江苏省镇江市高考数学三模试卷(理科)
江苏省镇江市2020届高三下学期6月第三次模拟数学试题(解析版)
江苏省镇江市2020届高三第三次模拟考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1.已知集合{}=1,2A ，{}2=1,B a-，若{}A B a =，则实数a =__________． 【答案】1【解析】【分析】根据集合的交集的含义，有集合A 和B 必然含有共同元素a ，又由集合A ，B 可得2a a =，且21a =或22a =，从而求得结果.【详解】根据题意，若{}AB a =，则A 和B 必然含有共同元素a ， 又由{}=1,2A ，{}2=1,B a-，则有2a a =，且21a =或22a =，故解得1a = 故答案为：1【点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，利用两个集合的交集中的元素来确定有关参数的取值问题，属于基础题目.2.若复数z 满足()133i z i +=+，其中i 是虚数单位，z =__________． 【答案】3455-i 【解析】【分析】由除法法则计算． 【详解】由题意23(3)(13)3933413(13)(13)1055i i i i i i z i i i i ++--+-====-++-， 故答案为：3455-i ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题．3.已知α，β是某个平行四边形的两个内角，命题:P αβ=；命题:sin sin Q αβ=，则命题P 是命题Q的__________条件（在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个合适的填空）．【答案】充分不必要【解析】【分析】根据平行四边形性质，即可由充分必要条件的定义判断结论.【详解】α，β是某个平行四边形的两个内角，则αβ=或αβπ+=，当αβ=或αβπ+=时，命题:P αβ=可以推出命题:sin sin Q αβ=，当αβπ+=时，命题:sin sin Q αβ=不能推出命题:P αβ=，因而命题P 是命题Q 的充分不必要条件，故答案为：充分不必要.【点睛】本题考查了充分必要条件的判定，属于基础题.4.为了研究疫情病毒和人的血型间的关系，在被感染的600人中，O 型血有200人，A 型血有150人，B 型血有150人，AB 型血有100人．在这600人中，为抽取一个容量为60人的样本，则应从O 型血中抽取的人数为__________．【答案】20【解析】【分析】直接根据其所占比例求解即可.【详解】解：因为在被感染的600人中，O 型血有200人，A 型血有150人，B 型血有150人，AB 型血有100人，即O 型血的人数占2001=6003， 所以应从O 型血中抽取的人数为160=203⨯ 故答案为：20【点睛】此题考查了分层抽样，解题的关键是在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，属于基础题. 5.已知直线1:230l x y -+=，2:20x k l y k ++=，且12l l //，则直线1l ，2l 间距离为__________．【解析】【分析】根据两直线平行列关于k 的方程，解出k 的值，然后代入两直线方程进行验证是否满足12l l //，即可得出实数k 的值，最后利用平行直线得距离公式即可求解. 【详解】直线1:230l x y -+=，2:20x k l y k ++=，且12l l //，则()122k ⨯=-⨯，解得4k =-当4k =-时，直线1:230l x y -+=，2:2440x y l --=，化简得2:220x y l --=，此时，12l l //，两直线平行，满足题意，因此，4k =-，则直线1l ，2l 间的距离为d ==【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，在求出参数后，还应将参数的值代入两直线方程，验证两直线是否平行，最后再利用两直线平行的距离公式来求解，考查运算求解能力，属于基础题.6.一周后的6月25日为端午节，国家规定调休放假3天，甲、乙、丙三人端午节值班，每人值班一天，每天一人值班，则甲在乙前面值班的概率为__________． 【答案】12 【解析】【分析】首先根据题意列出甲、乙、丙三人值班的全部情况，再列出甲在乙前面值班的情况，最后利用古典概型公式计算即可.【详解】甲、乙、丙三人每人值班一天，每天一人值班共有：（甲乙丙），（甲丙乙），（乙甲丙），（乙丙甲），（丙甲乙），（丙乙甲），6种情况.其中甲在乙前面值班共有：（甲乙丙），（甲丙乙），（丙甲乙），3种情况. 所以甲在乙前面值班的概率为3162=. 故答案为：12【点睛】本题主要考查古典概型，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.7.中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．意思是把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次排列分绵，每个弟弟都比前面的哥哥多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵的斤数为__________．【答案】184【解析】【分析】由题意可知，各个儿子分到的绵的斤数构成等差数列，若以第8个儿子分的绵得斤数为首项则公差d =-17，即可根据等差数列的和求出答案.