高中数学苏教版必修4评：第三章三角恒等变换3.1.1 含解析

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高中新课程数学(苏教版必修四)《第三章三角恒等变换》归纳整合课件

1 ＝sin αsin β－cos αcos β＋cos α＋cos β－ 2
2 2 2 2 2 2
1 ＝sin αsin β＋cos α(1－cos β)＋cos β－2
2 2 2 2 2
1 ＝sin αsin β＋cos αsin β＋cos β－2
2 2 2 2 2
1 ＝sin β(sin α＋cos α)＋cos β－ 2
2
3．常用角的变换在和(差)公式中，需分析已知角与已知角、目标角与已知角间的关系．常见角的变换有：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β； 2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(β＋α)－(β－α)； 2α＋β＝(α＋β)＋α；α＋2β＝(α＋β)＋β； α＋β α＋β α＋β＝ 2 ＋ 2 ，
α－β α＋β β α β α ＝α－2－2－β；＝α＋2－2＋β 2 2
1 1 ＝ (1＋cos 2αcos 2β－cos 2α－cos 2β)＋ (1＋cos 2αcos 2β＋ 4 4 1 1 1 1 cos 2α＋cos 2β)－ cos 2αcos 2β＝＋＝ . 2 4 4 2
法四原式＝(sin αsin β－cos αcos β)2＋2sin αsin β· cos αcos β 1 －2cos 2αcos 2β 1 1 ＝cos (α＋β)＋ sin 2αsin 2β－ cos 2αcos 2β 2 2
4 1 【例 2】已知 α，β 为锐角，cos α＝，tan(α－β)＝－，求 5 3 cos β 的值．
π π 解 ∵0＜α＜2，0＜β＜2， π π ∴－2＜α－β＜2， 1 π 又 tan(α－β)＝－3，∴－2＜α－β＜0. 1 sinα－β 由 tan(α－β)＝－＝， 3 cosα－β

数学苏教必修4本章综述第三章三角恒等变换含解析

第三章三角恒等变换
本章综述
本章主要包括两角和与差的三角函数及二倍角的三角函数，它是以两角差的余弦公式为基础，利用向量为工具推导出来的.尤其是两角差的余弦和正弦公式，它们是本章各类公式的基础，学习这两个公式时，应注意它们的推导和一般性，同时要做足够的练习，牢记这些公式.
本章的重点是：两角和与差的三角公式、二倍角公式及其运用.本章的难点是：综合运用三角公式进行三角函数式的化简、求值和三角恒等式的证明.
学习本章时应注意以下几点：(1)经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.(2)能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.(3)能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).
本章的三角公式众多，对学过的公式做到真正的理解、记准、记熟、用活.掌握知识体系，对三角函数式的恒等变形，要牢记公式及其相互关系，在应用公式时要特别注意逆用公式或变形使用，训练逆向思维能力.
三角函数的问题千变万化，但只要抓住三角函数式的恒等变形这一根本，许多看似不同的问题的解法是相同的.此外在学习中要注意领会数学思想与方法的实质.本章中化归思想、数形结合思想、等价转化思想都是贯穿始终的重要思想和方法，在掌握知识的同时应注意这些思想和方法的应用.。

高中数学必修4第三章《三角恒等变换》单元检测卷含解析

必修4第三章《三角恒等变换》单元检测卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π12)等于( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.322．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝πD ．x ＝3π23．已知sin(45°＋α)＝55，则sin 2α等于( ) A ．－45 B ．－35 C.35 D.454．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin 2x 的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，13π12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π65．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是( ) A.43 B.34 C.53 D.126．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°等于( ) A ．－12 B.12 C ．－32 D.327．已知tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，则tan θ的值为( ) A. 2 B ．－22 C ．2 D.2或－228．函数y ＝sin x －cos x 的图象可以看成是由函数y ＝sin x ＋cos x 的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是( )A ．向左平移π2个单位B ．向右平移π4个单位C ．向右平移π2个单位D ．向左平移π4个单位9．设a ＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则有( ) A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c10．化简1＋sin 4α－cos 4α1＋sin 4α＋cos 4α的结果是( )A.1tan 2α B ．tan 2α C.1tan αD ．tan α11．如图，角α的顶点在坐标原点O ，始边在y 轴的正半轴，终边经过点P (－3，－4)．角β的顶点在原点O ，始边在x 轴的正半轴，终边OQ 落在第二象限，且tan β＝－2，则cos ∠POQ 的值为( )A ．－55 B ．－11525C.11525 D.5512．设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)．定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知m ＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动．且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )的最大值A 及最小正周期T 分别为( ) A ．2，π B ．2,4π C.12，4π D.12，π 第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13.3tan 15°＋13－tan 15°的值是________．14．已知sin α＝cos 2α，α∈(π2，π)，则tan α＝________.15．函数y ＝2sin x (sin x ＋cos x )的最大值为________．16．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两根，且0<α<π2，π<β<3π2.求：tan(α＋β)及α＋β的值．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．19．(本小题满分12分)已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且a⊥b .(1)求tan α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π3的值．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x .(1)求f (x )的周期和单调递增区间； (2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)． (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈[π4，π2]，求cos 2x 0的值．22．(本小题满分12分)已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值；(2)求β的值．必修4第三章《三角恒等变换》单元检测题参考答案【第5题解析】∵0<θ<π2，∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，又sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，所以22<sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，1<sin θ＋cos θ≤ 2. 故选A .【第6题解析】sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°＝sin (90°＋73°)sin (270°－47°)＋sin (180°＋73°)sin (360°－47°)＝cos 73°(－cos 47°)－sin 73°(－sin 47°)＝－(cos 73°cos 47°－sin 73°sin 47°)＝－cos (73°＋47°)＝－cos 120°＝12. 故选B .【第7题解析】∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π，则tan θ<0，tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22，化简得2tan 2θ－tan θ－2＝0，解得tan θ＝－22或tan θ＝2(舍去)，∴tan θ＝－22. 故选B . 【第8题解析】y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∴y＝sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π4.故选C .【第9题解析】a ＝sin 62°，b ＝cos 26°＝sin 64°，c ＝sin 60°.∵y＝sin x ，x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2为递增函数，∴c<a<b. 故选A .【第10题解析】原式＝2sin 22α＋2sin 2αcos 2α2cos 22α＋2sin 2αcos 2α＝2sin 2α sin 2α＋cos 2α2cos 2α cos 2α＋sin 2α ＝tan 2α.故选B . 【第11题解析】tan β＝tan (π－θ1)＝－tan θ1＝－2，∴tan θ1＝2，tan θ2＝43.∴tan ∠POQ＝tan θ1＋tan θ21－tan θ1tan θ2＝－2， ∴π2<∠POQ<π.∴cos ∠POQ＝－55.故选A .【第12题解析】OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝(2，12)⊗(x ，y )＋(π3，0)＝(2x ＋π3，12y )，则x Q ＝2x ＋π3，y Q ＝12y ，所以x＝12x Q －π6，y ＝2y Q ，所以y ＝f (x )＝12sin(12x －π6)．所以最大值A ＝12，最小正周期T ＝4π. 故选C.【第16题解析】∵cos(α＋β)＝sin(α－β) ∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(cos β＋sin β) ∵α、β均为锐角， ∴sin β＋cos β≠0，∴cos α＝sin α，∴tan α＝1. 故填1. 【第17题答案】5π4【第17题解析】∵tan α、tan β为方程6x 2－5x ＋1＝0的两根， ∴tan α＋tan β＝56，tan αtan β＝16，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1.∵0<α<π2，π<β<3π2，∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝5π4.【第19题答案】（1）－43；（2）－25＋1510.【第19题解析】(1)∵a⊥b ，∴a·b ＝0.而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，故a·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0. 由于cos α≠0，∴6tan 2α＋5tan α－4＝0. 解之，得tan α＝－43，或tan α＝12.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，tan α<0，故tan α＝12(舍去)． ∴tan α＝－43.(2)∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π.由tan α＝－43，求得tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)．∴sin α2＝55，cos α2＝－255，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510.【第20题答案】（1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)；（2）m ∈[0,1]．【第20题解析】(1)f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x＝1＋sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，周期T ＝π；2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，解得f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)．(2)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，所以f (x )的值域为[2,3]．而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]．因为f (x )＝2sin (2x ＋π6)在区间[0，π6]上为增函数，在区间[π6，π2]上为减函数，又f (0)＝1，f (π6)＝2，f (π2)＝－1，所以函数f (x )在区间[0，π2]上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f (x 0)＝2sin (2x 0＋π6)．因为f (x 0)＝65，所以sin (2x 0＋π6)＝35.由x 0∈[π4，π2]，得2x 0＋π6∈[2π3，7π6]，从而cos(2x 0＋π6)＝－1－sin 22x 0＋π6 ＝－45.所以cos 2x 0＝cos[(2x 0＋π6)－π6]＝cos(2x 0＋π6)cos π6＋sin (2x 0＋π6)sin π6＝3－4310.【第22题答案】（1）45；（2）β＝3π4.【第22题解析】(1)tan α＝2tanα21－tan2α2＝43，所以sin αcos α＝43.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45.。

2013高中新课程数学(苏教版必修四)3.1.1 两角和与差的余弦课件3

故cos(α－β) ＝cosαcosβ＋sinαsinβ．
苏教版高中数学教材必修4 第3章三角恒等变换
3.1.1两角和与差的余弦
数学理论
问题5：如何推导两角和的余弦cos(α＋β)的公式？ cos(α＋β) ＝ cos(α －（－β）） = cosαcos （－ β）+sinαsin（－ β） =cosαcosβ－sinαsinβ．
3.1.1两角和与差的余弦
苏教版高中数学教材必修4
第3章三角恒等变换
3.1.1两角和与差的余弦
创设情境
y
P2
O
60º 45º
如图，向量a＝(cos45º ，sin45º ） b＝(cos60º ，sin60º )，试分别计算a•b =|a| |b |cosθ及a•b =x1x2+y1y2，比较两次计算的结果，你能发现什么？
苏教版高中数学教材必修4 第3章三角恒等变换
3.1.1两角和与差的余弦
数学理论
y
P2 P1
O
问题3：如何证明
问题4：若借助于向量证明，要构造怎样的两个向量?
x
令a＝(cosα， sinα)，b＝(cosβ，sinβ)． a•b＝|a|| b |cos(β－α)＝cos(β－α)， a •b＝cosαcosβ＋sinαsinβ，
Байду номын сангаас
两角差的余弦公式 cos(α － β)＝cosαcosβ+sinαsinβ 两角和的余弦公式 cos(α+β)＝cosαcosβ － sinαsinβ
苏教版高中数学教材必修4 第3章三角恒等变换
3.1.1两角和与差的余弦
例题讲解
例1．利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式：（1）cos(－α)＝sinα；（2）sin(－α)＝cosα．

高中数学第三章三角恒等变换3.3几个三角恒等式课件苏教版必修4

并求其单调减区间．
【精彩点拨】
化简fx 的解析式 → fx＝Asinωx＋φ＋B
→ ωx＋φ的范围 → 求最小值，单调减区间
【自主解答】
f(x)＝5
1＋cos 3· 2
2x＋
1－cos 3· 2
2x－2sin
2x
＝3 3＋2 3cos 2x－2sin 2x
＝3
3＋4
3 2 cos
2x－12sin
2x
第二十四页，共34页。
[再练一题]
3．已知函数 f(x)＝ 3sin2x－π6＋2sin2x－1π2(x∈R)． (1)求函数 f(x)的最小正周期；
(2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合．
【解】 (1)∵f(x)＝ 3sin 2·x－1π2＋1－cos 2x－1π2
＝2
3 2 sin
2x－1π2－12cos
【提示】
降幂公式：sin2α＝1－c2os
2α，cos2α＝1＋c2os
2α .
辅助角公式：asin α＋bcos α＝ a2＋b2sin(α＋θ)，其中 tan θ＝ba.
第二十页，共34页。
求函数 f(x)＝5 3cos2x＋ 3sin2x－4sin xcos x，x∈4π，72π4的最小值，
第二十一页，共34页。
＝3
3＋4sin
π 3cos
2x－cos
π 3sin
2x
＝3 3＋4sin3π－2x
＝3 3－4sin2x－π3，
∵π4≤x≤72π4，
∴π6≤2x－π3≤4π.
∴sin2x－π3∈12， 22.
第二十二页，共34页。
∴当 2x－π3＝π4，即 x＝72π4时， f(x)取最小值为 3 3－2 2. ∵y＝sin2x－3π在π4，274π上单调递增， ∴f(x)在4π，72π4上单调递减．

苏教版高中数学必修4章末练测：第三章三角恒等变换(含参考答案).docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第三章三角恒等变换（数学苏教版必修4）建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。

