人教版九年级数学上册第二十一章第一课时一元二次方程解决几何问题

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人教版九年级数学第二十一章21.1《一元二次方程》教案

五、教学反思
今天在教授九年级的一元二次方程时，我发现学生们对这一章节的内容充满了好奇，但也存在一些理解上的困难。在课堂上，我尝试了多种方法来引导学生理解和掌握一元二次方程的核心知识，以下是我的一些观察和思考。
首先，我发现通过引入日常生活中的实际问题来激发学生的兴趣是非常有效的。学生们能够直观地感受到数学知识在解决实际问题中的应用，这有助于提高他们的学习积极性。例如，当我提出一个关于面积的问题时，学生们马上就能联想到一元二次方程，这说明他们已经开始尝试将数学知识应用到实际情境中。
人教版九年级数学第二十一章21.1《一元二次方程》教案
一、教学内容
人教版九年级数学第二十一章21.1《一元二次方程》教案：
1.理解一元二次方程的定义，掌握其一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0）；
2.掌握一元二次方程的求解方法，包括直接开平方法、配方法、公式法；
3.能够运用一元二次方程解决实际问题，培养分析问题和解决问题的能力；
3.培养学生的数据分析能力，掌握判别式和根与系数的关系，能够分析并解决相关问题；
4.培养学生的数学抽象素养，理解一元二次方程的数学本质，提高对数学概念的理解和抽象能力；
5.培养学生的创新意识，鼓励学生在解决一元二次方程问题时，运用不同的方法和策略，激发创新思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解一元二次方程的定义及其一般形式，这是后续求解各种一元二次方程的基础。
4.了解一元二次方程的根的判别式，掌握判别式的应用；
5.掌握一元二次方程根与系数的关系，了解其几何意义。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力，通过分析一元二次方程的定义和求解过程，提高学生的逻辑思维和推理能力；
2.培养学生的数学建模能力，学会将现实问题抽象为一元二次方程，通过求解方程解决实际问题；

九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程教案(新版)新人教版

21.2 解一元二次方程配方法（1）教学内容间接即通过变形运用开平方法降次解方程．教学目标理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．重难点关键1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．2．难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 (4) 4x2+16x=-7老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=或mx+n=p≥0）．如：4x2+16x+16=（2x+4）2 ,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗?二、探索新知列出下面问题的方程并回答：（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？问题2：要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有．（2）不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2+6x-16=0移项→x2+6x=16两边加32使左边配成x 2+2bx+b 2的形式 → x 2+6x+32=16+9左边写成平方形式 → （x+3）2=•25 •降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5解一次方程→x 1=2，x 2= -8可以验证：x 1=2，x 2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m ，常为8 m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1．用配方法解下列关于x 的方程（1）x 2-8x+1=0 （2）x 2-2x-12=0 分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．解：略三、巩固练习教材探究，并说明理由．教材练习．四、应用拓展例3．如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B•两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，•几秒后△PCQ•的面积为Rt △ACB 面积的一半．B C AQ P分析：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．•根据已知列出等式．解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．根据题意，得：12（8-x ）（6-x ）=12×12×8×6 整理，得：x 2-14x+24=0（x-7）2=25即x 1=12，x 2=2x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去．所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．五、归纳小结本节课应掌握：左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．六、布置作业教材复习巩固2． 3.(1)(2)配方法(2)教学内容给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程．教学目标了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．重难点关键1．重点：讲清配方法的解题步骤．2．难点与关键：把常数项移到方程右边后，•两边加上的常数是一次项系数一半的平方．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（学生活动）解下列方程：（1）x2-4x+7=0 （2）2x2-8x+1=0老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：略. (2)与(1)有何关联?二、探索新知讨论:配方法届一元二次方程的一般步骤：(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．例1．解下列方程（1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．解：略三、巩固练习教材练习题四、归纳小结本节课应掌握：1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．2．配方法是解一元二次方程的通法，它重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性（如例3）在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到。

人教版初中数学课标版九年级上册第二十一章 §21.1一元二次方程(1)(共20张PPT)

• [例] 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：
3x(x 1) 5(x + 2)
练习2：下列方程那些是一元二次方程？
1.x(5x-2)=x(x+1)+4x2 2. ax2+bx+c=0
3.
4. 6x2=x
5 . 2x2=5y
6. -x2=0
练习3：将下列方程化为一般形式，并分别
A ax2＋bx＋c＝0
B mx2＋x－m2＝0
C(m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0
四.课堂小结
亲爱的同学们，你学到了哪些内容？
?
五.作业布置
1.课本第4页练习框第一题 2.课本习题21.1中1题和2题
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x的一元二次方程，
经过整理，都可以化为 ax2 + bx的+ c形式0 ，我们把 ax2 +(ab,bx,+c为c 常0 数为，啥a限≠制0）a≠称0，为b,一c可元以二为次零吗？方程的一般形式。
a x 2+ b x + c = 0
二次项系数
一次项系数
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17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。下午10时38分56秒下午10时38分22:38:5621.8.24
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You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
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问题(3)：要组织一次单循环排球邀请赛,若共
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15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月下午10时38分21.8.2422:38August 24, 2021

九年级数学上册第二十一章一元二次方程. 实际问题与一元二次方程用一元二次方程解决几何图形问题

则可列方程为( B )
A．x(20＋x)＝64 B．x(20－x)＝64 C．x(40＋x)＝64 D．x(40－x)＝64 3．一个菱形的两条对角线相差 2 cm，面积是 24 cm2，则菱形的周长是__2_0c_m__.
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4．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园
第ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ十一章一元二次方程
专题 (二) (zhuāntí) 一元二次方程的解法
２１．３实际问题与一元二次方程问题与一元二次方程第３课时(kèshí) 用一元二次方程解决几何图形问题
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面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、
No 于(děngyú)48 cm2.”他的说法对吗。请说明理由．
Image
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(2)围成鸡场的面积(miàn jī)可能达到200平方米吗？
解：(1)设与墙垂直的一边长为 x 米，则平行的一边为(33－2x＋2)米，根据题意，得 x(33－2x＋2)＝150，解得 x1＝10，x2＝125(不合题意，舍去)，∴长为 15 米，宽为 10 米 (2)设与墙平行的一边长为 y 米，则垂直的一边边长为33－（2y－2）米，根据题意，得 33－（y－2）y＝200，整理得 y2－35y＋400＝0 ，此方程无实数根，∴不能
z12(/152/－2021z)＝7，此方程无解，∴不能
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内容(nèiróng)总结
第二十一章一元二次方程。２１．３实际问题与一元二次方程问题与一元二次方程。13．小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．。(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等

