高一下学期第一次月考数学试题
陕西省西安高新第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题
陕西省西安高新第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}1N|24x A x -=∈<，集合{}3|log (1)1B x x =+<，则A B =I （ ）A ．(3),-∞B ．(1,3)-C ．{0,1}D ．{0,1,2}2．如图，在△OAB 中，点P 在边AB 上，且32AP PB =．则OP =u u u r （ ）A ．3255OA OB +u u u r u u u r B ．2355OA OB +u u u r u u u rC ．3255OA OB -u u u r u u u rD ．2355OA OB -u u ur u u u r3．已知向量,a b r r 为非零向量，向量,a b rr 之间夹角为,:p θθ为钝角，:0q a b ⋅<r r ，则p 是q 的（ ）条件.A ．充要B ．必要不充分C ．充分不必要D ．既非充分也非必要4．如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD =15°，∠BDC =30°，CD =30m ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于（ ）A ．B ．C ．D ．5．函数2()1cos 1e xf x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的部分图象为（ ） A ． B ．C ．D ．6．已知()f x 为R 上偶函数，且对1212,[0,),x x x x ∀∈+∞≠时，都有()()12120f x f x x x -<-成立，若()1.1,(sin1),2a fb fc f -⎛=== ⎝则（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c a b << D ．b<c<a7．在锐角ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且1b =，cos cos A a B a -=，则（ ） A ．ππ64A <<B ．ππ63A << C ．ππ43A << D ．ππ42A << 8．已知ABC V 中，,,ABC 所对的边为,,,a b c 若,,O P H 为ABC V 所在平面内点，则下列说法正确的个数为（ ）①若1()3PO PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，则O 为三角形ABC 的重心；②若222222HA BC HB CA HC AB +=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则点H 是ABC V 的垂心；③若O 是ABC V 的外心，则sin2sin2sin20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r；④若O 是ABC V 的内心，则0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、多选题9．已知平面向量()2,1a =-r，(2,)b t =r ，则下列说法错误的是（ ）A ．若6t =，则向量a r 与b r的夹角为锐角B ．若a b r r=，则1t =C ．a r方向上的单位向量为⎝⎭D ．若3t =，则向量a r 在b r上的投影为10．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>的最小正周期为π，则下列各选项正确的是（ ）A ．2ω=B ．将()f x 图象上所有的点向右平移π6个单位长度，可得到2sin 2y x =的图象C ．()f x 在π5π,612⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．直线π6x =是图象的一条对称轴11．在ABC V 中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，则下列叙述正确的是（ ）A ．若cos cos b C cB b +=，则ABC V 是等腰三角形. B ．若A B >，则cos2cos2A B <.C ．若2,3,30a b A ︒==∠=，则解此三角形的结果有一解.D ．若角C 为钝角，则333a b c +<. 12．下列说法正确的是（ ）A ．若12x <，则1221x x +-的最大值是1- B ．若,,x y z 都是正数，且2x y z ++=，则411x y z+++的最小值是3 C ．若0,0,228x y x xy y >>++=，则2x y +的最小值是3 D ．若实数,x y 满足22228x xy y ++=，则2x y +的最大值是4三、填空题13．已知平面向量,a b r r 满足||1a =r ，||2,b a =r r与b r 的夹角为60︒，则|2|a b +r r 的值.14．ABC V 的内角,,A B C 所对应边为,,a b c ，若π2,4a A ==，则sin sin +=+b cB C . 15．若ABC V为边长为P 满足2CP =u u u r ，则AP BP ⋅u u u r u u u r 的取值范围为. 16．已知函数241,1()log 3,1xx f x x x ⎧-⎪=⎨+>⎪⎩…集合21()2()02M x f x t f x t ⎧⎫⎛⎫=-++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∣，若集合M中有3个元素，则实数t 的取值范围为．四、解答题17．已知向量()2,1a =r ，()1,3b =-r.(1)当实数k 为何值时，()()ka b a b -⊥+r r r r？(2)若2AB a b =-u u u r r r，BC a mb =+u u u r r r ，且A 、B 、C 三点共线，求实数m 的值.18．（1）已知函数()log (2)4,(0a f x x a =-->且1),()a f x ≠图像过定点M ，若角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，角α终边经过点M ，求3sin(π)cos π2cos(2π)sin()αααα⎛⎫++- ⎪⎝⎭-+-的值.（2）已知()3sin 30,901805αα︒︒︒+=<<，求cos α的值.19．如图所示，在平面四边形ABCD中，1,2,AD CD AC ===(1)求cos CAD ∠的值.(2)若B为锐角，2,sin BC BAC =∠=B . 20．已知函数()πsin )(0,0,||)2(f x A x B A ωϕωϕ=++>><的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式及其单调递增区间； (2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移π12个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象.若方程()0g x m -=在7π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求()123tan 2x x x ++的值.21．在锐角ABC V 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足cos cos cos c a bC A B+=+ (1)求角C 的大小；(2)若c A 与角B 的内角平分线相交于点D ，求ABD △面积的取值范围. 22．如图，在边长为1的正三角形ABC 中，O 为中心，过点O 的直线交边AB 与点M ，交边AC 于点N ．(1)用AB u u u r ，AC u u ur 表示AO u u u r ；(2)若34AM =，求AN 的值； (3)求22OM ON +的最大值与最小值．。
四川省成都市2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题含答案
武侯高中高2023级2023——2024下期第一次月考试题数学（答案在最后）学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________一、单选题1.如图，四边形ABCD 中，AB DC =，则必有（）A.AD CB= B.DO OB= C.AC DB= D.OA OC= 【答案】B 【解析】【分析】根据AB DC =，得出四边形ABCD 是平行四边形，由此判断四个选项是否正确即可．【详解】四边形ABCD 中，AB DC =，则//AB DC 且AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形；则有AD CB =-，故A 错误；由四边形ABCD 是平行四边形，可知O 是DB 中点，则DO OB =，B 正确；由图可知AC DB≠，C 错误；由四边形ABCD 是平行四边形，可知O 是AC 中点，OA OC =-，D 错误．故选：B ．2.下列说法正确的是（）A.若a b ∥ ，b c ∥，则a c∥ B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.两个单位向量的长度相等D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等【答案】C 【解析】【分析】A.由0b =判断；B.由平面向量的定义判断；C.由单位向量的定义判断； D.由共线向量判断.【详解】A.当0b = 时，满足a b ∥ ，b c ∥，而,a c 不一定平行，故错误；B.两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误；C.由单位向量的定义知，两个单位向量的长度相等，故正确；D.若两个单位向量平行，则方向相同或相反，但大小不一定相同，则这两个单位向量不一定相等，故错误；故选：C3.若a b ，是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（）A.,a b b a --B.21,2a b a b++ C.23,64b a a b-- D.,a b a b+- 【答案】D 【解析】【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，()b a a b -=-- ，所以a b b a -- ，共线，不能作为基底.B 选项，1222a b a b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ ，所以12,2a b a b ++ 共线，不能作为基底.C 选项，()64223a b b a -=-- ，所以64,23a b b a --共线，不能作为基底.D 选项，易知a b a b +-，不共线，可以作为基底.故选：D4.将函数2cos 413y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移3π个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A.12x π=B.6x π=-C.3x π=-D.12x π=-【答案】B 【解析】【分析】根据图像的伸缩和平移变换得到2cos(2)13y x π=++，再整体代入即可求得对称轴方程.【详解】将函数2cos 413y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2cos 213y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再向左平移3π个单位，得到2cos[2()]12cos(2)1333y x x πππ=+-+=++，令23x k π+=π，Z k ∈，则26k x ππ=-，Z k ∈.显然，=0k 时，对称轴方程为6x π=-，其他选项不符合.故选：B5.设a ，b 是非零向量，“a a bb =”是“a b =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.【详解】由a a b b =表示单位向量相等，则,a b 同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出a b =，由a b =表示,a b 同向且模相等，则a a b b = ，所以“a a bb =”是“a b =”的必要而不充分条件.故选：B6.已知向量,a b ，且2,52,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=+，则下列一定共线的三点是（）A.,,A B CB.,,B C DC.,,A B DD.,,A C D【答案】C 【解析】【分析】利用向量的共线来证明三点共线的．【详解】2,52,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=+，则不存在任何R λ∈，使得AB BC λ=，所以,,A B C 不共线，A 选项错误；则不存在任何R μ∈，使得BC CD μ=，所以,,B C D 不共线，B 选项错误；由向量的加法原理知242BD BC CD a b AB =+=+=．则有//BD AB ，又BD 与AB有公共点B ，所以,,A B D 三点共线，C 选项正确；44AB BC a b AC ==-++，则不存在任何R t ∈，使得AC tCD = ，所以,,A C D 不共线，D 选项错误．故选：C ．7.已知sin α＝5，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为（）A.4π B.34π C.3π D.23π【答案】B 【解析】【分析】先求出tan α12=，再利用两角和的正切公式求出tan(α＋β)＝－1，判断出角α＋β的范围，即可求出α＋β的值.【详解】sin α，且α为锐角，则cos α5=，tan αsin 1cos 2αα==.所以tan(α＋β)＝tan tan 1tan tan αβαβ+-＝13211(3)2--⨯-＝－1.又α＋β∈3(,22ππ，故α＋β＝34π.故选：B8.筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4m 的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2m .在筒车转动的一圈内，盛水筒P 距离水面的高度不低于4m 的时间为（）A.9秒B.12秒C.15秒D.20秒【答案】D 【解析】【分析】画出示意图，结合题意和三角函数值可解出答案.【详解】假设,,A O B 所在直线垂直于水面，且4AB =米，如下示意图，由已知可得12,4OA OB OP OP ====，所以1111cos 602OB POB POB OP ∠==⇒∠=︒，处在劣弧 11PP 时高度不低于4米，转动的角速度为360660︒=︒/每秒，所以水筒P 距离水面的高度不低于4m 的时间为120206=秒，故选：D.二、多选题9.已知函数()cos f x x x =+，则下列判断正确的是（）A.()f x 的图象关于直线π6x =对称 B.()f x 的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C.()f x 在区间2π,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.当π2π,33x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()1,1f x ∈-【答案】BC 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数()f x 的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AB 选项；利用正弦型函数的单调性可判断C 选项；利用正弦型函数的值域可判断D 选项.【详解】因为()πcos 2sin 6f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，对于A选项，ππ2sin 63f ⎛⎫==⎪⎝⎭，故函数()f x 的图象不关于直线π6x =对称，A 错；对于B 选项，π2sin 006f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，故函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，B 对；对于C 选项，当2π03x -≤≤时，πππ266x -≤+≤，则函数()f x 在区间2π,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 对；对于D 选项，当π2π33x -<<时，ππ5π666x -<+<，则1πsin 126x ⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭，所以，()(]π2sin 1,26f x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，D 错.故选：BC.10.下图是函数()sin()(0π)f x A x ωϕϕ=+<<的部分图像，则（）A.2πT =B.π3ϕ=C.π,06⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 D.()f x 的单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（Z k ∈）【答案】BCD 【解析】【分析】由图象可得πT =，由2πT ω=可求出ω，再将π12⎛⎝代入可求出ϕ可判断A ，B ；由三角函数的性质可判断C ，D .【详解】根据图像象得35ππ3ππ246124T T =-=⇒=⇒=ω，故A 错误；π12x =时，πππ22π2π1223k k ⨯+=+⇒=+ϕϕ，0πϕ<< ，π3ϕ∴=，故()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故B 正确；因为πππ20663f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⋅-+= ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 正确；令πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，解得5ππππ1212k x k -+≤≤+，Z k ∈．故D 正确．故选：BCD .11.潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象.某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为πcos 63y A x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（其中0A >，0ω>），其中y （单位：m ）为港口水深，x （单位：h ）为时间()024x ≤≤，该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为6h ，且中午12点的水深为8m ，为保证安全，当水深超过8m 时，应限制船只出入，则下列说法正确的是（）A.π6ω=B.最高水位为12mC.该港口从上午8点开始首次限制船只出入D.一天内限制船只出入的时长为4h 【答案】AC 【解析】【分析】根据题意可求得6π=ω，可知A 正确；由12点时的水位为8m 代入计算可得4A =，即最高水位为10m ，B 选项错误；易知ππ4cos 663y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，解不等式利用三角函数单调性可得从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h ，即可判断C 正确，D 错误.【详解】对于A ，依题意π62T ω==，所以6π=ω，故A 正确；对于B ，当12x =时，ππcos 126863y A ⎛⎫=⨯++=⎪⎝⎭，解得4A =，所以最高水位为10m ，故B 错误；对于CD ，由上可知ππ4cos 663y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，令8y ≥，解得812x ≤≤或者2024x ≤≤，所以从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h ，故C 正确，D 错误.故选：AC.三、填空题12.设e为单位向量，2a =r ，当,a e 的夹角为π3时，a 在e 上的投影向量为______.【答案】e【解析】【分析】利用投影向量的定义计算可得结果.【详解】根据题意可得向量a 在e 上的投影向量为22π21cos 31a e e a e e e e ee e⨯⨯⋅⋅⋅=== .故答案为：e13.已知向量a 、b 满足5a = ，4b = ，a 与b 的夹角为120，若()()2ka b a b -⊥+ ，则k =________.【答案】45##0.8【解析】【分析】运用平面向量数量积公式计算即可.【详解】因为5a = ，4b = ，a 与b的夹角为120 ，所以1cos12054102a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.因为()2ka b -⊥()a b +r r ，所以()()()()222222521610215120ka b a b kab k a b k k k -⋅+=-+-⋅=-⨯--=-=，解得45k =.故答案为：45.14.已知1tan 3x =，则1sin 2cos 2x x +=______【答案】2【解析】【分析】根据二倍角公式以及齐次式即可求解.【详解】2222222211121sin 2cos sin 2sin cos 1tan 2tan 332cos 2cos sin 1tan 113x x x x x x x x x x x ⎛⎫++⨯ ⎪+++++⎝⎭====--⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：2四、解答题15.已知1a b a == ，与b 的夹角为45︒．（1）求()a b a +⋅的值；（2）求2a b -的值【答案】（1）2（2【解析】【分析】（1）先求2,a a b ⋅ ，再根据运算法则展开计算即可；（2）先计算2b，再平方，进而开方即可.【小问1详解】因为22||1,||||cos 451122a a a b a b ==⋅=︒=⨯=所以2()112a b a a a b ++⋅=⋅=+=【小问2详解】因为22||2b b ==，所以2222|2|(2)444242a b a b a b a b -=-=+⋅=+--=所以|2|a b -=16.已知函数()222cos 1f x x x =+-.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若3π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭且()85f θ=-，求cos 2θ的值.【答案】（1）π（2）410-【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简，求出最小正周期；（2）将θ代入可求出πsin 26θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合π26+θ的范围，求出πcos 26θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为ππ2266θθ=+-，由两角差的余弦公式求出结果.【小问1详解】()2π22cos 12cos 22sin 26f x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==【小问2详解】()π82sin 265f θθ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以π4sin 265θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为3π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，1π25π3663π,θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+，所以π3cos 265θ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以ππππππcos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3414525210-⎛⎫=⨯+-⨯=⎪⎝⎭.17.如图，在ABC 中，6AB =，60ABC ∠=︒，D ，E 分别在边AB ，AC 上，且满足2AD DB = ，3CE EA =，F 为BC 中点.（1）若DE AB AC λμ=+，求实数λ，μ的值；（2）若8AF DE ⋅=-，求边BC 的长.【答案】（1）23λ=-，14μ=.（2）8【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算以及平面向量的基本定理求得正确答案.（2）利用转化法化简8AF DE ⋅=-，从而求得BC 的长.【小问1详解】∵2AD DB = ，3CE EA= ，∴23AD AB = ，14AE AC = ∴1243DE AE AD AC AB =-=- ，∴23λ=-，14μ=.【小问2详解】12AF BF BA BC BA =-=- ，()1212154343412DE AC AB BC BA BA BC BA =-=-+=+ ，22115115241282412AF DE BC BA BC BA BC BC BA BA ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设BC a = ，∵6AB = ，60ABC ∠=︒，221115668824212AF DE a a ⋅=-⨯⨯-⨯=- ，即2560a a --=，解得7a =-（舍）或8a =，∴BC 长为8.18.设(,)P x y 是角θ的终边上任意一点，其中0x ≠，0y ≠，并记r =cot x y θ=，sec r xθ=，csc r y θ=．（Ⅰ）求证222222sin cos tan cot sec +csc θθθθθθ+--+是一个定值，并求出这个定值；（Ⅱ）求函数()sin cos tan cot sec +csc f θθθθθθθ=++++的最小值．【答案】（Ⅰ）定值为3；（Ⅱ）min ()1f θ=-；【解析】【分析】（Ⅰ）由题可知，分别将6个三角函数分别代入，进行简单的化简，即可得到定值3；(Ⅱ)将()f x 中的未知量均用sin ,cos θθ来表示，得到1sin cos ()sin cos sin cos sin cos g θθθθθθθθθ+=+++，运用换元法设sin cos t θθ+=，化简成2()111g t t θ=-++-，再利用对勾函数的性质即可得到最值．【详解】解：（Ⅰ）222222222222222222sin cos tan cot sec +csc =y x y x r r r x y r y xθθθθθθ+--++--++2222222221113x y r y r x r x y+--⇒++=++=；（Ⅱ）由条件，1cot tan x y θθ==，1sec cos x θ=，1csc sin θθ=令()sin cos tan cot sec +csc g θθθθθθθ=++++sin cos 11sin cos +cos sin cos sin θθθθθθθθ=++++1sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ+=+++，令sin cos t θθ+=，则sin cos =2sin()4t πθθθ=++[2,2]∈-，1t ≠±，且21sin cos 2t θθ-=，从而2222()11t g y t t t θ==++--22(1)1t t t +=+-221111t t t t =+=-++--，令1u t =-，则21y u u =++，[21,21]u ∈---，且0u ≠，2u ≠-．所以，(,122][322,)y ∈-∞-⋃++∞．从而()221f y θ=≥-，即min ()221f θ=-．19.已知函数()2000ππ2sin sin 2sin 266f x x x x C ωωω⎛⎫⎛⎫=+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（R C ∈）有最大值为2，且相邻的两条对称轴的距离为π2（1）求函数()f x 的解析式，并求其对称轴方程；（2）将()f t 向右平移π6个单位，再将横坐标伸长为原来的24π倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，再将其向上平移60个单位，得到()g t ，则可以用函数()sin()H g t A t B ωϕ==++模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度H 随时间t （单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a ，b 两个座舱里，且a ，b 中间隔了3个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h 关于时间t 的函数解析式，并求最大值．【答案】（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ32k x =+，Z k ∈（2）ππ()50sin 126f x t ⎛⎫=-⎪⎝⎭，50【解析】【分析】（1）由二倍角公式与两角和与差的正弦公式化简得()0π2sin 216f x x C ω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，再结合最值及周期即可得解析式；（2）由正弦型函数的平移变换与伸缩变换得变换后的解析式为ππ50sin 60122y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则ππ50sin 126h H H ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭甲乙，再求最值即可.【小问1详解】()00001cos 2π22sin 2cos 2cos 2126x f x x C x x C ωωωω-=⨯++=-++0π2sin 216x C ω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，所以2121C C ++=⇒=-，因为相邻两条对称轴的距离为π2，所以半周期为ππ22T T =⇒=，故002ππ12=⇒=ωω，()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令ππππ2π6232k x k x -=+⇒=+，Z k ∈【小问2详解】()f t 向右平移π6得到π2sin 22y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将横坐标伸长为原来的24π倍，得到ππ2sin 122y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将纵坐标扩大为原来的25倍，得到ππ50sin 122y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将其向上平移60个单位，得到ππ50sin 60122y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭游客甲与游客乙中间隔了3个座舱，则相隔了2ππ4243⨯=，令ππ50sin 60122H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭甲，则π5π50sin 60126H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭乙，则πππ5π50sin sin 122126h H H t t ⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭甲乙π1πcos 12212t t =-ππ50sin 126t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π12ω=，24T =，024t ≤≤，故πππ11π61266t -≤-≤，当πππ1262t -=或3π82t ⇒=或20时，max 50h =。
