高二数学双曲线及其标准方程2
高二数学 2.3.1 双曲线及其标准方程
名师一号 ·数学 ·新课标A版 ·选修2-1
若焦点在y轴上， 设双曲线的标准方程为ay22－bx22＝1.
a12－b12＝1， 同理有5a22－－b22 2＝1，
a2＝－7， 解得b2＝－78. (舍去)
∴所求双曲线的标准方程为x72－y72＝1. 8
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第二章 §2.3 2.3.1
第二章 §2.3 2.3.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版 ·选修2-1
分析 由2sinC＝sinA＋2sinB利用正弦定理，可转化为 含动点A的等量关系，进而求出A的轨迹方程．
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第二章 §2.3 2.3.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版 ·选修2-1
解 如下图所示，以BC所在的直线为x轴，以线段BC的 中垂线为y轴，建立直角坐标系．
名师一号 ·数学 ·新课标A版 ·选修2-1
解 解法1：若焦点在x轴上， 设双曲线的标准方程为ax22－by22＝1. ∵M(1,1)，N(－2,5)在双曲线上，
a12－b12＝1， ∴－a222－5b22＝1，
解得a2＝78， b2＝7.
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第二章 §2.3 2.3.1
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第二章 §2.3 2.3.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版 ·选修2-1
2．如何确定焦点的位置
通过比较两种不同类型的双曲线方程
x2 a2
－
y2 b2
＝1和
y2 a2
－
x2 b2
＝1(a＞0，b＞0)，可以看出，如果x2项的系数是正的，那么
焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴
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双曲线及其标准方程(教学设计)高二数学 (人教A版2019选择性 必修第一册)
3.2.1双曲线及其标准方程教学设计本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《圆锥曲线的方程》的第二节《双曲线》。
以下是本节的课时安排：第三章圆锥曲线的方程课时内容 3.2.1双曲线及其标准方程 3.2.2双曲线的简单几何性质所在位置教材第118页教材第121页新教材内容分析双曲线是生产生活中的常见曲线，教材在用拉链画双曲线的过程中，体会双曲线的定义，感知双曲线的形状，为选择适当的坐标系，建立双曲线的标准方程、研究双曲线的几何性质做好铺垫。
通过对双曲线标准方程的讨论，使学生掌握标准方程中的a,b,c,e的几何意义及相互关系，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具有的程序化、普适性特点。
核心素养培养通过双曲线的标准方程的推导，培养数学运算的核心素养；通过对双曲线的定义理解，培养数学抽象的核心素养。
通过双曲线的几何性质的研究，培养数学运算的核心素养；通过直线与双曲线的位置关系的判定，培养逻辑推理的核心素养。
教学主线双曲线的标准方程、几何性质学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。
本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,培养数学抽象的核心素养．2.能利用双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程，培养逻辑推理的核心素养.重点：双曲线的定义及双曲线的标准方程难点：运用双曲线的定义及标准方程解决相关问题（一）新知导入双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。
本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。
（二）双曲线及其标准方程知识点一双曲线的定义【探究1】取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1、F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？【提示】如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．◆双曲线的定义F F？【思考1】双曲线的定义中，常数为2a，为什么2a12【提示】若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是以F1或F2为端点的射线；若2a＞|F1F2|，则动点的轨迹不存在．若a＝0，则动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．【思考2】双曲线的定义中，为什么要加“绝对值”三个字？没有“绝对值”三个字呢？【提示】若去掉定义中的“绝对值”三个字，则动点的轨迹只能是双曲线的一支．【易错辨析】设F1、F2是双曲线的焦点，a=4,c=6,点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，求点P 到焦点F2的距离．【错解一】双曲线的a=4，由|PF1|－|PF2|＝8，即9－|PF2|＝8，得|PF2|＝1.【错解二】双曲线的a=4，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，所以|9－|PF2||＝8，所以|PF2|＝1或17.【错因】错解一是对双曲线的定义中的差的绝对值掌握不够，是概念性的错误．错解二没有验证两解是否符合题意，这里用到双曲线的一个隐含条件：双曲线的一个顶点到另一分支上的点的最小距离是2a，到一个焦点的距离是c－a，到另一个焦点的距离是a＋c，本题是2或10，|PF2|＝1小于2，不合题意．【正解】双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，所以|9－|PF2||＝8，所以|PF2|＝1或17.因为|F1F2|＝12，当|PF2|＝1时，|PF1|＋|PF2|＝10＜|F1F2|，不符合公理“两点之间线段最短”，应舍去．所以|PF2|＝17.知识点二双曲线的标准方程【探究2】类比推导椭圆标准方程的方法，怎样推导双曲线的标准方程？【提示】(1)建系：以经过两焦点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．(2)设点：设M(x，y)是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，那么双曲线的焦点F1，F2的坐标分别是(－c,0)，(c,0)．(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a，可得(x＋c)2＋y2－(x－c)2＋y2＝±2a.(4)化简：移项，平方后可得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．令c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为x2 a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．◆双曲线的标准方程【思考3】怎样区分焦点在不同位置的两类双曲线的方程？它与椭圆的区分方法有何不同？【提示】椭圆由分母常数的大小判定，双曲线由各项前面的符号判定.【思考4】双曲线的标准方程与椭圆的标准方程在形式上有什么区别？a 、b 、c 之间的关系有何不同？ 【提示】a 、b 、c 之间的关系：椭圆是222b a c -=，双曲线是222b a c += （记忆方法：椭圆的焦点在顶点之内，所有a c <；双曲线焦点在顶点之外，所有a c >）【做一做1】双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )A ．32B ．4 2C ．3 3D ．43答案：D【做一做2】已知双曲线a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为________．解析：∵a ＝5，c ＝7，∴b ＝c 2－a 2＝24＝26， 当焦点在x 轴上时，双曲线方程为x 225－y 224＝1； 当焦点在y 轴上时，双曲线方程为y 225－x 224＝1. 答案：x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1（三）典型例题1.求双曲线的标准方程例1.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P (3，154)，Q (－163，5)； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．[分析] 可先设出双曲线的标准方程，再构造关于a ，b 的方程组，求得a ，b ，从而求得双曲线的标准方程．注意对平方关系c 2＝a 2＋b 2的运用．[解析] (1)法一：若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由于点P (3，154)和Q (－163，5)在双曲线上，所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝－16，b 2＝－9，(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1. 综上，双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.法二：设双曲线方程为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)． ∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)法一：依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝5，b 2＝1，求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1. 法二∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.【类题通法】用待定系数法求双曲线标准方程的步骤(1)定位：确定双曲线的焦点位置，如果题目没有建立坐标系，一般把焦点放在x 轴上；(2)设方程：根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程(当焦点在两个坐标轴上都有可能时，一般设为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0))；(3)定值：根据题目的条件确定相关的系数的方程，解出系数，代入所设方程． 【巩固练习1】已知双曲线过M (1,1)，N (－2,5)两点，求双曲线的标准方程．[解析] 设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)．∵双曲线过M (1,1)，N (－2,5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝1，4A ＋25B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝87，B ＝－17，∴双曲线的标准方程为x 278－y 27＝1.2.双曲线标准方程的识别例2. (1)若曲线x 2k ＋4＋y 2k －1＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．[－4,1)B ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，－4]∪[1，＋∞)(2)3<m <5是方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析： (1)根据题意，若曲线x 2k ＋4＋y 2k －1＝1表示双曲线，则有(k ＋4)(k －1)<0，解得－4<k <1.(2)3<m <5时，m －5<0，m 2－m －6>0，方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示焦点在y 轴的双曲线；若方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线，则(m －5)(m 2－m －6)<0，所以3<m <5或m <－2，所以3<m <5是方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线的充分不必要条件．答案：(1)C (2)A【类题通法】将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1，则当mn ＜0时，方程表示双曲线．若⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＜0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线；若⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，n ＞0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线.【巩固练习2】若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 解析：原方程化为y 2k 2－1－x 2k ＋1＝1，∵k >1，∴k 2－1>0，k ＋1>0.∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线． 答案：C3.双曲线的定义及应用例3.设双曲线x 24－y 29＝1，F 1、F 2是其两个焦点，点P 在双曲线右支上. 若∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的面积．[分析] 用双曲线定义及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|. [解析] 由双曲线方程知a ＝2，b ＝3，c ＝13， 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2(r 1>r 2)，如图所示．由双曲线定义，有r 1－r 2＝2a ＝4，两边平方得r 21＋r 22－2r 1r 2＝16. ∵∠F 1PF 2＝90°，∴r 21＋r 22＝4c 2＝4×(13)2＝52.∴2r 1r 2＝52－16＝36，∴S △F 1PF 2＝12r 1r 2＝9.【类题通法】双曲线中的焦点三角形：双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F 2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形．令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有 (1)定义：|r 1－r 2|＝2a .(2)余弦公式：4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ.(3)面积公式：S △PF 1F 2＝12r 1r 2sin θ.一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决．【巩固练习3】若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．[解析] 由双曲线方程x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝±2a ＝±6，将此式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100. 如图所示，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335，即△PF 1F 2的面积是35 3. 4. 与双曲线有关的轨迹问题例4.已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解析] 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件，得 |MC 1|＝|AC 1|＋|MA |，|MC 2|＝|BC 2|＋|MB |. ∵|MA |＝|MB |，∴|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2.这表明动点M 与两定点C 2，C 1的距离的差是常数2，且2<| C 1C 2|.根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支，则2a ＝2，a ＝1，c ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝8.因此所求动点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤1)． 【类题通法】求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法(1)列出等量关系，化简得到方程．(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．提醒：①双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴．②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．【巩固练习4】如图所示，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三个内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．[解析]以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理，得sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R(R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2|BC |＋|AB |＝2|AC |，即|AC |－|BC |＝|AB |2＝22<|AB |. 由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．由题意，设所求轨迹方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(x >a )， ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6.即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)． （四）操作演练 素养提升1.平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( ) A.x 216－y 29＝1(x ≤－4) B.x 29－y 216＝1(x ≤－3) C.x 216－y 29＝1(x ≥4) D.x 29－y 216＝1(x ≥3)解析：由已知动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16，∴所求轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．答案：D2.方程x 22＋m －y 22－m＝1表示双曲线，则m 的取值范围为( ) A ．－2＜m ＜2B ．m ＞0C ．m ≥0D ．|m |≥2解析：∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0.∴－2＜m ＜2.答案：A3.若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3解析：由题意知||PF 2|－3|＝6，即|PF 2|－3＝±6，解得|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)．答案：B4.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )A.x 22－y 23＝1B.x 23－y 22＝1C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24＝1解析：由⎩⎨⎧|PF 1|·|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝(25)2，⇒(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C.答案：C答案：1.D 2.A 3.B 4.C【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
高二数学双曲线及其标准方程
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于 常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．
① 两个定点F1、F2——椭圆的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. ③ |MF1|+|MF2|=2a F1- c,0 O ④ 2a >2c>0时为椭圆 思考： （1）若2a>2c,则轨迹是什么？ （2）若2a=2c,则轨迹是什么？ （3）若2a=0,则轨迹是什么？
四、知识巩固
写出适合下列条件的双曲线的标准方程 练1： a=4,b=3,焦点在x轴上;
x y 1 练2：双曲线 9 上一点P到F1的距离 16
为15,求一点P到F2的距离?
