高中数学必修二圆与方程检测卷(学霸使用)

高中数学必修二圆与方程检测卷（学霸使用）一、选择题（共12小题；共48分）1. 已知方程x2+y2+2x−y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是( )A. m>54B. m>−54C. m<54D. m<−542. 圆心在直线y=x上且与x轴相切于点(1,0)的圆的方程为( )A. (x−1)2+y2=1B. (x−1)2+(y−1)2=1C. (x+1)2+(y−1)2=1D. (x+1)2+(y+1)2=13. 若P(2,−1)为圆(x−1)2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )A. x−y−3=0B. 2x+y−3=0C. x+y−1=0D. 2x−y−5=04. 已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(−2,3)，半径为2，则D，E，F分别为( )A. 4，−6，9B. 4，6，9C. −4，6，9D. −4，−6，95. 已知点M(a,b)在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是( )A. 相切B. 相交C. 相离D. 不确定6. 已知圆x2+y2+2x−2y+2a=0截直线x+y+2=0所得弦长为4，则实数a的值是( )A. −1B. −2C. −3D. −47. 已知过点P(2,2)的直线与圆(x−1)2+y2=5相切，且与直线ax−y+1=0垂直，则a= ( )A. −12B. 1 C. 2 D. 128. 圆(x−2)2+y2=4与圆x2+(y−2)2=4的公共弦所对的圆心角是( )A. π3B. π4C. 2π3D. π29. 若曲线C1:x2+y2−2x=0与曲线C2:y(y−mx−m)=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是( )A. (−√33,√33) B. (−√33,0)∪(0,√33)C. [−√33,√33] D. (−∞,−√33)∪(√33,+∞)10. 已知圆的方程为x2+y2−8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是( )A. −43B. −53C. −35D. −5411. 空间中两点A(1,−1,2)，B(−1,1,2√2+2)之间的距离是( )A. 3B. 4C. 5D. 612. 圆(x−3)2+(y−3)2=4上到直线3x+4y−16=0的距离等于1的点有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（共8小题；共32分）13. 圆x2+y2−x+y−1=0的圆心坐标是．x(x≥0)相切，则这个圆的方程为．14. 若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线y=√3315. 在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1,−3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是．16. 过点P(−√3,−1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是．17. 两圆x2+y2=9和x2+y2−8x+6y+9=0的位置关系是．18. 已知圆x2+y2−2x+my=0上任意一点M关于直线x+y=0的对称点N也在此圆上，那么实数m=．19. 若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay−6=0(a>0)的公共弦的长为2√3，则a=．20. 已知直线l:x−√3y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则∣CD∣=．三、解答题（共6小题；共70分）21. 已知方程x2+y2−2x−4y+m=0．（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若1中的圆与直线x+2y−4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；（3）在2的条件下，求以MN为直径的圆的方程．22. （1）已知圆M过点C(1,−1)，D(−1,1)，且圆心M在x+y−2=0上．求圆M的方程；（2）圆O的方程为x2+y2=1，直线l1过点A(3,0)，且与圆O相切，求直线l1的方程；23. 方程ax2+ay2−4(a−1)x+4y=0表示圆，求出其中半径最小的圆的方程．24. 如图，已知三棱锥P−ABC在某个空间直角坐标系中，B(√3m,m,0)，C(0,2m,0)，P(0,0,2n)．（1）画出这个空间直角坐标系，并指出AB与Ox轴的正方向的夹角；m，求直线AM与其在平面PBC内的投影所成的角．