2020高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.3 复数的几何意义(1)学案 苏教版选修1-2

3.3 复数的几何意义[学习目标] 1.了解复数的几何意义，会用复平面上的点表示复数.2.了解复数的加减运算的几何意义.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．[知识链接]1．下列命题中不正确的有________． (1)实数可以判定相等或不相等； (2)不相等的实数可以比较大小； (3)实数可以用数轴上的点表示； (4)实数可以进行四则运算； (5)负实数能进行开偶次方根运算； 答案 (5)2．实数可以用数轴上的点来表示，实数的几何模型是数轴．由复数的定义可知任何一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，都和一个有序实数对(a ，b )一一对应，那么类比一下实数，能否找到用来表示复数的几何模型呢？ 答 由于复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应关系，所以可以用直角坐标系作为复数的几何模型． [预习导引] 1．复数的几何意义 (1)复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． (2)复数与点、向量间的对应①复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――→对应复平面内的点Z (a ，b )； ②复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――→对应平面向量O Z →＝(a ，b )． 2．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为O Z →，则O Z →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝a 2＋b 2. 3．两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．要点一 复数与复平面内的点例1 在复平面内，若复数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2＋3m －10)i 对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围．解 复数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2＋3m －10)i 的实部为m 2－2m －8，虚部为m 2＋3m －10. (1)由题意得m 2－2m －8＝0. 解得m ＝－2或m ＝4.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －8＜0m 2＋3m －10＞0，∴2<m <4.(3)由题意，得(m 2－2m －8)(m 2＋3m －10)<0， ∴2<m <4或－5<m <－2.(4)由已知得m 2－2m －8＝m 2＋3m －10，故m ＝25.规律方法 复数实部、虚部分别对应了复平面内相应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所表示的点所处位置，决定了复数实部、虚部的取值特征．跟踪演练1 实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i. (1)对应的点在x 轴上方；(2)对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上． 解 (1)由m 2－2m －15>0， 得m <－3，或m >5， 所以当m <－3，或m >5时， 复数z 对应的点在x 轴上方．(2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋4＝0， 得m ＝1，或m ＝－52，所以当m ＝1，或m ＝－52时，复数z 对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上． 要点二 复数的模及其应用例2 已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围． 解 方法一 ∵z ＝3＋a i(a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2， 由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7，7)．方法二 利用复数的几何意义，由|z |<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上， ∴线段AB (除去端点)为动点Z 的集合． 由图可知：－7<a <7.规律方法 利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想；根据复数模的意义，结合图形，可利用平面几何知识解答本题．跟踪演练2 求复数z 1＝3＋4i ，z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的大小．解 |z 1|＝32＋42＝5，|z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋()－22＝32.∵5>32，∴|z 1|>|z 2|.要点三 复数的模的几何意义例3 (1)当复数z 1＝sin π3－icos π6，z 2＝2＋3i 时，试比较|z 1|与|z 2|的大小；(2)求满足条件2≤|z |<3的复数z 在复平面上表示的图形． 解 (1)∵|z 1|＝|sin π3－icos π6|＝sin2π3＋(－cos π6)2＝(32)2＋(－32)2＝62， |z 2|＝|2＋3i|＝22＋32＝13， 且62＝32<13，∴|z 1|<|z 2|. (2)如图是以原点O 为圆心，半径分别为2个单位长和3个单位长的两个圆所夹的圆环，但不包括大圆圆周．规律方法 (1)利用模的定义，把复数问题转化为实数问题来解决，这也是本章的一种重要思想方法． (2)根据|z |表示点Z 和原点间的距离，直接判定图形形状．跟踪演练3 已知a ∈R ，则复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 所对应的点的轨迹是什么？解 ∵a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3， －(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1， ∴z 的实部为正数，虚部为负数， ∴复数z 所对应的点在第四象限． 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)，消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)， ∴复数z 对应点的轨迹是一条射线.1．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________． 答案 9解析 ∵z ＝(m －3)＋2m i 表示的点在直线y ＝x 上，∴m －3＝2m ，解之得m ＝9.2．已知复数(2k 2－3k －2)＋(k 2－k )i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数k 的取值范围是________． 答案 (－12，0)∪(1,2)解析 ∵复数对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k 2－3k －2＜0，k 2－k ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＜k ＜2，k ＜0或k ＞1.∴k 的取值范围为(－12，0)∪(1,2)．3．若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面内的点P ，Q ，则向量P Q →对应的复数是________． 答案 3＋i解析 ∵P (－1,0)，Q (2,1)，∴P Q →＝(3,1)，∴P Q →对应的复数为3＋i. 4．