对一道竞赛题的变式探究_吴数才
一道高中数学联赛题的研究
一道高中数学联赛题的研究福建省福州第三中学（350003） 黄炳锋2005年全国高中数学联赛福建赛区预选赛最后一道试题：设集合A 和B 都是由正整数组成的集合，9||,10||==B A ，并且集合A 满足如下条件：若v u y x A v u y x +=+∈,,,,，则},{},{v u y x =.令},|{B b A a b a B A ∈∈+=+，求证：50||≥+B A （其中||X 表示集合X 的元素个数）.参考答案给出的解法是：考虑一般的情形，设n B m A ==||,||，},...,,{21k s s s B A =+，对任意的k i ≤≤1，设i s 有)(i f 种方式表示为b a +的形式，其中B b A a ∈∈,，即...2211=+=+=i i i i i b a b a s)()(i f i i f i b a +=，则显然有mn k f f f =+++)()2()1( .对任意的)(1i f t r ≤<≤，考虑集合},{it ir b b ，则有2)(i f C 个这样的集合，对于k i ,,2,1 =，共有2)(2)2(2)1(k f f f C C C +++ 个集合，下面证明这些集合是两两不同的.若不然，则存在k j i ≤<≤1及r b 、)(t r B b t ≠∈使得t r i b u b x s +=+=，t r j b y b v s +=+=，其中A v u y x ∈,,,，从而v u y x +=+，由题设知},{},{v u y x =，若v y u x ==,，则t r b b =，不可能；若u y v x ==,，则j i s s =，不可能.从而22)(2)2(2)1(n k f f f C C C C ≤+++ ，即 ++-+++)2()1([})]([)]2([)]1({[222f f k f f f)](k f +n n -≤2.由柯西不等式2222221)]()2()1([1})]([)]2([)]1({[n m kk f f f k k f f f =+++≥+++ ， 所以n n mn n m k -≤-2221，即12-+≥n m n m k .当9,10==n m 时，501910910012=-+⨯=-+≥n m n m k . 该解法从组成集合B A +的元素入手，构造集合B 中具有某些特征的双元集是两两不同的，建立不等量关系得到不等式，同时利用柯西不等式求出||B A +的范围，该证法比较抽象，难度大，考生基本没有与此类似的解答，可见不适合考生的一般思维。
一道竞赛题展开的变式与研究
在 一起 ， Ａ为公共 顶 点 ， ／ ＿Ｂ Ａ Ｃ＝
Ａ 彤 ＝ ９ ０ 。 ． 如果 ａＡ ＢＣ固定 不
动， ＡＡ Ｆ Ｇ绕 点 Ａ旋 转 ， 边 Ａ Ｆ， Ａ Ｇ与 Ｂ Ｃ 边 分 别 交 于 点 Ｄ， Ｅ ．在 旋 转 过 程 中 ，
Ｄ Ｅ ＝ Ｂ Ｄ ＋ Ｃ Ｅ 是否成立？若成立 ， 请证 明； 若不
由．
（ ３ ） 请判断在边 Ｃ Ｄ上有没有梯形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ的直角拐点？并说明你 的理由． 评析 “ 直角拐点” 是个新定义 ， 对学生而言 ， 只要不存在害怕心理 ， 仔细阅读理解有关条件 ， 解决它 难度不大． 若教师在平时的课堂教学中能有意识地渗透此类问题 ， 则可以有效地提高学生分析问题和解决
问题 的能力．
在中考的系统复习中 ， 教师应多钻研中考试题的特点 ， 根据不同的知识 、 能力和思想方法的要求 ， 精选
例题 ． 在 复 习课 的选 题 中应 充分关 注一些适 度 开放 和探 索 的 问题 ， 较 多地 渗 透新 背 景 的试 题 ， 使 学 生 自己
能给出对问题的理解 、 解答 ， 解题后加强反思 ， 总结经验 ， 通过提高思维能力、 增强解题直觉 ， 从而提高对综 合题的适应能力和突破能力 ， 提高学生的解决新颖试题的适应能力 ， 提高学生的数学素养． 平时的教学要 重在 能力 的培 养上 ， 以不 变应 万变 ， 靠“ 题海 战术 ” 、 “ 见 多识 广 ” 、 “ 猜题 押 宝 ” 制胜 的做 法是 行不 通 的 ！ 参 李昌官． 用积极的考试引导积极的教 学 考 文 献
１ ． 在 边 长为 ａ正方形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中 ， ， Ｆ分 别是 边 Ｂ Ｃ ， Ｃ Ｄ上的点， 满足 ＝ Ｂ Ｅ＋ Ｄ Ｆ， Ａ Ｈｊ ＿ Ｆ （ 如图 ６ ） ． 求证 ： （ １ ） Ｅ Ａ Ｆ＝ ４ ５ 。 ； （ ２ ） Ａ Ｈ＝０ ． ２ ． 在边 长为 口正方 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中， Ｅ， Ｆ分 别 是边 Ｂ Ｃ， Ｃ Ｄ上 的点 ， Ａ Ｈ上 （ 如图６ ） ． 如果 Ａ Ｈ＝０ ， 求
用竞赛题改编习题的题例分析
用竞赛题改编习题的题例分析(江苏省六合高级中学南京211500) 吴劲松用竞赛题训练学生的思维提高学生的能力是许多教师所推崇的方法之一．首先，竞赛题的背景涉及广泛，题材新颖独特，能活跃学生的思维扩大学生的视野，例如有些竞赛题以科学发展和科技前沿为题材设置了新的情境，把贴近生产和生活的运用题材赋于了新的活力等．其次，竞赛题重视物理学思想方法的体现和运用，对训练学生思维的深度和灵活性大有益处，例如在竞赛题中强调建立物理模型和物理图景，强化运用数学解决物理问题，借助微元法、极限法等多种方法求解等．另外，还有些竞赛题中有精美的过程设计，多知识点的综合，设置多样化的隐含和临界，巧妙的设问与讨论等，激发学生对自身智力和潜能的再开发．但是，如何用好竞赛题达到训练的目的并非易事．总体上来说竞赛题难度大，并不适合用作平时对大多数学生训练的选题，就是作为例题讲评，效果也不会太好．以竞赛题为题源进行改编是值得推荐的好做法，在这个方面，源于竞赛题改编的高考题就是典范，常常给人耳目一新的感觉．本人在平时的教学中注重研究竞赛题，也尝试对一些竞赛题进行改编，在改编的过程中所思所想所做不知是否可取，以案例的形式呈现出来与同行交流．改编竞赛题应把握几个原则：1．遵循课程标准，舍弃或修改超纲内容；2．充分体现原题的设计思想，保留原题的精华；3．努力降低难度，适应大多数学生的智力水平和知识水平．以下是对第25届全国中学生物理竞赛的预赛试题的部分计算题进行改编的案例分析．案例一原题（第14题）一电流表，其内阻Rg=10.0Ω，如果将它与一阻值R0=44990Ω的定值电阻串联，便可成为一量程U0=50V的电压表．现把此电流表改装成一块双量程的电压表，两个量程分别为U01=5V和U02=10V．当用此电压表的5V挡测一直流电源两端电压时，电压表示数为4.50V；当用此电压表的10V挡测该电源两端的电压时，电压表示数为4.80V．问此电源的电动势为多少？分析本题难度不大，考查电表的改装和测电源电动势两个实验的基本原理，最终要求出电源的电动势．