新沪科版七年级数学下册《8章 整式乘法与因式分解 8.3 完全平方公式与平方差公式》教案_28
2023七年级数学下册第8章整式乘法与因式分解8.4因式分解2公式法教案(新版)沪科版
题型三：综合题
5. 已知一个二次方程 \(x^2 + (a+b)x + ab = 0\) 的两个根的和为 \(-a-b\)，两个根的积为 \(ab\)，求这个二次方程。
提示：在解题过程中，请同学们注意运用完全平方公式和平方差公式，以及灵活运用所学的因式分解技巧。
1.理论介绍：首先，我们要了解公式法分解因式的基本概念。公式法是利用特定的数学公式将一个多项式分解成两个或多个多项式的乘积。它是解决因式分解问题的重要方法之一。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了公式法在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调完全平方公式和平方差公式这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
四、教学资源
软硬件资源：
1. 教室内的多媒体设备，包括投影仪和计算机。
2. 学生用的计算器。
3. 白板和记号笔。
课程平台：
1. 人教版七年级数学下册教材。
2. 与教材配套的练习册和作业本。
信息化资源：
1. 教学PPT，包含本节课的主要内容和例题。
2. 在线数学题库，用于学生练习和巩固知识。
教学手段：
六、教学资源拓展
1.拓展资源：
（1）课后习题：为学生提供与本节课内容相关的课后习题，包括不同难度的题目，以便学生巩固所学知识。
（2）在线课程：推荐一些与因式分解相关的在线课程或视频，如“公式法分解因式技巧讲解”、“因式分解的实际应用”等，以便学生进一步学习和拓展知识。
（3）数学竞赛题目：提供一些与因式分解相关的数学竞赛题目，激发学生的学习兴趣和挑战精神。
初中数学沪科版七年级下册-8.3-完全平方公式与平方差公式-同步分层作业(含解析)
8.3 完全平方公式与平方差公式简记为：“首平方，尾平方， 积的 2 倍放中间”两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍.这两个公式叫做完全平方公式.公式特征：1. 积为二次三项式；2. 积中的两项为两数的平方；3. 另一项是两数积的 2 倍，且与原式中间的符号相同；4. 公式中的字母 a ，b 可以表示数、单项式和多项式.注意：1. 项数、符号、字母及其指数2. 不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号，变形成符合公式的形式才行。
3. 弄清完全平方公式和平方差公式的区别（公式结构特点及结果）常用结论：a 2 +b 2 = (a + b)2 - 2ab = (a - b)2 + 2ab ，4ab = (a + b)2 - (a - b)2.平方差公式：(a + b)(a − b) = a 2 − b 2两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用基础过关练一、单选题1．已知非负实数,,a b c 满足24,0a b a b c +=-+<，则下列结论一定正确的是（ ）A ．()2222a b a ab b +=++B C ．()()224a b a b ab -=+-D 二、填空题11．如图，用四个长为a ，宽为b 的长方形大理石板不重叠地拼成一个大正方形拼花图案，正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形，当拼成的这个大正方形的边长比中间小正方形的边长多6时，大正方形的面积+=12．已知x y13．化简：(x-14．定义：若三个正整数培优提升练三、解答题19．问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1________图2________；（用字母a，b表示）数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题（1）已知7a b +=，12ab =，求22a b +的值；（2）已知()()202420222023x x --=，求()()2220242022x x -+-的值．拓展运用：如图3，点C 是线段AB 上一点，以AC ，BC 为边向两边作正方形积分别是1S 和2S ．若AB m =，12S S S =+，则直接写出Rt ACF 的面积．（用(1)【知识生成】请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含方法一： ；方法二： ；(2)【得出结论】22(2)()23a b a b a ab b ++=++．(1)根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为______；(2)已知等式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++，请你画出一个相应的几何图形加以解释．故选：C ．8．