16机械能守恒定律
机械能的守恒定律
机械能的守恒定律机械能的守恒定律是物理学中一个重要的定律，它描述了在没有外力做功的情况下，机械能的总量在一个封闭系统中保持不变。
机械能由动能和势能两部分组成，动能与物体的质量和速度有关，势能则与物体所处的位置有关。
一、机械能的定义机械能是指物体的动能和势能之和。
动能是物体由于运动而具有的能量，它与物体的质量和速度有关；势能是物体由于位置而具有的能量，它与物体所处的位置和重力加速度有关。
机械能的定义公式如下：E = K + U其中，E表示机械能，K表示动能，U表示势能。
二、当一个系统中没有外力做功时，机械能守恒。
即系统的初机械能等于系统的末机械能。
数学表达式为：E初 = E末说明了在一个封闭系统中，机械能的总量保持不变。
三、应用例子1. 自由落体运动自由落体运动是一个经典的应用例子。
在自由落体过程中，物体只受到重力作用，没有其他外力做功。
因此，根据机械能守恒定律，物体的机械能在自由落体过程中保持不变。
在物体从高空自由落下时，它的势能逐渐减小，同时动能逐渐增大，但机械能总量不变。
当物体着地时，势能减为零，动能最大，而机械能的总量保持不变。
2. 弹簧振子弹簧振子是另一个常见的应用例子。
当弹簧振子受到外力推动，弹簧被拉伸或压缩，势能发生变化，而动能几乎为零。
当弹簧恢复原状时，势能减小至零，而动能增加至最大值。
在整个振动过程中，机械能保持不变。
四、实验验证为了验证机械能守恒定律，可以进行一系列实验。
例如，可以将一个小球从一定高度释放，使其在竖直方向上自由下落，然后观察小球落地前后的机械能变化。
通过测量小球的质量、高度和速度等参数，可以计算出初机械能和末机械能，验证机械能的守恒定律。
另外，还可以进行弹簧振子的实验，测量弹簧振子在不同位置的势能和动能值，并对比初机械能和末机械能是否相等，从而验证机械能守恒定律。
五、结论机械能的守恒定律是物理学中的基本定律之一，它描述了没有外力做功的封闭系统中，机械能的总量保持不变。
机械能守恒定律三个公式
机械能守恒定律三个公式
机械能守恒定律是物理学中的基本定律之一，它描述了在没有外力做功和无能量转化的情况下，系统的机械能保持不变。
根据系统的不同特点和问题的不同，机械能守恒定律可以用三个不同的公式来表示。
第一个公式是动能公式，它描述了质点的动能与其速度之间的关系。
动能可以定义为质点的运动状态所具有的能量，它与质点的质量和速度的平方成正比。
动能公式可以表示为：
K = 1/2 mv^2
其中，K表示质点的动能，m表示质点的质量，v表示质点的速度。
第二个公式是势能公式，它描述了系统中存在的势能与物体的位置之间的关系。
势能可以定义为系统中存在的由于物体位置而具有的能量，它与物体在重力场中的高度成正比。
势能公式可以表示为：
U = mgh
其中，U表示势能，m表示物体的质量，g表示重力加速度，h表示物体相对于参考点的高度。
第三个公式是机械能守恒定律的表达式，它结合了动能和势能，描述了系统的机械能在没有能量损失的情况下保持不变。
机械能守恒定律的表达式可以表示为：
K1 + U1 = K2 + U2
其中，K1和U1表示系统的初始动能和势能，K2和U2表
示系统的末态动能和势能。
通过这三个公式，我们可以根据问题的要求和系统的特点，进行机械能守恒的分析和计算，从而得到系统在不同时间和位置的机械能状态。
这些公式在物理学和工程学中具有广泛的应用，可以用于解决各种与机械运动和能量转化相关的问题。
机械能守恒定律(刘玉兵)
例7、在距离地面20m高处以15m/s的初速度水平 在距离地面20m高处以15m/s的初速度水平 20m高处以15m/s 抛出一小球，不计空气阻力， 抛出一小球，不计空气阻力，取g＝10m/s2，求小球 落地速度大小? 落地速度大小?
答案： 答案：25m/s
如图所示， 例 8 、 如图所示 ， 在竖直平面内有一段四分之一 圆弧轨道，半径OA在水平方向，一个质量为m OA在水平方向 圆弧轨道 ， 半径 OA 在水平方向 ， 一个质量为 m 的小球 从顶端A点由静止开始下滑，不计摩擦， 从顶端 A 点由静止开始下滑 ， 不计摩擦 ， 求小球到达 轨道底端B点时小球对轨道压力的大小为多少？ 轨道底端B点时小球对轨道压力的大小为多少？
Ek1+Ep1=Ek2 +Ep2
表达式： 表达式：
E1=E2
∆Ek +∆Ep =0 1 1 2 2 mv2 + mgh2 = mv1 + mgh 1 2 2
适用条件： 适用条件： 只有重力做功或弹力做功
例1、试判断下列各运动中机械能是否守恒(均不计空气 试判断下列各运动中机械能是否守恒( 阻力和摩擦阻力) 阻力和摩擦阻力) 1. √ 抛出的手榴弹的运动 2. √ 细绳拴着小球在水平面内做匀速圆周运动 3. × 手拉着一物体沿斜面匀速上滑 4. √ 套在光滑圆环上的小球在竖直面内做圆周运动 5. × 起重机吊起一物体 6. √ 自由下落的小球压缩弹簧后又被弹回 7. √ 弹簧下吊一小球上下振动 8. √ 蹦极 9. √ 关闭了动力的过山车的运动 10. × 导弹在空中爆炸
1 2 1 2 W ＝ mv2 − mv1 总 2 2
5、重力做功与重力势能变化的关系：重力做的功等于物体 重力做功与重力势能变化的关系： 重力势能的减少量。 重力势能的减少量。
机械能量守恒定律公式
机械能量守恒定律公式
1. 机械能量守恒定律内容。
- 在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
2. 公式表达。
- 设物体的动能为E_k，重力势能为E_p，弹性势能为E_弹。
- 初始状态的机械能E_1=E_k1 + E_p1+E_弹1，末状态的机械能