审题可知要求电源的电动势首先要求出电流表的满偏电流和改装表的两个分压电阻，然后根据改装表对电源的两次测量列方程才能求得，有些学生分析不出这种隐含的过渡关系，所以认为不简单．改编对策1．减少一个计算过渡，直接给出电流表的满偏电流；2．搭建台阶，把一问拆分成两个小问．改编题1 一电流表，其内阻Rg=10.0Ω，满偏电流I g=1.00mA．现把此电流表改装成一块双量程的电压表，两个量程分别为U01=5V和U02=10V．（1）画出改装成电压表的电路原理图，并求出分压电阻的阻值．（2）当用此电压表的5V挡测一直流电源两端电压时，电压表示数为4.50V；当用此电压表的10V挡测该电源两端的电压时，电压表示数为4.80V．问此电源的电动势为多少？答案（1）原理图如图1所示，R1=4990Ω，R2=5000Ω（2）5.14V5图1案例二 原题（第15题） 为训练宇航员能在失重状态下工作和生活，需要创造一种失重的环境．在地球表面附近，当飞机模拟某些在重力作用下运动时，就可以在飞机座舱内实现短时间的完全失重状态．现要求飞机在速率为v 1=500m/s 时进入失重状态试验，在速率为v 2=1000m/s 时退出失重状态试验．重力加速度g =10m/s 2．试问：（1）在上述给定的速率要求下，该飞机需要模拟何种运动，方可在一定的范围内任意选择失重时间的长短？试定量讨论影响失重时间长短的因素．（2）飞机模拟这种运动时，可选择的失重的时间范围是多少？分析 本题的难度在于隐含了飞机可以做任意抛射角的斜抛运动，知道设抛射角，运用斜抛运动的规律找出失重时间与抛射角的关系，然后再根据关系式求时间的极值，确定可选择的失重的时间范围．要学生破解题目设问中的隐含和对斜抛运动的定量求解与讨论是本题的难点．改编对策 1．变隐含设问为明确求解；2．变一般性的研究为求解特例；3．为了不使难度降得过低，添加一问考虑相对运动定量计算的设计．改编题2 为训练宇航员能在失重状态下工作和生活，需要创造一种失重的环境．在地球表面附近，当飞机模拟某些在重力作用下运动时，就可以在飞机座舱内实现短时间的完全失重状态．现要求飞机在速率为v 1=500m/s 时进入失重状态试验，在速率为v 2=1000m/s 时退出失重状态试验．若有两架飞机在同一地点同时开始模拟，甲飞机做平抛运动，乙飞机做竖直上抛运动．重力加速度g =10m/s 2．试问：（1）甲、乙两飞机失重的时间之比为多少？（2）失重开始后5s 时，两飞机之间的距离为多大？它们的连线与水平方向的夹角为多少？ 答案 （1）2）；45º案例三 原题（第17题） 如图2所示，1和2是放在水平地面上的两个小物块（可视为质点），与地面的滑动摩擦系数相同，两物块间的距离d =170.00m ，它们的质量分别为m 1=2.00kg ，m 2=3.00kg ．现令它们分别以初速度v 1=10.00m/s 和v 2=2.00m/s 迎向运动，经过时间t=20.0s ，两物块相碰，碰撞时间极短，碰后两者粘在一起运动．求从刚碰后到停止运动过程中损失的机械能．分析 本题是一道常规的力学综合题，考查学生对直线运动、牛顿定律、动量和机械能四个部分知识的应用能力，尤其是要求学生要有较强的分析推理能力．本题的难点是物块与地面间的动摩擦因数未知，要通过计算并讨论才能找出两物块相碰前的运动状态．改编对策 1．改变已知量的设置，降低找碰前状态的难度；2．照顾考查力学的四个部分的均衡，把一个问题改成相关联的四个小问题．改编题3 如图2所示，1和2是放在水平地面上的两个小物块（可视为质点），与地面的动摩擦因数均为μ=0.02，它们的质量分别为m 1=2.00kg ，m 2=3.00kg ．现令它们分别以初速度v 1=10.00m/s 和v 2=2.00m/s 迎向运动，经过时间t=20.0s ，两物块相碰，碰撞时间极短，碰后两者粘在一起运动，最终停下．试求：（1）两物块相碰前瞬间的速度各是多少？（2）两物块开始运动时的距离为多大？（3）它们碰撞过程中损失的机械能为多少？（4）它们共同运动的位移为多大？答案 （1）v 1=6m/s ；v 2=0（2）170m （3）21.6J （4）14.4m图2案例四原题（第20题）光子不仅具有能量，而且还具有动量，频率为ν的光子的能量为hν，动量为hν/c，式中h为普朗克常数，c为光速．光子射到物体表面时将产生压力作用，这就是光压．设想有一宇宙尘埃，可视为一半径R=10.0cm的小球，其材料与地球的相同，它到太阳的距离与地球到太阳的距离相等．试计算太阳辐射对此尘埃作用力的大小与太阳对它万有引力大小的比值．假定太阳辐射射到尘埃时被尘埃全部吸收．已知地球绕太阳的运动可视为圆周运动，太阳辐射在单位时间内射到位于地球轨道处的、垂直于太阳光线方向的单位面积上的辐射能S=1.37×103W·m-2，地球到太阳中心的距离r se=1.5×1011m，地球表面的重力加速度g=10m·s-2，地球半径R e=6.4×106m，引力恒量G=6.67×10-11N·m2·kg-2．分析本题是考查两个不同方面知识的组合题，其中推导光压的表达式较难，解题过程中信息的处理量较大且容易相互干扰，再加上化简和数值运算较繁也增加了本题的出错率．改编对策1．提取素材改编成两个独立的题；2．适当减小化简和计算的运算量．改编题4 设想有一宇宙尘埃，可视为一半径R=10.0cm的小球，其材料与地球的相同，它到太阳的距离与地球到太阳的距离相等，试估算太阳对尘埃的万有引力的大小(保留二位有效数字) ．已知数据如下：引力恒量G=6.67×10-11N·m2·kg-2地球到太阳中心的距离r=1.5×1011m地球绕太阳做圆周运动的周期T=3.15×107s地球半径R e=6.4×106m地球表面的重力加速度g=10m·s-2答案0.14N改编题5 光子不仅具有能量，而且还具有动量，频率为ν的光子的能量为hν，动量为hν/c，式中h为普朗克常数，c为光速．光子射到物体表面时将产生压力作用，这就是光压．设太阳辐射相当于全部发出的是频率为ν的光子，其辐射的总功率为P．在距离太阳为r处有一个半径为R 的球形宇宙尘埃，它能全部吸收太阳辐射．求太阳辐射对此尘埃作用力的大小．答案22 4R P r c案例五原题（第21题）设空间存在三个相互垂直的已知场：电场强度为E的匀强电场，磁感应强度为B的匀强磁场和重力加速度为g的重力场．一质量为m、电荷量为q的带正电的质点在此空间运动，已知在运动过程中，质点速度的大小恒定不变．（1）试通过论证，说明此质点作何种运动（不必求出运动的轨迹方程）．（2）若在某一时刻，电场和磁场突然全部消失，已知此后质点在运动过程中的最小动能为其初始动能（即电场和磁场刚要消失时的动能）的一半，试求在电场、磁场刚要消失时刻该质点的速度在三个场方向的分量．分析本题对质点的受力分析和质点在空间的运动图景的建立要求较高，要有较强的空间想象能力和立体几何的基本功．构建质点是与三个场均有夹角的匀速直线运动的图景是难点之一，严格论证出质点只能作匀速直线运动是难点之二，在电场和磁场全部消失之后，质点作斜抛运动，要搞清楚斜抛运动的速度与三个场方向的关系是难点之三，所以能完整解答本题的学生很少．改编对策1．把论证改为已知；2．给出已知量的具体数值降低空间想象的难度；3．转化难点，去掉第二问斜抛运动在三维坐标系中的分析，改为让质点在二维平面内做轨迹为摆线的运动．