（2）若M为BC的中点，n=√3225. 求过两圆x2+y2+2x+8y−8=0，x2+y2−4x−4y−2=0的交点且面积最小的圆的方程．26. 有一种大型商品，A，B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每千米的运费是B地每千米运费的3倍．已知A，B两地距离为10km，顾客选择A 地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求P地居民选择A地或B地购物总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点．答案第一部分 1. C2. B【解析】由题意设圆心 C (a,a )，则 a =1，半径 r =1，所以圆的方程为 (x −1)2+(y −1)2=1． 3. A 4. A 【解析】由 (x +2)2+(y −3)2=22，整理得 x 2+y 2+4x −6y +9=0，所以 D =4，E =−6，F =9．5. B【解析】由点 M 在圆外，得 a 2+b 2>1，所以圆心 O 到直线 ax +by =1 的距离 d =√a 2+b 2<1，则直线与圆 O 相交． 6. B【解析】圆心为 (−1,1)，半径为 √2−2a ，圆心到直线的距离为 √2．所以 22+(√2)2=(√2−2a)2，解出 a =−2． 7. C【解析】由题意知点 P (2,2) 在圆 (x −1)2+y 2=5 上，设切线的斜率为 k ，则 k ⋅2−02−1=−1，解得 k =−12，直线 ax −y +1=0 的斜率为 a ，且与切线垂直，所以 −12a =−1，解得 a =2． 8. D【解析】圆 (x −2)2+y 2=4 的圆心为 M (2,0) 、半径为 r =2；圆 x 2+(y −2)2=4 的圆心为 N (0,2) 、半径为 r =2，故圆心距 MN =√22+22=2√2，弦心距 d =∣MN∣2=√2．设公共弦所对的圆心角是 2θ，则 cosθ=d r=√22， 所以 θ=π4， 所以 2θ=π2．9. B【解析】曲线 x 2+y 2−2x =0 表示以 (1,0) 为圆心，以 1 为半径的圆．曲线 y (y −mx −m )=0 表示 y =0和y −mx −m =0 两条直线． 其中 y −mx −m =0 过定点 (−1,0)，y =0 与圆有两个交点， 故 y −mx −m =0 也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切情况分别对应m =−√33和m =√33, 由图可知，m 的取值范围应为(−√33,0)∪(0,√33).其他解法：观察选项，提炼出待检样例m=0和m=1．当m=0时，C2：y2=0即y=0，与C1至多只有两个不同交点，不符合题意，排除A、C；当m=1时，C2：y=0或y=x+1，与C1交于(0,0)、(2,0)，不符合题意，排除D；选B．10. A【解析】圆的标准方程为(x−4)2+y2=1，圆心为(4,0)，r=1．依题意可得√k2+1≤2，解出−43≤k≤0，所以k的最小值为−43．11. B 12. C 第二部分13. (12,−12)【解析】圆x2+y2−x+y−1=0，即(x−12)2+(y+12)2=32，故该圆的圆心为(12,−12)．14. (x−1)2+(y−√3)2=115. (0,−1,0)【解析】设M(0,y,0)，由MA=MB得(1−0)2+(0−y)2+(2−0)2=(1−0)2+(−3−y)2+(1−0)2，解得y=−1．所以M的坐标是(0,−1,0)．16. [0,π3]【解析】方法一：如图所示，过点P作圆的切线PA,PB，切点为A，B．由题意知∣OP∣=2,OA=1，则sinα=12，所以α=30∘，∠BPA=60∘．方法二：设过点P的直线方程为y=k(x+√3)−1√3k−1∣√1+k2≤1．解得0≤k≤√3．故直线l的倾斜角的取值范围是[0,π3]．17. 相交【解析】因为圆 x 2+y 2−8x +6y +9=0 的标准方程为 (x −4)2+(y +3)2=16， 所以圆 x 2+y 2−8x +6y +9=0 的圆心是 C (4,−3)，半径 r 1=4． 又因为圆 x 2+y 2=9 的圆心是 O (0,0)，半径 r 2=3． 所以 ∣OC∣=√42+(−3)2=5， 因为 ∣r 1−r 2∣=1，r 1+r 2=7，所以 ∣r 1−r 2∣<∣OC ∣<r 1+r 2，可得两圆相交． 18. 2【解析】因为圆 x 2+y 2−2x +my =0 上任意一点 M 关于直线 x +y =0 的对称点 N 也在圆上， 所以直线 x +y =0 经过圆心 C (1,−m2)，故有 1−m 2=0，解得 m =2． 19. 1【解析】两圆公共弦所在的直线方程为 (x 2+y 2−4)−(x 2+y 2+2ay −6)=0，即 y =1a ．