2021年高考数学二轮复习课时跟踪检测二十二理

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高考数学二轮复习课时跟踪检测(二十二)理

课时跟踪检测（二十二）A组——12＋4提速练一、选择题1．(2017·沈阳质检)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )解析：选A 函数f(x)的定义域为R，由f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)知函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，排除C；又由f(0)＝ln 1＝0，可排除B，D.故选A.2．(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝243，b＝323，c＝2513，则( )A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b解析：选A a＝243＝423，b＝323，c＝2513＝523.∵y＝x 23在第一象限内为增函数，又5＞4＞3，∴c＞a＞b.3．(2017·陕西质检)已知a＝213-，b＝(22log3)12-，c＝14⎠⎛πsin xdx，则实数a，b，c的大小关系是( )A．a>c>b B．b>a>c C．a>b>c D．c>b>a解析：选C 依题意得，a＝213-，b＝312-，c＝－14cos x|π0＝12，所以a6＝2－2＝14，b6＝3－3＝127，c6＝⎝⎛⎭⎪⎫126＝164，则a6>b6>c6，即a>b>c，故选C.4．函数f(x)＝e x＋x－2的零点所在的一个区间是( )A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析：选C ∵f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，∴f(0)·f(1)<0，故函数f(x)＝e x＋x－2的零点所在的一个区间是(0,1)，故选C.5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2020年 B ．2021年 C ．2022年D ．2023年解析：选B 设2017年后的第n 年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n ＞200，得1.12n＞2013，两边取常用对数，得n ＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2021年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 当x ≤0时，f (x )＝x 2－2，令x 2－2＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝－2，即在区间(－∞，0]上，函数只有一个零点．当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x ，f ′(x )＝2＋1x，由x >0知f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，而f (1)＝－4<0，f (e)＝2e －5>0，f (1)·f (e )<0，从而f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．故函数f (x )的零点个数是2.7．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln (2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)单调递增 B ．f (x )在(0,2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称解析：选C 由题易知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0,2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，所以排除A 、B ；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝ln 34，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 32＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫2－32＝ln 34，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 34，所以排除D.故选C. 8．(2017·贵阳检测)已知函数f (x )＝ln(x 2－4x －a )，若对任意的m ∈R ，均存在x 0使得f (x 0)＝m ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)B ．(－4，＋∞)C ．(－∞，－4]D ．[－4，＋∞)解析：选D 依题意得，函数f (x )的值域为R ，令函数g (x )＝x 2－4x －a ，其值域包含(0，＋∞)，因此对于方程x 2－4x －a ＝0，有Δ＝16＋4a ≥0，解得a ≥－4，即实数a 的取值范围是[－4，＋∞)，故选D.9．(2018届高三·河北五校联考)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则2m ＋1n的最小值为( )A ．2 2B ．4C.52D.92解析：选D 由函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)知，当x ＝－2时，y ＝－1，所以A 点的坐标为(－2，－1)，又因为点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m＋n ＝2，所以2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝2＋n m ＋m n ＋12≥52＋2n m ·m n ＝92，当且仅当m ＝n ＝23时等号成立．所以2m ＋1n 的最小值为92，故选D.10．(2017·长春质检)已知定义域为R 的函数f (x )的图象经过点(1,1)，且对任意实数x 1<x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>－2，则不等式f (log 2|3x －1|)<3－log 2|3x－1|的解集为( )A ．(－∞，0)∪(0,1)B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)∪(0,3)D ．(－∞，1)解析：选A 令F (x )＝f (x )＋2x ，由对任意实数x 1<x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>－2，可得f (x 1)＋2x 1<f (x 2)＋2x 2，即F (x 1)<F (x 2)，所以F (x )在定义域内单调递增，由f (1)＝1，得F (1)＝f (1)＋2＝3，f (log 2|3x－1|)<3－log 2|3x－1|等价于f (log 2|3x－1|)＋2log 2|3x－1|<3，令t ＝log 2|3x－1|，则f (t )＋2t <3，即F (t )<3，所以t <1，即log 2|3x－1|<1，从而0<|3x－1|<2，解得x <1，且x ≠0.故选A.11．(2017·石家庄模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x＋x ＋x 2，x ≥0，－x －x ＋x 2，x <0，若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,1]解析：选D 若x >0，则－x <0，f (－x )＝x ln(1＋x )＋x 2＝f (x )，同理可得x <0时，f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．当x ≥0时，易知f (x )＝x ln(1＋x )＋x 2为增函数，所以不等式f (－a )＋f (a )≤2f (1)等价于2f (a )≤2f (1)，即f (a )≤f (1)，亦即f (|a |)≤f (1)，则|a |≤1，解得－1≤a ≤1，故选D.12．(2017·合肥质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2＋e ，x ≤2，xln x＋a ＋10，x >2，(e 是自然对数的底数)，若f (2)是函数f (x )的最小值，则a 的取值范围是( )A ．[－1,6]B ．[1,4]C ．[2,4]D ．[2,6]解析：选D 当x >2时，f (x )＝x ln x＋a ＋10，f ′(x )＝ln x －1x2，令f ′(x )>0，解得x >e ，令f ′(x )<0，解得x <e ，所以f (x )在(2，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，即函数f (x )在x >2时的最小值为f (e)；当x ≤2时，f (x )＝(x －a )2＋e 是对称轴方程为x ＝a 的二次函数，欲使f (2)是函数的最小值，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，f f ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，－a 2＋e≤e＋a ＋10，解得2≤a ≤6，故选D.二、填空题13．(2017·广州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤0，1－log 2x ，x >0，若|f (a )|≥2，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ≤0时，1－a ≥1，所以21－a≥2，即|f (a )|≥2恒成立；当a >0时，由|f (a )|≥2可得|1－log 2a |≥2，所以1－log 2a ≤－2或1－log 2a ≥2，解得a ≥8或0<a ≤12.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[8，＋∞)．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[8，＋∞) 14．(2017·宝鸡质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a＝0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实数根得，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有唯一公共点．在同一平面直角坐标系中画出直线y ＝－x 与函数y ＝f (x )的大致图象(图略)，平移直线y ＝－x ，当平移到该直线在y 轴上的截距大于1时，相应直线与函数y ＝f (x )的图象有唯一公共点，即此时关于x 的方程有且只有一个实数根，因此a >1，即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)15．(2018届高三·广西三市联考)已知在(0，＋∞)上函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，0<x <1，1，x ≥1，则不等式log 2x －(log 144x －1)·f (log 3x ＋1)≤5的解集为________．解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋1≥1，log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫log 144x －1≤5或⎩⎪⎨⎪⎧0<log 3x ＋1<1，log 2x ＋144x －，解得1≤x ≤4或13<x <1，∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤13，4.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤13，416．(2017·沈阳模拟)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________.解析：f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x ，0<x <1，log 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0<m <n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，n >1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，n >1，mn ＝1，所以0<m 2<m <1，则f (x )在[m 2,1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)>f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以n m＝9.答案：9B 组——能力小题保分练1．(2017·长沙模拟)对于满足00，于是c a ＋b －b 24a a ＝1＋b a －14⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，对满足02.故选D. 2．(2017·云南检测)已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d解析：选D f (x )＝2 017－(x －a )·(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2017，又f (a )＝f (b )＝2 017，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d, 所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D.3．(2017·南昌模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，且当x ∈[1,2]时，f (x )＝ln x －x ＋1，若函数g (x )＝f (x )＋mx 有7个零点，则实数m 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－16，ln 2－18∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 28，1－ln 26B.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－16，ln 2－18C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 28，1－ln 26D.⎝⎛⎭⎪⎫ln 2－16，1－ln 28 解析：选A 函数g (x )＝f (x )＋mx 有7个零点，即函数y ＝f (x )的图象与y ＝－mx 的图象有7个交点．当x ∈[1,2]时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x －1＝1－xx<0，此时f (x )单调递减，且f (1)＝0，f (2)＝ln 2－1.由f (2－x )＝f (x )知函数图象关于x ＝1对称，而f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x )＝f [－(2－x )]＝f (x －2)，故f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为2的函数．易知m ≠0，当－m <0时，作出函数y ＝f (x )与y ＝－mx 的图象，如图所示．则要使函数y ＝f (x )的图象与y ＝－mx的图象有7个交点，需有⎩⎪⎨⎪⎧－8m <f，－6m >f ，即⎩⎪⎨⎪⎧－8m <ln 2－1，－6m >ln 2－1，解得1－ln 28<m <1－ln 26.同理，当－m >0时，可得ln 2－16<m <ln 2－18.综上所述，实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫ln 2－16，ln 2－18∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 28，1－ln 26.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≥0，log 3－x ，x <0，函数g (x )＝[f (x )]2＋f (x )＋t ，t ∈R ，则下列判断不正确的是( )A ．若t ＝14，则g (x )有一个零点B ．若－2<t <14，则g (x )有两个零点C ．若t <－2，则g (x )有四个零点D ．若t ＝－2，则g (x )有三个零点解析：选C 作出函数f (x )的图象如图所示，当t ＝14时，由[f (x )]2＋f (x )＋t ＝0得f (x )＝－12，结合图象知g (x )有一个零点，故A 正确；当－2<t <14时，由[f (x )]2＋f (x )＋t ＝0知f (x )的一个值小于－12，另一个值大于－12小于1，结合图象知g (x )有两个零点，故B 正确；当t <－2时，由[f (x )]2＋f (x )＋t ＝0知f (x )的一个值小于－2，另一个值大于1，结合图象知g (x )有三个零点，故C 不正确；当t ＝－2时，f (x )＝1或－2，结合图象知，g (x )有三个零点，故D 正确．5．(2018届高三·广东五校联考)已知e 为自然对数的底数，若对任意的x 1∈[0,1]，总存在唯一的x 2∈[－1,1]，使得x 1＋x 22e x 2－a ＝0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，e]B ．(1，e]C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1＋1e ，e D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1e ，e 解析：选C 令f (x 1)＝a －x 1，则f (x 1)＝a －x 1在x 1∈[0,1]上单调递减，且f (0)＝a ，f (1)＝a －1.令g (x 2)＝x 22e x 2，则g ′(x 2)＝2x 2e x 2＋x 22e x 2＝x 2e x 2(x 2＋2)，且g (0)＝0，g (－1)＝1e ，g (1)＝e.若对任意的x 1∈[0,1]，总存在唯一的x 2∈[－1,1]，使得x 1＋x 22e x 2－a ＝0成立，即f (x 1)＝g (x 2)，则f (x 1)＝a －x 1的最大值不能大于g (x 2)的最大值，即f (0)＝a ≤e，因为g (x 2)在[－1,0]上单调递减，在(0,1]上单调递增，所以当g (x 2)∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e 时，存在两个x 2使得f (x 1)＝g (x 2)．若只有唯一的x 2∈[－1,1]，使得f (x 1)＝g (x 2)，则f (x 1)的最小值要比1e 大，所以f (1)＝a －1>1e ，即a >1＋1e ，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1＋1e ，e ，故选C. 6．(2017·合肥质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x 2－2x ＋1，x ≥0.方程[f (x )]2－af (x )＋b ＝0(b ≠0)有6个不同的实数解，则3a ＋b 的取值范围是( )A ．[6,11]B ．[3,11]C ．(6,11)D ．(3,11)解析：选D 首先作出函数f (x )的图象(如图)，对于方程[f (x )]2－af (x )＋b ＝0，可令f (x )＝t ，那么方程根的个数就是f (x )＝t 1与f (x )＝t 2的根的个数之和，结合图象可知，要使总共有6个根，需要一个方程有4个根，另一个方程有2个根，从而可知关于t 的方程t 2－at ＋b ＝0有2个根，分别位于区间(0,1)与(1,2)内，进一步由根的分布得出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧b >0，1－a ＋b <0，4－2a ＋b >0，画出可行域(图略)，计算出目标函数z ＝3a ＋b 的取值范围为(3,11)，故选D.。

2021年高考数学二轮复习课时跟踪检测 21坐标系与参数方程理数(含答案解析)

