四川省眉山市2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)

眉山市高中2019届第二学期期末教学质量检测数学试题卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列各式中，值为3-的是（ ） A. 002sin15cos15 B. 202sin 151- C. 2020cos 15sin 15- D. 2020cos 15sin 15+【答案】B 【解析】001A.2sin15cos15sin302=︒=，不成立； B. 2032sin 151cos302-=-︒=-，成立； C. 20203cos 15sin 15?cos30-=︒=，不成立 D. 2020cos 15sin 151+=，不成立 故选B.2. 下列命题正确的是（ ） A. 若a b >，则22ac bc > B. 若a b >-，则a b -> C. 若ac bc >，则a b > D. 若a b >，则a c b c ->-【答案】D 【解析】A 选项中为0时不能成立，B 选项中不等式的两边同时乘以-1，不等号的方向应改变，C 选项中的为负数时，不等号的方向要改变，所以C 不成立，选D3.下图是某几何体的三视图，则此几何体可由下列哪两种几何体组合而成A .两个长方体 B. 两个圆柱 C. 一个长方体和一个圆柱 D. 一个球和一个长方体【答案】C 【解析】上面那部分，正视图，侧视图均为矩形，俯视图为圆，所以是圆柱； 下面那部分，正视图，侧视图，俯视图均为矩形，所以为长方体， 所以该几何体是由一个圆柱和一个长方体组成. 故选C.4.在ABC V 中，已知sin cos sin A B C =， 那么ABC V 一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 正三角形【答案】B 【解析】 【分析】先化简sin Acos B ＝sin C=()sin A B +，即得三角形形状. 【详解】由sin Acos B ＝sin C 得()sin cos sin sin cos cos sin ,A B A B A B A B =+=+ 所以sinBcosA=0,因为A,B∈（0，π）， 所以sinB ＞0，所以cosA=0,所以A=2π, 所以三角形是直角三角形. 故答案A【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.5.已知向量AB AC AD u u u v u u u v u u u v，，在正方形网格中的位置如图所示，若AC AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ=（ ）A. -3B. 3C. -4D. 4【答案】A 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则()()()2,21,012AC AD AB =-==u u u r u u u r u u u r，，，，因为AC AB AD λμ=+u u u v u u u v u u u v，所以()()()2,2121,0λμ-=+，， 所以222λμλ=+=-，， 所以13，λμ=-=， 所以3λμ=-. 故选A.6.设等差数列{}n a 满足27a =，43a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则使得{}n S 取得最大值的自然数n 是（ ） A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】B 【解析】设等差数列{}n a 公差为24,7,3d a a Q ==，∴117,33a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12,9.d a =-=∴()921211n a n n =--=-+，∴数列{}n a 是减数列,且56560,0a a a a >>+=， 于是5566910112290,100,110222a a a aS S S +=⋅>=⋅==⋅<， 故选A.7.如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y （单位：10万元）与营运年数x （x ∈N ）为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运A. 3年B. 4年C. 5年D. 6年【答案】C 【解析】可设y=a(x －6)2+11，又曲线过(4，7)，∴7=a(4－6)2+11 ∴a=－1． 即y=－x 2+12x －25，∴=12－(x+)≤12－2=2，当且仅当x=5时取等号. 故选C ．8.已知||2a =r ，(2)a b a -⊥v v v，则b r 在a r 方向上的投影为（ ）A. -4B. -2C. 2D. 4【答案】D 【解析】分析：首先根据向量垂直，得到其数量积等于零，即(2)0a b a -⋅=v v v ，从而求得8a b ⋅=v v ，之后应用向量的投影的定义求得结果.详解：由(2)a b a -⊥v v v ，则(2)0a b a -⋅=v v v，即220a a b -⋅=v v v ，又2a =r ，所以8a b ⋅=v v ，所以b v 在a v方向上的投影为842a b a ⋅==v v v ，故选A.点睛：该题考查的是向量在另一向量方向上的投影问题，涉及到的知识点有向量垂直的条件是向量的数量积等于零，再者就是向量在另一向量方向上的投影的公式要正确使用.9.设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，c ，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a b c << B. a c b <<C. b c a <<D. b a c <<【答案】B 【解析】()00sin14cos14144559a =+=︒+︒=︒. ()00sin16cos161645b =+=︒+︒=︒.60c ===︒.因为59?60sin sin ︒<︒<︒.所以a c b <<. 故选B.10.已知各项都是正数的等比数列{}n a 中，存在两项*,(,)m n a a m n N ∈14a =且7652a a a =+，则14m n+的最小值是（ ） A. 32B. 43C.23D.34【答案】A 【解析】因为已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，则有6541112a q a q a q =+即：220q q --=，解得：21q q ==-，，又因为时正项等比数列故2q =.