2017_2018版高中数学第一章三角函数8函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(二)学案北师大版必修4
2018版高中数学北师大版必修四学案第一章 8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(一)
学习目标.理解＝(ω＋φ)中ω、φ、对图像的影响.掌握＝与＝(ω＋φ)图像间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．
知识点一φ(φ≠)对函数＝(＋φ)，∈的图像的影响
思考如何由＝()的图像变换得到＝(＋)的图像？
思考如何由＝的图像变换得到＝(＋)的图像？
梳理如图所示，对于函数＝(＋φ)(φ≠)的图像，可以看作是把＝的图像上所有的点向(当φ>时)或向(当φ<时)平行移动个单位长度而得到的．
知识点二ω(ω＞)对函数＝(ω＋φ)的图像的影响
思考函数＝，＝和＝的周期分别是什么？
思考当三个函数的函数值相同时，它们的取值有什么关系？
思考函数＝ω的图像是否可以通过＝的图像得到？
梳理如图所示，函数＝(ω＋φ)的图像，可以看作是把＝(＋φ)的图像上所有点的横坐标(当ω>时)或(当<ω<时)到原来的倍(纵坐标)而得到．
知识点三(＞)对＝(ω＋φ)的图像的影响
思考对于同一个，函数＝，＝和＝的函数值有何关系？
梳理如图所示，函数＝(ω＋φ)的图像，可以看作是把＝(ω＋φ)图像上所有点的纵坐标(当>时)或(当<<时)到原来的倍(横坐标不变)而得到．
知识点四函数＝的图像与＝(ω＋φ)(＞，ω＞)的图像关系
正弦曲线＝到函数＝(ω＋φ)的图像的变换过程：。
高中数学第1章三角函数8函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质第1课时函数y=Asin(ωx+φ)的图像课件北师大版
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)A 的大小决定了函数的振幅．( ) (2)ω 的大小与函数的周期有关．( ) (3)φ 的大小决定了函数与 y＝sin x 的相对位置．( ) (4)b 的大小决定了函数图像偏离平衡位置的幅度．( ) 【解析】 由 A，ω，φ，b 的几何意义知全对． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
y
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑的曲线把它们连接起来．
三角函数的图像变换
写出由 y＝sin x 的图像变化到 y＝3sin12x－π4的图像的不同方法步骤. 【导学号：66470026】
【精彩点拨】 变换过程可以先伸缩后平移，也可以先平移后伸缩．
由 y＝sin x 的图像，通过变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，可以先相位变换， 后周期变换，也可以先周期变换，后相位变换．两种变换的顺序不同，变换的量 也有所不同，前者平移|φ|个单位，而后者则平移|ωφ|个单位．不论哪一种变换，都是 对字母 x 而言的，即看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．
0
π 2
π
3π 2
2π
y 0 2 0 －2 0
描点作图，如图．
1．利用“五点法”作图像时，确定 x 的值是本题的关键．
2．用“五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图像的一般步骤：
第一步：列表． ωx＋φ 0
π 2
π
3π 2
2π
x －ωφ 2πω－ωφ ωπ－ωφ 23ωπ －ωφ 2ωπ－ωφ
2017-2018版高中数学 第一章 三角函数 8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(二) 北师大版必修4
φ的值.
(1)一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A|. (的2)交因点为从T＝而2ω确π，定所T，以即往相往邻通的过最求高得点周与期最T来低确点定之ω间，的可距通离过为已T2知；曲相线邻与的x轴两 个最高点(或最低点)之间的距离为T.
答案
梳理
用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ) 的图像的步骤：
第一步：列表：
ωx＋φ 0
π 2
πห้องสมุดไป่ตู้
3π 2
2π
x
－ωφ 2πω－ωφ ωπ －ωφ 23ωπ－ωφ 2ωπ－ωφ
y
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点. 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图像.
知识点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性质
4.已知函数f(x)＝sinωx＋π3 (ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像
√A.关于点π3，0对称
B.关于直线 x＝π4对称
C.关于点π4，0对称
D.关于直线 x＝π3对称
解析 ω＝2ππ＝2，所以 f(x)＝sin(2x＋π3). 将 x＝π3代入 f(x)＝sin2x＋π3，
解答
(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值.
解答
当堂训练
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，0<φ<π)的图像的一段如图所示，它的解析式 可以是
√A.y＝23sin(2x＋23π)
B.y＝23sin(2x＋π3) C.y＝23sin(2x－π3) D.y＝23sin(2x＋π4)
12345
高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asin(ωx+φ)的图像
又∵f(x)在[0，π2]上是单调函数， ∴T≥π，即2ωπ≥π，∴ω≤2.又∵ω＞0， ∴当 k＝1 时，ω＝23； 当 k＝2 时，ω＝2. ∴φ＝π2，ω＝2 或 ω＝23.