改编题6 设空间存在三个相互垂直的已知场：电场强度为E=2.0V/m的匀强电场，磁感应强度为B=1.0T的匀强磁场和重力加速度为g=10m/s2的重力场，在空间所取的直角坐标Oxyz中，场的方向如图3所示．一质量为m=2×10-9kg，电荷量为q=1.0×10-8C的带正电的质点在此空间作速度为v0=4m/s的匀速直线运动．（1）求质点运动的速度方向与磁场方向的夹角；（2）若撤去电场，质点从坐标原点由静止释放，求运动过程中离x轴的最大距离和第一次到达x轴的坐标．答案（1）45º或135 º（2）0.8m；0.8π m（提示：质点在原点静止时可以考虑有沿x轴正方向和沿x轴负方向的两个大小相等的速度，其沿x轴正方向的速度使质点受洛仑兹力与重力平衡，沿x轴负方向的速度使质点在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，所以质点的运动可看作是沿x轴正方向的匀速直线运动和匀速圆周运动的合运动．）oBgExyz图3。
对一道竞赛题的变式探究
【 试题 分 析 】
本题是一道高 中数学竞赛第二试的试题， 初 看此题， 它表现出的“ 简约美” 就深深地吸引了笔
者， 深刻研究后发现其 内涵十分丰富， 前后鲜 明 的对 比不禁让笔者感慨， 命题专家的灵感与智 慧 真是匠心独运．此类竞赛试题应是教师开展教 学研究的宝贵资源， 深入研究， 才能仔细体会试 题的命题意图、 命题技巧与创新特色．充分运用 这些 试题 ， 对拓 展 学 生， 尤其 是 优 秀 生的视 域 、 分 析与解决问题的能力和探究能力都很有好处．
图 １
的弦， Ｚ Ｄ应是弦切 角，由弦切 角定理知 则 ＣＡ Ｄ＝ Ａ ＢＤ； 之若 反 Ｄ ： Ａ Ｄ， 是 △Ａ ＢＤ外接圆的切线．于是 问题化归为 证明 Ｃ Ｄ ＝ ＡＢＤ． 笔者利用几何画板度量 角度功能分别测得 ＡＤ Ａ 的度数， 、 发
现 Ａ ＝ ＡＢ Ｄ Ｄ． 操作确认， 打消了笔者怀 疑的念头！ － 但笔者仍没有找到可行的方法．
２１ 年第 ５ ０２ 期
数 学数 学
５ｓ 一
对一道竞赛题的变式探究
２ ００ 安徽省马鞍山市成功中学 汪宗兴 ４０ ３
２ １ 年第七届北方 数学 奥林 匹克邀请赛试 ０１ 卷（ 第二天） 第六题 的题 目 如下： 如图１ ，过 点 Ｊ 引 ｏ （ 的 切 线 尸 和 割 线 Ｆ ） ＝ ） ＰＢＣ， ＡＤ 上 Ｐ（， 足为 点 Ｊ． ＝垂 ） ［ ） 求证： Ｃ是 ＡＡ Ａ ＢＤ＃ 接 圆的切 线． Ｆ
助 线 太 多， 且 角度 转 化过 于频 繁 ， 法 能 否简 而 此
．
．
Ｃ Ｄ
’ ． ．
ＡＤ
△
Ｄ ∽ △ ＣＡＤ ．
‘
．
ＡＢ Ｄ ＝ ＣＡＤ ．
对一道初中物理竞赛题的数学探索
河水的速度时，不论人游泳速度的方向如何，总 时过河位移达到最小值。现在我们变换一下角
是被水冲向下游。怎样才能使人的位移最短呢？ 度，假设圆的切线给定，让一动点在切线上移
如图 4，设人游泳方向与河岸成 θ 角，合速 动，考察该点在移动过程中有关量的变化，我们
度 V 与河岸成 α 角。可以看出 α 角越大，人的 设置：
（米），此人还需要
110 5
=22 （秒），
到 B 点需用时
秒；如果此人要用最短的路 因此此人要以最短时间过河，则它从 A 到 B 要
程到达 B 点，则他从 A 点到 B 点的路程为
年
第
米。
用 100+22=122 （秒）。 因此第一个空应填 122 秒。
期
下面我们用数学方法对这道竞赛题进行分析
第一个空是比较简单的，我们要探讨的是本
图2
如图 2，根据物理学知识，当人以垂直于河
图1
岸的方向游向对岸，过河时间最短为
120 1.2
=100
问题 1. 某河流两岸相距 120 米，河水流速 （秒），但由于水的冲力 ， 此 人 在 对 岸 下 游 2 ×
为 2 米／秒，某人要从岸边 A 点到对岸下游某处 100=200 （米） 的 C 处上岸，此人还需要以 5 米/秒
视
属性，提高数学研究能力有较大意义。
我们看到，上面的问题利用图形直观，得到
比较圆满的解决。如果不利用这种直观性，而用
纯粹的数量关系怎样得到这些问题的解答呢？
图6
就问题 1 本身，我们计算第二个空。
分析：过 A、B 做一个圆与 x 轴正半轴相
分析：由于人游泳速度和水流速度都已知，
切 ， 切 点 即 为 所 求 C 点 。 根 据 切 割 线 定 理 ， 就这些数据，如图 7，我们考虑，如果人用最短
用数形结合的方法解竞赛题
图 ４
Ｉ ＰＣＩ ｌ ≥ ＤＣＩ Ｉ Ｉ＋ Ｉ Ｉ ｌ Ｉ ． ＰＡ ＰＢ ≥ ＡＢ ．
－１ ． ）
＋（ ｓ
Ｉ
了
一
Ｉ２ ＜．
令 ３＝Ｙ． 不等 式化 为 则
如 设
Ｐ（ Ｏ ， ｎ０ ． ＣＳ ｓ ） ｉ
（ ） ） ０ ， ， ， ｃ ｚ
Ｉ
丽
一
研
Ｉ２① ＜．
由双 曲线定 义 ， 满 足不 等 式① 的点 知
（ ，） 戈Ｙ 在双 曲线
．
难 ． 点往 往 在于 寻 找 转化 问题 的关 键 所 在 难 或最佳 方 法． 本文 通过 实例作 一介 绍．
／ 一 ２ １ １ ２ ３ ３ — ／ Ｎ ４ ０
一
＿
。
Ｊ ＼
２
一
＼３＋ｖ５ ２．＝ ＿
，
／
、一 ３ ｋ
１ 构造 直线 系 例 １ 已知实 数 、 足 Ｙ满 ３ｌ ＋ ｌ ≤６ ＋ｌ ２ｙ一１ Ｉ ｌ ．
则２ ３ 一 ｙ的最 大值 是一 …
ｖ一
一了 一
２
ｋ３＋ ｙ ７ Ｏ ２＋ － ｘ
图 ｌ
①
【 评注】 此解将平 面上 的点 与不等式的
解组（ Ｙ 建立一一对应关系 ， ，） 使解题 思路
简洁 明 了． 例 ２ 二元 函数
，
（００ 全国高中数学联赛四川省预赛） ２１，
于是 ， ０ ＝Ｉ ＡＩ ＢＩ ＣＩ其 ） ＋Ｉ ＋Ｉ Ｐ Ｐ Ｐ ， 中， Ｐ在 ０ Ｄ ＋ ，＝１ 上． 点 （ ， ）
（一）一 ｌ ３ ｝＝
Ｊ
因ｏ－Ｂ于 Ｄ１ ， 为Ｄ Ａ 点（， 且 ￣ 切 竽）
一道高中数学联赛试题的探究与发现
图１
圆ｃ 。 ： ＋ 告＝ １ （ 口 ＞ ｂ ＞ ｏ ）
“ Ｕ
．
：
和 双曲 线： Ｃ ： ｘ一 告： １ （ 口 ＞
“ 【 ，
０， ｂ＞ ０ ） ， 过椭 圆 Ｇ 上一 点 Ｐ
图２
由点 Ｐ在 ２ 条切线上， 知
因此 直 线 ＭＮ 的方程 为
Ｘ ０ ＋Ｙ ｏ Ｙ ｂ ．
作双 曲线 ｃ 的 ２条切线 Ｐ ，
Ｐ Ｎ， 则 椭 圆在 点 Ｐ处 的切 线斜 率 ｋ 与 双 曲线 切点
Ｘ １ ０＋Ｙ１ Ｙ ｏ ｂ ， Ｘ２ Ｘ ０＋Ｙ ２ Ｙｏ ｂ ，
弦Ｍ Ｎ的斜率 ｊ ｝ 满足 。 ＋ ： ０ ．
Ｕ Ｕ
ｂ＞ Ｏ ） 和圆 Ｃ ： ＋ ： ｂ ， 过椭 圆 Ｃ ｌ 上 一点 Ｐ作 圆 Ｃ 的 ２条切 线 Ｐ ， Ｐ Ⅳ， 则 椭 圆在 点 Ｐ处 的切 线 斜
Ｌ２
６
一
ｎ
６ 。 ’
（ ２ ０ １ ０年全 国高 中数 学联 赛 江西省 预 赛试题 ）
１ 探 索
证明 如图１ ， 设 Ｐ（ 。 ， Ｙ ｏ ） ， ｍ（ ｘ １ ， Ｙ １ ） ， ｍ（ ｘ ２ ， Ｙ ２ ） ， 则 ２条 切 线 肼 别 为
