运筹学及其应用6.2 线性目标规划的图解法
管理运筹学第二章 线性规划的图解法
B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右 边与左边之差 si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。 线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
max z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 10 设备B台时占用 s.t. x1 x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 产量非负 1 2
决策变量 （decision variable） 目标函数 （objective function） 约束条件 （subject to）
-ai1
x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x 1 , x 2 , x3 ≥ 0
线性规划图解法
图解法 线性规划问题求解的 几种可能结果 由图解法得到的启示
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例1的数学模型
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2 约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
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图解法
9— 8—
x1+ 2x2=8 4x1 =16
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
最优解 (4, 2)
D
x1 + 2x2 8
| 6 | 7 | 8 | 9 | 4
A
0
| 1
| 2
| 3
E
| 5
x1 下页 返回
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图解法求解步骤
• 由全部约束条件作图求出可行域； • 作目标函数等值线，确定使目标函数最
(d)无可行解
Max Z = 2x1 + 3x2 x1 +2 x2 8 4 x1 16 4x2 12 -2x1 + x2 4 x 1、 x 2 0
可行域为空集
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图解法的几点结论:
（由图解法得到的启示）
– 可行域是有界或无界的凸多边形。 – 若线性规划问题存在最优解，它一定可以在
优的移动方向； • 平移目标函数的等值线，找出最优点， 算出最优值。
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线性规划问题求解的 几种可能结果
(a) 唯一最优解
x2
6— 5— 4— 3— 2— 1— | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | x 9 1
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
A
1×250=250千克．
原料B 0 1 250千克
约束条件中没使用的资源或能力称之为松弛量。
用Si表示松弛量，对最优解 x1=50,x2=250来说：
约束条件
松弛变量的值
设备台时数
s1=0
原料A
s2=50
原料B
s3=0
8
线性规划标准型
加了松弛变量后例1的数学模型可写成：
目标函数：max z=50x1+100x2+0s1+0s2+0s3，
约束条件： x1+x2+s1=300,
2x1+x2+s2=400,
x2+s3=250, x1,x2,s1,s2,s3≥0
如何把模型化为 标准型？
三个特征：
一、约束条件为等式；
二、约束条件右端常数项非负；
三、所有变量非负。
称为线性规划的标准形式。
9
线性规划问题解的情况：
1．若有最优解，一定能在可行域的顶点取得。
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2, ………………………… am1x1+am2x2+…+am nxn=bm. x1, x2,…,xn≥0.
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
C 100
1设备台时获利500/10=50
元。 x1
O 100 D300 X1+X2=300
X1+X2=310
你知道对偶价格吗？
21
对偶价格的概念
管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
管理运筹学 第6章 目标规划
目标规划问题及模型
∵正负偏差不可能同时出现，故总有：
x1－x2+d--d+ =0
若希望甲的产量不低于乙的产量，即不希望d->0,用目标约束可
表为:
min{d }
x1
x2
d
d
0
若希望甲的产量低于乙的产量，即不希望d＋>0,用目标约束可
表为:
min{d }
x1
x2
d
d
0
若希望甲的产量恰好等于乙的产量，即不希望d＋>0,也不希望