人教版九年级上册数学第21章用一元二次方程解应用题常见的类型及解题方法

用一元二次方程解应用题常见的类型及解题方法列方程解应用题是教学的重点，也是难点，本文就一元二次方程应用题常见的类型及解题方法，归纳提供给大家参考。

1、利润问题此类问题常见的等量关系是：利润=售价－进价，总利润=每件商品的利润×销售数量，利润率=进价利润。

例：某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么衬衫平均每天多售出2件，商场若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？分析：假设每件衬衫应降价x元，现每件盈利为（40－x）元，现每天销售衬衫为（20＋2x）件，根据等量关系：每件衬衫的利润×销售衬衫数量=销售利润，可列出方程。

解：设每件衬衫应降价x元，根据题意，得（40－x）（20＋2x）=1200解得x1=10，x2=20，因尽快减少库存，∴取x=20 ∴每件应降价20元。

答：略2、利息问题此类问题的等量关系是：利率=本金利息，利息=本金×利率×期数，本息和=本金＋利息=本金×（1＋利率）。

例：某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率（本题不计利息税）分析：假设这种存款方式的年利率为x，2000元存一年后本息和为2000（1＋x）元，支取1000元后，还剩[2000（1＋x）－1000]元，将所剩[2000（1＋x）－1000]元再存入银行一年，到期后本息共1320元，根据本息和=本金×（1＋利率）等量关系可列出方程。

解：设这种存款方式的年利率为x。

根据题意得，[2000（1＋x）－1000]（1＋x）=1320∴)1(2x－0.5(x＋1)－0.06=0∴（x＋1＋0.6）（x＋1－1.1）=0∴x1=－1.6（舍去），x2=0.1=10%答：略3、与几何图形的面积问题①几何图形的面积问题面积公式是此类问题的等量关系。

人教版九年级数学上册《实际问题与一元二次方程》PPT课件

感悟新知
知4－练
1 一个两位数，它的十位数字比个位数字小4，若把这两个数字调换位置，所得的两位数与原两位数的乘积等于765，求原两位数． 15
2 两个相邻偶数的积是168.求这两个偶数．
12和14
课堂小结
一元二次方程
1. 列一元二次方程解实际应用问题有哪些步骤? 2. 列方程解实际问题时要注意以下两点：
感悟新知
乙种药品成本的年平均下降率是多少？请比较
两种药品成本的年平均下降率．
知1－练
解：设乙种药品的年平均下降率为y，列方程得
6000（1 － y ）2=3600.
解方程，得 y1≈0.225，y2≈1.775. 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率
约为22.5%. 综上所述，甲乙两种药品成本的年平均
感悟新知
知2－练
解：(1) 设每轮分裂中每个有益菌可分裂出x个有益菌，根据题意，得 60(1＋x)2＝24 000. 解得x1＝19，x2＝－21(不合题意，舍去)．答：每轮分裂中每个有益菌可分裂出19个有益菌．
(2) 60×(1＋19)3＝60×203＝480 000(个)．答：经过三轮培植后共有480 000个有益菌．
知识点 2 营销策划问题
知2－练
例2 某特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元，按每
千克60元出售,平均每天可售出100千克, 后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:
在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客, 赢得市场, 该店应按原售价的几折出售?
是否正确、作答前验根是否符合实际.
感悟新知

人教版九年级上册第二十一章一元二次方程22.2.1配方法-解一元二次方程教学设计

人教版九年级上册第二十一章一元二次方程22.2.1配方法-解一元二次方程教学设计教学目标1.理解一元二次方程的定义，掌握解一元二次方程的方法；2.熟悉22.2.1配方法，掌握其使用方法；3.运用所学知识解决实际问题，提升数学思维能力。

教学内容1.一元二次方程的定义及解法；2.22.2.1配方法。

教学重难点1.22.2.1配方法的使用；2.课题实际应用。

教学方法1.理论讲解法；2.案例分析法；3.课堂互动法。

教学素材1.教材《人教版九年级数学》第二十一章；2.小黑板、彩色粉笔、PPT。

教学过程步骤1：引入1.教师用小黑板写出ax2+bx+c=0，让学生概括一元二次方程的定义；2.引导学生自主探究一元二次方程的解法，鼓励发言。

步骤2：讲解一元二次方程的解法1.教师通过 PPT 讲解一元二次方程的解法。

详细讲解公式 $\\dfrac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 的含义和用法；2.引导学生进一步掌握一元二次方程的解法，巩固公式的使用方法。

步骤3：讲解22.2.1配方法1.通过 PPT 等形式，讲解 22.2.1配方法的使用方法；2.通过课堂例题，让学生掌握 22.2.1配方法的实际应用。

步骤4：练习1.在小组内，让学生进行配对解题，互相讨论得出答案；2.教师在黑板上公布答案并讲解。

步骤5：讲解课题实际应用1.将 22.2.1配方法运用到实际课题中；2.让学生通过思维导图等方式总结解题方法和步骤。

步骤6：小结1.教师对本节课所学内容进行小结；2.学生对本节课所学内容进行反馈。

课后作业1.完成课后习题；2.自己构思一道应用 22.2.1配方法的一元二次方程题目。

教学反思本节课中，我采用了理论讲解法、案例分析法和课堂互动法等多种教学方法，让学生在听讲和思考中获得数学知识。

通过小组讨论和思维导图的方式，学生的数学思维也得到了锻炼。

在讲解 22.2.1配方法时，我结合实际课题运用，让学生感受到掌握数学知识是解决实际问题的方式之一，也激发了学生学习数学的兴趣。

人教版初中数学九年级上册第二十一章：一元二次方程(全章教案)