C【分析】根据积的乘方、合并同类项、平方差公式、单项式的除法等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：A ．()326-=-b b ，故选项错误，不符合题意；B ．3332a a a +=，故选项错误，不符合题意；C ．()()22224x y x y x y +-=-，故选项正确，符合题意；D ．62422÷=a a a ，故选项错误，不符合题意．故选：C ．9．D【分析】此题考查了完全平方式．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m 的值．【详解】解：216x mx ++ 是完全平方式，8m ∴=±．故选：D ．10．D【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别表示出两幅图中阴影部分的面积，再关键两幅图阴影部分面积相等即可得到答案．【详解】解：左边一幅图阴影部分面积为22a b -，右边一幅图阴影部分面积为()()a b a b +-，∵两幅图阴影部分面积相等，∴()()22a b a b a b -=+-，故选：D ．11．2【分析】本题考查用图象法验证完全平方公式，准确识图列出()22(4)a b b b a a +--=是解题关键．分别表示出每个长方形石板的面积和图中大、小正方形的面积，然后列出等量关系计算求解．【详解】解：每个长方形石板的面积为ab ，中间小正方形的边长为a b -，面积为2()a b -；大正方形的边长为a b +，面积为2()a b +，所以()22(4)a b b b a a +--=；当()()6460a b a b ab +--=⎧⎨=⎩时，解得53a b =⎧⎨=⎩，∴2a b -=，故答案为：2．12．22x y m n x y m n +=+⎧∴⎨-=-⎩或x y m n x y n m+=+⎧⎨-=-⎩解得x m y n =⎧⎨=⎩或x n y m=⎧⎨=⎩．故都有2006200620062006x y m n +=+．21．（1）2x xy +，6；（2）244 24m m -，．【分析】本题考查了整式乘法混合运算，求代数式的值．（1）分别用乘法公式及单项式乘多项式的法则展开，再合并同类项，最后代值求解即可；（2）用平方差公式展开再合并同类项，由已知得26m m -=，然后整体代入求值即可．【详解】解：（1）2()()()()x y x x y x y x y +-++-+222222x xy y x xy x y =++--+-2x xy =+，当2x =-，1y =-时，原式2(2)(2)(1)6=-+-⨯-=；（2）2(2)(2)(4)m n m n n m +-+-22244m n n m=-+-244m m =-，由260m m --=，得26m m -=，原式24()4624m m =-=⨯=．22．(1)()24m n mn +-；()2m n -(2)()()224m n mn m n +-=-(3)6a b -=或6a b -=-．【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察．（1）观察图形很容易得出运用大正方形的面积减去四个矩形的面积，即()24m n mn +-，图②中的阴影部分正方形的边长等于m n -，即面积为()2m n -；（2）根据（1）中表示的面积是同一个图形的面积，两个式子相等，即可列出等量关系；（3）由（2）中的等量关系即可求解．【详解】（1）解：方法一：()24m n mn +-；方法二：()2m n -，故答案为：()24m n mn +-；()2m n -；（2）解：代数式()2m n +，()2m n -，mn 之间的等量关系为：。
沪科版七年级下册数学精品教学课件 第8章 整式乘法与因式分解 第2课时 平方差公式
(3) 原式 ＝ (－m)2－n2 ＝ m2－n2.
注意：1. 先把要计算的式子与公式对照； 2. 哪个是 a? 哪个是 b?
练一练 利用平方差公式计算： (1) (－7m＋8n)(－8n－7m)； (2) (x－2)(x＋2)(x2＋4)．
解：(1) 原式＝(－7m)2－(8n)2 ＝49m2－64n2.
合作探究
平方差公式
算一算：看谁算得又快又准. ① (x + 1)( x - 1)；
② (m + 2)( m - 2)；
③ (2m + 1)(2m - 1)；
④ (Hale Waihona Puke y + z)(5y - z).
① (x + 1)( x - 1) = x2 - 1 = x2 - 12
用自己的语
② (m + 2)( m - 2) = m2 - 4 = m2 - 22
= 14396.
注意：不能直接应用公式的，要适当变形才可以应用.
例3 计算： (1) a2(a + b)(a－b) + a2b2； (2) (2x－5)(2x + 5) －2x(2x－3).
解：(1) 原式 = a2(a2－b2) + a2b2 = a4－a2b2 + a2b2 = a4 .
(2) 原式 = (2x)2－25－(4x2－6x) = 4x2－25－4x2 + 6x = 6x－25.
= (－2)2－(3a)2
= 4－9a2.