【详解】由题意可知，各个儿子分到的绵的斤数构成以第8个儿子分到的绵的斤数为首项，公差为d =-17的等差数列，其中 n =8，S 8=996,所以()188********a ⨯-+⨯-=（），解得a 1=184，故答案为：184【点睛】本题主要考查了数学文化,考查等差数列的定义、求和公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.8.在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线y 2＝4x 的准线是双曲线22212x y a -=(a ＞0)的左准线,则实数a 的值是_______．【解析】【分析】根据抛物线以及双曲线的准线方程列式求解即可.【详解】因为抛物线y 2＝4x 的准线是双曲线22212x y a -=(a ＞0)的左准线,故21-=,即()()24222210a a a a +=⇒-+=,因为0a >故解得a ．【点睛】本题主要考查了抛物线与双曲线的简单性质,属于基础题.9.竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出圆锥的底面周长l 与高h ，计算其体积V 的近似公式为2136V l h =.该结论实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π取近似值得到的.则根据你所学知识，该公式中π取的近似值为______.【答案】3【解析】【分析】首先求出圆锥体的体积，然后与近似公式对比，即可求出公式中π取的近似值. 【详解】由题知圆锥体的体积113V S h =⋅⋅， 因为圆锥的底面周长为22l l R R ππ=⇒=， 所以圆锥的底面面积224l S R ππ==， 所以圆锥体的体积211312l h V S h π=⋅⋅=， 根据题意与近似公式2136V l h =对比发现， 公式中π取的近似值为3.故答案为：3.【点睛】本题考查了圆锥体的体积公式，属于基础题.10.已知圆()()221:24C x a y -++=与圆()()222:11x b y C +++=外切，则ab 的最大值为__________．【答案】2【解析】【分析】由圆心距等于半径之和得出,a b 的关系式，然后由基本不等式可得最值．【详解】圆心为1(,2)C a -，2(,1)C b --21=+，∴2()8a b +=，所以228222a ab b ab ab =++≥+，所以2ab ≤，当且仅当a b =时等号成立， 故答案为：2．【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式求最值，解题关键是掌握两圆位置关系的判断． 11.《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年．其中有这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意为：今有直角三角形ABC ，勾（短直角边）BC 长5步，股（长直角边）AB 长12步，问该直角三角形能容纳的正方形DEBF 边长为多少？在如图所示中，求得正方形DEBF 的边长后，可求得tan ACE ∠=__________．【答案】144229【解析】【分析】首先设正方形DEBF 的边长a ，利用相似比求出a ，再求出tan ECB ∠和tan ACB ∠，利用两角差正切公式计算即可.【详解】设正方形DEBF 的边长a ，由题知：12512a a -=，解得6017a =. 所以601217tan 517ECB ∠==，12tan 5ACB ∠=. 1212144517tan tan()12122291517ACE ACB ECB -∠=∠-∠==+⨯. 故答案为：144229【点睛】本题主要以数学文化为背景，考查两角差的正切公式，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.12.已知在OAB中，OA =2OB =，135AOB ∠=︒，P 为平面OAB 上一点，且() O P OA OB λλ=+∈R ，当OP 最小时，向量OP 与OB 的夹角为__________． 【答案】2π 【解析】【分析】由 O P OA OB λ=+得AP OP OA OB λ=-=，因此有//AP OB ，这样作出图形后易知OP 最小时P 点位置，从而得向量夹角．【详解】∵ O P OA OB λ=+，∴AP OP OA OB λ=-=，作//AC OB ，如图，则P 在AC 上，易知OP 最小时，OP AC ⊥，所以OP OB ⊥，所以向量OP 与OB 的夹角为2π． 故答案为：2π．【点睛】本题考查平面向量的夹角，解题方法是几何法，通过向量线性运算的几何意义作出图形求解，减少了计算，结果一目了然．13.已知函数()e ,?13x x f x x ⎧≤⎪=<<，若函数()()2g x f x k x =-+有三个零点，则实数k 的取值范围是__________．【答案】1e ,e 3⎛⎛⎤ ⎥ ⎝⎦⎝⎭ 【解析】【分析】先作图，再求分界线对应k 的值，结合图象确定取值范围.【详解】作()e ,?13x x f x x ⎧≤⎪=<<与2y k x =+图象，(2),0,2k x k x =+>>-得2222(1)(44)430k x k x k ++-++=由2222(44)4(1)(43)0k k k ∆=--++=得21015k k k =>∴=; 由(2),0,2y k x k x =+>>-过点(1,)e 得3e k =，对应图中分界线②； 当(2),0,2y k x k x =+>>-与x y e =相切于00(,)x x e 时，因为e x y '=，所以0001(2)01,x k e k x k x k e==+>∴=-=，对应图中分界线③；因为函数()()2g x f x k x =-+有三个零点，所以实数k 的取值范围是1e ,e 3⎛⎛⎤ ⎥ ⎝⎦⎝⎭故答案为：1e ,e 3⎛⎛⎤ ⎥ ⎝⎦⎝⎭ 【点睛】本题考查根据图象交点求参数取值范围，考查数形结合思想方法，属中档题.14.