y＝mx+n，则，解得，∴直线BP的函数表达式为y＝﹣．综上所述，直线BP的函数表达式为或．4. (2019 天津市)已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M （m，0）是x轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点D（b，y D）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；（Ⅲ）点Q（b+，y Q）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值．【解析】（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣bx+c经过点A（﹣1，0），∴1+b+c＝0，即c＝﹣b﹣1，当b＝2时，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣bx﹣b﹣1，∵点D（b，y D）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，∴y D＝b2﹣b•b﹣b﹣1＝﹣b﹣1，由b＞0，得b＞＞0，﹣b﹣1＜0，∴点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x＝的右侧，如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，则点E（b，0），∴AE＝b+1，DE＝b+1，得AE＝DE，∴在Rt△ADE中，∠ADE＝∠DAE＝45°，∴AD＝AE，由已知AM＝AD，m＝5，∴5﹣（﹣1）＝（b+1），∴b＝3﹣1；（Ⅲ）∵点Q（b+，y Q）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，∴y Q＝（b+）2﹣b（b+）﹣b﹣1＝﹣﹣，可知点Q（b+，﹣﹣）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，∵AM+2QM＝2（AM+QM），∴可取点N（0，1），如图2，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，由∠GAM＝45°，得AM＝GM，则此时点M满足题意，过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，∴QH＝MH，QM＝MH，∵点M（m，0），∴0﹣（﹣﹣）＝（b+）﹣m，解得，m＝﹣，∵AM+2QM＝，∴[（﹣）﹣（﹣1）]+2[（b+）﹣（﹣）]＝，∴b＝4．5. (2019 新疆建设兵团)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）三点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）将（1）中的抛物线向下平移个单位长度，再向左平移h（h＞0）个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点D′在△ABC内，求h的取值范围；（3）点P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线交（1）中的抛物线于点Q，当△PQC与△ABC相似时，求△PQC的面积．【解析】（1）函数表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4，函数顶点D（，）；（2）物线向下平移个单位长度，再向左平移h（h＞0）个单位长度，得到新抛物线的顶点D′（﹣h，1），将点AC的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AC的表达式为：y＝4x+4，将点D′坐标代入直线AC的表达式得：1＝4（﹣h）+4，解得：h＝，故：0＜h；（3）过点P作y轴的平行线交抛物线和x轴于点Q、H∵OB＝OC＝4，∴∠PBA＝∠OCB＝45°＝∠QPC，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，则AB＝5，BC＝4，AC＝，S△ABC＝×5×4＝10，设点Q（m，﹣m2+3m+4），点P（m，﹣m+4），CP＝m，PQ＝﹣m2+3m+4+m﹣4＝﹣m2+4m，①当△CPQ∽△CBA，，即，解得：m＝，相似比为：，②当△CPQ∽△ABC，同理可得：相似比为：，利用面积比等于相似比的平方可得：S△PQC＝10×（）2＝或S△PQC＝10×（）2＝．6. (2019 浙江省湖州市)如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA＝3，tan∠OAC＝，D是BC的中点．（1）求OC的长和点D的坐标；（2）如图2，M是线段OC上的点，OM＝OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B 三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F．①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长．【解析】（1）∵OA＝3，tan∠OAC＝＝，∴OC＝，∵四边形OABC是矩形，∴BC＝OA＝3，∵D是BC的中点，∴CD＝BC＝，∴D（，）；（2）①∵tan∠OAC＝，∴∠OAC＝30°，∴∠ACB＝∠OAC＝30°，设将△DBF沿DE所在的直线翻折后，点B恰好落在AC上的B'处，则DB'＝DB＝DC，∠BDF＝∠B'DF，∴∠DB'C＝∠ACB＝30°∴∠BDB'＝60°，∴∠BDF＝∠B'DF＝30°，∵∠B＝90°，∴BF＝BD•tan30°＝，∵AB＝，∴AF＝BF＝，∵∠BFD＝∠AEF，∴∠B＝∠FAE＝90°，∴△BFD≌△AFE（ASA），∴AE＝BD＝，∴OE ＝OA +AE ＝，∴点E 的坐标（，0）；②动点P 在点O 时， ∵抛物线过点P （0，0）、D （，）、B （3，）求得此时抛物线解析式为y ＝﹣x 2+x ，∴E （，0），∴直线DE ：y ＝﹣x +，∴F 1（3，）；当动点P 从点O 运动到点M 时， ∵抛物线过点P （0，）、D （，）、B （3，）求得此时抛物线解析式为y ＝﹣x 2+x +，∴E （6，0）， ∴直线DE ：y ＝﹣x +，∴F 2（3，）；∴点F 运动路径的长为F 1F 2＝＝，∵△DFG 为等边三角形， ∴G 运动路径的长为．7. (2019 广西百色市)已知抛物线2y mx =和直线y x b =-+都经过点(2,4)M -，点O 为坐标原点，点P 为抛物线上的动点，直线y x b =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点． （1）求m 、b 的值；（2）当PAM ∆是以AM 为底边的等腰三角形时，求点P 的坐标； （3）满足（2）的条件时，求sin BOP ∠的值． 【解析】（1）将(2,4)M -代入2y mx =，得：44m =， 1m ∴=；将(2,4)M -代入y x b =-+，得：42b =+， 2b ∴=．（2）由（1）得：抛物线的解析式为2y x =，直线AB 的解析式为2y x =-+． 当0y =时，20x -+=， 解得：2x =，∴点A 的坐标为(2,0)，2OA =．设点P 的坐标为2(,)x x ，则222242(2)(0)44PA x x x x x =-+-=+-+，222242(2)(4)7420PM x x x x x =--+-=-++．PAM ∆Q 是以AM 为底边的等腰三角形，22PA PM ∴=，即4242447420x x x x x x +-+=-++，整理，得：220x x --=， 解得：11x =-，22x =， ∴点P 的坐标为(1,1)-或(2,4)．（3）过点P 作PN y ⊥轴，垂足为点N ，如图所示．当点P 的坐标为(1,1)-时，1PN =，PO =sin PN BOP PO ∴∠==当点P 的坐标为(2,4)时，2PN =，PO =sin PN BOP PO ∴∠==∴满足（2）的条件时，sin BOP ∠8. (2019 广西防城港市)如果抛物线1C 的顶点在拋物线2C 上，抛物线2C 的顶点也在拋物线1C 上时，那么我们称抛物线1C 与2C “互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线2111:4C y x x=+与222:C y ax x c =++是“互为关联”的拋物线，点A ，B 分别是抛物线1C ，2C 的顶点，抛物线2C 经过点(6,1)D -．（1）直接写出A ，B 的坐标和抛物线2C 的解析式；（2）抛物线2C 上是否存在点E ，使得ABE ∆是直角三角形？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，点(6,3)F -在抛物线1C 上，点M ，N 分别是抛物线1C ，2C 上的动点，且点M ，N 的横坐标相同，记AFM ∆面积为1S （当点M 与点A ，F 重合时10)S =，ABN ∆的面积为2S （当点N 与点A ，B 重合时，20)S =，令12S S S =+，观察图象，当12y y …时，写出x 的取值范围，并求出在此范围内S 的最大值．【解析】由抛物线2111:4C y x x =+可得(2,1)A --， 将(2,1)A --，(6,1)D -代入22y ax x c =++得4213661a c a c -+=-⎧⎨-+=-⎩， 解得142a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，22124y x x ∴=-++， (2,3)B ∴；（2）易得直线AB 的解析式：1y x =+，①若B 为直角顶点，BE AB ⊥，1BE AB k k =-g ，1BE k ∴=-，直线BE 解析式为5y x =-+ 联立25124y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩， 解得2x =，3y =或6x =，1y =-，(6,1)E ∴-；②若A 为直角顶点，AE AB ⊥，同理得AE 解析式：3y x =--， 联立23124y x y x x =--⎧⎪⎨=-++⎪⎩， 解得2x =-，1y =-或10x =，13y =-，(10,13)E ∴-；③若E 为直角顶点，设21(,2)4E m m m -++ 由AE BE ⊥得1BE AE k k =-g ， 即22111344122m m m m m m -+--++=--+g ， 解得2m =或2-（不符合题意舍去），∴点E 的坐标(6,1)E ∴-或(10,13)E -；（3）12y y Q …，22x ∴-剟， 设21(,)4M t t t +，21(,2)4N t t t -++，且22t -剟， 易求直线AF 的解析式：3y x =--，过M 作x 轴的平行线MQ 交AF 于Q ，则2211(3,)44Q t t t t --+， 11||2F A S QM y y =-g 21462t t =++ 设AB 交MN 于点P ，易知(,1)P t t +，21||2A B S PN x x =-g 2122t =- 1248S S S t =+=+，当2t =时，S 的最大值为16．9. (2019 四川省广元市)如图，直线y ＝﹣x +4与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，过A ，B 两点的抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点C （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC ，若点E 是线段AC 上的一个动点（不与A ，C 重合），过点E 作EF ∥BC ，交AB 于点F ，当△BEF 的面积是时，求点E 的坐标； （3）在（2）的结论下，将△BEF 绕点F 旋转180°得△B ′E ′F ，试判断点E ′是否在抛物线上，并说明理由．【解析】（1）y＝﹣x+4…①，令x＝0，y＝4，令y＝0，则x＝4，故点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4…②；（2）设点E（m，0），直线BC表达式中的k值为4，EF∥BC，则直线EF的表达式为：y＝4x+n，将点E坐标代入上式并解得：直线EF的表达式为：y＝4x﹣4m…③，联立①③并解得：x＝（m+1），则点F（，），S△BEF＝S△OAB﹣S△OBE﹣S△AEF＝×4×4﹣×4m﹣（4﹣m）×＝，解得：m＝，故点E（，0）、点E（2，2）；（3）△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，则点E′（，4），当x＝时，y＝﹣x2+3x+4＝﹣（）2+3×+4≠4，故点E′不在抛物线上．10. (2019 四川省遂宁市)如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．②求证：∠BNM＝∠ONM．【解析】（1）∵二次函数顶点为P（3，3）∴设顶点式y＝a（x﹣3）2+3∵二次函数图象过点A（6，0）∴（6﹣3）2a+3＝0，解得：a＝﹣∴二次函数的关系式为y＝﹣（x﹣3）2+3＝﹣x2+2x（2）设B（b，﹣b2+2b）（b＞3）∴直线OB解析式为：y＝（﹣b+2）x∵OB交对称轴l于点M∴当x M＝3时，y M＝（﹣b+2）×3＝﹣b+6，∴M（3，﹣b+6）∵点M、N关于点P对称，∴NP＝MP＝3﹣（﹣b+6）＝b﹣3，∴y N＝3+b﹣3＝b，即N（3，b）①∵OP＝MN，∴OP＝MP∴＝b﹣3，解得：b＝3+3∴﹣b2+2b＝﹣×（3+3）2+2×（3+3）＝﹣3∴B（3+3，﹣3），N（3，3+3）∴OB2＝（3+3）2+（﹣3）2＝36+18，ON2＝32+（3+3）2＝36+18，BN2＝（3+3﹣3）2+（﹣3﹣3﹣3）2＝72+36∴OB＝ON，OB2+ON2＝BN2∴△NOB是等腰直角三角形，此时点B坐标为（3+3，﹣3）．②证明：如图，设直线BN与x轴交于点D，∵B（b，﹣b2+2b）、N（3，b）设直线BN解析式为y＝kx+d∴解得：∴直线BN：y＝﹣bx+2b当y＝0时，﹣bx+2b＝0，解得：x＝6，∴D（6，0）∵C（3，0），NC⊥x轴，∴NC垂直平分OD∴ND＝NO∴∠BNM＝∠ONM。
二次函数与特殊三角形存在性综合问题(原卷版)-九年级数学上册《重难点题型-高分突破》(人教版)
专题2.6二次函数与特殊三角形存在性综合问题（三大题型）【题型1等腰三角形的存在性问题】【题型2直角三角形的存在性问题】【题型3等腰直角三角形存在性问题】等腰三角形的存在性问题【方法1几何法】“两圆一线”（1）以点A 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB 的垂直平分线，与x 轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．注意：若有重合的情况，则需排除．以点C 1为例，具体求点坐标：过点A 作AH⊥x 轴交x 轴于点H，则AH=1，又32121131311==-=∴=HC AC ，()03211，坐标为故点-C 类似可求点C 2、C 3、C 4．关于点C 5考虑另一种方法．【方法2代数法】点-线-方程表示点：设点C 5坐标为(m ,0)，又A （1,1）、B （4,3），表示线段：11-m 225+=）（AC 94-m 225+=）（BC 联立方程：914-m 1-m 22+=+）（）（，623m =解得：，），坐标为（故点06232C 直角三角形的存在性【方法1几何法】“两线一圆”（1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C ．（直径所对的圆周角为直角）如何求得点坐标？以C2为例：构造三垂直．），坐标为（故代入得：坐标得、由易证0213232222C C C BN AM B A N MB BN AM BN AMB ===∆≈∆()），坐标为（，，坐标为故或故又即代入得：，设，坐标得、由易证求法相同，如下：、040231a ,4a ,3ab ,3a b 1N a,31,4333333343C C C C C C C CCC b bM BN AM B A NB M N AM NB AM ==+=======∆≈∆【方法2代数法】点-线-方程23m 20352235110,m 135-m 1-m 35-m 11-m 22222122111=+=+=+=+==，解得：）代入得方程（，，，）表示线段：（）；，（）、，（），又坐标为（）表示点：设（：不妨来求下）（）（）（）（BC C C C A AB B A 【题型1等腰三角形的存在性问题】【典例1】（2023•兴庆区校级模拟）如图，已经抛物线经过点O （0，0），A （5，5），且它的对称轴为x ＝2．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点B 是x 轴上的一点，且△OAB 为等腰三角形，请直接写出B 点坐标．【变式1-1】（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP 的面积（请在图1中探索）；（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．【变式1-2】（2022秋•亳州期末）如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；【变式1-3】（2023春•中山市期中）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-4】（2022秋•怀远县期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；【变式1-5】（2023•兴宁区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；【变式1-6】（2023•隆昌市校级三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．（1）求此抛物线的表达式：（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【变式1-7】（2023春•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；（3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．【变式1-8】（2022秋•朔州期末）如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-9】（2022秋•港南区期末）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）求△BCP的面积最大值；（3）点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【题型2直角三角形的存在性问题】【典例2】（2022秋•云阳县期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线得解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△P AC的面积为S，求S的最大值并求此时点P的坐标．（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上确定一点M，使得△ADM是直角三角形，写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【变式2-1】（2023春•兴宁区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：x＝﹣2相交于点D，点A是直线l2上的动点，过点A 作AB⊥l1于点B，点C的坐标为（0，3），连接AC，BC．设点A的纵坐标为t，△ABC的面积为s．（1）当点B的坐标为时，直接写出t的值；（2）s关于t的函数解析式为，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出a与b的值；（3）在l2上是否存在点A，使得△ABC是直角三角形？若存在，请求出此时点A的坐标和△ABC的面积；若不存在，请说明理由．【变式2-2】（2023•庄浪县三模）如图：已知二次函数y＝ax2+x+c的图象与x 轴交于A，B点，与y轴交于点C，其中B（2，0），C（0，4）．（1）求该抛物线的解析式；（2）P是第一象限抛物线的一个动点，当P点运动到何处时，由点P，B，C 构成的三角形的面积最大，求出此时P点的坐标；（3）若M是抛物线上的一个动点，当M运动到何处时，△MBC是以BC为直角边的直角三角形，求出此时点M的坐标．【变式2-3】（2023•喀喇沁旗一模）如图①，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B（3，0），与y轴交于点C（0，3），直线l经过B、C两点．抛物线的顶点为D．（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）判断△BCD的形状并说明理由．（3）如图②，若点E是线段BC上方的抛物线上的一个动点，过E点作EF ⊥x轴于点F，EF交线段BC于点G，当△ECG是直角三角形时，求点E的坐标．【变式2-4】（2023•铁岭模拟）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝的图象与一次函数y＝﹣的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且点D坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC的面积S；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．【变式2-5】（2023•怀化二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，E是线段OA的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）点F是抛物线上的动点，当∠OEF＝∠BAE时，求点F的横坐标；（3）在抛物线上是否存在点P，使得△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形，若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由；【变式2-6】（2023•金湾区一模）如题22图，抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝2，并且经过点A（﹣2，0），交x轴于另一点B，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上有一点P，求点P到直线BC距离的最大值及此时点P的坐标；（3）在直线BC下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBC为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【题型3等腰直角三角形存在性问题】【典例3】（2023•增城区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx ﹣3（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【变式3-1】（2023•抚远市二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A （﹣1，0）和点B（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若△APQ是等腰直角三角形，求点P的坐标．【变式3-2】（2023•富锦市校级一模）如图，是抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若△APQ是等腰直角三角形，求点P的坐标．【变式3-3】（2023•碑林区校级模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M为该抛物线的对称轴l上一点，点P为该抛物线上的点且在l左侧，当△AMP是以M为直角顶点的等腰直角三角形时，求符合条件的点M的坐标．【变式3-4】（2023•西安一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx ﹣1的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P是抛物线上的动点，过点P作PM⊥x轴于点M，以PM为斜边作等腰直角三角形PMN，当点N恰好落在y轴上时，求点P的坐标．【变式3-5】（2023•惠民县自主招生）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△P AB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．。