课时跟踪检测坐标系与参数方程1．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是Error!(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ－3=0.(1)求直线l 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|.2．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为Error!(α为参数)．以直角坐标系的原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos =.直线(θ＋π3)12l 与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求直线l 的直角坐标方程；(2)设点P(1,0)，求|PA|·|PB|的值．3．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为Error!(α为参数)，直线C 2的方程为y=x ，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．33(1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于P ，Q 两点，求|OP|·|OQ|的值．4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：Error!(α为参数，t>0)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρcos =.(θ－π4)2(1)若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；(2)若曲线C 上存在点到l 的距离的最大值为＋，求t 的值．6225．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为Error!(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos =3.(θ＋π4)2(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若点M 在曲线C 1上，点N 在曲线C 2上，求|MN|的最小值及此时点M 的直角坐标．6．在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A(2,1)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点．(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若|PQ|2=|AP|·|AQ|，求直线l的斜率k.7．平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M(－2，－4)，以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cos θ.(1)写出直线l的参数方程(α为常数)和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|=40，求倾斜角α的值．8．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为Error!(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜2角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．答案解析1．解：(1)由Error!消去t 得，y=2x ，把Error!代入y=2x ，得ρsin θ=2ρcos θ，所以直线l 的极坐标方程为sin θ=2cos θ.(2)因为ρ2=x 2＋y 2，y=ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2y －3=0，即x 2＋(y ＋1)2=4.圆C 的圆心C(0，－1)到直线l 的距离d=，55所以|AB|=2=.4－d229552．解：(1)由ρcos =得ρcos θcos －ρsin θsin =，即ρcos θ－ρsin(θ＋π3)12π3π3121232θ=，12又ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，∴直线l 的直角坐标方程为x －y －1=0.3(2)由Error!(α为参数)得曲线C 的普通方程为x 2＋4y 2=4，∵P(1,0)在直线l 上，故可设直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，将其代入x 2＋4y 2=4得7t 2＋4t －12=0，∴t 1·t 2=－，3127故|PA|·|PB|=|t 1|·|t 2|=|t 1·t 2|=.1273．解：(1)曲线C 1的普通方程为(x －)2＋(y －2)2=4，3即x 2＋y 2－2x －4y ＋3=0，则曲线C 1的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋3=0.33∵直线C 2的方程为y=x ，∴直线C 2的极坐标方程为θ=(ρ∈R)．33π6(2)设P(ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)，将θ=(ρ∈R)代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋3=0得，ρ2－5ρ＋3=0，∴ρ1ρπ632=3，∴|OP|·|OQ|=ρ1ρ2=3.4．解：(1)因为直线l 的极坐标方程为ρcos =，(θ－π4)2即ρcos θ＋ρsin θ=2，所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2=0.因为Error!(α为参数，t>0)，所以曲线C 的普通方程为＋y 2=1(t>0)，x2t2由Error!消去x 得，(1＋t 2)y 2－4y ＋4－t 2=0，所以Δ=16－4(1＋t 2)(4－t 2)<0，又t>0，解得0<t<，故t 的取值范围为(0，)．33(2)由(1)知直线l 的方程为x ＋y －2=0，故曲线C 上的点(tcos α，sin α)到l 的距离d=，|tcos α＋sin α－2|2故d max ==＋，解得t=±.t2＋1＋226222又t>0，∴t=.25．解：(1)由曲线C 1的参数方程可得曲线C 1的普通方程为＋=1，由ρcos =3x29y23(θ＋π4)，得ρcos θ－ρsin θ=6，∴曲线C 2的直角坐标方程为x －y －6=0.2(2)设点M 的坐标为(3cos β，sin β)，点M 到直线x －y －6=0的距离d=3==，|3cos β－3sin β－6|2|23sin (β－π3)＋6|26＋23sin (β－π3)2当sin =－1时，|MN|有最小值，最小值为3－，此时点M 的直角坐标为(β－π3)26.(332，－32)6．解：(1)由题意知直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，因为ρ=2sin θ，所以ρ2=2ρsin θ，把y=ρsin θ，x 2＋y 2=ρ2代入得x 2＋y 2=2y ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2=2y.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程，得t 2＋(4cos α)t ＋3=0，由Δ=(4cos α)2－4×3>0，得cos 2α>，34由根与系数的关系，得t 1＋t 2=－4cos α，t 1t 2=3.不妨令|AP|=|t 1|，|AQ|=|t 2|，所以|PQ|=|t 1－t 2|，因为|PQ|2=|AP|·|AQ|，所以(t 1－t 2)2=|t 1|·|t 2|，则(t 1＋t 2)2=5t 1t 2，得(－4cos α)2=5×3，解得cos 2α=，满足cos 2α>，151634所以sin 2α=，tan 2α=，116115所以k=tan α=±.15157．解：(1)直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，ρsin 2θ=2cos θ，即ρ2sin 2θ=2ρcos θ，将x=ρcos θ，y=ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为y 2=2x.(2)把直线l 的参数方程代入y 2=2x ，得t 2sin 2α－(2cos α＋8sin α)t ＋20=0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由一元二次方程根与系数的关系得，t 1＋t 2=，t 1t 2=，2cos α＋8sin αsin2α20sin2α根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA|·|MB|=|t 1t 2|==40，得α=或α=20sin2απ4.3π4又Δ=(2cos α＋8sin α)2－80sin 2α>0，所以α=.π48．解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2=1.当α=时，l 与⊙O 交于两点．π2当α≠时，记tan α=k ，则l 的方程为y=kx －.π22l 与⊙O 交于两点需满足<1，21＋k2解得k<－1或k>1，即α∈或α∈.(π2，3π4)(π4，π2)综上，α的取值范围是.(π4，3π4)(2)l 的参数方程为Error!.设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，(t 为参数，π4<α<3π4)t B ，t P ，则t P =，且t A ，t B 满足t 2－2tsin α＋1=0.tA ＋tB22于是t A ＋t B =2sin α，t P =sin α.22又点P 的坐标(x ，y)满足Error!所以点P 的轨迹的参数方程是Error!.(α为参数，π4<α<3π4)。

高考数学二轮复习课时跟踪检测二十二文

课时跟踪检测（二十二）A 组——12＋4提速练一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A 由题意得，f (1)＝3，所以f (x )>f (1)，即f (x )>3.当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0；当 x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．2．在R 上定义运算：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x －b )＞0的解集是(2,3)，则a ＋b ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 由题知(x －a )⊗(x －b )＝(x －a )[1－(x －b )]＞0，即(x －a )[x －(b ＋1)]＜0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.3．已知正数a ，b 的等比中项是2，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由正数a ，b 的等比中项是2，可得ab ＝4，又m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，所以m＋n ＝a ＋b ＋1a ＋1b ＝a ＋b ＋a ＋b ab ＝54(a ＋b )≥54×2ab ＝5，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故m ＋n 的最小值为5.4．(2017·合肥质检)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤4，y ≥2，则目标函数z ＝x ＋2y的最大值为( )A ．5B ．6 C.132D ．7解析：选C 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知，当直线z ＝x ＋2y 经过直线x －y ＝－1与x ＋y ＝4的交点，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52时，z 取得最大值，z max ＝32＋2×52＝132，故选C.5．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．6．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：选A 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.7．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( ) A ．8 B ．4 C ．2D ．1解析：选B ∵a 2＋b 2＋c 2＝4，∴2ab ＋2bc ＋2ac ≤(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(a 2＋c 2)＝2(a 2＋b 2＋c 2)＝8，∴ab ＋bc ＋ac ≤4(当且仅当a ＝b ＝c ＝233时等号成立)，∴ab ＋bc ＋ac 的最大值为4.8．(2017·惠州调研)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2·a －53＝－4，解得a ＝2，故选B.9．当x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，y －4≤x ，x －7y ≤2时，－2≤kx－y ≤2恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，35D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，0解析：选D 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设z ＝kx －y ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝2，y －4＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即B (－2,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝2，x －7y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，即C (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝x ，x －7y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－1，即A (－5，－1)，要使不等式－2≤kx －y ≤2恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－2k －2≤2，－2≤2k ≤2，－2≤－5k ＋1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤k ≤0，－1≤k ≤1，－15≤k ≤35，所以－15≤k ≤0，故选D.10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )A.12万元C ．17万元D ．18万元解析：选D 设该企业每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，每天获得的利润为z 万元，则有z ＝3x ＋4y ，由题意得x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图中阴影部分所示，根据线性规划的有关知识，知当直线z ＝3x ＋4y 过点B (2,3)时，z 取最大值18，故该企业每天可获得的最大利润为18万元．11．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞) 解析：选B 由题可知，1＝1x ＋4y ≥24xy＝4xy，即xy ≥4，于是有m 2－3m >x ＋y4≥xy≥4，故m 2－3m >4，化简得(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．12．(2017·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋3，x ≤1，x ＋2x，x >1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，3916 C ．[－23，2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，3916 解析：选A 法一：根据题意，作出f (x )的大致图象，如图所示．当x ≤1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 恒成立，结合图象，只需x 2－x ＋3≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a ，即x 2－x 2＋3＋a ≥0，故对于方程x 2－x 2＋3＋a ＝0，Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－4(3＋a )≤0，解得a ≥－4716；当x >1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，结合图象，只需x ＋2x ≥x 2＋a ，即x 2＋2x ≥a ，又x 2＋2x ≥2，当且仅当x 2＝2x，即x ＝2时等号成立，所以a ≤2. 综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2.法二：关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R 上恒成立等价于－f (x )≤a ＋x2≤f (x )，即－f (x )－x 2≤a ≤f (x )－x2在R 上恒成立，令g (x )＝－f (x )－x2.若x ≤1，则g (x )＝－(x 2－x ＋3)－x2＝－x 2＋x2－3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142－4716，当x ＝14时，g (x )max ＝－4716；若x >1，则g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋2x ≤－23，当且仅当3x 2＝2x ，且x >1，即x ＝233时，等号成立，故g (x )max ＝－2 3. 综上，g (x )max ＝－4716.令h (x )＝f (x )－x2，若x ≤1，则h (x )＝x 2－x ＋3－x 2＝x 2－32x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋3916，当x ＝34时，h (x )min ＝3916；若x >1，则h (x )＝x ＋2x －x 2＝x 2＋2x≥2，当且仅当x 2＝2x，且x >1，即x ＝2时，等号成立，故h (x )min ＝2. 综上，h (x )min ＝2.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2. 二、填空题13．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：由x >a ，知x －a >0，则2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥2 x －a2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32.答案：3214．若2x ＋4y＝4，则x ＋2y 的最大值是________．解析：因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y，所以2x ＋2y≤4＝22，即x ＋2y ≤2，所以当且仅当2x＝22y＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.答案：215．如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －1≤0，y －2≤0，且z ＝yx ＋a 的最小值为12，则正数a 的值为________．解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x ＝1，y ＝1时，z 取最小值12，即11＋a ＝12，所以a ＝1.答案：116．对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0”，给出如下一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c >0的解集为(－2,1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为(－2,1)．参考上述解法，若关于x 的不等式kx ＋a ＋x ＋b x ＋c <0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则关于x的不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为________．解析：不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0，可化为k a ＋1x ＋b ＋1xc ＋1x <0，故得－1<1x <－13或12<1x<1，解得－3<x <－1或1<x <2，故kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为(－3，－1)∪(1,2)．答案：(－3，－1)∪(1,2)B 组——能力小题保分练1．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，y ≥0，则z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最小值为( )A ．1 B.324C.116D.132解析：选D 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝2－3x －y ，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x ＝1，y ＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x－y最小，最小值为132.故选D.2．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，4x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为6，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．3C ．2D ．4解析：选B 依题意画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分．∵a >0，b >0，∴当直线z ＝ax ＋by 经过点(2,4)时，z 取得最大值6， ∴2a ＋4b ＝6，即a ＋2b ＝3.∵1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋2b )×13＝53＋2b 3a ＋2a3b ≥3，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立， ∴1a ＋2b的最小值为3.故选B.3．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为a n (n ∈N *)，若m >1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1对于任意的正整数恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫19，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，19D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，19解析：选 A 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n表示的平面区域为直线x ＝0，y ＝0，y ＝－nx＋3n 围成的直角三角形(不含直角边)，区域内横坐标为1的整点有2n 个，横坐标为2的整点有n 个，所以a n ＝3n ，所以1a n a n ＋1＝13nn ＋＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫19⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1为单调递增数列，故当n 趋近于无穷大时，19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1趋近于19，所以m ≥19.故选A. 4．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域上的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP ―→＋OQ ―→|的最小值为( )A.255 B.55 C.233D.33解析：选B 作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分所示．设P (x ，y )，Q (a ，－2a )，则OP ―→＋OQ ―→＝(x ＋a ，y －2a )，则|OP ―→＋OQ ―→|＝x ＋a2＋y －2a2，设z ＝|OP ―→＋OQ ―→|，则z 的几何意义为可行域内的动点P 到动点M (－a,2a )的距离，其中M 也在直线2x ＋y ＝0上，由图可知，当点P 为(0,1)，M 为P 在直线2x ＋y ＝0上的垂足时，z 取得最小值d ＝122＋1＝15＝55.5．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a ＋2c 的最大值为( )A.6＋2 B ．6－2 C ．22＋2D ．22－2解析：选B 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立，得ax 2＋(b －2a )x＋c －b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ca －12⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1，又4ac －4a 2≥0，∴4·c a －4≥0，∴c a －1≥0，令t ＝c a －1，则t ≥0.当t >0时，b 2a 2＋2c 2≤4t2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t＋4≤426＋4＝6－2（当且仅当t ＝62时等号成立），当t ＝0时，b2a 2＋2c 2＝0<6－2，故b 2a 2＋2c 2的最大值为6－2，故选B.6．(2017·广州模拟)满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋x ＋y －，0≤x ≤a 的点(x ，y )组成的图形的面积是5，则实数a 的值为________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋x ＋y －，0≤x ≤a等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，0≤x ≤a或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，0≤x ≤a .画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x ≥0所表示的平面区域如图中△ABC 及其内部，易知A (1,2)，因为S△ABC＝12×1×2＝1<5，所以a >1.画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋x ＋y －，0≤x ≤a 所表示的平面区域，如图中的△ABC 和△ADE 所示．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，0≤x ≤a所对应的平面区域是△ADE 及其内部，易知D (a ，a ＋1)，E (a,3－a )，所以S △ADE ＝12×(a －1)×(a ＋1－3＋a )＝5－1，解得a ＝3(a ＝－1舍去)．答案：3。

