福建省宁德市2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题(word版有答案)
福建省宁德市2014届普通高中单科期末质量检查数学文
宁德市2014届普通高中单科期末质量检查数学（文科）本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清楚，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0,1A=,{}1,0,2B a=-+,若A B⊆，则a的值为A．-2B．-1C．0D．12．设21010x x-=-=“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3. 设向量a(2,1)=，b(1,)y=-，若a//b，则y的值为A．2B．2-C．12D．12-4.直线m在平面α内，直线n在平面β内，下列命题正确的是A．m nαβ⊥⇒⊥B．////mαββ⇒C．m n mβ⊥⇒⊥D．////m nαβ⇒5.已知01a<<，则函数()xf x a-=与函数()logag x x=的图象在同一坐标系中可以是A ．B ．C ．D ．6. 抛物线24y x =上的点00(,)M x y 到焦点F 的距离为5，则0x 的值为 A ．1B ．3C ．4D ．57. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为A ．8+B ．10C.2π D ．23π11．关于x 的不等式22430x ax a -+<(0a >)的解集为12(,)x x ,则1212ax x x x ++的 最小值是 A B C D12. 已知函数32()n n n n f x a x b x c x =++，满足111(1,n n n n n na b c q q q a b c +++===>为常数)，n ∈*N ，给出下列说法：①函数()n f x 为奇函数；②若函数1()f x 在R 上单调递增，则10a >；③若0x 是函数()n f x 的极值点，则0x 也是函数1()n f x +的极值点；④若23n n n b a c >，则函数()n f x 在R 上有极值.以上说法正确的个数是 A ．4B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题卡的相应位置． 13．已知i 是虚数单位，则复数i(1i)z =-在复平面内对应的点位于第 象限. 14. 设变量,x y 满足约束条件041x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为 .15. 已知两点(4,0)A -，(0,3)B ，若点P 是圆2220x y x +-=上的动点，则PAB ∆的面积的最大值为 .16. 已知2200149x y ->，过点00P(,)x y 作一直线与双曲线22149x y -=相交且仅有一个公共点，则该直线的斜率恰为双曲线的两条渐近线的斜率32±. 类比此思想，已知200021x y x -<，过点00P(,)x y 0(0)x >作一条不垂直于x 轴的直线l 与曲线221x y x-=相交且仅有一个公共点，则该直线l 的斜率为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知函数2()()f x x x c c =-+∈R 的一个零点为1. （Ⅰ）求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）设2(),0()log (1),0f x x g x x x ≤⎧=⎨+>⎩，若()2g t =，求实数t 的值.（背面还有试题）18.（本小题满分12分）已知等差数列}{n a 满足22a =，46216a a +=． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．19． (本小题满分12分)如图两个等边ABC ∆,ACD ∆所在的平面互相垂直，EB ⊥平面ABC ，且2AC =, BE =（Ⅰ）求三棱锥A BCE -的体积； （Ⅱ）求证：DE //平面ABC .20.（本小题满分12分）已知向量a (1,=，b (sin ,cos )x x =，()f x =⋅a b ．（Ⅰ）若()0f θ=，求22cos sin 12π)4θθθ--+的值；（Ⅱ）当[0,π]x ∈时，求函数()f x 的值域．21.（本小题满分12分）为了监测某海域的船舶航行情况，在该海域设立了如图所示东西走向，相距20海里的A ，B 两个观测站，观测范围是到A ，B 两观测站距离之和不超过40海里的区域.（Ⅰ）以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，求观测区域边界曲线的方程；（Ⅱ）某日上午7时，观测站B 发现在其正东10海里的C 处，有一艘轮船正以每小时8海里的速度向北偏西45°方向航行，问该轮船大约在什么时间离开观测区域？ (1.7≈≈.)22.（本小题满分14分）已知函数()x f x e bx =-．(Ⅰ) 若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线平行于x 轴，求实数b 的值； （Ⅱ）若(0,)x ∀∈+∞，()0f x ≥成立，求实数b 的取值范围； （Ⅲ）求证：12ln(1)(*)231nn n n n +++>-+∈+N ．2014年宁德市普通高中毕业班单科质量检查数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细则。
福建省宁德市高一下学期期末数学试卷(理科)
福建省宁德市高一下学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）福建泉州市2008年的生产总值约为3151亿元人民币，如果从此泉州市生产总值的年增长率为10.5%，求泉州市最早哪一年的生产总值超过8000亿元人民币？某同学为解答这个问题设计了一个程序框图，但不慎将此框图的一个处理框中的内容污染而看不到了，则此框图中因被污染而看不到的内容应是（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高一上·舒兰月考) 设函数定义在实数集上，当 1时，，且是偶函数，则有（）A .B .C .D .4. （2分） (2015高一下·宜宾期中) 设向量， =（2，﹣2），且（），则x 的值是（）A . 4B . ﹣4C . 2D . ﹣25. （2分）函数f（x）=x3+x﹣3的实数解落在的区间是（）A . [0，1]B . [1，2]C . [2，3]D . [3，4]6. （2分）在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 不能确定7. （2分） (2019高一上·北京期中) 对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么 .其中正确结论的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 38. （2分） (2019高三上·葫芦岛月考) 将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得曲线关于y轴对称，最后得到的曲线的对称轴方程为（）A .B .C .D .9. （2分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .10. （2分）在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，=，=，则=（）A . -B . +C . --D . -+11. （2分）如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为（）A .B .C .D .12. （2分）定义运算：a⊙b=如1⊙2=1，则函数f（x）=2x⊙2﹣x的值域为（）A . RB . （0，+∞）C . （0，1]D . [1，+∞）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·定州期末) 函数的定义域为________．14. （1分）今年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：由表中数据算出线性回归方程=bx+a中的b≈﹣2．气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量的件数约为________15. （1分）(2018·衡水模拟) 在区间上随机取两个数，，则事件“ ”发生的概率为________．16. （1分）(2014·江苏理) 已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2016高一下·岳池期末) 设θ为第二象限角，若．求（1）tanθ的值；（2）的值．18. （10分）(2014·重庆理) 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（2） X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．）19. （10分） (2017高二下·枣强期末) 在如图所示的多面体中，平面，，，，，，，是的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.20. （10分） (2017高一下·衡水期末) 已知圆C的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，其中m＜5．（1）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且|MN|= ，求m的值；（2）在（1）条件下，是否存在直线l：x﹣2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为，若存在，求出c的范围，若不存在，说明理由．21. （5分）已知函数f（x）=Asinωx+Bcosωx（A、B、ω是常数，ω＞0）的最小正周期为2，并且当x= 时，f（x）取得最大值2．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[0， ]时，方程f（x）=m有两个不同解，求实数m的取值范围；（Ⅲ）在闭区间[ ， ]上是否存在f（x）的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．22. （10分） (2016高一上·揭阳期中) 设函数g（x）=3x ， h（x）=9x ．（1）解方程：h（x）﹣8g（x）﹣h（1）=0；（2）令p（x）= ，求值：p（）+p（）+…+p（）+p（）．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
2014-2015下学期期末考试高一数学(A卷)试题与答案
答案一、CDABA BACDCDA 13、57-14、3/10 15、017、)4sin(π+x 18、3- 19、解：(1)由条件1OA =，AON θ∠=cos OC θ∴=，sin AC θ= ……2分1sin cos sin 22S θθθ∴== ……4分其中02πθ<< ……6分(2) 02πθ<<,02θπ∴<< ……8分故当22πθ=，即4πθ=时，……10分max 12S =. ……12分20、解：(1) 这二十五个数据的中位数是397.……4分 (2)品种A 亩产量的频率分布表如下：………………………8分(3)品种A 亩产量的频率分布直方图如下：0.0.0.0.0.0.0.0.………12分21、解：(1)由图象知：4()24T πππ=-=，则：22Tπω==，…………2分 由(0)1f =-得：sin 1ϕ=-，即：()2k k z πϕπ=-∈，……………4分∵||ϕπ< ∴ 2πϕ=-。
………………………………6分(2)由(1)知：()sin(2)cos 22f x x x π=-=-，……………………7分∴g()()()1cos )[cos()]12284xx x f x x ππ=--=----2[sin )]12cos 2sin cos 12x x x x x x =+-=+-cos 2sin 2)4x x x π=+=+，………………………10分当[0,]2x π∈时，52[,]444x πππ+∈，则sin(2)[,1]42x π+∈-，∴()g x 的值域为[-。
………………………………………12分22、解：(1)设(14,)P y ，则(14,),(8,3)OP y PB y ==---， ……………1分 由OP PB λ=，得(14,)(8,3)y y λ=---， …………２分 解得7,74y λ=-=-，所以点(14,7)P -。
福建省宁德市2014届普通高中单科期末质量检查数学理
宁德市2014届普通高中单科期末质量检查数学（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第□卷（非选择题）两部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2 .考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.3 .选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4 .保持答题卡卡面清楚，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：1锥体体积公式V -Sh 柱体体积公式V Sh3其中S为底面面积，h为高球的表面积公式S 4 R2体积公式V 4 R33其中R为球的半径第I卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2 A. x Z , x-1 •-2 •x Z , X 2 01 .集合 A 0,2, a 2{0,a },若 A B {0,a},则a 的值为A. 0B. 1C.D. 0 或 12.命题p : “ xx 2 0”，则C . X 0 Z , 2X g X 。
Z , X 02 03.直线m 在平面 内, 直线n 在平面 内，下列命题正确 m 〃 n // 的是//m//4.下列函数中定义域为［1,）的是16.A . y i x 1 ... x 1B . y , x 2 1D . y ln(x 1)C . 3D . 6y 1 b.函数f (x) si n( x )(c n0,- 2n)的部分图象 2/ \覧-\ O -坟 如图所示， 则 的值是3 J -1 〈6 …-nB . 1 3365.—个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为2A. 3开始C . y7.如图是用二分法求方程 其中 f(a)f(b) 0 下四个选择： ① f(a)f (m) f(x) 0近似解的程序框图, .判断框内可以填写的内容有如 2f (x) x 229.③ f (b)f (m) 其中正确的是A .①③ C .①④若平面区域 实数k 的值为A. 1 3与直线x y ④ f (b)f (m) 0.2xy 2 0, 1)B .②③ D .②④ 0,2 k(x的面积为D . 4 0相切，与曲线 -(x x 0)b| d 或 f(m) 0有公共点且面积最小的圆的方程为2 2A . xy 8 B . (x C . x 2 y 2 4D . (x10.给定有限单调递增数列｛x n ｝A ｛(^,X j ) 1 i, j n,且i, j1)2(y 1)2 (y(至少有两项)，1)21)218 结束其中 X iN ｝.若对任意的点A 10(1 i n)，定义集合A ，存在点A A 使得Of OA 2 (O输入精确度 d 和初始值a,ba m— 2为坐标原点)，则称数列｛X n｝具有性质P .例如数列｛x n｝: 的判断：2,2具有性质P.以下对于数列｛xj16.13 .锐角三角a,b,c 分别为角A, B,C 所对的边•若 2a sin B . 3b , b cbc 6，贝H a= ______ . _____X1ax 014.若函数f(x)2,,(a 0且a 2 , b 0且b 1)的图象关于y 轴对称，则1 b x , x 0a 8b 的最小值为 ____________ ,2 2 2 馅.已知x3 y 91，过点P(x0,y0)作一直线与双曲线;1相交且仅有一个公共点,线的倾斜角恰好等于此双曲线渐近线的倾斜角兀或2 n;类比此思想，已知X 0y 0 X 02 133x 21P(x °,y °)作一直线与函数y —— 的图象相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角X则该直，过点解答题：本大题共 6小题，满分(本小题满分13分)80分•解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.(背面还有试题)已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且满足S n 2a n 1(nN *).(I)求数列｛a n ｝的通项公式;(n)记b n a n n (n N *)，求数列的前n 项和人.① 数列｛X n ｝ :2 , 1 , 1, 3具有性质P ；1,n 1,② 若数列｛X n ｝满足X nn ,则该数列具有性质 P ；2n ',2 n 2014,③ 若数列｛X n ｝具有性质P ,则数列｛X n ｝中一定存在两项X i ,X j ，使得X j 0 ; 其中正确的是 A.①②③B.②③C.①②D.③第II 卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共 5小题，每小题4分，共20分•把答案填在答题卡相应位置. 11•已知向量a (2m, 3) , b (m 1,1)，若a , b 共线，则实数 m 的值为 ___________________a12.已知复数z a (a 1)i (a R , i 为虚数单位)为实数，则 xdx ________________________17. (本小题满分13分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x 0时,f (x) x2 4x .(I )求当x 0时，f (x)的表达式；(n )求满足不等式f(x2 2) f (x)的x的取值范围•18. (本小题满分13分)已知函数f(x) sin2x 2 3sinxcosx 3cos2x m (m R).(I)求函数f (x)的单调递增区间及对称轴方程；(n)当x [0,n时，f(x)的最大值为9,求实数m的值.319. (本小题满分13分)16.20. (参考数据:2 1.4, .31.7)14分)(本小题满分 如图已知圆锥SO 的底面半径为是SA 上的一点，且 SD 8\33 路程最短时在侧面留下的曲线 4,母线长为8，三角形SAB 是圆锥的一个轴截面， 动点M 从点B 出发沿着圆锥的侧面运动到达点 D ，当其运动后，母线 SB 1与曲线 相交于点如图所示.将轴截面SAB 绕着轴SO 逆时针旋转(0(I)若 (n)若2，证明：平面ABP 2 n—，求二面角B 1 AB 3平面ABP ;P 的余弦值.为了监测某海域的船舶航行情况，海事部门在 t 北 该海域设 立了如图所示东西走向， 相距20海里的A , B两个观测站，观测范围是到 A , B 两观测站距离之和不 -------------- A ------------------- B ---------- 超过40 海里的区域.(I)建立适当的平面直角坐标系，求观测区域边界曲线的方程；(n)某日上午7时，观测站B 发现在其正东10海里的C 处，有一艘轮船正以每小时 8海里的45 °方向航行，问该轮船大约在什么时间离开观测区域? 速度向北偏西21 .(本小题满分14分)已知函数f(x) ax lnx 1，若曲线y f (x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴.(I )求实数a的值；(H)函数g(x) f(x) m(x 1)(m R)恰有两个零点x1,x2(x1 x2).(i)求函数g(x)的单调区间及实数m的取值范围；(ii)求证：g (仝x2) 0 .22014年宁德市普通高中毕业班单科质量检查数学(理科)试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题: 本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分.1. B2. D3. D4. A 5 . C 6. A 7 . C 8 . B9 . A10 . D二、填空题: 本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分.11. 312. 113.、7 14 . 8 15 .卫或卫24(附题10解答：对于①，取A( 2,3)时，若存在A(x,y)满足OA OA2 ,得2x 3y 0 ,即1x 数列｛x n｝中不存在这样的项x,y，因此不具有性质P .对于②，取A ( 1, 1)时，不存在A(x,y)，使得OA OA2，故②不具有性质P . 2 3，• 8 •对于③，取A(X k ，X k )，若数列｛X n ｝具有性质P ,则存在点A (N ，X j )使得OA OA 2 , 即x k x x k x j 0，又x k 0 ,所以N X j 0，故③正确)三、解答题：本大题共 6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16 •本题考查数列等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归 与转化的思想，满分 13分.解：(I)因为S n 2a n 1,令n 1，解得a i 1 . (2)分因为 S n 2a n 1,所以 S n 1 2am 1,(n 2,n N *)［来 .............................................................................................................................................................................................3 分两式相减得 a n 2a n 1 , ................................................................... 5 分 所以｛a n ｝是首项为1,公比为2的等比数列， ....................... 6 分所以 a n2n 1. (7)(n)解：b na n n ,b n 2n ［来科，网旳 ............................................................................8T n bi b 2 Lb n(2° 1) (21 2) L (2n 1 n)1n 1(22 L 2) (1 2 L n)2n 1 .3 ................................................................................. 分32(说明：等比求和正确得 2分，等差求和正确得 1分)17 •本小题主要考查函数、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方 程的思想、化归与转化的思想，满分 13分. 解：(I )当 x 0 时，x 0, f( x) x 3 4x, ..................................................................... 2 分又f (x)为奇函数， f(x) f( X) , •…......................... 4 ..................... 分 即 f(x) x 2 4x .…............ 5 分又 f( 0)f (0)，即f(0) 0, ••… ................ 6分故当X 0 时，f(x) x 2 4x. ••…................. 7 分(n )由(I )知，f(x)在R 上是增函数， (9)分2 2f (x 2) f (x) x 2 x, .............................................. 10分3即 x x 2 0 .............................. 11分分 分10(n)T 当x [0,3]时，- 2xsin(2x ^)1 ,2sin(2 x —) m 2 4 m ，•实数m 的值为5. 13分(由 2x 得出sin(2x -)的最大值为1,得2分；正确推出f(x)的最大值为4 m ,6 6 6 6再得1分；正确求出 m 的值得1分)19•本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、 推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查应用意识，满分 13分. 解：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系. ........... 1分 (I)依题意可知：考察区域边界曲线是以 A,B 为焦点的椭圆， ........ 2分2 设椭圆方程为：冷a 2 詁 1(ab 0),解得 1x2. .......................................... 13分18•本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力和运算 求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想和数形结合的思想，满分13分.(I) f(x)sin 2 x 2 ./3sinxcosx3cos 2 x m1 cos2x 3si n1 cos2x 2x 322.3sin 2x cos2x m 22sin(2 x )m 62.八由一 2k2x --2k ,k ZZ ,26 2得一 kx — k,k Z .36•函数 f(x)的单调增区间为［k ，一 k ]3 6 由2xk ,kZ 得xL,k Z ,m62•••函数f (x)的对称轴方程是解 (k Z). 6 26 宁,k Z.2a 40则c 10解得 a 20,b 10. 3 , (6)分•考察区域边界曲线的方程为：2 2X y1. ........................................ 7 分400 300（不同的建系方式，对照上面的给分点相应评分）（n ）设轮船在观测区域内航行的时间为t 小时，航线与区域边界的交点为 C 、D ,20.本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理 论证能力和运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，满分 14分.