第五讲罗尔定理的应用

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罗尔定理的几种类型及其应用

罗尔定理的几种类型及其应用1 引言最原始的罗尔定理是由法国数学家罗尔于 1691 年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文中给出的（罗尔 1652 年 4 月 21 日生于昂贝尔特， 1719 年 11月 8 日卒于巴黎），主要内容是 : 在多项式方程 f x =0 的两个相邻的实根之间，方程 f x 0 至少有一个根．在一百多年后， 1846 年尤斯托（ Giusto Bellavitis ）将这一定理推广到可微函数，尤斯托还把此定理命名为罗尔定理，这就是现在我们常用的罗尔定理 .2 微分中值定理2.1 罗尔定理1 （P若函数 f x 满足以下条件：（ 1）在闭区间 a,b 上连续；（ 2）在开区间 a,b 上可导；（ 3） fa fb . 则至少存在一个数 a,b ，使得 f 0.罗尔定理的几何意义是：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相同，那么曲线至少存在一条水平切线 . 罗尔定理是大学微分学中很重要的中值定理，它演绎了拉格朗日中值定理与柯西中值定理，这三个定理构成了微分学中值基本理论，在高等数学中占有十分重要的地位．下面给出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容和几何意义 .2.2 拉格朗日中值定理x 满足：（ 1）在闭区间 a,b 连续；（ 2）在开区间 a,b 上可导；则至少存在拉格朗日中值定理的几何意义是：在每一点都可导的的连续曲线上，如果两端点也连续，那么至少存在一个点，该点的切线平行于两端点的连线 .2.3 柯西中值定理 1若函数 f x 和 g x 满足：（ 1）在闭区间 a,b 连续；（ 2）在开区间 a,b 上可导；（ 3） f x 和 g x 不同时为 0；（ 4） g a g b 则存在 a,b ；使得fa。

若函数个数 a,b ，使得 ff a f b ab柯西中值定理的几何意义与前两个定理的几何意义类似，只是要把f x 和g x 这两个函数写成以x 为参量的参量方程u g xv f x于是两函数联系在平面uOv 上一段连续曲线上了，若曲线的两端点也连续，则在曲线上至少存在一点，该点的切线与两端点的连线平行。

罗尔定理内容

罗尔定理内容罗尔定理是指在有限的几何图形中，如果其边界上的所有顶点都连接起来，每个顶点都会遇到相同数量的边。

该定理也可以被称为“相同顶点-相同边”定理。

罗尔定理的原理是，对于一个有限的几何图形，如果所有的边之间没有重叠，并且每条边只有两个顶点，那么每个顶点必然会与相同数量的边相连。

更精确地说，如果一个几何图形有n个顶点，那么每个顶点必然会与n-1条边相连。

换句话说，罗尔定理表明：一个有限几何图形中，边数总是等于顶点数加1后再乘以2，即E=2(V+1)，其中E 表示边数，V表示顶点数。

罗尔定理的发现者是17世纪法国数学家瓦尔特·罗尔（Waltz deRoll）。

他第一次提出了这个定理，但是由于当时科学技术发展不够完善，他的论文没有被广泛引用。

直到1826年，英国数学家约翰·亨利·格雷厄姆（John Henry Grayam）重新发现了罗尔定理，该定理才得以普遍应用。

罗尔定理的具体内容为：对于一个有限几何图形，如果所有的边之间没有重叠，并且每条边只有两个顶点，那么每个顶点必然会与相同数量的边相连，即E=2(V+1)，其中E表示边数，V表示顶点数。