Ｘ１ ＋Ｙ Ｉ Ｙ ｂ ． Ｘ ２ ＋Ｙ ２ Ｙ ｂ 。
．
性质 ２ 如图 ２ ， 已知椭
／ 了 。 添 ， Ｐ Ⅳ 的 方 程 分
证 明 设 Ｐ（ ０ ， Ｙ ｏ ） ， ｍ（ ｘ １ ， Ｙ ） ， Ⅳ（ ２ ， Ｙ ） ， 则
令 ｙ ＝ 。 ， 得 ｍ ＝ 筹 ０ ； 令 ＝ 。 ， 得 ／ ２ ＝ 等 Ｏ ， 结 合 点 Ｐ （ 。 ，
一道竟赛题的思考
一道竟赛题的思考湖北省黄石市下陆中学702班李杰指导老师：周国强前不久竞赛卷上有这样一道填空题：一列数按如图所示的规律排列，若第4行从左到右第2个数记为（4，9），那么数17应记作_________．考完后，我是用数数的办法，得出答案的，虽做对了，但心里总觉得不是个滋味：本题如果是求一个较大的数（如168等）的位置，如果用死数的办法那又要数到猴年马月呀？于是，我作了如下的思考：观察发现图中的数据排列有如下规律：1．从整体看，是从1开始的连续自然数排列；2．行数序号=该行数的个数；3．奇数行：从左到右依次增大；4．偶数行：从左到右依次减小；5．每行末端（最后一个数）具有如下特征：奇行：右端数=；偶行：左端数=．（n为行数序号）解：首先确定数17所在的行：令=17，即=34。
因为和是连续自然数，而乘积最接近34的连续自然数是5和6，但由于5×6＜34，所以17应在第6行．在来确定数17是该行的第几个数：因为第5行末端是＝15，而第6行的数有6个且从左到右是依次减小（即从右到左依次增大），所以17是第6行从左到右的第5个数，故17应记为（6，5）．有了这种解法，就不怕较大的数了，比如数2009在第几行，从左到右是第几个数，记作什么？令=2009，即=4018．因为和是连续自然数，而乘积最接近4018的连续自然数是63和64，但由于63×64＝4032＞4018，所以2009应在第63行。
现在来确定数2009是该行的第几个数：因为第62行末端数是＝1953，而第63行的数有63个且从左到右是依次增大（即从右到左依次减小），所以2009是第63行从左到右的第56个数，故2009应记为（63，56）．事实上，对于任一正整数M，欲知它在第几行从左到右第几个数，1．用公式=M（M为正整数）找到最接近2M值的两个连续自然数a和b（a＜b），若a×b ＜2M，则数M一定在第b行，若a×b ＞2M，则数M一定在第a行．2．确定该数是从左到右的第几个位置：先用公式=M，计算出b(或a)的前一行的最末端的数＝＝P(或＝＝P)（P为正整数），再依规律2、3、4，考虑b（或a）的奇偶性，若b（或a）是奇数，则数M一定在从左到右的第M－P个位置；若b（或a）是偶数，则数M一定在从左到右的第b－（M－P）+1（或a－（M－P）+1）个位置．注：此文发表于<数理天地>初中版2009年第7期.。
居高临下看本质 小试“牛刀”妙解题——对一道竞赛题的再探究
总 步 数 为 Ｉ一２ ＋ Ｉ ｌ Ｘ一４ ＋ Ｉ Ｉ Ｘ一６ ＋ Ｉ Ｙ Ｉ Ｉ一７＋ｌ 一４＋ Ｙ Ｉ Ｙ一８ Ｉ ．
ｌ Ｘ一１ ＋ Ｉ一２ ＋ ｊ 一４ ＋ ｌ一３ ＋ Ｉ Ｉ Ｉ Ｙ Ｉ Ｉ Ｙ一５＋ ｌ Ｉ Ｙ一７． Ｉ
由绝 对 值 的几 何 意义 ， 得
曲线 ． 图 ２ ， Ｏ与 ＧＯ 内切， ￣Ｏ 外切 ； 如 ① Ｇ ｌ 与 ２ 如 图２ ，三 ） ￣Ｏ 外切， ￣Ｏ 内切． 们 ② （二与 ） （ １ 与 ２ 它 的 圆心 轨 迹 分 别 是 双 曲线 的一 支 ． ２ ．与 已知 两 圆都 内切 ， 都 外 切 或
ｏ（ 与 ｏ（ 、ｏ二 都 内切 ， 都外切 的圆 ＝ ） 二 ） １ （ ） ２ 或 有 无 数 个， 圆心 轨 迹 是 “ 定 点 Ｏ１ ２ 其 到 、Ｏ 的 距 离 之 差 等 于 定 长ｒ １一 ｒ” 双 曲 线 ．如 ２的
我 们 不 禁 要 问， 少 步 数 到 底 是几 ？ 最
图２
下 面 看 另 一种 情 形 ．
Ｂ＝（， ２， １－ ）ＤＣ＝（ ３ 一 ） 一 ， １，
・ －－－－－ －
其实 ， 决本题 的关键是两 个方面：定形 解 和 定位．所 谓 “ 定形” 就是判 断能否组成 三角 ， 形 以及 三 角 形 的 形 状 ； 谓 “ 所 定位 ” ，二 与 ￣Ｏ 外 在 ④（ ） １ ２ 离， ｒ 且 】＞ ？” ＿ 的条件下 ， 已知两 圆都相切 ２ 与 的圆， 以下几种情况 ： 有 １ 与 已知两 圆一 圆外切， 圆内切 ． 一 ＧＯ与 ￣Ｏ１ 、￣Ｏ２ 圆 外 切 ，一 圆 内 切 ， 一 这 样 的 圆可 以作无 数个， 圆心 轨迹 是 “ 定 其 到 点 （ｌ 二 的距离 之差 等于 定长 ｒ ＋ｒ” ＝ 、（ ｝ ） ２ １ ２的双
对一道竞赛题及其解法的商榷
”这里两
厶
Ｉ行・盟９２一ｍ・导＝ｏ．
－
个等式是怎么得来的？应该有必要的说明才
慧≠１，所以ｇ一乐≠１＇（１５分）
所以Ｂ７Ｃ７∥Ａ７Ｄ ７，且Ｂ’Ｃ７≠Ａ７Ｄ’，所以
四边形Ａ７Ｂ’Ｃ７Ｄ７是梯形． 参考答案和评分细则估计是由命题人提 供的，给出的证明看是图文并茂简单简洁，实 则过分粗略缺乏定量分析存在很大漏洞，参 考答案过分依赖图形直观，默认Ａ７ Ｃ７与 Ｂ’Ｄ’相交于点Ｄ，忽视定量分析，遗漏了Ａ’， Ｂ’，ｃ，，Ｄ’４点共线这一情形． ３对竞赛矗的研究 下面是笔者以研究的心态和追求完美的 思想指导下，用解析法和综合法对Ａ７Ｂ ７Ｃ’Ｄ 究，与读者交流． ３．Ｉ用解析法探究 设对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点０，以ＡＣ 所在直线作为ｚ２１盯’Ｙ０２瓣，
口（６２一ｃ２）
２ａｂｃ
所以ｃ，（警≯’６２２ａ＋ｃ２ｂｃ
同理可得Ａ’（一
－－ｈａ即可）
又当ｃ＝一再６时，西矿＝（６，厢６），剪
Ｉ，．
’
Ａ口（６２一ｃ２） ６２＋ｃ２
一丽Ｊ。
２ｈａｂｃ、
＝（一丢口，一譬ｎ）．由ｃ＞Ｏ得ｂ＜Ｏ，所以瓦矿
厶 厶
与孬矿同向，于是当６一一百１口即口一－－２ｂ时，
６（口一ｚｏ）－－ｃｙｏ＝０， 且ｐ ６．ｚｏ＋ｃｙｏ一口６—０． （２）
所以直线ＢＤ的倾斜角为１２０。，即么ＢＯＣ＝
１２０。．又因为当ｃ一一痂时，面矿＝（６，届），
直线ＯＢ７的斜率为石，所以直线ＯＢ７的倾斜
角为６０。，从而么Ｂ ７０Ｄ一６０。，故４点Ａ７，Ｂ７， ｃ，，Ｄ’所在直线就是么ＡＯＢ的平分线所在的 直线．
石霄＝一．：Ｉ石矿，石矿＝一Ａ石矿，
有ＯＡ＝ＯＤ，于是有ＡＣ—ＢＤ，故此时梯形
原题精彩 变式更精彩——对一道数学选择题的变式探究-论文
相关 ， 昼 夜长短 的变化 与太 阳直 射点的移动方 向有
一
对太 阳直射点 的移动 导致南 北半 球昼 夜长 短变化 的讨论也仅 仅停 留在 文字分析 方面 。 ［ ２ 关于 太 阳直 射点的纬度 问题有用数学分析和推导 的， 也有利用黄 经推导出太阳直身 寸 的纬度 ５ ｜ ： ＝ ａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｎ （ ０ ３ ９ ． ７ ７ ７ ５ ｓ ｉ ｎ ｋ ） ， 是黄经度 。 并有分 时问段利用 日期推导太 阳直射
、
题 目呈 现
题 目： 如图 １ ， 已知在 ＡＡ Ｂ Ｃ中 ， ／Ａ Ｂ Ｃ ＝ ９ ０ ｏ ，