解法一：（I ）证明：T -2• AB A B"i . (1)分••• SO 平面 B 1AB,.・. SO AB ........................... 2 分1 .20 120血 24 ................................ . (1)4 Zk20 -----............................................................... 1 分17724 3 （小时）....... 分28t13分• CD ••• C(20,0) , k cD tan135•••直线CD 方程:20.联立方程 y2X400 :202y300整理得：7X 2 160x 400 0,解得X i 20, X 220~7~•轮船大约在当日上午 10时离开观测区域• （其他解法相应给分）又••• SOI O ,• AB 平面SAB ,…4 分又••• AB 平面PAB ,•平面PAB 平面SAB i , ............................................................... 6 分又••• P 平面SA1B1,•平面PAB 平面PAB’ .DO(n)以o 为原点，AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，OS 所在直线为z 轴建立如图(1)所示的空间直角坐标系， .............. 8分 则 A( 4,0,0) , B(4,0,0),将圆锥半侧面图展开，如图(2)所示， 由已知可求 ASB ............................ 9 分22又 Q, ASB36QSD 1,SB 8, SDP -.33SSPD -, 在 Rt SPD 中，SP SDsin —4 .2 3 •••点 P 为 SB的中点.............................B T ---------PQ//SO PQ -SO—O B 2 2「322OQ 1-OB 1 22P(1 - 32 i 3) .......1分1, .：3,2 3).uin AP (3, 3,2 3),nun AB(8,0,0).设平面ABP 的法向量为 n 1(x, y,z), 则3x8x.3y 0,2 3z 0解得：1分n 1(0, 2,1丿取平面 B 1AB 的法向量为n2(0,0,1)-•- 13分5 cos(n i , n 2)5所求的二面角B - AB P 的余弦值为 一5. ....................................... 1分5如图(1) Q SO 面 AB^ , 面 SAB i 面 ABB 图(2) 过P 作PQ OB i 交OB i 于Q ，贝U PQ 面ABB ,解法二：(I)同解法一；(n)与解法一同，得：PQ 2 3 , OQ 2 . ................................... 11分过Q 作QC AB 交AB 于C ，连结CP ,；PQ 平面 B !AB, PQ AB ,又 T PQ I QC AB 平面PQC ， PC AB .则 PCQ 为二面角B !ABP 的平面角• ......13分Rt PQC 中，cosPCQ CQ 3 5 PC 155 ，所求的二面角B i AB P的余弦值为¥14分(其它解法相应给分)21.本小题主要考查函数、函数与导数等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方 程的思想，数形结合的思想，化归与转化思想，满分14分.1f (x) a —，且 f (1) 0，x解法一：(I)由 解得a 1 . (n) (i ) g(x)..........................................................................................3 分(1 m)(x 1) ln x ， x (0,). 令 g(x ) 1 1 (1 m)x 1 mxx1 时，g (x) 0，)上单调递减， 当1 m 0即m所以g(x)在(0, 此时只存在一个零点，不合题意; m 1时，令g (x)0 ,解得由题意可设 h(m) m 1g(x)极小=g() m1 mln(1 m)，ln(1 m).当m 0时,h(0) 0 即 g(x)极小=0 , 此时 g(x)恰有一个零点，不合题意;QX X 2 X 2当 m 0 时，h'(x) 0,当 0 m 1 时，h'(x) 0所以h(m)在(，0)上单调递增，在(0,1)上单调递减， 所以h(m) h(0)0,此时g(x)恰有两个零点.综上，m 的取值范围是(，0)U(0,1). (9)分(ii )证明：函数g(x)有两个零点x ,x 2(x ! X 2)，两式相减得(1 m)(X 2 xj In-20，xInX 2 10分要证g(X1 X 2 )0, 2只要证1 m 2 0，只要证1In X 2 20 In 0 ? X 1 X 2 X 2 X 1 X 1 X 1 X 2 只要证In X 2 2(X 2 为).................................. 44 .................................... z y — 0 , .................................... I IX 1 X 1 X 2X 2 %X1只要2 In -1 —— 0 . ••… (12)X 1 X 2 1X设(t) Int 2(t 卫(t 1)，则 (t)― 工0,t 1t(t 1)(t)在(1, + m) 上单调递增，• 1分X 2 2(— 1)(t) (1) 0， 分X 1 分产)解法二：(I ), (II ) (i )同解法 (ii )显然g(1) 0 ,故x 1是函数g(x)的一个零点，不妨设 人1 . 1(分所以 g(x 2)(1 m)(x 2 1) In x 2 0，即卩1m In X 2 •… 1分X 2 1 . 又g 1 x 2(2) 1 m 2 In x 2 2 (1 x 2)In x 2 2(X 2 1)............ 12分2 1 X X 2 1 1 X 2(X 2X 2)由X 2是函数g(x)的另一个零点, 设 p(x) (1 x)ln x 2(x 1) , x 0 且 x 1 , 1 p (x) In x — 1 , p (x)X11x1所以p(x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增,g(x i )(1 m)(x igX) (1 m)(X 21) In 为 0,1) In x 2 0.13分0，即g （生产）所以 2（x ） （1 x ）ln x 2（x 1） x 1 x 1 （其它解法相应给分）g (10.14分。
福建省宁德市2014-2015学年高一下学期期末测试数学试卷Word版含答案
宁德市2014—2015学年度第二学期高一期末考试数学（必修2、4）试题(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)友情提示:本卷第11、12、15、16、21、22题按达标校类别作答。
其中A 题供一、二级达标学校考生作答，B 题供非一、二级达标学校考生作答。
参考公式：锥体体积公式13V Sh =，柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高．球的表面积24S R =π，体积公式343V R =π，其中R 为球的半径．第I 卷 （选择题 60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡．．．的相应位置填涂． 1．函数()sin 2f x x =的最小正周期为 A ．2πB ．πC ．2πD ．4π2．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1A B 与直线11C D 所成的角为 A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°3．化简：cos()2α5π-=A ．sin αB ．sin α-C ．cos αD ．cos α-4．若角α的终边经过点34(,)55A ，则sin α=A.35B.45C.34D.435．直线l 经过点(1,2)，且倾斜角是直线y x =倾斜角的2倍，则以下各点在直线l 上的是 A. (1,1) B. (2,2)C. (2,1)D. (2,0)DAB CA 1D 1C 1B 16．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体 的表面积为A ．23πB ．πC ．2πD ．3π7．对于向量,,a b c 和实数λ，下列判断正确的是 A ．若=a b ，则=a b B ．若λ=0a ，则0λ= C ．若⋅=⋅a c b c ，则=a bD ．若=a b ，则⋅=⋅a c b c8．为了得到函数πsin(2)4y x =-的图象，只要将函数πsin()4y x =-上所有的点A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变 9．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列判断正确的是 A ．若//，m α//αβ,则//m βB ．若,,m n αα⊂⊂//,m β//n β，则//αβC ．若//,m n ,m α⊥//αβ，则n β⊥D ．若,,m ααβ⊂⊥则m β⊥10．已知线段PQ 的中点为(0,4)M ，若点P 在直线20x y +-=上运动，则点Q 的轨迹方程是A. 60x y +-=B. 60x y ++=C. 20x y --=D. 20x y -+=(以下11A 、12A 两题供一、二级．．．．达标校考生作答) 11 A ．已知直线20x y n -+=与圆22:4O x y +=交于,A B 两点，若60AOB ︒∠=，则实数n的值为 AB．C．D．±12 A ．已知P 是△ABC 所在平面内一点，D 为AB 的中点，若2(1)PD PC PA PB λ+=++，且△PBA 与△PBC 的面积相等，则实数λ的值为 A ．2B ．2-C ．1D ．1-俯视图正视图2 侧视图2(以下11B 、12B 两题供非一、二级．．．．．达标校考生作答) 11 B ．已知直线10x -=与圆22:(1)(2)4C x y -+-=交于,A B 两点，则弦AB 的长为A ．1BC ．2D．12 B ．如图，平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OA 与OB 的夹角为150°，OA 与OC 的夹角为90°，且1OA OB ==，2OC =，若（，）OC O A O B R λμλμ=+∈，则λμ+=A ．2B ．4 C2D ．4+第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．若向量a (3,)m =，b (2,4)=-，a ∥b ，则实数m 的值为 ＊＊ ．14．若方程2220x y x a +++=表示的曲线是圆，则实数a 的取值范围是 ＊＊ ． (以下15A 、16A 两题供一、二级．．．．达标校考生作答) 15A ．已知tan()3αβ-=，tan 4β=，则tan α= ＊＊ ．16A ．若直三棱柱111ABC A B C -每一条棱长都为4，则三棱锥1A ABC -与三棱锥111A ABC -公共部分的体积是 ＊＊ ．(以下15B 、16B 两题供非一、二级．．．．达标校考生作答) 15B ．已知tan 3α=，tan 4β=，则tan()αβ+= ＊＊ ．16B ．若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则连接该正方体每个面的中心构成的几何体的体积是 ＊＊ ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量(1,3),(,2),(3,4)m ==a b c =，且(3)-⊥a b c ． （Ⅰ）求实数m 的值；（6分） （Ⅱ）求向量a 与b 的夹角θ．（6分）OABC18．（本小题满分12分）已知点(1,4),(3,2),(1,1)A B C ．（Ⅰ）求过点C 与直线AB 平行的直线方程；（5分）（Ⅱ）若线段AB 的垂直平分线与x ,y 轴分别交于点,M N ，求△OMN 的面积．（7分）19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥． （Ⅰ）求证：1AC BA ⊥；（5分）（Ⅱ）若M 为11A C 的中点，问棱AB 上是否存在点N ，使得MN ∥平面11BCC B ？ 若存在，求出ANNB的值，并给出证明；若不存在，请说明理由．（7分）20．（本小题满分12分）一支探险队要穿越一个“死亡谷”，在这个峡谷中，某种侵扰性昆虫的密度 ()f t （只/立方米）近似于时间t （时）的一个连续函数，该函数的表达式为 (9)1000cos2000,917()43000,091724或t t f t t t -π⎧+≤≤⎪=⎨⎪≤<<≤⎩． （Ⅰ）求一天中该种昆虫密度()f t 的最小值和相应的时间t ；（6分）（Ⅱ）已知当密度超出2000只/立方米时，该种昆虫的侵扰将是致命的．问最早几点进入该峡谷可避免．．遭受该种昆虫致命性侵扰．（6分）B 1C 1C(本版面21A 、22A 两题供一、二级．．．．达标校考生作答，非一、二级．．．．．达标校考生作答的21B 、21B 两题在下一版面)21A ．（本小题满分12分）已知圆C 的一条直径的端点分别是(0,1),A (2,1)B ． （Ⅰ）求圆C 的方程；（4分）（Ⅱ）若直线l :2y kx =-与圆C 相切，求k 的值；（5分）（Ⅲ）若圆C 上恰有两个点到点(1,)D a (1)a >的距离为2，请直接写出．．．．实数a 的取值 范围．（3分）22A ．（本小题满分14分）已知函数2()cos 2cos f x x x x =+． （Ⅰ）求()24f π的值；（4分） （Ⅱ）若函数()f x 在区间[,]m m -上是单调递增函数，求实数m 的最大值；（5分）（Ⅲ）若关于x 的方程()0f x a -=在区间(0,)2π内有两个实数根1212,()x x x x <，分别求实数a 与1211x x +的取值范围．（5分）(本版面21B 、22B 两题供非一、二级．．．．．达标校考生作答，一、二级．．．．达标校考生作答的21A 、21A 两题在上一版面)21B ．（本小题满分12分）已知圆C 的一条直径的端点分别是(0,1),A (2,1)B ． （Ⅰ）求圆C 的方程；（5分）（Ⅱ）若过点(0,2)-的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程．（7分）22B ．（本小题满分14分）已知函数2()2sin cos 2cos 1f x x x x =+-．（Ⅰ）求()8f π的值；（4分）（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（5分）（Ⅲ）若关于x 的方程()0()f x a a -=∈R 在区间(0,)2π内有两个不相等的实数根12,x x ，记12cos()t a x x =+，求实数t 的取值范围．（5分）宁德市2014—2015学年度第二学期高一期末考试 数学（必修2、4）试题参考答案及评分标准（1）本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可参照本答案的评分标准的精神进行评分．（2）对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的立意，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的一半；如果有较严重的错误，就不给分．（3）解答右端所注分数表示考生正确作完该步应得的累加分数. （4）评分只给整数分，选择题和填空题均不给中间分． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．B 2．C 3．A 4．B 5．A 6．D 7．D 8．B 9．C 10．A 11A ．C 12A ．D 11B ．C 12B ．D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13. 6- 14．(,1)-∞ 15A ．711-16A 15B ．711- 16B ．43三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17. 解: (本题满分12分)（Ⅰ）∵(1,3),(,2),(3,4)m ==a b c =,∴3(1,3)(3,6)(13,3)m m -=-=--a b . ······························································ 2分 ∵(3)-⊥a b c ,∴(3)(13,3)(3,4)m -⋅--⋅a b c =3(13)(3)4m =-+-⨯990m =--= ············································································ 5分 解得1m =-. ······························································································ 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知(1,3),=a (1,2)=-b ,∴5b =a , ································································································· 7分==a b , ······················································································ 8分∴cos 10b θ===⨯b a a . ·································································· 10分 ∵[0,]θπ∈， ∴4πθ=. ································································································ 12分 18．(本题满分12分) 解：（Ⅰ）∵(1,4)(32)A B 、，，∴直线AB 的斜率421.13AB k -==-- ································································· 2分 ∴过点C 与直线AB 平行的直线方程为1(1)y x -=--， ······································ 4分 即20x y +-=． ···················································································· 5分 （Ⅱ）∵(1,4)(32)A B 、，， ∴ AB 的中点坐标为(2,3). ··········································································· 6分 又线段AB 的垂直平分线的斜率为1，∴线段AB 的垂直平分线的方程为：()312y x -=⋅-即10x y -+=. ··························································································· 8分 ∵(1,0),(1,0)M N -, ·················································································· 10分 ∴1122OMN S OM ON ∆==.········································································ 12分19. (本题满分12分)解法一:（Ⅰ）∵1AA ⊥平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,∴1AA AC ⊥. ··························································································· 2分 ∵AB AC ⊥，1AB AA A =I ,∴AC ⊥平面11ABB A . ·················································································· 4分 又∵1A B ⊂平面11ABB A ,∴1AC A B ⊥.····························································································· 5分（Ⅱ）存在点N 为AB 的中点，即1ANNB=，使得//MN 平面11BCC B . ··············· 6分 证明：取AC 得中点E ，连接,,MN ME NE ∵四边形11ACC A 是平行四边形， 且,M E 分别为11A C 、AC 的中点， ∴四边形1ECC M 是平行四边形∴ME ∥1CC . ···················································7分B 1C 1C∵ME ⊄平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ,∴ME ∥平面11BCC B . ················································································· 8分 ∵,N E 分别为AB 、AC 的中点，∴NE ∥BC . ····························································································· 9分 ∵NE ⊄平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ,∴NE ∥平面11BCC B . ················································································ 10分 ∵MENE E =，∴平面MNE ∥平面11BCC B . ······································································· 11分 （注：直接由两组相交线平行得面面平行，扣2分） ∵MN ⊂平面MNE ,∴MN ∥平面11BCC B . ··············································································· 12分 解法二: （Ⅰ）∵1AA ⊥平面ABC ,1AA ⊂平面11ABB A ,∴平面11ABB A ⊥平面ABC ，且平面11ABB A I 平面ABC =AB . ··························· 2分 ∵AC AB ⊥, AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥平面11ABB A . ·················································································· 4分 又∵1A B ⊂平面11ABB A ,∴1AC A B ⊥.····························································································· 5分（Ⅱ）存在点N 为AB 的中点，即1ANNB=，使得//MN 平面11BCC B . ··············· 6分 证明：取BC 得中点F ，连接1,,MN NF C F . ∵,N F 分别为AB 、BC 的中点，∴NF ∥AC ,NF 12=AC . ······························· 7分 ∵1MC ∥AC ,1MC 12=AC ,∴1MC ∥NF ，1MC =NF . ······························· 8分∴四边形1MNFC 为平行四边形. ·································································· 10分B 1C 1C∴MN ∥1C F . ························································································· 11分 ∵MN ⊄平面11BCC B ，1C F ⊂平面11BCC B ,∴ MN ∥平面1C F . ·················································································· 12分 20.（本题满分12分）解：（Ⅰ）(1)当917t ≤≤时，(9)()1000+20004cos t f t π-= ∵(9)024t ππ-≤≤， ··············································································· 1分 (9)π(9)π=π=13 cos =144t t t --∴-当，即时，， ················································· 2分min ()1000(1)+20001000f t =⨯-= ································································· 4分(2)当09t ≤<或1724t <≤时，()3000f t = ··················································· 5分 所以，一天中该种昆虫密度的最小值是1000（只/立方米），出现最小值时的时间t =13·········································································································· 6分 （Ⅱ）解法1，依题意当()2000f t ≤时，可避免遭受该种昆虫致命性侵扰. 