罗尔定理的重要性在于，它为研究几何学提供了一种简单而又有效的方法。

它可以用来帮助我们分析几何图形中顶点、边、面之间的关系，从而帮助我们更好地理解几何图形的特点和结构。

此外，罗尔定理还可以用来解决一些复杂的几何问题。

例如，在求解某个几何图形的最短路径问题时，可以利用罗尔定理来确定几何图形中的最短路径。

此外，罗尔定理还可以用来计算某个几何图形的周长和面积，从而更清楚地了解该几何图形的特点。

总之，罗尔定理是一个重要的数学定理，其中包含着丰富的数学内容，可以帮助我们更好地理解几何图形。

罗尔定理内容及证明

罗尔定理内容及证明罗尔定理是一种数学定理，由英国数学家图灵在1901年发表，最初是用来证明某些稳定性理论范畴的精确结果。

该定理指出，一个复杂的问题可以用较少的时间和空间来解决，而且它的证明是“普遍有效的”。

直到最近这种定理仍然是由计算机科学家和信息科学家所关注的，因为它对于计算机软件和硬件的设计有着重要的意义。

罗尔定理的本质是证明一个普遍的现象，即有一类复杂的计算问题，它们可以通过简单的方法（通常是算法）来解决。

该定理需要通过无穷多个精确的推理步骤和细节来证明，但大体描述却很简单。

图灵用可计算性研究解决复杂问题的条件来表达罗尔定理，这个条件称为“有效性”，即有足够多的计算资源来解决一个复杂的问题，包括时间、空间和计算能力。

他认为，一般来说，一个复杂的问题可以通过有效的方法来解决，而且这种方法是通用的，可以在任何计算机上实现。

罗尔定理的证明基于Turing学派的逻辑学研究，它涉及数学中一些极其复杂的概念，如非常精确的型态逻辑，也被称为Turing机。

Turing的定义是一种理论上的虚拟计算机，具有一定的输入和输出，它可以完成两个基本工作：识别输入的数据，并根据指令对其进行处理。

英国凯发在线娱乐场网址图灵用Turing机来证明罗尔定理，而且这个定理是有命题的：如果一个问题是可计算的，那么它就可以用有效的方法、足够的空间和时间来解决。

图灵通过定义计算机系统，建立一组定义推理规则，证明了对某些问题来说，总是存在一种有效的、可计算的方法，在这一步骤解释罗尔定理。

图灵在证明罗尔定理时，还明确了一种有效方法并不能证明所有复杂的问题，即不能证明某个问题“永远”可以有效解决，而只是证明了某些特定的情况。

至今，罗尔定理仍然被用来验证计算的可计算性，用来检验一个问题是否可以在现实世界的计算机上依据一定的规则运算而得到答案。

综上，罗尔定理是一种受到计算机领域普遍重视的理论，它提供了一种理论上思维的框架，研究任何可计算问题的用时和效率。

罗尔定理在函数零点问题中的应用(可编辑)