2021年高考数学二轮复习课时跟踪检测 22不等式选讲理数(含答案解析)

课时跟踪检测不等式选讲1．已知定义在R上的函数f(x)=|x－m|＋|x|，m∈N*，存在实数x使f(x)<2成立．(1)求实数m的值；(2)若α≥1，β≥1，f(α)＋f(β)=4，求证：4α＋1β≥3.2．设f(x)=|x|＋2|x－a|(a>0)．(1)当a=1时，解不等式f(x)≤4；(2)若f(x)≥4，求实数a的取值范围．3．设函数f(x)=|2x＋1|＋|x－1|.(1)画出y=f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．4．已知函数f(x)=|x－m|，m<0.(1)当m=－1时，求解不等式f(x)＋f(－x)≥2－x；(2)若不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，求m的取值范围．5．设函数f(x)=|x －a|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2a (a ≠0，a ∈R)． (1)当a=1时，解不等式f(x)≤5；(2)记f(x)的最小值为g(a)，求g(a)的最小值．6．已知函数f(x)=|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f(x)≤3；(2)记函数g(x)=f(x)＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，证明：t 2＋1≥3t＋3t.7．设函数f(x)=|x －1|.(1)求不等式f(x)≤3－f(x －1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f(x)≤f(x ＋1)－|x －a|的解集为M ，若⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32⊆M ，求实数a 的取值范围．8．已知f(x)=|2x －1|＋|ax －5|(0<a<5)． (1)当a=1时，求不等式f(x)≥9的解集；(2)若函数y=f(x)的最小值为4，求实数a 的值．答案解析1．解：(1)因为|x －m|＋|x|≥|(x －m)－x|=|m|. 所以要使不等式|x－m|＋|x|<2有解，则|m|<2，解得－2<m<2.因为m ∈N *，所以m=1. (2)证明：因为α≥1，β≥1，所以f(α)＋f(β)=2α－1＋2β－1=4，即α＋β=3，所以4α＋1β=13⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋1β(α＋β)=13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4βα＋αβ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24βα·αβ=3. 当且仅当4βα=αβ，即α=2，β=1时等号成立，故4α＋1β≥3.2．解：(1)当a=1时，f(x)=|x|＋2|x －1|=⎩⎪⎨⎪⎧2－3x ，x<0，2－x ，0≤x ≤1，3x －2，x>1.当x<0时，由2－3x ≤4，得－23≤x<0；当0≤x ≤1时，由2－x ≤4，得0≤x ≤1；当x>1时，由3x －2≤4，得1<x ≤2.综上，不等式f(x)≤4的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，2. (2)f(x)=|x|＋2|x －a|=⎩⎪⎨⎪⎧2a －3x ，x<0，2a －x ，0≤x ≤a ，3x －2a ，x>a.可见，f(x)在(－∞，a]上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．当x=a 时，f(x)取得最小值a. 若f(x)≥4恒成立，则应a ≥4. 所以a 的取值范围为[4，＋∞)．3．解：(1)f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x<－12，x ＋2，－12≤x<1，3x ，x ≥1.y=f(x)的图象如图所示．(2)由(1)知，y=f(x)的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f(x)≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5. 4．解：(1)设F(x)=f(x)＋f(－x)=|x －1|＋|x ＋1| =⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x<－1，2，－1≤x<1，G x ＝2－x ，2x ，x ≥1，由F(x)≥G(x)解得{x|x ≤－2或x ≥0}．(2)f(x)＋f(2x)=|x －m|＋|2x －m|，m<0. 设g(x)=f(x)＋f(2x)，当x ≤m 时，g(x)=m －x ＋m －2x=2m －3x ，则g(x)≥－m ；当m<x<m 2时，g(x)=x －m ＋m －2x=－x ，则－m2<g(x)<－m ；当x ≥m 2时，g(x)=x －m ＋2x －m=3x －2m ，则g(x)≥－m 2.则g(x)的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－m 2，＋∞，不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，即1>－m2，解得m>－2，由于m<0，则m 的取值范围是(－2,0)．5．解：(1)当a=1时，f(x)=|x －1|＋|x ＋2|，故f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x>1，3，－2≤x ≤1，－2x －1，x<－2.①当x>1时，由2x ＋1≤5，得x ≤2，故1<x ≤2；②当－2≤x ≤1时，由3≤5，得x ∈R ，故－2≤x ≤1； ③当x<－2时，由－2x －1≤5，得x ≥－3，故－3≤x<－2. 综上，不等式的解集为[－3,2]．(2)f(x)=|x －a|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2a ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2a =⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2a ≤0时等号成立，所以g(a)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a ，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a =|a|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ≥2|a|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a =22，当且仅当|a|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ，即a=±2时等号成立，所以g(a)min =2 2.6．解：(1)依题意，得f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x<12，3x ，x ≥12，于是f(x)≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x<12，2－x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1.故不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x ≤1}．(2)证明：g(x)=f(x)＋|x ＋1|=|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x －1－2x －2|=3，当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时取等号， ∴M=[3，＋∞)．t 2＋1≥3t ＋3t 等价于t 2－3t ＋1－3t≥0，t 2－3t ＋1－3t =t 3－3t 2＋t －3t =t －3t 2＋1t.∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2＋1>0，∴t －3t 2＋1t ≥0，∴t 2＋1≥3t＋3t.7．解：(1)因为f(x)≤3－f(x －1)，所以|x －1|≤3－|x －2|，即|x －1|＋|x －2|≤3，则⎩⎪⎨⎪⎧ x<1，3－2x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ≤2，1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x>2，2x －3≤3，解得0≤x<1或1≤x ≤2或2<x ≤3，所以0≤x ≤3，故不等式f(x)≤3－f(x －1)的解集为[0,3]．(2) 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32⊆M ，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，f(x)≤f(x ＋1)－|x －a|恒成立，而f(x)≤f(x ＋1)－|x －a|⇔|x －1|－|x|＋|x －a|≤0⇔|x －a|≤|x|－|x －1|，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，所以|x －a|≤1，即x －1≤a ≤x ＋1，由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32恒成立，所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 8．解：(1)当a=1时，f(x)=|2x －1|＋|x －5|=⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ，x<12，x ＋4，12≤x<5，3x －6，x ≥5，∴f(x)≥9⇔⎩⎪⎨⎪⎧x<12，6－3x ≥9或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x<5，x ＋4≥9或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥5，3x －6≥9.解得x ≤－1或x ≥5，即所求不等式的解集为(－∞，－1]∪[5，＋∞)．(2)∵0<a<5，∴5a>1，则f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2x ＋6，x<12，2－a x ＋4，12≤x ≤5a，a ＋2x －6，x>5a.∵当x<12时，f(x)单调递减，当x>5a时，f(x)单调递增，∴f(x)的最小值在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5a 上取得， ∵在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5a 上，当0<a ≤2时，f(x)单调递增，当2<a ≤5时，f(x)单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤2，f x min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4或⎩⎪⎨⎪⎧2<a ≤5，f x min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ＝4.解得a=2.。

课时跟踪检测(二十二) 民主集中制：我国人民代表大会制度的组织和活动原则

课时跟踪检测(二十二)民主集中制：我国人民代表大会制度的组织和活动原则一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．辛亥革命后，中国开始效仿西方的议会民主。

1913年春，国民党在国会选举中获得了多数席位，其民主派代表宋教仁准备以多数党身份组阁，竟遭军阀集团刺杀身亡。

1923年，北洋军阀曹锟以5 000银元一票的价格收买国会议员590人，被选为大总统，史称为“贿选总统”。

上述事实证明了()①西方的资本主义民主制在中国行不通②人民代表大会制度的建立具有历史必然性③西方的议会民主不是真正的民主制度④中国不具备建立民主制度的历史条件A．①②B．②③C．③④D．①④2．倍加珍惜、长期坚持人民代表大会制度，是因为人民代表大会制度()①与我国人民民主专政的国体相适应②具有显著的优越性③是中国社会主义政治文明的重要制度载体④以民主集中制为其组织和活动原则A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④2013年3月，十二届全国人大一次会议在京召开。

会上，代表们先后听取和审议了国务院、最高人民法院、最高人民检察院的工作报告。

据此回答3～4题。

3．在十二届全国人大一次会议上，代表们先后听取和审议了国务院、最高人民法院和最高人民检察院的工作报告。

这表明()A．国家机构实行民主集中制原则B．国家机构实行依法治国原则C．国家机关要对全国人大负责，不能独立行使其职权D．国家机关要对人民负责4．下列对我国的人民代表大会制度与美国政体的区别，表述正确的是()A．二者都是民主共和制B．美国政体三权分立、相互制衡，我国的人民代表大会制度使国家权力高度集中C．美国政体是按照三权分立制的原则组织的，而我国的人民代表大会制度则是按照民主集中制原则组织活动的D．美国政体是资产阶级专制的体现，人民代表大会制度是人民当家作主的重要形式5．近年来，全国人大在立法过程中，突破了“小范围立法”模式，推行“开门立法”，在立法过程中，越来越注重公众的参与，广泛征求方方面面的意见，这有利于()①增强公民的民主意识②提高立法的质量③人民直接行使国家立法权④反映民意，集中民智A．①②③④B．②③④C．①③④D．①②④6．安徽省某乡副乡长李某，因为发展乡村集体经济有功，在乡政府换届选举中当选为乡长。