E_2=E_k2+E_p2+E_弹2。
- 根据机械能守恒定律E_1 = E_2，即
E_k1+E_p1+E_弹1=E_k2+E_p2+E_弹2。
- 在只有重力做功的情况下（不涉及弹性势能），公式可简化为
E_k1+E_p1=E_k2+E_p2，进一步展开：(1)/(2)mv_1^2+mgh_1=(1)/(2)mv_2^2+mgh_2（其中m为物体质量，v为速度，h为物体相对参考平面的高度）。
- 在只有弹簧弹力做功的系统中（不考虑重力势能变化），设弹簧的劲度系数为k，弹簧形变量为x，初始弹性势能E_弹1=(1)/(2)kx_1^2，末态弹性势能
E_弹2=(1)/(2)kx_2^2，如果系统动能分别为E_k1和E_k2，根据机械能守恒定律
E_k1+(1)/(2)kx_1^2=E_k2+(1)/(2)kx_2^2。
机械能守恒定律的公式
机械能守恒定律的公式在物理学中，机械能是动能和势能的总和，可以用以下公式表示：机械能（Em）=动能（K）+势能（U）其中，动能（K）定义为一个物体由于运动而具有的能量。
动能与物体的质量（m）和速度（v）的平方成正比：动能（K)=1/2*m*v^2势能（U）定义为一个物体由于其位置而具有的能量。
势能的大小取决于物体的位置以及一些宏观物理量。
常见的势能形式包括重力势能和弹性势能等。
重力势能：当一个物体处于高处时，由于其重力而具有的势能。
重力势能与物体的质量（m）、重力加速度（g）和物体的高度（h）成正比：重力势能（Ug）=m*g*h弹性势能：当一个物体被压缩或拉伸时，由于其弹性而具有的势能。
弹性势能与弹性系数（k）和物体的位移（x）的平方成正比：弹性势能（Us）=1/2*k*x^2当一个系统不受外力做功时，机械能保持不变。
表示为：机械能初（Ei）=机械能末（Ef）机械能初指的是系统在一些时间点的初值，机械能末指的是系统在另一个时间点的末值。
根据机械能的定义和势能及动能的计算公式，可以将机械能守恒定律的公式推导为：1/2*m*v^2+m*g*h+1/2*k*x^2=常数这个常数的值取决于系统在不同时间点的机械能的初始值和末值。
但是，当一个系统处于自由落体或弹性碰撞等情况下，机械能守恒定律的公式可以更简化为：m*g*h初+1/2*m*v初^2=m*g*h末+1/2*m*v末^2其中，h初是系统在一些时间点的高度，v初是系统在该时间点的速度；h末是系统在另一个时间点的高度，v末是系统在该时间点的速度。
总结起来，机械能守恒定律的公式是用来描述一个系统在无外力做功的情况下，机械能保持不变的物理定律。
该公式由动能和势能的计算公式组成，可以通过这些公式计算出系统在不同时间点的机械能的初值和末值，进而验证机械能守恒定律。
在一些特殊情况下，该公式也可以进一步简化。
机械能 角动量守恒
探路者无人飞船俯视火星
探路者飞船在火星着陆点地貌
海盗号和凤凰号
碰撞 两物体互相接触时间极短而互作用力较大 的相互作用 .
ex in F F pi C
i
完全弹性碰撞 两物体碰撞之后， 它们的动能之 和不变 .
Ek Ek1 Ek 2 C
非弹性碰撞 由于非保守力的作用 ，两物体碰撞
例 2 设有两个质量分别为 m1 和 m2 , 速度分别 为 v10 和 v20 的弹性小球作对心碰撞 , 两球的速度方 向相同. 若碰撞是完全弹性的, 求碰撞后的速度 v1 和 v2 . 解 取速度方向为正向，由动 量守恒定律得 碰前
m1v10 m2 v20 m1v1 m2 v2 m1 (v10 v1 ) m2 (v2 v20 )
土星五号火箭
美国的土星 5 号是人类历
史上使用过的最高、最重、
推力最强的运载火箭，高 达110.6米，起飞重量 3038吨，总推力达3400吨 左右，可将 127 吨的有效
载重送上近地轨道。
中国神州飞船
空间实验室（Space Laboratory）是一种可重复 使用和多用途的载人航天科学实验空间站。前苏 联、美国和欧洲航天局已于20世纪七八十年代率 先研制成功出空间实验室。中国首个空间实验室 的主体“天宫一号”已于2011年9月29日21时16 分在酒泉发射升空。
v1
1 1 1 2 2 2 m mv1 m mv2 K l l0 2 2 2
一、质点系角动量定理
质点系统所受外力矩之和等于系统总 角动量的变化率。
t M 外dt dL 或： t M 外dt L L0
0
注：内力矩不改变系统总角动量，但使得角 动量系统内部重新分配。
(机械能守恒定律、能量守恒定律、动能定理的区别)
－μmgL－mgR＝－E，
解得 CD 圆弧半径至少为 R＝3mEg.
答案
2E (1)3mgL
E (2)3mg
解析 (1)设小车在轨道 CD 上加速的距离为 s，由动能定理得
Fs－μMgs2＝12Mv2①
设小车在轨道 CD 上做加速运动时的加速度为 a，由牛顿运动定律得
F－μMg＝Ma②
7
s＝12at2③ 联立①②③式，代入数据得 t＝1 s．④ (2)设小车在轨道 CD 上做加速运动的末速度为 v′，撤去力 F 后小车做减速运动时的加速度为 a′， 减速时间为 t′，由牛顿运动定律得 v′＝at⑤ －μMg＝Ma′⑥ v＝v′＋a′t′⑦ 设滑块的质量为 m，运动到 A 点的速度为 vA，由动能定理得 mgR＝12mvA2 ⑧ 设滑块由 A 点运动到 B 点的时间为 t1，由运动学公式得 s1＝vAt1⑨ 设滑块做平抛运动的时间为 t1′，则 t1′＝t＋t′－t1⑩ 由平抛规律得 h＝12gt1t2⑪ 联立②④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪式，代入数据得 h＝0.8 m.