∵存两项()*,,m n a a m n N∈14a =,即114a a =，∴6m n +=则()141141413556662n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎡⎤+=++=+++= ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎣⎦⎝…(当且仅当4m n n m =时取等号) ∴14m n +的最小值是32故选A.点睛：本题主要考查基本不等式.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.11.已知,a b r r 是单位向量，且12a b •=-r r ，若平面向量p u r 满足1••2p a p b ==-vv v v ，则||p =u r （ ）A. 12 B. 1 C. 22D. 2【答案】B 【解析】根据条件：,,12,,120p cos p a p cos p b a b r rr r r r r r 且===︒； ∴,,0cos p a cos p b =<rr r ?r ；∴,60p a =︒r r；∴,12cos p a =r r ； ∴1p =r . 故选B.点睛：平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.12.若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，则2a ＋b ＋c 的最小值为( )A. 1B. 1C. ＋2D. 2【答案】D 【解析】由a(a＋b＋c)＋bc＝4－，得(a＋c)·(a＋b)＝4－.∵a、b、c>0.∴(a＋c)·(a＋b)≤22b c2a++⎛⎫⎪⎝⎭(当且仅当a＋c＝b＋a，即b＝c时取“＝”)，∴2a＋b＋c ＝1)＝2.故选D点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设向量(,1),(1,2),a m b==r r且222a b a b+=+r r r r则实数m=_________. 【答案】2-【解析】解答：∵222a b a b+=+r r r r，∴a r⋅b r=0，∵向量a r=(m,1),()1,2b=r，∴m+2=0，解得，m=−2，故答案为−2；14.在ABC∆中，tan,tan A B是方程23810x x+-=的两根，则tan C=__________【答案】2. 【解析】tan,tan A B是方程23810x x+-=的两根，则81tan tan tan tan 33A B A B +=-=-，.()()83tan tan πtan 21113tanA tanB C A B A B tanAtanB -+⎡⎤=-+=-+=-=-=⎣⎦-+. 答案2.15.过长方体的一个顶点的三条棱长分别是1、2、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是__________． 【答案】9π 【解析】由题意得，此问题是球内接长方体，所以可得长方体的对角线长等于球的直径，即23R ==,所以32R =,所以求得表面积为2234492S R πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭. 点睛：设几何体底面外接圆半径为x ,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为,,a b c则其体对角线长为长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为,,a b c ，则其外接球半径公式为: 22224R a b c =++.16.已知数列{an}是各项均不为零的等差数列，Sn 为其前n 项和，且an(n∈N*)．若不等式8nn a nλ+≤对任意n∈N*恒成立，则实数λ的最大值为_____． 【答案】9 【解析】试题分析：()22121n n n n n a a a n a a n =⇒===-⇒=-，n N *∈，8nn a n λ+≤就是()()82188215,215n n n n n n nλλ+-≤⇒≤-+--+在1n ≥时单调递增,其最小为9,所以9λ≤，故实数λ的最大值为9,故答案为9．考点：1、等差数列列的通项公式及前n 项和公式；2、不等式恒成立问题．【方法点晴】本题主要考查等差数列列的通项公式及前n 项和公式以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合（()y f x =图象在()y g x =上方即可）；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数．本题是先求出{}n a 的通项公式再利用方法①将求得λ的最大值．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数2()2(1)4f x mx m x =+++. （Ⅰ）若2m =，解不等式()0f x <；（Ⅱ）若关于x 的不等式()9f x m <-的解集为R ，求实数m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）（－2，－1）；（Ⅱ）1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：（1）m=2时，f （x ）＜0化为一元二次不等式，解出即可；（2）f （x ）≥-1的解集为R ，化为一元二次不等式恒成立的问题，即△≤0，求出m 的取值范围． 试题解析：（1）当m=2时，()2f 032021x x x x <⇔++<⇔-<<-所以原不等式的解集为()2,1--（2）()()2921940f x m mx m x m <-⇔++++<当m=0时，显然不合题意，当()()2m 0m 0414940m m m 时，由题意得<⎧⎪≠⎨∆=+-+<⎪⎩ 0111242m m m m <⎧⎪⇔⇔<-⎨><-⎪⎩或. 1,2m ⎛⎫∴∈-∞- ⎪⎝⎭.18.等差数列{}n a 中，13a =，前项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b的公比22S q b =. （1）求n a 与n b ；（2）证明：121111233n S S S ≤+++<L . 【答案】解：（1）13,3n n n a n b -==；（2）证明过程见解析. 【解析】 【分析】（1）由2212b S +=和 22S q b =可以构成关于2,q a 的方程组，结合已知，解方程求出2,q a ，根据等差数列、等比数列的通项公式，写出数列{}{}n n a b 、的通项公式； （2）先用等差数列前n 项和公式求出n S ，再利用裂项相消法求出1231111nS S S S ++++L L 的值，最后利用函数的单调性证明出不等式成立.