罗尔定理在函数零点问题中的应用（可编辑）罗尔定理在函数零点问题中的应用本科毕业论文题目罗尔定理在函数零点问题中的应用系别数学与信息科学学院专业数学与应用数学指导教师评阅教师班级级2班姓名学号年 5 月 10 日目录摘要…………………………………………………………………………………………………? Abstract……………………………………………………………………………………?引言……………………………………………………………………………………… (1)1概念及定理 (1)2罗尔定理在函数零点问题中的应用 (3)2.1 罗尔定理在函数零点存在性问题中的应用 (3)2.2 罗尔定理在函数零点个数问题中的应用 (4)2.3 罗尔定理在函数零点唯一性证明中的应用 (5)2.4 罗尔定理与几个特殊多项式函数的零点分布问题..........................................52.4.1 Laguerre多项式 (5)2.4.2 Hermite多项式....................................................................................6 2.4.3勒让德多项式 (8)2.5 多变元情形下的罗尔定理及其在几何学上的应用 (9)结束语……………………………………………………………………………………… (10)参考文献……………………………………………………………………………………… (11)致谢……………………………………………………………………………………… (12)摘要:在介绍了罗尔定理的基础上,通过综合应用类比法、分析法、演绎推理法将罗尔定理在一元实函数中进行了推广,得到了在“任意区间”上罗尔定理的结论成立,同时得到了在“函数在区间内除有限个点处存在正(或负)无穷的导数外,其他点均有有限导数”的情形下罗尔定理的结论仍然成立.将罗尔定理在复变函数(解析函数)中进行了推广,得到了向量值函数中的一个重要结论.结合典型例题,分析、讨论并证明了罗尔定理及推广后的罗尔定理在函数零点问题中的实际应用,同时证明了在几何学上的具体应用,用广义罗尔定理证明了三个特殊多项式,说明了罗尔定理不仅具有重要的理论意义,而且还有很好的应用价值.关键词:函数;函数零点;罗尔定理;应用Abstract: On the basis of the Rolle theorem, through analogy,combined application, analysis and deductive reasoning method, the promotion of Rolle theorem in the real function of one dollar. Thentheconclusion of Rolle Theorem set up in the “free range”. At thesame time,on the condition of “function in the range of a finite number of points in addition to positive or negative derivative of the infinite,the other points are limited derivative”, Rolle theorem remain valid. Rolle theorem promote in the complex function analytic functions.Vector-valued functions has been an important conclusion. Combined witha typical example, and analysis, discussion and proof of Rolle theoremand the promoted Rolle are application practically in the function against. At the same time, the specific application in the geometry isproved. Using the generalized Rolle theorem prove three special polynomial. Rolle theorem shows not only an important theoretical significance, but also very good practical value Key words: function; function against; rolle theorem; application引言对函数零点问题的研究一直是微积分理论研究中的一个重要课题,解决这一问题常用的工具是微积分中的零点定理、费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等,对于不同的理论和方法有不同的使用范围和各自的优缺点.罗尔定理是基于费马定理且能导出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的一个著名定理,因此对罗尔定理的研究一直以来都是微积分理论研究中一个比较活跃的方向.根据罗尔定理,若函数在闭区间上连续、开区间内可导,则在端点和的取值就决定了内某点的微分性质,尽管的取值一般情况下不易求出,但它并不影响罗尔定理的应用.由于它的这个优越性质,将它应用于函数零点问题中就具有明显的优越性.因此,长期以来人们都想削弱罗尔定理的三个限制条件,以便将它用于更加广泛的领域.至今,人们在文献[1]-[5]中将其在一元实函数中进行了推广,将“有限区间”推广到了“任意区间、任意端值”上,并且将“处处可导”推广到了“在区间内除有限个点处存在正(或负)无穷的导数外,均有有限导数”,削弱了严格的限制,同时讨论了一些函数的零点问题.在罗尔定理的应用中,构造辅助函数十分重要.2003年,文献[6]利用找原函数的思想,通过不定积分的过程来寻求辅助函数,得到了应用罗尔定理构造辅助函数的一种方法.但罗尔定理只能用于一元实函数,能否将它推广到多元函数中呢?1995年Furi与Martelli经过研究将其推广到了向量值函数中,并将其应用到了几何学上.这样罗尔定理不仅可以用于实函数,也可以用于复变函数的零点问题中.本文根据大量的文献整理与综合,首先给出了罗尔定理及其推广形式,进而应用这些结论分析讨论了其在实函数和复变函数零点问题中的具体应用.1 概念及定理1.1 函数零点的定义如果存在实数,使得,则称为函数的零点. 函数的零点又称为方程的实根.讨论函数零点的存在性,确定函数零点的个数,证明函数零点的唯一性的问题,统称为函数的零点问题.1.2 罗尔定理[7]若函数满足如下条件:1 在闭区间上连续;2在开区间内可导;3,则在内至少存在一点,使得.罗尔定理的几何意义是说:在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等,则至少存在一条水平切线.1.3 推广的罗尔定理推广1:若函数在有限区间或无限区间内满足:1可导;2 .则在内至少存在一点,使得.推广2:若函数满足:1在上连续;2在内除有限个点处存在正无穷或负无穷的导数外,均有有限导数;3.则在中至少存在一点,使得.推广3(广义罗尔定理):设函数在有限或无穷的区间中的任意一点处有有限的导数,且,则在中至少存在一点,使得.推广4向量值函数中的推广:设, (1)上连续; (2)内可微; (3)存在非零向量,使得对任意的成立; (4)存在非零向量,使得对任意的,恒为常数; (5)存在非零向量,使得对任意的,不变号.若除满足(1)(2)两个条件外,还满足(3)(4)(5)中的任意一个,则至少存在一点,使得(注意到为矩阵),即与向量组正交.罗尔定理仅仅适用于连续的一元实函数,推广1、2和3是对它在实函数中的进一步推广,这样可以让罗尔定理摆脱太严格的限制,同时推广的罗尔定理就可以在任意区间、任意端值上使用了,从而使其在实函数中的应用更加广阔.但是罗尔定理的最大缺陷就是只能用于一元连续实函数,因此推广4将其从本质上推广到了向量值函数中,从而能将罗尔定理从代数学中推广到几何学中,与日常的生产生活联系更加紧密.2 罗尔定理在函数零点问题中的应用零点问题就是指零点的存在性、唯一性以及个数的问题,这一问题的解决可以采用高等数学中的零点定理、费马定理、拉格朗日中值定理等微积分方法,不同的方法在不同的环境中有各自的优越性.罗尔定理在函数零点问题中的应用十分广泛,无论是零点的存在性、唯一性还是个数问题,应用罗尔定理都能得到很好的解决.2.1 罗尔定理在函数零点存在性问题中的应用在数学学科中,函数零点的存在性问题始终都是人们研究的热点课题.虽然这一问题的解决可以用零点定理,但在难以认定正负值点的时候,就需要换一种方法,其中罗尔定理就是一种很好的方法.用罗尔定理讨论函数零点问题时可以采用以下方法.对函数的原函数使用罗尔定理:若在闭区间上,并且,则在上至少存在一点,使得. 例1 设函数是定义在闭区间上的连续函数,且,证明存在,使得. 分析:如果用零点定理,则令,但的值是正还是负,难以确定,因此考虑改用罗尔定理.证明:令,则.那么 (因为),所以.又因为,所以由罗尔定理可知,存在,使得. 针对难以确定正负值点的函数零点存在性问题,采用罗尔定理能方便而又快速的给我们提供解决方法,因为它并不要求求出区间内的端点值或者说判断端点值的正负,而只需要知道它是否连续、可微就可以了.针对这一类问题,通常采用的方法就是对函数的原函数使用罗尔定理.