专题-三角形的中位线-鲁教版-知识精讲
专题-三角形的中位线-鲁教版-知识精讲
专题 三角形的中位线 鲁教版二、知识点1. 三角形中位线的定义。
如图1，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
ED C BA图12. 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
如图1，△ABC 中，DE 是中位线，则有DE ∥BC ，12DE BC。
3. 三角形中位线定理的证明教材上的证明方法如图2所示，延长DE 到点F ，使EF=DE ，FED B A4. 三角形中位线的判定方法（1）三角形中位线的定义是判定的主要方法。
（2）如图5，运用定理“过三角形一边的中点与另一边平行的直线平分第三边”来判定线段是三角形的中位线.EDCB A5. 三角形中位线定理的应用（1）证明线段平行（2）证明线段之间的等量关系。
四、考点分析三角形的中位线定理的应用很广泛，是三角形的重要性质。
它是证明线段平行、线段相等的重要方法。
另外，生活中的实际测量问题，也能发挥三角形中位线的作用。
因此，三角形的中位线是中考题经常关注的知识点。
【典型例题】例1. 如图，DE 是△ABC 的中位线，图（1）是沿DE 将△ADE 折叠，图（2）是绕点E 将△ADE 顺时针旋转180°。
（1）在图（1）中，点'A 是否落在BC 上？△'DBA 和△'ECA 有什么特点？ （2）在图（2）中，四边形''DBA D 有什么特点？D'图（1） 图（2）例2. 如图， ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 边上的点，AE=BF ，AF 与BE 相交于点M ， CE 与DF 相交于点N.(提示：连接EF)求证：MN ∥BC.B例4. 如图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，AC=BD ，M 、P 、N 分别是边AB 、BC 、CD 的中点，Q 是MN 的中点，QPONMFC EDBA（1）求证：PQ ⊥MN ；（2）判定△OEF 的形状.分析：本题出现的线段中点比较多，考虑运用三角形的中位线定理解决问题。
鲁教版数学八年级上册《三角形的中位线》公开课课件
A
MD B
M
H EN
A
C N
D
E
B
G
HC
三、发现证明
文
字
三角形的中位线定理
语 言
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
A
符
号 ∵DE是△ABC的中位线.
语 言
∴DE//BC，DE= 12BC.
D
E
B
C
图形语言
四、迁移运用
1.在△ABC中，点D，E，F分别是△ABC三边
A
的中点.
（1）若∠ACB=40°，则∠AED=__4_0_°__.
5.3 三角形的中位线
鲁教版数学八年级上册
学习目标
1.理解三角形中位线的概念，探索并证明三角形的中位线定理.
2.在探索中位线定理的过程中，进一步体会归纳、类比、转化等化 归思想，经历“观察—猜想—证明—应用”的过程.
3.在学习过程中，通过小组合作，交流分享，提升团队的合作意识， 培养学生的数学学习兴趣.
三、发现证明
方法三：如图，作BC的中点M,连接ME并延长至点G，使
EG=EM ，连接AG.
A
G
D
E
BM
C
中位线
平行四边形
倍分关系
三、发现证明
方法四：从线段DE上任意取一点G，将 △ADE 分 成 △ADG 和 △AGE ， △ADG 绕 点D旋转到△BDF的位置，△AGE绕点E 旋 转 到 △CHE 的 位 置 ， 可 证 明 四 边 形 FBCH是平行四边形，进而证明三角形的 中位线平行于第三边，且等于第三边的 一半.
D H
A
G E
B
F
C
四、迁移运用
鲁教版数学八年级上册5.3《三角形的中位线》说课稿
鲁教版数学八年级上册5.3《三角形的中位线》说课稿一. 教材分析鲁教版数学八年级上册5.3《三角形的中位线》这一节主要介绍了三角形的中位线的性质。
在初中数学中，三角形的中位线是一个非常重要的概念，它不仅在几何学习中有着重要的作用，而且对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力也有着积极的影响。
教材从生活实例出发，引导学生探究三角形中位线的性质，通过学生自主探究、合作交流的方式，让学生在实践中掌握知识，体验学习的乐趣。
教材内容由浅入深，层层递进，既有基础知识的巩固，又有拓展提升，使学生在学习过程中不断挑战自我，提高自我。
二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经有了一定的几何基础，对三角形的基本概念有了了解，同时他们也已经掌握了平行四边形的性质，这为学习三角形的中位线提供了良好的基础。
此外，学生的探究能力和合作能力也有了较大的提高，他们在课堂上能够积极参与，勇于发表自己的观点。
然而，学生对于三角形中位线的证明可能还存在一定的困难，这就需要我们在教学中加以引导和帮助。
同时，学生对于三角形中位线在实际问题中的应用可能还不够熟练，我们在教学中也要注重培养学生的应用能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握三角形的中位线的性质，能够运用三角形的中位线解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过学生自主探究、合作交流，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生在探究过程中体验学习的乐趣，增强对数学的兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：三角形的中位线的性质。
2.教学难点：三角形中位线的证明，以及三角形中位线在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用学生自主探究、合作交流的教学方法，让学生在实践中掌握知识。
2.教学手段：利用多媒体课件，直观展示三角形的中位线性质，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：从生活实例出发，引导学生关注三角形的中位线，激发学生的学习兴趣。
5.3三角形的中位线(1)-2024-2025学年第一学期数学鲁教八年级(上册)课件
B
C
F
合作探究
4. 三角形中位线有什么特殊的性质？
猜想1：DE//BC
猜想2：DE= 1 BC 2
中点 D
A
E 中点
B
C
已知：如图，DE是△ABC的中位线.
求证：DE∥BC DE= BC.