【详解】（1）因为2212b S +=，所以1122129b q a a q a ++=⇒+=，又因为22S q b =，所以有212213a a q q a b q +=⇒=+，因此有22222934,3613q a q q q a a a +===-⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨=+==⎩⎩⎩，由题意可知等比数列{}n b 各项均为正数，故0q >，所以236q a =⎧⎨=⎩，因此121(1)()3n a a n a a n =+--=， 1113n n n b b q --=⋅=；（2）因为等差数列{}n a 的通项公式为3n a n =， 所以1()3(1)12223(1)n n n a a n n n S S n n ++==⇒=+， 因此123111121111[]3122334(1)n S S S S n n ++++=++++⨯⨯⨯+L L L L12311112111111121(1)(1)322334131n S S S S n n n ⇒++++=⨯-+-+-++-=-++L L L L 111212101123313n n n ⎛⎫≥∴<≤∴≤-< ⎪++⎝⎭Q ，12311111233n S S S S ⇒≤++++<L L . 【点睛】本题考查了求等差数列、等比数列的通项公式，考查了等差数列前n 项和公式，考查了用裂项相消法求数列的和证明不等式成立问题.19.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30o 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75o 的方向上，仰角为30o ，则此山的高度CD = ________ m.【答案】1006 【解析】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填1006考点：正弦定理及运用． 【此处有视频，请去附件查看】20.已知向量(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，413a b -=v v .（Ⅰ）求cos()αβ-的值； （Ⅱ）若02πα<<，02πβ-<<，且4sin 5β=-，求sin α的值.【答案】(1) 5.13(2)16.65【解析】【详解】试题分析：根据题意，由于向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),a b a b ααββ==-=rrrr，那么可知2165·=cos(),=1+1-2?=,cos()1313a b a b a b a b αβαβ--=-∴-=r r r r r r r r Q （）（2）根据题意，由于0,022ππαβ<<-<<且4sin 5β=-，那么16sin sin[()]sin()cos cos()sin 65ααββαββαββ=-+=-+-=考点：向量的数量积点评：主要是考查了向量的数量积公式以及两角和差的三角公式的运用，属于中档题．21.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知274sin cos 222A B C +-=，c =（1）若5a b +=，求ABC ∆的面积；（2）求+a b 的最大值，并判断此时ABC ∆的形状.【答案】（1）2ABC S ∆= （2）+a b 的最大值为【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式，结合C 是三角形的内角，可求C ；（2）利用正弦定理，将a b +化为()2sin sin R A B +，进而可得6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即可求得结论． 试题解析： 解：由()()2774sincos221cos cos2222A B C A B C +-=-+-=得 2722cosC 2cos 12C ∴+-+=，()212cos 10,cos 2C C ∴-=∴=0,3C C ππ<<∴=又由余弦定理得：()2227a ,73,6b ab a b ab ab =+-∴=+-∴=1sin 23ABC S ab π∆∴==（2）法一：()2a b 2sin sin sin sin 33R A B A A π⎡⎤⎛⎫+=+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3sin 3226A A A π⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭250,3666A A ππππ<<∴<+<Q,623A A a b πππ∴+==+当即时，最大为此时ABC ∆为等边三角形法二：由余弦定理得：()2227a 3b ab a b ab ==+-=+-()()()2223744a b a b a b ++∴≥+-=()228,a b a b ∴+≤∴+≤当且仅当a b =等号成立，a b ∴+最大为此时ABC ∆为等边三角形.点睛：在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.22.数列{}n a 满足11a =，112?()2n nn nn a a n N a +++=∈+. （1）证明：数列2{}nna 是等差数列；（2）设21(1)n n n b n a -=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，对任意的n ∈+N ，[1,2]t ∈，22122n at t a T -++≤恒成立，求正数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析 （2）(0,222a ⎤∈-⎦ 【解析】试题分析：（1）根据等差数列的定义即可证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）利用错位相减法即可求数列{b n }的前n 项和n T ，利用作差法可得数列{n T }单调递增，[]1,2t ∈，22122n at t a T -++≤恒成立，只需()22111222n min at t a T T -++≤==即可. 试题解析：解（1）证明：由已知可得＝，即＝＋1，即－＝1.∴数列是公差为1的等差数列．（2）由(1)知＝＋(n －1)×1＝n ＋1， ∴a n ＝.所以b n ＝，T n ＝＋＋＋…＋， T n ＝＋＋＋…＋.两式相减得T n ＝＋2－，T n ＝＋2×－，T n ＝1＋4－＝3－， 由T n －T n －1＝3－－＝，当n ≥2时，T n －T n －1>0，所以数列{T n }单调递增．n T ∴最小为112T =，依题意[]22a 201,2t t a t -+≤∈在上恒成立， 设()22t a 2t t a ϕ=-+则()()2212024-40a a a a ϕϕ⎧=-+≤⎪⎨=+≤⎪⎩又a 0>解得(2a ⎤∈⎦。