2017-2018学年高中数学人教A版必修1学案：3.2函数模型应用举例知识导学案及答案
2018-2019学年高中数学人教A版必修一：3.2.2 函数模型的应用实例
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即每天有 10 小时供水紧张.
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方法技巧 由于分段函数每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先 将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意 各段变化量的范围,特别是端点值.
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(2)甲、乙两位同学检查视力,其中甲的对数视力值为4.5,乙的小数视力值是甲的2倍, 求乙的对数视力值. (所求值均精确到小数点后面一位数字,参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
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课堂探究·素养提升
题型一 利用已知函数模型解决问题
【例1】 一个自来水厂,蓄水池中有水450吨,水厂每小时可向蓄水池中注水
80吨,同时蓄水池又向居民小区供水,t小时内供水总量为160 5t 吨,现在开 始向水池中注水并同时向居民小区供水.
(1)问多少小时后,蓄水池中水量最少?
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【备用例1】 某公司试销一种新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价 500元/件,又不高于800元/件,经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价 x(元/件),可近似看作一次函数y=kx+b的关系(图象如图所示). (1)根据图象,求一次函数y=kx+b的解析式;
解:(1)由图象可知,
高中数学人教A版必修一教案：3.2.4函数模型的应用实例(二)
–40x2+520x–
200，0＜x＜13
易知，当 x=6.5 时，y 有最大
值.
所以，只需将销售单价定为
11.5 元，就可获得最大的利
润.
师：帮助课本剖析解答过程，
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r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈ 0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0 223，r7≈0.0276， r8≈0.0222，r9≈0.0184. 于是，1951~1959 年期间， 我国人口的年均增长率为
r(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221. 令 y0=55196，则我国在 1950~1959 年期间的人口增 长模型为 y=55196e0.0221t，t∈N. 根据表中的数据作出散点图 并作出函数 y=55196e0.0221t (t∈N)的图象
价是 5 元.销售单价与日均销售量的关系 实际问题的求解思路“审、
如表所示：
建、解、检”
销售单价/元 6 7 8 9
生：尝试解答例 1
日均销售量/桶 480 440 400 360
解：根据表，销售单价每增
销售单价/元 10 11 12 日均销售量/桶 320 280 240
请据以上数据作出分析，这个经营部怎 样定价才能获得最大利润？
回顾反思上节课的学习成果
4．指数型函数模型的应用
师：形如 y=bacx 函数为指数
例 1 人口问题是当今世界各国普遍关注 型函数，生产生活中以此函
函数模型的应用实例人教A版高中数学必修一课件
析式为( )
A．y＝20－x,0<x<10
B．y＝20－2x,0<x<20
C．y＝40－x,0<x<10
D．y＝40－4x,0<x<20
答案：A
第3章 3.2 3.2.2函数模型的应用实例-2020秋人教 A版高 中数学 必修一 课件(共 56张PP T)
栏目 导引
第3章 3.2 3.2.2函数模型的应用实例-2020秋人教 A版高 中数学 必修一 课件(共 56张PP T)
‖自主导学‖ 知识点|Y3]几种常见函数模型及应用
阅读教材 P101～P106 的内容，完成下列问题． 1．几类常见函数模型
栏目 导引
数学 必修1 配人教 A版
1．几类常见函数模型
名称
解析式
一次函数模型
y＝ 1 __k_x_＋__b____
反比例函数模型
y＝ 2 ___kx_＋_b_____
二次函数模型
第三章 函数的应用
2 课堂互动探究
剖析题型2函数模型的应用实例-2020秋人教 A版高 中数学 必修一 课件(共 56张PP T)
栏目 导引
第3章 3.2 3.2.2函数模型的应用实例-2020秋人教 A版高 中数学 必修一 课件(共 56张PP T)
数学 必修1 配人教 A版
第三章 函数的应用
4．长为 4，宽为 3 的矩形，当长增加 x，且宽减少2x时面积最
数学 必修1 配人教 A版
名称 指数函数模型
对数函数模型 幂函数模型
解析式 y＝b·ax＋c
y＝mlogax＋n y＝axn＋b
第三章 函数的应用
条件 a>0 且 a≠1，
b≠0 a>0 且 a≠1，
人教A版高中数学必修一导学案函数模型的应用实例
§3.2.2 函数模型的应用实例（2）1. 通过一些实例，来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用；2. 初步了解对统计数据表的分析与处理.，找出疑惑之处）104106阅读：2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件.这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人.这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测.二、新课导学※典型例题例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元.?变式：某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？小结：找出实际问题中涉及的函数变量→根据变量间的关系建立函数模型→利用模型解决实际问题→小结：二次函数模型。