若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________． 答案 1解析 由|z －2|＝|z ＋2|，知z 对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴． |z －1|表示z 对应的点与(1,0)的距离．∴|z －1|min ＝1.1.复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应． 2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑．一、基础达标1．复数z ＝3＋i 3对应的点在复平面第________象限． 答案 四解析 z ＝3＋i 3＝3－i ，∴z 对应点Z (3，－1)在第四象限． 2．当0<m <1时，z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点位于第________象限. 答案 四解析 ∵0<m <1，∴m ＋1>0，－1<m －1<0， 故对应的点在第四象限．3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是________． 答案 2＋4i解析 A (6,5)，B (－2,3)， ∵C 为AB 的中点，∴C (2,4)， ∴点C 对应的复数为2＋4i.4．已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是________________________． 答案 以原点为圆心，以3为半径的圆 解析 由题意可知(|z |－3)(|z |＋1)＝0， 即|z |＝3或|z |＝－1. ∵|z |≥0，∴|z |＝3.∴复数z 对应的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆．5．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于________． 答案 －1＋3i解析 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a <0，由|z |＝2知，a 2＋(3)2＝2，解得a ＝±1，故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.6．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i(k ∈R )所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是________________________． 答案 2<k <6或－6<k <－2 解析 ∵z 位于第三象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2－6＜0，4－k 2＜0，∴2<k <6或－6<k <－2.7．(1)已知向量O Z →与实轴正向的夹角为45°，向量O Z →对应的复数z 的模为1，求z ； (2)若z ＋|z |＝2，求复数z . 解 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．∵O Z →与x 轴正向的夹角为45°，|z |＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ba＝1，a 2＋b 2＝1，a ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧ba＝－1，a 2＋b 2＝1，a ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝22或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝－22.∴z ＝22＋22i 或z ＝22－22i. (2)∵z ＋|z |＝2，∴z ＝2－|z |∈R ， ∴当z ≥0时，|z |＝z ，∴z ＝1，当z <0时，无解，∴z ＝1. 二、能力提升8．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于第________象限． 答案 四解析 复数(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，复数对应的点为(3，－4)， 所以在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于第四象限．9．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝________. 答案 1＋i解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z ·z i ＋2＝2z ，得(a ＋b i)·(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)．即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2b 2＝2a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1⇒z ＝1＋i.10．已知复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，若|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是________． 答案 －1<a <1解析 依题意有a 2＋22<(－2)2＋12，解得－1<a <1.11．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点： (1)位于第四象限；(2)位于x 轴负半轴上；(3)在上半平面(含实轴)．解 (1)要使点位于第四象限，须⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15＞0m 2＋3m －28＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＜3或m ＞5－7＜m ＜4，∴－7<m <3.(2)要使点位于x 轴负半轴上，须⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15＜0m 2＋3m －28＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＜m ＜5m ＝－7或m ＝4，∴m ＝4.(3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m 2＋3m －28≥0，解得m ≥4或m ≤－7.12．已知复数z 对应的向量为O Z →(O 为坐标原点)，O Z →与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模为2，求复数z .解 根据题意可画图形如图所示：设点Z 的坐标为(a ，b )， ∵|O Z →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°，∴a ＝－1，b ＝±3，即点Z 的坐标为(－1，3)或(－1，－3)，∴z ＝－1＋3i 或z ＝－1－3i. 三、探究与拓展13．试研究方程x 2－5|x |＋6＝0在复数集上解的个数． 解 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则原方程可化为a 2－b 2－5a 2＋b 2＋6＋2ab i ＝0⇒⎩⎨⎧a 2－b 2－5a 2＋b 2＋6＝0，2ab ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝±2，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝±3，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝±1，即x ＝±2或x ＝±3或x ＝±i.故方程在复数集上的解共有6个．。