3. 已知 a = 7202，b = 721×719，则 ( B )
A. a = b
B. a＞b
沪科版数学七年级下册8.3《完全平方公式与平方差公式》教学设计
沪科版数学七年级下册8.3《完全平方公式与平方差公式》教学设计一. 教材分析《完全平方公式与平方差公式》是沪科版数学七年级下册第八章第三节的内容。
本节内容主要介绍完全平方公式和平方差公式的概念及其应用。
这两个公式是初中学段数学的重要知识点，也是解决代数问题的重要工具。
本节内容承上启下，为后续学习二次函数、一元二次方程等知识打下基础。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了有理数的运算、整式的乘法等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。
但学生对完全平方公式和平方差公式的理解和应用还不够深入，需要通过本节课的学习，让学生熟练掌握这两个公式，并能够运用到实际问题中。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握完全平方公式和平方差公式的概念及其应用。
2.过程与方法：通过探究、合作、交流的方式，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.完全平方公式和平方差公式的记忆和理解。
2.如何将公式运用到实际问题中，解决相关问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究、发现规律。
2.运用合作学习法，让学生在小组内讨论、交流，共同解决问题。
3.运用实例讲解法，让学生通过具体例子，理解并掌握公式的应用。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，展示完全平方公式和平方差公式的推导过程及应用实例。
2.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，引导学生回顾已学的有理数的运算、整式的乘法等知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示完全平方公式和平方差公式的推导过程，让学生直观地感受公式的来源和意义。
同时，给出一些应用实例，让学生初步了解公式的应用。
3.操练（10分钟）学生在小组内讨论，如何运用完全平方公式和平方差公式解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生遇到的疑问。
4.巩固（10分钟）教师出示一些练习题，让学生独立完成。
新沪科版七年级数学下册《8章 整式乘法与因式分解 8.3 完全平方公式与平方差公式》教案_18
152=225 252=625
352=1225 452=2025……
个位数字是5的整数平方后,末尾的两位数有什么规律?为什么?
小结归纳并给出拓展题，提升学生对公式的认识，也可作为课后思考供学有余力的学生自主完成，体现分层教学的思想。
布置作业
1.课本p69练习1、2
2.同步练习p468. 3（一）
教学目标
知识
与
技能
理解公式的推导过程，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单计算。
过程
与
方法
通过渗透建模、化归、数形结合等思想方法，增强学生的应用意识，提高学生解决问题的能力和创新能力。
情感
态度
与
价值观
体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的喜悦，树立学生自信心。
教学重难点
重点
体会公式的推导，完全平方公式的结构特点及公式的直接运用。
回应导入时遇到的问题，即可让学生体会解决问题的成就感。
小结归纳
公式特点：
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中
间的符号相同；
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式或
多项式。
强调使用公式时的注意事项。
为了进一步培养学生的应用意识和创新思维，教师在此处安排了一个拓展题：
同理，利用几何图形探究很快也可得出两数差的平方公式——（a-b）2= a2-2ab+b2，
归纳：两数和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的２倍。
（a+b）2= a2+2ab+b2
（a-b）2= a2-2ab+b2这两个公式统称为完全平方公式
沪科版七年级数学下册导学案 8.3完全平方公式