把答案填在题中横线上）1. 在△ABC 中，若cos B cos C-sin B sin C ≥0，则这个三角形一定不是三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”).2. 若△ABC 的内角A 满足sin 2A = ，则sin A+cos A = .3. = .4. 若函数y =f （x ）=sin x+ cos x+2，x ∈[0，2π），且关于x 的方程f （x ）=m 有两个不等实数根α，β，则sin （α+β）= .5. 已知：α-β=，tan α=3m ，tanβ=3-m，则m= .6. 已知函数f (x )=cos(2x+)+sin 2x ，则 f （x ）的最小正周期为 . 7. 已知函数f (x )=a cos 2x-b sin x cos x-2a的最大值为，且f()= ，则f(-)= . 8. 函数y =2sin x -cos 2x 的值域是 . 9. 设-＜α＜，- ＜β＜，tan α，tan β是方程x 2-3x+4=0的两个不等实根，则α+β的值为 . 10.2sin50sin80(1tan 60tan10)1sin100+++= .11. 已知f （cos x ）=cos 2x ，则f （sin x ）的表达式为．12. 函数y =lg （sin x+cos x ）的单调递减区间为．13.函数f (x )=cos x -cos 2x (x ∈R )的最大值等于．14. 若f （x ）是以5为周期的函数，f （3）=4，且cos α=，则f （4cos2α）= . 二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共80分）15. （12分）已知函数f （x ）=2cos 2x+2 sin x cos x ．（1）求函数f （x ）定义在[-，]上的值域．（2）在△ABC 中，若f （C ）=2，2sin B =cos （A-C ）-cos （A+C ），求tan A 的值．16.(12分)已知0＜x ＜π2,化简:lg(cos x ·tan x+1- 2sin 22x )+lg[2cos(x-π4)-lg(1+sin 2x ).17. (12分) 已知向量 a =(cos α，sin α)， b =(cos β，sin β)，|a - b |= ．（1）求cos （α-β）的值；（2）若0＜α＜，＜β＜0，且sin β= ，求sin α．18. （12分）已知函数f （x ）=tan x ，x ∈（0，π2）．若x 1，x 2∈（0，π2），x 1≠x 2，证明12 [f （x 1）+ f （x 2）]＞f （122x x +）．19. （16分）已知α为第二象限的角，sin α=，β为第一象限的角，cos β=．求tan （2α-β）的值．20.(16分)已知-π2＜x＜0，sin x+cos x=15.（1）求sin x-cos x的值；（2）求223sin2sin cos cos22221tantanx x x xxx-++的值.第三章三角恒等变换（数学苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．7． 8． 9． 10． 11． 12．13． 14．二、解答题15．16.17.18.19.20.第三章三角恒等变换（数学苏教版必修4）答案一、填空题1.锐角解析：在△ABC中，若cos B cos C-sin B sin C≥0，则有cos（B+C）≥0，故B+C为锐角或直角，故角A 为钝角或直角，从而可得此三角形为钝角三角形或直角三角形，故一定不是锐角三角形．2.解析：由sin 2A=2sin A cos A＞0，可知A为锐角，所以sin A+cos A＞0.又(sin A+cos A)2=1+sin 2A=，所以sin A+cos A=．3. 解析：== =sin30°= ．4. 解析：函数y=f（x）=sin x+cos x+2=2（sin x+ cos x）+2=2sin（x+）+2．再由x∈[0，2π）可得≤x+＜2π+，故-1≤sin（x+）≤1，故0≤f（x）≤4．由题意可得2sin（x+）+2=m有两个不等实数根α，β，且这两个实数根关于直线x+=或直线x+=对称，故有ππ332αβ+++=，或ππ332αβ+++=，故α+β=或α+β=，故sin（α+β）= ．5. 解析：∵α-β=，∴tan（α-β）=tan = .又tan α=3m，tan β=3-m，∴tan （α-β）=tan tan 1tan tan αβαβ-+=33133m m m m---+ =（3m -3-m）， ∴（3m -3-m ）= ，即3m -3-m =，整理得：（3m）2-3m-1=0，解得：3m=，∴3m= 或3m=- （舍去），则m =．6. π 解析：函数f (x )=cos(2x+)+sin 2x =cos 2x cos -sin 2x sin =- sin 2x+，所以函数f (x )的最小正周期是T ==π．7. 0或- 解析：∵函数f (x )=a cos 2x-b sin x cos x-2a =a •1cos 22x+ -b •sin 2x-2a =2a •cos 2x-b •sin 2x ．它的最大值为22a b +=，故有a 2+b 2=1． ①再由f ()= 可得-a- b =，即 a+b =- ②由①②解得3,0,21,1,2a ab b ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩或 ∴f (- )= -a+ b =- ，或 f (- )= -a+ b =0． 8. [32-，3] 解析：由题意可得：y =2sin x-cos 2x =2sin 2x+2sin x-1=2(sin x+12)232-，又sin x ∈[-1，1]，当sin x =-12时，函数f （x ）取到最小值为32-，当sin x =1时，函数f （x ）取到最大值为3，综上函数f （x ）的值域是[32-，3]． 9. 解析：∵tan α，tan β是方程x 2-3x+4=0的两个不等实根， ∴有tan α+tan β=3，① tan α•tan β=4，② ∴tan （α+β）=tan tan 1tan tan αβαβ+- = =-.∵＜α＜，＜β＜，由②知两个角是在同一个象限，由①知两个角的正切值都是正数， ∴0＜α＜，0＜β＜，∴0＜α+β＜π，∴α+β=.10. 2 解析：原式=sin102sin 50sin 80(1tan 60)cos101cos10++∙+=2sin 50(cos103sin10)2cos5++=2sin502sin 402cos5+=22sin 45cos52cos5⨯=2.11. f （sin x ）=-cos 2x 解析：∵ cos 2x =2cos 2x-1， ∴f （cos x ）=cos 2x =2cos 2x-1．∴f （sin x ）=2sin 2x-1=-（1-2sin 2x ）=-cos 2x ．故答案为f （sin x ）=-cos 2x ．12. [ +2k π， +2k π）解析：由题意，令m =sin x+cos x = sin （x+），由m ＞0得，2k π＜x+ ＜π+2k π，解得- +2k π＜x ＜ +2k π， ∴函数的定义域是（ +2k π， +2k π）. 又∵y =lg x 在定义域内是增函数，∴原函数的单调递减区间是y=sin （x+ ）的递减区间， ∴ +2k π≤x+ ≤ +2k π，解得 +2k π≤x ≤+2k π， ∴所求的单调递减区间是[ +2k π，+2k π）．13. 34 解析： f （x ）=cos x-12cos2x =cos x-12（2cos 2x-1）=-cos 2x+cos x+12=-(cos x-12)2+34，所以f （x ）的最大值为34．14.4 解析：∵4cos2α=4（2cos 2α-1）=-2，∴ f （4cos2α）=f （-2）=f （-2+5）=f （3）=4．二、解答题15. 解：（1）f （x ）=1+cos 2x+ sin 2x =2sin （2x+）+1. ∵-≤x ≤, ∴- ≤2x+ ≤. ∴- ≤sin(2x+ )≤1.∴f （x ）∈[0，3]，即f （x ）的值域为[0，3].（2）由f （C ）=2得2sin （2C+ ）+1=2，∴sin （2C+ ）= ． ∵0＜C ＜π∴ ＜2C+ ＜. ∴2C+= ∴C = ∴A+B =．又∵2sin B =cos （A-C ）-cos （A+C ），∴2sin B =2sin A sin C ， ∴2sin( -A )= sin A ，即 cos A+sin A = sin A ， ∴( -1)sin A = cos A ，∴tan A = =．16. 解：∵ 0<x <π2， ∴ 原式=lg(cos x ·sin cos xx+cos x )+lg(cos x+ sin x )-lg(1+sin 2x )=lg(sin x+cos x )+lg(cos x+sin x )-lg(1+sin 2x ) =lg(sin x+cos x )2-lg(1+sin 2x ) =lg(1+sin 2x )-lg(1+sin 2x )=0.17. 解：（1）∵ a =(cos α，sin α)， b =(cos β，sin β)， ∴ a - b =(cos α-cos β，sin α-sin β)．∵| a - b |= ， ∴22(cos cos )(sin sin )αβαβ-+- = ，即2-2cos(α-β)= ，∴cos(α-β)= ．（2）∵0＜α＜， - ＜β＜0， ∴0＜α-β＜π. ∵cos(α-β)= ，∴sin(α-β)= ．∵sin β=- ，∴cos β= ， ∴sin α=sin[（α-β）+β] =sin （α-β）cos β+cos （α-β）sin β= × ×(- )= .18. 证明：tan x 1+tan x 2=11sin cos x x +22sin cos x x =121212sin cos cos sin cos cos x x x x x x + =1212sin()cos cos x x x x +=1212122sin()cos()cos()x x x x x x +++-.∵x 1，x 2∈（0，π2），x 1≠x 2， ∴2sin （x 1+x 2）＞0，cos x 1cos x 2＞0，且0＜cos （x 1-x 2）＜1，从而有0＜cos （x 1+x 2）+cos （x 1-x 2）＜1+cos （x 1+x 2），由此得tan x 1+tan x 2＞12122sin()1cos()x x x x +++，∴12（tan x 1+tan x 2）＞tan 122x x +，即12 [f （x 1）+f （x 2）]＞f （122x x +）． 19. 解：∵α为第二象限角，sin α=，∴cos α=- ，tan α=- ，tan2α=-又∵β为第一象限角，cos β=，∴sin β=，tan β=，∴tan （2α-β）=tan 2tan 1tan 2tan αβαβ-+ ==.20.解：（1）由sin x+cos x=15，得 sin 2x+2sin x cos x+cos 2x=125，即2sin x cos x=-2425.∴ （sin x-cos x ）2=1-2sin x cos x =4925.又∵ -π2＜x ＜0，∴ sin x ＜0，cos x ＞0，sin x -cos x ＜0，故sin x-cos x=-75.（2）223sin 2sin cos cos 22221tan tan x x x x x x -++=22sin sin 12sin cos cos sin x x x xx x-++=sin x cos x （2-cos x -sin x ）=（-1225）×（2-15）=-108125.。

高中数学苏教版必修4评：第三章三角恒等变换3.1.2 含解析

学业分层测评(二十五) 两角和与差的正弦(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为________．【解析】由cos αcos β－sin αsin β＝0得cos(α＋β)＝0，∴α＋β＝π2＋k π，k ∈Z. ∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π＝±1. 【答案】 ±12．若M ＝sin 12°cos 57°－cos 12°sin 57°，N ＝cos 10°cos 55°＋sin 10°sin 55°，则M ＋N ＝________.【解析】 M ＝sin 12°cos 57°－cos 12°sin 57°＝sin(12°－57°)＝sin(－45°)＝－22. N ＝cos 10°cos 55°＋sin 10°sin 55°＝cos(10°－55°)＝cos(－45°)＝22. ∴M ＋N ＝0.【答案】 03．若锐角α，β满足cos α＝45，cos(α＋β)＝35，则sin β的值是________．【解析】 ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos α＝45，cos(α＋β)＝35. ∴sin α＝35， ∴0＜α＋β＜π，∴sin(α＋β)＝45. ∴sin β＝sin [](α＋β)－α＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝45×45－35×35＝725【答案】725 4．在△ABC 中，2cos Bsin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是________．【解析】在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B)，∴2cos Bsin A ＝sin π－(A ＋B)]＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B.∴－sin Acos B ＋cos Asin B ＝0.即sin(B －A)＝0.∴A ＝B.【答案】等腰三角形5．(2016·南通高一检测)要使sin α－3cos α＝4m －64－m 有意义，则实数m 的取值范围是________．【解析】 ∵sin α－3cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝4m －64－m. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝2m －34－m∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m －34－m ≤1，解得－1≤m ≤73. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，73 6．化简：sin 24°cos 6°－sin 66°sin 6°sin 21°cos 39°－cos 21°sin 39°＝________. 【解析】sin 24°cos 6°－sin 66°sin 6°sin 21°cos 39°－cos 21°sin 39° ＝sin 24°cos 6°－cos 24°sin 6°sin 21°cos 39°－cos 21°sin 39°＝sin (24°－6°)sin (21°－39°)＝sin 18°－sin 18°＝－1. 【答案】－17．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________.【06460074】【解析】由8sin α＋5cos β＝6，两边平方，得64sin 2α＋80sin αcos β＋25cos 2β＝36.①由8cos α＋5sin β＝10，两边平方，得64cos 2α＋80cos α sin β＋25sin 2β＝100.②由①＋②，得64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β)＝136.∴sin(α＋β)＝4780. 【答案】 4780 8．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－αsin α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αcos α＝________. 【解析】因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，所以原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－αcos α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－αsin α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋α＝sin π6＝12. 【答案】 12二、解答题9．已知cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，且π2＜β＜α＜34π，求sin 2α. 【解】 ∵π2＜β＜34π， ∴－34π＜－β＜－π2. ∵π2＜α＜34π，。