由()2000f t =，得(9)cos04t π-=， ··························································· 8分 ∵当917t ≤≤时，(9)024t ππ-≤≤∴ (9)=42t ππ-或(9)3=42t ππ-································································ 10分得11t =或15t = ················································································· 11分 ∴ 最早11点进入该峡谷可避免遭受该种昆虫致命性侵扰． ························· 12分（Ⅱ）解法2，依题意，当()2000f t ≤时，可避免遭受该种昆虫致命性侵扰.令()2000f t ≤，即(9)1000cos +200020004t π-≤，得(9)cos 04t π-≤ ·············· 8分则(9)32k 2,242t k k Z πππππ-+≤≤+∈, 得 811815,k t k k Z +≤≤+∈ ····························································· 10分 又∵917,t ≤≤ ∴1115,t ≤≤ ························································ 11分∴ 最早11点进入该峡谷可避免遭受该种昆虫致命性侵扰. ·························· 12分 (以下是21A 、22A 两题答案)21A. （Ⅰ）∵(0,1),(2,1)A B 是圆C 的一条直径的两端点，∴圆心C 是AB 的中点，其坐标为（1，1） ·············································· 1分圆C 半径1AC = ·········································································· 2分 ∴圆C 的方程是：22(1)(1)1x y -+-= ······················································ 4分 （Ⅱ）∵直线l ：2y kx =-与圆C 相切，∴圆心(1,1)C 到直线20kx y --=的距离等于半径1， 1=， ············· 7分解得43k =. ································································································ 9分 （Ⅲ）a 的取值范围是(2,4) ······································································· 12分 22A . (本题满分14分)解：（Ⅰ）∵()2cos 21f x x x =++ ··························································· 1分12cos 2)12x x =++ 2sin(2)16x π=++ ································································· 3分∴()2sin()12sin 11241264f ππππ=++=+=············································· 4分 （Ⅱ）由222,262k x k k Z ππππ-≤+≤π+∈ 得,36k x k k Z πππ-≤≤π+∈ ∴()f x 在区间,()36k k k Z ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦上是增函数 ············································· 5分∴当0k =时，()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 ··············································· 6分若函数()f x 在区间[,]m m -上是单调递增函数，则[,][,]36m m ππ-⊆- ······················ 7分。
福建省宁德市高一下期末数学试卷(有答案)
福建省宁德市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知直线l1：x﹣2y+a=0．l2：ax﹣y+1=0．若l1∥l2，则实数a的值为（）A．B．C．﹣2 D．02．在下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．=（0，0），=（3，2）B．=（﹣1，2），=（3，﹣2）C．=（6，4），=（3，2）D．=（﹣2，5），=（2，﹣5）3．半径为1，弧长为4的扇形的面积等于（）A．8 B．4 C．2 D．14．如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（））A．=B．•=1 C．≠D．||=||5．若||=1，||=2，•=1，则和夹角大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°6．棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的表面积为（）A．8πB．16πC．24πD．32π7．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的侧面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π8．已知直线x﹣y+=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长为（）A．B．C．2D．49．设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若l⊥m，m⊥n，则l∥n B．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β10．为了得到函数y=sin（x﹣）+1的图象，只需将函数y=sinx图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度，再向上平行平移1个单位长度B．向左平行移动个单位长度，再向下平行平移1个单位长度C．向右平行移动个单位长度，再向下平行平移1个单位长度D．向右平行移动个单位长度，再向上平行平移1个单位长度11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点，则EF与A1C1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．已知α，β均为锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=﹣，则sinβ的值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．直线x+2y+2=0在y轴上的截距为．14．已知向量=（0，1），=（﹣1，m），=（1，2），若（+）∥，则m=．15．圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2﹣4x﹣5=0的位置关系是．16．已知函数f（x）=sin（2x+），给出下列判断：①函数f（x）的最小正周期为π；②函数y=f（x+）是偶函数；③函数f（x）关于点（﹣，0）（k∈Z）成中心对称；④函数f（x）在区间[，]上是单调递减函数．其中正确的判断是．（写出所有正确判断的序号）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知直线l的倾斜角α=30°，且过点P（，2）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若直线m过点（1，）且与直线l垂直，求直线m与两坐标轴围成的三角形面积．18．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P为BC的中点，且=λ（λ∈R）．（Ⅰ）试用和表示；（Ⅱ）若•=4时，求λ的值．19．已知锐角α，β的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，角α的终边经过点A（2，1），角β的终边经过点B（3，1）．（Ⅰ）求sinα，cosα，tanα的值；（Ⅱ）求α+β的大小．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点，AB=2，AA1=AC=CB=2．（Ⅰ）证明：CD⊥平面AA1B1B；（Ⅱ）求三棱锥V的体积．21．已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及其相应的x的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（，m）上单调递减，求实数m的取值范围．22．已知圆E过点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心E在直线l：x+y﹣2=0上，直线l′与直线l关于原点对称，过直线l′上点P向圆E引两条切线PM，PN，切点分别为M，N．（Ⅰ）求圆E的方程；（Ⅱ）求证：直线MN恒过一个定点．福建省宁德市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知直线l1：x﹣2y+a=0．l2：ax﹣y+1=0．若l1∥l2，则实数a的值为（）A．B．C．﹣2 D．0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】利用两条直线相互平行与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：直线l1：x﹣2y+a=0，即：y=x+，l2：ax﹣y+1=0，即y=ax+1，若l1∥l2，则a=，故选：A．2．在下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．=（0，0），=（3，2）B．=（﹣1，2），=（3，﹣2）C．=（6，4），=（3，2）D．=（﹣2，5），=（2，﹣5）【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由定理知可作为平面内所有向量的一组基底的两个向量必是不共线的，由此关系对四个选项作出判断，得出正确选项．【解答】解：对于A：零向量与任一向量共线，因此与共线，不能作为基底；B：由≠λ，与不共线，可以作为基底；C：=2，因此与共线，不能作为基底；D：=﹣，因此与共线，不能作为基底；故选：B．3．半径为1，弧长为4的扇形的面积等于（）A．8 B．4 C．2 D．1【考点】扇形面积公式．【分析】由扇形面积公式S=lR进行计算即可得解．【解答】解：由题意得：S=×4×1=2．故选：C．4．如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（））A．=B．•=1 C．≠D．||=||【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的定义结合向量数量积公式以及向量模长的定义分别进行判断即可．【解答】解：A.，是两个单位向量，长度相等，但方向不一定相同，则=错误，B.，向量的夹角不确定，则•=1不一定成立，C.=，故C错误，D．||=||=1，故D正确．故选：D．5．若||=1，||=2，•=1，则和夹角大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量夹角公式，结合向量数量积的运算进行求解即可．【解答】解：∵||=1，||=2，•=1，∴cos＜，＞==，则＜，＞=60°，即向量夹角大小为60°，故选：B6．棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的表面积为（）A．8πB．16πC．24πD．32π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据正方体和内切球半径之间的关系即可求球的表面积．【解答】解：∵棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的直径等于正方体的棱长，∴2r=4，即内切球的半径r=2，∴内切球的表面积为4πr2=16π．故选：B．7．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的侧面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱，代入圆柱的侧面积公式，可得答案．【解答】解：由已知可得该几何体为圆柱，且圆柱的底面直径为2，高h=2即圆柱的底面半径r=1，故该几何体的侧面积S=2πrh=4π．故选：A．8．已知直线x﹣y+=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长为（）A．B．C．2D．4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】易得圆的圆心和半径，由距离公式可得圆心到直线的距离d，由勾股定理可得|AB|．【解答】解：∵圆x2+y2=4的圆心为（0，0），半径r=2，∴圆心到直线x﹣y+=0的距离d==1，∴弦长|AB|=2=2故选：C．9．设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若l⊥m，m⊥n，则l∥n B．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面、平面与平面垂直、平行的性质与判定，一一判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，若l⊥m，m⊥n，则l∥n或相交或异面，故不正确；对于B，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ或相交，故不正确；对于C，利用一条直线垂直与两个平行平面中的一个，则也与另一个平行，正确；对于D，两个平面相交，m与交线平行，也满足条件，故不正确．故选：C．10．为了得到函数y=sin（x﹣）+1的图象，只需将函数y=sinx图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度，再向上平行平移1个单位长度B．向左平行移动个单位长度，再向下平行平移1个单位长度C．向右平行移动个单位长度，再向下平行平移1个单位长度D．向右平行移动个单位长度，再向上平行平移1个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y=sinx图象上所有的点向右平行移动个单位长度，可得函数y=sin（x﹣）的图象；再把所的图象向上平行平移1个单位长度，可得函数y=sin（x﹣）+1的图象，故选：D．11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点，则EF与A1C1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】如图所示，连接A1B，BC1．利用三角形中位线定理可得：EF∥A1B．因此∠C1A1B或其补角为异面直线EF与A1C1所成的角．利用△A1BC1为等边三角形即可得出．【解答】解：如图所示，连接A1B，BC1．∵E，F分别为AB，AA1的中点，∴EF∥A1B．∴∠C1A1B或其补角为异面直线EF与A1C1所成的角．∵△A1BC1为等边三角形，∴∠C1A1B=60°即为异面直线EF与A1C1所成的角．故选：C．12．已知α，β均为锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=﹣，则sinβ的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinα和cos（α﹣β）的值，再利用两角差的正弦公式求得sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]的值．【解答】解：∵α，β均为锐角，cosα=，∴sinα==，∵sin（α﹣β）=﹣，∴cos（α﹣β）==，则sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]=sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=﹣•（﹣）=，故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．直线x+2y+2=0在y轴上的截距为﹣1．【考点】直线的一般式方程．【分析】通过x=0求出y的值，即可得到结果．【解答】解：直线x+2y+2=0，当x=0时，y=﹣1，直线x+2y+2=0在y轴上的截距为：﹣1故答案为：﹣1．14．已知向量=（0，1），=（﹣1，m），=（1，2），若（+）∥，则m=﹣3．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量的坐标运算性质、向量公式定理即可得出．【解答】解：∵+=（﹣1，1+m），（+）∥，∴1+m+2=0，解得m=﹣3．15．圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2﹣4x﹣5=0的位置关系是相交．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出|R﹣r|和R+r的值，判断d与|R﹣r|及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．【解答】解：把圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2﹣4x﹣5=0分别化为标准方程得：x2+y2=4，（x﹣2）2+y2=9，故圆心坐标分别为（0，0）和（2，0），半径分别为R=2和r=3，∵圆心之间的距离d=2，R+r=5，|R﹣r|=1，∴|R﹣r|＜d＜R+r，则两圆的位置关系是相交．故答案为：相交．16．已知函数f（x）=sin（2x+），给出下列判断：①函数f（x）的最小正周期为π；②函数y=f（x+）是偶函数；③函数f（x）关于点（﹣，0）（k∈Z）成中心对称；④函数f（x）在区间[，]上是单调递减函数．其中正确的判断是①②③．（写出所有正确判断的序号）【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=sin（2x+），由于它的周期为=π，故①正确；由于函数y=f（x+）=sin[2（x+）]=sin（2x++）=cos2x 是偶函数，故②正确；由于当x=﹣时，sin（2x+）=sin（kπ﹣+）=sin（kπ）=0，故函数f（x）关于点（﹣，0）（k∈Z）成中心对称，故③正确；在区间[，]上，2x+∈[，]，故函数f（x）在区间[，]上不是单调函数，故④错误，故答案为：①②③．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知直线l的倾斜角α=30°，且过点P（，2）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若直线m过点（1，）且与直线l垂直，求直线m与两坐标轴围成的三角形面积．【考点】直线的一般式方程；待定系数法求直线方程．【分析】（Ⅰ）代入直线的点斜式方程求出l的方程即可；（Ⅱ）求出直线m的斜率，求出直线m的方程，再求出其和坐标轴的交点，从而求出三角形的面积即可．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的倾斜角α=30°，∴直线l的斜率设出，且过点P（，2）．∴直线l的方程是y﹣2=（x﹣），即x﹣y+=0；（Ⅱ）∵直线m与直线l垂直，∴直线m的斜率是﹣，且直线m过点（1，）∴直线m的方程是y﹣=﹣（x﹣1），即y=﹣x+2，直线m与x轴交点坐标是（2，0），与y轴交点坐标是（0，2），∴直线m与两坐标轴围成的三角形面积是：×2×2=2．18．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P为BC的中点，且=λ（λ∈R）．（Ⅰ）试用和表示；（Ⅱ）若•=4时，求λ的值．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．【分析】（Ⅰ）根据平面向量的基本定理即可用和表示；（Ⅱ）若•=4时，利用向量数量积的公式建立方程关系即可求λ的值．【解答】解：（Ⅰ）=+=+=+．（Ⅱ）在矩形ABCD中AD⊥DC，则•=0，∵•=（+）•=（+λ）•=•+λ•2=16λ=4，∴λ=19．已知锐角α，β的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，角α的终边经过点A（2，1），角β的终边经过点B（3，1）．（Ⅰ）求sinα，cosα，tanα的值；（Ⅱ）求α+β的大小．【考点】两角和与差的余弦函数；任意角的三角函数的定义．【分析】（Ⅰ）利用任意角的三角函数的定义，求得sinα，cosα，tanα的值．（Ⅱ）先求得tan（α+β）的值，再根据α+β∈（0，π），求得α+β的值．【解答】解：（Ⅰ）∵锐角α，β的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，角α的终边经过点A（2，1），∴x=2，y=1，r=|OA|=，∴sinα===，cosα===，tanα==．（Ⅱ）∵角β的终边经过点B（3，1），∴tanβ=．又tan（α+β）==1，α+β∈（0，π），∴α+β=，20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点，AB=2，AA1=AC=CB=2．（Ⅰ）证明：CD⊥平面AA1B1B；（Ⅱ）求三棱锥V的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由AA1⊥平面ABC得出AA1⊥CD，由AC=BC得出CD⊥AB，故而CD⊥平面AA1B1B；（2）由勾股定理的逆定理得出AC⊥BC，计算S△ACD，于是V=V=．【解答】证明：（I）∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD．∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，又AB⊂平面AA1B1B，AA1⊂平面AA1B1B，AB∩AA1=A，∴CD⊥平面AA1B1B．（II）∵AB=2，AC=CB=2，∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥BC．∵D是AB的中点，∴S△ACD===1．又AA1⊥平面ABC，∴V=V===．21．已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及其相应的x的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（，m）上单调递减，求实数m的取值范围．【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）由二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式化简解析式，由正弦函数的最大值求出答案；（Ⅱ）由正弦函数的减区间求出f（x）的减区间，结合条件求出实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=∴当，即时，f（x）取到最大值为2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，由得，所以，函数法f（x）在区间上单调递减，∵f（x）在区间（，m）上单调递减，∴，即实数m的取值范围是（，]．22．已知圆E过点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心E在直线l：x+y﹣2=0上，直线l′与直线l关于原点对称，过直线l′上点P向圆E引两条切线PM，PN，切点分别为M，N．（Ⅰ）求圆E的方程；（Ⅱ）求证：直线MN恒过一个定点．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法求圆E的方程；（Ⅱ）线段MN为圆F、圆E的公共弦，求出其方程，即可证明：直线MN恒过一个定点．【解答】（Ⅰ）解；设圆E的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由已知得：解得a=b=1，r=2 …∴圆E的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 …（Ⅱ）证明：直线l关于原点对称的直线l′的方程为x+y+2=0…由已知得，∠PME=90°=∠PNE所以以PE为直径的圆F过点M，N，故线段MN为圆F、圆E的公共弦．…设P（a，b），则圆F的方程为=+即x2+y2﹣（a+1）x﹣（b+1）y+a+b=0 ①…又圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0 ②②﹣①得直线MN的方程为（a﹣1）x+（b﹣1）y﹣a﹣b﹣2=0…又点P在直线l≤上，所以a+b+2=0，∴（a﹣1）x+（﹣a﹣3）y=0…∴a（x﹣y）﹣x﹣3y=0，∴，∴x=y=0∴直线MN过定点（0，0）．…2016年8月31日。
福建省宁德市高一下学期期末数学考试试卷