高一数学下学期第一次月考试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某鄂尔多斯市准格尔旗世纪中学高一（下）第一次月考数学试卷一．选择题（每题5分，共60分）1．tan 300°+sin 450°的值为（）A．1+B．1﹣C．﹣1﹣ D．﹣1+2．以下命题正确的是（）A．小于90°的角是锐角B．A={α|α=k•180°，k∈Z}，B={β|β=k•90°，k∈Z}，则A⊆BC．﹣950°12′是第三象限角D．α，β终边相同，则α=β3．在空间直角坐标系中的点P（a，b，c），有下列叙述：①点P（a，b，c）关于横轴（x轴）的对称点是P1（a，﹣b，c）；②点P（a，b，c）关于yOz坐标平面的对称点为P2（a，﹣b，﹣c）；③点P（a，b，c）关于纵轴（y轴）的对称点是P3（a，﹣b，c）；④点P（a，b，c）关于坐标原点的对称点为P4（﹣a，﹣b，﹣c）．其中正确叙述的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．04．已知α是第二象限的角，其终边上一点为P（a，），且cosα=a，则sinα的值等于（）A．B．C．D．5．函数y=2sin（﹣2x）（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，] B．[] C．[，] D．[，π]6．已知，且，则tanφ=（）A．B．C．﹣D．7．已知点A（1，2，﹣1），点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则线段BC的长为（）A．2 B．4 C．2 D．28．直线y=a（a为常数）与y=tanωx（ω＞0）的相邻两支的交点距离为（）A．πB．C． D．与a有关的值9．函数的图象（）A．关于原点成中心对称B．关于y轴成轴对称C．关于成中心对称D．关于直线成轴对称10．已知θ∈[0，2π），|cosθ|＜|sinθ|，且sinθ＜tanθ，则θ的取值X围是（）A．B．C．D．11．化简cosα+sinα（π＜α＜）得（）A．sinα+cosα﹣2 B．2﹣sinα﹣cosαC．sinα﹣cosα D．cosα﹣sinα12．圆心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆的半径为（）A．2 B．C．1 D．二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．函数的定义域为．14．函数y=2cos（ωx）的最小正周期是4π，则ω=．15．已知tanα=2，则tan2α的值为．16．已知sin（﹣x）=，则cos（﹣x）=．三．解答题（共70分）17．已知sinα+cosα=，α∈（0，π），求的值．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当，求f（x）的值域．19．sin θ和cos θ为方程2x2﹣mx+1=0的两根，求+．20．已知函数y=2acos（2x﹣）+b的定义域是[0，]，值域是[﹣5，1]，求a、b的值．21．函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．22．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？2015-2016学年某某鄂尔多斯市准格尔旗世纪中学高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每题5分，共60分）1．tan 300°+sin 450°的值为（）A．1+B．1﹣C．﹣1﹣ D．﹣1+【考点】诱导公式的作用．【分析】由诱导公式逐步化简可得原式等于﹣tan60°+sin90°，为可求值的特殊角，进而可得答案．【解答】解：由诱导公式可得：tan 300°+sin 450°=tan（360°﹣60°）+sin（360°+90°）=﹣tan60°+sin90°=﹣+1=1﹣，故选B2．以下命题正确的是（）A．小于90°的角是锐角B．A={α|α=k•180°，k∈Z}，B={β|β=k•90°，k∈Z}，则A⊆BC．﹣950°12′是第三象限角D．α，β终边相同，则α=β【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据角的X围以及终边相同角的关系分别进行判断即可．【解答】解：A．∵0°角满足小于90°，但0°角不是锐角，故A错误，B．当k=2n时，β=k•90°=n•180°，当k=2n+1时，β=k•90°=k•180°+90°，则A⊆B成立，C．﹣950°12′=﹣4×360°+129°48′，∵129°48′是第二象限角，∴﹣950°12′是第二象限角，故C错误，D．α，β终边相同，则α=β+k•360°，k∈Z，故D错误，故选：B3．在空间直角坐标系中的点P（a，b，c），有下列叙述：①点P（a，b，c）关于横轴（x轴）的对称点是P1（a，﹣b，c）；②点P（a，b，c）关于yOz坐标平面的对称点为P2（a，﹣b，﹣c）；③点P（a，b，c）关于纵轴（y轴）的对称点是P3（a，﹣b，c）；④点P（a，b，c）关于坐标原点的对称点为P4（﹣a，﹣b，﹣c）．其中正确叙述的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据空间点的对称性分别进行判断即可．【解答】解：①点P（a，b，c）关于横轴（x轴），则x不变，其余相反，即对称点是P1（a，﹣b，﹣c）；故①错误，②点P（a，b，c）关于yOz坐标平面的对称，则y，z不变，x相反，即对称点P2（﹣a，b，c）；故②错误③点P（a，b，c）关于纵轴（y轴）的对称，则y不变，x，z相反，即对称点是P3（﹣a，b，﹣c）；故③错误，④点P（a，b，c）关于坐标原点的对称，则x，y，z都为相反数，即对称点为P4（﹣a，﹣b，﹣c）．故④正确，故选：C4．已知α是第二象限的角，其终边上一点为P（a，），且cosα=a，则sinα的值等于（）A．B．C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的大小建立方程求出a的值即可得到结论．【解答】解：∵α是第二象限的角，其终边上一点为P（a，），且cosα=a，∴a＜0，且cosα=a=，平方得a=﹣，则sinα===，故选：A．5．函数y=2sin（﹣2x）（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，] B．[] C．[，] D．[，π]【考点】复合三角函数的单调性．【分析】利用正弦函数的单调性，确定单调区间，结合x的X围，可得结论．【解答】解：由正弦函数的单调性可得≤﹣2x≤（k∈Z）∴﹣﹣kπ≤x≤﹣﹣kπk=﹣1，则故选C．6．已知，且，则tanφ=（）A．B．C．﹣D．【考点】同角三角函数间的基本关系．【分析】先由诱导公式化简cos（φ）=﹣sinφ=确定sinφ的值，再根据φ的X 围确定cosφ的值，最终得到答案．【解答】解：由，得，又，∴∴tanφ=﹣故选C．7．已知点A（1，2，﹣1），点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则线段BC的长为（）A．2 B．4 C．2 D．2【考点】空间中的点的坐标．【分析】求出对称点的坐标，然后求解距离．【解答】解：点A（1，2，﹣1），点C与点A关于平面xoy对称，可得C（1，2，1），点B与点A关于x轴对称，B（1，﹣2，1），∴|BC|==4故选：B．8．直线y=a（a为常数）与y=tanωx（ω＞0）的相邻两支的交点距离为（）A．πB．C． D．与a有关的值【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】直线y=a与正切曲线y=tanωx两相邻交点间的距离，便是此正切曲线的最小正周期．【解答】解：因为直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx相交的相邻两点间的距离就是正切函数的周期，∵y=tanωx的周期是：，∴直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx相交的相邻两点间的距离是：．故选：B．9．函数的图象（）A．关于原点成中心对称B．关于y轴成轴对称C．关于成中心对称D．关于直线成轴对称【考点】正弦函数的对称性．【分析】将x=0代入函数得到f（0）=2sin（﹣）=﹣1，从而可判断A、B；将代入函数f（x）中得到f（）=0，即可判断C、D，从而可得到答案．【解答】解：令x=0代入函数得到f（0）=2sin（﹣）=﹣1，故A、B不对；将代入函数f（x）中得到f（）=0，故是函数f（x）的对称中心，故C 对，D不对．故选C．10．已知θ∈[0，2π），|cosθ|＜|sinθ|，且sinθ＜tanθ，则θ的取值X围是（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知的sinθ＜tanθ，移项并利用同角三角函数间的基本关系变形后得到tanθ（1﹣cosθ）大于0，由余弦函数的值域得到1﹣cosθ大于0，从而得到tanθ大于0，可得出θ为第一或第三象限，若θ为第一象限角，得到sinθ和cosθ都大于0，化简|cosθ|＜|sinθ|，并利用同角三角函数间的基本关系得到tanθ大于1，利用正切函数的图象与性质可得出此时θ的X围；若θ为第三象限角，得到sinθ和cosθ都小于0，化简|cosθ|＜|sinθ|，并利用同角三角函数间的基本关系得到tanθ大于1，利用正切函数的图象与性质可得出此时θ的X围，综上，得到满足题意的θ的X围．【解答】解：∵sinθ＜tanθ，即tanθ﹣sinθ＞0，∴tanθ（1﹣cosθ）＞0，由1﹣cosθ＞0，得到tanθ＞0，当θ属于第一象限时，sinθ＞0，cosθ＞0，∴|cosθ|＜|sinθ|化为cosθ＜sinθ，即tanθ＞1，则θ∈（，）；当θ属于第三象限时，sinθ＜0，cosθ＜0，∴|cosθ|＜|sinθ|化为﹣cosθ＜﹣sinθ，即tanθ＞1，则θ∈（，），综上，θ的取值X围是．故选C11．化简cosα+sinα（π＜α＜）得（）A．sinα+cosα﹣2 B．2﹣sinα﹣cosαC．sinα﹣cosα D．cosα﹣sinα【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数基本关系式、三角函数值在各个象限的符号即可得出．【解答】解：∵π＜α＜，∴==，同理可得=，∴原式=﹣（1﹣sinα）﹣（1﹣cosα）=﹣2+cosα+sinα．故选：A．12．圆心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆的半径为（）A．2 B．C．1 D．【考点】圆的标准方程．【分析】设扇形和内切圆的半径分别为R，r．由弧长公式可得2π=R，解得R．再利用3r=R=6即可求得扇形的内切圆的半径．【解答】解：设扇形和内切圆的半径分别为R，r．由2π=R，解得R=6．由题意可得3r=R=6，即r=2．∴扇形的内切圆的半径为2．故选：A．二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．函数的定义域为．【考点】正切函数的定义域．【分析】根据正弦函数的定义域，我们构造关于x的不等式，解不等式，求出自变量x的取值X围，即可得到函数的定义域．【解答】解：要使函数的解析式有意义自变量x须满足：≠kπ+，k∈Z解得：故函数的定义域为故答案为14．函数y=2cos（ωx）的最小正周期是4π，则ω=±．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用周期公式列出关于ω的方程，求出方程的解即可得到ω的值．【解答】解：∵=4π，∴ω=±．故答案为：±15．已知tanα=2，则tan2α的值为﹣．【考点】二倍角的正切．【分析】由条件利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．【解答】解：∵tanα=2，∴tan2α===﹣，故答案为：﹣．16．已知sin（﹣x）=，则cos（﹣x）= ﹣．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin（﹣x）=，∴cos（﹣x）=cos[+（﹣x）]=﹣sin（﹣x）=﹣．故答案为：﹣三．解答题（共70分）17．已知sinα+cosα=，α∈（0，π），求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系变形求出2sinαcosα的值，进而判断出sinα﹣cosα的正负，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出sinα﹣cosα的值，联立求出sinα与cosα的值，即可确定出的值．【解答】解：把sinα+cosα=①，两边平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=﹣，∵α∈（0，π），∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα﹣cosα＞0，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，即sinα﹣cosα=②，联立①②，解得：sinα=，cosα=﹣，则==﹣．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当，求f（x）的值域．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域．【分析】（1）根据最低点M可求得A；由x轴上相邻的两个交点之间的距离可求得ω；进而把点M代入f（x）即可求得φ，把A，ω，φ代入f（x）即可得到函数的解析式．（2）根据x的X围进而可确定当的X围，根据正弦函数的单调性可求得函数的最大值和最小值．确定函数的值域．【解答】解：（1）由最低点为得A=2．由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即T=π，由点在图象上的故∴又，∴（2）∵，∴当=，即时，f（x）取得最大值2；当即时，f（x）取得最小值﹣1，故f（x）的值域为[﹣1，2]19．sin θ和cos θ为方程2x2﹣mx+1=0的两根，求+．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用韦达定理可求得sinθ+cosθ=，sinθ•cosθ=，利用同角三角函数基本关系式即可解得m，将所求的关系式化简为sinθ+cosθ，即可求得答案．【解答】解：∵sinθ和cosθ为方程2x2﹣mx+1=0的两根，∴sinθ+cosθ=，sinθ•cosθ=，∵（sinθ+cosθ）2=sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=1+2sinθcosθ，∴m2=1+2×，解得：m=±2，∴+=+=sinθ+cosθ=．20．已知函数y=2acos（2x﹣）+b的定义域是[0，]，值域是[﹣5，1]，求a、b的值．【考点】余弦函数的定义域和值域．【分析】由求出的X围，由余弦函数的性质求出cos（2x﹣）的值域，根据解析式对a分类讨论，由原函数的值域分别列出方程组，求出a、b的值．【解答】解：由得，，∴cos（2x﹣），当a＞0时，∵函数的值域是[﹣5，1]，∴，解得，当a＜0时，∵函数的值域是[﹣5，1]，∴，解得，综上可得，或．21．函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．【分析】（Ⅰ）由题目所给的解析式和图象可得所求；（Ⅱ）由x∈[﹣，﹣]可得2x+∈[﹣，0]，由三角函数的性质可得最值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π，可知y0为函数的最大值3，x0=；（Ⅱ）∵x∈[﹣，﹣]，∴2x+∈[﹣，0]，∴当2x+=0，即x=时，f（x）取最大值0，当2x+=，即x=﹣时，f（x）取最小值﹣322．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】（1）由函数的解析式求得周期，由求得x的X围，即可得到函数的单调增区间（2）由条件可得，再根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律得出结论．【解答】解：（1）由函数，可得周期等于 T==π．由求得，故函数的递增区间是．（2）由条件可得．故将y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，即可得到f（x）的图象．。
2023-2024学年新疆乌鲁木齐市高一下册第一次月考数学试题(含解析)
2023-2024学年新疆乌鲁木齐市高一下册第一次月考数学试题一、单选题1．已知复数z 满足1i z =-，则z 的虚部是（）A ．1-B ．1C ．i -D ．i【正确答案】A【分析】由虚部定义可得结果.【详解】由虚部定义可知：z 的虚部为1-.故选：A.2．已知,a b →→为非零不共线向量，向量8a k b →→-与k a b →→-+共线，则k =（）A ．B ．-C ．±D ．8【正确答案】C利用向量共线的充要条件是存在实数λ，使得8()a k b k a b λ→→→→-=-+，及向量相等列方程解得.【详解】解： 向量8a k b →→-与k a b →→-+共线，∴存在实数λ，使得8()a k b k a b λ→→→→-=-+，即8a k b k a b λλ→→→→-=-+，又 ,a b →→为非零不共线向量，∴8kk λλ=-⎧⎨-=⎩，解得.k =±故选：C.本题考查向量共线的条件，向量相等的条件，属于基础题.3．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin :sin :sin 2:4:5A B C =，则cos B =（）A ．1320B ．3740C ．516-D ．18【正确答案】A【分析】由正弦定理可得::sin :sin :sin 2:4:5a b c A B C ==，利用余弦定理可求得cos B 的值.【详解】因为::sin :sin :sin 2:4:5a b c A B C ==，令2a t =，4b t =，()50c t t =>，则2222224251613cos 222520a cb t t t B ac t t +-+-===⨯⨯.故选：A.4．如图，在△ABC 中，AB a = ，AC b = ，DC ＝3BD ，A E＝2EC ，则DE ＝（）A ．1334a b+ B ．53124a b-C ．3143a b+ D ．35412a b-+ 【正确答案】D【分析】直接按照平面向量的三角形法则及题目中比例关系进行化简即可.【详解】由平面向量的三角形法则，可知()313135354343412412DE DC CE BC ACAC AB AC AB AC a b ⎛⎫=+=+-=--=-+=-+ ⎪⎝⎭.故选：D.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ；若()sin sin sin a A b B A c C +=，则C =（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【正确答案】D【分析】利用正弦定理将已知式转化为边的形式，然后再利用余弦定理可求得结果【详解】因为sin (sin )sin a A b B A c C +=，所以由正弦定理得22()ab b c+=，化简得222a b c +-=，所以由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==因为(0,)C π∈，所以56C π=，即150C =︒故选：D6．已知4a = ，()1,0b =- 且()2a b b +⊥ ，则a 与b的夹角为（）A ．30B ．60C ．120D ．150【正确答案】C【分析】根据向量垂直和向量数量积运算律可构造方程求得a b ⋅，由向量夹角公式可求得结果.【详解】()2a b b +⊥ ，()22220a b b a b b a b ∴+⋅=⋅+=⋅+= ，解得：2a b ⋅=- ，21cos ,412a b a b a b⋅-∴<>===-⨯⋅ ，,120a b ∴<>=o r r .故选：C.7．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()2cos cos cos +=B a C c A b，sin 2C =，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【正确答案】C【分析】利用正弦定理边化角可求得cos B ，得到π3B =；结合特殊角三角函数值和三角形内角和为π可求得结果.【详解】由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin +=B A C C A B ，()2cos sin 2cos sin sin B A C B B B ∴+==，又()0,πB ∈，sin 0B ∴≠，1cos 2B ∴=，则π3B =；sin 2C =，()0,πC ∈，π3C ∴=或2π3，又πB C +<，π3C ∴=，()ππ3A B C ∴=-+=，ABC ∴ 为等边三角形.故选：C.8．在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=（）A ．-6B ．-8C ．-9D ．-12【正确答案】A【分析】设△ABC 的外接圆半径为r ，,CFA CFB βα∠=∠=.由余弦定理得到22cos 2r r α=-，和22cos 8r r β=-.把CF AB ⋅ 整理为CF AB ⋅22cos cos r r βα=-，整体代入即可.【详解】设△ABC 的外接圆半径为r ，,CFA CFB βα∠=∠=.由余弦定理得：2222cos BC BF CF BF CF α=+- ，即222cos r r α=-,所以22cos 2r r α=-2222cos AC AF CF AF CF β=+- ，即228cos r r β=-.所以22cos 8r r β=-.所以()CF AB CF AF FB+⋅=⋅ CF AF CF FB =+⋅⋅ 22cos cos cos cos r FC FA FC FB FC FA FC F r B βαβα=⋅⋅⋅⋅-=-=-因为22cos 2r r α=-，22cos 8r r β=-，所以()2222cos cos 826CF AB r r r r βα⋅=-=---=- .故选：A向量的基本运算处理的常用方法：(1)向量几何化：画出合适的图形，利用向量的运算法则处理；(2)向量坐标化：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算处理．二、多选题9．下列说法错误的是（）A ．若//,//a b b c，则// a cB ．若a b =，则23a b<C ．对任意非零向量a，a a是和它共线的一个单位向量D ．零向量没有方向【正确答案】ABD【分析】对于A ，举例判断即可，对于B ，向量不能比较大小，对于C ，由单位向量的定义判断，对于D ，由向量的定义判断【详解】对于A ，当0b = 时，满足//,//a b b c，而a 与c 不一定共线，所以A 错误，对于B ，因为向量是有方向和大小的量，所以向量不能比较大小，所以B 错误，对于C ，因为a是非零向量，所以a a是和它共线的一个单位向量，所以C 正确，对于D ，因为向量是有方向和大小的量，所以零向量是有方向的，它的方向是任意的，所以D 错误，故选：ABD10．在△ABC 中，下列说法正确的是（）A ．若2sin a b A =，则6B π=B ．若A B >，则sin sin A B>C．45AB B ∠︒==，若AC =D ．若222b c a +>，则△ABG 为锐角三角形【正确答案】BC【分析】由正弦定理对选项ABC 进行变形求解，由余弦定理判断D ．【详解】选项A ，2sin a b A =由正弦定理得sin 2sin sin A B A =，三角形中sin 0A ≠，所以1sin 2B =，而(0,)B π∈，所以6B π=或56B π=，A 错；选项B ，△ABC 中，sin sin a bA B=，所以sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，B 正确；选项C ，由于sin sin AB ACC B=，4sin 3C π==，又AC AB <，所以C B >，C 角可能为锐角也可能为钝角，三角形有两解，C 正确；选项D ，222b c a +>，由余弦定理得cos 0A >，A 为锐角，但,B C 两个角大小不确定，不能得出其为锐角三角形，D 错．故选：BC ．11．下列说法正确的是（）A ．在ABC 中，12BD DC =，E 为AC 的中点，则1263DE AC AB=-B ．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，则ABC 是等腰三角形C ．已知()3,4a = ，()0,1b =- ，则a 在b上的投影向量是()0,4D ．在边长为4的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，且3BE EC =，点F 是CD 中点，则8AE BF ⋅= 【正确答案】ABC【分析】利用向量线性运算直接推导可得A 正确；设ABAC AP ABAC=+ ，可知直线AP 为BAC ∠的角平分线，结合⊥AP BC 可知B 正确；利用投影向量的求法可求得C 正确；以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算可知D 错误.【详解】对于A，如图所示，()2211233263DE DC CE BC EC AC AB AC AC AB =+=-=--=-，A 正确；对于B ，设AB ACAP AB AC=+，AB AB 表示与AB 同向的单位向量，AC ACuuu r uuu r 表示与AC 同向的单位向量，∴直线AP 为BAC ∠的角平分线，又0AP BC ⋅=，即⊥AP BC ，AB AC ∴=，ABC ∴ 为等腰三角形，B 正确；对于C ，cos ,4a ba ab b⋅<>==-，()0,1b b b==-，a ∴r 在b上的投影向量为()cos ,0,4b a a b b<>⋅=，C 正确；对于D ，以A 为坐标原点，,AB AD正方向为,x y 轴，可建立如图所示平面直角坐标系，则()0,0A ，()4,0B ，()4,3E ，()2,4F ，()4,3AE ∴= ，()2,4BF =-，()42344AE BF ∴⋅=⨯-+⨯=，D 错误.故选：ABC.12．已知两个不相等的非零向量,a b，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由3个a 和2个b排列而成，记1122334455min ,S x y x y x y x y x y S =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是（）A ．