决此 类题 目可 以达 到“ 知识 与方 法 ” 同步 提高 的效 果． 在一题 多解教学 中 ， 首先要 注重通性通 法 ， 其次 才是研究最 优解法 ， 最后要 对研究的 问题从知识技
，
解 得 ｃ 争．
所以 『 、 ｆ Ａ Ｃ 一 ＝
＿ ＿ 一２ 、 ／ ２ １
・
得 ＝ ＝ ， 所 以 Ｄ
￣ ｆ （ １ ） ． ２ Ａ Ｃ ＝ ３ ＝ ３ Ａ Ｄ ＝ 丁 ２ Ｖ ￣ｆ －
．
， 因 此 ４ Ｄ 务，
活 叉 青 仔
（ 三） 构造 “ 等积” 变换
线 三等角” 型基本 图形 ） ， 运用全等三 角形的判定 和
性质 以及勾 股定理进行 计算 ． 此题有 一定难 度 ， 主
． 教学参考 ２ ０ １ ５ ／ １ ‘ ２ ■一
。
备 课 泰 考
（ 四） 构造 “ 二元二 次” 方程 组 新 颖 又别 致
／ ＿ Ｂ Ｃ Ｆ ＝ ９ ０ 。 ，则
一类竞赛试题的解法探索与结论推广
（ 仅｛ ＝ ｉ） ２ 当当 且 ｌ： ＝ 或 。 ｆｆ ／＝ （ 。 Ｏ
时 ，上 面 两式 取 等号 ） ．２ｌ ≤２，即 ｌ １ ． ’ ． ａｌ ａＩ ．
区 ０２ ，］ 上满足１ （ ≤ ， ａ的 ｆｘ ２ 求ｌ 最大值 ， ） Ｉ 并写 出Ｉ取得最大值时的 ａ ｌ 一个函数表达式．
志 （
４ｇ Ｐ （— ）
）ｆ 厂 Ｉ Ｉ（ （ ］ ＋ ） Ｉ
而
整 理得 ２ ＝［ ２一厂 １ ＋１０ 一厂１ ， ａ ｆ（） （］ ［（） ＿ ） ） 厂 （］
’
． ．
’ ｆ ＝ （ ＝ ， ｆ（） 厂２ ｇ － ） ／ ） Ｐ 厂 ＝ （ ＝ ， 厂 （ ， ）
）
／（
） （ ＝口
） ６
可 得 厂（ ＋ ） ） ２ 一 ／（
） 下 －ｍ ｚ ＝ （ ｎ ）
，
第 二 步 可得 一个 通 式 ， ） 厂， 一 ／ （ ＋－ ｚ ２ （ （）
） ：
．
‘ ＝
（ ， （
）＋ ］㈣
一 厂
（ 这也 是 为什 么选 择 区 间 的两端 点 与 中点 所 对 应 的三 个 函数值 的式子 ，便 可 破解 这 类 问题 ） ；
） 一 ｐ，
） ，再 两边 取 绝 对 值 ，利 用绝 对 值 不 】
‘ ．
等式的性质 ，注意到取等条件 ，问题便可迅速获解 ． 题 １的解答 ￣ｆ（） ｏ ｏ ＝Ｃ， ｆ １＝ａ ｂ ｃ， Ｏ （ ） ＋ ＋
ｆ ２ ＝４ ＋ ６ Ｃ， （） ａ ２ ＋ 发现 ｆ ２ ＋ｆ Ｏ 一 ｆ Ｏ ＝２ （） （） ２ （） ａ，
）＋ ｇ时 ，取 等号 ．
第一步 列出限定 区间 ［ 的两端点与 中点所 ｍ，］
一道全国竞赛题的再探讨
ｚ 十 。 － 。 ２ 未 知数取 值互 不相 等的正整数 ４ｚ 一 ４
解 的个数 同时 也是 本文 开 头竞 赛 题 的答 案 ； 当
一
件 ＝ｚ ≠ 的 。 正整数解的个数为『 － Ｌ 厶 ］ Ｊ 一１
一
『 Ｌ －
Ｊ ］ ］其中 表示不超过 ， 的最大整数即
３ ｆ ＿
］ ． 一
参 考 文 献
高斯取 整 函数 ．
故 三个未 知数 中恰 有 两个相 等的正整 数解 的
［ ］ 沈家 书， １ 马 字． 一道全 国竞赛试题的深入探讨［］ Ｊ。
中学 数 学 月刊 ，０ ９年 （ ） ２０ ７．
ｒ ≥ １ ｚ ，
Ｎｎ 一 『 １１ ； （一 ） ３ ＿① －
（ ）当 不是 ３ ２ 的倍数 时 ， 不定方 程三个未 则 知数 取值互不 相等 的正整数 解 的个数为
Ｎ ｎ ＝ｃ 。 『 （） ： 一３ 一 －
Ｌ 厶 － 』
］ ②；
特别地 ， 当 一 ２ ４时 ， 应选公 式 ① ， Ｎ（ ４ 得 ２） 所 以 １≤
≠ 。 的正整 数解 的个 数 问题 ．
算 公式 ， 然后 用计算 公式来 解本竞 赛题 ， 紧接着 又
化 简 了这个 计算公 式 ， 然后 用化 简 了的计 算 公 式 再解这 道竞赛 题． 后笔者 体会颇 多 ， 常佩 服 文 读 非
章作 者深厚 的数学 功 底 、 象概 括 能 力和 钻 研 精 抽
・
４ ６・
中学 数学 月刊
２０ ０ ９年第 １ 期 １
一
道全 国竞 赛 题 的 再探 讨
４ ５０ ） ３ ２ ０
邹生 书 马先 亮 （ 湖北省 阳新县 高级 中学
一道高中联赛题的解法赏析与推广
ｙ，又 ｃ ０ ｓ／ ＿ ． Ｄ Ａ Ｄｌ
川
７ ：。，
。
，
当 ： ：４ ５ 。 时， Ｂ Ｃ／ ／－ Ｙ － － ￣ ｙ ， 此时
０ 。 ， 卢 一
解得
ａ＝１或 ａ＝ ０ （ 舍 去） ，
√３
ｌ Ｂ 。 Ｃ Ｉ Ｉ ａ ｘ ＝ ａ ； 而当 — ０ 。 ， ｙ — ０ 。 （ 或
故 口 ＝ １ ， ｍ ＝ ２ ， ＝ 寻 ， ｒ ２ ＝ ２ ５ ，
从 而 圆的方程 为
３ ０ 。 ） 时，
Ｉ Ｂ１ Ｃ￣ 一
年，
（ ｘ － ２ ） 。 ＋ （ ｙ 一 寻 ） ２ ＿ ＿ ２ ５ ．
收 文 日期 ： ２ ０ １ ７ － ０ ９ — １ ３ ； 修 订 日期 ： ２ ０ １ ７ ・ １ ０ — １ ４
ａ ） ， 所以
１ ． Ｄ ２． Ｄ ３． Ａ ４． Ｃ
５ ． 了 ２ ６
．
譬７ ． 【 ｏ ， ２ 】
ｒ ＝ ＝ ｍ ＋（ ｎ一１ ） ＝（ ｍ一 ４ ） ＋（ —ａ ） ， 整理 得
８ ． 解 如 图 ８ ， 以 Ａ 为 原
ｆ ｎ — ： ，
２ ０ １ ８年 第 １ 期
中学教研 （ 数 学）
・ ４ ７・
一
道 高 中 联 赛 题 的 解 法 赏 析 与 推 广
●杨续 亮 苏岳 祥 （ 汤池中学， 安徽 岳西 ２ ４ ６ ６ ２ ０ ）
摘
要： 文章给 出 ２ ０ １ ７年全 国高 中数学联赛试题第 １ ０题的 ４种证 明 ， 然后对结论作类 比推广 ， 获得 ４个 结论 ， 并对其
（ ２ ０ １ ７年全国高中数学联赛试题第 １ ０ 题） 本题形式简单 ， 结构优美 ， 背景公平 ， 主要考查三元柯西不等式、 均值不等式的基础知识 ， 考查学生的 算 式 变形 能力 、 运算 能力 、 分 析和解 决 问题 能力 等 ， 对 学生 的逻 辑推 理能 力要求 较 高 ， 是一 道难 度适 中 的好 题， 在解 题 过程 中 ， 能 够 展示学 生 的代数 整 合意识 ．
解数学竞赛题的策略探索