2021年高中数学第3章三角恒等变换本章知识整合苏教版必修4

2021年高中数学第3章三角恒等变换本章知识整合苏教版必修4 网络构建求值题三角函数的求值主要有两类题型，给角求值与给值求值．给角求值一般是利用和、差、倍角公式进行变换，使其出现特殊角，若为非特殊角，则应变为可消去或约分的情况，从而求出其值．给值求值一般应先化简所求的式子，弄清实际所求，或变化已知的式子，寻找已知与所求的联系，再求值．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝－1213，求cos(α＋β)．分析：由已知条件要求cos(α＋β)，应注意到角之间的关系，α＋β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，可应用两角差的余弦公式求得．解析：由已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34π得－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π，－π4，∴π4－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0. 又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45.由β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得π4＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝－1213，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝1213.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝513.由⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝α＋β，得 cos(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513×35＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3365.◎规律总结：给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．变式训练1．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，求tan α·tan β 的值．解析：∵cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝13，①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝15，②①＋②得cos αcos β＝415，②－①得sin αsin β＝－115，∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－115415＝－14.求sin 220°＋cos 280°＋3sin 20°cos 80°的值．解析：方法一原式＝12(1－cos 40°)＋12(1＋cos 160°)＋32·(sin 100°－sin60°)＝1＋12(cos 160°－cos 40°)＋32sin 100°－34＝14－sin 100°sin 60°＋32sin 100° ＝14. 方法二原式＝sin 220°＋cos 2(60°＋20°)＋3sin 20°·cos(60°＋20°)＝sin 220°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 20°－32sin 20°2＋3sin 20°·⎝ ⎛12cos 20°⎭⎪⎫－32sin 20° ＝14sin 220°＋14cos 220° ＝14. 方法三令M ＝sin 220°＋cos 280°＋3sin 20°cos 80°，则其对偶式N ＝cos 220°＋sin 280°＋3cos 20°sin 80°.因为M ＋N ＝(sin 220°＋cos 220°)＋(cos 280°＋sin 280°)＋3·(sin 20°cos 80°＋cos 20°sin 80°)＝2＋3sin 100°，①M －N ＝(sin 220°－cos 220°)＋(cos 280°－sin 280°)＋3(sin 20°cos 80°－cos20°sin 80°)＝－cos 40°＋cos 160°－3sin 60° ＝－2sin 100°sin 60°－32＝－3sin 100°－32， ②所以①＋②得2M ＝12，M ＝14，即sin 220°＋cos 280°＋3sin 20°cos 80°的值为14.◎规律总结：“给角求值”问题，一般所给出的角都是非特殊角，从表面上看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系，解题时，要认真观察，综合三角公式转化为特殊角并且清除非特殊角的三角函数而得解．变式训练2．求3tan 12°－3sin 12°·（4cos 212°－2）的值．解析：原式＝3tan 12°－32sin 12°cos 24°＝（3tan 12°－3）·2cos 12°2sin 12°·cos 12°·2cos 24°＝23sin 12°－6cos 12°sin 48°＝43（sin 12°cos 60°－cos 12°sin 60°）sin 48°＝－43sin 48°sin 48°＝－4 3.一元二次方程mx 2＋(2m －3)x ＋(m －2)＝0的两根为tan α，tan β.求tan(α＋β)的最小值．解析：∵mx 2＋(2m －3)x ＋m －2＝0有两根tan α，tan β，∴⎩⎨⎧Δ＝（2m －3）2－4m （m －2）≥0，m ≠0.解得m ≤94且m ≠0.由一元二次方程的根与系数的关系得tan α＋tan β＝3－2m m ，tan α·tan β＝m －2m.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3－2mm 1－m －2m＝3－2m 2＝32－m ≥32－94＝－34.故tan(α＋β)的最小值为－34.◎规律总结：数学问题解决的过程实质上是一个等价转化的过程，这一点务必引起高度重视．特别是综合题，条件的使用顺序和转化，以及知识之间的联系，在平时的训练中都要认真体会和总结．变式训练3．如下图，三个相同的正方形相接，试计算α＋β的大小．解析：本题的实质是已知tan α＝13，tan β＝12，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求α＋β.可通过求tan(α＋β)及(α＋β)的范围来求得α＋β.由图可知：tan α＝13，tan β＝12且α，β均为锐角．∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝13＋121－13×12＝1.而α＋β∈(0，π)，在(0，π)上正切值等于1的角只有π4，∴α＋β＝π4.规律总结：已知三角函数值求角，分三步进行：①先求角α＋β的某一三角函数值；②确定角所在范围(或区间)；③求角的值．化简三角函数式的化简是三角变换应用的一个重要方面，其基本思想方法是统一角，统一三角函数的名称．在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简．最后结果要求：(1)能求值尽量求值；(2)三角函数名称尽量少；(3)项数尽量少；(4)次数尽量低；(5)分母、根号下尽量不含三角函数．化简：tan 70°cos 10°·(3tan 20°－1)．分析：先化切为弦，再利用特殊角的特殊值进行转换．解析：tan 70°cos 10°·(3tan 20°－1) ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝ ⎛⎭⎪⎫3·sin 20°cos 20°－1＝3cos 10°－cos 10°·sin 70°cos 70°＝3cos 10°－cos 10°cos 20°2sin 10°cos 10°＝3sin 20°－cos 20°2sin 10°＝sin 20°cos 30°－cos 20°sin 30°sin 10°＝sin （20°－30°）sin 10°＝－1.◎规律总结：在三角变换中，有时根据需要，可以将一特殊值还原成某一三角函数值，如：12＝sin π6＝cos π3；1＝tan π4＝sin π2＝2cos π4＝sin 2α＋cos 2α等，如果我们在解题时巧妙地加以运用，往往会出奇制胜．证明题三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，采取化繁为简，左右归一，变更命题等方法，通过三角恒等变换，使等式的两边化异为同．条件恒等式的证明则要认真观察、比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径，常用代入法、消去法、两头凑法等．证明：tan 32x －tan x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x .证明：左边＝sin 32x cos 32x －sinx 2cosx 2＝sin 32x ·cos x 2－cos 32x ·sinx 2cos 32x ·cosx 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －x 212⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －x 2＝2sin xcos 2x ＋cos x＝右边．即等式成立．方法技巧：证明三角恒等式，一般是从左证右，从右证左，或是两边分头化简得同一结果．同时要注意“切割化弦”、“化异为同”基本原则的应用．变式训练4．已知tan(α＋β)＝2tan β. 求证：3sin α＝sin(α＋2β)．证明：由已知tan(α＋β)＝2tan β可得 sin （α＋β）cos （α＋β）＝2sin βcos β.∴sin(α＋β)cos β＝2cos(α＋β)sin β. 而sin(α＋2β) ＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(α＋β)cos β＋cos(α＋β)sin β ＝2cos(α＋β)sin β＋cos(α＋β)sin β＝3cos(α＋β)·sin β. 又sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝cos(α＋β) sin β， ∴3sin α＝sin(α＋2β)．与向量、三角形有关的综合问题设函数f (x )＝a·b ，其中向量a ＝(2cos x ，1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R.(1)若f (x )＝1－3且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，求x ；(2)若函数y ＝2sin 2x 的图象按向量c ＝(m ，n )⎝ ⎛⎭⎪⎫|m |<π2平移后得到函数y ＝f (x )的图象，求实数m ，n 的值．分析：本题主要考查平面向量的概念和计算、三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查运算能力．解析：(1)依题设，f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1－3，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－32.∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤56π.∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4.(2)函数y ＝2sin 2x 的图象按向量c ＝(m ，n )平移后得到函数y ＝2sin[2(x －m )]＋n 的图象，即函数y ＝f (x )的图象．由(1)得f (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋1， ∵|m |<π2，∴m ＝－π12，n ＝1.◎规律总结：涉及三角函数性质的问题时，常通过三角变换将函数式f (x )化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，进而研究相关问题，一定要加强这种训练．向量与三角函数知识的交汇是近几年高考命题的热点，要充分体会向量的工具性作用．变式训练5．已知向量a ＝(3cos x ，2cos x )，b ＝(2sin x ，cos x )，定义函数f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的单调增区间．解析：(1)f (x )＝a ·b＝23sin x cos x ＋2cos 2x＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∴T ＝2π2＝π.(2)由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 得： k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴f (x )的单调增区间为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)．已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15. (1)求证：tan A ＝2tan B ；(2)设AB ＝3，求AB 边上的高．分析：本题要求能灵活运用两角和与差的有关三角函数公式来求证、求解，且对解三角形也有一定考查．(1)证明：∵sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＋cos A sin B ＝35，sin A cos B －cos A sin B ＝15⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＝25，cos A sin B ＝15⇒tan A tan B ＝2. ∴tan A ＝2tan B .(2)解析：∵π2<A ＋B <π，sin(A ＋B )＝35，∴tan(A ＋B )＝－34，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－34. 将tan A ＝2tan B 代入上式并整理得2tan 2B －4tan B －1＝0，解得tan B ＝2±62，舍去负值，得tan B ＝2＋62. ∴tan A ＝2tan B ＝2＋ 6.设AB 边上的高为CD .则AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A ＋CD tan B ＝3CD 2＋6. 由AB ＝3，得CD ＝2＋ 6.所以AB 边上的高等于2＋ 6.◎规律总结：在三角函数的应用问题中，要根据问题的特点，恰当选择使用两角和(差)、倍角公式．同时，要注意数形结合、方程(组)、等价转化等数学思想的运用．变式训练6．已知角A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON →＝－15. (1)求tan 2A 的值；(2)求2cos 2A 2－3sin A －12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值．解析：(1)∵OM →·ON →＝(sin B ＋cos B )sin C ＋cos C (sin B －cos B )＝sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15， ∴sin A ＋cos A ＝－15，① 两边平方整理得：2sin A cos A ＝－2425.② ∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，由①，②解得： sin A ＝35，cos A ＝－45. ∴tan A ＝－34，∴tan 2A ＝－247. (2)∵tan A ＝－34， ∴2cos 2A 2－3sin A －12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝cos A －3sin A cos A ＋sin A ＝1－3tan A 1＋tan A ＝1－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34 ＝13.。

苏教版数学高一- 必修4第3章《三角恒等变换》知识整合

三角函数的求值主要有两类题型，给角求值与给值求值．给角求值一般是利用和、差、倍角公式进行变换，使其出现特殊角，若为非特殊角，则应变为可消去或约分的情况，从而求出其值．给值求值一般应先化简所求的式子，弄清实际所求，或变化已知的式子，寻找已知与所求的联系，再求值．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝－1213，求cos(α＋β)．分析：由已知条件要求cos(α＋β)，应注意到角之间的关系，α＋β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，可应用两角差的余弦公式求得．解析：由已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34π得－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π，－π4，∴π4－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0. 又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45.由β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得π4＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝－1213，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝1213，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝513.由⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝α＋β，得 cos(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513×35＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3365. ◎规律总结：给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．变式训练1．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，求tan α·tan β 的值．解析：∵cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝13，①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝15，②①＋②得cos αcos β＝415，②－①得sin αsin β＝－115，∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－115415＝－14.求sin 220°＋cos 280°＋3sin 20°cos 80°的值．解析：方法一原式＝12(1－cos 40°)＋12(1＋cos 160°)＋32·(sin 100°－sin 60°) ＝1＋12(cos 160°－cos 40°)＋32sin 100°－34＝14－sin 100°sin 60°＋32sin 100° ＝14. 方法二原式＝sin 220°＋cos 2(60°＋20°)＋3sin20°·cos(60°＋20°)＝sin 220°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 20°－32sin 20°2＋3sin20°·⎝ ⎛ 12cos 20°⎭⎪⎫－32sin 20°＝14sin 220°＋14cos 220° ＝14. 方法三令M ＝sin 220°＋cos 280°＋3sin 20°cos 80°，则其对偶式N ＝cos 220°＋sin 280°＋3cos 20°sin 80°.因为M ＋N ＝(sin 220°＋cos 220°)＋(cos 280°＋sin 280°)＋3·(sin 20°cos 80°＋cos 20°sin 80°)＝2＋3sin 100°，①M －N ＝(sin 220°－cos 220°)＋(cos 280°－sin 280°)＋3(sin20°cos 80°－cos 20°sin 80°)＝－cos 40°＋cos 160°－3sin 60°＝－2sin 100°sin 60°－32＝－3sin 100°－32， ②所以①＋②得2M ＝12，M ＝14，即sin 220°＋cos 280°＋3sin 20°cos 80°的值为14.◎规律总结：“给角求值”问题，一般所给出的角都是非特殊角，从表面上看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系，解题时，要认真观察，综合三角公式转化为特殊角并且清除非特殊角的三角函数而得解．变式训练2．求3tan 12°－3sin 12°·4cos 212°－2的值．解析：原式＝3tan 12°－32sin 12°cos 24°＝3tan 12°－3·2cos 12°2sin 12°·cos 12°·2cos 24°＝23sin 12°－6cos 12°sin 48°＝43sin 12°cos 60°－cos 12°sin 60°sin 48°＝－43sin 48°sin 48°＝－4 3.一元二次方程mx 2＋(2m －3)x ＋(m －2)＝0的两根为tan α，tan β.求tan(α＋β)的最小值．解析：∵mx 2＋(2m －3)x ＋m －2＝0有两根tan α，tan β，∴⎩⎨⎧Δ＝2m －32－4m m －2≥0，m ≠0.解得m ≤94且m ≠0.由一元二次方程的根与系数的关系得tan α＋tan β＝3－2m m ，tan α·tan β＝m －2m.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3－2mm1－m －2m＝3－2m 2＝32－m ≥32－94＝－34.故tan(α＋β)的最小值为－34.◎规律总结：数学问题解决的过程实质上是一个等价转化的过程，这一点务必引起高度重视．特别是综合题，条件的使用顺序和转化，以及知识之间的联系，在平时的训练中都要认真体会和总结．变式训练3．如下图，三个相同的正方形相接，试计算α＋β的大小．解析：本题的实质是已知tan α＝13，tan β＝12，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求α＋β. 可通过求tan(α＋β)及(α＋β)的范围来求得α＋β. 由图可知：tan α＝13，tan β＝12且α，β均为锐角．∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝13＋121－13×12＝1.而α＋β∈(0，π)，在(0，π)上正切值等于1的角只有π4，∴α＋β＝π4.规律总结：已知三角函数值求角，分三步进行：①先求角α＋β的某一三角函数值；②确定角所在范围(或区间)；③求角的值．三角函数式的化简是三角变换应用的一个重要方面，其基本思想方法是统一角，统一三角函数的名称．在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简．最后结果要求：(1)能求值尽量求值；(2)三角函数名称尽量少；(3)项数尽量少；(4)次数尽量低；(5)分母、根号下尽量不含三角函数．化简：tan 70°cos 10°·(3tan 20°－1)．分析：先化切为弦，再利用特殊角的特殊值进行转换．解析：tan 70°cos 10°· (3tan 20°－1)．＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎪⎫3·sin 20°cos 20°－1 ＝3cos 10°－cos 10°·sin 70°cos 70° ＝3cos 10°－cos 10°cos 20°2sin 10°cos 10°＝3sin 20°－cos 20°2sin 10°＝sin 20°cos 30°－cos 20°sin 30°sin 10°＝sin 20°－30°sin 10°＝－1.◎规律总结：在三角变换中，有时根据需要，可以将一特殊值还原成某一三角函数值，如：12＝sin π6＝cos π3；1＝tan π4＝sin π2＝2cos π4＝sin 2α＋cos 2α等，如果我们在解题时巧妙地加以运用，往往会出奇制胜．三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，采取化繁为简，左右归一，变更命题等方法，通过三角恒等变换，使等式的两边化异为同．条件恒等式的证明则要认真观察、比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径，常用代入法、消去法、两头凑法等．证明：tan 32x －tan x 2＝2sin xcos x ＋cos 2x.证明：左边＝sin 32xcos 32x －sin x2cosx 2＝sin 32x ·cos x 2－cos 32x ·sinx2cos 32x ·cosx 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －x 212⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －x 2 ＝2sin x cos 2x ＋cos x＝右边．即等式成立．方法技巧：证明三角恒等式，一般是从左证右，从右证左，或是两边分头化简得同一结果．同时要注意“切割化弦”、“化异为同”基本原则的应用．变式训练4．已知tan(α＋β)＝2tan β.求证：3sin α＝sin(α＋2β)．证明：由已知tan(α＋β)＝2tan β可得sinα＋βcosα＋β＝2sin βcos β.∴sin(α＋β)cos β＝2cos(α＋β)sin β而sin(α＋2β)＝sin＝sin (α＋β)cos β＋cos(α＋β)sin β＝2cos(α＋β)sin β＋cos(α＋β)sin β＝3cos(α＋β)·sin β. 又sin α＝sin＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝cos(α＋β) sin β∴3sin α＝sin(α＋2β)．设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cos x,1)，b＝(cos x，3sin 2x )，x ∈R ，(1)若f (x )＝1－3且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，求x .(2)若函数y ＝2sin 2x 的图象按向量c ＝(m ，n )⎝ ⎛⎭⎪⎫|m |<π2平移后得到函数y ＝f (x )的图象，求实数m ，n 的值．分析：本题主要考查平面向量的概念和计算、三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查运算能力．解析：(1)依题设，f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1－3，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－32. ∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤56π.∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4.(2)函数y ＝2sin 2x 的图象按向量c ＝(m ，n )平移后得到函数y ＝2sin ＋n 的图象，即函数y ＝f (x )的图象．由(1)得f (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋1，∵|m |<π2，∴m ＝－π12，n ＝1.◎规律总结：涉及三角函数性质的问题时，常通过三角变换将函数式f (x )化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，进而研究相关问题，一定要加强这种训练．向量与三角函数知识的交汇是近几年高考命题的热点，要充分体会向量的工具性作用．变式训练 5．已知向量a ＝(3cos x,2cos x )，b ＝(2sin x ，cos x )，定义函数f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调增区间．解析：(1)f (x )＝a ·b ＝23sin x cos x ＋2cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴T ＝2π2＝π.(2)由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 得：k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴f (x )的单调增区间为： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)．.已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15.(1)求证：tan A ＝2tan B ； (2)设AB ＝3，求AB 边上的高．分析：本题要求能灵活运用两角和与差的有关三角函数公式来求证、求解，且对解三角形也有一定考查．(1)证明：∵sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＋cos A sin B ＝35，sin A cos B －cos A sin B ＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＝25，cos A sin B ＝15⇒tan A tan B＝2. ∴tan A ＝2tan B .(2)解析：∵π2<A ＋B <π，sin(A ＋B )＝35，∴tan(A ＋B )＝－34，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－34.将tan A ＝2tan B 代入上式并整理得 2tan 2B －4tan B －1＝0，解得tan B ＝2±62，舍去负值，得tan B ＝2＋62.∴tan A ＝2tan B ＝2＋ 6.设AB 边上的高为CD .则AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A ＋CD tan B ＝3CD2＋6.由AB ＝3，得CD ＝2＋ 6.所以AB 边上的高等于2＋6.◎规律总结：在三角函数的应用问题中，要根据问题的特点，恰当选择使用两角和(差)、倍角公式．同时，要注意数形结合、方程(组)、等价转化等数学思想的运用．变式训练6．已知角A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON →＝－15.(1)求tan 2A 的值；(2)求2cos 2A2－3sin A －12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值．解析：(1)∵OM→·ON →＝(sin B ＋cos B )sin C ＋cos C (sin B －cos B )＝sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15，∴sin A ＋cos A ＝－15，①两边平方整理得：2sin A cos A ＝－2425.②∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，由①，②解得：sin A ＝35，cos A ＝－45.∴tan A ＝－34，∴tan 2A ＝－247.(2)∵tan A ＝－34，∴2cos 2A2－3sin A －12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝cos A －3sin Acos A ＋sin A＝1－3tan A 1＋tan A ＝1－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34 ＝13.。

