第二章 连续系统的时域分析

c2 du 2 (t ) u1 (t ) − u 2 (t ) = R2 dt
du (t ) 整理方程组得：d 2u2 (t ) + 7 2 + 6u2 (t ) = 6e(t ) dt 2 dt 特征方程：a2+7a+6=0 特征根：a=-1, a=-6 齐次解：rh(t) = A1e-t +A2e-6t
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第二章 连续系统的时域分析
② 选定特解后，将它代入到原微分方程，即得到一个由 yh(t)及其各阶导数以及激励共同组成的一个非齐次微 分方程，依据此方程求出待定系数，然后可确定方程 的特解。
3. 求系统的全响应y(t)
y(t)＝方程的全解y(t)＝齐次解yh(t) + 特解 yP(t)
＝自由响应+强迫响应 将上面方程的全解代入系统的初始条件即可得齐次解中 的待定系数，从而进一步得到系统的全响应。此时， 方程的齐次解yh(t)为系统的自由响应，特解yP(t)为系 统的强迫响应（固有响应）。
解: 由原方程可得
dh 2 (t ) dh(t ) +3 + 2h(t ) = 2δ ′(t ) + 3δ (t ) 2 dt dt
(t ≥ 0)
特征方程: λ2+3λ+2 = 0 特征根: λ1= -1，λ2= -2，且n > m
h (t ) = Ae − t u (t ) + e −2 t (t ) u(t)
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第二章 连续系统的时域分析
式中A、B为待定系数，将h(t)代入原方程 式，解得A=1，B=1。因此，系统的冲激 响应为 h(t ) = e − t u(t ) + e −2 t (t )
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第二章 连续系统的时域分析
例2―6 已知某线性时不变系统的动态方程式, y″(t)+5y′(t)+4y(t)=2f′(t)+3f(t) t≥0 求系统的冲激响应h(t)。
解得A=2，因此，系统的冲激响应为
h (t ) = 2e −3t u (t )
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第二章 连续系统的时域分析
例2―52 已知某线性时不变系统的动态方程式,
d y (t ) dy (t ) +3 + 2 y (t ) = 2 f ′(t ) + 3 f (t ) 2 dt dt 求系统的冲激响应h(t)。
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第二章 连续系统的时域分析
例2-2
d2 d de(t ) r (t ) + 2 r (t ) + 3r (t ) = + e(t ) 2 dt dt dt
求微分方程的特解。 (1)输入激励e(t) = t2， (2)输入激励e(t) = et 解: (1)查表，选特解形式 rp(t)=B1t2+B2t+B3代入方程， 2B1+4B1t+2B2+3(B1t2+B2t+B3)=t2+2t， B1=1/3 B2=2/9 B3=-10/27 特解: rp(t) =1/3t2+2/9 t -10/27 B3 (2)查表，选特解形式 rp(t) = B et代入方程, B et+2 B et +3 B et = et + et B=1/3 特解: rp(t) =1/3et
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第二章 连续系统的时域分析
例2-3 如图所示电路，已知输入激励e(t) = sin2t，初始条件uC2(0+)＝ uC2(0+)=0, R1=R2=1 ,C1 =1/2F, C2 =1/2F，求u2(t) 。 解：由元件的约束及互联的约束，得方程组
c1
du1 (t ) du (t ) e(t ) − u1 (t ) + c2 2 = R1 dt dt
h′(t)=Aδ(t)+Bu(t) h(t)=Au(t) 将h″(t)，h′(t)与h(t)分别代入原动态方程式可 解得 A=2，B=-7，C=27 因此可得 h(0+)=A=2,h′(0+)=B=-7,h″(0+)=27
因而有
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第二章 连续系统的时域分析
例2―7 已知某线性时不变系统在f1(t) = 4u(t-1)作用下，产生 的零状态响应为y1(t) = e-2(t-2)u(t-2)+4u(t-3)，求系统的冲激 响应h(t)。 解：激励：f1(t)=4u(t-1) 响应：y1(t)=e-2(t-2)u(t-2)+4u(t-3) 根据时不变系统的特性
∫
0+
0−
y (t )dt + 3∫ y (t ) dt + 2 ∫ y (t ) dt = 2 ∫ δ (t ) dt + 6 ∫ ε (t )dt
'' ' 0− 0− 0− 0−
0+
0+
0+
0+
[ y ' (0+ ) − y ' (0 − )] + 3[ y (0+ ) − y (0− )] = 2