新课程同步人教B高中数学必修第二册练习：课时跟踪检测二十二向量的减法含解析

课时跟踪检测（二十二）向量的减法A 级——学考水平达标练1．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A ．EF ―→＝OF ―→＋OE ―→ B ．EF ―→＝OF ―→－OE ―→ C ．EF ―→＝－OF ―→＋OE ―→D ．EF ―→＝－OF ―→－OE ―→解析：选B 由向量的减法法则知B 正确．2．在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是( ) A ．AB ―→－DC ―→＝0 B ．AD ―→－BA ―→＝AC ―→ C ．AB ―→－AD ―→＝BD ―→D ．AD ―→＋CB ―→＝0 解析：选C 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB ―→＝DC ―→，AB ―→－DC ―→＝0，AD ―→－BA ―→＝AD ―→＋AB ―→＝AC ―→，AB ―→－AD ―→＝DB ―→，AD ―→＋CB ―→＝AD ―→＋DA ―→＝0，故只有C 错误．3．在△ABC 中，BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，则AB ―→等于( ) A ．a ＋b B ．－a ＋(－b ) C ．a －bD ．b －a解析：选B 如图，∵BA ―→＝BC ―→＋CA ―→＝a ＋b ，∴AB ―→＝－BA ―→＝－a －b .4.如图，向量AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，CD ―→＝c ，则向量BD ―→可以表示为( )A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．b －a ＋cD ．b －a －c解析：选C BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝AC ―→－AB ―→＋CD ―→＝b －a ＋c .5．已知向量|a |＝2，|b |＝4，且a ，b 不是方向相反的向量，则|a －b |的取值范围是( ) A ．(2,6) B ．[2,6) C ．(2,6]D ．[2,6]解析：选B 由已知必有||a |－|b ||≤|a －b |＜|a |＋|b |，则所求的取值范围是[2, 6)，故选B.6．对于向量a ，b ，当且仅当________时，有|a －b |＝||a |－|b ||.解析：当a ，b 不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a －b |＞||a |－|b ||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a －b |＝||a |－|b ||.答案：a 与b 同向7．如图，已知六边形ABCDEF 是一正六边形，O 是它的中心，其中OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，则EF ―→等于________．解析：EF ―→＝CB ―→＝OB ―→－OC ―→＝b －c . 答案：b －c8.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA ―→－BC ―→－OA ―→＋OD ―→＋DA ―→＝________.解析：由题图知BA ―→－BC ―→－OA ―→＋OD ―→＋DA ―→＝CA ―→－OA ―→＋OA ―→＝CA ―→. 答案：CA ―→9.如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AE ―→＝c ，试用a ，b ，c 表示向量BD ―→，BC ―→，BE ―→，CD ―→及CE ―→.解：∵四边形ACDE 是平行四边形，∴CD ―→＝AE ―→＝c ，BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝b －a ，BE ―→＝AE ―→－AB ―→＝c －a ，CE ―→＝AE ―→－AC ―→＝c －b ，∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝b －a ＋c .10.如图，在▱ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b .(1)当a ，b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 所在的直线互相垂直？ (2)a ＋b 与a －b 有可能为相等向量吗？为什么？解：(1)AC ―→＝AB ―→＋AD ―→＝a ＋b ，DB ―→＝AB ―→－AD ―→＝a －b . 若a ＋b 与a －b 所在的直线互相垂直，则AC ⊥BD .因为当|a |＝|b |时，四边形ABCD 为菱形，此时AC ⊥BD ，故当a ，b 满足|a |＝|b |时，a ＋b 与a －b 所在的直线互相垂直． (2)不可能．因为▱ABCD 的两对角线不可能平行，所以a ＋b 与a －b 不可能为共线向量，更不可能为相等向量．B 级——高考水平高分练1．(多选题)下列各式能化简为AD ―→的是( ) A ．(AB ―→－DC ―→)－CB ―→ B ．AD ―→－(CD ―→＋DC ―→)C ．－(CD ―→＋MC ―→)－(DA ―→＋DM ―→) D ．－BM ―→－DA ―→＋MB ―→解析：选ABC 对A ，(AB ―→－DC ―→)－CB ―→＝AB ―→＋CD ―→＋BC ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AD ―→；对B ，AD ―→－(CD ―→＋DC ―→)＝AD ―→－0＝AD ―→；对C ，－(CD ―→＋MC ―→)－(DA ―→＋DM ―→)＝－MD ―→－DA ―→－DM ―→＝DM ―→＋AD ―→－DM ―→＝AD ―→；对D ，－BM ―→－DA ―→＋MB ―→＝MB ―→＋AD ―→＋MB ―→＝AD ―→＋2MB ―→.2．对于不等式|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |给出下列四个结论： ①不等式左端的不等号“≤”只能在a ＝b ＝0时取等号“＝”；②不等式左端的不等号“≤”只能在a 与b 均为非零向量且不共线时取不等号“<”； ③不等式右端的不等号“≤”只能在a 与b 均为非零向量且同向共线时取等号“＝”； ④不等式右端的不等号“≤”只能在a 与b 均为非零向量且不共线时取不等号“<”．其中正确的结论有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．4个解析：选B ①当a ＝－b ≠0时也成立；②当b ≠0，a ＝0时，“<”也成立；③当a ，b 有一个为0时也成立；④正确．3．平面上有三点A ，B ，C ，设m ＝AB ―→＋BC ―→，n ＝AB ―→－BC ―→，若m ，n 的长度恰好相等，则有( )A ．A ，B ，C 三点必在同一直线上 B ．△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶角C ．△ABC 必为直角三角形且∠B ＝90°D ．△ABC 必为等腰直角三角形解析：选C ∵|m |＝|n |，AB ―→＋BC ―→＝AB ―→－CB ―→，AB ―→－BC ―→＝AB ―→＋CB ―→，∴|AB ―→－CB ―→|＝|AB ―→＋CB ―→|，如图．即▱ABCD 的对角线相等，∴▱ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，选C.4．已知|OA ―→|＝a ，|OB ―→|＝b (a >b )，|AB ―→|的取值范围是[5,15]，则a ，b 的值分别为________．解析：∵a －b ＝||OA ―→|－|OB ―→||≤|OA ―→－OB ―→|＝|AB ―→|≤|OA ―→|＋|OB ―→|＝a ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝15，a －b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝5.答案：10,55.已知△OAB 中，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，满足|a |＝|b |＝|a －b |＝2，求|a ＋b |与△OAB 的面积．解：由已知得|OA ―→|＝|OB ―→|，以OA ―→，OB ―→为邻边作平行四边形OACB ，则可知其为菱形，且OC ―→＝a ＋b ，BA ―→＝a －b ，由于|a |＝|b |＝|a －b |，则OA ＝OB ＝BA ， ∴△OAB 为正三角形，∴|a ＋b |＝|OC ―→|＝2×3＝23， S △OAB ＝12×2×3＝ 3.6．三个大小相同的力a ，b ，c 作用在同一物体P 上，使物体P 沿a 方向做匀速运动，设PA ―→＝a ，PB ―→＝b ， PC ―→＝c ，判断△ABC 的形状．解：由题意得|a |＝|b |＝|c |，由于合力作用后做匀速运动，故合力为0，即a ＋b ＋c ＝0.所以a ＋c ＝－b .如图，作平行四边形APCD 为菱形．PD ―→＝a ＋c ＝－b ，所以∠APC ＝120°.同理∠APB＝∠BPC＝120°. 又因为|a|＝|b|＝|c|，所以△ABC为等边三角形．。

2021年高考数学二轮复习课时跟踪检测 18不等式小题练理数(含答案解析)

课时跟踪检测不等式（小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1．设a>b ，a ，b ，c ∈R ，则下列式子正确的是( )A ．ac 2>bc 2B.a b >1C ．a －c>b －cD ．a 2>b 22．已知f(n)=n 2＋1－n ，g(n)=n －n 2－1，φ(n)=12n，n ∈N *，n>2，则f(n)，g(n)，φ(n)的大小关系是( ) A ．φ(n)<f(n)<g(n) B ．φ(n)≤f(n)<g(n) C ．f(n)<φ(n)<g(n) D ．f(n)≤φ(n)<g(n)3．已知第一象限的点(a ，b)在直线2x ＋3y －1=0上，则2a ＋3b的最小值为( )A ．24B ．25C ．26D ．274．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z=2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．不等式x 2＋x －6x ＋1>0的解集为( )A ．{x|－2<x<－1，或x>3}B ．{x|－3<x<－1，或x>2}C ．{x|x<－3，或－1<x<2}D ．{x|x<－3，或x>2}6．若函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，－2x ＋12，x ≤0，则“0<x<1”是“f(x)<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，y －2≤0，则2x ＋y 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．78．已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x<0，若f(3－a 2)<f(2a)，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(－3,1)C ．(－2,0)D ．(－3,2)9．已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x2a对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．910．已知a ＞b ＞1，且2log a b ＋3log b a=7，则a ＋1b 2－1的最小值为( )A ．3B ． 3C ．2 D. 211．已知关于x 的不等式ax 2－ax －2a 2>1(a>0，a ≠1)的解集为(－a,2a)，且函数f(x)=⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 2＋2mx －m －1的定义域为R ，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0] C ．(0,1] D ．[－1,1]12若变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，x ＋y －6≤0，x －1≥0，则xy 的取值范围是( )A ．[0,5]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤5，354C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，354D ．[0,9]二、填空题13．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．14．已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________．15．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z=x ＋y 的最大值为________．16．已知函数f(x)=x 2＋ax ＋b(a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c=________.B 级——难度小题强化练1．若关于x 的不等式x 2＋ax －2＜0在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞)2．若关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是( )A.63 B ．233C.433D.2633．设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆[1,3]，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，115 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，115 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，115 D ．[－1,3]4．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需消耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为( ) A ．1 800元 B ．2 100元 C ．2 400元 D ．2 700元5．当x ∈(0,1)时，不等式41－x ≥m －1x恒成立，则m 的最大值为________．6．已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，3x ＋4y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________．答案解析A 级——12＋4提速练1．答案为：C a>b ，若c=0，则ac 2=bc 2，故A 错；a>b ，若b<0，则a b <1，故B 错；a>b ，不论c 取何值，都有a －c>b －c ，故C 正确；a>b ，若a ，b 都小于0，则a 212n ，所以f(n)<φ(n)<g(n)．故选C.3．答案为：B 因为第一象限的点(a ，b)在直线2x ＋3y －1=0上，所以2a ＋3b －1=0，a>0，b>0，即2a ＋3b=1，所以2a ＋3b =⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b (2a ＋3b)=4＋9＋6b a ＋6a b ≥13＋2 6b a ·6ab=25，当且仅当6b a =6a b ，即a=b=15时取等号，所以2a ＋3b的最小值为25.4．答案为：C 作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y=0，平移该直线，可知当直线过点A(2，－1)时，z=2x ＋y 取得最大值，且z max =2×2－1=3.5．答案为：B x 2＋x －6x ＋1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x －6>0，x ＋1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6<0，x ＋1<0，解得－3<x<－1或x>2.选B.6．答案为：A 当0<x<1时，f(x)=log 2x<0，所以“0<x<1”⇒“f(x)<0”；若f(x)<0，则⎩⎪⎨⎪⎧x>0，log 2x<0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－2x ＋12<0，解得0<x<1或－1<x ≤0，所以－1<x<1，所以“f(x)<0”⇒/ “0<x<1”．故选A.7．答案为：B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z=2x ＋y ，作出直线2x ＋y=0并平移该直线，易知当直线经过点A(1,2)时，目标函数z=2x ＋y 取得最小值，且z min =2×1＋2=4，故选B.8．答案为：B 如图，画出f(x)的图象，由图象易得f(x)在R 上单调递减，∵f(3－a 2)<f(2a)，∴3－a 2>2a ，解得－3<a<1.9．答案为：C 原不等式可化为x 2a ≥1＋x 2－1＋x ，令1＋x=t ，t ≥1，则x=t 2－1.所以t 2－12a ≥1＋t 2－12－t=t 2－2t ＋12=t －122对t ≥1恒成立，所以t ＋12a ≥12对t ≥1恒成立．又a 为正的常数，所以a ≤[2(t ＋1)2]min =8，故a 的最大值是8.10．答案为：A 令log a b=t ，由a ＞b ＞1得0＜t ＜1,2log a b ＋3log b a=2t ＋3t =7，得t=12，即log a b=12，a=b 2，所以a ＋1b 2－1=a －1＋1a －1＋1≥2a －1·1a －1＋1=3，当且仅当a=2时取等号．故a ＋1b 2－1的最小值为3.11．答案为：B 当a>1时，由题意可得x 2－ax －2a 2>0的解集为(－a,2a)，这显然是不可能的．当0<a<1时，由题意可得x 2－ax －2a 2<0的解集为(－a,2a)，且⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 2＋2mx －m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0，即x 2＋2mx －m ≥0恒成立，故对于方程x 2＋2mx －m=0，有Δ=4m 2＋4m ≤0，解得－1≤m ≤0.12．答案为：D 依题意作出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，结合图形可知，xy 的最小值为0(当x=1，y=0时取得)；xy ≤x(6－x)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋6－x 22=9，即xy ≤9，当x=3，y=3时取等号，即xy 的最大值为9，故选D.13．解析：由x>a ，知x －a>0，则2x ＋2x －a =2(x －a)＋2x －a ＋2a ≥22x －a ·2x －a ＋2a=4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32.答案为：3214．解析：设3α－β=m(α－β)＋n(α＋β)=(m ＋n)α＋(n －m)β，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.因为－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π.答案为：(－π，2π)15．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x ＋y=z 过点A 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点A(5,4)，∴z max =5＋4=9.答案为：916．解析：由函数值域为[0，＋∞)知，函数f(x)=x 2＋ax ＋b(a ，b ∈R)的图象在x 轴上方，且与x 轴相切，因此有Δ=a 2－4b=0，即b=a 24，∴f(x)=x 2＋ax ＋b=x 2＋ax ＋a 24=⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.∴f(x)=⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，解得－c<x ＋a 2<c ，－c －a 2<x<c －a 2.∵不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋6)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c －a 2=2c=6，解得c=9.答案为：9B 级——难度小题强化练1．答案为：A 法一：因为x ∈[1,4]，则不等式x 2＋ax －2＜0可化为a ＜2－x 2x =2x－x ，设f(x)=2x－x ，x ∈[1,4]，由题意得只需a ＜f(x)max ，因为函数f(x)为区间[1,4]上的减函数，所以f(x)max =f(1)=1，故a ＜1.法二：设g(x)=x 2＋ax －2，函数g(x)的图象是开口向上的抛物线，过定点(0，－2)，因为g(x)＜0在区间[1,4]上有解，所以g(1)＜0，解得a ＜1.2．答案为：C ∵关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，∴Δ=16a 2－12a 2=4a 2＞0，又x 1＋x 2=4a ，x 1x 2=3a 2，∴x 1＋x 2＋a x 1x 2=4a ＋a 3a 2=4a ＋13a ≥24a ·13a =433，当且仅当a=36时取等号．∴x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433. 3．答案为：A 设f(x)=x 2－2ax ＋a ＋2，因为不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，且A ⊆[1,3]，所以对于方程x 2－2ax ＋a ＋2=0，若A=∅，则Δ=4a 2－4(a ＋2)<0，即a 2－a －2<0，解得－1<a<2；若A ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4a ＋2≥0，f 1≥0，f 3≥0，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3.所以2≤a ≤115.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－1，115，故选A.4．答案为：C 设生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为z 元．根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，z=300x ＋400y.作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0所表示的可行域，如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y=0并平移，当直线经过点A(0,6)时，z 有最大值，z max =400×6=2 400，故选C.5．解析：由已知不等式可得m ≤1x ＋41－x，∵x ∈(0,1)，∴1－x ∈(0,1)，∵x ＋(1－x)=1，∴1x ＋41－x =⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41－x [x ＋(1－x)]=5＋1－x x ＋4x 1－x ≥5＋2 1－x x ·4x 1－x =9，当且仅当1－xx =4x 1－x ，即x=13时取等号，∴m ≤9，即实数m 的最大值为9. 答案为：96．解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，x ＋2y ＋3x ＋1=1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1表示可行域中的点(x ，y)与点P(－1，－1)连线的斜率．由图可知，当x=0，y=3时，x ＋2y ＋3x ＋1取得最大值，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y ＋3x ＋1max =9.因为点P(－1，－1)在直线y=x 上，所以当点(x ，y)在线段AO上时，x ＋2y ＋3x ＋1取得最小值，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y ＋3x ＋1min=3.所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,9]．答案为：[3,9]。

