全程复习方略高中数学北师大必修二课时作业 两条直线的交点
2020-2021学年数学2课时分层作业2.1.4 两条直线的交点含解析
2020-2021学年北师大版数学必修2课时分层作业：2.1.4 两条直线的交点含解析课时分层作业（十七）两条直线的交点(建议用时：40分钟)一、选择题1．A＝{（x，y）｜x＋y－4＝0},B＝｛(x，y）｜2x－y－5＝0｝,则集合A∩B等于()A．{1,3｝B．{（1,3)｝C．{(3，1)}D．∅C［由｛x＋y－4＝0，2x－y－5＝0得错误!故A∩B＝{(3,1)}．] 2．直线3x－2y＋m＝0和(m2＋1)x＋3y－3m＝0的位置关系是()A．平行B．重合C．相交D．不确定C[∵k1＝错误!，k2＝－错误!，∴k1≠k2，∴两直线相交．］3．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线（)A．恒过定点（－2,3)B．恒过定点（2，3）C．恒过点（－2，3）和点（2,3)D．都是平行直线A[(a－1)x－y＋2a＋1＝0化为ax－x－y＋2a＋1＝0，因此－x－y＋1＋a(x＋2）＝0.由错误!得错误!故选A。
］4．直线2x＋y＋2＝0与ax＋4y－2＝0互相垂直,则这两条直线的交点坐标为（)A．（1，－4）B．(0，－2)C．（－1,0) D。
错误!C［由两条直线互相垂直得，（－2)·错误!＝－1，a＝－2，解方程组错误!得错误!所以两直线的交点为(－1，0)．]5．若两条直线2x－my＋4＝0和2mx＋3y－6＝0的交点位于第二象限，则m的取值范围是(）A。
错误!B．(0,2）C.错误!D。
错误!A[联立错误!得错误!所以错误!所以－错误!<m<2。
］二、填空题6．已知l1过P1(0，－1）,P2（2，0)，l2:x＋y－1＝0,则l1与l2的交点坐标为________．错误
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课堂达标·效果检测1.直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是( )A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不能确定，与m，n取值有关【解析】选C.两条直线的斜率分别是k1=-2，k2=-.因为k1·k2≠-1且k1≠k2，所以两条直线相交但不垂直.2.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是( )A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0C.2x+y-3=0D.x+2y-3=0【解析】选D.解得交点(1，1)，且可知所求直线斜率为-.所以方程为x+2y-3=0.3.经过两已知直线l1：x+3y+5=0和l2：x-2y+7=0的交点及点A(2，1)的直线l的方程为________.【解析】设直线l的方程为x+3y+5+λ(x-2y+7)=0，将A(2，1)代入得λ=-.所以l的方程为3x-41y+35=0.答案：3x-41y+35=04.(1)求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线l的方程.(2)求经过两直线l1：x-2y+4=0和l2：x+y-2=0的交点P，且与直线l3：3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.【解析】(1)解得所以交点为.因为l与直线3x+y-1=0平行，所以直线l的斜率为-3，所以所求直线方程为y+=-3，即15x+5y+16=0.(2)解方程组可以得到P(0，2).因为l3的斜率为，所以直线l的斜率为-，所以l的方程为y=-x+2，即4x+3y-6=0.关闭Word文档返回原板块。
2021高中数学北师大版必修二课时分层作业：2.1.4 两条直线的交点含解析
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课时分层作业十九两条直线的交点一、选择题(每小题5分，共30分)1.若直线(a+1)x-y+1-2a=0与(a2-1)x+(a-1)y-15=0没有交点，则实数a的值等于( )A.1或-1B.1C.-1D.不存在【解析】选C.由已知，两直线没有交点，则它们平行，显然两直线斜率存在，所以a+1=-，解得a=±1，经检验，当a=1时两直线不平行，舍去，所以a=-1.2.点M(1，2)与直线l：2x-4y+3=0的位置关系是( )A.M∈lB.M∉lC.重合D.不确定【解析】选B.将点M的坐标代入直线方程，即1×2-4×2+3≠0，所以点M不在直线l上.3.在下列直线中，与直线x+3y-4=0相交的直线为( )A.x+3y=0B.y=-x-12C.+=1D.y=-x+4【解析】选C.+=1可化为3x+2y-6=0.4.直线l1：x+y+1=0与直线l2：x-y-1=0的交点个数为( )A.0B.1C.2D.无数个【解析】选B.由已知，两直线不平行，也不重合，所以相交，有一个交点.5.若三条直线2x+3y+8=0，x-y-1=0和x+ky=0相交于一点，则k的值为( )A.-2B.-C.2D.【解析】选B.由得代入x+ky=0得k=-.6.设入射光线沿直线y=2x+1射向直线y=x，则被y=x反射后，反射光线所在的直线方程是( )A.x+2y+3=0B.x-2y+1=0C.3x-2y+1=0D.x-2y-1=0【解析】选D.y=2x+1与y=x交点为(-1，-1)，又取入射光线上一点(0，1)，该点关于y=x的对称点为(1，0)，反射光线过点(-1，-1)和(1，0)，直线方程为y=(x-1)，即x-2y-1=0.二、填空题(每小题5分，共10分)7.(2018·南川高二检测)直线x+y-2=0与x-y=0的交点坐标为_________.【解析】联立x+y-2=0与x-y=0，解得x=1，y=1，所以交点坐标为(1，1).答案：(1，1)8.直线ax+2y+8=0，4x+3y=10和2x-y=10相交于一点，则a的值为.【解析】首先联立得交点坐标为(4，-2)，代入方程ax+2y+8=0得a=-1.答案：-1三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2018·北京高二检测)已知两条直线l1：3x+4y-2=0与l2：2x+y+2=0的交点P，求：(1)过点P且过原点的直线方程.(2)过点P且垂直于直线l3：x+2y-1=0的直线l的方程.【解析】(1)由解得所以P(-2，2)，过点P且过原点的直线斜率为-1，方程为y=-x，即x+y=0.(2)直线l3：x+2y-1=0的斜率为-，所以垂直于直线l3：x+2y-1=0的直线l的斜率k=2，所以直线l的方程为y-2=2(x+2)，即2x-y+6=0.10.求经过直线l1：3x+2y-1=0和l2：5x+2y+1=0的交点，且垂直于直线l3：3x-5y+6=0的直线l的方程.【解析】解方程组得l1，l2的交点坐标为(-1，2)，再由l3的斜率为求出l的斜率为-，于是由直线的点斜式方程求出l：y-2=-(x+1)，即5x+3y-1=0.【一题多解1】由于l⊥l3，故l是直线系5x+3y+C=0中的一条，而l过l1，l2的交点(-1，2)，故5×(-1)+3×2+C=0，由此求出C=-1，故l的方程为5x+3y-1=0.【一题多解2】由于l过l1，l2的交点，故l是直线系3x+2y-1+λ(5x+2y+1)=0中的一条，将其整理，得(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0.其斜率-=-，解得λ=，代入直线系方程即得l的方程为5x+3y-1=0.一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2018·南昌高二检测)若{(x，y)|ax+2y-1=0}∩{(x，y)|x+(a-1)y+1=0}=⌀，则a等于 ( )A. B.2 C.-1 D.2或-1【解题指南】两集合交集为空集，转化为两直线没有交点，转化为两直线平行.【解析】选B.由已知，两直线ax+2y-1=0和x+(a-1)y+1=0平行，所以-=-，所以a=-1或2.若a=-1，直线重合，不符合题意.所以a=2.2.两条直线l1：2x+y-1=0和l2：x-2y+4=0的交点为 ( )A.，B.-，C.，-D.-，-【解析】选B.解方程组得所以两直线的交点为-，.【补偿训练】已知直线l1：2x+y-10=0，l2⊥l1，且l2过(-10，0)，则l1与l2的交点坐标为( )A.(6，2)B.(2，-6)C.(-6，2)D.(2，6)【解析】选D.因为=-2，l 2⊥l1，所以=.又l2过(-10，0)，所以l2：x-2y+10=0.由得3.(2018·佛山高二检测)直线2x-3y+2=0关于x轴对称的直线方程为( )A.2x+3y+2=0B.2x+3y-2=0C.2x-3y-2=0D.2x-3y+2=0【解析】选A.直线2x-3y+2=0与x轴即y=0交点为(-1，0)，直线2x-3y+2=0斜率为，所以所求直线斜率为-，又过点(-1，0)，所以所求直线方程为y=-(x+1)，即2x+3y+2=0.4.若直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是( )A.-6<k<-2B.-5<k<-3C.k<-6D.k>-2【解析】选A.解方程组得由直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限，得k+6>0且k+2<0，解得-6<k<-2.【补偿训练】若直线l与两直线y=1和x-y-7=0分别交于M、N两点，且MN的中点是P(1，-1)，则直线l的斜率等于 ( )A.-B.C.-D.【解析】选A.设l与y=1交于点M(m，1)，与x-y-7=0交于点N(n+7，n).