2020-2021中考数学二次函数的综合热点考点难点
2020-2021中考数学二次函数的综合热点考点难点一、二次函数1．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)点P(32-，154)；(3)符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．【解析】【分析】(1)令y＝0，求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是x＝﹣1，求出点C的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；(2)设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，利用抛物线与直线相交，求出点B的坐标，过点P作PF∥y 轴交直线AB于点F，利用S△ABP＝S△PBF+S△PFA，用含m的式子表示出△ABP的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P的坐标；(3)求出点E的坐标，然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式，再根据以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D1D2、直线D1D3、直线D2D3的解析式，即可求出交点坐标．【详解】解：(1)令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，∴点A(1，0)，∵抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C(﹣3，0)，∴309330a ba b++⎧⎨-+⎩＝＝，解得：12ab-⎧⎨-⎩＝，＝∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；(2)∵点P在直线AB上方的抛物线上运动，∴设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，∵抛物线与直线y＝x﹣1交于A、B两点，∴2231y x xy x⎧--+⎨-⎩＝＝，解得：1145xy-⎧⎨-⎩＝＝，221xy＝，＝⎧⎨⎩∴点B(﹣4，﹣5)，如图，过点P作PF∥y轴交直线AB于点F，则点F(m，m﹣1)，∴PF＝﹣m2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m2﹣3m+4，∴S△ABP＝S△PBF+S△PFA＝12(﹣m2﹣3m+4)(m+4)+12(﹣m2﹣3m+4)(1﹣m)＝-52（m+32）2+1258，∴当m＝32-时，P最大，∴点P(32-，154).(3)当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，∴点E(﹣1，﹣2)，如图，直线BC的解析式为y＝5x+15，直线BE的解析式为y＝x﹣1，直线CE的解析式为y ＝﹣x﹣3，∵以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形，∴直线D1D3的解析式为y＝5x+3，直线D1D2的解析式为y＝x+3，直线D2D3的解析式为y＝﹣x﹣9，联立533y xy x+⎧⎨+⎩＝＝得D1(0，3)，同理可得D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)，综上所述，符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解决第(2)小题中三角形面积的问题时，找到一条平行或垂直于坐标轴的边是关键；对于第(3)小题，要注意分类讨论、数形结合的运用，不要漏解．2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．【答案】（1）A （，0）、B （3，0）．（2）存在．S △PBC 最大值为2716 （3）2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】【分析】 （1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值．【详解】解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=．∴A （，0）、B （3，0）．（2）存在．理由如下：∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），把C （0，32-）代入可得，12a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213y x x 22=--． 设P （p ，213p p 22--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23327p 4216--+（）． ∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -），∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+．∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+，解得：12m 2=-,22m 2=(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+，解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ．综上所述，2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形．3．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点，OA ＝1，tan ∠BAO ＝3，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°，得到△DOC ，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A 、B 、C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ，设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ，连接PE ，交CD 于F ，求以C 、E 、F 为顶点三角形与△COD 相似时点P 的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3；（2）当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．【解析】【分析】（1）根据正切函数，可得OB ，根据旋转的性质，可得△DOC ≌△AOB ，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）分两种情况讨论：①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点；②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，得到△EFC ∽△EMP ，根据相似三角形的性质，可得PM 与ME 的关系，解方程，可得t 的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【详解】（1）在Rt △AOB 中，OA ＝1，tan ∠BAO OB OA==3，∴OB ＝3OA ＝3． ∵△DOC 是由△AOB 绕点O 逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC ≌△AOB ，∴OC ＝OB ＝3，OD ＝OA ＝1，∴A ，B ，C 的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为 09303a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3； （2）∵抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3，∴对称轴为l 2b a=-=-1，∴E 点坐标为（﹣1，0），如图，分两种情况讨论：①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点，P （﹣1，4）；②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，∵∠CFE=∠PME=90°，∠CEF=∠PEM ，∴△EFC ∽△EMP ，∴13EM EF OD MP CF CO ===，∴MP ＝3ME ． ∵点P 的横坐标为t ，∴P （t ，﹣t 2﹣2t +3）． ∵P 在第二象限，∴PM ＝﹣t 2﹣2t +3，ME ＝﹣1﹣t ，t ＜0，∴﹣t 2﹣2t +3＝3（﹣1﹣t ），解得：t 1＝﹣2，t 2＝3（与t ＜0矛盾，舍去）．当t ＝﹣2时，y ＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴P （﹣2，3）．综上所述：当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．【点睛】本题是二次函数综合题．解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC ，OD 的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP ＝3ME ．4．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x 元．求：（1）房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费p （元）关于x （元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w （元）关于x （元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？【答案】（1）y=60-10x ；（2）z=-110x 2+40x+12000；（3）w=-110x 2+42x+10800，当每个房间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元．【解析】 试题分析：（1）根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10；（2）已知每天定价增加为x 元，则每天要（200+x ）元．则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量；（3）支出费用为20×（60﹣10x ），则利润w =（200+x ）（60﹣10x ）﹣20×（60﹣10x ），利用配方法化简可求最大值．试题解析：解：（1）由题意得：y =60﹣10x （2）p =（200+x ）（60﹣10x ）=﹣2110x +40x +12000 （3）w =（200+x ）（60﹣10x ）﹣20×（60﹣10x ） =﹣2110x +42x +10800 =﹣110（x ﹣210）2+15210 当x =210时，w 有最大值．此时，x +200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元．点睛：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．5．如图，已知抛物线经过点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是线段AB 上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在点P 运动过程中，是否存在点Q ，使得△BQM 是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC ，将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°，得到△A 1O 1C 1，点A 、O 、C 的对应点分别是点A 、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标．【答案】（1）y=-21x 2+32x+2；（2）存在，Q （3，2）或Q （-1，0）；（3）两个和谐点，A 1的横坐标是1，12. 【解析】【分析】（1）把点A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；（2）分两种情况分别讨论，当∠QBM=90°或∠MQB=90°，即可求得Q点的坐标．（3）（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A1（x，y），则C1（x+2，y-1），O1（x，y-1），①当A1、C1在抛物线上时，A1的横坐标是1；当O1、C1在抛物线上时，A1的横坐标是2；【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将点A（-1，0），B（4，0），C（0，2）代入解析式，∴0a b c016a4b c 2c=-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩，∴1 a23 b2⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴y=-21x2+32x+2；（2）∵点C与点D关于x轴对称，∴D（0，-2）．设直线BD的解析式为y=kx-2．∵将（4，0）代入得：4k-2=0，∴k=12．∴直线BD的解析式为y=12x-2．当P点与A点重合时，△BQM是直角三角形，此时Q（-1，0）；当BQ ⊥BD 时，△BQM 是直角三角形，则直线BQ 的直线解析式为y=-2x+8，∴-2x+8=-21x 2+32x+2，可求x=3或x=4（舍） ∴x=3；∴Q （3，2）或Q （-1，0）；（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1），①当A 1、C 1在抛物线上时， ∴()2213y x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩，∴x 1y 3=⎧⎨=⎩， ∴A 1的横坐标是1；当O 1、C 1在抛物线上时，()2213y 1x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧-=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩， ∴1x 221y 8⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴A 1的横坐标是12；【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键．6．红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量(件)与时间(天)的关系如下表：时间(天)1361036…日销售量(件)9490847624…未来40天内，前20天每天的价格y1(元/件)与t时间(天)的函数关系式为：y1=t+25(1≤t≤20且t为整数)；后20天每天的价格y2(原/件)与t时间(天)的函数关系式为：y2=—t+40(21≤t≤40且t为整数).下面我们来研究这种商品的有关问题.(1)认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；(2)请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？(3)在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(a＜4)给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围.【答案】（1）y=﹣2t+96；（2）当t=14时，利润最大，最大利润是578元；（3）3≤a＜4．【解析】分析：（1）通过观察表格中的数据日销售量与时间t是均匀减少的，所以确定m与t是一次函数关系，利用待定系数法即可求出函数关系式；（2）根据日销售量、每天的价格及时间t可以列出销售利润W关于t的二次函数，然后利用二次函数的性质即可求出哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少；（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数的性质求出a的取值范围．详解：（1）设数m=kt+b，有,解得∴m=-2t+96，经检验，其他点的坐标均适合以上析式故所求函数的解析式为m=-2t+96．（2）设日销售利润为P，由P=（-2t+96）=t2-88t+1920=（t-44）2-16，∵21≤t≤40且对称轴为t=44，∴函数P在21≤t≤40上随t的增大而减小，∴当t=21时，P有最大值为（21-44）2-16=529-16=513（元），答：来40天中后20天，第2天的日销售利润最大，最大日销售利润是513元.（3）P 1=（-2t+96）=-+（14+2a ）t+480-96n ， ∴对称轴为t=14+2a ，∵1≤t≤20，∴14+2a≥20得a≥3时，P 1随t 的增大而增大，又∵a ＜4，∴3≤a ＜4．点睛：解答本题的关键是要分析题意根据实际意义准确的求出解析式，并会根据图示得出所需要的信息．同时注意要根据实际意义准确的找到不等关系，利用不等式组求解．7．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +k 2＝0有两个实数根．（1）求k 的取值范围；（2）设x 1，x 2是方程两根，且121111x x k +=-，求k 的值． 【答案】（1）k ≥﹣14；（2）k 1+5 【解析】【分析】 （1）根据方程有两个实数根可以得到△≥0，从而求得k 的取值范围；（2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k 的值即可.【详解】解：（1）△＝（2k +1）2﹣4k 2＝4k 2+4k +1﹣4k 2＝4k +1∵△≥0∴4k +1≥0∴k ≥﹣14； （2）∵x 1，x 2是方程两根，∴x 1+x 2＝2k +1x 1x 2＝k 2，又∵121111x x k +=-， ∴121211x x x x k +=⋅-， 即22111k k k +=+ ， 解得：12151522k k +==，又∵k≥﹣14，即：k＝152-．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于ba-，两根之积等于ca”是解题的关键.8．