河北省石家庄市2019年中考数学总复习第六章圆第四节弧长扇形面积的相关计算同步训练

第四节 弧长、扇形面积的相关计算
姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟
1．(2018·黄石)如图，AB 是⊙O 的直径，点D 为⊙O 上一点，且∠ABD＝30°，BO ＝4，则BD ︵
的长为( )
A.23π
B.43π C ．2π D.83
π 2．(2018·宁波)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB ＝4，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交边AB 于点D ，则CD ︵
的长为( )
A.16π
B.13π
C.23π
D.233
π 3．(2017·咸宁)如图，⊙O 的半径为3，四边形ABCD 内接于⊙O，连接OB ，OD ，若∠BOD＝∠BCD，则BD ︵的长为( )
A ．π B.3
2
π C ．2π D ．3π
4．(2018·德州)如图，从一块直径为2 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为( )
A.
π
2
m 2
B.
3
2
π m 2 C ．π m 2 D ．2π m 2 5．(2019·原创) 如图，在半径为3，圆心角为90°的扇形ACB 内，以BC 为直径作半圆交AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是( )
A.5π9－32
B.9π4－94
C.
9π4＋94 D.9π8－94
6．(2018·连云港)一个扇形的圆心角为120°，它的半径是3 cm ，则扇形的弧长为________cm . 7．(2018·郴州)如图，圆锥的母线长为10 cm ，高为8 cm ，则该圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长为________cm .(结果用π表示)
8．(2019·原创) 如图，已知等边△ABC 的边长为6，以AB 为直径的⊙O 与边AC ，BC 分别交于D ，E 两点，则劣弧DE ︵
的长为________．
9．(2018·石家庄一模)如图，在边长为6的菱形ABCD 中，分别以各顶点为圆心，以边长的一半为半径，在菱形内作四条圆弧，则图中阴影部分的周长是________．(结果保留π)
10．(2018·天水)如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a ，则勒洛三角形的周长为________．
11．(2019·易错)如图，在△ABC 中，∠BAC＝120°，AB ＝AC ＝4，以点A 为圆心，底边的高AD 长为半径
作圆弧，交AB 、AC 于点E ，F ，则图中阴影部分的面积为________．
12．(2019·原创) 如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠D＝60°. (1)求∠BAC 的度数；
(2)当BC ＝4时，求劣弧AC 的长．
13．(2018·湖州)如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，OC∥BD，交AD 于点E ，连接BC. (1)求证：AE ＝ED ；
(2)若AB ＝10，∠CBD＝36°，求AC ︵
的长．
1．(2017·潍坊)如图，AB 为半圆O 的直径，AC 是⊙O 的一条弦，D 是BC ︵
的中点，作DE⊥AC 交AB 的延长线于点F ，连接DA.
(1)求证：EF 为半圆O 的切线；
(2)若DA ＝DF ＝ 63，求阴影区域的面积．(结果保留根号和π)
2．(2018·廊坊二模)如图①，将长为10的线段OA 绕点O 旋转90°得到OB ，点A 的运动轨迹为AB ︵
，P 是半径OB 上一动点，Q 是AB ︵
上的一动点，连接PQ.
(1)当∠POQ＝________度时，PQ 有最大值，最大值为________； (2)如图②，若P 是OB 中点，且PQ⊥OB 于点P ，求BQ ︵
的长；
(3)如图③，将扇形AOB 沿折痕AP 折叠，使点B 的对应点B′恰好落在OA 的延长线上，求阴影部分面积； (4)如图④，将扇形OAB 沿PQ 折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA 相切，切点为C ，若OP ＝6，求点O 到折痕PQ 的距离．
参考答案
【基础训练】
1．D 2.C 3.C 4.A 5.B 6.2π 7.12π 8.π 9．6π 10.πa 11.43－
4π3
12．解：(1)∵∠ABC 与∠D 都是弧AC 所对的圆周角， ∴∠ABC＝∠D＝60°， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝180°－90°－60°＝30°； (2)如解图，连接OC ， ∵OB＝OC ，∠ABC＝60°， ∴△OBC 是等边三角形， ∴OC＝BC ＝4，∠BOC＝60°， ∴∠AOC＝120°，
∴劣弧AC 的长为120π×4180＝8
3π.
13．(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°. ∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD. ∴AE＝ED ；
(2)解：由(1)得，OC⊥AD， ∴AC ︵＝CD ︵
，∴∠ABC＝∠CBD＝36°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°， ∴AC ︵的长为72
180π×5＝2π.
【拔高训练】
1．(1)证明：如解图，连接OD ，∵D 是BC ︵
的中点，
∴CD ︵＝BD ︵
，∴∠CAD＝∠BAD， ∵OA＝OD ，∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠EAD＝∠ODA，∴AE∥OD， ∵AE⊥EF，∴OD⊥EF， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线．
(2)解：∵AD＝DF ，∴∠DAF＝∠DFA， ∵∠DOF＝2∠DAF，∴∠DOF＝2∠F， ∵∠ODF＝90°，∴∠DOF＋∠F＝90°， ∴∠F ＝30°， ∴∠DOF＝60°， 如解图，连接OC ，CD ， ∵∠DAF＝∠F＝30°， ∴∠CAO＝2∠DAF＝60°， ∴∠EAD＝30°. ∵OA＝OC ，
∴△AOC 是等边三角形， ∴∠AOC＝60°， ∴∠COD＝60°，
∵OC＝OD ，∴△COD 是等边三角形， ∴∠DCO＝60°＝∠COA， ∴CD∥AB，∴S △COD ＝S △CAD .
在Rt △AED 中，∠EAD＝30°，AD ＝DF ＝63， ∴DE＝33，AE ＝9，
在Rt △DOF 中，∠ODF＝90°，DF ＝63，∠F＝30°， ∴OD＝6.
∴S 阴影＝S △ADE －S 扇形COD ＝12AE·ED－n πr 2
360＝12×33×9－60π·62
360＝273
2－6π.
2．解：(1)90；102； (2)如解图①，连接OQ ，BQ ， ∵PQ⊥OB，OP ＝BP ，
∴OQ＝BQ ，∵OB＝OQ ， ∴OB＝OQ ＝BQ ，
∴△OBQ 是等边三角形， 图① ∴∠QOB＝60°，
∴BQ ︵的长为60π×10180＝10π3
；
(3)如解图②，连接AB ，在Rt △AOB 中，∠AOB＝90°，OA ＝OB ，∴∠ABO＝∠BAO＝45°. 由折叠性质得AB′＝AB ＝102，
则OB′＝AB′－AO ＝102－10， 图② ∠OB′P＝∠OBA＝45°，∴∠OPB′＝∠OB′P＝45°， ∴OP＝OB′＝102－10，
S 阴影＝S 扇形AOB －2S △AOP ＝14π·102
－2×12×10×(102－10)
＝25π＋100－1002；
(4)如解图③，过点O 作OE⊥PQ 于E ，延长OE 到O′，使得 OE ＝O′E，连接O′C 交PQ 于F ，
∵弧B′Q 与AO 相切，∴O′C⊥AO，且O′C＝OA ＝10， 图③ ∵BO⊥AO，∴O′C∥BO，∴∠FO′E＝∠POE， ∵∠FEO′＝∠PEO，OE ＝O′E， ∴△O′EF≌△OEP，∴O′F＝OP ＝6，
∵∠O′EF＝∠O′CO＝90°，∠EO′F＝∠CO′O， ∴△O′EF∽△O′CO， ∴
O′F OO′＝O′E O′C ，即62O′E ＝O′E
10
，解得O′E＝30， 即点O 到PQ 的距离为30.。