由中点坐标公式得即M(-2，1)，又P(1，-1)所以k PM=k l=-.5.若直线l：y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )A.，B.，C.，D.，【解题指南】可先分析直线l：y=kx-过哪个定点，再利用直线l：y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限这一条件求出直线l 的斜率的取值范围.【解析】选B.因为直线l：y=kx-过定点(0，-)，直线2x+3y-6=0与坐标轴的交点为A(3，0)，B(0，2)，若l与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则k>=，因此，直线的倾斜角的取值范围为<α<.【补偿训练】(2014·锦州模拟)当0<k<时，直线l1：kx-y=k-1与直线l2：ky-x=2k的交点在第象限.【解析】l1与l2的直线方程联立得解方程得又因为0<k<，所以x=<0，y=>0，故l1与l2的交点在第二象限.答案：二二、填空题(每小题5分，共20分)6.(2018·上海高二检测)若关于x，y的方程组无解，则a=_________.【解析】两个方程相减得(a-1)x=-1，由于方程组无解，所以a-1=0，即a=1.答案：17.直线kx-y+1=3k，当k变化时，所有直线都通过定点. 【解析】由题意可知k(x-3)-y+1=0由得故所有直线都通过定点(3，1).答案：(3，1)【补偿训练】不论m取什么实数，直线mx+y-m=0都过定点. 【解析】由题意可知m(x-1)+y=0.由可知故不论m取什么实数，直线mx+y-m=0都过定点(1，0).答案：(1，0)8.若直线y=kx+3与直线y=x-5的交点在直线y=x上，则k的值为_________.【解题指南】首先解方程，再用k表示出两条直线的交点坐标，然后根据此点在直线y=x上列方程组求出k的值.【解析】由得x=y=.将点代入y=kx+3，得=+3，解得k=.答案：9.(2018·常熟高二检测)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程为__________________ .【解析】由得交点A(1，1).方法一：x-2y+1=0与x轴交点B(-1，0)，则B关于x=1的对称点B′的坐标为(3，0)，由两点A，B′得：=，即x+2y-3=0.方法二：由x-2y+1=0的斜率，得对称直线的斜率为-.由点斜式得y-1=-(x-1)，即x+2y-3=0.答案：x+2y-3=0三、解答题(每小题10分，共30分)10.直线l被两条直线l1：4x+y+3=0和l2：3x-5y-5=0截得的线段的中点为P(-1，2)，求直线l的方程.【解析】设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(-2-x0，4-y0)，并且满足即解得因此直线l的方程为=，即3x+y+1=0.【一题多解】设直线l的方程为y-2=k(x+1)，即kx-y+k+2=0.由得x=.由得x=.则+=-2，解得k=-3.因此直线l的方程为y-2=-3(x+1)，即3x+y+1=0.11.(2018·重庆高二检测)已知两直线l1：x+y-2=0和l2：2x-y+5=0的交点为P.(1)求经过点P和点Q(3，2)的直线的方程.(2)求经过点P且与l2垂直的直线的方程.【解析】(1)由得P(-1，3)，k PQ==-，y-2=-(x-3)，x+4y-11=0，(2)由垂直条件知斜率k=-，y-3=-(x+1)，直线方程为x+2y-5=0.12.已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(-2，-3)，E(3，1)，F(-1，2).先画出这个三角形，再求出三个顶点的坐标.【解析】如图，过D，E，F分别作EF，FD，DE的平行线，作出这些平行线的交点，就是△ABC的三个顶点A，B，C.由已知得，直线DE的斜率k DE==，所以k AB=.因为直线AB过点F，所以直线AB的方程为y-2=(x+1)，即4x-5y+14=0.①同理由于直线AC经过点E(3，1)，且平行于DF，可得直线AC的方程5x-y-14=0.②联立①②，解得点A的坐标是(4，6).同样，可以求得点B，C的坐标分别是(-6，-2)，(2，-4).因此，△ABC的三个顶点是A(4，6)，B(-6，-2)，C(2，-4).【拓展训练】求经过两条直线l1：2x+y-8=0和l2：x-2y+1=0的交点且与两坐标轴围成的三角形面积为的直线l的方程.【解题指南】可先求出直线l1和l2的交点坐标，然后设出直线l的截距式方程或点斜式方程求解；也可以不求交点，设出过直线l1和l2的直线系方程求解.【解析】由得交点M(3，2)，由题意可知直线在x轴、y轴上的截距存在且全不为零，故可设直线l的方程为+=1(ab≠0).由题意，得所以(无解，舍去)或解得或所以直线l的方程为+=1或+=1，即x-y-1=0或4x-9y+6=0.【一题多解1】由得交点M(3，2)，由题意得直线l的斜率k存在且k≠0，设直线l的方程为y-2=k(x-3).令x=0，得y=2-3k；令y=0，得x=3-.由S=|2-3k|·|3-|=，解得k=1或k=.当k=1时，直线l的方程为y-2=x-3，即x-y-1=0；当k=时，直线l的方程为y-2=(x-3)，即4x-9y+6=0.故直线l的方程为x-y-1=0或4x-9y+6=0.【一题多解2】已知直线x-2y+1=0与坐标轴围成的三角形的面积S=×1×≠，所以直线l的方程不可能是x-2y+1=0.故可设直线l的方程为(2x+y-8)+λ(x-2y+1)=0，即(2+λ)x+(1-2λ)y+(λ-8)=0.由题意得(2+λ)·(1-2λ)·(λ-8)≠0，令x=0，得y=-；令y=0，得x=-.所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积S=·=，所以(λ-8)2=|(1-2λ)(2+λ)|，解得λ=3或λ=-22.当λ=3时，直线l的方程为x-y-1=0；当λ=-22时，直线l的方程为4x-9y+6=0.故直线l的方程是x-y-1=0或4x-9y+6=0.关闭Word文档返回原板块。
数学北师大版高中必修2§1 直线与直线的方程(两条直线的交点)
第二章 解析几何初步§1 直线与直线的方程（两条直线的交点）一、选择题1．直线)(0)11()3()12(R k k y k x k ∈==--+--，所经过的定点是（ ）A ．（5，2）B ．（2，3）C ．（－21，3） D ．(5，9) 2、若直线12++=k kx y 与直线221+-=x y 的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ）A 、26-- kB 、061 k - C 、061 k - D 、21 k 3．三条直线0155,02,0321=--=-+=-ky x l y x l y x l ：：：构成一个三角形，则k 的范围是（ ）A ．R k ∈B ．R k ∈且0,1≠±≠k kC ．R k ∈且10,5-≠±≠k kD ．R k ∈且1,15≠±≠k k二、填空题4．三条直线013,012=-+=+-y x y x 和032=-+y ax 共有两个不同的交点，则a ＝________．5．过010531=--y x l ：和012=++y x l ：的交点，且平行于0523=-+y x l ：的直线方程为_________．三、解答题6、求经过直线0623=++y x 和0752=-+y x 的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。
7．某商品的市场需求量1y （万件）、市场供应量2y （万件）与市场价格x （元/件）分别近似满足下列关系：202,7021-=+-=x y x y ．当21y y =时的市场价格称为市场平衡价格．此时的需求量称为平衡需求量．（1）求平衡价格和平衡需求量；（2）若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？8、已知直线1245+=+a y x 与直线a y x =+32的交点位于第四象限，求a 的取值范围。
高中数学必修二北师大版学案2.1 两条直线的交点(学生版)
课题：两条直线的交点☆学生版☆
编号：
教学目标、理解两直线的交点与方程的解之间的关系，会求两条相交直线的交点坐标
、掌握数形结合的方法
教学重点：判断两直线是否相交，求交点坐标
教学难点：两直线相交与二元一次方程的关系
学法指导：根据“自主学习”中的问题，阅读教材内容，进行知识梳理，熟记基础知识。
将预习中不能解决的问题标出来，并填写到后面的“我的疑惑”处。
一、自主学习
问题：若，怎样判断它们的位置关系？
问题：若.且的交点为，则的坐标应满足什么关系？
二、两直线的位置关系与方程组的解
设两条直线的方程是
（）如果两条直线相交，则交点的坐标一定是两个方程的
如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点一定是。
（）方程组
①有唯一解；
②有无穷多组解；
③没有解。
二、我的疑惑（请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，在课堂上与老师和同学们探究解决。
）
三、合作探究
★探究一：求下列两条直线的交点：
跟踪训练：求下列两条直线的交点：
★探究二：设三条直线
若这三条直线交与一点，求的值.
跟踪训练：求经过直线的交点，且过点的直线方程。
四、课堂检测
课本练习
五、课堂小结
课题：两条直线的交点☆课时作业☆。
2017-2018学年北师大版必修二 两条直线的交点 课时作业(含答案)
所以直线l的方程为y＋＝－3，
15x＋5y＋16＝0.
(2)法一：解方程组得P(0,2)．
因为l3的斜率为，且l⊥l3，所以直线l的斜率为－，
由斜截式可知l的方程为y＝－x＋2，
即4x＋y－6＝0.
