数学：1.1《平行线等分线段定理》课件(新人教版A选修4-1)

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《平行线分线段成比例》课件1(人教A版选修4-1)

AB BC
1 , = __
2 _, =__ =___,
1/2
EF FG EG GH
EF 1 可得 __=__ FG =___
AB BC
AC CD
2 可得 __=__ =___
AC CD
EG GH
BC BD
FG FH
1/2 =___
BC 可得 BD
__=__
FG FH
二、新知识：平行线分线段成比例定理
D、
AC CE BD DF
1、解： L1∥L2∥L3 ∵
∴ 即
AB DE BC EF
（平行线分线段成比例定理） ∴ DE=
Байду номын сангаас
2、证明：
∴
AB DE BC EF
a DE b c
ac b
∵ L1∥L2∥L3 （平行线分线段成比例定理）
AB BC AB DE EF DE
AB BC ∴ ∴ DE EF AB BC AC ∴ DE EF DF
AC DF BC EF
F
C (3)
L3
注：“对应线段”是指一条直线被两条平行线截得的线段与另一条直线被这两条平行线截得的线段成对应线段。而“对应线段成比例”是指同一条直线上的两条线段的比等于与他们对应的另一条直线上的两条线段的比
例题解析：
例1、已知：如图L1∥L2∥L3，AB=3，DE=2， EF=4，求BC A 分析：图形已具备什么定理的基本图形？平行线分线段成比例定理那么如何求线段BC的长呢？（建立比例） C 解： ∵ L1∥L2∥L3 ∴
即
DF m n DE m
∴
DE m DF m n

高中数学 1.1平分线等分线段定理课件新人教A版选修4-1

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10
点评：在几何证明中添加辅助线的常见方法：①在
三角形中，利用角平分线可构造全等三角形或相似
三角形；②在三角形或梯形中，若已知一边或一腰栏
的中点，则过中点可作平行于底边的辅助线．
目链
接
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11
►变式训练
2．如图，已知在△ABC中，D是AC的中点， DE∥BC，交AB于点E，EF∥AC交BC于点F，求证：BF＝CF.
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5
(3)连接A5B，分别过A1、A2、A3、A4作A5B的平行线A1C、A2D、A3E、A4F，分别交AB于C、D、E、 F，那么
C、D、E、F就是所求作的线段AB的五等分点．
如下图所示．
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6
点评：求作已知线段AB的n等分点的一般作法：过线
段AB的一个端点作一条射线，从射线的端点起，依次栏
栏目链接
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16
分析：由于 OE∥AB，OA＝OC，根据平行线等分线段定理的推论 1，
得出 E 是 BC 的中点，所以 BE＝EC＝12BC＝12AD.
解析：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
栏
目
∴OA＝OC，BC＝AD，
链接
又∵OE∥AB，∴BE＝CE＝12BC，
又∵AD＝6，∴BE＝12BC＝12AD＝3.
分析：延长AE交BC于M，要证AF＝BF，因为EF∥BC，所以需证明E是AM的中点，由于CD平分∠ACB，所以 ∠ACE＝∠ECM，因为AE⊥CD，所以△ACE≌△MCE，即AE＝ME.
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9
证明：延长AE交BC于M. ∵CD平分∠ACB，AE⊥CD于E， ∴在△ACE和△MCE中， ∠AEC＝∠CEM，CE＝CE， ∠ACD＝∠MCD， ∴△ACE≌△MCE， ∴AE＝EM，即E是AM的中点．又在△ABM中，EF∥BM，AE＝EM， ∴F是AB的中点，∴AF＝BF.