人教版初中数学九年级上册第二十一章：一元二次方程(全章教案)本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第二十一章一元二次方程本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法)，一元二次方程根与系数的关系，运用一元二次方程分析和解决实际问题．其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容．方程是科学研究中重要的数学思想方法，也是后续内容学习的基础和工具，本章是对一元一次方程知识的延续和深化，同时为二次函数的学习做好准备．联系一元二次方程和函数的基本知识，继续探索实际问题中的数量关系及其变化规律，让学生进一步体会“方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”．本章是中考考查的重点内容，主要考查一元二次方程的解及其解法、一元二次方程根与系数的关系、建立一元二次方程模型解决实际问题．【本章重点】一元二次方程的解法及应用．【本章难点】1．一元二次方程根与系数的关系的应用．2．利用一元二次方程解决实际问题．【本章思想方法】1．体会和掌握转化法，如：在解一元二次方程时，利用转化法将一元二次方程转化为一元一次方程．2．掌握建模思想，如：在利用一元二次方程解决实际问题时，根据题意建立适当的一元二次方程，将实际问题转化为数学模型．一元二次方程1课时解一元二次方程4课时实际问题与一元二次方程1课时一元二次方程一、基本目标【知识与技能】1．理解一元二次方程及相关概念．2．掌握一元二次方程的一般形式．3．了解一元二次方程根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．【过程与方法】从实际问题中建立方程模型，体会一元二次方程的概念．【情感态度与价值观】通过从实际问题中抽象出方程模型来认识一元二次方程，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．二、重难点目标【教学重点】1．一元二次方程的概念及其一般形式．2．判断一个数是不是一元二次方程的解．【教学难点】能准确判断一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P1～P4的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．解决下列问题：问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？【解析】设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为__(100－2x )_cm__，宽为__(50－2x )_cm__.列方程，得__(100－2x )(50－2x )＝3600__，化简，整理，得__x 2－75x ＋350＝0__.①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？【解析】全部比赛的场数为__4×7＝28(场)__.设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他__(x －1)__个队各赛一场．因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共__12x (x －1)__场．列方程，得__12x (x －1)＝28__. 化简、整理，得 __x 2－x －56＝0__.②归纳总结：方程①②的共同特点是：方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数，并且未知数的最高次数是__2__.2．一元二次方程的定义：等号两边都是__整式__，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．3．一元二次方程的一般形式是__ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__.其中__ax 2__是二次项，__a __是二次项系数，__bx __是一次项，__b __是一次项系数，__c __是常数项．环节2 合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生互学)【例1】判断下列方程，哪些是一元二次方程？ (1)x 3－2x 2＋5＝0； (2)x 2＝1；(3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋35； (4)2(x ＋1)2＝3(x ＋1)； (5)x 2－2x ＝x 2＋1； (6)ax 2＋bx ＋c ＝0.【互动探索】(引发学生思考)要判断一个方程是一元二次方程，那么它应该满足哪些条件？【解答】(2)(3)(4)是一元二次方程．【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个方程是不是一元二次方程，首先看方程等号两边是不是整式，然后移项，使方程的右边为0，再观察左边是否只有一个未知数，且未知数的最高次数是否为2.【例2】将方程2x ⎝⎛⎭⎫12－x ＋2＝5(x －1)化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数．【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程的一般形式是怎样的？【解答】去括号，得x －2x 2＋2＝5x －5.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：2x 2＋4x －7＝0. 其中二次项系数是2，一次项系数是4，常数项是－7.【互动总结】(学生总结，老师点评)将一元二次方程化成一般形式时，通常要将二次项化负为正，化分为整．【例3】下面哪些数是方程2x 2＋10x ＋12＝0的解？－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4.【互动探索】(引发学生思考)你能类比判断一个数是一元一次方程的解的方法判断一元二次方程的解吗？【解答】将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x ＝－2或x ＝－3是一元二次方程2x 2＋10x ＋12＝0的解．【互动总结】(学生总结，老师点评)要判断一个数是否是方程的解，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．若相等，则这个数是方程的解，若不相等，则这个数不是方程的解．【活动2】巩固练习(学生独学) 1．下列方程是一元二次方程的是( D ) A ．ax 2＋bx ＋c ＝0 B ．3x 2－2x ＝3(x 2－2) C ．x 3－2x －4＝0D ．(x －1)2＋1＝02．已知x ＝2是一元二次方程x 2－2mx ＋4＝0的一个解，则m 的值为( A ) A ．2 B ．0 C ．0或2D ．0或－2【教师点拨】将x ＝2代入x 2－2mx ＋4＝0得，4－4m ＋4＝0.再解关于m 的一元一次方程即可得出m 的值．3．把一元二次方程(x ＋1)(1－x )＝2x 化成二次项系数大于0的一般式是__x 2＋2x －1＝0__，其中二次项系数是__1__，一次项系数是__2__，常数项是 __－1__.【活动3】拓展延伸(学生对学)【例4】求证：关于x 的方程(m 2－8m ＋17)x 2＋2mx ＋1＝0，不论m 取何值，该方程都是一元二次方程．【互动探索】(引发学生思考)已知关于x 的方程，且含有字母系数，要证明该方程是一元二次方程，则该方程的二次项系数必须满足什么条件？【证明】m 2－8m ＋17＝m 2－8m ＋42＋1＝(m －4)2＋1. ∵(m －4)2≥0，∴(m －4)2＋1>0，即(m －4)2＋1≠0，∴不论m 取何值，该方程都是一元二次方程．【互动总结】(学生总结，老师点评)要证明不论m 取何值，该方程都是一元二次方程，只需证明二次项系数恒不为0，即m 2－8m ＋17≠0.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．一元二次方程⎩⎨⎧必须满足的三要素⎩⎪⎨⎪⎧是整式方程只有一个未知数未知数的最高次数是2一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0a ≠02．判断一个数是否是一元二次方程解的方法：将这个数分别代入方程的左右两边，如果“左边＝右边”，则这个数是方程的解；如果“左边≠右边”，则这个数不是方程的解．请完成本课时对应练习！解一元二次方程配方法(第1课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．2．理解并掌握直接开方法、配方法解一元二次方程的方法．【过程与方法】1．通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程，迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．2．通过把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的过程解一元二次方程．【情感态度与价值观】通过对一元二次方程解法的探索，体会“降次”的基本思想，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．二、重难点目标【教学重点】掌握直接开平方法和配方法解一元二次方程．【教学难点】把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的形式．