第十章 直线回归与相关分析

2 i 2
a = y bx
简记为：
b=
∑ xy ( ∑ x )( ∑ y ) / n ∑ x (∑ x) / n
2 2
a = y bx
x与y的离均差乘积和，简称为乘积和，记为 SPxy 的离均差乘积和，简称为乘积和， 乘积和
。
spxy = ∑(x x)(y y) = ∑xy ∑x∑y / n
Sb =
Sy/x SS x
=
3.266 144.6356
= 0.2716
b 1.0996 t= = = 4.05 sb 0.2715
b 1.0996 t= = = 4.05 sb 0.2715
查附表4， 查附表 ，t0.05，7=2.36，t0.01，7=3.50。 ， 。 ， ， |t|=4.05>t0.01,7=3.50，接受HA：≠0 =3.50，接受H 结论:认为积温和一代三化螟盛发期是有真实 结论 认为积温和一代三化螟盛发期是有真实 直线回归关系的。 直线回归关系的。 是极显著的。 或者说此b=-1.0996是极显著的。 是极显著的
华南热带农业大学农学院
2004年 唐燕琼制 2004年8月
一、直线回归方程的建立
设变量x与 间存在直线关系 根据n对观察 间存在直线关系， 设变量 与y间存在直线关系，根据 对观察 值所描出的散点图如下。 值所描出的散点图如下。
y = a + bx
图９—2 直线回方程：y=α+βx 实际观察值可表示为： 实际观察值可表示为：
设样本直线回归方程为： 设样本直线回归方程为：
y = a + bx
总体直线回归方程：y=α+βx ： 总体
其中a 的估计值，称为回归截距； 其中a是α的估计值，称为回归截距； 的估计值，称为回归系数， b是β的估计值，称为回归系数，表示自变量 每改变一个单位数时， 依变量y 每改变一个单位数时， 依变量y平均改变的单 位数(b＞ 增加； 减少) 位数(b＞0时，增加；b＜0时，减少) (b
2 2
因为 y = a + bx = y + b ( x x ）， y y = b ( x x ） ( 则 ∑ y y ） y y ）= 0 （
所以 ∑ y y ） = ∑ ( y y ) + ∑ ( y y ) （
2 2
2
即
ss y = ss回归 + ss离回归
上式中: 上式中
εi为随机误差，与α、β相互独立，且服 从N(0，σ2)。这就是直线回归的数学模型 直线回归的数学模型
根据样本实际观察值对α、β以及误差方 根据样本实际观察值对α 差σ2作出估计， 即建立样本回归方程并估 作出估计， 计出误差的大小。 计出误差的大小。
yi =α+βxi+εi (i=1,2,…，n)
回归系数显著性检验── ──t 1、回归系数显著性检验──t检验 对直线回归系数b的假设检验为： 对直线回归系数b的假设检验为： β=0； β≠0。 HO ：β=0；HA β≠0。 成立的条件下，回归系数b服从t分布。 在HO成立的条件下，回归系数b服从t分布。
b t= sb
其中 Sb =
df = n 2
总平方和： 总平方和：
SS y = ∑ y y） （
2
2
Df总=n-1
的不同而引起的. 回归平方和， 回归平方和，它是由x的不同而引起的
ss回归
(SP) = ∑( y y ) = SS x
二、直线回归的显著性检验
回归关系的假设测验： 回归关系的假设测验： 对于样本的回归方程，必须测定其来自无 对于样本的回归方程，必须测定其来自无 直线回归关系总体的概率大小。只有当这种概 直线回归关系总体的概率大小。 率小于0.05或0.01时，我们才能冒较小的危 或 率小于 时 险确认其所代表的总体存在着直线回归关系。 险确认其所代表的总体存在着直线回归关系。 这就是回归关系的假设测验 。 回归关系的假设测验有两种方法： 测验或F 回归关系的假设测验有两种方法：t测验或F测验
2.回归关系显著性检验──F检验 回归关系显著性检验── 检验 回归关系显著性检验──
直线回归的变异来源
图9-4
( y y)的分解图
+ y y = y y ）（ y y ） （ 将上式两端平方求和，
2
得:
2
（ ] ∑（ y y ） = ∑ [( y y ) + y y ） ( = ∑ y y） + 2 ∑ y y） y y） ∑ y y ） （ （ + （
表9.1 累积温和一代三化螟胜发期的关系 积累温(x) 积累温 盛发期(y) 盛发期 35.5 34.1 31.7 40.3 36.8 40.2 31.7 39.2 44.2 12 16 9 2 7 3 13 9 -1
解：
n=9
y = 7 . 7778 ∑ y = 70 SS = ( n 1) S = 249 .5556 ∑ x ∑ y = 159 .0444 SP = ∑ xy