法二：设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即m＋2n＋5＝0，结合选项可知A项正确．
答案：A
4．若直线ax＋y－4＝0与直线x－y－2＝0的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是()
A．(－1,2)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，2)
D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析：因为直线ax＋y－4＝0与直线x－y－2＝0相交，所以a≠－1.由，解得，即两直线的交点坐标为.由题意可得，所以，解得－1<a<2.
由题意，得直线l与l2的交点为B(－2－x0,4－y0)，
且满足，
即，解得，
所以A(－2,5)，B(0，－1)．
因此直线l的方程为＝，即3x＋y＋1＝0.
|
11．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是()
A．x＋2y－1＝0
B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0
D．x＋2y－3＝0
解析：设所求直线上任一点(x，y)，则它关于x＝1对称的点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，即x＋2y－3＝0.故选D.
解析：因为直线2x－y－3＝0的斜率为2，所以与直线2x－y－3＝0相交的直线的斜率不为2，排除A，B，C，故选D.
答案：D
3．已知三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0交于一点，则坐标(m，n)可能是()
2019-2020学年高中北师大版数学必修2精练：第二章 1.4 两条直线的交点 课后课时精练 Word版含解析
时间：25分钟1．直线l 过直线3x －y ＝2和x ＋y ＝6的交点，且过点(－3，－1)，则直线l 的方程为( )A ．2x －y ＋5＝0B ．x ＋y ＋4＝0C ．x －y ＋2＝0D ．3x －y －2＝0答案 C解析 由⎩⎨⎧3x －y ＝2，x ＋y ＝6，得直线3x －y ＝2和x ＋y ＝6的交点为(2,4)，∵直线l过点(2,4)和(－3，－1)两点，∴直线l 的方程为y －4－1－4＝x －2－3－2，即x －y ＋2＝0. 2．已知点P (－1,0)，Q (1,0)，直线y ＝－2x ＋b 与线段PQ 相交，则b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 D ．[0,2]答案 A解析 直线PQ 的方程为y ＝0，由⎩⎨⎧y ＝－2x ＋b ，y ＝0，得交点⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，由－1≤b 2≤1，得－2≤b ≤2.3．若A ＝{(x ，y )|x ＋y －4＝0}，B ＝{(x ，y )|2x －y －5＝0}，则集合A ∩B ＝( ) A ．{1,3} B ．{(1,3)} C ．{(3,1)} D ．∅ 答案 C解析 由⎩⎨⎧ x ＋y －4＝0，2x －y －5＝0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，故A ∩B ＝{(3,1)}．4．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13 C ．－32 D.23 答案 B解析 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，由中点坐标公式知⎩⎨⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13. 5．斜率为1的直线与两直线2x ＋y －1＝0和x ＋2y －2＝0分别交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标满足方程( )A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y －3＝0答案 B解析 特殊值代入，设斜率为1的直线为y ＝x ， 则与2x ＋y －1＝0交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，与x ＋2y －2＝0交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，得中点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，代入各个选项，只有B 项符合．6．若直线ax ＋y －4＝0与直线x －y －2＝0的交点位于第一象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 答案 A解析 因为直线ax ＋y －4＝0与直线x －y －2＝0相交，所以a ≠－1.由⎩⎨⎧ax ＋y －4＝0，x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6a ＋1，y ＝4－2aa ＋1，即两直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6a ＋1，4－2a a ＋1.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧6a ＋1>0，4－2aa ＋1>0，所以⎩⎨⎧a ＋1>0，4－2a >0，解得－1<a <2.7．若p 、q 满足p －2q ＝1，直线px ＋3y ＋q ＝0必过一个定点，则该定点坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，16解析 ∵p －2q ＝1，p ＝1＋2q ， ∴(1＋2q )x ＋3y ＋q ＝0， ∴q (2x ＋1)＋(x ＋3y )＝0， ∴⎩⎨⎧2x ＋1＝0，x ＋3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝16.8．若三条直线x －2y ＋1＝0，x ＋3y －1＝0，ax ＋2y －3＝0共有两个不同的交点，则a ＝________.答案 23或－1解析 因为直线x －2y ＋1＝0与x ＋3y －1＝0相交于一点，要使三条直线共有两个不同交点，只需ax ＋2y －3＝0与以上两条直线中的一条平行即可，当ax ＋2y －3＝0与x －2y ＋1＝0平行时，有－a 2＝12，解得a ＝－1；当ax ＋2y －3＝0与x ＋3y －1＝0平行时，有－a 2＝－13，解得a ＝23. 9．直线l 被直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，求直线l 的方程．解 设直线l 与l 1的交点为A (x 0，y 0)，由题意，得直线l 与l 2的交点为B (－2－x 0,4－y 0)，且满足⎩⎨⎧4x 0＋y 0＋3＝0，3(－2－x 0)－5(4－y 0)－5＝0，即⎩⎨⎧ 4x 0＋y 0＋3＝0，3x 0－5y 0＋31＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝－2，y 0＝5， 所以A (－2,5)，B (0，－1)． 因此直线l 的方程为y －(－1)5－(－1)＝x －0－2－0，即3x ＋y ＋1＝0.10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，M 为边AB 的中点，BH ⊥AC 于点H ，直线CM 的方程为2x －y －5＝0，直线BH 的方程为x －2y －5＝0.(1)求顶点C 的坐标； (2)求BC 的方程．解 (1)因为直线BH 的方程为x －2y －5＝0， 所以直线BH 的斜率为12， 所以直线AC 的斜率为－2.又直线AC 过点A (5,1)，故直线AC 的方程为y －1＝－2(x －5)，即2x ＋y －11＝0.解方程组⎩⎨⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4,3)．(2)设B (a ，b )，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋52，b ＋12在直线2x －y －5＝0上，所以a ＋5－b ＋12－5＝0，即2a －b －1＝0. 又点B 在直线x －2y －5＝0上，所以a －2b －5＝0. 由⎩⎨⎧ 2a －b －1＝0，a －2b －5＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－3，即B (－1，－3)． 由(1)知C (4,3)，所以y ＋33＋3＝x ＋14＋1，即6x －5y －9＝0， 于是直线BC 的方程为6x －5y －9＝0.。
北师大版数学高一-高一上学期数学必修二学案 第2章 两条直线的交点
高一年级数学导学案
§1.4 两条直线的交点
主备课人：赵媛审定人：王轶玲
一、学习目标
理解从坐标的角度如何刻画两条直线的交点
会用解方程的方法求两条直线的交点坐标
会利用过两条直线的直线系方程来解题
二、学习重点难点
学习重点：判断两条直线是否相交及求交点坐标
学习难点：两直线相交与二元一次方程的关系
三、预习导学
学习课本70页到72页思考问题
1、如何从标角度来刻画两条直线的交点？
2、怎样判断两条直线的位置关系与相应直线方程组成的二元一次方程组的解的联系？
3、如果一条直线的方程中含有一个参数，那么这条直线可能恒过一个定点，怎样求出定点的坐标？
四、达标训练。
【全程复习方略】高中数学 第2章 1.4 两条直线的交点优质课件 北师大版必修2
x yLeabharlann 1 , 2 k 3 k (k 2 k
2).
- 1 3+ k , ) 所以， l1 与 l2 的交点是 ( 2+ k 2+ k
又因为 l1 , l2 , l3 交于一点，即交点坐标满足直线 l3 的方程，
3.直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标
是（ A ）
A.（-2,1）
B.（2,1）
C.（1,-2） D.（1,2）
4.经过两直线2x-3y-3=0 和x+y+2=0 的交点且与直
所以这两条直线的交点坐标为（3，－1）.
1 － 又因为直线x+3y－5=0的斜率是 3 .
所以所求直线的斜率是3. 所求直线方程为y+1=3（x－3）即3x－y－10=0.
拓展探究：过定点的直线系方程
思考1：当λ变化时，方程3x+4y－2+λ（2x+y+2）=0
表示什么图形？图形有何特点？
文字叙述： 取λ=0,1,…，得直线3x+4y-2=0，5x+5y=0，…方程 表示的图形为直线.作出图形可知，所有直线都过一 个定点，该点为M(-2,2)，为l1：3x+4y-2=0与 l2：2x+y+2=0的交点，即此方程为过定点M(-2,2)的直 线系方程.