如图1，在平面直角坐标系中，直线122y x=+与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线212y x bx c=++经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，①连接BC、CD、BD，设BD交直线AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2．求：12SS的最大值；②如图2，是否存在点D，使得∠DCA＝2∠BAC？若存在，直接写出点D的坐标，若不存在，说明理由．【答案】（1）213222y x x=--+；（2）①当2a=-时，12SS的最大值是45；②点D 的坐标是(2,3)-【解析】【分析】（1）根据题意得到A（-4，0），C（0，2）代入y=-12x2+bx+c，于是得到结论；（2）①如图，令y=0，解方程得到x1=-4，x2=1，求得B（1，0），过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，根据相似三角形的性质即可得到结论；②根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，求得P（-32，0），得到PA=PC=PB=52，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延线于G，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）根据题意得A （-4，0），C （0，2），∵抛物线y=-12x 2+bx+c经过A ．C 两点， ∴1016422b c c⎧-⨯-+⎪⎨⎪⎩＝＝， ∴3b=-2c=2⎧⎪⎨⎪⎩，抛物线解析式为：213222y x x =--+ ; （2）①令0y =，∴2132022x x --+= 解得：14x =- ,21x =∴B （1，0）过点D 作DM x ⊥轴交AC 于M ，过点B 作BN x ⊥轴交AC 于点N ，∴DM ∥BN∴DME BNE ∆∆∽∴12S DE DM S BE BN== 设：213222D a a a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， ∴122M a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∵()10B ， ∴51,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴()22121214225552a a S DM a S BN --===-++ ∴当2a =-时，12S S 的最大值是45; ②∵A （-4，0），B （1，0），C （0，2），∴AC=25，BC=5，AB=5， ∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，∴P （-32，0）， ∴PA=PC=PB=52， ∴∠CPO=2∠BAC ， ∴tan ∠CPO=tan （2∠BAC ）=43， 过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ，如图，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG ，∴∠CDG=∠BAC ，∴tan ∠CDG=tan ∠BAC=12， 即RC ：DR=12， 令D （a ，-12a 2-32a+2）， ∴DR=-a ，RC=-12a 2-32a ， ∴（-12a 2-32a ）：（-a ）=1：2，∴a1=0（舍去），a2=-2，∴x D=-2，∴-12a2-32a+2=3,∴点D的坐标是()2,3-【点睛】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键，难度较大．9．若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．(1)实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；(2)若M(t，y1)，N(t+1，y2)，R(t+3，y3)三点均在函数y＝kx(k为常数，k≠0)的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；(3)若直线y＝2bx+2c(bc≠0)与x轴交于点A(x1，0)，与抛物线y＝ax2+3bx+3c(a≠0)交于B(x2，y2)，C(x3，y3)两点．①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②若a＞2b＞3c，x2＝1，求点P(ca，ba)与原点O的距离OP的取值范围．【答案】(1)不能，理由见解析；(2)t的值为﹣4、﹣2或2；(3)①证明见解析；②2≤OPOP≠1．【解析】【分析】（1）由和谐三组数的定义进行验证即可；（2）把M、N、R三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用t和k分别表示出y1、y2、y3，再由和谐三组数的定义可得到关于t的方程，可求得t的值；（3）①由直线解析式可求得x1＝﹣cb，联立直线和抛物线解析式消去y，利用一元二次方程根与系数的关系可求得x2+x3＝﹣ba，x2x3＝ca，再利用和谐三数组的定义证明即可；②由条件可得到a+b+c＝0，可得c＝﹣(a+b)，由a＞2b＞3c可求得ba的取值范围，令m＝ba，利用两点间距离公式可得到OP2关于m的二次函数，利用二次函数的性质可求得OP2的取值范围，从而可求得OP的取值范围．【详解】（1）不能，理由如下：∵1、2、3的倒数分别为1、12、13， ∴12+13≠1，1+12≠13，1+13≠12， ∴实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”； （2）∵M(t ，y 1)，N(t+1，y 2)，R(t+3，y 3)三点均在函数k x (k 为常数，k≠0)的图象上， ∴y 1、y 2、y 3均不为0，且y 1＝k t ，y 2＝1k t +，y 3＝3k t +， ∴11y ＝t k ，21y ＝1t k +，31y ＝3t k +， ∵y 1，y 2，y 3构成“和谐三组数”，∴有以下三种情况： 当11y ＝21y +31y 时，则t k ＝1t k ++3t k+，即t ＝t+1+t+3，解得t ＝﹣4； 当21y ＝11y +31y 时，则1t k +＝t k +3t k+，即t+1＝t+t+3，解得t ＝﹣2； 当31y ＝11y +21y 时，则3t k +＝t k +1t k+，即t+3＝t+t+1，解得t ＝2； ∴t 的值为﹣4、﹣2或2；（3）①∵a 、b 、c 均不为0，∴x 1，x 2，x 3都不为0，∵直线y ＝2bx+2c(bc≠0)与x 轴交于点A(x 1，0)，∴0＝2bx 1+2c ，解得x 1＝﹣c b， 联立直线与抛物线解析式，消去y 可得2bx+2c ＝ax 2+3bx+3c ，即ax 2+bx+c ＝0，∵直线与抛物线交与B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)两点，∴x 2、x 3是方程ax 2+bx+c ＝0的两根，∴x 2+x 3＝﹣b a ，x 2x 3＝c a， ∴21x +31x ＝2323x x x x +＝b a c a-＝﹣b c ＝11x ， ∴x 1，x 2，x 3构成“和谐三组数”；②∵x 2＝1，∴a+b+c ＝0，∴c ＝﹣a ﹣b ，∵a＞2b＞3c，∴a＞2b＞3(﹣a﹣b)，且a＞0，整理可得253a bb a>⎧⎨>-⎩，解得﹣35＜ba＜12，∵P(ca ，ba)，∴OP2＝(ca )2+(ba)2＝(a ba--)2+(ba)2＝2(ba)2+2ba+1＝2(ba+12)2+12，令m＝ba，则﹣35＜m＜12且m≠0，且OP2＝2(m+12)2+12，∵2＞0，∴当﹣35＜m＜﹣12时，OP2随m的增大而减小，当m＝﹣35时，OP2有最大临界值1325，当m＝﹣12时，OP2有最小临界值12，当﹣12＜m＜12时，OP2随m的增大而增大，当m＝﹣12时，OP2有最小临界值12，当m＝12时，OP2有最大临界值52，∴12≤OP2<52且OP2≠1，∵P到原点的距离为非负数，∴≤OP且OP≠1．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及新定义、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想等知识．在(1)中注意利用和谐三数组的定义，在(2)中由和谐三数组得到关于t的方程是解题的关键，在(3)①中用a、b、c分别表示出x1，x2，x3是解题的关键，在(3)②中把OP2表示成二次函数的形式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．10．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=13x﹣43与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=32．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．【详解】（1）当y=0时，14033x -=，解得x=4，即A （4，0），抛物线过点A ，对称轴是x=32，得161203322a c a -+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩， 解得14a c =⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4； （2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，∴直线m 的解析式为y=13x ． ∵点P 是直线1上任意一点， ∴设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ．又∵PE=3PF ， ∴PC PB PF PE =． ∴∠FPC=∠EPB ．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP ⊥PE ．（3）如图所示，点E 在点B 的左侧时，设E （a ，0），则BE=6﹣a ．∵CF=3BE=18﹣3a ，∴OF=20﹣3a ．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形，∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q （﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18，∴OF=3a ﹣20．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形， ∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．11．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标； （3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，11AM AN+均为定值，并求出该定值．【答案】（1）a =13-，A 30），抛物线的对称轴为x 32）点P 的坐标为3034）；（33 【解析】试题分析：（1）由点C 的坐标为（0，3），可知﹣9a =3，故此可求得a 的值，然后令y =0得到关于x 的方程，解关于x 的方程可得到点A 和点B 的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO =60°，依据AE 为∠BAC 的角平分线可求得∠DAO =30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD =1，则可得到点D 的坐标．设点P 的3，a ）．依据两点的距离公式可求得AD 、AP 、DP 的长，然后分为AD =PA 、AD =DP 、AP =DP 三种情况列方程求解即可；（3）设直线MN 的解析式为y =kx +1，接下来求得点M 和点N 的横坐标，于是可得到AN 的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM 的长，最后将AM 和AN 的长代入化简即可．试题解析：（1）∵C （0，3），∴﹣9a =3，解得：a =13-．令y =0得：22390ax ax a --=，∵a ≠0，∴22390x x --=，解得：x =﹣3或x =33，∴点A 的坐标为（﹣3，0），B （33，0），∴抛物线的对称轴为x =3．（2）∵OA =3，OC =3，∴tan ∠CAO =3，∴∠CAO =60°． ∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO =30°，∴DO =3AO =1，∴点D 的坐标为（0，1）． 设点P 的坐标为（3，a ）．依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2． 当AD =PA 时，4=12+a 2，方程无解．当AD =DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a =0或a =2（舍去），∴点P 的坐标为（3，0）． 当AP =DP 时，12+a 2=3+（a ﹣1）2，解得a =﹣4，∴点P 的坐标为（3，﹣4）． 综上所述，点P 的坐标为（3，0）或（3，﹣4）．（3）设直线AC 的解析式为y =mx +3，将点A 的坐标代入得：330m -+=，解得：m =3，∴直线AC 的解析式为33y x =+． 设直线MN 的解析式为y =kx +1．把y =0代入y =kx +1得：kx +1=0，解得：x =1k -，∴点N 的坐标为（1k-，0），∴AN =13k-+=31k -．将33y x =+与y =kx +1联立解得：x =3k -，∴点M 的横坐标为3k -．过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G ．则AG =33k +-．∵∠MAG =60°，∠AGM =90°，∴AM =2AG 233k -2323k k --，∴11AM AN +323231k k --3232k -3(31)2(31)k k --3点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M的坐标和点N的坐标是解答问题（3）的关键．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c=++交x轴于点()4,0A-、()2,0B，交y轴于点()0,6C，在y轴上有一点()0,2E-，连接AE.（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求ADE∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使AEP∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为233642y x x =--+；（2）当23x =-时，ADE ∆的面积取得最大值503；（3）P 点的坐标为()1,1-，()1,11-±，()1,219--±. 【解析】分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；（2）根据函数解析式设出点D 坐标，过点D 作DG ⊥x 轴，交AE 于点F ，表示△ADE 的面积，运用二次函数分析最值即可；（3）设出点P 坐标，分PA =PE ，PA =AE ，PE =AE 三种情况讨论分析即可． 详解：（1）∵二次函数y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣4，0）、B （2，0），C （0，6），∴16404206a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩， 解得：34326a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以二次函数的解析式为：y =233642x x --+； （2）由A （﹣4，0），E （0，﹣2），可求AE 所在直线解析式为y =122x --， 过点D 作DN ⊥x 轴，交AE 于点F ，交x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥DF ，垂足为H ，如图，设D （m ，233642m m --+），则点F （m ，122m --）， ∴DF =233642m m --+﹣（122m --）=2384m m --+，∴S △ADE =S △ADF +S △EDF =12×DF ×AG +12DF ×EH =12×DF ×AG +12×DF ×EH =12×4×DF =2×（2384m m --+）=23250233m -++（）， ∴当m =23-时，△ADE 的面积取得最大值为503． （3）y =233642x x --+的对称轴为x =﹣1，设P （﹣1，n ），又E （0，﹣2），A （﹣4，0），可求PA PE AE =，分三种情况讨论：当PA =PE n =1，此时P （﹣1，1）；当PA =AE =n =，此时点P 坐标为（﹣1，）；当PE =AE =n =﹣2P 坐标为：（﹣1，﹣2）．综上所述：P 点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，1，﹣2）． 点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．14．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+53x+c 的图象经过点C （0，2）和点D （4，﹣2）．点E 是直线y=﹣13x+2与二次函数图象在第一象限内的交点． （1）求二次函数的解析式及点E 的坐标．（2）如图①，若点M 是二次函数图象上的点，且在直线CE 的上方，连接MC ，OE ，ME ．求四边形COEM 面积的最大值及此时点M 的坐标．（3）如图②，经过A 、B 、C 三点的圆交y 轴于点F ，求点F 的坐标．【答案】（1）E（3，1）；（2）S最大=214，M坐标为（32，3）；（3）F坐标为（0，﹣32）．【解析】【分析】1）把C与D坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，确定出二次函数解析式，与一次函数解析式联立求出E坐标即可；（2）过M作MH垂直于x轴，与直线CE交于点H，四边形COEM面积最大即为三角形CME面积最大，构造出二次函数求出最大值，并求出此时M坐标即可；（3）令y=0，求出x的值，得出A与B坐标，由圆周角定理及相似的性质得到三角形AOC 与三角形BOF相似，由相似得比例求出OF的长，即可确定出F坐标．【详解】（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函数解析式得：2016232a cc⎧++=-⎪⎨⎪=⎩，解得：2a32c⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即二次函数解析式为y=﹣23x2+53x+2，联立一次函数解析式得：2225233y xy x x﹣﹣=+⎧⎪⎨=++⎪⎩，消去y得：﹣13x+2=﹣23x2+53x+2，解得：x=0或x=3，则E（3，1）；（2）如图①，过M作MH∥y轴，交CE于点H，设M（m，﹣23m2+53m+2），则H（m，﹣13m+2），∴MH=（﹣23m2+53m+2）﹣（﹣13m+2）=﹣23m2+2m，S四边形COEM=S△OCE+S△CME=12×2×3+12MH•3=﹣m2+3m+3，当m=﹣ab=32时，S最大=214，此时M坐标为（32，3）；（3）连接BF，如图②所示，当﹣23x2+53x+20=0时，x15+73，x25-73∴OA=73-54，5+73，∵∠ACO=∠ABF，∠AOC=∠FOB，∴△AOC∽△FOB，∴OA OCOF OB=，即73-545+734OF=，解得：OF=32，则F坐标为（0，﹣32）．【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数图象与性质，以及图形与坐标性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．15．已知二次函数y=﹣316x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（﹣4，﹣92）两点．（1）求b，c的值．（2）二次函数y=﹣316x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．。
2020年中考数学二轮重难点专练附解答： 二次函数与特殊平行四边形判定问题
二次函数与特殊平行四边形判定问题例1、如图，抛物线2y x bx c =-++与直线122y x =+交于,C D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为7(3,)2。
点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交CD 于点F .（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以,,,O C P F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。