2x1 2x2 12
s.t
4
x1 x1
2x2
8 16
4x2 12
x1 , x2 0
其最优解为x1＝4，x2＝2，z＊＝14元
目标规划问题及模型
但企业的经营目标不仅仅是利润，而且要考虑多个方面，如： (1) 力求使利润指标不低于12元； (2) 考虑到市场需求，甲、乙两种产品的生产量需保持1:1的比
标决策的需要而由线性规划逐步发展起来的一个分支。 由于现代化企业内专业分工越来越细，组织机构日益复
杂，为了统一协调企业各部门围绕一个整体的目标工作，产 生了目标管理这种先进的管理技术。目标规划是实行目标管 理的有效工具，它根据企业制定的经营目标以及这些目标的 轻重缓急次序，考虑现有资源情况，分析如何达到规定目标 或从总体上离规定目标的差距为最小。
min Z = f（ d ++ d - ）
（2） 要求不超过目标值，但允许达不到目标值，即只有使 正偏差量要尽可能地小（实现最少或为零）
min Z = f（ d +）
目标规划问题及模型
例1. 某企业计划生产甲，乙两种产品，这些产品分别要在 A,B,C,D四种不同设备上加工。按工艺文件规定，如表所示。
目标规划的图解法
(l1 ) (l 2 ) (l3 )
Min Z Pd P d P d 1 1 2 2 3 3
x1 x2 d1 d1 10 2 x1 x2 d 2 d 2 26 x 2 x d d 1 2 3 3 6 x , x 0, d , d 0, (i 1, 2,3) i i 1 2 x2
d2
(l1 ) (l2 ) (l3 ) (l4 ) 最后考虑P3 级，此时 要求目标越小越好， 由图3-2可知R3 为四 按优先级高低，首先 边形CDEF 区域， 考虑P1 级目标，要求 目标越小越好，就在 绝约束的可行解域 △OAB中进一步缩小 为△OAC，记作R1来自Bl3l4
d1
l2
C
d3
s.t
5 x1 10 x2 60 x 2 x d d 0 1 2 1 1 4 x1 4 x2 d 2 d 2 36 再考虑 P2 级目标， 6 x 8 x d d 48 1 2 3 3 x , x 0, d , d要求目标越小越 ( i 1, 2, 3) i i 0, 1 2 好，因而解空间 x2 R2为△OCD 区域
(l1 ) (l2 ) (l3 ) (l4 )
解
将约束方程以直线形式画在图上，这里只使用决策变 量（即 x , x ），偏差变量在画直线时被去掉，直线画好后， 在该直线上标出目标函数中与该直线相关的偏差变量增大时 直线的平移方向（用垂直于直线的箭头来反映）．如图 32．
Min Z Pd 1 1 P 2d2 P 3d3
(l1 )
考虑P2 级目标，由于直线 l2 与R1不相 ( l3 ) 交，所以在R1 内无法使 d 2 0 因此 在不退化P1 级目标时，不可能使P2 级 目标完全满足．这样R2 就缩为一点， d 因为在R1中，使 达到最小的为 A点， 所以：x* = (10 ,0), d
运筹学线性规划的图解法
O
C
2
4
6
x1
6
3、 画目标函数图
令目标函数值为零，可得到斜率，根据斜率做一过原点的直 线。（如果可行解域在第一象限，且目标函数等值线斜率为 负）若给出问题是求最大值，把目标函数等值线平行移动到 与可行解域最后相交的点，这点就是问题的最优解；若给出 问题是求最小值，把目标函数等值线平行移动到与可行解域 最先相交的点，这点即为问题的最优解。
对应的可行解域。 3、画目标函数图。 4、判断解的形式，得出结论。
4
1、建立数学模型
max F 6x1 4x2 s.t. 2x1 3x2 10 4x1 2x2 12 x1 , x2 0
5
2、绘制可行解域
x2
5 4x1 2x2 12
可行解域为 阴影部分
OABC
A 3
B
1
2x1 3x2 10
B
x1 4
A
x2 3
C
1
x1 2x2 8
O
2
D
6
x1
19
解、移动目标函数等值线
x2
5
B A
1
O
2
2x1 4x2 0
x1 4
C
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3
x1 2x2 8
D
6
x1
20
解、目标函数等值线最终与可 行解域边线重合
x2
5
B A
1
O
2
2x1 4x2 0
x1 4
C
x2 3
x1 2x2 8
11
解、绘制可行解域
x2
x2≥0
A
可行解域为开放 区域x2ABCDx1
6
目标规划的图解法
假定重新确定这个问题的目标为：
P1: z的值应不低于1900; P2: 资源1必须全部利用. 将该问题转化为目标规划问题, 列出数学模型.
2019/5/23
3
根据题意, 以优先因子为序, 列出对应关系 优先因子
P1 : 100x1 50x2 1900 P2 : 10x1 16x2 200 约束转化：引入偏差变量
例 用图解法求如下目标规划问题
min
z
P1d1
P2
(d
2
d
2
)
P3d
3
s.t. 2x1 x2 11
x1 x2 d1 d1 0
x1
2x 2
d
2
d
2
10
8x1
10x2
d
3
d
3
56
x1
,
x
2
,
d
i
,
d
i
0, i
(1)
x1
2x2
d
2
d
2
4
x1
2x2
d
3
d
3
8
x1 ,x2 ,di ,di 0,i 1,2,3
min
z
P1d
3
P2d
2
P3 (d1
d
1
)
(2)
s.t.