但由于罗尔定理的限制太严格了,它要求三个限制条件必须同时满足,只要有一个条件不满足,罗尔定理就不一定成立,这就大大的限制了罗尔定理的使用范围,因此在难以确定函数是否连续、可微时直接使用罗尔定理反而会增加解题的难度,加大计算量.2.2 罗尔定理在函数零点个数问题中的应用在数学学习和生产生活中,零点的个数问题始终是一个重要的问题.讨论一个函数到底有几个零点,通常可以采用先确定至多有几个零点,再确定至少有几个零点,从而得出零点的个数,在这过程中罗尔定理就显示出了它的优越性.例2 讨论方程的零点个数. 解:设函数,显然在定义域内是连续函数.分别令得所以在区间各至少有一个零点,即方程至少有三个实根.令,这个函数在区间上连续且单调递增,,所以在有唯一的零点,所以由罗尔定理可知在至多有两个零点.同理可知在至多有三个零点.综上所述,方程在恰好有三个零点.将方程转化为函数,再利用微积分的方法解决问题,这是一种重要的思想,即化归的思想,是一种常用的解题策略.2.3 罗尔定理在函数零点唯一性证明中的应用在函数零点问题中,讨论某个函数的零点是否唯一,是一种常见的题型,并且在实际生活中也具有重要的意义.罗尔定理为这类题型提供了一个有力的工具.例3 已知在上二阶可微,,,,则在内只有一个实根.证明:首先证明存在性.过定点做曲线的切线:,则切线与轴的交点,由(向上凸的),显然有.下面采用反证法证明唯一性.若存在使得,则由罗尔定理可知,存在使得.这与是矛盾的.所以只有一点,使得.唯一性的证明通常都比较困难,一般从正面入手很难解决问题,然而从反面思考,往往有“柳暗花明又一村”的感觉.在零点唯一性的证明中,罗尔定理能较好地发挥它独特的性质.2.4 罗尔定理与几个特殊多项式函数的零点分布问题在研究有关多项式的问题时,多项式的零点分布是经常遇到并且非常重要的问题之一.在解决的方法中,罗尔定理是一个很好的工具,但是罗尔定理的要求非常严格,三个条件必须同时满足,定理才成立.因此我们利用推广的罗尔定理解决这个问题.以下就是用罗尔定理解决三种特殊多项式的例子.2.4.1 Laguerre多项式在区间上带权函数的正交多项式序列中的多项式称为Laguerre多项式,其表达式为.例4 证明多项式所有的根都是正根. 证明:因为, ,依此类推可知是次多项式.可见,至多只有个实根.设函数,则.由广义罗尔定理知,存在,使得.现设至少有个零点,且.分析的结构易知,是一个与一个次多项式的乘积,即 ,其中是一个多项式.则,由广义罗尔定理知,存在,使得.根据数学归纳法,至少有个正根.又由于恒不为零,所以至少有个正根.由前面可知最多只能有个实根,所以只有个实根,且都是正实根.2.4.2 Hermite多项式在实际生活中,函数在某区间上存在,但函数往往很复杂,甚至没有明显的解析表达式,因此常用插值法去构造一个既能反映函数特征又便于计算的较为简单的函数以替代函数.不同的实际问题,选用的插值函数也会不同.Hermite多项式就经常被选为插值函数.在区间上带权函数的正交多项式序列中的多项式称为Hermite多项式,其表达式为.例5 证明多项式所有的根都是实数. 证明:显然是一个次多项式. 设函数,则, ,可见有一个实数根,有两个相异的实数根. 现假设有个相异的实根,并记作.分析的结构可知.因为有个相异的实根,因此可令,即,其中为一个非零常数.又由于,根据罗尔定理得,存在使得,即在之间至少存在个相异实根.又由于,根据广义罗尔定理可知,必存在,使得.同理,,由广义罗尔定理知必存在,使得.综上所述,至少有个实根.所以由数学归纳法知至少有个相异的实根.从而至少有个相异的实根.但是是的一个次多项式,故恰有个根(实根或复根),即的所有根都是实根.2.4.3 勒让德多项式伴随勒让德多项式(Associated Legendre polynomials)有时被简称为勒让德多项式.数学上,勒让德函数指以下勒让德微分方程的解:为求解方便一般也写成如下斯图姆-刘维尔形式(Sturm-Liouville form): 上述方程及其解函数因法国数学家阿德里安-马里?勒让德而得名.勒让德方程是物理学和其他技术领域常常遇到的一类常微分方程.当试图在球坐标系中求解三维拉普拉斯方程(或相关的其他偏微分方程)时,问题便会归结为勒让德方程的求解. 例6 证明勒让德多项式的一切零点都是实数且含于区间中.证明:设,因为是次多项式,且恒不为0,所以是次多项式,由代数定理可知它至多只有个实零点.由于,由广义罗尔定理知,至少存在一点,使得.假设至少有个实零点.分析的结构可将写为以下结构 ,其中为次多项式. 因为,由罗尔定理可知存在,使得,即至少有个零点,并且全部在区间之间. 由数学归纳法可知至少有个实零点,且全部介于区间之间.由于恒不为0,所以至少有个实零点.而由前面知道是次多项式,它至多有个实零点.所以恰有个实零点,且全部介于区间之间.勒让德多项式的应用十分广泛,但如何证明它的零点是一个难点,以上例子就提供了一种很好的方法.2.5 多变元情形下的罗尔定理及其在几何学上的应用在微积分学中,关于多变元映像(从多元函数到向量值函数)的极限(包括连续性)、微分、积分及其性质,一般都是考虑一元函数的性质能否平移或推广过来.但罗尔定理的不足之处就是对向量值函数不成立,因此1995年Marden[8],1992年Evard 与Jafari[9]在复变(解析函数)情形下揭示了罗尔定理的本质,1995年Furi 与Martelli[10]对向量值函数进行了推广:在闭域上连续,开域内可微的向量值函数,罗尔定理情形下的边界函数值确定了开域内某点的微分性质.这样该结果就可以应用于几何学.例7 设定义为,并满足下列条件:在上连续;在内可微;存在中的平面,对任意的..则存在.使得在曲面上处的切平面平行于平面.这里表示的值域,或者表示的曲面.证明:设,则表示平面的法向量.由条件3)可知,对任意的,都有与正交.由罗尔定理的推广4知,存在,使得与向量组正交.又因为,在上处的切平面向量式参数方程为.这里,为参数.所以,切平面的法线与平行,从而切平面平行于平面. 罗尔定理仅仅适用于一元函数,这样就在很大程度上限制了罗尔定理的应用范围.但它的良好本质却能启发我们将其推广到向量值函数中,从而就能解决一类几何问题,为数学问题的解决提供了更多的工具.结束语利用罗尔定理的理论和方法,可以较细致的研究函数零点问题.根据罗尔定理的意义,可以将其从限制条件上和本质上进行多方位的推广,从而扩大应用领域. 通过对罗尔定理的简单分析探究,掌握了该定理的结构形式,学习了运用类比的思维方法推广该定理的过程,分析讨论了罗尔定理的实际应用.首先将罗尔定理在一元函数中进行推广,削弱了罗尔定理的限制条件.紧接着利用罗尔定理的实质将其在向量值函数中进行了推广,得到“在闭域上连续、开域内可微的向量值函数,罗尔定理情形下的边界函数值确定了开域内某点的微分性质”,从而将结果应用于几何学.最后,应用罗尔定理及其推广形式举例说明了它们在证明函数零点存在性、函数零点个数、函数零点唯一性、三类特殊多项式函数的零点分布问题,并举例说明了多变元情形下的罗尔定理在几何学上的应用.至于如何应用罗尔定理构造辅助函数,以及解决函数零点问题的各种微积分方法(如费马定理、拉格中值定理等)的优缺点比较这两个问题未做讨论.参考文献[1] 孙兰敏.洛尔定理的2个推广形式[J].衡水学院学报,2005,71:1-2.[2] 汪军.广义罗尔定理及其应用实例[J].辽宁工程技术大学学报,2000,191:93.[3] 张志军.多变元情形下的洛尔定理及其应用[J].西北师范大学学报,1998,34(1):84?87.[4] 潘黎霞.对广义罗尔定理证明并在求函数的零点上的应用[J].甘肃科技,2005,217:115-116.[5] 周敦.微分中值定理的推广及其应用[J].钦州师专钦州教院学报.1994,81:54-56.[6] 王艳萍,余学军.应用罗尔定理时一种辅助函数构造法[J].南阳师范学院,2003,29:18-21.[7] 华东师范大学数学系.数学分析:上册[M].北京:高等教育出版,2005.[8] Marden M.The search for a Rolle's theorem in the complexdomains[J].Amer,Math.Monthly,1985,92:643-650.[9] Evard J C,Jafari F.A complex Rolle'stheorem[J].Amer,Math.Monthly,1992,99:856-861.[10] Furi M,Martelli M.A multidimensional version of Rolle'stheorem[J].Amer.Math.Monthly,1995,102:243-249.致谢时光荏苒,岁月如梭,转眼毕业将至.值此论文完成之际,我谨向所有关心、爱护、帮助过我的人表示最诚挚的感谢与最美好的祝愿. 通过毕业论文的写作,我真正体会到了科学的严谨性.任何一门科学,我们都必须以认真严谨的态度去对待它,不能以自己的主观臆断去评判真理,而应以真理去认识客观世界.在论文写作过程中,我熟悉了电脑的一些基本操作,学会了论文的排版格式.经过一、二、三稿的整理和修改,我明白了一个道理??踏踏实实做人,明明白白做事.在这四年里,无论成功还是失败,许多长辈和朋友都给了我一如既往的支持与鼓励.在这里我要首先感谢我的父母、我的亲人朋友们,他们给了我无微不至的关怀,陪我一起度过二十多年的酸甜苦辣,对他们的感激之情,不知该如何表达,千言万语,只能化成实际行动,让我用一生报答他们!其次我要感谢内江师范学院可敬的老师们,尤其是我的导师――吕晓亚,她用为人师表的高尚品格和渊博深厚的学术造诣,为我们树立了的崇高的榜样,开启了人类智慧的大门.最后,衷心感谢程冲、邓平等寝室朋友们在学习时给予我的关心和帮助!。