苏教版高中数学必修4第3章三角恒等变换全章复习讲义(含答案解析)

举一反三：
【变式1】化简：
（1）；（2）；（3）
【答案】（1）4（2）4（3）
【解析】
（1）原式= ；
（2）原式= ；
（3）原式=
= .
【变式2】若，且，则 ___________.
【答案】
【解析】由，，得，
.
例7．已知，，求的值．
【思路点拨】先分析所求式 ,分子、分母均为已知条件中和差角的展开式的项．
【典型例题】
类型一：正用公式
例1．已知: ，求的值.
【思路点拨】因为不知道角所在的象限，所以要对分别讨论求的值．
【解析】由已知可求得 .
当在第一象限而在第二象限时，
.
当在第一象限而在第三象限时，
.
当在第二象限而在第二象限时，
.
当在第二象限而在第三象限时，
.
【总结升华】分类的原则是：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论要逐级进行．掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．
【解析】(1)
因 ,所以函数的值域为
(2)因在每个闭区间上为增函数,故在每个闭区间上为增函数.
依题意知对某个成立,此时必有 ,于是
,解得 ,故的最大值为 .
【变式2】已知向量 ,函数的最大值为6.
(Ⅰ)求 ;
(Ⅱ)将函数的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象.求在上的值域.
【解析】法一： ,两边平方可得
是第二象限角,因此 ,
所以
法二:单位圆中函数线+估算,因为是第二象限的角,又

必修四-第三章-三角恒等变换

必修四第三章三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等. 三、教学设想：（一）导入：问题1：我们在初中时就知道2cos 452=，3cos 302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家可以猜想，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-=（二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示。

思考1：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）思考2：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？（2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=- （三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos 75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302222=+=-=⨯-⨯=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 30222=-=+=⨯=点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活运用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值. 解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===- 又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===- 所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.思考：本题中没有),2ππα⎝⎛∈，呢？（四）练习：1.不查表计算下列各式的值：︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（︒+︒15sin 2315cos 212）（解:︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（ 2160cos )2080cos(=︒=︒-︒=2．教材P127面1、2、3、4题（五）小结α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用. （1）牢记公式．S S C C C ⋅+⋅=-)(βα（2）在“给值求值”题型中，要能灵活处理已、未知关系．（六）作业：《习案》作业二十九3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、教学设想：（一）复习式导入：（1）大家首先回顾一下两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．（2）cos sin =α？（二）新课讲授问题：由两角差的余弦公式，怎样得到两角差的正弦公式呢？探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦探究2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-．探究3、我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+探究4、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-．注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈5、将)(βα+S 、)(βα+C 、)(βα+T 称为和角公式，)(βα-S 、)(βα-C 、)(βα-T 称为差角公式。

数学苏教版必修4 第3章三角恒等变换综合检测 Word版含解析

(时间：分钟，满分：分)一、填空题(本大题共小题，每小题分，共分．请把答案填在题中横线上)．(α－°)(°＋α)＋(α－°)(°＋α)＝．解析：原式＝[(α－°)－(°＋α)]＝(－°)＝°＝.答案：．计算－的值为．解析：－＝(×)＝＝.答案：已知α＝－，则(α＋π)的值是．解析：(α＋π)＝α＋()π－α()π)＝＝－.答案：－函数＝ ·( ＋ )的最小正周期＝．解析：＝( ＋)＝＋＝＋)＝( －)＋＝(－)＋，∴最小正周期＝π.答案：π． °＋ °＋° °＝．解析：原式＝(°＋°)(－° °)＋°· °＝(－° °)＋° °＝.答案：已知α是第二象限角，且α＝－，则α＝．解析：由α是第二象限角，且α＝－，得α＝；∴α＝αα＝－，α＝α－α＝；∴α＝α α)＝－.答案：－已知α＝，则α＋α)＝．解析：α＋α)＝αα)＋α α)＝α α)＝α)＝.答案：若(α＋β)＝，(α－β)＝，则α β)＝．解析：由已知得：αβ＋αβ＝，αβ－αβ＝，∴αβ＝，αβ＝－，∴α β)＝α β α β)＝－.答案：－°－°)＝．解析：原式＝°－(＋°))＝°－°)＝.答案：若α是第三象限角，且α＝－，则等于．解析：∵α是第三象限角，且α＝－，∴α＝－＝－，∴＝α＋α)＝＝－.答案：－已知α＝－，则α－ α＋)＝．解析：α－α＋)＝α－α）α－α α)＝α－α）α（α－α）)＝α)＝－.答案：－计算°－() ° °)＝．解析：原式＝° °)＝°＋(()) °))－() ° °)＝.答案：函数()＝＋的最大值为．解析：∵()＝＋＝＋＋＝＋(＋)，∴当＋＝π＋(∈)，即＝π＋(∈)时，()取最大值＋.答案：＋已知是△的一个内角，设()＝ ·＋，若()－<恒成立，则实数的取值范围是．解析：()＝＋＝＋＝(＋)＋(－)＝＋.∵()－<恒成立，∴> －恒成立．∵<<π，∴< ≤.∴－< －≤，故>.答案：(，＋∞)二、解答题(本大题共小题，共分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(本小题满分分)已知(α－β)＝，α＝，且α∈(，)，β∈(－，)，求β的值．解：由已知得：－β∈(，)，又α∈(，)，∴α－β∈(，π)；∵(α－β)＝，∴(α－β)＝；由α∈(，)及α＝得α＝；∴β＝[α－(α－β)]＝α(α－β)－α(α－β)＝×－×＝＝－.(本小题满分分)已知α∈(，)，α＝，求α和(α＋)的值．解：由已知得α＝，∴α＝，∴α＝α－α)＝＝.∵α∈(，)，∴α∈(，π)，∵α＝>，∴α∈(，)，∴α＝，α＝.∴(α＋)＝α·＋α·＝×＋×＝. (本小题满分分)如图，、是单位圆上的点，是圆与轴正半轴的交点，点的坐标为(，)，△为正三角形．求∠和∠的值．解：∵点的坐标为(，)，根据三角函数定义可知：＝，＝，＝；∴∠＝＝，∠＝＝.∵△为正三角形，∴∠＝°，∴∠＝(∠＋°)＝∠°－∠°＝×－×＝.。

苏教版高中数学必修4学业分层测评：第三章三角恒等变换3.1.1 Word版含解析

学业分层测评(二十四) 两角和与差的余弦(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．cos(x ＋27°)cos(18°－x )－sin(18°－x )sin(x ＋27°)等于________．【解析】原式＝cos(x ＋27°＋18°－x )＝cos 45°＝22. 【答案】 222．若x ∈0，π]，sin x 3sin 2x 3＝cos x 3cos 2x3，则x 的值是________．【解析】 ∵cos x 3cos 2x 3－sin x 3sin 2x3＝0， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x 3＝0，∴cos x ＝0，∵x ∈0，π]∴x ＝π2.【答案】 π23．已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cos αcos β的值为________．【解析】 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45， cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－45 ∴2cos αcos β＝0. ∴cos αcos β＝0. 【答案】 04．(2016·苏州高一检测)已知cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin β＝－1213，β是第三象限角，则cos(β－α)的值是________. 【导学号：06460071】【解析】 ∵cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝1－cos 2α＝45.又sin β＝－1213，β是第三象限角， ∴cos β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝－513. cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×45 ＝1565－4865＝－3365. 【答案】－33655．在△ABC 中，若sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 一定为________三角形．【解析】由sin A sin B ＜cos A cos B 得 cos(A ＋B )＞0， ∴cos C ＜0.∴∠C ＞90°，∴△ABC 为钝角三角形．【答案】钝角6．化简2cos 10°－sin 20°cos 20°＝________.【解析】2cos 10°－sin 20°cos 20°＝2cos (30°－20°)－sin 20°cos 20°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝ 3.【答案】37．已知向量a ＝(cos 75°，sin 75°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则|a －b |＝________. 【解析】 |a |＝1，|b |＝1，a ·b ＝cos 75° cos 15°＋sin 75° sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.∴|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋1＝1.【答案】 18．(2016·南京高一检测)若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为________．【解析】 ∵(sin α－sin β)2＋(cos α－cos β)2＝2－2cos(α－β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122，∴cos(α－β)＝32.【答案】 32 二、解答题9．设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos α＋β2的值．【解】 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，α2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－181＝459， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－49＝53.∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527.10．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α，β均为锐角且α＜β，求α＋β的值．【解】 ∵α＜β，cos(α－β)＝55， ∴sin(α－β)＝－255. ∵α为锐角，cos 2α＝1010， ∴sin 2α＝31010.∴cos(α＋β)＝cos 2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝1010×55＋31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255 ＝－22.∵0＜α，β＜π2，∴0＜α＋β＜π. ∴α＋β＝3π4.能力提升]1．已知点P (1，2)是角α终边上一点，则cos(30°－α)＝________. 【解析】由已知sin α＝63，cos α＝33，cos(30°－α)＝cos 30° cos α＋sin 30°sin α＝32×33＋12×63＝3＋66. 【答案】3＋662. (2016·南通高一检测)如图3-1-1，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，如果点A 的纵坐标为35，点B 的横坐标为513，则cos(α－β)＝________.图3-1-1【解析】易知sin α＝35，cos β＝513，又因为α，β为锐角，∴cos α＝45，sin β＝1213，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45×513＋35×1213＝5665.【答案】 56653．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝14，则cos α＋3sin α＝________.【解析】 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝cos π3cos α＋sin π3sin α ＝12cos α＋32sin α ＝12(cos α＋3sin α)＝14 ∴cos α＋3sin α＝12. 【答案】 124．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，求cos(α＋β)的值．【解】 (1)∵f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω＞0的最小正周期T ＝10π＝2πω，∴ω＝15.(2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π6，而α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，∴2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＋π6＝－65， 2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝⎛⎭⎪⎫5β－5π6＋π6＝1617，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－35，cos β＝817，于是sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.。