A．mgLcos θ
B．FLsin θ
C．mgL(1－cos θ)
D．FL(1－cos θ)
图 5－2－9 图 5－2－10 4．如图 5－2－10 所示，质量为 M 的木块放在光滑的水平面上，质量为 m 的子弹以速度 v0 沿水平 方向射中木块，并最终留在木块中与木块一起以速度 v 运动．已知当子弹相对木块静止时，木块前 进距离 L，子弹进入木块的深度为 s，若木块对子弹的阻力 F 视为恒定，则下列关系式中正确的是 A．FL＝12Mv2 B．－Fs＝12mv2－12mv20 C．－F(L＋s)＝12mv2－12mv20 D．F(L＋s)＝12Mv2 5．一质量为 m 的物体在水平恒力 F 的作用下沿水平面运动，在 t0 时刻撤去力 F， 其 v－t 图象如图 5－2－11 所示．已知物体与水平面间的动摩擦因数为 μ，则下列关于力 F 的大小和 力 F 做的功 W 的大小关系式，正确的是
机械能守恒定律
常见形式：轻绳连接、轻杆连接、弹簧连接（物体+弹
簧或物体+弹簧+物体）、叠加。
4、机械能是否守恒的判断方法
（1）用做功来判断：只有重力或系统内弹力做功
（2）用能量转化来判断：对单个物体或者物体系：
只有动能和势能的相互转化而无其他形式能的转化，
则物体系机械能守恒。
5、机械能不守恒的情况：
（1）、除重力和弹力之外的力对物体做功，（如滑动摩
擦力、空气阻力做功做功）物体的机械能不守恒。除重力
和弹力之外的那些力做正功，机械能要增加；除重力和弹
力之外的那些力做负功，机械能要减少，而且增加或减少
的数值，等于除重力和弹力之外的那些力做功的数值，
（2）、绳子在被绷紧的瞬间，物体的机械能不守恒。
物体沿绳子方向的速度突变为零。
机械能守恒定律
机
械
能
动能
+
= 重力势能
+
弹性势能
机械能守恒定律
1、内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内,动能与
势能可以互相转化,而总的机械能保持不变.
2、机械能守恒定律的三种表达形式：
（1）守恒的观点： Ek 初 EP初 Ek 末 EP末
即初状态的动能与势能之和等于末状态的动能与势能之
和
（2）转化的观点：
Ek EP
即动能（势能）的增加量等于势能（动能）的减少量
（3）转移的观点：
E A增 EB减
即A物体机械能的增加量等于B物体机械能的减少量
3、机械能守恒的条件
（1）、单个物体：若
时机械能守恒
（2）、对于物体系：若
系统内弹力
，
则物体和轻绳（轻杆、弹簧）组成的系统机械能守恒，
机械能及其守恒定律知识点总结
机械能及其守恒定律知识点总结
嘿，朋友们！今天咱就来好好唠唠机械能及其守恒定律这个超有意思的知识点！
先来说说机械能吧，就好比一个充满活力的运动员。
机械能包含动能和势能呢！想想看啊，一辆飞速行驶的汽车，那速度超快，它就具有很大的动能，就像咱跑步时那风驰电掣的感觉！而势能呢，就如同一个被高高吊起的重物，随时准备释放能量。
比如你把一个球举得高高的，这球就有了势能呀！
那机械能守恒定律又是啥呢？这就像是一个神奇的规则！比如说啊，一个小球从高处自由落下，在下落的过程中，它的势能越来越小，但是动能却越来越大，可神奇啦！这时候你反问下自己，总机械能变了吗？哈哈，没有变哦，它是守恒的呀！就好比你的财富，从现金变成了固定资产，总量可没变化。
再举个例子呗，一个摆动的秋千。
秋千从高处往低处荡的时候，势能减小，动能增大；从低处往高处荡的时候呢，动能减小，势能增大，但整个过程中机械能始终守恒，是不是很有意思呀！
机械能及其守恒定律在我们生活中无处不在呢！像水电站利用水的势能转化为电能，这可是为我们提供了源源不断的电力。
总之呢，机械能及其守恒定律真的是太重要啦，它就像一把神奇的钥匙，能打开很多科学和生活的大门。
我们一定要好好理解它，运用它，让它为我们的生活增添更多的精彩呀！。
机械能守恒定理
机械能守恒定理机械能守恒定理是物理学中一条重要的定律，由19世纪末荷兰物理学家、计算机科学家巴斯克斯拉克斯费米（Jakob van der Pol）提出。
该定理规定，任何机械系统的机械能量在经过任意变换的情况下都不会减少或增加，而是保持不变。
由于机械能守恒定理的广泛性，它可以应用于几乎所有机械系统，并可用于研究复杂的物理系统，例如机械振动和机械运动等。
因此，机械能守恒定理被广泛地用于工程领域，例如建筑、电子、机械、木器等，以及其他物理学和工程科学领域。
机械能守恒定理的最简单形式可以用下面的公式表示：总机械能（T）=能（K）+力势能（U）其中，T表示总机械能；K表示动能；U表示重力势能。
由于机械能守恒定理的出发点是假定物体没有外部力，因此它通常用于单体机械系统，即没有向物体施加任何外力或热量的机械系统。
然而，在实际物理系统中，受到外部的热量和力的作用，物体的总机械能是会变化的。
因此，在复杂的物理系统中，机械能守恒定理需要加上一个额外的项，即机械能变化率的守恒定理，公式如下：总动能变化率（ΔK）=量变化率（ΔQ）+力变化率（ΔF）其中，ΔK表示物体的总机械能变化率；ΔQ表示热量变化率；ΔF表示外力变化率。
机械能守恒定理是研究物体机械运动和机械振动的重要理论，在复杂的物理系统中，它起着至关重要的作用。
它能够帮助我们正确地认识某种物理系统的运行原理，并从而准确地判断物体机械能量，以便进行正确有效的物理分析和工程设计。
本篇文章的目的是为了更加深入地介绍机械能守恒定理的原理和应用。
首先，本文介绍了机械能守恒定理的概念，以及它的出发点，它的最简单形式以及它的拓展形式。
然后，本文着重介绍了机械能守恒定理在复杂的物理系统中的重要作用，以及它如何帮助我们准确地分析和设计物理系统，最后，文章给出了一些例子，以便更好地说明机械能守恒定理的作用和应用。
总之，机械能守恒定理是物理学的一条重要的定律，它的应用已经得到了普遍广泛的使用，它通常可以用来解释物理系统的机械运动或机械振动，这是一条值得深入研究的有益定律。
机械能及其守恒定律
机械能及其守恒定律1．功：作用于物体的力和物体在力的方向上位移的乘积叫做力对物体所做功。
即 W＝FScosα公式中α是物体受到的力的方向和物体位移方向的夹角。
公式中的F必须是恒力；位移S，应该是力F作用点的位移。