【解析】（1）∵直线122y x =+经过点C ,∴(0,2)C ∵抛物线2y x bx c =-++经过点(0,2)C ，D 7(3,)2∴227273322c b b c c =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=-++⎪⎪=⎩⎩ ∴抛物线的解析式为2722y x x =-++ （2）∵点P 的横坐标为m 且在抛物线上∴271(,2),(,2)22P m m m F m m -+++∵PF ∥CO ，∴当PF CO =时，以,,,O C P F 为顶点的四边形是平行四边形① 当03m <<时，22712(2)322PF m m m m m =-++-+=-+ ∴232m m -+=，解得：121,2m m ==即当1m =或2时，四边形OCPF 是平行四边形 ② 当3m ≥时，2217(2)(2)322PF m m m m m =+--++=- 232m m -=，解得：12317317,m m +-==（舍去） 即当1317m +=时，四边形OCFP 是平行四边形 例2、如图，抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴相交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴相交于点C ，点P 为线段OB 上的动点（不与O 、B 重合），过点P 垂直于x 轴的直线与抛物线及线段BC 分别交于点E 、F ，点D 在y 轴正半轴上，OD=2，连接DE 、OF ． （1）求抛物线的解析式；（2）当四边形ODEF 是平行四边形时，求点P 的坐标；【解析】解：（1）∵点A （﹣1，0）、B （3，0）在抛物线y=ax 2+bx+3上， ∴，解得a=﹣1，b=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2+2x+3．（2）在抛物线解析式y=﹣x 2+2x+3中，令x=0，得y=3，∴C （0，3）． 设直线BC 的解析式为y=kx+b ，将B （3，0），C （0，3）坐标代入得：，解得k=﹣1，b=3， ∴y=﹣x+3．设E 点坐标为（x ，﹣x 2+2x+3），则P （x ，0），F （x ，﹣x+3）， ∴EF=y E ﹣y F =﹣x 2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x 2+3x ． ∵四边形ODEF 是平行四边形， ∴EF=OD=2，∴﹣x 2+3x=2，即x 2﹣3x+2=0， 解得x=1或x=2，∴P 点坐标为（1，0）或（2，0）．例3、如图，抛物线32++=bx ax y 与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，31tan =∠OCA ，6=∆ABC S ．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线的解析式及顶点坐标；（3）设点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，如果A 、C 、E 、F 构成平行四边形，请写出点E 的坐标（不必书写计算过程）．【解析】解：（1）∵ 32++=bx ax y∴C (0,3) ………………………………………………1分 又∵tan ∠OCA=31∴A （1，0）……………………………………………1分 又∵S △ABC =6 ∴6321=⨯⨯AB CAB O y x∴AB=4 …………………………………………………1分 ∴B （3-，0）…………………………………………1分 （2）把A （1，0）、B （3-，0）代入32++=bx ax y 得：⎩⎨⎧+-=++=339030b a b a …………………………………………1分∴1-=a ，2-=b∴322+--=x x y ……………………………………2分∵4)1(2++-=x y∴顶点坐标（1-，4）………………………………1分（3）①AC 为平行四边形的一边时E 1析(1-，0) ………………………………………1分 E 2（--27，0）………………………………1分 E 3（+-27，0）………………………………1分②AC 为平行四边形的对角线时E 4（3，0）…………………………………………1分例4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2+mx +n 经过点A （3，0）、B （0，﹣3），点P 是直线AB 上的动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，设点P 的横坐标为t ． （1）分别求出直线AB 和这条抛物线的解析式．（2）若点P 在第四象限，连接AM 、BM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积． （3）是否存在这样的点P ，使得以点P 、M 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【解析】：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n 与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=﹣=32时，PM最长为=94，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．【答案】解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得解得，所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．设直线AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得，所以直线AB的解析式是y=x﹣3；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），因为p在第四象限，所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，当t=﹣=32时，二次函数的最大值，即PM最长值为=94，则S△ABM=S△BPM+S△APM==．（3）存在，理由如下：∵PM∥OB，∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有94，所以不可能有PM=3．xyAOCB（第5题图）xyAOC B（第5题图）'NPN MH'M②当P 在第一象限：PM =OB =3，（t 2﹣2t ﹣3）﹣（t ﹣3）=3，解得t 1=，t 2=（舍去），所以P 点的横坐标是；③当P 在第三象限：PM =OB =3，t 2﹣3t =3，解得t 1=（舍去），t 2=，所以P点的横坐标是．所以P 点的横坐标是或．例5、如图，抛物线经过5(1,0),(5,0),(0,)2A B C --三点.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA+PC 的值最小，求点P 的坐标；(3)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A,C,M,N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】解：（1）设抛物线的解析式为 2y ax bx c =++，根据题意，得0,2550,5.2a b c a b c c ⎧⎪-+=⎪++=⎨⎪⎪=-⎩，解得1,22,5.2a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩∴抛物线的解析式为：2152.22y x x =-- ………(3分) （2）由题意知，点A 关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC 交抛物线的对称轴于点P ，则P 点 即为所求.设直线BC 的解析式为y kx b =+，由题意，得50,5.2k b b +=⎧⎪⎨=-⎪⎩解得 1,25.2k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴直线BC 的解析式为15.22y x =- …………(6分) ∵抛物线215222y x x =--的对称轴是2x =，∴当2x =时，153.222y x =-=-∴点P 的坐标是3(2,)2-. …………(7分)（3）存在 …………………………(8分)(i)当存在的点N 在x 轴的下方时，如图所示，∵四边形ACNM 是平行四边形，∴C N ∥x 轴，∴点C 与点N 关于对称轴x=2对称，∵C 点的坐标为5(0,)2-，∴点N 的坐标为5(4,).2- ………………………(11分)（II ）当存在的点'N 在x 轴上方时，如图所示，作'N H x ⊥轴于点H ，∵四边形''ACM N 是平行四边形，∴'''',AC M N N M H CAO =∠=∠, ∴R t △CAO ≌R t △''N M H ,∴'N H OC =. ∵点C 的坐标为'55(0,),22N H -∴=,即N 点的纵坐标为52， ∴21552,222x x --=即24100x x --=解得1222x x ==∴点'N 的坐标为5(2)2和5(2)2. 综上所述，满足题目条件的点N 共有三个，分别为5(4,).2-，5(2)2+，5(2)2………………………(13分)。
中考数学复习 探索二次函数综合题解题技巧(四)二次函数与特殊三角形的探究问题
币仍仅州斤爪反市希望学校探索二次函数综合题解题技巧四二次函数在中考数学中常常作为压轴题，具有一定的综合性和较大的难度。
学生往往因缺乏思路,感到无从下手,难以拿到分数。
事实上,只要理清思路,方法得当问通常是求解析式：这一小题简单，直接找出坐标或者用线段长度来确定坐标，进而用待定系数法求出解析式即可。
第2—3小问通常要结合三角形、四边形、圆、对称、解方程〔组〕与不等式〔组〕等知识呈现，知识面广，难度大；解这类题要善于运用转化、数形结合、分类讨论等数学思想，认真分析条件和结论、图形的几何特征与代数式的数量结构特征的关系，确定解题的思路和方法；同时需要心态平和，切记急躁：当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系；既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。
类型四二次函数与特殊三角形的探究问题〔1〕与直角三角形的探究问题例1如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,且经过A(1，0)，C(0,3)两点，与x轴的另一个交点为B。
〔1〕假设直线y=mx+n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；〔2〕设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.解：〔1〕∵抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的对称轴为直线x=-1，且抛物线经过A〔1，0〕，抛物线与x轴的另一交点为B，∴B的坐标为：〔-3，0〕，设抛物线的解析式为：y=a〔x-1〕〔x+3〕，把C〔0，3〕代入，-3a=3，解得：a=-1，∴抛物线的解析式为：y=-〔x-1〕〔x+3〕=-x2-2x+3；把B〔-3，0〕，C〔0，3〕代入y=mx+n得：m=1，n=3∴直线y=mx+n的解析式为：y=x+3；〔1〕设P〔-1，t〕，又∵B〔-3，0〕，C〔0，3〕，∴BC2=18，PB2=〔-1+3〕2+t2=4+t2，PC2=〔-1〕2+〔t-3〕2=t2-6t+10，①假设点B为直角顶点，那么BC2+PB2=PC2，即：18+4+t2=t2-6t+10，解之得：t=-2；②假设点C为直角顶点，那么BC2+PC2=PB2，即：18+t2-6t+10=4+t2，解之得：t=4，③假设点P为直角顶点，那么PB2+PC2=BC2，即：4+t2+t2-6t+10=18，解之得：t1= 错误！未找到引用源。
2020年中考数学冲刺难点突破 二次函数问题(解析版)
2020年中考数学冲刺难点突破 二次函数问题专题三 二次函数中的相似三角形综合问题1、如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点分别为A （﹣6，0）和点B （4，0），与y 轴的交点为C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是线段OA 上一动点（不与点A 重合），过P 作平行于y 轴的直线与AC 交于点Q ，点D 、M 在线段AB 上，点N 在线段AC 上．①是否同时存在点D 和点P ，使得△APQ 和△CDO 全等，若存在，求点D 的坐标，若不存在，请说明理由； ②若∠DCB=∠CDB ，CD 是MN 的垂直平分线，求点M 的坐标．【答案】（1）y=﹣18x 2﹣14x+3；（2）①点D 坐标为（﹣32，0）；②点M （32，0）.【分析】（1）应用待定系数法问题可解；（2）①通过分类讨论研究△APQ 和△CDO 全等②由已知求点D 坐标，证明DN ∥BC ，从而得到DN 为中线，问题可解【解析】（1）将点（-6，0），C （0，3），B （4，0）代入y=ax 2+bx+c ，得{36a −6b +c ＝016a +4b +c ＝0c ＝0，解得：{ a ＝−18b ＝−14c ＝3 ，∴抛物线解析式为：y=-18x 2-14x+3； （2）①存在点D ，使得△APQ 和△CDO 全等，当D 在线段OA 上，∠QAP=∠DCO ，AP=OC=3时，△APQ 和△CDO 全等，∴tan ∠QAP=tan ∠DCO ，OC OA＝OD OC ， ∴36＝OD 3，∴OD=32， ∴点D 坐标为（-32，0）.由对称性，当点D 坐标为（32，0）时，由点B 坐标为（4，0），此时点D （32，0）在线段OB 上满足条件．②∵OC=3，OB=4，∴BC=5，∵∠DCB=∠CDB ，∴BD=BC=5，∴OD=BD-OB=1，则点D 坐标为（-1，0）且AD=BD=5，连DN ，CM ，则DN=DM ，∠NDC=∠MDC ，∴∠NDC=∠DCB ，∴DN ∥BC ，∴AN NC ＝AD DB ＝1，则点N 为AC 中点．∴DN 时△ABC 的中位线，∵DN=DM=12BC=52，∴OM=DM-OD=32∴点M （32，0）【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数待定系数法、三角形全等的判定、锐角三角形函数的相关知识．解答时，注意数形结合2、如图，已知二次函数22y x x m =-+的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，直线AC 交二次函数图象的对称轴于点D ，若点C 为AD 的中点.（1）求m 的值；（2）若二次函数图象上有一点Q ，使得tan 3ABQ ∠=，求点Q 的坐标；（3）对于（2）中的Q 点，在二次函数图象上是否存在点P ，使得QBP ∆∽COA ∆？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3m =-；（2）()4,21Q -或()2,3Q -；（3）不存在，理由见解析.【思路引导】（1）设对称轴与x 轴交于点E ，如图1，易求出抛物线的对称轴，可得OE 的长，然后根据平行线分线段成比例定理可得OA 的长，进而可得点A 的坐标，再把点A 的坐标代入抛物线解析式即可求出m 的值； （2）设点Q 的横坐标为n ，当点Q 在x 轴上方时，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，利用tan 3ABQ ∠=可得关于n 的方程，解方程即可求出n 的值，进而可得点Q 坐标；当点Q 在x 轴下方时，注意到tan 3BAC ∠=，所以点Q 与点C 关于直线1x =对称，由此可得点Q 坐标；（3）当点Q 为x 轴上方的点时，若存在点P ，可先求出直线BQ 的解析式，由BP ⊥BQ 可求得直线BP 的解析式，然后联立直线BP 和抛物线的解析式即可求出点P 的坐标，再计算此时两个三角形的两组对应边是否成比例即可判断点P 是否满足条件；当点Q 取另外一种情况的坐标时，再按照同样的方法计算判断即可.【解析】解：（1）设抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，如图1，∴y 轴//ED ，∴::1AC CD AO OE ==，∵抛物线的对称轴是直线212x -=-=，∴OE =1，∴1AO OE ==，∴()1,0A - ∴将点()1,0A -代入函数表达式得：120m ++=，∴3m =-；（2）设()2,23Q n n n --， ①点Q 在x 轴上方时，0n <，如图2，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，∵tan 3ABQ ∠=，∴22333n n n--=-，解得：4n =-或3n =（舍），∴()4,21Q -；②点Q 在x 轴下方时，∵OA =1，OC =3，∴tan 3BAC ∠=，∵tan 3ABQ ∠=，∴点Q 与点C 关于直线1x =对称，∴()2,3Q -；（3）①当点Q 为()4,21-时，若存在点P ，使QBP ∆∽COA ∆，则∠PBQ =∠COA =90°，由B （3，0）、Q ()4,21-可得，直线BQ 的解析式为：39y x =-+，所以直线PB 的解析式为：113y x =-， 联立方程组：211323y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩，解得：1130x y =⎧⎨=⎩，2223119x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴211,39P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∵:1:3OA OC =，:1:3BP BQ =≠， ∴::BP BQ OA OC ≠，∴P 不存在；②当点Q 为()2,3-时，如图4，由B （3，0）、Q ()2,3-可得，直线BQ 的解析式为：39y x =-，所以直线PB 的解析式为：113y x =-+， 联立方程组：211323y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=--⎩，解得：1130x y =⎧⎨=⎩，2243139x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴413,39P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵:1:3OA OC =，:1:3BP BQ =≠， ∴::BP BQ OA OC ≠，∴P 不存在.综上所述，不存在满足条件的点P ，使QBP ∆∽COA ∆.【方法总结】本题考查了平行线分线段成比例定理、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解法、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数和两个函数的交点等知识，综合性强、具有相当的难度，熟练掌握上述知识、灵活应用分类和数形结合的数学思想是解题的关键.3、在平面直角坐标系中，已知抛物线L ：经过点A （-3，0）和点B （0，-6），L 关于原点O 对称的抛物线为.（1）求抛物线L 的表达式；（2）点P 在抛物线上，且位于第一象限，过点P 作PD ⊥y 轴，垂足为D.若△POD 与△AOB 相似，求符合条件的点P 的坐标.()2y ax c a x c =+-+L 'L '【答案】(1) y =－x 2－5x －6；(2)符合条件的点P 的坐标为(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2)。
2020年中考数学第二轮重点难点题型突破二 二次函数与角度问题