规律方法 函数 y＝Asin(ωx＋φ)综合应用的注意点 (1)对于平移问题，应特别注意要提取 x 的系数，即将 ωx＋φ 变为 ωx＋ωφ后再观察 x 的变化． (2)对于对称性、单调性问题应特别注意将 ωx＋φ 看作整体，代入 一般表达式解出 x 的值． (3)对于值域问题同样是将 ωx＋φ 看作整体，不同的是根据 x 的范 围求 ωx＋φ 的范围，再依据图像求值域． (4)对于奇偶性问题，由 φ 来确定，φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数，φ＝kπ ＋π2(k∈Z)时是偶函数．
(2)若函数 f(x)＝2sin2x－π3＋φ是偶函数，则 φ 的值可以是(
)
5π
π
A. 6
B.2
C.π3
D．－π2
解析 (1)令 y＝±1，即 sin2x＋π3＝±1，则 2x＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)， ∴x＝k2π＋1π2(k∈Z)，即对称轴方程为 x＝k2π＋1π2(k∈Z)．令 y＝0， 即 sin2x＋π3＝0，则 2x＋π3＝kπ(k∈Z)，∴x＝k2π－π6(k∈Z)，∴函 数 y＝sin2x＋π3的图像的对称中心为k2π－π6，0(k∈Z)．
解 ∵y＝2sinπ4－x＝－2sinx－π4， ∴函数 y＝2sinπ4－x的递增区间就是函数 u＝2sinx－π4的递减区间．
∴2kπ＋π2≤x－π4≤2kπ＋32π(k∈Z)， 得 2kπ＋34π≤x≤2kπ＋74π(k∈Z)， ∴函数 y＝2sinπ4－x的递增区间为： 2kπ＋34π，2kπ＋74π(k∈Z)．
题型三 函数 y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用 【例 3】 已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是 R 上的偶函
(全国通用版)2018-2019高中数学-第一章-三角函数-1.5-函数y=Asin(ωx+φ)的图
4．要得到函数 y＝cos2x 的图象，只需将 y＝cos(2x＋π4)的图象
A．向左平移π8个单位长度
B．向右平移π8个单位长度
C．向左平移π4个单位长度
D．向右平移π4个单位长度
( B)
[解析] 平移问题遵循“左加右减，只针对 x 而言”的原则．则 y＝cos2x 只 需向左平移π8个单位即可．而 y＝cos(2x＋π4)需右移π8个单位，得到 y＝cos2x．
( C)
A．y＝sin(4x＋38π)
B．y＝sin(4x＋π8)
C．y＝sin4x
D．y＝sinx
[解析] 分清对横坐标还是纵坐标所作的变换，左、右平移是对 x 变化，并 且是对单个的 x 进行变化，把 y＝sin(2x＋π4)的图象向右平移π8个单位长度，用(x －π8)代换原解析式中的 x，即得函数式 y＝sin[2(x－π8)＋π4]，即 y＝sin2x，再把 y＝ sin2x 的图象上的各点的横坐标缩短到原来的12，就得到解析式 y＝sin2(2x)，即 y ＝sin4x 的图象．
[知识点拨]函数 y＝f(ωx)(ω>0)的图象，可以看作是把函数 y＝f(x)的图象上 的点的横坐标缩短(当 ω>1 时)或伸长(当 0<ω<1 时)到原来的ω1 倍(纵坐标不变)而得 到的．
3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象的影响 如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图象 上的所有点的______纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的_____A_倍 (横坐标不变)而得到的．
函数y=Asin(ωx+ψ)的图像与性质
函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质1.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.x －φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω 2π－φωωx ＋φ 0 π2π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅 周期 频率 相位 初相A T ＝2πω f ＝1T ＝ω2πωx ＋φ φ3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径强化训练1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)将函数y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( )(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( )(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(4)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )2.(必修4P56T3改编)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为( )A.2，4π，π3B.2，14π，π3C.2，14π，－π3D.2，4π，－π33.(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况：月份x 1 2 3 4 收购价格y (元/斤)6765选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________________________.4.(2019·北京通州区模拟)函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象是( )5.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 D.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π36.(2018·济南模拟改编)y ＝cos(x ＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2(2)(2018·青岛调研)若把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx 的图象重合，则ω的一个可能取值是( )A.2B.32C.23D.12考点二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】 (1)(一题多解)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________.(2)(2019·长郡中学、衡阳八中联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫5π12，1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，－1，则f (x )图象的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋5π6，0(k ∈Z)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋5π6，0(k ∈Z)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，0(k ∈Z)【训练2】 (1)(2019·衡水中学一模)已知函数f (x )＝－2cos ωx (ω>0)的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为( )A.π6 B.5π6 C.π12 D.5π12(2)(2019·山东省重点中学质检)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，|φ|<π2，ω>0的图象的一部分如图所示，则f (x )图象的对称轴方程是________.考点三 y ＝A sin(ωx ＋φ)图象与性质的应用 角度1 三角函数模型的应用【例3－1】 如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O 离地面1米，点O 在地面上的射影为A .风车圆周上一点M 从最低点O 开始，逆时针方向旋转40秒后到达P 点，则点P 到地面的距离是________米.角度2 三角函数性质与图象的综合应用【例3－2】 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值.【训练3】 (1)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.(2)已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋523(其中x ∈R)，求：①函数f (x )的最小正周期； ②函数f (x )的单调区间； ③函数f (x )图象的对称轴和对称中心.类型1 三角函数的周期T 与ω的关系【例1】 为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( ) A.98π B.1972π C.1992π D.100π类型2 三角函数的单调性与ω的关系【例2】 若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω的取值范围是( )A.0≤ω≤23B.0≤ω≤32C.23≤ω≤3D.32≤ω≤3类型3 三角函数对称性、最值与ω的关系【例3】 (1)(2019·枣庄模拟)已知f (x )＝sin ωx －cos ωx ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>23，若函数f (x )图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________.(结果用区间表示)(2)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.【基础巩固题组】 一、选择题1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 2.(2019·杭州期中)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是( )A.－3π4B.－π4C.π4D.5π43.(2019·咸阳模拟)已知点P (32，－332)是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M ，N 是与点P 相邻的两个最高点，若∠MPN ＝60°，则该函数的最小正周期是( ) A.3 B.4 C.5 D.64.(2018·天津卷)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上单调递减C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减5.(2019·张家界模拟)将函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图象向左平移t (t >0)个单位后，得到函数g (x )的图象，若g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ，则实数t 的最小值为( )A.5π24B.7π24C.5π12D.7π12二、填空题6.将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________________.7.(2018·沈阳质检)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.8.已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝____________________________________.三、解答题9.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24). (1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差.10.