S 有3个不同的值B ．22min22S a a b b=+⋅+ C ．若//a b ，则min S 与b 无关D ．若2min ||2||,4||a b S b == ，则a b⊥【正确答案】AD【分析】求出S 的三种结果，得出min S ，对选项进行分析得出答案.【详解】,(1234.5i i x y i = ，，，）均由3个a和2个b 排列而成，所以1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 可能情况有三种︰22132S a b =+；2222S a a b b =+⋅+ ；234S a b a =⋅+ ，故A 选项正确；()222221223220S S S S a b a b a b a b a b-=-=+-⋅≥+-=-≥.则S 中最小为234S a b a =⋅+ ，即2min 4S a b a =⋅+，B 选项错误；若//a b 则2min 4S a b a =⋅+ 与b 有关，故C 选项错误；若2a b = ，222min 4444S a b a a b b b =⋅+=⋅+= ，有0a b ⋅= ，则a b ⊥ ，D 选项正确.故选：AD ．三、填空题13．已知点(1,2)A ，点(4,5)B ，若2AP PB =，则点P 的坐标是________．【正确答案】P （3,4）【详解】试题分析：设(),P x y ，代入2AP PB =得()()1,224,53,3x y x y x y --=--∴==()3,3P ∴向量的坐标运算14．设23i 4i a b +=+，其中,a b 是实数，则i a b +=__________．【分析】由23i 4i a b +=+可得23a b =⎧⎨=⎩，从而得i 23i a b +=+，再根据复数的模定义即可求得i a b +.【详解】解：因为23i 4i a b +=+，所以243a b =⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩，所以i 23i a b +=+，所以|a b +15．李子坝站的“单轨穿楼”是重庆轨道交通的一大特色，吸引众多A 游客打卡拍照.阿伟为了测量李子坝站站台距离地面的高度AB ，采取了以下方法：在观最台的D 点处测得站台A 点处的仰角为45 ；后退15米后，在F 点处测很站台A 点处的仰角为30 ，已知阿伟的眼睛距离地面高度为 1.5CD EF ==米，则季子坝站站台F 的高度AB 为___________米.153182+【分析】假设AG 长度，AGC 使用勾股定理，AEC △使用正弦定理，解出AG 高度，进而求出AB 高度.【详解】假设AG 高度为x 米，则AC 2米，对AEC △使用正弦定理得：sin sin AC CEAEC CAE=行，所以sin 30sin(4530)AC CE=-o o，所以215sin 30sin 45cos30cos 45sin 30=-o o oo o，所以216224-x =解得15(31)2x =，所以1531315318222（）==AB +，故153182+16．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，它的面积等于)22234b c a +-且2222b c a a +=+，则ABC 的面积的取值范围是_________.【正确答案】333,2⎭【分析】根据三角形面积公式化简已知等式可求得A ，结合余弦定理可求得2a bc =，利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换知识可求得31π1sin 2264bc B =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由正弦型函数值域求法可求得bc 取值范围，代入三角形面积公式即可.【详解】)2221sin 24ABCb c a S A +-==，2221sin 24b c a A A bc +-==，即tan A =π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π3A ∴=；由2222b c a a +=+得：22221cos 222b c a a a A bc bc bc +-====，2a bc ∴=；由正弦定理得：πsin sin sin 2sin 3a b c bcA B C ===，b ∴=sin c B =，()33sin sin sin sin bc B C B A B ∴===+⎝⎭31π1sin 2264B =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；ABC 为锐角三角形，π022ππ032B C B ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<=-<⎪⎩，解得：ππ62B <<，ππ5π2666B ∴<-<，1πsin 2126B ⎛⎫∴<-≤ ⎪⎝⎭，则[)4,6bc ∈，1sin 242ABC S bc A bc ⎫∴==∈⎪⎪⎭.故答案为.⎭四、解答题17．已知复数()222159i z m m m =--+-，其中R m ∈.(1)若z 为实数，求m 的值；(2)若z 为纯虚数，求1iz+的值.【正确答案】(1)3m =±(2)88i+【分析】（1）由题意得290m -=，求解即可；（2）先由题意求得16i z =，再根据复数的除法法则化简复数1iz +，由此可求得答案.【详解】（1）若z 为实数，则290m -=，解得3m =±．（2）若z 为纯虚数，则22215090m m m ⎧--=⎨-≠⎩，解得5m =，∴16i z =，故()()()16i 1i 16i 88i 1i 1i 1i 1i z -===++++-，18．已知向量,a b 满足()()26a b a b +⋅-=- ，且1a = ，2b = .(1)求a b ⋅ ；(2)求a 与b 的夹角θ(3)求a b + .【正确答案】(1)1-(2)2π3【分析】（1）根据向量数量积的运算律可直接构造方程求得结果；（2）利用向量夹角公式直接求解即可；（3）由a b + .【详解】（1）()()222276a b a b a a b b a b +⋅-=-⋅-=--⋅=- ，1a b ∴⋅=- .（2）11cos 122a b a b θ⋅-===-⨯⋅ ，又[]0,πθ∈，2π3θ∴=.（3）a b += 19．已知平面向量()1,a x = ，()23,b x x =+- ，x ∈R .(1)若a b ⊥ ，求a b - ；(2)若a 与b 的夹角为锐角，求x 的取值范围.【正确答案】(1)2或10(2)()()1,00,3-【分析】（1）根据垂直关系可构造方程求得x ，由向量模长的坐标运算可求得结果；（2）根据向量共线的坐标表示可求得x 的值，根据夹角为锐角可构造不等式组求得结果.【详解】（1）a b ⊥ ，2230a b x x ∴⋅=+-= ，解得：=1x -或3x =，当=1x -时，()0,2a b -=- ，2a b ∴-= ；当3x =时，()8,6a b -=-，10a b ∴-=；综上所述：2a b -= 或10（2）若,a b 共线，则()23x x x -=+，解得：0x =或2x =-，当0x =时，()1,0a = ，()3,0b = ，此时,a b 同向；当2x =-时，()1,2a =- ，()1,2b =- ，此时,a b 反向；∴若a 与b 的夹角为锐角，则22300a b x x x ⎧⋅=+->⎪⎨≠⎪⎩，解得：13x -<<且0x ≠，x ∴的取值范围为()()1,00,3- .20．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin sin A C a b B a c--=+.（1）求角C 的大小；（2）若c =AB 边上的中线长为5，求ABC 的面积.【正确答案】（1）3π；（2）2.【分析】（1）利用正弦定理将角化边，反凑余弦定理，即可求得C ；（2）倍长中线至CD ，在DAC △中由余弦定理，结合（1）中所求，即可求得ab ，由面积公式即可求得结果.【详解】（1）由正弦定理得a c a b b a c--=+，化简得222a b c ab +-=.由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，由()0,πC ∈可得π3C =.（2）倍长AB 边上的中线至CD ，连接DA ，在DAC △中，由CAD ∠的余弦定理可得22221001cos 10022a b CAD a b ab ab +-∠==-⇒++=，又由（1）知222a b c ab +-=即2248a b ab +-=，所以26ab =，所以113133sin 262222S ab C ==⨯=.本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属综合基础题.21．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin sin 1sin sin sin sin A b B B C b A c B +=++(1)求角C ；(2)CD 是ACB ∠的角平分线，若33CD =，ABC 的面积为23c 的值.【正确答案】(1)3C π=；(2)23c =【分析】（1）先由正弦定理得21a b b c ba cb+=++，化简整理得222a b c ab +-=，再由余弦定理求得cos C ，即可求解；（2）先由面积求得8ab =，再由角平分线得AD b BD a =，结合平面向量得a b CD CA CB a b a b=+++ ，平方整理求得6a b +=，再由（1）中222a b c ab +-=即可求出c 的值.【详解】（1）由正弦定理得21a b b c ba cb+=++，即1a b b c a c +=++，整理得()()()()a a c b b c a c b c +++=++，化简得222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，又()0,C π∈，则3C π=；（2）由面积公式得11sin 222ab C ab ==8ab =，又CD 是ACB ∠的角平分线，则1sin 261sin 26ACD BCD CA CD S CA AD S CB BD CB CD ππ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅ ，即AD b BD a =，则()b b a b CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB a b a b a b a b =+=+=+-=+++++ ，所以()()()2222222222a b a ab b CD CA CB CA CA CB CB a b a b a b a b a b ⎛⎫=+=+⋅+ ⎪++⎝⎭+++ ，即()()()2222222162132a b ab a b ab a b a b a b =+⋅⋅++++，整理得()2221633a b a b =+，又8ab =，解得6a b +=，则()222220a b a b ab +=+-=，由（1）知22220812c a b ab =+-=-=，则c =.22．如图，某巡逻艇在A 处发现北偏东30°B 处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C 处，走私船到达D 处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以/小时的速度沿着直线追击(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船【正确答案】(1).(2)巡逻艇应该北偏东75︒方向去追，才能最快追上走私船.【分析】（1）在ABC 中，解三角形得BC =45ABC ︒∠=，在BCD △中，由余弦定理求得CD .（2）在BCD △中，解三角形得60BCD ︒∠=，90BDC ︒∠=，得到135CDE ︒∠=，在CDE 中，由正弦定理求得30∠= DCE ，结合图形知巡逻艇的追赶方向.【详解】（1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D 处，巡逻艇在C 处，此时313,1BD AC =⨯===由题意知903060BAC ︒︒︒∠=-=在ABC 中，AB AC =+=由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC BAC=+-⋅⋅∠221122=++-+⋅=所以BC =在ABC 中，由正弦定理得sin sin AC BC ABC BAC =∠∠，即sin sin 60ABC ︒=∠所以sin 45,ABC ABC ︒∠=∴∠=（135 舍去）所在180604575ACB ︒︒︒︒∠=--=又180********CBD ︒︒︒︒︒∠=---=在BCD △中，30,3,CBD BD BC ︒∠===由余弦定理得2222cos 30CD BC BD BC BD ︒=+-⋅⋅(22323cos33︒=+-⋅=⨯CD ∴=.（2）当巡逻艇经过t 小时经CE 方向在E 处追上走私船，则,3,3CE DE t CD ===在BCD △中，由正弦定理得：sin sin sin CD BD BC CBD BCD BDC ==∠∠∠3sin BCD ==∠所以sin 60BCD BCD ︒∠=∴∠=，90,135BDC CDE ︒︒∠=∠=在CDE 中，由正弦定理得：sin sin CE DE CDE DCE =∠∠则1sin2DCE ︒∠==，故30∠= DCE （150 舍）ACE ACB BCD DCE ∠=∠+∠+∠7560309075︒︒︒=+++ ＝故巡逻艇应该北偏东75︒方向去追，才能最快追上走私船.。
2022-2023学年上海市新川中学高一年级下册学期第一次月考数学试题【含答案】
2022-2023学年上海市新川中学高一下学期第一次月考数学试题一、填空题1．的终边经过点,则的正切值为________.α()5,12-α【答案】125-【分析】直接根据正切函数的广义定义带入即可算出.【详解】.1212tan 55y x α-===-故答案为: .125-2．已知是第二象限角，，则________．α1sin 3α=πsin 2α⎛⎫+=⎪⎝⎭【答案】【分析】根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】因为是第二象限角，，α1sin 3α=所以πsin cos 2αα⎛⎫+==== ⎪⎝⎭故答案为：3．已知角终边上一点，则________．α()2,3P -()()πcos sin π23πcos πcot 2αααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭【答案】【分析】根据三角函数定义及诱导公式化简即可得解.【详解】由诱导公式知，，()()πcos sin πsin sin 2sin 3πcos (tan )cos πcot 2ααααααααα⎛⎫+- ⎪-⋅⎝⎭===--⋅-⎛⎫++ ⎪⎝⎭因为角终边上一点，α()2,3P -所以sin α所以原式sin α=-=故答案为：4化成的形式___________.cos x x -sin()(0,02)A x A ϕϕπ+>≤<【答案】112sin 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由诱导公式将其转化为cos 2sin(6x x x π-=-的形式即可.sin()(0,02)A x A ϕϕπ+>≤<，1cos cos )2(sin cos cos sin 2sin()2666x x x x x x x πππ-=-=-=-.112sin()2sin[2(2sin()666x x x ππππ-=+-=+故答案为：.112sin()6x π+5．化简________．()()()()sin 70cos 10cos 70sin 170αααα︒+︒+-︒+︒-=【分析】根据诱导公式以及两角和的正弦公式进行化简，即可求得答案.【详解】由题意可得()()()()sin 70cos 10cos 70sin 170αααα︒+︒+-︒+︒-()()()()sin 70cos 10cos 70sin 10αααα=︒+︒+-︒+︒+()()7010]sin 6sin[0αα︒+-︒+=︒==6．若，则_______________．1cos()3αβ-=22(sin sin )(cos cos )αβαβ+++=【答案】83【解析】原式展开，利用、两角差的余弦公式，化简整理，即可得答案.22sin cos 1αα+=【详解】222222(sin sin )(cos cos )sin +sin 2sin sin cos cos 2cos cos αβαβαβαβαβαβ+++=++++=.22sin sin 2cos 282cos()2323cos αβαβαβ++=+-=+=故答案为：83【点睛】本题考查同角三角函数的关系，两角差的余弦公式，考查计算化简的能力，属基础题.7．已知，,则________.2tan()5αβ+=1tan()44πβ-=tan()4πα+=【答案】322【分析】由，再结合两角差的正切公式求解即可.()()44ππααββ+=+--【详解】解：因为，,2tan()5αβ+=1tan()44πβ-=又，()()44ππααββ+=+--所以=，tan()tan()4tan()tan[()()]441tan()tan()4παββππααββπαββ+--+=+--=++-213542122154-=+⨯故答案为.322【点睛】本题考查了两角差的正切公式及考查了角的拼凑，重点考查了观()()44ππααββ+=+--察能力及运算能力，属中档题.8．已知则________．1sin cos 3αα+=2πcos 4α⎛⎫-=⎪⎝⎭【答案】118【分析】由两角差余弦公式可得，结合条件可求.πππcos cos cos sin sin444ααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭2πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】因为πππcos cos cos sin sin444ααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭所以，)πcos cos sin 4ααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭又，1sin cos 3αα+=所以，2π111cos 42918α⎛⎫-=⨯=⎪⎝⎭故答案为：.1189．中，，，________．ABC 60A ∠=︒75C ∠=︒a =ABC S = 【分析】根据正弦定理可求得c ，再求出B ，根据三角形面积公式即可求得答案.【详解】因为sin 75sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30︒=︒+=︒+︒在中，由正弦定理可得，ABC sin ,sin sin sin a c a C c A C A =∴===因为，，故，60A ∠=︒75C ∠=︒45B ∠=︒所以，11sin 22ABC S ac B ===10．边长为10，14，16的三角形中最大角与最小角的和为________．【答案】##2π3120【分析】利用余弦定理求得最大角与最小角的和的补角即可.【详解】解：设边长为10，14，16分别对应边a ，b ，c ，由余弦定理得：,2222221016141cos 2210162a c b B ac +-+-===⨯⨯因为，()0,B π∈所以，则，3B π=23A C π+=故三角形中最大角与最小角的和为，2π3故答案为：2π311．在中，边，，则角的取值范围是________________.ABC ∆2BC =AB C 【答案】0,3π⎛⎤ ⎝⎦【分析】利用余弦定理构建方程，利用判别式可得不等式，从而可求角的取值范围．C 【详解】由题意，设，由余弦定理得，AC b =2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅即，即，，2344cos b b C =+-24cos 10b b C -+=216cos 40C ∴∆=-≥或，1cos 2C ∴≥1cos 2C ≤-，不可能为钝角，则，AB BC < C ∴1cos 2C ≥又，.0C >03C π∴<≤因此，角的取值范围是.C 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦故答案为：.0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查余弦定理的运用，考查解不等式，解题的关键是利用余弦定理构建方程，利用判别式得不等式，属于中等题.12．已知，存在实数，使得对任意，总成立，则的最小值是0θ>ϕn N *∈()cos cos8n πθϕ+<θ______．【答案】27π【分析】作出单位圆，根据终边位置可得；结合，即可求得最n θϕ+4πθ>2N πθ*∈()2k N k πθ*=∈小值.【详解】作出单位圆如图所示，由题意知：的终边需落在图中阴影部分区域，n θϕ+，即，()()188n n ππθϕθϕθ⎛⎫∴++-+=>--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭4πθ>对任意，总成立，，即，n N *∈()cos cos 8n πθϕ+<2N πθ*∴∈()2k N k πθ*=∈又，，.4πθ>1,2,3,4,5,6,7k ∴=min 27πθ∴=故答案为：.27π【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数中的恒成立问题的求解，解题关键是能够根据三角函数定义，结合单位圆，确定角的终边的位置，进而利用位置关系构造不等式求得所求变量所满足的范围.二、单选题13．下列命题中，正确的是（ ）A ．第二象限角大于第一象限角；B ．若是角终边上一点，则()(),20P a a a ≠αsin α=C．若，则、的终边相同；sin sin αβ=αβD ．．tan x =ππ,Z 3x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭【答案】D【分析】取特例可判断AC ，根据三角函数的定义判断B ，利用周期解出三角方程的解集判断D.【详解】因为象限角不能比较大小，如是第二象限角，是第一象限角，故A 错误；100α=︒400β=︒因为是角终边上一点，所以，()(),20P a a a ≠α|r a==所以B 错误；sin α==当时，满足，但、的终边不相同，故C 错误；π2π,33αβ==sin sin αβ=αβ当上的解为，故在定义域上的解为，tan x =ππ(,)22-π3-ππ,Z 3x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭故D 正确.故选：D14．化简 ）A ．B ．C ．D ．2sin 22sin 2-2sin 24cos 2-2sin 24cos2-+【答案】C【分析】根据正弦、余弦的二倍角公式即可求解．【详解】又2sin 2cos 22cos 2==-+因为，所以，即原式22ππ<<sin 20,cos 20><2sin 24cos 2=- 故选C【点睛】本题考查正弦、余弦的二倍角公式，属于基础题．15．中，设，则的形状为（ ）ABC 21cos cos cos 2CA B -=ABC A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形【答案】C 【分析】先将降幂扩角,再将利用诱导公式换成,再利用和角公式展开即可2cos 2Ccos C ()cos A B -+得出结论.【详解】由得21cos cos cos 2C A B -=1cos 1cos cos 2CA B +-=整理得,因为,12cos cos cos A B C -=πA B C ++=所以()()cos cos πcos cos cos sin sin C A B A B A B A B=-+=-+=-+⎡⎤⎣⎦所以12cos cos cos cos sin sin A B A B A B -=-+所以()1cos cos sin sin cos A B A B A B =+=-又因为,所以,即.(),0,πA B ∈0A B -=A B =所以为等腰三角形.ABC 故选:C.16．设a ，，，若对任意实数x 都有，则满足条件的有R b ∈[)0,2πc ∈()π2sin 3sin 3x a bx c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭序实数组的组数为（ ）()a b c ，，A ．1组；B ．2组；C ．4组；D ．无数组．【答案】C【分析】由题意得出，，然后对、的取值进行分类讨论，结合题中等式求出的值，3b =2=a a b c 即可得出正确选项.【详解】由题意知，函数与函数的最大值相等，最小值也相等，2sin 3π3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()sin y a bx c =+则，2=a 函数与函数的最小正周期相等，则，2sin 3π3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()sin y a bx c =+3b =当，时，由于，则，2a =3b =()2sin 32sin 33πx x c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭()π2πZ 3c k k =-+∈由于，此时，；02πc ≤<5π3c =当，时，，2a =3b =-()()2sin 32sin 32sin 33πx x c x c π⎛⎫-=-+=-+ ⎪⎝⎭则，得，，此时，；()ππ2πZ 3c k k -=-∈()4π2πZ 3c k k =-∈02πc ≤< 4π3c =当，时，，2a =-3b =()()2sin 32sin 32sin 33πx x c x c π⎛⎫-=-+=++ ⎪⎝⎭则，得，，则；()ππ2πZ 3c k k +=-∈()()213c k k Z ππ=--∈02c π≤< 23c π=当，时，，2a =-3b =-()()π2sin 32sin 32sin 33x x c x c ⎛⎫-=--+=- ⎪⎝⎭则，得，，则.()π2πZ 3c k k -=-∈()π2πZ 3c k k =-∈02πc ≤< π3c =因此，满足条件的有序实数组的组数为组.()a b c ，，4故选：C ．三、解答题17．已知，，都是锐角，求的值．cos αsin βαβαβ+【答案】π4αβ+=【分析】利用同角三角函数的基本关系求得，的值，再利用两角和的余弦公式求出sin αcos β的值，可得的值.()cos αβ+αβ+【详解】因为，cos α=sin β=αβ所以sin α==cos β==所以()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-==因，为都是锐角，所以，．所以，αβπ02α<<π02β<<0παβ<+<所以．π4αβ+=18．证明：()sin 211tan 1sin 2cos 212θθθθ+=+++【答案】证明见解析【分析】根据二倍角公式以及同角三角函数之间的基本关系即可得出证明.【详解】证明：由二倍角公式以及可得，22sin 22sin cos cos 2cos sin θθθθθθ==-，22sin cos 1θθ+=222sin 212sin cos sin cos sin 2cos 212sin cos 2cos θθθθθθθθθθ+++=+++()()2sin cos sin cos 2cos sin cos 2cos θθθθθθθθ++==+1sin cos 2cos cos θθθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()1tan 12θ=+得证．19．设点P 是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置出发，沿单位圆按顺时()01,0P 针方向转动角后到达点，然后继续沿着单位圆按顺时针方向转动角到达点，若π02αα⎛⎫<< ⎪⎝⎭1P π32P点的纵坐标为，求点的坐标．2P 35-1P【答案】【分析】由三角函数的定义可得，利用两角差的正弦、余弦公式可求得、π3sin 35α⎛⎫--=-⎪⎝⎭sin α的值，即可得出点的坐标.cos α1P 【详解】由三角函数的定义可知，点的纵坐标为，即，2P π3sin 35α⎛⎫--=-⎪⎝⎭π3sin 35α⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭故．因为，则，π3sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π02α<<ππ5π336α<+<若，不符合题意；πππ332α<+<πsin 13α⎛⎫<+< ⎪⎝⎭若，则，符合题意．ππ5π236α≤+<1πsin 123α⎛⎫<+≤⎪⎝⎭故．所以．ππ5π236α≤+<π4cos 35α⎛⎫+==-⎪⎝⎭所以ππ1ππcos cos cos 33233αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．ππ1ππsin sin sin 33233αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦而()cos cos αα-==()sinsin αα-=-=所以点的坐标为．1P 20．在中，角A ，B ，C 对应边为a ，b ，c ，其中．ABC 2b =(1)若，且，求边长c ；120A C +=︒2a c =(2)若，求的面积．15,sin A C a A =︒-=ABC ABC S 【答案】(2)3【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得.c （2）利用正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式求得正确答案.【详解】（1）依题意，，2a c =由正弦定理得，即，sin 2sin A C =()sin 1202sin C C︒-=，1sin 2sin ,tan 2C C C C +==由于，所以，则，0120C ︒<<︒30C =︒90,60A B =︒=︒由正弦定理得.sin ,sin sin sin c b b Cc C B B====（2）依题意，，sin a A =由正弦定理得，sin sin A C A =由于，，所以，15180A ︒<<︒sin 0A>sin C =由于，所以为锐角，所以，150A C -=︒>C 45C =︒则，60,75A B =︒=︒()sin 75sin 4530sin 45cos30cos 45sin 30︒=︒+︒=︒︒+︒︒=由正弦定理得，sin ,sin sin sin c b b Cc C B B====)21==所以.)11sin 221322ABC S bc A ==⨯⨯=△21．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市（如图）的东偏南O 方向300千米的海面处，并以20千米/时的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭(cos θθ=P的范围为圆形区域，当前半径为60千米，并以10千米/时的速度不断增大，问几个小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？【答案】12小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风的侵袭的时间有12小时.【分析】设经过小时台风中心移动到点时，台风边沿恰好在城，由题意得，t Q O，在中，300,20,r()6010OP PQ t OQ t t ====+cos 45a θθ==-︒4sin 5a θ==POQ ∆由余弦定理得：.2222cos OQ OP PQ OP PQ a =+-⋅【详解】解：设经过小时台风中心移动到点时，台风边沿恰好在城，t Q O 由题意得，300,20,r()6010OP PQ t OQ t t====+cos 45a θθ==-︒4sin 5a θ∴==由余弦定理得：2222cos OQ OP PQ OP PQ a=+-⋅即2224(6010)300(20)230020t 5t t +=+-⨯⨯⨯即2362880t t -+=解得，1212,24t t ==2112t t -=答：12小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风的侵袭的时间有12小时.【点睛】本题主要考查了余弦定理在实际生活中的应用，需熟记定理内容，属于基础题.。