2
2
练3．求与圆A
y 2 49和圆B 2 2 x 5 y 49
都外切的圆的圆心P的轨迹方程．
x 5
o
F
2
三、双曲线标准方程
求曲线方程的步骤：
y
M
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点． 设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式
F
1
O
F
2
x
|MF1| - |MF2|=±2a
2 2 2 2
即 ( x c) y ( x c) y 2a
4.化简
三、双曲线标准方程
( x c) y ( x c) y 2a
2 2 2 2
移项平方得：( x c) y
2
2
2a
2
( x c) y
2
2
2
即： cx a a ( x c) y
双曲线及其标准方程课件2高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360,
x2 y2
由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 2 2 1 的一支上，
a
b
依题意得 a = 680, c = 1020， b2 c 2 a 2 10202 6802 5 3402
x2
y2
1
∴双曲线的方程为
2
2
680 5 340
课堂小结
本节课主要是进一步了解双曲线的定义及其标准方程,并运用双曲线的定义及其标准方程解决问题,
体会双曲线在实际生活中的一个重要应用. 其实全球定位系统就是根据例5这个原理来定位的.
运用定义及现成的模型思考,这是一个相当不错的思考方向.即把不熟悉的问题往熟悉的方向转化,
要求曲线的方程,恰当的建立坐标系是一个关键.
A
yC
o
B
x
双曲线的实际应用
解：如图，以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向，
建立直角坐标系.
设 A、B、C 分别是西、东、北观测点，
则 A(－1020,0）
，B(1020,0）
，C(0,1020）.
设 P（x,y）为巨响点，
由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|,
同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是
1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)
分析:依题意画出图形(如图)
P
只要能把巨响点满足的两个曲线方程求出来.那么解
20081120高二数学(2.3.1双曲线及其标准方程)
F1
F2
M
常数. |MF1|－|MF2|＝常数. 常数值小于|F 常数值小于|F1F2|.
F1
F2
思考1:在上述实验中，移动的笔尖（ 思考1:在上述实验中，移动的笔尖（动 1:在上述实验中 满足的几何条件是什么? 点）满足的几何条件是什么? 思考2:在上述实验中， 思考2:在上述实验中，常数值与两定点 2:在上述实验中 之间的距离的大小关系如何？ F1，F2之间的距离的大小关系如何？
思考3:你能想象出上述动点M 思考3:你能想象出上述动点M的轨迹图形 3:你能想象出上述动点 是什么形状吗？ 是什么形状吗？
M
F1
F2
双曲线生成.gsp 双曲线生成
思考4:上述轨迹图形由两条曲线组成， 思考4:上述轨迹图形由两条曲线组成， 4:上述轨迹图形由两条曲线组成 数学上叫做双曲线 双曲线， 数学上叫做双曲线，你能概括出双曲线 的定义吗？ 的定义吗？
M F1 F2
平面内与两个定点F 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的 绝对值等于常数（小于|F 绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的 轨迹叫做双曲线． 轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲 线的焦点， 线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线 的焦距． 的焦距．
思考5:若把双曲线定义中的常数记为2a, 思考5:若把双曲线定义中的常数记为2a, 5:若把双曲线定义中的常数记为 如何用集合语言表述双曲线的定义特征？ 如何用集合语言表述双曲线的定义特征？
x2 y2 − 2 =1 2 2 , a c −a
x2 y2 − = 1( a > 0, b > 0 ) a2 b2
x y 思考4: 4:方程 思考4:方程 a2 − b2 =1( a > 0,b > 0)叫做双曲线
2.2.1双曲线及其标准方程 高二上学期数学北师大版选择性必修第一册
2.1 双曲线及其标准方程1.双曲线方程为x 2-2y 2=1,则它的右焦点坐标为( )A.√22,0 B.√62,0C.√52,0D.(√3,0)2.已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线的右支上,若|PF 1|-|PF 2|=b ,且双曲线的焦距为2√5,则该双曲线的方程为( )A.x 24-y 2=1B.x 23−y 22=1 C.x 2-y 24=1D.x 22−y 23=13.已知双曲线x 2λ-3+y 22-λ=1,焦点在y 轴上,若焦距为4,则λ等于( )A.32B.5C.7D.124.已知双曲线x 24−y 25=1上一点P 到左焦点F 1的距离为10,则PF 1的中点N 到坐标原点O 的距离为( ) A.3或7 B.6或14C.3D.75.如图,已知双曲线的方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0),点A ,B 均在双曲线的右支上,线段AB 经过双曲线的右焦点F 2,|AB|=m ,F 1为双曲线的左焦点,则△ABF 1的周长为( ) A.2a+2m B.4a+2mC.a+mD.2a+4m 6.与圆x 2+y 2=1及圆x 2+y 2-8x+12=0都外切的圆P 的圆心在( )A.一个椭圆上B.一个圆上C.一条抛物线上D.双曲线的一支上7.以椭圆x 2+y 2=1的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是 .8.已知点F 1,F 2分别是双曲线x 29−y 216=1的左、右焦点,若点P 是双曲线左支上的点,且|PF 1|·|PF 2|=32,则△F 1PF 2的面积为 . 9.已知与双曲线x 216−y 29=1共焦点的双曲线过点P -√52,-√6,求该双曲线的标准方程.能力达标10.“mn<0”是方程“mx 2+ny 2=1表示双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.已知平面内两定点A (-5,0),B (5,0),动点M 满足|MA|-|MB|=6,则点M 的轨迹方程是( ) A.x 216−y 29=1B.x 216−y 29=1(x ≥4)C.x 29−y 216=1 D.x 29−y 216=1(x ≥3)12.动圆与圆x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是( ) A.双曲线的一支 B.圆 C.椭圆D.双曲线13.若双曲线x 2n -y 2=1(n>1)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线上,且满足|PF 1|+|PF 2|=2√n +2,则△PF 1F 2的面积为( ) A.1B.12C.2D.414.已知左、右焦点分别为F 1,F 2的双曲线C :x 2a 2-y 2=1(a>0)过点√15,-√63,点P 在双曲线C 上,若|PF 1|=3,则|PF 2|=( ) A.3B.6C.9D.1215.若曲线C :mx 2+(2-m )y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线,则m 的取值范围为 .16.焦点在x 轴上的双曲线经过点(4√2,-3),且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方程为 .17.已知双曲线E :x 2−y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2. (1)若点M 在双曲线上,且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求点M 到x 轴的距离;(2)若双曲线C 与双曲线E 有相同的焦点,且过点(3√2,2),求双曲线C 的方程.18.已知△OFQ 的面积为2√6,且OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,其中O 为坐标原点. (1)设√6<m<4√6,求OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角θ的正切值的取值范围;(2)设以O 为中心,F 为其中一个焦点的双曲线经过点Q ,如图所示,|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=c ,m=√64-1c 2,当|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值时,求此双曲线的标准方程.1.双曲线方程为x 2-2y 2=1,则它的右焦点坐标为( )A.√22,0 B.√62,0C.√52,0D.(√3,0)答案B解析将双曲线方程化为标准方程为x 2-y 212=1,∴a 2=1,b 2=1,∴c 2=a 2+b 2=3,∴c=√6,故右焦点坐标为√62,0.2.已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线的右支上,若|PF 1|-|PF 2|=b ,且双曲线的焦距为2√5,则该双曲线的方程为( ) A.x 2-y 2=1 B.x 2−y 2=1 C.x 2-y 2=1 D.x 2−y 2=1答案C解析由题意得{|PF 1|-|PF 2|=2a =b ,c 2=a 2+b 2,2c =2√5,解得{a 2=1,b 2=4,则该双曲线的方程为x 2-y 24=1.3.已知双曲线x 2λ-3+y 22-λ=1,焦点在y 轴上,若焦距为4,则λ等于( ) A.32 B.5 C.7D.12答案D解析根据题意可知,双曲线的标准方程为y 22-λ−x 23-λ=1. 由其焦距为4,得c=2, 则有c 2=2-λ+3-λ=4,解得λ=12.4.已知双曲线x 24−y 25=1上一点P 到左焦点F 1的距离为10,则PF 1的中点N 到坐标原点O 的距离为( ) A.3或7 B.6或14C.3D.7答案A解析连接ON ,ON 是△PF 1F 2的中位线,∴|ON|=12|PF 2|,∵||PF 1|-|PF 2||=4,|PF 1|=10, ∴|PF 2|=14或|PF 2|=6, ∴|ON|=7或|ON|=3.5.如图,已知双曲线的方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0),点A ,B 均在双曲线的右支上,线段AB 经过双曲线的右焦点F 2,|AB|=m ,F 1为双曲线的左焦点,则△ABF 1的周长为( ) A.2a+2m B.4a+2mC.a+mD.2a+4m答案B解析由双曲线的定义,知|AF 1|-|AF 2|=2a ,|BF 1|-|BF 2|=2a.又|AF 2|+|BF 2|=|AB|,所以△ABF 1的周长为|AF 1|+|BF 1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m. 6.与圆x 2+y 2=1及圆x 2+y 2-8x+12=0都外切的圆P 的圆心在( ) A.一个椭圆上 B.一个圆上 C.一条抛物线上 D.双曲线的一支上答案D解析由x 2+y 2-8x+12=0, 得(x-4)2+y 2=4,画出圆x 2+y 2=1与(x-4)2+y 2=4的图象如图, 设圆P 的半径为r ,∵圆P 与圆O 和圆M 都外切,∴|PM|=r+2,|PO|=r+1,则|PM|-|PO|=1<4,∴点P 在以O ,M 为焦点的双曲线的左支上.7.