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值； (2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.11.(2019·天津和平区调研)已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为( )A.－2B.－1C.－ 2D.－ 312.函数f (x )＝220sin 100πx －220sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πx ＋2π3，且已知对任意x ∈R，有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，则|x 2－x 1|的最小值为( ) A.50π B.1100π C.1100D.44013.(2019·广东省际名校联考)将函数f (x )＝1－23·cos 2x －(sin x －cos x )2的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则函数g (x )的单调递增区间是________.14.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上的最小值.15.(多填题)已知函数f (x )＝23sinωx2cosωx2＋2cos2ωx2－1(ω>0)的最小正周期为π，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，方程f (x )＝m 恰有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________，f (x 1＋x 2)＝________.答 案 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√【解析】 (1)将函数y ＝3sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3cos 2x .(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω.故当ω≠1时平移的长度不相等.2. 【答案】 C【解析】 由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.3. 【答案】 y ＝6－cos π2x【解析】 设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)， 由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ＋6.因为当x ＝2时，y ＝7，所以sin(π＋φ)＋6＝7，即sin φ＝－1，则φ＝－π2＋2k π(k ∈Z)，可取φ＝－π2. 所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π2＋6＝6－cos π2x .4. 【答案】 A【解析】 由y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6可知，函数的最大值为2，故排除D ；又因为函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，故排除B ；又因为函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，2，故排除C. 5. 【答案】 D【解析】 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D. 6. 【答案】π2＋4【解析】 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为π2＋4.【例1】【答案】见解析【解析】(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)(k ∈Z).令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z，解得x ＝k π2＋π12－θ(k ∈Z). 由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12(k ∈Z)，解得θ＝k π2－π3(k ∈Z). 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6. 【训练1】【答案】 (1)D (2)A【解析】 (1)易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，因此D 项正确. (2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋ω3π－π6和函数y ＝cos ωx 的图象重合，可得ω3π－π6＝π2＋2k π，k ∈Z，则ω＝6k ＋2，k ∈Z.∴2是ω的一个可能值.【例2】【答案】 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 (2)C 【解析】 (1)由题图可知A ＝2，法一 T 4＝7π12－π3＝π4， 所以T ＝π，故ω＝2，因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对应五点法作图中的第三个点，因此2×π3＋φ＝π＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝π3＋2k π(k ∈Z).又|φ|<π2，所以φ＝π3.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.法二 以⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0为第二个“零点”，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2为最小值点，列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ω·π3＋φ＝π，ω·7π12＋φ＝3π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ).由五点作图法知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，1是第二点，得2×5π12＋φ＝π2，2×5π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝－π3＋2k π(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.由2x －π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z).∴f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z).【训练2】【答案】 (1)C (2)x ＝k π2＋π6(k ∈Z)【解析】 (1)由题图知，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝－2cos 2x ，∴f (x ＋φ)＝－2cos(2x ＋2φ)，则由图象知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋φ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋2φ＝2.∴5π6＋2φ＝2k π＋π(k ∈Z)，则φ＝π12＋k π(k ∈Z).又0<φ<π2，所以φ＝π12.(2)由图象知A ＝2，又1＝2sin(ω×0＋φ)，即sin φ＝12， 又|φ|<π2，∴φ＝π6. 又11π12×ω＋π6＝2π，∴ω＝2， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 令2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z). ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z). 【例3－1】【答案】 4【解析】 以圆心O 1为原点，以水平方向为x 轴方向，以竖直方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O 离地面1米，12秒转动一周，设∠OO 1P ＝θ，运动t (秒)后与地面的距离为f (t )，又周期T ＝12，所以θ＝π6t ， 则f (t )＝3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2＝3－2cos π6t (t ≥0)， 当t ＝40 s 时，f (t )＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×40＝4. 【例3－2】【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1)＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 由最小正周期为π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)， 整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z). (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象； 所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z)， 所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可.所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12. 【训练3】【答案】 20.5【解析】 因为当x ＝6时，y ＝a ＋A ＝28；当x ＝12时，y ＝a －A ＝18，所以a ＝23，A ＝5，所以y ＝f (x )＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）， 所以当x ＝10时，f (10)＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4 ＝23－5×12＝20.5. 【答案】见解析【解析】①因为f (x )＝52sin 2x －532(1＋cos 2x )＋532＝5(12sin 2x －32cos 2x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 所以函数的最小正周期T ＝2π2＝π. ②由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)， 所以函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z). 由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)， 得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z)， 所以函数f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z). ③由2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)， 所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z).由2x －π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)， 所以函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z). 【例1】【答案】 B【解析】 由题意，至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，所以1974T ＝1974·2πω≤1，所以ω≥1972π.