数学：一《平行线等分线段定理》课件(新人教a版选修4-1)

C
4
C1
F
图3
∵AB=BC
请同学们自己完成下面两图的证明
∴EB1=B1F
l1
A
A1
A（A1）
l1
又∠1=∠2，∠3=∠4 l2 B
B1
l2
B
B1
∴△A1B1E≌△C1B1F l3 C
C
202∴4/11A/31B1=B1C1
1
图4
l3 C
C1
图5
平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
F l3
平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线
上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
AD
A
E ？F
E ？F
？
？
B
图4
C
B
图5
C
推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的推论2 经过三角形一边的中点与另一
直线，必平分另一腰。
D∥EF∥BC，AE=EB ∴202D4F/11=/3FC
证明题
辅助线点滴：有线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理及推论的基本图形。
已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，
∠ABC=90。M是CD的中点
C
求证：AM=BM
M D
分析：过M点作ME∥AD交AB于点E 又∵在梯形ABCD中，MD=MC A ∴AE=EB
B E
易证ME是AB的垂直平分线
张王李
二、推论2指出，经过三角形一边的中点 A
E
F
B
与另一边平行的直线必平分第三边（即经
过第三边的中点）。那么连结三角形两边

人教版高中数学选修1.1-平行线等分线段定理ppt课件

(1)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必
．
平(2分)推第论三2：边经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分
．
另一腰
[小问题·大思维] 1．在平行线等分线段定理中，被平行线所截取的两条直线有什么样的位置关系？提示：在平行线等分线段定理中，被平行线所截取的两条直线的位置不影响定理的结论，即这两条直线可以平行也可以相交．
[研一题]
[例2] 已知：如图，在直角梯形AB CD中，∠C＝90°，AD∥BC，AD＋BC＝ AB，E是CD的中点，且AD＝2，BC＝8，求BE的长度．
分析：本题考查平行线等分线段定理及其推论的应用．解答本题需将 BE放在Rt△BCE中求解，因为BC＝8为已知，故可考虑如何求CE.
解：过E作EF∥BC，交AB于F，过B作BG∥CD，交EF的延长线于G，则四边形GBCE是平行四边形． ∵在直角梯形ABCD中， ∠C＝90°，AD∥BC，AD＝2，BC＝8， ∴四边形GBCE是距形， ∴EG＝BC＝8， ∵E是CD的中点，∴DE＝EC， ∴AF＝FB，
∠AEC＝∠MEC， EC＝EC， ∠ACE＝∠MCE，
所以△AEC≌△MEC，AE＝EM. 即 E 是 AM 的中点．又因为在△ABM 中，EF∥BM，所以点 F 是 AB 边的中点．所以 AF＝BF.
利用平行线等分线段定理及其推论解决与平行线有关的计算问题是考试的热点.2012年广州模拟以填空题的形式考查了定理及推论的应用，是高考模拟命题的一个新亮点．
∴EF∥BC，EF＝12(AD＋BC)＝5， ∴GF＝EG－EF＝3， ∵AD＋BC＝AB， ∴AB＝10，BF＝12AB＝5. ∵在 Rt△BGF 中，∠G＝90°，∴BG＝4， ∴在 Rt△BGE 中， BE＝ BG2＋GE2＝ 42＋82＝4 5.

人教A版高中数学选修4-1课件平行线平分线段定理课件

请同学们独立完成证明过程
A
E
B
达标检测
1、已知梯形ABCD中，AB//DC，E为AD中点，EF//BC，求证：BC＝2EF.
2、已知梯形ABCD 中，AD//BC，∠ ABC＝90°，M是 CD的中点，求证：A M＝BM.
3、已知AC⊥ AB，DB⊥ AB，O是CD的中点，求证：OA＝OB.
4、在ABC中，D为AB的中点， DE//BC.求证：DE＝BC.
11
11
11
A
l1
l2
B
l3
C
l4
D
A1 ？ B1 ？ C1
？
D1
小组讨论，完成证明
分析：
∵ 如图 ,l ∥l ∥l 且 AB =BC
1
2
3
∴ A B =B C
11
11
∵ 如图，直线l ∥l ∥l 且 BC = CD
2
3
4
∴B C =C D
11
11
A
定理辨析
D
E
1、如图ΔABC中点 D、E三等分AB，D F//EG//BC， DF、EG分别交AC 于点F、G，
从特殊到一般
1、已知：直线l //l //l ,AC//A C 且AB =BC 求证 : A B =B C
1
2
3
11
11
11
A
l1
B
l2
l3
C
A1 B1 C1
问题：从图形中我们能够找到哪些平行四边形吗？
预设：
四边形ABA B 为平行四边形 11
四边形BCC B 为平行四边形 11
问题：我们能否利用平行四边形性质得到 A B B C ?