类型二二次函数与角度问题例1、已知抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y轴交于点(0C ，3)，过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D ，抛物线的顶点为M ，直线5y x =+经过D 、M 两点.（1）求此抛物线的解析式；（2）连接AM 、AC 、BC ，试比较MAB ∠和ACB ∠的大小，并说明你的理由.【答案】解：（1）∵CD ∥x 轴且点C （0，3），∴设点D 的坐标为(x ，3)．∵直线y=x+5经过D 点，∴3=x+5．∴x=－2．即点D(－2，3)．根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M （－1，y ），又∵直线y=x+5经过M 点，∴y =－1+5，y =4．即M （－1，4）．∴设抛物线的解析式为2(1)4y a x =++．∵点C （0，3）在抛物线上，∴a=－1．即抛物线的解析式为223y x x =--+．…………3分（2）作BP ⊥AC 于点P ，MN ⊥AB 于点N ．由（1）中抛物线223y x x =--+可得点A （－3，0），B （1，0），∴AB=4，AO=CO=3，AC=∴∠PAB ＝45°．∵∠ABP=45°，∴PA=PB=．∴PC=AC －．在Rt △BPC 中，tan ∠BCP=PBPC =2．在Rt △ANM 中，∵M （-1，4），∴MN=4．∴AN=2．tan ∠NAM=MNAN =2．∴∠BCP ＝∠NAM．即∠ACB ＝∠MAB ．例2、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++经过点N （2,－5），过点N 作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M ，MN =6.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P （x ,y ）为此抛物线上一动点，连接MP 交此抛物线的对称轴于点D ，当△DMN 为直角三角形时，求点P 的坐标；（3）设此抛物线与y 轴交于点C ，在此抛物线上是否存在点Q ，使∠QMN =∠CNM ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】解：（1）∵32++=bx ax y 过点M 、N （2，－5），6=MN ，由题意，得M （4-，5-）.∴⎩⎨⎧-=+--=++.53416,5324b a b a 解得⎩⎨⎧-=-=.2,1b a ∴此抛物线的解析式为322+--=x x y .…………………………………2分（2）设抛物线的对称轴1-=x 交MN 于点G ，若△DMN 为直角三角形，则32121===MN GD GD .∴D 1（1-，2-），2D （1-，8-）.………………………………………4分直线MD 1为1-=x y ，直线2MD 为9--=x y .将P （x ，322+--x x ）分别代入直线MD 1，2MD 的解析式，得1322-=+--x x x ①，9322--=+--x x x ②.解①得11=x ，42-=x （舍），∴1P （1,0）.…………………………………5分解②得33=x ，44-=x （舍），∴2P （3,－12）.……………………………6分（3）设存在点Q （x ，322+--x x ），使得∠QMN =∠CNM .①若点Q 在MN 上方，过点Q 作QH ⊥MN ，交MN 于点H ，则4tan =∠=CNM MH QH .即）（445322+=++--x x x .解得21-=x ，42-=x （舍）.∴1Q （2-，3）.……………………………7分②若点Q 在MN 下方，同理可得2Q （6，45-）.…………………8分例3、平面直角坐标系xOy 中，抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，与y轴的正半轴交于点C ，点A 的坐标为(1,0)，OB =OC ，抛物线的顶点为D ．(1)求此抛物线的解析式；(2)若此抛物线的对称轴上的点P 满足∠APB =∠ACB ，求点P 的坐标；(3)Q 为线段BD 上一点，点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，若2=-QB QA ，求点Q 的坐标和此时△QAA '的面积．【答案】（1）∵2244(2)y ax ax a c a x c =-++=-+，∴抛物线的对称轴为直线2x =．∵抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，点A 的坐标为(1,0)，∴点B 的坐标为(3,0)，OB ＝3．……………1分可得该抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =--．∵OB =OC ，抛物线与y 轴的正半轴交于点C ，∴OC =3，点C 的坐标为(0,3)．将点C 的坐标代入该解析式，解得a =1．……2分∴此抛物线的解析式为243y x x =-+．（如图9）……………………3分（2）作△ABC 的外接圆☉E ，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为点F ，设☉E 与抛物线的对称轴位于x 轴上方的部分的交点为点1P ，点1P 关于x 轴的对称点为点2P ，点1P 、点2P 均为所求点.（如图10）可知圆心E 必在AB 边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线2x =上．∵1APB ∠、ACB ∠都是弧AB 所对的圆周角，∴ACB B AP ∠=∠1，且射线FE 上的其它点P 都不满足ACB APB ∠=∠．由（1）可知∠OBC=45°，AB=2，OF=2．可得圆心E 也在BC 边的垂直平分线即直线y x =上．∴点E 的坐标为(2,2)E ．…………………………………………………4分图9∴由勾股定理得EA =∴1EP EA ==．∴点1P 的坐标为1(2,2P．……………………………………………5分由对称性得点2P 的坐标为2(2,2P --．………………………………6分∴符合题意的点P 的坐标为1(2,2P 、2(2,2P --.（3）∵点B 、D 的坐标分别为(3,0)B 、(2,1)D -，可得直线BD 的解析式为3y x =-，直线BD 与x 轴所夹的锐角为45°．∵点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，（如图11）若设AA '与∠AQB 的平分线的交点为M ，则有QA QA '=，AM A M '=，AA QM '⊥，Q ，B ，A '三点在一条直线上．∵QA QB -=∴.2''=-=-=QB QA QB QA BA 作A N '⊥x 轴于点N ．∵点Q 在线段BD 上，Q ，B ，A '三点在一条直线上，∴sin 451A N BA ''=⋅︒=，cos 451BN BA '=⋅︒=．∴点A '的坐标为(4,1)A '．∵点Q 在线段BD 上，∴设点Q 的坐标为(,3)Q x x -，其中23x <<．∵QA QA '=，∴由勾股定理得2222(1)(3)(4)(31)x x x x -+-=-+--．解得114x =．经检验，114x =在23x <<的范围内．∴点Q 的坐标为111(,44Q -．……………………………………………7分此时1115()2(1)2244QAA A AB QAB A Q S S S AB y y '''∆∆∆=+=⋅⋅+=⨯⨯+=．…8分例4、已知，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于点A （－2,0）、B （8,0），与y 轴交于点C （0，－4）。
2020年中考数学压轴题突破专题4 二次函数与特殊图形的存在性问题
2020年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练专题04二次函数与特殊图形的存在性问题【真题再现】1．（2019年盐城27题）如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．（1）求A、B两点的横坐标；（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．2．（2019年连云港26题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2+bx+c过点C （0，﹣3），与抛物线L2：y＝﹣x2﹣x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点．（1）求抛物线L1对应的函数表达式；（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．3．（2019年无锡27题）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c（a＜0）的图象与它的对称轴相交于点A，与y轴相交于点C（0，﹣2），其对称轴与x轴相交于点B（1）若直线BC与二次函数的图象的另一个交点D在第一象限内，且BD＝，求这个二次函数的表达式；（2）已知P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，试直接写出a的值．4．（2017年淮安28题）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b＝，c＝；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；（4）如图②，点N的坐标为（﹣，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．5．（2017年宿迁25题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x 轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC．（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；（2）求△ABC外接圆的半径；（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．6．（2017年常州27题）如图，在平面直角坐标系xOy，已知二次函数y＝﹣x2+bx的图象过点A（4，0），顶点为B，连接AB、BO．（1）求二次函数的表达式；（2）若C是BO的中点，点Q在线段AB上，设点B关于直线CQ的对称点为B'，当△OCB'为等边三角形时，求BQ的长度；（3）若点D在线段BO上，OD＝2DB，点E、F在△OAB的边上，且满足△DOF与△DEF全等，求点E的坐标．【专项突破】【题组一】1．（2020•张家港市模拟）如图，二次函效y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，4）点D为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式及A点坐标；（2）若△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；（3）若△BCD是锐角三角形，请写出点D的横坐标m的取值范围．2．（2020•宝应县一模）如图1，矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB＝8，AD＝10，并设点B坐标为（m，0），其中m＜0．（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；（3）如图2，设抛物线y＝a（x﹣m+6）2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM＝90°，求a、h、m的值．3．（2019秋•邗江区校级期末）如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．（1）试求抛物线解析式；（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．4．（2019秋•亭湖区校级期末）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A（﹣1，0）．过点A作直线y＝x+c与抛物线交于点D，动点P在直线y＝x+c上，从点A出发，以每秒个单位长度的速度向点D运动，过点P作直线PQ ∥y轴，与抛物线交于点Q，设运动时间为t（s）．（1）直接写出b，c的值及点D的坐标；（2）点E是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△CBE的面积为6时，求出点E的坐标；（3）在线段PQ最长的条件下，点M在直线PQ上运动，点N在x轴上运动，当以点D、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请求出此时点N的坐标．【题组二】5．（2019秋•崇川区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明．6．（2019•徐州一模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y的正半轴交于点C．（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式．（2）点Q（m，0）是线段OB上一点，过点Q作y轴的平行线，与BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为D．探究：是否存在点Q，使得四边形MNDC是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E在二次函数图象上，且以E为圆心的圆与直线BC相切与点F，且EF，请直接写出点E的坐标．7．（2019•亭湖区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，8），与x轴交于B、C两点，其中点C的坐标为（4，0）．点P（m，n）为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点D的坐标为（0，4），连接BD．（1）求该二次函数的表达式及点B的坐标；（2）连接OP，过点P作PQ⊥x轴于点Q，当以O、P、Q为顶点的三角形与△OBD相似时，求m的值；（3）连接BP，以BD、BP为邻边作▱BDEP，直线PE交y轴于点T．①当点E落在该二次函数图象上时，求点E的坐标；②在点P从点A到点B运动过程中（点P与点A不重合），直接写出点T运动的路径长．8．（2019秋•灌云县期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．【题组三】9．（2019•清江浦区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点B（﹣3，0）和C（4，0）与y轴交于点A．（1）a＝，b＝；（2）点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿AB向B运动，同时，点N从点B 出发以每秒1个单位长度的速度沿BC向C运动，当点M到达B点时，两点停止运动．t 为何值时，以B、M、N为顶点的三角形是等腰三角形？（3）点P是第一象限抛物线上的一点，若BP恰好平分∠ABC，请直接写出此时点P的坐标．10．（2019•灌南县二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点A（﹣1，0）、C（2，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点，①若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，直接写出点M的坐标；②连接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．11．（2019秋•沭阳县期末）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD＝4PE时：①求点D、P、E的坐标；②求四边形POBE的面积．（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2019秋•江都区期末）已知二次函数y bx+c（b、c为常数）的图象经过点（0，﹣1）和点A（4，1）．（1）求b、c的值；（2）如图1，点C（10，m）在抛物线上，点M是y轴上的一个动点，过点M平行于x 轴的直线l平分∠AMC，求点M的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点P是抛物线上的一动点，以P为圆心、PM为半径的圆与x轴相交于E、F两点，若△PEF的面积为2，请直接写出点P的坐标．【题组四】13．（2019•宿豫区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且抛物线经过点D（2，3）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将该抛物线向下平移，使得新抛物线的顶点G在x轴上．原抛物线上一点M平移后的对应点为点N，如果△AMN是以MN为底边的等腰三角形，求点N的坐标；（3）若点P为抛物线上第一象限内的动点，过点B作BE⊥OP，垂足为E，点Q为y轴上的一个动点，连接QE、QD，试求QE+QD的最小值．14．（2019•江西模拟）已知抛物线l1：y1＝ax2﹣2的顶点为P，交x轴于A、B两点（A点在B点左侧），且sin∠ABP．（1）求抛物线l1的函数解析式；（2）过点A的直线交抛物线于点C，交y轴于点D，若△ABC的面积被y轴分为1：4两个部分，求直线AC的解析式；（3）在（2）的情况下，将抛物线l1绕点P逆时针旋转180°得到抛物线l2，点M为抛物线l2上一点，当点M的横坐标为何值时，△BDM为直角三角形？15．（2019秋•锡山区期末）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式，并直接写出当x满足什么值时y＜0？（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2019秋•徐州期末）如图，矩形OABC中，O为原点，点A在y轴上，点C在x轴上，点B的坐标为（4，3），抛物线y x2+bx+c与y轴交于点A，与直线AB交于点D，与x轴交于C，E两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点P从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，与此同时，点Q从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．连接DP、DQ、PQ，设运动时间为t（秒）．①当t为何值时，△DPQ的面积最小？②是否存在某一时刻t，使△DPQ为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【题组五】17．（2019秋•江都区期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+4x．（1）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“方点”．试求拋物线y＝﹣x2+4x的“方点”的坐标；（2）如图，若将该抛物线向左平移1个单位长度，新抛物线与x轴相交于A、B两点（A 在B左侧），与y轴相交于点C，连接BC．若点P是直线BC上方抛物线上的一点，求△PBC的面积的最大值；（3）第（2）问中平移后的抛物线上是否存在点Q，使△QBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．18．（2019秋•兴化市期末）如图，Rt△FHG中，∠H＝90°，FH∥x轴，0.6，则称Rt△FHG为准黄金直角三角形（G在F的右上方）．已知二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点E（0，﹣3），顶点为C（1，﹣4），点D为二次函数y2＝a（x﹣1﹣m）2+0.6m﹣4（m＞0）图象的顶点．（1）求二次函数y1的函数关系式；（2）若准黄金直角三角形的顶点F与点A重合、G落在二次函数y1的图象上，求点G 的坐标及△FHG的面积；（3）设一次函数y＝mx+m与函数y1、y2的图象对称轴右侧曲线分别交于点P、Q．且P、Q两点分别与准黄金直角三角形的顶点F、G重合，求m的值，并判断以C、D、Q、P 为顶点的四边形形状，请说明理由．19．（2019秋•赣榆区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P是直线BC上方抛物线上的点，若∠PCB＝∠BCO，求出P点的到y轴的距离．20．（2019•海陵区校级三模）如图①抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与直线y＝kx+k交于点A、B，其中A点在x轴上，它们与y轴交点分别为C和D，P为抛物线的顶点，且点P纵坐标为4，抛物线的对称轴交直线于点Q．（1）试用含k的代数式表示点Q、点B的坐标．（2）连接PC，若四边形CDQP的内部（包括边界和顶点）只有4个横坐标、纵坐标均为整数的点，求k的取值范围．（3）如图②，四边形CDQP为平行四边形时，①求k的值；②E、F为线段DB上的点（含端点），横坐标分别为a，a+n（n为正整数），EG∥y轴交抛物线于点G．问是否存在正整数n，使满足tan∠EGF的点E有两个？若存在，求出n；若不存在说明理由．【题组六】21．（2019•泉山区校级二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线对应函数的关系式，及A点坐标．（2）点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．22．（2019•宿迁模拟）如图，抛物线y x2+bx+c与x轴交于A、B两点，直线y x经过点A，与抛物线的另一个交点为点C（3，m），线段PQ在线段AB上移动，PQ＝1，分别过点P、Q作x轴的垂线，交抛物线于E、F，交直线于D、G．（1）求抛物线的解析式；（2）设四边形DEFG的面积为S，求S的最大值；（3）在线段PQ的移动过程中，以D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．23．（2019•东台市模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+3的图象经过点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C，顶点是D．（1）求抛物线的表达式和顶点D的坐标；（2）在x轴上取点F，在抛物线上取点E，使以点C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；（3）将此抛物线沿着过点（0，2）且垂直于y轴的直线翻折，E为所得新抛物线x轴上方一动点，过E作x轴的垂线，交x轴于G，交直线l：y x﹣1于点F，以EF为直径作圆在直线l上截得弦MN，求弦MN长度的最大值．24．（2019•阜宁县一模）如图，已知抛物线y x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）证明：以AC为直径的圆与抛物线的对称轴相离；（4）在抛物线对称轴上是否存在点Q，使△ACQ的外心恰好在一条边上？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．参考答案【真题再现】1．（2019年盐城27题）如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y ＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．（1）求A、B两点的横坐标；（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，即可求解；（2）分OA＝AB、OA＝OB两种情况，求解即可；（3）求出m＝﹣k2﹣k，在△AHM中，tanαk tan∠BEC k+2，即可求解．