【名师面对面】中考数学：(第22讲)《矩形、菱形和正方形》ppt课件
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中考数学一轮复习 第五章 图形的性质(二)第22讲 矩形、菱形与正方形课件
第五章 图形的性质(二)
第二十二讲 矩ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、菱形与正方形
知识盘点
1、矩形的定义、性质及判定 2、菱形的定义、性质及判定 3、正方形的定义、性质及判定
难点与易错点
1．一个防范 在判定矩形、菱形或正方形时，要明确是在“四边形”还是在“平 行四边形”的基础之上来求证的．要熟悉各判定定理的联系和区别 ，解题时要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，最后确定用 哪一种判定方法． 2．三种联系 (1)平行四边形与矩形的联系： 在平行四边形的基础上，增加“一个角是直角”或“对角线相等” 的条件可为矩形；若在四边形的基础上，则需有三个角是直角(第 四个角必是直角)则可判定为矩形．
A．四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4 B．四边形ACEF是矩形，它的周长是2＋2 3 C．四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4 3 D．四边形ACEF是矩形，它的周长是4＋4 3
5．(2015·日照)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题 ，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD， ④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图)，现 有下列四种选法，你认为其中错误的是( B) A．①② B．②③ C．①③ D．②④
BD＝EC.∴在△ABD 与△BEC 中，ABBD＝＝BEEC，，∴△ABD≌△BEC(SSS) AD＝BC，
(2)由(1)知，四边形 BECD 为平行四边形，则 OD＝OE，OC＝OB.∵四 边形 ABCD 为平行四边形，∴∠A＝∠BCD，即∠A＝∠OCD.又∵∠BOD ＝2∠A，∠BOD＝∠OCD＋∠ODC，∴∠OCD＝∠ODC，∴OC＝OD，∴
[对应训练] 2．(2015·甘南州)如图①，在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB ＝CD；∠ACB＝∠DCE＝90°，AB与CE交于点F，ED与AB，BC 分别交于点M，H. (1)求证：CF＝CH； (2)如图②，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE＝45°时 ，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．
第二十二讲 矩ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、菱形与正方形
知识盘点
1、矩形的定义、性质及判定 2、菱形的定义、性质及判定 3、正方形的定义、性质及判定
难点与易错点
1．一个防范 在判定矩形、菱形或正方形时，要明确是在“四边形”还是在“平 行四边形”的基础之上来求证的．要熟悉各判定定理的联系和区别 ，解题时要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，最后确定用 哪一种判定方法． 2．三种联系 (1)平行四边形与矩形的联系： 在平行四边形的基础上，增加“一个角是直角”或“对角线相等” 的条件可为矩形；若在四边形的基础上，则需有三个角是直角(第 四个角必是直角)则可判定为矩形．
A．四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4 B．四边形ACEF是矩形，它的周长是2＋2 3 C．四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4 3 D．四边形ACEF是矩形，它的周长是4＋4 3
5．(2015·日照)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题 ，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD， ④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图)，现 有下列四种选法，你认为其中错误的是( B) A．①② B．②③ C．①③ D．②④
BD＝EC.∴在△ABD 与△BEC 中，ABBD＝＝BEEC，，∴△ABD≌△BEC(SSS) AD＝BC，
(2)由(1)知，四边形 BECD 为平行四边形，则 OD＝OE，OC＝OB.∵四 边形 ABCD 为平行四边形，∴∠A＝∠BCD，即∠A＝∠OCD.又∵∠BOD ＝2∠A，∠BOD＝∠OCD＋∠ODC，∴∠OCD＝∠ODC，∴OC＝OD，∴
[对应训练] 2．(2015·甘南州)如图①，在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB ＝CD；∠ACB＝∠DCE＝90°，AB与CE交于点F，ED与AB，BC 分别交于点M，H. (1)求证：CF＝CH； (2)如图②，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE＝45°时 ，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．
2025年中考数学总复习 第二十二讲 矩形、菱形、正方形++++课件
∴EM=EN,∵AE=EF,∴Rt△AEM≌Rt△FEN(HL),∴AM=NF,
∵EM=EN,EN⊥CD,EM⊥AD,∠ADC=90°,∴四边形EMDN是正方形,∴ED是正
方形EMDN的对角线,MD=ND,∴MD=DN=
DE,NF=ND-DF=MD-DF,
32
∴NF=AM=AD-MD=AD-
∴AD-
∴点O是△ABC的重心,
∴BO=2OD,CO=2OE.