A
D
E
B
C
结论1：三角形中位线平行于第三边且
等于第三边的一半.
三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三 边，并且等于它的一半.
三角形中位线定理有两个结论：
（1）表示位置关系------平行于第三边； （2）表示数量关系------等于第三边的一半.
应用时要具体分析，需要哪一个就用哪一个.
己知：如图
(1)∵ E，F分别为AB，AC的中点，
∴ EF∥BC（根据 三角形中位）线定理
(2)若BC =10cm，则EF =5 ㎝.
A
A
A
10Hale Waihona Puke DE5 OD
E C
B
C
BF
2、填空题
（5）如图：如果AD= 1 4
AB，AE=
14AC，
DE=2cm，那么BC= cm.
（6）在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、
CD、 BD、 AB的中点，若AD=3，BC=8，则
四边形EFGH的周长是
.
A
A
D2 E
G4 H
B
C
四边形EFGH 是平行四边形吗?
A
D
E
10
B
C
(1)
A
50°
D
E
B 70°
C
(2)
2、填空题
（3）如图，E是平行四边形ABCD的AB边上的
鲁教版数学八年级上册5.3《三角形的中位线》说课稿1
鲁教版数学八年级上册5.3《三角形的中位线》说课稿1一. 教材分析鲁教版数学八年级上册5.3《三角形的中位线》是三角形相关知识的重要组成部分。
本节课主要介绍了三角形的中位线的性质，包括中位线的长度等于它所对的边的一半，以及中位线平行于第三边。
这些性质在解三角形和相关几何问题中有着重要的作用。
通过本节课的学习，学生可以加深对三角形性质的理解，提高解决几何问题的能力。
二. 学情分析在八年级的学生中，他们已经学习了三角形的初步知识，对三角形的性质有一定的了解。
但在实际应用中，他们可能对如何灵活运用这些性质解决问题还不够熟练。
因此，在教学过程中，我需要注重引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的解决问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解三角形的中位线的性质，并能够运用这些性质解决相关问题。
2.过程与方法目标：通过观察、推理、实践等方法，学生能够发现三角形中位线的性质，培养他们的几何思维能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，培养对数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：三角形的中位线的性质，以及如何运用这些性质解决实际问题。
2.教学难点：如何引导学生发现中位线的性质，并能够灵活运用到解题中。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探索、发现和解决问题。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等辅助教学，直观展示三角形的中位线性质，提高学生的理解能力。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考三角形的中位线与第三边的关系，激发学生的兴趣。
2.新课讲解：讲解三角形的中位线性质，通过示例和练习让学生加深理解。
3.实践环节：学生分组讨论，利用中位线性质解决实际问题，培养他们的实践能力。
4.总结提升：引导学生总结中位线的性质，并思考如何运用到解题中。
5.课堂练习：布置一些相关的练习题，巩固所学知识。
鲁教版数学八年级上册5.3《三角形的中位线》教学设计2
鲁教版数学八年级上册5.3《三角形的中位线》教学设计2一. 教材分析《三角形的中位线》是鲁教版数学八年级上册第五章第三节的内容。
本节内容是在学生学习了三角形的性质、平行线的性质等基础知识后，进一步研究三角形的性质。
通过学习三角形的中位线，不仅能够丰富学生的几何知识，而且能够培养学生的观察能力、推理能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了三角形的性质、平行线的性质等基础知识，具备一定的观察、推理能力。
但是，对于三角形的中位线的概念、性质和应用，学生可能较为陌生，需要通过具体的教学活动，引导学生理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线的性质，能够运用三角形的中位线解决一些几何问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的观察能力、推理能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学的美。
四. 教学重难点1.重点：三角形的中位线的概念、性质。
2.难点：三角形的中位线的性质的证明和应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生观察、思考、推理，从而理解三角形的中位线的性质。
2.利用多媒体辅助教学，展示三角形的中位线的性质，增强学生的直观感受。
3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队合作意识，提高学生的学习效果。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.三角形的中位线的相关教学素材。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些三角形的中位线的图形，让学生观察并思考：这些图形有什么共同的特点？从而引导学生思考三角形的中位线的性质。
2.呈现（10分钟）通过具体的例子，呈现三角形的中位线的性质，引导学生总结出三角形的中位线的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，利用三角板、直尺等工具，自己动手操作，验证三角形的中位线的性质。
4.巩固（10分钟）让学生解答一些与三角形的中位线相关的问题，巩固所学知识。
鲁教版(五四制)八年级数学上册第五章第三节三角形的中位线第一课时ppt课件
。 11
A
D
⑷如图，四边形ABCD中，AB=AD， E，F，G分别是AC，BC，CD的中点。
求证：∠1=∠2。
B
E 2G
1
F
C
必做：139页随堂练习。 选做：139页习题5.7。
1 DE = 2 BC
A
D B
1E
2
3
C
证 1.三明：角延形长中DE位到线点定F，理使的EF应=D用E格,连式接C：F。
∵在D△EA是DE△与A△BCCFE中， ∵ AD=BD, 的∴∵∴∴中DAA△E位EDA/==/线DBCCEFEC，≌，，，△∠∠CA1F==∠E∠32。，或DE∴=FED，AEE//=BCCE，，
∴ AB//C1F。
∵ ∴
ABDDDE===BC2DF。B，C
1 DE= 2 BC
∴ 四边形DBCF是平行四边形。
F 2.∴三D角F/形/BC中，位DF线=B定C理。的作用：
⑴⑵∴证证D明明E//两一BC条条，线线DE段段= 平等12B行于C。另。 一条线段的一 半或2倍。
⑴小聪想用绳子测量池塘两端A，B间的距离，但绳子不 够长，他就先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到 AC，BC的中点D，E，又测出DE=10m，则A，B间的距离为 （D） A．15m B．25m C．30m D．20m
⑷如图，△ABC中，点D，E， F分别是三边的中点。 求证：AD与EF互相平分。
A
E
F
B
※⑸如图，顺次连接四边形 ABCD各边的中点E，F，G，H， A 所得四边形EFGH是什么四边形？ E 证明你的结论。
B
D
C
H
D
G
F
C
鲁教版数学八年级上册5.3《三角形的中位线》教学设计1
鲁教版数学八年级上册5.3《三角形的中位线》教学设计1一. 教材分析《三角形的中位线》是鲁教版数学八年级上册第五章第三节的内容。
本节课主要让学生掌握三角形的中位线的性质，能够熟练运用中位线定理解决相关问题。