；体重：kg）成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式.（2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重78kg的在校男生的体重是否正常？小结：根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程：收集数据→画散点图→选择函数模型→求函数模型→检验→符合实际，用函数模型解释实际问题；不符合实际，则重新选择函数模型，直到符合实际为止.※动手试试请问(5)T h的T是多少？求出()解析式，并画出图象；（2）如果该同学在早晨8：00时开始工作，什么时候他未工作？练2. 有一批影碟（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售. 甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台售价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售. 某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较低？三、总结提升※学习小结1. 有关统计图表的数据分析处理；2. 实际问题中建立函数模型的过程；※知识拓展根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：①一次函数模型：()(0);f x kx b k=+≠②二次函数模型：2()(0);g x ax bx c a=++≠③幂函数模型：12()(0);h x ax b a=+≠④指数函数模型：()xl x ab c=+（0,a b≠＞0，1b≠）※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 向高为H的圆锥形漏斗内注入化学溶液（漏斗下口暂且关闭），注入溶液量V与溶液深度h的大概图象是（）.2.A ．21y x =-B ．21x y =-C ．21y x =-D ．21.5 2.52y x x =-+ 3. 某企业近几年的年产值如下图：则年增长率（增长率=增长值/原产值）最高的是（ ）. A. 97年 B. 98年 C. 99年 D. 00年4. 某杂志能以每本1.20的价格发行12万本，设定价每提高0.1元，发行量就减少4万本. 则杂志的总销售收入y 万元与其定价x 的函数关系是 .5. 某新型电子产品2002年投产，计划2004年使其成本降低36℅. 则平均每年应降低成本 %.某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1 .2万件、1.3万件、1.37万件. 由于产品质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好. 为了在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，你能解决这一问题吗？0099989796(年）2004006008001000（万元）。
2018高中数学人教a版必修1学案：3.2函数模型应用举例知识导学案及答案
3.2 函数模型应用举例知识导学通过建立实际问题的数学模型来解决问题的方法称为数学模型方法，简称建模. 解决函数应用题的基本步骤:第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题转化成数学问题，即实际问题数学化；第二步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解；第三步：将所得函数问题的解代入实际问题进行验证，看是否符合实际，并对实际问题作答.解决函数应用题的关键有两点：一是实际问题数学化，即在理解的基础上，通过列表、画图，引入变量，建立直角坐标系等手段把实际问题翻译成数学问题，把文字语言翻译成数学符号语言；二是对得到的函数模型进行解答，得出数学问题的解，要注重数学能力的培养.要熟悉一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质，有助于我们开拓思路提高运算速度.用待定系数法求出函数解析式，待定系数法是一种非常重要的数学方法，常常首先根据题意，设出函数解析式，取特殊值代入函数解析式得到方程组，由方程组求出待定系数.记忆口诀：(1)收集数据，画图提出假设；(2)依托图表，理顺数量关系；(3)抓住关键，建立函数模型；(4)精确计算，求解数学问题；(5)回到实际，检验问题结果.疑难导析解决函数应用题关键在于理解题意，提高学生的阅读能力.一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化.另一方面，要不断拓宽学生的知识面，提高其间接的生活阅历，如经常介绍一些诸如物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，也可以涉及角度、面积、体积、造价等最优化问题，逐步渗透、细水长流，培养学生实际问题数学化的意识和能力.问题导思要解好数学应用题，首先应当加强提高阅读理解能力，然后将普通语言转化为数学语言和数学符号，实际问题转化为数学问题，再利用数学方法、数学思想去解决问题，这个过程的每一个环节都必须注意.解答应用题的实质是要转化题意，把实际问题转化为数学问题，然后灵活选择适当的方法列出函数关系式，从而求解.典题导考绿色通道从这个例题我们看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型要快，从这个实例我们可以体会到对数增长，直线上升，指数爆炸等不同函数类型增大的含义. 典题变式1.某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个。
2018版高中数学人教版A版必修一学案：第三单元 3.2.2 函数模型的应用实例
3.2.2函数模型的应用实例学习目标 1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点).2.能建立函数模型解决实际问题(重、难点)．预习教材P102－P106，完成下面问题：知识点1常见的函数模型一个矩形的周长是40，矩形的长y关于宽x的函数解析式为()A．y＝20－x(0<x<10) B．y＝20－2x(0<x<20)C．y＝40－x(0<x<10) D．y＝40－2x(0<x<20)解析由题意可知2y＋2x＝40，即y＝20－x，又20－x>x，所以0<x<10，故选A．答案 A知识点2解决函数应用问题的步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：【预习评价】某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．解析L(Q)＝40Q－120Q 2－10Q－2 000＝－120Q2＋30Q－2 000＝－120(Q－300)2＋2 500，当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元．答案 2 500题型一一次函数、二次函数模型【例1】商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售．问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？解(1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则x∈(100,300]，n＝kx＋b(k<0)，∵0＝300k＋b，即b＝－300k，∴n＝k(x－300)．∴利润y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10 000k(x∈(100,300])∵k<0，∴x＝200时，y max＝－10 000k，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．