2021届高考数学(理)二轮总复习课时跟踪检测(一) 12个基础考点组合练

第一部分高考层级专题突破层级一12个基础考点自查自检课时跟踪检测(一)12个基础考点组合练A一、选择题1．(2019·桃城区校级月考)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|1≤2x≤8，x ∈Z}，则A∩B＝()A．[－1,3] B．{0,1}C．[0,2] D．{0,1,2}解析：选D因为集合A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|1≤2x≤8，x∈Z}＝{x|0≤x≤3，x∈Z}＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1,2}．故选D．2．(2019·湘潭二模)已知复数z＝4－1－i，则复数z在复平面内对应点的坐标为()A．(－2，－2) B．(－2,2)C．(2,2) D．(2，－2)解析：选B z＝4－1－i＝－41＋i＝－4(1－i)(1＋i)(1－i)＝－4－4i2＝－2＋2i，∴对应点的坐标为(－2,2)，故选B．3．(2019·通州区一模)“m>0”是“方程x2m－y2m＋2＝1表示双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A由“方程x2m－y2m＋2＝1表示双曲线”得：m(m＋2)>0，即m>0或m<－2，又“m>0”是“m>0或m<－2”的充分不必要条件，所以“m>0”是“方程x2m－y2m＋2＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A．4．(2019·临沂模拟)命题“存在实数x0，使ln x0<x20－1”的否定是() A．对任意的实数x，都有ln x<x2－1B ．对任意的实数x ，都有ln x ≥x 2－1C ．不存在实数x 0，使ln x 0≥x 20－1D ．存在实数x 0，使ln x 0≥x 20－1解析：选B 因为特称命题的否定是全称命题，命题“存在实数x 0，使ln x 0<x 20－1”的否定是“对任意的实数x ，都有ln x ≥x 2－1”．故选B ．5．(2019·吉安一模)如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE→＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ等于( )A ．－12B ．12C ．1D ．－1解析：选A 由题意得DE→＝DA →＋AE →＝DA →＋14AC →＝－AD →＋14(AB →＋AD →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，即λ＋μ＝－12，故选A ．6．(2019·宣城二模)在直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝2，AC ＝4，P 在△ABC 斜边BC 的中线AD 上，则AP →·(PB→＋PC →)的最大值为( ) A ．258 B ．52 C ．254D ．252解析：选B 以A 为坐标原点，以AB →，AC →方向分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C (0,4)，D (1,2)．设P (x,2x )，所以PB →＝(2－x ，－2x )，PC →＝(－x,4－2x )，AP →＝(x,2x )，所以AP →·(PB→＋PC →)＝－10x 2＋10x ，所以当x ＝12时，数量积取得最大值52.故最大值为52.故选B ．7．(2019·长春三模)已知e 1，e 2是两个单位向量，且夹角为π3，则(e 1－2e 2)·(－2e 1＋e 2)＝( )A ．－32B ．－36 C ．12D ．33解析：选A e 1，e 2是两个单位向量，且夹角为π3，则(e 1－2e 2)·(－2e 1＋e 2)＝－2e 21＋5e 1·e 2－2e 22＝－4＋5×1×1×12＝－32.故选A ． 8．(2019·海口模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y ＋4≤0，x ≥1，x ＋y －5≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C由变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y ＋4≤0，x ≥1，x ＋y －5≥0，作出可行域如图阴影部分，因为z ＝x ＋2y 可化为y ＝－12x ＋z 2，因此z 2最小时，z 最小，而z2表示直线y ＝－12x ＋z2在y 上的截距，结合图象可知，直线y ＝－12x ＋z2过点A 时，截距最小，即z 最小；由⎩⎨⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －5＝0，解得A (2,3)，所以z min ＝2＋6＝8.故选C ．9．(2019·济宁一模)已知正项等比数列{a n }满足：a 2a 8＝16a 5，a 3＋a 5＝20，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝32，则1m ＋4n 的最小值为( )A ．34B ．910C ．32D ．95解析：选A 由等比数列的性质得a 2a 8＝a 25＝16a 5，所以a 5＝16，又因为a 3＋a 5＝20，所以a 3＝4，所以a 1＝1，q ＝2，因为a m a n ＝32，所以2m ＋n －2＝32＝25，所以m ＋n ＝12，所以1m ＋4n ＝112(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝112⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4m n ＋n m ≥34⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当n m ＝4m n 时等号成立，故选A ． 10．(2019·松江区二模)如图所示，直角坐标平面被两坐标轴和两条直线y ＝±x 等分成八个区域(不含边界)，已知数列{a n }，S n 表示数列{a n }的前n 项和，对任意的正整数n ，均有a n (2S n －a n )＝1，当a n >0时，点P n (a n ，a n ＋1)( )A ．只能在区域②B ．只能在区域②和④C ．在区域①②③④均会出现D ．当n 为奇数时，点P n 在区域②或④，当n 为偶数时，点P n 在区域①或③ 解析：选B 任意的正整数n ，均有a n (2S n －a n )＝1，则S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ，①∴S n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1＋1a n ＋1，②②－①得a n＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n＋1－a n＋1a n＋1－1a n，即a n＋1－1a n＋1＝－a n－1a n.∵a n>0，∴a n＋1－1a n＋1<0，解得a n＋1<－1或0<a n＋1<1，故点P n(a n，a n＋1)只能在区域②和④.故选B．11．(2019·中原联考)第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报道．工作过程中的任务划分为：“负重扛机”“对象采访”“文稿编写”“编制剪辑”等四项工作，每项工作至少一人参加，但两名女记者不参加“负重扛机”，则不同的安排方案数共有()A．150种B．126种C．90种D．54种解析：选B记两名女记者为甲、乙，三名男记者为丙、丁、戊．根据题意，分情况讨论：(1)甲、乙一起参加除了“负重扛机”的三项工作之一：C13×A33＝18(种)；(2)甲、乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况：①丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有A23×C23×A22＝3×2×3×2＝36(种)；②甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：A23×C13×C12×A22＝72(种)，由分类计数原理，可得共有18＋36＋72＝126(种)．故选B．12．(2019·郴州二模)已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为()A ．240,18B ．200,20C ．240,20D ．200,18解析：选A 样本容量n ＝(250＋150＋400)×30%＝240，抽取的户主对四居室满意的人数为：150×30%×40%＝18.故选A ．二、填空题13．(2019·浙江模拟)已知实数x ，y 满足x 2＋4y 2＝2，则xy 的最大值为________．解析：实数x ，y 满足x 2＋4y 2＝2，则2＝x 2＋4y 2≥4|xy |，当且仅当|x |＝2|y |时取等号，即|xy |≤12，∴－12≤xy ≤12，故xy 的最大值为12. 答案：1214．(2019·宣城二模)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，y －x ≤1，x ≤1，则z ＝(x ＋1)2＋(y＋1)2的最小值为________．解析：作出x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，y －x ≤1，x ≤1对应的平面区域如图中阴影部分，z 的几何意义为区域内的点到定点D (－1，－1)的距离的平方，由图象可知，D 到直线：x ＋y －1＝0的距离最小，此时d ＝|－1－1－1|2＝32，则z ＝d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝92.答案：9215．(2019·青岛模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1x 2(1＋x 2)5展开式中x 2的系数为________．解析：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1x 2(1＋x 2)5＝(1＋x 2)5＋1x (1＋x 2)5＋1x 2(1＋x 2)5， ∴展开式中x 2项的系数之和为：C 15＋C 25＝5＋10＝15.答案：1516．(2019·临川模拟)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(x,1－y )且a ∥b ，若实数x ，y 均为正数，则3x ＋1y 的最小值是________．解析：∵向量a ＝(1,3)，b ＝(x,1－y )且a ∥b ， ∴3x ＋y ＝1.∵实数x ，y 均为正数，∴3x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1y (3x ＋y )＝9＋3x y ＋3yx ＋1≥10＋23x y ·3yx ＝16.当且仅当3x y ＝3yx 时取等号， ∴3x ＋1y 的最小值是16. 答案：16课时跟踪检测(二) 12个基础考点组合练B一、选择题1．(2019·合肥模拟)已知集合A ＝{x ||x －2|>1}，B ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(2,3)D ．(0,1]解析：选B A ＝{x ||x －2|>1}＝{x |x －2>1或x －2<－1}＝{x |x >3或x <1}，B ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}＝{x |2x －x 2>0}＝{x |0<x <2}，则∁R A ＝{x |1≤x ≤3}，则(∁R A )∩B ＝{x |1≤x <2}，故选B ．2．(2019·娄底二模)复数z 满足(1＋i)z ＝|－4i|，则z ＝( ) A ．2＋2i B ．1＋2i C ．2－2iD ．1－2i解析：选C 由(1＋i)z ＝|－4i|＝4，得z ＝41＋i ＝4(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－2i.故选C ． 3．(2019·长春三模)“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年研发投入累计达4 100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比．这12年间的研发投入(单位：十亿元)用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示．根据折线图和条形图，下列结论错误的是( )A ．2012～2013年研发投入占营收比增量相比2017～2018年增量大B ．该企业连续12年研发投入逐年增加C ．2015～2016年研发投入增值最大D ．该企业连续12年研发投入占营收比逐年增加解析：选D 从研发投入占营收比(图中的折线)2007～2009年有所下降，并非连续12年研发投入占营收比逐年增加，故D 错．4．(2019·大庆三模)(1＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6展开式的常数项为( )A ．－160B ．－5C ．240D ．80解析：选D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6展开式的通项为：T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r 6x 6－2r，则(1＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6展开式的常数项为1×(－2)3C 36＋1×(－2)4C 46＝80，故选D ． 5．(2019·海淀区一模)已知a b ＋c B ．∀c <0，a 0，a >b ＋cD ．∃c >0，a b ＋c 不成立，故A 错误；B 项，若a ＝9.5，b ＝10，c ＝－1，满足a 0，所以a 0，所以a <b ＋c 恒成立，故D 正确．6．(2019·大庆三模)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m ⊥α，n ⊥β，则“m ⊥n ”是“α⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为m ⊥α，n ⊥β，则“m ⊥n ”⇔“α⊥β”，即“m ⊥n ”是“α⊥β”的充要条件，故选C ．7．(2019·蓝田县一模)某程序框图如图所示，若输出的S ＝26，则判断框内应填( )A ．k >3？B ．k >4？C ．k >5？D ．k >6?解析：选A 程序在运行过程中，各变量的值变化如下表：k S 是否继续循环前 1 1 / 第一圈 2 4 是第二圈 3 11 是第三圈426否可得，当k ＝4的值为26，所以判断框应该填入的条件为k >3？.故选A ．8．(2019·吕梁模拟)如图，|OA →|＝2，|OB →|＝2，|OC →|＝4，OA →与OB →的夹角为135°，若OC→＝λOA →＋4OB →，则λ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ∵|OA →|＝2，|OB →|＝2，|OC →|＝4，OA →与OB →的夹角为135°， ∴OA →·OB →＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2.若OC→＝λOA →＋4OB →，则OC →2＝λ2OA →2＋16OB →2＋8λOA →·OB →， ∴16＝4λ2＋16×2＋8λ×(－2)， ∴λ＝2，故选B ．9．设x ，y ∈(0，＋∞)，且满足x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( ) A ．40 B ．10 C ．4D ．2解析：选D ∵x ，y ∈(0，＋∞)， ∴4xy ≤x ＋4y 2. ∴xy ≤x ＋4y4＝10， ∴xy ≤100，∴lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 100＝2.当且仅当x ＝4y ，即x ＝20，y ＝5时等号成立．10．(2019·宣城二模)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≤3，x ＋y ≥0，x －y ＋2≥0，则z ＝x ＋y ＋4x ＋2的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，125B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤125，4C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4解析：选D作出x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≤3，x ＋y ≥0，x －y ＋2≥0对应的平面区域如图中阴影部分，z ＝x ＋y ＋4x ＋2＝1＋y ＋2x ＋2的几何意义为平面区域内的点到定点D (－2，－2)的斜率加1，由图象知AD 的斜率最小，BD 的斜率最大，由题意可得A (3，－3)，B (－1,1)．则x ＋y ＋4x ＋2的最小值为1＋－3＋23＋2＝45，x ＋y ＋4x ＋2的最大值为1＋1＋2－1＋2＝4，即45≤z ≤4，故选D ．11．(2019·醴陵市期中)从5名志愿者中选出4人分别到A ，B ，C ，D 四个部门工作，其中甲、乙两名志愿者不能到A ，B 两个部门工作，其他三人能到四个部门工作，则选派方案共有( )A ．120种B ．24种C ．18种D ．36种解析：选D 根据题意，分两种情况讨论：①甲，乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，到C ，D 中的一个部门，由其他三人到剩余的部门，有C 12·C 12·A 33＝24(种)选派方案．②甲、乙两人都被选中，安排到C ，D 部门，从其他三人中选出2人，到剩余的部门，有A 22·A 23＝12(种)选派方案，综上可得，共有24＋12＝36(种)不同的选派方案，故选D ．12．(2019·浙江模拟)如图，圆O 是半径为1的圆，OA ＝12，设B ，C 为圆上的任意两个点，则AC →·BC→的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，3B ．[－1,3]C ．[－1,1]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，1解析：选A 取BC 的中点D ，连接OC ，OD . 由AC →·BC →＝(OC →－OA →)·BC →＝OC →·BC →－OA →·BC→ ＝|BC →|·|OC →|·cos ∠BCO －|OA →|·|BC →|cos θ ＝12BC →2－|OA →|·|BC →|·cos θ ＝12BC →2－12|BC →|·cos θ，且12BC →2－12|BC →|·cos θ≥12BC →2－12|BC →| ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC →|－122－18，由|BC→|∈[0,2]，当|BC →|＝12时，AC →·BC→有最小值为－18，又当|BC →|＝2，且cos θ＝－1时，12BC →2－12|BC →|·cos θ，此时AC →·BC →＝3，为最大值．所以AB →·BC→的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，3.故选A ．二、填空题13．(2019·思明区校级模拟)设α，β∈R ，命题“若sin α>sin β，则α>β”的逆否命题是________．解析：命题“若sin α>sin β，则α>β”的逆否命题是：若α≤β，则sin α≤sin β.答案：若α≤β，则sin α≤sin β14．(2019·莱西模拟)刘徽是中国古代最杰出的数学家之一，他在中国算术史上最重要的贡献就是注释《九章算术》，刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，体现了无限与有限之间转化的思想方法，这种思想方法应用广泛．如数式2＋12＋12＋…是一个确定值x (数式中的省略号表示按此规律无限重复)，该数式的值可以用如下方法求得：令原式＝x ，则2＋1x ＝x ，即x 2－2x －1＝0，解得x ＝1±2，取正数得x ＝2＋1.用类似的方法可得6＋6＋6＋…＝________.解析：由题意，可令6＋6＋6＋…＝x ，则6＋x ＝x ，两边平方，得6＋x ＝x 2，即x 2－x －6＝0. 解得x ＝3或x ＝－2. 取正数得x ＝3. 答案：315．(2019·江苏模拟)记不等式组⎩⎨⎧y ≥0，y ≤x ＋3y ≤kx，所表示的平面区域为D .“点(－1,1)∈D ”是“k ≤－1”成立的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．解析：若点(－1,1)∈D ，得满足⎩⎨⎧1≥0，1≤－1＋3，1≤－k ，则k ≤－1，即充分性成立，若k ≤－1，则不等式组对应区域为阴影部分，则A (－1,1)∈D ，即“点(－1,1)∈D ”是“k ≤－1”的充要条件．答案：充要16．(2019·奉贤区二模)设点P 在以A 为圆心，半径为1的圆弧BC 上运动(包含B ，C 两个端点)，∠BAC ＝23π，且AP →＝xAB →＋yAC →，x ＋y ＋xy 的取值范围为________．解析：建立以点A 为原点，AB 为x 轴，垂直AB 为y 轴的直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，P (cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤2π3，又AP→＝xAB →＋yAC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x －y2，sin θ＝32y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋33sin θ，y ＝233sin θ，所以x ＋y ＋xy ＝cos θ＋3sin θ＋233sin θcos θ＋23sin 2θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6＋13，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，又y 1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，y 2＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6＋13都在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上为增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3上为减函数，则当θ＝0或2π3时，x ＋y ＋xy 取最小值1，当θ＝π3时，x ＋y ＋xy 取最大值3，即x ＋y ＋xy 的取值范围为[1,3]．答案：[1,3]。