的解 A2x+B2y+C2=0
一组
无数组
无解
两条直线l1, l2的公共点
一个
无数个
零个
直线l1, l2间的位置关系
高中数学北师大必修2课时跟踪检测(十八) 两条直线的交点 Word版含解析
课时跟踪检测（十八）两条直线的交点层级一学业水平达标．下列各直线中，与直线－－＝相交的是( )．－＋＝(≠) ．＝．－＋＝．＋－＝解析：选直线－－＝的斜率为，选项中的直线的斜率为－，故选项正确．．若(－，－)为直线＋＋＝与－＝的交点，则，的值分别为( )．，，．－，－．－，解析：选∵(－，－)为两条直线的交点，．若两直线：＋＋＝与：＋＋＝的交点在轴上，则的值为( )．．－．±．以上都不对解析：选分别令＝，求得两直线与轴的交点分别为：－和－，由题意得－＝－，解得＝±.．直线＋－＝与直线－＋＝关于直线＋＝对称，则与的值分别为( )．－，－．，－．－．，－解析：选在直线＋－＝上取一点()，关于＋＝的对称点(－)在直线－＋＝上，所以＝，同理在直线－＋＝上取一点()，它关于＋＝的对称点(－)在直线＋－＝上，所以＝－.．过直线－＋＝与－＋＝的交点，且在轴上截距为的直线的方程是( )．＋－＝．－－＝．＋＋＝．－＋＝解析：选解方程组(\\(－＋＝，－＋＝，))得(\\(＝，＝，))又直线在轴上截距为，即直线过点()，直线的斜率为＝－，故所求的直线方程为－＝－，即＋－＝.．直线＋＋＝＋＝和直线－＝相交于一点，则的值为．解析：由(\\(＋＝，－＝，))得(\\(＝，＝－.))∴直线＋＋＝过点(，－)，∴＋(－)＋＝，∴＝－.答案：－．已知点(，－)，点在直线－＋＝上，若直线垂直于直线＋－＝，则点的坐标是．解析：直线的方程是＋＝，由(\\(＋＝，－＋＝，))得(\\(＝，＝.))所以点的坐标是()．答案：()．已知：－－＝，：－＋＝，：＋－＝，若，，只有两个交点，则＝.解析：∵与相交，故只需∥，或∥即可，得＝－，或＝－.答案：－或－．设直线经过－＋＝和－－＝的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线的方程．解：设所求的直线方程为(－＋)＋λ(－－)＝，整理得(＋λ)－(λ＋)－λ＋＝，由题意，得＝±，解得λ＝－，或λ＝－.∴所求的直线方程为－－＝，或＋－＝.．已知两直线：＋＋＝和：＋－＝.试确定，的值，使()与相交于点(，－)；()∥.解：()∵直线与相交于点(，－)，∴＝，＝.()由·－×＝，得＝±，由×(－)－·≠，≠－，即＝，≠－时，或＝－，≠时，∥.层级二应试能力达标．已知直线的方程为＋＋＝，直线的方程为－＋＝，若，的交点在轴上，则的值为()．．－．±．与有关解析：选在－＋＝中，令＝，得＝－，即直线－＋＝与轴的交点为(－)．∵点(－)在直线＋＋＝上，∴－＋×＋＝，∴＝.．当＜＜时，直线：－＝－与直线：－＝的交点在( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限解析：选由方程组(\\(－＝－，－＝，))得两直线的交点坐标为.因为＜＜，所以＜，＞，所以交点在第二象限．．已知∈，则直线(＋)＋(－)＋＝必经过定点( )．() ．(－)．(，－) ．(－，－)解析：选直线方程可化为(＋)＋(－＋)＝，解方程组(\\(＋＝，－＋＝，))。
高中数学北师大版必修2 2.1 提高练习 《两条直线的交点》(数学北师大必修二)
《两条直线的交点》提高练习本课时编写：崇文门中学 高巍巍一、选择题1. 已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．4x +2y =5 B ．4x ―2y =5 C ．x +2y =5 D ．x ―2y =52. 斜率为1的直线与两直线2x +y ―1=0和x +2y ―2=0分别交于A 、B 两点，则线段AB 中点坐标满足方程（ ）．A ．x ―y +1=0B ．x +y ―1=0C ．x ―2y +3=0D ．x ―2y ―3=0 3. 直线y =2x ―4与122y x =+关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ） A ．y =x +1 B ．y =―x +8 C ．y =x D ．y =―x +8或y =x 4．点P （x ，y ）在直线x +y ―4=0上，则x 2+y 2的最小值是（ ）A ．8B ．CD ．165. 已知方程0||=-y x a 和0=+-a y x )0(>a 所确定的曲线有两个交点，则a 的取值范围是( )A .0>aB .10<<a 或1>aC .1>aD .10<<a 二、填空题6. 若直线420ax y +-=与直线250x y c -+=垂直相交于点(1,)m ，则a = ，c = ，m = ．7. 求直线3x ―2y +1=0关于直线2x ―2y +1=0对称的直线方程为_________． 三、简答题8.直线l 与直线3100x y -+=，280x y +-=分别交于点M ，N ，若MN 的中点是(01)，，求直线l 的方程.9. 求点A （2，2）关于直线2x ―4y +9=0的对称点坐标.10. 求直线x ―y ―2=0关于直线l ：3x ―y +3=0对称的直线方程．解析和答案一、选择题 1.【答案】B 解：121312AB k -==--，AB 的中点为32,2⎛⎫⎪⎝⎭．故其垂直平分线的方程为32(2)2y x -=-，即4x ―2y =5． 2．【答案】B解：特殊值代入，设斜率为1的直线为y =x ，则它与2x +y ―1=0的交点为11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，与x +2y ―2=0的交点为22,33⎛⎫⎪⎝⎭，代入得B ． 3．【答案】D 解： y =2x ―4与122y x =+的交点为（4，4），则（4，4）必在l 上，又由数形结合知有两条直线l ．4．【答案】A解：由x 2+y 2的实际意义可知，它代表直线x +y ―4=0上的点到原点的距离的平方，它的最小值即为原点到该直线的距离的平方．∴222min()8x y +==． 5．【答案】C 二、填空题6．【答案】10；12-；2-解：因为两直线垂直，所以100a -=，10a =．又因为两直线相交于点()1,m ，所以420250a m m c +-=⎧⎨-+=⎩，解得：2,12m c =-=-．7．【答案】4x ―6y +3=0解:如图，在直线3x ―2y+1=0上取一点1,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过此点与对称直线垂直的直线为3x +3y +1=0．解方程组33102210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，得交点坐标为51,1212M ⎛⎫- ⎪⎝⎭．由中点坐标公式，得点1,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于点51,1212M ⎛⎫-⎪⎝⎭的对称点为11,26Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 解方程组32102210x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，得交点10,2A ⎛⎫⎪⎝⎭．由两点式，得所求直线的方程为4x ―6y +3=0．二、简答题8.【答案】440x y +-=解：设直线l 的方程为1y kx -=或0x =，17310031y kx x x y k =+⎧⇒=⎨-+=-⎩； 172802y kx x x y k =+⎧⇒=⎨+-=+⎩， 由770312k k +=-+，得14k =-，又直线0x =不合题意．∴所求直线方程为440x y +-=．9.【答案】（1，4）解：法一：AA ＇与直线2x ―4y +9=0垂直，则'2AA k =-，所以AA ＇的直线方程为：()222y x -=--,即：260x y +-=AA ＇的中点坐标为2490260x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，则323x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩.则A ＇为()1,4法二：设点A ＇（a ，b ）是点A （2，2）关于直线2x ―4y +9=0的对称点，则有AA ＇与已知直线垂直且AA ＇的中点在已知直线上．∴1212222249022b a a b -⎧⋅=-⎪⎪-⎨++⎪⋅-⋅+=⎪⎩，解得a =1，b =4．∴所求对称点坐标为()1,4． 10．【答案】7x +y +22=0解: 法一：由20330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得交点59,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，取直线x ―y ―2=0上一点A （0，―2），设点A 关于直线l ：3x ―y +3=0的对称点为A ＇（x 0，y 0），则根据'1AA l k k ⋅=-，且线段AA ＇的中点在直线l ：3x ―y +3=0上，有00002310232022y x x y +⎧⨯=-⎪-⎪⎨-⎪⨯-+=⎪⎩，解得0031x y =-⎧⎨=-⎩． 故所求直线过点59,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭与（-3，-1）． ∴所求直线方程为95722x x ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭． 即7x +y +22=0．法二：设P （x ，y ）为所求直线上任意一点，P 关于直线l ：3x ―y +3=0的对称点P ＇（x ＇，y ＇）．根据PP ＇⊥l 且线段PP ＇的中点在直线l 上，可得'31'''33022y yx x x x y y -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪⋅-+=⎪⎩，解得8618'10686'10x y x x y y -+-⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩． 又∵P ＇（x ＇，y ＇）在直线x ―y ―2=0上， ∴8618686201010x y x y -+-++--=，即7x +y +22=0．故所求直线方程为7x +y +22=0．。
20202021学年数学北师大版2课时作业214两条直线的交点含解析.docx
课时作业18两条直线的交点酎问:45分钟---- 基础巩固类 -----,—、选择题1.下列各直线中，与直线2]-〉一3 = 0相交的是r D ）A.2ax - ay + 6 = 0（。
尹0）B.y = 2xC.2x-y +5 = 0D.2x + y-3 = 0解析：直线2x-y-3 =。
的斜率为2, D选项中的直线的斜率为-2,故D选项正确'2.若（—1, — 2J 为直ax + 3y + 8 = 0 与x — by = 0 的变点，则。
，力的值分别为（A ）A、2,错误！Bo错误！，2C. — 2,—错误！D. — 2,错误！解析：f — 1, 一2）为两条直线的变点，. 错误！得错误！3.若两直线Zi： x + my + 12 = 0 与h:2x + 3y + m = 0 的变点在y轴上，则所的值为r C ）A、6B、— 24C. +6 D,以上都不对解析:分别令工=0,求得两直线与y轴的变点分别为:-错误!和一错误!，由题意得一错误！= 一错误!，解得m = ±6.4,直^ax + y-4 =。