6 x1 2 x2 d1 d1 24
管理运筹学 线性规划的图解法课件
线性规划的应用领域
生产计划
线性规划可以用于制定生产计划，优 化资源配置，提高生产效率。
物流优化
线性规划可以用于优化物流配送路线 、车辆调度等问题，降低运输成本。
金融投资
线性规划可以用于金融投资组合优化 ，实现风险和收益的平衡。
资源分配
线性规划可以用于资源分配问题，如 人员、资金、设备等资源的合理分配 ，提高资源利用效率。
束条件。
线性规划的目标是在满足一系列 限制条件下，使某一目标函数达
到最优值。
线性规划问题通常表示为求解一 组变量的最优值，使得这些变量 满足一系列线性等式或不等式约
束。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型由决策变量、目标函数和约束条 件三部分组成。
输标02入题
决策变量是问题中需要求解的未知数，通常表示为 $x_1, x_2, ldots, x_n$。
01
03
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
04
目标函数是问题要优化的函数，通常表示为$f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
03
绿色发展与线性规 划的结合
将可持续发展理念融入线性规划 ，实现资源节约、环境友好的发 展目标。
THANKS
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约束条件
生产计划问题通常受到资源限制、市场需求和生 产能力等约束条件的限制。
详细描述
生产计划问题通常涉及到如何分配有限的资源， 以最大化某种目标函数（如利润）。通过图解法 ，我们可以将约束条件和目标函数在二维平面上 表示出来，从而找到最优解。
运筹学线性规划图解法
§2.2 线性规划问题解的概念
设线性规划的标准形式： max z=Σcjxj (1) s.t.Σaijxj=bi i=1,2,…,m (2) xj≥0 j=1,2,…,n (3) 可行域：由约束条件(2)、(3)所围成的区域； 可行解：满足(2)、(3)条件的解X=(x1，x2，…，xn)T为可行解； 基：设A是约束条件方程组的m×n维系数矩阵,其秩为m，B是A中 m×m阶非奇异子矩阵，则称B为线性规划问题的一个基。 设
B=
a11 a21 … am1
a12 … a1m a22 … a2m … … am2 …amm
=(p1,p2, …,pm)
基向量、非基向量、基变量、非基变量： 称pj(j=1,2,…,m）为基向量，其余称为非基向量；与基 向量pj(j=1,2,…,m）对应的xj称为基变量，其全体写成 XB=（x1，x2，…，xm）T；否则称为非基变量，其全体经 常写成XN。 基解：对给定基B,设XB是对应于这个基的基变量 XB=(x1，x2，…，xm)T； 令非基变量xm+1=xm+2=…=xn=0， 由（2）式得出的解X=（x1，x2，…，xm，0，…，0）T 称为基解。 基可行解：所有决策变量满足非负条件(xj ≥0)的基解, 称作基可行解。 可行基：基可行解所对应的基底称为可行基。
x2 x1+2x2=8
4x2=12
线段Q1Q2上的任意点都是最优解
Q1
Q2 x1
3x1=12
x2 •无可行解 例3：
maxz = 3x1 + 2x2 2x1 + x2 ≤ 2 s.t 3x1 + 4x2 ≥ 12 x , x ≥ 0 1 2
约束条件围不成区域 (又称矛盾方程) x1
目标规划图解法
§2目标规划的图解法和线性规划问题一样，图解法虽然只适用于两个决策变量的目标规划问题，但其操作简便，原理一目了然，并且有助于理解一般目标规划问题的求解原理和过程。