高一年级数学下学期第一次月考
高一年级数学下学期第一次月考数学试题（任意角的三角函数）命题：尤师勋 王照阳本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的）1、下列四个角中，①5-、②π37、③π511-④︒1206其中是第一象限角的个数是（ ） A 、1个 B 、 2个 C 、3个 D 、4个2、在︒︒360~0之间与︒-35终边相同的角是（ ）A 、︒325B 、︒-125C 、︒35D 、︒2353、tan600︒的值是（ ）A 、3-B 、3C 、 D4、下列命题中的真命题是（ ）A 、三角形的内角是第一象限角或第二象限角B 、第一象限的角是锐角C ．第二象限的角比第一象限的角大D 、角α是第四象限角的充分条件是παππk k 222<<-)(z k ∈ 5、已知α为第一象限角，则2α的终边所在的象限是（ ） A 、第一或第二象限 B 、第二或第三象限C 、第一或第三象限D 、第二或第四象限6、若角α的终边过点)30cos ,30(sin ︒-︒，则αsin 等于（ ）A 、12B 、-12C 、-2D 、-37、若sin cos αα+=1tan tan αα+的值为（ ） A 、1 B 、2 C 、1- D 、2-8、在ABC ∆中，“30A >︒”是“1sin 2A >”的 ( ) A 、仅充分条件 B 、仅必要条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件9、若sin cos 1(,)2k k Z πθ=-≠∈，则θ所在象限是（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 10、下列说法正确的是（ ）A 、 对任意角α，如果α终边上一点坐标为()y x ,，都有x y =αtan B 、设()y x P ,是角α终边上一点，因为 ry =αsin ，所以αsin 与y 成正比 C 、负角的三角函数值是负的；零的三角函数值是零；正角的三角函数值是正的D 、对任意象限的角α，均有|cot tan ||cot ||tan |αααα+=+成立11、满足)()(),()(x f x f x f x f =--=+π的函数)(x f 可能是（ ）A 、x 2cosB 、x sinC 、2sin x D 、x cos 12、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）A 、2B 、1sin 2C 、1sin 2D 、2sin第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上.）13. 函数()x x f cos -=的定义域是14、“等式()βγα2sin sin =+成立”是“γβα,,成等差数列”的________条件15、若20πα<<，则αααt a n s i n 、、按从小到大的顺序排列是_______(用不等式连接)16、已知51cos sin =+θθ， ),0(πθ∈，则θcot 的值为________三、解答题：（本大题共6小题70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17、（本题满分10分）化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+，其中α为第四象限角.18、（本题满分12分）若点()y P ,3-()0>y 在α的终边上，且y 42sin =α，求ααtan ,cos 的值.19、（本题满分12分）已知53cos -=θ, 求θsin , θtan 的值?20．（本题满分12分）扇形的弧长为320π，面积为10π，求此扇形所在圆的半径.21、（本题满分12分）已知2tan 1tan 1=-+αα，求下列各式的值 （1）ααααcos sin 2cos 2sin -- （2）sin αcos α + 222、（本题满分12分）已知6sin α2+sin αcos α-2cos 2α=0，α⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈ππ,2 , 求αααππαtan )cos()2sin()cot(⋅-+⋅--的值.。
高一数学第二学期第一次月考试卷
一数学第二学期第一次月考试卷一、选择题：1．若数列{a n }的通项公式是a n =2(n ＋1)＋3，则此数列 ( )(A)是公差为2的等差数列 (B)是公差为3的等差数列(C) 是公差为5的等差数列 (D)不是等差数列2．等差数列{a n }中，若a 2+a 4+a 9+a 11=32，则a 6+a 7= ( )（A ）9 （B ）12 （C ）15 （D ）163．在数列{a n }中，21=a ，1221+=+n n a a ，则101a 的值为 （ ） （A ）49 （B ）50 （C ）51 (D)524．已知△ABC 三边满足ab c b a c b a =-+⋅++)()(，则角C 的度数为（ ）（A ）60o （B ）90o （C ）120o (D) 150o5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知A=3π ,3=a ，1=b ,则=c （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）13- （D ）3 6． 已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）27．设｛a n ｝是由正数组成的等比数列，且a 5a 6=81，log 3a 1+ log 3a 2+…+ log 3a 10的值是 （ ）（A ）5 （B ）10 （C ）20 （D ）2或48．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 ( )(A) (B) (C)(D) 9．数列2211,12,122,,1222,n -+++++++的前99项和为 （ ） （A ）1002101- （B ） 992101-（C ）100299- （D ） 99299-10．一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）二、填空题：11．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7=35，则a 4= ．12． △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知A=6π ,334=a ，4=b ,则角B= ． 13．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且c=2a ，则cosB= ．14．在钝角△ABC 中，已知1=a ，2=b ，则最大边c 的取值范围是 ．15．设等比数列{n a }的公比为q ，前n 项和为n S ，若1+n S ，n S ，2+n S 成等差数列，则q 的值为 ．16．等比数列的前ｎ项的和13+⋅=n n k S ，则ｋ的值为__________．17．在数列{a n }中，若11=a ，)1(321≥+=+n a a n n ，则此数列的通项公式为 ．ｏ 1 1 ｘ ｙ ｏ 1 1 ｘ ｙ ｏ 1 1 ｘ ｙ ｏ 1 1 ｘ ｙ。
2023-2024学年安徽省合肥市高一下学期第一次月考质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年安徽省合肥市高一下册第一次月考数学试题一、单选题1．下列五个结论：①温度有零上和零下之分，所以温度是向量；②向量a b ≠ ，则a 与b的方向必不相同；③a b > ，则a b > ；④向量a 是单位向量，向量b 也是单位向量，则向量a 与向量b共线；⑤方向为北偏西50︒的向量与方向为东偏南40︒的向量一定是平行向量．其中正确的有（）A ．①⑤B ．④C ．⑤D ．②④【正确答案】C【分析】根据向量的定义即可判断①；根据不相等向量的定义即可判断②；根据向量不能比较大小即可判断③；根据共线向量的定义即可判断④⑤.【详解】温度虽有大小却无方向，故不是向量，故①错；a b ≠ ，但a 与b的方向可以相同，故②错；向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，故③错；单位向量只要求长度等于1个单位长度，但方向未确定，故④错；如图，作出这两个向量，则方向为北偏西50︒的向量与方向为东偏南40︒的向量方向相反，所以这两个向量一定是平行向量，故⑤正确．故选：C.2．若在△ABC 中，AB a =，BC b = ，且||||1a b == ，||a b += ABC 的形状是（）A ．正三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．等腰直角三角形【正确答案】D【分析】利用向量加法的几何意义和模长之间的关系即可判定其为等腰直角三角形.【详解】由于||||1AB a == ，||||1BC b == ，||||AC a b =+则222||a b a b +=+ ，即222||||AB BC AC += ，所以△ABC 为等腰直角三角形．故选：D ．3．已知a ，b 均为单位向量，(2)(2)2a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为（）A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°【正确答案】A【分析】根据(2)(2)2a b a b +⋅-=-，求得a b ⋅=r r ，再利用向量夹角公式即可求解.【详解】因为22(2)(2)232232a b a b a a b b a b +⋅-=-⋅-=-⋅-=-，所以2a b ⋅=r r ．设a与b 的夹角为θ，则cos .2||||a b a b θ⋅==又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝30°．故选：A.4．如果用,i j 分别表示x 轴和y 轴正方向上的单位向量，且()()2,3,4,2A B ，则AB可以表示为（）A ．23i j+ B ．42i j + C ．2i j - D ．2i j-+ 【正确答案】C【分析】先根据向量的坐标表示求出AB，再根据正交分解即可得解.【详解】因为()()2,3,4,2A B ，所以()2,1AB =-，所以2AB i j =- .故选：C.5．设平面向量()1,2a =r ，()2,b y =- ，若a b∥，则3a b + 等于（）A B C D【正确答案】A【分析】由两向量平行得出b坐标中的y ，即可求出3a b + 的值.【详解】由题意，∵()1,2a =r ，()2,b y =- ，a b∥，∴()1220y ⨯⨯--=，解得4y =-，∴()2,4b =--∴()()()33,62,41,2a b +=+--=== 故选：A.6．已知向量(2,3)u x =+ ，(,1)v x = ，当()f x u v =⋅取得最小值时，x 的值为（）A ．0B ．1-C ．2D ．1【正确答案】B【分析】直接利用向量数量积的坐标化运算得到2()(1)2f x x =++，利用二次函数性质得到其最值.【详解】22()(2)323(1)2f x u v x x x x x =⋅=++=++=++，故当=1x -时，f (x )取得最小值2．故选：B.7．在如图所示的半圆中，AB 为直径，点O 为圆心，C 为半圆上一点，且30OCB ∠=︒，2AB = ，则AC等于（）A ．1B CD ．2【正确答案】A【分析】根据OC OB =，可得30ABC OCB ∠=∠=︒，进一步得出答案.【详解】如图，连接AC ，由OC OB =，得30ABC OCB ∠=∠=︒.因为C 为半圆上的点，所以90ACB ∠=︒，所以112AC AB ==．故选：A.8．如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM = ，AC nAN =，则m n +=（）A ．1B ．32C ．2D ．3【正确答案】C【分析】连接AO ，因为O 为BC 中点，可由平行四边形法则得1()2AO AB AC =+ ，再将其用AM，AN 表示.由M 、O 、N 三点共线可知，其表达式中的系数和122m n+=，即可求出m n +的值.【详解】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m n AO AB AC AM AN =+=+ ，M 、O 、N 三点共线，122m n∴+=，2m n ∴+=.故选：C.本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.二、多选题9．在平面直角坐标系中，若点A (2，3)，B (-3，4)，如图所示，x 轴、y 轴同方向上的两个单位向量分别为i 和j，则下列说法正确的是（）A ．23OA i j=+ B ．34O i j B =+ C ．5AB i j =-+ D ．5BA i j=+ 【正确答案】AC【分析】根据图象，由平面向量的坐标运算求解.【详解】解：由图知，23OA i j =+ ，34OB i j =-+，故A 正确，B 不正确；5AB OB OA i j =-=-+ ，5A A i j B B =-=-，故C 正确，D 不正确．故选：AC10．在ABC 中，若3330b c B ===︒，，，则a 的值可以为（）A 3B ．23C ．33D ．43【正确答案】AB【分析】根据余弦定理，直接计算求值.【详解】根据2222cos b a c ac B =+-，得2339232a a =+-⨯⨯，即23360a a -+=，解得：3a =23a =故选：AB11．如图，在海岸上有两个观测点C ，D ，C 在D 的正西方向，距离为2km ，在某天10:00观察到某航船在A 处，此时测得∠ADC=30°，5分钟后该船行驶至B 处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，则（）A ．当天10:00时，该船位于观测点C 的北偏西15°方向B ．当天10:00时，该船距离观测点2C ．当船行驶至B 处时，该船距观测点2D ．该船在由A 行驶至B 的这5min 6km【正确答案】ABD【分析】利用方位角的概念判断A ，利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD ．【详解】A 选项中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，因为C 在D 的正西方向，所以A 在C 的北偏西15°方向，故A 正确.B 选项中，在△ACD 中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，则∠CAD=45°.由正弦定理，得AC=sin sin CD ADCCAD∠∠=，故B 正确.C 选项中，在△BCD 中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠CBD=45°，则BD=CD=2，于是BC=C 不正确.D 选项中，在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2=AC 2+BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB=2+8－212=6，即，故D 正确.故选：ABD ．12．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a c ≠，tan B =ABC 的面积为则2b a c-可能取到的值为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】AC由tan B =sin 3B =，再利用ABC 的面积为6ac =，再利用余弦定理可得22()8b a c =-+，然后代入2||b ac -中利用基本不等式可求得其最小值.【详解】解：tan B = 1cos 3B ∴=，sin 3B =，又1sin 2==S ac B 6ac ∴=，由余弦定理可得2222222cos 4()8=+-=+-=-+b a c ac B a c a c ，22()88||||||||-+∴==-+≥---b a c a c a c a c a c ，当且仅8||||-=-a c a c 等号成立，故2b a c-的最小值为AC 选项．故选：AC.关键点睛：本题考查余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是根据面积得出6ac =，再利用余弦定理得出22()8b a c =-+，结合基本不等式求解.三、填空题13．已知点()1,5A --和向量()2,3a =r，若3AB a =，则点B 的坐标为________．【正确答案】()5,4【分析】根据向量线性运算的坐标表示，由OA AB OB =+求向量OB 的坐标，由此可得点B 的坐标.【详解】设O 为坐标原点，因为()1,5OA =--，()36,9AB a == ，故()5,4O A B OA B =+=，故点B 的坐标为()5,4．故答案为.()5,414．若向量()()(),3,1,4,2,1a k b c === ，已知23a b - 与c的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．【正确答案】99,,322⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】根据23a b - 与c 的夹角为钝角，由()230a b c -⋅< ，且23a b - 与c 的不共线求解.【详解】解：由()(),3,1,4a k b == ，得()2323,6a b k -=--．又23a b - 与c的夹角为钝角，∴()22360k --<，得3k <，若()23//a b c - ，则2312k -=-，即92k =-．当92k =-时，23a b - 与c 共线且反向，不合题意．综上，k 的取值范围为99,,322⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故99,,322⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．15．如图，设P 为ABC 内一点，且202PA PB PC ++=，则:ABP ABC S S =△△________．【正确答案】15##0.2【分析】设AB 的中点是D ，连接PD ，根据平面向量线性运算法则，得到14P C D P =-，即可得到面积比.【详解】设AB 的中点是D ，连接PD ，由202PA PB PC ++= ，可得12PA PB PC +=-，因为122PA PB PD PC +==- ，所以14P C D P =- ，所以P 为CD 的五等分点（靠近D 点），即15P D D C =，所以ABP 的面积为ABC 的面积的15．故答案为.1516．在ABC 中，3a =60A = ，求32b c +的最大值_________.【正确答案】219由正弦定理得2sin b B =，2sin c C =.代入，进行三角恒等变换可得326sin 4sin b c B C +=+219)B ϕ=+，由此可求得最大值.【详解】解：由正弦定理32sin sin sin 32ab cA B C ===，得2sin b B =，2sin c C =.326sin 4sin b c B C+=+()316sin 4sin 1206sin 4sin 22B B B B B ⎫=+︒-=++⎪⎪⎝⎭6sin 32sin B B B=++8sin)B B Bϕ=+=+)Bϕ=+，其中tan4ϕ=，所以max(32)b c+=故答案为.本题考查运用正弦定理解三角形，边角互化求关于边的最值，属于较难题.四、解答题17．已知向量12a e e=-，1243b e e=+，其中()()121,0,0,1e e==．(1)试计算a b⋅及a b+的值；(2)求向量a 与b 夹角的余弦值．【正确答案】(1)1a b⋅=，a b+(2)10【分析】（1）利用平面向量的数量积运算求解；（2）利用平面向量的夹角公式求解.【详解】（1）解：()()()1,00,11,1a=-=-，()()()41,030,14,3b=+=，∴()41311a b⋅=⨯+⨯-=，a b+（2）设a b，的夹角为θ，由cosa b a bθ⋅=⋅⋅，cos a ba bθ⋅=⋅．18．有一艘在静水中速度大小为10km/h的船，现船沿与河岸成60︒角的方向向河的上游行驶．由于受水流的影响，结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸．设河的两岸平行，河水流速均匀．(1)设船相对于河岸和静水的速度分别为,u v，河水的流速为w，求,,u v w之间的关系式；(2)求这条河河水的流速．【正确答案】(1)u w v=+(2)河水的流速为5km/h，方向顺着河岸向下【分析】（1）根据题意可得v与u的夹角为30︒，则,,u v w三条有向线段构成一个直角三角形，其中,,O O O v u A BC w B C ====，再根据向量的加法法则即可得解；（2）结合图象，求出BC uu u r即可.【详解】（1）如图，u 是垂直到达河对岸方向的速度，v是与河岸成60︒角的静水中的船速，则v 与u的夹角为30︒，由题意知，,,u v w三条有向线段构成一个直角三角形，其中,,O O O v u A BC w B C ==== ，由向量加法的三角形法则知，OC OA OB =+，即u w v =+ ；（2）因为10km /h OB v == ，而1sin 30105km /h 2BC OB =︒=⨯= ，所以这条河河水的流速为5km /h ，方向顺着河岸向下．19．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A cos B ．若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．【正确答案】ac ＝【分析】由b sin Acos B 边化角求得B ，由sin C ＝2sin A 得c ＝2a ，再结合余弦定理即可求解.【详解】因为b sin Acos B ．所以由正弦定理，得sin sin cos .B A A B =sin 0,sin cos A B B ≠∴ ，即tan B =π0π,=3B B <<∴ ∵sinC ＝2sin A ，∴由正弦定理，得c ＝2a ，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即9＝a 2＋4a 2－2a ·2a cosπ3，解得a c ＝2a ＝20．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,,cos 4210CAD AC ADB π∠==∠=-.（1）求sin C ∠的值；（2）若5BD =，求ABD ∆的面积.【正确答案】（1）45；（2）7.【详解】试题分析：（1）先由2cos 10ADB ∠=得出72sin 10ADB ∠=sin sin 4C ADB π⎛⎫∠=∠- ⎪⎝⎭展开，代入求值即可；（2）由正弦定理sin sin AD AC C ADC =∠∠得到AD 的值，再利用三角形面积公式即可.试题解析：（1）因为2cos 10ADB ∠=，所以2sin 10ADB ∠=.又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-.所以722224sin sin sin cos cos sin 4441021025C ADB ADB ADB πππ⎛⎫∠=∠-=∠⋅-∠⋅=⨯+⨯= ⎪⎝⎭.（2）在ACD ∆中，由sin sin AD AC C ADC=∠∠，得74sin 2522sin 7102AC C AD ADC ⨯⋅∠==∠所以1172sin 22572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⨯=.1、两角差的正弦余弦公式；2、正弦定理及三角形面积公式.21．设两个向量,a b 满足()132,0,22a b ⎛== ⎝⎭，(1)求a b + 方向的单位向量；(2)若向量27ta b + 与向量a tb + 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．【正确答案】(1)57211414⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭(2)17,222⎛⎫⎛⎫-⋃-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）根据()12,0,,22a b ⎛== ⎝⎭，求得a b + 的坐标和模后求解；（2）根据向量27ta b + 与向量a tb + 的夹角为钝角，由()()270ta b a tb ++< ，且向量27ta b + 不与向量a tb + 反向共线求解.【详解】（1）由已知()152,0,,2222a b ⎛⎛+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b +=所以14a b +=⎪⎭，即a b +方向的单位向量为1414⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）由已知1a b ⋅= ，2,1a b == ，所以()()()22222722772157ta b a tb ta t a b tb t t +⋅+=++⋅+=++ ，因为向量27ta b + 与向量a tb + 的夹角为钝角，所以()()270ta b a tb ++< ，且向量27ta b + 不与向量a tb + 反向共线，设()()270ta b k a tb k +=+< ，则27t k kt =⎧⎨=⎩，解得2t =-，从而2215702t t t ⎧++<⎪⎨≠-⎪⎩，解得17,,222t ⎛⎛⎫∈--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【正确答案】（1）4；（2）存在，且2a =.【分析】（1）由正弦定理可得出23c a =，结合已知条件求出a 的值，进一步可求得b 、c 的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sin B ，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C 为钝角，由cos 0C <结合三角形三边关系可求得整数a 的值.【详解】（1）因为2sin 3sin C A =，则()2223c a a =+=，则4a =，故5b =，6c =，2221cos 28a b c C ab +-==，所以，C 为锐角，则sin 8C ==，因此，11sin 4522ABC S ab C ==⨯⨯△（2）显然c b a >>，若ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===<++，解得13a -<<，则0<<3a ，由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，a Z ∈ ，故2a =.。
云南省红河哈尼族彝族自治州元阳县北大未名元阳实验高中2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试