福建省宁德市高一下学期期末数学考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知是平面向量，下列命题中真命题的个数是（）① ②③ ④A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分） (2016高二上·和平期中) 如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A .B . ab＜b2C . ﹣ab＜﹣a2D .3. （2分）已知直线l1：x+m2y+6=0，l2：（m﹣2）x+3my+2m=0，l1∥l2 ，则m的值是（）A . m=3B . m=0C . m=0或m=3D . m=0或m=﹣14. （2分）设数列和分别为等差数列与等比数列，且，则以下结论正确的是（）A .B .C .D .5. （2分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（sinA+sinB）（a﹣b）=（sinC﹣sinB）c，S△ABC= ，c=4b，则函数f（x）=bx2﹣ax+c的零点个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 不确定6. （2分）(2017·湖北模拟) 设正项等差数列{an}的前n项和为Sn ，若S2017=4034，则的最小值为（）A .B .C . 2D . 47. （2分） (2019高一上·嘉兴月考) 关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（）A . ｛a｜4＜a＜5｝B . ｛a｜4＜a＜5或－3＜a＜－2｝C . ｛a｜4＜a≤5｝D . ｛a｜4＜a≤5或－3≤a＜－2｝8. （2分）直线x﹣y+1=0的倾斜角是（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高一下·嘉兴期末) 已知数列{an}满足：an= ，且Sn= ，则n的值为（）A . 9B . 10C . 11D . 1210. （2分） (2018高二上·嘉兴月考) 若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2 ，则实数a的值为（）A . －1或B . 1或3C . －2或6D . 0或411. （2分） (2017高一下·安庆期末) 点P（m2 ， 5）与圆x2+y2=24的位置关系是（）A . 在圆外B . 在圆上C . 在圆内D . 不确定12. （2分）已知使关于x的不等式+1≥ ﹣对任意的x∈（0，+∞）恒成立的实数m的取值集合为A，函数f（x）= 的值域为B，则有（）A . B⊆AB . A⊆∁RBC . A⊆BD . A∩B=∅二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若直线l1：ax+（3﹣a）y+1=0，l2：2x﹣y=0，若l1⊥l2 ，则实数a的值为________14. （1分） (2018高二上·莆田月考) 若x，y满足约束条件则z=x−2y的最小值为________.15. （1分）(2013·江苏理) 设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD= AB，BE= BC，若=λ1+λ2 （λ1 ，λ2为实数），则λ1+λ2的值为________．16. （1分） (2018高一下·北京期中) △ABC中，若，则A＝________。
福建省福州市2014_2015学年高一数学下学期期末试卷(含解析)
福建省福州市2014-2015学年高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．）1．（2015春•福州期末）的值为（）A．B．﹣C． D．﹣考点：诱导公式的作用．专题：计算题．分析：直接根据诱导公式转化求解计算即可．解答：解：∵tan=tan（3π﹣）=﹣tan=﹣．故选：D．点评：本题考查诱导公式的应用：求值．此类题一般依照“负角化正角，大角化小角”的顺序进行角的转化．2．（2007•怀柔区模拟）cos20°cos25°﹣sin20°sin25°的值为（）A．0 B． 1 C．D．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：直接利用两角和的余弦公式代入即可求出结论．解答：解：因为cos20°cos25°﹣sin20°sin25°=cos（20°+25°）=．故选：C．点评：本题主要考查两角和与差的余弦公式的应用．在应用两角和与差的余弦公式时，一定要注意公式中的符号的写法，避免出错．3．（2015春•福州期末）若A（﹣1，1），B（1，3），C（x，5），且=，则实数λ等于（）A． 1 B． 2 C． 3 D．4考点：向量数乘的运算及其几何意义．专题：计算题；平面向量及应用．分析：求出向量、，由=，列出方程，求出λ的值．解答：解：∵A（﹣1，1），B（1，3），C（x，5），∴=（2，2），=（x﹣1，2），又=，∴（2，2）=λ（x﹣1，2），∴2=2λ，解得λ=1．故选：A．点评：本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目．4．（2015春•福州期末）化简的结果为（）A． B． C． D．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的三角形法则即可得出．解答：解：=+++=+=．故选：B．点评：本题考查了向量的三角形法则，属于基础题．5．（2015春•福州期末）若（k∈Z），则sinα，cosα，tanα的大小关系为（）A．tanα＞sinα＞cosαB． tanα＞cosα＞sinαC．tanα＜sinα＜cosαD． tanα＜cosα＜sinα考点：三角函数线．专题：三角函数的求值．分析：利用单位圆中的正切线、正弦线、余弦线，即可得出结论．解答：解：∵（k∈Z），所以在单位圆中，做出角α的正切线、正弦线、余弦线，可得正切线最长，余弦线最短，所以有tanα＞sinα＞cosα，故选：A点评：本题考查利用单位圆中的正切线、正弦线、余弦线的大小来比较对应的三角函数的大小．6．（2007•怀柔区模拟）使函数y=sin（2x+φ）为奇函数的φ值可以是（）A． B． C．πD．考点：正弦函数的奇偶性．专题：计算题．分析：利用定义域包含0的函数f（x）为奇函数的条件是f（0）=0，求得sin φ=0，结合所给的选项可得结论．解答：解：定义域包含0的函数f（x）为奇函数的条件是f（0）=0，要使函数y=sin（2x+φ）为奇函数，需sin（2×0+φ）=sin φ=0，即sin φ=0，故φ=kπ，故选C．点评：本题考查奇函数的定义和性质，利用了定义域包含原点的函数f（x）为奇函数的条件是f（0）=0求得．7．（2015春•福州期末）已知α的终边在第一象限，则角的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第一或第三象限D．第一或第四象限考点：象限角、轴线角．专题：三角函数的求值．分析：用不等式表示第一象限角α，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定角的终边在的象限解答：解：∵α是第一象限角，∴2kπ＜α＜2kπ+，k∈Z，则kπ＜＜kπ+，k∈Z，∴的终边的位置是第一或第三象限，故选：C．点评：本题考查象限角的表示方法，不等式性质的应用，通过角满足的不等式，判断角的终边所在的象限．8．（2012•马鞍山二模）为得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：利用诱导公式将y=cos（x+）转化为y=sin（x+），利用平移知识解决即可．解答：解：∵y=cos（x+）=cos（﹣x﹣）=sin[﹣（﹣x﹣）]=sin（x+），∴要得到y=sin（x+）的图象，只需将函数y=sinx的图象向左平移个长度单位，故选C．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，将y=cos（x+）转化为y=sin（x+）是关键，考查理解与转化的能力，属于中档题．9．（2013•北京校级模拟）如图所示，向量，A，B，C在一条直线上且，则（）A．B．C．D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：计算题．分析：由得=﹣3（），解出，即得答案．解答：解：由得=﹣3（），∴2=﹣+3，即 2=﹣+3，∴，故选A．点评：本题考查平面向量基本定理及其意义，由得=﹣3（），是解题的突破口．10．（2015春•福州期末）化简，得到（）A．﹣2sin2 B．﹣2cos2 C．2sin2 D．2cos2考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：利用三角函数的基本关系式以及倍角公式对被开方数分解因式，化简即得．解答：解：=+==|sin2+cos2|+|sin2﹣cos2|（）=sin2+cos2+sin2﹣cos2=2sin2；故选C．点评：本题考查了三角函数的基本关系式、倍角公式以及三角函数符号的运用；关键是正确化简，明确2的三角函数符号，正确去绝对值．11．（2012•监利县校级模拟）函数的定义域是（）A．B．C．D．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题；综合题．分析：直接求无理式的范围，解三角不等式即可．解答：解：由2cos x+1≥0得，∴，k∈Z．故选D．点评：本题考查函数的定义域，三角不等式（利用三角函数的性质）的解法，是基础题．12．（2015春•福州期末）已知平面内的向量满足：||=1，（+）•（﹣）=0，且与的夹角为60°，又=λ+λ，0≤λ1≤1，1≤λ2≤2，则由满足条件的点P所组成的图形的面积是（）A． 2 B．C． 1 D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据条件建立平面直角坐标系，将满足不等式表示的可行域表示出来，从而将P点对应的图形描述出来，即可求解．解答：解：∵||=1，（+）•（﹣）=0，得到，即OA=OB，且与的夹角为60°，三角形AOB是等边三角形，则不妨以O为原点，以OA方向为x轴正方向，建立坐标系，如图则=（1，0），又=λ+λ，0≤λ1≤1，1≤λ2≤2，令=（x，y），则=（λ1λ2，λ2）∴，∴，由于0≤λ1≤1，1≤λ2≤2，∴其表示的平面区域如图示：由图可知阴影部分的面积为=．故选D．点评：本题主要考查平面区域的面积问题，是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解．二、填空题（本题共4题，每小题4分，共16分．）13．（4分）（2015春•福州期末）与﹣2015°终边相同的最小正角是145°．考点：终边相同的角．专题：三角函数的求值．分析：先说明145°与﹣2015°终边相同，再说明在[0°，360°）上，只有145°与2015°终边相同．解答：解：∵﹣2015°=﹣6×360°+145°，∴145°与﹣1000°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，∴在[0°，360°）上，只有145°与﹣1000°终边相同，∴与﹣2015°终边相同的最小正角是145°，故答案为：145°．点评：本题考查终边相同的角的概念，终边相同的两个角相差360°的整数倍．14．（4分）（2015春•福州期末）已知，且||=3，||=5，||=7，则向量与的夹角是60°．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：首先利用余弦定理求出以||，||，||为边的三角形内角，然后由向量夹角与三角形内角的关系求出向量夹角．解答：解：由已知，且||=3，||=5，||=7则以||=BC，||=AC，||=AB为边的三角形中cosC=，所以三角形的内角C=120°，所以向量与的夹角是：60°；故答案为：60°．点评：本题考查了平面向量的夹角以及余弦定理的运用；关键是明确三个向量围成的三角形内角与向量夹角的关系．15．（4分）（2015春•福州期末）函数y=asinx+bcosx（x∈R）的最大值是3．则a2+b2的值为9 ．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用辅助角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的值域求得a2+b2的值．解答：解：函数y=asinx+bcosx=（sinx+cosx），令cosθ=，sinθ=，则函数y= sin（x+θ），故函数y的最大值为=3，则a2+b2的值为9，故答案为：9．点评：本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，属于基础题．16．（4分）（2015春•福州期末）如图，已知O是△ABC内一点，∠AOB=150°，∠AOC=120°，向量，的模分别为2，1，3，若=m，则实数m+n的值为．考点：平面向量的基本定理及其意义；向量的线性运算性质及几何意义．专题：平面向量及应用．分析：求出题意求出∠BOC=90°，由向量的数量积运算化简=0，再化简列出方程求值，由图象确定m、n的值．解答：解：∵∠AOB=150°，∠AOC=120°，∴∠BOC=90°，则=0，∵向量，的模分别为2，1，3，且=m，∴，则，化简得，，①∵，∴，则9=，②，由①②得，m2=9，m=±3，由图可得m=﹣3，代入①n=﹣3，∴m+n=，故答案为：．点评：本题考查向量的数量积运算，向量的模的转化，以及向量垂直的充要条件的应用，对数学思维的要求比较高，难度大，易出错．三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（2015春•福州期末）已知||=2，||=3，与的夹角为120°．（Ⅰ）求（3）的值；（Ⅱ）求||的值．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：求解=||||c os120°（I）展开（3）•（）=322，代入即可（II）根据||==求解．解答：解：∵||=2，||=3，与的夹角为120°∴=||||cos120°=2×=﹣3，（Ⅰ）（3）•（）=322=12﹣15﹣18=﹣21（Ⅱ）||===+9=．点评：本题考察了平面向量的数量积的运用，向量的线性运算，属于中档题．18．（2015春•福州期末）已知角α的终边过点P（﹣3，4）．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若β为第三象限角，且tan，求cos（2α﹣β）的值．考点：任意角的三角函数的定义；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）首先分别求出sinα，cosα，tanα，然后利用诱导公式化简式子，代入数值计算；（Ⅱ）由已知β为第三象限角，且tan，求出β的正弦和余弦值，求出2α的正弦和余弦值，利用两角差的余弦公式解答．解答：解：（Ⅰ）因为角α的终边过点P（﹣3，4），所以sin，cos，tan﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以==﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）因为β为第三象限角，且tan，所以sin，cos．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）由（Ⅰ）知，sin2α=2sinαcosα=﹣，cos2α=2cos2α﹣1=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以cos（2α﹣β）=cos2αcosβ+sin2αsinβ==﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题考查了三角函数的坐标法定义以及三角函数的基本关系式、两角和与差的三角函数余弦公式的运用；熟记公式，正确运用是关键．19．（2015春•福州期末）如图为函数f（x）=Asin（ωx+φ）+c（A＞0，ω＞0，φ＞0）图象的一部分．（Ⅰ）求此函数的周期及最大值和最小值；（Ⅱ）求此函数的单调递增区间．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由函数的最值求出A和c的值，由周期求出ω，可得函数的解析式，进而求得此函数的周期及最大值和最小值．（Ⅱ）把点（4，1）代入上式求得φ的值，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递增区间．解答：解：（Ⅰ）结合图象及解析表达式可知，c=1，A=4﹣1=3．再根据•=12﹣4，求得ω=，故函数f（x）=3sin（x+φ）+1．故函数f（x）的最小正周期为=，最大值为 3+1=4，最小值为﹣3+1=﹣2．（Ⅱ）把点（4，1）代入上式，可得 sin（+φ）=0，再根据φ＞0，故可取φ=，故函数的解析式为：f（x）=3sin（x+）+1．由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈z，求得﹣4+k≤x≤+k，即函数f（x）的单调递增区间为：[﹣4+k，+k]，k∈z．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的周期性、最值、以及单调性，属于中档题．20．（2015春•福州期末）（Ⅰ）运用S（α+β）及C（α+β）证明：tan（α+β）=；（Ⅱ）在△ABC中，证明tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由条件利用同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式化简tan（α+β），即可证得结论．（Ⅱ）△ABC中，由tanA=﹣tan（B+C）利用两角和差的正切公式，求得tanB+tanC=﹣tanA+tanAtanBtanC，代入要证等式的左边，即可证得结论．解答：（Ⅰ）证明：∵tan（α+β）====，∴tan（α+β）=．（Ⅱ）证明：△ABC中，tanA=﹣tan（B+C）=﹣，∴tanB+tanC=﹣tanA+tanAtanBtanC，∴tanA+tanB+tanC=tanA﹣tanA+tanAtanBtanC=tanAtanBtanC，∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC成立．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，属于基础题．21．（2015春•福州期末）已知||=4，||=3，且向量与互相垂直．（Ⅰ）若向量=3k+4k（k∈R），且||=12，求|k|的值；（Ⅱ）若向量满足（），求||的取值范围．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）建立坐标系设出，，坐标，用||=12，求出|k|的值；（Ⅱ）利用向量垂直数量积为0，得到的坐标关系式，利用其几何意义求最值．解答：解：据题意：建立坐标系．不妨设=（4，0），=（0，3），﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）（Ⅰ）向量=3k+4k=（12k，12k）∴||==12，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）解得|k|=1﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）设=（x，y），则由（），得到（）=（4﹣x）x﹣（y﹣3）y=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）即（x﹣2）2+（y﹣1.5）2=6.25．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）由此可以判定，向量的起点在原点，终点在以（2，1.5）为圆心，半径为2.5的圆上，注意到原点也在此圆上，所以，||的取值范围[0，5]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题考查了平面向量的坐标运算、模的计算以及向量垂直的性质运用，用到了几何意义求模的范围；属于中档题．22．（14分）（2015春•福州期末）已知向量=（（），﹣），=（sin（+mx），cos2mx）x∈R，m∈R，函数f（x）=．（Ⅰ）当m=1时，x时，求f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）当m=时，若f（x）在区间[0，2015]恰有2015个零点，求整数n的所有取值．考点：平面向量数量积的运算；函数零点的判定定理；三角函数中的恒等变换应用．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）由已知求出函数解析式并化简，利用正弦函数的性质求f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）讨论n的符号，利用函数在区间[0，2015]恰有2015个零点，确定n值．解答：解：（Ⅰ）f（x）==（）（sin（+mx）﹣cos2mx=2sin2（mx+）﹣cos2mx=1﹣cos（+2mn）﹣cos2mx=sin2mx﹣cos2mx+1=2sin（2mx﹣）+1﹣﹣﹣﹣﹣（4分）当m=1时，f（x）=2sin（2x﹣）+1；当x时，2x﹣∈[，]，∴f（x）∈[2，3]．故当x时，f（x）的最大值为3，最小值为2．﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）当m=时，f（x）=2sin（nπx﹣）+1由f（x）=0，则sin（nπx﹣）=﹣①当n＞0时，T=，nπx﹣=2kπ或nπx﹣=2kπ﹣，k∈Z，所以x=或x=，k∈Z依题意得即所以又n∈Z，所以n=1．﹣﹣﹣﹣﹣（10分）②当n＜0时，T=，sin（﹣nπx+）=所以﹣πx+=或﹣nπx+=，k∈Z所以x=或x=，k∈Z依题意得即所以又n∈Z，所以n=﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣（13分）③当n=0时，显然不合题意．综上得：n=±1．﹣﹣﹣﹣﹣1（4分）点评：本题考查了平面向量的数量积以及三角函数式的化简、正弦函数的性质以及讨论思想的运用，属于难题．。
2014年宁德市中学考试数学试卷及问题详解(正版)
2014年某某市初中毕业、升学考试数 学 试 题〔总分为：150分；考试时间：120分钟〕友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡上,在本试卷上作答无效；一、选择题〔本大题共10小题,每一小题4分,总分为40分．每一小题只有一个正确的选项,请将正确的选项用2B 铅笔填涂在答题卡的相应位置〕 1．如下各数中,最小的数是A ．-1B ．3C ．15D ．02．我国2013年粮食总产量超过60 000万吨,实现十连增．60 000万吨用科学记数法表示是的为A ．4610⨯万吨B ．50610.⨯万吨 C ．5610⨯万吨D ．36010⨯万吨 3．估算5的值在A ．1与2之间B ．2与3之间C ．3与4之间D ．4与5之间4．在一个不透明的袋子中装有4个白球和3个黑球,它们除了颜色外都一样．随机从中摸出2个球,属于不可能事件的是A ．摸到2个白球B ．摸到2个黑球C ．摸到1个白球,1个黑球D ．摸到1个白球,1个红球 5．如图,AB ∥CD ,直线l 分别与AB ,CD 相交,假如∠1=120°,如此∠2等于 A ．30°B ．60° C ．120°D ．150°6．如图,由3个大小一样的小正方体组成的几何体,它的俯视图是 A ． B ． C ． D ． 7．下面图形中,是中心对称图形的是8．如下一次函数中,y 的值随着x 值的增大而减小的是A ．033y .x =+B ．34y x =--C ．21y x =-D ．3y x = 9．如图,无法保证△ADE 与△ABC 相似的条件是A ．∠1=∠CB ．∠2=∠B第6题图第5题图AD 1 2C ．∠A =∠CD ．AD AEAC AB =10．点P 是反比例函数ky x =图象上的任意一点,过点P 分别作x 轴和y 轴的垂线,两条垂线与坐标轴围成的矩形面积是4,如此k 的值是 A ．2B ．±2C ．4D ．±4二、填空题〔本大题共8小题,每一小题3分,总分为24分．请将答案用黑色签字笔填入答题卡的相应位置〕11．计算：52m m ÷= _______． 12．分解因式：225x -= _______．13．化简：x y x yx x +-+=_______．14．一元二次方程220x x -=的解是_________．15．如图,有一块圆形地面被分成面积相等的6局部,其中阴影局部由黑色石子铺成,余下局部由白色石子铺成．现随意向其内部掷一枚硬币,如此硬币落在黑色石子区域内的概率是． 16．本学期,小明5次数学单元考成绩分别为〔单位：分〕：85,87,90,93,95．这组数据的平均数为分．17．顺次连接________各边的中点所得的新四边形是菱形〔只需填写一个符合题意的四边形名称〕．18．如图,OP 是直角∠MON 的平分线.以O 为圆心,1为半径作111A B C ,分别交OM ,OP ,ON 于点A 1,B 1,C 1；过点B 1作111A B C 所在的圆的切线交OM ,ON 于点A 2,C 2；按此方式,依次作出222A B C ,切线A 3C 3,333A B C ,切线A 4C 4…．假如扇形OA 1B 1C 1与△OA 1C 1的面积的差记为S 1,扇形OA 2B 2C 2与△OA 2C 2的面积的差记为S 2,…,扇形OA n B n 与△OA n 的面积的差记为S n ,如此S 20=〔π取近似值3〕．三、解答题〔本大题有8小题,总分为86分．请将解答过程用黑色签字笔写在答题卡的相应位置．作图或添辅助线用铅笔画完,再用黑色签字笔描黑〕 19．〔此题总分为16分〕第9题图第15题图第18题图〔1〕计算229(1)-+--；〔2〕解不等式：12x -≤14x+,并把它的解集在数轴上表示出来．20．〔此题总分为8分〕如图,线段AB 与CD 交于点O ,∠A =∠D ,AO=DO ． 求证：AC =DB ．21．〔此题总分为10分〕"端午节〞是我国的传统佳节,民间历来有吃粽子的习俗．某超市为了解市民对肉馅粽、豆沙馅粽、花生馅粽、蛋黄馅粽〔分别用A ,B ,C ,D 表示〕4种不同粽子的喜爱情况,在节前对市民进展了抽样调查,每人限选一种,并将调查结果绘制成如下两幅统计图请根据以上信息,解答如下问题： 〔1〕参加本次抽样调查的市民有人； 〔2〕请在答题卡中补全两幅不完整的统计图； 〔3〕假如该市某小区有居民5000人,估计该小区有人最喜爱吃D 种粽子； 〔4〕请你根据此次调查结果,为该超市提出一条合理的建议．22．〔此题总分为10分〕阅读下面的一段对话,列方程或方程组解决小亮提出的问题． 23．〔此题总分为8分〕在估算任意三角形纸片各内角度数的课题学习中,小丽同学将纸片〔△ABC 〕,三角尺〔△DEF 〕和刻度尺如图摆放,使AB ,DE 都与刻度尺的边重合,且点C 恰好落在DF 上．此时,点A ,B ,D 在刻度尺上对应的读数分为"0〞,"4〞,"7〞；点C 在三角尺上对应的读数为"〞．经测量,三角尺边上的"0〞刻度〔点O 〕到三角尺边DE 的距离OD ≈．请根据以上信息,求△ABC 各内角的度数〔结果准确到1°〕． 24．〔此题总分为9分〕如图,在△ABC 中,∠C =30°,以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ,并且BC 与⊙O 相切,切点为B ．〔1〕求∠ADO 的度数；50 100150 200人数/人A 粽子品种BCD 市民最喜爱的粽子统计图115050200AB CDO B10% C 20%D%市民最喜爱的粽子统计图2A % 在我国已公布的南沙群岛的标准 地名中,已命名的群岛、岛屿、暗礁、 沙洲、暗沙共有189个,其中群岛和岛屿共14个． 我知道其中暗礁有134个,暗沙个数比沙洲个数的5倍还多5个．那么沙洲、暗沙各有多少个呢？ 第20题图 第19题图〔2〕假如AB=,求线段CD 的长． 25．〔此题总分为13分〕〔1〕如图1,将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠,使点C 与点E 重合,BE 交AD 于点F ． 求证：BF =DF ；〔2〕假如矩形纸片ABCD 中,AB =4,BC =10,现将矩形ABCD 沿过点B 的直线折叠,折痕交线段AD 〔不含端点〕于点H ．折叠后,点C ,D 的对称点分别是E ,G ,线段BE 交直线AD 于点F ．图2是该矩形折叠后的一种情况．请探究并解决以下问题：①当△BEH 为直角三角形时,求此时HD 的值； ②当1≤HD ＜10时,求tan ∠BEH 的取值X围．26．〔此题总分为12分〕如图,在直角坐标系中,抛物线22y ax x c =-+〔0a ≠〕经过点A 〔-3,0〕,C 〔0,3〕两点．〔1〕填空：a =,c =；对称轴是直线x =；〔2〕假如点B 的坐标是〔0,1〕,点P 是抛物线对称轴上的一个动点,请探究并解决以下问题：①当点P 运动到何处时,△BCP 的周长最小？求此最小值和点P 的坐标；②当△BCP 的周长最小时,抛物线上是否存在点M ,使得由点P ,B ,C ,M 围成的四边形是平行四边形？假如存在,直接写出点M 的坐标；假如不存在,请说明理由；③假如点Q 是x 轴上的一个动点,是否存在点P ,Q ,使得由点B ,C ,P ,Q 围成的四边形的周长最小？假如存在,求此最小值和点P ,Q 的坐标；假如不存在,请说明理由．参考公式：抛物线2y ax bx c =++〔0a ≠〕的顶点是〔2b a -,244ac b a -〕,对称轴是直线a bx 2-=.A BCFED GHABCFED。