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P5～P9的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一般地，对于方程x2＝p：(1)当p>0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根，x1＝__p__，x2＝__－p__.(2)当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝__0__；(3)当p＜0时，方程__无实数根__.2．用直接开平方法解下列方程： (1)(3x ＋1)2＝9; x 1＝23，x 2＝－43. (2)y 2＋2y ＋1＝25. y 1＝4，y 2＝－6. 3．(1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2； (2)x 2－x ＋__14__＝(x －__12__)2； (3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋ __1__)2.4．一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x ＋n )2＝p 的形式，那么就有：(1)当p >0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根，x 1＝，x 2＝；(2)当p ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝__－n __； (3)当p ＜0时，方程__无实数根__. 环节2 合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生互学) 【例1】用配方法解下列关于x 的方程： (1)2x 2－4x －8＝0； (2)2x 2＋3x －2＝0.【互动探索】(引发学生思考)用配方法解一元二次方程的实质和关键点是什么？【解答】(1)移项，得2x 2－4x ＝8. 二次项系数化为1，得x 2－2x ＝4.配方，得x 2－2x ＋12＝4＋12，即(x －1)2＝5. 由此可得x －1＝±5， ∴x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5. (2)移项，得2x 2＋3x ＝2.二次项系数化为1，得x 2＋32x ＝1.配方，得⎝⎛⎭⎫x ＋342＝2516.由此可得x ＋34＝±54，∴x 1＝12，x 2＝－2.【互动总结】(学生总结，老师点评)用配方法解一元二次方程的实质就是对一元二次方程进行变形，转化为开平方所需要的形式，配方法的一般步骤可简记为：一移，二化，三配，四开．【活动2】巩固练习(学生独学)1．若x 2－4x ＋p ＝(x ＋q )2，则p 、q 的值分别是( B ) A ．p ＝4，q ＝2 B ．p ＝4，q ＝－2 C ．p ＝－4，q ＝2D ．p ＝－4，q ＝－22．用直接开平方法或配方法解下列方程： (1)3(x －1)2－6＝0 ； (2)x 2－4x ＋4＝5； (3)9x 2＋6x ＋1＝4； (4)36x 2－1＝0； (5)4x 2＝81； (6)x 2＋2x ＋1＝4. (1)x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2. (2)x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5. (3)x 1＝－1，x 2＝13. (4)x 1＝16，x 2＝－16. (5)x 1＝92，x 2＝－92. (6)x 1＝1，x 2＝－3.【活动3】拓展延伸(学生对学)【例2】如果x 2－4x ＋y 2＋6y ＋z ＋2＋13＝0，求(xy )z 的值．【互动探索】(引发学生思考)一个数的平方是正数还是负数一个数的算术平方根是正数还是负数几个非负数相加的和是正数还是负数【解答】由已知方程，得x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9＋z ＋2＝0，即(x －2)2＋(y ＋3)2＋z ＋2＝0， ∴x ＝2，y ＝－3，z ＝－2. ∴(xy )z ＝[2×(－3)]－2＝136.【互动总结】(学生总结，老师点评)若几个非负数相加等于0，则这几个数都等于0. 环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)用配方法解一元二次方程的一般步骤：一移项→二化简→三配方→四开方请完成本课时对应练习！公式法(第2课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．2．会熟练运用公式法解一元二次方程．【过程与方法】复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．【情感态度与价值观】在一元二次方程求根公式的推导过程中，激发学生兴趣，了解解决问题多样性．二、重难点目标【教学重点】求根公式的推导及用公式法解一元二次方程．【教学难点】一元二次方程求根公式的推导．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P9～P12的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．用配方法解下列方程：(1)x2－5x＝0；x1＝0，x2＝5.(2)2x2－4x－1＝0. x1＝1＋62，x2＝1－62.2．如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它的两根？x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.【教师点拨】因为前面解具体数字的一元二次方程已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a 、b 、c 而定．(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0.当b 2－4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x ＝－b ±b 2－4ac2a就得到方程的根． (2)这个式子叫做一元二次方程的__求根公式__. (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫__公式法__.(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2__个实数根，也可能__没有__实数根． (5)一般地，式子b 2－4ac 叫做方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝__b 2－4ac __.当Δ__>__0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根；当Δ__＝__0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根；当Δ__<__0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根．4．不解方程，判断方程根的情况． (1)16x 2＋8x ＝－3； (2)9x 2＋6x ＋1＝0； (3)2x 2－9x ＋8＝0； (4)x 2－7x －18＝0.解：(1)没有实数根． (2)有两个相等的实数根． (3)有两个不相等的实数根． (4)有两个不相等的实数根．【教师点拨】将方程化为一般形式，再用判别式进行判断．环节2 合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生互学) 【例1】用公式法解下列方程： (1)2x 2＋1＝3x ； (2)2x (x －1)－7x ＝2.【互动探索】(引发学生思考)用公式法解一元二次方程的步骤是怎样的？【解答】(1)原方程整理，得2x 2－3x ＋1＝0. 其中a ＝2，b ＝－3，c ＝1，则Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×1＝1>0. ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－－3±12×2，即x 1＝12，x 2＝1.(2)原方程整理，得2x 2－9x －2＝0. 其中a ＝2，b ＝－9，c ＝－2，则Δ＝b 2－4ac ＝(－9)2－4×2×(－2)＝97>0. ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a＝－－9±972×2，即x 1＝9＋974，x 2＝9－974.【互动总结】(学生总结，老师点评)用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 的值；(2)求出Δ＝b 2－4ac 的值；(3)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，即x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a ；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，即x 1＝x 2＝－b2a ；当Δ<0时，方程没有实数根．【活动2】巩固练习(学生独学)1．方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( B ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有一个实数根 D ．