教材通过引入中位线概念，引导学生探究中位线的性质，从而培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了平行四边形的性质、图形的轴对称和中心对称等知识。
但在三角形的中位线概念、性质以及运用方面可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要关注学生的认知基础，引导学生通过观察、操作、推理等方法，自主探究三角形中位线的性质。
三. 教学目标1.知识与技能：掌握三角形的中位线的概念和性质，能够运用中位线定理解决相关问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、推理等方法，培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识、创新精神和克服困难的勇气。
四. 教学重难点1.重点：三角形的中位线的概念和性质。
2.难点：三角形中位线定理的证明和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入中位线概念，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生观察、操作、推理，培养学生的自主学习能力。
3.合作学习法：分组讨论，培养学生团队合作和交流分享的能力。
4.反馈评价法：及时了解学生的学习情况，调整教学策略。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示三角形中位线的性质和应用。
2.学习素材：准备相关的练习题，巩固学生对中位线知识的理解。
3.教学工具：直尺、三角板、多媒体设备等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如篮球运动员投篮时的手臂动作，引导学生观察并思考：手臂与篮球框的连线是否为三角形的中位线？从而引入本节课的主题——三角形的中位线。
2.呈现（10分钟）展示三角形的中位线概念和性质，引导学生通过观察、操作、推理等方法，自主探究中位线的性质。
山东省八年级鲁教版(五四制)数学上册课件：53三角形的中位线(1)
1.己知：如图
(1)∵ E、F分别为AB、AC的中点。
∴ EF∥BC（根据 三角形中位）线定理
(2)若BC =10cm，则EF = ㎝。
(3)若EF =6cm，则BC = cm。
A
A
E
F
E
F
B
C
B
D
C
2.已知，如图AD是△ABC的中线，EF是中位线，求证：
中点 D
E 中点
顶点 B
C 顶点
1.你能给“三角形中位线”下一个定义吗？
定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的 中位线。
2.一个三角形有几条中位线？
A
3.三角形的中位线与中线有什么区别？
中点 D
E 中点
B
C
F
合作探究
4.三角形中位线有什么特殊的性质？
猜想1：DE//BC
猜想2：DE= 1 BC 2
BD、 AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形
EFGH的周长是（ ）
A
A
D2 E
G4 H
B
C
四边形EFGH 是平行四边形吗?
E 34 H
1.5 4D 1.5
F
G
C
8
B
精讲点拨
求证：顺次连结四边形四条边的中点， 所得的四边形是平行四边形。
已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点
八年级上册第五章 平行四边形
教学目标
1.掌握三角形中位线的概念； 2.了解三角形中位线的性质定理及其证明方法； 3.学会运用三角形中位线的性质定理解决问题。
知识回顾 三角形的中线
5.三角形的中位线课件鲁教版(五四制)数学八年级上册
.
A
E
F
B
D
C
知识应用
2. 如图所示，△ABC中,D、E、F分别是三边的中
点，AB=10，AC=6，则四边形AEDF的周长为
.
A
D
FE
B
C
知识应用
3.如图： △ABC中，点D、E、F 分别是AB、AC、BC中点.若△ABC 的周长为24，面积为16，则 △DEF的周长___，面积为____. B
拓展延伸
求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是 平行四边形。
已知：四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
H D
C
E
G
A
F
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
变式练习 （教材P140 第3题）
如图：在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、 CD、AC、BD的中点，四边形EGFH是平行四边形吗？
联系拓广 （教材P140 第5题） 已知：如图，在四边形ABCD中AB//DC, E,F分别 是AC,BD的中点。
求证：EF= (AB-CD)
拓广应用
如图，AB//CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=6， CD=4，则EF的长是（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1
共同探究——测量
在练习本上画一个△ABC，利用直尺和圆规找到边AB、
AC的中点D、E，并连接DE：
1.用直尺测量，你发现DE和BC有怎样的数量关系？
2.用量角器量一量∠ADE与∠B的度数，DE与BC有怎样
的位置关系？
A
D 用语言叙述你发现的性质：
E
B
C
鲁教版数学八年级上册5.3《三角形的中位线》说课稿2
鲁教版数学八年级上册5.3《三角形的中位线》说课稿2一. 教材分析鲁教版数学八年级上册 5.3《三角形的中位线》是本册教材中的一个重要内容。
在此之前，学生已经学习了三角形的性质、角的度量、线段的性质等基础知识。
本节课通过介绍三角形的中位线，使学生掌握三角形中位线的基本性质，进一步理解和掌握三角形的内在联系。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何基础，对图形的性质和概念有了一定的认识。
但他们在学习过程中，可能对三角形的中位线与高线、中线等概念混淆，因此在教学过程中，需要引导学生明确这些概念的区别和联系。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能熟练掌握三角形的中位线的定义、性质和应用。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和团队合作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：三角形的中位线的定义、性质和应用。
2.教学难点：三角形中位线与高线、中线的区别和联系。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等。
2.教学手段：多媒体课件、几何画板、实物模型等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习三角形的基本性质，引出三角形的中位线。
2.自主学习：学生通过阅读教材，了解三角形的中位线的定义和性质。
3.合作交流：学生分组讨论，分析三角形中位线与高线、中线的区别和联系。
4.教师讲解：针对学生的讨论结果，进行讲解和总结。
5.练习巩固：学生独立完成课后练习，巩固所学知识。
6.拓展延伸：引导学生思考三角形中位线在实际问题中的应用。
七. 说板书设计板书设计如下：三角形的中位线1.定义：连接一个三角形两个中点的线段。
a)中位线平行于第三边；b)中位线等于第三边的一半；c)中位线将三角形分成两个面积相等的三角形。
d)求三角形的面积；e)证明线段平行或等长。
八. 说教学评价1.课堂参与度：观察学生在课堂上的发言、提问、合作等情况，评价学生的参与度。
山东省八年级鲁教版(五四制)数学上册课件：53三角形的中位线(2)
F
D.线段EF的长不确定
BP
C
4.如图,CD、BG分别为∠ACB、∠ ABC的平分线，
AD⊥CD 于 D ， AF⊥BGA 于
G,AC=10,AB=12,BC=14.