功是标量，只有大小无方向，合力的功或总功都可由各分力功的代数和求得．但是功有正负之分。
当0°≤α＜90°时，力做正功；当90°＜α≤180°时，力做负功；当α＝90°时力不做功。
2．功率：物体所做的功与完成这些功所用时间的比值，叫功率，功率是表示物体做功快慢的物理量，公式为：P=W/t（1）功率另一种表达式：P＝FVcosα此公式中V为平均速度，则求出的是平均功率．若V为某时刻的瞬时速度，则P表示该时刻的瞬时功率．功率一定时，力与物体的运动速度成反比。
速度一定时，物体的功率与速度成正比。
（2）P = FV的应用：①P一定时，F与V成反比，汽车在水平路面上以恒定的功率启动。
②F一定时，P与V成正比，汽车在水平路面上以恒定的加速度启动易错现象1．对功的定义W=FS理解不全面。
公式中F是恒力，在变力情况下如滑动摩擦力有往返运动的做功，位移为零，但功不为零，因此不能直接应用。
2．混淆合外力的功和某个力所做功。
3．混淆平均功率和即时功率。
4．对恒定功率下的运动和恒力作用下的运动的动态变化过程不清楚。
3．重力势能：重力做功的特点是只决定于初、末位置间的高度差，与运动路径无关. W G=mgh E p=mgh (1)重力势能是标量，是地球和物体所组成的系统共有；（2）重力势能具有相对性，即重力势能的大小与零势能面的选择有关；（3）重力所做功等于重力势能增量的负值。
4．弹性势能：物体由于发生弹性形变所具有的能量，大小与弹性形变量有关。
5．机械能守恒定律：在只有重力(或弹力)做功的条件下，物体的重力势能(或弹性势能)和动能相互转化，但机械能总量保持不变E p2+E k2= E p1+E k1或ΔE=0 或ΔE k+ΔE p =0（1）机械能守恒定律成立的条件：①只受重力(或弹力)作用；②受其他外力，但其他外力不做功；③对多个物体构成的系统，如果外力不做功，且系统的内力也不做功；，此系统机械能守恒。
物理机械能守恒定律知识点总结
机械能知识点总结一、功1概念：一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，这个力就对物体做了功。
功是能量转化的量度。
2条件：. 力和力的方向上位移的乘积3公式：W=F S cos θW ——某力功，单位为焦耳（J ）F ——某力（要为恒力），单位为牛顿（N ） S ——物体运动的位移，一般为对地位移，单位为米（m ）θ——力与位移的夹角4功是标量，但它有正功、负功。
某力对物体做负功，也可说成“物体克服某力做功”。
当)2,0[πθ∈时，即力与位移成锐角，功为正；动力做功； 当2πθ=时，即力与位移垂直功为零，力不做功； 当],2(ππθ∈时，即力与位移成钝角，功为负，阻力做功； 5功是一个过程所对应的量，因此功是过程量。
6功仅与F 、S 、θ有关，与物体所受的其它外力、速度、加速度无关。
7几个力对一个物体做功的代数和等于这几个力的合力对物体所做的功。
即W 总=W 1+W 2+…+Wn 或W 总= F 合Scos θ8 合外力的功的求法：方法1：先求出合外力，再利用W =Fl cos α求出合外力的功。
方法2：先求出各个分力的功，合外力的功等于物体所受各力功的代数和。
二、功率1概念：功跟完成功所用时间的比值，表示力(或物体)做功的快慢。
2公式：tW P =（平均功率） θυcos F P =（平均功率或瞬时功率）3单位：瓦特W4分类：额定功率：指发动机正常工作时最大输出功率实际功率：指发动机实际输出的功率即发动机产生牵引力的功率，P 实≤P 额。
5分析汽车沿水平面行驶时各物理量的变化，采用的基本公式是P =Fv 和F-f = ma 6 应用：（1）机车以恒定功率启动时，由υF P =（P 为机车输出功率，F 为机车牵引力，υ为机车前进速度）机车速度不断增加则牵引力不断减小，当牵引力f F =时，速度不再增大达到最大值m ax υ，则f P /max =υ。
（2）机车以恒定加速度启动时，在匀加速阶段汽车牵引力F 恒定为f ma +，速度不断增加汽车输出功率υF P =随之增加，当额定P P =时，F 开始减小但仍大于f 因此机车速度继续增大，直至f F =时，汽车便达到最大速度m ax υ，则f P /max =υ。
机械能守恒与动量守恒定律
机械能守恒与动量守恒定律机械能守恒和动量守恒定律是物理学中两个重要的守恒定律。
它们分别描述了系统在各种运动中相关物理量的守恒规律。
本文将从守恒定律的定义、表达式、适用范围以及实际应用等方面进行探讨。
一、机械能守恒定律机械能守恒定律指的是在不受外力作用的情况下，一个物体的机械能保持不变。
机械能包括动能和势能两个部分，动能是物体运动所具有的能量，而势能则是物体由于位置而具有的能量。
机械能守恒定律可用以下数学表达式表示：E = K + U = 常数其中，E代表机械能，K代表动能，U代表势能。
机械能守恒定律适用于各种力学运动，例如匀速直线运动、自由落体运动等等。
在这些运动中，只要没有外力做功或能量损失，物体的机械能将保持不变。
二、动量守恒定律动量守恒定律描述了物体在相互作用过程中动量保持不变的规律。
动量是物体运动的一种物理量，它等于物体的质量与速度的乘积。
动量守恒定律可用以下数学表达式表示：m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁' + m₂v₂'其中，m代表物体的质量，v代表物体的速度，v'代表相互作用后的物体速度。
动量守恒定律适用于各种物体之间的碰撞、相互作用等情况。
在这些过程中，物体之间的动量之和保持不变。
三、机械能守恒与动量守恒定律的联系机械能守恒定律和动量守恒定律在某些情况下是相互联系的。
例如，在完全弹性碰撞中，碰撞前后物体的动量守恒，但机械能守恒并不成立。
这是因为在弹性碰撞中，动能的转化为势能然后再转化为动能，系统的机械能并不守恒。
然而，在完全非弹性碰撞中，碰撞前后的物体会粘在一起形成一个整体，在这种情况下，虽然动能并不守恒，但机械能守恒仍然成立。
因此，机械能守恒定律和动量守恒定律在不同的物理过程中有着不同的适用条件，但它们都揭示了物体运动中守恒规律的重要性。
四、机械能守恒与动量守恒定律的应用机械能守恒和动量守恒定律在实际应用中具有广泛的意义。
在工程领域，机械能守恒定律可以用于分析机械系统的能量转换和损失情况，优化系统设计。