没有实数根2．如果方程5x 2－4x ＝m 没有实数根，那么m 的取值范围是__m ＜－45__. 3．用公式法解下列方程：(1)2x 2－6x －1＝0； (2)2x 2－2x ＋1＝0； (3)5x ＋2＝3x 2.解：(1)x 1＝3＋112，x 2＝3－112. (2)方程没有实数根． (3)x 1＝2，x 2＝－13.【活动3】拓展延伸(学生对学)【例2】已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，试判断方程(a ＋b )x 2＋2cx ＋(a ＋b )＝0的根的情况．【互动探索】(引发学生思考)三角形的三边满足什么关系是怎样根据一元二次方程的系数判断根的情况【解答】∵a 、b 、c 分别是三角形的三边，∴a ＋b ＞0，c ＋a ＋b ＞0，c －a －b ＜0，∴Δ＝(2c )2－4(a ＋b )·(a ＋b )＝4(c ＋a ＋b )(c －a －b )<0，故原方程没有实数根．【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是掌握三角形三边的关系，即两边之和大于第三边，以及运用根的判别式Δ＝b 2－4ac 判断方程的根的情况．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．一元二次方程根的情况⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根Δ<0⇔方程没有实数根2．当Δ≥0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的实数根为x ＝－b ±b 2－4ac2a.请完成本课时对应练习！因式分解法(第3课时)一、基本目标【知识与技能】1．掌握用因式分解法解一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．【过程与方法】通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．【情感态度与价值观】了解因式分解法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度，培养学生的应用意识和创新能力．二、重难点目标【教学重点】运用因式分解法解一元二次方程．【教学难点】选择适当的方法解一元二次方程．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P12～P14的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．将下列各题因式分解：am＋bm＋cm＝__m(a＋b＋c)__；a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；a2＋2ab＋b2＝__(a＋b)2__；x2＋5x＋6＝__(x＋2)(x＋3)__；3x2－14x＋8＝__(x－4)(3x－2)__.2．按要求解下列方程：(1)2x 2＋x ＝0(用配方法)； (2)3x 2＋6x －24＝0(用公式法)．解：(1)x 1＝0，x 2＝－12. (2)x 1＝2，x 2＝－4.3．对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做__因式分解法__.4．如果ab ＝0，那么a ＝0或b ＝0，这是因式分解法的根据．即：如果(x ＋1)(x －1)＝0，那么x ＋1＝0或 __x －1＝0__，即x ＝－1或__x ＝1__.环节2 合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生对学) 【例1】用因式分解法解下列方程： (1)x 2－3x －10＝0； (2)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34； (3)3x (2x ＋1)＝4x ＋2； (4)(x －4)2＝(5－2x )2.【互动探索】(引发学生思考)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？【解答】(1)因式分解，得(x ＋2)(x －5)＝0. ∴x ＋2＝0或x －5＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝5.(2)移项、合并同类项，得4x 2－1＝0. 因式分解，得(2x ＋1)(2x －1)＝0. ∴2x ＋1＝0或2x －1＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝12.(3)原方程可变形为3x (2x ＋1)－2(2x ＋1)＝0. 因式分解，得(2x ＋1)(3x －2)＝0. ∴2x ＋1＝0或3x －2＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝23.(4)移项，得(x －4)2－(5－2x )2＝0.因式分解，得(1－x )(3x －9)＝0， ∴1－x ＝0或3x －9＝0， ∴x 1＝1，x 2＝3.【互动总结】(学生总结，老师点评)用因式分解法解一元二次方程的步骤：(1)将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0；(2)将方程左边进行因式分解，将一元二次方程转化成两个一元一次方程；(3)对两个一元一次方程分别求解．【活动2】巩固练习(学生独学) 1．解方程： (1)x 2－3x －10＝0； (2)3x (x ＋2)＝5(x ＋2)； (3)(3x ＋1)2－5＝0； (4)x 2－6x ＋9＝(2－3x )2. 解：(1)x 1＝5，x 2＝－2. (2)x 1＝－2，x 2＝53.(3)x 1＝－1＋53，x 2＝5－13. (4)x 1＝－12，x 2＝54.2．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x 2－12x ＋35＝0的根，求该三角形的周长．解：解x 2－12x ＋35＝0，得x 1＝5，x 2＝7.∵3＋4＝7，∴x ＝5，故该三角形的周长＝3＋4＋5＝12. 【活动3】拓展延伸(学生对学) 【例2】已知9a 2－4b 2＝0，求代数式a b －b a －a 2＋b 2ab 的值．【互动探索】(引发学生思考)a 、b 的值能求出来吗？a 、b 之间有怎样的关系？怎样将a 、b 的值与已知代数式联系起来．【解答】原式＝a 2－b 2－a 2－b 2ab ＝－2ba . ∵9a 2－4b 2＝0， ∴(3a ＋2b )(3a －2b )＝0，即3a ＋2b ＝0或3a －2b ＝0，∴a ＝－23b 或a ＝23b .当a ＝－23b 时，原式＝－2b－23b ＝3；当a ＝23b 时，原式＝－3.【互动总结】(学生总结，老师点评)要求a b －b a －a 2＋b 2ab 的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a 与b 的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，容易发生错误．本题注意不要漏解．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.请完成本课时对应练习！*一元二次方程的根与系数的关系(第4课时)一、基本目标【知识与技能】掌握一元二次方程的根与系数的关系．【过程与方法】利用求根公式得到一元二次方程的根，推导出根与系数的关系，体现了数学推理的严密性与严谨性．【情感态度与价值观】通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识，培养学生观察思考、归纳概括的能力．二、重难点目标【教学重点】理解一元二次方程的根与系数的关系．【教学难点】利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P15～P16的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．解下列方程，并填写表格：方程x1x2x1＋x2x1·x2x2－2x＝00220x2＋3x－4＝0－41－3－4x2－5x＋6＝02356(1)用语言描述你发现的规律：__一元二次方程的两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项__.(2)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的两根为x 1、x 2，请用式子表示x 1、x 2与p 、q 的关系：__x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q __.2．解下列方程，并填写表格：(1)用语言描述你发现的规律：__两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比__.(2)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2，请用式子表示x 1、x 2与a 、b 、c 的关系：__x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca __.3．求下列方程的两根之和与两根之积． (1)x 2－6x －15＝0； (2)5x －1＝4x 2； (3)x 2＝4； (4)2x 2＝3x .解：(1)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝－15. (2)x 1＋x 2＝54，x 1x 2＝14. (3)x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－4. (4)x 1＋x 2＝32，x 1x 2＝0. 