与直^x-y-2 = 0的变点住于第~象F艮内，则实教。
的取值范围是r A )A、— 1 <Q〈2 B.。
〉— 1C.。
〈2D. a<一1 或a>2解析：由错误!得错误！所以变点为(错误!，错误!).由于文点在第~象卜艮，故错误!解得一1〈。
<2.5、过两直线人：工—3〉+ 4 = 0和: 2x + y + 5 =。
的变点和原点的直线的方程为(D )A、19x-9y = 0 B. 9x+ 19y = 0C. 19x- 3y = 0D. 3x+ 19y = 0解析：解方程组错误!，得错误!，.'.k=—错误!，又过原点，二方程为3x + 19y = Oo6.直线(2m +l)x + (m+l)y- 7m -4 = 0 过定点(C )A、(1,-3JB、(4,3JC、C3, 1)D、(2,3)解析:直线方程整理得(2x + y- 7J m + (x + y-4) = 0,令错误!，解得错误!，则直线过定点C3, 1),故选C。
高中数学 2.1.4 两条直线的交点课时作业 北师大版必修
1．4 两条直线的交点【课时目标】 1．掌握求两条直线交点的方法．2．掌握通过求方程组解的个数，判定两直线位置关系的方法．3．通过本节的学习初步体会用代数方法研究几何问题的解析思想．1．两条直线的交点已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 1：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0．若两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0y ＝y 0，则两直线______，交点坐标为____________________________________________________________________．2．方程组的解的组数与两直线的位置关系方程组 的解 交点两直线 位置关系 方程系数特征无解 两直线____交点 平行A 1B 2＝A 2B 1B 1C 2≠B 2C 1有唯一解 两条直线______交点相交 A 1B 2≠A 2B 1有无数 个解 两条直线有 ____个交点 重合A 1B 2＝A 2B 1B 2C 1＝B 1C 2一、选择题1．直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．重合2．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝03．直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 4．两条直线l 1：2x ＋3y －m ＝0与l 2：x －my ＋12＝0的交点在y 轴上，那么m 的值为( ) A ．－24 B ．6C ．±6D ．以上答案均不对5．已知直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，l 1∥l 2，则m 的值是( ) A ．m ＝3 B ．m ＝0C ．m ＝0或m ＝3D ．m ＝0或m ＝－16．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．[30°，60°)B ．(30°，90°)C ．(60°，90°)D ．[30°，90°]二、填空题 7．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________． 8．已知直线l 过直线l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y －5＝0，则直线l 的方程是______________．9．当a 取不同实数时，直线(2＋a )x ＋(a －1)y ＋3a ＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．三、解答题10．已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(－2，－3)，E(3,1)，F(－1,2)．先画出这个三角形，再求出三个顶点的坐标．能力提升11．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，角A的角平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．1．过定点(x0，y0)的直线系方程y－y0＝k(x－x0)是过定点(x0，y0)的直线系方程，但不含直线x＝x0；A(x－x0)＋B(y－y0)＝0是过定点(x0，y0)的一切直线方程．2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋D＝0(D≠C)．与y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m(m≠b)．3．过两条直线交点的直线系方程：过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但此方程中不含l2；一般形式是m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(m2＋n2≠0)，是过l1与l2交点的所有直线方程．1．4 两条直线的交点答案知识梳理1．相交 (x 0，y 0) 2．方程组 的解交点 两直线 位置关系 方程系数 特征 无解 两直线无交点 平行 A 1B 2＝A 2B 1 B 1C 2≠B 2C 1有唯一解 两条直线 有1个交点 相交 A 1B 2≠A 2B 1 有无数个解两条直线有 无数个交点重合A 1B 2＝A 2B 1 B 2C 1＝B 1C 2作业设计1．A [化成斜截式方程，斜率相等，截距不等．]2．A [首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0．]3．B [首先联立⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝102x －y ＝10，解得交点坐标为(4，－2)，代入方程ax ＋2y ＋8＝0得a ＝－1．]4．C [2x ＋3y －m ＝0在y 轴上的截距为m 3，直线x －my ＋12＝0在y 轴上的截距为12m，由12m ＝m 3得m ＝±6．]5．D [l 1∥l 2，则1·3m ＝(m －2)·m 2， 解得m ＝0或m ＝－1或m ＝3． 又当m ＝3时，l 1与l 2重合， 故m ＝0或m ＝－1．] 6．B [由数形结合知，当k >k AB ，即k >33时，交点在第一象限，此时倾斜角范围为(30°，90°)．] 7．2解析 首先解得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0x －2y ＋4＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2，代入直线y ＝3x ＋b 得b ＝2．8．8x ＋16y ＋21＝0 9．(－1，－2)解析 直线方程可写成a (x ＋y ＋3)＋2x －y ＝0，则该直线系必过直线x ＋y ＋3＝0与直线2x －y ＝0的交点，即(－1，－2)．10．解如图，过D ，E ，F 分别作EF ，FD ，DE 的平行线，作出这些平行线的交点，就是△ABC 的三个顶点A ，B ，C ．由已知得，直线DE 的斜率k DE ＝1＋33＋2＝45，所以k AB ＝45．因为直线AB 过点F ，所以直线AB 的方程为y －2＝45(x ＋1)，即4x －5y ＋14＝0． ①由于直线AC 经过点E (3,1)，且平行于DF ， 同理可得直线AC 的方程5x －y －14＝0． ② 联立①，②，解得点A 的坐标是(4,6)． 同样，可以求得点B ，C 的坐标分别是 (－6，－2)，(2，－4)．因此，△ABC 的三个顶点是A (4,6)，B (－6，－2)，C (2，－4)． 11．解如图所示，由已知，A 应是BC 边上的高线所在直线与角A 的角平分线所在直线的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＝－1，故A (－1,0)．又角A 的角平分线为x 轴， 故k AC ＝－k AB ＝－1．∴AC 方程为y ＝－(x ＋1)，又k BC ＝－2， ∴BC 的方程为y －2＝－2(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1y －2＝－2x －1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－6，故C 点坐标为(5，－6)．。
全程复习方略高中数学北师大必修二课时作业 点到直线的距离公式
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课时提升作业(二十一)点到直线的距离公式一、选择题(每小题4分，共12分)1.(2014·济源高一检测)点P(m-n，-m)到直线+=1的距离为( )A. B.C. D.【解析】选A.因为+=1可化为nx+my-mn=0，所以由点到直线的距离公式，得==.2.(2014·吉安高一检测)已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是( )A.4B.C.D.【解析】选D.因为两直线平行，所以=，所以m=4，所以两平行直线6x+4y-6=0和6x+4y+1=0的距离为d==.3.若动点A，B分别在直线l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0上移动，则AB的中点M 到原点的距离的最小值为( )A.3B.2C.3D.4【解析】选A.由题意知AB中点M的集合为与直线l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0的距离相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M 所在直线的方程为x+y+m=0，则由平行线间的距离公式得=，即|m+7|=|m+5|，解得m=-6，即得x+y-6=0，由点到直线的距离公式可得，点M到原点的距离的最小值为=3.二、填空题(每小题4分，共8分)4.(2014·济宁高一检测)已知点A(0，4)，B(2，5)，C(-2，1)，则BC边上的高等于________.【解析】因为直线BC的方程为x-y+3=0，所以点A到直线BC的距离d==，即BC边上的高等于.答案：【举一反三】题干不变，则三角形ABC的面积是多少？【解析】|BC|==4，又BC边上的高为，所以三角形ABC的面积为×4×=2.5.(2014·南阳高一检测)经过点P(1，2)，且使A(2，3)，B(0，-5)到它的距离相等的直线方程为________________.【解题指南】可先设出过点P的点斜式方程，注意斜率不存在的情况，要分情况讨论，然后再利用已知条件求出斜率，进而写出直线方程.【解析】当直线斜率不存在时，即x=1，显然符合题意，当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k，即直线方程为y-2=k(x-1)，由条件得=，解得k=4，故所求直线方程为x=1或4x-y-2=0.答案：x=1或4x-y-2=0【一题多解】由平面几何知识知所求直线l∥AB或过AB中点.因为k AB=4，若l∥AB，则l的方程为4x-y-2=0.若l过AB中点(1，-1)，则直线方程为x=1，所以所求直线方程为x=1或4x-y-2=0.