机械能守恒定律
机械能守恒定律机械能守恒定律力学中的重要定律。
物质系统内只有保守内力作功，非保守内力（如摩擦力）和一切外力所作的总功为零时，系统内各物体的动能和势能可以互相转换，但它们的总量保持不变。
说明：（1）根据质点系的动能定理，我们有W外+W内保+W内非=Ek2-Ek1，由于保守内力所作的功可以表示为势能增量的负值，即W内保=-（Ep2-Ep1），这样就可得W外+W内非=（Ek2+Ep2）-（Ek1+Ep1），W外+W内非=E2-E1。
此式表示，质点系在运动过程中，它所受外力的功与系统内非保守力的功之总和，等于它的机械能的增量。
当W外=0、W内非=0时，就有系统机械能保持不变的守恒定律E2=E1=常量。
（2）机械能守恒定律是牛顿运动定律的一个推论，因此只有在惯性系中成立。
当W外=0，W内非=0以及Fi外=0的条件下，系统的机械能守恒在所有惯性系中绝对成立。
而当Fi外≠0，但W外=0，W内非=0时，系统的机械能守恒只对某个特定的惯性系成立。
（3）在中学物理中，保守力遇到最多的是重力和弹力。
因此，如果物体系各物体只有重力和弹力对它们做功，而无其他力做功时，系统机械能守恒。
这一守恒是运动变化中的守恒，是转化中的守恒，总量的守恒，但就系统内各物体而言，其动能和势能各自并不是不变的，而是互相转化的。
机械能守恒定律是对一个过程而言的，在只涉及重力及弹力作功的过程中，机械能守恒定律应用时，只考虑初始状态和终了状态的动能和势能，而不考虑运动的各个过程的详细情况。
因此，如果不要求了解过程的具体情况，用机械能守恒定律来分析某些力学过程，比用其他方法简便得多。
（4）一个不受外界作用的系统叫做封闭系统或孤立系统。
对于封闭系统，外力的功当然为零。
如果系统状态发生变化时，有非保守内力做功，它的机械能就不守恒。
但在这种情况下，对更广泛的物理现象，包括电磁、热、化学以及原子内部的变化等研究表明，如果扩大能量的范围，引入更多的能量概念，如电磁能、内能、化学能或原子核能，即能证明：一个封闭系统经历任何变化时，该系统的所有能量的总和是不改变的，它只是从一种形式的能量转化为另一种形式的能量，或从系统的此一物体传递给彼一物体。
专题16 机械能守恒定律的理解与应用(解析版)-2021届高考物理热点题型归纳与变式演练
2021届高考物理一轮复习热点题型归纳与变式演练专题16 机械能守恒定律的理解与应用【专题导航】目录热点题型一机械能守恒的理解与判断 (1)热点题型二单物体的机械能守恒问题 (2)热点题型三连接体的机械能守恒问题 (5)类型一轻绳连接的物体系统 (6)类型二轻杆连接的物体系 (7)类型三轻弹簧连接的物体系 (9)热点题型四用机械能守恒定律解决非质点问题 (11)热点题型五机械能守恒定律的综合应用 (14)【题型归纳】热点题型一机械能守恒的理解与判断【题型要点】1．利用机械能守恒定律判断(直接判断)分析动能和势能的和是否变化。
2．用做功判断若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。
3．用能量转化来判断若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒。
【例1】(2020·湖南衡阳市第二次联考)2019年春晚在开场舞蹈《春海》中拉开帷幕．如图1所示，五名领舞者在钢丝绳的拉动下以相同速度缓缓升起，若五名领舞者的质量(包括衣服和道具)相等，下面说法中正确的是()A．观众欣赏表演时可把领舞者看做质点B．2号和4号领舞者的重力势能相等C．3号领舞者处于超重状态D．她们在上升过程中机械能守恒【答案】B【解析】观众欣赏表演时要看领舞者的动作，所以不能将领舞者看做质点，故A错误；2号和4号领舞者始终处于同一高度，质量相等，所以重力势能相等，故B正确；五名领舞者在钢丝绳的拉动下以相同速度缓缓升起，所以处于平衡状态，故C错误；上升过程中，钢丝绳对她们做正功，所以机械能增大，故D错误．【变式1】(多选)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是()A．运动员到达最低点前重力势能始终减小B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒D．蹦极过程中，重力势能的改变量与重力势能零点的选取有关【答案】ABC【解析】在运动员到达最低点前，运动员一直向下运动，根据重力势能的定义可知重力势能始终减小，故选项A正确；蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力方向向上，而运动员向下运动，所以弹力做负功，弹性势能增加，故选项B正确；对于运动员、地球和蹦极绳所组成的系统，蹦极过程中只有重力和弹力做功，所以系统机械能守恒，故选项C正确；重力做功是重力势能转化的量度，即W G＝－ΔE p，而蹦极过程中重力做功与重力势能零点的选取无关，所以重力势能的改变量与重力势能零点的选取无关，故选项D错误．【变式2】如图所示，P、Q两球质量相等，开始两球静止，将P上方的细绳烧断，在Q落地之前，下列说法正确的是(不计空气阻力)()A．在任一时刻，两球动能相等B．在任一时刻，两球加速度相等C．在任一时刻，系统动能与重力势能之和保持不变D．在任一时刻，系统机械能是不变的【答案】D【解析】细绳烧断后，由于弹簧处于伸长状态，通过对P、Q两球受力分析可知a P>a Q，在任一时刻，两球的动能不一定相等，选项A、B错误；系统内有弹力做功，弹性势能发生变化，系统的动能与重力势能之和发生变化，选项C错误；Q落地前，两球及弹簧组成的系统只有重力和弹簧的弹力做功，整个系统的机械能守恒，选项D正确．热点题型二单物体的机械能守恒问题【要点诠释】机械能守恒问题的各种表达形式【特别提醒】用“守恒形式”时，需要规定重力势能的参考平面。
高中物理机械能守恒定律公式
高中物理机械能守恒定律公式
机械能守恒定律是经典力学中的重要定律之一，它指出在不受外力和摩擦力的作用下，系统总机械能守恒，即机械能在系统内的变化量为零。
直白点说，即一个系统中，机械能的总和不会改变，其中机械能包括动能和势能两种形式。
机械能守恒定律通常可以用以下公式来表示：