又∵点F,G分别是OB,OC的中点,
∴OF=FB,OG=GC,
∴DF= BD,EG= CE.
∵BD=CE,
∴DF=EG.
又∵四边形DEFG是平行四边形,
∴▱DEFG是矩形.
15
考点2
菱形的性质与判定
【例2】(2024·呼伦贝尔、兴安盟中考)如图,在平行四边形ABCD中,点F在边AD
∴∠AHE=∠G=∠AEF=90°,∴∠AEH+∠HAE=∠AEH+∠FEG=90°,
∴∠HAE=∠FEG,
∵AE=FE,∴△HAE≌△GEF(AAS),
∴HE=FG,
∵在正方形ABCD中,∠BDC=45°,
∴∠FDG=∠BDC=45°,∴∠DFG=45°,
34
∴△DFG是等腰直角三角形,∴FG=
2. (1)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是 ( B )
A.AB∥DC
B.AB=BD
C.AC⊥BD
D.OA=OC
(2)下列条件中,能判定四边形是菱形的是
A.对角线相等的平行四边形
B.对角线互相垂直且相等的四边形
C.对角线互相平分且垂直的四边形
∵EM=EN,EN⊥CD,EM⊥AD,∠ADC=90°,∴四边形EMDN是正方形,∴ED是正
方形EMDN的对角线,MD=ND,∴MD=DN=
DE,NF=ND-DF=MD-DF,
32
∴NF=AM=AD-MD=AD-
∴AD-
∴点O是△ABC的重心,
∴BO=2OD,CO=2OE.
又∵点F,G分别是OB,OC的中点,
∴OF=FB,OG=GC,
∴DF= BD,EG= CE.
∵BD=CE,
∴DF=EG.
又∵四边形DEFG是平行四边形,
∴▱DEFG是矩形.
15
考点2
菱形的性质与判定
【例2】(2024·呼伦贝尔、兴安盟中考)如图,在平行四边形ABCD中,点F在边AD
∴∠AHE=∠G=∠AEF=90°,∴∠AEH+∠HAE=∠AEH+∠FEG=90°,
∴∠HAE=∠FEG,
∵AE=FE,∴△HAE≌△GEF(AAS),
∴HE=FG,
∵在正方形ABCD中,∠BDC=45°,
∴∠FDG=∠BDC=45°,∴∠DFG=45°,
34
∴△DFG是等腰直角三角形,∴FG=
2. (1)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是 ( B )
A.AB∥DC
B.AB=BD
C.AC⊥BD
D.OA=OC
(2)下列条件中,能判定四边形是菱形的是
A.对角线相等的平行四边形
B.对角线互相垂直且相等的四边形
C.对角线互相平分且垂直的四边形
矩形、菱形、正方形PPT教学课件
“壮词”，即内容、情感、形象、语言 等方面都豪放、壮美的作品。
破阵子·为陈同甫赋壮词以寄之 辛弃疾
醉里挑灯看剑，梦回吹角连营。八百里 分麾下炙，五十弦翻塞外声，沙场秋点兵。
马作的卢飞快，弓如霹雳弦惊。了却君 王天下事，赢得生前身后名。可怜白发生！
醉里挑灯看剑，梦回吹角连营 。
在醉酒之中，我挑亮油灯，端详宝剑，梦醒时，扎在一 起连接的军营都吹响了号角。
小结：
晏殊《浣溪沙》 情感：对岁月的爱惜和对生 命的珍视。
风格：委婉、含蓄。
《破阵子——为陈同甫赋壮词以寄之》 辛弃疾