课题：整式乘除与因式分解8.3完全平方公式主备人：杨明 时间：2011年4月 日年级 班 姓名：学习目标：1.经历探索完全平方公式的过程，发展学生观察、交流、归纳、猜测、验证等能力．2.会推导完全平方公式；了解公式的几何背景，会用公式计算.3.进一步体会数形结合的数学思想和方法.学习重点：能够熟练掌握完全平方公式． 学习难点：正确的应用完全平方公式进行计算． 一、学前准备1.回忆多项式与多项式相乘的方法：. 2.计算：(1)(m+1)2=(m+1)(m+1)= ； (2)(n+2)2= ；(3)(m-1)2=(m-1)(m-1)= ； (4)(n-2)2= .(5)=+2)(b a ； =-2)(b a 通过以上计算，你能发现什么规律？归纳： .完全平方公式：()=+2b a 222b ab a ++()=-2b a 222b ab a +-3.验证：ababbaab（1）怎样计算上图的面积？它有哪些表示方法？ ①如果把上图看成一个大正方形，它的面积为2)(b a +如果把它看成2个相同的长方形与2个小正方形，它的面积为222b ab a ++ 则易得2)(b a += 222b ab a ++②也可通过多项式乘法法则得到对于任意的a 、b ，上式都成立 2)(b a += 222b ab a ++ ——完全平方公式 （2）aabb(a-b)b同样通过计算上图阴影的面积，易得 2222)(b ab a b a +-=-也可利用多项式乘法法则证明对于任意a 、b 上式都成立2)(b a += 222b ab a ++2222)(bab a b a +-=- —— 完全平方公式4. 计算：(直接写出结果)（1） 2)2(y x + （2）2)23(b a -（3） 2)22(y x +（4） 2)32(y x +-预习疑难摘要： .二、探究活动（一）师生探究·解决问题 例1．利用完全平方公式计算：（1）2198 （2）2201例2．计算： （1） 2)214(+x （2）2)241(n m -（3）2)(c b a ++ （4）2)32(c b a --例3．的值求如果ca bc ab c b a c b a ++=++=++,3,5222。
新沪科版七年级数学下册《8章 整式乘法与因式分解 8.4 因式分解 公式法》教案_9
运用公式法分解因式1．理解完全平方公式和平方差公式的特点,并能用语言表述这两个公式，培养学生的语言表达能力．2．能较熟练地运用完全平方公式和平方差公式分解因式．3．会用公式法分解因式求一些特殊代数式的值，体验分解因式在数学解题中的应用．4. 经历通过整式乘法和乘法公式逆向得出分解因式的方法的过程，进一步发展学生的逆向思维、整体换元思想和推理能力．三、教学重难点1.教学重点：运用公式法（完全平方公式和平方差公式）分解因式是本节课的教学重点．2.教学难点：灵活应用公式法分解因式是本节课的教学难点．四、学情分析及教学方法1. 学情分析：因式分解是数学学习的重要工具，它是约分和通分及后续学习的预备知识，根据知识内容和课程标准将本节教学内容安排四课时。
即第一课时是提公因式法，第二课时是运用公式法，第三课时是两种方法的综合应用，第四课时是分组分解法和十字相乘法。
本节课是因式分解的第二种方法，重点关注公式的基本特点和一般形式，使学生明确本节课的学习主线。
2.教学方法：探究与讲练相结合的方法．五、设计理念课件、投影片、导学案等．六、教学过程实录及点评活动1：创设情境，设疑激思.复习：1.什么叫因式分解？它和整式乘法有何关系？2.分解因式：6(x-y)3-3y(y-x)2；试问你用的是什么方法？你能用提公因式法分解下列多项式吗？（1）x2-6ax+9a2；（2）0.49x2-144y2.[师]本节课我和大家一道来解决这个提公因式法不能分解的问题.引例：在一个边长为（n+2)cm的正方形中，截去一个边长为ncn的正方形，请问剩下的面积是多少？问题1：解题中用到什么乘法公式？之前你学过了哪些乘法公式？问题2：根据等式性质的置换性，公式又能写成什么样的形式？此时从左往右叫什么运算？即：（1）a2+2ab+b2=（a+b)2；（2）a2-2ab+b2=(a-b）2；（3）a2-b2=(a+b)(a-b).[生]将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式．[师]能不能用语言叙述呢？[生]能．两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方；两个数的平方差等于这两个数的和乘以这两个数的差. [师]今天我们就来研究用完全平方公式和平方差公式分解因式．活动2：理性思考，归纳公式.1. 填空：（1）4a 2=（ ）2；（2）49b 2=（ ）2； （3）0.16a 4=（ ）2；（4）1.21a 2b 2=（ ）2；2.下列各式是不是完全平方式？（1）a 2-4a+4（2）x 2+4x+14y 2 （3）4a 2+2ab+b2 （4）a 2-ab+b2 （5）x 2-6x-9（6）a 2+a+0.25（放手让学生讨论，达到熟悉公式结构特征的目的）．3.填空：（1）++mn m 31412 =+m 21( )2 （2）如果二次三项式4x 2+mx+36是一个完全平方式，则m= .4.公式特点(1）分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和（或差）的平方．从而达到因式分解的目的.（2） 让同学们自行总结平方差公式的特点，说说如何利用平方差公式分解因式.5.例题解析例1. 分解因式：（1）x 2-6ax+9a 2；（2）0.49x 2-144y 2.( 关注学生对公式模式的识别，突出多项式的变形与验算，向学生讲清算理，切不可死记硬背公式，防止盲目乱套公式)活动3：深化探究，拓展公式.例2. 分解因式：（1）(m+n)2-6(m+n)+9 （2）9（a+b ）2-(a-b)2( 学生有前面学习公式法的经验，可以让学生先前面的因式分解加以比较，然后尝试独立完成，然后与同伴交流、总结解题经验．可提示学生运用整体换元思想分散解题难点) 归纳公式模型：活动4：知识应用，巩固新知.1.用因式分解解决引例中的问题.