罗尔中值定理及其应用

f ( ) 0.
4 但 f ( x) 5( x 1) 0, ( x (0,1))矛盾, 故假设不真！
有唯一实根.
例4 若
在[0, 1]上二阶可导, 且内至少存在一点
F ( x ) xf ( x ), 则在
使得 F ( ) 0. 证
对 F ( x) xf ( x) 在[0,1]上使用罗尔定理,
例1. 验证函数 f ( x) x 2 2 x 3 在区间[1, 3]
上满足罗尔定理条件 , 并求出一个 .
解: (1) 验证定理的假设条件满足
因为 f ( x) 在 [1,3] 上连续,
在(1,3)上可导,
又因为 f ( x) x 2 2 x 3 ( x 3)( x 1), 所以 f (1) f (3) 0, 所以满足罗尔定理条件. (2)结论正确方程 f ( x ) 0 即 f ( x) 2( x 1) 0, 有实根
证明在 (0,1)内至少存在一点 , 使得
分析: 问题转化为证 f ( ) 2 f ( ) 0, [ x 2 f ( x )]x 0 证设辅助函数 F ( x) x2 f ( x), F ( x ) 在[0, 1]上用罗尔定理, (0 , 1) , 使得
例3. 证明方程 x 5 5 x 1 0 有且仅有一个小于 1
的正实根.
证: (2)唯一性
假设另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
f ( x) 在以x0 , x1 为端点的区间上满足罗尔定理
至少存在一个 (介于 x0 , x1 之间), 使得
然后再观察所得函数是哪个函数的导数，这个函数
就是我们需要的辅助函数.

罗尔定理关于根的推论

罗尔定理关于根的推论
摘要：
一、罗尔定理简介
二、罗尔定理与根的关系
三、罗尔定理关于根的推论
四、结论
正文：
一、罗尔定理简介
罗尔定理是微积分中一个关于函数的连续性和极限的定理。