图解法解题的步骤为1．确定各约束条件的可行域，即将所有约束条件(包括目标约束和绝对约束，暂不考虑正负偏差变量)在坐标平面上表示出来；2．在目标约束所代表的边界线上，用箭头标出正、负偏差变量值增大的方向；3．求满足最高优先等级目标的解；4．转到下一个优先等级的目标，在不破坏所有较高优先等级目标的前提下，求出该优先等级目标的解；5．重复4，直到所有优先等级的目标都已审查完毕为止；6．确定最优解或满意解。
下面通过例子来说明目标规划图解法的原理和步骤。
例1 用图解法求解目标规划问题：解确定各个约束条件的可行域。
在x1O x2坐标平面上，暂不考虑每个约束方程中的正、负偏差变量，将上述每一个约束方程用一条直线表示出来，再用两个箭头分别表示上述目标约束方程中的正、负偏差变量。
如图(5-1)所示，其中，阴影区域OAB为满足条件(5.12)的可行域。
接着先考虑具有最高优先等级的目标，即。
为了实现这个目标，必须。
从图5-1可以看出，凡落在直线CD上的点都能体现。
但如果同时满足条件(5.12)，则只有线段CH上的点才能实现。
这也就是说，在线段CH上的任何一点都能使最高优先等级目标。
其次考虑第二优先等级目标。
从图5.1可以看出，直线EF与EF右上方的点均能实现。
若同时满足条件5.12，则应为三角形AEI上的点能实现。
但第二优先等级目标的实现应在不影响第一优先等级目标的前提下，显然，在三角形AEI中，只有线段CG上的点才能实现这一要求，这就是问题的解。
于是，C,G两点及CG线段上的所有点(无穷多个)均是该问题的最优解。
其中C点对应的解为：x1=0，x2=5.2083；G点对应的解为：x1=0.6250，x2=4.6875；例 2已知一个生产计划的线性规划模型为；其中目标函数为总利润，则三个约束条件均为甲、乙、丙三种资源限制。
目标规划的图解法
O
50
E 500/11;500/11 ; d1 d1 d2 d2 0 D 360/7;360/7 ; d1 d1 d2 0,d2 92/7
C 100 l2
150
d
2
d
2
l4
x1 l1
小结
第一节 目标规划的基本概念与数学模型 一 问题的提出 二 目标规划的基本概念
1 决策变量与偏差变量 ２ 目标约束与绝对约束 ３ 目标规划的目标函数达成函数 ４ 优先因子与权系数
x1
2 x2
d3d3 6
x1,x2
0,di,di
0,(i
1,2,3) x2
l2
(l1)
(l2)
考虑P2 级目标，由于直线 交，所以在R1 内无法使
dl22与(Rl031不)因相此
在不退化P1 级目标时，不可能使P2 级
目标完全满足．这样R2 就缩为一点，
因为在R1中，使 达到d 最小的为A点，
所以：x* = (10 ,0),
关于最优解：线性规划是在可行解域内寻找某一点;
使单个目标达到最优值最大值或最小值 而目标规划是在
可行域内;首先寻找到一个使P1级目标均满足的区域R1; 然后再在R1中寻找一个使P2级目标均满足或尽最大可能 满足的区域R2R1;再在R2中寻找一个满足P3的各目标的 区 域 R3R2R1;…; 如 此 下 去 ; 直 到 寻 找 到 一 个 区 域 RkRk1…R1;满足Pk级的各目标;这个Rk即为所求的解 域;如果某一个Ri 1 i k已退化为一点;则计算终止;这一 点即为满意解;它只能满足P1;…;Pi 级目标;而无法进一步 改进;当然;此时或许有低于Pi级目标被满足;这纯属巧合
2x1 1.5x2 180
第二章 线性规划的图解法
s
.t
.
4 3
x1 x1
5x2 10 x
200 2 300
x1, x 2 0
第10页，本讲稿共64页
第二章 线性规划的图解法
什么是线性规划模型：
决策变量为可控的连续变量。
x 1 ≥ 0，x 2 ≥ 0
x 1 =0,1,2,3…n
目标函数和约束条件都是线性的。
Ma7 xx1f1x2 2
4x1 16
4 x2 12
最优解 (4, 2)
x1 + 2x2 8
|||| 6789
x1
最优生产方案 :产品1生产 4kg，产品2生 产2kg，最大利 润14元(最优 值）。
第22页，本讲稿共64页
第二章 线性规划的图解法
• 结论：
• 线性规划问题如果有最优解,则最优
解一定在可行域的边界上取得.