以椭圆x 23+y 24=1的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是 . 答案y 2-x 23=1解析由题意知,双曲线的焦点在y 轴上,设双曲线的标准方程为y 2a2−x 2b2=1,则a=1,c=2,所以b 2=3,所以双曲线的标准方程为y 2-x 2=1.8.已知点F 1,F 2分别是双曲线x 2−y 2=1的左、右焦点,若点P 是双曲线左支上的点,且|PF 1|·|PF 2|=32,则△F 1PF 2的面积为 . 答案16解析因为P 是双曲线左支上的点, 所以|PF 2|-|PF 1|=6,两边平方得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=36,所以|PF 1|2+|PF 2|2=36+2|PF 1|·|PF 2|=36+2×32=100. 在△F 1PF 2中,由余弦定理,得cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|=100-1002|PF 1|·|PF 2|=0,所以∠F 1PF 2=90°,所以S △F 1PF 2=12|PF 1|·|PF 2|=12×32=16.9.已知与双曲线x 216−y 29=1共焦点的双曲线过点P -√52,-√6,求该双曲线的标准方程.解已知双曲线x 216−y 29=1, 则c 2=16+9=25,∴c=5. 设所求双曲线的标准方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0).依题意知b 2=25-a 2,故所求双曲线方程可写为x 2a 2−y 225-a 2=1.∵点P -√52,-√6在所求双曲线上, ∴代入有(-√52) 2a 2−(-√6)225-a 2=1,化简得4a 4-129a 2+125=0, 解得a 2=1或a 2=1254. 当a 2=1254时,b 2=25-a 2=25-1254=-254<0, 不合题意,舍去,∴a 2=1,b 2=24,∴所求双曲线的标准方程为x 2-y 224=1.能力达标10.“mn<0”是方程“mx 2+ny 2=1表示双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案C解析因为mn<0,所以m ,n 均不为0且异号,方程mx 2+ny 2=1,可化为x 21m+y 21n=1,因为1m 与1n异号,所以方程x 21m+y 21n=1表示双曲线,故“mn<0”是“方程mx 2+ny 2=1表示双曲线”的充分条件;反之,若mx 2+ny 2=1表示双曲线,则其方程可化为x 21m+y 21n=1,可知1m 与1n异号,则必有mn<0,故“mn<0”是“方程mx 2+ny 2=1表示双曲线”的必要条件.综上可得,“mn<0”是方程“mx 2+ny 2=1表示双曲线”的充要条件. 11.已知平面内两定点A (-5,0),B (5,0),动点M 满足|MA|-|MB|=6,则点M 的轨迹方程是( ) A.x 2−y 2=1B.x 2−y 2=1(x ≥4)C.x 29−y216=1 D.x29−y216=1(x≥3)答案D解析由|MA|-|MB|=6,且6<|AB|=10,得a=3,c=5,b2=c2-a2=16.故其轨迹为以A,B为焦点的双曲线的右支.所以点M的轨迹方程为x 29−y216=1(x≥3).12.动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是()A.双曲线的一支B.圆C.椭圆D.双曲线答案A解析设动圆的圆心为M,半径为r,圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1和O2,半径分别为1和2,由两圆外切的充要条件,得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.∴|MO2|-|MO1|=1,又|O1O2|=4,∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).13.若双曲线x 2n-y2=1(n>1)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2√n+2,则△PF1F2的面积为()A.1B.12C.2D.4答案A解析设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2√n,已知|PF1|+|PF2|=2√n+2,解得|PF1|=√n+2+√n,|PF2|=√n+2−√n,|PF1|·|PF2|=2.又|F1F2|=2√n+1,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴△PF1F2为直角三角形,∠F1PF2=90°,∴S△PF1F2=12|PF1|·|PF2|=12×2=1.14.已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:x 2a2-y2=1(a>0)过点√15,-√63,点P在双曲线C上,若|PF1|=3,则|PF2|=()A.3B.6C.9D.12答案C解析由左、右焦点分别为F 1,F 2的双曲线C :x 2a2-y 2=1(a>0)过点√15,-√63,可得15a 2−69=1,解得a=3,b=1,c=√10,a+c>3,点P 在双曲线C 上,若|PF 1|=3,可得P 在双曲线的左支上,则|PF 2|=2a+|PF 1|=6+3=9.故选C. 15.若曲线C :mx 2+(2-m )y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线,则m 的取值范围为 . 答案(2,+∞)解析由曲线C :mx 2+(2-m )y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线,可得x 21m−y 21m -2=1, 即有m>0,且m-2>0,解得m>2.16.焦点在x 轴上的双曲线经过点(4√2,-3),且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方程为 .答案x 216−y 29=1解析设焦点F 1(-c ,0),F 2(c ,0)(c>0), 则由QF 1⊥QF 2,得k QF 1·k QF 2=-1,∴5c ·5-c =-1,∴c=5,设双曲线的标准方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0),∵双曲线过点(4√2,-3),∴32a 2−9b2=1.又c 2=a 2+b 2=25,∴a 2=16,b 2=9,∴双曲线的标准方程为x 2−y 2=1. 17.已知双曲线E :x 2−y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2.(1)若点M 在双曲线上,且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求点M 到x 轴的距离;(2)若双曲线C 与双曲线E 有相同的焦点,且过点(3√2,2),求双曲线C 的方程.解(1)如图所示,不妨设点M 在双曲线E 的右支上,点M 到x 轴的距离为h ,MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 则MF 1⊥MF 2, 设|MF 1|=m ,|MF 2|=n , 由双曲线定义,知m-n=2a=8,①又m 2+n 2=(2c )2=80, ②由①②得mn=8,∴12mn=4=12|F 1F 2|·h , ∴h=2√55. (2)设所求双曲线C 的方程为x 216-λ−y 24+λ=1(-4<λ<16), 由于双曲线C 过点(3√2,2),∴1816-λ−44+λ=1,解得λ=4或λ=-14(舍去),∴所求双曲线C 的方程为x 212−y 28=1.18.已知△OFQ 的面积为2√6,且OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,其中O 为坐标原点. (1)设√6<m<4√6,求OF⃗⃗⃗⃗⃗ 与FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角θ的正切值的取值范围; (2)设以O 为中心,F 为其中一个焦点的双曲线经过点Q ,如图所示,|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=c ,m=√64-1c 2,当|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值时,求此双曲线的标准方程.解(1)因为{12|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||FQ ⃗⃗⃗⃗⃗|sin (π-θ)=2√6,|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||FQ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ=m ,所以tan θ=4√6. 又√6<m<4√6, 所以1<tan θ<4,即tan θ的取值范围为(1,4).(2)设双曲线的标准方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0),Q (x 1,y 1),则FQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-c ,y 1), 所以S △OFQ =12|OF ⃗⃗⃗⃗⃗|·|y 1|=2√6,则y 1=±4√6.又OF⃗⃗⃗⃗⃗ ·FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =m , 即(c ,0)·(x 1-c ,y 1)=√64-1c 2, 解得x 1=√64c ,所以|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√x 12+y 12=√38c 2+96c 2≥√12=2√3,当且仅当c=4时,取等号,此时|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |最小, 这时Q 的坐标为(√6,√6)或(√6,-√6).因为{6a 2-6b 2=1,a 2+b 2=16,所以{a 2=4,b 2=12.于是所求双曲线的标准方程为x 24−y 212=1.。
2. 3.1双曲线及其标准方程
第二章
§3
3.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 · 选修1-1
x2 y 2 y2 x2 3.通过比较两种不同类型的双曲线方程 2－ 2＝1 和 2－ 2 a b a b ＝1(a>0，b>0)，可以看出，如果 x2 项的系数是正的，那么焦点 在 x 轴上；如果 y2 项的系数是正的，那么焦点在 y 轴上．对于 双曲线， a 不一定大于 b， 因此不能像椭圆那样通过比较分母的 大小来判定焦点在哪一条坐标轴上.
1.了解双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程．
2．会用待定系数法求双曲线的标准方程.
第二章
§3
3.1
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双曲线的定义 类比椭圆的定义我们可以给出双曲线的定义 差 的绝对值等于定 在平面内到两个定点F1、F2距离之_____
值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点
[答案] A
)
y2 x2 B． － ＝1 16 20 y2 x2 D． － ＝1 45 9
[解析] 由条件知 c＝6，焦点在 x 轴上，排除 B、C、D； 又双曲线经过点 A(6，－5)，故选 A.
