线性代数第四章第三节课件

5 1 2 1 5 2 ( 1 , 2 ) -2E－A= 2 2 2 1 5 2 1 5 2 2 1 ( 5) 0 24 12 3 1 ( 2) 5 1 2 0 12 6 2 2 2 1 5 2 0 24 12 3 2 ( 1/2) 0 0 0
如果二次型X AX 是正定二次型, 对称矩阵A 称为正定矩阵。
T
4.2.21 k阶主子式(k≤n)
在 n 阶方阵A中，取第 i , i ,, i 行及第 i , i ,, i 列（即行标与列标相同）所得到的 k 阶子式称为A的 k 阶主子式(k≤n)。
1 2 k 1 2 k
例如，设
2 3 4 5 0 6 , A = 8 4 7 取第1，3行及第1，3列得到二阶子式
1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n
4.2.19 正定二次型
二次型 f ( x , x ,, x ) 为零的实数，都有
1 2 n
如果对任意一组不全
f (c1 , c2 ,, cn ) 0
则称 f ( x , x ,, x ) 为正定二次型。
1 2 n
4.2.20 正定矩阵
正定矩阵的判定定理：
定理15 n 元二次型 f ( x , x ,, x ) a x a x a x 是正定的 a , a ,, a 全大于零。 定理16 满秩变换不改变二次型的正定性。 f ( x , x ,, x ) 定理17 n 元二次型 是正 定的 它的正惯性指数等于 n 。
于是A的不同特征值为 1 4 (二重) , 2 2. 对于 1 4 (二重)，求解齐次线性方程 组（4E－ A）X = O，由 1 1 2 2 1 1 1 2 3 1 2 4E－ A = 1 1 2 0 0 0 . 2 2 4 0 0 0 求得一个基础解系为 1 2 1 1 , 2 0 , 0 1
例 4.2.6 求一个正交变换X = TY，把二次
型 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 3x12 3x2 2 x1x2 4 x1x3 4 x2 x3
化为标准形. 解 f ( x1 , x2 , x3 ) 的矩阵是 3 1 2 1 3 2 , A = 2 2 0
求得它的一个基础解系为
再单位化，得
3 3 3
令
1/ 6 1/ 6 . 2 / 6
1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 6 1/ 6 , 2/ 6
1/ 2 T = [ 1 , 2 , 3 ] 1/ 2 0
2
n
a x x a x x a x
n1 n 1 n2 n 2 nn



