赋范空间B(X,y)与赋范空间K m×n的等距性

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泛函分析答案泛函分析解答（张恭庆）（1）

第五章习题第一部分01-151. M 为线性空间X 的子集，证明span( M )是包含M 的最小线性子空间．[证明] 显然span( M )是X 的线性子空间．设N 是X 的线性子空间，且M ⊆ N ．则由span( M )的定义，可直接验证span( M ) ⊆ N ．所以span( M )是包含M 的最小线性子空间．2. 设B 为线性空间X 的子集，证明conv(B ) = {∑=ni i i x a 1| a i ≥ 0,∑=ni i a 1= 1, x i ∈B , n 为自然数}．[证明] 设A = {∑=ni i i x a 1| a i ≥ 0,∑=ni i a 1= 1, x i ∈B , n 为自然数}．首先容易看出A 为包含B 的凸集，设F 也是包含B 的凸集，则显然有A ⊆ F ，故A 为包含B 的最小凸集．3. 证明[a , b ]上的多项式全体P [a , b ]是无限维线性空间，而E = {1, t , t 2, ..., t n , ...}是它的一个基底．[证明] 首先可以直接证明P [a , b ]按通常的函数加法和数乘构成线性空间，而P [a , b ]中的任一个元素皆可由E 中有限个元素的线性组合表示．设c 0, c 1, c 2, ..., c m 是m + 1个实数，其中c m ≠ 0，m ≥ 1．若∑=mn n n t c 0= 0，由代数学基本定理知c 0 = c 1 = c 2 = ... = c m = 0，所以E 中任意有限个元素线性无关，故P [a , b ]是无限维线性空间，而E 是它的一个基底。

4. 在 2中对任意的x = (x 1, x 2)∈ 2，定义|| x ||1 = | x 1 | + | x 2 |，|| x ||2 = (x 12 + x 22)1/2，|| x ||∞ = max{ | x 1 |, | x 2 | }．证明它们都是 2中的范数，并画出各自单位球的图形．[证明] 证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可．单位球图形略．5. 设X 为线性赋范空间，L 为它的线性子空间。

赋范空间

然 C( J) ( J 上的连续函数之全体) 是 B( J) 的子空间 . 若 u , un ∈ C( J) ( n = 1, 2, …) , ‖ u n - u ‖0 → 0 , 则 un → 一致收敛 , 参看 1 . 1 . 3) , 于是由熟知的数学分析 → u( 结果有 u ∈ C ( J). 可见 C ( J) 是 B( J) 的闭子空间 , 从而 C ( J) 亦为 Banach 空间 . 问题 , 这引出以下定义 : 1 . 1 . 5 定义
α n - α ‖ x ‖ → 0( n → ∞) ,
α n - α ‖ x‖
) ( 用( N1 )
无穷级数概念亦可引进赋范空间 : 若 x n ∈ X( n = 1, 2, …) , sn =
收敛 , 则说级数 ∑ x n 绝对收敛 .
∑x
n
∑ x, .若 ∑ ‖ x ‖
n 1 i n
指出范数时写作 ( X, ‖·‖) . 若 K = R( 或 C) , 则称 X 为实 ( 或复)赋范空间 .
n n n n n
( 以上 x , y ∈ X, α ∈ K) , 则称 X 为赋范向量空间 , 简称为赋范空间 , 当必要明确依定义 1 . 1 . 1 , R 就是一个实赋范空间 , 其中的范数即 Euclid 范数 ( 1) .类似
n n n
( 图 1 - 1) , 而 ‖ x‖ 即其“ 长度 ” . 三角不等式无 ‖ ∑ 1 x i ‖ ≤ ∑ 1 ‖ x i ‖;
你应当能说出这两个不等式的几何意义 . 对任给 x , y ∈ X, 称 ‖ x - y ‖ 为点 x 的距离为与 y 之间的距离 , 也记作 d ( x, y) . 更一般地 , 对任给 A , B X, 定义 A 与 B 之间 d( A, B)=

高馨泛函分析论文

泛函分析论文摘要:本文介绍了Hilbert 空间、Banach 空间、距离空间、拓扑空间的概念，通过一些典型例题论述它们空间之间的关系及算子定义和特征值关键词:Hilbert 空间、Banach 空间、距离空间、拓扑空间、算子一、空间每一个内积空间是赋范空间.我们称完备的内积空间为Hilibert 空间..一个内积空间必是一个赋范空间.反之,,每一个赋范空间都可以引进一个内积,使得由这个内积产生的范数是原来的范数,其中范数要满足平行四边形则.Hilbert space 是完备的线性赋范空间（Banach space ）的一个特例.1、Hilbert 空间有穷维线性空间可以引进各种种范数使它成为bananch 空间，但是通常欧式空间的一个重要特性是它上面定义了内积，借助于内积就可以定义向量的长和两个向量的正交性。

我们把这种方法推广到无穷维空间的情形，在下面里，我们引进内积空间Hilbert 空间的概念。

设H 是域K 上的线性空间，任意H y x ∈,,有一个K 中数(x,y)与之对应，使得对任意K a H z y x ∈∈,,,满足：⑴正定性：()(),0,;0,=≥x x y x 当且仅当;0=x⑵共轭对称性：()();,,x y y x =⑶对第一变元的线性性：()();,,y x a y ax =()()().,,,z y z x z y x +=+称（，）是Ｈ上的一个内积，H 上定义了内积称为内积空间。

()().,,y x a ay x =定理 1.1.1（Schwarz 不等式）设H 是内积空间，则对任意H y x ∈,有()()().,,,2y y x x y x ≤称内积空间的这个范数是由内积产生的范数，因此每一个内积空间是赋范空间.以后凡说到内积空间是赋范空间都是指范数是由内积产生的.我们称完备的内积空间为Hilbert 空间.例1.1.1 n R 是（实）Hilbert 空间.在定义n R 中定义()k nk k y x ηξ∑==1, {}{}().,n k k R y x ∈==ηξ不难验证，（，）是一个内积，且由这个内积产生的范数为2112⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=n k x ξ {}().n k R x ∈=ξ 因此n R 是Hilbert 空间.例1.1.2 ]2,L a b ⎡⎣是Hilbert 空间与2l 类似，由Holder 不等式，对任意]2,,x y L a b ⎡∈⎣，()()112222,(())(())b b b aa a x t y t dt x t dt y t dt ≤⎰⎰⎰ 在]2,L ab ⎡⎣上定义内积()()(),ba x y x t y t dt =⎰ 有这个内积产生的范数为 122(())b a x x t dt =⎰由此可知]2,L a b ⎡⎣是Hilbert 空间定理1.1.2 设H 是内积空间，则内积()y x ,是x,y 的连续函数，即当()().,,,,y x y x y y x x n n n n →→→时，定理1.1.4 设X 是赋范空间，如果范数满足平行四边形法则，则可在X 中定义一个内积，使得由它产生的范数正是X 中原来的范数.2、Banach 空间定义2.1.1 设X 是域K(实数域或复数域)上的线性空间，函数:R X →∙: 满足条件：1) 对任意0,0;0,==≥∈x x x X x 当且仅当；2) 对任意（齐次性）及,,x a ax K a X x =∈∈； 3) 对任意（三角不等式）,,y x y x X y x +≤+∈. 称 ∙是X 上的一个范数，X 上定义了范数 ∙称为赋范（线性）空间，记为() , ∙X ，有时简记为X .在一个赋范线性空间() , ∙X 中通过范数可以自然地定义一距离，(),,y x y x d -= .,X y x ∈ ()1.1.2事实上，由范数公理，对任意()()，当且仅当当且仅当且0,0,0,,0,,,,=-=-==≥-=∈y x y x y x d y x y x d X z y x ()()()+-≤-+-=-==-=-==z x y z z x y x y x d x y d x y y x y x d y x ,,,,,即()()y z d z x d y z ,,+=-.称赋范空间中这个距离是由范数诱导的距离.这样，赋范空间是一个距离空间，以后凡说赋范空间的距离如无特别说明都指的是由范数诱导的距离.因此，在第一张所讨论的涉及距离空间、拓扑空间的一般概念、性质（如完备性、可分性、紧性等）都可以移植到赋范空间中来.特别地，设{}n x 是赋范空间X 中的点列，X x ∈,如果()∞→→-n x x n 0，称{}n x 强（或按范）收敛于x ，记为()∞→→n x x n ，或x xn n =∞→lim .如果赋范空间是完备的称它为Banach 空间.例2.1.1 空间[],C a b 。