答案：x=1或4x-y-2=0【拓展延伸】求直线方程的技巧(1)常用的方法是待定系数法，即先根据题意设出所求方程，然后求出方程中有关的参量.(2)利用平面几何知识先判断直线的特征，然后由已知直接求出直线的方程.三、解答题(每小题10分，共20分)6.直线l过点(1，0)且被两条平行直线l1：3x+y-6=0和l2：3x+y+3=0所截得的线段长为，求直线l的方程.【解析】当直线l与x轴垂直时，方程为x=1，由得l与l1的交点为(1，3)，由得l与l2的交点为(1，-6)，此时两交点间的距离d=|-6-3|=9≠.所以直线l与x轴不垂直.设l的方程为y=k(x-1)(k≠-3)，解方程组得l与l1交点的坐标为，同理，由得l与l2的交点坐标为，由题意及两点间距离公式得=，所以k=，所以直线l的方程为y=(x-1)，即x-3y-1=0.【一题多解】由两平行线间的距离公式可得l1与l2间的距离d==，而l被l1，l2截得的线段长恰为，所以l与l1和l2都垂直，由l1的斜率k1=-3知，l的斜率k=，所以l的方程为y=(x-1)，即x-3y-1=0.【变式训练】已知直线l1：7x+8y+9=0与l2：7x+8y-3=0.直线l平行于l1，直线l 与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且d1∶d2=1∶2，求直线l的方程.【解析】因为直线l平行l1，设直线l的方程为7x+8y+C=0，则d1=，d2=.又2d1=d2，所以2|C-9|=|C+3|.解得C=21或C=5.故所求直线l的方程为7x+8y+21=0或7x+8y+5=0.7.已知直线l经过直线l1：2x+y-5=0与l2：x-2y=0的交点.(1)若点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程.(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值.【解析】(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0，即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0，因为点A(5，0)到l的距离为3，所以=3，即2λ2-5λ+2=0，解得λ=2或λ=，所以l方程为x=2或4x-3y-5=0.(2)由解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).所以d max=|PA|==.一、选择题(每小题4分，共8分)1.(2014·佛山高一检测)点P(x，y)在直线x+y-4=0上，则(x-1)2+(y-1)2的最小值是( )A.2B.2C.D.4【解析】选A.(x-1)2+(y-1)2最小值即为(1，1)到直线x+y-4=0的距离的平方，所以(x-1)2+(y-1)2的最小值为=()2=2.2.(2014·湖北七市联考)设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )A.，B.，C.，D.，【解析】选 D.由题意，a+b=-1，ab=c，而两条直线之间的距离为d===，故≤d≤.二、填空题(每小题5分，共10分)3.两平行直线3x+4y+5=0与6x+ay+30=0间的距离为d，则a+d=________. 【解析】由两直线平行知，a=8，d==2，所以a+d=10.答案：104.(2014·榆林高一检测)直线l1：2x+4y+1=0与直线l2：2x+4y+3=0平行，点P 是平面直角坐标系内任一点，P到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，则d1+d2的最小值是________.【解题指南】由题意可知d1+d2的最小值是两平行线间的距离，根据平行线间的距离公式可求出.【解析】l1与l2的距离d==，则d1+d2≥d=，即d1+d2的最小值是.答案：三、解答题(12分)5.(2013·晋江高一检测)直线l经过点P(2，-5)，点A(3，-2)和B(-1，6)到直线l的距离之比为1∶3.求直线l的方程.【解析】若直线l的斜率是k，则其方程为y+5=k(x-2)，即kx-y-2k-5=0.由条件得=，解得k=-.此时直线l的方程为x+3y+13=0.若直线l斜率不存在，则其方程为x=2.点A到直线l的距离为1，点B到直线l的距离为3，符合题意.所以，直线l的方程为x=2或x+3y+13=0.6.等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x+3y-6=0上，顶点A 的坐标是(1，-2)，求AB，AC所在直线方程.【解析】已知直线BC的斜率为-，因为BC⊥AC，所以直线AC的斜率为，从而直线AC方程为y+2=(x-1)，即3x-2y-7=0，又点A(1，-2)到直线BC：2x+3y-6=0的距离为|AC|=，且|AC|=|BC|=.由于点B在直线2x+3y-6=0上，可设B，且点B到直线AC的距离为=，即=10.所以a-11=10或a-11=-10，解得a=或，所以B或B，所以直线AB的方程为y+2=·(x-1)或y+2=(x-1).即x-5y-11=0或5x+y-3=0，所以AC所在的直线方程为3x-2y-7=0，AB所在的直线方程为x-5y-11=0或5x+y-3=0.关闭Word文档返回原板块。
高中数学第二章第26课时两条直线的交点作业课件北师大版必修2
9．已知直线y＝kx＋3k－2与直线y＝－ 2
1 4
x＋1的交点在x轴
上，则k＝____7_____.
解析：直线y＝－14x＋1交x轴于点(4,0)． ∵两条直线的交点在x轴上，∴直线y＝kx＋3k－2过点(4,0)． ∴0＝4k＋3k－2.∴k＝27.
10．已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于 点(1，m)，则a＝___5___，c＝____-1_2___，)
A．平行
B．垂直
C．相交不垂直 D．重合
解析：m2－m－2＝0的解为m＝2或m＝－1. ∵|m2|>|m1|，∴m2＝2，m1＝－1. ∴l1：x＋2y＋1＝0，l2：8x－8y＋4＝0. ∵18≠－28，且8－16≠0，∴l1与l2相交但不垂直．
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
①0 ②12 ③1 ④2 ⑤3
解析：因为这三条直线将平面划分为六部分，所以三条直线 交于一点或其中两条平行线和第三条相交，验证知k＝0,1,2满足题 意．故①③④正确．
三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤)
12．(12分)求经过直线3x＋2y＋6＝0和直线2x＋5y－7＝0的交 点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
联立①②解得C(3,4)．同理，可得B(－1，－4)．
则BC所在直线方程是2x－y－2＝0.
——能力提升—— 14．(5分)若直线l1：y＝kx－ 3 与l2：2x＋3y－6＝0的交点M 在第一象限，则l1的倾斜角α的取值范围是( B ) A．30°<α<60° B．30°<α<90° C．45°<α<75° D．60°<α<90°
2021-2022数学北师大版必修2作业：第二章 1.4 两条直线的交点
, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．a ∈R 时，直线ax ＋y ＋a ＋2＝0必过定点( )A ．(－1，2)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(1，2)解析：选B.ax ＋y ＋a ＋2＝0可转化为a (x ＋1)＋y ＋2＝0.又因为a ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，y ＋2＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，即直线ax ＋y ＋a ＋2＝0必过定点(－1，－2)．2．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选A.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋4＝0x －y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6，故过点(1，6)与x －2y ＝0垂直的直线为y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0.3．若两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在直线y ＝－x 上，那么k 的值是( )A ．－4B ．3C ．3或－4D ．±4解析：选 C.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －k ＝0，x －ky ＋12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k 2－362k ＋3，y ＝k ＋242k ＋3，因此两条直线的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－362k ＋3，k ＋242k ＋3，由已知可得k ＋242k ＋3＝－k 2－362k ＋3，解得k ＝3或k ＝－4. 4．点P (2，5)关于直线x ＋y ＝0的对称点的坐标是( )A ．(5，2)B ．(2，5)C ．(－5，－2)D ．(－2，5)解析：选C.设对称点P ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －5x －2＝1，x ＋22＋y ＋52＝0，所以x ＝－5，y ＝－2.5．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．x ＋2y －4＝0C ．x －2y －4＝0D ．x ＋2y ＋4＝0解析：选D.所求直线与直线2x －y －2＝0垂直，从而所求直线的斜率k ＝－12＝－12，而2x －y －2＝0与y 轴的交点为(0，－2)，于是所求直线方程为y ＝－12x －2，整理得x ＋2y ＋4＝0. 6．直线x －ay ＋1＝0与直线x ＋y －1＝0的交点在y 轴上，则a 的值是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －ay ＋1＝0，x ＋y －1＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －1a ＋1，y ＝2a ＋1，令x ＝0，解得a ＝1. 答案：17．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________．解析：首先解得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0x －2y ＋4＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2， 代入直线y ＝3x ＋b 得b ＝2.答案：28．已知直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋b ＝0互相垂直，交点为(1，c )，则a ＋b ＋c ＝________．