2
n
X AX
T
其中
a11 a12 x a x a22 21 , X A a x n1 an 2
1 2 n
ij ji
a1n a2 n 且 ann
则T是正交矩阵，并且有
4 0 0 T 0 4 0 . T AT = 0 0 2
=
于是，令X = TY，得
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 4 y12 4 y2 2 y3
4.2.17 二次型 f ( x , x ,, x ) 的秩
1 2 n
将二次型 f ( x , x ,, x ) 的矩阵A的秩， 称 f ( x , x ,, x ) 为二次型 的秩。
1 2 n 1 2 n
4.2.18 正惯性指数与负惯性指数
在二次型f ( x , x ,, x ) 的标准形中，系数 f ( x , x ,, x ) 为正的平方项个数p称为 的正惯 性指数；系数为负的平方项个数s－p称为 的负惯性指数，其中s为 f ( x , x ,, x ) 的秩。 惯性定理： 定理14 二次型 f ( x , x ,, x ) 的任一标准 形中，系数为正的平方项个数是惟一确定的， 它等于 f ( x , x ,, x ) 的正惯性指数；而系数为负 的平方项个数也是惟一确定的，它等于 f ( x , x ,, x ) 的负惯性指数。
2 2( x1 x2 x3 )2 ( x2 2 x3 )2 6 x3 .
即得
y1 x1 x2 x3 , y2 x2 2 x3 , y x, 3 3
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 y12 y2 6 y3 .
1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n
2 4 8 7
就是一个二阶主子式.
4.2.22 k阶顺序主子式
1,2,, k 在 n 阶方阵A中取第1,2,, k 行及第 列得到的 k 阶子式（ k≤n ），称为A的 k 阶顺 序主子式。
例如，上例中的A，1阶顺序主子式|–2| = –2，二阶顺序主子式是
2 3 5 0 ,
三阶顺序主子式是det A.
f ( x1 , x2 , x3 ) 8 x12 6 x1 x2 8 x1 x3 6 x2 x1
5 x 3x2 x3 8 x3 x1 3x3 x2 3x ,
2 2 2 3
其矩阵表示式为
f ( x1 , x2 , x3 ) x1
x2
或简单地就用对称矩阵 8 6 8 6 5 3 A = 8 3 3 来表示.
1 2 n
2 2 2 1 1 2 2 n n
1
2
n
1
2
n
例 4.2.5 化二次型
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x12 x2 8 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3
为标准形. 解 先将含 x1 的各项配成一个关于 x1 的完 全平方项，即 f ( x1 , x2 , x3 ) 2[ x12 2 x1 ( x2 x3 ) ( x2 x3 ) 2 ]
1 2 n
4.2.23 负定、半正定 与半负定的二次型
设 f ( x , x ,, x ) 是二次型，对任一组不全 f (c1 , c2 , , c如 0都 c , c ,, c 为零实数 ， 果 n) 有 f ( x , x ,, x ) ， 则称 是 f (c1 , c2 ,, cn ) 0 f ( x , x ,, x ) 负定的；如果都有 f (c1 , c，则称 f ( x , x ,是半正 , x ) 2 ,, cn ) 0 定的；如果都有 ,称 是半负定的。
1 0 0 1 1 2 ( 5) 0 0
1 ( 1) 2 (1/24)
5 2 1 1/ 2 0 0 0 1/ 2 1 1/ 2 0 0 1 3 1 , 2
2 2 2
1
2
n
1
1
2
2
n
n
1
2
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
2
n
的
定理18 n 元二次型f ( x , x ,, x ) 是正定
1 2 n
它的矩阵A的特征值全大于零。
f ( x , x ,, x ) 定理19 n 元二次型 是正定 的 它的矩阵A的所有顺序主子式全大于 零。即对称矩阵A是正定矩阵 它的所有顺序 主子式全大于零。
8 6 8 x1 x3 6 5 3 x2 8 3 3 x3
4.2.15 化二次型为标准形
如果二次型 f ( x , x ,, x ) 通过满秩变换X = CY(C为n阶满秩方阵)，使得原二次型用 d y d， y 化 d y 为 y , y ,, y 表 示 时 ,简称此过程为化二次型为标准形。
a a (i, j 1,2,, n)
称 f ( x , x ,, x ) 为 n 元二次型， 矩阵A称为二 次型 的矩阵。 f ( x , x ,, x )
1 2 n 1 2 n
例如二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 2 8 x12 12 x1 x2 5 x2 6 x2 x3 16 x1x3 3x3 , 为要写成矩阵形式，把 12 x1 x2 , 6 x2 x3 , 16 x1 x3 这 些项分别改写成 6 x1 x2 6 x2 x1 , 3x2 x3 3x3 x2 , 8 x1 x3 8 x3 x1 , 即
先正交化, 令
1 1 1 1 , 0
2 1 1 ( 2 , 1 ) 2 2 2 1 0 1 1 . 2 ( 1 , 1 ) 1 0 1
4.2.14 n元二次型、二次型矩阵
含 n 个变量 x , x ,, x
1 2
2 1 2 n 11 1
n
的二次齐次多项式
12 1 2 1n 1 n
f ( x , x , x ) a x a x x a x x
2 21 2 1 22 2 2n
a x x a x a x x
A的特征多项式
3
det( E - A) = 1 2
1 2
1 2 3 2 2

4 4 0 1 3 2 2 2 4 0 0 2 2 1 2 2 ( 4) 2 1 ( 1) 4 2 4 ( 4) 2 ( 2).
1 2 n
2 2 2
1
2
n
1
1
2
1
n
n
4.2.16 正交变换