求DG
D
G
BE
FC
5.如图,CD、BG分别为∠ACB、∠ ABC的外角的平
分 线 ， AD⊥CD 于 D ， AG⊥BG 于
G,AC=10,AB=12,BC=14.
D是边AB 的中点，DE//BC交AC于点E,点E是AC
边的中点吗？
如果是，怎样证明？
A
你能想起几种方法？
D
E
B
C
练一练
1.如图,已知在△ABC中,D是AB上一点,AD=AC,AE⊥CD,
垂足为E,F是BC的中点,BD=6cm,求EF的C长.
F E
A
DB
2.如图,在△ABC中,AB=6cm,AC=8cm,BD与∠BAC的平
八年级上册第五章 平行四边形
教学目标
1.掌握三角形中位线的概念； 2.了解三角形中位线的性质定理及其证明方法； 3.学会运用三角形中位线的性质定理解决问题。
1.你能给“三角形中位线”下一个定义吗？
定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的 中位线。
2.一个三角形有几条中位线？
3.三角形的中位线与中线有什么区别？
中点 D
A
E 中点
B
F
三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三 边，并且等于它的一半。
三角形中位线定理有两个结论：
（1）表示位置关系------平行于第三边；
（2）表示数量关系------等于第三边的一半。
探究新知
初中数学：三角形的中位线--说课课件
１.知识目标：理解三角形中位线的概念，掌握
三角形中位线定理，会运用定理进行论证和计算。
２.能力目标：通过学习，培养学生观察问题、
分析问题和解决问题的能力。
３. 情感与态度目标：通过教学，培养学生主
动探究精神与合作意识。激发学生学习数学的兴趣, 体会学数学的快乐,培养用数学的意识。
教学重.难点
一、教材分析
教材处理
在实际教学中，我采取先让学生经过实验、观 察、猜想、归纳、得出结论，然后经推理论证，最后 总结形成定理的方式，这样提出的知识更容易为学生 接受和认可。在定理证明中，讲解了多种证法，强化 思维过程的教学，开发学生的智力。在定理的运用增 加了变式训练，以培养学生的发散思维。
一、教材分析
三角形中位线 定理的运用
通过变式训练，熟练掌握运 用知识解决问题
变式训练是拓展学生思路，提高学生应 变能力，发展学生创造性思维的有效手段。 对学生进行几种变式训练，并引导学生对每 一种变式训练进行多种思路分析。
延伸拓展：
如图,任意画四边形ABCD,并将四边的中点E、F、 G、H顺次连接起来，所得的四边形EFGH是什么 样的四边形？
三、设计理念： 探究活动 动手操作
合作探究
发现规律 获得新知 提高分析
问题和解决问题的能力 再运用
四、教学程序设计
(一)教学流程 三角形中位线的概念的引出
实验探究三角形中位线定理 三角形中位线定理的验证
三角形中位线定理的运用 拓展
（二）、教学过程设计
三角形中位线的概念的引出
创设生活情景,巧用 多媒体展示, 激发学 习兴趣,引出概念, 提出问题： 与中线的异同
3 三角形的中位线 说课
一、教材分析
三角形中位线与反证法 知识讲解
三角形中位线与反证法【学习目标】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 三角形的中位线的性质的一些简单的应用.3. 了解反证法的含义、反证法的基本步骤.4、会利用反证法证明简单命题．5. 了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、反证法（一）定义在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义、基本事实、定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.要点诠释：（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．（二）用反证法证明定理的正确性在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.已知:l1∥l2 ,l 2 ∥l3求证： l１∥l３证明：用反证法证明：假设l１不平行l ３，则l１与l ３相交，设交点为Ｐ，∵l１∥l２ ,l ２∥l ３则过点Ｐ就有两条直线l１，l ３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线”矛盾．【典型例题】类型一、三角形的中位线1、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C；【解析】连AR，由E、F分别为PA，PR的中点知EF为△PAR的中位线, 则12EF AR，而AR长不变，故EF大小不变.【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．举一反三：【变式】如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为（3，2），OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为_____.【答案】5；解：∵四边形OABC是矩形，∴OA＝BC，AB＝OC；BA⊥OA，BC⊥OC．∵B点坐标为（3，2），∴OA＝3，AB＝2．∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，∴DE＝GF＝1.5； EF＝DG＝1．∴四边形DEFG的周长为（1.5＋1）×2＝5．2、（莲湖区期末）如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD 的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．【思路点拨】根据中位线定理和已知，易证明△PMN是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和已知条件即可求出∠PMN的度数．【答案与解析】解：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM=AB，PN=DC，PM∥AB，PN∥DC，∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=20°+（180﹣70）°=130°，∴∠PMN==25°．【总结升华】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的判定和性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．3、如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB ＝12，AC＝18，求MD的长．【思路点拨】本题中所求线段MD与已知线段AB、AC之间没有什么联系，但由M为BC的中点联想到中位线，另有AD为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN，D为BN的中点，DM即为中位线，不难求出MD的长度．