(2)由题意得，k (x －100)(x －300)＝－10 000k ·75%， x 2－400x ＋37 500＝0，解得x ＝250或x ＝150，所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元． 规律方法 利用二次函数求最值的方法及注意点(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符．【训练1】 某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t 小时内向居民供水总量为1006t (0≤t ≤24)，则每天何时蓄水池中的存水量最少．解 设t 小时后，蓄水池中的存水量为y 吨，则y ＝400＋60t －1006t (0≤t ≤24)． 设u ＝t ，则u ∈[0,26]，y ＝60u 2－1006u ＋400＝60⎝⎛⎭⎫u －5662＋150，∴当u ＝566即t ＝256时，蓄水池中的存水量最少．题型二 指数型函数、对数型函数模型【例2】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v ＝12log 3θ100，单位是m/s ，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s ，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍． 解 (1)由v ＝12log 3θ100可知，当θ＝900时，v ＝12log 3900100＝12log 39＝1(m/s)．所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.(2)由v 2－v 1＝1，即12log 3θ2100－12log 3θ1100＝1，得θ2θ1＝9.所以耗氧量的单位数为原来的9倍．规律方法 指数型、对数型函数问题的类型及解法(1)指数型函数模型：y ＝ma x (a >0且a ≠1，m ≠0)，在实际问题中，有关人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示．(2)对数型函数模型：y ＝m log a x ＋c (m ≠0，a >0且a ≠1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解．(3)指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论．【训练2】 一片森林原来面积为a ，计算每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p %,10年后森林面积变为a 2.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的14.已知到今年为止，森林面积为22a . (1)求p %的值；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？ 解 (1)由题意得a (1－p %)10＝a2，即(1－p %)10＝12，解得p %＝1－⎝⎛⎭⎫12110 .(2)设经过m 年森林面积为22a ， 则a (1－p %)m ＝22a ，即⎝⎛⎭⎫12m 10 ＝⎝⎛⎭⎫1212 ，得m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年开始，n 年后森林面积为22a ·(1－p %)n ，令22a (1－p %)n ≥14a ，即(1－p %)n ≥24， ⎝⎛⎭⎫12n10 ≥⎝⎛⎭⎫1232 ，得n 10≤32，解得n ≤15， 故今后最多还能砍伐15年． 题型三 分段函数模型【例3】 经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足于f (t )＝⎩⎨⎧15＋12t ，(0≤t ≤10)25－12t ，(10<t ≤20)(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值． 解 (1)由已知，由价格乘以销售量可得： y ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫15＋12t (80－2t )，(0≤t ≤10)⎝⎛⎭⎫25－12t (80－2t )，(10<t ≤20)＝⎩⎪⎨⎪⎧(t ＋30)(40－t )，(0≤t ≤10)(50－t )(40－t )，(10<t ≤20) ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋10t ＋1 200，(0≤t ≤10)，t 2－90t ＋2 000，(10<t ≤20).(2)由(1)知①当0≤t ≤10时y ＝－t 2＋10t ＋1 200＝ －(t －5)2＋1 225，函数图象开口向下，对称轴为t ＝5，该函数在t ∈[0,5]递增，在t ∈(5,10]递减， ∴y max ＝1 225(当t ＝5时取得)，y min ＝1 200(当t ＝0或10时取得)； ②当10<t ≤20时y ＝t 2－90t ＋2 000＝(t －45)2－25，图象开口向上，对称轴为t ＝45，该函数在t ∈(10,20]递减，∴y max ＝1 200(当t ＝10时取得)，y min ＝600(当t ＝20时取得)．由①②知y max ＝1 225(当t ＝5时取得)，y min ＝600(当t ＝20时取得)． 规律方法 应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏． (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．【训练3】 某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：H (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －x 2，0≤x ≤200，x ∈N ，40 000，x >200，x ∈N ，其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数(用f (x )表示)；(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润) 解 (1)设每月产量为x 台，则总成本为t ＝10 000＋100x .又f (x )＝H (x )－t .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋300x －10 000，0≤x ≤200，x ∈N ，30 000－100x ，x >200，x ∈N .(2)当0≤x ≤200时，f (x )＝－(x －150)2＋12 500， 所以当x ＝150时，有最大值12 500； 当x >200时，f (x )＝30 000－100x 是减函数， f (x )<30 000－100×200<12 500.所以当x ＝150时，f (x )取最大值，最大值为12 500.所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元．题型四建立拟合函数模型解决实际问题【例4】为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示.