机械能守恒定律公式：E1 = E2，其中E1和E2分别表示系统
在不同时刻的机械能总和。
在等式两边分别表示体积为V、密度为ρ、速度为v的液体通过一个高度为h的虹吸管时，根据
机械能守恒定律，液体的动能和势能之和保持不变，所以有以下公式。
v1^2 / 2g + ρgh1+v1^2 / 2g = v2^2 / 2g + ρgh2+v2^2 / 2g
其中v1和v2分别表示液体流经两端的流速，h1和h2分别表
示液体在不同时刻的液位高度。
机械能守恒定律适用于各种不同的物理模型。
例如，当一个物体沿斜面运动时，放置在物体上的所有重物的重力势能将被转化为物体的动能。
在这种情况下，机械能守恒定律可以表示为：
mgh = 1/2 mv^2
其中m是物体的质量，g是重力加速度，h是物体下降的高度，v是物体的速度。
此外，在弹簧振动中，机械能由弹性势能和动能组成，而在摆动运动中，机械能由重力势能和动能组成。
总结起来，机械能守恒定律适用于各种不同的物理模型和实际情况中。
掌握机械能守恒定律及其相关公式，能够帮助我们更好的理解自然界中的物理现象和科技技术中的现象，为我们的科学研究和工程设计提供更好的基础。
机械能守恒定律的表达式
机械能守恒定律的表达式机械能守恒定律是物理学中的一个重要原理，它规定了在任何系统上，机械能的总和保持不变。
它的表达式形式如下：∑ΔE = 0其中，ΔE表示机械能的变化量，比如说，物体由状态A到状态B所发生的机械能变化量就是ΔE，“=”表示等号，“0”表示机械能的总和变化量为0，也就是说，机械能的总和是不变的。
机械能守恒定律就是这样一个定律，它表明了系统内机械能的变化总和为零，即机械能的总和是不变的。
这一定律的应用非常广泛，可以说，几乎每个物理学家都会用到它。
机械能守恒定律的发现也为物理学的发展奠定了基础。
机械能守恒定律可以用来解释物体运动的情况，例如物体从A点向B点运动的情况。
在这种情况下，可以将系统的机械能分为两个部分，一个是由A点向B点运动时发生的机械能变化量ΔEA，另一个是由B点向A点运动时发生的机械能变化量ΔEB。
根据机械能守恒定律，我们就可以得出ΔEA + ΔEB = 0，这就是机械能守恒定律的表达式，也就是说，物体从A点到B点运动时所发生的机械能变化量ΔEA和从B点到A点运动时所发生的机械能变化量ΔEB之和为零，也就是说，机械能的总和是不变的。
机械能守恒定律也可以用来解释物体的旋转运动，例如圆形的运动。
在这种情况下，可以将系统的机械能分为两个部分，一个是由旋转中心向外旋转时发生的机械能变化量ΔEA，另一个是由外向旋转中心旋转时发生的机械能变化量ΔEB。
根据机械能守恒定律，我们就可以得出ΔEA + ΔEB = 0，这就是机械能守恒定律的表达式，也就是说，物体从旋转中心向外旋转时所发生的机械能变化量ΔEA和从外向旋转中心旋转时所发生的机械能变化量ΔEB 之和为零，也就是说，机械能的总和是不变的。
机械能守恒定律还可以用来解释其他物理现象，比如势能的变化，通过对势能的变化量进行推导，就可以得出机械能守恒定律的表达式。
通过对这个定律的研究，人们可以更好地理解许多物理现象，并利用它来解决许多实际问题。
机械能守恒定律基础知识
机械能守恒定律基础知识一、知识点综述：1. 在只有重力和弹簧的弹力做功的情形下，物体的动能和势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变.2. 对机械能守恒定律的明白得：〔1〕系统在初状态的总机械能等于末状态的总机械能.即 E 1 = E 2 或 1/2mv 12 + mgh 1= 1/2mv 22 + mgh 2〔2〕物体〔或系统〕减少的势能等于物体(或系统)增加的动能，反之亦然。
即 -ΔE P = ΔE K〔3〕假设系统内只有A 、B 两个物体，那么A 减少的机械能E A 等于B 增加的机械能ΔE B 即 -ΔE A = ΔE B 二、例题导航：例1、如图示，长为l 的轻质硬棒的底端和中点各固定一个质量为m 的小球，为使轻质硬棒能绕转轴O 转到最高点，那么底端小球在如图示位置应具有的最小速度v= 。
解：系统的机械能守恒，ΔE P +ΔE K =0因为小球转到最高点的最小速度能够为0 ，因此，例 2. 如下图，一固定的楔形木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。
一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A 和B 连结，A 的质量为4m ，B 的质量为m ，开始时将B 按在地面上不动，然后放开手，让A 沿斜面下滑而B 上升。
物块A 与斜面间无摩擦。
设当A 沿斜面下滑S 距离后，细线突然断了。
求物块B 上升离地的最大高度H. 解：对系统由机械能守恒定律 4mgSsin θ – mgS = 1/2× 5 mv 2 ∴ v 2=2gS/5细线断后，B 做竖直上抛运动，由机械能守恒定律 mgH= mgS+1/2× mv 2 ∴ H = 1.2 S例 3. 如下图，半径为R 、圆心为O 的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上．一根轻质长绳穿过两个小圆环，它的两端都系上质量为m 的重物，忽略小圆环的大小。
〔1〕将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧θ=30°的位置上(如图)．在 两个小圆环间绳子的中点C 处，挂上一个质量M = m 的重物，使两个小圆l m g l m g v m m v 22212122⋅+⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+gl gl v 8.4524==∴2环间的绳子水平，然后无初速开释重物M ．设绳子与大、小圆环间的摩擦均可忽略，求重物M 下降的最大距离．〔2〕假设不挂重物M ．小圆环能够在大圆环上自由移动，且绳子与大、小圆环间及大、小圆环之间的摩擦均能够忽略，问两个小圆环分别在哪些位置时，系统可处于平稳状态?解：(1)重物向下先做加速运动，后做减速运动，当重物速度 为零时，下降的距离最大．