【答案与解析】解：延长BD交AC于点N．∵ AD为∠BAC的角平分线，且AD⊥BN，∴∠BAD＝∠NAD，∠ADB＝∠ADN＝90°，在△ABD 和△AND 中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝ ∴ △ABD ≌△AND(ASA) ∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC ＝18，∴ NC ＝AC －AN ＝18－12＝6， ∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点， ∴ DM ＝12CN ＝162⨯＝3．【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形． 举一反三：【变式】（嵊州市校级期中）如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB，AE=EB ，求证：EF=BD ．【答案】证明：∵CD=CA，CF 平分∠ACB，∴F 是AD 中点， ∵AE=EB，∴E 是AB 中点，∴EF=BD ．4、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：（1）如图1，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，且CD=CA ，点E 、F 分别为BC 、AD 的中点，连接EF 并延长交AB 于点G ．求证：四边形AGEC 是等邻角四边形；（2）如图2，若点D 在△ABC 的内部，（2）中的其他条件不变，EF 与CD 交于点H ，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）运用中位线的性质，找出对应相等的角；（2）根据题意易知满足条件的四边形即为第一题的四边形．【答案与解析】解：（1）取AC的中点H，连接HE、HF∵点E为BC中点∴EH为△ABC的中位线∴EH∥AB，且EH=12AB同理FH∥DC，且FH=12DC∵AB=AC，DC=AC∴AB=DC，EH=FH∴∠1=∠2∵EH∥AB，FH∥DC∴∠2=∠4，∠1=∠3∴∠4=∠3∵∠AGE+∠4=180°，∠GEC+∠3=180°∴∠AGE=∠GEC∴四边形AGEC是邻角四边形（2）存在等邻角四边形，为四边形AGHC．【总结升华】本题考查了三角形的中位线以及等腰三角形的性质的综合运用．本题较灵活，要求学生能够把题中的条件转化成角，从而找出相等的角来解题．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D；解：连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE，∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=12 BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．类型二、反证法5、用反证法证明：“在一个三角形中，外角最多有一个锐角”．【思路点拨】先设原结论不成立，然后推出与三角形内角和定理相矛盾，从而得出原结论正确．【答案与解析】证明：假设三角形中的外角有两个角是锐角．根据三角形的外角与相邻的内角互补，知：与这两个角相邻的两个内角一定是钝角，大于90°，则这两个角的度数和一定大于180度，与三角形的内角和定理相矛盾．因而假设错误．故在一个三角形中，外角最多有一个锐角．【总结升华】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．举一反三：【变式】用反证法证明下列问题：如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分．【答案】证明：连接DE，假设BD和CE互相平分，∴四边形EBCD是平行四边形，∴BE∥CD，∵在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，∴AC不可能平行于AC，与已知出现矛盾，故假设不成立原命题正确，即BD和CE不可能互相平分．【巩固练习】一.选择题1.（萧山区月考）用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（）A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于cC．a与b相交 D．a⊥b2. 如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为（）A．5 B．10 C．20 D．403. 用反证法证明“一个三角形中至少有两个锐角”时，下列假设正确的是（ ） A ．假设一个三角形中只有一个锐角 B ．假设一个三角形中至多有两个锐角 C ．假设一个三角形中没有一个锐角 D ．假设一个三角形中至少有两个钝角4．如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD ＝6，BD ＝4，CD ＝3，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是（ ）A ．7B ．9C ．10D ．115. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D ，E 为BC 上的点，连接DN 、EM ，若AB ＝5cm ，BC ＝8cm ，DE ＝4cm ，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．12cmB ．1.52cmC ．22cmD ．32cm6. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点.已知两底的差是6，两腰的和是12，则△EFG 的周长是（ ）A.8B.9C.10D.12二.填空题7. 用反证法证明三角形中至少有一个角不小于60°，第一步应假设_______________. 8. 如图, E 、F 分别是ABCD 的两边AB 、CD 的中点, AF 交DE 于P, BF 交CE 于Q,则PQ 与AB 的关系是 .9.（吉林模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别在边AB，BC上，点E，F分别为MN，DN的中点，连接EF，则EF长度的最大值为．10.如图，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是________.11. 如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为______.12.（珠海）如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为．三.解答题13.