解数学竞赛题的策略探索黄雅玲;吴国建【摘要】在数学领域里充满着辩证关系，特殊与一般便是其中的一个典范．所谓一般问题特殊化就是将一个一般问题转化为一个特殊问题，或者通过考察一般问题的某个特殊方面来寻求解决问题的途径．从特殊到一般，是数学研究中的常用方法，这种方法也可用来探索解题途径，在获得特殊情况结论的同时，往往可以得到解决一般问题的方法．特殊化是一种以退求进、先退后进的方法，它有3个基本作用：提示解题方向、寻求解题途径、直接解答问题．本文拟通过具体例子说明一般问题特殊化解题策略的运用．【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2008(000)007【总页数】2页(P46-47)【关键词】数学竞赛题;解题途径;特殊化;问题转化;常用方法;数学研究;特殊情况;以退求进【作者】黄雅玲;吴国建【作者单位】东阳中学,浙江东阳322100【正文语种】中文【中图分类】G633.6在数学领域里充满着辩证关系,特殊与一般便是其中的一个典范.所谓一般问题特殊化就是将一个一般问题转化为一个特殊问题，或者通过考察一般问题的某个特殊方面来寻求解决问题的途径.从特殊到一般，是数学研究中的常用方法，这种方法也可用来探索解题途径,在获得特殊情况结论的同时，往往可以得到解决一般问题的方法.特殊化是一种以退求进、先退后进的方法，它有3个基本作用：提示解题方向、寻求解题途径、直接解答问题.本文拟通过具体例子说明一般问题特殊化解题策略的运用.例1 过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P,Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p,q，则( )图1解如图1，由已知得焦点设过点F的直线PQ为联立方程组消去x,得由韦达定理得由抛物线定义知，故选C.例2 有n(n≥6)名乒乓球选手进行单循环赛(无和局)，比赛结果显示：任意5人中既有1人胜于其余4人，又有一人负于其余4人，则恰胜2场的人数为______.解先证明：没有任何2个人所胜场次相同，从而n个选手胜的场次取n个数：0，1，2，…，n-1，恰胜2场的为1人.若不然，存在A与B胜的场次相同，不妨设A胜B,则在败于B的选手中必存在C，使得C胜A，否则A就比B至少多胜一场.这样就找到了3名选手，使得A胜B、B胜C、C胜A.对A，B，C可加进去2名选手，这5名选手中必有1人负于其余4人，且不是A,B,C中任一人，记为D.同样，对A，B，C再加进去2名选手(不包括D，因为n≥6，这是可以做到的)，又可以找到1人负于其余4人，且不是A，B，C，也不是D，记为E.这样，A，B，C，D，E这不同的5人中无任何1人胜其余4人，与已知矛盾,所以恰胜2场的为1人.例3 求1，2，3，…，10n-1中所有数字的和.分析先退，取n=1，易求出数字和为1+2+3+…+9=(1+9)×9÷2=45，其特点是“数字和”通过“数值和”而求得.再取n=2，即求1，2，3，…，99中所有数字的和，依照上述“数值和”的配对方法：1+99=100，2+98=100，…，不能得出“数字和”：1+9+9=19，2+9+8=19，….究其原因，是配对中的进位干扰，造成了“数字和”的失真，若能找到不进位的配对，如1+98=99，则两边的“数字和”与“数值和”就完全统一起来了：1+9+8=9+9对应1+98=99.据此，设a,b,…,c中所有数字的和为S(a,b,…，c)，则S(99,98,97,…,3,2,1)=S(99,98+1，97+2，…,49+50)=S(99,99,…,99)=50·S(99)=50·2·9=900.根据以上过程，可以得到本题解法,此处略去.例4 试考察：在三维空间里，是否有这样一个不全在同一平面上的有限点集M，具有如下性质：对任何2点A，B∈M，总有另外2点C,D∈M，使得直线AB和CD平行但不重合.图2 图3解先退，考虑二维空间，容易想到一个正方形ABCD，但对角线不满足要求，故再取正方形中心O关于两平行边AD，BC的对称点P，Q，如图2，M={A,B,C,D,P,Q}.再回到三维空间，可取3个同样大小的正方体，使中间一个正方体相对的2个侧面与另2个正方体的一个侧面重合，这样，由中间的正方体的8个顶点以及与它相邻的2个正方体的中心，就构成了具有题设性质的点集，如图3所示，M={A,B,C,D，A1,B1,C1,D1,E,F}.评注该题的答案并不惟一，例如正方体各面中心、各棱中心也适合.由此可见，特殊化可以看成是一种实验手段，对解题具有探路作用.华罗庚先生认为：“这是一般的研究方法，先足够地退到我们容易看清楚问题的地方去，看透了，钻深了，然后再上去”.即先化一般为特殊，再化特殊为一般，通过一般与特殊的相互转换，从而解决问题.例5 分解因式Sn=1-x+x(x-1)-x(x-1)(x-2)+…分析题中的多项式Sn非常复杂，一开始就综合各项来考虑恐怕难以获解，可先考虑S1,S2,S3等的因式分解.解先考虑当n=1,2,3时的情形.猜想：实际上，设则=(1-x)(2-x)(3-x)…(k-x)=，猜想获证.以上几例，都是先考察问题的几种特殊情况，从中发现某种规律，猜想出一般结论，最后用数学归纳法或其他方法给予证明，这是一种解决难题的重要方法.例6 设a,b,c是正实数，求证：分析对a,b,c乘一个合适的因子,可以将原问题化归为a+b+c=1的情形，因此只需证明令从而只需证明f(a)+f(b)+f(c)≤8.注意到同理可得，(12c+4),三式相加得f(a)+f(b)+f(c)≤8，故结论成立.像本例这样的多元函数最值问题，不失一般性，可以对a,b,c乘一个合适的因子将原问题化归为a+b+c=1，有利于问题的解决.例7 求证：长为4r的闭曲线，一定可以用半径为r的圆覆盖.分析闭曲线是任意的，这给解题增加了难度.但由任意性可知，可以选择一种简单的情形来突破.先设想在什么情况下最难覆盖,由此想到将闭曲线拉直成为2条重合的线段.设线段的端点为P，Q，则以线段PQ的中点O为圆心，半径为r的圆可以覆盖此曲线，结论成立.以上的覆盖具有什么特征呢？显然圆心O是关键量.但圆心是怎样确定的呢？我们知道，圆心为PQ的中点，找到了PQ，也就找到了圆心，所以PQ是真正的关键量.但是在一般曲线中又如何找到相应的PQ呢？或者说PQ应是曲线中的一条什么线段？从上述情况可以看出PQ具有以下一些特点：(1)PQ是已知曲线的直径(曲线上相距最远的2个点的连线段).此特点不具有一般性，即在一般曲线中取直径PQ，所作的圆不一定覆盖其曲线.实际上，我们有如下的反例：设△ABC是等腰三角形，AB=AC=1.3,BC=1.4,AD是BC边上的高，则的直径是BC.注意到△ABC的周长为4，但以D为圆心，1为半径的圆没有覆盖点A,如图4.图4 图5(2)PQ是等分曲线的长.这一点适应一般情况.实际上，设点A是曲线上的任意一点，O是PQ的中点，则在△PAQ中，由中线的性质，得所以OA≤r,如图5所示.。
2005年高中数学联赛第13题的背景及解法讨论
2005 年高中数学联赛第13 题的背景及解法议论广东深圳市育才中学王扬商讨一些比赛试题的背景和演变是一件十分存心义的工作，它即可发掘知识之间的纵横联系，又能够培育学生发现问题、解决问题的能力，同时可激发学生学习数学的兴趣，还能够揭露命题人的思想方法，为学生发现问题的实质供给思路和供借鉴的模式，让他们也能享遇到做科学研究的乐趣，使他们此后在科学研究的道路上走的更好些，更远些。
下边我们对2005 年的一道全国高中数学联赛13 题的解法及来历作以商讨，供感兴趣的读者参照。
一．题目。
2005 年全国高中数学联赛13 题为：12数列a n知足：a01, a n 1(7a n45a n36), n N, 证明：（1）对随意n∈N，a n为整数。
（ 2）对随意n∈ N， a n+1a n-1 为一个完整平方数。
二．先看此题的解法。
（1）一般有三种解法。
解法一：递推并利用根与系数关系。