内积空间与赋范空间的关系

内积空间（Inner Product Space）和赋范空间（Normed Vector Space）是两个重要的数学概念，通常用于研究向量空间以及线性代数中的不同方面。

它们之间有密切的关系，但并不相同。

内积空间：内积空间是一个向量空间，其中定义了一个称为内积的二元操作，通常表示为⟨x, y⟨，其中x 和y 是该空间中的向量。

内积满足一些特定性质，如对称性、线性性和正定性。

具体来说，对于所有的向量x, y 和z，内积满足以下条件：对称性：⟨x, y⟨ = ⟨y, x⟨线性性：⟨ax + by, z⟨ = a⟨x, z⟨ + b⟨y, z⟨正定性：⟨x, x⟨ ≥0，且只有当x = 0 时才等于0，其中0 表示零向量。

赋范空间：赋范空间是一个向量空间，其中定义了一个范数（或赋范）函数，通常表示为||x||，它将每个向量映射到非负的实数，并满足一些性质。

范数函数用于度量向量的长度（或大小），通常包括欧几里得范数（L2范数）和曼哈顿范数（L1范数）等。

范数函数需要满足一些性质，如非负性、齐次性和三角不等式。

关系：内积空间是赋范空间的一种特例。

具体而言，内积空间中的内积可以用来定义一个范数，通常称为内积范数（Inner Product Norm），因此，内积空间中的向量空间也可以视为赋范空间，其中范数由内积给出。

但不是所有的赋范空间都是内积空间。

内积空间中的内积具有更多的结构性质，例如角度和正交性等，而赋范空间仅要求满足范数的性质。

总之，内积空间和赋范空间都是研究向量空间的有用工具，内积空间提供了更多的结构和性质，赋范空间则更一般，适用于更广泛的数学和应用领域。

内积范数是将内积空间和赋范空间联系起来的方式之一。

巴拿赫空间理论

巴拿赫空间理论巴拿赫空间理论（Banach space）是192O年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)⼀⼿创⽴的，数学分析中常巴拿赫空间⽤的许多空间都是巴拿赫空间及其推⼴，它们有许多重要的应⽤。

⼤多数巴拿赫空间是⽆穷维空间，可看成通常向量空间的⽆穷维推⼴。

编辑本段线性空间巴拿赫空间（Banach space）是⼀种赋有“长度”的线性空间﹐泛函分析研究的基本对象之⼀。

数学分析各个分⽀的发展为巴拿赫空间理论的诞⽣提供了许多丰富⽽⽣动的素材。

从外尔斯特拉斯﹐K.(T.W.)以来﹐⼈们久已⼗分关⼼闭区间[a﹐b ]上的连续函数以及它们的⼀致收敛性。

甚⾄在19世纪末﹐G.阿斯科利就得到[a﹐b ]上⼀族连续函数之列紧性的判断准则﹐后来⼗分成功地⽤于常微分⽅程和复变函数论中。

巴拿赫空间1909年⾥斯﹐F.(F.)给出[0﹐1]上连续线性泛函的表达式﹐这是分析学历史上的重⼤事件。

还有⼀个极重要的空间﹐那就是由所有在[0﹐1]上次可勒贝格求和的函数构成的空间(1<p <∞)。

在1910～1917年﹐⼈们研究它的种种初等性质﹔其上连续线性泛函的表⽰﹐则照亮了通往对偶理论的道路。

⼈们还把弗雷德霍姆积分⽅程理论推⼴到这种空间﹐并且引进全连巴拿赫空间续算⼦的概念。

当然还该想到希尔伯特空间。

正是基于这些具体的﹑⽣动的素材﹐巴拿赫﹐S.与维纳﹐N.相互独⽴地在1922年提出当今所谓巴拿赫空间的概念﹐并且在不到10年的时间内便发展成⼀部本⾝相当完美⽽⼜有着多⽅⾯应⽤的理论。

编辑本段Banach空间完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。

是⽤波兰数学家巴拿赫(Stefan Banach ）的名字命名的。

巴拿赫空间巴拿赫的主要贡献是引进了线性赋范空间概念，建⽴了其上的线性算⼦理论，证明了作为泛函分析基础的三个定理，哈恩--巴拿赫延拓定理，巴拿赫--斯坦豪斯定理即共鸣之定理、闭图像定理。

这些定理概括了许多经典的分析结果，在理论上和应⽤上都有重要价值。

第二章-赋范线性空间

*（5）逆算子定理：E、E1 都是 Banach 空间，T:E E1
上的一一对应的有界线性算子，则逆算子T 1必存在，
且T 1 也是有界线性算子。
*（6）有限维赋范线性空间中一切线性算子均有界（故连续）。
3）线性泛函举例
① 设 E 是赋范线性空间，则 E 的范数 x 定义了一个泛函
f : x E x R1，则 f 连续有界、但不是线性的泛函。其范数
（1）线性算子 T 若在一点 x0 D(T)连续在 D(T )上处
处连续
（2）线性算子 T 有界 T 连续
Tx
（3）线性算子 T 有界 T
sup
x0
x
存在 ( ) 。
*（4）共鸣定理：设 E 为 Banach 空间，E1 为赋范线
性空间，Tn (E E1) ，则x E, Tnx 有界 Tn 有界。
第2章赋范线性空间
§2.1 定义和举例 §2.2 按范数收敛 §2.3 有限维赋范线性空间 §2.4 线性算子与线性泛函 §2.5 赋范线性空间中的各种收敛
在第 1 章，我们通过距离的概念引入了点列的极限。点列的极限是微积分中数列极限在抽象空间中的推广，然而它是只有距离结构、没有代数结构（代数运算）的空间，在应用时受到许多限制。本章和下章介绍的赋范线性空间及内积空间就是距离结构和代数结构相结合的产物，它比距离空间有明显的优势。
若又由
xn
0
2
xn
0 ，即
1
x
2比
x 1更强，
则称范数 x 1与 x 2等价。
注：范数等价具有传递性
例如：可以证明 Rn 中三种范数
x、 1
x、 2
x 相互等价