圆 x 2+y 2+2ay −6=0 的半径为 √a 2+6，圆心为 (0,−a )，所以弦心距为 a +1a ，所以 (√3)2+(a +1a)2=a 2+6，解得 a =1．20. 4【解析】由题意得，AB =2√12−(62)2=2√3，因此 CD =2√3cosπ6=4．第三部分21. （1） (x −1)2+(y −2)2=5−m ，所以方程表示圆时，m <5；（2） 设 M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，则 x 1=4−2y 1，x 2=4−2y 2，得 x 1x 2=16−8(y 1+y 2)+4y 1y 2， 因为 OM ⊥ON ，所以 x 1x 2+y 1y 2=0，所以 16−8(y 1+y 2)+5y 1y 2=0 ①，由 {x =4−2y x 2+y 2−2x −4y +m =0，得 5y 2−16y +m +8=0， 所以 y 1+y 2=165，y 1y 2=8+m 5．代入①得 m =85．（3） 以 MN 为直径的圆的方程为 (x −x 1)(x −x 2)+(y −y 1)(y −y 2)=0， 即 x 2+y 2−(x 1+x 2)x −(y 1+y 2)y =0， 所以所求圆的方程为 x 2+y 2−85x −165y =0．22. （1） 设圆 M 的方程为 (x −a )2+(y −b )2=r 2，根据题意得：{(1−a )2+(−1−b )2=r 2,(−1−a )2+(1−b )2=r 2,a +b −2=0,解得{a =1,b =1,r 2=4,故圆 M 的方程为 (x −1)2+(y −1)2=4． （2） 因为直线 l 1 过点 A (3,0)，且与圆 O:x 2+y 2=1 相切，设直线 l 1 的方程为 y =k (x −3)（斜率不存在时，明显不符合要求），即 kx −y −3k =0，所以圆心 O (0,0) 到直线 l 1 的距离 d =√k 2+1=1，解得 k =±√24，所以直线 l 1 的方程为 y =±√24(x −3)．23. 明显 a ≠0，原方程可化为 [x −2(a−1)a]2+(y +2a )2=4(a 2−2a+2)a 2．因为 a 2−2a +2>0(a ∈R )，所以圆的半径 r =2√(a 2−2a+2)a 2．又 r =√4(a 2−2a+2)a 2=√2a 2+2(a 2−4a+4)a 2=√2+2(a−2)2a 2≥√2．当 a =2，r min =√2，所以半径最小的圆的方程为 (x −1)2+(y +1)2=2．24. （1） 如图，以点 A 为坐标原点 O ，以过 A 点且垂直于平面 PAC 的直线为 Ox 轴，以 AC 所在的直线为 Oy 轴，以 AP 所在的直线为 Oz 轴，建立空间直角坐标系．过点 B 作 BE ⊥Ox ，垂足为 E ． 因为 B(√3m,m,0)，所以 E(√3m,0,0)．在 Rt △AEB 中，∠AEB =90∘，∣AE ∣=√3m ，∣EB ∣=m ， 所以 tan∠BAE =∣EB∣∣AE∣=√3m=√33， 所以 ∠BAE =30∘．所以 AB 与 Ox 轴的正向夹角为 30∘．（2） 连接 AM ，PM ，可证 ∠AMP 为 AM 与其在面 PBC 内的投影所成的角． 又 n =√32m ， 所以 ∣PA ∣=∣AM ∣． 所以所求的角为 45∘．25. 两圆圆心坐标分别为 (−1,−4)，(2,2)，半径分别为 5，√10， 两圆圆心所在直线方程为 y+42+4=x+12+1， 即 2x −y −2=0, ⋯⋯①公共弦所在直线方程为 x +2y −1=0, ⋯⋯②解 ①② 组成的方程组得面积最小的圆的圆心坐标为 (1,0)， 又点 (1,0) 到 (−1,−4) 的距离为 2√5， 该圆的半径为 √52−(2√5)2=√5，所以所求圆系中面积最小的圆的方程为 (x −1)2+y 2=5．26.如图，以 A ，B 所在的直线为 x 轴，线段 AB 的中点为原点建立平面直角坐标系． 因为 ∣AB ∣=10，所以 A (−5,0)，B (5,0)．设 P (x,y )，P 到 A ，B 两地购物的运费分别是 3a 元/km ，a 元/km ． 当由 P 地到 A ，B 两地购物总费用相等时，价格+ A 地运费=价格+ B 地运费， 所以 3a ⋅√(x +5)2+y 2=a ⋅√(x −5)2+y 2，因为 a >0，所以 3√(x +5)2+y 2=√(x −5)2+y 2，两边平方， 整理得 (x +254)2+y 2=(154)2． （1）当居民到 A 地或 B 地购物总费用相等时，P 点在以 (−254,0) 为圆心、 154为半径的圆上．（2）当 P 点在上述圆上时，到 A ，B 两地购物总费用相等．当 P 点在上述圆内时， 因为 (x +254)2+y 2<(154)2，所以 3a√(x +5)2+y 2<a√(x −5)2+y 2． 故此时到 A 地购物合算． 当 P 点在上述圆外时， 因为 (x +254)2+y 2>(154)2，所以 3a√(x +5)2+y 2>a√(x −5)2+y 2． 故此时到 B 地购物合算．。