【例2】【答案】 D【解析】 令π2＋2k π≤ωx ≤32π＋2k π(k ∈Z)，得π2ω＋2k πω≤x ≤3π2ω＋2k πω，因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋2k πω≤π3，π2≤3π2ω＋2k πω，得6k ＋32≤ω≤4k ＋3. 又ω>0，所以k ≥0，又6k ＋32<4k ＋3，得0≤k <34，所以k ＝0. 故32≤ω≤3. 【例3】【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，78 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫ω|ω≤－2或ω≥32 【解析】 (1)f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4， 令ωx －π4＝π2＋k π(k ∈Z)，解得x ＝3π4ω＋k πω(k ∈Z). 当k ＝0时，3π4ω≤π，即34≤ω， 当k ＝1时，3π4ω＋πω≥2π，即ω≤78. 综上，34≤ω≤78. (2)显然ω≠0，分两种情况：若ω>0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4时，－π3ω≤ωx ≤π4ω. 因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以－π3ω≤－π2，解得ω≥32. 若ω<0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4时，π4ω≤ωx ≤－π3ω， 因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以π4ω≤－π2，解得ω≤－2. 综上所述，符合条件的实数ω≤－2或ω≥32. 【基础巩固题组】1. 【答案】 A【解析】 由题图可知，A ＝2，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π， 所以ω＝2，由五点作图法知2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)， 所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 2. 【答案】 B【解析】 将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φ2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＝12sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位后得到的图象对应的函数为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ，由题意得π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，∴φ＝k π＋π4(k ∈Z)，当k ＝－1，0，1时，φ的值分别为－3π4，π4，5π4，φ的取值不可能是－π4. 3. 【答案】 D【解析】 由P 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M ，N 是与P 相邻的两个最高点，知|MP |＝|NP |，又∠MPN ＝60°，所以△MPN 为等边三角形.由P (32，－332)，得|MN |＝2×3323×2＝6. ∴该函数的最小正周期T ＝6.4. 【答案】 A【解析】 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π10，将其图象向右平移π10个单位长度，得到函数y ＝sin 2x 的图象.由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z.令k ＝0，可知函数y ＝sin 2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增. 5. 【答案】 B【解析】 由题意得，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π6， 从而2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ＋2t －π6＝－2sin(2x －2t )＝2sin(2x －2t ＋π)，又t >0， 所以当2t －π6＝－2t ＋π＋2k π(k ∈Z)时，即t ＝7π24＋k π2(k ∈Z)，实数t min ＝724π.6. 【答案】 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10―————————―→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10.7. 【答案】 3【解析】 由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2.∵当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝2cos π6＝ 3.8. 【答案】 143【解析】 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2 (k ∈Z).∴ω＝8k ＋143 (k ∈Z)，因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143. 9. 【答案】见解析【解析】(1)f (8)＝10－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8 ＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2(32cos π12t ＋12sin π12t ) ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3， 又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1； 当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.10. 【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2. 又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称， 所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)， 因为－π2≤φ＜π2，所以k ＝0， 所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32. (2)将f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12的图象， 所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z)时，g (x )单调递减. 因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z). 11. 【答案】 B【解析】 ∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π6(k ∈Z). ∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－1. 12. 【答案】 C【解析】 f (x )＝220sin 100πx －220sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πx ＋2π3 ＝220⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 100πx －⎝⎛⎭⎪⎫sin 100πx ·cos 2π3＋cos 100πx sin 2π3 ＝220⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 100πx ＋12sin 100πx －32cos 100πx ＝2203⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 100πx －12cos 100πx ＝2203×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πx －π6， 则由对任意x ∈R，有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立得当x ＝x 2时，f (x )取得最大值，当x ＝x 1时，f (x )取得最小值，所以|x 2－x 1|的最小值为12T ＝12×2π100π＝1100(T 为f (x )的最小正周期)，故选C. 13. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12 【解析】 ∵f (x )＝1－23cos 2 x －(sin x －cos x )2＝sin 2x －3cos 2x －3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－3， ∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3－3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3， 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z)， 得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z)， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， ∴函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12.14. 【答案】见解析【解析】(1)设函数f (x )的最小正周期为T ，由题图可知A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2， 即T ＝π，所以π＝2πω，解得ω＝2， 所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，又过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0， 由0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π(k ∈Z)， 则φ＝2k π－π3(k ∈Z)，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3， 故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. (2)根据条件得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8时，4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6， 所以当x ＝π8时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝12. 15. 【答案】 π31 【解析】 函数f (x )＝23sin ωx 2cos ωx 2＋2cos 2ωx 2－1＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6. 由T ＝2πω＝π，可得ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－1≤f (x )≤2. 画出f (x )的图象(图略)，结合图象知x 1＋x 2＝π3， 则f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝2sin 5π6＝1.。
高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质(2)课件1北师大版必修4
故
故函数的值域为[- ,2].
上的值域.