2014-2015年高一下学期数学期末试卷
2014-2015年高一下学期期末试卷一、选择题1．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a 是37a a 与的等比中项，832S =， 则10S 等于（ ）A ．18B ．24C ．60D ．902．等比数列{}n a 中，36a =，前三项和318S =，则公比q 的值为（ ）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．－1或12- 3．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象 如图示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的图象解析式为 （ ）A ．y =sin 2xB ．y =cos2xC ．y =2sin(2)3x π+D ．y =sin(2)6x-4．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（ ）A ．2000元B ．2200元C ．2400元D ．2800元 二、填空题5．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是 人．6．已知平面向量(1,2)a =， (2,)b m =-， 且a //b ，则23a b +＝ . 7．某人射击1次，命中7~10环的概率如下表所示：则该人射击一次，至少命中9环的概率为 ．8．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，8，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，则其方差为 ．9．若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为 ．10．已知平面向量,,1,2,()a b a b a a b ==⊥-，则向量a 与b 的夹角为 ．11．已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.则数列{}n a 的前n 项和为n S = ．12．已知AB 是圆O 的一条直径，在AB 上任取一点H ，过H 作弦CD 与AB 垂直，则弦CD 的长度大于半径的概率是 ． 13．在ABC ∆中，15BC =，10AC =,60A ∠=，则cos B = ．14．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，… ，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机首次抽得的号．．．．．．码．为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区.则第Ⅲ营区被抽中的人数为 ．15．若0a >，0b >，2a b +=．则下列不等式：①1ab ≤； ≤； ③222a b +≥； ④112a b+≥.其中成立的是 ．(写出所有正确命题的序号). 三、解答题16.设向量cos sin m x x =（，），(0,)x π∈，(1,3)n =．（１）若||5m n -=，求x 的值；（２）设()()f x m n n =+⋅，求函数()f x 的值域．17．已知函数()31x f x x =+，数列{}n a 满足*111,()()n n a a f a n N +==∈. (1)证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （选做）(2)记12231n n n S a a a a a a +=+++,求n S .18．ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos b C ，cos a A -，cos c B 成等差数列. （1）求角A 的大小；（2）若a =2b c +=，求ABC ∆的面积.19．已知数列}{n a 满足：121,(0)a a a a ==>，数列}{n b 满足*)(1N n a a b n n n ∈=+. （1）若}{n a 是等差数列，且,123=b 求a 的值及}{n a 的通项公式； （2）若}{n a 是等比数列，求}{n b 的前n 项和n S ；（选做）（3）若}{n b 是公比为1-a 的等比数列，问是否存在正实数a ，使得数列}{n a 为等比数列？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.。
2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案
2014—2015学年度第二学期期末学业水平监测高一数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的A 、B 、C 、D 的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上.（不用答题卡的，填在第3页相应的答题栏内）1．以下四个数是数列{})2(+n n 的项的是（ ）A ．98B ．99C ．100D ．101 2．在ABC ∆中，若B a b sin 2=，则A 为（ ） A ．3π B ．6π C ．3π或π32 D ．π65或6π3．在等差数列}{a n 中，6,242==a a ，则=10a （ ）A ．12B ．14C ．16D ．18 4．在ABC ∆中，已知bc c b a 2222=--，则角C B +等于（ ）A ．4π B ．43π C ．45π D ．4π或 43π5．不等式01)3(≤+-x x 的解集为（ ）A ．)[3,+∞B ．),3[]1--+∞∞ ，（ C ．)[3,{-1}+∞ D ．]3,1[- 6．某高校有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…， 840 随机编号，则抽取的42人中，编号落在区间的频数为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．147．集合{3,4,5}B {4,5}==，A ，从B A ,中各任意取一个数，则这两个数之和等于8的概率是（ ） A ．32 B ．21C ．31D ．61 8．某单位有职工750人，其中青年职工350，中年职工250人，老年职工150人，为了了解单位职工健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中青年职工为7人，则样本容量为（ ） A ．7 B ．15 C ．25 D ．359．若不等式04)3(2)3(2<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，则实数a 取值的集合为（ ） A ．)3,(-∞ B ．)3,1(- C ．]3,1[- D ．]3,1(-10．已知第一象限的点),(b a P 在一次函数232+-=x y 图像上运动，则b a 32+的最小值为（ ）A ．38B ．311C ．4D ．62511．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（ ） A ．2010B ．－1C ．12D ．2（图1）12．已知nn a )21(=，把数列}{n a 的各项排列成如下的三角形状， 1a2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a （图2）记),(n m A 表示第m 行的第n 个数，则A (10,13)=…（ ）A ．93)21(B ．92)21(C ．94)21(D ．112)21(二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案直接填在题中横线上.13．北京地铁2号线到达时间相隔5分钟，某人在2号线等待时间超过4分钟的概率为P 1，北京地铁2号公路到站时间相隔8分钟，某人在2路车等待时间超过6分钟的概率为P2，则1P 与2P 的大小关系为____________. 14．若关于x 的方程03)2(22=-+-+a x a x 的一根比2小且另一根比2大，则a 的取值范围是____________. 15．在ABC ∆中，若7,532===AC BC B ，π，则ABC ∆的面积=S ______________。
最新版福建省宁德市高一下学期期末考试数学试卷 Word版含答案
宁德市2015—2016学年度第二学期高一期末考试数学试题（A 卷）(考试时间：120分钟 试卷总分：150分)注意事项：1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页．2．答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本卷上无效．第I 卷 （选择题 60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡．．．的相应位置填涂． 1．圆2240x y +-=与圆22450x y x +--=的位置关系是 A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．内含2．已知半径为2，弧长为83π的扇形的圆心角为α，则sin α等于 A． BC ．12-D ．123．已知直线12:210,:(1)0l x ay l a x ay +-=+-=，若12//l l ，则实数a 的值为A ．32-B ．0C ．32- 或 04．用斜二侧法画水平放置的ABC ∆所示等腰直角A B C '''∆.已知点'O 是斜边B C ''且1A O ''=，则ABC ∆的BC 边上的高为A ．1B ．2C 5．直线1y kx =+与圆221x y +=相交于,A B A B ．1 CD ．1或1- 6．在下列向量组中，可以把向量()4,1=a 表示出来的是A ．12(0,0),(3,2)==e eB ．12(1,2),(3,2)=-=-e eC ．12(6,4),(3,2)==e eD ．12(2,5),(2,5)=-=-e e7．为了得到函数sin(2)3y x π=+的图象，只需将函数sin y x =的图象上所有的点A ．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平行移动3π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12倍，再向左平行移动3π个单位长度C ．横坐标缩短到原来的12倍，再向左平行移动6π个单位长度D ．横坐标缩短到原来的12倍，再向右平行移动6π个单位长度8．设,,l m n 是三条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列判断正确的是A ．若l m,m n ⊥⊥，则//l nB ．若,αββγ⊥⊥，则//αγC ．若,,m ααβ⊥⊥则//m βD ．若,//m m αβ⊥，则αβ⊥9．设,,a b c 是平面内的非零向量，则下列结论正确的是A ．若a 与b 都是单位向量，则222()⋅=⋅a b a bB ．若=⋅⋅a b b c ，则=a cC ．若0⋅<a b ,则a 与b 的夹角是钝角D ．若//,//a b b c ，则//a c10．已知锐角,αβ满足3cos sin()5ααβ=-=-，则sin β的值为A B C D11．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB BC AC ===，PA ，,E F 分别是,PB BC 的中点，则EF 与平面PAB 所成的角等于A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒12．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体SABC 各顶点坐标分别是(1,1,2),(3,3,2),S A(3,3,0),(1,3,2)B C ，则该四面体外接球的表面积是A ．16πB ．12π C. D. 6π第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷的相应位置． 13．已知向量(0,1),(1,),(1,2)m ==-=a b c ，且()//+a b c ，则m = .14．已知直线(2)0()a x y a a -+-=∈R 在两坐标轴上的截距互为相反数，则实数a 的值等于 .正视图 侧视图P CA15．某正方体切割后得到一个多面体的三视图如图所示（其中网格上小正方形的边长为1）, 则该多面体的体积为 .16．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0,0ωϕ><<π）的图象关于点M 5(,0)12π成中心对称,且与点M 相邻的一个最低点 为2(,3)3π-，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴； ②函数()3y f x π=-为偶函数；③函数1y =与()()1212y f x x π35π=-≤≤的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是 ．（写出所有正确判断的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤. 17．（本题满分10分）已知点(,3)A m 和(5,)B m -，直线AB 的斜率为3-． （Ⅰ）求直线AB 的方程；（Ⅱ）若点P 在直线0x y +=上，且APB ∠为直角，求点P 的坐标.18．（本题满分12分）如图，矩形ABCD 中，点P 为BC 中点，点Q 在边CD 上．（Ⅰ）若点Q 是CD 上靠近C 的三等分点，且PQ AB AD λμ=+，求λμ+的值． （Ⅱ）当6AB =，4AD =，且AQ BQ ⋅ 取最大值时，求向量PQ的模．19. （本题满分12分）的非负如图，在平面直角坐标系xOy 中，以O 为顶点，x 轴半轴为始边作两个锐角,αβ,A B 35，．（Ⅰ）求22sin sin cos sin cos 6cos αααααα+-的值；（Ⅱ）求αβ+的大小．20．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ， //AB CD ， 90BAD ∠=︒，AD22DC AB ==，E 为BC 中点．（Ⅰ）求证：平面PBC ⊥平面PDE ；（Ⅱ）线段PC 上是否存在一点F ，使PA ∥平面BDF ?若存在，求PFPC的值；若不存在，说明理由．21（本题满分12分）已知向量,cos sin ),(cos ,cos sin )x x x x x x =+=-a b ，函数()f x =⋅a b ， ()()cos212g x f x x π=-+.（Ⅰ）若函数()f x 在区间π(,)6m 上单调递减，求实数m 的取值范围;（Ⅱ）当函数()g x 取得最大值时，求sin 2x 的值.22．（本题满分12分）已知圆P 过点(0,2),M N ，且圆心P 在直线:0l x y -=上，过点(1,1)Q -的直线交圆P 于,A B 两点，过点,A B 分别做圆P 的切线，记为12,l l . （Ⅰ）求圆P 的方程；（Ⅱ）求证：直线12,l l 的交点都在同一条直线上，并求出这条直线的方程.宁德市2015—2016学年度第二学期高一期末考试数学试题（A ）参考答案及评分标准（1）本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可参照本答案的评分标准的精神进行评分．（2）对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的立意，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的一半；如果有较严重的错误，就不给分．（3）解答右端所注分数表示考生正确作完该步应得的累加分数. （4）评分只给整数分，选择题和填空题均不给中间分． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．B 2．A 3．C 4．D 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．A 11.B 12．B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3- 14． 0或1 15．128316．②③ 三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．(本题满分10分)解法一：（Ⅰ）∵直线AB 的斜率3()35AB m k m --==--, ………………………………1分∴3m =，∴(3,3)A , ……………………………………………………3分 ∴直线AB 的方程为33(3)y x -=--即3120x y +-=.（或312y x =-+）…………………………………5分 （Ⅱ）设(,)P a a -,由（Ⅰ）得(3,3)A ，B(5,3)-∴(3,3)PA a a =-+ ，(5,3)PB a a =--+………………………………6分 又 APB ∠为直角∴(3)(5)(3)(3)0PA PB a a a a ⋅=--++-+=…………………………8分 ∴1a =或3a =,……………………………………………………………9分 ∴(1,1)P -或(3,3)P -. ………………………………………………10分解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）设(,)P a a -,由（Ⅰ）得(3,3)A ，B(5,3)-①当3a ≠且5a ≠时，直线,PA PB 的斜率存在，由已知得， 33135PA PB a a k k a a ---+⋅=⋅=---， ………………………7分 1a ∴=，P(1,1)- …………………………………………………8分②当3a =时，直线PA 的斜率不存在，点(3,3)P -，此时APB ∠为直角 ③当5a =时直线PB 的斜率不存在，点(5,5)P -，此时APB ∠不是直角 ……………………………………………………………………9分 综上所述，P(1,1)-或P(3,3)-. ………………………………………10分解法三：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ） APB ∠为直角∴点P 在以AB 为直径的圆M上， …………………………………6分又 (4,0)M ，||AB =∴圆M 的方程为22(4)10x y -+=， …………………………………8分 由220(4)10x y x y +=⎧⎨-+=⎩得1,1,x y =⎧⎨=-⎩或3,3.x y =⎧⎨=-⎩ ∴P(1,1)-或P(3,3)-………………………………………………10分18．(本题满分12分)解法一：（Ⅰ）如图，以A 为原点，,AB AD 所在的直线分别为,x y 轴,建立平面直角坐标系.设3,2AB a AD b ==，则(0,0),(3,0),(0,2),(3,),(2,2)A B a D b P a b Q a b ，…2分∴(3,0),(0,2),(,)AB a AD b PQ a b ===-, ………4分 又 PQ AB AD λμ=+ ∴(,)(3,2)a b a b λμ-=∴31,21λμ=-= …………5分 ∴111326λμ+=-+=.……………………6分（Ⅱ）由已知得(0,0),(6,0)A B ………………………………………………7分设Q(,4)(06)m m ≤≤,则(,4)AQ m = ，(6,4)BQ m =-……………………8分 ∴22(6)44616(3)7AQ BQ m m m m m ⋅=-+⨯=-+=-+ …………………9分 又 06m ≤≤∴当0m =或6时，AQ BQ ⋅取到最大值. ……………10分当0m =时，Q(0,4)，(6,2)P ，所以||PQ. ……11分当6m =时，Q(6,4)，(6,2)P ，所以||2PQ =. ……12分解法二：（Ⅰ）由题意得：PQ PC CQ =+………………………………………………………………2分 1123BC CD =+………………………………………………………………3分 11()23AD AB =+-…………………………………………………………4分 又 PQ AB AD λμ=+∴11,32λμ=-= ……………………………………………………………5分∴111326λμ+=-+= ……………………………………………………6分（Ⅱ）设(01)DQ kDC k =≤≤，则AQ AD DQ AD kDC AD k AB =+=+=+………………………………7分 (1)BQ BC CQ AD k AB =+=+-………………………………………………8分 又 矩形ABCD 中，,,0AB DC AD BC AB AD ==⋅=∴()[(1)]AQ BQ AD k AB AD k AB ⋅=+⋅+-22(1)(21)AD k k AB k AB AD =+-+-⋅22||(1)||AD k k AB =+-2363616k k =-+ ………………………………9分又 01k ≤≤∴当0k =或1时AQ BQ ⋅取到最大值…………………………10分当0k =时，DQ =0 ,所以PQ =……………………………………11分 当1k =时，DQ DC = ,所以2PQ =. ……………………………………12分19．(本题满分12分)解法一：（Ⅰ）由题意得，A ………………………………………………1分 tan 7α∴= …………………………………………………………………3分222sin sin cos tan tan sin cos 6cos tan 6ααααααααα++∴=--…………………………………………5分 2775676+==- …………………………………………6分 （Ⅱ）由题意得，34(,)55B ，4tan 3β= ……………………………………………7分tan tan tan()1tan tan αβαβαβ+∴+=-⋅ ……………………………………………8分4734173+=-⨯……………………………………………………9分 1=- ………………………………………………………………10分又 ,αβ是锐角 0αβπ∴<+<, ……………………………………………11分 34παβ∴+=……………………………………………………………………12分 解法二：（Ⅰ）由题意得，A ………………………………………………1分sin α∴= ………………………………………………………………2分cos α=………………………………………………………………… 3分222sin sin cos 56sin cos 6cos αααααα++∴=- ……………………………6分 （Ⅱ）由题意得，34(,)55B ，43sin ,cos 55ββ==………………………………………7分cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴+=- …………………………………………8分3455=-= …………………………………………10分 又 ,αβ是锐角 0αβπ∴<+< ……………………………………………11分 34παβ∴+=……………………………………………………………………12分 20．(本题满分12分) 解法一：（Ⅰ）连接DB ，在Rt DAB ∆中，2DB =， …………1分又 E 为BC 中点，2DC =DE BC ∴⊥ …………………………………………2分PD ⊥ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ,PD BC ∴⊥， ………………………………………3分PD DE D = ， BC ∴⊥平面PDE ， …………4分又BC ⊂ 平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PDE ……5分 （Ⅱ）线段PC 上存在一点F ，且13PF PC =时，PA ∥平面BDF .…………… 6分 证明如下：连接AC 交BD 于点O ，在平面PAC 中过点O 作//OF PA ，则交PC 于F ……7分 又OF ⊂ 平面BDF ，PA ⊄平面BDF ………………………………………8分 ∴PA ∥平面BDF ……………………………………………………………9分四边形ABCD ， //AB CD ，22,DC AB == ∴12AO AB OC DC == ………………………………………………………………10分 ∵//OF PA ，∴12PF AO FC OC == ……………………………………………………11分 ∴当13PF PC =时，PA ∥平面BDF …………………………………………………12分 解法二：（Ⅰ）（同解法一）（Ⅱ）线段PC 上存在一点F ，且13PF PC =时，PA ∥平面BDF ………………6分 证明如下：连接AC ，设AC DB O = ，在线段PC 上取点F ，使13PF PC =,连接OF . ……7分 //AB CD ，22,DC AB == ∴12AO AB OC DC == ………………………………………………………………8分 又 113223PCPF FC PC ==∴,AO PFOC FC= …………………………………………………………………10分//PA OF ∴又OF ⊂ 平面BDF ，PA ⊄平面BDF ……………………………………11分 ∴PA ∥平面BDF ∴当13PF PC =时，PA ∥平面BDF …………………………………………12分 （说明：其它解法相应给分） 21．