高中数学第三章三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、

3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式[提出问题]问题1：在公式C (α＋β)，S (α＋β)和T (α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？提示：成立．问题2：在上述公式中，若α＝β，你能得到什么结论？提示：cos 2α＝cos 2α－sin 2α，sin 2α＝2sin αcos α，tan 2α＝2tan α1－tan 2α. [导入新知]二倍角公式[化解疑难] 细解“倍角公式”(1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义．(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．(3)注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用．[例1] (1)sin π12cos π12；(2)1－2sin 2750°；(3)2tan 150°1－tan 2150°；(4)1sin 10°－3cos 10°； (5)cos 20°cos 40°cos 80°.[解] (1)原式＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.(5)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18.[类题通法] 化简求值的四个方向三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．[活学活用]化简：(1)11－tan θ－11＋tan θ；(2)2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.答案：(1)tan 2θ (2)1[例2] (1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4＝5，2≤α<2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值；(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且sin 2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4，求α.[解] (1)∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4>0，∴3π2<α＋π4<7π4. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45.∴cos 2α＝sin2α＋π2＝2sin α＋π4cos α＋π4＝2×－45×35＝－2425，sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－725＝－31250. (2)∵sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， ∴原方程可化为1－2cos 2α＋π4＝－cos α＋π4，解得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3，即α＝－π4或α＝5π12.[类题通法]解决条件求值问题的方法条件求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．[活学活用]1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin 4α的值．答案：－4292．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，求锐角α. 答案：π6[例3] A 为锐角． (1)求角A 的大小；(2)求函数f (x )＝cos 2x ＋4cos A sin x (x ∈R)的值域． [解] (1)由题意得a ·b ＝3sin A －cos A ＝1，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝1，sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.由A 为锐角得A －π6＝π6，所以A ＝π3.(2)由(1)知cos A ＝12，所以f (x )＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32.因为x ∈R ，所以sin x ∈[－1,1]，因此，当sin x ＝12时，f (x )有最大值32.当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－3. 所以所求函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32.[类题通法]二倍角公式的灵活运用(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有： 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. (2)公式的变形用：公式间有着密切的联系，这就要求思考时融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2， 1＋cos 2α＝2cos 2α，cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.[活学活用](福建高考节选)已知函数f (x )＝103sin x 2cos x2＋10cos 2x2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2.求函数g (x )的解析式．答案：(1)2π (2)g (x )＝10sin x －89.二倍角的配凑问题[典例] 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，求sin 2x －2sin 2x 1－tan x 的值．[解] 原式＝2sin x cos x －2sin 2x1－sin x cos x＝2sin x x －sin xcos x －sin xcos x＝2sin x cos x ＝sin 2x .或原式＝sin 2x －2sin x cos x ·sin xcos x1－tan x＝sin 2x －sin 2x tan x1－tan x＝sin 2x －tan x1－tan x＝sin 2x .∵2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π2，∴sin 2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π2 ＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. ∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝35，∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－1 ＝2×925－1＝－725，∴原式＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－725＝725.[多维探究]1．解决上面典例要注意角“2x ”与“π4＋x ”的变换方法，即sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ；常见的此类变换，还有： (1)sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ；(2)cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ；(3)cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .2．倍角公式中的“倍角”是相对的．对于两个角的比值等于2的情况都成立，如8α是4α的二倍角，3α是3α2 的二倍角等．在解决此类问题时，有时二倍角关系不是很明显，需要结合条件和结论中的函数名和角的关系去发现．[活学活用]1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝________.答案：－792．计算：cos 2π7·cos 4π7·cos 6π7＝________.答案：183．计算：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝________. 答案：1164．求值：＋3－cos 20°cos 80°1－cos 20°.答案： 2[随堂即时演练]1．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215° D ．sin 215°＋cos 215°答案：B2．化简1＋sin 100°－1－sin 100°＝( ) A ．－2cos 50° B ．2cos 50° C ．－2sin 50° D ．2sin 50°答案：B3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝________. 答案：－434．函数f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1的最小正周期为________．答案：π5．已知α为第二象限角，且sin α＝154，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1的值．答案：－ 2[课时达标检测]一、选择题 1．若sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝35，则cos 2x 的值为( )A ．－725 B.1425C ．－1625 D.1925答案：A2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34 B.34C ．－43 D.43答案：B3．设－3π<α<－5π2，化简1－α－π2的结果是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2答案：C4．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A.22 B.33C. 2D. 3 答案：D 5．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35B.45C.74 D.34答案：D 二、填空题6．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．答案：1－ 27．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，则1cos 2α＋tan 2α＝________. 答案：78．等腰三角形一个底角的余弦为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．答案：459三、解答题9．已知α为锐角，且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2. (1)求tan α的值；(2)求sin 2αcos α－sin αcos 2α的值．解：(1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，所以1＋tan α1－tan α＝2,1＋tan α＝2－2tan α，所以tan α＝13.(2)sin 2αcos α－sin αcos 2α＝2sin αcos 2α－sin αcos 2α＝sin α2α－cos 2α＝sin αcos 2αcos 2α＝sin α.因为tan α＝13，所以cos α＝3sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝110，又α为锐角，所以sin α＝1010，所以sin 2αcos α－sin αcos 2α＝1010.10．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．解：∵f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1 ＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1) ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35.又∵x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45.∴cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝－45×32＋35×12＝3－4310.11．设函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x . (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12；(2)若f (α)＝53，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求角α. 解：f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ＝53cos 2x ＋53sin 2x －2sin 2x －43sin 2x ＝53－2sin 2x －23(1－cos 2x ) ＝33－2sin 2x ＋23cos 2x ＝33－4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x ×12－cos 2x ×32＝33－4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos π3－cos 2x sin π3 ＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝33－4sin π2＝33－4.(2)由f (α)＝53，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＝－32，由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得2α－π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，5π3， ∴2α－π3＝4π3，α＝5π6.。

苏教版高中数学必修4第三章-三角恒等变换教案【精美整理版】

苏教版高中数学必修4第三章教案【精美整理版】第三章三角恒等变换第三章三角恒等变换 (1)3.1两角和与差的三角函数 (2)第1课时 (2)第2课时 (7)第3课时 (12)复习课1 (18)3.2 二倍角的三角函数 (23)第1课时 (23)第2课时 (28)3．3 几个三角恒等式 (33)复习课2 (38)本站资源汇总［优秀资源，值得收藏］ (43)第三章三角恒等变换【学习导航】1．本章利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式；二倍角的正弦、余弦、正切公式等，以及运用这些公式进行简单的恒等变换。

2．三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。

三角恒等变换公式反映了角的相加、相减、二倍角运算引起三角函数值变化的规律，是研究三角函数性质及其应用的一种工具。

学习和应用三角恒等变换，有利于发展推理能力和运算能力。

3、三角恒等变换具有几何和物理的应用背景。

以向量为桥梁将三角恒等变换的算式与直观的几何图形相互沟通和转化，有助于学习和应用三角恒等变换，还能提高学习数学的兴趣，体会数学是一个有机联系的整体，而不是各不相关的内容的堆积。

学习要求1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用。

3.1两角和与差的三角函数第1课时【学习导航】学习要求1、理解向量法推导两角和与差的余弦公式，并能初步运用解决具体问题；2、应用公式)(βα+C ，求三角函数值.3．培养探索和创新的能力和意识.【自学评价】1．探究βαβαcos cos )cos(+≠+反例：6cos 3cos )63cos(2cos πππππ+≠+=问题：βαβαcos ,cos ),cos(+的关系？解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线2．探究：在坐标系中α、β角构造α+β角 3．探究：作单位圆，构造全等三角形4．探究：写出4个点的坐标 )0,1(1P ，)sin ,(cos 2ααP))sin(),(cos(3βαβα++P ，))sin(),(cos(4ββ--P ，5．计算31P P ，42P P 31P P =42P P =6．探究由31P P =42P P导出公式 []22cos()1sin ()αβαβ+-++[][]22cos()cos sin()sin βαβα=--+--展开并整理得所以可记为 )(βα+C7．探究特征①熟悉公式的结构和特点；②此公式对任意α、β都适用③公式记号)(βα+C8．探究 cos(α-β)的公式以-β代β得：公式记号)(βα-C【精典范例】例1 计算① cos105︒ ②cos15︒③cos 5πcos 103π-sin 5πsin 103π【解】例2已知sin α=53，cos β=1312求cos(α-β)的值.【解】学习札记例3已知cos(2α-β)=-1411,sin (α-2β)=734,且4π<α<2π,0<β<4π, 求cos(α+β)的值。

高中数学第三章三角恒等变换章末复习课课时训练(含解析)苏教版必修4(2021年最新整理)

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第三章三角恒等变换章末复习课课时目标1．灵活运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换．2．体会三角恒等变换的工具性作用，掌握变换的思想和方法，提高推理和运算能力．知识结构一、填空题1．tan 15°＋错误!＝________。

2．函数f（x)＝sin2（x＋错误!)－sin2（x－错误!)的最小正周期是________．3．函数y＝2cos2x＋sin 2x的最小值是________．4．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10,则sin(α＋β）＝________。

5．若3sin α＋cos α＝0，则错误!的值为________．6．函数f（x）＝sin4x＋cos2x的最小正周期是________．7．已知θ是第三象限角,若sin4θ＋cos4θ＝错误!，那么sin 2θ＝________8．已知函数f(x）＝错误!sin ωx＋cos ωx(ω>0），y＝f(x）的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x）的单调递增区间是________．9．已知α为第三象限的角，cos 2α＝－错误!，则tan错误!＝________.10．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝（错误!sin A,sin B),n＝(cos B，错误!cos A)，若m·n＝1＋cos（A＋B），则C的值为________．二、解答题11．已知函数f(x)＝错误!sin错误!＋2sin2错误! (x∈R)．（1）求函数f（x）的最小正周期;（2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．12．已知tan α＝－错误!，cos β＝错误!，α,β∈(0，π)．（1)求tan（α＋β)的值;(2)求函数f（x)＝错误!sin（x－α）＋cos（x＋β)的最大值．能力提升13．当y＝2cos x－3sin x取得最大值时，tan x的值是________．14．设函数f(x）＝sin错误!－2cos2错误!x＋1。

【苏教版】高中数学必修四：第三章三角恒等变换

第一课时两角和与差的余弦教学目标：掌握两角和与差的余弦公式，能用公式进行简单的求值；培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.教学重点：余弦的差角公式及简单应用教学难点：余弦的差角公式的推导教学过程：Ⅰ.课题导入在前面咱们共同学习了任意角的三角函数，在研究三角函数时，我们还常常会遇到这样的问题：已知任意角α、β的三角函数值，如何求α＋β、α－β或2α的三角函数值?即：α＋β、α－β或2α的三角函数值与α、β的三角函数值有什么关系?Ⅰ.讲授新课接下来，我们继续考虑如何把两角差的余弦cos （α－β）用α、β的三角函数来表示的问题.在直角坐标系x O y 中，以O x 轴为始边分别作角α、β，其终边分别与单位圆交于P 1（cos α，sin α）、P 2（cos β，sin β），则ⅠP 1OP 2＝α－β.由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑0≤α－β＜π的情况.设向量a ＝OP 1→＝（cos α，sin α），b ＝OP 2→＝（cos β，sin β），则：a ·b ＝︱a ︱︱b ︱cos （α－β）＝cos （α－β）另一方面，由向量数量积的坐标表示，有a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β所以：cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β （C （α－β））两角和的余弦公式对于任意的角α、β都是成立的，不妨，将此公式中的β用－β代替，看可得到什么新的结果?cos ［α－（－β）］＝cos αcos （－β）－sin αsin （－β）＝cos αcos β－sin αsin β即：cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β （C （α＋β））请同学们观察这一关系式与两角差的余弦公式，看这两式有什么区别和联系?(1)这一式子表示的是任意两角α与β的差α－β的余弦与这两角的三角函数的关系.(2)这两式均表示的是两角之和或差与这两角的三角函数的关系.请同学们仔细观察它们各自的特点.(1)两角之和的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的差.(2)两角之差的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的和.不难发现，利用这一式子也可求出一些与特殊角有关的非特殊角的余弦值.如：求cos 15°可化为求cos （45°－30°)或cos （60°－45°）利用这一式子而求得其值. 即：cos 15°＝cos （45°－30°）＝cos 45°cos 30°＋sin45°sin30° ＝22·32＋22·12 ＝6＋24或：cos 15°＝cos （60°－45°）＝cos 60°cos 45°＋sin60°sin45°＝12 ·22＋32·22＝6＋24请同学们将此公式中的α用π2代替，看可得到什么新的结果? cos （π2 －α）＝cos π2 cos α＋sin π2sin α＝sin α 即：cos （π2－α）＝sin α 再将此式中的α用π2－α代替，看可得到什么新的结果. cos ［π2 －（π2 －α）］＝cos α＝sin （π2－α）即：sin （π2－α）＝cos α Ⅰ.课堂练习1.求下列三角函数值Ⅰcos （45°＋30°）Ⅰcos 105°解：Ⅰcos （45°＋30°）＝cos 45°cos 30°－sin45°sin30°＝22·32－22·12 ＝6－22Ⅰcos 105°＝cos （60°＋45°）＝cos 60°cos 45°－sin60°sin45°＝12 ·22－32·22＝2－622.若cos αcos β＝－34，cos （α＋β）＝－1，求sin αsin β. 解：由cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β得：sin αsin β＝cos αcos β－cos （α＋β）将cos αcos β＝－34 ，cos （α＋β）＝－1代入上式可得：sin αsin β＝143.求cos 23°cos 22°－sin23°sin22°的值.解：cos 23°cos 22°－sin23°sin22°＝cos （23°＋22°）＝cos 45°＝224.若点P (－3，4)在角α终边上，点Q （－1，－2）在角β的终边上，求cos （α＋β）的值. 解：由点P （－3，4）为角α终边上一点；点Q （－1，－2)为角β终边上一点，得：cos α＝－35 ，sin α＝45 ；cos β＝－255，sin β＝－55. Ⅰcos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝（－35 ）×（－255）－45 ×（－55）＝2555.已知cos （α－β）＝1213 ，cos （α＋β）＝－113，求：tan α·tan β的值. 解：由已知cos （α－β）＝1213 ，cos （α＋β）＝－113可得：cos （α－β）＋cos （α＋β）＝1213 －113 ＝1113即：2cos αcos β＝1113 Ⅰcos （α－β）－cos （α＋β）＝1即：2sin αsin β＝1 Ⅰ由Ⅰ÷Ⅰ得2sin αsin β2cos αcos β ＝tan α·tan β＝1311Ⅰtan α·tan β的值为1311. 6.已知cos α－cos β＝12 ，sin α－sin β＝－13，求：cos （α－β）的值. 解：由已知cos α－cos β＝12得：cos 2α－2cos αcos β＋cos 2β＝14Ⅰ 由sin α－sin β＝－13得：sin 2α－2sin αsin β＋sin 2β＝19 Ⅰ由Ⅰ＋Ⅰ得：2－2（cos αcos β＋sin αsin β）＝1336即：2－2cos （α－β）＝1336Ⅰcos （α－β）＝5972Ⅰ.课时小结两公式的推导及应用.Ⅰ.课后作业课本P 96习题 1，2，3两角和与差的余弦A.存在这样的α和β的值，使得cos （α＋β）＝cos αcos β＋sin αsin βB.不存在无穷多个α和β的值，使得cos （α＋β）＝cos αcos β＋sin αsin βC.对于任意的α和β，都有cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin βD.不存在这样的α和β值，使得cos （α＋β）≠cos αcos β－sin αsin β2．在ⅠABC 中，已知cos A ·cos B ＞sin A ·sinΒ，则ⅠAB Ｃ一定是钝角三角形吗？3．已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的最大值和最小值.4．已知：αⅠ（π4 ，3π4 ），βⅠ（0，π4 ），且cos （π4 －α）＝35 ，sin （5π4 ＋β）＝－1213求：cos （α＋β）.5．已知：α、β为锐角，且cos α＝45 ，cos （α＋β）＝－1665，求cos β的值.6．在ⅠABC中，已知sin A＝35，cos B＝513，求cos C的值.两角和与差的余弦答案1．B2．在ⅠABC 中，已知cos A ·cos B ＞sin A ·sinΒ，则ⅠAB Ｃ一定是钝角三角形吗？解：Ⅰ在ⅠABC 中，Ⅰ0＜C ＜π，且A ＋B ＋C ＝π即：A ＋B ＝π－C由已知得cos A ·cos B －sin A ·sin B ＞0，即：cos （A ＋B ）＞0Ⅰcos （π－C ）＝－cos C ＞0，即cos C ＜0ⅠC 一定为钝角ⅠⅠABC 一定为钝角三角形.3．已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的最大值和最小值. 分析：令cos α＋cos β＝x ，然后利用函数思想.解：令cos α＋cos β＝x ，则得方程组：⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝x Ⅰsin α＋sin β＝22 Ⅰ Ⅰ2＋Ⅰ2得2＋2cos (α－β)＝x 2＋12Ⅰcos (α－β)＝2x 2－34Ⅰ|cos (α－β)|≤1， Ⅰ| 2x 2－34|≤1 解之得：－142≤x ≤142Ⅰcos α＋cos β的最大值是142，最小值是－142. 4．已知：αⅠ（π4 ，3π4 ），βⅠ（0，π4 ），且cos （π4 －α）＝35 ，sin （5π4 ＋β）＝－1213求：cos （α＋β）.解：由已知：αⅠ（π4 ，3π4） ⇒－αⅠ（－3π4 ，－π4 ）⇒π4 －αⅠ（－π2 ，0）又Ⅰcos （π4 －α）＝35 ， Ⅰsin （π4 －α）＝－45由βⅠ（0，π4 ）⇒π4 ＋βⅠ（π4 ，π2）又Ⅰsin （5π4 ＋β）＝sin ［π＋（π4 ＋β）］＝－sin （π4 ＋β）＝－1213即sin （π4 ＋β）＝1213 ， Ⅰcos （π4 ＋β）＝513又（π4 ＋β）－（π4－α）＝α＋β Ⅰcos （α＋β）＝cos ［（π4 ＋β）－（π4－α）］＝cos （π4 ＋β）cos （π4 －α）＋sin （π4 ＋β）sin （π4－α）＝513 ×35 ＋1213 ×（－45 ）＝－33655．已知：α、β为锐角，且cos α＝45 ，cos （α＋β）＝－1665，求cos β的值. 解：Ⅰ0＜α·β＜π2，Ⅰ0＜α＋β＜π 由cos （α＋β）＝－1665 ，得sin （α＋β）＝6365又Ⅰcos α＝45 ，Ⅰsin α＝35Ⅰcos β＝cos ［（α＋β）－α］＝cos （α＋β）cos α＋sin （α＋β）sin α＝（－1665 ）×45 ＋6365 ×35 ＝513评述：在解决三角函数的求值问题时，一定要注意已知角与所求角之间的关系.6．在ⅠABC 中，已知sin A ＝35 ，cos B ＝513，求cos C 的值. 分析：本题中角的限制范围就隐含在所给的数字中，轻易忽视，就会致错.解：由sin A ＝35 ＜22知0°＜A ＜45°或135°＜A ＜180°，又cos B ＝513 ＜12 ，Ⅰ60°＜B ＜90°，Ⅰsin B ＝1213若135°＜A ＜180°则A ＋B ＞180°不可能.Ⅰ0°＜A ＜45°，即cos A ＝45. Ⅰcos C ＝－cos （A ＋B ）＝1665.。