云南省红河哈尼族彝族自治州元阳县北大未名元阳实验高中2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．设集合{|22}M x x =-<<，{0,1,2,3}N =，则M N ⋂=（ ）A ．{}1,2B ．{0,1}C ．{0,1,2}D ．{}22x x -<< 2．已知共轭复数1i z =-+，则复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设x 为实数，若向量(2,3)a =r ，(,6)b x =-r ，且//a b r r ，则x 的值为（ ）A ．92- B ．4 C ．4-D ．32 4．化简AB CA BC ++=u u u r u u u r u u u u u r （ ）A ．0B ．0rC ．AC u u u rD ．CA u u u r 5．在ABC V 中，D 是AB 的中点，则CD =u u u r （ ）A ．1122CA CB +u u u r u u u r B ．CA CB +u u u r u u u r C ．12CA CB +u u u r u u ur D ．12CA CB +u u ur u u u r6．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B =30︒，b =2c =，则C =（ ）A ．π4B ．π3π44或C ．3π4D ．π2π33或 7．如图所示，以直角梯形ABCD 的AD 所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，该几何体的表面积是（ ）A ．20πB ．16πC ．16π+D ．20π+8．在正三棱锥-P ABC 中，AB =正三棱锥-P ABC 的体积是则正三棱锥-P ABC外接球的表面积是（ ）A ．5πB ．15πC ．25πD ．35π二、多选题9．下列说法正确的是（ ）．A ．命题“3x ∀≥，2100x -≥”的否定是“03x ∃≥，02100x -<”B ．1x x+的最小值是2 C ．若0a b >>，则22a b >D ．πsin(2)3y x =+的最小正周期是π10．（多选）下列命题中的真命题是（ ）A ．若直线a 不在平面α内，则//a αB ．若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l αC ．若//l α，则直线l 与平面α内任何一条直线都没有公共点D ．平行于同一平面的两直线可以相交11．如图，在正方体1111-ABCD A B C D 中，M ，N 分别为棱111C D C C ，的中点，则以下四个结论中，正确的有（ ）A ．直线AM 与1CC 是相交直线B ．直线BN 与1MB 是异面直线C ． AM 与BN 平行D ．直线1A M 与BN 共面12．对于任意的平面向量,,a b c r r r ，下列说法错误的是（ ）A ．若//a b r r 且//b c r r ，则//a c r rB ．()·a b c a c b c +=⋅+⋅r r r r r r r C ．若a b a c ⋅=⋅r r r r ，且0a ≠r r ，则b c =r r D ．()()a b c a b c ⋅=⋅r r r r r r三、填空题13．已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+v v ．若a b ⊥r r ，则m =．14．已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则圆锥的侧面积为．15．向量a b r r ，的夹角为π3，且||1,||2a b ==r r ，则||a b -r r 等于． 16．已知复数z 满足43i 3z --=，当z 的实部取最大值时，z =．四、解答题17．解不等式或方程 (1)02x x ≤- (2)23830x x --=18．已知向量a r 与b r 的夹角为60°，||a r ＝1，)b =r ． (1)求||b r 及a b ⋅r r ； (2)求|2|a b -r r .19．已知函数()()()()log 3,log 3(0,1)a a f x x g x x a a =-=+>≠，记()()()F x f x g x =-．(1)求函数()F x 的定义域；(2)判断函数()F x 的奇偶性，并说明理由；20．已知函数()e x f x a x =+(0)a >.(1)判断()f x 的单调性，并证明；(2)当0x ≥时，不等式()f x ≥a 的取值范围. 21．如图，测量河对岸的塔高AB ，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 和D ．现测得45,75,100BCD BDC CD ∠=︒∠=︒=米，在点C 测得塔顶A 的仰角为60︒．△的面积；(1)求BCD(2)求塔高AB．。
高一数学第一次月考试卷
高一数学第一次月考试题时量：120分钟 总分：150分 姓名： 班级： 得分：一、 选择题（5×10=50分）1．集合},{b a 的子集有 （ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2． 设集合{}|43A x x =-<<，{}|2B x x =≤，则A B = （ ）A ．(4,3)-B ．(4,2]-C ．(,2]-∞D ．(,3)-∞3． 图中阴影部分所表示的集合是（ ）A.B ∩［CU(A ∪C)］B.(A ∪B) ∪(B ∪C)C.(A ∪C)∩(CUB)D.［CU(A ∩C)］∪B4．下列对应关系：（ ）①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根②,,A R B R ==f ：x x →的倒数③,,A R B R ==f ：22x x →-④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方其中是A 到B 的映射的是A ．①③B ．②④C ．③④D ．②③5. 已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离s 表示为时间t （小时）的函数表达式是（ ）A ．s=60tB ．s=60t+50tC ．s=D ．s= 6. 函数y=xx ++-1912是（ ） A ． 奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶数7.已知函数212x y x ⎧+=⎨-⎩(0)(0)x x ≤>，使函数值为5的x 的值是（ ） ⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150)5.20(,60t t t t t ⎩⎨⎧>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t tA ．-2B ．2或52-C ． 2或-2D ．2或-2或52- 8．下列函数中，定义域为[0，+∞）的函数是 （ ）A ．x y =B ．22x y -=C ．13+=x yD ．2)1(-=x y9．下列图象中表示函数图象的是 （ ）（A ） (B) (C ) (D)10. 若偶函数 f(x)在 上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A. B.C. D. 二、填空题（5×5=15分）11．已知f(x)是定义域为R 的偶函数,当x<0时, f(x)是增函数,若x 1<0,x 2>0,且12x x <,则1()f x 和2()f x 的大小关系是 ．12．已知集合M={(x ，y )|x ＋y =2}，N={(x ，y )|x －y =4}，那么集合M ∩N ＝ ．13．设集合A={23≤≤-x x },B={x 1212+≤≤-k x k },且A ⊇B ，则实数k 的取值范围是 .14. 设奇函数f （x ）的定义域为[-5,5]，若当 时，f(x)的图象如右图,则不等式f(x)<0的解是 .15．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在（-∞，0]上是减函数，若()(2)f a f ≥，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（共75分）16．集合A ＝｛x ｜x 2－ax ＋a 2－19＝0｝，B ＝｛x ｜x 2－5x ＋6＝0｝，C ＝｛x ｜x 2＋2x －8＝0｝．(12分) （Ⅰ）若A ＝B ，求a 的值；(6分)（Ⅱ）若∅A ∩B ，A ∩C ＝∅，求a 的值．（6分）x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 (]1,-∞-)2()1()23(f f f <-<-)2()23()1(f f f <-<-)23()1()2(-<-<f f f )1()23()2(-<-<f f f [0,5]x ∈17、设U={2,3，a 2+2a-3},A={b,2},U ⊇A ，C U A={5},求实数a 和b 的值。
高一下学期数学第一次月考试卷附带答案
高一下学期数学第一次月考试卷附带答案（满分150分 时间：120分钟）一.单选题。
（共8小题，每小题5分，共40分） 1.已知（1+i ）z=3－i ，其中i 为虚数单位，则|z |=（ ） A.5 B.√5 C.2 D.√22.已知复数z=1+2i1+i （i 为虚数单位），则z 的共轭复数z ̅在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.如图，正方形O’A’B’C’的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）A.4B.6C.8D.2+2√2（第3题图） （第4题图）4.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为（ ） A.2√33B.23C.√24D.135.设b ，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，下列命题正确的是（ ） A.若b ∥α，c ⊂α，则b ∥c B.若b ⊂α，b ∥c ，则c ⊂α C.若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β D.若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β6.已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，若过直线OP 的平面截圆锥所得的截面是面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）A.4√2πB.2√2πC.4πD.（4√2+4）π7.已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为4π5，则该圆锥的体积为（ ） A.62√213π B.32√6π C.16√6π D.32√213π8.已知在正方体中，AD 1，A 1D 交于点O ，则（ ）A.OB⊥平面ACC1A1B.OB⊥平面A1B1CDC.OB∥平面CD1B1D.OB⊥BC1二．多选题.（共4小题，每小题5分，共20分）9.已知复数z=3+4i，下列说法正确的是（）A.复数z的实部为3B.复数z的共轭复数为3－4iC.复数z的虚部为4iD.复数z的模为510.如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有（）A. B. C. D.11.如图，一个圆柱盒一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A.圆锥的侧面积为2πR2B.圆柱与球的表面积比为32C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱与球的体积比为32（第11题图）（第12题图）12.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF 以及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是（）A.AG⊥平面EFHB.AH⊥平面EFHC.HF⊥平面AEHD.HG⊥平面AEF二.填空题。
湖南省衡阳县第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题
结合 a 的范围，求得 a2 + 2b 的最小值，再取不同情况下最小值中的最小者.
【详解】
f
(x)
=
x
x
-
a
-b
=
ìx2 - ax - b, x ³ a íî-x2 + ax - b, x < a
，
①当 2
£
a
<
3 时，
f
(x)
=
-x2
+
ax
-b
，对称轴为
x
=
a 2
³1，
f (x) 在[0,1] 上单调递增，
h
(
x
)
=
g
æ çè
x
-
π65ö÷øπ+
g
æ çè
6
-
x
ö ÷ø
在
é êë
π5,π 66
ù úû
上的值域.
17．已知 x Î R ，我们定义函数 f ( x) 表示不小于 x 的最小整数，例如： f (π4) = ，
试卷第41 页，共33 页
f (-0.1) = 0 ．
(1)若 f ( x) = 2023 ，求实数 x 的取值范围；
对称
10．已知函数
f
(x)
=
é êë
x
+1ù 3 úû
-
é êë
xù 3 úû
（
xÎ
R
，其中 [ x ]
表示不大于
x
的最大整数），则
（）
A． f ( x) 是奇函数
B． f ( x) 是周期函数
C． f ( x) 在[0, 2) 上单调递增
2022-2023学年河北省石家庄市高一下学期第一次月考数学试题1【含答案】
2022-2023学年河北省石家庄市高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．（ ）PA BC BA +-=A ．B ．C ．D ．PB CP AC PC【答案】D【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可求解.【详解】根据向量的线性运算法则，可得.PA BC BA PA AC PC +-=+=故选：D.2．已知向量，不共线，向量，，且，则的值为（ ）1e 2e 12m e e λ=+ 12n e e λ=+ m n ∥λA ．1B ．C ．1或D ．21-1-【答案】C【分析】根据向量平行的定理可知，，即可列式求解.m n μ=【详解】因为，所以，//m n m n μ= ，所以，得，或，()121212e e e e e e λμλμλμ+=+=+1λμλμ=⎧⎨=⎩1λμ==1λμ==-故选：C3．在中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若，，则（ ）ABC a =12b =60B =︒A =A ．B ．或C ．D ．或30︒30︒150︒60︒60︒120︒【答案】A【分析】运用正弦定理求出，从而得到或，结合三角形大边对大角的性质即可得sin A 30A =︒150︒到.30A =︒【详解】因为，，，a =12b =60B =︒所以由正弦定理可得，sin 1sin 2a BA b===因为在中，，所以或．ABC 0180A <<︒︒30A =︒150︒又因为，所以，所以．b a >B A >30A =︒故选：A4．复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，若，i 为虚数单位，则（ ）12,z z 132i z =-2z =A ．B ．C ．D ．32i +32i--32i-+23i+【答案】B 【分析】根据在复平面内对应的点写出对应的点的坐标，求出答案.1z 2z 【详解】对应的点的坐标为，132i z =-()3,2-因为在复平面内对应的点关于虚轴对称，12,z z 所以对应的点的坐标为，2z ()3,2--故.23i2z =--故选：B.5．在中，已知向量与满足且为ABC AB AC 0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭ ||||BA BC BABC ⋅=ABC （ ）A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【答案】C【分析】根据表示方向上的单位向量，由条件得出的角平分线与BC 垂直，再根据向a aaBAC ∠量的数量积公式得.cos ABC ∠=【详解】因为，故的角平分线与BC 垂直，||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭BAC ∠即为以A 为顶点的等腰三角形，ABC 又B 为三角形内角，底角，cos ||||BA BC ABC BA BC ⋅=∠=45ABC ∠= 故为等腰直角三角形.ABC 故选：C6．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且，则下列结论ABC sin :sin :sin 3:4:5A B C =错误的是（ ）A ．B ．为直角三角形::3:4:5a b c =ABCC ．若，则外接圆半径为5D ．若P 为内一点，满足，4b =ABC ABC 20PA PB PC ++=则与的面积相等APB △BPC △【答案】C【分析】AB 选项，由正弦定理得到，并判断出三角形为直角三角形；C 选项，由正::3:4:5a b c =弦定理求解外接圆半径；D 选项，经过分析得到点在三角形的中线上，得到答案.P AC 【详解】A 选项，由正弦定理得，A 正确；sin :sin :sin ::3:4:5A B C a b c ==B 选项，由A 知，故，故为直角三角形，B 正确；::3:4:5a b c =222+=a b c ABC C 选项，由B 知，，因为，由正弦定理得，4sin 5B =4b =4254sin 5b R B ===故外接圆半径为，C 错误；ABC 52R =D 选项，取的中点，则，AC E 2PA PC PE +=因为，所以，20PA PB PC ++= PE PB =-即点在三角形的中线上，故与的面积相等，D 正确.P AC APB △BPC △故选：C 7．若向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）()1,2a =()2,6b =-a bA ．B ．C ．D ．14b - 14b 12b - 12b 【答案】A【分析】利用投影向量公式进行计算.【详解】向量在向量上的投影向量为.a b()()()()2221,22,61426a b b b b b⋅⋅-==-+-故选：A8．已知锐角中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若，ABC ()2cos coscos A B C B+=，则（ ）a =6bc =b c +=A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】C【分析】利用诱导公式、两角和的余弦公式化简已知条件，求得，利用余弦定理求得.A b c +【详解】∵，，()2cos cos cos A B C B+=πA B C ++=∴，，()2cos cos 2cos πA B A B B+--=()2cos cos 2cos A B A B B-+=∴．2sin sin A B B =∵为锐角三角形，∴，∴，∴．ABC sin 0B ≠sin A π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π3A =由余弦定理可得，∴，∴，222π2cos3ab c bc =+-2276b c =+-2213b c +=则．5b c +====故选：C二、多选题9．已知复数，则下列命题正确的是（）()1i 2iz -=A ．B ．复数的虚部为i1i z =+z C ．D ．复数z 的共轭复数在复平面上对应的点为||z =()1,1--【答案】CD【分析】AB 选项，根据复数的除法法则计算出，判断出AB 错误；C 选项，根据模长公1i z =-+式求出答案；D 选项，根据共轭复数的概念求解.【详解】A 选项，，故A 错误；()()()()2i 1i 2i i 1i 1i 1i 1i 1i z ⋅+===⋅+=-+--+B 选项，复数的虚部为，B 错误；z 1C ，C 正确；=D 选项，，故数z 的共轭复数在复平面上对应的点为，D 正确.1i z =--()1,1--故选：CD10．下列说法错误的是（ ）A ．若与是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上ABCD B ．若，则一定有使得a b ∥R λ∈a bλ=C ．若，且，则和在上的投影向量相等a b a c ⋅=⋅ 0a ≠b c a D ．若，则与的夹角为||||2||0a b a b a +=-=≠ a b + a b - 60︒【答案】ABD【分析】根据向量共线，数量积的几何意义，以及向量夹角和模的公式，即可判断选项.【详解】A. 若与是共线向量，则与方向相同或相反，点A ，B ，C ，D 不一定在同一AB CD AB CD 条直线上，故A 错误；B. 若，，时，不存在使得，故B 错误；a b ∥0b = 0a ≠ R λ∈a b λ=C.根据投影向量的定义和公式，可知C 正确；D.由，两边平方后得，且，两边平方后得，||||a b a b +=- 0a b ⋅= ||2||0a b a -=≠ ，，223b a =()()2222221cos ,244a b a b a b a a b a b a b a b a a+⋅---+-====-+-所以与的夹角为，故D 错误.a b + a b - 120故选：ABD11．如下图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，则以下说法正确的有（ ）A ．恒有成立()22222AC BD AB AD +=+B ．若，，则平行四边形ABCD 的面积为3AB=AO =4=AD C ．恒有成立22||||AB AD AO BO ⋅=- D ．若，，则3DO =10AC =16AB BC ⋅=-【答案】ABC【分析】利用向量的数量积公式可判定A 、C 、D 选项，结合三角形面积公式可判定B 项.【详解】设，以其为基底，，,AB a AD b == ,AC a b DB a b =+=-则，()()()22222222222AC BD a b A a b bB A a D ++=+=+-+= 故A 正确；由，22223716cos ,24242a b a b a b AO a b a b ⎛⎫++⋅==+=⇒⋅=⇒= ⎪⎝⎭所以，，60BAD ∠=2sin ABCD ABD S S AB AD BAD ==⋅⋅∠=故B 正确；，()()222222,422AC BD ab AB AD AO B a O a b b+⎛⎫⎛⎫=⋅∴-=⋅=- +-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故C 正确；由C 项可得，2222162AC AO DO AB AD DO AB BC ⎛⎫-=⋅=-==⋅ ⎪⎝⎭ 故D 错误.故选：ABC12．已知中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且，则下ABC (sin sin )sin sin a A B c C b B -=-列说法正确的是（ ）A ．π6C =B ．若c 的最小值为2ABC C ．若，则的周长的最大值为62c =ABCD ．若，有且仅有一个3b =c =ABC 【答案】BC【分析】由正、余弦定理及已知得，再根据选项综合应用正、余弦定理和三角形面积公式求π3C =解．【详解】∵，()sin sin sin sin a A B c C b B-=-∴由正弦定理可得，即，22()a a b c b -=-222a b c ab +-=对于A 选项，由余弦定理可得，2221cos 22a b c C ab +-==∵，∴，故A 错误；0πC <<π3C =对于B 选项，由题可知∴，1sin 2ab C ==4ab =由余弦定理可得，222222cos 24c a b ab C a b ab ab ab ab =+-=+-≥-==∴，当且仅当时等号成立，故c 的最小值为2，故B 正确；2c ≥2a b ==对于C 选项，，()2222222cos 34c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-=因为，所以，所以，当时等号成立，()24a b ab +≤()244a b +≤4a b +≤a b =因为，所以，则的周长的最大值为6，故C 正确；2c =26a b c <++≤ABC 对于D 选项，由余弦定理可得，即，，2222cos c a b ab C =+-2893a a =+-2310a a -+=解得，则满足条件的有2个，故D错误．a =ABC 故选：BC ．三、填空题13．已知点，，则与向量同方向的单位向量为_______．()1,1M -()3,2N -MN 【答案】43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】计算出，求出即为答案.()4,3MN =-MN MN【详解】，()()()3,21,14,3MN =---=-5=则与向量同方向的单位向量为.MN 43,55MN MN⎛⎫=- ⎪⎝⎭故答案为：.43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭14．如图，在矩形ABCD 中，，E 为AB的中点，F 是BC 边上靠近点B 的三等分点，36BC AB ==AF 与DE 于点G ，则的余弦值为_______．EGF ∠【答案】【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，为的夹角，利用向量夹角的余弦公EGF ∠,AF DE式求出答案.【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，A AB AD ,x y则，()()()()()0,0,2,0,1,0,2,2,0,6A B E F D ，，，()2,2AF =()1,6DE =-()()2,21,621210AF DE ⋅=⋅-=-=-为的夹角，EGF ∠,AF DE，==cosAF DE EGF AF DE ⋅∠===⋅ 故答案为：15．如图，照片中的建筑是某校的学生新宿舍楼，学生李明想要测量宿舍楼的高度.为此他进行MN 了如下测量：首先选定观测点A 和B ，测得A，B 两点之间的距离为33米，然后在观测点A处测得仰角，进而测得，.根据李明同学测得的数据，该宿舍楼30MAN ∠=︒105MAB ∠=︒45MBA ∠=︒的高度为___________米.【答案】【分析】先在中利用正弦定理求出，再在中求解即可.ABM AM =Rt AMN 【详解】在中，因为，，ABM 105MAB ∠=︒45MBA ∠=︒所以，又，所以，30AMB ∠=︒33AB =sin sin AB AMAMB MBA ∠∠=即，解得；sin30sin4533AM=AM =在中，因为，，Rt AMN 30MAN ∠=︒AM =所以，tan30MN AM =⋅=即该宿舍楼的高度为米.故答案为：.16．点P 是正方形外接圆圆O 上的动点，正方形的边长为2，则的取值ABCD 2OP OB OP OC ⋅+⋅范围是________．【答案】[-【分析】根据题意求出圆的半径，建立如图平面直角坐标系，设，xOy )P θθ，利用平面向量线性运算和数量积的坐标表示可得，[]0,2πθ∈2OP OB OP OC ⋅+⋅=)ϕθ-结合三角函数的有界性即可求解.【详解】由题意知，圆O =建立如图平面直角坐标系，，xOy (1,1),(1,1)C B -得，(1,1),(1,1)OC OB ==-设，，则，)P θθ[]0,2πθ∈)OP θθ=所以2)OP OB OP OC θθθθ⋅+⋅=，其中，)θθϕθ==-tan 3ϕ=又，所以，02πϕθ≤-≤1sin()1ϕθ-≤-≤则，2OP OB OP OC ⋅+⋅=)[ϕθ-∈-即的取值范围为.2OP OB OP OC ⋅+⋅ [-故答案为：.[-四、解答题17．当实数m 取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条()()225632iz m m m m =-++-+件：(1)是纯虚数；(2)位于直线上；2y x =【答案】(1)3m =(2)或2m =5m =【分析】（1）根据复数的特征，列方程组求解；（2）根据点在直线列方程求解；2y x =【详解】（1）由已知得，解得，22560320m m m m ⎧-+=⎨-+≠⎩3m =即时，复平面内表示复数是纯虚数；3m =z （2）由已知得，()2232256m m m m -+=-+解得或，2m =5m =即或时，复平面内表示复数的点位于直线上；2m =5m =z 2y x =18．已知，为单位向量，且，的夹角为120°，向量，．1e 2e 1e 2e 122a e e =+ 21b e e =- (1)求；a b ⋅ (2)求与的夹角．a b【答案】(1)32-(2)23π【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算律求解；（2）先求得，再利用夹角公式求解.a b ，cos a b a b θ⋅=⋅ 【详解】（1）解：∵，为单位向量，且，的夹角为120°，1e 2e 1e 2e ∴．12111cos1202e e ⋅=⨯⨯︒=- ∴．()()1221122113222112122a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=⋅-+-⋅=--++=- （2）设与的夹角为．a b θ∵a ====b ====∴．31cos 22a b a b θ⋅==-=-⋅ 又∵，[]0,θπ∈∴，23πθ=∴与的夹角为．a b 23π19．已知a，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，．ABC cos sin 0a C C b c --=(1)求角A ；(2)若为锐角三角形，求的取值范围．