第二章
§3
3.1
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5．满足下列条件的点 P(x，y)的轨迹是什么图形？ (1)| x＋52＋y2－ x－52＋y2|＝6； (2) x＋42＋y2－ x－42＋y2＝6.
n mn<0，∴－ >0， m ∴方程的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线．
第二章 §3 3.1
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高二数学双曲线及其标准方程2
相关结论：
1、当||MF1|-|MF2||= 2a<|F1F2|时， P点轨迹是双曲线 其中当|MF1|-|MF2||= 2a时，M点轨迹是与F2对 应的双曲线的一支； 当|MF2| - |MF1|= 2a时，M 点轨迹是与F1对应的双曲线的一支.
2、当 ||MF1|-|MF2||= 2a=|F1F2|时，M点轨迹是在直 线F1F2上且以F1和F2为端点向外的两条射线。
例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲 线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则 3 4 (1) a=_______ , c =_______ , b =_______ 5
(2) 双曲线的标准方程为______________
(3)双曲线上一点Ｐ， |PF1|=10, 则|PF2|=_________ 4或16
定义
|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
图 象
F1 o
· · ·
F2
y
F2
F1
· o ·
o
y
x
方 程 焦 点 a.b.c的关 系 F ( ±c,0) F(0, ± c)
a2=b2+c2
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=2a ②如图(B)， |MF2|-|MF1|=2a 由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）
羞愧啊,他居然被壹个年级比自身还要小不少の修行者,给吓住了.他居然,没敢当场作出回应.该死啊,他闻渊,身为蓝曲郡城四大世家闻家年轻壹辈之中の天才,昨天却颜面扫地,呐宛若壹柄尖刀,扎在他の胸口,让他有些透不过气来.恨意,在体内燃烧沸抛.尤其是此事此刻,他看到鞠言根 本就没有去闯天阵の意思,他就更加无法忍受了.“小子,你不是要闯天阵の
第21讲 双曲线及其标准方程7种常见考法归类(原卷版)-新高二数学暑假自学课讲义
第21讲双曲线及其标准方程7种常见考法归类1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.知识点1双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．注：1、集合语言表达式双曲线就是下列点的集合:1212{|||||||2,02||}P M MF MF a a F F =-=<<.常数要小于两个定点的距离．2、对双曲线定义中限制条件的理解(1)当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＞|F 1F 2|时，M 的轨迹不存在．(2)当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝|F 1F 2|时，M 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线．(3)当||MF 1|－|MF 2||＝0，即|MF 1|＝|MF 2|时，M 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线．(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于1||MF 与2||MF 的大小.①若12||||MF MF >,则12||||0MF MF ->,点M 的轨迹是靠近定点2F 的那一支;②若12||||MF MF <,则21||||0MF MF ->,点M 的轨迹是靠近定点1F 的那一支.知识点2双曲线的标准方程焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形焦点坐标F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2a 与b 没有大小关系注：1、双曲线的标准方程推导过程①观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F 1F 2是它的一条对称轴，所以以F 1，F 2所在直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系Oxy ，此时双曲线的焦点分别为F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，焦距为2c ，c >0.设P (x ，y )是双曲线上一点，则||PF 1|－|PF 2||＝2a (a 为大于0的常数)，因为|PF 1|＝(x ＋c )2＋y 2，|PF 2|＝(x －c )2＋y 2，所以(x ＋c )2＋y 2－(x －c )2＋y 2＝±2a ，①类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c 2－a 2)x 2－a 2y 2＝a 2(c 2－a 2)，两边同除以a 2(c 2－a 2)，得x 2a 2－y 2c 2－a 2＝1.由双曲线的定义知，2c >2a ，即c >a ，所以c 2－a 2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b 2＝c 2－a 2，其中b >0，代入上式，得x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．②设双曲线的焦点为F 1和F 2，焦距为2c ，而且双曲线上的动点P 满足||PF 1|－|PF 2||＝2a ，其中c >a >0，以F 1，F 2所在直线为y 轴，线段12的垂直平分线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？【答案】y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．2、巧记双曲线焦点位置与方程的关系两种双曲线22221x y a b -=，22221y x a b -=（0,0a b >>）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有0,0a b >>,222c a b =+;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.焦点跟着正项走，即若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，则焦点在y 轴上．3、共焦点双曲线的设法与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线方程为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(－a 2<λ<b 2)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线方程为y 2a 2＋λ－x 2b 2－λ＝1(－a 2<λ<b 2)．知识点3双曲线的焦点三角形双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理．以双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则(1)双曲线的定义：aPF PF 2||||||21=-(2)余弦定理：221||F F ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ.(3)面积公式：S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ，重要结论：S △PF 1F 2=2tan2θb 推导过程：由余弦定理得|F 1F 2|2=|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ得2224||-|||-2||||(1cos 121c PF PF PF PF θ=+（|））2212442||||(1cos )c a PF PF θ=+-2122||||1cos b PF PF θ=-由三角形的面积公式可得S △PF 1F 2=121|PF ||PF |sin 2θ=222222sincos 12sin 22sin 21cos 1cos 2sin tan22b b b b θθθθθθθθ⋅⋅===--1、双曲线方程的辨识方法将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1，则当mn <0时，方程表示双曲>0，<0，则方程表示焦点在x <0，>0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线．2、求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a 2，b 2的数值，常由条件列方程组求解．3、双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a ，b ，c ，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ，b 均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．注：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1的形式，注意标明条件mn <0.4、双曲线的焦点三角形解题注意点在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．5、利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下：(1)建立适当的坐标系．(2)求出双曲线的标准方程．(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．考点一：双曲线定义的理解例1．（2023秋·高二课时练习）到两定点()13,0F -、()23,0F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（）A ．椭圆B ．直线C ．双曲线D ．两条射线变式1．（2023秋·高二课时练习）平面内到两个定点12,F F 的距离之差的绝对值等于12F F 的点的轨迹是（）A ．双曲线B ．两条射线C ．一条线段D ．一条直线变式2．（2023秋·高二课时练习）已知动点(),P x y 2=，则动点P 的轨迹是（）A ．双曲线B ．双曲线左支C ．双曲线右支D ．一条射线变式3．（2023秋·高二课时练习）与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都外切的圆P 的圆心在（）A ．一个椭圆上B ．一个圆上C ．一条直线上D ．双曲线的一支上变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线C ：22194x y -=，点M 与曲线C 的焦点不重合．已知M 关于曲线C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在曲线C 右支上，则AN BN -的值为______．考点二：双曲线标准方程的辨识例2．（2023秋·广东佛山·高三统考阶段练习）对于常数a ，b ，“0ab <”是“方程221ax by +=对应的曲线是双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件变式1．（2023·全国·高二专题练习）设()0,2πθ∈，则“方程22134sin x yθ+=表示双曲线”的必要不充分条件为（）A ．()0,πθ∈B ．2,23πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．3ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．π3π,22θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭变式2．（2023秋·高二课时练习）“0mn <”是“221mx ny +=为双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件变式3．（2023秋·北京·高二北京市第二十二中学校考期中）已知曲线C ：221mx ny +=，则下列说法不正确的是（）A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若0mn <，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =C ．若0m n =>，则CD ．若0,0m n =>，则C 是两条直线变式4．（2023·全国·高三对口高考）若曲线22132x y k k+=+-表示双曲线，那么实数k 的取值范围是（）A ．()3,2-B ．()(),32,-∞-⋃+∞C ．()2,3-D ．()(),23,-∞-⋃+∞变式5．（2023秋·高二课时练习）“1m >”是“方程2211x y m m -=-表示双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件变式6．（2023秋·高二课时练习）若R m ∈，则“5m <-”是“方程22155x y m m -=+-表示双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件变式7．（2023秋·高二课时练习）已知方程()()22111k x k y +-=-表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为（）A ．11k -<<B ．1k >C ．1k <-D ．1k >或1k <-变式8．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知{}22,4,3,2,1,1,2,3,4,1x y a b a b∈----+=表示焦点在y 轴上的双曲线有m 个，221x y ab+=表示焦点在x 轴上的椭圆有n 个，则m n +的值为（）A ．10B ．14C ．18D ．22变式9．