苏教版数学高二-苏教版必修4名师导学第三章三角恒等变换

第3章三角恒等变换第1课时两角和与差的余弦教学过程一、问题情境在实数运算中,有公式a(b+c)=ab+ac;在向量运算中,有公式a·(b+c)=a·b+a·c;在三角运算中,有公式cos(α-β)=cosα-cosβ吗?如果没有,式子一定不成立吗?二、数学建构问题1在直角坐标系xOy中,以Ox为始边分别作角α,β(0≤β≤α≤π),其终边分别与单位圆交于P1,P2,则向量,的夹角是多少?·的值是多少?(图1)由图1可得向量,的夹角是α-β,=(cosα, sinα),=(cosβ, sinβ).一方面,由向量数量积的定义,有·=||·||cos(α-β)=cos(α-β).另一方面,由向量数量积的坐标表示,有·=cosαcosβ+sinαsinβ.从而cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ, 0≤β≤α≤π.问题2如果α,β∈R,上述公式还成立吗?当α-β∈时,α-β就是,的夹角,所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.对于任意的α,β,总可选适当的整数k,使α-β-2kπ∈-π,π),从而|α-β1|≤π,|α-β1|就是,的夹角.因此cos(|α-β1|)=cos(α-β1)=cos(α-β-2kπ)=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.综上,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,这就是两角差的余弦公式,记为C(α-β).问题3cos(β-α)的展开式是什么?它与cos(α-β)展开式相等吗?为什么?cos(β-α)=cosαcosβ+sinαsinβ,它们展开式相等.因为余弦函数是偶函数,所以cos(α-β)=cos(β-α).问题4能利用两角差的余弦公式求cos(α+β)吗?在两角差的余弦公式中,用-β代替β,就可以得到cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,这就是两角和的余弦公式,记为C(α+β).思考“用-β代替β”的换元方法体现在图形上有什么几何意义?能直接利用向量的数量积推出两角和的余弦公式吗?用“-β代替β”的几何意义就是作出角β关于x轴的对称图形.(一)公式理解1.结构特征:①左边是两角差的余弦,右边是同名积的和;②左边是两角和的余弦,右边是同名积的差.2.公式中的α,β可以是任意的角(或式子).3.当α,β中有一个是90°的整数倍时,用诱导公式比较简便.(二)巩固概念问题5(教材第104页例1(1))请利用两角和(差)的余弦公式证明cos=sinα.cos=cos cosα+sin sinα=sinα.三、数学运用【例1】(教材第105页例2)利用两角和(差)的余弦公式,求cos75°, cos15°, sin15°, tan15°.(见学生用书P61)引导学生将75°, 15°转化为两个特殊角的和或差,正弦需转化为余弦.解(1)方法1:cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=.方法2:cos75°=cos(120°-45°)=cos120°cos45°+sin120°sin45°=.(2)方法1:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=.方法2:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°=.(3) sin15°=cos(90°-75°)=cos75°=.(4) tan15°===2-.(1)两角差(和)的余弦公式也适用于形式上不是差(和)角,但可以拆分成两角差(和)的情形;(2)角的拆分可能有多种形式,要根据题目选择适当的拆分.变式化简cos+cos.解原式=cos cosα-sin sinα+cos cosα+sin sinα=cosα.【例2】不查表,求下列式子的值:(1) cos120°cos15°-sin120°sin15°;(2) cos58°sin77°+sin122°sin13°.(见学生用书P62)本例是逆用两角和(差)的余弦公式求值,要引导学生构造公式中的结构.解(1)原式=cos(120°+15°)=cos135°=-.(2)原式=cos58°cos13°+sin58°sin13°=cos(58°-13°)=.变式不查表,求cos215°-sin215°的值.解cos215°-sin215°=cos(15°+15°)=.只有式子结构与公式结构完全相同时才能逆用公式,否则需对式子进行变形.【例3】(教材第105页例3)已知sinα=,α∈, cosβ=-,β∈,求cos(α+β)的值.(见学生用书P62)由公式C(α+β)可知,欲求cos(α+β),应先计算cosα,sinβ的值.cosα,sinβ是通过sin2x+cos2x=1(x为任意角)来求解的,要注意“±”的选取.解因为α∈, sinα=,所以cosα=-=-=-.又因为cosβ=-,β∈π,,所以sinβ=-=-=-,所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-×--×=.思考:在例3中,你能求出sin(α+β)的值吗?*【例4】若α,β为锐角,且满足cosα=, cos(α+β)=,求cosβ的值.先由学生自己分析解题思路,可能是“展开cos(α+β),与sin2β+cos2β=1联立,解方程组”.再引导学生观察发现α,α+β,β三个角之间的关系为β=(α+β)-α,用两角差的余弦公式求解.最后由学生比较两种方法的简易度,让学生体会拆角方法的简捷和思路的合理性.解因为α,β为锐角,所以0<α<, 0<β<, 0<α+β<π.因为cosα=, cos(α+β)=,所以sinα=, sin(α+β)=,所以cosβ=cos=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=×+×=.在“给式求值”问题中,要注意用已知角来表示所求角.如本题已知角为α+β和α,所求角是β,则β=(α+β)-α.变式已知cos(2α-β)=-, sin(α-2β)=,且<α<, 0<β<,求cos(α+β)的值.引导学生寻找已知角与所求角之间的关系,即(2α-β)-(α-2β)=α+β.由α,β的取值范围,分别求出2α-β,α-2β的正弦值和余弦值,再利用公式即可求解.解∵<α<, 0<β<,∴<2α-β<π,-<α-2β<.由cos(2α-β)=-, sin(α-2β)=,得sin(2α-β)=, cos(α-2β)=,∴ cos(α+β)=cos=cos(2α-β)·cos(α-2β)+sin(2α-β)·sin(α-2β)=×+×=.四、课堂练习1.化简:cos(30°+α)-cos(30°-α)=-sinα.2.化简:cos65°cos115°-cos25°sin115°=-1.提示原式=cos65°cos115°-sin65°sin115°=cos(65°+115°)=cos180°=-1.3.已知sinα=,α∈, cosβ=-,β是第三象限角,则cos(α-β)=-.提示因为α∈, sinα=,所以cosα=-=-=-.又因为cosβ=-,β是第三象限角,所以sinβ=-=-=-,所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=×+×=-.4.已知α∈, cos=,则cosα=.提示因为α∈,所以α-∈,所以sin=-.因此,cosα=cos=cos-sin=.五、课堂小结1.运用向量数量积的定义及坐标运算公式推导两角差的余弦公式,在两角差的余弦公式上用赋值法得到两角和的余弦公式.2.两角和与差的余弦公式的结构特证.3.三角变换时,注意角与角的关系(用已知角表示所求角).第2课时两角和与差的正弦(1)教学过程一、问题情境如何求sin15°的值?二、数学建构问题1上节课中,我们是如何求sin15°的值?我们是将sin15°变换成cos75°,再利用两角和的余弦公式来计算.而sin15°=sin(45°-30°),有没有两角和(差)的正弦公式?问题2能否用上述方法,将sin(α+β)转化成某个角的余弦?sin(α+β)=cos.问题3上述中涉及三个角和的余弦,如何展开才能使结果只含有α,β的正弦和余弦?cos=cos=cos cosβ+sin sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ,即sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,这就是两角和的正弦公式,记为S(α+β).问题4能得到两角差的正弦公式吗?即sin(α-β)=.解法一在两角和的正弦公式中,用-β代替β,就可以得到sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,这就是两角差的正弦公式,记为S(α-β).解法二sin(α-β)=cos-(α-β)=cos-α+β=cos-αcosβ-sin-αsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ.问题5能用同角三角函数的关系,由C(α±β)推导出S(α±β)?这样做有什么困难?用同角三角函数的关系推导时,会遇到符号确定的困难.问题6sin(β-α)的展开式是什么?它与sin(α-β)的展开式相同吗?为什么?sin(α-β)=sinβcosα-cosβsin a,它与sin(α-β)的展开式互为相反数.因为正弦函数是奇函数,所以sin(β-α)=-sin(α-β).公式理解1.结构特征:①左边是两角和的正弦,右边是异名积的和;②左边是两角差的余弦,右边是异名积的差.2.公式中的α,β可以是任意的角(或式子).3.运用公式要注意角及函数的位置排列顺序.4.当α,β中有一个是90°的整数倍时,用诱导公式比较简便.三、数学运用【例1】已知sinα=-,α是第四象限角,求sin的值.(见学生用书P63)由学生自己分析解题思路,教师引导学生注意cosα的正负.解因为sinα=-,α是第四象限角,所以cosα==,所以sin-α=sin cosα-cos sinα=×-×=.变式化简:sin+sin.解原式=sin cosα-cos sinα+=2sin cosα=cosα.【例2】已知α∈, sin=,求sinα的值.(见学生用书P64)先由学生自己分析解题思路,可能是“展开sin,与sin2α+cos2α=1联立,解方程组”.再引导学生观察分析α,α+之间的关系,根据两角差的正弦公式求解.解因为α∈,所以α+∈,.又因为sin=,所以cosα+=,所以sinα=sin+α-=sin+αcos-cos+αsin=×-×=-.(1)三角变换中要注意角与角的关系,如α=-,α=+等等.(2)利用平方关系确定cos时,一定要注意α+的范围.变式已知α∈, sin=,求sinα的值.解因为α∈,所以α+∈.又因为sin(α+)=,所以cosα+=±.(1)当cos=-时, cos<cos,所以α+>,即α>(舍去).(2)当cos=时,sinα=sin=sin cos-cos sin=×-×=-.【例3】(教材第108页例2)已知cos(α+β)=, cosβ=,α,β均为锐角,求sinα的值.(见学生用书P64)先由学生自己分析解题思路,可能是“展开cos(α+β),与sin2β+cos2β=1联立,解方程组”.再引导学生思考:在学习两角和差的余弦公式时,有类似的题目吗?是如何解决的?(将α看成是α+β与β的差,即α=(α+β)-β,再用两角差的正弦公式求解)解因为α,β均为锐角,所以α+β∈(0,π).又因为cos(α+β)=, cosβ=,所以sin(α+β)=, sinβ=,所以sinα=sin=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=×-×=.(1)在“给式求值”问题中,要注意用已知角来表示所求角.如本题已知角为α+β和β,所求角是α,则α=(α+β)-β.(2)在解三角函数问题时,常通过条件缩小角的范围,避免讨论.如将本题β的范围改为(0,π),则如何求解呢?(由cosβ=,β∈(0,π),得β∈)变式已知<α<, 0<β<, cos=, sin=,试求sin(α+β)的值.引导学生思考:(1)本题中的已知角是什么?所求角是什么?两者间有什么关系?(已知角是+β, -α,所求角是α+β,两者间的关系是-=+(α+β))(2)已知角的和是+(α+β),不是α+β,如何求sin(α+β)?(先求cos)解因为<α<, 0<β<,所以-α∈,+β∈.又因为cos=, sin=,所以sin=-, cos=-.所以cos=cos+β--α=cos+βcos-α+sin+βsin-α=-×+×-=-.又因为cos=-sin(α+β),所以sin(α+β)=.*【例4】cos33°cos12°-cos57°cos78°=.引导学生从公式结构出发,构造与公式相同的结构,逆用公式.解法一(用两角和的余弦公式)原式=cos33°cos12°-sin33°sin12°=cos(33°+12°)=.解法二(用两角差的正弦公式)原式=sin57°cos12°-cos57°sin12°=sin(57°-12°)=.逆用公式要注意公式的结构与条件结构是否相同.变式1(教材第109页例3)求函数y=sin x+cos x的最大值.引导学生思考:(1)正弦函数、余弦函数分别在何时取最大值?(正弦函数当x=2kπ+,k∈Z时取最大值,余弦函数当x=2kπ,k∈Z时取最大值)(2)题中函数的最值是在x=2kπ+,k∈Z,或x=2kπ,k∈Z时取得吗?(3)本题如何求最大值?解y=sin x cos+cos x sin=sin.当x+=2kπ+,k∈Z,即x=+2kπ,k∈Z时,函数y取得最大值1.本题还有其他解法吗?(y=sin x sin+cos x cos=cos.当x-=2kπ,k∈Z,即x=+2kπ,k∈Z时,函数y取得最大值1)变式2(教材第112页习题3.1(2)第5(3)题)求函数y=sin x+cos x的最大值.引导学生发现变式1与变式2之间的关系.解y=2sin x+cos x=2sin x sin+cos x cos=2cos x-.当x-=2kπ,k∈Z,即x=+2kπ,k∈Z时,函数y取得最大值2.解题过程中提出的系数2与原系数1,有何关系?(2=)四、课堂练习1.