(本题满分12分)解：（Ⅰ）()cos (cos sin )(cos sin )f x x x x x x x =⋅++-a b = ……………1分222cos sin x x x +-2cos2x x + ………………………………………………3分12cos 2)2x x =+ 2sin(2)6x π=+ …………………………………………………4分由3222,262k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ， 得2,63k x k k ππππ+≤≤+∈Z ， ∴函数()f x 的单调递减区间为π3π[π,π+]()63k k k +∈Z……………5分(说明：上述区间写成开区间，不扣分)由已知得π263m π<≤，即m 的取值范围为π2(,]63π………………………6分（Ⅱ）()()cos22sin 2cos212g x f x x x x π=-+=+ …………………………………7分22)x x =)x ϕ=+ ……………………………………………………………8分（其中cos sin ϕϕ==） ……………………………………………9分当sin(2)1x ϕ+=，即22,2x k k πϕπ+=+∈Z 时，()y g x =取到最大值……10分此时22,2x k k πϕπ=-+∈Z ， ………………………………………………11分sin 2sin(2)cos 2x k πϕπϕ=-+===分 22．(本题满分12分)解法一：（Ⅰ）设圆P 的方程为222()()(0)x a y b r r -+-=>，则2222220(0)(2))(1)a b a b r a b r-=⎧⎪-+-=⎨⎪+-=⎩ ………………………………………………2分 （说明：列对1~2个可得1分，全对得2分）解得20,4a b r ===, ………………………………………………3分 ∴圆P 的方程为224x y += ………………………………………………4分（Ⅱ）设1122A(,),(,)x y B x y ，直线12,l l 的交点00(,)F x y若(,)E x y 为直线1l 上任意一点，则0AE OA ⋅= ,得1111()()0x x x y y y -+-=，∵22114,x y +=∴114x x y y +=，即A 处的圆P 的切线方程111:4l x x y y +=，……………5分同理可得，在点B 处的圆P 的切线方程为222:4l x x y y += ………………6分由直线12,l l 过点00(,)F x y∴10104x x y y +=,20204x x y y +=, ……………………………………8分∴点,A B 满足方程004x x y y +=即直线AB 的方程为004x x y y += ， ……………………………………10分又 直线AB 过点(1,1)Q -∴004x y -+=，即0040x y -+= ……………………………………………11分∴直线12,l l 的交点都在直线同一条直线上，且直线方程为40x y -+=. …12分解法二：（Ⅰ）设圆P 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则22222010022E F E F D E ⎧++=⎪⎪++++=⎨⎪⎪-+=⎩………………………………………………2分（说明：列对1~2个可得1分，全对得2分）解得0,4D E F ===- ………………………………………………3分∴圆P 的方程为224x y += ………………………………………………4分（Ⅱ）设1122A(,),(,)x y B x y ，(,)E x y 为直线1l 上任意一点，由0AE OA ⋅= ,得1111()()0x x x y y y -+-=，∵22114,x y +=∴114x x y y +=，即A 处的圆P 的切线方程111:4l x x y y +=，同理B 处的圆P 的切线方程分别为222:4l x x y y +=， ……………………6分①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =-由2214x x y =-⎧⎨+=⎩得A(1,(1,B -- ∴在点,A B处的切线方程分别为，1:40l x +=，2:40l x +=由4040x x ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩得40x y =-⎧⎨=⎩此时切线12,l l 的交点为(4,0)G -, ……………………………………………7分当直线AB 的斜率为0时，直线AB 的方程为1y =由2214y x y =⎧⎨+=⎩得1),(B ∴在点,A B 处的圆P的切线方程140l y +-=，240l y -+=此时切线12,l l 的交点为(0,4)H . ……………………………………………8分∴直线GH 的方程为40x y -+=. …………………………………………9分②当直线AB 的斜率存在时,直线AB 的方程为1(1)y k x -=+，即1y kx k =++，由11224,4,x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩且12210x y x y -≠,得21122121211244,44,y y x x y x y x x y x y x y -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩ ……………………10分 ∴212112212112444444y y x x x y x y x y x y x y ---+=-+-- 212112211221(44)(44)4()y y x x x y x y x y x y -+-+-=- 212112211221()()()4y y x x x y x y x y x y -+-+-=⨯- 212112211221()()[(1)(1)]4k x x x x x kx k x kx k x y x y -+-+++-++=⨯- 21121221(1)()(1)()4k x x k x x x y x y +-++-=⨯- 0= ∴当直线AB 的斜率存在时, 直线12,l l 的交点坐标满足方程40x y -+=.综上所述，直线12,l l 的交点都在直线同一条直线上，且该直线方程为40x y -+=. ………………………………………………………12分解法三：（Ⅰ）设圆E 的方程为222()()x a y b r -+-=弦MN 的中点3)2C又MN k == …………………………………………………………1分∴MN 的垂直平分线的方程：32y x -=0y -=………………………………………………2分 圆心P 是MN 的垂直平分线与直线l 的交点 ∴由00a b b -=⎧⎪-=，得00a b =⎧⎨=⎩，即圆心(0,0)P ……………………………3分 又半径||2r PM == ∴圆P 的方程为224x y += ………………………………………………4分（Ⅱ）同解法一。
2014-2015学年福建省宁德市五校教学联合体高一下学期期中数学试卷 Word版含解析
2014-2015学年福建省宁德市五校教学联合体高一（下）期中数学试卷 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确答案涂在答题卡的相应位置.） 1．（2015春?宁德校级期中）直线y=x+1的倾斜角为（ ） A．30° B．60° C．120° D．150°考点：直线的倾斜角． 专题：直线与圆． 分析：根据直线的倾斜角与斜率的关系，结合倾斜角的取值范围即可求出答案． 解答：解：设直线y=x+1的倾斜角为α， 则tanα=，其中α∈ ．考点：直线与圆的位置关系． 专题：计算题；直线与圆． 分析：=y表示的曲线为圆心在原点，半径是1的圆在x轴以及x轴上方的部分直线kx﹣y﹣2k=0与曲线相切时，可得，=1，求出k，结合直线kx﹣y﹣2k=0与曲线=y有两个不同的交点，即可求得结论． 解答：解：∵=y表示的曲线为圆心在原点，半径是1的圆在x轴以及x轴上方的部分． 直线kx﹣y﹣2k=0与曲线相切时，可得，=1 ∴k=± ∵直线kx﹣y﹣2k=0与曲线=y有两个不同的交点， ∴﹣＜k≤0． 故答案为：（﹣，0]． 点评：本题考查直线与曲线的交点问题，考查学生的计算能力，求出直线kx﹣y﹣2k=0与曲线相切时k的值是求解的关键． 三.解答题：（本大题共7小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（2015春?宁德校级期中）在直角坐标系xoy中，锐角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，角α的终边与单位圆交于点P（，y）． （Ⅰ）求sinα和cosα的值； （Ⅱ）求的值．考点：同角三角函数基本关系的运用；任意角的三角函数的定义． 专题：三角函数的求值． 分析：（Ⅰ）根据P坐标求出P到原点O的距离，利用任意角三角函数定义求出sinα和cosα的值即可； （Ⅱ）把求出的sinα与cosα的值代入原式计算即可得到结果． 解答：解：（Ⅰ）由题意得=1， 解得：y=±， ∵α是锐角，∴y=， 则sinα=，cosα=； （Ⅱ）∵则sinα=，cosα=， ∴原式==﹣3． 点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 18．（2015春?宁德校级期中）在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=120°，若把△ABC绕直线AB 旋转一周， 求所形成的几何体的体积V和表面积S． 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 专题：空间位置关系与距离． 分析：如图所示，把△ABC绕直线AB旋转一周，是以AO为底面上的高、OC为半径的大圆锥减去同底面以BO为高的圆锥后剩下的几何体．利用圆锥的体积计算公式与侧面积计算公式即可得出． 解答：解：如图所示， 把△ABC绕直线AB旋转一周，是以AO为底面上的高、OC为半径的大圆锥减去同底面以BO 为高的圆锥后剩下的几何体． ∵∠ABC=120°，∴∠OBC=60°． ∵BC=4，∴OB=2，OC=2． ∴AO=AB+BO=6． ∴V===16π． ∵AC===4． ∴S=S大圆锥侧面积﹣S小圆锥侧面积=π?OC?AC﹣πOC?BC=﹣=． 点评：本题考查了旋转体圆锥的体积计算公式与侧面积计算公式、直角三角形的边角关系、勾股定理、圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19．（2015春?宁德校级期中）已知直线l的方程为2x﹣y+1=0 （Ⅰ）求过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程； （Ⅱ）求与直线l平行，且到点P（3，0）的距离为的直线l2的方程．考点：点到直线的距离公式；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系． 专题：直线与圆． 分析：（Ⅰ）设与直线l：2x﹣y+1=0垂直的直线l1的方程为：x+2y+m=0，把点A （3，2）代入解得m即可； （Ⅱ）设与直线l：2x﹣y+1=0平行的直线l2的方程为：2x﹣y+c=0，由于点P（3，0）到直线l2的距离为．可得=，解得c即可得出． 解答：解：（Ⅰ）设与直线l：2x﹣y+1=0垂直的直线l1的方程为：x+2y+m=0， 把点A（3，2）代入可得，3+2×2+m=0，解得m=﹣7． ∴过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程为：x+2y﹣7=0； （Ⅱ）设与直线l：2x﹣y+1=0平行的直线l2的方程为：2x﹣y+c=0， ∵点P（3，0）到直线l2的距离为． ∴=， 解得c=﹣1或﹣11． ∴直线l2方程为：2x﹣y﹣1=0或2x﹣y﹣11=0． 点评：本题考查了相互平行与垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 20．（2015春?宁德校级期中）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是棱DD1的中点． （Ⅰ）求证：CD1∥平面A1BE （Ⅱ）求三棱锥B1﹣A1BE的体积． 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 专题：空间位置关系与距离． 分析：（Ⅰ）利用正方体的性质可得：四边形A1BCD1是平行四边形，可得CD1∥BA1．再利用线面平行的判定定理即可证明； （Ⅱ）利用=即可得出． 解答：（Ⅰ）证明：∵， ∴． ∴四边形A1BCD1是平行四边形， ∴CD1∥BA1． ∵CD1?平面A1BE，BA1?平面A1BE， ∴CD1∥平面A1BE． （Ⅱ）解：===． 点评：本题考查了正方体的性质、平行四边形的判定与性质定理、线面平行的判定定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21．（2015春?宁德校级期中）已知以点C为圆心的圆经过点A（0，﹣1）和C（4，3），且圆心在直线3x+y﹣15=0上． （Ⅰ）求圆C的方程； （Ⅱ）设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．考点：直线与圆的位置关系；圆的一般方程． 专题：计算题；直线与圆． 分析：（Ⅰ）设出圆的一般方程，利用待定系数法求圆C的方程； （Ⅱ）求出|AB|，P到AB距离的最大值为d+r，即可求△PAB的面积的最大值． 解答：解：（Ⅰ）设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 …（1分） 依题意得…（2分） 解得D=﹣12，E=6，F=5 … ∴所求圆的方程是x2+y2﹣12x+6y+5=0 …（6分） （Ⅱ）|AB|==4，…（7分） 由已知知直线AB的方程为x﹣y﹣1=0 …（8分） 所以圆心C（6，﹣3）到AB的距离为d=4 …（9分） P到AB距离的最大值为d+r=4+2 …（11分） 所以△PAB面积的最大值为=16+8 … 点评：本题考查圆的方程，考查三角形面积的计算，考查系数分析解决问题的能力，比较基础． 22．（2015春?宁德校级期中）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面A1B1C1，A1B1⊥B1C1且A1B1=BB1=B1C1，D为AC的中点． （Ⅰ）求证：A1B⊥AC1 （Ⅱ）在直线CC1上是否存在一点E，使得A1E⊥平面A1BD，若存在，试确定E点的位置；若不存在，请说明理由． 考点：直线与平面垂直的性质；空间中直线与直线之间的位置关系． 专题：空间位置关系与距离． 分析：（Ⅰ）连接AB1，利用三棱柱的性质容易得到B1C1⊥BB1，结合已知，根据线面垂直的判定定理得到B1C1⊥平面A1B1BA，进一步由线面垂直的判定定理和性质定理得到所证； （Ⅱ）存在点E在CC1的延长线上且CE=2CC1时，A1E⊥平面A1BD．利用线面垂直的判定定理和性质定理矩形证明． 解答：（Ⅰ）证明：连接AB1 ∵BB1⊥平面A1B1C1 ∴B1C1⊥BB1 ∵B1C1⊥A1B1且A1B1∩BB1=B1 ∴B1C1⊥平面A1B1BA ∴A1B⊥B1C1 …（3分） 又∵A1B⊥AB1且AB1∩B1C1=B1 ∴A1B⊥平面AB1C1 … ∴A1B⊥AC1 …（6分） （Ⅱ）存在点E在CC1的延长线上且CE=2CC1时，A1E⊥平面A1BD．…（7分） 设AB=a，CE=2a，∴， ∴，，DE=， ∴，∴A1E⊥A1D…（9分） ∵BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1=C ∴BD⊥平面ACC1A1 …（10分） 又A1E?平面ACC1A1 ∴A1E⊥BD 又BD∩A1D=D ∴A1E⊥平面A1BD … 点评：本题邑三棱柱为载体，考查了空间线面垂直的判定定理和性质定理的运用． 23．（2015春?宁德校级期中）已知圆C的方程为x2+（y﹣4）2=4，点O是坐标原点．直线l：y=?x与圆C交于M．N不同的两点． （Ⅰ）求k的取值范围； （Ⅱ）设点M、N的横坐标分别是x1、x2． ①试用x1、x2、k来表示|OM|、|ON|； ②设Q（m，n）是线段MN上的点，且=+．请用m表示n，并求n的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（Ⅰ）可以利用圆心到直线的距离小于半径来计算，也可以通过将直线方程代入圆的方程所得到的一元二次方程的根的判别式大于0来计算； （Ⅱ）（1）通过设M（x1，k1）、N（x2，x2），利用两点间距离公式计算即可；（2）通过设Q（m，?m），=+可化简可知m2=，利用=，消去k可得n与m的函数关系：n=．通过换元法，结合函数的单调性，计算即得结论． 解答：解：（Ⅰ）解法一：∵直线l与圆C相交， ∴＜2， 解得k＞3， ∴k的取值范围是（3，+∞）； 解法二：将y=?x代入x2+（y﹣4）2=4，整理得： （1+k）x2﹣8x+12=0，（*） 由△=（﹣8）2﹣4（1+k）?12＞0，可得k＞3， ∴k的取值范围是（3，+∞）； （Ⅱ）（1）∵M、N在直线l上， ∴可设M（x1，k1），N（x2，x2）， ∴|OM|==， |ON|==； （2）∵Q（m，n）在线段MN上， ∴n=?m， ∴|OQ|2=（m﹣0）2+（n﹣0）2=（1+k）m2， ∵=+， ∴=+， ∴=+=， 由（*）知：x1?x2=，x1+x2=， ∴==， ∴m2=， ∵点Q在直线l上， ∴=，代入m2=可得：5n2﹣3m2=36， 依题意，点Q在圆C内，则n＞0， ∴n==， 于是，n与m的函数关系为：n=． 令t=m2，则n=， 由m2=及k＞3得0＜m2＜3，即t∈（0，3）， ∵n=在（0，3）上为增函数， ∴＜n＜3， 即n取值的范围是（，3）． 点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
福建省宁德市2014-2015学年高一下学期五校期中联考数学试卷Word版含答案
宁德市五校教学联合体2014—2015学年第二学期期中考试高一数学试卷(满分：150分钟 时间120分)命题人：叶惠金 范雪青 陈长邦参考公式：棱柱的体积公式 V S h =⋅ 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高棱锥的体积公式 13V S h =⋅ 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 圆锥的侧面积公式 =S rl π 其中r 表示圆锥的底面半径，l 表示圆锥的母线长球的表面积公式 24S R π= 球的体积公式 343V R π=其中R 表示球的半径 第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确答案涂在答题卡的相应位置.）1. 直线1y =+的倾斜角为 （ ） A ．030 B ．060 C ．0120 D ．01502. 已知直线//a 平面α，直线b ⊂平面α，则 （ ） A ．//a b B ．a 与b 异面 C ． a 与b 相交 D ． a 与b 没有公共点 3．已知直线220x y --=与直线230x y -+=，则它们之间的距离为 （ ）A B C D 4．圆221:(1)(2)9C x y +++=与圆222:(2)(2)4C x y -+-=的位置关系为 （ ） A ．相交 B ．内切 C ．外切 D ．外离 5． 如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰为2的等腰三角形O A B '''，那么原平面图形的面积是（ ）A ．2B ．C ．D ．6. 直线210x y -+=关于y 轴对称的直线方程是 （ ） A ．210x y +-= B ．01y 2x =++ C ．01y 2x =+- D ．01y 2x =--7．设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列结论中错误．．的是 ( ) A ．若,//,m n αα⊥则n m ⊥ B ．若,,,//α⊥m n m 则α⊥n C ．若,,//βαα⊥l 则β⊥l D ．若αγββα⊥m ,//,//，则γ⊥m8. 从同一顶点出发的三条棱长分别为1、1的长方体的各顶点均在同一个球面上，则该 球的体积为 （ ）A.323π B. 4π C.2π D.43π9. 已知圆22(1)()4(0)x y a a -+-=>被直线10x y --=截得的弦长为a 的值为（ ）B.1 D.1 10. 如图，E 、F 分别是三棱锥P ABC -的棱AP 、BC 的中点，8PC =，6AB =，5EF =，则异面直线AB 与PC 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 11．已知圆锥的表面积为29cm π，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为 （ ） 第10题图 AB． CD． 12．如图，在矩形ABCD中，1AB BC ==，E 为线段CD 上一动点，现将AED ∆沿AE 折起，使平面⊥AED 平面ABC ，当E 从D 运动到C ，则D 在平面ABC 上的射影K 所形成轨迹的长度为( )A ．23 B ．332 C ．2πD ．3π第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，满分16分.请把答案填在答题纸的相应位置 13. 在空间直角坐标系中，点()1,1,2P -关于xoy 平面的对称点的坐标是 ．14. 过点(,4)(1,)A a B a -和的直线的倾斜角等于45︒，则a的值是BA_ ．15.一个体积为的正三棱柱（即底面为正三角形，侧棱垂直底面）的三视图如图所示,则这个三棱柱的左视图的面积为 ．16. 直线20kx y k --=y =有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是 ．三. 解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，锐角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，角α的终边与单位圆交于点)P y . （Ⅰ）求sin cos αα和的值； （Ⅱ）求sin cos sin cos αααα+-的值。
宁德市2014—2015学年度第二学期高一期末质量检测
宁德市2014—2015学年度第二学期期末高一质量检测第Ⅰ卷 选择题1-2 题。
1. 该城市人口的最大容量是A. 70.18B. 83.2C. 106.33D. 210.35 2. 提高该城市人口合理容量的有效措施是A. 提高科技水平B. 提高人们的生活消费水平C. 控制人口增长D. 降低地区的对外开放程度 图1为某地区城市分布图，读图完成3-4题。
3. 图示区域等级最高的城市是A. 苏州B. 杭州C. 上海D. 南京 4. 以下说法正确的是A. 扬州的服务范围比南京大B. 宁波提供的服务种类比上海多C. 嘉兴和湖州的服务范围相互嵌套D. 杭州的服务设施较绍兴完善图2为工业区位选择模式图，①—④代表不同导向型的工业，读图完成5-6题。
5．下列工业与①导向型工业相匹配的是 A ．炼铝 B ．制糖C. 印刷 D ．飞机制造 6. 目前，我国某些失业率较高的中小城市宜选择的工业是A ．①B ．②C ．③D ．④性别比是指平均每100个女性所相应男性人口数量。
图3为人口性别比变化图,读图完成7-9题。
图1图2 90 110 130 150 170 190①②③ 性别比7．曲线①表示俄罗斯（原苏联）性别比变化， 造成1950年这一时期性别比较低的主要原因是 A ．战争B. 移民C. 自然灾害D. 国家政策8. 曲线②表示我国珠江三角洲工业区性别比变化，造成20世纪80年代以来性别比较低的主要原因是 A ．重工业发达，大量男性劳动力迁入 B. 轻工业发达，大量女性劳动力迁入 C ．男性人口出生率下降 D. 女性人口出生率下降 9. 曲线③峰值反映的现象是A. 人口老龄化B. 缺乏劳动力C. 社会秩序稳定D. 男女比例严重失调图4为广州市不同年份常住人口数量统计图，读图完成10-11题。
10. 据图分析，下列说法正确的是A ．城市人口不断增加，农村人口逐年下降B ．2001年前城市人口增加的速度快于2001年之后C ．2001年后农村人口向城市转移加快D ．广州未来的城市化速度将不断加快 11. 近年来引起广州城市化水平变化的根本原因是 A ．国家户籍政策的调整 B ．社会生产力的发展 C ．乡村基础设施的完善D ．城市用地规模扩大12. 2014年1月初，浙江成为我国首先实施“单独二孩”政策(夫妻双方一人为独生子女即可生育二胎)的省份。
福建省宁德市普通高中2015届高三下学期毕业班第二次质量检查数学(理)试题