i=0 n
∑ bj f
j=0
m
( j)
(t )
方程的全解由齐次解和特解组成
y (t ) = yh (t ) + y p (t )
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第二章 连续系统的时域分析
求系统响应的步骤
1.求方程的齐次解yh(t) 求方程的齐次解 ① 由齐次微分方程列写特征方程 y ( n ) (t ) + an −1 y ( n −1) (t ) + L a1 y (1) (t ) + a0 y (t ) = 0 因为 λ n + an −1λ n −1 + L a1λ + a0 = 0 所以特征方程为 ②解方程式，可得n个根λi (i=0，1，2，， n)，称为微分方程的特征根，齐次解的 函数形式由特征根的情况来确定
试
解: 冲激响应h(t)满足动态方程式 h″(t)+5h′(t)+4h(t)=2δ′(t)+3δ(t) t≥0 动态方程式右边最高次为δ′(t)，故方程左边的最高次 h″(t)中必含有δ′(t)，故设 h″(t)=Aδ′(t)+Bδ(t)+Cu(t)
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第二章 连续系统的时域分析
第二章 连续系统的时域分析
2.1 LTI连续系统的响应 2.2 冲激响应和阶跃响应 2.3 卷积积分 2.4 卷积积分的性质 第二章小结
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第二章 连续系统的时域分析
2.1 LTI连续系统的响应 连续系统的响应
描述LTI连续系统激励与响应之间关系的 数学模型是n阶常系数线性微分方程
ai y ( i ) (t ) = ∑
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第二章 连续系统的时域分析
查表，设特解rp(t) = B1cos2t + B2sin2t，并代入方程得： 特解：rp(t) = -21/50cos2t + 3/50sin2t 完全解: r (t) = A1e-t +A2e-6t -21/50cos2t + 3/50sin2t 代入初始条件: uC2(0+)＝ uC2(0+) = 0, 得 du2 (0+) = 0 dt 且: A1+ A2 -21/50 = 0 -A1-6A2 +6/50 = 0 得: A1 = 12/25 A2 = -3/50 完全解: r (t) = 12/25 e-t -3/50 e-6t -21/50cos2t + 3/50sin2t
f2 (t) = f1(t + 1) = 4u(t) ⇒ y2 (t) = y1(t + 1) = e−2(t−1)u(t − 1) + 4u(t − 2)
根据线性系统的特性
1 1 1 f 2 (t ) = u(t ) ⇒ y3 (t ) = y2 (t ) = e−2( t −1)u(t − 1) + u(t − 2) 4 4 4 df (t ) df (t ) 1 1 f 4 (t ) = 3 = δ (t ) ⇒ y4 (t ) = 3 = − e−2( t −1)u(t − 1) + δ (t − 1) + δ t − 2) dt dt 2 4 f 3 (t ) =
t
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第二章 连续系统的时域分析
δ (t) δ (t)
(1)
{×(0)}＝{0}
h(t) h(t)
线线线线 变系系
0
t
பைடு நூலகம்
0
t
图2－1
冲激响应示意图
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第二章 连续系统的时域分析
u(t) g(t) 1 {×(0)}＝{0} u(t)
线线线线 变系系
g(t)
0
t
0
t
图2－2 阶跃响应示意图
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第二章 连续系统的时域分析
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第二章 连续系统的时域分析
求LTI系统的零输入响应和零状态响 系统的零输入响应和零状态响 应的方法与步骤： 应的方法与步骤：
1.若已知的条件时系统的初始状态，则先求零输 入响应再求零状态响应。 2.若已知的是系统的初始条件，则先求零状态响 应，然后确定零状态响应的初始条件，再求出 零输入响应的初始条件，从而就可以求得系统 的零输入响应。
例2―4
已知某线性时不变系统的动态方程式, 求系统的冲 激响应h(t)。 dy (t ) + 3 y (t ) = 2 f (t ) (t ≥ 0) dt 解: 根据系统冲激响应h(t)的定义，当f(t) =δ(t)时， y(t) = h(t)，即原动态方程式为
dh(t) + 3h(t) = 2δ (t) (t ≥ 0) dt
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第二章 连续系统的时域分析