三、两个变数资料的散点图
对具有统计关系的两个变数的资料进行初步考察 的简便而有效的方法，是将这两个变数的 对观 的简便而有效的方法，是将这两个变数的n对观 察值(x 察值 1，y1)、(x2，y2)、…、(xn，yn)分别以 、 、 、 分别以 坐标点的形式标记于同一直角坐标平面上，获得 坐标点的形式标记于同一直角坐标平面上， 散点图(scatter diagram)。 散点图 。 例如： 例如：
整理后可得： 整理后可得：
na + ( ∑ xi )b = ∑ yi ( ∑ xi ) a + ( ∑ x i ) b = ∑ x i y i
2
上式叫做a与b的正规方程组 正规方程组。 正规方程组
解之可得:
b =
∑
x i y i ( ∑ x i )( ∑ y i ) / n
∑
x (∑ xi ) / n
回归分析的类型： 回归分析的类型： 一元回归分析（直线和曲线回归分析）； 一元回归分析（直线和曲线回归分析）； 多元回归分析（ 多元回归分析（多元线性回归分析和曲面 回归分析）。 回归分析）。 相关分析的类型：直线相关分析； 相关分析的类型：直线相关分析； 复相关分析。 复相关分析。 偏相关分析。 偏相关分析。
间的关系: 根据散点图可初步判定双变数X和Y间的关系 相关的性质(正或负 ①X和Y相关的性质 正或负 和密切程度 和 相关的性质 正或负)和密切程度 ②X和Y的关系是直线型的还是非直线型的 和 的关系是直线型的还是非直线型的 ③是否有一些特殊的点表示着其他因素的干扰
＆10.2 直线回归分析
一、直线回归方程的建立 直线回归的显著性检验 二、直线回归的显著性检验 三、直线回归的区间估计
2
利用最小二乘法， 利用最小二乘法，即Ｑ最小的方法求a与b的 最小的方法求a 值。根据微积分学中求极值的原理，将Q对a 根据微积分学中求极值的原理， 与b求偏导数并令其等于0： 求偏导数并令其等于0
Q = 2 ∑ ( y i a bx i ) = 0 a Q = 2 ∑ ( y i a bx i ) x i = 0 b
由于x变数的实测区间为[31.7，44.2]， 由于x变数的实测区间为[31.7，44.2]， [31.7 在应用=48.5-1.1x于预测时，需限定x 在应用=48.5-1.1x于预测时，需限定x的区间 =48.5 于预测时 为[31.7，44.2]；如要在x＜31.7或＞44.2的 [31.7，44.2]；如要在x 31.7或 44.2的 区间外延，则必须有新的依据。 区间外延，则必须有新的依据。
2 y y
∑ x = 333 .7 SS = ( n 1) S
x
x = 37 . 0778
2 x
= 144 . 6356
n
因而有 : b =
SP
ss
= 1 . 0996 [ 天 /( 旬 度） ]
x
a = y bx = 48.5485(天）
回归方程有：y = 48.5485 1.0996 x 或简化为：y = 48.5 1.1x
在相关模型中， 在相关模型中，其x和y变量是平行变化 变量是平行变化 关系，不能区别哪一个是自变量， 关系 不能区别哪一个是自变量，哪一个 不能区别哪一个是自变量 是依变量。 是依变量。 相关分析目的：确定两个变量在数量关 相关分析目的： 系上的密切程度和性质。 系上的密切程度和性质。不能用一个或多 个变量去预测、控制另一个变量的变化。 个变量去预测、控制另一个变量的变化。
Sy/ x SS x
，为回归系数标准误。 为回归系数标准误。
[例9.3]
试测验例9.1资料回归关系的显著性。 试测验例9.1资料回归关系的显著性。 9.1资料回归关系的显著性
1.0996， =144.6356， =3.266， 已算得b=-1.0996，SSx=144.6356，sy/x=3.266， 故有： 故有：
记 ssx=∑x2-(∑x)2／n，则
b = SP xy / SS a = y bx
x
a、b是α、β的最小二乘估计也是无偏估计。 的最小二乘估计也是无偏估计。
SAS分析 分析
例[9.1]一些夏季害虫盛发期的早迟和春季温度高 [9.1]一些夏季害虫盛发期的早迟和春季温度高 低有关。江苏武进连续9年测定3月下旬至4 低有关。江苏武进连续9年测定3月下旬至4月中旬 旬平均温度累积值（x,旬 旬平均温度累积值（x,旬.度）和水稻一代三化螟 发期（y,以 10日为 日为0 的关系， 盛发期（y,以5月10日为0）的关系，得结果于表 9.1。试计算其直线回归方程。 9.1。试计算其直线回归方程。
y i 是α+βxi的估计值
回归方程的基本条件（性质）： 回归方程的基本条件（性质）： 性质1 性质1 性质2 性质2 性质3 性质3