2016-2017学年高中数学人教A版选修4-1课件：1.1 平行线等分线段定理

图 1-1-12
第三十一页，编辑于星期五：十六点四十五分。
我还有这些不足： (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) _________________________________________________ (2) _________________________________________________
[再练一题] 3．如图 1-1-7，已知▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，过点 A，B，C， D，O 分别作直线 a 的垂线，垂足分别为 A′，B′，C′，D′，O′.求证：A′D′ ＝B′C′.
图 1-1-7
第二十三页，编辑于星期五：十六点四十五分。
【证明】 ∵▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵AA′⊥a，OO′⊥a，CC′⊥a， ∴AA′∥OO′∥CC′， ∴O′A′＝O′C′，同理 O′D′＝O′B′， ∴A′D′＝B′C′.
第二十一页，编辑于星期五：十六点四十五分。
1．本题中由 AC⊥AB，DB⊥AB 知 AC∥DB，联想到作 OE ⊥AB，再根据平行线等分线段定理证明点 E 是 AB 的中点．
2．平行线等分线段定理应在有线段的中点时应用，在没有线段的中点时构造线段的中点来应用．
第二十二页，编辑于星期五：十六点四十五分。
图 1-1-4
第十一页，编辑于星期五：十六点四十五分。
【自主解答】过 E 作 EF∥BC 交 DC 于 F，连接 AC，如图所示． ∵AD∥BC，E 为 AB 中点， ∴F 是 DC 中点． ① 又∵DC⊥BC，EF∥BC， ∴EF⊥DC. ② ∴由①②知，EF 是 DC 的垂直平分线， ∴△ECD 为等腰三角形． ③

《平行线分线段成比例》课件1(人教A版选修4-1)

H （2）
由此可得到：
1、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所
得的对应线段成比例。
说明： ①定理的条件是“三条平行线截两条直线” ②是“对应线段成比例”，注意“对应”两字。
a b A E L1 F L2 B
强化“对应“两字理解和记忆如图（2） D
AB EF 左上右上 ( ) BD FH 左下右下
AB DE BC EF
D E F
ห้องสมุดไป่ตู้L1
B
L2
L3
（平行线分线段成比例定理）
3 2 即 BC 4
∴2BC=3×4 BC=6
AB m 例2：已知：如图（5），L1∥L2∥L3， BC n
求证：
DE m DF m n
D
A
F
L1 L2 C L3
分析：图形是平行线分线段成比例定理
的一个变式图形，由已知条件可以出现
AC DF BC EF
F
C (3)
L3
注：“对应线段”是指一条直线被两条平行线截得的线段与另一条直线被这两条平行线截得的线段成对应线段。而“对应线段成比例”是指同一条直线上的两条线段的比等于与他们对应的另一条直线上的两条线段的比
例题解析：
例1、已知：如图L1∥L2∥L3，AB=3，DE=2， EF=4，求BC A 分析：图形已具备什么定理的基本图形？平行线分线段成比例定理那么如何求线段BC的长呢？（建立比例） C 解： ∵ L1∥L2∥L3 ∴
BD FH 左下右下 ( ) AB EF 左上右上
H L4 （2）
练一练：如图（3） L1∥L2 ∥ L3 ，试根据图形写出 b a 成比例线段。 D A