ABC cos cos B C +【答案】(1)π3(2)⎤⎥⎦【分析】（1）由正弦定理及，利用辅助角公式sin sin cos cos sin B A C A C =+cos 1A A -=得到，结合求出答案；π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()0,πA ∈（2）利用及化简得到，根据三角形为锐角三角()cos cos B A C =-+π3A =πcos cos sin 6B C C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭形得到，从而得到的取值范围.π2π,63C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos cos B C +【详解】（1）由正弦定理得，sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=因为，()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，sin cos sin sin 0A C A C C --=因为，所以，()0,πC ∈sin 0C ≠，即，，cos 1A A -=π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为，所以，()0,πA ∈ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭故，解得；ππ66A -=π3A =（2），()1cos cos sin sin cos cos cos2B A C A C A C C C =-+=-=-故，1πcos cos cos sin 26B C C C C ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭因为为锐角三角形，所以，且，ABC π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为，即，解得，π2ππ33B C C =--=-2ππ0,32C ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭π2π,63C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，，，ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ2π,633C ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭πsin 6C ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦故.πcos cos sin 6B C C ⎤⎛⎫+=+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦20．如图，在平行四边形中，，，．ABCD 60BAD ∠=︒12BE BC = 2CF FD = (1)若，求的值；EF xAB y AD =+ 32x y +(2)若，，求边的长．6AB = 18AC EF ⋅=- AD【答案】(1)321x y +=-(2)4【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出，，即可得解；x y （2）设长为，根据数量积的运算律得到方程，解得即可.AD x 【详解】（1）在平行四边形中，，,ABCD 12BE BC = 2CF FD = 所以，1121()3232EF AF AE AD AB AB AD AB AD =-=+-+=-+ 又，，，.EF xAB y AD =+ 23x ∴=-12y =321x y ∴+=-（2）设长为，AD x ()2132AC EF AB AD AB AD ⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪⎝⎭ 22211326AB AD AB AD =-+-⋅ 222c 1os 2136BAD AB AD AB AD =⋅∠-+- ，211241822x x =--=-，或（舍去），即.2120x x ∴--=4x ∴=3-4=AD 21．课本第46页上在用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1，在锐角中，过点AABC 作与垂直的单位向量，因为，所以由分配律，得AC j AC C AB B += ()j AC CB j AB ⋅+=⋅ ，即，也即j AC j CB j AB ⋅+⋅=⋅ πππ||||cos ||||cos ||cos 222j AC j CB C j AB A ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．请用上述向量方法探究，如图2直线l 与的边AB ，AC 分别相交于点sin sin a C c A =ABC D ，E ．设，，，．则θ与的边和角之间的等量关系下列哪个AB c =BC a ==CA b ADE θ∠=ABC正确，并说明理由．①；②．cos()cos()cos a B b A c θθθ++-=cos()cos()cos a B b A c θθθ-++=【答案】①错误，②正确【分析】设则，然后可得再根据向量的数量积的运算性质||DE m DE = ||1m = m AC m CB m AB ⋅+⋅=⋅ 化简即可.【详解】设则，||DE m DE = ||1m = 因为, 所以，AC CB AB →→→+=m AC m CB m AB ⋅+⋅=⋅ 即，||||cos(π())||||cos(π())||||cos(π)m AC A m CB B m AB θθθ-++--=- 所以，cos()cos()cos b A a B c θθθ-+--=-即,()()cos cos cos a B b A c θθθ-++=所以①错误，②正确.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．22．如图，已知中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC．222sin sin sin sin sin A C B A B C +-=⋅(1)求B ；(2)若，，点D 在边AC 上，且在和上的投影向量的模相等，2223a c c b ++=152BA BC ⋅=- BD BC BA 求线段BD 的长．【答案】(1)2π3B =(2)158【分析】（1）综合运用正、余弦定理即可求解；（2）由（1）及已知可求得，，又由在和上的投影向量的模相等，知BD 为5c =7b =BD BC BA 的平分线，由角平分线定理得，再在和中应用正弦定理求解即可．ABC ∠358AD =ABC ABD △【详解】（1）∵，222sin sin sin sin sin A B C A C B +-=∴由正弦定理可，222sin a c b B =+-由余弦定理可得，222cos 2a c b B ac +-=∴即2cos s ac B inB =tan B =∵，∴．()0,πB ∈2π3B =（2）由（1）知，2π3ABC ∠=∴又，2222cos ac ABC ac a c b ∠=-=+-2223a c c b ++=∴，解得．∵，2222(3)ac a c a c c -=+-++3a =152BA BC ⋅=- ∴，可得，15cos 22ac ac ABC ∠=-=-5c =由可得，解得．2223a c c b ++=292515b ++=212559b ++=7b =∵在和上的投影向量的模相等，BD BC BA ∴BD 为的平分线，ABC ∠由角平分线的性质知，即，解得，AD c b AD a =-573AD AD =-358AD =在中，由正弦定理可得，∴，ABCsin sin a b A ABC==∠sin A 在中，，ABD △π3ABD ∠=由正弦定理可得．sin sin BD AD A ABD =∠158BD =。
四川省南充重点中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题及参考答案
南充高中2022—2023学年高一下学期第一次月考数学试题(考试时间:120分钟满分:150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合U={0,1,2,3,4,5},A={0,2,4},B={3,4},则(C U A)∩B=( )A.{3}B.{5}C.{3,4,5}D.{1,3,4,5}2.sin210°的值为( )3.若sinαtanα<0,且则角α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角4.已知函数f(x)=x+log₂x,下列含有函数f(x)零点的区间是( )D.( 1,2)5.函数在[-π,π]上的图象大致为( )6.《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为( )(单位：弧度)(注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.)A.3B.4C.5D.67.函数的定义域为( )8.设函数，若关于x 的方程且a≠1)在区间[0，5]内恰有5个不同的根，则实数a的取值范围是（）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知三角形ABC是边长为2的等边三角形.如图，将三角形ABC的顶点A与原点重合. AB 在x轴上，然后将三角形沿着x轴顺时针滚动，每当顶点A再次回落到x轴上时，将相邻两个A 之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论，其中说法正确的是( )A.一个周期是6B.完成一个周期，顶点A的轨迹是一个半圆C.完成一个周期，顶点A 的轨迹长度是D.完成一个周期，顶点A的轨迹与x 轴围成的面积是10.下列命题中真命题的为( )A.命题“∀x∈R,sinx≤1”的否定是“∃x ₀∉R,sinx₀>1 ”B.若α是第一象限角，则是第一或第三象限角C.直线是函数的图象的一条对称轴D.y=tanx的图象对称中心为(kπ,0)(k∈Z)11.下列说法正确的是( )是“sinα=sin ”的充分不必要条件B.若x∈(0,π),则的最小值为4C.函数使得f(x₁)=g(x₂)成立,则m的最大值为3D.函数y=|1+2cosx|是偶函数，且最小正周期为π12.定义设函数f(x)=min{sinx,cosx},给出f(x)以下四个论断,其中正确的是( )A.是最小正周期为2π的奇函数B.图象关于直线对称，最大值为C.是最小值为-1的偶函数D.在区间上是增函数三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知0<x<π且则 sinx- cosx=14.函数的定义域为15.已知f(x)是定义域在R上的奇函数，且f( 1+x)=f(-x),若则16.关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论:①f(x)是偶函数②f(x)的最大值为2 ③f(x)在[-π,π]有4个零点④f(x)在区间单调递增⑤f(x)是周期为π的函数其中所有正确结论的编号是四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知计算下列各式的值.(1) tanα(2) sin²α-2sinαcosα+118.(本小题满分12分)(1)计算:(2)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点的值19.(本小题满分12分)设函数(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间上的值域.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2cos²x+2a+2a的最大值为.(1)求a的值;(2)当x∈R时，求函数f(x)的最小值以及取得最小值时x的集合.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)为偶函数，函数g(x)为奇函数，且满足(Ⅰ)求函数f(x),g(x)的解析式;(Ⅱ)若函数且方程恰有三个不同的解，求实数a的取值范围.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=-x|x-2a|+1(x∈R).(1)当a=1时,求函数y=f(x)的零点;(2)当求函数y=f(x)在x∈[1,2]上的最大值;(3)对于给定的正数a,有一个最大的正数T(a),使x∈[0,T(a)]时,都有|f(x)|≤1,试求出这个正数T(a)的表达式.参考答案一、单选题 1-8 ABCCDDCA 二、不定选项题9.ACD 10.BC 11.AC 12.BD 三、单选题 13.14.)15.-1 16.①②④四、解答题 17.（1）解：已知sin cos 3sin cos αααα+=-，化简，得4cos 2sin αα=，所以sin tan 2cos ααα==. （2）22222222sin 2sin cos tan 2tan 222sin 2sin cos 1111sin cos tan 121ααααααααααα---⨯-+=+=+=++++1=.18.（1）（2）19. （1）()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当()222242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，即()388k x k k Z ππππ-≤≤+∈，， 因此，函数f （x ）的单调递增取间为()384k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，．（2）令π24t x =-，π3π84x ≤≤可得5π04t ≤≤，当5π4t =，即3π4x =时，min 1y ⎛==- ⎝⎭，当π2t =，即3π8x =时，max 1y ==函数()f x 的值域为⎡-⎣20. （1）()2cos22sin 212sin 2sin 2f x x a x a x a x a =++=-++22sin 2sin 21x a x a =-+++，令[]sin 1,1t x =∈-，则2()2221f t t at a =-+++，对称轴02at =， 当012at =≤-即2a ≤-时， 2()2221f t t at a =-+++在[]1,1t ∈-单调递减，所以max ()(1)22211f t f a a =-=--++=-不满足题意； 当112a-<<即22a -<<时，2()2221f t t at a =-+++在1,2a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭单调递增，,12a ⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递减，所以22max1()()21222a a f t f a a ==-+++=-，即2430a a ++=解得1a =-或3a =-（舍）； 当012at =≥即2a ≥时， 2()2221f t t at a =-+++在[]1,1t ∈-单调递增，所以max 1()(1)22212f t f a a ==-+++=-，解得18a =不满足题意，综上1a =-.（2）由(1)可得2()221f t t t =---在11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭单调递增，1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦单调递减，所以当1t =时函数有最小值为(1)2215f =---=-，此时sin 1t x ==，则x 的取值构成的集合为π|2π,Z 2x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ 21.(1)因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，由已知可得()()12xf xg x +---=，即()()12xf xg x ++=，所以，()()()()1122xx f x g x f x g x -+⎧-=⎪⎨+=⎪⎩， 所以()(),2222x x x xf xg x --=+=-；（2）()()()12,01121221,0x xx x h x f x g x x ⎧-≤⎡⎤=+-=-=⎨⎣⎦->⎩，作出函数()h x 的图象如下图所示：由解得，h(x)=a+1/4,h(x)=a-1/4，由图可知，22. （1）当1a =时，()2221,22121,2x x x f x x x x x x ⎧-++≥=--+=⎨-+<⎩，令2210-++=x x，解得：1x =+1舍)； 令2210x x -+=，解得：1x =； ∴函数()y f x =的零点为11；（2）由题意得：()2221,221,2x ax x af x x ax x a ⎧-++≥=⎨-+<⎩，其中()()021f f a ==，30,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴最大值在()()()1,2,2f f f a 中取. 当021a <≤，即102a <≤时，()f x 在[]1,2上单调递减，()()max 12f x f a ∴==；当122a a <<<，即112a <<时，()f x 在[]1,2a 上单调递增，[]2,2a 上单调递减， ()()max 21f x f a ∴==；当122a a ≤<<，即12a ≤<时，()f x 在[]1,a 上单调递减，[],2a 上单调递增，()()(){}max max 1,2f x f f ∴=；()()()()122254230f f a a a -=---=-<，()()max 254f x f a ∴==-；综上所述：()max12,0211,12354,12a a f x a a a ⎧<≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪-≤<⎪⎩；（3）()0,x ∈+∞时，0x -<，20x a -≥，()max 1f x ∴=， ∴问题转化为在给定区间内()1f x ≥-恒成立.()21f a a =-+，分两种情况讨论：当211a -+≤-时，()T a 是方程2211x ax-+=-的较小根，即a ≥()T a a =当211a -+>-时，()T a 是方程2211x ax-++=-的较大根， 即0a <()T a a =；综上所述：()a a T a a a ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩。
广东省2023-2024学年高一下学期第一次月考试题 数学含答案
2023-2024学年第二学期高一教学质量检测数学试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()2,1a =- ，()1,1b =- ，则()()23a b a b +⋅-等于（）A.10B.-10C.3D.-32.函数()2cos 2f x x x =是（）A.周期为2π的奇函数 B.周期为2π的偶函数C.周期为4π的奇函数 D.周期为4π的偶函数3.将向量()1,1OA = 绕坐标原点O 逆时针旋转60°得到OB ，则OA AB ⋅=（）A.-2B.2C.-1D.14.一个质点受到平面上的三个力1F ，2F ，3F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知1F ，2F成60°角且12F = ，24F = ，则3F =（）A.6B.2C. D.5.在ABC △中，若sin cos a B A =，且sin 2sin cos C A B =，那么ABC △一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形6.请运用所学三角恒等变换公式，化简计算tan102sin102︒+︒，并从以下选项中选择该式子正确的值（）A.12C.2D.17.在ABC △中，D 是AB 的中点，E 是CD 的中点，若AE CA CB λμ=+，则λμ+=（）A.34-B.12-C.34D.18.已知菱形ABCD 的边长为1，60ABC ∠=︒，点E 是AB 边上的动点，则DE DC ⋅的最大值为（）.A.1B.32C.12D.32二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.下列关于平面向量的命题正确的是（）A.若a b ∥ ，b c ∥ ，则a c∥ B.两个非零向量a ，b 垂直的充要条件是：0a b ⋅=C.若向量AB CD =，则A ，B ，C ，D ，四点必在一条直线上D.向量()0a a ≠ 与向量b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b aλ= 10.如图，函数()()2tan 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，且满足ABC △的面积为2π，则下列结论不正确的是（）A.4ω=B.函数()f x 的图象对称中心为,082k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z C.()f x 的单调增区间是5,8282k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭，k ∈Z D.将函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度后可以得到函数2tan y x ω=的图象11.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在s t 时相对于平衡位置的高度h （单位：cm ）由关系式()sin h A t ωϕ=+，[)0,t ∈+∞确定，其中0A >，0ω>，(]0,ϕπ∈.小球从最高点出发，经过2s 后，第一次回到最高点，则（）A.4πϕ=B.ωπ=C. 3.75s t =与10s t =时的相对于平衡位置的高度h 之比为22D. 3.75s t =与10s t =时的相对于平衡位置的高度h 之比为12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，在正六边形ABCDEF 中，2AF ED EF AB -++=__________.13.已知(2a = ，若向量b 满足()a b a +⊥ ，则b 在a方向上的投影向量的坐标为__________.14.已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，ABC △3，且2cos 2b A c a =-，4a c +=，则ABC △的周长为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知α，β为锐角，1tan 2α=，()5cos 13αβ+=.（1）求cos 2$α的值；（2）求()tan αβ-的值.16.（15分）已知4a = ，2b = ，且a 与b的夹角为120°，求：（1）2a b -；（2）a 与a b +的夹角；（3）若向量2a b λ- 与3a b λ-平行，求实数λ的值.17.（15分）如图，四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，2CD DA ==，60DCB ∠=︒.（1）求对角线BD 的长：（2）设DAB θ∠=，求cos θ的值，并求四边形ABCD 的面积.18.（17分）如图，某公园摩天轮的半径为40m ，圆心距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速转动，每3min 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处.（1）已知在时刻t （单位：min ）时点P 距离地面的高度()()sin f t A t h ωϕ=++（其中0A >，0ω>，ϕπ<，求函数()f t 解析式及2023min 时点P 距离地面的高度；（2）当点P距离地面(50m +及以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？19.（17分）设向量()12,a a a = ，()12,b b b = ，定义一种向量()()()12121122,,,a b a a b b a b a b ⊗=⨯=.已知向量12,2m ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，,03n π⎛⎫= ⎪⎝⎭，点()00,P x y 为函数sin y x =图象上的点，点(),Q x y 为()y f x =的图象上的动点，且满足OQ m OP n =⊗+（其中O 为坐标原点）.（1）求()y f x =的表达式并求它的周期；（2）把函数()y f x =图象上各点的横坐标缩小为原来的14倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象.设函数()()()h x g x t t =-∈R ，试讨论函数()h x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的零点个数.2023-2024学年第二学期高一教学质量检测数学答案1.B 【详解】由向量()2,1a =- ，()1,1b =- ，可得()24,3a b +=- ，()31,2a b -=-，所以()()()()23413210a b a b +⋅-=⨯-+-⨯=-.2.A 【详解】由题意得()2cos 2sin 42f x x x x ==，所以()()()4sin 422f x x x f x -=-=-=-，故()f x 为奇函数，周期242T ππ==.3.C 【详解】因为OA == OB = ，()21212OA AB OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅-=⋅-=-=- .4.D 【详解】∵物体处于平衡状态，∴1230F F F ++=，即()312F F F =-+ ，∴312F F F =+===5.D 【详解】因为sin cos a B A =，则sin sin cos A B B A =，因为(),0,A B π∈，则sin 0B >，所以tan A =，则3A π=，又因为sin 2sin cos C A B =，A B C π++=，则()sin 2sin cos A B A B +=，则sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，即sin cos cos sin 0A B A B -=，即()sin 0A B -=，又因为(),0,A B π∈，则A B ππ-<-<，所以3A B π==，即3A B C π===.即ABC △一定是等边三角形，故D 正确.6.A 【详解】2sin102cos10tan102sin102sin1022cos102cos10︒︒+︒⨯︒︒+︒=+︒=︒︒()2sin 30102sin 202cos102cos10︒+︒-︒︒+︒==︒︒()2sin 30cos10cos30sin102cos10︒+︒︒-︒︒=︒cos10cos1012cos102cos102︒+︒︒︒===︒︒7.B 【详解】ABC △中，D 是AB 的中点，E 是CD 的中点，则()1111113122222244AE AC AD AC AB AC AC CB CA CB ⎛⎫⎛⎫=+=+=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以34λ=-，14μ=，所以12λμ+=-.8.D 【详解】设AE x =，[]0,1x ∈，()DE DC DA AE DC DA DC AE DC⋅=+⋅=⋅+⋅113cos cos0,222DA DC ADC AE DC x ⎡⎤=⋅∠+︒=+∈⎢⎥⎣⎦ ，∴DE DC ⋅ 的最大值为32.故选：D.9.BD 【详解】对于A ，当0b =时，不一定成立，A 错误；对于B ，两个非零向量a ，b ，当向量a ，b 垂直可得0a b ⋅= ，反之0a b ⋅= 也一定有向量a ，b垂直，∴B 正确；对于C ，若向量AB CD = ，AB 与CD方向和大小都相同，但A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，∴C 错误；对于D ，由向量共线定理可得向量()0a a ≠ 与向量b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b a λ=，∴D 正确.10.ABD 【详解】A ：当0x =时，()02tan 24OC f π===，又2ABC S π=△，所以112222ABCS AB OC AB π==⨯=△，得2AB π=，即函数()f x 的最小正周期为2π，由T πω=得2ω=，故A 不正确；B ：由选项A 可知()2tan 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令242k x ππ+=，k Z ∈，解得48k x ππ=-，k Z ∈，即函数()f x 的对称中心为,048k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈，故B 错误；C ：由32242k x k πππππ+<+<+，k Z ∈，得58282k k x ππππ+<<+，k Z ∈，故C 正确；D ：将函数()f x 图象向右平移8π个长度单位，得函数2tan 2y x =的图象，故D 不正确.11.BC 【详解】对于AB ，由题可知小球运动的周期2s T =，又0ω>，所以22πω=，解得ωπ=，当0s t =时，sin A A ϕ=，又(]0,ϕπ∈，所以2πϕ=，故A 错误，B 正确；对于CD ，则sin cos 2h A t A t πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以 3.75s t =与10s t =时的相对于平衡位置的高度之比为()()15cos coscos 3.75244cos 10cos10cos 02A A πππππ⎛⎫- ⎪⨯⎝⎭===⨯，故C 正确D 错误.