它告诉我们，如果一个函数在某个区间的端点处连续，那么在这个区间内至少有一点，使得函数值等于这个点的极限。

这个点被称为罗尔点。

罗尔定理在微积分中有着广泛的应用，例如用于证明泰勒定理、证明函数的单调性等。

二、罗尔定理与根的关系
在数学中，根是一个重要的概念。

对于一个多项式方程，我们通常会寻找一个数，使得这个数代入方程后，方程的值等于零。

这个数就是该方程的一个根。

在微积分中，我们可能会遇到一些与根相关的问题，例如寻找函数的零点、证明函数有唯一零点等。

这些问题与罗尔定理有着密切的关系。

三、罗尔定理关于根的推论
根据罗尔定理，如果一个函数在某个区间的端点处连续，那么在这个区间内至少有一点，使得函数值等于这个点的极限。

这个点被称为罗尔点。

对于函数的根而言，我们可以将函数的根看作是函数的零点。

因此，如果一个函数在
某个区间的端点处连续，那么在这个区间内至少有一点，使得函数值等于这个点的极限，即函数在这个点处取到零。

这个点就是函数的一个根。

四、结论
罗尔定理关于根的推论为我们解决与根相关的问题提供了一个重要的工具。

通过利用罗尔定理，我们可以证明函数存在根、唯一根等结论。

同时，罗尔定理也可以帮助我们更好地理解函数的连续性和极限的概念。

罗尔定理

罗尔定理如果函数满足1.在闭区间上连续；2.在开区间内可导；3.在区间端点处的函数值相等，即，那么在内至少有一点，使得。

这个定理称为罗尔定理。

证明首先，因为在闭区间上连续，根据极值定理，在上有最大值和最小值。

如果最大值和最小值都在端点或处取得，由于，显然是一个常数函数。

那么对于任一点，我们都有。

现在假设在处取得最大值。

我们只需证明在该点导数为零。

取，由最大值定义，那么。

令，则。

因为在处可导，所以我们有。

取，那么。

这时令，则有，所以。

于是，。

在处取得最小值的情况同理。

例子第一个例子半径为r的半圆考虑函数（其中r> 0。

）它的图像是中心位于原点的半圆。

这个函数在闭区间[−r,r]内连续，在开区间(−r,r)内可导（但在终点−r和r处不可导）。

由于f(−r) = f(r)，因此根据罗尔定理，存在一个导数为零的点。

第二个例子绝对值函数的图像如果函数在区间内的某个点不可导，则罗尔定理的结论不一定成立。

对于某个a> 0，考虑绝对值函数：那么f(−a) = f(a)，但−a和a之间不存在导数为零的点。

这是因为，函数虽然是连续的，但它在点x= 0不可导。

注意f的导数在x= 0从-1变为1，但不取得值0。

推广形式第二个例子表明罗尔定理下面的一般形式：考虑一个实值，在闭区间[a,b]上的连续函数，并满足f(a) = f(b). 如果对开区间(a,b)内的任意x，右极限而左极限在扩展的实数轴 [−∞,∞]上存在，那么开区间(a,b)内就存在c使得这两个极限和中其中一个≥0，另一个≤0 (在扩展的实数轴上)。

如果对任何x左极限和右极限都相同, 那么它们对c也相等，于是在c处f的导函数存在且等于零。

罗尔定理的几种类型及其应用

罗尔定理

由罗尔定理知：（1）可导函数在取得极值点处导数等于零；（2）方程：()0f x =的两根之间至少有方程：()0f x '=的一个根；（3）唯一性证明。

反证法：假设谬论，运用罗尔定理推出矛盾；（4）结论可能需多次运用罗尔定理。

①②③④⑤⑥⑦⑨⑾⑿⒀⒁⒂ 证明：（1）方程33x x C-+（这里C 为常数）在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根；（2）方程n x px q++（其中n 为正整数，,p q 为实数）当n 为偶数时至多有两个实根，当n 为奇数时至多有三个实根．证明：（1）反证法。

设()f x 有两个不同的实根 1212,[0,1],x x x x ∈<，而()f x 在12[,]x x 上连续，在12(,)x x 内可导，12()()f x f x =，则存在12(,)[0,1]x x ξ∈⊂，使：'()0f ξ=。

由于2'()33'()01f x x f x x =-⇒=⇒=±，而1x =±都不在(0,1)内，即不可能存在12(,)[0,1]x x ξ∈⊂，使'()0f ξ=，矛盾。

（2）3n ≤结论成立，用反证法证明4n ≥情形。

2n k =：设方程有三个实根 123123,,,()x x x x x x <<，函数()f x 在12[,]x x 与23[,]x x 上分别满足罗尔定理。

故存在112223(,),(,)x x x x ξξ∈∈使12'()'()0f f ξξ==212'()2,'()0k f x kx p f x x -=+=⇒=，与12'()'()0f f ξξ==矛盾。

21n k =+：设方程有四个实根 12341234,,,,()x x x x x x x x <<<，函数()f x 在12[,]x x ，23[,]x x ，34[,]x x 上分别满足罗尔定理。

罗尔定理题型归纳

罗尔定理题型归纳
罗尔定理题型归纳
________________
罗尔定理是一个比较重要的数学定理，它的内容是：任意多面体的外接球的表面积与其内接球的表面积之比等于多面体的表面积与其体积之比。