泛函分析中的概念和命题

泛函分析中的概念和命题泛函分析中的概念和命题赋范空间，算子，泛函定理：赋范线性空间是有限维的当且仅当它的单位球是列紧的；有限维赋范线性空间上的任两个范数是等价的；有限维赋范线性空间是Banach 空间.定理：M 是赋范线性空间X,|| || 的一个真闭线性子空间，则0, y X,|| y|| 1,使得：|| y x|| 1 , x M定理：设X 是赋范线性空间，f 是X 上的线性泛函，则1. f X * N f {x X | f x 0}是X的闭线性子空间2. 非零线性泛函f x 是不连续的N f 在X中稠密定理：X ,Y是赋范空间，X { }, 则Y是Banach空间B X,Y 是Banach空间X ,Y, Z是赋范空间， A B X,Y ,B Y,Z ,则AB B X,Z ,且||AB || || A||||B || 可分B空间：L P 0,1,l p 1 p ,c,c0,C a,b 可分L 0，1,l 不可分Hahn-Banach 泛函延拓定理设X 为线性空间，p是定义在X上的实值函数，若：(1) p x y p x p y , x, y X ,则称p为次可加泛函(2) p x p x , 0, x X ，则称p为正齐性泛函(3) p x | | p x , K, x X ，则称p为对称泛函实Hahn-Banach 泛函定理: 设X 是实线性空间，p x 是定义在X 上的次可加正齐性泛函，X0是X 的线性子空间，f 0是定义在X 0上的实线性泛函且满足f0 x p x x X0 ，则必存在一个定义在X 上的实线性泛函f ，且满足：1．f0 x p x x X2. f x f0 x x X0复Hahn-Banach 泛函定理: 设X 是复线性空间，p x 是定义在X 上的次可加对称泛函，X 0 是X 的线性子空间，f0 是定义在X 0上的线性泛函且满足| f0 x | p x x X0 ，则必存在一个定义在X 上的线性泛函f ，且满足：1．| f0 x | p x x X2. f x f0 x x X0定理: 设X是线性空间，若X { }，则在X上必存在非零线性泛函。

有限维赋范空间与无限维赋范空间之比较

− − ⎛−⎞ n x 在 α ≻ 0, ∀ x ∈ S 有 f ⎜ x ⎟ = x ≥ α 。对于任意的 x ∈ X ，对应的 x ∈ R , − ∈ S ，于是 ⎝ ⎠ x
⎛−⎞ ⎝ ⎠
−
数学学院 2010 级泛函分析论文
⎛ − ⎞ ⎜ ⎟ − − − x x f ⎜ − ⎟ = − ≥ α ，由此推出 x ≥ α x ，我们有 α x ≤ x ≤ β x 。 ⎜ ⎟ x ⎜ x ⎟ ⎝ ⎠
(X
,
• 1 ) 的完备性与考察 (X , ⋅ 2 )的完备性是一致的。据 Euclid 空间的完备性知有限维赋范
数学学院 2010 级泛函分析论文
空间都是 Banach 空间。无限维赋范空间可能是不完备的。事实上，线性空间 l 0 − 只有有限项不为零的数列全体按任何范数不完备。为此，命 X n = span e1, ⋯, en .在任何范数下， X n 是 l 0 的完备线性子空间且无内点，因此 X n 是 l 0 的疏朗集。而 l 0 = ∪ X n n = 1,2,⋯ ,故 l 0 总是第一纲的。定理 1 证明任意 n 维赋范空间必与 R n 代数同构拓扑同胚
l 0 在 l ' 中稠密，因此 l 0 不是 l ' 的闭集。
4、有界集的列紧性有限维赋范空间的有界集都是列紧集而其有界闭集是紧集 (Heine-Borel 定理 )。无限维赋范空间的单位球面 S 不是预紧集，因而不是列紧集也非紧集。为此取 x1 ∈ S 。因为
L1 = span{x1 }是 X 的真闭线性子空间，由 F.Riesz 引理，可取 x2 ∈ S 使 d (x2 , L1 ) ≻
1 1
n − ⎛ n 2 ⎞2 ⎛ 2 ⎞2 其中 β = x = ∑ ξ k ek ≤ ∑ ξ k ek ≤ ⎜ ∑ ξ k ⎟ ⎜ ∑ ek ⎟ = β x ， k =1 k =1 ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠

距离空间赋范空间内积空间的关系

一、概述距离空间、赋范空间和内积空间是数学中常见的概念，它们各自具有独特的性质和结构。

研究它们之间的关系，有助于深入理解空间的性质及其在实际问题中的应用。

本文将着重探讨距离空间与赋范空间、内积空间之间的关系，并展示它们在数学和实际问题中的应用。

二、距离空间的定义及性质距离空间是指一个集合X上配备了一个距离函数d的空间，满足以下性质：1. 非负性：对于所有的x, y∈X，有d(x, y)≥0，且d(x, y)=0当且仅当x=y。

2. 对称性：对于所有的x, y∈X，有d(x, y)=d(y, x)。

3. 三角不等式：对于所有的x, y, z∈X，有d(x, z)≤d(x, y)+d(y, z)。

三、赋范空间的定义及性质赋范空间是指一个实数域上的向量空间X上配备了一个范数函数||·||的空间，满足以下性质：1. 非负性：对于所有的x∈X，有||x||≥0，且||x||=0当且仅当x=0。

2. 齐次性：对于所有的x∈X和所有的实数α，有||αx||=|α|·||x||。

3. 三角不等式：对于所有的x, y∈X，有||x+y||≤||x||+||y||。

四、内积空间的定义及性质内积空间是指一个实数域上的向量空间X上配备了一个内积函数lt;·, ·gt;的空间，满足以下性质：1. 对称性：对于所有的x, y∈X，有lt;x, ygt; = lt;y, xgt;。

2. 线性性：对于所有的x, y, z∈X和所有的实数α，β，有lt;αx+βy, zgt; = αlt;x, zgt+βlt;y, zgt。

3. 正定性：对于所有的x∈X，有lt;x, xgt; ≥0，且lt;x, xgt;=0当且仅当x=0。

五、距离空间与赋范空间的关系1. 距离空间是赋范空间的特例，在距离空间中可以定义范数函数||x-y||=d(x, y)，因此任何一个距离空间都是赋范空间。

2. 赋范空间的范数函数可以直接导出距离函数，即距离空间中的距离函数可以由赋范空间中的范数函数定义而来。

赋范空间及其性质

赋范空间及其性质赋范空间是数学分析中一个非常重要的概念，也是线性代数、拓扑学的重要内容之一。

本文将对赋范空间的概念、性质以及应用进行介绍。

一、赋范空间的概念赋范空间是一种向量空间，它在向量空间上还定义了一个范数，这个范数满足三条公理：1.非负性：对于 x∈X，有||x||≥0并且||x||=0当且仅当x=0；2.齐次性：对于 x∈X 和λ∈K（其中 K 是实数域或者复数域），有||λx||=|λ| ||x||；3.三角不等式：对于 x,y∈X，有||x+y||≤||x||+||y||。