第十五页，共51页。
【方法技巧】函数y=Asin(ωx+φ)+b的值域(最值)的求解策略 (1)x∈R时:把“ωx+φ”视为一个整体(zhěngtǐ),结合函数y=Asinx+b中sinx的有界 性求其值域. (2)x∈[a,b]时:把“ωx+φ”视为一个整体(zhěngtǐ),先依据x∈[a,b],求出“ωx+φ”的 范围,在此基础上类比函数y=Asinx+b值域的求法,结合函数单调性或函数图像 求解.
3因为x08由2知函数fx在02上是增加的在28上是减少的所以当x2时fx有最大值为当x8时fx有最小值为1故fx的值域为1类型二函数yasinx性质的综合应用典例已知函数fxasinxa00的图像在y轴上的截距为1它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为解题探究1怎样确定周期和a的值
1.8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像(tú xiànɡ)与性
误的是 ( )
A.图像C关于直线x=- 对称 B.图像C关于点 对称12
C.函数f(x)在区间
内是增加的
D.由y=3cos2x得图像向右平移(pínɡ yí) 个单位长度可以得到图像C
第二十七页，共51页。
【解析】选C.A,B经验证可知正确(zhèngquè),C中当 不是正弦函数的单调区间,错误; D中y=3cos2x得图像向右平移 5个单位长度可以得到y=3cos
12 因为 正确(zhèngquè).
第二十八页，共51页。
【补偿(bǔcháng)训练】已知函数f(x)=2sin
(ω>0)的最小正周期为
π.
(1)求函数f(x)的递增区间.
高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象课
关系?
提示y=Asin(ωx+φ)的图象可以由函数y=sin(ωx+φ)的图象经过上
下伸缩变换得到.
一
二
三
四
思维辨析
2.填空:如图,函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ) 的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原 来的A倍(横坐标不变)而得到的.
1.作出函数y=Asin(ωx+φ)的图象可有哪些方法?如果用图象变换 法,那么是先平移后伸缩还是先伸缩后平移呢?
提示作函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以用“五点法”,也可根据图象 间的关系通过变换法得到;如果用图象变换法,那么既可以先平移 后伸缩,也可以先伸缩后平移.
2.填空:(1)五点法:①列表 ωx+φ 通常取 0,π2,π,32π,2π 这五个值 ;②描点;③连线.
数( )的图象.
A.y=sin
������
+
π 5
C.y=sin
π 5
-������
B.y=sin
������-
π 5
D.y=sin
5������-
π 5
解析将函数 y=sin x 的图象向右平移π5个单位,可以得到函数
y=sin
������-
π 5
的图象.
答案B
一
二
三
四
思维辨析
二、ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)的图象的影响
伸缩变换得到.
一
二
三
四
思维辨析
2.填空:如图,函数y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(x+φ)
2017_2018学年高中数学第一章三角函数1.8.1函数y=Asin(ωxφ)的图像变换课件北师大版必修4
π 3
, 所以ω=2, φ=− .
3
π
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
利用图像变换求函数解析式
π
【例 2】 将函数 y=sin x 的图像上所有的点向右平移 10 个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍( 纵坐标不变), 所得图像的函数解析式是( A.y=sin 2������- 10 B. ������ = sin 2������- 5 C.y=sin
π π 8 π 4
3π 8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
π 4
的图像向右平移
π 8
个单位长度, 再把所得图像上各点的横坐标缩短到原来的一半, )
π 8
B. ������ = sin 4������ + D.y=sin x
解析:把函数 y=sin 2������ + 4 的图像向右平移 8 个单位长度, 得 到函数 y=sin 2 ������+ = sin 2x 的图像, 再把所得图像上各点的 横坐标缩短到原来的一半, 则得到函数 y=sin 4x 的图像.
1 2 π 6 1 2 π 12
)
解析:y=sin x 的图像上所有点的横坐标缩短为原来的 2 倍(纵坐 标不变), 所得图像的函数解析式为 y=sin 2x, 再将此函数图像向右平 移 个单位长度, 所得图像的函数解析式为 y=sin 2 ������6 π π 6
1
,
即y=sin 2������答案:B
π 4 π π 4
π
+ 1.
题型一
题型二
题型三
题型四
(方法二)y=sin x y=sin 3������ + 4
高中数学第一章三角函数8函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(二)学案北师大版必修4(2021
2018-2019学年高中数学第一章三角函数8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(二)学案北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第一章三角函数8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(二)学案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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§8函数y＝A sin（ωx＋φ)的图像与性质(二)学习目标 1.会用“五点法”画函数y＝A sin（ωx＋φ)的图像。
2。
能根据y＝A sin(ωx＋φ)的部分图像，确定其解析式。
3.了解y＝A sin（ωx＋φ）的图像的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相.知识点一“五点法”作函数y＝A sin（ωx＋φ)（A>0，ω>0）的图像思考1 用“五点法”作y＝sin x，x∈［0，2π]时,五个关键点的横坐标依次取哪几个值？答案依次为0，错误!，π，错误!，2π.思考2 用“五点法”作y＝A sin（ωx＋φ)时,五个关键的横坐标取哪几个值？答案用“五点法"作函数y＝A sin（ωx＋φ）（x∈R)的简图，先令t＝ωx＋φ,再由t取0，错误!,π，错误!，2π即可得到所取五个关键点的横坐标依次为－错误!,－错误!＋错误!，－错误!＋错误!，－错误!＋错误!，－错误!＋错误!。
梳理用“五点法”作y＝A sin(ωx＋φ) 的图像的步骤：第一步：列表：ωx＋φ0错误!π错误!2πx－错误!错误!－错误!错误!－错误!错误!－错误!错误!－错误!y0 A 0 －A 0第二步：在同一坐标系中描出各点。
2017_2018学年高中数学第一章三角函数1.8.2函数y=Asinωx+φ的性质课件北师大版必修420171103367
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(方法一)由图可知, A=3, ������
π
π 3
, 0 , ������
5π 6
,0 ,
则
3 5π 6
������ + ������ = π,
������ = 2, π 解得 ������ = π , 所以y=3sin 2������ + 3 . ������ + ������ = 2π, 3
1 2
(3)当函数 y=A sin(ωx+φ)+b 为偶函数(φ>0)时, φ 至少为 2 , 故 y= sin 2������ + 2
π
π
+ 4 = 2 cos 2x+ 4 为偶函数.