人教新课标版数学高二A版选修4-1课件1.1平行线等分线段定理

-14-
一平行线等分线段定理
首页
课前篇自主预习
课堂篇合作学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
证明线段相等
【例2】如图,在△ABC中,D是AB的中点,E是BC的三等分点 (BE>CE),AE与CD交于点F.求证:DF=FC.
分析:过点D作DG∥AE交BC于G,利用平行线等分线段定理证明. 证明:过点D作DG∥AE交BC于点G.在△ABE中,因为AD=BD, DG∥AE,所以BG=GE. 又因为E是BC的三等分点,所以BG=GE=EC. 在△CDG中,因为GE=CE,DG∥EF, 所以DF=FC.
课堂篇合作学习
反思感悟将已知线段AB分成n等份的步骤
1.作射线AC(与AB不共线);
2.在射线AC上以任意取定的长度顺次截取
AD1=D1D2=D2D3=…=Dn-1Dn; 3.连接DnB; 4.分别过点D1,D2,D3,…,Dn-2,Dn-1作DnB的平行线,分别交AB于点
A1,A2,…,An-2,An-1,则点A1,A2,…,An-2,An-1将线段AB分成n等份.
若AO=OD=DF,BE=10 cm,则OB的长为 ( )
A.130 cm C.52 cm
B.5 cm D.3 cm
解析:因为CD∥EF,OD=DF,
所以C为OE的中点,
因此OC=CE.
因为AB∥CD,AO=OD,
所以O为BC的中点,故BO=OC, 因此 OB=13BE=130 cm.
答案:A
课堂篇合作学习
-15-
一平行线等分线段定理
探究一
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1.1 平行线等分线段定理课件(人教A选修4-1)

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[悟一法] 一般情况下，几何图形应具有对称的内在美，当感觉图形有某些缺点时，可考虑添加适当的辅助线，使其完善．在本讲的题目中，一般是通过各种方法使所需要解决的问题靠近平行线等分线段定理，然后利用定理或推论加以解决．
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[通一类]
2.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，OE平行于AB交BC于E，AD＝ 6，求BE的长．解：因为四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AA′∥OO′∥CC′.∴O′A′＝O′C′.
同理：O′D′＝O′B′.∴A′D′＝B′C′. [悟一法] 平行线等分线段定理的应用非常广泛，在运用的过程中要注意：其所截线段的确定与对应，分析相等线段，并会运用相等线段来进行相关的计算与证明．返回
[通一类]
1．已知：如图∠ACB＝90°，AC＝BC， CE＝CF，EM⊥AF，CN⊥AF，求证：MN＝NB.
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2．平行线等分线段定理的推论 (1)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． (2)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线
平分另一腰．
返回
[小问题·大思维] 1．在平行线等分线段定理中，被平行线所截取的两条直线有什么样的位置关系？提示：在平行线等分线段定理中，被平行线所截取的两条直线的位置不影响定理的结论，即这两条直线可以平
新亮点．
返回
(2012· 广州模拟)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，
AC＝8，D为边BC上的一点，且AC＝DC，M为BC的中点， MN∥AD，交AC于点N，则DN＝________. [命题立意] 本题主要考查平行线等分线段定理的应用
及等腰梯形的有关性质和辅助线的作法．

1.1 平行线等分线定理课件(人教A选修4-1)

∴△BDG≌△CDE.
故DG＝DE，即GE＝2DE，因此AG＝2DE.
此类问题往往涉及平行线等分线段定理的推论1的运用，寻找便于证明三角形中线段相等或平行的条件，
再结合三角形全等或相似的知识，达到求解的结果．
3.
如图，在▱ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 O，OE 平行于 AB 交 BC 于 E，AD＝6，求 BE 的长．
2．平行线等分线段定理的推论 (1)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． (2)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． [说明] 推论既可用来平分已知线段，也可用来证明
线段的倍数问题．
[例1]
已知如图，直线l1∥l2∥l3∥l4，
l，l′分别交l1，l2，l3，l4于A，B，C，D，
析存在相等关系的线段，并会运用相等线段来进
行相关的计算与证明．
1．已知：如图，l1∥l2∥l3，那么下列结论中错误的是( A．由 AB＝BC 可得 FG＝GH B．由 AB＝BC 可得 OB＝OG C．由 CE＝2CD 可得 CA＝2BC 1 D．由 GH＝ FH 可得 CD＝DE 2
)
解析：OB、OG 不是一条直线被平行线组截得的线段．
解：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 OA＝OC，BC＝AD. 又因为 AB∥DC，OE∥AB，所以 DC∥OE∥AB. 又因为 AD＝6， 1 1 所以 BE＝EC＝ BC＝ AD＝3. 2 2
4．已知：AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 的中点，BE 的延长线交 AC 于点 F. 1 求证：AF＝ AC. 3
同理：O′D′＝O′B′.∴A′D′＝B′C′.
[例2]