辛弃疾（1140—1207），字幼安， 号稼轩，历城（今山东济南）人。 他一生以抗金报国自任，但是他所 提出的抗金建议，均未被采纳，并 遭到主和派的打击，曾长期落职闲 居江西上饶、铅山一带。理想不能 实现，遂将满腔忠愤全寄予词。其 词悲壮雄放，词风慷慨悲壮，有不 可一世之概，抒发爱国精神，而又 题材广泛，风格多样，以豪放为主， 技巧繁复，体备刚柔，千汇万状， 热情洋溢，慷慨悲壮，笔力雄厚， 与苏轼并称为“苏辛”。 代表了
晏殊（991-1055），字同叔，北宋临川县文港乡，著名词人。
晏殊自幼聪明，七岁能文，被称为“神童”，十 四岁中进士，历任朝廷要职，五十三岁时，任枢密使 加同中书门下平章事，官居宰相位。六十四岁病逝， 宋仁宗亲临丧事，死后赠司空兼侍中，谥号“元献”。
晏殊知人善任，当世名人范仲淹、孔道辅、欧阳 修等人都出其门下，均受其提拔和重用。晏殊善长诗 词尤工小令，他的词，以情致胜。文词典丽，韵味独 特，又不失清新雅淡，含蓄委婉的艺术风格。 有“导 宋词之先路”的美誉。
一曲新词酒一杯，去年天气旧亭台。
听一曲以新词谱成的歌，饮一杯酒。 去年这时节的天气、旧亭台依然存在。
破阵子·为陈同甫赋壮词以寄之 辛弃疾
醉里挑灯看剑，梦回吹角连营。八百里 分麾下炙，五十弦翻塞外声，沙场秋点兵。
马作的卢飞快，弓如霹雳弦惊。了却君 王天下事，赢得生前身后名。可怜白发生！
醉里挑灯看剑，梦回吹角连营 。
在醉酒之中，我挑亮油灯，端详宝剑，梦醒时，扎在一 起连接的军营都吹响了号角。
小结：
晏殊《浣溪沙》 情感：对岁月的爱惜和对生 命的珍视。
风格：委婉、含蓄。
《破阵子——为陈同甫赋壮词以寄之》 辛弃疾
辛弃疾（1140—1207），字幼安， 号稼轩，历城（今山东济南）人。 他一生以抗金报国自任，但是他所 提出的抗金建议，均未被采纳，并 遭到主和派的打击，曾长期落职闲 居江西上饶、铅山一带。理想不能 实现，遂将满腔忠愤全寄予词。其 词悲壮雄放，词风慷慨悲壮，有不 可一世之概，抒发爱国精神，而又 题材广泛，风格多样，以豪放为主， 技巧繁复，体备刚柔，千汇万状， 热情洋溢，慷慨悲壮，笔力雄厚， 与苏轼并称为“苏辛”。 代表了
晏殊（991-1055），字同叔，北宋临川县文港乡，著名词人。
晏殊自幼聪明，七岁能文，被称为“神童”，十 四岁中进士，历任朝廷要职，五十三岁时，任枢密使 加同中书门下平章事，官居宰相位。六十四岁病逝， 宋仁宗亲临丧事，死后赠司空兼侍中，谥号“元献”。
晏殊知人善任，当世名人范仲淹、孔道辅、欧阳 修等人都出其门下，均受其提拔和重用。晏殊善长诗 词尤工小令，他的词，以情致胜。文词典丽，韵味独 特，又不失清新雅淡，含蓄委婉的艺术风格。 有“导 宋词之先路”的美誉。
一曲新词酒一杯，去年天气旧亭台。
听一曲以新词谱成的歌，饮一杯酒。 去年这时节的天气、旧亭台依然存在。
中考数学一轮复习第22讲矩形、菱形、正方形精选优质课件
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2019权威 · 预测
第一部分 教材同步复习
10
(2)若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长． 【解答】 ∵四边形BFDE是矩形，∴∠BFD＝90°，∴∠BFC＝90°. 在Rt△BCF中，∵CF＝3，BF＝4，∴BC＝5. ∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF. ∵AB∥DC，∴∠DFA＝∠BAF， ∴∠DAF＝∠DFA，∴AD＝DF. ∵AD＝BC，∴DF＝BC＝5.