1 π 5 1 π 5
5
1
5
故应将函数 f (x)= 2 sin 2������ + 6 + 4
1
的图像至少向左平移至与函数y= 2 sin 2������ + 2 + 4 的图像重合时, 函数才为偶函数. 由函数图像平移知 f (x)= 2 sin 2������ + 6 + 4 的图像 y= 2 sin 2������ + 2 + 4 的图像, 故函数 f (x)的图像至少 向左平移 6 个单位长度后, 所得图像的函数才为偶函数.
π 6
故所求函数的图像可由y=3sin 2x 的图像向左平移 6
π π 3
= 3sin 2������ +
.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思根据图像求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式的难点在于确定初相 φ,其基本方法是利用特殊点,通过待定系数法、逐个确定法或图像 变换法求解.
高中数学第一章三角函数1.8函数y=asin(ωx+φ)的图象
类型二
三角函数的图象变换
π y＝－2cos 2x＋6
[例 2] 由函数 y＝cosx 的图象如何得到函数 ＋2 的图象．
π 7π 【解】 y＝－2cos 2x＋6 ＋2＝2cos 2x＋ 6 ＋2 7 ＝2cos2x＋12π＋2.
π 1 5．简谐振动 y＝2sin4x＋6的频率和相位分别是________．
π 1 2π π 解析：简谐振动 y＝2sin 4x＋6 的周期是 T＝ 4 ＝2，相位是 4x π 1 2 ＋6，频率 f＝T＝π. 2 π 答案：π，4x＋6
课堂探究 互动讲练 类型一 “五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象 π [例 1] 用“五点法”画函数 y＝2sin3x＋6的简图．
|自我尝试| 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)将函数 y＝sinωx 的图像向右平移 φ(φ>0)个单位长度，得到 函数 y＝sin(ωx－φ)的图像．( × ) (2)要得到函数 y＝sinωx(ω>0)的图像， 只需将函数 y＝sinx 上所 有点的横坐标变为原来的 ω 倍．( × ) (3)将函数 y＝sinx 图像上各点的纵坐标变为原来的 A(A>0)倍， 便得到函数 y＝Asinx 的图像．( √ ) π (4)将函数 y＝sinx 的图像向左平移2个单位长度，得到函数 y＝ cosx 的图像．( √ )
5π π 2π 解析：由图可知，A＝2，T＝2 12＋12 ＝π，所以 ω＝ T ＝2， π 所以 f(x)＝2sin(2x＋φ)，将点－12，2代入 f(x)＝2sin(2x＋φ)，得 2 π ＝2sin－6＋φ.
π π ∴φ－6＝2kπ＋2，k∈Z. 2π 2 即 φ＝2kπ＋ 3 ，由 k＝0，得 φ＝3π， 2π 所以 y＝2sin 2x＋ 3 . 答案：A
2017_2018版高中数学第一章三角函数8函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质学案北师大版必修
梳理 左 右 |φ|
知识点二
试探1 2π，π，4π.