2021-2022年高考数学二轮复习练酷专题课时跟踪检测二平面向量与复数理

2021年高考数学二轮复习练酷专题课时跟踪检测二平面向量与复数理1．(xx·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选 C z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限．2．(xx·全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.22C. 2 D ．2解析：选C 因为z ＝2i 1＋i ＝2i 1－i1＋i 1－i＝i(1－i)＝1＋i ，所以|z |＝ 2.3．(xx·沈阳模拟)已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12，若a ∥b ，则实数x 的值为( )A ．－23 B.23 C.38 D ．－38解析：选C ∵a ∥b ，∴3×12＝4x ，解得x ＝38.4．(xx 届高三·西安摸底)已知非零单位向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b －a 的夹角是( )A.π6 B.π3 C.π4 D.3π4解析：选D 由|a ＋b |＝|a －b |可得(a ＋b )2＝(a －b )2，即a ·b ＝0，而a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝－|a |2＜0，即a 与b －a 的夹角为钝角，结合选项知选D.5．(xx·湘中模拟)已知向量a ＝(x ，3)，b ＝(x ，－3)，若(2a ＋b )⊥b ，则|a |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析：选D 因为(2a ＋b )⊥b ，所以(2a ＋b )·b ＝0，即(3x ，3)·(x ，－3)＝3x 2－3＝0，解得x ＝±1，所以a ＝(±1，3)，|a |＝±12＋32＝2.6．(xx·广西五校联考)设D 是△ABC 所在平面内一点，AB ―→＝2DC ―→，则( ) A ．BD ―→＝AC ―→－32AB ―→B ．BD ―→＝32AC ―→－AB ―→C ．BD ―→＝12AC ―→－AB ―→D ．BD ―→＝AC ―→－12AB ―→解析：选A BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝BC ―→－DC ―→＝AC ―→－AB ―→－12AB ―→＝AC ―→－32AB ―→.7．(xx 届高三·云南调研)在▱ABCD 中，|AB ―→|＝8，|AD ―→|＝6，N 为DC 的中点，BM ―→＝2MC ―→，则AM ―→·NM ―→＝( )A ．48B ．36C ．24D ．12解析：选CAM ―→·NM ―→＝(AB ―→＋BM ―→)·(NC ―→＋CM―→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋23 AD ―→ ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12 AB ―→－13 AD ―→ ＝12AB ―→2－29AD ―→2＝12×82－29×62＝24. 8．(xx 届高三·广西五校联考)已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，则a ＋i 2 0171－i＝( )A ．1B ．0C ．iD ．1－i解析：选C 因为z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，得a ＝1，则有1＋i 2 0171－i ＝1＋i 1－i ＝1＋i 21＋i 1－i＝i.9．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD ―→ 在BA ―→方向上的投影是( )A ．－3 5B ．－322C ．3 5 D.322解析：选A 依题意得，BA ―→＝(－2，－1)，CD ―→＝(5,5)，BA ―→ ·CD ―→＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，|BA ―→|＝5，因此向量CD ―→在BA ―→方向上的投影是BA ―→·CD ―→|BA ―→|＝－155＝－3 5.10．(xx 届高三·湖南五校联考)△ABC 是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足AB ―→＝2a ，AC ―→＝2a ＋b ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C 法一：设向量a ，b 的夹角为θ，BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝2a ＋b －2a ＝b ，∴|BC ―→|＝|b |＝2，|AB ―→|＝2|a |＝2，∴|a |＝1，AC ―→2＝(2a ＋b )2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝8＋8cos θ＝4，∴cos θ＝－12，θ＝120°.法二：BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝2a ＋b －2a ＝b ，则向量a ，b 的夹角为向量AB ―→与BC ―→的夹角，故向量a ，b 的夹角为120°.11．(xx·长春模拟)在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD ―→＝13AB ―→＋12AC ―→，则S △BCDS △ABD＝( ) A.16 B.13 C.12 D.23解析：选B 如图，由已知得，点D 在△ABC 中与AB 平行的中位线上，且在靠近BC 边的三等分点处，从而有S △ABD ＝12S △ABC ，S △ACD ＝13S △ABC ，S△BCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC，所以S △BCD S △ABD ＝13.12．(xx·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5 D ．2 解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为222＋12＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y－2)2＝45.因为P 在圆C 上，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ.又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.13．(xx·成都模拟)若复数z ＝a i1＋i(其中a ∈R ，i 为虚数单位)的虚部为－1，则a ＝________.解析：因为z ＝a i1＋i ＝a i·1－i 1＋i 1－i ＝a 2＋a 2i 的虚部为－1，所以a 2＝－1，解得a ＝－2.答案：－214．(xx·兰州诊断)已知向量OA ―→＝(3,1)，OB ―→＝(－1,3)，OC ―→＝m OA ―→－n OB ―→(m ＞0，n ＞0)，若m ＋n ＝1，则|OC ―→|的最小值为________．解析：由OA ―→＝(3,1)，OB ―→＝(－1,3)，得OC ―→＝m OA ―→－n OB ―→＝(3m ＋n ，m －3n )，因为m ＋n ＝1(m ＞0，n ＞0)，所以n ＝1－m 且0＜m ＜1，所以OC ―→＝(1＋2m,4m －3)，则|OC ―→|＝1＋2m2＋4m －32＝20m 2－20m ＋10＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋5(0＜m ＜1)，所以当m ＝12时，|OC ―→|min ＝ 5.答案： 515．(xx 届高三·石家庄调研)非零向量m ，n 的夹角为π3，且满足|n |＝λ|m |(λ＞0)，向量组x 1，x 2，x 3由一个m 和两个n 排列而成，向量组y 1，y 2，y 3由两个m 和一个n 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3所有可能值中的最小值为4m 2，则λ＝________.解析：由题意：x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3的运算结果有以下两种可能：①m 2＋m ·n ＋n 2＝m 2＋λ|m ||m |cos π3＋λ2m 2＝⎝⎛⎭⎪⎫λ2＋λ2＋1m 2；②m ·n ＋m ·n ＋m ·n ＝3λ|m ||m |cos π3＝3λ2m 2.又λ2＋λ2＋1－3λ2＝λ2－λ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋34＞0，所以3λ2m 2＝4m 2，即3λ2＝4，解得λ＝83. 答案：8316.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 从点D 出发，按字母顺序D →A →B →C 沿线段DA ，AB ，BC 运动到点C ，在此过程中DE ―→·CD ―→的取值范围为________．解析：以BC ，BA 所在的直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，可得A (0,1)，B (0,0)，C (1,0)，D (1,1)．当E 在DA 上时，设E (x,1)，其中0≤x ≤1， ∵DE ―→＝(x －1,0)，CD ―→＝(0,1)， ∴DE ―→·CD ―→＝0；当E 在AB 上时，设E (0，y )，其中0≤y ≤1，∵DE ―→＝(－1，y －1)，CD ―→＝(0,1)，∴DE ―→·CD ―→＝y －1(0≤y ≤1)，此时DE ―→·CD ―→的取值范围为[－1,0]；当E 在BC 上时，设E (x,0)，其中0≤x ≤1， ∵DE ―→＝(x －1，－1)，CD ―→＝(0,1)， ∴DE ―→·CD ―→＝－1.综上所述，DE ―→·CD ―→的取值范围为[－1,0]．答案：[－1,0]。