【解析】（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，解得：x＝1和2，故点A、B的坐标横坐标分别为1和2；（2）OA，①当OA＝AB时，即：1+k2＝5，解得：k＝±2（舍去2）；②当OA＝OB时，4+（k+2）2＝5，解得：k＝﹣1或﹣3；故k的值为：﹣1或﹣2或﹣3；（3）存在，理由：①当点B在x轴上方时，过点B作BH⊥AE于点H，将△AHB的图形放大见右侧图形，过点A作∠HAB的角平分线交BH于点M，过点M作MN⊥AB于点N，过点B作BK⊥x轴于点K，图中：点A（1，2）、点B（2，k+2），则AH＝﹣k，HB＝1，设：HM＝m＝MN，则BM＝1﹣m，则AN＝AH＝﹣k，AB，NB＝AB﹣AN，由勾股定理得：MB2＝NB2+MN2，即：（1﹣m）2＝m2+（k）2，解得：m＝﹣k2﹣k，在△AHM中，tanαk tan∠BEC k+2，解得：k，此时k+2＞0，则﹣2＜k＜0，故：舍去正值，故k；②当点B在x轴下方时，同理可得：tanαk tan∠BEC（k+2），解得：k或，此时k+2＜0，k＜﹣2，故舍去，故k的值为：或．2．（2019年连云港26题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2+bx+c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y x2x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点．（1）求抛物线L1对应的函数表达式；（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．【分析】（1）先求出A点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式便可；（2）设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），分两种情况讨论：AC为平行四边形的一条边，AC为平行四边形的一条对角线，用x表示出Q点坐标，再把Q点坐标代入抛物线L2：y x2x+2中，列出方程求得解便可；（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分∠PCR，当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作PH⊥TR于点H，设点P坐标为（x1，），点R 坐标为（x2，），证明△PSC∽△RTC，由相似比得到x1+x2＝4，进而得tan∠PRH的值，过点Q作QK⊥x轴于点K，设点Q坐标为（m，），由tan∠QOK＝tan∠PRH，移出m的方程，求得m便可．【解析】（1）将x＝2代入y x2x+2，得y＝﹣3，故点A的坐标为（2，﹣3），将A（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得，解得，∴抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图，设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），第一种情况：AC为平行四边形的一条边，①当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为（x+2，x2﹣2x﹣3），将Q（x+2，x2﹣2x﹣3）代入y x2x+2，得x2﹣2x﹣3（x+2）2（x+2）+2，解得x＝0或x＝﹣1，因为x＝0时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（﹣1，0）；②当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为（x﹣2，x2﹣2x﹣3），将Q（x﹣2，x2﹣2x﹣3）代入y x2x+2，得y x2x+2，得x2﹣2x﹣3（x﹣2）2（x﹣2）+2，解得，x＝3，或x，此时点P的坐标为（3，0）或（，）；第二种情况：当AC为平行四边形的一条对角线时，由AC的中点坐标为（1，﹣3），得PQ的中点坐标为（1，﹣3），故点Q的坐标为（2﹣x，﹣x2+2x﹣3），将Q（2﹣x，﹣x2+2x﹣3）代入y x2x+2，得﹣x2+2x﹣3═（2﹣x）2（2﹣x）+2，解得，x＝0或x＝﹣3，因为x＝0时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（﹣3，12），综上所述，点P的坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（，）或（﹣3，12）；（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分∠PCR，当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作PH⊥TR于点H，则有∠PSC＝∠RTC＝90°，由CA平分∠PCR，得∠PCA＝∠RCA，则∠PCS＝∠RCT，∴△PSC∽△RTC，∴，设点P坐标为（x1，），点R坐标为（x2，），所以有，整理得，x1+x2＝4，在Rt△PRH中，tan∠PRH过点Q作QK⊥x轴于点K，设点Q坐标为（m，），若OQ∥PR，则需∠QOK＝∠PRH，所以tan∠QOK＝tan∠PRH＝2，所以2m，解得，m，所以点Q坐标为（，﹣7）或（，﹣7）．3．（2019年无锡27题）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c（a＜0）的图象与它的对称轴相交于点A，与y轴相交于点C（0，﹣2），其对称轴与x轴相交于点B（1）若直线BC与二次函数的图象的另一个交点D在第一象限内，且BD，求这个二次函数的表达式；（2）已知P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，试直接写出a的值．【分析】（1）先求得对称轴方程，进而得B点坐标，过D作DH⊥x轴于点H，由B，C 的坐标得∠OBC＝45°，进而求得DH，BH，便可得D点坐标，再由待定系数法求得解析式；（2）先求出A点的坐标，再分两种情况：A点在x轴上时，△OP A为等腰直角三角形，符合条件的点P恰好有2个；A点不在x轴上，∠AOB＝30°，△OP A为等边三角形或顶角为120°的等腰三角形，符合条件的点P恰好有2个．据此求得a．【解析】（1）过点D作DH⊥x轴于点H，如图1，∵二次函数y＝ax2﹣4ax+c，∴对称轴为x，∴B（2，0），∵C（0，﹣2），∴OB＝OC＝2，∴∠OBC＝∠DBH＝45°，∵BH，∴BH＝DH＝1，∴OH＝OB+BH＝2+1＝3，∴D（3，1），把C（0，﹣2），D（3，1）代入y＝ax2﹣4ax+c中得，，∴，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣2；（2）∵y＝ax2﹣4ax+c过C（0，﹣2），∴c＝﹣2，∴y＝ax2﹣4ax+c＝a（x﹣2）2﹣4a﹣2，∴A（2，﹣4a﹣2），∵P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，∴①当抛物线的顶点A在x轴上时，∠POA＝90°，则OP＝OA，这样的P点只有2个，正、负半轴各一个，如图2，此时A（﹣2，0），∴﹣4a﹣2＝0，解得a；②当抛物线的顶点A不在x轴上时，∠AOB＝30°时，则△OP A为等边三角形或∠AOP＝120°的等腰三角形，这样的P点也只有两个，如图3，∴AB＝OB•tan30°＝2，∴|﹣4a﹣2|，∴或．综上，a或或．4．（2017年淮安28题）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b＝，c＝4；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；（4）如图②，点N的坐标为（，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣4）．将a代入可得到抛物线的解析式，从而可确定出b、c的值；（2）连结QC．先求得点C的坐标，则PC＝5﹣t，依据勾股定理可求得AC＝5，CQ2＝t2+16，接下来，依据CQ2﹣CP2＝AQ2﹣AP2列方程求解即可；（3）过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为D、E，MD交x轴与点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，首先证明△P AG∽△ACO，依据相似三角形的性质可得到PG t，AG t，然后可求得PE、DF的长，然后再证明△MDP≌PEQ，从而得到PD＝EQ t，MD＝PE＝3t，然后可求得FM和OF的长，从而可得到点M的坐标，然后将点M的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（4）连结：OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC与点Q′．首先依据三角形的中位线定理得到RH QO t，RH∥OQ，NR AP t，则RH＝NR，接下来，依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明NH是∠QNQ′的平分线，然后求得直线NR和BC的解析式，最后求得直线NR和BC的交点坐标即可．【解析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣4）．将a代入得：y x2x+4，∴b，c＝4．（2）在点P、Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形．理由如下：连结QC．∵在点P、Q运动过程中，∠P AQ、∠PQA始终为锐角，∴当△APQ是直角三角形时，则∠APQ＝90°．将x＝0代入抛物线的解析式得：y＝4，∴C（0，4）．∵AP＝OQ＝t，∴PC＝5﹣t，∵在Rt△AOC中，依据勾股定理得：AC＝5，在Rt△COQ中，依据勾股定理可知：CQ2＝t2+16，在Rt△CPQ中依据勾股定理可知：PQ2＝CQ2﹣CP2，在Rt△APQ中，AQ2﹣AP2＝PQ2，∴CQ2﹣CP2＝AQ2﹣AP2，即（3+t）2﹣t2＝t2+16﹣（5﹣t）2，解得：t＝4.5．∵由题意可知：0≤t≤4，∴t＝4.5不合题意，即△APQ不可能是直角三角形．（3）如图所示：过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为D、E，MD交x轴与点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，则PG∥y轴，∠E＝∠D＝90°．∵PG∥y轴，∴△P AG∽△ACO，∴，即，∴PG t，AG t，∴PE＝GQ＝GO+OQ＝AO﹣AG+OQ＝3t+t＝3t，DF＝GP t．∵∠MPQ＝90°，∠D＝90°，∴∠DMP+∠DPM＝∠EPQ+∠DPM＝90°，∴∠DMP＝∠EPQ．又∵∠D＝∠E，PM＝PQ，∴△MDP≌△PEQ，∴PD＝EQ t，MD＝PE＝3t，∴FM＝MD﹣DF＝3t t＝3t，OF＝FG+GO＝PD+OA﹣AG＝3t t＝3t，∴M（﹣3t，﹣3t）．∵点M在x轴下方的抛物线上，∴﹣3t（﹣3t）2（﹣3t）+4，解得：t．∵0≤t≤4，∴t．（4）如图所示：连结OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC于点Q′．∵点H为PQ的中点，点R为OP的中点，∴RH QO t，RH∥OQ．∵A（﹣3，0），N（，0），∴点N为OA的中点．又∵R为OP的中点，∴NR AP t，∴RH＝NR，∴∠RNH＝∠RHN．∵RH∥OQ，∴∠RHN＝∠HNO，∴∠RNH＝∠HNO，即NH是∠QNQ′的平分线．设直线AC的解析式为y＝mx+n，把点A（﹣3，0）、C（0，4）代入得：，解得：m，n＝4，∴直线AC的表示为y x+4．同理可得直线BC的表达式为y＝﹣x+4．设直线NR的函数表达式为y x+s，将点N的坐标代入得：（）+s＝0，解得：s ＝2，∴直线NR的表述表达式为y x+2．将直线NR和直线BC的表达式联立得：，解得：x，y，∴Q′（，）．5．（2017年宿迁25题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC．（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；（2）求△ABC外接圆的半径；（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．【分析】（1）由已知抛物线可求得A、B坐标及顶点坐标，利用对称性可求得C的坐标，利用待定系数法可求得曲线N的解析式；（2）由外接圆的定义可知圆心即为线段BC与AB的垂直平分线的交点，即直线y＝x与抛物线对称轴的交点，可求得外接圆的圆心，再利用勾股定理可求得半径的长；（3）设Q（x，0），当BC为平行四边形的边时，则有BQ∥PC且BQ＝PC，从而可用x 表示出P点的坐标，代入抛物线解析式可得到x的方程，可求得Q点坐标，当BC为平行四边形的对角线时，由B、C的坐标可求得平行四边形的对称中心的坐标，从而可表示出P点坐标，代入抛物线解析式可得到关于x的方程，可求得P点坐标．【解析】（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝0可得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），令x＝0可得y＝﹣3，又抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折后得到曲线N，∴C（0，3），设曲线N的解析式为y＝ax2+bx+c，把A、B、C的坐标代入可得，解得，∴曲线N所在抛物线相应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设△ABC外接圆的圆心为M，则点M为线段BC、线段AB垂直平分线的交点，∵B（3，0），C（0，3），∴线段BC的垂直平分线的解析式为y＝x，又线段AB的垂直平分线为曲线N的对称轴，即x＝1，∴M（1，1），∴MB，即△ABC外接圆的半径为；（3）设Q（t，0），则BQ＝|t﹣3|①当BC为平行四边形的边时，如图1，则有BQ∥PC，∴P点纵坐标为3，即过C点与x轴平行的直线与曲线M和曲线N的交点即为点P，x轴上对应的即为点Q，当点P在曲线M上时，在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝3可解得x＝1或x＝1，∴PC＝1或PC1，当x＝1时，可知点Q在点B的右侧，可得BQ＝t﹣3，∴t﹣3＝1，解得t＝4，当x＝1时，可知点Q在点B的左侧，可得BQ＝3﹣t，∴3﹣t1，解得t＝4，∴Q点坐标为（4，0）或（4，0）；当点P在曲线N上时，在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝3可求得x＝0（舍去）或x＝2，∴PC＝2，此时Q点在B点的右侧，则BQ＝t﹣3，∴t﹣3＝2，解得t＝5，∴Q点坐标为（5，0）；②当BC为平行四边形的对角线时，∵B（3，0），C（0，3），∴线段BC的中点为（，），设P（x，y），∴x+t＝3，y+0＝3，解得x＝3﹣t，y＝3，∴P（3﹣t，3），当点P在曲线M上时，则有3＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2或t＝2，∴Q点坐标为（2，0）或（2，0）；当点P在曲线N上时，则有3＝﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3，解得t＝3（Q、B重合，舍去）或t＝1，∴Q点坐标为（1，0）；综上可知Q点的坐标为（4，0）或（4，0）或（5，0）或（2，0）或（2，0）或（1，0）．6．（2017年常州27题）如图，在平面直角坐标系xOy，已知二次函数y x2+bx的图象过点A（4，0），顶点为B，连接AB、BO．（1）求二次函数的表达式；（2）若C是BO的中点，点Q在线段AB上，设点B关于直线CQ的对称点为B'，当△OCB'为等边三角形时，求BQ的长度；（3）若点D在线段BO上，OD＝2DB，点E、F在△OAB的边上，且满足△DOF与△DEF全等，求点E的坐标．。
2020中考数学二次函数题型解析
2020中考数学二次函数题型解析这道题并不是压轴题，所以没什么难度，今年本省的题型变了变，二次函数居然不作为难题出现了，不知道是好事还是坏事，反正压轴题变为了几何探究，有空再分享，内容肯定很多，这次没时间，所以先整理该题。
那么在开始之前还有一个问题，同学们可能有时候收不到新的推送。
这个和现在订阅号消息的显示机制有关，优先显示经常看的公众号的新消息，所以几天没看你可能就不能及时收到新题型。
还有，因为有时候是头一天整理好设置为第二天早上自动推送，所以等大家看到的时候估计已经被当天其他的订阅号消息覆盖了，而且如果两三天没及时看，可能系统就不给及时显示了，这个我在看科技新闻类公众号时还真遇到了，到点了没有收到推送，都过了几十分钟了，然后我打开那个公众号看历史消息才发现已经推送了，但是我没收到，等我看完了那几个推送，大概得有十几分钟，我这边才收到。
所以，如果你需要每天来本公众号学习学习，或者想要及时收到最新的解析，那么不妨点击上方本公众号名称，进入到历史消息界面，右上角像设置联系人一样点开选择“设为星标”。
分析：解析式中一个参数c未知，而且OA=OB，就俩条件，直接看图就行。
第一小题求解析式和顶点坐标，根据条件可知点B纵坐标为c，可得A坐标，带入求出参数c即可；题中给出了M、N两点，而且还有M在左边，所以可以判定M和N的位置，那么点Q的位置范围也就清楚了；解答：（1）由题可知点B坐标（0，c）∵OA=OB∴点A坐标为（c，0）代入解析式得-c²+2c+c=0解得c=3（舍去0）所以解析式y=-x²+2x+3顶点G坐标（1,4）（2）根据M在左，N在右，以及二者到对称轴的距离，先画图由于图形太小了，所以N没地方标记，就标在图示这个位置吧，大家知道N离对称轴距离5就行，那么题中只说了M在N坐标，而符合到对称轴距离为3的M有两个，老师已经标记出来了，所以这一题要分情况讨论：①当M在对称轴左侧时，M（-2，-5），N（6，-21）那么Q就在如图绿色部分范围内（题中说了含M、N端点）那么Q的纵坐标范围就是-21到4即-21＜y Q＜4②当M在对称轴右侧时M（4，-5），N（6，-21）那么Q就在如图粉色范围内所以Q的纵坐标范围为-21到-5 即-21＜y Q＜-5。
2020年中考数学二轮复习压轴专题：二次函数(解析版)
2020 年中考数学二轮复习压轴专题：《二次函数》1．如图，平面直角坐标系中，点 A、点B 在 x 轴上（点A在点B 的左边），点 C在第一象限，知足∠ ACB为直角，且恰使△OCA∽△ OBC，抛物线y＝ax2﹣8ax+12a（ a＜0）经过A、 B、C三点．（1）求线段OB、OC的长．（2）求点C的坐标及该抛物线的函数关系式；（ 3）在x 轴上能否存在点，使△为等腰三角形？若存在，求出全部切合条件的P P BCP点的坐标：若不存在，请说明原因．解：（ 1）y＝ax2﹣ 8ax+12a＝a（x﹣ 6）（x﹣ 2），故 OA＝2， OB＝6，△ OCA∽△ OBC，则2，即： OC＝ OA?OB，解得： CO＝2；（ 2）过点C作CD⊥x轴于点D，△ OCA∽△ OBC，则，设 AC＝2x，则BC＝2x，而AB＝4，故 16＝（ 2x）2+（ 2x）2，解得：x＝1，故 AC＝2， BC＝2，S△ABC＝AB× CD＝AC× BC，解得： CD＝，故 OD＝3，故点 C（3，）；将点 C的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x﹣4；（ 3）设点P（ m，0），而点B、 C的坐标分别为：（6，0）、（3，）；2222则 BC＝12，PB ＝（ m﹣6）， PC＝（ m﹣3）2+3，当BC＝PB时，12＝（m﹣6）2，解得：m＝6；当 BC＝PC时，同理可得： m＝6（舍去）或0；当 PB＝PC时，同理可得： m＝4，综上点 P 的坐标为：（6， 0）或（ 0， 0）或（ 4， 0）．2．直线y＝﹣x+2与 x 轴交于点A，与 y 轴交于点 B，抛物线y＝﹣ x2+bx+c 经过 A、 B 两点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是直线AB上方抛物线上一点；①当△ PBA的面积最大时，求点 P 的坐标；②在①的条件下，点 P 对于抛物线对称轴的对称点为Q，在直线 AB上能否存在点 M，使得直线QM与直线BA的夹角是∠QAB的两倍？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）直线y＝﹣x+2与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点B，则点 A、 B 的坐标分别为：（ 4， 0）、（ 0， 2），将点、B 的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，A故抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+x+2；2（ 2）①过点P作y轴的平行线交BC于点 N，设 P（m，﹣ m+ m+2），点 N（ m，﹣m+2），则：△ PBA的面积 S＝2m+2+2PN× OA＝×4×（﹣ m+m﹣2）＝﹣ m+4m，当 m＝2时， S 最大，此时，点 P（2，5）；②点 P（2，5），则点 Q（， 5），设点M（a，﹣a+2）；（Ⅰ）若：∠QMB QAM QM AM 1＝2∠1，则1＝1，则（ a﹣）2+（a﹣3）2＝（ a﹣4）2+（﹣a+2）2，解得： a＝，M，）；故点1（（Ⅱ）若∠QMB QAM2＝ 2∠ 1 ，则∠ QM2B＝∠ QM1B， QM1＝ QM2，作 QH⊥AB于 H，BQ的延伸线交x 轴于点 N，则 tan ∠BAO＝＝，则tan∠QNA＝2，故直线QH表达式中的k 为2，设直线QH的表达式为：y＝2x+b，将点Q的坐标代入上式并解得：b＝2，故直线QH的表达式为：y＝2x+2，故H（0，2）与 B 重合，M、M对于21B 对称，∴ M（﹣2，）；综上，点M的坐标为：（，）或（﹣，）．3．