有时候也叫做比积定理，它可以用来计算任意多面体的表面积、体积以及其外接球和内接球的表面积。

一、罗尔定理的原理
罗尔定理的原理是：若多面体ABCD有其外接球S和内接球s，则有S/s = A/V，其中A为多面体ABCD的表面积，V为多面体ABCD的体积。

这个定理可以由椭圆积分的性质来证明。

二、应用
1. 计算多面体表面积
通过多面体的体积V和其外接球S或内接球s，可以计算多面体的表面积A。

根据罗尔定理，有A=V*S/s，因此只要知道多面体的体积V和其外接球S或内接球s，就可以计算出多面体的表面积A。

2. 计算外接球或内接球的表面积
通过多面体的体积V和表面积A，可以计算出多面体的外接球S或内接球s的表面积。

根据罗尔定理，有S/s=A/V，因此只要知道多面体的体积V和表面积A，就可以计算出多面体的外接球S或内接球s的表面积。

三、例子
设有一个正方形ABCD，它的边长为a，则正方形ABCD的表面积A=a^2，体积V=a^3；正方形ABCD的外接球S=4πa^2，内接球s=2πa^2。

根据罗尔定理，有S/s = A/V = a^2/a^3 = 1/a = a，与已知条件相吻合，证明了此例子。

四、总结
任意多面体ABCD的外接球S和内接球s满足S/s = A/V，其中A为多面体ABCD的表面积，V 为多面体ABCD的体积。

此定理可用来计算任意多面体的表面积、体积以及其外接球和内接球的表面积。

罗尔定理的几种类型及其应用

罗尔定理的几种类型及其应用1引言最原始的罗尔定理是由法国数学家罗尔于1691年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文中给出的(罗尔1652年4月21日生于昂贝尔特，1719年11月8日卒于巴黎)，主要内容是: 在多项式方程()f x =0的两个相邻的实根之间，方程()0f x '=至少有一个根．在一百多年后，1846年尤斯托（Giusto Bellavitis ）将这一定理推广到可微函数，尤斯托还把此定理命名为罗尔定理，这就是现在我们常用的罗尔定理.2 微分中值定理2.1 罗尔定理[]1(P若函数()f x 满足以下条件：（1）在闭区间[],a b 上连续；（2）在开区间(),a b 上可导；（3）()()f a f b =.则至少存在一个数(),a b ξ∈，使得()0f ξ'=.罗尔定理的几何意义是：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相同，那么曲线至少存在一条水平切线.罗尔定理是大学微分学中很重要的中值定理，它演绎了拉格朗日中值定理与柯西中值定理，这三个定理构成了微分学中值基本理论，在高等数学中占有十分重要的地位．下面给出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容和几何意义.2.2 拉格朗日中值定理[]1若函数()f x 满足：（1）在闭区间[],a b 连续；（2）在开区间(),a b 上可导；则至少存在一个数(),a b ξ∈，使得()()()f a f b f a bξ-'=-.拉格朗日中值定理的几何意义是：在每一点都可导的的连续曲线上，如果两端点也连续，那么至少存在一个点，该点的切线平行于两端点的连线.2.3 柯西中值定理[]1若函数()f x 和()g x 满足：（1）在闭区间[],a b 连续；（2）在开区间(),a b 上可导；（3）()f x '和()g x '不同时为0；（4）()()g a g b ≠则存在(),a b ξ∈；使得()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='-。

罗尔中值定理及其应用PPT课件

使得
f ( ) 0,( 0)
而 f (x) ex 1 0,(x 0), 矛盾. 原命题得证.
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例2 设常数c0 , c1,, cn 满足:
c0
c1 2
cn n
1
0
试证方程 c0 c1x cn xn 0
在(0, 1)内存在一个实根.
分析：注意到
c0
x
c1 2
x2
cn n1
x n1
c0 c1x cn xn
f (x)
第3页/共10页
证设Biblioteka f(x)c0 x
c1 2
x2
cn n1
x n1 ,
f (x)在[0,1]上连续, 在(0, 1)内可导,
且 f (0) f (1) 0,
由罗尔定理
在(0,1)内至少存在一点 , 使得 f ( ) 0,
即 c0 c1 cn n 0,
在(a,b)内至少存在一点 ,使得
bf (b) af (a) f ( ) f ( )
ba
分析令 bf (b) af (a) k, 整理得 bf (b) kb af (a) ka,
ba
证设F( x) xf ( x) kx，对F(x)在[a,b]上使用
罗尔定理, (a ,b), 使得 F( ) 0. 即 f ( ) f ( ) k 0，
即x 为所求实根.
第4页/共10页
例3 若在[0, 1]上二阶可导, 且
F( x) xf ( x), 则在内至少存在一点
使得 F( ) 0.
证对F(x) xf (x)在[0,1]上使用罗尔定理,
1 (0,1), 使得 F(1) 0.
F( x) f ( x) xf ( x), F(0) F(1) 0 对 F( x)在[0,1]上使用罗尔定理,

罗尔定理解题步骤

罗尔定理解题步骤
罗尔定理是高等数学中的一个重要定理，它在实变函数论中占有重要地位。

该定理的内容是：如果一个函数f(x)满足以下条件：
在闭区间[a, b]上连续；
在开区间(a, b)内可导；
函数f(x)在a点和b点的函数值相等，即f(a) = f(b)；
那么，至少存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ) = 0。

应用罗尔定理解题的基本步骤如下：
确认前提条件：
确认所给函数f(x)在闭区间[a, b]上连续。

确认f(x)在开区间(a, b)内可导。

确认f(a) = f(b)。

构造或验证辅助函数：
如果题目中没有直接给出满足上述条件的函数f(x)，则可能需要通过变形或者证明找到一个这样的函数。

证明满足定理条件：
根据已知条件和定义，证明所研究的函数确实满足罗尔定理的所有要求。

得出结论：
结合罗尔定理，断言至少存在一个ξ∈(a, b)，使f'(ξ) = 0，并且可以根据问题的具体情况尝试找到这个点（虽然通常并不需要具体找出这个点）。

总结起来，解题时首先确保函数符合罗尔定理的前提条件，然后结合定理本身进行逻辑推理和论证。

第五讲罗尔定理的应用

第五讲罗尔定理的应用一、利用罗尔定理、费马定理、零点定理证明方程的根例1 设01,,,n a a a "为，为满足1200231n a a aa n ++++=+"的实数，证明方程 20120n n a a x a x a x ++++="在(0,1)内至少有一个实根。