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若()sin cos sin cos b C A A C -=，且2a =，则tan tan tan A B C的最大值为__________．【答案】3【解析】【分析】由已知应用两角和的正弦公式和诱导公式得sin cos B A b=，结合正弦定理可求得tan A ，从而可得tan()B C +，利用两角和的正切公式与基本不等式可得tan tan B C 的最小值，从而得题设结论．【详解】由()sin cos sin cos b C A A C -=得cos sin cos sin cos sin()sin()sin b A C A A C A C B B π=+=+=-=，所以sin sin sin cos 2B A A A b a ===，所以tan 2A =， ∴tan()tan()tan 2BC A A π+=-=-=-即tan tan 21tan tan B C B C+=--，又,B C 为锐角，∴tan 0,tan 0B C >>，所以tan tan 2tan tan 2B C B C +=-≥tan tan =B C 时等号成立，解得tan tan B C ≥，所以tan 3tan tan A B C ≤=-故答案为：3【点睛】本题考查两角和的正弦公式、正切公式，考查诱导公式，正弦定理．三角函数问题中对角的认识尤其重要，观察已知角的未知角的关系，确定选用公式，才能寻找到正确的解题思路．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为AC 中点，AB BC =，11A D AC ⊥．求证：（1）1//B C 平面1A BD ；（2）平面1A BD ⊥平面11AB C ．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）设1A B 与1AB 交于O ，连接OD ，利用中位线的性质得出1//OD B C ，再利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）证明出BD ⊥平面11AAC C ，可得出1AC BD ⊥，再由11A D AC ⊥结合线面垂直的判定定理可得出1AC ⊥平面1A BD ，最后利用面面垂直的判定定理可得出结论.【详解】（1）设1A B 与1AB 交于O ，连接OD ，在平行四边形11ABB A 中，O 为1AB 中点，D 为AC 中点，所以1//OD B C ，OD ⊂平面1A BD ，因1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD ；（2）因为AB BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥．在直三棱柱111ABC A B C -中，1C C ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1BD C C ⊥．又BD AC ⊥，1AC C C C =，所以BD ⊥平面11ACC A ．因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥，又11A D AC ⊥， 1A D BD D ⋂=，所以1AC ⊥平面1A BD ．又1AC ⊂平面11AB C ，所以平面11AB C ⊥平面1A BD ．【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的证明，考查推理能力，属于中等题.16.在ABC 中，三角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A =，sin B C =． （1）求tan C 的值；（2）若a =ABC 的面积．【答案】（1）3；（2）3【解析】【分析】（1）由同角关系求得sin A ，由诱导公式及两角和的正弦公式化sin B C =为C 的关系，从而可求得tan C ；（2）由tan C 可得sin C ，cos C ，由已知得sin B ，再由正弦定理得c ，最后由面积公式得结论．【详解】解：在ABC 中，A B C π++=，0A π<<，sin 0A >，因为cos 5A =，得sin A===①．（1()()sin sin sin sin cos cos sinC B A C A C A C A Cπ==-+=+=+⎡⎤⎣⎦，55C C C=+．所以sin3cosC C=②．如果cos0C=，则sin0C=与22sin cos1C C+=③矛盾，所以cos0C≠．所以sintan3cosCCC==．（2）因为0Cπ<<，由tan30C=>，得02C<<π，则sin0C>，cos0C>．将（1）中②代入（1）中③解得：sin C=，cos C=．于是sin B C===将a=1）①代入正弦定理sin sina cA C==，得3c=．所以ABC的面积11sin33222S ac B==⨯⨯=．【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查两角和与差的正弦公式、诱导公式，考查正弦定理、三角形面积公式．解三角形中公式较多，掌握这些公式是解题基础，要善于从已知条件出发选用恰当地公式进行计算．本题属于中档题．17.