(让学生感受数学解题方法的多样性，体会优化数学解法的必要性)2.已知:2a+b=6，2a-b=5,利用因式分解计算4a 2-b 2.( 讲解时可分组完成，1,2两组用解方程组的方法，3,4两组用因式分解的方法，比一比哪组完成的既快又对.注重渗透与培养学生的整体思想，突出因式分解在数学解题中的重要性.)活动5：归纳理解，回顾现实.学习因式分解内容后，你有什么收获，能将前后知识联系，做个总结吗？（引导学生回顾本大节内容，梳理知识，培养学生的总结归纳能力，最后出示投影片，给出分解因式的知识框架图，使学生对这部分知识有一个清晰的了解）活动6：课后作业.1.填空（1）4a 2=（ ）2；（2）49b 2=（ ）2； （3）0.16a 4=（ ）2； （4）1.21a 2b 2=（ ）2；（5）2x 2=（ ）2；（6）949x 4y 2=（ ）2． 2..下列各式是不是完全平方式？（1）a 2-4a+4 （ ）（2）x 2+4x+4y 2 （ ）（3）4a 2+2ab+14b 2 （ ）（4）a 2-ab+b 2 （ ）（5）x 2-6x-9 （ ）（6）a 2+a+0.25 （ ）3.填空（1）++mn m 31412 =+m 21( )2 （2）如果二次三项式4x 2+mx+36是一个完全平方式，则m= .4.练一练把下列多项式分解因式：（1）6a-a 2-9；（2）-8ab-16a 2-b 2；（3）-16+m 2n 2；（4）4x 2+20（x-x 2）+25（1-x ）2七、教学反思。
新沪科版七年级数学下册《8章整式乘法与因式分解8.3完全平方公式与平方差公式》教案_9
8.3.1 完全平方公式学情分析：学生基本掌握了单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则，能够运用这些乘法法则解决一些简单的实际问题。
教学目标：1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力；2、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算；3、了解完全平方公式的几何意义。
教学重点：1、弄清完全平方公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点；2、会用完全平方公式进行运算。
教学难点：会用完全平方公式进行运算教学方法：探索讨论、归纳总结。
教学过程：一、回顾1.多项式乘多项式的乘法法则；2.计算（a+b）·(a2-ab+b2)二、探究新知1.从整体和局部两个方面来看，这个图形的面积怎么表示？2.从中你发现了什么？发现：(a+b)2 = a2+2ab+b23.利用多项式的乘法法则证明上式的正确性：(a+b)2 =（a+b）·（a+b）= a2+ab+ab+b2= a2+2ab+b2例1.计算(1). (x+2y)2 (2). (4+y)2 (3). (2m+n)24.如何计算： (a-b) 2 ？5.归纳总结得出完全平方公式： (a+b)2 = a2+2ab+b2(a-b)2 = a2-2ab+b2语言归纳：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数乘积的2倍.6.分析归纳完全平方公式的特点：（1）积为二次三项式；（2）积中首、尾两项为两数的平方；（3）另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同；（4）公式中的字母a,b可以表示数，单项式和多项式。
顺口溜：首平方，尾平方，积的2倍在中央.7.试一试，下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？（1） (x+y)2 = x2 + y2（2） (x-y)2 = x2 + 2xy + y2例2. 用完全平方公式计算：(1). (2x-7y)2(2). (-2a - 5)2(3). (- a+3b)2例3. 简便计算：（1）1042（2）99.92三、巩固练习1.利用完全平方公式计算:(1) (x+2y)2 (2) (3y-2x)2(3) (- 3a- 5b)22.利用完全平方公式简便计算（1）1012（2）1982四、课堂小结五、作业：1. 第69页练习第1题2. 第71页习题8.3 第1题板书设计一、回顾二、完全平方公式1. (a+b)2 = a2+2ab+b22. (a-b)2 = a2-2ab+b2教学反思：本节课通过多项式的乘法法则推导出完全平方公式，让学生自己总结出完全平方公式的特征，注意不要出现如下错误：(x+y)2 = x2+y2 ，（x-y)2 = x2-y2，为帮助学生记忆完全平方公式，可采用顺口溜：首平方，尾平方，积的2倍在中央.教学中，教师可通过判断正误和练习题强化学生对完全平方公式的理解和记忆。
完全平方公式与平方差公式第1课时课件初中数学沪科版七年级下册
(a-b)2=a2-2ab+b2
语言描述： 两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加(或减)
这两个数乘积的2倍. 公式推广： 1.(-a-b)2=(a+b)2,(b-a)2=(a-b)2；
2.a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；
3.4ab=(a+b)2-(a-b)2.