赋范空间的一个重要特点是它是一个可度量的向量空间。

在赋范空间中，有一个用于度量向量长度的函数，这个函数可以用来衡量向量的大小和方向。

二、赋范空间的性质1. 赋范空间是一个度量空间。

2. 赋范空间的所有范数是等价的。

具体来说，如果∥⋅∥ 1 和∥⋅∥ 2 是同一向量空间 X 上的两个范数，则存在两个正数 A 和 B，对于所有 x∈X，有A∥x∥1≤∥x∥2≤B∥x∥1。

3. 赋范空间中的所有有界子集都是可列紧的。

这是紧性的一种形式，它告诉我们在赋范空间中的有界集合一定可以在有限的步骤内被完全覆盖。

4. 赋范空间中的任意 Cauchy 序列都收敛。

这个性质在分析中有重要的应用，因为它确保了我们在无穷维空间中仍然可以定义连续的函数。

5. 赋范空间中的每一闭凸子集是可分离的。

这个性质在拓扑学中有重要的应用，因为它告诉我们可以通过分别考虑凸集合来分析空间的性质。

三、赋范空间的应用赋范空间在分析学中有着广泛的应用。

例如，在微积分、偏微分方程、泛函分析、概率论等领域中，我们需要通过赋范空间来定义函数空间和算子空间。

此外，赋范空间还被广泛应用于类似于图像处理和模式识别等问题的机器学习和计算机视觉领域中。

总之，赋范空间是一种非常重要的数学概念，它在数学和其他领域中有着广泛的应用。

它的重要性在于，它通过引入范数将向量空间扩展为可度量的空间，从而使分析成为可能。

距离空间和赋范空间关系

距离空间和赋范空间关系1 简介距离空间和赋范空间是数学中比较基础的概念，它们都是描述空间中元素之间的距离关系的。

在实际科学中，距离空间和赋范空间被广泛地应用于物理学、计算机科学、工程学和金融学等领域。

在本文中，我们将介绍距离空间和赋范空间的概念及其关系。

2 距离空间距离空间是指具有度量结构的空间。

所谓度量，是指一种函数，它能够计算空间中两个元素之间的距离。

距离空间的定义是具有以下三个性质的集合：1. 集合中的每个元素可以用一个点来表示；2. 对于任意两个元素x和y，都存在一个非负的实数d(x,y)，表示它们之间的距离；3. 三角不等式，即对于任意三个元素x、y和z，有d(x,y)+d(y,z)≥d(x,z)。

距离空间应用广泛，比如在计算机科学中，可以将计算机中的各项指标抽象成元素，然后利用距离空间的度量函数计算它们之间的距离。

在物理学中，距离空间可以用于描述物体间的距离关系。

3 赋范空间赋范空间是指在距离空间的基础上，添加了一个额外的结构——范数。

范数是一种函数，它可以计算空间中每个元素的“大小”。

它定义为一个从空间到实数的函数，通常表示为||x||，它满足以下三个性质：1. 零向量的范数为0：||0||=0；2. 非零向量的范数为正数：||x||>0，x≠0；3. 范数满足线性性：||αx+βy||≤|α|||x||+|β|||y||，其中α、β是任意实数，x和y是任意空间中的向量。

赋范空间的例子包括实数域上的向量空间和函数空间。

在金融学中，赋范空间可以用于描述资产组合的投资风险和收益率之间的关系。

4 距离空间和赋范空间的关系每个赋范空间都可以看作距离空间，因为对于任意两个元素x和y，它们之间的距离可以定义为它们的差的范数，即d(x,y)=||x-y||。

因此，每个赋范空间都是一个距离空间。

但是，并非每个距离空间都可以定义出范数。

与距离空间相比，赋范空间更加抽象，因为它不仅仅是描述空间中的元素之间的距离关系，还涉及到元素的“大小”问题。

N-赋范空间等距的刻画的开题报告

N-赋范空间等距的刻画的开题报告一、选题背景在数学分析和函数论等学科中，赋范空间是一种重要的数学结构，其起源可以追溯到线性代数的范数概念。

赋范空间在函数空间、概率论、泛函分析等领域中有广泛的应用，是理论研究和实际问题求解的重要工具。

在赋范空间中，等距性质是一个重要且基本的性质，它表明了线性映射保持了向量间的距离关系。

等距性质对于研究赋范空间的性质和关系具有重要意义，具有广泛的应用。

二、研究内容本研究的主要目的是探讨赋范空间中等距性质的刻画方法，包括以下内容：1.等距映射的定义及其性质。

2.赋范空间中等距映射的等价定义。

3.等距映射保持范数和连续性的关系。

4.赋范空间中等距映射的例子和应用。

三、研究方法本研究采用文献资料法、数学方法和例证分析法等研究方法。

首先，通过查阅大量相关文献，梳理和总结赋范空间中等距性质的基本定义、理论和应用。

然后，运用数学方法深入探讨等距性质的特征和刻画，从理论和实践两个角度分析和证明等距映射在赋范空间中的重要性质和应用。

最后，通过丰富的实例和应用，直观地展示等距性质在实际问题中的重要应用价值。

四、研究意义赋范空间中等距性质的研究对于深入理解和应用赋范空间理论，推进相应学科领域的研究和发展，具有重要的意义和价值。

本研究的主要贡献在于：1.深入剖析了赋范空间中等距映射的定义、性质和应用，可以帮助学者更好地理解和掌握等距性质的重要意义和运用。

2.系统总结了赋范空间中等距映射的基本理论和方法，对于推进相关学科领域的学术研究和应用开发具有积极的促进作用。

3.通过丰富实例和应用，展示了等距性质在实际问题中的应用价值和实践意义。

五、预期结果本研究旨在从理论和实践两个角度深入探讨赋范空间中等距性质的刻画方法和应用，从而形成一套系统化、完整的理论框架和方法体系，推动相关领域的学术研究和应用发展。

预期结果包括：1.完整的等距性质理论框架和方法体系。

2.详细的实例分析和应用展示。

3.有关赋范空间等距性质的发展趋势和展望。

第二章赋范线性空间

第二章
§1 度量空间
一. 度量空间的概念
赋范线性空间
设平面上任意三个点 A，B，C，用 d ( A, B) 表示 A 到 B 之间的距离。有平面几何我们知道（i）
d ( A, B) ≥ 0 且 d ( A, B) = 0 ⇔ A = B ；（ii）d ( A, B) = d ( B, A) ；（iii）d ( A, B) ≤ d ( A, C ) + d (C , B) 。
n n
2 赋范线性空间的概念定义：设 X 为一个实（或复）的线性空间，若 X 上面定义了一个映射 || || : X → R 满足（i）对 x ∈ X ， || x ||≥ 0 且 || x ||= 0 ⇔ x = θ ；，|| λ x ||=| λ | || x || ；（ii）对 x ∈ X ， λ ∈ R （ C ）（iii）对 x, y ∈ X ， || x + y ||≤|| x || + || y ||
对任意的xyzx有dyzdxzdxy?事实上dyzdxzdxzdxydyzdxzdxy????dxydyzdxzdxzdxydyz???????dxydxzdyzdyzdxydxz????例21设12rr12nnnirrrin1212rnnnxy定义11dxyniii?zdzydxzydxyx212221dxyniii???????1xymaxiniid?以上定义的1dxy2dxy3dxy均是rn上的距离
证明：考虑 C[0,1] ，赋予距离 d1 。
3
⎧ ⎪0, ⎪ n ⎪ 取 xn (t ) = ⎨ nt − + 1, 2 ⎪ ⎪ ⎪1, ⎩
1 1 − 2 n 1 1 1 − ≤t< , 2 n 2 1 ≤ t ≤1 2 0≤t <