【注意】 由矩形的性质可得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
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第一部分 教材同步复习
2
知识点二 菱形的性质及判定
(1)边：四条边都①___相__等_____，即 AB＝BC＝CD＝AD；对边平行：
第一部分 教材同步复习
0
第22讲 矩形、菱形、正方形
知识要点 ·归纳
知识点一 矩形的性质及判定
矩形
性
(1)边：对边平行且相等AABD
CD， BC；
质 (2)角：四个角都是①___直__角_____，即∠ABC＝
∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°；
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第一部分 教材同步复习
5
正方形
(1)有一个角是⑧___直__角_____，一组邻边⑨____相__等____的平
2021年中考数学复习第22讲 矩形、菱形与正方形(教学课件)
行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是( A )
A．∠BAC＝90°
B．∠DAE＝90°
C．AB＝AC
D．AB＝AE
考点精讲
对对应应训训练练
4．(2020·绥化)如图，四边形ABCD是菱形，E，F分别是BC，CD
两边上的点，不能保证△ABE和△ADF一定全等的条件是( C )
A．∠BAF＝∠DAE
重点题型
题题组组训训练练
1．(2020·沈阳)如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分 线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点 E，垂足为点O. (1)求证：△AOM≌△CON； (2)若AB＝3，AD＝6，求AE的长．
重点题型
题题组组训训练练
解：(1)∵MN 是 AC 的垂直平分线，∴AO＝CO，∠AOM＝∠ CON＝90°，∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB∥CD，∴∠M＝∠
就是⑨ 对角线的交点 ．
(4)菱形的面积等于对角线乘积的⑩_一__半_．
考考点点精精讲讲
对应训练
(1)定义法．
菱形的 判定
(2)四条边⑪相__等__的四边形是菱形．
(3)对角线⑫ 互相垂直 的平行四边形是菱形．
考点精讲
对对应应训训练练
3．(2020·通辽)如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平
4．如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2 cm， BC＝FG＝8 cm.把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重 叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所 成的角α最小时，tan α等于( D )
A．14
B．12
C．187
D．185
5．(2020·嘉兴)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请 添加一个条件： AD＝DC(答案不唯一) ，使▱ABCD是菱形．
中考数学复习讲义课件 第五单元 四边形 第22讲 矩形、菱形、正方形
▪ 假设正方形边长为1，设CE＝x，则BE＝ 1－x，
EF＝ 2x.
▪ 如图1，连接AC，交EF于O. ▪ ∵AE＝AF，CE＝CF， ▪ ∴AC是EF的垂直平分线． ▪ ∴AC⊥EF，OE＝OF，∠EAO＝∠FAO. ▪ ∵∠EAF＝∠BAC＝45°， ▪ ∴∠EAO＝∠FAO＝∠BAE＝22.5°. ▪ 又AE＝AE，∠ABE＝∠AOE＝90°，
▪ ∴OA＝OB＝AB＝4.
▪ ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD＝12BD，OA＝OC＝12AC．
▪ ∴BD＝AC＝8.
▪ ∴□ABCD是矩形．
▪ (2)求AD的长．
▪ 解：∵□ABCD是矩形，
▪ ∴∠BAD＝90°.
∴AD＝ BD2－AB2＝ 82－42＝4 3.
▪ 1.矩形的判定：首先判定该四边形为平 行四边形，然后找角或对角线的关系．若角 度容易求，则证其一内角为90°，便可判定 是矩形；若对角线容易求，则证其对角线相 等即可判定为矩形．
▪ (2)若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝ 45°，求AB的长． ▪ 解：过点A作AG⊥BC于点G. ▪ 由(1)知四边形AECF是菱形． ▪ 又CF＝2，∠FAC＝30°， ▪ ∴AF∥EC，AE＝CF＝2，∠FAE＝ 2∠FAC＝60°.∴∠AEB＝∠FAE＝60°. ▪ ∵AG⊥BC，∴∠AGB＝∠AGE＝90°.
▪ ∴△ABE≌△AOE(AAS)．
∴AO＝AB＝1，∴AC＝ 2＝1＋OC．
在 Rt△CEF 中，OC＝12EF＝ 22x.
∴1＋ 22x＝ 2，解得 x＝2－ 2.