对原递推式移项，再两边平方整理便得a n217a n1an a n290①再递推得a n27anan 1a n2190更换一种表达方式得a n217a n 1 a n a n290②能够看出， a n 1 , a n 1为下边对于 x 的一元二次方程：x27 xa n a n29 0的两个根，因此an 1an 17a n，即an 17a n - a n-1③据a01及原递推式知a15，再联合数学概括法知对于随意n N， a n都是整数。
解法二：递推并分解因式。
对原递推式移项，再两边平方整理便得a n217a n 1 an a n290再递推得a n27anan 1a n2190，这两式作差并分解因式，得(a n 1a n 1 )( a n 1a n 17a n ) 0④但据原递推式7an 12an a n a n 1，∴ 由（4）知a n 1an 17a n 0 ，以下同解法一。
解法三：解方程法对原递推式移项，再两边平方整理便得a n217a n 1 an a n290再递推得a n 27a nan 1a n2190 ，视为 a n-1 的方程，求出 a n-1 获得an 11 (7a n 45a n 236), （ a n-1＜ a n 由条件知求根公式取负号）⑤2联立原递推式与⑤，知a n 1a n 17a n ， 。
一道竞赛题的演化及联想
一道竞赛题的演化及联想
吴振奎
【期刊名称】《中等数学》
【年(卷),期】1994(000)004
【摘要】下面这道问题是美国第三届数学奥林匹克竞赛(1974年)中的一道题目: 在下图所示的△ABC和△PQR中,诸线段长如图所示,且在△ABC
中,∠ADB=∠BDC=∠CDA=120°。
试证:x=u+v+w。
【总页数】3页(P13-14,6)
【作者】吴振奎
【作者单位】天津商学院 300122
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
【相关文献】
1.对一道几何竞赛题的联想与解法探讨 [J], 程金杏;邹生书
2.转化思想引领,数形结合搭桥——由一道中考题联想到一道物理竞赛题的简洁解法及思考 [J], 朱长贵
3.学习几何,重在联想——从一道竞赛题想到的 [J], 饶晓星
4.从一道竞赛题联想到一道高考题 [J], 周士藩
5.一道大学生数学竞赛题的联想 [J], 潘杰;周玲
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2023年详解竞赛中数字问题
详解竞赛中数字问题（3）特级教师吴迺华1.有不等式＜＜2, 适合这样的条件, 括号中可填的自然数一共有多少个？所有符合条件的分母的平均数是多少？解：的分子, 185＝37×5, 根据分子相同, 分母小的反而大, 可知, 凡是5×一个数, 只要小于1994的都是。
如：＜＝＜2。
这样的数从19起, 到398止, 一共有：398－19＋1＝380（个）所有符合条件的分母的平均数是: （19＋398）÷2＝208.52.有分数, 约简后分母是几？解：根据此分数的条件, 分母6×6×6×…×6×6中, 因数2和3各有1003个；分子中因数2的个数多于分母的个数, 也多于分子中因数3的个数。
分子中, 共有因数3的个数是：[20153]＋[220153]＋[320153]＋[420153]＋[520153]＋[620153]＝671＋223＋74＋24＋8＋2＝1002由此可知, 约简后, 分母中的因数2全约掉, 分子、分母中的因数3相比:1003－1002＝1, 而分子中的因数3比分母中的因数3少1。
所以, 约简后分母是3.3.把自然数从1起, 顺次写下去, 11213……, 从左往右数, 从第几个数字后,开始出现7个“1”连排？解: 很明显,写到1111.1112时,出现7个连续的1.因此, 写完1110后起将出现七个连排的1.一位数每个数占一个位, 共占位: 9个两位数每个数占两个位, 共占位: 90×2＝180（个）三位数每个数占三个位, 共占位: 900×3＝2700（个）四位数每个数占四个位, 到1110止共占位: （1110－999）×4＝444（个）从1起到1110止, 共占位9＋180＋2700＋444＝3333所以, 从第3333个数字后,开始出现7个“1”连排。
4.把自然数的立方按从小到大排成6……, 那么, 第182个位置上数字是几？解: 先把自然数的立方按数字的多少分类:占一个位置的有: ~ 共占位: 1×2＝2（个）.占两个位置的有: ~ 共占位: 2×2＝4（个）.占三个位置的有: ~ 共占位: 3×5＝15（个）.占四个位置的有: ~ 共占位: 4×12＝48（个）.从到共占位: 2＋4＋15＋48＝69（个）到第182个位置, 尚有位置：182－69＝113（个）接下来是占五个位置的立方数: 113÷5＝22 (3)由, 21＋22＋1＝44, 可知, 在这个立方数的第三个位置上, ＝85184 所以,第182个位置上数字是1.5.一个三位数, 假如加上3, 所得的新三位数的各位数字之和, 就减少到原三位数各位数字和的, 所有这样的三位数的和是多少？解: 设原三位数为, 其中＜9, ≥根据题意, 只考虑个位向十位进位, 得方程：a＋（b＋1）＋（c＋3－10）＝（a＋b＋c）×1 4解得: ＋＋＝8, 此时, 原三位数也许为: 107 假如考虑到连续进位, 得方程：（a＋1）＋（b＋1－10）＋（c＋3－10）＝（a＋b＋c）×1 4解得: ＋＋＝20, 此时, 原三位数也许为: 299、398、497所以, 所有这样的三位数的和是：107＋299＋398＋497＝13016.假如一个自然数的各位数字之和是一个完全平方数, 这样的自然数就叫做“奇特数”, 如: 448, 4＋4＋8＝, 两位数中, 这样的数有多少个？解: 数字之和是1的有: 10数字之和是4的有: 13.22.40、31；数字之和是9的有: 18、81.27、72、36、63、45、54、90；数字之和是16的有: 79、97、88；所以, 在两位数中, 这样的数有：1＋4＋9＋3＝17（个）7、已知两个自然数的平方和为1044, 它们的最大公约数与最小公倍数的和是66, 求这两个自然数。
一道数学题的推广吴炳文
一道数学题的推广摘要：在《普通高中数学课程标准（实验）》中提出归纳推理是根据一类事物的部分对象具有的某种特征，推出该类事物的所有对象都具有这种特征的推理，或者由个别事实概括出一般性结论的推理（简称归纳），归纳推理是由部分到整体，由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想、证明）。
在平时的课堂教学中要多思考，引导学生更好地掌握归纳推理。
关键词：推广 归纳 定值 思维引言在数学教学中，对一些数学方法，抓住其本质和核心，实行由简单到复杂，由特殊到一般的推广或延伸，不但能够数学思维的广度和深度，培养归纳思维习惯，培养创新思维水平，而且常常能够获得新的数学方法，解决新的数学问题。