(1)(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；(3)根据所建立的函数模型，估计若变今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？解(1)描点、作图，如图(甲)所示：(2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx(a，b为常数且b≠0)．取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y ＝a ＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧21.1＝a ＋10.4b ，45.8＝a ＋24.0b ，用计算器可得a ≈2.2，b ≈1.8.这样，得到一个函数模型：y ＝2.2＋1.8x ，作出函数图象如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．(3)由(2)得到的函数模型为y ＝2.2＋1.8x ，则由y ＝2.2＋1.8×25，求得y ＝47.2，即当最大积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地约为47.2公顷．规律方法 建立拟合函数与预测的基本步骤【训练4】 我国1999年至2002年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：(1) (2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较．解 (1)画出函数图形，如图．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上．设所求的函数为y ＝kx ＋b ，把直线通过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式，解方程组，可得k＝0.677 7，b＝8.206 7.因此，所求的函数关系式为y＝f(x)＝0.677 7x＋8.206 7.(2)由得到的关系式计算出2000年和2001年的国内生产总值分别为f(1)＝0.677 7×1＋8.206 7＝8.884 4，f(2)＝0.677 7×2＋8.206 7＝9.562 1.与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．课堂达标1．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.A．y＝log2x B．y＝2x C．y＝x2D．y＝2x解析逐个检验可得答案为B．答案 B2．一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是()A．y＝2t B．y＝120t C．y＝2t(t≥0)D．y＝120t(t≥0)解析90 min＝1.5 h，所以汽车的速度为180÷1.5＝120 km/h，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是y＝120t(t≥0)．答案 D3．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元．解析 设彩电的原价为a ，∴a (1＋0.4)·80%－a ＝270，∴0.12a ＝270，解得a ＝2 250.∴每台彩电的原价为2 250元．答案 2 2504．2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1)．解析 设x 年我国人口将超过20亿，由已知条件：14(1＋1.25%)x －2 008>20，x －2 008>lg 107lg 8180＝1－lg 74lg 3－3lg 2－1＝28.7，则x >2 036.7，即x ＝2 037.答案 2 0375．某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P ＝1 000＋5x ＋110x 2，Q ＝a ＋xb ，若生产出的产品能全部卖掉，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨价格为40元，求实数a ，b 的值．解 设利润为y 元，则y ＝Qx －P ＝ax ＋x 2b －1 000－5x －110x 2＝⎝⎛⎭⎫1b －110x 2＋(a －5)x －1 000， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－a －52⎝⎛⎭⎫1b －110＝150，40＝a ＋150b，化简得⎩⎨⎧a ＋300b ＝35，a ＋150b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝－30.课堂小结1．函数模型的应用实例主要包括三个方面： (1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．4．根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示．。
2018年秋高中数学人教A版必修一课件3.2.2函数模型的应用实例.pptx
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变式训练1甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销 售的统计规律:每生产产品x(单位:百台),其总成本为G(x)(单位:万 元),其中固定成本为2.8万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元 (总成本=固定成本+生产成本),销售收入R(x)=
-0.4������ 2 + 4.2������,0 ≤ ������ ≤ 5, 11,������ > 5. 假定该产品产销平衡(即生产的产品 都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列问题: (1)写出利润函数y=f(x)的解析式(利润=销售收入-总成本). (2)甲厂生产多少台新产品时,可使盈利最多?
一
二
2.解答函数实际应用问题时,一般要分哪四步进行? 提示:第一步:分析、联想、转化、抽象; 第二步:建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题; 第三步:解答数学问题,求得结果; 第四步:把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答. 而这四步中,最为关键的是把第二步处理好.只要把函数模型建 立妥当,所有的问题即可在此基础上迎刃而解.
探究一
探究二
探究三
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解:(1)由题意得G(x)=2.8+x.
-0.4������ 2 + 3.2������-2.8,0 ≤ ������ ≤ 5, ∴f(x)=R(x)-G(x)= 8.2-������,������ > 5. (2)当x>5时,∵函数f(x)单调递减, ∴f(x)<8.2-5=3.2(万元). 当0≤x≤5时,函数f(x)=-0.4(x-4)2+3.6, 当x=4时,f(x)有最大值为3.6万元. 故当工厂生产4百台时,可使赢利最大为3.6万元.