计算:sin69°cos99°-cos69°sin99°=-.2.在△ABC中,A=, cos B=,则sin C=.提示∵A=,∴cos A=sin A=.又∵cos B=,B∈(0,π),∴sin B=,∴sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos AsinB=.3.函数y=sin x-cos x的最小值是-2.提示y=2=2sin x-.当x-=2kπ-,k∈Z,即x=2kπ-,k∈Z时,函数y取得最小值-2.4.已知cosα=, cos(α+β)=,且α,β都为锐角,求sinβ的值.解由已知条件可得sinα=,sin(α+β)=,所以sinβ=sin=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=×-×=.五、课堂小结1.运用两角和与差的余弦公式及三角函数的诱导公式来推导两角和与差的正弦公式.2.两角和与差的正弦公式的结构特征.3.三角变换时,注意角与角的关系(用已知角表示所求角).第3课时两角和与差的正弦(2)教学过程一、问题情境化简:sin+cos.二、数学建构活动解决问题情境中的问题.解原式=sin2x cos-cos2x sin+cos2x cos-sin2x sin=sin2x-cos2x+cos2x-sin2x=0.问题1在“两角和与差的余弦”这一课中,我们曾发现在求解三角函数问题时,如果能注意到角与角的关系,可以减少运算量,那么这道题中涉及哪些角,它们有什么关系?从局部看,本题涉及2x,,,它们没有明显关系.从整体来看,本题涉及2x-,2x+,它们的关系为-=.问题2能否根据上述回答想到其他解决思路?原式=sin2x-+cos+2x-=sin2x--sin2x-=0.总结在求解三角函数问题时,要注意角与角之间的关系.三、数学运用【例1】求的值.(见学生用书P65)引导学生寻找题中角的关系,将50°看成60°-10°,从而减少非特殊角的个数(消元的思想).解原式===.(1)通过寻找角与角间的关系,减少非特殊角的个数,这是三角变换的重要思路之一.(2)思考:为什么不将10°改写成60°—50°?【例2】已知sin(2α+β)+2sinβ=0, cos(α+β)cosα≠0,求证:tanα=3tan(α+β).(见学生用书P65)引导学生观察条件中的角与结论中的角之间的关系.证明sin(2α+β)+2sinβ=sin+2sin=+2=3sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=0.又因为cos(α+β)cosα≠0,所以=,即tanα=3tan(α+β).【例3】(教材第110页例6)已知sin(α+β)=, sin(α-β)=-,求的值.(见学生用书P66)引导学生思考:(1)条件是关于角的正弦,结论是关于角的正切,这种既含有正弦、余弦,又含有正切的问题,我们一般先做什么?(化切为弦,即求)(2)要求,就要求sinαcosβ, cosαsinβ,条件中有吗?(只需将sin(α+β), sin(α-β)展开即可)解由已知条件得所以从而==×=.(1)三角变换要会“执果索因”,如本例及例1中将所求角表示成已知角.(2)本例的解法体现了方程思想.(3)思考:从本例的解题过程可以看出,只要知道sin(α+β),sin(α-β)的值,就可以求出sinαcosβ, cosαsinβ.据此你能用α+β,α-β的正弦与余弦表示sinαcosβ, cosαsinβ, cosαcosβ, sinαsinβ吗?【例4】化简:sin(α+β)cosα-.(见学生用书P66)引导学生观察2α+β,β,α+β,α四个角之间的关系,即2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)-α,从而可将原三角函数式化为关于角α+β和α的三角函数式,再做适当整合、化简.解原式=sin(α+β)cosα-=sin(α+β)cosα-·2cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=sin=sinβ.(1)正确逆用两角和与差的正、余弦公式,是化简三角函数式的基本途径.(2)化简三角函数式要从分析角的关系入手,即找题中角与角的关系,这是化简三角函数式的一个切入点.四、课堂练习1.求的值.解原式====.2.证明:=tan(α+β).证明左边===tan(α+β)=右边.五、课堂小结1.三角变换时,要注意角与角的关系,会“执果索因”.2.灵活运用两角和(差)公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明.第4课时两角和与差的正切(1)教学过程一、问题情境回顾“两角和与差的余弦”例1中求tan15°的过程,我们是先分别求出sin15°,cos15°,再由同角三角函数关系求出tan15°,那么能否由tan45°和tan30°直接求出tan15°呢?二、数学建构问题1对于一般的角α,β,当α,β,α+β的正切值存在时,能由tanα, tanβ直接表示tan(α+β)吗?tan(α+β)===.问题2上述公式对于任意角α,β都成立吗?当α,β,α+β均不等于kπ+,k∈Z时,式子才成立,这就是两角和的正切公式,记为T(α+β).问题3如何由tanα, tanβ直接表示tan(α-β)?解法一tan(α-β)===.解法二用-β代换β,就可以得到tan(α-β)==.公式理解1.结构特征:公式右边分子上的符号与左边的符号一致,而分母的符号与分子的符号相反;分子是两角正切值的和与差,分母含有两角正切值的积.2.公式中的α,β,α+β,α-β的正切值都存在时,公式才能成立.三、数学运用【例1】(1)已知tanα=, tanβ=,则tan(α+β)=;(2)(根据教材第115页练习第1(1)题改编)已知tanα=3,则tan=.(见学生用书P67)答案(1) 1;(2)-.本题是公式的直接运用,可让学生自己求解.变式1已知α,β均为锐角,且tanα=, tanβ=,则α+β=.引导学生思考:(1)要求角的大小,先要求什么?(角的某个三角函数值和角的范围)(2)本题中用哪个三角函数?为什么?(本题中用正切.一是因为题中涉及角的正切;二是因为α+β∈(0,π),且在此范围内一个正切值对应一个角)解tan(α+β)===1.又因为α,β均为锐角,所以α+β∈(0,π),所以α+β=.求角的大小,先求角的某一三角函数值和角的范围.变式2(教材第115页例3)如图,三个相同的正方形相接,求证:α+β=.(变式2)引导学生选择适当的三角函数求解.解法一由题可知tanα=, tanβ=,所以tan(α+β)===1.又因为α,β均为锐角,所以α+β∈(0,π),所以α+β=.解法二由题可知cosβ=, sinβ=, cosα=, sinα=,所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=.又因为α,β均为锐角,所以α+β∈(0,π),所以α+β=.【例2】已知=4+,求tan的值.(见学生用书P68)先由学生自己分析解题思路,可能会有两种:一是由已知求出tanα的值,然后由两角差的正切公式求出tan;二是由=tan直接得到答案.引导学生观察条件和结论之间的关系,学会用整体思想去分析问题.解法一由=4+,解出tanα=-,所以tan==4+.解法二tan==4+.变式1求值:.解原式==tan(45°-15°)=.变式2求值:.解原式==tan(60°-15°)=1.【例3】已知tanα与tanβ是方程x2-3x-3=0的两个根,求tan(α+β)的值.(见学生用书P68)本题可以先直接求出tanα,tanβ,然后利用公式求tan(α+β);也可以用韦达定理先求tanα+tanβ, tanαtanβ,然后利用公式求tan(α+β).再让学生比较这两种方法的繁易程度.解法一因为方程x2-3x-3=0的两个根为,所以tanα+tanβ=3, tanαtanβ=-3,所以tan(α+β)===.解法二由题可知Δ=(-3)2-4×(-3)=12>0,所以tanα+tanβ=3, tanαtanβ=-3,所以tan(α+β)===.变式已知tanα与tanβ是方程x2-3x-3=0的两个根,求sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)的值.解由题可知Δ=(-3)2-4×(-3)=12>0,所以tanα+tanβ=3, tanαtanβ=-3,所以tan(α+β)===.故sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)====-3.(例4)*【例4】如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.引导学生根据三角函数的定义,求出tanα,tanβ,从而求出tan(α+β)和tan(α+2β),并通过α+2β的范围确定α+2β的大小.解由题意知cosα=, cosβ=,又α,β为锐角,∴sinα=, sinβ=.因此tanα=7, tanβ=.(1) tan(α+β)==-3.(2) tan(α+2β)=tan==-1.∵α,β为锐角,∴ 0<α+2β<,∴α+2β=.(变式)变式如图,A,B是单位圆O上的点,且A点坐标为,B在第二象限,C是圆O与x轴正半轴的交点,△AOB为正三角形,求tan∠BOC的值.解由题可知tan∠AOC=,∴tan∠BOC=tan(∠AOC+60°)====-.四、课堂练习1.已知tanα=-2, tanβ=5,则tan(α-β)=.2.计算:=-.提示原式==tan(45°+75°)=-.3.已知α为锐角, cosα=,则tan=-3.提示由cosα=,α为锐角,得sinα=,则tanα=2,所以tan==-3.4.已知0<α<, 0<β<,且tanα, tanβ是方程3x2+4x-1=0的两根,求α+β的值.解因为方程3x2+4x-1=0的两根为,所以tanα+tanβ=-,tanα·tanβ=-,则tan(α+β)===-1.又0<α<, 0<β<,所以α+β∈(0,π),故α+β=.五、课堂小结1.运用两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式.2.两角和与差的正切公式的结构特征和角的限制.3.求角的步骤:先求出某个三角函数值,再根据角的范围求解.第5课时两角和与差的正切(2)教学过程一、问题情境已知tan=2,则tanα=.二、数学建构活动解决问题情境中的问题.解tan==2,解得tanα=.问题1本题条件中的角与结论中的角分别是什么?条件中的角是α+,结论中的角是α.问题2在即时体验2中,我们是如何求cosα的?先用条件中的角表示结论中的角,即α=-,再用两角差的余弦公式求解.问题3本题还有其他解法吗?tanα=tan+α-==.三、数学运用【例1】已知tan=2, tan=3,求tan(α+β)的值.(见学生用书P69)先由学生自己分析解题思路,可能的思路有两个:一是由tan=2求出tanα,由tan=3求出tanβ,然后再求tan(α+β);二是由-=+α+β,先求出tan,而后再求tan(α+β).再引导学生比较两种方法的繁简程度.解∵ tan+α+β=tanβ+--α===,∴ tan(α+β)=tan===.在三角函数“给式求值”问题中,要注意已知角与所求角之间的关系.【例2】证明:tan x-tan=.(见学生用书P69)用问题:“本题中涉及几个角?它们有什么关系?”引导学生寻找角与角之间的关系.证明右边====tan-tan=左边.变式已知sin(2α+β)=5sinβ,求证:3tanα=2tan(α+β).证明由题可知sin(α+β)+α=5sin,则sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=5,化简得4sin(α+β)cosα=6cos(α+β)sinα,两边同除以cosα cos(α+β)得3tanα=2tan(α+β).【例3】求tan23°+tan37°+tan23°tan37°的值.(见学生用书P70)引导学生由式中含有两角正切值的和与积,联想到两角和差的正切公式.解原式=tan(23°+37°)(1-tan23°tan37°)+tan23°tan37°=.当题中出现两角正切值的和(差)与积时,要联想到两角和(差)的正切公式的变形:tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ), tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ).变式(教材第116页例4)在斜三角形ABC中,求证:tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C.引导学生分析式子的结构,发现式子中含正切值的和与积.证明在斜三角形ABC中,有A+B+C=π,即A+B=π-C,且A,B,A+B≠,所以左边=tan(A+B)(1-tan A tan B)+tan C=tan(π-C)(1-tan A tan B)+tan C=tan A tan B tan C=右边.一般地,当角A,B,C满足什么条件时,能使等式tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C成立?(一般地,当A+B+C=kπ,k∈Z时,此结论成立)【例4】(教材第116页例5)如图(1),两座建筑物AB,CD的高度分别为9m和15m,从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45°,求建筑物AB与CD的底部之间的距离BD.(见学生用书P70)(例4(1))(例4(2))引导学生通过作CD的垂线AE,将中涉及到的量转移到两个直角三角形中.解如图(2),作AE⊥CD于E.因为AB∥CD,AB=9,CD=15,所以DE=9,EC=6.设AE=x,∠CAE=α.因为∠CAD=45°,所以∠DAE=45°-α.在Rt△AEC和Rt△AED中,有tanα=,tan(45°-α)=.因为tan(45°-α)=,所以=,解得x=18,x=-3(舍去).答:建筑物AB与CD的底部之间的距离BD为18m.四、课堂练习1.已知tan(α-β)=, tan=,则tan=.提示tanα+=tan(α-β)+β+=.2.计算:=.提示原式===.(第3题)3.如图,在矩形ABCD中,AB=a,BC=2a,在BC上取一点P,使得AB+BP=PD,求tan∠APD的值.