∴BEEC＝1－（2－2－2 2）＝（
2－1）（2＋ 2
2）＝ 22.
▪ ③如图2，△ADF绕点A顺时针旋转90° 得到△ABH，则AF＝AH，DF＝BH，∠DAF ＝∠BAH.
中考数学总复习 第5章 第22讲 矩形、菱形和正方形课件
第十二页，共29页。
(1)请你添加(tiān jiā)一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加(tiān
jiā)的条件E是H＝FH
，并证明；
添加：EH＝FH，证明：∵点 H 是 BC 的中点，∴BH＝CH，
在 △BEH 和 △CFH 中 ， B∠HB＝HEC＝H，∠CHF， ∴ △ BEH ≌ △ EH＝FH，
第二十九页，共29页。
CFH(SAS) (2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么(shén me)关系时，四边形 BFCE是矩形？请说明理由．
(2∵BH＝CH，EH＝FH，∴四边形BFCE是平行四边形，∵当 BH＝EH时，则BC＝EF，∴平行四边形BFCE为矩形(jǔxíng)
第十三页，共29页。
1．证明一个(yī ɡè)四边形是矩形的方法：(1)先证明 它是平行四边形，再证明它有一个(yī ɡè)角是直角；(2) 先证明它是平行四边形，再证明它的对角线相等；(3) 证明有三个内角为90°.
2．性质： (1)正方形的四条边都________，四个角都是________． (2)正方形的对角线________，且互相________；每条对角线平分一组 对角． (3)正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线(zhíxiàn)以及过每一组 对边中点的直线(zhíxiàn)都是它的对称轴；正方形是中心对称图形，对 角线的交点是它的对称中心．
在△BAE 与△BCG 中，A∠BB＝ABE＝ C，∠BCG＝90°，∴△BAE≌△ AE＝CG，
BCG(SAS)，∴BE＝BG，∵BE＝EG，∴△BEG 是等边三角形， ∴∠BEF＝60°
第二十八页，共29页。
有关正方形背景的问题，往往转化到三角形中进行探究， 结合正方形的性质，如四边相等，四个角都是 90° ，对角线 相等等，利用三角形全等寻找解题思路；另外正方形对角线 的连结，形成了等腰直角三角形 ，其边(1∶1∶ 2)角(45° ) 的特殊性，往往可以进行数形的转化．
(1)请你添加(tiān jiā)一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加(tiān
jiā)的条件E是H＝FH
，并证明；
添加：EH＝FH，证明：∵点 H 是 BC 的中点，∴BH＝CH，
在 △BEH 和 △CFH 中 ， B∠HB＝HEC＝H，∠CHF， ∴ △ BEH ≌ △ EH＝FH，
第二十九页，共29页。
CFH(SAS) (2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么(shén me)关系时，四边形 BFCE是矩形？请说明理由．
(2∵BH＝CH，EH＝FH，∴四边形BFCE是平行四边形，∵当 BH＝EH时，则BC＝EF，∴平行四边形BFCE为矩形(jǔxíng)
第十三页，共29页。
1．证明一个(yī ɡè)四边形是矩形的方法：(1)先证明 它是平行四边形，再证明它有一个(yī ɡè)角是直角；(2) 先证明它是平行四边形，再证明它的对角线相等；(3) 证明有三个内角为90°.
2．性质： (1)正方形的四条边都________，四个角都是________． (2)正方形的对角线________，且互相________；每条对角线平分一组 对角． (3)正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线(zhíxiàn)以及过每一组 对边中点的直线(zhíxiàn)都是它的对称轴；正方形是中心对称图形，对 角线的交点是它的对称中心．
在△BAE 与△BCG 中，A∠BB＝ABE＝ C，∠BCG＝90°，∴△BAE≌△ AE＝CG，
BCG(SAS)，∴BE＝BG，∵BE＝EG，∴△BEG 是等边三角形， ∴∠BEF＝60°
第二十八页，共29页。
有关正方形背景的问题，往往转化到三角形中进行探究， 结合正方形的性质，如四边相等，四个角都是 90° ，对角线 相等等，利用三角形全等寻找解题思路；另外正方形对角线 的连结，形成了等腰直角三角形 ，其边(1∶1∶ 2)角(45° ) 的特殊性，往往可以进行数形的转化．
2024年中考数学复习课件 第22讲 矩形、菱形、正方形
小锦囊 连接 ，利用面积法求解.