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点．求证：MN和PQ互相平分．14.（姜堰区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME=∠CNE（不必证明）（温馨提示：在图（1）中，连接BD，取BD的中点H，连接HE．HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线的性质，可证明∠BME=∠CNE）（1）如图（2），在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF，分别交CD．BA于点M．N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．（2）如图（3）中，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD形状并证明．15. 在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AC的中点．（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．16.（萧山区期末）证明：在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°．【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】解：用反证法证明“在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥b”，应假设：a 不平行b 或a 与b 相交． 故选：C ．2.【答案】C ；【解析】根据中位线定理可得BC ＝2DF ，AC ＝2DE ，AB ＝2EF ，继而结合△DEF 的周长为10，可得出△ABC 的周长．3.【答案】D ； 【解析】用反证法证明“一个三角形中至少有两个锐角”时，应先假设“一个三角形中最多有一个锐角”或者假设一个三角形中至少有两个钝角． 故选：D ． 4.【答案】D ； 【解析】EF ＝HG ＝12BC ，EH ＝FG ＝12AD ，所以四边形EFGH 是平行四边形，由勾股定理BC ＝5，所以周长等于3＋3＋5＝11.5.【答案】B ；【解析】连接MN ，作AF⊥BC 于F ．∵AB＝AC ，∴BF＝CF ＝12BC ＝12×8＝4，在Rt△ABF 中，AF ＝22AB BF -＝2254-＝3，∵M、N 分别是AB ，AC 的中点，∴MN 是中位线，即平分三角形的高且MN ＝8÷2＝4，∴NM＝12BC ＝DE ，∴△MNO≌△EDO，O 也是ME ，ND 的中点，∴阴影三角形的高是12AF÷2＝1.5÷2＝0.75，∴S 阴影＝4×0.75÷2＝1.5．6.【答案】B ；【解析】连接AE ，延长交CD 于H ，可证AB ＝DH ，CH ＝两底的差，EF 是△AHC 的中位线，EF ＝12两底的差，EG ＋FG ＝12两腰的和，故△EFG 的周长是9.二.填空题7.【答案】三角形的三个内角都小于60°；【解析】∵用反证法证明三角形中至少有一个角不小于60°，∴第一步应假设结论不成立，即三角形的三个内角都小于60°．故答案为：三角形的三个内角都小于60°．8.【答案】PQ∥AB，PQ＝12 AB；【解析】P，Q分别是AF，BF的中点.9.【答案】3；【解析】解：连接DM，∵点E，F分别为MN，DN的中点，∴EF=DM，∴DM最大时，EF最大，∵M与B重合时DM最大，此时DM=DB==6，∴EF的最大值为3．故答案为：3．10.【答案】10；【解析】∵在△ABC中，AB＝AC＝6，AE平分∠BAC，∴BE＝CE＝12BC＝4，又∵D是AB中点，∴BD＝12AB＝3，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝12AC＝3，∴△BDE的周长为BD＋DE＋BE＝3＋3＋4＝10．11.【答案】32；【解析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF的长为52，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出DE的长为4，进而求出EF的长.12.【答案】1；【解析】解：∵A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，∴以此类推：△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的，∴则△A5B5C5的周长为（7+4+5）÷16=1．故答案为：1三.解答题13.【解析】证明：连接MP，PN，NQ，QM，∵AM＝MD，BP＝PD，∴PM是△ABD的中位线，∴PM∥AB，PM＝12 AB；同理NQ＝12AB，NQ∥AB，∴PM＝NQ，且PM∥NQ．∴四边形MPNQ是平行四边形．∴MN与PQ互相平分．14.【解析】解：（1）取AC中点P，连接PF，PE，可知PE=，PE∥AB，∴∠PEF=∠ANF，同理PF=，PF∥CD，∴∠PFE=∠CME，又PE=PF，∴∠PFE=∠PEF，∴∠OMN=∠ONM，∴△OMN为等腰三角形．（2）判断出△AGD是直角三角形．证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，∵F是AD的中点，∴HF∥AB，HF=AB，同理，HE∥CD，HE=CD，∵AB=CD∴HF=HE，∴∠HEF=∠HFE，∵∠EFC=60°，∴∠HEF=60°，∴∠HEF=∠HFE=60°，∴△EHF是等边三角形，∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，∴△AGF是等边三角形．∵AF=FD，∴GF=FD，∴∠FGD=∠FDG=30°∴∠AGD=90°即△AGD是直角三角形．15.【解析】解：（1）FH与FC的数量关系是：FH＝FC．证明如下：延长DF交AB于点G，由题意，知∠EDF＝∠ACB＝90°，DE＝DF，∴DG∥CB，∵点D为AC的中点，∴点G为AB的中点，且DC＝12 AC，∴DG为△ABC的中位线，∴DG＝12 BC．∵AC＝BC，∴DC＝DG，∴DC－DE＝DG－DF，即EC＝FG．∵∠EDF＝90°，FH⊥FC，∴∠1＋∠CFD＝90°，∠2＋∠CFD＝90°，∴∠1＝∠2．∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形，∴∠DEF＝∠DGA＝45°，∴∠CEF＝∠FGH＝135°，∴△CEF≌△FGH，∴C F＝FH．（2）FH与FC仍然相等．16.【解析】证明：假设△ABC中每个内角都小于60°，则∠A+∠B+∠C＜180°，这与三角形内角和定理矛盾，故假设错误，即原结论成立，在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°．。
鲁教版(五四制)初中数学八年级上册_中位线非常讲解