四、典型例题
例3.运用完全平方公式计算：
(1)1022 ；
(2)992 .
分析：为方便计算，这里的102可看作100+2,99可看作100-1.
解： (1)原式=(100+2)2 =1002+2×100×2+22
(2)原式=(100-1)2 =1002-2×100×1+12
=10000+400+4 =10404；
（2）(a-4)2 ；
（4）(
1 2
x+
2 3
y)2
.
解： (1)原式=x2+2·x·3+32=x2+6x+9； (2)原式=a2-2·a·4+42=a2-8a+16；
(3)原式=(2x)2-2×5·(2x)+52=4x2-20x+25；
(4)原式=( 1 x)2+2·( 1 x)·( 2 y)+( 2 y)2= 1 x2+ 2 xy+ 4 y2.
(2-b)2=[-(b-2)]2 =(b-2)2 =b2-4b+4
归纳：(-a-b)2=(a+b)2,(b-a)2=(a-b)2.
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3．运用完全平方公式计算 (1)(-2x-3)2
沪科版七年级下册数学第8章 整式乘法与因式分解 公式法—— 完全平方公式
本题(3)、(4)运用了整体思想分解因式．解题的 关键是判断该多项式是否符合完全平方公式的结构 特点，若符合公式特点再确定公式中的a、b在本题 中所代表的是什么式子，分解因式的结果要分解到 每一个因式都不能再分解为止．
知2－练
1 因式分解4－4a＋a2，正确的结果是( ) A．4(1－a)＋a2B．(2－a)2 C．(2－a)(2＋a) D．(2＋a)2 2 把2xy－x2－y2因式分解，结果正确的是( ) A．(x－y)2B．(－x－y)2 C．－(x－y)2D．－(x＋y)2
知2－讲
(3)结果是加还是减由乘积项的符号确定，即乘积项的 符号可以是“＋”也可以是“－”，而两个平方项 的符号相同，否则就不是完全平方式，即也不能用 完全平方公式进行因式分解．
(4)用完全平方公式分解因式时，若多项式各项有公因 式要先提取公因式，再用完全平方公式分解因式．
知2－讲
例2 分解因式： (1)a2＋ab＋b142； (2)－2x3y＋4x2y－2xy； (3)(a－b)2－6(b－a)＋9；(4)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1.
知3－练
1.能提公因式的应先提公因式 2.能运用公式的再运用平方差、完全平方公式将 多3.分项解式因分式解的彻方底法14 步骤x ：12一2提、二套、三查
知识总结
知识方 法要点
关键总结
注意事项
平方差 公式
a2－b2＝(a＋b)(a－b).
左边是两个数的平方的 差；右边是两个数的和 与这两个数的差的乘积
1 分解因式：
知1－练
(1)4a2－12ab＋9b2；
(2)16－8xy＋x2y2； (3)－1－x－x2；1
4 (4)(a2－4a)2＋8(a2－4a)＋16.