尚晓清数值分析第0章距离空间和赋范空间

L [ a, b] x (t ) 全体，即
p

b
a
x (t ) dt 。
p
x(t ), y(t ) Lp , 定义 ( x, y )
p 则 L [a, b]是距离空间，常称为

b
a
x(t ) y (t ) dt
p

1/ p
p 方可积的空间。
L2[a, b] 称为平方可积的空间。特别的，当 p=2 时，
证明：设 n 时, ( xn , x) 0 ，
( xn , xm ) ( xn , x) ( xm , x)
则 n, m 时, ( xn , xm ) 0 。
例 1 在有理数空间 Q 中，点列 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, „ 2 Q 是 Q 中的 Cauchy 点列，但不是收敛点列；
1 { xn } { } ，是 Cauchy 列，也是收敛例如在 R 中，点列 n
1
点列。注： 1 中有结论： n}是收敛数列 {x n}是 Cauchy 数列。 R {x 但在一般的距离空间中，该结论不成立。
17
定理
（若{x n}是 X , ）中的收敛点列，则{x n}一定是
Cauchy 点列；反之，Cauchy 点列不一定是收敛点列
n
3 ( x, y) max xi yi
1i n

4 ( x, y) min xi yi
1i n

思考： 3 ( x, y ), 4 ( x, y ) 能否定义 R 上的距离？
n
8
例 2 设 Rn 是 n 维向量全体构成的空间，

泛函分析解答(张恭庆)1.4

(2) l 与C 0,1 的一个子空间是等距同构的．23n 2,2 1 注折线函数在每一个折线段上的最大值由端点值决定.(x )t是否完备？a ,b 作为BC 0, 上的范数是不等价的．证明不妨假设b a 0,显然有 f b f a ,由使得只需证称Decard笛卡尔空间. 规定线性运算如下：x 1,x 2 y 1,y 2 x 1 y 1, x 2 y 2对收敛.显然.x n 存在一串收敛子列.事实上, 对 k ,取因为 x n 是基本列,改写a是否唯一?请对结果作出几何解释．y1.4.11 设X是线性赋范空间，函数 :x 1称为凸的，如果不等式x 1 x x 1 x成立. 求证凸函数的局部极小值必然是全空间最小值．证明用反证法. 设x0是局部极小点, 则x1 U x0 x1 x0 .如果 x2 Xx 2 x 0 ,那么()()()()102x x 1x x 1x x ,+ < + = 证明()()()F c1F c. = +x M c c 1,c 2, ,c n ,x g minx M x g minc1,c2, ,c n nF c F c1.4.13 设X是B 空间，X0是X的线性子空间，假定 c 0,1 ，使得inf x X0 y x c y求证: X0在X中稠密.证C0表示以0为极限的函数全体，并在C0中赋故x 1, 2, , k, M.x 0 y 2 1, 2, , k , ,x 0 y 1| k | 1k 22 1 1.注本题提供---个例子说明：对于无穷维闭线性子空间M 来说，给定其外一点x 0，未必能在其上找到一点y 适合x 0 yx 0,M .换句话说，给定M 外一点x 0 ,未必能在M 上找到最佳逼近元．1.4.15 设X 是B 空间, M 是X 的有限维真子空间，求证:y X , y 1,使得 y x 1.证y 0 X\M ,dinf x My 0 x 0,x n y 0 x n y 0 y 0 d1 , 即 x n 有界. 又 M 是有穷维的, 所以 x n 有收敛子列, 不妨就是整个序列. 设x n x 0 M ,则 y 1,对 x M,如下：x y x y X0 x , y X/X0;x x X0 x X/X0, K,其中x和y表示等价类 x , y 的任一元素. 又规定范数x inf x |x x x X/X0,求证 X/X0, 是一个线性赋范空间.(3) x x inf x X0 |X0 X0 x .(4) 定义映射 :X X/X0为x x是线性连续映射. (5) x X/X0，求证x X使得 x x ，且 x 2 x . (6) 设X是Banach空间，求证X/X0也是Banach空间.(7) 设X C 0,1 , X0 f X|f 0 0 ，求证：X/X0与K等距同构.解(1) X0 X ,x z X|z x X0 x X0x y x y X0z x z x X0z x z x X0(2)x0 infz xz , xx ,x0 0, x 0 0 infz xz 0infz xz 0 z n x , z n 0 z n x x X0. x x , y yx yinfx xy yx y x y x y先对后式 x x取下确界, 再对y y取下确界，上式保持不变，即得x y 0inf x xx infy yy x 0 y 0.(3) x 0 x ,X 0 .x x ,x x x ,X 0 x 0 x ,X 0 ;0,x x ,z X 0, x z x ,X 0 .x x z z X 0, x z x x .x 0 x z x ,X 0 0x 0 x ,X 0 .(4) x x :X X X 0.x x 0 x 连续．(5)x X X 0,x ,inf z xz x 0,根据定义，下确界是最大下界，所以2 x 0非下界．于是存在z x ,使 z 2 x 0(6) 设x n是X X 0的基本列，不妨设n 1x n 1x n 0收敛．由 (5),y n x n 1 x n , x n 1 x n 0补充 x 0 .n 0y n收敛n 0y n收敛, 令xn 0y n .则x lim n x n ||||xn 0y nn 0x n 1x n(7) f X X 0,f f ,f 0 f 0 K .T :X X 0 K ,T f f 0.下证：|T f |f 0.事实上， f 0 inf f fff x f 0 f|f 0|; 0,f 1 f ,使得[][]()()[]11100t 0,1000f f max f t f 0f f f .+ >= = 于是f 0 |f 0|.,即|T f | |f 0|.。

一类赋p范空间上的等距扩张问题

一类赋p范空间上的等距扩张问题
詹大鹏
【期刊名称】《数学物理学报：A辑》
【年(卷),期】1999(0)S1
【摘要】该文讨论了Ｌ~ｐ（Ω，Ｘ）（０＜ｐ＜１）的一类子空间上的单位球面等距扩张问题．
【总页数】7页(P606-612)
【关键词】等距扩张;向量值可测函数;严格凸
【作者】詹大鹏
【作者单位】南开大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O177
【相关文献】
1.非阿基米德2-赋范空间的等距问题 [J], 马玉梅
2.赋范空间B(X,Y)与赋范空间Km×n的等距性 [J], 刘玉波
3.有限维赋范空间到C（Ω）型空间的等距逼近问题 [J], 王日生
4.n-赋范空间上的等距延拓问题 [J], 马玉梅
5.n-赋范空间上的等距延拓问题 [J], 马玉梅
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第三节线性算子

当X = Y时，称T 是线性变换，当Y = K时，称T 是线性泛函。相关概念：核空间ker T、线性同构。称T 在x点连续，是指对任意点列{xn }, 若xn → x, 则Txn → Tx；若T 在X 的每一点都连续，则称T 在X 上连续。定理1.设X , Y 是赋范线性空间,T : X → Y 是线性算子，则（a）T 在X 上连续当且仅当T 在X 中的某点x0处连续;特别的等价于若xn → θ ( X 中零元)，则Txn → θ (Y中零元). (b)当X 的维数有限时，T 在X 上是连续的。
fx0有界线性算子空间110111supsupsup1sup0002supsupxxxxxxtxtbxyttxtxxttxttbxyttxtxt????????????????????????算子的范数验证算子算子范数满足以下条件
赋范线性空间
内积空间
三个空间的关系
赋范线性空间都是距离空间：ρ(x，y )= || x y ||; 反之，要求距离满足条件 : ρ (ax, θ ) =| a | ρ ( x, θ ), 范数定义 || x ||= ρ ( x, θ )。内积空间都是赋范线性空间 :|| x ||= ( x, x) 2 ；反之，范数满足中线公式： x + y ||2 + || x y ||2 = 2 || x ||2 +2 || y ||2 , || 内积定义 1 (x，y )= (|| x + y ||2 || x y ||2 +i || x + yi ||2 i || x + yi ||2 ) 4
因为任何n维赋范线性空间都与n维欧式空间线性同构，所以有限维的赋范线性空间是线性同构的当且仅当它们的维数相等。绝大多数的泛函分析课程都是讲述特殊的线性空间和线性算子的性质，而自然界中的现象更多是非线性的，非线性问题是更广阔更具有挑战性的领域，有着多样性和复杂性。人们在处理这类问题的方法：一、推广线性情形时的有关理论的想法和方法；二、化整为零，在局部范围内运用线性方法，将非线性问题转化为线性问题