试探2 当三个函数的函数值相同时，y＝sin 2x中x的取值是y＝sinx中x取值的 ，y＝sin x中x的取值是y＝sinx中x取值的2倍．
试探3 能够，只要“伸”或“缩”y＝sinx的图像即可．
梳理 缩短 伸长 不变
知识点三
8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(一)
学习目标 1.明白得y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ、A对图像的阻碍.2.把握y＝sinx与y＝Asin(ωx＋φ)图像间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．
知识点一φ(φ≠0)对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图像的阻碍
试探1 如何由y＝f(x)的图像变换取得y＝f(x＋a)的图像？
C．向左平移 个单位D．向右平移 个单位
类型二 伸缩变换
例2 将函数y＝sin 的图像上所有的点的横坐标缩短到原先的 (纵坐标不变)而取得的函数解析式为________________．
反思与感悟 横向伸缩变换，只变ω，φ不发生转变．
跟踪训练2 把函数y＝sinx(x∈R)的图像上所有的点向左平移 个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原先的 (纵坐标不变)，取得的图像所表示的函数是( )
试探2 如何由y＝sinx的图像变换取得y＝sin(x＋ )的图像？
梳理 如下图，关于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图像，能够看做是把y＝sinx的图像上所有的点向______(当φ>0时)或向____(当φ<0时)平行移动____个单位长度而取得的．
知识点二ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图像的阻碍
注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移 个单位，这是很易犯错的地址，应专门注意．
2018版高中数学 第一章 三角函数 1.3.3 第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
第1课时 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换学习目标 1.理解y ＝A sin(ωx ＋φ)中ω、φ、A 对图象的影响.2.掌握y ＝sin x 与y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．知识点一 φ(φ≠0)对函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响 思考1 如何由y ＝f (x )的图象变换得到y ＝f (x ＋a )的图象？思考2 如何由y ＝sin x 的图象变换得到y ＝sin(x ＋π6)的图象？梳理 如图所示，对于函数y ＝sin(x ＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y ＝sin x 的图象上所有的点向______(当φ>0时)或向______(当φ<0时)平行移动______个单位长度而得到的．知识点二 ω(ω＞0)对函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响思考1 函数y ＝sin x ，y ＝sin 2x 和y ＝sin 12x 的周期分别是什么？思考2 当三个函数的函数值相同时，它们x 的取值有什么关系？思考3 函数y ＝sin ωx 的图象是否可以通过y ＝sin x 的图象得到？梳理 如图所示，函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标________(当ω>1时)或____________(当0<ω<1时)到原来的________倍(纵坐标________)而得到．知识点三 A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响思考 对于同一个x ，函数y ＝2sin x ，y ＝sin x 和y ＝12sin x 的函数值有何关系？梳理 如图所示，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上所有点的纵坐标______(当A >1时)或______(当0<A <1时)到原来的______倍(横坐标不变)而得到.知识点四 函数y ＝sin x 的图象与y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象关系 正弦曲线y ＝sin x 到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换过程：y ＝sin x 的图象――――――――――→向左φ＞或向右φ＜平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ)的图象―――――――――――――→所有点的横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)的图象―――――――――――――→所有点的纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．类型一 平移变换例1 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象可以看作是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到的？反思与感悟 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数．再观察x 前系数，当x 前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx →ωx ＋φ的平移量为|φω|个单位．跟踪训练1 要得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象向左平移________个单位长度． 类型二 伸缩变换例2 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)而得到的函数解析式为________．反思与感悟 横向伸缩变换，只变ω，φ不发生变化．跟踪训练2 将函数y ＝sin(x －π3)图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________的图象． 类型三 图象变换的综合应用例3 把函数y ＝f (x )的图象上的各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式．反思与感悟 (1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法．(2)已知函数f (x )图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A 或ω即可．跟踪训练3 将函数y ＝2sin(x ＋π3)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值为________．1．函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为________．2．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移________个单位．3．要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3的图象，只要将函数y ＝sin x 2的图象向左平移________个单位．4．将函数y ＝sin(－2x )的图象向左平移π4个单位长度，所得函数图象的解析式为__________________．5．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得图象的函数解析式为____________．1．由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ).(2)y ＝sin x ――――→周期变换y ＝sin ωx ――――→相位变换y ＝sin[ω(x ＋φω)]＝sin(ωx ＋φ)――――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ).注意 两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是易出错的地方，应特别注意．2．类似地，y ＝A cos(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象变换得到．答案精析问题导学 知识点一思考1 向左(a ＞0)或向右(a ＜0)平移|a |个单位． 思考2 向左平移π6个单位．梳理 左 右 |φ| 知识点二思考1 2π，π，4π.思考2 当三个函数的函数值相同时，y ＝sin 2x 中x 的取值是y ＝sin x 中x 取值的12，y ＝sin 12x 中x 的取值是y ＝sin x 中x 取值的2倍．思考3 可以，只要“伸”或“缩”y ＝sin x 的图象即可． 梳理 缩短 伸长 1ω不变 知识点三思考 对于同一个x ，y ＝2sin x 的函数值是y ＝sin x 的函数值的2倍，而y ＝12sin x 的函数值是y ＝sin x 的函数值的12.梳理 伸长 缩短 A 题型探究例1 解 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，可以看作是把曲线y ＝sin x 上所有的点向右平移π6个单位长度而得到的． 跟踪训练1π8例2 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 跟踪训练2 y ＝sin(15x －π3)例3 解y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3――――――――――→纵坐标伸长到原来的32倍y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3――――――――――→横坐标缩短到原来的12倍 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3―――――――→向左平移π6个单位 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝3cos x .所以f (x )＝3cos x . 跟踪训练3 π6当堂训练 1.12 2.π3 3.2π34．y ＝－cos 2x 5.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫10x －7π4。
