仿射变换和保距变换教学课件共28页

x'a11xa12yb1 y'a21xa22yb2
点变换公式
此公式称为仿f在 射坐 变标 换 I中 系的点变换公式
类似可得到仿 f在射 坐变 标 I中 换 系的向量（坐公 标式 ）变换
xy''aa1211xxaa1222yy
向量变换 （公 非式 退化线性变换）
保距变换的坐标变换公式（P:181Th5.2.2）
❖ 仿射变换决定的向量变换保持向量的线性关系 （P:187 Prop5.3.3）（非退化（满秩）线性变换）
❖ 保距变换决定的向量变换不仅保持向量的线性 关系，而且保持向量的内积（距离，角度，面 积，垂直）（P:180 Prop5.2.3）（正交变换）
仿射变换基本定理（P:189Th5.3.1）
定理(仿 ：射变换基本 )设定 是理 一平面 （1）如f果 :的仿射变I换 [O ，e;1,e2]是上的一个 仿射标架I， '[f则 (Of)(e;1),f(e2)]也是 的仿射标架， 并且 P,P在I中的坐标 f(P和 在 )I中 ' 的坐标相同； （ 2）任 上 取的两个I仿 [O 射 e1;,e2标 ]和 I 架 ' [O;e1'',e2'], 规f定 :如下 P： ,设 P在 I中的坐 (x,标 y)令 , 是 f(P)
是I在 中 ' 坐(标 x,y)的 为点f， 是则 仿射变换。
❖ （1）说的是唯一性，（2）说的是存在性， ❖ 平面上不共线的三对对应点可唯一确定一个仿射变换（P:190）
保距变换基本定理（P:181Th5.2.1）
定理(保 ：距变换基本 )设定 是理 一平面 （1）如f果 :的保距变I换 [O ，e;1,e2]是上的一个 直角标架I， '[f则 (Of)(e;1),f(e2)]也是 的直角标架， 并且 P,P在I中的坐标 f(P和 在 )I中 ' 的坐标相同；
设f : 的仿射变换 I[， Oe;1,e2]是上的一个仿射标架，
I [Oe;1,e2]到I'f(I)[f(Of)(;e1),f(e2)]的过渡（变换）矩阵
为Aaa1211 aa1222（ 非退,满 化秩,f） (O在 ) I中的坐标 (b1为 ,b2),P,
设P在I中的坐标(x,是 y),f(P是 ) 在 I中坐标(x为 ', y'),则
保持共线性、平行性和简比， 但长度、角度改变
保持长度（距离），角度 位置，只是位置发生变化
中心投影
保持共线性和交比，但平行性改变
知识要点（5.1--5.4）（综合法，解析法）
❖ 平面的仿射（保距）变换 ❖ 仿射（保距）变换基本定理 ❖ 仿射（保距）变换的坐标表示 ❖ 仿射（度量）性质 ❖ 仿射（度量）分类 ❖ 射影变换???????
❖ 定义：平面π上的一个可逆变换，如果把共线 点组变为共线点组，则称为平面π的一个仿射 变换。(几何角度)
（与书本定义等价（代数角度））
❖ 伸缩变换（P:184例5.3.1），位似变换（P:184例 5.3.1）， 错切变换（P:185例5.3.2）
❖ 仿射变换可分解为保距变换和伸缩变换的组合 （P:192定理5.3.2）
映射与变换（P:175）
定义：设X与Y是两个集合,对X中任一元素x,按 某一法则在Y中有唯一的元素y与之对应,则称 此法则(即对应关系)为X到Y的一个映射。
函数，泛函，算子，变换，像，原像，复合 映射，单射，满射，一一映射（可逆映射）， 一一变换（可逆变换），恒等变换
平面上的变换群（P:177）
（ 2）任 上 取的两个I 直 [Oe角 1,;e2]和 标 I ' 架 [O ;e1'',e2'], 规f定 : 如下 P： ,设 P在 I中的坐 (x,y标 )令 , f是 (P)
是I在 中 ' 坐(x标 ,y)的 为点f是 ，保 则距变换。
❖ （1）说的是唯一性，（2）说的是存在性
仿射变换的坐标变换公式（P:190）
则称G是平面π上的一个变换群
❖ 平移全体是变换群，但旋转全体不是变换群（中心不同）
保距变换（点变换）（P:178）
❖ 定义：平面π上的一个变换f如果满足：对平 面π上的任意两点A,B,总有：
d(f(A),f(B))=d(A,B)
则称f是平面π上的一个保距变换。
❖ 平移，旋转（刚体运动），反射都是保距离变换（反之保距 变换即为平移，旋转，反射的组合 P:182 Th5.2.3）
设f :是保距变I换 [O ，e;1,e2]是上的一个
直角标架I， 到I'则 f(I的 ) 过渡矩 A阵 aa1211aa1222 为正交矩阵。
❖ 保距变换是可逆变换，且其逆变换也是保距变换 （P:179 Prop5.2.2）（保距变换群）
❖ 保距变换把直线变为直线，并保持距离与角度 （P:179 Prop5.2.1）（全等）
❖ 注：弯曲空间的保距映射保持曲面的高斯曲率（绝妙定理， 在微分几何和广义相对论中居于中心地位，内蕴微分几何）
仿 ❖
（P:176例5.1.1）
（P:176例5.1.2）
（P:177例5.1.3）
伸缩变换 ，位似 变换 ， ❖
（P:177例5.1.4）
（相似）
（P:184例5.3.1）
变换（P:185例5.3.2）
错切
❖ 定义：一个集合G，如果它的元素都是平面π上的可
逆变换且满足： （1）G中任何元素的逆也在G中， （2）G中任何两个元素的复合也在G中，
参考书
尤承业《解析几何》（北大） 陈志杰 《高等代数与解析几何》（第二版）（华师大）
全等与相似
全等
相似
透视图法（建筑、绘画）
张顺燕《数学的美与理》
中心投影，平行投影
张景中：《数学家的眼光》，《数学与哲学》
欧氏几何, 仿射几何，射影几何
❖ 平移，旋转 镜面反射（全等）
平行投影 （中心在无穷远点）
❖ 仿射变换把直线变为直线，并保持直线的平 行性 （仿射变换群） （P:185 Prop5.3.1）
❖ 保距变换是仿射变换
仿射变换（几何）决定的向量变换（代数） （P:180，P:187）
❖ 定义：设f是平面π上的仿射变换，则对于任何 平行与平面π的向量 a ，规定 f(a) f(A)f(B)， 这 里A,B是平面π上的点，使得 a AB ，这样得到 一个变换称为由f决定的仿射向量变换，仍记作f。