解析：由两直线垂直得－a 4×25＝－1，所以a ＝10，将交点坐标(1，c )代入ax ＋4y －2＝0，得c ＝－2，再代入2x －5y ＋b ＝0，得b ＝－12，所以a ＋b ＋c ＝－4.答案：－49．求经过直线3x ＋2y ＋6＝0和直线2x ＋5y －7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＋6＝0，2x ＋5y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3.所以两已知直线的交点为(－4，3)．当所求直线在两坐标轴上的截距都是0时，直线的横截距、纵截距相等．所以所求直线的方程为y ＝－34x ，即3x ＋4y ＝0.当所求直线不过原点时，设所求直线方程为x ＋y ＝a ，因为点(－4，3)在直线x ＋y ＝a 上，所以－4＋3＝a ，a ＝－1，故所求直线方程为x ＋y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为3x ＋4y ＝0或x ＋y ＋1＝0.10．已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0.(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S .解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.所以点P 的坐标是(－2，2)．又所求直线l 与直线x －2y －1＝0垂直，所以可设直线l 的方程为2x ＋y ＋C ＝0.因为直线l 过点P ，把点P 的坐标代入得2×(－2)＋2＋C ＝0，即C ＝2.故所求直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0.(2)由直线l 的方程知，它在x 轴、y 轴上的截距分别是－1，－2，所以直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×1×2＝1. [B.能力提升]1．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.32B.23C ．－32D ．－23解析：选D.设直线l 与直线y ＝1的交点为A (x 1，1)，直线l 与直线x －y －7＝0的交点为B (x 2，y 2)，因为M (1，－1)为AB 的中点，所以－1＝1＋y 22，即y 2＝－3，代入直线x －y －7＝0得x 2＝4，因为点B ，M 都在直线l 上，所以k l ＝－3＋14－1＝－23.故选D. 2．定义运算⎣⎢⎡⎦⎥⎤ac bd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋cy bx ＋dy ，称⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 为将点(x ，y )映到点(x ′，y ′)的一次变换．若⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1p q ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 把直线y ＝kx 上的各点映射到这点本身，而把直线y ＝mx 上的各点映到这点关于原点对称的点，则k ，m ，p ，q 的值依次是( )A ．k ＝1，m ＝－2，p ＝3，q ＝3B ．k ＝1，m ＝3，p ＝3，q ＝－2C ．k ＝－2，m ＝3，p ＝3，q ＝1D ．k ＝－2，m ＝1，p ＝3，q ＝3解析：选B.设(1，k )是直线y ＝kx 上的点，在定义运算的作用下的点的坐标为(1，k )，则有⎩⎪⎨⎪⎧2－k ＝1，p ＋kq ＝k .设(1，m )是直线y ＝mx 上的点，在定义运算的作用下的点的坐标为(－1，－m )．则有⎩⎪⎨⎪⎧2－m ＝－1，p ＋mq ＝－m .两式联立解得m ＝3，k ＝1，q ＝－2，p ＝3，所以选B. 3．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与(－2，0)重合，且点(2 014，2 015)与点(m ，n )重合，则m －n 的值为________．解析：点(0，2)与点(－2，0)沿某一直线对称，可判断此对称轴为y ＝－x ，故点(2 014，2 015)关于y ＝－x 对称的点应为(－2 015，－2 014)．所以m －n ＝－1.答案：－14．平面上有三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为________．(将你认为所有正确的序号都填上)①0 ②12③1 ④2 ⑤3 解析：因为这三条直线将平面划分为六部分，所以三条直线交于一点或其中两条平行线和第三条相交，验证知k ＝0，1，2满足题意．故①③④正确．答案：①③④5．求证：不论λ为何实数，直线(λ＋2)x －(λ－1)y ＝－6λ－3都恒过一定点．证明：法一：取λ＝0时，得到直线l 1：2x ＋y ＋3＝0，取λ＝1时，得到直线l 2：x ＝－3.故l 1与l 2的交点为P (－3，3)．将点P (－3，3)代入(λ＋2)x －(λ－1)y 中，得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3. 故点P (－3，3)在直线(λ＋2)x －(λ－1)y ＝－6λ－3上．所以直线(λ＋2)x －(λ－1)y ＝－6λ－3恒过一定点(－3，3)．法二：由(λ＋2)x －(λ－1)y ＝－6λ－3整理，得(2x ＋y ＋3)＋λ(x －y ＋6)＝0，则直线(λ＋2)x －(λ－1)y ＝－6λ－3通过直线2x ＋y ＋3＝0与x －y ＋6＝0的交点．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3＝0，x －y ＋6＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝3.所以直线(λ＋2)x －(λ－1)y ＝－6λ－3恒过一定点(－3，3)．法三：因为(λ＋2)x －(λ－1)y ＝－6λ－3，所以λ(x －y ＋6)＝－2x －y －3.因为λ为任意实数，所以关于λ的一元一次方程λ(x －y ＋6)＝－2x －y －3的解集为R .所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3＝0，x －y ＋6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝3.所以直线(λ＋2)x －(λ－1)y ＝－6λ－3恒过一定点(－3，3)．6．(选做题)光线通过点A (－2，4)，经直线l ：2x －y －7＝0反射，若反射光线通过点B (5，8)，求入射光线和反射光线所在直线的方程．解：已知直线l ：2x －y －7＝0，设光线AC 经l 上点C 反射后为BC ，点A 关于l 的对称点为A ′(a ，b )，所以AA ′⊥l ，且AA ′中点在直线l 上．所以⎩⎪⎨⎪⎧2·a －22－b ＋42－7＝0，b －4a ＋2·2＝－1， 解得a ＝10，b ＝－2，即A ′(10，－2)．所以A ′B 的方程为y ＋2＝8＋25－10(x －10)，即反射光线BC 的方程为2x ＋y －18＝0. 所以A ′B 与l 的交点为C ⎝⎛⎭⎫254，112.所以入射光线AC 的方程为y －4＝211(x ＋2)， 即2x －11y ＋48＝0.。
最新北师大版必修2高中数学《两条直线的交点》同步练习(精品试卷).doc
高中数学2.1.4两条直线的交点课后训练北师大版必修21．两条直线x＋my＋12＝0和2x＋3y＋m＝0的交点在y轴上，则m的值是( )．A．6B．－24C．±6D．以上都不对2．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，且垂足为(1，p)，则m－n＋p的值为( )．A．24B．20C．0D．－83．已知m∈R，则直线(2m＋1)x＋(2－m)y＋5m＝0必经过定点( )．A．(2,1)B．(－2,1)C．(2，－1)D．(－1，－2)4．若点P(3,4)和点Q(a，b)关于直线x－y－1＝0对称，则( )．A．a＝1，b＝－2B．a＝2，b＝－1C．a＝4，b＝3D．a＝5，b＝25．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是( )．A．(－2，－3)B．(2,1)C．(2,3)D．(－2，－1)6．经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为________．7．与直线y＝－2x＋3平行且与直线y＝3x＋4交x轴于同一点的直线方程为______________．8．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k的值为__________．9．已知两点A(－2,1)，B(4,3)，求经过两直线2x－3y＋1＝0和3x＋2y－1＝0的交点和线段AB中点的直线l的方程．10．已知点A(1，－1)，点B(3,5)，点P是直线y＝x上的动点，当|PA|＋|PB|的值最小时，求点P的坐标．参考答案1答案：C 解析：两条直线与y 轴的交点坐标分别为120,m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0,3m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.依题意得123m m -=-，解得m ＝±6. 2答案：B 解析：由两条直线互相垂直得2=145m -⨯-，即m ＝10.由于点(1，p)在两条直线上，从而有420,250.m p p n +-=⎧⎨-+=⎩可解得p ＝－2，n ＝－12，∴m －n ＋p ＝10＋12－2＝20.3答案：B 解析：直线方程可化为(x ＋2y)＋m(2x －y ＋5)＝0，解方程组20,250,x y x y +=⎧⎨-+=⎩得2,1,x y =-⎧⎨=⎩因此直线必经过定点(－2,1)． 4答案：D 解析：由41,33410,22b a a b -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪--=⎪⎩解得5,2.a b =⎧⎨=⎩ 5答案：C 解析：直线MN 的方程是y ＋1＝2x ，由12,10,y x x y +=⎧⎨-+=⎩得2,3.x y =⎧⎨=⎩所以N 点的坐标是(2,3)．6答案：5x ＋3y －1＝0 解析：由题意，可设所求直线方程为(3x ＋2y －1)＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0，即(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(λ－1)＝0，它与直线l 3垂直，则有3(3＋5λ)－5(2＋2λ)＝0，解得1=5λ.所以直线方程为1244=055x y +-，即5x ＋3y －1＝0. 7答案：6x ＋3y ＋8＝0 解析：由题意可得，所求直线的斜率k＝－2，令方程y ＝3x ＋4中的y ＝0，得x ＝43-，即直线过点4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，所求直线方程为423y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即6x ＋3y ＋8＝0. 8答案：12- 解析：三条直线交于一点，即其中一条直线通过另两条直线的交点，或者说其中两条直线的交点在另一条直线上．先求出2x ＋3y ＋8＝0与x －y －1＝0的交点(－1，－2)，代入方程x ＋ky ＝0，解得12k =-.9答案：解：由2310,3210,x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得1,135.13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以交点坐标为15,1313⎛⎫ ⎪⎝⎭. 又线段AB 的中点坐标为(1,2)，所以由两点式2151211313y x --=--，得l 的方程为7x －4y ＋1＝0.10答案：解：如图，直线AB 与直线y=x 交于点Q ，则当点P 移动到点Q 位置时，|PA|+|PB|的值最小． 直线AB 的方程为5(1)5=(3)31y x -----，即3x －y －4＝0. 解方程组340,,x y y x --=⎧⎨=⎩得2,2.x y =⎧⎨=⎩于是当|PA|＋|PB|的值最小时，点P 的坐标为(2,2)．。