2017-2018学年高中数学人教A版1学案：3.2.1函数模型及其应用课堂导学案
3。
2.1 函数模型及其应用课堂导学三点剖析一、常见函数模型【例1】（一次函数模型)某商店出售茶壶和茶杯,茶壶每个定价20元,茶杯每个定价5元,该店推出两种优惠办法:(1)买一个茶壶赠送一个茶杯;（2)按总价的92%付款.某顾客需购茶壶4个,茶杯若干（不少于4个），若需茶杯x个，付款数为y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x的函数关系,并讨论顾客选择哪种优惠方法更合算.思路分析:本题考查的是建立一次函数模型,并应用一次函数模型解决实际问题的能力。
第一种优惠方法中，实际付款是4个茶壶的钱和（x-4）个茶杯的钱。
第二种优惠方法只需将货款总数乘以92%，而后再作差比较二者的大小即可。
解：由优惠办法(1）可得函数关系式：y1=20×4+5(x—4）=5x+60（x ≥4）,由优惠办法（2)可得函数关系式：y2=(5x+4×20)×92%=4。
6x+73。
6。
比较:y1-y2=0。
4x—13.6（x≥4)。
①当0.4x-13.6＞0，即x＞34时，y1＞y2，即当购买茶杯个数大于34时,优惠办法(2）合算.②当0.4x-13.6=0，即x=34时,两种优惠办法一样合算。
③当0。
4x—13。
6＜0,即4≤x＜34时，y1＜y2.优惠办法(1)合算。
温馨提示1.建立函数模型后,如果结论不能确定,应注意对其进行分类讨论.2。
用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模.函数模型是应用最广泛的数学模型之一。
许多实际问题一旦认定是函数关系，就可以通过研究函数的性质把握问题并解决问题.读题是解决实际问题的重要环节。
一般的实际问题的叙述都比较长，需要逐字逐句地把问题看懂，这是建立数学模型的前提.二、利用函数模型分析问题【例2】（指数函数模型）按复利计算利息的一种储蓄，设本金为a元，每期利率为r，存期为x,写出本金和利息总和y(元)与x的函数表达式.如果存入本金10 000元，每期1。
人教A版必修1高中数学学案教案： (2.2 函数模型的应用举例 第1课时)
3.2.2 函数模型的应用举例整体设计教学分析函数基本模型的应用是本章的重点内容之一.教科书用4个例题作示范，并配备了较多的实际问题让学生进行练习.在4个例题中，分别介绍了分段函数、对数函数、二次函数的应用. 教科书中还渗透了函数拟合的基本思想.通过本节学习让学生进一步熟练函数基本模型的应用，提高学生解决实际问题的能力.三维目标1.培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力，即根据实际问题进行信息综合列出函数解析式.2.会利用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题.3.通过学习函数基本模型的应用，体会实践与理论的关系，初步向学生渗透理论与实践的辩证关系.重点难点根据实际问题分析建立数学模型和根据实际问题拟合判断数学模型，并根据数学模型解决实际问题.课时安排2课时教学过程第1课时函数模型的应用实例导入新课思路1.(情景导入)在课本第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只.可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气.与之相应的图中话道出了其中的意蕴：对于一个种群的数量，如果在理想状态(如没有天敌、食物充足等)下，那么它将呈指数增长；但在自然状态下，种群数量一般符合对数增长模型. 上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们进一步讨论不同函数模型的应用.思路2.(直接导入)上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们进一步讨论不同函数模型的应用.推进新课新知探究提出问题①我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x).②A、B 两城相距100 km ，在两地之间距A 城x km 处D 地建一核电站给A 、B 两城供电，为保证城市安全.核电站距城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ=0.25.若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月. 把月供电总费用y 表示成x 的函数，并求定义域.③分析以上实例属于那种函数模型.讨论结果：①f(x)=5x(15≤x≤40).g(x)=⎩⎨⎧≤<+≤≤4030,902,3015,90x x x②y=5x 2+25(100—x)2(10≤x≤90)； ③分别属于一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型.应用示例思路1例1一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.(1)求图3-2-2-1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km 与时间t h 的函数解析式，并作出相应的图象.图3-2-2-1活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：图中横轴表示时间，纵轴表示速度，面积为路程；由于每个时间段速度不断变化，汽车里程表读数s km 与时间t h 的函数为分段函数.解：(1)阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360 km.(2)根据图，有s=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+-<≤+-<≤+-<≤+-<≤+.54,2299)4(65,43,2224)3(75,32.2134)2(90,21,2054)1(80,10,200450t t t t t t t t t t这个函数的图象如图3-2-2-2所示.图3-2-2-2变式训练2007深圳高三模拟，理19电信局为了满足客户不同需要，设有A 、B 两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如下图(图3-2-2-3)所示(其中MN∥CD).(1)分别求出方案A 、B 应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式f(x)和g(x)；(2)假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A 、B 两种优惠方案？并说明理由.