1.1 平行线等分线段定理教学课件(人教A版选修4-1)

课前探究学习课堂讲练互动
)．
题型二平行线等分线段定理的推论【例 2】如图所示，已知在梯形 ABCD 中， AD∥BC ，∠ ADC ＝
90°，点E是AB边的中点，连接ED、EC.求证：ED＝EC.
[ 思维启迪 ] 由 E 是 AB 的中点，作 EF∥BC 交 DC 于 F ，即可得
EF⊥DC，从而利用线段中垂线的性质得到结论．
课前探究学习课堂讲练互动
【变式 1】如图所示，若 a∥b∥c，那么下列结论中错误的是 ( A．由 AB＝BC 可得 FG＝GH B．由 AB＝BC 可得 OB＝OG C．由 CE＝2CD 可得 CA＝2BC 1 D．由 GH＝2FH 可得 CD＝DE 解析由 OB、OG 不是一条直线被一组平行线截得的线段，故 B 不正确．答案 B
课前探究学习
课堂讲练互动
∴E是AM的中点．又在△ABM中， EF∥BM， ∴点F是AB边的中点，
∴AF＝BF.
反思感悟这部分内容是新增内容，在高考中还未出现过，估计
不会单独命题，仅作为证明几何问题的工具使用．其用途是为下节课的平行线分线段成比例定理做铺垫的．
课前探究学习
课堂讲练互动
【变式 3】如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 1 的中点，BE 的延长线交 AC 于点 F，求证：AF＝3AC.
第一讲
相似三角形的判定及有关性质
课前探究学习
课堂讲练互动
在初中，同学们已经学习了相似图形的概念以及相似三角形的某些性质，但当时并没有对相似三角形的有关定理进行严格的证明，第一讲主要内容就是对这些定理进行证明，并应用它们去
解决一些问题，为了证明这些定理、我们引入了平行线等分线段、平行线分线段成比例的有关内容，以组成一个相对严谨的逻辑体系．

《平行线分线段成比例》课件1(人教A版选修4-1)

即
DF m n DE m
∴
DE m DF m n
（三）巩固练习：
1、课本P21 3 ，练习1、2
2、如图（6）AB∥CD∥EF，则在图中下列关系式一定成立的是（ D ） A AC DF A、 B、 AC DF C
CE BD
BD CE
B D
E
F
（6）
AC DF C、 AE BF
问题1：若将图（1）中的直线L3擦掉得到图（2），仍
使L1∥L2 ∥ L4 不变，你能否发现在两直线a，b上截得 b 的线段有什么关系？ a E A 通过计算可以得到：
AB EF BD FH
AB EF AD EH
BD FH AD EH
B
D
F
L1 L2 L4
AD EH 等等 BD FH
E B
AB m ， DE AB AB 由 BC n DF AC AB BC AB m 由比例性质发现
AB BC mn
（图5） (平行线分线段成比例定理)
证明：
∵ L1∥L2∥L3EF n Fra bibliotek ∴ DE m
∴
DE AB m EF BC n
EF DE n m DE m
H （2）
由此可得到：
1、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所
得的对应线段成比例。
说明： ①定理的条件是“三条平行线截两条直线” ②是“对应线段成比例”，注意“对应”两字。
a b A E L1 F L2 B
强化“对应“两字理解和记忆如图（2） D
AB EF 左上右上 ( ) BD FH 左下右下
平行线分线段成比例定理