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）设m 为实数，若方程22121x y m m +=--表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是（）A ．322m <<B ．312m <<C ．>2m D ．1m <变式10．（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）方程222143x y λλ+=--表示焦距为线，则实数λ的值为（）A ．1B ．-4或1C ．-2或-4或1D ．-2或1考点三：求双曲线的标准方程例3．（2023·全国·高三专题练习）已知P 是平面上的动点，且点P 与12(2,0),(2,0)F F -的距离之差的绝对值为P 的轨迹为曲线E ．求曲线E 的方程；变式1．（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知点()M ，)N，动点P 满足条件4PM PN -=．则动点P 的轨迹方程为（）A ．222(1x y x ≥-=B ．2212x y x -=≤（C ．221(2)4x y x -=≥D ．221(2)4x y x -=≤-变式2．（2023春·广西南宁·高二校联考开学考试）设椭圆1C 的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为（）A ．221169x y -=B ．22116925x y -=C ．221916x y -=D ．221169144x y -=变式3．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线过点()2,0-，且与椭圆224936x y +=有公共焦点，则双曲线的标准方程是（）A ．2214y x -=B ．2214x y -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=变式4．（2023·全国·校联考三模）若双曲线1C 与双曲线222:17x C y -=有相同的焦距，且1C 过点()3,1，则双曲线1C 的标准方程为（）A ．22162x y -=B 221C ．22162x y -=221D ．22162x y -=或2213x y -=变式5．（2023秋·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期末）已知双曲线22221x y a b-=经过点(A ，且与椭圆221259x y +=有相同的焦点，则双曲线的标准方程为（）A ．221142x y -=B ．221133-=x y C ．221106x y -=D ．221124x y -=变式6．（2023春·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，12F F =P 在双曲线的右支上，若12PF PF b -=，则双曲线C 的方程为（）A ．2214y x -=B ．221164x y -=C ．2211664x y -=D ．221416x y -=变式7．（2023·河南安阳·统考二模）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，12F F =P 为C 上一点，1PF 的中点为Q ，2PF Q △为等边三角形，则双曲线C 的方程为（）．A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2222133x y -=D ．223318y x -=考点四：双曲线的焦点三角形例4．（2023春·福建福州·高二校联考期中）设P 是双曲线2211620x y -=上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|=9，则|PF 2|等于（）A ．1B ．17C ．1或17D ．8变式1．（2023·四川达州·统考二模）设1F ，2F 是双曲线C ：22143x y -=的左、右焦点，过2F 的直线与C 的右支交于P ，Q 两点，则11||F P F Q PQ +-=（）A ．5B ．6C ．8D ．12变式2．（2023·全国·高三对口高考）设1F ，2F 分别是双曲线2214yx -=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF ⋅=，则12PF PF += _________，12PF PF += _________；变式3．（2023春·四川遂宁·高二统考期末）设双曲线22143x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线右支上一点，且12||3||PF PF =，则12F PF ∠的大小为__________．变式4．（2023秋·高二课时练习）若12F F 、是双曲线2288x y -=的左、右焦点，点P 在该双曲线上，且12PF F △是等腰三角形，则12PF F △的周长是________.变式5．（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知双曲线22149x y -=，1F 、2F 是其两个焦点，点M 在双曲线上，若1260F MF ∠=︒，则12F MF △的面积为______．变式6．（2023秋·高二课时练习）已知点F 1，F 2分别是双曲线221916x y -==1的左、右焦点，若点P 是双曲线左支上的点，且1232PF PF ⋅=，则△12F PF 的面积为____.变式7．（2023春·江西·高二临川一中校联考阶段练习）已知点12,F F 分别为双曲线22:145x y C -=的左､右焦点，过点1F 的直线l 交双曲线C 的右支第一象限于点P ，若12F PF △的内切圆的半径为1，则直线l 的斜率为（）A ．513B ．512C ．1D 变式8．【多选】（2023秋·高二课时练习）双曲线C 的方程为2212y x -=，左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 作直线与双曲线C 的右半支交于点A ，B ，使得190F AB ∠=︒，则（）A ．21AF =B ．点AC ．直线AB或D ．1ABF 1变式9．【多选】（2023秋·高二校考课时练习）已知点P 在双曲线221169x y -=上，12,F F 分别是左､右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判断正确的有（）A ．点P 到x 轴的距离为203B ．12503PF PF +=C ．12PF F △为钝角三角形D ．123F PF π∠=变式10．【多选】（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22144x y -=的左、右焦点，P 是C 上一点，且位于第一象限，120PF PF ⋅= ，则（）A ．PB ．12PF =C ．12PF F △的周长为4D ．12PF F △的面积为4考点五：双曲线定义的应用例5．（2023春·四川内江·高二威远中学校校考期中）已知F 是双曲线C ：2218y x -=的右焦点，P是C 的左支上一点，(A ，则PA PF +的最小值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8变式1．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知()0,4A ，双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是双曲线左支上一点，则2||PA PF +的最小值为（）A ．5B ．7C ．9D ．11变式2．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）设点P 是圆()2231x y +-=上的一动点，()0,2A ，()0,2B -，则PB PA -的最小值为（）．ABC ．6D ．12变式3．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考阶段练习）已知(7,3)A ，双曲线C ：22145x y -=的左焦点为F ，P 是双曲线C 的右支上的动点，则||||PF PA -的最大值是（）A ．1-B ．2CD ．9变式4．（2023·全国·高三专题练习）设1F ，2F 为双曲线C ：2213xy -=的左、右焦点，Q 为双曲线右支上一点，点P （0，2）．当1QF PQ +取最小值时，2QF 的值为（）ABC2-D2+变式5．（2023·青海玉树·统考模拟预测）已知1F ，2F 为双曲线22:142x y C -=的左、右焦点，点P 是C 的右支上的一点，则212PF PF 的最小值为（）A ．16B ．18C．8+D．9变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线22144x y C :-=的左焦点为F ，点P 是双曲线C 右支上的一点，点M是圆22:(1E x y +-=上的一点，则PF PM +的最小值为（）A ．5B．5+C ．7D ．8变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 分别是双曲线()222:10x C y a a-=>的左右焦点，且C 上存在点P 使得124PF PF =，则a 的取值范围是________．变式8．（2023·青海西宁·统考二模）设双曲线221916x y -=的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF与圆229x y +=相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则MN MO -=（）A ．-12B ．-1C ．-32D ．-2考点六：双曲线的轨迹方程例6．（2023秋·高二课时练习）求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：(1)与圆()221:21C x y +-=和圆()222:24C x y ++=都内切；(2)与圆()221:39++=C x y 内切，且与圆()222:31C x y -+=外切；(3)在ABC 中，()3,0B -，()3,0C ，直线AB ，AC 的斜率之积为169，求顶点A 的轨迹方程.变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知圆M ：2240x y x ++=上动点Q ，若()2,0N ，线段QN 的中垂线与直线QM 交点为P ．求交点P 的轨迹C 的方程；变式2．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考期末）已知圆22:(4)16M x y ++=，M 为圆心，P 为圆上任意一点，定点(4,0)A ，线段PA 的垂直平分线l 与直线PM 相交于点Q ，则当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为（）A ．221(2)412x y x -=≤-B ．221412x y -=C ．221(1)3y x x -=≤-D ．2213y x -=变式3．（2023·全国·高三对口高考）已知动圆P 过点()2,0N -，且与圆()22:28M x y -+=外切，则动圆P 圆心(),P x y 的轨迹方程为______.变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知圆A ：2229x y ++=（），圆B ：2221x y -+=（），圆C 与圆A 、圆B 外切，求圆心C 的轨迹方程;E 变式5．（2023秋·天津北辰·ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别是(2,0)-、(2,0)，且AC ，BC 所在直线的斜率之积等于2，则顶点C 的轨迹方程是（）A ．22148x y -=（2x ≠±）B ．2212y x -=C ．22148x y -=D ．2212x y -=（2x ≠±）变式6．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知双曲线2214y x -=与直线():2l y kx m k =+≠±有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴于()(),0,0,A x B y 两点．当点M 运动时，点(),P x y 的轨迹方程是（）A ．()22104x y y +=≠B ．()22104x y y -=≠C ．()224102525x y y +=≠D ．()224102525x y y -=≠考点七：双曲线的实际应用例7．（2023·北京海淀·高三101中学校考阶段练习）地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek 和Pujol 提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台A 站和B 站相距10km .根据它们收到的信息，可知震中到B 站与震中到A 站的距离之差为6km .据此可以判断，震中到地震台B 站的距离至少为（）A ．8km B ．6km C ．4kmD ．2km 变式1．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为100m ，楼底的直径为m ，楼顶直径为m ，最细处距楼底300m ，则该地标建筑的高为（）A ．350mB ．375mC ．400mD ．450m变式2．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P 为双曲线（1F ，2F 为焦点）上一点，点P 处的切线平分12F PF ∠．已知双曲线C ：22142x y -=，O 为坐标原点，l 是点2P ⎛ ⎝⎭处的切线，过左焦点1F 作l 的垂线，垂足为M ，则OM =______．1．已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，求m 的取值范围．2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足2b a =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为（）A ．22145x y -=B ．221810x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=3．已知双曲线的两个焦点()10F ，)2F ，P 是双曲线上一点，且12PF PF ⊥，122PF PF ⋅=，则双曲线的标准方程是（）A ．22123x y -=B ．22132x y -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=4．