2021_2022学年高中数学课时跟踪检测(十二)合情推理(含解析)新人教A版选修2_2 (2)

课时跟踪检测〔十二〕合情推理一、题组对点训练对点练一数(式)中的归纳推理1．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，且a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜测a n 等于( ) A ．2(n ＋1)2 B ．2n (n ＋1) C ．22n －1 D ．22n －1 解析：选B 由a 1＝1，S 2＝22·a 2＝a 1＋a 2得a 2＝13，由a 1＋a 2＋a 3＝9×a 3得a 3＝16，由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝42·a 4得a 4＝110，…，猜测a n ＝2n (n ＋1)，应选B.2．将正整数排列如以下图： 12 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 …那么2 018出现在 A ．第44行第81列 B ．第45行第81列 C ．第44行第82列D ．第45行第82列解析：选D 由题意可知第n 行有2n －1个数，那么前n 行的数的个数为1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，因为442＝1 936，452＝2 025，且1 936<2 018<2 025，所以2 018在第45行，又第45行有2×45－1＝89个数，2021－1 936＝82，故2 018在第45行第82列，选D.3．观察以下各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一般结论是( )A ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝n 2B ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2C ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝n 2D ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝(2n －1)2解析：选B 观察各等式的构成规律可以发现，各等式的左边是2n －1(n ∈N *)项的和，其首项为n ，右边是项数的平方，故第n 个等式首项为n ，共有2n －1项，右边是(2n －1)2，即n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2，应选B.4．设f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳出一个一般结论，并给出证明．解：f(0)＋f(1)＝130＋3＋13＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33.同理f(－1)＋f(2)＝33，f(－2)＋f(3)＝33.由此猜测：当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝33.证明：设x1＋x2＝1，那么f(x1)＋f(x2)＝13x1＋3＋13x2＋3＝3x1＋3x2＋233x1＋x2＋3(3x1＋3x2)＋3＝3x1＋3x2＋233(3x1＋3x2)＋2×3＝3x1＋3x2＋233(3x1＋3x2＋23)＝33.故猜测成立．对点练二归纳推理在几何中的应用5．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大解析：选A 由图，知三白二黑周期性排列，36＝5×7＋1，故第36颗珠子的颜色为白色．6．如下图，第n个图形是由正n＋2边形拓展而来(n＝1,2，…)，那么第n－2个图形共有________个顶点．解析：第一个图有3＋3×3＝4×3个顶点；第二个图有4＋4×4＝5×4个顶点；第三个图有5＋5×5＝6×5个顶点；第四个图有6＋6×6＝7×6个顶点；……；第n个图有(n＋3)×(n＋2)个顶点．第n －2个图有(n ＋1)×n ＝(n 2＋n )个顶点．答案：n 2＋n7．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮. 现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律一样)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想〞，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值．解：(1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4，…由上面规律，得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ⇒f (n ＋1)＝f (n )＋4n ⇒f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n .所以1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝32－12n.对点练三类比推理8．{b n }为等比数列，b 5＝2，且b 1b 2b 3…b 9＝29.假设{a n }为等差数列，a 5＝2，那么{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析：选D 等比数列中的积(乘方)类比等差数列中的和(积)，得a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9. 9．在平面中，△ABC 的∠ACB 的平分线CE 分△ABC 面积所成的比S △AEC S △BEC ＝ACBC，将这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD 中，平面DEC 平分二面角A CD B 且与AB 交于E ，那么类比的结论为________．解析：平面中的面积类比到空间为体积，故S △AEC S △BEC 类比成V A CDEV B CDE.平面中的线段长类比到空间为面积，故ACBC 类比成S △ACD S △BDC .故有V A CDE V B CDE ＝S △ACDS △BDC. 答案：V A CDE V B CDE ＝S △ACDS △BDC10．在矩形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，那么cos 2α＋cos 2β＝1，在立体几何中，通过类比，给出猜测并证明．解：如图①，在矩形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜测其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，那么cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1，证明如下：如图②，cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1.二、综合过关训练1．观察以下各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，那么72 018的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．49解析：选D 因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401，75＝16 807,76＝117 649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T ＝4.又2 018＝4×504＋2，所以72 018的末两位数字与72的末两位数字一样，为49.2．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *B 依次对应以下4个图形：那么以下4个图形中，可以表示A *D ，A *C 的分别是( ) A ．(1)，(2) B ．(1)，(3) C ．(2)，(4)D ．(1)，(4)解析：选C 由①②③④可归纳得出：符号“*〞表示图形的叠加，字母A 代表竖线，字母B 代表大矩形，字母C 代表横线，字母D 代表小矩形，∴A *D 是(2)，A *C 是(4)．3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比方：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．以下数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 378解析：选C 记三角形数构成的数列为{a n }，那么a 1＝1，a 2＝3＝1＋2，a 3＝6＝1＋2＋3，a 4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.同理可得正方形数构成的数列的通项公式为b n ＝n 2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n 都为正整数的只有1 225. 4．将正偶数2,4,6,8，…按下表的方式进展排列，记a ij 表示第i 行和第j 列的数，假设a ij ＝2 018，那么i ＋j 的值为( )第1 列第2列第3列第4列第5列第1行2 4 6 8 第2行 1614 12 10 第3行18 20 22 24 第4行 3230 28 26 第5行34 36 38 40 ………………A ．257B ．256C ．255D ．254解析：选C 由表所反映的信息来看，第n 行的最大偶数为S n ＝8n (n ∈N *)，那么8(i －1)<2 018≤8i ，由于i ∈N *，解得i ＝253；另一方面，奇数行的最大数位于第5列，偶数行的最大数位于第1列，第252行最大数为8×252＝2 016，此数位于第252行第1列，因此2 018位于第253行第2列，所以i ＝253，j ＝2，故i ＋j ＝253＋2＝255，应选C.5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，那么S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，那么T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．解析：等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，那么T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4T 12T 86．如图(1)，在三角形ABC 中，AB ⊥AC ，假设AD ⊥BC ，那么AB 2＝BD ·BC .假设类比该命题，如图(2)，三棱锥A BCD 中，AD ⊥平面ABC ，假设A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，那么有什么结论？命题是不是真命题．解：命题是：三棱锥A BCD 中，AD ⊥平面ABC ，假设A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，那么有S 2△ABC ＝S △BCM ·S △BCD .此命题是一个真命题．证明如下：在图(2)中，延长DM 交BC 于E ，连接AE ，那么有DE ⊥BC .因为AD ⊥平面ABC ，所以AD ⊥AE .又AM ⊥DE ，所以AE 2＝EM ·ED .于是S 2△ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·EM ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·ED ＝S △BCM ·S △BCD .7．如下图为m 行m ＋1列的士兵方阵(m ∈N *，m ≥2)．(1)写出一个数列，用它表示当m 分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数； (2)假设把(1)中的数列记为{a n }，归纳该数列的通项公式； (3)求a 10，并说明a 10表示的实际意义； (4)a n ＝9 900，问a n 是数列第几项？解：(1)当m ＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m ＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….(2)因为a 1＝2×3，a 2＝3×4，a 3＝4×5，…，所以猜测a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，n ∈N *. (3)a 10＝11×12＝132.a 10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n ＋1)(n ＋2)＝9 900，所以n ＝98，即a n 是数列的第98项，此时方阵为99行100列．。

课时跟踪检测(二十二) 弱电解质的电离

课时跟踪检测（二十二）弱电解质的电离1．醋酸溶液中存在电离平衡CH3COOH H＋＋CH3COO－，下列叙述正确的是()A．图甲表示向CH3COOH溶液中逐步加入CH3COONa固体后，溶液pH的变化B．图乙表示向CH3COOH溶液中加水时溶液的导电性变化，则CH3COOH溶液的pH：a>bC．醋酸溶液中离子浓度的关系满足：c(H＋)＝c(OH－)＋c(CH3COO－)D．向0.10 mol·L－1的CH3COOH溶液中加水稀释，溶液中c(OH－)减小解析：选C向CH3COOH溶液中逐步加入CH3COONa固体，c(CH3COO－)增大，抑制醋酸的电离，溶液的pH增大，A项错误；溶液的导电性与溶液中自由移动的离子的浓度和离子所带的电荷量有关，若醋酸溶液的导电性越强，则溶液中氢离子的浓度越大，pH 越小，故CH3COOH溶液的pH：a<b，B项错误；根据电荷守恒，可得醋酸溶液中c(H＋)＝c(OH－)＋c(CH3COO－)，C项正确；加水稀释醋酸溶液，醋酸的电离程度增大，但c(H＋)减小，而稀释时温度不变，K W不变，根据K W＝c(H＋)·c(OH－)，则c(OH－)增大，D项错误。

2．(2021年1月新高考8省联考·广东卷)叠氮酸(HN3)与NaOH溶液反应生成NaN3。

已知NaN3溶液呈碱性，下列叙述正确的是()A．0.01 mol·L－1 HN3溶液的pH＝2B．HN3溶液的pH随温度升高而减小C．NaN3的电离方程式：NaN3===Na＋＋3N－3D．0.01 mol·L－1NaN3溶液中：c(H＋)＋c(Na＋)＝c(N－3)＋c(HN3)解析：选B由题意，NaN3溶液呈碱性，则叠氮酸根(N－3)会发生水解，说明HN3为弱酸，在水溶液中不能完全电离，故0.01 mol·L－1 HN3溶液的pH>2，A错误；HN3为弱酸，电离方程式为HN3H＋＋N－3，电离是吸热过程，升高温度促进HN3的电离，c(H＋)增大，pH减小，B正确；NaN3是强电解质，完全电离出Na＋和N－3，电离方程式为NaN3===Na ＋＋N－3，C错误；0.01 mol·L－1 NaN3溶液中：由物料守恒得c(Na＋)＝c(N－3)＋c(HN3)，故D错误。