设下降的最大距离为h ，由机械能守恒定律得 解得 〔另解h=0舍去〕(2)系统处于平稳状态时，两小环的可能位置为 a ． 两小环同时位于大圆环的底端． b ．两小环同时位于大圆环的顶端．c ．两小环一个位于大圆环的顶端，另一个位于大圆环的底端．d ．除上述三种情形外，依照对称性可知，系统如能平稳，那么两小圆环的位置一定关于大圆环竖直对称轴对称．设平稳时，两小圆环在大圆环竖直对称轴两侧α角的位置上(如下图)．关于重物，受绳子拉力与重力作用， 有T=mg关于小圆环，受到三个力的作用，水平绳的拉力T 、 竖直绳子的拉力T 、大圆环的支持力N.两绳子的拉力沿大圆环切向的分力大小相等，方向相反得α=α′, 而α+α′=90°，因此α=45 °例 4. 如图质量为m 1的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m 2的物体B 相连，弹簧的劲度系数为k ，A 、B 都处于静止状态。
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六、机械能守恒定律
知识复习：
1、机械能：动能和势能(包括重力势能和弹性势能)统称为机械能，即E ＝E k ＋E p
2、条件：物体系统内只有重力或弹力做功
3、常用表达式
(1)E k1＋E p1＝E k2＋E p2
(2)E k2－E k1＝E p1－E p2，即ΔE k ＝－ΔE p (3)ΔE A ＝－ΔE B
练习：
一、机械能守恒定律应用;
1、如图所示，一轻弹簧固定于O 点，另一端系一重物，将重物从与悬点O 在同一水平面且弹簧保持原长的A 点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力。
在重物由A 点摆向最低点B 的过程中，下列说法正确的是( )
A ．重物的机械能守恒
B ．重物的机械能增加
C ．重物的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
D ．重物与弹簧组成的系统机械能守恒
2、某同学身高1.8 m ，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过了1.8 m 高度的横杆(如图所示)，据此可估算出他起跳时竖直向上的速度大约为(g 取10 m/s 2
)( )
A ．2 m /s
B ．4 m/s
C ．6 m /s
D ．8 m/s
3、(多选)如图所示，光滑细杆AB 、AC 在A 点连接，AB 竖直放置，AC 水平放置，两相同的中心有小孔的小球M 、N ，分别套在AB 和AC 上，并用一细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M 、N ，在运动过程中下列说法中正确的是( ) A ．M 球的机械能守恒 B ．M 球的机械能减小
C ．M 和N 组成的系统的机械能守恒
D ．绳的拉力对N 做负功
4、如图所示，质量分别为3 kg 和5 kg 的物体A 、B ，用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A 物体底面与地接触，B 物体距地面0.8 m ，求： (1)放开B 物体，当B 物体着地时A 物体的速度； (2)B 物体着地后A 物体还能上升多高？(g 取10 m/s 2)
二、物体机械能守恒：
类型：抛体、光滑斜面、固定的光滑圆弧、悬点固定的摆动类
5、三个质量相同的小球悬挂在三根长度不等的细线上，分别把悬线拉至水平位置后轻轻释放小球，已知线长L a >L b >L c ，则悬线摆至竖直位置时，细线中张力大小的关系是（ ）
A 、T c >T b >T a
B 、T a >T b >T c
C 、T b >T c >T a
D 、T a =T b =T c
6、如图所示，质量相等的甲、乙两小球从一光滑直角斜面的顶端同时由静止释放，甲小球沿斜面下滑经过a 点，乙小球竖直下落经过b 点，a 、b 两点在同一水平面上，不计空气阻力，下列说法中正确的是( ) A ．甲小球在a 点的速率等于乙小球在b 点的速率 B ．甲小球到达a 点的时间等于乙小球到达b 点的时间 C ．甲小球在a 点的机械能等于乙小球在b 点的机械能(相对同一个零势能参考面)
D
．甲小球在
a 点时重力的功率等于乙小球在
b 点时重力的功率
7、(多选)两个质量不同的小铁块A 和B ，分别从高度相同的都是光滑的斜面和圆弧面的顶点滑向底部，如图3所示。
如果它们的初速度都为0，则下列说法正确的是( )
A ．下滑过程中重力所做的功相等
B ．它们到达底部时动能相等
C ．它们到达底部时速率相等
D ．它们在最高点时的机械能和它们到达最低点时的机械能大小各自相等
8、如图所示，一滑块从半圆形光滑轨道上端由静止开始滑下，当滑到最低点时，关于滑块的动能大小和对轨道的压力，下列说法正确的是( ) A ．轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道的压力越大
B ．轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道的压力与半径无关
C ．轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道的压力越小
D ．轨道半径变化时，滑块的动能和对轨道的压力都不变
9、如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆轨道ABCD ，其A 点与圆心等高，D 点为最高点，DB 为竖直方向上的直径，AE 为水平面。
今使小球自A 点正上方某处由静止释放，且从A 处进入圆轨道运动，只要适当调节释放点的高度，总能保证小球最终通过最高点D (不计空气阻力)。
则小球通过D 点后( ) A ．一定会落到水平面AE 上 B ．一定不会落到水平面AE 上 C ．一定会再次落到圆轨道上 D ．可能会再次落到圆轨道上
10、如图，一半径为R 、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ 水平。
一质量为m 的质点自P 点上方高度R 处由静止开始下落，恰好从P 点进入轨道。