图3-2-2-3解：(1)先列出两种优惠方案所对应的函数解析式： f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤,100,10103,1000,20x x x g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤.500,100103,5000,50x x x (2)当f(x)=g(x)时,103x-10=50, ∴x=200.∴当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可;当客户通话时间为0≤x＜200分钟，g(x)>f(x),故选择方案A ；当客户通话时间为x>200分钟时，g(x)<f(x),故选方案B.点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.例2人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766~1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y 0e rt ,其中t 表示经过的时间，y 0表示t=0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率. 下表是1950～1959年我国的人口数据资料：年份1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数／万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；(2)如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？解：(1)设1951～1959年的人口增长率分别为r 1,r 2,r 3,…,r 9.由55196(1+r 1)=56300，可得1951年的人口增长率为r 1≈0.020 0.同理,可得r 2≈0.0210，r 3≈0.0229，r 4≈0.0250，r 5≈0.0197，r 6≈0.0223，r 7≈0.0276， r 8≈0.0222，r 9≈0.0184.于是，1950～1959年期间，我国人口的年平均增长率为r=(r 1+r 2+…+r 9)÷9≈0.0221.令y 0=55 196，则我国在1951～1959年期间的人口增长模型为y=55 196e 0.0221t ,t∈N .根据表中的数据作出散点图，并作出函数y=55 196e 0.0221t (t∈N )的图象(图3-2-2-4).图3-2-2-4由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.(2)将y=130000代入y=55 196e 0.0221t ,由计算器可得t≈38.76.所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.变式训练一种放射性元素,最初的质量为500 g,按每年10%衰减.(1)求t 年后,这种放射性元素质量ω的表达式;(2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期).(精确到0.1.已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1)解：(1)最初的质量为500 g.经过1年后,ω=500(1－10%)=500×0.91;经过2年后,ω=500×0.9(1－10%)=500×0.92;由此推知,t 年后,ω=500×0.9t .(2)解方程500×0.9t =250,则0.9t =0.5,所以t=9.0lg 5.0lg =13lg 22lg --≈6.6(年), 即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.知能训练某电器公司生产A 型电脑.1993年这种电脑每台平均生产成本为5 000元,并以纯利润20%确定出厂价.从1994年开始,公司通过更新设备和加强管理,使生产成本逐年降低.到1997年,尽管A 型电脑出厂价仅是1993年出厂价的80%,但却实现了50%纯利润的高效益.(1)求1997年每台A 型电脑的生产成本;(2)以1993年的生产成本为基数,求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数.(精确到0.01,以下数据可供参考:5=2.236,6=2.449)活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导.出厂价=单位商品的成本+单位商品的利润.解：(1)设1997年每台电脑的生产成本为x 元,依题意,得x(1+50%)=5000×(1+20%)×80%,解得x=3200(元).(2)设1993年至1997年间每年平均生产成本降低的百分率为y,则依题意,得5000(1－y)4=3200,解得y 1=1－552,y 2=1+552(舍去). 所以y=1－552≈0.11=11%, 即1997年每台电脑的生产成本为3 200元,1993年至1997年生产成本平均每年降低11%. 点评：函数与方程的应用是本章的重点，请同学们体会它们的关系.拓展提升某家电企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台.已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：家电名称空调 彩电 冰箱 每台所需工时21 31 41 每台产值(千元) 4 3 2问每周应生产空调、彩电、冰箱各多少台，才能使周产值最高？最高产值是多少?(以千元为单位)解：设每周生产空调、彩电、冰箱分别为x 台、y 台、z 台，每周产值为f 千元， 则f=4x+3y+2z ，其中⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥=++=++)3(,60,0,0)2(,120413121)1(,360z y x z y x z y x 由①②可得y=360-3x,z=2x,代入③得⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≥,602,03360,0x x x 则有30≤x≤120.故f=4x+3(360-3x)+2·2x=1080-x,当x=30时，f max =1 080-30=1050.此时y=360-3x=270,z=2x=60.答:每周应生产空调30台，彩电270台，冰箱60台，才能使每周产值最高，最高产值为1 050千元.点评：函数方程不等式有着密切的关系，它们相互转化组成一个有机的整体,请同学们借助上面的实例细心体会.课堂小结本节重点学习了函数模型的实例应用，包括一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型等；另外还应关注函数方程不等式之间的相互关系.活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结.作业课本P107习题3.2A组5、6.设计感想本节设计从有趣的故事开始，让学生从故事中体会函数模型的选择，然后通过几个实例介绍常用函数模型.接着通过最新题型训练学生由图表转化为函数解析式的能力，从而解决实际问题，本节的每个例题的素材都是贴近现代生活,学生非常感兴趣的问题,很容易引起学生的共鸣.。