环节2 合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生互学)【例1】x 1、x 2是方程2x 2－3x －5＝0的两个根，不解方程，求下列代数式的值： (1)x 1＋x 2 ； (2)1x 1＋1x 2；(3)x 21＋x 22； (4)x 21＋3x 22－3x 2.【互动探索】(引发学生思考)根据一元二次方程的根与系数的关系可考虑将所求代数式转化为两根之和与两根之积的关系．【解答】(1)x 1＋x 2＝32，(2)∵x 1x 2＝－52，∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－35. (3)x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝294.(4)x 21＋3x 22－3x 2＝(x 21 ＋x 22 ) ＋(2x 22 －3x 2 )＝1214. 【互动总结】(学生总结，老师点评)解答这类问题一般先将求值式进行变形，使其含有两根的和与两根的积，再求出方程的两根的和与两根的积，整体代入即可求解．【活动2】巩固练习(学生独学)1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积．(1)x 2－5x －3＝0； (2)9x ＋2＝x 2；(3)6x 2－3x ＋2＝0； (4)3x 2＋x ＋1＝0.解：(1)x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝－3.(2)x 1＋x 2＝9，x 1x 2＝－2.(3)方程无解．(4)方程无解．2．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根为1，求另一根及m 的值．解：另一根为2，m ＝2.【教师点拨】本题有两种解法：一种是根据根的定义，将x ＝1代入方程先求m ，再求另一个根；另一种是利用根与系数的关系解答．3．若一元二次方程x 2＋ax ＋2＝0的两根满足：x 21 ＋x 22 ＝12，求a 的值．解：a ＝±4.【教师点拨】由x 21 ＋ x 22 ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝12，再整体代入方程的两根之和与两根之积得到答案．【活动3】拓展延伸(学生对学)【例2】已知关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋14k 2＋1＝0，且方程两实根的积为5，求k 的值．【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程有根的条件是什么一元二次方程两实根的积与什么有关【解答】∵方程两实根的积为5，∴ ⎩⎨⎧ Δ＝[－k ＋1]2－4⎝⎛⎭⎫14k 2＋1≥0，x 1x 2＝14k 2＋1＝5，∴k ≥32，k ＝±4.故当k ＝4时，方程两实根的积为5.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的值应满足Δ≥0.环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1、x 2和系数的关系如下：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a .请完成本课时对应练习！实际问题与一元二次方程一、基本目标【知识与技能】1．会根据具体问题中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．【过程与方法】经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学建模作用．【情感态度与价值观】体会数学来源于实践，反过来又作用于实践，增强数学的应用意识．二、重难点目标【教学重点】列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．【教学难点】利用一元二次方程解决实际问题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P19～P21的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共有__1＋x__人患了流感，第二轮后共有__1＋x＋x(x＋1)__人患了流感．可列方程 __1＋x＋x(x＋1)＝121__.解方程，得x1＝__－12(不合题意，舍去)__,_x2＝__10__.所以平均一个人传染了__10__个人．2．两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大(精确到绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000－3000)÷2＝1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢下面我们通过计算来说明这个问题．①设甲种药品成本的年平均下降率为x ，则一年后甲种药品成本为__5000(1－x )__元，两年后甲种药品成本为__5000(1－x )2__元．依题意，得__5000(1－x )2＝3000__.解得__x 1≈，x 2≈.根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为__23%__.②设乙种药品成本的年平均下降率为y .依题意，得__6000(1－y )2＝3600__.解得__y 1≈，y 2≈(不合题意，舍去)__.所以两种药品成本的年平均下降率 __相同__.提示：经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．环节2 合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生互学)【例1】某林场计划修一条长750 m ，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为 m 2，上口宽比渠深多2 m ，渠底比渠深多 m.(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少？(2)如果计划每天挖土48 m 3，需要多少天才能把这条渠道挖完？【互动探索】(引发学生思考)(1)怎样用渠深表示上口宽和渠底，怎样计算梯形面积(2)渠道的体积怎样计算【解答】(1)设渠深为x m ，则渠底为(x ＋m ，上口宽为(x ＋2)m.依题意，得12(x ＋2＋x ＋x ＝，整理，得5x 2＋6x －8＝0，解得x 1＝45＝，x 2＝－2(舍去),∴上口宽为 m ，渠底为 m.(2)如果计划每天挖土48 m 3，需要错误!＝25(天)才能挖完渠道．【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是掌握梯形面积的计算方法，正确用未知数表示出相关数量．【活动2】巩固练习(学生独学)1．两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是( C )A ．2和4B ．6和8C ．4和6D ．8和102．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x 个小分支，则1＋x ＋x ·x ＝91.解得x 1＝9或x 2＝－10(舍去)．故每个支干长出9个小分支．3．如图，要设计一幅长30 cm 、宽20 cm 的图案，其中有两横两竖的彩条(图中阴影部分)，横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的14，应如何设计彩条的宽度(精确到 cm)解：横彩条宽为 cm ，竖彩条宽为 cm.【教师点拨】设横彩条的宽度为3x cm ，则竖彩条的宽度为2x cm.根据题意，得(30－4x )(20－6x )＝⎝⎛⎭⎫1－14×20×30.解得x 1≈或x 2≈(舍去)． 4.用一根长40 cm 的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75 cm 2.(1)此长方形的宽是多少？(2)能围成一个面积为101 cm 2的长方形吗？若能，说明围法；若不能，说明理由；解：(1)5 cm.(2)不能．设宽为x cm ，则长为(20－x ) cm ，由x (20－x )＝101，即x 2－20x ＋101＝0，由Δ＝202－4×101＝－4＜0，∴方程无解，故不能围成一个面积为101 cm2的长方形．【活动3】拓展延伸(学生对学)【例3】如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2.【互动探索】(引发学生思考)AB与BC之间的数量关系是怎样的？BC还应满足什么条件？【解答】设AB＝x m，则BC＝(50－2x)m.根据题意，得x(50－2x)＝300.解得x1＝10，x2＝15，当x＝10时，BC＝50－10－10＝30＞25，则x1＝10不合题意，舍去．故可以围成AB长为15 m，BC长为20 m的矩形花园．【互动总结】(学生总结，老师点评)利用一元二次方程解决实际问题时，要注意检验方程的根是否符合实际问题．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)“设”，即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(2)“列”，即根据题中的等量关系列方程；(3)“解”，即求出所列方程的根；(4)“检验”，即验证是否符合题意；(5)“答”，即回答题目中要解决的问题．请完成本课时对应练习！。