21 线性赋范空间

第二章线性赋范空间与内积空间Normed Linear Spaces and Inner Product Spaces前面介绍了度量空间及其性质，在那里通过定义距离的概念，引入了点列的极限，这种点列极限是微积分中数列极限在抽象空间的推广．然而只有距离结构，没有代数结构的空间在应用上受到许多限制．本章通过在线性空间中定义范数来赋予线性空间上的一种特殊距离，从而将收敛的概念引入到线性空间，由此导出线性赋范空间的概念，如果这种空间的两个向量再赋予类似欧氏空间的“内积”或“点积”的概念后，便是内积空间．因此本章的主要内容就是线性赋范空间与内积空间．2.1 线性赋范空间的定义与极限在学习高等代数时，我们已了解到线性空间的概念，线性赋范空间，简单地说，就是给线性空间赋予范数．定义2.1.1 线性空间设X 为一非空集合，R 表示实数域(或为复数域C )．在X 中定义了元素的加法运算以及实数(或复数)与X 中元素的乘法运算，且满足下列条件：1. 关于加法“+”：,xy X ∀∈，u X ∃∈与之对应，记为u x y =+，称u 为x 与y 的和，且具有,,x y z X ∀∈，(1) x y y x +=+ (交换律)；(2) ()()x y z x y z ++=++ (结合律)；(3) 在X 中存在唯一元素θ，使得x X ∀∈，有x x θ+=，则称θ为X 中零元素； (4) x X ∀∈，存在唯一元素x '∈X ，使得x +x '=θ，称x '为x 的负元素，记为x -. 2. 对X 中每个元素x 及任何实数(或复数)a ，存在元素u ∈X 与之对应，记为u =a x ，称u 为a 与x 的数乘，且满足,x y X ∀∈，,λμ∀∈R (或C )(1) ()x x x λμλμ+=+ (分配律)；(2) ()x y x y λλλ+=+ (数因子的分配律)； (3) ()()x x λμλμ= (结合律)； (4) 1x x = (单位1).则称X 按上述加法和数乘运算成为线性空间或向量空间，X 中的元素称为向量.如果数乘运算只对实数(或只对复数)有意义，则称X 是实(或复)线性空间. 满足上述加法和数承运算的性质，统称为线性运算．我们知道，n 维欧式空间n R 是线性空间；[,]C a b 在通常加法和数乘意义下构成线性空间；n 阶实矩阵在矩阵的加法和数乘意义下构成线性空间．2.1.1 线性赋范空间的定义与举例定义 2.1.2 线性赋范空间Normed Linear Spaces设X 是数域K 上的线性空间，其中K 表示R 或者C ．若对每个x ∈X ，有一个确定的实数，记之为x ，与之对应，并且,x y X ∀∈，α∈K 满足：(1) ||||0x ≥，||||0x =0x ⇔= (正定性or 非负性)；Positive definiteness or Nonnegativity (2) ||||||||||x x αα=⋅ (齐次性)；Multiplicativity(3) ||||||||||||x y x y +≤+ (三角不等式). Triangle inequality则称||||x 为向量x 的范数(norm )，称(,|| ||)X 为线性赋范空间.简记为X ．通常称定义中的(1)、 (2) 、(3)为范数公理．注1：线性赋范空间诱导的度量空间在线性赋范空间X 中可定义距离：,x y X ∀∈，定义(,)||||d x y x y =-容易验证非负性、对称性和三角不等式(,)X d 为度量(距离)空间，并称d 为由范数||||⋅导出的距离，X 按导出的距离成为一个度量空间．从而在线性赋范空间X 中，关于点的邻域、开集、闭集、点列的收敛、极限点、列紧、可分性以及完备性等概念都有了确定的含义．定义 2.1.3 巴拿赫空间Banach space设X 为一线性赋范空间，如果X 按照距离(,)||||d x y x y =-是完备的，则称X 为巴拿赫(Banach)空间.即完备的线性赋范空间称为Banach 空间.例 2.1.1 在n 维欧式空间n R 上，12(,,,)n n x x x x R ∀=∈ ，定义范数||||⋅1221||||(||)ni i x x ==∑．记d 为由范数||||⋅导出的距离(,)||||d x y x y =-，证明(,)n R d 为Banach 空间.证明容易验证正定性和齐次性成立，由于第二章已经证明n R 上距离1221(,)||||(||)ni i i d x y x y x y ==-=-∑满足三角不等式，所以有||||(,)(,0)(0,)||||||||x y d x y d x d y x y +=-≤+-=+．同时第二章已经证明n R 是完备的度量空间，故n R 为Banach 空间．□例 2.1.2 在[,]C a b 在通常加法和数乘意义下构成线性空间，定义范数[,]||||max |()|t a b x x t ∈=，此范数导出的距离为[,](,)||||max |()()|t a b d x y x y x t y t ∈=-=-，证明在此距离下[,]C a b 是完备的，即在此范数下[,]C a b 为Banach 空间．证明容易验证正定性和齐次性成立，又[,]||||max |()()|t a b x y x t y t ∈+=+[,][,]max |()|max |()|t a b t a b x t y t ∈∈≤+||||||||x y =+即满足三角不等式．第二章已证明[,]C a b 在此范数诱导的距离意义下是完备的度量空间，故[,]C a b 为Banach 空间．□也可证明线性空间l ∞，p l ，[,]p L a b (1p ≤<+∞)为Banach 空间，加之前两个例题的结果知在下列定义的范数意义下，均为Banach 空间：n 维欧式空间nR1221||||(||)ni i x x ==∑12(,,,)nn x x x x R =∈有界数列空间l ∞1||||sup ||i i x x ==12(,,,,)n x x x x l ∞=∈p 次幂可和的数列空间p l11||||(||)ppi i x x ∞==∑12(,,,,)pn x x x x l =∈连续函数空间[,]C a b [,]||||max |()|t a b x x t ∈=[,]x C a b ∈p 次幂可积函数空间[,]pL a b1[,]||||(|()|)ppa b x x t dt =⎰[,]p x L a b ∈例 1.3 在[,]C a b 上定义范数1|||||()|ba x x t dt =⎰，其导出的距离为11(,)|||||()()|ba d x y x y x t y t dt =-=-⎰，那么在范数1||||⋅下[,]C a b 不是Banach 空间．证明仿照前章证明[0,1]C 在1d 下不是完备的度量空间，可知1([,],)C a b d 不是完备的度量空间，又因1|||||()()||()||()|bbba a a x y x t y t dt x t dt y t dt +=+≤+⎰⎰⎰11|||||||||x y =+，可知1||||⋅符合范数的三条公理．故在范数1||||⋅下[,]C ab 不是Banach 空间．□如果在线性空间X 上具有定义好的距离函数(,)d x y ，那么(,)X d 就为一度量空间，试问是否在存在X 上的某范数||||⋅，使得d 是由这个范数||||⋅导出的距离，即满足(,)||||d x y x y =-．答案是否定的．例 2.1.4 设X 为线性赋范空间，令(,)||||1x y d x y x y x y=⎧=⎨-+≠⎩证明(,)X d 为度量(距离)空间，但d 不是由某范数||||⋅导出的距离．证明显然距离(,)d x y 定义中的非负性和对称性成立，,,x y z X ∀∈，下证三角不等式成立当x y =时，则(,)0(,)(,)d x y d x z d z y =≤+；当x y ≠时分为三种情况：(1)x z ≠和y z ≠．(,)||||1d x y x y =-+||||1x z z y =-+-+||||||||1x z z y ≤-+-+(,)(,)d x z d z y <+．(2)x z =和y z ≠．注意到||||0x z -=和(,)0d x z =，所以有(,)||||1d x y x y =-+||||||||1x z z y ≤-+-+(,)(,)d x z d z y =+．