高中数学人教A版必修1导学案设计：3.2.2函数模型的应用举例(学生版)
章节3.2.2 课题函数模型的应用实例教学目标1.掌握运用一次函数、二次函数、指数型函数、对数型函数、幂型函数及分段函数等建立数学模型解决实际问题的方法2.会根据所给数据选择合适的函数模型进行拟合；3.体会数学建模的作用和意义。
教学重点分段函数的模型；二次函数、指数型函数、对数型函数、幂型函数的模型教学难点用分段函数、二次函数、指数型函数、对数型函数、幂型函数的性质解决实际问题。
【新知探究】一、分段函数模型1．分段函数的定义：对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的，这样的函数通常叫做分段函数。
其基本形式为，分段函数的定义域是各段函数定义域的，值域也是各段函数值域的。
2．分段函数的性质：分段函数是一个函数，而不是几个函数，其单调性、最值、奇偶性等性质的研究往往本着分段讨论，整体考虑的原则。
二、指数型、对数型、幂型函数3．函数模型：指数型函数模型：()(0)xf x ab c a=+≠；对数型函数模型：()log(01af x m x n a a=+>≠且）幂函数型模型：()(0,1nf x ax b a n=+≠≠）三、函数模型的应用：4.应用题型：一方面是利用已知的模型解决问题；另一方面是恰当建立函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测。
5.解函数应用题的一般步骤：（1）审题：深入理解关键字句，为便于数据的处理可用表格（或图形）处理数据，便于寻找数据关系。
（2）建模：将问题简单化、符号化，尽量借鉴标准形式，建立数学关系式。
（3）解模：根据建立的数学模型，选择合适方法，求出问题的解，要特别注意变量范围的限制。
（4）还原：将数学的问题的答案还原为实际问题的答案，在这以前一定要进行检验。
【基础练习】1、点P 从O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，O 、P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如右图，那么P 所走的图形是( )A 、B 、C 、D 、2、有一批材料可以围成200米长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地(如图)，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为( ) A ．1000米2 B ．2000米2 C ．2500米2 D ．3000米23、某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( ) A ．100y x = B ．25050100y x x =-+ C ．502xy =⨯ D ．2100log 100y x =+4、已知函数⎩⎨⎧≤+>=1,1,)(2x a x x x x f 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 。
2017人教a版数学必修一函数模型的应用实例2教案
5）怎样修正所确定的函数模型，使其拟合程度更好？
解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图，根据点的分布特征，可考虑用y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm关系的函数模型。
不妨取其中的两组数据（70，），（160,）代入y＝a·bx得：
（二）实例尝试，探求新知
例1(见P104例5)、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：
销售单价/元
6
7
8
9
10
11
12
日均销售量/桶
480
440
400
360
320
280
240
请根据以上根据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
重点
收集图表数据信息，建立函数模型解决实际问题。
难点
建立起函数模型，并进行模型修正
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
教学过程
（一）复习旧知，揭示课题.
解决实际问题的步骤：
实际问题 读懂问题 将问题抽象化
数学模型 解决问题
现实生活中有些实际问题给出了图表数据信息,对这类问题就要求我们能够收集图表数据信息，建立适合的函数模型来解决问题。请看下面的例子：
分析：由表中可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元，在此情况下的日均销售量为
1
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
480－40（x－1）＝520－40x（桶） 由于x＞0，所且520－40x＞0，即0＜x＜13
2017人教a版数学必修一函数模型的应用实例(ⅰ)教案
备课人
授课时间
课题
§3.2.2函数模型的应用实例(Ⅰ)
教
学
目
标
知识与技能
应用一次函数、二次函数模型解决实际问题．能够找出简单实际问题中的函数关系式
过程与方法
启发引导，充分发挥学生的主体作用
情感态度价值观
体会运用函数思想和处理现实生活和社会中的简单问题的实用价值．
重点
运用一次函数、二次函数模型的处理实际问题
二、组织探究
例1（课本102页例3）一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示：
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象．
说明：利用计算器或计算机作出所确定函数的图象，并由表中数据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合程度．
三、探索研究 总结方法
引导学生分析例题，进行总结归纳
利用给定函数模型或建立确定函数解决实际问题的方法：
1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；2）利用待定系数法，确定具体函数模型；
问题五:根据问题四所得到的函数关系式，作出相应的函数图象
(列表、描点、画图，可交给学生自己解决)
问题六:通过本题你学到什么?会解哪类题型?
小结：本题是一类变量间具有确定确定关系的问题,根据这个关系可以建立函数模型解决此题:
例2（课本103页例4）
人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：
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3.2 函数模型应用举例
知识导学
通过建立实际问题的数学模型来解决问题的方法称为数学模型方法，简称建模.