设1F ，2F 为双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足1290F PF ∠=︒，则12F PF △的面积为（）A B ．2CD ．15．设P 为双曲线2214x y -=上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程为_____________．一、单选题1．（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线222:1(0)y C x m m -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 经过2F 且与C 的右支相交于A ，B 两点，若2AB =，则1ABF 的周长为（）A ．6B ．8C ．10D ．122．（2023春·上海崇明·高二统考期末）已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若212MN AN NB =-⋅ ，则动点M 的轨迹是（）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线3．（2023秋·山西晋中·高二统考期末）与两圆224x y +=及228150x y x +-+=都外切的圆的圆心的轨迹为（）A ．椭圆B ．双曲线的一支C ．抛物线D ．圆4．（2023·全国·高三对口高考）已知两点()()5,0,5,0M N -及直线l ：①530x y -=；②53300x y --=；③0x y -=；④440x y -+=，在直线l 上存在点P 满足6MP NP =+的所有直线方程是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④5．（2023·全国·高三对口高考）若双曲线2221kx ky -=的一个焦点是()0,4，则k 的值为（）A ．332-B ．8C ．332D ．8-6．（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知R k ∈，则“23k -<<”是“方程22122x y k k -=-+表示双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为12,,F F P 为双曲线右支上一点，M 为12PF F △的内切圆上一点，则112F M F F ⋅ 取值范围为（）A ．()18,42B ．()24,36C ．(30-+D ．(6-+8．（2023·全国·高三专题练习）2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O ，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 的周长八等分，2AB BC CD ===AD 所在直线为x 轴，则双曲线的方程为（）A ．22719y x -=B ．2221x y -=C ．22917y x -=D ．22314y x -=二、多选题9．（2023春·广西河池·高二校联考阶段练习）已知m ∈R ，则方程()()22211m x m y -++=所表示的曲线为C ，则以下命题中正确的是（）A ．当1,22m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆B ．当曲线C 表示双曲线时，m 的取值范围是()2,+∞C ．当2m =时，曲线C 表示两条直线D ．存在m ∈R ，使得曲线C 为等轴双曲线10．（2023·全国·高三专题练习）双曲线22:1124x y C -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在C 上.若12PF F △是直角三角形，则12PF F △的面积为（）A B C ．4D ．211．（2023·高二课时练习）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右两个顶点分别是12,A A ，左、右两个焦点分别是12,F F ，P 是双曲线上异于12,A A 的任意一点，给出下列结论，其中正确的是（）A ．122PA PA a-=B ．直线1PA ，2PA 的斜率之积等于定值22b a C ．使得12PF F △为等腰三角形的点P 有且仅有四个D ．若212PA PA b ⋅= ，则120PF PF ⋅= 三、填空题12．（2023春·河南·高二校联考期末）已知1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，124F F =.以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限交于点A ，双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为3π，则直线1F A 的斜率为______.13．（2023春·上海嘉定·高二统考期末）已知圆锥曲线k C 的方程：22194x y k k+=--.当m n 、为正整数，且m n <时，存在两条曲线m C 、n C ，其交点P 与点())12F F 、满足12PF PF ⊥，则满足题意的有序实数对(),m n 共有__________对.14．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，两焦点为12,F F ，直线6x y +=过双曲线的一个焦点，P 为双曲线上一点，且1210,4PF PF ==，则双曲线的方程为__________．15．（2023·河北·校联考一模）设1F ，2F 是双曲线2214x y -=的左、右焦点，P 是双曲线在第一象限部分上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠平分线的垂线，垂足为M ，则OM =______.16．（2023春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）已知1F ，2F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，122PF PF =，则12cos F PF ∠=______．四、解答题17．（2023秋·高二课时练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)以椭圆221169x y +=短轴的两个端点为焦点，且过点(4,5)A -；(2)经过点(3,P -和(7)Q --．18．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F ，)212,2F MF MF -=，点M 的轨迹为C .求C 的方程；19．（2023·全国·高三专题练习）已知圆221:(2)9C x y ++=，圆222:(2)1C x y -+=，动圆P 与圆1C 、圆2C 都外切．圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程；20．（2023·高二单元测试）若双曲线C ：22221x y a b -=上一点(D 到左、右焦点的距离之差的绝对值为2.(1)求双曲线C 的方程；(2)设1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，点P 是双曲线上的点，若126PF PF +=，求12PF F △的面积.21．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考期中）已知双曲线的焦点为1(3,0)F -，2(3,0)F ，且该双曲线过点(2,P -．(1)求双曲线的标准方程；(2)过左焦点1F 作斜率为AB ，求AB 的长；(3)求2F AB 的周长．。
高二数学双曲线及其标准方程2
（4）定义中绝对值去掉有什么 变化？
（5）双曲线和椭圆有何不同之处？
例1:求下列符合条件的双曲线标准 方程：
x y (1)以椭圆 1的焦点为顶 8 5
点，顶点为焦点；
2
2
c 10 （2）过点 (3,9 2 ), a 3 （3）经过点 ( 3,2 7 )和( 6 2 ,7)
x y 1表 练习：若 | m | 2 5 m 示双曲线，求实数m的取值范围。
2
2
例4：某工程要挖一个横截面 为半圆的柱形隧道，挖出的土 只能沿道路AP，BP运到P处 （如图），PA=100m， PB=150m， ∠APB=60°，试 说明怎样运土才能最省工。
x y 思考 : 在双曲线 1上取一点P 16 9 与双曲线的两焦点 F1 , F2构成PF1 F2 , 求PF1 F2的内切圆与边 F1 F2的切点坐标。
2
2
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腥杀戮，人类悲惨的痛哭，还有魔兽兴奋的吼叫，这些场面，夜北冥都冷漠的路过，没有插手。有很多的人，明明有亲手杀了 那些低阶魔兽的机会，偏偏就要跟懦夫似的跪地哭泣，然后没有任何反抗的被扑过来的魔兽咬死。或者等着别人来救，等有些 好运气的被胆子大的给救走了，再次遇到魔兽的时候高声尖叫的把自己的救命恩人给推进去魔兽口送死。这些人该死，救别人 的人也很愚蠢，就算你同情心泛滥， 也要看你救得是一头白眼狼还是真正的人，随便的抛却你的善心得来的不是回报，而是 残忍的伤害。夜北冥如是的想着，直到她经过一个国家，当时有上万只魔兽正在围攻。可是这个国家的人没有一点胆怯，老弱 夫孺，哪怕是一个刚满三岁的小孩子，也都拿起手中的能伤人的武器与魔兽对抗，哪怕下一秒他们就会成为魔兽口中的食物， 也毫不气馁的大声喊着“冲啊！”“赶出这些闯入我们家园的畜生！” “为了青龙王朝，战！战！战！”然后，接着一个又 一个人惨死在魔兽嘴下，这帮人的血性和骨气深深地触动了夜北冥坚硬的内心。于是，她伸手一挥，使出自身已经达到宗师境 的力量，将那些魔兽一一杀死，然后不顾那些已经在原地惊呆的众人人，瞬间消失在原地。用了整整三天的时间，将未央大陆 所有的魔兽聚集到一起，统一赶到了落叶森林，等魔兽们都进去后，选出了当时魔兽当中最强的一只并且成功驯服，由它监督 所有的魔兽不许任何一只踏出落叶森林半步，除非是被人类契约带走的。然后又回到第一次动手的地方，可没想到这里等着那 么多人！地上的血迹还有一些人类和魔兽的尸体都没有完全的处理完，那些在原地或做或战的人一看到夜北冥的身影出现，都 齐刷刷的朝夜北冥跪地喊道：“多谢神灵救我等性命！”只可惜夜北冥在看到她们开始跪地的时候就又消失了，并没有听见后 面的那些话。这次，夜北冥来到了一座王宫内，只是，王宫里一片哭泣声，所有人围着一个巨大的石棺，低着头啜泣，还有几 个的嗓门特别的大，不知是不是故意的，声音特别的尖细。没想到赶上人家办丧事了，夜北冥想趁着众人都没有发现，就飞身 离开，没想到眼前出现一名身着白色孝衣的女子。红着双眼，却满眼的激动，颤抖的说道：“恩人，是您吗？没想到您会来这 里！今天是我母皇入殡的日子，可以请您多留一会吗？”看到夜北冥脸上的拒绝，那名白衣女子立马焦急的摇着双手说 道:"不不不，恩人您不要生气，我是青龙国太女木兮，我没有打扰您宝贵时间的意思，在我们面对群兽的进攻快要支持 不下去的时候，是您救了我们，我的命还是您救得，我的母皇已经在三天前逝去，今日终于可以入殡了，母皇入殡后我就要紧 跟着登基，我想有恩人您的出现，会让母皇在天
湖南省临澧县第一中学高二人教A版数学选修2-1课件：2.3.1双曲线及其标准方程
轨迹方程是 A.1x62 －y92＝1(x≤－4) C.1x62 －y92＝1(x≥4)
B.x92－1y62 ＝1(x≤－3) D.x92－1y62 ＝1(x≥3)
( D)
课堂达标检测
双曲线及其标准方程
4．若方程10x－2 k＋5－y2 k＝1 表示双曲线，则 k 的取值范围是( A )
A. (5,10)
焦点在 y 轴上
图形
标准方程 焦点 焦距
统一形式：
xa22－by22＝1(a>0，b>0) F1(－c,0)，F2(c,0)
mx2＋ny2＝1(mn<0)
ay22－xb22＝1(a>0，b>0)
F1 (0，－c) ，F2 (0，c)
|F1F2|＝2c，c2＝ a2＋b2
哪项为正，焦点就在哪个轴上．
探究
为 340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 解 如图，建立直角坐标系 xOy，设爆炸点 P 的坐标为(x，y)，
则|PA|－|PB|＝340×4＝1 360，即 2a＝1 360，a＝680. 又|AB|＝2 000，所以 2c＝2 000，c＝1 000，b2＝c2－a2＝537 600. 因为|PA|－|PB|＝340×4＝1 360>0，所以 x>0. 因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程为462x2400－537y2600＝1 (x>0)． (2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2
所以 102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，
S ∴ F1PF2 ＝12|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝12×64× 23＝16 3.
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配北师大版)课件2.1双曲线及其标准方程
2
− =1,故
16
a=3,b=4,c=√2 + 2 =5.
(1)由双曲线的定义得||MF1|-|MF2||=2a=6,
又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,
假设点M到另一个焦点的距离等于x,
则|16-x|=6,解得x=10或x=22.
故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将|PF2|-|PF1|=2a=6两边平方得
2×32
所以∠F1PF2=90°,
故△1 2 =
1
1
|PF1|·|PF2|= ×32=16.
2
2
变式探究将本例(2)中的条件“|PF1|·|PF2|=32”改为“∠F1PF2=60°”,求
△F1PF2的面积.
解
2
由
9
2
− =1
16
得 a=3,b=4,c=5.
由双曲线的定义和余弦定理得|PF2|-|PF1|=6,
2.双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法:根据双曲线的定义得到相应的a,b,c,再写出双曲线的标准方程.
2 2
2 2
(2)待定系数法:先设出双曲线的标准方程 2 − 2 = 1 或 2 − 2 (a,b均为
正数),然后根据条件求出待定的系数,代入方程即可.
[注意]若焦点的位置不明确,应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为
变式训练4[人教B版教材习题]相距1 400 m的A,B两个观察站都听到了一声
巨响,且在A处听到的时间比在B处听到的时间早4 s.已知当时的声速是
340 m/s,发出巨响的点与A,B都在水平面上,求发出巨响的点所在曲线的方
程.