图55
提示：如图55，
图8
证明： 四边形 是菱形， ， ， .又 ， ，即 ， ， 四边形 是平行四边形. ， ，即 四边形 是矩形.又 ， 四边形 是正方形.
图8
提分练
图9
10.（2023·东营 改编）如图9，在平面直角坐标系中，菱形 的边长为 ，点 在 轴的正半轴上，且 ，将菱形 绕原点 按逆时针方向旋转 ，得到四边形 （点 与点 重合），则点 的坐标是____________.
图1
证明： 四边形 是平行四边形， ， 为线段 的中点， .在 和 中， 四边形 是平行四边形.又 ， 四边形 是矩形.
图1
（2）若 ， ，求四边形 的面积．
思路点拨 观察图形知, ，易求矩形 的面积，只要找出 和 的面积与矩形 的面积之间的关系，就可求得结果.
2.证明正方形的一般思路：
图7
例3 如图7，点 是正方形 的对角线 上的一点， ， ，垂足分别为点 ， .求证： ．
思路点拨
图29
证明：如图29，连接 四边形 是正方形， ， ， ．在 和 中， ， ， ， ， 四边形 是矩形． ．
证明： 四边形 是正方形， ， ． ， . , 即 .又 ， ，
图9
（2）当点 运动到 的中点时（其他条件保持不变），求证：四边形 是正方形．
证明： 点 为 的中点， ， ， ．又 ， ， ， 四边形 是平行四边形.又 ， ， 四边形 是正方形．
第22讲 矩形、菱形、正方形
要点梳理
1.矩形
矩形_
定义
有一个角是____角的平行四边形叫作矩形
性质
①边：对边______且______.即 ， ； ，
图55
提示：如图55，
图8
证明： 四边形 是菱形， ， ， .又 ， ，即 ， ， 四边形 是平行四边形. ， ，即 四边形 是矩形.又 ， 四边形 是正方形.
图8
提分练
图9
10.（2023·东营 改编）如图9，在平面直角坐标系中，菱形 的边长为 ，点 在 轴的正半轴上，且 ，将菱形 绕原点 按逆时针方向旋转 ，得到四边形 （点 与点 重合），则点 的坐标是____________.
图1
证明： 四边形 是平行四边形， ， 为线段 的中点， .在 和 中， 四边形 是平行四边形.又 ， 四边形 是矩形.
图1
（2）若 ， ，求四边形 的面积．
思路点拨 观察图形知, ，易求矩形 的面积，只要找出 和 的面积与矩形 的面积之间的关系，就可求得结果.
2.证明正方形的一般思路：
图7
例3 如图7，点 是正方形 的对角线 上的一点， ， ，垂足分别为点 ， .求证： ．
思路点拨
图29
证明：如图29，连接 四边形 是正方形， ， ， ．在 和 中， ， ， ， ， 四边形 是矩形． ．
证明： 四边形 是正方形， ， ． ， . , 即 .又 ， ，
图9
（2）当点 运动到 的中点时（其他条件保持不变），求证：四边形 是正方形．
证明： 点 为 的中点， ， ， ．又 ， ， ， 四边形 是平行四边形.又 ， ， 四边形 是正方形．
第22讲 矩形、菱形、正方形
要点梳理
1.矩形
矩形_
定义
有一个角是____角的平行四边形叫作矩形
性质
①边：对边______且______.即 ， ； ，
中考数学 矩形、菱形、正方形数学课件
互相平分且相等
中心对称图形 轴对称图形
互相垂直平分，且每一 中心对称图形 条对角线平分一组对角 轴对称图形
互相垂直平分且相等，每 中心对称图形 一条对角线平分一组对角 轴对称图形
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二、平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定：
1.平行四边形的判定：
D
C
① 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
+对角线线互相垂直 =
③ 有四条边相等的四边形是菱形
四条边相等 +
=
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4.正方形的判定：
① 有一组邻边相等的矩形叫做正方形
+ 邻边相等 =
② 一个角是直角的菱形是正方形
+有一个角是直角 =
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任意四边形
三、四边形的分类及转化
矩形 两组对边 平行四边形
平行 菱 形
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型
例
题
解：∵四边形ABCD是矩形，
A
∴AC=BD,OA=OC,OB=OD,
∴OC=OB,
B
D
O C
∵BP∥OC,BP=OC,
P
∴四边形COBP是平行四边形，
∵OC=OB,
∴四边形COBP是菱形.