中位线非常讲解课前引入同学们好！今天我们所要学习的知识是初中几何的一个重要知识要点，可以这样说，正因为有了它，才使我们许多几何题目更富有趣味性和探究性，它就是我们要学习的三角形中位线与梯形中位线.希望同学们喜欢它，学好它.新课讲解一.三角形的中位线1.定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.如图1.在ABC中，点E，F分别是AB、AC的中点，则线段EF就是ABC 的一条中位线.图12.定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.用符号语言表述为：如图1，在ABC中，点E，F分别是AB、AC的中点，则EF∥BC，并且12EF BC.3.注意：（1）三角形的中位线与三角形的中线是两个不同的概念，三角形的中线是连结一个顶点与它对边中点的线段，而三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段.显然，三角形的中位线与三角形的中线都是线段，一个三角形有三条中位线和三条中线.（2）三角形中位线定理是证明两线段平行和线段的倍数关系的一个重要理论依据.这也即是三角形中位线定理的作用，在应用该定理时，应找出符合定理条件的基本图形.4.应用.例1.如图2所示，在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE，M，N分别是BE、CD的中点，过M、N的直线交AB于P，交AC于点Q.求证：AP=AQ.图2 图3分析：欲证AP=AQ，可考虑证明APQ AQP∠=∠.根据题设条件，可取BC 的中点F，连结FM，FN，（如图3）则MF、NF分别是BCE和BCD的中位线.利用BD=CE易证FM=FN，从而12∠=∠，由平行线的性质可知1,2APQ AQP∠=∠∠=∠，于是APQ AQP∠=∠成立，进而结论成立.证明：取BC的中点F，连结FM，FN，（如图3）由条件知：MF、NF分别是BCE和BCD的中位线所以FM∥AC，FN∥BD，11,22 FM CE FN BD ==所以1,2APQ AQP∠=∠∠=∠又因为BD=CE，所以FM=FN所以，12∠=∠，所以APQ AQP∠=∠，所以AP=AQ评注：若已知条件中又中点，常取某一边中点，构造三角形的中位线，运用三角形中位线性质定理得到某些线段相等或角相等.二.梯形的中位线1.定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.如图4，在梯形ABCD中，点E、F分别是腰AB、DC的中点，则线段EF 是梯形ABCD的中位线.图42.定理：梯形的中位线平行于两底边，且等于两底和的一半.用符号语言表述为：如图4，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是腰AB、DC的中点，则EF∥AD∥BC，且1()2EF AD BC=+.3.注意：学习梯形的中位线定理需注意以下几点：（1）一个三角形的中位线有3条，而应该梯形的中位线只有1条；（2）梯形中位线的作用：①位置关系：可以证明两条直线平行；②数量关系：可以证明一线段是另一条线段的2倍或12；（3）梯形中位线定理的证明是转化为三角形中位线定理上来证明得，这里有一条常规辅助线，即是把梯形上底的一个顶点和腰的中点连结并延长与下底相交.（4）由梯形的面积计算公式和梯形中位线定理易推出：梯形的面积=中位线⨯高.4.应用：例2.如图5所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DH BC⊥.求证：1()2BH BC AD=+（图5）（图6）分析：观察结论式的右边，它是梯形上、下底和的一半，联想到梯形的中位线也等于上、下底和的一半，于是只要证明BH等于该梯形的中位线即可.为此，这里需构造该等腰梯形的中位线进行证明.证明：取AB、CD的中点E、F，谅解EF，FH（如图6），则EF∥BH，1()2EF BC AD=+在Rt DHC中，12HF CD CF==（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）.所以1C∠=∠，又因为B C∠=∠（等腰梯形同一底上的两角相等）所以1B∠=∠，所以HF∥BE所以，四边形EBHF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）所以EF=BH，所以1()2BH BC AD=+.评注：两个中位线定理的结论都揭示了中位线与第三条线段的位置关系（平行）和数量关系（一半），在具体运用时，我们应注意择其用之.。
鲁教版(五四制)数学八年级上册 5.3三角形的中位线(1)分式 课件(29张ppt)
问题导入
怎样将一张三角形硬纸片剪成两部分,使分成的 两部分能拼成一个与其面积相等的平行四边形?
A
D
E
F
B
C
将△ADE绕点E顺时针旋转180度.
探索任务
1、了解三角形中位线的概念。 2、探索并掌握三角形中位线的性质，并能应
用其性质解决有关问题。
开启我们的探索之旅
岛屿一
岛屿二
探究一：
三角AC.
∵E,F,G,H分别为各边的中点
D ∴EF∥AC, EF 1 AC G HG∥AC, HG 21 AC
2
C ∴ EF∥HG, EF=HG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
中位线的 定义
中位线性 质定理
挑战自我
布置 作业
必做题：课本P139第1、2、3题 选做题：课本P140第5题。
2
岛屿一
岛屿二
宝藏一 宝藏三
自我 挑战
宝藏二 宝藏四
挑战自我：
1、如图,在等边△ABC中,点D,E 分别为边AB,AC的中点,则 ∠DEC= 120° .
表现真棒！ 再奖励一道题目！
挑战自我：
2、如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,AC ＝8,AB＝10,DE是△ABC的中位线,
则DE= 3 .
第五章 平行四边形
5.3 三角形的中位线（1）
探索准备
1、平行四边形的性质：
平行四边形的①两组对边分别平行②两组对边分别相等 平行四边形的①对角相等②邻角互补 平行四边形的对角线互相平分
2、平行四边形的判定：
①两组对边分别平行的四边形 ②两组对边分别相等的四边形 ③一组对边平行且相等的四边形 ④对角线互相平分四边形
定义：连接三角形__两__边__中_点___的__线_段___ 叫做三角形的中位线。
5.3.1鲁教版三角形中位线定理
1 EF= 1 BC 2 2
三角形的中位线的性质
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半 用符号语言表示
∵DE是△ABC的中位线
A
1 ∴ DE∥BC， DE= BC. 2 E
D C
B
三角形各边的长分别为6 cm、8 cm 和 10 cm ， 求连接各边中点所成三角形的周长. 12 cm
AB=10 cm EF=5 cm
问题：A、B两点被池塘隔开,如何 测量A、B两点距离呢？为什么?
A B
怎样将一张三角形硬纸片剪成两部 分,使分成的两部分能拼成一个平行四 边形?
请动手试一试!
四边形BCFD是平行四边形吗?说 说你的理由!