如图已知直线y＝x+与抛物线y＝ ax2+bx+c 订交于 A（﹣1，0）， B（4， m）两点，抛物线 y＝ ax2+bx+c 交 y 轴于点 C（0，﹣），交x轴正半轴于D点，抛物线的极点为M．（1）求抛物线的分析式；（2）设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求△PAB的面积及点 P的坐标；（ 3）若点Q为x轴上一动点，点N 在抛物线上且位于其对称轴右边，当△QMN与△ MAD 相像时，求N点的坐标．解：（ 1）将点B（ 4，m）代入y＝x+，∴ m＝，将点 A（﹣1，0）， B（4，），C（0，﹣）代入y＝ax2+bx+c，解得 a＝，b＝﹣1，c＝﹣，∴函数分析式为 y＝ x2﹣ x﹣；（ 2）设P（n，n2﹣n﹣），则经过点 P 且与直线 y＝ x+垂直的直线分析式为y＝﹣2x+n2+n﹣，直线 y＝x+与其垂线的交点G（n2+ n﹣，n 2+ n+），∴ GP＝（﹣ n2+3n+4），当 n＝时， GP最大，此时△ PAB的面积最大，∴P（，），∵AB＝，PG＝，∴△ PAB的面积＝××＝；（3）∵M（ 1，﹣ 2），A（﹣ 1， 0），D（ 3，0），∴ AM＝2， AB＝4， MD＝2，∴△ MAD是等腰直角三角形，∵△ QMN与△ MAD相像，∴△ QMN是等腰直角三角形，设 N（t ，t 2﹣ t ﹣）①如图 1，当MQ⊥QN时，N（ 3， 0）；②如图 2，当QN⊥MN时，过点N作 NR⊥ x 轴，过点 M作 MS⊥ RN交于点 S，∵QN＝MN，∠ QNM＝90°，∴△ MNS≌△ NMS（ AAS）∴﹣ 1＝﹣t 2+ + ，t t ∴ t ＝±，∴ t ＞1，∴ t ＝，∴N（，1﹣）；③如图 3，当QN⊥MQ时，过点Q作x轴的垂线，过点N作NS∥x轴，过点N作NR∥x轴，与过 M点的垂线分别交于点S、 R；∵QN＝MQ，∠MQN＝90°，∴△ MQR≌△ QNS（ AAS），∴ SQ＝QR＝2，∴ t +2＝1+t 2﹣ t ﹣，∴t ＝5，∴N（5，6）；④如图 4，当MN⊥NQ时，过点M作 MR⊥ x 轴，过点 Q作 QS⊥ x 轴，过点N 作x轴的平行线，与两垂线交于点、；R S∵QN＝MN，∠MNQ＝90°，∴△ MNR≌△ NQS（ AAS），∴ SQ＝RN，∴ t 2﹣ t ﹣＝ t ﹣1，∴ t ＝2±，∵ t ＞1，∴ t ＝2+，∴N（2+， 1+）；综上所述： N（3，0）或 N（2+， 1+）或 N（5，6）或 N（，1﹣）．4．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个极点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线的分析式为y＝ ax2+bx．（ 1）如图 1，若抛物线经过A，D两点，直接写出 A 点的坐标（4，8）；抛物线的对称轴为直线6；（ 2）如图 2：①若抛物线经过A、C两点，求抛物线的表达式．②若点 P 为线段 AB上一动点，过点P 作 PE⊥ AB交 AC于点 E，过点 E 作 EF⊥AD于点 F交抛物线于点G．当线段 EG最长时，求点E的坐标；（ 3）若a ＝﹣ 1，且抛物线与矩形没有公共点，直接写出b的取值范围．ABCD解：（ 1）点A的坐标为：（ 4， 8）；函数的对称轴为：x＝（4+8）＝6；故答案为：（ 4，8）； 6；（ 2）①将点A、C的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝﹣，b＝4，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x；②由点 A、 C的坐标得，直线AC的表达式为： y＝﹣2x+16；设点 E（ x，﹣2x+16），则点 G（ x，﹣x2+4x），EG＝﹣x2+4x﹣（﹣2x+16）＝﹣x2+6x﹣16，当 x＝6时， EG由最大值为：2，此时点 E（2，4）；（ 3）若a＝﹣ 1，则抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+bx，当抛物线过点B和点 D时，抛物线与矩形有一个交点，将点 B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣ 16+4b，解得：b＝ 4，将点 D的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝9，故 b 的取值范围为：b＜4或 b＞9．5．如图，直线y ＝﹣1 与抛物线y＝﹣x2+6 ﹣5 订交于、D两点．抛物线的极点为，连x x A C结 AC．（ 1）求A，D两点的坐标；（ 2）点P为该抛物线上一动点（与点A、 D不重合），连结 PA、PD．①当点 P 的横坐标为 2 时，求△PAD的面积；②当∠ PDA＝∠ CAD时，直接写出点P的坐标．解：（ 1）联立方程组，解得，，，∴（1，0），（4，3），A D（ 2）①过P 作⊥轴，与订交于点，PE x AD E∵点 P的横坐标为2，∴P（2，3）， E（2，1），∴PE＝3﹣1＝2，∴＝3；②过点 D作 DP∥AC，与抛物线交于点P，则∠ PDA＝∠ CAD，∵y＝﹣ x2+6x﹣5＝﹣（ x﹣3）2+4，∴ C（3，4），设 AC的分析式为： y＝ kx+b（ k≠0），∵A（1，0），∴，∴，∴AC的分析式为： y ＝2x﹣2，设 DE的分析式为： y＝2x+n，把D（4，3）代入，得3＝8+n，∴n＝﹣5，∴DE的分析式为： y＝2x﹣5，联立方程组，解得，，，∴此时 P（0，﹣5），当 P 点在直线 AD上方时，延伸 DP，与 y 轴交于点 F，过 F 作 FG∥AC ，FG与 AD交于点 G，则∠ FGD＝∠ CAD＝∠ PDA，∴FG＝FD，设 F（0， m），∵ AC的分析式为： y＝2x﹣2，∴FG的分析式为： y＝2x+m，联立方程组，解得，，∴ G（﹣ m﹣1，﹣ m﹣2），∴FG＝，FD＝，∵ FG＝FD，∴＝，∴ m＝﹣5或1，∵ F 在 AD上方，∴ m＞﹣1，∴ m＝1，∴ F（0，1），设 DF的分析式为： y＝ qx+1（ q≠0），把 D（4，3）代入，得4q+1＝3，∴ q＝，∴DF的分析式为： y＝ x+1，联立方程组∴，，∴此时P 点的坐标为，综上， P 点的坐标为（0，﹣ 5）或．6．综合与研究如图，抛物线y＝ ax2+bx+c（ a≠0）经过点 A、 B、C，已知点 C（0，4），△ AOC∽△ COB，且，点 P 为抛物线上一点（异于A， B）（1）求抛物线和直线AC的表达式（2）若点P是直线AC上方抛物线上的点，过点P作PF⊥AB，与AC交于点E，垂足为F．当PE＝ EF时，求点 P 的坐标（ 3）若点为x 轴上一动点，能否存在点，使得由，，，四点构成的四边形为平M P B C P M行四边形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明原因解：（ 1），则OA＝4OC＝8，故点A（﹣8，0）；△ AOC∽△ COB，则△ ABC为直角三角形，2则 CO＝ OA?OB，解得： OB＝2，故点 B（2，0）；则抛物线的表达式为：y＝a（ x﹣2）（ x+8），将点 C的坐标代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+4；精选文档666AC的表达式为：y＝x+4；由点A、 C的坐标可得直线（ 2）设点P（ x，﹣x2﹣x+4），则点E（ x，x +4），PE＝ EF，即﹣x2﹣x+4﹣x﹣4＝x+4；解得： x＝﹣8（舍去）或﹣2，故点 P（﹣2，6）；2（ 3）设点P（m，n），n＝﹣m﹣m+4，点 M（s，0），而点 B、C的坐标分别为：（2，0）、（ 0， 4）；①当 BC是边时，点 B 向左平移2个单位向上平移 4 个单位获得C，相同点 P（ M）向左平移 2 个单位向上平移 4 个单位获得M（ P），即 m﹣2＝ s， n+4＝0或 m+2＝ s， n﹣4＝0，解得： m＝﹣6或﹣ 3，故点P的坐标为：（﹣6，4）或（﹣ 3，﹣ 4）或（﹣﹣3，﹣ 4）；②当BC是对角线时，由中点公式得：2＝m+s，n＝ 4，故点 P（﹣6，4）；综上，点 P 的坐标为：（﹣6，4）或（﹣3，﹣4）或（﹣﹣3，﹣4）．7．如图 1，抛物线y＝x2+mx+4m与 x 轴交于点 A（ x1，0）和点 B（ x2，0），与 y 轴交于点C，且 x1， x2知足 x12+x22＝20，若对称轴在y 轴的右边．（1）求抛物线的分析式．（2）如图 2，若点P为线段AB上的一动点（不与A、B重合），分别以AP、BP为斜边，在直线 AB的同侧作等腰直角三角形△ APM和△ BPN，试确立△ MPN最大时 P 点的坐标．（ 3）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当a≤ x1≤ a+2，x2≥时，均有y1≤ y2，求 a 的取值范围．解：（ 1）x1+x2＝﹣ 2m，x1x2＝8m，则 x12+x22＝（ x1+x2）2﹣2x1x2＝20，即（﹣ 2m）2﹣ 16m＝ 20，解得： m＝5（舍去）或﹣1；故抛物线的表达式为：y＝x2﹣ x﹣4；（2）令y＝0，则x＝﹣ 2 或 4，故点A、B的坐标分别为：（﹣ 2，0）、（ 4，0），则AB＝6；设： AP＝ a，则 PN＝6﹣ a，∠ MPN＝180°﹣∠ MPA﹣∠ NPB＝90°；S△＝×PN× PMMPN＝a××（6﹣a）＝a（6﹣ a）＝﹣（ a﹣3）2+；∴当a＝3时， S最大，此时△MPNOP＝1，故点P（1，0）；（ 3）函数的对称轴为x＝1，如图，x＝﹣2.5和 x＝对于函数对称轴对称，纵坐标均为，由图象看， a≥﹣且a+2≤，解得：﹣≤ a≤．8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的极点B， C， D 的坐标分别（1，0），（3，0），（ 3， 4），以A为极点的抛物线y＝ ax2+bx+c 过点 C．动点 P 从点 A出发，以每秒个单位的速度沿线段AD向点D 匀速运动，过点P 作PE⊥ x 轴，交对角线AC于点N．设点P运动的时间为t （秒）．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）若PN分△ ACD的面积为1： 2 的两部分，求t的值；（ 3）若动点P 从A 出发的同时，点Q 从 C出发，以每秒1 个单位的速度沿线段CD向点D匀速运动，点H为线段PE上一点．若以C，Q，N，H为极点的四边形为菱形，求 t的值．解：（ 1）∵四边形ABCD为矩形，且B（1，0）， C（3，0）， D（3，4），∴ A（1，4），设抛物线的分析式为y＝a（ x﹣1）2+4，将 C（3，0）代入 y＝ a（x﹣1）2+4，得 0＝4a+4，解得 a＝﹣1，∴抛物线的分析式为 y＝﹣（ x﹣1）2+4＝﹣ x2+2x+3；（2）∵PE⊥x轴，DC⊥x轴，∴ PE∥DC，∴△ APN∽△ ADC，∵ PN分△ ACD的面积为1：2的两部分，∴＝或，当＝时，＝＝，∵AD＝2，∴ AP＝，∴ t 的值为× 2＝；当＝时，＝＝，∵ AD＝2，∴ AP＝，∴ t 的值为× 2＝，综上所述，t 的值为或；（ 3）如图 2﹣ 1，当CN为菱形的对角线时，点 P，N的横坐标均为，设直线的分析式为y ＝+ ，AC kx b将 A（1，4）， C（3，0）代入 y＝ kx+b，得，解得，∴直线 AC的表达式为y＝﹣2x+6，将点 N的横坐标代入y＝﹣2x+6，得，即 EN＝4﹣ t ，由菱形 CQNH可得， CQ＝ NH＝ t ＝ CH，可得 EH＝（4﹣ t ）﹣ t ＝4﹣2t ，∵∴，，在 Rt △CHE中，222∵ CE+EH＝ CH，∴，解得， t 1＝，t2＝4（舍）；如图 2﹣ 2，当CN为菱形的边时，由菱形 CQHN可得， CQ＝ CN＝ t ，在 Rt △CNE中，222∵ NE+CE＝ CN，∴（ 4﹣t）2+（ 2﹣t ）2＝ t 2，解得， t 1＝20﹣8， t 2＝20+8（舍）；综上所述，t的值为或．9．如图1，过原点的抛物线与x 轴交于另一点A，抛物线极点 C 的坐标为，其对称轴交 x 轴于点 B．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）如图2，点D为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右边的一个动点，求使△ACD 面积最大时点D的坐标；（ 3）在对称轴上能否存在点P，使得点 A对于直线OP的对称点 A'知足以点 O、A、C、A'为极点的四边形为菱形．若存在，恳求出点P的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）设抛物线分析式为y＝ a（ x﹣ h）2+k，（ a≠0）∵极点，∴，又∵图象过原点，∴，解出：，∴，即；（ 2）令y＝ 0，即，解得： x1＝0， x2＝4，∴ A（4，0），设直线 AC的分析式为y＝kx+b，将点 A（4，0），代入，得，精选文档666解得，∴直线AC的分析式为y＝﹣x+4，过点D作DF∥ y 轴交AC于点F，设，则，∴，∴＝，∴当m＝3时， S△ACD有最大值，当 m＝3时，，∴；（ 3）∵∠CBO＝∠CBA＝ 90°，OB＝AB＝ 2，∴，，∴OA＝OC＝ AC＝4，∴△ AOC为等边三角形，①如图 3﹣ 1，当点P在C时，OA＝AC＝CA'＝OA' ，∴四边形 ACA'O是菱形，∴；②作点 C对于 x 轴的对称点 C'，当点 A'与点 C'重合时， OC＝ AC＝AA'＝ OA'，∴四边形 OCAA'是菱形，∴点 P是∠ AOA'的角均分线与对称轴的交点，记为P2，∴，∵∠2＝ 90°，＝2，OBP OB22∴ OP＝2BP，∵∠2＝ 90°，＝2，OBP OB∴OP2＝2BP2，设 BP＝ x，2∴ OP＝2x，2又∵，∴（ 2x）2＝22 +x2，解得或，∴；综上所述，点P的坐标为或．10．已知二次函数与x轴交于A、B（A在B的左边）与y 轴交于点 C，连接 AC、BC．（ 1）如图 1，点P是直线BC上方抛物线上一点，当△ PBC面积最大时，点M、N分别为x、y 轴上的动点，连结PM、PN、 MN，求△ PMN的周长最小值；（ 2）如图 2，点C对于x轴的对称点为点E，将抛物线沿射线AE的方向平移获得新的拋物线 y'，使得 y'交 x 轴于点 H、B（ H在 B 的左边）．将△ CHB绕点 H 顺时针旋转90°至△C' HB'．抛物线 y'的对称轴上有一动点 S，坐标系内能否存在一点 K，使得以 O、C'、K、S 为极点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点K 的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）如图 1，A（﹣ 2， 0），B（ 8， 0），C（ 0， 4），∴直线的分析式为，BC过点 P作 y 轴平行线，交线段BC于点 Q，设，∴＝，∵ 0＜m＜ 8，∴ P（4，6）．作 P 点对于 y 轴的对称点P1，P 点对于 x 轴的对称点 P2，连结 P1P 2交 x 轴、y 轴分别为 M，，N此时△的周长最小，其周长等于线段P1P2的长；PMN∵ P1（﹣4，6）， P2（4，﹣6），∴．（ 2）如图 2 中，∵ （ 0，﹣ 4），平移后的抛物线经过，，E E B∴抛物线的分析式为y ＝﹣x2+bx﹣ 4，把（ 8， 0）代入获得b＝4，B∴平移后的抛物线的分析式为y＝﹣x+4x﹣4＝﹣（x﹣2）（x﹣8），令 y＝0，获得 x＝2或8，∴ H（2，0），∵△ CHB绕点 H顺时针旋转90°至△ C′ HB′，∴C′（6，2），当 OC′＝ C′ S时，可得菱形 OC′S1 K1，菱形 OC′ S2K2，∵ ′＝′＝＝2，OC CS∴可得 S1（5，2﹣）， S2（5，2+），∵点 C′向左平移一个单位，向下平移获得 S1，∴点 O向左平移一个单位，向下平移个单位获得K1，∴K1（﹣1，﹣），同法可得K2（﹣1，），当′＝时，可得菱形′，菱形′，OC OS OC K3S3OC K4S4同法可得 K3（11，2﹣），K4（11，2+），当 OC′是菱形的对角线时，设2222，S5（5， m），则有 5 +m＝1 +（2﹣ m）解得 m＝﹣5，∴ S5（5，﹣5），∵点O向右平移5 个单位，向下平移 5 个单位获得S5，∴ C′向上平移 5 个单位，向左平移 5 个单位获得K5，∴ K5（1，7），综上所述，知足条件的点K的坐标为（﹣1，﹣）或（﹣ 1，）或（ 11，2﹣）或（ 11， 2+）或（ 1，7）．11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（ a≠0）与 x 轴交于 A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y 轴交于点 C．（1）求该抛物线的分析式；（2）如图①，若点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为 m（0＜ m＜3），连结 CD、BD、 BC、 AC，当△ BCD的面积等于△ AOC面积的2倍时，求 m的值；（ 3）若点N为抛物线对称轴上一点，请在图②中研究抛物线上能否存在点M，使得以 B，C，M，N为极点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出全部知足条件的点M的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）把（﹣ 1，0），（ 3，0）代入y ＝ax2+bx+2 中，得：，解得：，A B∴抛物线分析式为；（ 2）过点D作y轴平行线交BC于点 E，把 x＝0代入中，得：y＝2，∴ C点坐标是（0，2），又 B（3，0）∴直线的分析式为，BC∵∴∴＝，由S ＝2S 得：△BCD△AOC∴，2整理得： m ﹣ 3m +2＝ 0解得： m ＝ 1， m ＝ 212∵ 0＜ m ＜ 3∴ m 的值为 1 或 2；（ 3）存在，原因：设：点的坐标为：（ ， ）， ＝﹣2+x +2，点 （ 1， ），点 （ 3， 0）、 （ 0， 2），M m nnxNsBC①当是平行四边形的边时，BC当点 C 向右平移 3 个单位，向下平移 2 个单位获得 ，B相同点 M （ N ）向右平移 3 个单位，向下平移 2 个单位 N （ M ），故： m +3＝ 1， n ﹣ 2＝ s 或 m ﹣ 3＝ 1， n +2＝ s ，解得： m ＝﹣ 2 或 4，故点M 坐标为：（﹣ 2，﹣）或（4，﹣）；②当BC 为对角线时，由中点公式得：m +1＝ 3，n +3＝ 2，解得： m ＝ 2，故点M （ 2，2）；综上， M 的坐标为：（ 2，2）或（﹣2，）或（ 4，）．12．已知抛物线 y ＝ax 2﹣ 2ax +3 与 x 轴交于点 A 、 B （ A 左 B 右），且 AB ＝4，与 y 轴交于 C 点．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）如图，证明：对于随意给定的一点 P （0， b ）（ b ＞ 3），存在过点 P 的一条直线交抛物线于 M 、 N 两点，使得 PM ＝ MN 建立；（ 3）将该抛物线在 0≤ x ≤ 4 间的部分记为图象 G ，将图象 G 在直线 y ＝ t 上方的部分沿 y＝ t 翻折，其他部分保持不变，获得一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为，最m小值为 n ，若 m ﹣ n ≤ 6，求 t 的取值范围．解：（ 1）抛物线y＝ax2﹣ 2ax+3 的对称轴为x＝1，又AB＝4，由对称性得A（﹣ 1，0）、B （ 3， 0）．把 A（﹣1，0）代入 y＝ ax2﹣2ax+3，得 a+2a+3＝0，∴ a＝﹣1．∴抛物线的分析式为 y＝﹣ x2+2x+3．（2）如图，过M作GH⊥x轴，PG∥x轴，NH∥x轴，由 PM＝MN，则△ PMG≌△ NMH（ AAS），∴PG＝NH， MG＝MH．22设 M（m，﹣ m+2m+3），则 N（2m，﹣4m+4m+3），∵ P（0， b）， GM＝ MH，∴y G+y H＝2y M，222即 b+（﹣4m+4m+3）＝2（﹣ m+2m+3），∴2m＝ b﹣3，∵ b＞3，∴对于 m的方程总有两个不相等的实数根，此即说了然点M、 N存在，并使得PM＝MN．证毕；（ 3）图象翻折前后如右图所示，其极点分别为D（1，4）、 D′（1，2t ﹣4）．①当 D′在点 H（4，﹣5）上方时，2t﹣ 4≥﹣ 5，∴t≥﹣，此时， m＝ t ， n＝﹣5，∵ m﹣ n≤6，∴ t +5≤6，∴ t ≤1，∴﹣≤ t ≤1；②当点 D′在点 H（4，﹣5）下方时，同理可得： t ＜﹣，m＝t，n＝2t﹣4，由 m﹣n≤6，得 t ﹣（2t ﹣4）≤6，∴ t ≥﹣2，∴﹣2≤t＜﹣．综上所述，t的取值范围为：﹣2≤t≤ 1．y 轴交于13．如图，抛物线y＝ ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝1，与x 轴交于A，B两点，与点 C，点A 的坐标为（﹣2，0），点P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD⊥ x 轴于点D，E．交直线BC于点（1）求抛物线分析式；（2）若点P在第一象限内，当OD＝ 4PE时：①求点 D、 P、 E的坐标；②求四边形 POBE的面积．（3）在（ 2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，能否存在这样的点 M和点 N，使得以点 B， D， M，N为极点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 N的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）∵抛物线y＝ ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝1， A（﹣2，0）在抛物线上，∴x ＝﹣＝ 1，解得：a＝，b＝﹣，抛物线分析式为y＝x2﹣x﹣2；（ 2）令y＝x2﹣x﹣2＝0，（ x﹣4）（ x+2）＝0，解得： x1＝﹣2， x2＝4，当 x＝0时， y＝﹣2，由 B（4，0）， C（0，﹣2），得，直线BC的表达式为： y＝x﹣2设 D（m，0），∵ DP∥ y 轴，∴ E（ m，m﹣2）， P（ m，m2﹣ m﹣2），∵ OD＝4PE，2m﹣2﹣ m+2），∴ m＝4（ m﹣∴ m＝5， m＝0（舍去），∴ D（5，0）， P（5，），E（5，），∴四边形 POBE的面积＝ S△OPD﹣ S△EBD＝× 5×﹣× 1×＝；（ 3）存在，设M（ n，n ﹣2），①以 BD为对角线，如图1，∵四边形 BNDM是菱形，∴MN垂直均分 BD，∴n＝4+，∴M（，），∵M，N对于 x 轴对称，∴N（，﹣）；②以BD为边，如图2，∵四边形 BDMN是菱形，∴MN∥BD， MN＝BD＝ MD＝1，过 M作 MH⊥ x 轴于 H，222∴ MH+DH＝ DM，即（n﹣2）2+（ n﹣5）2＝12，∴n1＝4（不合题意）， n2＝5.6，∴N（4.6，），同理（n ﹣ 2）2+（4﹣）2＝ 1，n∴ n1＝4+（不合题意，舍去），n2＝4﹣，∴N（5﹣，﹣），③以 BD为边，如图3，过 M作 MH⊥ x 轴于 H，∴2+2＝2，MH BH BM即（n﹣2）2+（ n﹣4）2＝12，∴ n1＝4+， n2＝4﹣（不合题意，舍去），∴N（5+，），综上所述，点 N坐标为：（）或（，）或（ 5﹣，）或（5+，）．