七年级数学下册第8章整式乘法和因式分解8.3完全平方公式与平方差公式教案新版沪科版
8.3完全平方公式与平方差公式教学目标1、经历探究两数和乘以这两数的差的过程来推导平方差公式，理解平方差公式的结构特征，并能有意识地用平方差公式进行简单的运算；了解平方差公式的几何背景；2、在探究平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理、概括能力；通过平方差公式的几何背景的了解，体会代数与几何的内在统一；3、学生通过推导两数和的平方公式，了解公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，并能进行简单的计算，能用文字、字母表达两数和的平方公式；4、学生通过推导两数差的平方公式，了解公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，并能进行简单的计算，能用文字、字母表达两数差的平方公式.重点难点重点平方差公式的应用；两数和、两数差的平方的公式.难点（1）平方差公式的结构特征及其有效地应用；（2）平方差公式的几何意义；（3）对公式中字母a、b的广泛含义的理解与正确应用.教学设计活动一竞赛激智，建立模型，揭示公式问题1看谁能又快又准地回答下面4个小题的计算结果.(5＋3)(5－3)﹦________；(0.5＋0.3)(0.5－0.3)﹦_______；(5＋0.3)(5－0.3)﹦________；(0.5＋3)(0.5－3)﹦_______.（全部结果出来后）追问：你是如何计算的？设计意图：以通过竞赛为载体，以自主参与为教学形式，使学生从计算的快慢中产生疑惑：总是那几个算得快，我怎么也能象他们那样？进而激发学生的求知的热情.问题2：请计算下列多项式的积：(1)(x＋1)(x－1)﹦____________；(2)(m＋2)(m－2)﹦___________；(3)(2x＋1)(2x－1)﹦__________.（全部结果正确后）追问1：你们的计算结果有什么规律吗？追问2：你发现这些多项式的乘积的表达形式有什么规律吗？学生总结：（1）计算的结果都是两项的平方差，与以往两项乘以两项的结果大多是三项或四项不同；（2）这些两项乘以两项中，有一项是完全相同，另一项又是互为相反的；（3）结果是两项的平方差，并且是完全相同项的平方减区互为相反项的平方.师生互动：（a＋b）（a－b）﹦a2－b2两个数的和与这两个数的差的记，等于这两个数的平方差.教师：（1）这个公式叫做（乘法的）平方差公式.（2）公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式；（3）只要是符合公式的结构特征，都可以用公式进行计算.学生练习：1、下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的有___________.A(x＋1)(1－x)B(a＋b)(b－a)C(－a＋b)(a－b)D(x2－y)(x＋y2)E(－a－b)(a－b)F(c2－d2)(d2＋c2)2、下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？(1)（x＋2）（x－2）﹦x2－2；(2)(－3a－2)(3a－2)﹦9a2－4.设计意图：以学生熟悉的多项式的积为载体，以全部参与讨论、归纳总结为教学形式，由于计算的结果与以往的结果在表现的形式上有大的差异，以及平方差公式的发生过程的探究，体会到从一般到特殊的数学思想方法；通过选择、填空等的练习让学生了理解、掌握平方差公式的结构特征，从心里感受这种一般到特殊的数学思想方法的魅力.活动二师生互动、感知代数、几何的统一师：请同学们将准备的正方形纸板拿出：（1）设它的边长为a（图1），大家都知道它的面积为a2；（2）请同学们按图2剪去一个边长为b的小正方形，大家都知道剩下部分的面积为（a2－b2）；（3）请同学们将剩下的图形剪成（沿图2的虚线）两个长方形，并将一边长为b的小长方形拼到一边长为a的长方形后得图3；同学们都知道图3的一边长为（a＋b），另一边长为（a －b），面积为（a＋b）（a－b）；（4）同学们比较图2和图3不难发现它们面积的关系.生：它们的面积相等，即（a＋b）（a－b）﹦a2－b2.a－b图(1)图(2)图(3)师：我们通过拼图游戏给出了平方差公式的一种几何解释.这说明平方差公式具有直观的几何意义，也说明代数不只是计算，还有美妙的几何意义，这实际就是数学魅力.设计意图：通过学生拼图游戏，学生直观体验了平方差公式的几何意义，感受代数不只是计算，还有美妙的几何意义，亲身经历了数学魅力所在.活动三例题分析、指导应用、巩固理解例1运用平方差公式计算：(1)(a＋3)(a－3)(2)(2a＋3b)(2a－3b)(3)(1＋2c)(1－2c)(4)(－2x－y)(2x－y)分析：（1）在(1)中，可以把3看成b，即：(a＋3)(a－3)﹦a2－32(a＋b)(a－b)﹦a2－b2（2）将(2)调整成平方差公式形式计算.