(3)x z ≠和y z =．注意到||||0z y -=和(,)0d z y =，所以有(,)||||1d x y x y =-+||||1||||x z z y ≤-++-(,)(,)d x z d z y =+．因此(,)X d 是度量空间．假设d 是由某范数1||||⋅导出的距离，即1(,)||||d x y x y =-，于是当x θ≠及x αθ≠时有1||||(,)||||1x d x x θ==+； 1||||(,)||||||1x d x x ααθα==+；可见1||||||||(,)||(||||1)x d x x ααθα==+显然11||||||||||x x αα≠产生矛盾，故d 不是由某范数导出的距离．□问题：对于实数集R 上定义的离散度量空间0(,)d d R ，是否存在某范数使得离散度量0d 是由该范数诱导的度量？定义 2.1.4 线性赋范空间的子空间设X 为一线性赋范空间，如果1X 是X 的线性子空间，并且1X 上的范数是X 上的范数在1X 上的限制，则称1X 是线性赋范空间X 的子空间．如果1X 在X 中是闭的，则称1X 为X 的闭子空间．复习：完备度量空间X 的子空间M 是完备的充要条件M 是X 的闭子空间．2.1.2 线性赋范空间的极限根据范数导出的距离(,)||||d x y x y =-可以得到有关极限的概念，并且可讨论线性赋范空间中点列的收敛性．定义 2.1.5 依范数收敛设X 为线性赋范空间，{}n x 是X 中的点列，x X ∈，如果lim 0n n x x →∞-=，则称{}n x 依范数收敛于x (简称{}n x 收敛于x )，记为lim n n x x →∞=或()n x x n →→∞．显然依范数收敛就是按范数导出的距离收敛．关于点列的极限有以下性质．定理 2.1.1 设X 为线性赋范空间，{}n x X ⊂，(1)范数的连续性：范数x 是x 的连续函数(即若n x x →，则有n x x →)． (2)有界性：若{}n x 收敛于x ，则{}n x 有界．(3)线性运算的连续性：若n x x →，n y y →()n →∞，则n n x y x y +→+，n x x αα→()n →∞，其中α为常数．证明 (1) 设()f x x =，则f ：X R →，若n x x →，即(,)0n n x x d x x -=→，又因为n n x x x x ≤-+，n n x x x x ≤-+，所以()()0n n n f x f x x x x x -=-≤-→，因此x 是x 的连续函数．(2) 根据n n x x x x ≤-+易得结论． (3) 根据范数、极限的定义易证结论．□在线性赋范空间中，由于范数刻画了向量的长度，因此，赋范空间中的概念具有更强的几何直观性．定理 2.1.2 设X 为线性赋范空间，d 是由范数导出的距离，则0,,x y z X ∀∈，α∈K (数域) 有：(1)平移不变性：00(,)(,)d x z y z d x y ++=． (2)绝对齐次性：(,)(,)d x y d x y ααα=．证明 (1) 0000(,)()()(,)d x z y z x z y z x y d x y ++=+-+=-=． (2) (,)()(,)d x y x y x y x y d x y ααααααα=-=-=-=．2.1.3 线性赋范空间上的级数在线性赋范空间中，既有代数运算，又有极限运算，因此可以引进无穷级数的概念．定义 2.1.6 级数 Progression设X 为线性赋范空间，点列{}n x X ⊂，称表达式121n n n x x x x ∞=++++=∑ 为X 中的级数．若部分和点列12n n S x x x =+++ 依范数收敛于s X ∈，则称级数1n n x ∞=∑收敛于s ，称s 为级数的和，记为1n n s x ∞==∑．如果数项级数1n n x ∞=∑收敛，则称级数1n n x ∞=∑绝对收敛．例 2.1.5 证明在Banach 空间中，绝对收敛的级数必收敛．(习题)证明设级数1k k x ∞=∑绝对收敛，令1nn k k S x ==∑，下面证明{}n S 是X 中的柯西列，当m n >时，有12m n n n m S S x x x ++-=+++12n n m x x x ++≤+++1110nk k k k n k k x x x ∞∞=+==≤=-→∑∑∑,因此{}n S 是完备空间X 中的柯西列，从而是收敛列，即级数的部分和点列收敛．例 2.1.6 如果在线性赋范空间X 中，任何级数的绝对收敛总蕴含级数收敛，那么X 是完备的(即为Banach 空间)．(习题课)由上例子可知，当且仅当在Banach 空间中有级数的绝对收敛蕴含着收敛．定义2.1.6 绍德尔(Schauder)基设X 为线性赋范空间，{}n e 是X 中的一个点列，如果对于每一个x X ∈，存在唯一的数列{}n α，使得1122()0()n n x e e e n ααα-+++→→∞则称{}n e 是空间X 中的一组绍德尔基，称1n n n x e α∞==∑为x 的展开式．例如，p 次幂可和的数列空间p l 有一个绍德尔基{}n e ，其中(0,,0,1,0,,0,)n e = ，n e 的第n 个坐标等于1，其余坐标为0．可以证明，若线性赋范空间X 有一组绍德尔基，则X 是可分的线性赋范空间，反之不真．2.1.4 线性赋范空间的完备化由例 2.1.3及 2.1.4可知[,]C a b 在范数[,]||||m a x |()|t a b x x t ∈=下是Banach 空间，在范数1222||||(|()|)bax x t dt =⎰下不是Banach 空间，同时知2([,],)C a b ⋅2[,]L a b ⊂，而2[,]L a b 是完备的空间，即为Banach 空间．定义 2.1.7 线性等距同构设11(,)X ⋅，22(,)X ⋅是同一数域K 上的两个线性赋范空间，如果存在一一映射T ：12X X →，满足：(1) 线性：1,x y X ∀∈，,αβ∈K ，()()()T x y T x T y αβαβ+=+． (2) 等距：1x X ∀∈，21Tx x =．则称1X 和2X 线性等距同构，并称映射T 是线性等距同构映射．在线性等距同构意义下，两个空间可看成“同”一个空间定理 2.1.3 完备化定理设X 为线性赋范空间，那么存在Banach 空间Y ，使X 和Y 的一个稠密子空间1Y 线性等距同构，且在线性等距同构意义下，Y 是唯一的．数学家简介斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach ，1892年3月30日－1945年8月31日），波兰数学家1892年3月30日生于克拉科夫,1945年8月31日卒于利沃夫曾在克拉科夫的贾吉洛尼亚大学和利沃夫工业大学短期学习,但他主要靠自学1916 年结识H.斯坦豪斯后，开始科学研究,1920年获博士学位,1922年任利沃夫大学讲师，1927年为教授．成为泛函分析的开创者之一．不久在他和斯坦豪斯周围集中了一批年轻学者,发展成为利沃夫学派,并在1929年创办了第一个泛函分析杂志《数学研究》．1932年出版了他的名著《线性算子理论》．他在1936年的国际数学家大会上做了全会报告，这表明数学界重视波兰学者对泛函分析的研究．1939年被选为波兰数学会主席．第二次世界大战中，波兰被德国占领，他在一所医学研究所做喂养昆虫的工作．苏联军队攻克利沃夫后，他才回到大学工作，不过这时他已患肺癌．巴拿赫的主要工作是引进线性赋范空间概念，建立其上的线性算子理论，他证明的三个基本定理（哈恩—巴拿赫线性泛函延拓定理，巴拿赫－斯坦豪斯定理即共鸣定理，闭图像定理）概括了许多经典的分析结果，在理论上和应用上都有重要的价值．人们把完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间．此外,在实变函数论方面,他在1929年同K.库拉托夫斯基合作解决了一般测度问题．在集合论方面，他于1924年同A.塔尔斯基合作提出巴拿赫－塔尔斯基悖论．1945年8月31日巴拿赫因肺癌在乌克兰的利沃夫逝世，逝世后在当地被葬．1946年波兰数学协会为纪念他颁发巴拿赫奖．线性与非线性泛函◇。