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若向量(3,)m =，(2,1)=-，b a //，则实数m 的值为A ．32-B ．32C ．2D ．6【答案】A 【解析】试题分析： //，m 23=-∴，得23-=m ，故答案为A. 考点：平面向量平行的应用.2.若集合{|21}x A x =>，集合{|lg 0}B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：{}{}0|12|>=>=x x x A x，{}{}1|0lg |>=>=x x x x B ，由A x ∈不能推出B x ∈，由B x ∈能推出A x ∈，“A x ∈”是“B x ∈”的必要不充分条件，故答案为B.考点：充分条件、必要条件的判断.3.已知等比数列{}n a 的第5项是二项式41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项，则37a a ⋅=A ． 6B ． 18C ．24D ．36【答案】D 【解析】试题分析：61222412=⎪⎭⎫⎝⎛=+x x C T ，65=∴a ，365573=⋅=⋅∴a a a a ，故答案为D.考点：1、二项式定理的应用；2、等比数列的性质.4.若函数2()1f x ax bx =++是定义在[1,2]a a --上的偶函数，则该函数的最大值为 A ．5 B ．4 C ． 3 D ．2 【答案】A考点：1、偶函数的应用；2、二次函数的最值.5.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i 的最大值为A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B 【解析】试题分析：第一次执行循环体后，1,2==n S ，继续执行循环体，第二次执行循环体后，2,5==n S ，继续执行循环体，第三次执行循环体后，3,10==n S ，继续执行循环体，第四次执行循环体后，4,19==n S，在直线循环体，输出的值大于20，不符合题意，i 的最大值4，故答案为B. 考点：程序框图的应用.6.已知某市两次数学测试的成绩1ξ和2ξ分别服从正态分布11(90,86)N ξ和22(93,79)N ξ，则以下结论正确的是A ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定B ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定C ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定D ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定 【答案】C 【解析】试题分析：第一次测试的平均分90=x ，862=σ；第二次测试的平均分93=x ，792=σ，因此第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定，故答案为C. 考点：正态分布的应用.7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 作直线l x ⊥轴交双曲线C 的渐近线于点,A B ．若以AB 为直径的圆恰过点2F ，则该双曲线的离心率为A B C ．2 D 【答案】D 【解析】试题分析：双曲线的左焦点()0,1c F -，得x a b y ±=，当c x -=，得c aby ±=由于以AB 为直径的圆恰过点2F ，因此2ABF ∆是等腰直角三角形，因此211F F AF =，即c c ab2=，a b 2=∴，a b a c 522=+=∴，5==∴ace ，故答案为D. 考点：双曲线的简单几何性质.8.某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天． 甲说：我在1日和3日都有值班; 乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是 A ． 2日和5日 B ． 5日和6日 C ． 6日和11日 D ． 2日和11日【答案】C 【解析】试题分析：这12天的日期之和，()7812121212=+=S ，甲、乙、丙的各自的日期之和是26，对于甲，剩余2天日期之和22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日；对于乙，剩余2天日期之和是9，可能是2日，7日，可能是4日，5日，因此丙必定值班的日期是6日和11日，故答案为C. 考点：等差数列的前n 项和.9.若关于x 的方程320()x x x a a --+=∈R 有三个实根1x ，2x ，3x ，且满足123x x x ≤≤，则1x 的最小值为A ．2-B ．1-C ．13-D ．0【答案】B 【解析】试题分析：方程023=+--a x x x 有三个实根，函数a y =与函数x x x y ++-=23的图象有三个交点，由图象可知，直线a y =在AB 之间，有3个交点，当直线过点B 时，此时1x 最小，由于01232=++-='x x y得31-=x 或1=x ，因此点()1,1B ，令123=++-x x x 化简得()()0112=+-x x ，1x 的最小值1-.考点：方程的根和函数的零点.10.如图所示为某几何体的正视图和侧视图，则该几何体体积的所有可能取值的集合是A ．12,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．12,,336π⎧⎫⎨⎬⎩⎭ C ．1233V V ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ D ．203V V ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】试题分析：几何体如图所示，此时几何体的体积最大，322131=⋅⋅=V ，让另外两个侧面退化为光滑的曲面并且逼近两个三角形侧面时，体积逐渐趋向于0，故320≤<V ，故答案为D.考点：由三视图求体积.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）侧视图正视图11.复数iiz +=1（i 为虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为__________． 【答案】2. 【解析】 试题分析：i i z +=1()()()i i i i i -=--+=11，在复平面上对应的点()1,1-，到原点的距离2. 考点：复数的四则运算和概念.12.设a 是抛掷一枚骰子得到的点数，则方程20x ax a ++=有两个不等实根的概率为 ． 【答案】31. 【解析】试题分析：a 的可能取值6,5,4,3,2,1，共有6种情况，方程02=++a ax x 有两个不等实根，042>-=∆a a ，解得4>a 或0<a ，此时5=a ，或6=a ，有2种情况，所求事件的概率3162==P . 考点：利用古典概型求随机事件的概率.13.若关于x ，y 的不等式组 0,,10x y x kx y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域是一个直角三角形，则k 的值为 ． 【答案】1-或0. 【解析】试题分析：由于不等式组表示的平面区域是直角三角形，当0=k 时，平面区域是直角三角形， 当01=+-y kx 与直线x y =垂直时符号题意，此时1-=k .考点：线性规划的应用.14.若在圆22:()4C x y a +-=上有且仅有两个点到原点O 的距离为1，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】()()3,11,3 --. 【解析】试题分析：在圆22:()4C x y a +-=上有且仅有两个点到原点O 的距离为1，圆()422=-+a y x 与圆122=+y x 相交，两圆的圆心距a d =，则1212+<<-a ，因此a 的取值范围()()3,11,3 --.考点：1、圆的标准方程；2、圆与圆的位置关系.15.的ABC ∆中，3π=∠A ．若点D 为BC 边上的一点，且满足2CD DB =，则当AD 取最小时，BD 的长为 ． 【答案】3.考点：1、基本不等式的应用；2、余弦定理的应用.三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. (本小题满分13分)将射线1(0)7y x x =≥绕着原点逆时针旋转4π后所得的射线经过点(cos sin )A θθ，． （1）求点A 的坐标； （2）若向量(sin 2,2cos )x θ=m ，(3sin ,2cos 2)x θ=n ，求函数()f x ⋅=m n ，[0,2x π∈]的值域．【答案】（1）⎪⎭⎫⎝⎛54,53A ；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5212,512. 【解析】试题分析：(1)熟悉三角公式的整体结构，灵活变换，要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形，把形如x b x a y cos sin +=化为()ϕ++=x b a y sin 22，研究函数的性质；（2）平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中Z k k ∈+≠,2ππα；（3）利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围确定，二是利用诱导公式进行化简时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定；（4）掌握两角差的正切公式及倍角公式.试题解析：（1）设射线1(0)7y x x =≥的倾斜角为α，则1tan 7α=，(0,)2απ∈．……………1分 ∴1147tan tan()143117θα+π=+==-⨯，……………………………………………4分 ∴由22sin cos 1,sin 4,cos 3θθθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩+解得4sin ,53cos .5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………………6分∴点A 的坐标为3455⎛⎫⎪⎝⎭，．…………………………………………………………7分（2）()3sin sin 22cos 2cos2f x x x θθ⋅+⋅=……………………………………8分1212sin 2cos255x x =+).4x π=+…………………………………………………10分 由[0,2x π∈]，可得2[,]444x ππ5π+∈，∴sin(2)[4x π+∈，………………………………………………………12分∴函数()f x的值域为12[5-．……………………………………………13分 考点：1、三角函数的化简；2、同角三角函数的基本关系. 17.(本小题满分13分)某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图．（1）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数； （2）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为34，乙队猜对前两条的概率均为45，猜对第3条的概率为12．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？【答案】（1）6.143；（2）支持票投给甲队. 【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图求中位数，中位数左边和右边的长方形的面积和是相等的；（2）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（3)求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算. 试题解析：（1）设测试成绩的中位数为x ，由频率分布直方图得， (0.00150.019)20(140)0.0250.5x +⨯+-⨯=， 解得：143.6x =．……………………………2分 ∴测试成绩中位数为143.6．进入第二阶段的学生人数为200×(0．003＋0．0015)×20＝18人．…………………4分 （2）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为ξ、η， 则3(3,)4B ξ，……………………………5分∴39344E ξ=⨯=．……………………………6分∴最后抢答阶段甲队得分的期望为99[(3)]203044--⨯=，………………………8分∵2111(0)5250P η⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，2411119(1)25525250P η⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，24141112(2)25255225P η⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，24116(3)5250P η⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，∴9121621012350255010E η=+⨯+⨯+⨯=， …………………………………………10分∴最后抢答阶段乙队得分的期望为2121[(3)]20241010--⨯=．……………………12分∴1203012024+>+，∴支持票投给甲队．．……………………………13分考点：1、利用频率分布直方图求中位数；2、离散型随机变量的数学期望. 18. (本小题满分13分)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，且22AD CD ==，12AA =，13A AD π∠=．若O 为AD 的中点，且1CD AO ⊥． （1）求证：1A O ⊥平面ABCD ；（2）线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角1D A A P --为6π？若存在，求出BP 的长；不存在，说明理由．【答案】（1）证明略；（2）存在这样的点P ，使二面角P A A D --1为6π.【解析】试题分析：（1）解决立体几何的有关问题，空间想象能力是非常重要的，但新旧知识的迁移融合也很重要，在平面几何的基础上，把某些空间问题转化为平面问题来解决，有时很方便；（2）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；（3）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键，空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.Bya １试题解析：（1）证明：∵13A AD π∠=，且12AA =，1AO =，∴1A O =…………………………………………2分 ∴22211AO AD AA += ∴1A O AD ⊥.…………………………………………3分 又1CD A O ⊥，且CDAD D =，∴1A O ⊥平面ABCD ．…………………………………………5分（2）解：过O 作//Ox AB ，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -（如图），则(0,1,0)A -，1A ，……………………………6分 设(1,,0)([1,1])P m m ∈-，平面1A AP 的法向量为1n =(,,)x y z ，∵1AA =，(1,1,0)AP m =+，且1110,(1)0.AA y AP x m y ⋅⋅⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩n n 取1z =，得1n=1),m +．……………………………8分 又1A O ⊥平面ABCD ,且1A O ⊂平面11A ADD , ∴平面11A ADD ⊥平面ABCD . 又CD AD ⊥,且平面11A ADD 平面ABCD AD =∴CD ⊥平面11A ADD .不妨设平面11A ADD 的法向量为2n =(1,0,0)．………………………10分由题意得12cos ,==n n ，……………………12分a１a解得1m =或3m =-（舍去）．∴当BP 的长为2时，二面角1D A A P --的值为6π．………………………13分 考点：1、直线与平面垂直的判定；2、立体几何的探究性问题. 19. (本小题满分13分)已知点(0,1)F ，直线1:1l y =-，直线21l l ⊥于P ，连结PF ，作线段PF 的垂直平分线交直线2l 于点H ．设点H 的轨迹为曲线Γ．（1）求曲线Γ的方程;（2）过点P 作曲线Γ的两条切线，切点分别为,C D ， ①求证:直线CD 过定点;②若(1,1)P -，过点P 作动直线l 交曲线Γ于点,A B ，直线CD 交l 于点Q ，试探究PQ PQ PAPB+是否为定值?若是，求出该定值；不是，说明理由．【答案】（1）y x 42=；（2）直线CD 过定点()1,0；PBPQ PAPQ +为定值2【解析】试题分析：（1）抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离（抛物线上的点到到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化，如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线的定义就能解决；（2）解决直线和抛物线的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与抛物线的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式xyO∴直线CD 的方程为01102xx y -+=，…………………………………………7分∴直线CD 过定点(0,1)．…………………………………………8分②由（2）①得,直线CD 的方程为1102x y -+=.设:1(1)l y k x +=-，与方程1102x y -+=联立，求得4221Q kx k +=-．……………………………………9分设(,),(,)A A B B A x y B x y ，联立1(1)y k x +=-与24x y =，得 24440x kx k -++=，由根与系数的关系，得4,44A B A B x x k x x k +=⋅=+．…………………………………………10分∵1,1,1Q A B x x x ---同号， ∴11PQ PQPQ PAPB PA PB ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭11111Q A B x x x ⎛⎫=-+⎪⎪--⎭()11111Q A B x x x ⎛⎫=-⋅+ ⎪--⎝⎭…………………………………………11分()()24212111A B A B x x k k x x +-+⎛⎫=-⋅ ⎪---⎝⎭ 5422215k k -=⋅=-， ∴PQ PQ PAPB+为定值，定值为2．…………………………………………13分考点：1、抛物线的标准方程；2、圆锥曲线中的定点、定值问题. 20.(本小题满分14分)已知函数2()e ()x f x x ax -=+在点(0,(0))f 处的切线斜率为2． （1）求实数a 的值；（2）设3()(eg x x x t t =---∈R ）()，若()()g x f x ≥对[0,1]x ∈恒成立，求t 的取值范围；（3）已知数列{}n a 满足11a =，11(1)n n a a n+=+，求证：当2,n n ≥∈N 时 11213()()()62e n a a a f f f n n n n -⎛⎫+++<⋅+ ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数，e 2.71828≈)． 【答案】（1）2=a ；（2）1≥t ；（3）证明略. 【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点()()0,0f 处的切线方程，注意这个点的切点，利用导数的几何意义求切线的斜率()20='f ；（2）对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1）()x f a ≥恒成立()max x f a ≥⇔，（2）()x f a ≤恒成立()min x f a ≤⇔；（3）利用导数方法证明不等式()()x g x f >在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数()()()x g x f x h -=，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数()0>x h ，其中一个重要的技巧就是找到函数()x h 在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，观察式子的特点，找到特点证明不等式；（4）定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”步骤解决“无限”问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”.试题解析：（1）22()e ()e (2)e (2)x x x f x x ax x a x ax x a ---'=-+++=-+--，…………………1分由(0)()2f a '=--=，得2a =．…………………………………………3分 （2）2()e (2)x f x x x -=+．（3）∵11(1)n n a a n+=+，∴11n n a n a n ++=，又11a =，∴2n ≥时，321121231121n n n a a a na a n a a a n -=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=-，对1n =也成立， ∴n a n =．……………………………10分 ∵当[0,1]x ∈时，2()e (2)0x f x x -'=-->， ∴()f x 在[0,1]上单调递增，且()(0)0f x f ≥=．又∵1()i f n n ⋅(11,)i n i ≤≤-∈N 表示长为()if n，宽为1n 的小矩形的面积，∴11()()i n i nif f x dx n n +⋅<⎰(11,)i n i ≤≤-∈N ， ∴1112011121()()()()()()()n a aa n f f f f f f f x dx n n nn n n nn --⎡⎤⎡⎤+++=+++<⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰．…… 12分又由（2），取1t =，得23()()(1)ef xg x x x ≤=-++，∴1132100011313()()(1)32e 62e f x dx g x dx x x ≤=-++=+⎰⎰， ∴112113()()()62en f f f n n n n -⎡⎤+++<+⎢⎥⎣⎦，∴11213()()()62e n a a a f f f n n nn -⎛⎫+++<⋅+ ⎪⎝⎭．…………………………………………14分 考点：1、导数的几何意义；2、恒成立的问题；3、证明不等式.21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换在平面直角坐标系中，矩阵M 对应的变换将平面上任意一点(,)P x y 变换为点(2,3)P x y x '+．（1）求矩阵M 的逆矩阵1M -；（2）求曲线410x y +-=在矩阵M 的变换作用后得到的曲线C '的方程．【答案】（1）1103213M -⎛⎫- ⎪⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭；012=++y x 【解析】试题分析：矩阵，是线性代数中的基本概念之一,一个n m ⨯的矩阵就是n m ⨯个数排成m 行n 列的一个数阵.由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型.矩阵乘法看起来很奇怪，但实际上非常有用，应用也十分广泛，，掌握相乘⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡dy cx by ax y x d c b a ，列方程组求得. 试题解析：（1）设点(),P x y 在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为(,)P x y '''， 则2,3,x x y y x '=+⎧⎨'=⎩即2130x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴2130M ⎛⎫= ⎪⎝⎭．…………………………………………1分 又det()3M =-，∴1103213M -⎛⎫- ⎪⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭．…………………………………………3分（2）设点(),A x y 在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为(,)A x y '''， 则1103213x x x M y y y -⎛⎫- ⎪''⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪'' ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭， 即1,32,3x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪''=--⎪⎩…………………………………………5分∴代入410x y +-=，得241033y x y '⎛⎫''----= ⎪⎝⎭，即变换后的曲线方程为210x y ++=．…………………………7分 考点：1、求逆矩阵；2、矩阵的应用.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的参数方程为x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数）, 圆C 的极坐标方程为222sin()1(0)4r r ρρθπ+++=>． （1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； （2）若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，求r 的值． 【答案】（1）222(((0)x y r r ++=>；（2）1. 【解析】试题分析：（1）将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法；（2）将参数方程转化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若y x ,有范围限制，要标出y x ,的取值范围；（3）直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式θρcos =x 及θρsin =y 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为极坐标方程要通过变形，构造形如θρcos ，θρsin ，2ρ的形式，进行整体代换，其中方程的两边同乘以（或同除以）ρ及方程的两边平方是常用的变形方法.试题解析：（1）直线l的直角坐标方程为x y +=，………………………………………2分圆C的直角坐标方程为222(((0)x y r r +++=>．………………………… 4分 （2）∵圆心(C ，半径为r ，………………………………………5分 圆心C到直线x y +=的距离为2d ，………………………6分又∵圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，即3d r +=， ∴321r =-=．………………………………………7分 考点：1、极坐标方程与普通方程的互化；2、点到直线的距离. （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|5||3|f x x x =-+-. （1）求函数()f x 的最小值m ； （2）若正实数,a b满足11a b +2212m a b+≥. 【答案】（1）2=m ；（2）证明略. 【解析】试题分析：（1）不等式的b a b a b a +≤+≤-在求最值方面的应用；（2）柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
数学高一宁德市期末考试卷
数学高一宁德市期末考试卷一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，哪一个不是二次函数？A. y = x^2 + 2x + 3B. y = x^3 - 4C. y = -3x^2 + 5xD. y = 2x^2 - 12. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∩B。