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例1：①如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交 于点O，过点B作 BP∥OC，且 BP=OC，连结
CP，试说明：四边形COBP的形状。
②如果题目中的矩形变为菱形(图一)，结论应 变为什么？
③如果题目中的矩形变为正方形(图二)，结论
又应变为什么？
A
D
O
A
D
O
B
C
P
【中考物理复习】《22. 第一部分 第22讲 矩形、菱形、正方形.pptx 》考点梳理PPT课件
(2)角:对角相等;邻角互补. (3)对角线:对角线互相⑧ 垂直且平分
,且每条对角线平分一组对角.
(4)对称性:既是中心对称图形,也是轴对称图形,有2条对称轴.
(5)面积:①等于一边与这边上高的乘积,即S=ah(a为底,h为底边上的高);
②等于对角线乘积的一半,即S=12AC·BD.
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第22讲 矩形、菱形、正方形—考点梳理 考点 3 正方形的性质与判定
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1.定义:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行
四边形叫做正方形.如图.
2.性质
(1)边:四条边都相等;对边平行.
(2)角:四个角都是90°. (3)对角线:对角线互相
垂直 平分且 相等 ;对角线平分一组对角.
第五单元 四边形
第五单元 四边形
第22讲 矩形、菱形、正方形
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第22讲 矩形、菱形、正方形—教材链接
1 数据聚焦 考点梳理
教材链接 人教:八下第十八章P52-P59. 冀教:八下第二十二章P134-P149. 北师:九上第一章P1-P29.
【技法归纳】应用菱形性质计算的一般思路: (1)菱形的对边平行、对角相等、四边相等,故在解题时,可利用等 量代换来转换为其他边的长; (2)菱形的对角线互相垂直,故常借助勾股定理来求线段的长.
3.判定 (1)有一组邻边相等的⑨ 平行 四边形是菱形; (2)四条边⑩ 相等 的四边形是菱形; (3)两条对角线 互相垂直 的平行四边形是菱形.
(1)有一个角是④ 直角 的平行四边形是矩形(定义);
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在证明一个四边形是菱形时，要注意判别的条件 是平行四边形还是任意四边形： (1)若是任意四边形，则需证四条边都相等； (2)若是平行四边形，则需利用对角线互相垂直或
1．(2014·台州)如图，F是正方形ABCD的边CD上
的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，
连结BE，BF，则∠EBF的度数是( A )
A．45° B．50°
C．60° D．不确定
2．(2013·金华)如图，四边形ABCD与四边形AEFG
都是菱形，其中点C在AF上， 点E，G分别在BC，
CD上，若∠BAD＝135°，∠ห้องสมุดไป่ตู้AG＝75°，则
1＋ 3 2
＝
．
3．(2014·温州)如图，在所给方格纸中，每个小正方形边长 都是1，标号为①②③的三个三角形均为格点三角形(顶点在 方格顶点处)，请按要求将图甲、图乙中的指定图形分割成
三个三角形，使它们与标号为①②③的三个三角形分别对应
全等．
(1)图甲中的格点正方形ABCD；
∵四边形 BFDE 为菱形，∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE， ∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD＝BC，∠ABC＝90°， 2 2 3 ∴∠ABE＝30°，∵∠A＝90°，AB＝2，∴AE＝ ＝ ， 3 3 4 3 4 3 8 3 BF＝BE＝2AE＝ ，∴菱形 BFDE 的面积为 × 2＝ 3 3 3
2．(2014·聊城)如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，
点E，F分别在AD，BC上，连结BE，DF，EF，BD.若
四边形BEDF是菱形，且EF＝AE＋FC，则边BC的长
为
3 3
．
3．(2014·巴中)如图，在四边形ABCD中，点H是 BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分 别取点E，F，连结BE，CF.