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利
Ⅰ 1 2 0 50 元
Ⅱ 1 1 1 100 元
资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ 产品才能使工厂获利最多？
第12页，本讲稿共64页
第二章 线性规划的图解法
• 目标函数：Maxz = 50 x1 + 100 x2
位于同一直线 上的点，具有 相同的目标函
数，称为“等 值线”。
|||| 6789
x1
第21页，本讲稿共64页
x2
9—
8—
7—
6—
5—
4—
3 —A
B
2—
1—
0
|| |
O
12 3
C
| D|
45
目标规划的图解法
x1 2x2 10
d
2
D
d
2
d
3
d
3
x1
8x1 10 x2 56
例3 某厂装配黑白与彩色两种电视机，每装配一台电视机， 需占用装配线1小时，装配线每周开动40小时，预计市场每周彩 电销量为24台，每台可获利80元，黑白电视机销量为30台，每 台可获利40元，该厂的目标是：
第1优先级：充分利用装配 线每周开动40小时。 第2优先级：允许装配线加 班但每周加班时间不超过 10小时。 第3优先级：装配电视机数 量尽量满足市场需要，但
240
x1
,
x
2
,
d
i
,
d
i
0
i 1,2,3,4
d1
d
4
d
4
d1
d
3
d
3
d
2
x1
400
d
2
运筹学
min z
p1d1
p2
(d
2
d
2
)
p3
d
3
2x1 x2
11
x1
x2 d1 d1 0
x1
2 x2
d
2
d
2
10
8x1
10x2
d
3
d
3
56
x1 ,
x2
,
d
i
,
d
i
0
i 1,2,3.
x2
2x1 x2 11
x1 x2 0
d 1 d1
C
C（2，4）,D（10/3，10/3）
运筹学
目标规划的图解法
步骤：
（1）先考虑硬约束与决策变量的非负约束， 同一般线性规划作图法；
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6.2线性目标规划的图解法目标规划问题的图解法::求一个区域，提供了相目标规划问题的图解法互矛盾的目标集的折衷方案。
+例Min S = d1X1+2X2+ d1--d1+ = 10X1+2X2 ≤6X1+X2 ≤4X1,X2,d1-, d1+ ≥0这个例子帮我们理解硬约束和软约束在图中的不同表达方式。
12x1x24681021342X 1+2X 2 ≤6Min S = d 1+X 1+2X 2+ d 1--d 1+ = 10X 1+2X 2 ≤6X 1+X 2 ≤4X 1,X 2,d 1-, d 1+ ≥053x1x24681021342X 1+X 2 ≤4Min S = d 1+X 1+2X 2+ d 1--d 1+ = 10X 1+2X 2 ≤6X 1+X 2 ≤4X 1,X 2,d 1-, d 1+ ≥054x1x24681021342Min S = d 1+X 1+2X 2+ d 1--d 1+ = 10X 1+2X 2 ≤6X 1+X 2 ≤4X 1,X 2,d 1-, d 1+ ≥055x1x24681021342x 1+2x 2=105d 1+d 1-A B(2,2)Min S = d 1+X 1+2X 2+ d 1--d 1+ = 10X 1+2X 2 ≤6X 1+X 2 ≤4X 1,X 2,d 1-, d 1+ ≥06x1x24681021342x 1+2x 2=105d 1+d 1-A B(2,2)当Min S = d 1+ 达到时d 1+ = 07x1x24681021342x 1+2x 2=105d 1-A B(2,2)当Min S = d 1+ 达到时d 1+ = 08x1x24681021342x 1+2x 2+d 1-= 10 d 1-= 25d 1-A B (2,2)当Min S = d 1+ 达到时d 1+ = 09x1x24681021342x 1+2x 2+d 1-= 10 d 1-= 45d 1-A B(2,2)有无穷多解：点（0，3）和点（2，2）连线上的点都是最优解。
(0,3)Min S = d 1+X 1+2X 2+ d 1--d 1+ = 10X 1+2X 2 ≤6X 1+X 2 ≤4X 1,X 2,d 1-, d 1+ ≥010x1x24681021342x 1+2x 2+d 1-= 10 d 1-= 65d 1-A B (2,2)有无穷多解：点（4，0）和点（0，2）连线上的点都是最优解。
(0,3)(4,0)(0,2)11x1x24681021342x 1+2x 2+d 1-= 10 d 1-= 75d 1-A B (2,2)有无穷多解：点（1，1）和点（0，3/2）（3，0）连线上的点都是最优解。
(0,3)(4,0)(1,1)步骤：v1、作所有约束直线v2、加注偏差变量v3、确定第一优先级目标集的最优解空间v4、求k+1级最优解空间v5、令k=k+1，反复执行4，直至求解完毕。