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ｂｓｅｉｏｍｅｔｉｓｍｏｒｃ，１ｎｅｐｅａｏｒｓａｅＢ（，）ｗｈｅｅＸＳａｒｃｉｏｐｈｉｉａｒｏｒｔｐｃＸｙｒｉ
ｉｅｒｄｃｓａｅｆｄｎｉｎａｄ（，ｌ｝）ｂｏｔｉｉｍｏｐｉｈｔａｒｌｉｎｏｅｉｅ — ｎｒｏｕｔｐｃ —ｉｓｎＫｎｐｏｍｅｏｌ・ｌ２ｅｉｍｅｒｏｒｈｃｓｃｓ．Ｔｅｍｕｕｌｅｔｆｈｇｎａｏｔｅ
２００８பைடு நூலகம் ４月
Ｖｏ．８ＮＯ２１２．Ａｐ．２０ｒ０８
文章编号：６１１４２Ｏ）２０５０１７ —１１（０８Ｏ —０３－４
赋范空间Ｂ（ｙ）Ｘ，与赋范空间Ｋ的等距性
刘玉波
（天津理工大学理学院天津３０９），０１１
摘
要：明了存在Ｘ，证ｙ，
上的一组范数，得数域Ｋ上的赋范线性空间ＢＸ，）使（ｙ与赋范线性空间
是等距
同构的，雏内积空间Ｘ上的线性算子空间ＢＸ，与（，ｌ・ｌ）等距同构的，论了有限维空间上的线性算（Ｘ）ＫＩｌ是ｚ讨
的一组数， …， ∈Ｋ，，使得ｚ一：ｅ，ｔ，ｉ，
：１
…
，
称为ｚ在基ｅ， … ，的坐标，简记ｅ，ｅ下并
一
与（ ” ｌＩＫ，Ｉ・Ｉ）是等距同构的．另外，讨论了有限维空间上的线性算子的特征值与其对应矩阵的特征值的相互关系，而可将抽象有限维线性系统问从
ＡｂｔａｔｔｉｏｄｔａｔｔｒｅａｓｔｏｆｎｏｍｓｉＸ，ａｓｒｃ：ＩＳｐｒｖｅｈｈｅｅａｒｅｒｎＹｎｄＫｎｕｂｅｉｌａｒｅｉｅｒｓｃｍｒｆｅｄＫｎｄｎｏｍｄ１ｎａｐａｅＫｗｈｃａｈｅｎｏｍｅｉａｐｃＸ，）ｉｉｈｍｋｅｔｒｄ１ｎｅｒｓａｅＢ（ｙｎ
设Ｘ是数域Ｋ（Ｒ或ｃ上的维线性空间，）ｅ，ｅ，，Ｘ的一组基，么对ＶｚＥＸ， … ｅ是那存在唯一
组范数，得数域Ｋ上的有限维赋范线性空间Ｘ使
到有限维赋范线性空间ｙ上的线性算子构成的赋范线性空间Ｂ（ｙ）赋范线性空间Ｋ是等距同Ｘ，与构的，维内积空间Ｘ上的线性算子空间Ｂ（Ｘ）Ｘ，
Ｉｍｅｒｒｐｒｅｗｅｏｍｅｐｃｘ，ｎｓｔｃｐｏｅｔｂｔｅｎｎｒｄｓａｅｏｉｙＢ（Ｙ）ａｄ
ＬＵｂｏ
（ｏｌｇｆｃｅｃ，Ｔａｊｉｅｓｙｏｅｈｏｏｙｉｎｉ０１１Ｃｈｎ）ＣｌｅｏｉｅｉｎｉＵｎｖｒｉｆＴｃｎｌｇ，Ｔａｊ３０９，ｉａｅＳｎｎｔｎ
子的特征值与其对应矩阵的特征值的相互关系，限维内积空间上的Ｈｅｍｔ算子与Ｈｅｍｉ矩阵间的相互关系．有ｒｉｅｒｔｅ
关键词：性算子；征值；等距同构；算子矩阵线特中图分类号：７．０１７３文献标识码：Ａ
ｖｌｅｉｅｒｏｒｔｎｆｎｔ－ｉｅｉｎａｐｃｄｅｇｎｌｅｔａｒｘ，ｔｅｍｕｔａｅａｉｆＨｅｍｉｅｏｐ— ａｕｓｏｆｌｎａｐｅａｏｒｉｉｉｅｄｍｎｓｏｌｓａｅａｎｉｅｖａｕｓｏｆｉｓｍｔｉｈｕｌｒｌｔｏｎｏｒｔｅａｏｒｎｆｎｉｅｄｍｅｓｏｌｉｅｒｄｕｔｓａｅａｅｍｉｅｍａｒｃｓａｅｄｓｕｓｅｒｔｓｉｉｔ－ｉｎｉｎａｎｎｒｐｏｃｐｃｎｄＨｒｔｔｉｅｒｉｃｓｄ．Ｋｅｒｓ１ａｅａｔｒ；ｅｇｎｖｌｅｙｗｏｄ：ｉｒｏｐｒｏｓｉｅａｕｓ；ｉｏｍｅｒｃｉｏｍｏｐｓ；ｏｐｒｔｒｍａｒｃｓｎｅｓｔｉｓｒｈｉｍｅａｏｔｉｅ
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第２８卷
第２期
天津师范大学学报（自然科学版）
Ｊｕｎｌｆａｊｒｌｉｅｓｙ（ｔｒｌｃｅｃｄｔｎｏｒａｎｉＮｏｍａｖｒｉＮａｕａＳｉｎｅＥｉｏ）ｏＴｉｎＵｎｔｉ
首先讨论了数域Ｋ上的有限维线性空间到有限维线性空间的线性算子与ｍ × 矩阵的对应关系
及相互表示关系；后证明了存在Ｘ，Ｋ然ｙ，上的
一
元ｚＥＸ，得Ｔ使ｘ一２则称为Ｔ的一个特征值，ｘ，ｚ称为Ｔ的对应于的特征向量．