故选：BC.12.0【详解】由题意，根据正六边形的性质()222AF ED EF AB AF ED EF AB AF DF AB-++=--+=++ 22220AF CA AB CF AB BA AB =++=+=+= .故答案为：0.13.(1,-【详解】由题意知()a b a +⊥ ，故()0a b a +⋅= ，所以20a a b +⋅=，而(a =，则a ==23a b a ⋅=-=- ，则b 在a方向上的投影向量为(1,a a aab ⋅⋅==- ，即b在a方向上的投影向量的坐标为(1,-，故答案为：(1,-.14.6【详解】∵2cos 2b A c a =-，∴222222b c a b c a bc+-⋅=-，∴22222b c a c ac +-=-，∴222a cb ac+-=∴2221cos 22a cb B ac +-==∵0B π<<，∴3B π=，∵1sin 24ABC S ac B ac ===△∴4ac =，∵4a c +=，∴2a c ==，又3B π=，∴ABC △是边长为2的等边三角形，∴ABC △的周长为6.15.【详解】（1）22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ααααααα---====+++；（2）由1tan 2α=，得22tan 14tan 211tan 314ααα===--，因为α，β为锐角，所以,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0,αβπ+∈，又因()5cos 13αβ+=，所以0,2παβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()12sin 13αβ+==，所以()()()sin 12tan cos 5αβαβαβ++==+，则()()()()412tan 2tan 1635tan tan 24121tan 2tan 63135ααβαβααβααβ--+-=-+==-⎡⎤⎣⎦+++⨯.16.【详解】（1）2a b -====（2）因为()2222168412a ba ab b +=+⋅+=-+=，所以a b += ，又()216412a a b a a b ⋅+=+⋅=-=，所以()3cos ,2a a b a a b a a b⋅++===+ ，又[],0,a a b π+∈ 所以a 与a b + 的夹角为6π；（3）因为向量2a b λ- 与3a b λ-平行，所以存在实数k 使()233a b k a b ka kb λλλ-=-=- ，所以23kkλλ=⎧⎨-=-⎩，解得λ=17.【详解】（1）解：连接BD ，在BCD △中，3BC =，2CD =，60DCB ∠=︒得：22212cos 9423272BD CD BC CD BC DCB =+-⨯⨯∠=+-⨯⨯⨯=∴BD =（2）在ABD △中，由DAB θ∠=，1AB =，2DA =，7BD =2221471cos 22122AB DA BD AB DA θ+-+-===-⨯⨯⨯，∴120θ=，四边形ABCD 的面积：11sin sin 22BCD ABC S S S BC CD BCD AB AD θ=+=⨯⨯⨯∠+⨯⨯⨯△△∴13133212232222S =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.18.【详解】（1）依题意，40A =，50h =，3T =，则23πω=，所以()240sin 503f t t πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，由()010f =可得，40sin 5010ϕ+=，sin 1ϕ=-，因为ϕπ<，所以2πϕ=-.故在时刻t 时点P 距离地面的离度()()240sin 50032f t t t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭.因此()2202340sin 2023507032f ππ⎛⎫=⨯-+=⎪⎝⎭，故2023min 时点P 距离地面的高度为70m.（2）由（1）知()2240sin 505040cos 323f t t t πππ⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0t ≥.依题意，令()503f t ≥+240cos 33t π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭23cos 32t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，解得52722636k t k πππππ+≤≤+，k ∈Z .则573344k t k +≤≤+，k ∈Z .由75330.544k k ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知转一圈中有0.5min 时间可以看到公园全貌.19.【详解】（1）因为12,2m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()00,OP x y =，因为点()00,P x y 为sin y x =的图象上的动点，所以00sin y x =，0000112,2,sin 22m OP x y x x ⎛⎫⎛⎫⊗== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；因为OQ m OP n =⊗+ ，所以()000011,2,sin ,02,sin 2332x y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以00231sin 2x x y x π⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即0032sin 2x x x y π⎧-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以()11sin 226y f x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，它的周期为4T π=；（2）由（1）知()1sin 226g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，当262x ππ-=时，3x π=所以()1sin 226g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，其函数图象如下图所示：由图可知，当12t=或1144t-≤<时，函数()h x在区间0,2π⎡⎤⎢⎣⎦内只有一个零点，当1142t≤<时，函数()h x在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个零点，当14t<-或12t>时，函数()h x在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内没有零点.。
高一数学学期第一次月考试卷(附答案)
高一数学学期第一次月考试卷(附答案)选择题1. 下列哪一个选项不是数学中常用的数集？A. 自然数集B. 实数集C. 正整数集D. 有理数集答案：C2. 若集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A ∩ B = ?A. {2, 3}B. {1, 2, 3}C. {2, 3, 4}D. {4}答案：A3. 简化：$3 \times a \times 5$答案：$15a$填空题1. 若 $\frac{5}{6} x - \frac{1}{4} = \frac{3}{5} x - \frac{1}{2}$，则x = ?答案：$\frac{9}{20}$2. 若函数 $f(x) = ax^2 + bx - c$ 的图像开口朝上，且在x = 2处有最小值-3，则a = ?, b = ?, c = ?答案：a = 1, b = -8, c = -13解答题1. 解方程 $\frac{3}{5} (2x - 1) = \frac{1}{3} (4 - x)$解答：首先两边同时乘以15消去分数，得到：$9(2x - 1) = 5(4 - x)$ 进行分配和合并：$18x - 9 = 20 - 5x$移项：$23x = 29$最后得到解答：$x = \frac{29}{23}$2. 若正方形ABCD的边长为3cm，点E为AB边的中点，连线DE与BC交于点F，求线段DF的长度。
解答：由于ABCD是正方形，所以AD平行于BC。
由于E是AB边上的中点，所以AE = EB = 1.5cm。
由三角形相似性质可知，$\frac{AE}{AD} = \frac{DF}{DC}$。
将已知值代入，得到：$\frac{1.5}{3} = \frac{DF}{3}$化简得到：$DF = 1.5$cm以上为高一数学学期第一次月考试卷及答案。
高一第一次月考(数学)试题含答案
高一第一次月考（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）1.（5分）1. 集合，集合，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．2.（5分）2．已知命题：，，则为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，3.（5分）3. “”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件4.（5分）4.不等式的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．5.（5分）5.设实数、满足，，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．6.（5分）6.下列命题中真命题有（ ）①； ②q ：所有的正方形都是矩形； ③ ； ④s ：至少有一个实数x ，使.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7.（5分）7.若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）A ．或B ．C ．或D ．8.（5分）8. 已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）{}1,2,3,4A ={}3,4,5,6B =A B {}1,2,3,4,5,6{}3,4{}3{}4p n N ∃∈225n n ≥+p ⌝n N ∀∈225n n ≥+n N ∃∈225n n ≤+n N ∀∈225n n <+n N ∃∈225n n =+1x =2230x x +-=()()2230x x -->()3,2,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭R 3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭∅x y 34x <<12y <<2M x y =-46M <<57M <<56M <<47M <<21,04p x R x x ∀∈+-≥：2,220r x R x x ∈+∃+≤：210x +=x 210x mx ++≥R m {2m m ≤-}2m ≥{}22m m -≤≤{2m m <-}2m >{}22m m -<<x 2243x x a a -+≥-R aA ．B ．C ．或D ．二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）9.（5分）二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9. 已知且，则下列不等式正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．10.（5分）10.若集合，，则下列结论错误的是（ ）A ．B ．C ．D ． 11.（5分）11．记全集为U ，在下列选项中，是B ⊆A 的充要条件的有( )A ．A ∪B ＝A B ．A ∩B ＝AC ．(∁U A )⊆(∁U B )D ．A ∪(∁U B )＝U12.（5分）12.两个函数与（为常数）的图像有两个交点且横坐标分别为，，，则下列结论中正确的是（ ）A ．的取值范围是B ．若，则，C ．当时，D ．二次函数的图象与轴交点的坐标为和三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）三、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 不等式的解集是____________.14.（5分）14．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜0}，B ＝{x |x ＞1}，则A ∪(∁U B )＝________.15.（5分）15. 设：，：，是的充分条件，则实数的取值范围是__________.16.（5分）16. 已知，则的最大值为________．四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）四、解答题：（本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） {}14a a -≤≤{}14a a -<<{4a a ≥}1a ≤-{}41a a -≤≤,,R a b c ∈a b >a c b c +>+11a b >22ac bc >33a b >{1,2,3,4,5}M ={2,2}N =-N M ⊆M N M ⋃=M N N ={2}M N =24y x =-y m =m 1x 2x ()12x x <m 4m >-0m =12x =-22x =0m >1222x x -<<<()()12y x x x x m =--+x ()2,0()2,0-2430x x -+<α24x <≤βx m >αβm 0x >97x x --17.（本小题满分10分）设集合2{},35{-<=≤≤-=x x B x x A 或}4>x ，求)()(,B C A C B A R R ⋃⋂18.（12分）18.（本小题满分12分）已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }．(1)当m ＝－1时，求A ∪B ；(2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围．19.（12分）19.（本小题满分12分）已知关于的方程有实数根，．（1）若p 是假命题，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．20.（12分）20（本小题满分12分）在①；②““是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合.（1）当时，求A ∪B ；（2）若_______，求实数a 的取值范围.21.（12分）21.（本小题满分12分） 已知二次函数.（1）若关于的不等式的解集是.求实数的值；（2）若，解关于的不等式.22.（12分）22. （本小题满分12分）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体的报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元，设屋子的左右两面墙的长度均为.（1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元:p x 22220x ax a a -++-=:13q m a m -≤≤+a p q m A B B ⋃=x A ∈x B ∈A B =∅{|},111|3{}A x a x a B x x =-≤≤=≤≤-+2a =22y ax bx a =+-+x 220ax bx a +-+>{}|13x x -<<,a b 2,0b a =>x 220ax bx a +-+>3m 212m 4001507200m x (26)x ≤≤900(1)a x x +；若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求的取值范围.(0)a a答案一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）1.（5分） 1-4 B2.（5分）C3.（5分）A4.（5分）A5.（5分）5-8 D6.（5分）B7.（5分）B8.（5分）A二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）9.（5分）二、多项选择题：9．AD10.（5分） 10.ABC11.（5分） 11.ACD 1212.（5分）.ABD三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13. （1,3） ；14.（5分） 14. {x |x ≤1}；15.（5分） 15. ；16.（5分） 16. 1四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）四、解答题：本大题共6小题，共70分.17.（本小题满分10分）解：=⋂B A }25{-<≤-x x =⋃)()(B C A C R R }2,5{-≥-<x x x 或18.（12分）18.（本小题满分12分）解： (1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2＜x ＜2}，A ∪B ＝{x |－2＜x ＜3}．(2)由A ⊆B ，知⎩⎨⎧ 1－m ＞2m ，2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，(],2-∞即实数m 的取值范围为{m |m ≤－2}．19.（12分）19.（本小题满分12分）解：（1）因为是假命题，所以对于方程，有， 即，解得，所以实数的取值范围是．（2）由命题为真命题，根据（1）可得，又由是的必要不充分条件，可得那么能推出，但由不能推出， 可得，则，解得，所以实数的取值范围是．20.（12分）20.（本小题满分12分）解：（1）当时，集合，所以；（2）若选择①，则，因为 ，所以 ，又，所以，解得， 所以实数a 的取值范围是.若选择②，““是“”的充分不必要条件，则，因为，所以，又，所以，解得， 所以实数a 的取值范围是.若选择③，，因为，所以，又所以或，解得或，所以实数a 的取值范围是 . p 22220x ax a a -++-=()()222420a a a ∆=--+-<480a ->2a >a {}2a a >p {}2a a ≤p q q p p q {}{}132a m a m a a -≤≤+≤32m +≤1m ≤-m {}1m m ≤-2a =1313{|},{|}A x x B x x =≤≤=≤≤-{|13}B x x A -≤≤⋃=A B B ⋃=A B ⊆11{|}A x a x a =-≤≤+A ≠∅{|13}B x x =-≤≤1113a a -≥-⎧⎨+≤⎩02a ≤≤[]0,2x A ∈x B ∈AB 11{|}A x a x a =-≤≤+A ≠∅{|13}B x x =-≤≤1113a a -≥-⎧⎨+≤⎩02a ≤≤[]0,2A B =∅11{|}A x a x a =-≤≤+A ≠∅{|13}B x x =-≤≤13a ->11a +<-4a >2a <-()(),24,-∞-+∞21.（12分）21.（本小题满分12分）解（1）因为关于的不等式的解集是 所以和是方程的两根，所以 解得：， （2）当时，即可化为，因为，所以 所以方程的两根为和， 当即时，不等式的解集为或， 当即时，不等式的解集为， 当即时，不等式的解集为或， 综上所述：当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或. 22.（12分） 22.（本小题满分12分）解：（1）设甲工程队的总造价为元，依题意左右两面墙的长度均为，则屋子前面新建墙体长为， 则 因为． 当且仅当，即时等号成立． 所以当时，，即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元． x 220ax bx a +-+>{}|13x x -<<1-3220ax bx a +-+=13213b a a a ⎧-+=-⎪⎪⎨-⎪-⨯=⎪⎩12a b =-⎧⎨=⎩2b =220ax bx a +-+>2220ax x a +-+>()()120x ax a +-+>0a >()210a x x a -⎛⎫+-> ⎪⎝⎭()210a x x a -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭1-2a a -21a a --<1a >{|1x x <-2a x a -⎫>⎬⎭21a a --=1a ={}|1x x ≠-21a a -->01a <<2|a x x a -⎧<⎨⎩}1x >-01a <<2|a x x a -⎧<⎨⎩}1x >-1a ={}|1x x ≠-1a >{|1x x <-2a x a -⎫>⎬⎭y m x (26)x ≤≤12m x 12163(1502400)7200900()7200(26)y x x x x x =⨯+⨯+=++1616900()72009002720014400x x x x++⨯⨯⋅+=16x x =4x =4x =min 14400y =（2）由题意可得，对任意的，恒成立． 即，从而，即恒成立， 又．当且仅当，即时等号成立． 所以．16900(1)900()7200a x x x x+++>[2x ∈6]2(4)(1)x a x x x ++>2(4)1x a x +>+9161x a x +++>+99162(1)61211x x x x ++++⋅+=++911x x +=+2x =012a <<。
天津市重点高一下学期第一次月考数学试题(解析版)
一、单选题1．若角的终边上一点的坐标为，则( ) α(11)-，cos α=A ．B ．CD ．1-1【答案】C【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.【详解】∵角的终边上一点的坐标为，它与原点的距离 α(11)-，r ==∴ cos x r α===故选：C.2．下列说法正确的是（ ） A ．第二象限角比第一象限角大 B ．角与角是终边相同角60︒600︒C ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角D ．将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数为 10π3【答案】D【分析】举反例说明A 错误；由终边相同角的概念说明B 错误；由三角形的内角的范围说明C 错误；求出分针转过的角的弧度数说明D 正确．【详解】对于，是第二象限角，是第一象限角，，故A 错误； A 120︒420︒120420︒<︒对于B ，，与终边不同，故B 错误；600360240︒=︒+︒60︒对于C ，三角形的内角是第一象限角或第二象限角或轴正半轴上的角，故C 错误； y 对于D ，分针转一周为分钟，转过的角度为，将分针拨慢是逆时针旋转， 602π钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为，故D 正确．∴101π2π63⨯=故选:D ．3．下列叙述中正确的个数是：（ ）①若，则；②若，则或；③若，则④若a b = 32a b >a b = a b = a b =- ma mb = a b = ，则⑤若，则,a b b c ∥∥a c ∥a b = a bA A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】由向量不能比较大小判断①；举例判断②；由时判断③；由时判断④；由相0m =0b =等向量和平行向量的关系判断⑤.【详解】解：因为向量不能比较大小，所以①错误， 如单位向量模都为1，方向任意，所以②错误，当时，，但是与不一定相等，所以③错误， 0m =0ma mb ==r r ra b 当时，和可能不平行，所以④错误， 0b = a c两个向量相等则它们一定平行，所以⑤正确， 故选：B4．若，则（ ） sin cos θθ-=44sin cos +=θθA ．B ．C ．D ．34567889【答案】C【分析】根据同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式可得，结合 1sin 22θ=计算即可.44sin cos +=θθ211sin 22θ=-【详解】 sin cos θθ-=得，即，221sin 2sin cos cos 2θθθθ-+=11sin 22θ-=所以， 1sin 22θ=所以 4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+-.2211171sin 21()2228θ=-=-⨯=故选：C5．已知，则（ ） 1sin()3πα+=3cos 2πα⎛⎫-=⎪⎝⎭A ．B ．C ．D 13-13【答案】B【分析】已知等式左边利用诱导公式化简求出的值，原式利用诱导公式化简后将的值代sin a sin a 入计算即可求出值.【详解】()1sin sin ,3παα+=-= 31cos()sin .23παα∴-=-=故选：B【点睛】诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，因此常用于化简求值，一般步骤：任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→的三角函数→锐角的三角函数.[0,2)π6．已知，的值为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 23πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭A B C D 【答案】D【详解】sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3sin )sin 2,cos sin 5θθθθθ⇒-=⇒=>πππ4(0,(0,),2(0,22425θθθθ∈∴∈∈=所以，选D. sin 23πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭314525=⨯+=7．在中,,则是 ABC ∆AB BC AB BC ==+ ABC ∆A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】B【解析】根据向量的线性运算化简判定即可.【详解】,则,故是等边三角形.AB BC AC +=||||||AB BC AC == ABC ∆故选：B【点睛】本题主要考查了利用向量判定三角形形状的方法,属于基础题型.8．定义为中较大的数，已知函数，给出下列命题： {}max ,a b ,a b (){}max sin ,cos f x x x =①为非奇非偶函数； ()f x ②的值域为；()f x []1,1-③是以为最小正周期的周期函数； ()f x π④当时，. ()π2π2ππZ 2k x k k -+<<+∈()0f x >其中正确的为（ ） A ．②④ B ．①③C ．③④D ．①④【答案】D【分析】作出函数的图象，利用图象确定出奇偶性，值域，周期，单调区间，即可求解. ()f x 【详解】解：作出函数的图象，如下：()f x令，则，，解得，，sin cos x x =π04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ππ4x k -=Z k ∈ππ4x k =+Z k ∈当，时 5π2π4x k =+Z k ∈()f x =由图可知，是非奇非偶函数，值域为，故①正确，②错误； ()f x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦因为是以为最小正周期的周期函数，故③错误； ()f x 2π由图可知，时，，故④正确. ()π2π2ππZ 2k x k k -+<<+∈()0f x >故选：D.9．的值为（ ） sin 45cos15cos 225sin15⋅+⋅A ．B ．C ．D 1212-【答案】A【分析】利用差的正弦公式化简计算.【详解】sin 45cos15cos 225sin15sin 45cos15cos 45sin15︒︒︒︒=︒︒︒︒⋅+⋅⋅-⋅. ()1sin 4515sin 302=︒-︒=︒=故选：A.10．已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><()f x π的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为()y f x =2()g x．若（ ） 4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫=⎪⎝⎭A ．B ． 2-C D ．2【答案】C【分析】先根据原函数的奇偶性及周期性确定的值，然后得到的解析式，再根据,ωϕ()g x，最后求解的值. 4g π⎛⎫⎪⎝⎭A 38f π⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】因为函数是奇函数，且其最小正周期为，()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><π所以，则，得．0,2ϕω==()sin 2f x A x =()sin g x A x =又，故，sin 44g A ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭2A =()2sin 2f x x =所以，332sin84f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：C.