F
DE是三角形ABC的中位线
A
什么叫三 角形的中位 线呢？
D B
E C
三角形的中位线
连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线。
BC=8 cm DF=4 cm AC=6 cm DE=3 cm B 8 cm E 10 cm D
A F 6 cm C
A
M
若MN=36 m，则AB=2MN=72 m 如果，MN两点之间还有阻 隔，你有什么解决办法？
C
NBΒιβλιοθήκη 在AB外选一点C，使C能直接到达A和B， 连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N. 测出MN的长，就可知A、B两点的距离
E
G
1
在△ADC中，同理可得 HG//AC，HG=
2
AC B F
C
1
所以EF//HG，EF=HG
所以四边形EFGH是平行四边形
2
AC
画出△ABC中所有的中位线 画出三角形的所有中线并 说出中位线和中线的区别.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题 三角形的中位线 鲁教版
二、知识点
1. 三角形中位线的定义。
如图1，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
E
D C B
A
图1
2. 三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
如图1，△ABC 中，DE 是中位线，则有DE ∥BC ，1
2
DE BC。
3. 三角形中位线定理的证明
教材上的证明方法如图2所示，延长DE 到点F ，使EF=DE ，
F
E
D B A
4. 三角形中位线的判定方法
（1）三角形中位线的定义是判定的主要方法。
（2）如图5，运用定理“过三角形一边的中点与另一边平行的直线平分第三边”来判定线段是三角形的中位线.
E
D
C
B A
5. 三角形中位线定理的应用
（1）证明线段平行（2）证明线段之间的等量关系。
四、考点分析
三角形的中位线定理的应用很广泛，是三角形的重要性质。
它是证明线段平行、线段相等的重要方法。
另外，生活中的实际测量问题，也能发挥三角形中位线的作用。
因此，三角形的中位线是中考题经常关注的知识点。
【典型例题】
例1. 如图，DE 是△ABC 的中位线，图（1）是沿DE 将△ADE 折叠，图（2）是绕点E 将△ADE 顺时针旋转180°。
（1）在图（1）中，点'A 是否落在BC 上？△'DBA 和△'ECA 有什么特点？ （2）在图（2）中，四边形''DBA D 有什么特点？
D'
图（1） 图（2）
例2. 如图， ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 边上的点，AE=BF ，AF 与BE 相交于点M ， CE 与DF 相交于点N.(提示：连接EF)
求证：MN ∥BC.
B
例4. 如图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，AC=BD ，M 、P 、N 分别是边AB 、BC 、CD 的中点，Q 是MN 的中点，
Q
P
O
N
M
F
C E
D
B
A
（1）求证：PQ ⊥MN ；（2）判定△OEF 的形状.
分析：本题出现的线段中点比较多，考虑运用三角形的中位线定理解决问题。
证明：（1）如图，连接PM 和PN ，
Q
P
O
N
M
F
C
E
D
B
A
【本讲思想方法】
本讲的重点内容就是三角形的中位线定理及其应用，基本的思想是借助辅助线构造三角形中位线定理图形达到转化、利用的目的。
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一、选择题
1. 点D 、E 分别是△ABC 的边AB 和AC 上的点，下列说法不正确的是（ ）
A 、若点D 、E 分别是A
B 和A
C 的中点，则1
2
DE BC =
B 、若点D 是AB 的中点，DE ∥B
C ，则点E 也是AC 的中点。
C 、若点
D 是AB 的中点，1
2
DE BC =，则DE ∥BC 。
D 、若DE ∥BC ，1
2
DE BC =
，则点D 、E 分别是AB 和AC 的中点。
2. 如图，已知，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 四条边的中点，下列说法中不正确的是（ ）
H
G F
C
E
D B A
3 A 、四边形EFGH 是平行四边形。
B 、若AC=BD ，则四边形EFGH 是菱形。
C 、若AC ⊥BD ，则四边形EFGH 是矩形。
D 、四边形EFGH 的形状不能确定。
3. 如图，依次取三角形三边的中点组成三角形，最大三角形的周长是20cm ，最小三角形的周长是（ ） A 、10cm B 、5cm C 、3cm D 、2cm
4. 如图，△ABC 中，AB=8cm ，AC=6cm ，点E 是BC 的中点，若AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD ，线段DE 的长为（ ）
C
E
D
A
A 、1cm
B 、2 cm
C 、3 cm
D 、4cm 二、填空题
5. 如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，AD=BC ，∠PEF=18°，则∠PFE 的度数是 。
P
F C
E
D
B
A
F
C E
D
B
A
7
P F
C E
D
B A
G 8
F C E
D
B A
6. 如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 的中点，AB=7cm ， AC=5cm ，则四边形AFDE 的周长等于 。
7. 如图，矩形ABCD ，P 、G 分别是BC 和CD 上的点，E 、F 分别是AP 和GP 的中点，如果DG=3，AD=4，则EF 的长为 。
三、解答题
8. 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 是AB 的中点， E 、F 分别是AC 和BC 的中点。
求证：CD=EF.
9.在四边形ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，连接EF,BD 求证：AB+CD>2EF
【试题答案】
一、选择题
1. C
2. D
3. B
4. A （提示：延长CD 交AB 于点F ）
5. B
二、6. 18° 7. 12cm 8. 2.5 9. 菱形
三、10. 证明：∵E 、F 分别是AC 和BC 的中点，∴12
EF AB =
∵∠ACB=90°，点D 是AB 的中点，∴1
2
CD AB =
. ∴CD=EF 。
11. 证明：如图，连接BD ，取BD 的中点 M ，连接ME 和MF 。
M
F C
E
D
B A
∵M 、E 分别是BD 、AD 的中点， ∴ME 是△ABD 的中位线。
∴1
2
ME AB =
， 同理，1
2
MF CD =.
在△MEF 中，∵ME+MF>EF ， ∴ME+MF=12AB +12CD =1
2
（AB +CD ）>EF。