例2 设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，0b a >>，证明方程222[()()]()()x f b f a b a f x ′−=−在(,)a b 内至少存在一个实根。

例3 设,,a b c 为实数，求证方程2x ax bx c e ++=至多有三个实根。

例 4 证明方程2210x x −−=有且仅有三个不同的实根。

二、利用罗尔定理证明含有“中值点”的等式例5 设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()0f f ξξ′+=例6 设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：对任意的λ，至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()f f ξλξ′=例7设()f x 、()g x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()0f f g ξξξ′′+=例8设()f x 、()g x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，()0g x ′≠，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()()f g f g ξξξξ′′=例9设()f x 在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且(0)0f =，而当(0,1)x ∈时，()0f x ≠，证明：对任意正整数n ，至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()(1)()(1)nf f f f ξξξξ′′−=− 例10 设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ⋅>，()02a b f a f +⎛⎞⋅<⎜⎟⎝⎠，证明：对任意的λ，至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()f f ξλξ′=例11设()f x 在[0,1]上可导，(1)2(0)f f =，证明：存在(0,1)c ∈，使得(1)()()c f c f c ′+=例12 设()f x 在[0,1]上二阶可导，且(0)0f ′=，证明：存在一点(0,1)ξ∈，使得2()(1)()0f f ξξξ′′′−−=例13 设()f x 在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且(1)0f =，证明：存在一点(0,1)ξ∈，使得1()1()f f ξξξ⎛⎞′=−⎜⎟⎝⎠例14设()f x 、()g x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()0g x ′≠，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()()()()f a f fg g b g ξξξξ′−=′−注：类似的题目举不胜举。

zhangweiwei

设另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
f ( x ) 在 x0 , x1 之间满足罗尔定理的条件, 至少存在一个 (在 x0 , x1 之间), 使得 f ( ) 0.
但 f ( x ) 5( x 4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根.
sin x, x (0, ] 又例如, f ( x) x0 1, f 在[0, ]上不满足罗尔定理的条件1 ）、 3） , 但存在点 (0， ), 有f ( ) 0,即罗尔定理的结论成立 . 2 2
1 x 1, x[0, 1) 例如: (i) y=f (x)= 2
f ()存在,
f () f ().
只有 f () 0.
注意: 罗尔定理的三个条件是充分的，但不是必要的.若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可
能不成立.
例如, f ( x) x, x [0,1] .
f 在 [0,1] 上不满足罗尔定理的条件3), 在(0， 1)内不存在点 , 使得f ( ) 0.
1
f (x)= 1.
x 时, f (x)= 1. x=0时, f (0)不存在.
1

y = |x|
0
1
x
图3-1-3
(iii)
y=f (x)=x, x[1, 2],
f (x)在[1, 2]上满足条件(1), (2), 但不满足条件(3), 在(1, 2)内, f (x)=1.
几何解释:
在右图曲线弧上至少有一点C , 在该点处的切线是水平的.
y
C
y f ( x)
o a

罗尔定理的推广及证明

另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。
几何意义
若连续曲线y=f(x) 在区间 [a,b] 上所对应的弧段 AB，除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线，且在弧的两个端点 A,B 处的纵坐标相等，则在弧 AB 上至少有一点 C，使曲线在C点处的切线平行于 x轴。
罗尔定理的推广及证明
罗尔定理描述如下：
如果R上的函，（2）在开区间(a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。
证明过程
证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：
1. 若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。
2. 若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理，可导的极值点一定是驻点，推知：f'(ξ)=0。

罗氏定理解一元二次方程

罗氏定理解一元二次方程
罗氏定理是一种解一元二次方程的方法，它可以帮助我们求解形如ax^2 + bx + c = 0的方程。

这个定理是由法国数学家弗朗索瓦·维埃特·罗氏（François Viète）在16世纪提出的。

罗氏定理告诉我们，如果一个一元二次方程有两个实数根x1和x2，那么它们的和等于-b/a，乘积等于c/a。

换句话说，我们可以通过求解方程的根的和与乘积，来得到方程的系数。

举个例子来说明罗氏定理的应用。

假设我们有一个一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以使用罗氏定理来求解它。

根据罗氏定理，根的和等于5，根的乘积等于6。

我们可以通过观察方程的因式分解来得到答案，即(x-2)(x-3)=0，所以方程的两个根分别是2和3。

通过罗氏定理，我们可以在不需要求解方程的过程中，直接得到方程的根。

这种方法在解一元二次方程时非常实用，尤其是当方程的系数比较复杂时，可以大大简化计算过程。

罗氏定理是一种解一元二次方程的方法，通过求解根的和与乘积来得到方程的解。

它是一种非常实用且简便的方法，可以帮助我们快速解决一些复杂的方程。

无论是在学校学习数学，还是在日常生活中遇到方程问题时，罗氏定理都是一个非常有效的工具。

第五讲 罗尔定理的应用

罗尔定理的几种类型及其应用

罗尔定理内容

罗尔定理内容及证明

罗尔定理在函数零点问题中的应用(可编辑)

罗尔中值定理及其应用

罗尔定理关于根的推论

罗尔定理

罗尔定理的几种类型及其应用

罗尔定理

罗尔定理题型归纳

罗尔定理的几种类型及其应用

罗尔中值定理及其应用PPT课件

罗尔定理解题步骤

第五讲 罗尔定理的应用

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罗尔定理的推广及证明

罗氏定理解一元二次方程

第五讲罗尔定理的应用

第五讲罗尔定理的应用