解由AB+BP=PD,得a+BP=,解得BP=a,故CP=a.设∠APB=α,∠DPC=β,则tanα==, tanβ==,所以tan(α+β)==-18,所以tan∠APD=tan(π-α-β)=-tan(α+β)=18.五、课堂小结1.三角变换时,要注意角与角的关系,学会“执果索因”.2.当条件中出现两角正切值的和(差)时,会用两角和(差)的正切公式的变形解题.第6课时二倍角的三角函数(1)教学过程一、问题情境问题我们已经知道函数y=sin2x与y=sin x的图象关系,也知道α+β的正弦、余弦和正切可用α,β的正弦、余弦和正切来表示,那么角α的三角函数和角2α的三角函数之间有怎样的数量关系?在S(α+β),C(α+β),T(α+β)公式中,令β=α,就可以得到结果:sin2α=2sinαcosα(S2α); cos2α=cos2α-sin2α(C2α);tan2α=(T2α).二、数学建构问题1二倍角公式中,角有限制吗?二倍角的正弦、余弦公式中的角是任意角,但二倍角的正切公式中,2α≠+kπ,α≠+kπ,k∈Z.问题2二倍角的余弦公式中,同时出现了sin2α, cos2α,能否只保留一个?能.cos2α=2cos2α-1, cos2α=1-2sin2α.三、数学运用【例1】(教材第119页例1)已知sinα=,α∈,求sin2α, cos2α, tan2α的值.(见学生用书P71)引导学生先求出cosα的值,然后正确运用二倍角公式计算.解因为sinα=,α∈,所以cosα=-.于是,sin2α=2sinαcosα=2××=-,cos2α=1-2sin2α=1-2×=-,tan2α==×=.(1)还有其他方法求tan2α吗?(tanα==-,tan2α=)(2)已知sinα,求cos2α时,用公式cos2α=1-2sin2α可以避免讨论.若用sin22α+cos22α=1求解,则cos2α=±.哪种是错误答案,如何修正?(cos2α=±是错的.因为sinα=,α∈,所以α∈,2α∈,所以cos2α=-)(3)已知角的某个三角函数值及范围,可以缩小角的范围.变式(教材第120页练习第2题)已知sinα=0.8,α∈,求sin2α, cos2α的值.解因为sinα=0.8,α∈,所以cosα=0.6,所以sin2α=2sinαcosα=0.96, cos2α=1-2sin2α=-0.28.【例2】化简:(1) cos cos;(2) cos4-sin4;(3).(见学生用书P71)引导学生从公式的结构出发,构造与公式相同的结构,逆用公式.解(1)原式=cos sin==sin=.(2)原式=cos2-sin2cos2+sin2=cos2-sin2=cosα.(3)原式=·=tan45°=.(1)公式变形:sinαcosα=sin2α;(2)倍角公式中的倍角是相对的,如4α是2α的倍角,α是的倍角等.变式(1)计算:-=4;(2)(教材第122页练习第1(5)题)化简:-=tan2α.解(1)原式====4.(2)原式==tan2α.【例3】(根据教材第120页例2改编)求证:=.(见学生用书P72)引导学生思考:(1)式子左右两边有什么差异?(从角的差异来看,左边角是右边角的二倍;从名称的差异来看,题中涉及正弦、余弦和正切)(2)三角变换时,从哪个差异入手比较简单?(从角的差异入手)证明左边====tan2θ==右边.∴原式得证.(1)三角变换时,首先要找到角与角之间的关系,如倍角关系、α=(α+β)-β等.(2)当题中出现1+cosα, 1-cosα时,要想到用倍角公式消1.变式若270°<α<360°,则=-cos.引导学生对结构“1+cos2α”进行变形,同时要注意开方后“±”的选取.解因为270°<α<360°,所以135°<<180°, cosα>0, cos<0.原式=====-cos.四、课堂练习1.计算:(1)(sin15°+cos15°)2=.(2) sin22°30'cos22°30'=.(3)-=.(4) sin2-cos2=-.2.求证:=tan(+x).证明====tan.五、课堂小结1.运用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角公式.2.注意二倍角正切公式中角的限制.3.三角变换技巧:①变名;②变角;③变结构.第7课时二倍角的三角函数(2)教学过程一、数学运用【例1】已知sinθ+cosθ=,θ∈,求sinθ·cosθ, sin2θ, cos2θ, sinθ, cosθ的值.(见学生用书P73)先由学生自己分析解题思路,可能是“联立方程sinθ+cosθ=与sin2θ+cos2θ=1求解”.再引导学生思考:(1)能否不通过sinθ, cosθ,直接求出sinθ cosθ,sin2θ, cos2θ?(2)结论中的sinθ cosθ在条件中并没有出现,如何才能出现?(只需将sinθ+cosθ=平方即可)解法一由sinθ+cosθ=,得sinθ=-cosθ,将其代入恒等式sin2θ+cos2θ=1,得+cos2θ=1,化简得50cos2θ-10cosθ-24=0,解得cosθ=-或cosθ=.又因为θ∈,所以cosθ=-,则sinθ=-cosθ=,于是sinθ·cosθ=-,sin2θ=-, cos2θ=1-2sin2θ=1-2×=-.综上所述, sinθ·cosθ=-, sin2θ=-, cos2θ=-, sinθ=, cosθ=-.解法二由题意知(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=,所以sinθcosθ=-, sin2θ=-.又因为θ∈,所以2θ∈,故cos2θ=-.(cosθ-sinθ)2=1-2sinθcosθ=,又因为θ∈,所以cosθ-sinθ=-,与sinθ+cosθ=联立,解得sinθ=, cosθ=-.综上所述, sinθ·cosθ=-, sin2θ=-, cos2θ=-, sinθ=, cosθ=-.(1)三角变换时要会“执果索因”,即用已知条件构造结果中的结构.(2)sinα+cosα,sinα·cosα, sinα-cosα三者之间可以互相转化.变式将例1中“θ∈”改为“θ∈(0,π)”.在解题过程中,引导学生根据结果适当缩小角的范围.解法一由sinθ+cosθ=,得sinθ=-cosθ,将其代入恒等式sin2θ+cos2θ=1,得+cos2θ=1,化简得50cos2θ-10cosθ-24=0,解得cosθ=-或cosθ=,代入sinθ=-cosθ,所以或又因为θ∈(0,π),所以以下同例1的解法一.解法二由题可知(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=,所以sinθcosθ=-, sin2θ=-.又因为θ∈(0,π),所以θ∈.又因为sinθ+cosθ=>0,所以θ∈,即2θ∈,故cos2θ=-.以下同例1题的解法二.三角函数问题常需根据条件缩小角的范围,以避免讨论.【例2】已知sin=,0<θ<,求cos2θ, cos的值.(见学生用书P73)引导学生寻找条件中的角与结论中角的关系.关系有两种:一是将条件中的-θ转化成θ求解;二是条件中角的两倍与结论中的2θ的和是,即2+2θ=.解法一因为0<θ<,所以-θ∈.又因为sin=,所以cos=,所以sinθ=sin--θ=cos-θ-sin-θ==, cosθ=.于是,cos2θ=1-2sin2θ=, cos=(cosθ-sinθ)=.解法二因为0<θ<,所以-θ∈.又因为sin=,所以cos-θ=,所以sin-2θ=2sin-θcos-θ=2××=,即cos2θ=,cos+θ=cos--θ=sin-θ=.三角变换时,要注意题中角与角的关系:如是否可以用一(两)个角表示其他角;α±β,α±2β是否特殊角等.变式设sin=,则sin2θ=-.引导学生思考:题中的角+θ与结论中的角2θ之间有什么关系?2+θ-2θ=解cos=cos2+θ=1-2sin2+θ=,所以sin2θ=-cos=-.【例3】(教材第121页例3)化简:sin2α-+sin2α+-sin2α.(见学生用书P74)引导学生分析式中角的关系与结构特征.解法一原式=+-sin2α=sin2α+cos2α-sin2α=.解法二由倍角公式cos2α=1-2sin2α,得sin2α=,于是,原式=+-=-=-=.(1)二倍角余弦公式的变形(降幂公式):sin2α=,cos2α=.(2)三角变换也可从“变结构”入手,常见的结构有1+cosα, 1-cosα等.变式求证:cos8α-sin8α=cos2α(1-sin22α).引导学生思考:(1)式子的左右两边有什么差异?(结构上的差异:三角函数的次方不同;角上的差异:角α与角2α有倍角关系)(2)本题从什么差异入手比较简单?(从结构入手,将左边的次数降低)证明左边=(cos4α-sin4α)(cos4α+sin4α)=(cos2α-sin2α)(cos2α+sin2α)(cos4α+sin4α)=cos2α·(cos2α+sin2α)2-2sin2αcos2α=cos2α·1-2sin2αcos2α=cos2α·=右边.*【例4】(教材第122页例5)在半圆钢板上截取一块矩形材料,怎样截取能使这个矩形的面积最大?引导学生作图,并选择圆心角∠BOA(θ)为自变量,建立关于θ的函数,同时注意应用题的书写规范.(例4)解如图,设∠BOA=θ,且θ为锐角,半圆的半径为R,则面积最大的矩形ABCD必内接于半圆O,且两边长分别为AB=R sinθ,DA=2OA=2R cosθ,所以这个矩形的面积S=AB·DA=R sinθ·2R cosθ=R2sin2θ.所以当sin2θ=1(θ为锐角),即θ=45°时,矩形ABCD的面积取得最大值R2.此时AD=R,AB=R.答:当这个矩形的两边长与半圆的半径的比是1∶2∶时,所截矩形的面积最大.求解与圆有关的最值问题时,常以圆心角为自变量.变式在一个圆的所有内接矩形中,怎样的矩形面积最大?解设ABCD是☉O的内接矩形,☉O半径为R,∠ACB=θ,则AB=2R sinθ,BC=2R cosθ,所以矩形ABCD的面积S=AB·BC=4R2sinθcosθ=2R2sin2θ.当sin2θ=1(θ为锐角),即θ=45°时,矩形ABCD 的面积最大.二、课堂练习1.已知sin=,则sin2x=.提示sin2x=cos-2x=cos2-x=1-2sin2-x=1-2×2=.2.如果sin2α=,α∈,那么cosα-sinα=-.提示(cosα-sinα)2=1-sin2α=,又α∈,所以cosα-sinα<0,故cosα-sinα=-.3.化简:cos2θ+cos2+cos2.解法一原式=++=+++=.解法二原式=cos2θ++=cos2θ+cos2θ+sinθcosθ+sin2θ+cos2θ-sinθ cosθ+sin2θ=.三、课堂小结1. sinα+cosα, sinα cosα, sinα-cosα三者之间的转化.2.三角变换技巧:①变名(化切为弦);②变角(用已知角表示所求角);③变结构(降幂公式).第8课时本章复习教学过程一、数学运用【例1】化简:.(见学生用书P75)观察分析待化简的式子,可以看到分子较容易处理,它是二倍角余弦公式的逆用.分母相对复杂,从名称看,有弦有切;从角看,两个角与分子中的角都不同,但-α,+α互余;从结构看,涉及正弦的平方.而后请学生从式子“角”、“结构”上的差异着手,使用不同的公式求解.解法一原式=(复角化单角) =(化切为弦)==1.(化简繁分式)解法二原式=(将分母化同角) =(化切为弦)===1.(逆用二倍角正弦公式)三角变换的实质是灵活地运用公式进行运算,在这个过程中,要从“名”、“角”、“结构”上的差异入手.变式化简:.(见学生用书P75)解原式=·=·tan10°=·=-2.【例2】若sin=,则cos=-.(见学生用书P75)引导学生找出已知角与所求角,并找出两角之间的关系:2+=π.解cos+2α=cosπ-2-α=-cos2-α=2sin2-π-1=-.三角变换过程中要注意寻找题中角与角的关系.变式1设α为锐角,若cos=,则sin=.(见学生用书P75)解∵α为锐角,∴<α+<.又cos=,∴ sin=.∴ sin=2sin cos=, cos=2cos2-1=.∴ sin=sin=sin cos-cos sin=.本题是2012年江苏高考卷第11题,解题的关键是寻找所求角与已知角之间的关系.本题也可以先求出sinα和cosα的值,从而可求得sin2α和cos2α的值,进一步可求得sin的值.变式2已知函数f(x)=sin+cos,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和最小值;(2)已知cos(β-α)=, cos(β+α)=-, 0<α<β≤,求证:-2=0.解(1)因为f(x)=sin+sin x-+=2sin x-,所以T=2π,f(x)的最小值为-2.(2)由已知可得cosβcosα+sinβsinα=, cosβcosα-sinβsinα=-,两式相加得2cosαcosβ=0.又因为0<α<β≤,所以β=,所以-2=-2=0.【例3】已知函数f(x)=sin-cos+2cos2x.(1)求f的值;(2)求f(x)的最大值及相应x的值.(见学生用书P76)第(1)问可直接代入化简、求值;第(2)问需将函数f(x)化为A sin(ωx+φ)+B的形式.解(1)f=sin2×+-cos2×++2cos2=sin-cos+1+cos=+1.(2)f(x)=sin-cos+2cos2x=sin2x cos+cos2x sin-cos2x cos+sin2x sin+cos2x+1=sin2x+cos 2x+1=2sin+1.当sin=1时,max=2+1=3,此时2x+=2kπ+,即x=kπ+,k∈Z.(1)分析、研究三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂,我们必须先通过三角恒等变换,将三角函数的解析式变形化简成“一一型”(一个角的一个三角函数),然后根据化简后的三角函数,讨论其图象和性质.(2)相应于sin x-cos x=2sin,还有更一般的情况:a sin x+b cos x=sin x·+cos x·.∵+=1,∴设=cosφ, =sinφ,则a sin x+b cos x=sin(x+φ),并由此可求出a sin x+b cos x的取值范围.(如3sin x-4cos x=5,设cosφ=,sinφ=,则3sin x-4cos x=5sin(x-φ).若x∈R,则3sin x-4cos x∈)。

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