解决函数应用题的基本步骤:
第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题转化成数学问题，即实际问题数学化；
第二步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解；
第三步：将所得函数问题的解代入实际问题进行验证，看是否符合实际，并对实际问题作答.
解决函数应用题的关键有两点：一是实际问题数学化，即在理解的基础上，通过列表、画图，引入变量，建立直角坐标系等手段把实际问题翻译成数学问题，把文字语言翻译成数学符号语言；二是对得到的函数模型进行解答，得出数学问题的解，要注重数学能力的培养. 要熟悉一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质，有助于我们开拓思路提高运算速度.
用待定系数法求出函数解析式，待定系数法是一种非常重要的数学方法，常常首先根据题意，设出函数解析式，取特殊值代入函数解析式得到方程组，由方程组求出待定系数.
记忆口诀：
(1)收集数据，画图提出假设；
(2)依托图表，理顺数量关系；
(3)抓住关键，建立函数模型；
(4)精确计算，求解数学问题；
(5)回到实际，检验问题结果.
疑难导析
解决函数应用题关键在于理解题意，提高学生的阅读能力.一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化.另一方面，要不断拓宽学生的知识面，提高其间接的生活阅历，如经常介绍一些诸如物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，也可以涉及角度、面积、体积、造价等最优化问题，逐步渗透、细水长流，培养学生实际问题数学化的意识和能力.
问题导思
要解好数学应用题，首先应当加强提高阅读理解能力，然后将普通语言转化为数学语言和数学符号，实际问题转化为数学问题，再利用数学方法、数学思想去解决问题，这个过程的每一个环节都必须注意.
解答应用题的实质是要转化题意，把实际问题转化为数学问题，然后灵活选择适当的方法列出函数关系式，从而求解.
典题导考
绿色通道
从这个例题我们看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型要快，从这个实例我们可以体会到对数增长，直线上升，指数爆炸等不同函数类型增大的含义.
典题变式
1.某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y=a·b x+c(其中，a、b、c为常数).
已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.
答案：选择y ＝-0.8×0.5x ＋1.4更合适.
2.一家人(父亲、母亲、孩子)去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策.甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价；乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的3
2计算.这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的以孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠.
答案：当家庭只有1个孩子时，两家随便选择，当孩子数多于1个时，应选择甲旅行社.
3.某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2 km 者均按此价收费，行程超过2 km ，按1.8元/km 收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1 km 计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于…( )
A.5~7 km
B.9~11 km
C.7~9 km
D.3~5 km
答案：A
绿色通道
在求y=224.0 x 的最小值时可以移项、平方去根号，然后用判别式法求得.
典题变式
1.一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月内(以30天计算)有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？
答案：每天从报社买进400份时，每月所获利润最大，最大利润为870元.
2.某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为( )(参考数据lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1)
A.5
B.10
C.14
D.15
答案：C
黑色陷阱
不明白题意，一味地想分别解出M 和m 的值，将会步入思维陷阱.
典题变式 容器中有浓度为m ％的溶液a 升，现从中倒出b 升后用水加满，再倒出b 升后用水加满，这样进行了10次后溶液的浓度为( ) A.(a b )10·m% B.(1-a b )10·m% C.( a b )9·m% D.(1-a
b )9·m% 答案：B
绿色通道
这是一个分段函数类型的应用问题，注意判断自变量在分段
函数的哪一段取值范围内是这个题的解题关键.
典题变式
1.某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税.已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t 元时，则每年销售量将减少 t 万件.
(1)将税金收入表示为征收附加税率的函数；
(2)若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？ 答案：(1)所求的函数关系式为y ＝250(40-t)t ％.
(2)税率应控制在10％～15％之间为宜.
2.在国内投寄平信，每封不超过20克重应付邮资80分，超过20克不超过40克重付邮资160分，将每封信应付邮资(分)表示为信重(0＜x ≤40＝克的函数，其表达式f(x)为________.
答案：40
2020016080≤<≤<⎩⎨⎧x x
绿色通道
一般来说，若题中已给出数学模型，只要解模即可，较常用的方法是用待定系数法解模. 典题变式
某人从A 地到B 地乘坐出租车，有两种方案，第一种方案：租用起步价10元，每千米价为
1.2元的汽车；第二种方案：租用起步价为8元，每千米价为1.4元的汽车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的.则此人从A 地到B 地选择哪一种方案比较合适?
答案：当A 、B 距离在起步价以内时，选择第二种方案；当A 、B 距离在(a ，a ＋10)时，选择第二种方案；当A 、B 距离恰好为a ＋10时，选择两种方案均可以；当A 、B 距离大于a ＋10时，选择第一种方案.(其中a 为起步价内汽车行驶的里程)。