质点滑到轨道最低点N 时，对轨道的压力为4mg ，g 为重力加速度的大小。
用W 表示质点从P 点运动到N 点的过程中克服摩擦力所做的功。
则( ) A ．W ＝1
2
mgR ，质点恰好可以到达Q 点
B ．W >1
2
mgR ，质点不能到达Q 点
C ．W ＝1
2mgR ，质点到达Q 点后，继续上升一段距离
D ．W <1
2mg R ，质点到达Q 点后，继续上升一段距离
三、系统机械能守恒：
条件：系统以外的力是否对系统对做功，系统间的相互作用力做功，不能使其它形式的能参与和机械能的转换。
类型：轻绳、轻杆连体类；在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类；悬点在水平面上可以自由移动的摆动类；弹簧类。
11、（多选)如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A 处固定质量为2m 的小球，B 处固定质量为m 的小球，支架悬挂在O 点，可绕过O 点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动，开始时OB 与地面相垂直。
放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是( )
A ．A 处小球到达最低点时速度为0
B ．A 处小球机械能的减少量等于B 处小球机械能的增加量
C ．B 处小球向左摆动所能达到的最高位置应高于A 处小球开始运动时的高度
D ．当支架从左向右回摆时，A 处小球能回到起始高度
12、如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m 的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态。
现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L ，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L (未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中( ) A ．圆环的机械能守恒 B ．弹簧弹性势能变化了3mgL C ．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D ．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
13、内壁及边缘均光滑的半球形容器的半径为R
，质量
分别为M 和m (M >m )的两个小球(可看做质点)用不可伸长的细线相连。
现将M 由静止从容器边缘内侧释放，如图所示，试计算M 滑到容器底时，两小球的速率。
14、(多选)如图，滑块a 、b 的质量均为m ，a 套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h ，b 放在地面上。
a 、b 通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。
不计摩擦，a 、b 可视为质点，重力加速度大小为g 。
则( ) A ．a 落地前，轻杆对b 一直做正功 B ．a 落地时速度大小为
C ．a 下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D ．a 落地前，当a 的机械能最小时，b 对地面的压力大小为mg
15、(多选)(全国甲卷)如图，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O 点，另一端与小球相连。
现将小球从M 点由静止释放，它在下降的过程中经过了N 点。
已知在M 、N 两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM <∠OMN <π
2。
在小球从M 点运动到N 点的过程
中，( )
A ．弹力对小球先做正功后做负功
B ．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度
C ．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零
D ．小球到达N 点时的动能等于其在M 、N 两点的重力势能差
16、杂技演员甲的质量为M ＝80 kg ，乙的质量为m ＝60
kg 。
跳板轴间光滑，质量不计。
甲、乙一起表演节目。
如图所示。
开始时，乙站在B 端，A 端离地面1 m ，且OA ＝OB 。
甲先从离地面H ＝6 m 的高处自由跳下落在A 端。
当A 端落地时，乙在B 端恰好被弹起。
假设甲碰到A 端时，由于甲的技艺高超，没有能量损失。
分析过程假定甲、乙可看做质点。
(取g ＝10 m/s 2)问： (1)当A 端落地时，甲、乙两人速度大小各为多少？ (2)若乙在B 端的上升可以看成是竖直方向，则乙离开B 端还能被弹起多高？
选做：17、(全国甲卷)轻质弹簧原长为2l ，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m 的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l 。
现将该弹簧水平放置，一端固定在A 点，另一端与物块P 接触但不连接。
AB 是长度为5l 的水平轨道，B 端与半径为l 的光滑半圆轨道BCD 相切，半圆的直径BD 竖直，如图所示。
物块P 与AB 间的动摩擦因数μ＝0.5。
用外力推动物块P ，将弹簧压缩至长度l ，然后放开，P 开始沿轨道运动。
重力加速度大小为g 。
(1)若P 的质量为m ，求P 到达B 点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB 上的位置与B 点之间的距离；
(2)若P 能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P 的质量的取值范围。