（3）（4）自主计算.例2：运用平方差公式计算：1998×2002设计意图：通过一则平方差公式简单的例题分析及应用，巩固理解了公式结构特征，让学生进一步感受到这种一般到特殊的数学思想方法的魅力.学生练习：运用平方差公式计算：（1）51×49；（2）（3x＋4）（3x－4）－（2x＋3）（3x－2）设计意图：这是平方差公式的拓展例题分析及应用，使学生进一步体会平方差公式的结构特征，能进一步灵活运用乘法公式、法则进行计算.学生活动：计算：（1）(a+b)(a+b)（2）(a-b)(a-b)（3）(x+3)(x+3)（4）(x-3)(x-3)教学活动说明：通过复习反馈旧知，为新知作铺垫，体现知识的连续性.创设情景提出问题，引入课题小组活动素材：有一位老爷爷非常喜欢孩子，每当有孩子到他家作客时，老爷爷都要拿出糖果招待他们.来一个孩子就给这个孩子一块糖，来两个孩子就给每个孩子两块糖，来三个孩子就给每个孩子三块糖……（1）地一天有a个小男孩一起去了老爷爷家，老爷爷一共给了他们_______块糖；（2）第二天有b个小女孩一起去了老爷爷家，老爷爷一共给了她们_______块糖；（3）第三天这(a+b)个小孩子一起去了老爷爷家，老爷爷一共给了他们_______块糖；（4）这些孩子第三天得到的糖果总数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？教学活动说明：学生分组讨论，从有趣的分糖情景中理解(a+b)2与a2+b2的关系.可激发学生学习的欲望，体现循序渐进的原则，利于运用所学知识解决实际问题从而引出课题.探究(a+b)2的几何意义1、（两人合作探究）：请同学们用自制长方形、正方形卡片拼出一个大正方形.按以下要点思考：（1）大正方形的边长是多少？（2）写出每一块卡片的面积.（3）用不同的形式表示正方形的总面积，并进行比较，你发现了什么？(a+b)2=a2+2ab+b2教学活动说明：由于正方形的总面积有多种表示方式，学生通过自己动手操作，观察、对比、猜想，了解(a+b)2=a2+2ab+b2的几何背景，对此公式有了一个直观的认识.2、（学生猜想）：(a-b)2=？教学活动说明：学生在直观认识的基础上，从代数角度推导公式，可以进一步理解算理.鼓励学生自己探索，鼓励算法多样化.知识归纳交流活动（学生活动）：用自己所理解的语言叙述公式.理解并掌握公式的结构特征.教学活动说明：有意识培养学生有条理的思考和语言表达能力，在交流的氛围中分享同学的想法.公式的运用（师生合作学习）：两数和（差）的平方公式计算第一题组（1）（a+1）2；（2）（a+3）2；（3）（2a+3b）2；（4）（2a+b）2；第二题组（1）（x-1）2；（2）（x-3）2；（3）（2x-3y）2；（4）（2x-y）2；第三题组（1）（-2m+n）2；（2）（-2m-n）2；（3）10012；（4）9992.(教学活动说明)：帮助学生理解公式中字母的广泛性，在练习的过程中掌握书写的格式.体会公式的应用价值.六、学生反馈练习（学生四大组竞赛活动）：（1）（2x+y）2；（2）（5a+4b）2；（3）972；（1）（2x-y）2；（2）（5a-4b）2；（3）2022；（1）（x+2y）2；（2）（4a+5b）2；（3）1012；（1）（x-2y）2；（2）（4a-5b）2；（3）992.(教学活动说明)：由每个组的组长抽题交给本组成员，限定每人只能做一题然后传给下一个同学，比速度、比合作、比准确，通过学生的共同努力完成任务.在巩固知识的同时培养团队精神和荣誉感.。
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教学设计
年级学科七年级数学（下）主备教师
授课班级授课教师课型新授课课题8.3.（1）完全平方公式
学习目标1.知识与技能：理解完全平方公式，运用完全平方公式进行简单计算。
2.过程与方法：了解完全平方公式的推导证明过程。
3.情感态度和价值观：培养学生归纳思考能力，发展口头表达能力。
重难点教学重点：完全平方公式的结构特点，语言表述，几何解释，完全平方公式的运用。
教学难点：完全平方公式的结构特点及灵活运用。
学法指导师生札记
导学过程一．创设情境，探究新知
1.活动探究
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种.(如下图）
a b
(1)四块面积分别为：_______、______、_______、_______；
(2)两种形式表示实验田的总面积：
① 整体看：边长为________的大正方形，S=________；
②部分看：四块面积的和，S=_____________.
总结：通过以上探索你发现了什么？
2..是否对任意a,b上述式子都成立？如何验证你的结论？
证明：多项式乘法法则
（a+b）2= a（a+b）+b（a+b）=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2．
=a2－2ab+b2．。