人教版九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》课件

练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4
解： 3和-2.
你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根.
例4：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求
2a2+4a+2018的值.
解：由题意得 a2 2a 2 0 即a2 2a 2
2a2 4a 2018 2(a2 2a) 2018 2 2 2018 2022
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．
当堂练习
1. 下列哪些是一元二次方程？
3x+2=5x-2
×
x2=0
5.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值. 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9
a 9 4
6.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0
有一个根为0，求m的值.
解：将x=0代入方程m2-4=0，
解：由题意得 a b c 0 即a 12 b 1 c 0 ∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.
2. 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗? x=2
课堂小结
概念
一元二一般形
次方程
式
根

九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.2公式法(第1课时)教案新人教

湖南省益阳市资阳区迎丰桥镇九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法（第1课时）教案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湖南省益阳市资阳区迎丰桥镇九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法（第1课时）教案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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公式法教学设计课标要求会用公式法解一元二次方程教材及学情分析前面用配方法解数字系数的一元二次方程的铺垫,学生熟悉了配方法的基本步骤，再用配方法推导一元二次方程的求根公式就比较容易了。

由此得到一元二次方程的另一种解法——公式法。

教学时应注意引导学生认识求根公式的来龙去脉，让学生自己先推导，然后再对照教科书进行检查，这样有利于学生理解和记忆公式,在应用时也可以减少错误。

求根公式的推导，困难在于字母符号多、分式运算复杂。

让学生自己动手推导,在加深认识求根公式的同时，还可以培养学生的运算能力。

九年级两个班级学生在学习上粗心大意的习惯较为严重，尤其符号意识单薄，而本节课的学习对学生移项变号、化简要求较高，教学时要加强这方面的讲解。

ax a x -+--,66 —6x+（12)—6+（12）+a x+（2a )—a +（2a)x-12）=144,x+2a）=24a x-12=±12，注意：x+2a）=24a 是否可以直接开平(x+2a）=24a观察，时对24a 的值与讲解例题：公式活动6.总结使用公式法的一般步骤:错误!<0时无实根。

九年级数学上册第二十一章一元二次方程 . 解一元二次方程因式分解法解一元二次方程

解：依题意(tí yì)可列方程：10x-4.9x²=0
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课堂探究
你认为(rènwéi)该如何解决这个问题？你想用哪种方法解这个方程？
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10x - 4.9x 2 = 0
配方法 (fāngfǎ) 降公式次 (法gō？ngshì)
x
1=
0，x
3.已知y=x²+x-6，当x=_____2_或__-_3时，y的值等于(děngyú)0，当x=___5__或__-_6__时，y的值等于24。
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4.解下列(xiàliè)方程：
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第 + x 0 , 提公因式 x ( x +1) 0，所以有 x 0 或 x +1 0，即 x1 0， x2 -1 .
4
4
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归纳总结
分解(fēnjiě)因式法解一元二次方程的步骤是:
1.化方程为一般(yībān)形式;
2. 将方程左边因式分解;
3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程；
4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
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2x14x30
2 x 1 0 或 4 x 3 0
13
x1
, 2
x2
4
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情景引入
问题根据物理学规律，如果把一个物体从地面(dìmiàn)以10 m/s的速度竖直向上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为10x-4.9x²。你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01s）

人教版数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》解题指导

抓特征,巧解一元二次方程解一元二次方程的常用方法有:直接开方法,配方法,公式法,因式分解法.到底选择哪种方法更适宜些呢?这应由方程的特征来确定.因此,解方程之前我们应仔细观察方程的系数特点和方程的构造特征,并根据它们来灵敏选择解题的方法,从而到达迅速、简便、准确解题的目的.试看以下几例:例1解方程()()224211x x -=+.析此题方程的特征为左右两边均是一个完全平方式的形式,可尝试用直接开方法来求解.解方程两边直接开方,得()()2211x x -=±+,即()2211x x -=+,或()2211x x -=--,解得1211,.5x x ==例2解方程()222163x x x -=-.析注意到方程右边可因式分解为()321x x -,左、右两边有一样的公因式,可尝试用因式分解法来求解.解原方程可化为()()221321x x x -=-,移项,得()()2213210x x x ---=,提取公因式,得()()212130x x x ---=⎡⎤⎣⎦,即()()2110x x ---=, 解得121, 1.2x x ==-评注注意解方程()()221321x x x -=-时,不能把方程两边的(21)x -12x =漏掉了,深层原因是无视了(21)x -有可能等于0不能作为除数的情况.对于这一类型的题目,一般要先移项,再提取公因式法进展因式分解后求解.例3解方程2912960x x --=.析此题方程的二次项系数为3的平方数,一次项系数又是3的偶数倍,可尝试用配方法来求解.解原方程可配方为()232100x -=,两边同时开方,得3210x -=±,解得1284,.3x x ==-例4解方程()()112x x ++=.析方程左边的两个因式具有一样的项x 、可尝试把x ＋“整体〞先对方程进展化简.解原方程可化为(212x +-=,即(23x +=,两边同时开方,得x +=解得12x x =-=评注本例假设直接利用多项式乘法法那么将左边展开,这样解题过程将会复杂许多.通过本例再次让我们感觉到抓住方程的特征,才有利于选择适当方法,才能给我们解题带来简捷与准确.一元二次方程中的思维之魂新课标要求“人人做有价值的数学〞。

2022年人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程教案一元二次方程

21.1一元二次方程一、教学目标【知识与技能】1.通过设置具体问题,建立数学模型,模仿一元一次方程的概念得到一元二次方程的定义；2．一元二次方程的一般形式及其有关概念.【过程与方法】了解一元二次方程根的概念,会判定一个数是否是一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题.【情感态度与价值观】通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．二、课型新授课三、课时第1课时,共1课时。

四、教学重难点【教学重点】通过类比一元一次方程,了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念,并能用这些概念解决简单问题．【教学难点】一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．五、课前准备多媒体课件六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）教师问1:观察图片。

要设计一座2m高的人体雕像（如左下图所示）,要求雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比,等于下部与全部的高度比,雕像的下部应设计为多高？学生回答:设雕像下部高x m,依题意得方程x2=2(2-x),整理,得x2+2x-4=0.教师问2:上述所列的方程与我们以前学习的方程一样吗？这种方程与以前学习的方程有哪些联系？（二）探索新知探究一一元二次方程的概念见教材第2页问题1.(出示课件4)有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形?【教学说明】针对上述问题可给予5~8分钟时间让学生讨论,教师可相应设置如下问题帮助学生分析:如果设四角折起的正方形的边长为xm,则制成的无盖方盒的底面长为多少?宽为多少?由底面积为3600cm2,可得到的方程又是怎样的?【讨论结果】(出示课件5)设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为(100-2x)cm,宽为(50-2x)cm,由此可得到方程(100-2x)(50-2x)=3600,整理为:4x2-300x+1400=0,化简,得x2-75x+350=0,由此方程可得出所切去的正方形的大小.见教材2~3页问题2.(出示课件6)要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛？教学过程中,教师可设置如下问题:(1)这次排球赛共安排场;(2)若设应邀请x个队参赛,则每个队与其它个队各赛一场,这样共应有场比赛；(3)由此可列出的方程为,化简得.教师提出问题,引导学生思考方程的建模过程,同时注重激发学生解决问题的欲望和兴趣.【讨论结果】（课件6展示）设应邀请x个队参赛,通过分析可得到1·x·（x-1）2=28,化简,得x2-x=56,即x2-x-56=0.观察思考观察前面所构建的三个方程,它们有什么共同点？可让学生先独立思考,然后相互交流,得出这些方程的特征:(出示课件7)（1）方程各项都是整式；（2）方程中只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2. 【归纳结论】(出示课件8)一元二次方程:等号两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程.想一想21109000x x --=是一元二次方程吗？（出示课件9）共同总结:不是.等号左边含有分式；化简整理后,未知数的最高次数为3次. 例1 下列选项中,关于x 的一元二次方程的是（）(出示课件10) A.2210x x+= B.3x 2-5xy+y 2=0 C.（x-1）（x-2）=0 D.ax 2+bx+c=0 师生共同讨论,总结如下:方法总结:判断一个方程是不是一元二次方程,必须将方程化简后再进行判断．三个条件:①方程两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2. 必须同时满足,缺一不可．生1:A 不满足整式方程；生2:B 含有两个未知数；生3:C 整理结果为x 2-3x+2=0,满足三个条件,为正确答案生4:D 若a=0,则不满足未知数最高次数为2条件。