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课时提升作业(十九)两条直线的交点一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2013·太原高一检测)过原点和直线l1：x-3y+4=0与l2：2x+y+5=0的交点的直线方程为( )A.19x-9y=0B.9x+19y=0C.3x+19y=0D.19x-3y=0【解析】选C.由得因为直线过原点，所以直线的斜率为-，所以直线方程为y=-x，即3x+19y=0.【一题多解】设过直线l1与l2交点的直线系方程为(x-3y+4) +λ(2x+y+5)=0，又该直线过点(0，0)，代入上式得，4+5λ=0，即λ=-，所以所求直线的方程为3x+19y=0.2.直线ax+3y-9=0与直线x-3y+b=0关于直线x+y=0对称，则a与b的值分别为( ) A.-3，-9 B.3，-9 C.-9，3 D.9，-3【解析】选C.在直线ax+3y-9=0上取一点(0，3)，关于x+y=0的对称点(-3，0)在直线x-3y+b=0上，所以b=3，同理在直线x-3y+b=0上取一点(0，1)，它关于x+y=0的对称点(-1，0)在直线ax+3y-9=0上，所以a=-9.3.(2014·襄阳高一检测)两条直线x+y-a=0与x-y-2=0相交于第一象限，则实数a的取值范围是( )A.-2<a<2B.a<-2C.a>2D.a<-2或a>2【解析】选C.解得因为交点在第一象限，所以所以a>2.4.(2014·临沂高一检测)当a为任意实数时，直线(a-1)x-y+2a+1=0经过的定点是( )A.(2，3)B.(-2，3)C. D.(-2，0)【解析】选B.直线方程可化为a(x+2)-x-y+1=0，由得所以定点为(-2，3).5.(2014·榆林高一检测)若点A(2，-3)是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点，则相异两点(a1，b1)和(a2，b2)所确定的直线方程为( )A.2x-3y-1=0B.3x-2y+1=0C.2x-3y+1=0D.3x-2y-1=0【解析】选C.因为A(2，-3)是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点，所以2a1-3b1+1=0，且2a2-3b2+1=0，所以两点(a1，b1)和(a2，b2)都在同一条直线2x-3y+1=0上，故点(a1，b1)和(a2，b2)所确定的直线方程是2x-3y+1=0.6.直线l经过l1：x+y-2=0与l2：x-y-4=0的交点P，且过线段AB的中点Q，其中A(-1，3)，B(5，1)，则直线l的方程是( )A.3x-y-8=0B.3x+y+8=0C.3x+y-8=0D.3x-y+8=0【解析】选C.由得P(3，-1)，又因为Q(2，2)，所以直线l的斜率为-3，所以所求直线l的方程为y+1=-3(x-3)，即3x+y-8=0.二、填空题(每小题4分，共12分)7.(2014·南阳高一检测)已知两条不同直线l1：(m+3)x+4y=5-3m，l2：2x+(5+m)y=8相交，则m的取值是__________.【解析】直线l1的斜率为k1=-；m=-5时，l2的斜率不存在，则l1与l2相交；m≠-5时，l2的斜率为k2=-.要使l1与l2相交，需使k1≠k2，即-≠-，整理得m2+8m+7≠0，解得m≠-1且m≠-7.答案：m≠-1且m≠-78.若三条直线2x+3y+8=0，x-y-1=0和x+ky=0相交于一点，则k的值等于________.【解析】由得所以三条直线的交点为(-1，-2)，所以-1-2k=0，所以k=-.答案：-【变式训练】若三条直线y=2x，x+y=3，mx+ny+5=0相交于同一点，则点(m，n)可能是( )A.(1，-3)B.(3，-1)C.(-3，1)D.(-1，3)【解析】选A.解得因为三条直线相交于同一点，所以点(1，2)在直线mx+ny+5=0上，即m+2n+5=0，则点(m，n)可能是(1，-3).9.入射光线在直线l1：2x-y-3=0上，经过x轴反射的直线为l2，再经过y轴反射的直线为l3，则直线l3的方程为______________.【解析】2x-y-3=0与x轴交点为，所以2x-y-3=0关于x轴的对称直线为2x+y-3=0，而直线经过互为直角的两直线反射后斜率不变，所以l3的方程为2x-y+3=0.答案：2x-y+3=0三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2014·上饶高一检测)已知直线l1：3x-y+12=0，l2：3x+2y-6=0，求l1，l2及x轴围成的三角形的面积.【解题指南】数形结合，求出直线l1与l2的交点P，以及直线l1，l2与x轴的交点A，B的坐标，P点到x轴的距离即为三角形的高，可求三角形的面积.【解析】如图可知，由得即l1与l2交于点P(-2，6)，由得l1交x轴于A(-4，0).同理l2交x轴于B(2，0)，所以|AB|=6.所以S△ABP=×6×6=18.即l1，l2及x轴围成的三角形的面积为18.11.直线l1：ax-2y=2a-4，l2：2x+a2y=2a2+4，当0<a<2时，两直线与坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求l1，l2的方程.【解析】将直线l1的方程化为y=a(x-2)+2，直线l1经过点(2，2)，将直线l2的方程化为a2(y-2)=-2(x-2)，直线l2经过点(2，2)，即直线l1，l2相交于点P(2，2)，连接OP，设直线l1与y轴相交于点A，直线l2与x轴相交于点B，则A(0，2-a)，B(a2+2，0)，设四边形的面积为S，0<a<2，则S=S△PAO+S△PBO=|2-a|·2+(a2+2)·2=a2-a+4=(a-)2+，所以a=时，S取最小值，此时，l1，l2的方程分别为x-4y+6=0，8x+y-18=0.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2014·铜川高一检测)已知集合M={(x，y)∣x+y=2}，N={(x，y)∣x-y=4}，那么集合M∩N为( )A.{3，-1}B.3，-1C.(3，-1)D.{(3，-1)}【解析】选D.因为M为直线x+y=2上的点构成的集合，N为直线x-y=4上的点构成的集合，所以M∩N中的元素为两直线的交点，解得所以M∩N={(3，-1)}.2.(2014·济源高一检测)两条直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上，那么k的值是( )A.-24B.6C.±6D.24【解题指南】把k看作常数，联立两直线方程解出交点横坐标，令横坐标为零可解得k值.【解析】选C.由解得交点横坐标为x=，依题意有x=0，所以k=±6.【举一反三】交点在x轴时，k=________.【解析】由解得交点纵坐标为y=，依题意有y=0，所以k=-24.答案：-243.(2014·重庆高一检测)直线l：y=kx-1与=不相交，则k的取值范围是( )A.或3B.C.3D.【解析】选A.=表示直线x-2y+3=0(去掉点(1，2))，所以直线l：y=kx-1与=不相交只有直线l与x-2y+3=0平行或直线l过点(1，2)，所以k的取值为或3.4.(2014·赣州高一检测)若直线l1：y=kx-与l2：2x+3y-6=0的交点M在第一象限，则l1的倾斜角α的取值范围是( )A.30°<α<60°B.30°<α<90°C.45°<α<75°D.60°<α<90°【解析】选B.由于直线l2与坐标轴的两个交点坐标分别为A(3，0)，B(0，2)，直线l1过定点C(0，-)，所以k>k AC==，又因为两直线的交点M在第一象限，所以倾斜角30°<α<90°.二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2014·日照高一检测)直线Ax+3y+C=0与直线2x-3y+4=0的交点在y轴上，则C的值为________.【解析】因为两直线的交点在y轴上，所以点在第一条直线上，所以C=-4. 答案：-46.(2014·四川高考)设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________.【解题指南】求定点A，B的坐标→判断PA⊥PB→由均值不等式求|PA|·|PB|的最大值.【解析】由题意知A(0，0)，B(1，3)，因为两直线的斜率(存在时)互为负倒数，所以PA⊥PB，当m=0时，两直线也垂直，所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，故|PA|·|PB|≤=5(当且仅当|PA|=|PB|=时取“=”).答案：5三、解答题(每小题12分，共24分)7.求证：不论m为何实数，直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都过某一定点.【证明】方法一：取m=1时，直线方程为y=-4；取m=时，直线方程为x=9，两直线的交点为P(9，-4)，将点P的坐标代入原方程左边，得(m-1)×9+(2m-1)×(-4)=m-5.故不论m取何实数，点P(9，-4)总在直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5上，即直线恒过点P(9，-4).方法二：原方程化为(x+2y-1)m+(-x-y+5)=0.若对任意m都成立，则有所以故不论m为何实数，所给直线都过定点P(9，-4).8.光线从点A(-3，4)射出，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的点C，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(-1，6)，求光线BC所在直线的斜率. 【解析】设B(a，0)，C(0，b)，过点B，C作两条法线交于点E，则∠E=90°.所以∠ECB+∠EBC=90°，所以2∠ECB+2∠EBC=180°.由反射角等于入射角，得∠DCB+∠ABC=180°，所以AB∥CD.所以k AB=k CD，即=b-6.①由反射角等于入射角，还可得直线AB的倾斜角与直线BC的倾斜角互补，所以k AB=-k BC，即=-.②解①②得a=-，b=.所以B，C.所以k BC=.关闭Word文档返回原板块。