12例Min S=[Pd1-,P2d2+,P3(d3-+ d4-)]15X1+10X2+ d1--d1+=1002X1 + X2 + d2--d2+=14X1 + d3--d3+=6X2+ d4--d4+=10X1,X2,d i-, d i+ ≥0(i=1,2,3,4)1314x1x20101520255515201025d 1+d 1-5X 1+10X 2=100Min S=[P 1d 1-,P 2d 2+,P 3(d 3-+ d 4-)]5X 1+10X 2+ d 1--d 1+=1002X 1 + X 2 + d 2--d 2+=14X 1 + d 3--d 3+=6X 2+ d 4--d 4+=10X 1,X 2,d i -, d i + ≥0(i=1,2,3,4)15x1x20101520255515201025d 1+d 1-d 2+d 2-2X 1 +X 2 =14Min S=[P 1d 1-,P 2d 2+,P 3(d 3-+ d 4-)]5X 1+10X 2+ d 1--d 1+=1002X 1 + X 2 + d 2--d 2+=14X 1 + d 3--d 3+=6X 2+ d 4--d 4+=10X 1,X 2,d i -, d i + ≥0(i=1,2,3,4)16x1x20101520255515201025d 1+d 1-d 2+d 2-d 3+d 3-X 1 =6Min S=[P 1d 1-,P 2d 2+,P 3(d 3-+ d 4-)]5X 1+10X 2+ d 1--d 1+=1002X 1 + X 2 + d 2--d 2+=14X 1 + d 3--d 3+=6X 2+ d 4--d 4+=10X 1,X 2,d i -, d i + ≥0(i=1,2,3,4)17x1x20101520255515201025d 1+d 1-d 2+d 2-d 3+d 3-d 4+d 4-X 2=10Min S=[P 1d 1-,P 2d 2+,P 3(d 3-+ d 4-)]5X 1+10X 2+ d 1--d 1+=1002X 1 + X 2 + d 2--d 2+=14X 1 + d 3--d 3+=6X 2+ d 4--d 4+=10X 1,X 2,d i -, d i + ≥0(i=1,2,3,4)18x1x20101520255515201025d 1+d 2+d 2-d 3+d 3-d 4+d 4-Min d 1-= 0d 1-Min S=[P 1d 1-,P 2d 2+,P 3(d 3-+ d 4-)]19x1x20101520255515201025d 1+d 2-d 3+d 3-d 4+d 4-Min d 2+ = 0可行域如图d 2+Min S=[P 1d 1-,P 2d 2+,P 3(d 3-+ d 4-)]20x1x20101520255515201025d 1+d 2-d 3+d 4+d 4-d 3-Min d 3-= 0Min d 4-≠0可行域为空如图Min S=[P 1d 1-,P 2d 2+,P 3(d 3-+ d 4-)]21x1x20101520255515201025d 1+d 2-d 3+d 4+Min d 3-≠0Min d 4-= 0可行域如图d 3-d 4-Min S=[P 1d 1-,P 2d 2+,P 3(d 3-+ d 4-)]对于目标P1与目标P2很容易达到。
目标P3的两个指标不能同时满足，否则无解。
又因为P3中的两个目标同样重要，要讨论（1）Min d3-=0 Min d4-≠0原问题无解。
（2）Min d3-≠0=4 Min d4-=0原问题(2,10)是次优解。
Min S=[P1d1-,P2d2+,P3(d3-+ d4-)] 5X1+10X2+ d1--d1+=1002X1 + X2 + d2--d2+=14X1 + d3--d3+=6X2+ d4--d4+=10X1,X2,d i-, , d d i+ ≥0(0(i i=1,2,3,4)2223x1x20101520255515201025d 1+d 2-d 3+d 4+Min d 3-= 4Min d 4-= = 00d 3-(2,10)d 4-Min S=[P 1d 1-,P 2d 2+,P 3(d 3-+ d 4-)]24Min Min d d 3-≠0=4 Min d 4-=0原问题(2,10)是次优解。
Min S=[P 1d 1-,P2d 2+,P 3(d 3-+ d 4-)]5X 1+10X 2+ d 1--d 1+=1002X 1 + X 2 + d 2--d 2+=14X 1 + d 3--d 3+=6X 2+ d 4--d 4+=10X 1,X 2,d i -, , d d i + ≥0(0(i i =1,2,3,4))4,0,0(S ,0,0,0,4,0,0,01,0,10,24433221121===========∗+−+−+−+−∗∗d d d d d d d d x x。