我在分析试卷的过程中遇到的一道数学题推广如下：芜湖市2011-2012学年度第一学期高三数学（文科）期末评价20题： 设函数1()(,)f x ax a b Z x b =+∈+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3y =(1)求()f x 的解析式(2)证明：函数()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； (3)证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =及直线y x =所围成三角形的面积为定值，并求出此定值。
1 溯源命题1：曲线1()f x x x =+上任一点的切线与直线0x =和直线y x =所围成三角形的面积为定值。
图1-1证明：设的切点P(x 0,y 0)，切线为l/21()1f x x =- /0201()1f x x ∴=- 直线l 的方程：0020011()(1)()y x x x x x -+=-- 当0x =时 02y x = 02B x 即（0，）当y x =时 02x x = 00A 即（2x ,2x ）0012222AOB S x x ∴=⨯=即曲线()y f x =上任一点的切线与直线0x =及直线y x =所围成三角形的面积为定值2.2 新证命题2：曲线1()1f x x x =+-上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围成三角形的面积为定值。
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对一道竞赛题的变式探究
内蒙古兴安盟科右中旗三中 吴数才
1998年全国初中数学竞赛第二试第11小题是一道几何计算题.
图1
题目 如图1,在等腰直角三角形ABC 中,AB =1,∠A =90°,点E 为腰AC 的中点,点F 在BC 上,且B E ⊥F E ,求△CE F 的面积.
对此,文[1]给出几种解法,知识与技巧含量方面作出较全面深入的研究.显然,对该题的认识远远不应止于此.事实上,当我们对它的源流和发展予以探究时,将会得到全新的认识.
1.如果E 不是中点.再看原题,如果B E 不是中线,而是角平分线,其余条件不变,则得到新题目.
图2
例1 如图2,在Rt △ABC 中,∠A =90°,AB =AC =1,B E 是∠ABC 的角平分线,EF ⊥B E ,EF 交BC 于F ,求S △EFC .此题覆盖知识点较
多,解法、技巧也是耐人寻味的.下面仅给一解.
解:过E 作E H ⊥BC ,垂足为H , B E 平分∠ABC AE =E H
BC AB =
EC
AE AB =AC =1 BC =2
AE =E H =2-1AB =1,∠A =90°
B E =4-22,
△AB E ∽△EB F
AB B E =B E B F
B E 2=AB ·B F B F =B E 2
AB
=4-22.
∴S △EFC =12
FC ·E H
=1
2[2-(4-22)](2-1)=12(32-4)(2-1)=5-72 2.2.如果∠B 不是45°.(1)如果把原题中∠B =45°换成30°或60°,效果会怎样呢,仅以∠B =30°为例说明,得到例2.图3
例2 如图3,Rt △ABC 中,∠A =90°,∠B =30°,AC =2a ,E 是AC 边上中点,F 是BC 上一点,B E ⊥EF ,求S △ECF .
解:过F 点作FP ⊥
AC ,垂足为P ,
△AB E ∽△PE F AB EP =AE
P F
AB AE =EP
PF =23
∠C =60° PF =3PC E P =6PC EP +PC =a
PC =
a
7
PF =3
7
a S △EFC =12EC ·P F =12·a ·37a =314a 2.
此题除了考查相似、面积公式之外,还多次用到了60°角的正切值.
(2)如果∠B 为任意角,AB =a ,AC =b ,而其他条件不变,易知S △EFC 仍可求,这里不再赘述.但探究此题的过程仍未停止.因为综上探
究我们自然会想到:
3.推广到更一般的情况,略言之就是∠B 为任意角,E 为AC 上任意一点.得到
图4例3 如图4,在
Rt △ABC 中,∠A =90
°,AB =a ,AC =b ,E 是AC 上一动点,F 在BC 上,E 从A 点开始向C 运动且保持EF ⊥B E ,试写出S △EFC
与点E 运动时与A 点距离x 的关系式.
解:先设EC =k x ,过点C 作PC ⊥EF ,交EF 的延长线于P .
△AB E ∽△P EC AB PE =B E EC a P E =a 2
+x
2
kx
PE =akx
a 2+x 2
,B E EC =A E PC
a 2+x 2kx =x
PC
PC =k x 2
a 2+x
2
,△B EF ∽△CP F B E PC =E F P F
B E
PC +B E
=
EF
EF +FP
a 2
+x 2
a 2
+x 2+
k x 2
a 2+x
2=
EF ak x a 2+x 2
E F =ak x a 2+x 2
a 2+(k +1)x 2
.
∴S △EFC =1
2EF ·PC =12·akx a 2+x 2
a 2+(k +1)x 2·
kx 2
a 2+x 2
=12·ak 2x 3
a 2+(k +1)x 2
.
(*)
由(k +1)x =b ,得k =b
x
-1,代入(*)式,得
S △EFC =12·ax (b -x )2
a +bx
为所求.
做到此处,我们可以欣慰地回首来路:这种从特殊到特殊再到一般的探究过程,实现了将各种知识、技巧、方法系统化,实现了从宏观上、动态上认识竞赛题.同时,再用例3结论去处理前几例,不论从认识上还是从简洁程度上都有居高临下之感.
参考文献
1 张香苓,胡春.对一道竞赛题解法的探究.中学数学教学参考,1998,10
(上接第50页)
又CG =CF -GF =12(x -y ),在Rt △OCG 中
求得y =1x
.
(5)若AB =a ,四边形AB FE 的周长为3.5a ,B F >AE .求证:OF =2O E .
思路:由2(EC +CF )= 2.5a ,EF =
5
4
a ,作E M ⊥BF ,垂足为M .在Rt △MEF 中,可得
M F =34a ,又2AE +MF =54a ,AE =a
4
,又证
Rt △A EO ∽Rt △BO F ,得OF OE =OB
A E
=2,从而得
证.
(6)若⊙O 半径为r ,求证:r =EF
2
.
思路:在Rt △EOF 中,EC ·CF =r 2,又EC
+CF =EF ,故EC 、CF 为方程x 2-EFx +r 2=0的两根,则由Δ=EF 2-4r 2≥0推得.
(7)若BC 交OF 于M ,AC 交OE 于N ,求证:①四边形MCNO 是矩形;②∠BFC =2∠CB A .(原统编教材初中《几何》第二册第116页第22题)
思路:①由EO ⊥OF 、OF ⊥BC ,∠ACB =90°证得.②由四边形COB F 内接于圆,得∠AOC =∠BFC 与等腰△BOC 的外角∠AOC =2∠CB A 结合证得.
本题组训练回顾强化和综合融会了几何中三角形、四边形、圆与代数中二次方程、函数等重要内容,并积累丰富了解题方法与经验,发挥和取得了题组训练应有的功效.。