连结BE，DF.
(1)求证：△DOE≌△BOF；
∵在▱ABCD 中，O 为对角线 BD 的中点，∴BO＝DO，∠EDO＝
∠EDO＝∠FBO， ∠FBO，在△EOD 和△FOB 中DO＝BO， ∴△DOE≌△ ∠EOD＝∠FOB，
BOF(ASA)
(2)当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．
分一组对角．
3．判定：
(1)对角线互相垂直的________是菱形．
(2)四条边都相等的________是菱形．
2．(2014·宁波)菱形的两条对角线长分别是6和8，则 此菱形的边长是( D ) A．10 B．8 C．6 D．5
3．(2014·邵阳)准备一张矩形纸片，按如图操作：
将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，
将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．
(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，
AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠EBD＝∠FDB， ∴EB∥DF，∵ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形 (2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．
(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件 EH＝FH ，并证明； 是
添加：EH＝FH，证明：∵点 H 是 BC 的中点，∴BH＝CH，
BH＝CH， 在 △BEH 和 △CFH 中 ， ∠BHE＝∠CHF， ∴ △ BEH ≌ △ EH＝FH，
CFH(SAS)
(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE 是矩形？请说明理由． (2∵BH＝CH，EH＝FH，∴四边形BFCE是平行四边形，∵ 当BH＝EH时，则BC＝EF，∴平行四边形BFCE为矩形
当∠DOE＝90°时，四边形BFED为菱形，理由：∵△DOE≌△BOF，∴BF
＝DE，又∵BF∥DE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵∠EOD＝90°，即 BD⊥EF，∴四边形BFDE为菱形
1．定义：一组邻边相等的________叫做菱形． 2．性质： (1)菱形的四条边都________． (2)菱形的对角线________，并且每一条对角线平
CE＝AD， AE＝CD，∴△ADE≌△CED(SSS) DE＝ED，
(2)求证：DE∥AC.
∵△ADE≌△CED，∴∠EDC＝∠DEA，又∵△ACE与△ACB关于AC所 在直线对称，∴∠OAC＝∠CAB，∵∠OCA＝∠CAB，∴∠OAC＝ ∠OCA，∴2∠OAC＝2∠DEA，∴∠OAC＝∠DEA，∴DE∥AC
第22讲 矩形、菱形和正方形
1．掌握矩形、菱形和正方形的概念，以及它们 与平行四边形之间的关系． 2．掌握矩形、菱形、正方形的判定和性质． 3．灵活运用特殊平行四边形的判定与性质进行 有关的计算和证明．
特殊平行四边形是中考的重点内容之一，常以选择 题、填空题、计算题、证明题的形式出现． 1．直接考查特殊平行四边形的定义、性质和判定． 2．以特殊平行四边形为背景，常和折叠、平移、旋 转问题相结合． 3．体现数形结合思想、方程思想、对称思想和转化 的思想．
1．定义：有一个角是直角的________是矩形．
2．性质： (1)矩形的四个角都是________． (2)矩形的对角线________． (3)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对
称轴；它的对称中心是________．
3．判定： (1)有三个角是________的四边形是矩形． (2)对角线________的平行四边形是矩形．
(2)图乙中的格点平行四边形ABCD.
矩形的性质与判定
1．(2014·呼和浩特)如图，四边形ABCD是矩形，把 矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为 O，连结DE.
(1)求证：△ADE≌△CED；
解： (1)∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD＝BC， AB＝CD， 又∵AC 是折痕， ∴BC＝CE＝AD， AB＝AE＝CD， 在△ADE 与△CED 中，
1．证明一个四边形是矩形的方法：(1)先证明它是平 行四边形，再证明它有一个角是直角；(2)先证明它是 平行四边形，再证明它的对角线相等；(3)证明有三个
内角为90°.
2．证线段或角相等时常用到矩形的性质．
菱形的性质与判定
1．(2014·舟山)如图，在▱ABCD中，O为对角线BD
的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，