解 以线段 AB 的中点为坐标原点,的方向为 x 轴的正方向,建立平面直角
高二数学 2.3.1 双曲线及其标准方程(二)
2.3.1 双曲线及其标准方程（二）
【自主学习】
例1已知A 、B 两地相距800m ， 一炮弹在某处爆炸，在A 处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s ．，并且此时声速为340 m ／s ，(1)爆炸点应在什么样的曲线上？(2)求炮弹爆炸点的轨迹方程． 例2 (课本55页探究)已知点A,B 的坐标分别是(-5,0)，(5,0),直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是4/9，求点M 的轨迹方程。
例3（1）已知ABC ∆的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，使
A C
B sin 2
1
sin sin =-，求点A 的轨迹方程．
（2）求与圆1)3(22=+-y x 及9)3(2
2=++y x 都外切的动圆圆心的轨迹方程．
【课堂检测】
1．椭圆1342
22=+n
y x 和双曲线1162
22=-y
n x 有相同的焦点，则实数n 的值是 。
2. 设21,F F 是双曲线14
22=-y x 的焦点，点P 在双曲线上,且0
2190=∠PF F ,则点P 到x 轴的距离为 。
3．证明：椭圆2252592
2
=+y x 与双曲线15152
2
=-y x 的焦点相同．
4．判断方程
13
92
2=---k y k x 所表示的曲线．。
高二数学双曲线及其标准方程
x2 y 2 (4) 1(m 0, n 0) m n
F1( 6,0), F2 ( 6,0)
(2)a 2, b 2, c 2 , F1(2,0), F2 (2,0) F1 (0, 7 ), F2 (0, 7 )
返回
(4)a m, b n , c m n , F1( m n ,0), F2 ( m n ,0)
2
F1 (0,-c)
两种标准方程的特点
y
M
M o
y
F2
F1
F2
x
F1
x
y x x y 1 a 0 ， b 0 1 a 0 ， b 0 2 2 a b a 2 b2 ① 方程用“－”号连接。 ② a , b 大小不定。
2 2
B
2
2
a b 。 如何确定焦点位置？？ 2 ④如果 x 的系数是正的，则焦点在 x 轴上； 2 如果 y 的系数是正的，则焦点在 y 轴上。
双曲线及其标准方程
揭西县棉湖中学 林悦娜
复习
定义
方程
例题
练习
小结
课后练习
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹. 2. 引入问题 平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
返回 拉链实验
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝 对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做 双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
x y 2. 1(m n 0) 是否表示双曲线？ m n
2
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高二数学双曲线及其标准方程知识精讲
高二数学双曲线及其标准方程知识精讲【自学导引】1．双曲线的标准方程形式为)0,0(12222>>=-b a b y a x 或)0,0(12222>>=-b a bx a y ．2．求双曲线的标准方程就是根据题目条件求出a 、b 的值，并由焦点所在的坐标轴确定方程形式．【思考导学】求双曲线的标准方程的常用方法是待定系数法，常通过列方程、解方程(组)解决．【典例剖析】［例1］若一个动点P (x ，y )到两个定点A (－1，0)、A ′(1，0)的距离差的绝对值为定值a ，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹的形状．解：∵｜AA ′｜＝2，∴(1)当a ＝2时，轨迹方程是y ＝0(x ≥1或x ≤－1)，轨迹是两条射线． (2)当a ＝0时，轨迹是线段AA ′的垂直平分线x ＝0．(3)当0＜a ＜2时，轨迹方程是4142222a y a x --＝1，轨迹是双曲线．点评：注意定值的取值范围不同，所得轨迹方程不同．［例2］一炮弹在某处爆炸，在F 1(－5000，0)处听到爆炸声的时间比在F 2(5000，0)处晚17300秒，已知坐标轴的单位长度为1米，声速为340米/秒，爆炸点应在什么样的曲线上?并求爆炸点所在的曲线方程．解：由声速为340米／秒可知F 1、F 2两处与爆炸点的距离差为340×17300＝6000(米)，因此爆炸点在以F 1、F 2为焦点的双曲线上．因为爆炸点离F 1处比F 2处更远，所以爆炸点应在靠近F 2处的一支上． 设爆炸点P 的坐标为(x ，y )，则｜PF 1｜－｜PF 2｜＝6000，即2a ＝6000，a ＝3000．而c ＝5000，∴b 2＝50002－30002＝40002， ∵｜PF 1｜－｜PF 2｜＝6000＞0，∴x ＞0， 所求双曲线方程为222240003000y x -＝1(x ＞0)． 点评：在F 1处听到爆炸声比F 2处晚17300秒，相当于爆炸点离F 1的距离比F 2远6000米，这是解应用题的第一关——审题关；根据审题结合数学知识知爆炸点所在的曲线是双曲线，这是解应用题的第二关——文化关(用数学文化反映实际问题)．借助双曲线的标准方程写出爆炸点的轨迹方程是解决应用题的第三关——数学关(用数学知识解决第二关提出的问题)．［例3］在面积为1的△PMN 中，tan PMN ＝21，tan MNP ＝－2，建立适当坐标系，求以M 、N 为焦点且过点P 的双曲线方程．解：以MN 所在直线为x 轴，MN 的中垂线为y 轴建立直角坐标系， 设P (x 0，y 0)，M (－c ，0)，N (c ，0)，(y 0＞0，c ＞0)(如图8—6)则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅⋅=-=+122122100000y c c x y c x y ，解得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===2333263500c y x 设双曲线方程为,1432222=--a y ax将点P (332,635)代入，可得a 2＝125 ∴所求双曲线方程为.13112522=-y x点评：选择坐标系应使双曲线方程为标准形式，然后采用待定系数法求出方程．【随堂训练】1．“ab ＜0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的( ) A ．必要但不充分条件 B ．充分但不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若ax 2＋by 2＝c 表示双曲线，即bc y a c x 22+＝1表示双曲线，则ab c 2＜0，这就是说“ab ＜0”是必要条件，然而若ab ＜0，c 可以等于0，即“ab ＜0”不是充分条件．答案：A2．方程ky k x -+-51022＝1表示双曲线，则k ∈( ) A ．(5，10) B ．(－∞，5) C ．(10，＋∞)D ．(－∞，5)∪(10，＋∞)解析：∵方程ky k x -+-51022＝1表示双曲线， ∴(10－k )(5－k )＜0，∴5＜k ＜10． 答案：A3．在双曲线中，25=a c ，且双曲线与椭圆4x 2＋9y 2＝36有公共焦点，则双曲线的方程是( )A ．42y －x 2＝1B ．42x －y 2＝1C ．x 2－42y ＝1D ．y 2－42x ＝1解析：把椭圆的方程写成标准方程4922y x +＝1， ∴椭圆的焦点坐标是(±5，0)． ∵双曲线与椭圆有相同的焦点， ∴双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝5，∵25=a c ，∴a ＝2， ∴b 2＝c 2－a 2＝1，∴双曲线的方程为42x －y 2＝1．答案：B4．过(1，1)点且2=ab的双曲线的标准方程为( )A ．212x －y 2＝1B ．212y －x 2＝1C ．x 2－212y ＝1D ． 212x －y 2＝1或212y －x 2＝1解析：当双曲线的焦点在x 轴上时，则双曲线的方程为22222ay a x -＝1，∵点(1，1)在双曲线上，∴22211aa -＝1，a 2＝21，b 2＝2a 2＝1，∴双曲线的方程为212x －y 2＝1，当双曲线的焦点在y 轴上时，同样可求得双曲线的方程为212y －x 2＝1．答案：D5．焦点在x 轴上，中心在原点且经过点P (27，3)和Q (－7，－62)的双曲线方程是______．解析：依题意可设双曲线方程为：2222by a x -＝1(a >0，b >0)∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=-1)26()7(13)72(22222222b a b a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-1724919282222b a b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==252522b a∴双曲线的方程为752522y x -＝1 答案：752522y x -＝1 6．P 是双曲线x 2－y 2＝16的左支上一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，则|PF 1|－|PF 2|＝______．解析：由x 2－y 2＝16知a ＝4又∵P 在双曲线x 2－y 2＝16的左支上 ∴|PF 1|－|PF 2|＝－2a ＝－8 即|PF 1|－|PF 2|＝－8． 答案：－8【强化训练】1．已知双曲线的焦距为26，c a 2＝1325，则双曲线的标准方程是( )A ．1692522y x -＝1 B ．1692522x y -＝1 C ．1442522y x -＝1 D ．1442522y x -＝1或1442522x y -＝1 解析：∵2c ＝26，c a 2＝1325，∴c ＝13，a 2＝25． ∴b 2＝132－25＝144．∴双曲线的标准方程为1442522y x -＝1或1442522x y -＝1． 答案：D2．F 1、F 2为双曲线42x －y 2＝－1的两个焦点，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是( )A ．2B ．4C ．8D ．16 解析：双曲线42x －y 2＝－1的两个焦点是F 1(0，－5)、F 2(0，5)，∵∠F 1PF 2＝90°，∴｜PF 1｜2＋｜PF 2｜2＝｜F 1F 2｜2．即｜PF 1｜2＋｜PF 2｜2＝20 ① ∵｜PF 1｜－｜PF 2｜＝±2，∴｜PF 1｜2－2｜PF 2｜·｜PF 1｜＋｜PF 2｜2＝4 ②①－②得2｜PF 1｜·｜PF 2｜＝16，∴21PF F S ∆＝21｜PF 1｜·｜PF 2｜＝4．