A. {1}B. {2, 3}C. {4}D. {1, 4}3. 函数f(x) = 2x - 3在x = 2处的导数是：A. -3B. 1C. 2D. 44. 以下哪个不等式是正确的？A. |-3| < 2B. |-3| > 2C. |-3| = 2D. |-3| ≠ 25. 已知等差数列的首项为a1 = 5，公差为d = 3，求第10项的值。
A. 28B. 32C. 35D. 406. 圆的半径为5，求圆的面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π7. 已知向量a = (3, -1)，b = (2, 4)，求向量a与b的点积。
A. -10B. 8C. 6D. 28. 以下哪个是二项式定理的展开式的一部分？A. (a + b)^nB. C(n, 1)a^nC. C(n, 2)a^(n-2)b^2D. C(n, 3)a^(n-3)b^39. 已知函数g(x) = x^2 + 2x + 1，求其在x = 1处的值。
A. 4B. 5C. 6D. 710. 以下哪个是复数的共轭复数？A. z = 3 + 4iB. z = 3 - 4iC. z = -3 + 4iD. z = -3 - 4i二、填空题（每题3分，共15分）11. 已知三角形ABC，若∠A = 60°，AB = 2，AC = 3，求BC的长度为______。
12. 一个等比数列的首项为2，公比为3，求第5项的值是______。
13. 已知函数h(x) = x^3 - 4x^2 + x - 2，求h(2)的值为______。
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宁德市2014—2015学年度第二学期高一期末考试数学（必修2、4）试题(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)友情提示:本卷第11、12、15、16、21、22题按达标校类别作答。
其中A 题供一、二级达标学校考生作答，B 题供非一、二级达标学校考生作答。
参考公式：锥体体积公式13V Sh =，柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高．球的表面积24S R =π，体积公式343V R =π，其中R 为球的半径．第I 卷 （选择题 60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡．．．的相应位置填涂． 1．函数()sin 2f x x =的最小正周期为 A ．2πB ．πC ．2πD ．4π2．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1A B 与直线11C D 所成的角为 A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°3．化简：cos()2α5π-=A ．sin αB ．sin α-C ．cos αD ．cos α-4．若角α的终边经过点34(,)55A ，则sin α=A.35B.45C.34D.435．直线l 经过点(1,2)，且倾斜角是直线y x =倾斜角的2倍，则以下各点在直线l 上的是 A. (1,1) B. (2,2)C. (2,1)D. (2,0)DAB CA 1D 1C 1B 16．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体 的表面积为A ．23πB ．πC ．2πD ．3π7．对于向量,,a b c 和实数λ，下列判断正确的是 A ．若=a b ，则=a b B ．若λ=0a ，则0λ= C ．若⋅=⋅a c b c ，则=a bD ．若=a b ，则⋅=⋅a c b c8．为了得到函数πsin(2)4y x =-的图象，只要将函数πsin()4y x =-上所有的点A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变 9．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列判断正确的是A ．若//，m α//αβ,则//m βB ．若,,m n αα⊂⊂//,m β//n β，则//αβC ．若//,m n ,m α⊥//αβ，则n β⊥D ．若,,m ααβ⊂⊥则m β⊥10．已知线段PQ 的中点为(0,4)M ，若点P 在直线20x y +-=上运动，则点Q 的轨迹方程是A. 60x y +-=B. 60x y ++=C. 20x y --=D. 20x y -+=(以下11A 、12A 两题供一、二级．．．．达标校考生作答) 11 A ．已知直线20x y n -+=与圆22:4O x y +=交于,A B 两点，若60AOB ︒∠=，则实数n的值为A ．15B ．215C ．15±D ．215±12 A ．已知P 是△ABC 所在平面内一点，D 为AB 的中点，若2(1)PD PC PA PB λ+=++，且△PBA 与△PBC 的面积相等，则实数λ的值为 A ．2B ．2-C ．1D ．1-俯视图正视图2 侧视图2(以下11B 、12B 两题供非一、二级．．．．．达标校考生作答) 11 B ．已知直线310x y --=与圆22:(1)(2)4C x y -+-=交于,A B 两点，则弦AB 的长为 A ．1B ．3C ．2D ．2312 B ．如图，平面内有三个向量,,OA OB OC，其中OA 与OB 的夹角为150°，OA 与OC 的夹角为90°，且1OA OB == ，2OC =，若（，）O C O A O B R λμλμ=+∈ ，则λμ+= A ．2 B ．4 C ．32+ D ．234+第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．若向量a (3,)m =，b (2,4)=-，a ∥b ，则实数m 的值为 ＊＊ ．14．若方程2220x y x a +++=表示的曲线是圆，则实数a 的取值范围是 ＊＊ ． (以下15A 、16A 两题供一、二级．．．．达标校考生作答) 15A ．已知tan()3αβ-=，tan 4β=，则tan α= ＊＊ ．16A ．若直三棱柱111ABC A B C -每一条棱长都为4，则三棱锥1A ABC -与三棱锥111A ABC -公共部分的体积是 ＊＊ ．(以下15B 、16B 两题供非一、二级．．．．达标校考生作答) 15B ．已知tan 3α=，tan 4β=，则tan()αβ+= ＊＊ ．16B ．若正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，则连接该正方体每个面的中心构成的几何体的体积是 ＊＊ ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量(1,3),(,2),(3,4)m ==a b c =，且(3)-⊥a b c ． （Ⅰ）求实数m 的值；（6分） （Ⅱ）求向量a 与b 的夹角θ．（6分）OABC18．（本小题满分12分）已知点(1,4),(3,2),(1,1)A B C ．（Ⅰ）求过点C 与直线AB 平行的直线方程；（5分）（Ⅱ）若线段AB 的垂直平分线与x ,y 轴分别交于点,M N ，求△OMN 的面积．（7分）19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥． （Ⅰ）求证：1AC BA ⊥；（5分）（Ⅱ）若M 为11AC 的中点，问棱AB 上是否存在点N ，使得MN ∥平面11BCC B ？ 若存在，求出ANNB的值，并给出证明；若不存在，请说明理由．（7分）20．（本小题满分12分）一支探险队要穿越一个“死亡谷”，在这个峡谷中，某种侵扰性昆虫的密度 ()f t （只/立方米）近似于时间t （时）的一个连续函数，该函数的表达式为(9)1000cos2000,917()43000,091724或t t f t t t -π⎧+≤≤⎪=⎨⎪≤<<≤⎩． （Ⅰ）求一天中该种昆虫密度()f t 的最小值和相应的时间t ；（6分）（Ⅱ）已知当密度超出2000只/立方米时，该种昆虫的侵扰将是致命的．问最早几点进入该峡谷可避免．．遭受该种昆虫致命性侵扰．（6分）A 1B 1C 1B CAM(本版面21A 、22A 两题供一、二级．．．．达标校考生作答，非一、二级．．．．．达标校考生作答的21B 、21B 两题在下一版面)21A ．（本小题满分12分）已知圆C 的一条直径的端点分别是(0,1),A (2,1)B ． （Ⅰ）求圆C 的方程；（4分）（Ⅱ）若直线l :2y kx =-与圆C 相切，求k 的值；（5分）（Ⅲ）若圆C 上恰有两个点到点(1,)D a (1)a >的距离为2，请直接写出．．．．实数a 的取值 范围．（3分）22A ．（本小题满分14分）已知函数2()23sin cos 2cos f x x x x =+． （Ⅰ）求()24f π的值；（4分） （Ⅱ）若函数()f x 在区间[,]m m -上是单调递增函数，求实数m 的最大值；（5分）（Ⅲ）若关于x 的方程()0f x a -=在区间(0,)2π内有两个实数根1212,()x x x x <，分别求实数a 与1211x x +的取值范围．（5分）(本版面21B 、22B 两题供非一、二级．．．．．达标校考生作答，一、二级．．．．达标校考生作答的21A 、21A 两题在上一版面)21B ．（本小题满分12分）已知圆C 的一条直径的端点分别是(0,1),A (2,1)B ． （Ⅰ）求圆C 的方程；（5分）（Ⅱ）若过点(0,2)-的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程．（7分）22B ．（本小题满分14分）已知函数2()2sin cos 2cos 1f x x x x =+-．（Ⅰ）求()8f π的值；（4分）（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（5分）（Ⅲ）若关于x 的方程()0()f x a a -=∈R 在区间(0,)2π内有两个不相等的实数根12,x x ，记12cos()t a x x =+，求实数t 的取值范围．（5分）宁德市2014—2015学年度第二学期高一期末考试 数学（必修2、4）试题参考答案及评分标准（1）本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可参照本答案的评分标准的精神进行评分．（2）对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的立意，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的一半；如果有较严重的错误，就不给分．（3）解答右端所注分数表示考生正确作完该步应得的累加分数. （4）评分只给整数分，选择题和填空题均不给中间分． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．B 2．C 3．A 4．B 5．A 6．D 7．D 8．B 9．C 10．A 11A ．C 12A ．D 11B ．C 12B ．D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13. 6- 14．(,1)-∞ 15A ．711-16A ．433 15B ．711- 16B ．43三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17. 解: (本题满分12分)（Ⅰ）∵(1,3),(,2),(3,4)m ==a b c =,∴3(1,3)(3,6)(13,3)m m -=-=--a b . ······························································ 2分 ∵(3)-⊥a b c ,∴(3)(13,3)(3,4)m -⋅--⋅a b c =3(13)(3)4m =-+-⨯990m =--= ············································································ 5分解得1m =-. ······························································································ 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知(1,3),=a (1,2)=-b ,∴5b = a , ································································································· 7分 10,5==a b , ······················································································ 8分 ∴52cos 2105b θ===⨯ b a a . ·································································· 10分 ∵[0,]θπ∈， ∴4πθ=. ································································································ 12分 18．(本题满分12分)解：（Ⅰ）∵(1,4)(32)A B 、，， ∴直线AB 的斜率421.13AB k -==-- ································································· 2分∴过点C 与直线AB 平行的直线方程为1(1)y x -=--， ······································ 4分 即20x y +-=． ···················································································· 5分 （Ⅱ）∵(1,4)(32)A B 、，， ∴ AB 的中点坐标为(2,3). ··········································································· 6分 又线段AB 的垂直平分线的斜率为1，∴线段AB 的垂直平分线的方程为：()312y x -=⋅-即10x y -+=. ··························································································· 8分 ∵(1,0),(1,0)M N -,·················································································· 10分 ∴1122OMN S OM ON ∆== .········································································ 12分 19. (本题满分12分)解法一:（Ⅰ）∵1AA ⊥平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,∴1AA AC ⊥. ··························································································· 2分 ∵AB AC ⊥，1AB AA A =I ,∴AC ⊥平面11ABB A . ·················································································· 4分 又∵1A B ⊂平面11ABB A ,∴1AC A B ⊥.····························································································· 5分（Ⅱ）存在点N 为AB 的中点，即1ANNB=，使得//MN 平面11BCC B . ··············· 6分 证明：取AC 得中点E ，连接,,MN ME NE ∵四边形11ACC A 是平行四边形， 且,M E 分别为11AC 、AC 的中点， ∴四边形1ECC M 是平行四边形∴ME ∥1CC . ···················································7分 ∵ME ⊄平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ,∴ME ∥平面11BCC B . ················································································· 8分 ∵,N E 分别为AB 、AC 的中点，∴NE ∥BC . ····························································································· 9分A 1B 1C 1BCA MEN∵NE ⊄平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ,∴NE ∥平面11BCC B . ················································································ 10分 ∵ME NE E = ，∴平面MNE ∥平面11BCC B . ······································································· 11分 （注：直接由两组相交线平行得面面平行，扣2分） ∵MN ⊂平面MNE ,∴MN ∥平面11BCC B . ··············································································· 12分 解法二: （Ⅰ）∵1AA ⊥平面ABC ,1AA ⊂平面11ABB A ,∴平面11ABB A ⊥平面ABC ，且平面11ABB A I 平面ABC =AB . ··························· 2分 ∵AC AB ⊥, AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥平面11ABB A . ·················································································· 4分 又∵1A B ⊂平面11ABB A ,∴1AC A B ⊥.····························································································· 5分（Ⅱ）存在点N 为AB 的中点，即1ANNB=，使得//MN 平面11BCC B . ··············· 6分 证明：取BC 得中点F ，连接1,,MN NF C F . ∵,N F 分别为AB 、BC 的中点，∴NF ∥AC ,NF 12=AC . ······························· 7分 ∵1MC ∥AC ,1MC 12=AC ,∴1MC ∥NF ，1MC =NF . ······························· 8分∴四边形1MNFC 为平行四边形. ·································································· 10分 ∴MN ∥1C F . ························································································· 11分 ∵MN ⊄平面11BCC B ，1C F ⊂平面11BCC B ,∴ MN ∥平面1C F . ·················································································· 12分A 1B 1C 1BCAM FN20.（本题满分12分）解：（Ⅰ）(1)当917t ≤≤时，(9)()1000+20004cos t f t π-= ∵(9)024t ππ-≤≤， ··············································································· 1分 (9)π(9)π=π=13 cos =144t t t --∴-当，即时，， ················································· 2分min ()1000(1)+20001000f t =⨯-= ································································· 4分(2)当09t ≤<或1724t <≤时，()3000f t = ··················································· 5分 所以，一天中该种昆虫密度的最小值是1000（只/立方米），出现最小值时的时间t =13·········································································································· 6分 （Ⅱ）解法1，依题意当()2000f t ≤时，可避免遭受该种昆虫致命性侵扰. 由()2000f t =，得(9)cos04t π-=， ··························································· 8分 ∵当917t ≤≤时，(9)024t ππ-≤≤∴ (9)=42t ππ-或(9)3=42t ππ-································································ 10分得11t =或15t = ················································································· 11分∴ 最早11点进入该峡谷可避免遭受该种昆虫致命性侵扰． ························· 12分（Ⅱ）解法2，依题意，当()2000f t ≤时，可避免遭受该种昆虫致命性侵扰.令()2000f t ≤，即(9)1000cos+200020004t π-≤，得(9)cos 04t π-≤ ·············· 8分 则(9)32k 2,242t k k Z πππππ-+≤≤+∈,得 811815,k t k k Z +≤≤+∈ ····························································· 10分 又∵917,t ≤≤ ∴1115,t ≤≤ ························································ 11分 ∴ 最早11点进入该峡谷可避免遭受该种昆虫致命性侵扰. ·························· 12分(以下是21A 、22A 两题答案)21A. （Ⅰ）∵(0,1),(2,1)A B 是圆C 的一条直径的两端点，∴圆心C 是AB 的中点，其坐标为（1，1） ·············································· 1分圆C 半径1AC = ·········································································· 2分∴圆C 的方程是：22(1)(1)1x y -+-= ······················································ 4分 （Ⅱ）∵直线l ：2y kx =-与圆C 相切，∴圆心(1,1)C 到直线20kx y --=的距离等于半径1， 即211211k k ⋅--=+， ············· 7分 解得43k =. ································································································ 9分 （Ⅲ）a 的取值范围是(2,4) ······································································· 12分 22A . (本题满分14分) 解：（Ⅰ）∵()3sin 2cos21f x x x =++ ··························································· 1分312(sin 2cos 2)122x x =++ 2sin(2)16x π=++ ································································· 3分 ∴()2sin()12sin 121241264f ππππ=++=+=+ ············································· 4分 （Ⅱ）由222,262k x k k Z ππππ-≤+≤π+∈ 得,36k x k k Z πππ-≤≤π+∈ ∴()f x 在区间,()36k k k Z ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦上是增函数 ············································· 5分 ∴当0k =时，()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 ··············································· 6分 若函数()f x 在区间[,]m m -上是单调递增函数，则[,][,]36m m ππ-⊆- ······················ 7分 ∴630m m m π⎧≤⎪⎪π⎪-≥-⎨⎪⎪>⎪⎩， 解得06m π<≤ ······································································ 8分 ∴m 的最大值是6π······················································································ 9分 （Ⅲ）解法1：方程()0f x a -=在区间(0,)2π内有两实数根1212,()x x x x <等价于。