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2021年高考数学二轮复习课时跟踪检测二十二理一、选择题1．(xx·沈阳质检)函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )解析：选A 函数f (x )的定义域为R ，由f (－x )＝ln[(－x )2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f (x )知函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，排除C ；又由f (0)＝ln 1＝0，可排除B ，D.故选A.2．(xx·全国卷Ⅲ)已知a ＝2，b ＝3，c ＝25，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：选A a ＝2＝4，b ＝3，c ＝25＝5. ∵y ＝x 在第一象限内为增函数，又5＞4＞3，∴c ＞a ＞b .3．(xx·陕西质检)已知a ＝2，b ＝(2)，c ＝14⎠⎛0πsin xdx ，则实数a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >b >a解析：选C 依题意得，a ＝2，b ＝3，c ＝－14cos x |π0＝12，所以a 6＝2－2＝14，b 6＝3－3＝127，c 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝164，则a 6>b 6>c 6，即a >b >c ，故选C. 4．函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选C ∵f (0)＝e 0＋0－2＝－1<0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1>0，∴f (0)·f (1)<0，故函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是(0,1)，故选C.5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司xx 年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2020年 B ．2021年 C ．2022年D ．2023年解析：选B 设xx 年后的第n 年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n ＞200，得1.12n＞2013，两边取常用对数，得n ＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2021年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 当x ≤0时，f (x )＝x 2－2，令x 2－2＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝－2，即在区间(－∞，0]上，函数只有一个零点．当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x ，f ′(x )＝2＋1x，由x >0知f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，而f (1)＝－4<0，f (e)＝2e －5>0，f (1)·f (e )<0，从而f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．故函数f (x )的零点个数是2.7．(xx·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln (2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)单调递增 B ．f (x )在(0,2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称解析：选C 由题易知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0,2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，所以排除A 、B ；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝ln 34，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 32＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫2－32＝ln 34，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 34，所以排除D.故选C. 8．(xx·贵阳检测)已知函数f (x )＝ln(x 2－4x －a )，若对任意的m ∈R ，均存在x 0使得f (x 0)＝m ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)B ．(－4，＋∞)C ．(－∞，－4]D ．[－4，＋∞)解析：选D 依题意得，函数f (x )的值域为R ，令函数g (x )＝x 2－4x －a ，其值域包含(0，＋∞)，因此对于方程x 2－4x －a ＝0，有Δ＝16＋4a ≥0，解得a ≥－4，即实数a 的取值范围是[－4，＋∞)，故选D.9．(xx 届高三·河北五校联考)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则2m ＋1n的最小值为( )A ．2 2B ．4C.52D.92解析：选D 由函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)知，当x ＝－2时，y ＝－1，所以A 点的坐标为(－2，－1)，又因为点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m＋n ＝2，所以2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝2＋n m ＋m n ＋12≥52＋2n m ·m n ＝92，当且仅当m ＝n ＝23时等号成立．所以2m ＋1n 的最小值为92，故选D.10．(xx·长春质检)已知定义域为R 的函数f (x )的图象经过点(1,1)，且对任意实数x 1<x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>－2，则不等式f (log 2|3x －1|)<3－log 2|3x－1|的解集为( )A ．(－∞，0)∪(0,1)B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)∪(0,3)D ．(－∞，1)解析：选A 令F (x )＝f (x )＋2x ，由对任意实数x 1<x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>－2，可得f (x 1)＋2x 1<f (x 2)＋2x 2，即F (x 1)<F (x 2)，所以F (x )在定义域内单调递增，由f (1)＝1，得F (1)＝f (1)＋2＝3，f (log 2|3x－1|)<3－log 2|3x－1|等价于f (log 2|3x－1|)＋2log 2|3x－1|<3，令t ＝log 2|3x－1|，则f (t )＋2t <3，即F (t )<3，所以t <1，即log 2|3x－1|<1，从而0<|3x－1|<2，解得x <1，且x ≠0.故选A.11．(xx·石家庄模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln 1＋x ＋x 2，x ≥0，－x ln 1－x ＋x 2，x <0，若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,1]解析：选D 若x >0，则－x <0，f (－x )＝x ln(1＋x )＋x 2＝f (x )，同理可得x <0时，f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．当x ≥0时，易知f (x )＝x ln(1＋x )＋x 2为增函数，所以不等式f (－a )＋f (a )≤2f (1)等价于2f (a )≤2f (1)，即f (a )≤f (1)，亦即f (|a |)≤f (1)，则|a |≤1，解得－1≤a ≤1，故选D.12．(xx·合肥质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2＋e ，x ≤2，xln x＋a ＋10，x >2，(e 是自然对数的底数)，若f (2)是函数f (x )的最小值，则a 的取值范围是( )A ．[－1,6]B ．[1,4]C ．[2,4]D ．[2,6]解析：选D 当x >2时，f (x )＝x ln x ＋a ＋10，f ′(x )＝ln x －1ln x 2，令f ′(x )>0，解得x >e ，令f ′(x )<0，解得x <e ，所以f (x )在(2，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，即函数f (x )在x >2时的最小值为f (e)；当x ≤2时，f (x )＝(x －a )2＋e 是对称轴方程为x ＝a 的二次函数，欲使f (2)是函数的最小值，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，f 2≤f e ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，2－a 2＋e≤e＋a ＋10，解得2≤a ≤6，故选D.二、填空题13．(xx·广州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤0，1－log 2x ，x >0，若|f (a )|≥2，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ≤0时，1－a ≥1，所以21－a≥2，即|f (a )|≥2恒成立；当a >0时，由|f (a )|≥2可得|1－log 2a |≥2，所以1－log 2a ≤－2或1－log 2a ≥2，解得a ≥8或0<a ≤12.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[8，＋∞)．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[8，＋∞) 14．(xx·宝鸡质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实数根得，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有唯一公共点．在同一平面直角坐标系中画出直线y ＝－x 与函数y ＝f (x )的大致图象(图略)，平移直线y ＝－x ，当平移到该直线在y 轴上的截距大于1时，相应直线与函数y ＝f (x )的图象有唯一公共点，即此时关于x 的方程有且只有一个实数根，因此a >1，即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)15．(xx 届高三·广西三市联考)已知在(0，＋∞)上函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，0<x <1，1，x ≥1，则不等式log 2x －(log 144x －1)·f (log 3x ＋1)≤5的解集为________．解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋1≥1，log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫log 144x －1≤5或⎩⎪⎨⎪⎧0<log 3x ＋1<1，log 2x ＋2log 144x －1≤5，解得1≤x ≤4或13<x <1，∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤13，4.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤13，416．(xx·沈阳模拟)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________.解析：f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x ，0<x <1，log 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0<m <n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，n >1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，n >1，mn ＝1，所以0<m 2<m <1，则f (x )在[m 2,1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)>f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以n m＝9.答案：9B 组——能力小题保分练1．(xx·长沙模拟)对于满足00，于是c a ＋b －b 24a a ＝1＋b a －14⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，对满足02.故选D. 2．(xx·云南检测)已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d解析：选D f (x )＝2 017－(x －a )·(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 017，又f (a )＝f (b )＝2 017，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d, 所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D.3．(xx·南昌模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，且当x ∈[1,2]时，f (x )＝ln x －x ＋1，若函数g (x )＝f (x )＋mx 有7个零点，则实数m 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－16，ln 2－18∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 28，1－ln 26B.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－16，ln 2－18 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 28，1－ln 26 D.⎝⎛⎭⎪⎫ln 2－16，1－ln 28 解析：选A 函数g (x )＝f (x )＋mx 有7个零点，即函数y ＝f (x )的图象与y ＝－mx 的图象有7个交点．当x ∈[1,2]时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x －1＝1－xx<0，此时f (x )单调递减，且f (1)＝0，f (2)＝ln 2－1.由f (2－x )＝f (x )知函数图象关于x ＝1对称，而f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x )＝f [－(2－x )]＝f (x －2)，故f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为2的函数．易知m ≠0，当－m <0时，作出函数y ＝f (x )与y ＝－mx 的图象，如图所示．则要使函数y ＝f (x )的图象与y ＝－mx的图象有7个交点，需有⎩⎪⎨⎪⎧－8m <f8，－6m >f 6，即⎩⎪⎨⎪⎧－8m <ln 2－1，－6m >ln 2－1，解得1－ln 28<m <1－ln 26.同理，当－m >0时，可得ln 2－16<m <ln 2－18.综上所述，实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－16，ln 2－18∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 28，1－ln 26.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≥0，log 3－x ，x <0，函数g (x )＝[f (x )]2＋f (x )＋t ，t ∈R ，则下列判断不正确的是( )A ．若t ＝14，则g (x )有一个零点B ．若－2<t <14，则g (x )有两个零点C ．若t <－2，则g (x )有四个零点D ．若t ＝－2，则g (x )有三个零点解析：选C 作出函数f (x )的图象如图所示，当t ＝14时，由[f (x )]2＋f (x )＋t ＝0得f (x )＝－12，结合图象知g (x )有一个零点，故A 正确；当－2<t <14时，由[f (x )]2＋f (x )＋t ＝0知f (x )的一个值小于－12，另一个值大于－12小于1，结合图象知g (x )有两个零点，故B 正确；当t <－2时，由[f (x )]2＋f (x )＋t ＝0知f (x )的一个值小于－2，另一个值大于1，结合图象知g (x )有三个零点，故C 不正确；当t ＝－2时，f (x )＝1或－2，结合图象知，g (x )有三个零点，故D 正确．5．(xx 届高三·广东五校联考)已知e 为自然对数的底数，若对任意的x 1∈[0,1]，总存在唯一的x 2∈[－1,1]，使得x 1＋x 22e x 2－a ＝0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，e]B ．(1，e]C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1＋1e ，e D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1e ，e 解析：选C 令f (x 1)＝a －x 1，则f (x 1)＝a －x 1在x 1∈[0,1]上单调递减，且f (0)＝a ，f (1)＝a －1.令g (x 2)＝x 22e x 2，则g ′(x 2)＝2x 2e x 2＋x 22e x 2＝x 2e x 2(x 2＋2)，且g (0)＝0，g (－1)＝1e，g (1)＝e.若对任意的x 1∈[0,1]，总存在唯一的x 2∈[－1,1]，使得x 1＋x 22e x 2－a ＝0成立，即f (x 1)＝g (x 2)，则f (x 1)＝a －x 1的最大值不能大于g (x 2)的最大值，即f (0)＝a ≤e，因为g (x 2)在[－1,0]上单调递减，在(0,1]上单调递增，所以当g (x 2)∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e 时，存在两个x 2使得f (x 1)＝g (x 2)．若只有唯一的x 2∈[－1,1]，使得f (x 1)＝g (x 2)，则f (x 1)的最小值要比1e 大，所以f (1)＝a －1>1e ，即a >1＋1e ，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1＋1e ，e ，故选C. 6．(xx·合肥质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x 2－2x ＋1，x ≥0.方程[f (x )]2－af (x )＋b ＝0(b ≠0)有6个不同的实数解，则3a ＋b 的取值范围是( )A ．[6,11]B ．[3,11]C ．(6,11)D ．(3,11)解析：选D 首先作出函数f (x )的图象(如图)，对于方程[f (x )]2－af (x )＋b ＝0，可令f (x )＝t ，那么方程根的个数就是f (x )＝t 1与f (x )＝t 2的根的个数之和，结合图象可知，要使总共有6个根，需要一个方程有4个根，另一个方程有2个根，从而可知关于t 的方程t 2－at ＋b ＝0有2个根，分别位于区间(0,1)与(1,2)内，进一步由根的分布得出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧b >0，1－a ＋b <0，4－2a ＋b >0，画出可行域(图略)，计算出目标函数z ＝3a ＋b 的取值范围为(3,11)，故选D.。