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8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(二)学习目标 1.会用“五点法”画函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像.2.能根据y＝A sin(ωx＋φ)的部分图像，确定其解析式.3.了解y＝A sin(ωx＋φ)的图像的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．知识点一“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像思考1 用“五点法”作y＝sin x，x∈[0,2π]时，五个关键点的横坐标依次取哪几个值？思考2 用“五点法”作y＝A sin(ωx＋φ)时，五个关键的横坐标取哪几个值？梳理用“五点法”作y＝A sin(ωx＋φ) 的图像的步骤：第一步：列表：第二步：在同一坐标系中描出各点．第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图像．知识点二函数y＝A sin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性质知识点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义类型一 用“五点法”画y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像例1 利用五点法作出函数y ＝3sin(12x －π3)在一个周期内的图像．反思与感悟 (1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx ＋φ分别为0，π2，π，3π2，2π，解出x ，从而确定这五点．(2)作给定区间上y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，若x ∈[m ，n ]，则应先求出ωx ＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x ，y 的值，描点、连线并作出函数的图像． 跟踪训练1 已知f (x )＝1＋2sin(2x －π4)，画出f (x )在x ∈[－π2，π2]上的图像．类型二 由图像求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图像，求A ，ω，φ的值，并确定其函数解析式．反思与感悟 若设所求解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)，则在观察函数图像的基础上，可按以下规律来确定A ，ω，φ.(1)由函数图像上的最大值、最小值来确定|A |.(2)由函数图像与x 轴的交点确定T ，由T ＝2π|ω|，确定ω.(3)确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的初相φ的值的两种方法①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A ，ω已知)或代入图像与x 轴的交点求解．(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口．“五点”的ωx ＋φ的值具体如下：“第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0； “第二点”(即图像的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π； “第四点”(即图像的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.跟踪训练2 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则其解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3类型三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的应用 例3 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图像过点P (π12，0)，图像上与P 点最近的一个最高点的坐标为(π3，5)．(1)求函数解析式； (2)指出函数的递增区间； (3)求使y ≤0的x 的取值范围．反思与感悟 有关函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想．跟踪训练3 设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y ＝f (x )的图像的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间及最值．1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0,0<φ<π)的图像的一段如图所示，它的解析式可以是( )A ．y ＝23sin(2x ＋2π3)B ．y ＝23sin(2x ＋π3)C ．y ＝23sin(2x －π3)D ．y ＝23sin(2x ＋π4)2．函数y ＝－2sin(π4－x2)的周期、振幅、初相分别是( )A ．2π，－2，π4B ．4π，－2，π4C ．2π，2，－π4D ．4π，2，－π43．下列表示函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图正确的是( )4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( ) A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图像如图所示．(1)求f (x )的解析式； (2)写出f (x )的递增区间．1．利用“五点”作图法作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，要先令“ωx ＋φ”这一个整体依次取0，π2，π，32π，2π，再求出x 的值，这样才能得到确定图像的五个关键点，而不是先确定x 的值，后求“ωx ＋φ”的值．2．由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求得周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(－φω，0)(也叫初始点)作为突破口，以y ＝A sin(ωx＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．3．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在ωx ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时取得最小值．答案精析问题导学 知识点一思考1 依次为0，π2，π，3π2，2π.思考2 用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )的简图，先令t ＝ωx ＋φ，再由t 取0，π2，π，3π2，2π即可得到所取五个关键点的横坐标依次为－φω，－φω＋π2ω，－φω＋πω，－φω＋3π2ω，－φω＋2πω. 知识点二 R [－A ，A ] 2πω x ＝π2ω＋k π－φω(k ∈Z ) 奇 偶 知识点三A2πω ω2πωx ＋φ φ 题型探究例1 解 依次令x 2－π3＝0，π2，π，3π2，2π，列出下表：描点，连线，如图所示．跟踪训练1 解 (1)∵x ∈[－π2，π2]，∴2x －π4∈[－54π，34π]．列表如下：(2)描点，连线，如图所示．例2 解 方法一 (逐一定参法) 由图像知振幅A ＝3， 又T ＝5π6－(－π6)＝π，∴ω＝2πT＝2.由点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0可知，－π6×2＋φ＝0， 得φ＝π3，∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.方法二 (待定系数法)由图像知A ＝3，又图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，有⎩⎪⎨⎪⎧π3·ω＋φ＝π，5π6·ω＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.方法三 (图像变换法)由T ＝π，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，A ＝3可知， 图像是由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得到的，∴y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 跟踪训练2 A例3 解 (1)∵图像最高点的坐标为(π3，5)，∴A ＝5.∵T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π， ∴ω＝2πT＝2，∴y ＝5sin(2x ＋φ)．代入点(π3，5)，得sin(2π3＋φ)＝1，∴2π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z . 令k ＝0，则φ＝－π6，∴y ＝5sin(2x －π6)．(2)∵函数的递增区间满足2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴2k π－π3≤2x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )，∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．∴函数的递增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )． (3)∵5sin(2x －π6)≤0，∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )，∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．故所求x 的取值范围是[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z )．跟踪训练3 解 (1)由2x ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π4－φ2，令k π2＋π4－φ2＝π8，得φ＝k π＋π4，k ∈Z . ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4. 由2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，故函数的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．同理可得函数的递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π8，k π＋9π8(k ∈Z )．当2x －3π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π8(k ∈Z )时，函数取得最大值1；当2x －3π4＝2k π－π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，函数取得最小值－1.当堂训练1．A 2.D 3.A 4.A5．解 (1)易知A ＝2，T ＝4×[2－(－2)]＝16， ∴ω＝2πT ＝π8，∴f (x )＝2sin(π8x ＋φ)，将点(－2,0)代入得sin(－π4＋φ)＝0， 令－π4＋φ＝0，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin(π8x ＋π4)．(2)由－π2＋2k π≤π8x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得16k －6≤x ≤16k ＋2，k ∈Z ，∴f(x)的递增区间为[16k－6,16k＋2]，k∈Z.11。