14．如图，矩形中，为原点，点A 在y轴上，点C在x轴上，点B的坐标为（ 4，3），OABC O抛物线y ＝﹣x2+ +与y轴交于点，与直线AB交于点，与x轴交于，两点．bx c A D C E（ 1）求抛物线的表达式；（ 2）点P 从点C出发，在线段上以每秒 1 个单位长度的速度向点B运动，与此同时，CB点Q 从点A出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点C运动，当此中一点抵达AC终点时，另一点也停止运动．连结、、，设运动时间为t （秒）．DP DQ PQ①当 t 为什么值时，△ DPQ的面积最小？②能否存在某一时辰t ，使△ DPQ为直角三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明原因．解：（ 1）点A（ 0， 3），点C（ 4， 0），将点 A、 C的坐标代入抛物线表达式，解得：b＝，c＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；（ 2）y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣4）（x+2），故点E（﹣2，0）；抛物线的对称轴为：x＝1，则点 D（2，3），由题意得：点Q（t ，3﹣ t ），点 P（4， t ），①△ DPQ的面积＝ S△ABC﹣（ S△ADQ+S△PQC+S△BPD）＝3×4﹣ [2 ×t +2（ 3﹣t）+（ 5﹣）× t ×]＝ t 2﹣2t ．∵＞ 0，故△的面积有最小值，此时，t ＝；DPQ②点（ 2， 3），点（t ， 3﹣），点（4，），D Q t P t （Ⅰ）当是斜边时，如图1，PQ过点作⊥于点，则＝，＝2﹣t ，＝ 4﹣ 2＝2，＝3﹣，Q QM ABMMQ t MD BD PBt则 tan ∠MQD＝ tan ∠BDP，即，解得：t＝（舍去）；（Ⅱ）当 PD为斜边时，过点 Q作 y 轴的平行线交AB于点 N，交过点 P 于 x 轴的平行线于点M，则 ND＝2﹣t ， QN＝ t ，MP＝4﹣t ， QM＝3﹣ t ﹣ t ＝3﹣2t ，同理可得：，解得： t ＝或；（Ⅲ）当 QD为斜边时，同理可得：故t ＝；综上， t ＝或或或．15．如图，已知抛物线y＝ ax2+bx+3经过点 A（﹣1，0）、B（3，0），且与 y 轴交于点 C，抛物线的极点为D，连结 BD，点 P 是线段 BD上的一个动点（不与B、 D）重合．（ 1）求抛物线的分析式，并写出极点D的坐标；（ 2）过点P 作⊥轴于点，求△面积的最大值及获得最大值时P点的坐标；PE y E PBE（3）在（ 2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断能否存在这样的点 M，使得以点 B， P， M， N为极点的四边形是平行四边若存在，请直接写出点 M 的坐标：若不存在，请说明原因．解：（ 1）∵二次函数y＝ ax2+bx+3经过点 A（﹣1，0）、B（3，0）∴因此二次函数的分析式为：y＝﹣ x2+2x+3∵ y＝﹣ x2+2x+3＝﹣（ x﹣1）2+4∴ D的坐标为（1，4）；（ 2）设BD的分析式为y＝ kx+b∵过点 B（3，0）， D（1，4）∴解得BD的分析式为y＝﹣2x+6设 P（m，﹣2m+6），∵ PE⊥y 轴于点 E，∴ PE＝m，△ BPE的 PE边上的高 h＝﹣2m+6，∴ S ＝×PE× h＝ m（﹣2m+6）△BPE2＝﹣ m+3m＝，∵ a＝﹣1＜0，∴当 m＝时△ BPE的面积获得最大值为，当 m＝时， y＝﹣2×+6＝3，∴ P 的坐标是（，3）；2（ 3）设点M（s， 0），点N（m，n），n＝﹣m+2m+3，①当 BP是边时，点 P 向右平移个单位向下平移 3 个单位获得B，同理点 M（ N）向右平移个单位向下平移 3 个单位获得N（ M），即 s＝m，0± 3＝n，解得： s＝﹣或或；②当 PB为对角线时，m+s＝3+，n＝3，解得： s＝或，故： M点的坐标为：；；；；；．。
山西省2020年九年级数学中考复习：二次函数考点总结
二次函数➢考情分析：重点：二次函数的概念；二次函数的图象及性质（顶点坐标，对称轴，与x、y 轴的交点，最大(小)值，增减性等）；二次函数解析式的三种形式；抛物线的平移规律；二次函数与一元二次方程的关系,用二次函数模型解决生活实际问题。
难点：中考压轴题二次函数与几何综合，常考查函数解析式、交点坐标、图形面积或周长、存在性问题、图形的平移、对称、旋转等，其综合性强，难度大，是“数”与“形”的相互结合，相互渗透.易错点：计算线段、面积时没有注意坐标的正负;分类讨论忽视条件漏算.中考命题：➢学情分析二次函数是初中阶段函数中的重要函数，它承接一次函数、反比例函数，是对函数的延伸。
在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用；也是全国中考的重点及热点内容。
特别是二次函数和几何结合作为中考的压轴题，综合性高，难度大。
一、二次函数的概念（同步第一课时）➢学习目标：重点：理解二次函数得概念难点：从实际生活中建立二次函数模型易错点：没有化成一般形式；分母不能含有字母；a≠0中考考点：和知识点三结合求二次函数解析式（一）知识点y= ax2(a，b，c是常数，a≠0) 的函数叫做二次函数，1、一般地，形如+ bx+c其中，X是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.注意：（1）a ≠0，b 、c 可以为0（可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项）； （2）x 的最高次数是2；（3）代数式一定是整式（除数中不能含有字母）；（4）x 取全体实数，实际问题x 需要根据题意确定.（二）例题讲解1.下列函数，① 2-x y = ② 3222+x-x y= ③25100x -y = ④3-5x -2x y 32+=⑤223x ）（x y -+=⑥210r v ∏= 其中是y 关于x 的二次函数的有：_________________．2.二次函数7x -2x y 2+=的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ） A.3 B.5 C.-3和5 D.3和-5 3. 若函数-mm ）x -（m y 212=为二次函数，求m 的值.（三）方法总结判断一个函数是不是二次函数，先把它化为一般式，再根据定义判断二、二次函数的图象和性质 ➢ 考情分析：重点：二次函数的图象和性质；二次函数平移规律难点：选择合适的自变量画函数图象，运用合情推理探索二次函数的性质 易错点：平移没有化成顶点式中考考点：二次函数图象和性质的综合运用（一）知识点 2要点诠释：a 决定了函数的开口的方向和幅度，a 的绝对值越大开口越小。
2020年中考数学二轮重难题型突破六二次函数与三角形相似问题
精选文档 666种类六 二次函数与三角形相像问题例 1、如图 1 ，已知抛物线的极点为A （ 2， 1 ），且经过原点 O ，与 x 轴的另一个交点为B 。
⑴求抛物线的分析式； （用极点式 求得抛物线的分析式为y1 x2 x ）．．．4⑵若点 C 在抛物线的对称轴上，点 D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为极点的四边形为平行四边形，求 D 点的坐标；⑶连结 OA 、AB ，如图 2，在 x 轴下方的抛物线上能否存在点P ，使得△ OBP 与△ OAB 相似？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明原因。
yyAAOBOBxx图1例1题图图2【答案】 解:⑴由题意可设抛物线的分析式为y a( x2)2 1∵抛物线过原点，∴ 0a(0 2) 2 11∴ a.4抛物线的分析式为 1 212y( x 2)1 即xx4, y4y⑵如图 1, 当 OB 为边即四边形 OCDB 是平行四边形时∥A,CD ＝OB,由 01( x2)21 得 x 1 0, x2 4 ,OB4∴ B (4,0),OB ＝ 4.∴D 点的横坐标为 6将 x ＝ 6 代入 y1(x 2)21,得 y ＝－ 3,C图 14∴D(6, － 3);依据抛物线的对称性可知 ,在对称轴的左边抛物线上存在点D, 使得四边形 ODCB 是平行四边形,此时 D 点的坐标为 ( －2,－ 3),当 OB 为对角线即四边形OCBD 是平行四边形时 ,D 点即为 A 点 ,此时 D 点的坐标为 (2,1)⑶如图 2 ，由抛物线的对称性可知:AO ＝ AB, ∠ AOB ＝∠ ABO.xD精选文档 666若△ BOP 与△ AOB 相像 ,一定有∠ POB ＝∠ BOA ＝∠ BPO设 OP 交抛物线的对称轴于A ′点 ,明显 A ′(2,－1)y1 x ∴直线 OP 的分析式为 yA2B11 x2 x , O由x24A'得 x 1 0, x 26.∴ P(6, －3)图 2过 P 作 PE ⊥ x 轴 ,在 Rt △BEP 中 ,BE ＝ 2,PE ＝ 3,∴PB ＝ 13 ≠4.∴PB ≠OB, ∴∠ BOP ≠ ∠BPO,∴△ PBO 与△ BAO 不相像 ,同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在切合条件的P 点 .所以在该抛物线上不存在点 P,使得△ BOP 与△ AOB 相像 .例 2、已知抛物线yax 2，，53， 及原点 O(0，0) ．bx c 经过 P( 3 3)E2（1 ）求抛物线的分析式． （由一般式 得抛物线的分析式为y2 x 2 5 3x ）．．．33（2 ）过 P 点作平行于x 轴的直线 PC 交 y 轴于 C 点，在抛物线对称轴右边且位于直线 PC下方的抛物线上， 任取一点 Q ，过点 Q 作直线 QA 平行于 y 轴交 x 轴于 A 点，交直线 PC 于B 点，直线 QA 与直线 PC 及两坐标轴围成矩形 OABC ．能否存在点 Q ，使得 △OPC 与△ PQB 相像？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，说明原因．（ 3 ）假如切合（ 2）中的 Q 点在 x 轴的上方，连结 OQ ，矩形 OABC 内的四个三角形△ OPC ，△ PQB ，△OQP ，△ OQA 之间存在如何的关系？为何？yCPBQ OEAExPx【答案】解：（ 1）由已知可得：3a 3b 375 a 5 3 b 0 解之得， a 2， b5 3， c0 ．4 2 33c 0因此得，抛物线的分析式为：y2 x 2 5 3x ．3 3（2 ）存在．设 Q 点的坐标为 (m ， n) ，则 n2 m 2 53 m ，3 3BQPB3 nm33 2 m 25 3 mm 3要使 △OCP ∽△ PBQ ,，则有33CP OC3，即333解之得， m 1 2 3，m 22 ．当 m2 3 时， n 2 ，即为 Q 点，所以得 Q(2 3，2)1BQ PB3 nm33 2 m 25 3 mm 3要使 △OCP ∽△ QBP ,，则有33OCCP3，即333解之得， m 1 3 3，m 2 3 ，当 m 3 时，即为 P 点，当m 1 3 3 时， n 3，所以得 Q(3 3， 3) ．故存在两个 Q 点使得 △OCP 与 △ PBQ 相像．Q 点的坐标为 (2 3，2)，(3 3， 3)．（3 ）在 Rt △OCP 中，由于 tanCOPCP 3 ．所以 COP 30o ．OC 3当 Q 点的坐标为 (2 3，2) 时， BPQ COP 30o ．所以 OPQOCP BQAO90o ．所以， △OPC ，△ PQB ，△OPQ ，△ OAQ 都是直角三角形．又在 Rt △ OAQ 中，由于 tan QOAQA 3 ．所以 QOA 30o ． AO3即有POQ QOA QPB COP30o ．所以 △OPC ∽△ PQB ∽△ OQP ∽△ OQA ，又由于 QP ⊥ OP ， QA ⊥ OA POQAOQ30o ，所以 △OQA ≌△ OQP ．例 3、如图，四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点 A 在 x 轴上，点C 在 y 轴上，将边 BC 折叠，使点 B 落在边 OA 的点D 处。
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3k b 2
k 2
b 4
, 解得：
b
, 4
∴直线 PC 的解析式为 y＝2x－4.
将 y＝2x－4 代入抛物线解析式得：2x－4 ＝－4x2＋24x－4，解得：x＝0 或 x＝7，∴P(7，
55
2
2
3)．
综上所述，△MDE 能成为等腰直角三角形，此时点 P 的坐标为(7，3)． 2
例 3、如图①，抛物线 y＝ax2＋bx＋4 交 x 轴于 A、B 两点(点 A 在点 B 左侧)，交 y 轴于点 C，
第 3 题图 【解析】 解：(1)∵抛物线 y＝ax2＋bx＋4 与 y 轴交于点 C， ∴点 C 的坐标为(0，4)．
∵CO＝BO＝2AO，
∴点 A 的坐标为(－2，0)，点 B 的坐标为(4，0)， 将点 A、B 的坐标分别代入抛物线解析式得
4a 2b 4 0
16a
4b
4
ห้องสมุดไป่ตู้
, 0
解得
a b
∴M(－1，2)．
(3)设 P(－1，t)，结合 B(－3，0)，C(0，3)，得 BC2＝18，
PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.
1 若 B 为直角顶点，则 BC2＋PB2＝PC2，即 18＋4＋t2＝t2－6t＋10，
解得 t＝－2；
②若 C 为直角顶点，则 BC2＋PC2＝PB2，即 18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得 t＝4；
4
开始沿射线 FC 平移，同时点 P 从 C 开始沿折线 CO－OB 运动，且点 P 的运动速度为四边 形 BOGF 平移速度的 2倍，当点 P 到达 B 点时，四边形 BOGF 停止运动，设四边形 BOGF 平移过程中对应的图形为 B1O1G1F1，当△PFF1 为等腰三角形时，求 B1F 的长度．
第 4 题解图①第 4 题解图②第 4 题解图③
S＝S△CAB＋S△PAB＝12×3×(3＋1)＋12×(3＋1)×(m2－2m－3)＝2m2－4m，
∵S＝52S△BCD，
∴2m2－4m＝15， 2
整理得 4m2－8m－15＝0，解得 m1＝2＋ 19，m2＝2－ 19(舍去)，
2
2
∴P 点坐标为(2＋ 19，3)； 24
当点 P 在 x 轴下方时，即 1<m<3，如解图②，连接 OP，
S＝S△AOC＋S△COP＋S△POB＝12×3×1＋12×3×m＋12×3×(－m2＋2m＋3)＝－32m2＋92m＋6，
∵S
＝5S△BCD， 2
∴－3m2＋9m＋6＝15，
22
2
整理得 m2－3m＋1＝0，解得 m1＝3＋ 5，m2＝3－ 5(舍去)，
1
1 2
,
∴抛物线的解析式为 y＝－1x2＋x＋4. 2
(2)∵点 A(－2，0)，点 B(4，0)，点 C(0，4)，
∴直线 AC 的解析式为 y＝2x＋4，直线 BC 的解析式为 y＝－x＋4. 设点 Q 的坐标为(q，－1q2＋q＋4)，
2 ∵QE∥AC，过点 E 作 EF⊥QM 于点 F，如解图，
6
此时
B1F＝B1F1－FF1＝7
2； 3
(iii)当 F1F2＝PF12 时，2t2＝10t2－8t＋2，
解得 t1＝t2＝12，
此时 B1F＝522；
②当点 P 在 OB 上，此时 2<t≤4，
当 2<t<3 时，点 B1 在 BF 上，当 3<t≤4 时，点 B1 在 BF 的延长线上．
此时点 P 的坐标是(2t－4，0)，
63 63 6
3
根据二次函数最值性质可知，当 q＝2 时，EF 最大，为2. 3
此时点 Q 的坐标为(2，4)，L＝3EF＋ 2EF＋ 5EF＝2(3＋ 2＋ 5)． 3
(3)由(2)知点 Q 的坐标为(2，4)，则直线 QA 的解析式为 y＝x＋2，
∴AQ⊥BC 于 F，且点 F 的坐标为(1，3)．
则EF＝AO＝1，QE＝AC＝ 5， QF OC 2 EF AO
∴QF＝2EF，QE＝ 5EF，
第 3 题解图
5
在 Rt△EFM 中，易得∠FEM＝∠FME＝∠MBN＝45°，
∴EM＝ 2EF，EF＝MF，
∴QM＝3EF，
∴当 EF 最大时，△EQM 的周长最大，
∵直线 AC 的解析式为 y＝2x＋4，直线 QE∥AC，
55 ∴点 C 的坐标为(0，－4)， 设过点 B，C 两点的直线的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，
则有
b 4 5k b
, 0
解得
k b
4 5, 4
∴直线 BC 的解析式为 y＝4x－4， 5
由于 PA∥BC，设 AP 的解析式为 y＝4x＋m，代入点 A(1，0)，解得 m＝－4，
5
5
∴直线 AP 的解析式为 y＝4x－4， 55
∴设直线 QE 的解析式为 y＝2x＋t，
将 Q 点坐标代入得，t＝－1q2－q＋4， 2
∴直线 QE 的解析式为 y＝2x＋(－1q2－q＋4)， 2
与直线 BC 联立解得点 E 的坐标为(1q2＋1q，－1q2－1q＋4)． 63 63
∴EF＝q－1q2－1q＝－1q2＋2q＝－1(q－2)2＋2，
在△PFF1 中，∠PFF1>90°，若△PFF1 是等腰三角形，
则只能是 PF＝FF1，
即(2t－4－1)2＋9＝2t2，解得 t1＝5－2 2，t2＝5＋2 2(舍)，
此时 t＝5－2 2<3，
∴B1F＝B1F1－FF1＝3 2－(5－2 2)× 2＝4－2 2.
综上所述，当△PFF1 为等腰三角形时，B1F 的长度为 2
与△BEQ 的重叠部分图形为直角三角形，若存在，请求出 BQ 的长；若不存在，请说明理由．
【解析】解：(1)∵点 A 与点 B 关于直线 x＝1 对称，
7
∴B(3，0)， 设抛物线的解析式为 y＝a(x＋1)(x－3)， 把 C(0，－3)代入得－3a＝－3，解得 a＝1， ∴抛物线的解析式为 y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3， ∵y＝(x－1)2－4， ∴抛物线顶点 D 的坐标为(1，－4)． (2)设 P(m，m2－2m－3)，易得直线 BC 的解析式为 y＝x－3， 当 x＝1 时，y＝1－3＝－2，则 E(1，－2)， ∴S△BDC＝S△BDE＋S△CDE＝12×2×(1＋2)＝3， 当点 P 在 x 轴上方时，即 m>3，如解图①，
联立方程组得
y
4 5
x
4 5
, 解得：
y
4 5
x2
24 5
x
4
x1
y1
1
, 0
x2 y2
4 12 , 5
∴P 点的坐标为(4，12)． 5
(3)△MDE 能成为等腰直角三角形，理由：
∵抛物线 y＝－4x2＋24x－4＝－4(x－3)2＋16，
55
5
5
∴对称轴是直线 x＝3.
∴M(3，0)．
①当∠MED＝90°时，点 E，B，M 在一条直线上，此种情况不成立；
②同理：当∠MDE＝90°时，不成立；
3
③当∠DME＝90°时，如解图②所示，
设直线 PC 与对称轴交于点 N，
∵EM⊥DM，MN⊥AM，
∴∠EMN＝∠DMA.
∵∠MDE＝45°，∠EDA＝90°，
∴∠MDA＝135°.
∵∠MED＝45°，
连接 AC、BC，其中 CO＝BO＝2AO.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 Q 为直线 BC 上方的抛物线上一点，过点 Q 作 QE∥AC 交 BC 于点 E，作 QN⊥x 轴于
点 N，交 BC 于点 M，当△EMQ 的周长 L 最大时，求点 Q 的 坐标及 L 的最大值；
(3)如图②，在(2)的结论下，连接 AQ 分别交 BC 于点 F，交 OC 于点 G，四边形 BOGF 从 F
称轴与 x 轴交于点 M.P 是抛物线在 x 轴上方的一个动点(点 P、M、C 不在同一条直线上)． (1)求点 A，B 的坐标； (2)连接 AC、PB、BC，当 S△PBC＝S△ABC 时，求出此时点 P 的坐标； (3)分别过点 A、B 作直线 CP 的垂线，垂足分别为点 D、E，连接 MD、ME.问△MDE 能否 为等腰直角三角形？若能，求此时点 P 的坐标；若不能，说明理由．
∴∠NEM＝135°，
∴∠ADM＝∠NEM＝135°.
EMN DMA
在△ADM 与△NEM 中， EM DM
,
ADM NEM
∴△ADM≌△NEM(ASA)．
∴MN＝MA＝2，
∴N(3，2)．
设直线 PC 的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，将点 N(3，2)，C(0，－4)代入直线的解析式得：
3m n 0 m 1
n 3
,
解得
n
, 3
∴直线 BC 的解析式为 y＝x＋3.
(2)如解图，设直线 BC 与对称轴 x＝－1 的交点为 M，连接 MA，
∴MA＝MB，
∴MA＋MC＝MB＋MC＝BC.
∴使 MA＋MC 最小的点 M 应为直线 BC 与对称轴 x＝－1 的交点．
1
把 x＝－1 代入直线 y＝x＋3，得 y＝2.
【解析】解：(1)依题意，得
a
b
2a b
1 c
0
，解得
a b
1 2,
c 3
c 3
∴抛物线的解析式为 y＝－x2－2x＋3.
∵对称轴为 x＝－1，抛物线经过 A(1，0)，
∴B(－3，0)．
设直线 BC 的解析式为 y＝mx＋n(m≠0)，