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21.3实际问题与一元二次方程
第一课时一元二次方程解决几何问题
知识点总结1.列方程解决实际问题的基本步骤： 1.审题：读懂题目明确各已知量未知量之间的关系 2.找相等关系：根据题意找出表示相等关系的等式 3.列方程：根据相等关系列出方程 4.解方程：求出未知数的值
5.检验：检验方程的解是否符合题意和实际情况
6.作答：问什么答什么,怎么问就怎么答
例1.要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD 进行绿化和硬化.设计方案如图所示,矩形P 、Q 为两块绿地,其余为硬化路面,P 、Q 两块绿地周围的硬化路面宽都相等,并使两块绿地面积的和为矩形ABCD 面积的一半,求P 、Q 两块绿地周围的硬化路面的宽；
练习1.某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条等宽的道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪
面积为540米2.
60
40x
x x
x
x 60-3
x
P Q
40-2x
x x
(1)
(2)
【例2】校园空地上有一面墙,长度为15m,用长为32m 的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃,如图所示. (1)能围成面积是126m 2的矩形花圃吗？若能,求出BC 的长； (2)若篱笆再增加4m,围成的矩形花圃面积能达到170m 2吗？
练习1.如图,有长为24米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a 为10米),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.如果要围成面积为45m 2的花圃,AB 的长是多少米？
练习2.如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB,BC 各为多少米？
知识总结2.
1.用一元二次方程解决特殊图形问题时,可以先画出图形,利用图形的面积找相等关系列方程．
2.在列一元二次方程解应用题时,由于所得的根一般有两个,所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．
课后练习
B
C
a
25米
一、选择题
1.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，
则原铁皮的边长为（）
A. 10cm
B. 13cm
C. 14cm
D. 16cm
2.某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程
为（）
A. x(x−11)=180
B. 2x+2(x−11)=180
C. x(x+11)=180
D. 2x+2(x+11)=180
3.王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角
各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱，根据题
意列方程为（）
A. (80−x)(70−x)=3000
B. 80×70−4x2=3000
C. (80−2x)(70−2x)=3000
D. 80×70−4x2−(70+80)x=3000
4.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：
水深，葭长各几何．”意思是：如示意图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度和芦苇的长度分别是多少？备注：1丈=10尺．设芦苇长x尺，则可列方程为（）
A. x2+102=(x+1)2
B. (x−1)2+52=x2
C. x2+52=(x−1)2
D. x2+12=(x−1)2
5.如图，在一张长宽分别为50cm和30cm的长方形纸板上剪去四个边长为xcm的小正方形，并用它做成一个无盖
的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为300cm2，求x的值．根据题意，可列得的方程为（）
A. (50−x)(30−x)=300
B. (50−2x)(30−2x)=300
C. (50−2x)(30−x)=300
D. 1500−4x2=300
6.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵
共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）
A.35×20−35x−20x+2x2=600
B. 35×20−35x−2×20x=600
C. (35−2x)(20−x)=600
D. (35−x)(20−2x)=600
7.如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折
起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（）
A.(30−2x)(40−x)=600
B. (30−x)(40−x)=600
C. (30−x)(40−2x)=600
D. (30−2x)(40−2x)=600
，则8.如图，在长70m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部分)，要使观赏路面积占总面积的1
7路宽x m应满足的方程是（）
A. (40−x)(70−x)=400
B. (40−2x)(70−3x)=400
C. (40−x)(70−x)=2400
D. (40−2x)(70−3x)=2400
9.把一块长与宽之比为2：1的铁皮的四角各剪去一个边长为10厘米的小正方形，折起四边，可以做成一个无盖
的盒子，如果这个盒子的容积是1500立方厘米，设铁皮的宽为x厘米，则正确的方程是（）
A. (2x−20)(x−20)=1500
B. 10(2x−10)(x−10)=1500
C. 10(2x−20)(x−20)=1500
D. 10(x−10)(x−20)=1500
10.《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门
宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？
设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（）
A. (x+2)2+(x−4)2=x2
B. (x−2)2+(x−4)2=x2
C. x2+(x−4)2=(x−4)2
D. (x−2)2+x2=(x+4)2
11.如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，
使草坪的面积为570m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（）
A. (32−2x)(20−x)=570
B. 32x+2×20x=32×20−570
C. (32−x)(20−x)=32×20−570
D. 32x+2×20x−2x2=5701
12.如图，在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为2400平
方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（）
A. (62−x)(42−x)=2400
B. (62−x)(42−x)+x2=2400
C. 62×42−62x−42x=2400
D. 62x+42x=2400
二、计算题
13.如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长18米)，墙对面有一个2米宽的门，另三边
用竹篱笆围成，篱笆总长33米，求：鸡场的长和宽各为多少米？
14.列方程(组)解应用题
某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门(不包括篱笆).求这个茶园的长和宽．
15.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向B移动，点Q从
点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，P、Q 两点同时停止运动．
(1)是否存在某一时刻使得△PQD的面积等于8cm2？若存在，求出运动的时间；若不存在，说
明理由．
(2)几秒后，△PQD是以DP为斜边的直角三角形．
16.某地计划对矩形广场进行扩建改造，如图，将一块面积为1000m2的原广场，向其四周扩充一条宽度相等的人
行道，要求扩充后的矩形广场长60m，宽30m，求扩充的人行道的宽度．
17.如图，某小区规划在一个长30m，宽20m的矩形场地上，修建两横两竖四条同样宽的道路，且横、竖道路分别
与矩形的长、宽平行，其余部分种草坪，若使每块草坪的面积都为56m2，应如何设计
道路的宽度？
18.如图，要为一幅长30cm、宽20cm的照片配一个镜框，要求镜框四边的宽度x相等，且镜框所占面积为照片面
，镜框的宽度应该多少厘米？
积的9
25。

人教版九年级数学上册第二十一章 第一课时 一元二次方程解决几何问题