答案：B3．双曲线的焦点在y 轴上，且它的一个焦点在直线5x －2y ＋20＝0上，两焦点关于原点对称，35=a c ，则此双曲线的方程是( )A ．643622y x -＝1 B ．366422y x -＝1 C ．643622y x -＝－1 D ．366422y x -＝－1 解析：在方程5x －2y ＋20＝0中，令x ＝0得：y ＝10，∵双曲线的一个焦点在直线5x －2y ＋20＝0上又在y 轴上，且两焦点关于原点对称， ∴c ＝10， ∵35=a c ，∴a ＝6，∴b 2＝c 2－a 2＝100－36＝64． ∴双曲线的方程为643622x y -＝1，即366422y x -＝－1． 答案：D4．椭圆2224a y x +＝1与双曲线2222y ax -＝1有相同焦点，则a 的值是______． 解析：∵椭圆2224a y x +＝1与双曲线2222y ax -＝1有相同的焦点∴2242a a -=+ 即a 2＋2＝4－a 2，∴a 2＝1，即a ＝±1． 答案：a ＝±15．已知F 1、F 2是双曲线91622y x -＝1的焦点，PQ 是过焦点F 1的弦，那么|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |的值是______．916∴2a ＝8由双曲线的定义得|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8 ① |QF 2|－|QF 1|＝2a ＝8 ②①＋②得|PF 2|＋|QF 2|－(|PF 1|＋|QF 1|)＝16 ∴|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |＝16 答案：166．求与圆A ：(x ＋5)2＋y 2＝49和圆B ：(x －5)2＋y 2＝1都外切的圆的圆心P 的轨迹方程． 解：∵｜PA ｜－｜PB ｜＝7－1＝6．∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的一支． 设P 点的坐标为(x ，y )， ∵2a ＝6，c ＝5，∴b ＝4．故点P 的轨迹方程是16922y x -＝1(x ＞0)． 7．已知曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1．(1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．解：(1)由⎩⎨⎧-==-1122kx y y x 消y ，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0由⎪⎩⎪⎨⎧>-+=≠-0)1(8401222k k Δk 得k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1，1)∪(1，2) (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)得x 1＋x 2＝－212k k -，x 1x 2＝－212k- 又l 过点D (0，－1) ∴Ｓ△OAB ＝Ｓ△OAD ＋Ｓ△OBD ＝21｜x 1｜＋21｜x 2｜＝21｜x 1－x 2｜＝2 ∴(x 1－x 2)2＝(22)2即(212k k --)2＋218k-＝８ ∴k ＝0或k ＝±26． 8．已知双曲线的焦点为F 1(－c ，0)、F 2(c ，0)，过F 2且斜率为53的直线交双曲线于P 、Q 两点，若OP ⊥OQ ，｜PQ ｜＝４，求双曲线的方程．22ba将②代入①并整理得：(5b 2－3a 2)x 2＋6a 2cx －(3a 2c 2＋5a 2b 2)＝0 ③设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)∵OP ⊥OQ ，∴2211x y x y ⋅＝－1 即1)(53)(532211-=-⋅-x c x x c x化简得3c (x 1＋x 2)－８x 1x 2－3c 2＝0 ⑥将④、⑥及c 2＝a 2＋b 2代入⑥式并整理得 3a 4＋８a 2b 2－3b 4＝0即(a 2＋3b 2)(3a 2－b 2)＝0但a 2＋3b 2≠0，∴b 2＝3a 2从而c ＝22b a +＝2a 由｜PQ ｜＝４得 (x 1－x 2)2［53(x 2－c )－53(x 1－c )］2＝４2整理得：(x 1＋x 2)2－４x 1x 2－10＝0 ⑦ 将④、⑤式及b 2＝3a 2，c ＝2a 代入⑦式解得a 2＝1同时b 2＝3a 2＝3所以所求双曲线的方程为：x 2－32y ＝1．【学后反思】求双曲线的标准方程应先判断焦点所在的坐标轴，其次再确定a 、b 的值．已知△PF 1F 2(P 为双曲线上的点，F 1、F 2为双曲线的焦点)的某些元素时，往往利用正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义列出关系式．动圆与定圆相切时，求动圆圆心的轨迹方程可借助相切的条件，确定圆心的轨迹，然后再求方程．。
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1、椭圆的第一定义
2、椭圆的标准方程 思考： 若改为“到两定点的距离差为 常数”，这样的点的轨迹怎样？方 程又怎样？
思考：|MF1| 和|MF2|哪个 大？
平面内与两个定点F1、F2的距离的差的 绝对值是常数 （2a，a＞0且小于|F1F2|） 的点的轨迹
二、双曲线的定义
平面内与两个定点F1、F2的距离的差的 绝对值是常数（2a，a＞0且小于|F1F2|） 的点的轨迹叫做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的焦点，
两个焦点的距离|F1F2|叫做双曲线的焦距。
定义 图象
MF1 MF2 2a， 0 2a F1F2
方程
x y 2 1 2 a b
2
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y x 2 1 2 a b
2
2
焦点 a.b.c的 关系
F c, 0
F 0, c
2
c a b
2 2
谁正谁是 a
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例4：某工程要挖一个横截面 为半圆的柱形隧道，挖出的土 只能沿道路AP，BP运到P处 （如图），PA=100m， PB=150m， ∠APB=60°，试 说明怎样运土才能最省工。
x y 思考 : 在双曲线 1上取一点P 16 9 与双曲线的两焦点 F1 , F2构成PF1 F2 , 求PF1 F2的内切圆与边F1 F2的切点坐标。
x y 1 的两 （3）双曲线 9 16
个焦点F1，F2，A是双曲线上的 一点，且|AF1|=8，则 |AF2|=_______. （4）求与⊙C1 ⊙C2：（x-3)2+y2=9都外切的圆M 的圆心M的轨迹方程。
2 2 ：(x+3) +y =1和
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x y 例3：已知双曲线 1 9 16 的左、右焦点为F1，F2，点P 在双曲线上，∠F1PF2=60°， 求△F1PF2的面积。
思考： 1）当2a=|F1F2|时，动点M的轨迹是什么？ 动点M的轨迹是分别以点F1、F2为端点， 方向指向F1F2外侧的两条射线． 2）当2a>|F1F2|时，动点M的轨迹是什么？ 动点M的轨迹不存在. 3）若常数2a=0,轨迹是什么? 线段F1F2的垂直平分线
（4）定义中绝对值去掉有什么 变化？
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例2： （1）已知两点F1（-5，0）， F2（5（2）双曲线 2 2 1( a 0, b 0) a b
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的过焦点F1的弦AB长为m（A，B在 同一支上），另一焦点为F2，则 △ABF2的周长为__________.
（5）双曲线和椭圆有何不同之处？
例1:求下列符合条件的双曲线标准 方程：
x y (1)以椭圆 1的焦点为顶 8 5
点，顶点为焦点；
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c 10 （2）过点 (3,9 2 ), a 3 （3）经过点 ( 3, 2 7 )和( 6 2 ,7 )
x y 1表 练习：若 | m | 2 5 m 示双曲线，求实数m的取值范围。
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达着一路走来了。然而，并排挤坐在车前的耿正兄妹三人，都只顾了呆呆地望着车前出神，谁也没有注意到在他们的车后面竟然跟着 走来这么三个不速之客。晃晃悠悠走了一会儿，耿正兄妹三人几乎同时望见了远处的五道庙，耿英的眼泪再一次汹涌而出，哗哗地流 淌下来„„耿正伸出左臂抱住妹妹的肩膀，耿直用右手紧紧地攥住姐姐的左手。兄妹三人的心越抽越紧！五道爷啊，俺们父子四人当 年从你东侧的大道转弯南下创业之前，曾经跪在你的面前焚香许愿了啊！俺们满腔热血一身正气，为得是光宗耀祖造福乡里，你怎么 不保佑俺们父子四人全都平平安安地回来呢！五道庙近在咫尺了，耿英泪流满面地说：“哥，你停车！让俺下去！”耿正只好轻轻吆 喝大白骡，将骡车停在了五道庙的西侧。大骡车刚刚停稳，耿英就催促哥哥赶快下车。耿正吃惊地看到，自己的双脚刚一着地，妹妹 就推开他快速地自己跳下车来，并且脸色苍白，发疯似地朝五道庙跑去了！今儿个是三月初三，由于一早起来就有人来给五道爷敬香， 所以负责管理五道庙的人在前一天傍晚就已经把庙门敞开了。只见耿英跌跌撞撞地冲到庙门前，用颤抖的右手指着端坐在庙堂里的五 道爷塑像哭喊道：“五道爷啊，俺们走之前是给你烧香磕头许愿了的啊，可你为什么不保佑俺们啊！俺们的爹呢？你，你，你还俺爹 爹！你还俺爹„„”耿英声嘶力竭地哭喊着，一口气没有接上来，眼见着就要晕倒了，好在耿正和耿直此时已经跑了过来，一左一右 扶住了似乎失去知觉的耿英。耿正赶快使劲掐妹妹的人中，耿直吓坏了，大声哭喊起来：“姐，你醒醒！姐你快醒醒啊！俺害怕，你 快醒醒呀！”一刻，耿英慢慢苏醒过来，无力地由哥哥和弟弟搀扶着，再次大放悲声：“五道爷啊，你还俺爹爹„„”耿正和耿直也 都痛哭开了„„忽然，驾着骡车站在五道庙西侧的大白骡“嗬儿嗬儿”啸叫起来。只见它一边啸叫着，一边还不停地用一个前蹄子刨 着地面。耿正知道，辛辛苦苦为他们千里迢迢拉车回来的这头可爱的骡子是非常通人性的，于是停止了痛哭，对弟弟和妹妹说：“都 别哭了，看大白骡那是在干什么呢！”就在这个时候，忽然听到一阵颤颤巍巍的吟唱声由远渐进，但唱些什么却听不清楚。远远地看 到，一头棕色的高头大骡正拉着一挂大平车从五道庙东侧的大道上慢慢悠悠地走来。驾车的好像是一个年青人，他旁边坐着一位长者 正在吟唱呢！耿英和弟弟想起来那一年在五道庙前烧香磕头许愿之后，爹爹在东去南下的路上给他们即兴吟唱的情景，再次痛哭失 声„„耿英更是挣脱了哥哥和弟弟的搀扶，痛哭着扑倒在香炉前面。跪爬几步之后，她无力地拍打着供桌，再一次手指庙里的五道爷 塑像：“你，你还俺爹啊五道爷„„”而此时，通人性的大白骡却更