【点睛】本题考查型函数的图象及性质，难度一般.解答时先要()()()sin +0,0f x A x b A ωϕω=+>>根据题目条件确定出、及的值，然后解答所给问题. A ωϕ11．函数(其中，)的图象如下图所示，为了得到的图象，()sin()f x x ωϕ=+0ω>02πϕ<≤sin y x =则需将的图象（ ）()y f x =A ．横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位 124πB ．横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位128πC ．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位 4πD ．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位8π【答案】C【解析】先根据图象的特点可求出，然后再根据周期变换与相位变换即可得出()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭答案.【详解】由图可知，，所以，故， 1732882T πππ=-=T π=22T πω==故函数，()()sin 2f x x ϕ=+又函数图象经过点，故有，即， 3,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭3sin 208πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭328k πϕπ⨯+=所以（）， 34πφk π=-Z k ∈又，所以，02πϕ<≤4πϕ=所以，()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故将函数图象的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，然后再向()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭右平移个单位即可得到的图象.4πsin y x =故选：C .【点睛】本题考查由三角函数图象确定解析式，考查三角函数图象的平移伸缩变换，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于常考题.12．已知函数，给出以下四个命题：①的最小正周期为；②()sin (sin cos )f x x x x =⋅+()f x π()f x 在上的值域为；③的图像关于点中心对称；④的图像关于直线0,4⎡⎤⎢⎣⎦π[]0,1()f x 51,82π⎛⎫⎪⎝⎭()f x 对称．其中正确命题的个数是（ ）118x π=A ． B ．C ．D ．1234【答案】D【解析】化简，根据函数的周期，值域，对称性逐项验证，即可求得结()sin (sin cos )f x x x x =⋅+论.【详解】2()sin (sin cos )sin cos sin 1111sin 2cos 2,22242f x x x x x x xx x x π=⋅+=⋅+=-+=-+周期为，①正确；()f x π110,,2[,[,4444422x x x πππππ⎡⎤∈-∈--∈-⎢⎥⎣⎦的值域为，②正确；()f x []0,1，③正确； 511(822f ππ=+=为的最大值，11511()8222f ππ=+=()f x ④正确. 故选:D【点睛】本题考查三角函数的化简，以及三角函数的性质，属于中档题.二、填空题13．若，则_______． 2sin 3α=sin()πα-=【答案】23【解析】直接利用诱导公式得到答案. 【详解】 2sin()sin 3παα-==故答案为：23【点睛】本题考查了诱导公式，属于简单题.14．向量_________AB MB BO BC OM +=+++【答案】##ACCA - 【分析】利用向量加法的三角形法则及向量加法的运算律即可求解.【详解】()()AB MB BO BC OM AB BO MB BC OM +++=+++++ .()AO MC OM AO OM MC AM MC AC +=+=+=++=故答案为：.AC15．函数________.y =【答案】 72,2,66k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【分析】根据使函数有意义必须满足，再由正弦函数的性质得到的范围． 12sin 0x -≥x 【详解】由题意得：12sin 0x -≥ 1sin 2x ∴≤ 722,66k x k k ππππ∴-≤≤+∈Z 即 72,2,66x k k k ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z 故答案为 72,2,66k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【点睛】本题考查关于三角函数的定义域问题，属于基础题．16．若方程在上有解,则实数m 的取值范围是________.sin 41x m =+[]0,2x π∈【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】先求出的范围，将代入，解不等式即可得m 的取值范围. sin x sin 41x m =+【详解】解：， [][]0,2,sin 1,1x y x π∈∴=∈- ，[]1sin 114,x m ∈-+∴=，1,02m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故答案为：1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查方程有解问题，可转化为函数的值域问题，是基础题. 17．下列五个命题：①终边在轴上的角的集合是； y π,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ∣②在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点； sin y x =y x =③把函数的图象向右平移个单位长度得到的图象；π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π63sin2y x =④函数在上是单调递减的；πsin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭[]0,π⑤函数的图象关于点成中心对称图形.πtan 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭其中真命题的序号是__________. 【答案】③⑤【分析】①终边在y 轴上的角的集合为；②根据的大小关系判断；③ππ,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z sin ,x x 根据三角函数的图象的平移变换规律判断；④根据正弦函数的单调性判断；⑤根据正切函数的对称性判断.【详解】①终边在y 轴上的角的集合为，故①错误；ππ,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ②在同一直角坐标系中，函数的图象和函数的图象有一个公共点，为原点，当sin y x =y x =0x =时，；当时，；sin x x =1x ≥sin x x <当时，如图，在单位圆中，轴，，弧的长度为，则；所以01x <<PM Ox ⊥=sin PM x PA x sin x x <当时，.0x >sin x x <同理当时，，所以函数的图象和函数的图象有一个公共点，0x <sin x x >sin y x =y x =故②错误；③的图象向右平移得到的图象，故③正确；π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6ππ3sin 23sin263y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦④，在上是增函数，故④错误；πsin cos 2y x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()0,π⑤当时，代入函数中可得，，则可知是对称中心，π6x =-ππtan 2tan0063y ⎡⎤⎛⎫=⨯-+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭故⑤正确. 故答案为：③⑤.18．函数的部分图象如图所示.若方程()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭有实数解，则的取值范围为__________.()π2cos 43f x x a ⎛⎫++= ⎪⎝⎭a【答案】94,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据图象求出函数的解析式为，求出()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()2ππππ2sin 22cos 42sin 2212sin 26366g x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据二次函数的性质，即可求出结果.[]πsin 2,1,16t x t ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭【详解】解：由图可知，， 2A =2πππ2362T =-=所以，即，πT =2ππω=⇒2ω=当时，，可得，π6x =()2f x =πππ2sin 222π632k ϕϕ⎛⎫⨯+=⇒+=+ ⎪⎝⎭即，因为，所以，π2π,6k k ϕ=+∈Z π2ϕ<π6ϕ=所以函数的解析式为，()f x ()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭设，()()π2cos 43g x f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭则，()ππ2sin 22cos 463g x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ2sin 2212sin 266x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦令，[]πsin 2,1,16t x t ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭记，()2219422444h t t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭因为，所以，[]1,1t ∈-()94,4h t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦即，故，()94,4g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦94,4a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故的取值范围为.a 94,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：.94,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦19．如图，四边形是平行四边形，点P 在上，判断下列各式是否正确（正确的在括号内ABCD CD 打“√"，错误的打“×”）（1）．() DA DP PA +=（2）．() DA AB BP DP ++=（3）．()AB BC CP PA ++=【答案】 × √ ×【解析】（1）由图形得；（2）、（3）利用向量加法几何意义；DA DP PA -=【详解】对（1），因为，故（1）错误；DA DP PA -=对（2），利用向量加法三角形首尾相接知，（2）正确；DA AB BP DP ++=对（3），，故（3）错误.AB BC CP AP ++= 故答案为：(1) ×；(2) √；(3) ×【点睛】本题考查平面向量加法的几何意义，考查数形结合思想，求解时注意三角形法则的运用.三、解答题20．已知函数． 2()cos cos f x x x x =-(1)求的最小正周期；()f x (2)当时，讨论的单调性并求其值域．ππ[,]62x ∈-()f x 【答案】(1)π(2)时，单调递增，时，单调递减，值域为ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x ππ,32x ⎡⎤∈⎢⎣⎦()f x 31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）对化简后得到，利用求最小正周期；（2）整体法()f x ()π1sin 262f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭2πT ω=求解函数单调性及其值域.【详解】（1） 1cos 2ππ1π1()2sin 2cos cos 2sin sin 2266262x f x x x x x +⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭所以的最小正周期为． ()f x 2ππ2=（2）当时，．ππ,62x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦52,πππ626x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦故当，即时，单调递增，πππ2262x --……ππ63x -……()f x 当，即时，单调递减． ππ5π2266x -……ππ32x ……()f x 当时，，52,πππ626x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦π1sin 216x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭……所以，即的值域为31()22f x -……()f x 31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21．设，是两个不共线的向量，已知，，. 1e 2e 1228AB e e =- 123CB e e =+ 122CD e e =-(1)求证：，，三点共线；A B D (2)若，且，求实数的值.123BF e ke =-u r u u u r u r //B B F Dk 【答案】(1)证明见解析 (2) 12【分析】（1）由题意证明向量与共线，再根据二者有公共点，证明三点共线；AB BDB （2）根据与共线，设由（1）的结论及题意代入整理，结合，是两BF BD() R BF BD λλ∈= 1e 2e 个不共线的向量，构造方程解实数的值.k【详解】（1）由已知得, 121212))(2(34BD CD CB e e e e e e =-+=-=--因为，所以,1228AB e e =- 2AB BD = 又与有公共点，所以，，三点共线；AB BDB A B D （2）由（1）知，若，且，124BD e e =- 123BF e ke =-u r u u u r u r //B B F D可设,() R BF BD λλ∈=所以，即，121234e ke e e λλ-=-12(3)(4)e k e λλ-=- 又，是两个不共线的向量，1e 2e所以解.3040k λλ-=⎧⎨-=⎩12k =22．已知函数，且的最小正周期为. 2()cos 2cos (0)f x x x x ωωωω=+>()f x π（1）求ω的值及函数f (x )的单调递减区间； （2）将函数f (x )的图象向右平移个单位长度后得到函数g (x )的图象，求当时，函数6π0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦g (x )的最大值.【答案】（1）ω=1，单调递减区间为；（2）3. 2[,],63k k k ππ+π+π∈Z 【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，利用周()2sin(2)16f x x πω=++期公式即可解得的值，利用正弦函数的图象和性质，令，即可解得ω3222262k x k πππππ+++……的单调减区间．()f x （2）根据函数的图象变换可求，由的范围，可求sin()y A x ωϕ=+()2sin(2)16g x x π=-+x ，由正弦函数的图象和性质即可得解． 52666x πππ--……【详解】解：（1），()21cos 22sin(2)16f x x x x πωωω++=++，， 22T πππω=⇒=1ω∴=从而：，令， ()2sin(2)16f x x π=++3222262k x k πππππ+++……得， 263k x k ππππ++……的单调减区间为．()f x ∴2[,],63k k k ππ+π+π∈Z（2），()2sin[2()]12sin(21666g x x x πππ=-++=-+，， [0,2x π∈∴52666x πππ--……当，即时，． ∴226x ππ-=3x π=()2113max g x =⨯+=【点睛】本题主要考查了函数的图象变换，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的sin()y A x ωϕ=+图象和性质，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．23．已知数的相邻两对称轴间的距离为. 2()2sin 1(0)6212x f x x πωπωω⎛⎫⎛⎫=+++-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2π(1)求的解析式； ()f x (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），()f x 6π12得到函数的图象，当时，求函数的值域；()y g x =,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()g x (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为()g x 4()3g x =4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦12,,nx x x ，若，试求与的值. m =1231222n n x x x x x -+++++ n m 【答案】(1) ()2sin 2f x x =(2) [-(3) 205,3n m π==【分析】（1）先整理化简得，利用周期求得，即可得到； ()2sin f x x ω=2ω=()2sin 2f x x =（2）利用图像变换得到，用换元法求出函数的值域；()sin()243g x x π=-()g x （3）由方程，得到，借助于正弦函数的图象，求出与的值.4()3g x =2sin(4)33x π-=sin y x =n m【详解】（1）由题意，函数21())2sin ()1626f x x x ππωω⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦cos()2sin()2sin 6666x x x x ππππωωωω=+-+=+-=因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得.()f x 2πT π=2ω=故()2sin 2f x x =（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象.()f x 6π2sin(2)3y x π=-再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象.12()2sin(4)3y g x x π==-当时，，,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦24,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦当时，函数取得最小值，最小值为，432x ππ-=-()g x 2-当时，函数433x ππ-=()g x故函数的值域. ()g x ⎡-⎣（3）由方程，即，即，4()3g x =42sin(4)33x π-=2sin(4)33x π-=因为，可得，4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦4,533x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦设，其中，即，结合正弦函数的图象， 43x πθ=-,53πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2sin 3θ=sin y x =可得方程在区间有5个解，即， 2sin 3θ=,53ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5n =其中， 122334453,5,7,9θθπθθπθθπθθπ+=+=+=+=即 12233445443,445,447,44933333333x x x x x x x x ππππππππππππ-+-=-+-=-+-=-+-=解得 1223344511172329,,,12121212x x x x x x x x ππππ+=+=+=+=所以. m =()()()()1212345233445223220x x x x x x x x x x x x x π=++++++++++++= 综上， 2053n m π==，【点睛】（1）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或sin y x =cos y x =的性质解题；（2）求y =A sin(ωx +φ)+B 的值域通常用换元法；。
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唐山一中高一2016年3月份月考
数学试卷
命题人：毛金丽 审核人：宁利伟
说明：1．考试时间120分钟，满分150分。
2．将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上，卷Ⅱ用黑色字迹的签字笔答在答题纸上。
3．卷Ⅱ卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后5位。
卷Ⅰ(选择题 共60分)
一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
1．在△ABC 中，已知
AC ，∠B=30°，则∠A= ( ) A ．45° B ．15° C ．45°或135° D ．15°或105° 2．在等差数列{}n a 中，已知3810,a a +=则573a a += ( ) A ．10 B ．18 C ．20 D ．28
3．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若c 2
=（a ﹣b ）2
+6，△ABC 的面积
C= （ ） A ．3π B ．23π C ．6
π
D ．56
π
4．在△ABC 中，2cos 22B a c c
+=，（a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边），则△ABC 的形状为 ( )
A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形或直角三角形
D ．等腰直角三角形
5. 在正项等比数列{}n a 中1321
3,,22
a a a 成等差数列，则2016201720142015a a a a --等于
( )
A ．3或﹣1
B ．9或
1 C ．1 D ．9
6. 如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使在C 塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测∠BDC=45°，则塔高AB 的高度为 （ ）
A ．10
B ．102
C ．103
D ．106
7.已知函数2
()41f x x =-，若数列1()f n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
前n 项和为n S ，则2015S 的值为 ( ) A ．
20142015 B ．20132015 C ．4030
4031
D ．2015
4031
8. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若2
2
3a b bc -=，
sin 23sin C B =,则A = ( ) A.
6π B.3
π
C.23π
D.56π
9. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若134,,a a a 成等比数列，则32
53
S S S S --的值为（ ）
A ．1或
2 B ．12 C ．2 D ．12
或2
10. 已知数列{}n a 是等比数列，251
2,4
a a ==
则12231n n a a a a a a ++++= （ ）
A.16(14)n --
B. 16(12)n
-- C ．
32
(14)3
n -- D ．32
(12)3
n -- 11. 黑板上有一道有正解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a=2，…，解得，
根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件( ) A ．A=30°，B=45° B ．1
1,cos 3
c C ==
C ．B=60°,c=3
D ．C=75°，A=45° 12. 定义在(0,1)上的函数()f x ，对任意,(1,)m n ∈+∞且m n <时，都有
11()()()1m n f f f m n mn --=-.记2155n a f n n ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，*
n N ∈，则在数列{}n a 中， 128a a a ++
+= （ ）
A ．12f ⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．13f ⎛⎫
⎪⎝⎭ C ．14f ⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．15f ⎛⎫
⎪⎝⎭
卷Ⅱ(非选择题 共90分)
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．若数列{}n a 的前n 项和为2
13
n n S a =
+,则{}n a 的通项公式是n a =_______． 14．在锐角ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为,,a b c .若6cos b a
C a b
+=,则
tan tan tan tan C C
A B
+=________． 15．等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{}lg n a 的前8项和等于 . 16．在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=︒,2BC =,则AB 的取值范围为
.
三．解答题（本大题共６小题，共70分） 17.（本小题满分10分）
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足a A 7sin b 4=.
（1）求B sin 的值.
（2）若c b a ,,成等差数列，且公差大于0，求cos cos A C -的值. 18.（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1413,,a a a 成等比数列．
(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设{
}n
n
b a 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T . 19.（本小题满分12分）
在右图所示的四边形ABCD 中， 0
90,120,60,2BAD BCD BAC AC ∠=∠=∠==记
ABC θ∠=.
（Ⅰ）用含θ的代数式表示DC ； （Ⅱ）求△BCD 的面积S 的最小值.
20. （本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前项和为n T ，满足2*
2,n n T S n n N =-∈ .
（1）求1a 的值；
（2）求数列{}n a 的通项公式. 21. （本小题满分12分）
在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边为c b a ,,，已知4
102sin =C . （1）求C cos 的值； （2）若ABC ∆的面积为
4153，且C B A 22
2sin 16
13sin sin =
+，求c b a ,,的值. 22. （本小题满分12分）
A B
D
已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且),(2
)
1(*N n a a S n n n ∈+= （Ⅰ）求证数列{}n a 是等差数列； （Ⅱ）设,,1
21n n n
n b b b T S b +⋅⋅⋅++==若n T λ≤对于任意*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围.。