高中数学1.1平行线等分线段定理课件新人教A版选修4-1

探究四
【典型例题 3】如图,在梯形 ABCD 中,AB∥ DC,E 为 AD 的中点,EF∥ BC,求证 :BC=2EF.
思路分析:过 A 作 BC 的平行线,交 DC 于点 G,利用平行四边形的性质, 可得 AG=BC,只需再利用三角形中位线证 AG=2EF 即可.
探究一
探究二
探究三
探究四
证明:过 A 作 BC 的平行线,交 DC 于点 G.
平行线,m 与 n 可以平行,也可以相交,但它们必须与已知的平行线 a, b,c 相交, 即被平行线 a, b,c 所截. (2)平行线的条数还可以更多,可以推广.
(3)平行线等分线段定理的逆命题是 :如果一组直线截另一组直线成相等的线段,那么这组直线平行.可以证明这一命题是错误的.(如图)
2.推论 1
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】如图所示,已知线段 AB,求作线段 AB 的五等分点,并予以证明. 思路分析:利用平行线等分线段定理来作图.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)作射线 AC;
(2)在射线 AC 上以任意取定的长度顺次截取 AD1=D1D2=D2D3=D3D4=D4D5; (3)连接 D5B; (4)分别过 D1,D2,D3,D4 作 D5B 的平行线 D1A1,D2A2,D3A3,D4A4,分别交 AB 于点 A1,A2,A3,A4,则点 A1,A2,A3,A4 将线段 AB 五等分.
第一讲
相似三角形的判定及有关性质
一
平行线等分线段定理
课程目标 1.能记住并掌握平行线等分线段定理,认识它的变式图形. 2.能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段,能运用推论进行简单的证明或计算. 3.进一步体会三角形中位线定理的应用. 4.掌握平行线等分线段定理的应用.

人A版数学选修4-1课件：第1讲 1 平行线等分线段定理

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图 113
平行线等分线段定理推论 2 的应用
如图 114 所示，梯形 ABCD 中，AD∥BC， DC⊥BC，∠B＝60° ，BC＝AB，E 为 AB 的中点．求证： △ECD 为等边三角形．
【精彩点拨】过 E 作 EF∥BC，先证明 EC＝ED，
图 114
再连接 AC，证明∠BCE＝30° ，从而∠ECD＝60° .
一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得如果一组平行线在___________
的线段也______ 相等．
2．图形语言如图 111，l1∥l2∥l3，l 分别交 l1，l2，l3 于 A，B， C，l′分别交 l1，l2，l3 于 A1，B1，C1，若 AB＝BC， A1B1＝B1C1 则____________.
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图 111
教材整理 2
平行线等分线段定理的推论
阅读教材 P4～P5“习题”以上部分，完成下列问题． 1．推论 1
中点与另一边平行的直线必______ 平分第三边．经过三角形一边的______
2．推论 2
中点，且与底边______ 平行的直线______ 平分另一腰．经过梯形一腰的______
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在梯形 ABCD 中，M，N 分别是腰 AB 与腰 CD 的中点，且 AD＝2，BC＝4，则 MN 等于( ) 【导学号：07370000】 A．2.5 C．3.5
【答案】 B
B．3 D．不确定
【解析】由梯形中位线定理知选 B.
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[ 质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________

人教A版高中数学选修4-1-第一讲--一-平行线等分线段定理-课件(共27张PPT)

过程与方法
1．通过初中学习平行线的性质和判定定理，进一步学习一组平行线等分线段定理以及两个推论.
2．培养化归思想，从特殊到一般，再到特殊.
情感态度与价值观
1．通过平行线等分线段定理证明，体会数学证明的必要性.
2．通过课堂学习培养敢于结合以前所学知识，推导出新的知识或性质，有利于深刻理解.
教学重难点
求证:B1B2=B2B3
分析
l l’
A1 A2 A3
B1
C2
B2 B3
C3
l1 l2
l3
“角角边”
B1C2//B2C3
△B1C2B2≌△B2C3B3
B1B2=B2B3
知识要点
平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
小练习
已知：ΔABC,D是AB的中点，DE//BC
求证: AE=EC 证明：因为AD=BD,DE//BC
A DE
根据平行线等分线段定理，得：
B
C
AE=EC.
能推出
思
什么结论？
考
知识要点
平行线等分线段定理
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.
小练习
已知：梯形ABCD,E是AB的中点，
求证:CF=DF.
A
C
证明：因为AE=BE,AC//BD E
3、平行线等分线段定理和推论的应用
（1）把线段n等分. （2）证明在同一直线上的线段相等.
A AD
？
EF
？
E
F
？
B B
CB
？ C
随堂练习
1.判断题

2016-2017学年高中数学人教A版选修4-1课件：1.1 平行线等分线段定理

-6-
一平行线等分线段定理
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Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一题型二题型三
证明:过点A作MN∥D5B. 则MN∥D4A4∥D3A3∥D2A2∥D1A1∥D5B.
∵AD1=D1D2=D2D3=D3D4=D4D5. ∴AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4B. ∴点A1,A2,A3,A4就是所求的线段AB的五等分点.
作法:(1)如图,作射线AC.
(2)在射线AC上以任意长顺次截取AD=DE=EF=FG=GH. (3)连接BH. (4)过点E作EO∥HB,交AB于点O,则点O为所求的点.
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一平行线等分线段定理题型一题型二题型三
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Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
【例3】如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,E为 AD的中点,EF∥BC. 求证:BC=2EF.
分析:由于EF∥BC,联系所证明的结果是BC=2EF,由此想到三角形中位线定理,过点A作BC的平行线即可证明.
-11-
一平行线等分线段定理
证明:如图,过点M作ME∥BC交AB于点E,
∵AD∥BC,∴AD∥EM∥BC. ∵M是CD的中点, ∴E是AB的中点. ∵∠ABC=90°, ∴∠MEA=∠MEB=90°, ∴ME垂直平分AB.∴AM=BM.
-10-
一平行线等分线段定理题型一题型二题型三
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高中数学 1.1 平行线等分线段定理课件新人教版选修4

已知：如图． AD∥BC，AE＝BE，DF＝CF. 求证：EF∥AD∥BC，且EF＝12(AD＋BC)．
第三十五页，共42页。
【分析】要证明EF∥BC，需要构造三角形，利用三角形中位线定理，只要连接AF并延长交BC的延长线于G，显然有EF为△ABG的中位线，则有EF∥BC，且EF＝ 12 BG＝ 12 (BC＋ CG)，比较知，只要AD＝CG即可．由图知，可证△ADF≌△ GCF.
第三十八页，共42页。
规律技巧在证明文字表达的命题时，需写明：已知、求证、画出图形，再给出证明．若需添加辅助线，需简述作辅助线的过程．证明过程每一步要有根据．
第三十九页，共42页。
变式3 Байду номын сангаас梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AE＝ BE(如图)．
求证：EC＝ED.
第四十页，共42页。
答案 (1)C (2)相等
第二十五页，共42页。
【例2】已知：如图，AD是三角形ABC的中线，E为AD 的中点，BE的延长线交AC于F.求证：AF＝13AC.
第二十六页，共42页。
【分析】可利用平行线等分线段定理的推论1，添加过三角形一边中点且平行于第三边的直线，确定F为AC的一个三等分点．
第三十三页，共42页。
∵BD平分∠ABC，BD⊥AD， ∴△ABM是等腰三角形． ∴AD＝DM.同理AE＝EN. ∴DE∥MN，即DE∥BC. (2)由(1)知EF∥NB，AE＝EN， ∴F是AB的中点，同理可证G是AC的中点．
第三十四页，共42页。
【例3】证明梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
第十四页，共42页。
例已知：线段AB，求作：线段AB的五等分点．作法：(1)作射线AC. (2)在射线AC上顺次截取AA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5. (3)连接A5B.

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