在平面直角坐标系xOy中，椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>左、右焦点分别为1F，2F，离心率为2，两准线间距离为8，圆O的直径为12F F，直线l与圆O相切于第四象限点T，与y轴交于M点，与椭圆C 交于点N（N点在T点上方），且OM ON=．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求直线l 的方程；（3）求直线l 上满足到1F ，2F距离之和为【答案】（1）22184x y +=（2）0x y --=．（3）()和,33⎛- ⎝⎭． 【解析】 【分析】(1) 根据椭圆的性质、离心率和两准线间的距离，列出以下方程：2c a =①，228a c =②，222a b c =+③，然后求解即可.(2) 法一：设切点()00,T x y ，则22004x y +=⑤, 利用0x 和0y 为核心参数，依次表示直线OT 的斜率，直线l 的方程，以及N 点的坐标，然后列方程求解即可求出0x 和0y ，进而即可求解.法二：设()0,M m ，(),N N N x y ，然后，以m ，N x ，N y 为核心参数，列出直线l 的方程，又因l 与22:4O x y +=相切，则列出圆心距d 的方程，最后根据(1)中的方程，联合求解即可.(3) 因为到1F ，2F距离之和为C ， 所以满足题意的点为直线l 与椭圆C 的公共点，联立22184x y+=④和0x y --=⑨得：220184x y x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，然后求解即可. 【详解】解：（1）设椭圆C 的焦距为2c，因为离心率为2c a =①，两准线间距离为228a c=②，又222a b c =+③，由①②③解得a =2b =．则椭圆C 的标准方程为22184x y +=④（2）法一：设切点()00,T x y ，则22004x y +=⑤，因T 在第四象限，所以00x >，00y <，直线OT 的斜率00OT y k x =，因为OT l ⊥，所以直线l 的斜率0x k y =-，直线()0000:x l y y x x y -=--，由⑤得：004x x y y +=⑥， 令0x =，得040,M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为OM ON =，OT MN ⊥，所以，T 为MN 中点，所以00042,2N x y y ⎛⎫-⎪⎝⎭， 代入（1）中④得：()22000422=184y y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+，解得：0x0=y 代入⑥式得：直线l的方程为0x y --=．法二：设()0,M m ，(),N N N x y ，则2228N N x y +=⑤，设直线:l y kx m =+⑦，因为切点T 在第四象限，所以0N x >，0k >，0m <． 因l 与22:4O x y +=相切，则圆心距2d ==，2244m k =+⑧，因为OM ON =，则22OM ON =，所以222N N x y m +=⑨， 联立⑤⑨解得：2228N x m =-，228N y m =-，因为0N x >，所以N x =N y =则0N N y m k x -=-，由⑧得2=m =-2m =±． 当2m =±时，0N x =，与0N x >矛盾．则m =-1k =， 所以直线l方程为0x y --=⑨．（3）因为到1F ，2F距离之和为C ， 所以满足题意的点为直线l 与椭圆C 的公共点，联立④⑨得：220184x y x y⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，得2380x -+=，即0x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩33x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以满足条件的点的坐标为()和,33⎛- ⎝⎭．【点睛】本题考查椭圆的基本性质，离心率，准线的定义，以及如何利用核心参数根据椭圆的图像性质进行数形结合，进而列方程求解，难点在于列方程和运算，属于难题.18.镇江市长江路江边春江潮广场要设计一尊鼎型塑像（如图1），塑像总高度为12米，塑像由两部分组成，上半部分由四根垂直于水平地面的等高垂直立柱组成（立柱上凸起部分忽略不计），下半部分由正四棱台的上底面四根水平横柱和正四棱台的四根侧棱斜柱组成，如图2所示．设计要求正棱台的水平横柱长度为4米，下底面边长为8米，设斜柱与地面的所成的角为θ．（1）用θ表示塑像上半部分立柱的高度，并求sin θ的取值范围？（2/米（立柱上凸起部分忽略不计），下半部分横柱和斜柱的造价都为2千元/米，问当θ为何值时，塑像总造价最低？【答案】（1）()12θ-米，sin θ的范围为0,19⎛ ⎝⎭．（2）当3πθ=时，塑像总造价最低． 【解析】 【分析】（1）在平面AEGC 内作AM EG ⊥，利用面面垂直性质定理可得AM ⊥平面EFGH ，AEM ∠为斜柱与地面所成的角，由10sin sin 19A EM θ<<∠=即可求解. （2）设总造价为y ，则()()1442412y AA AE AB θ=⨯⨯+⨯=-442cos θ⎛⎫+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，利用导数即可求解.【详解】解：（1）由正四棱台定义，平面AEGC ⊥平面EFGH ， 在平面AEGC 内作AM EG ⊥，交EG 于M ， 平面AEGC 平面EFGH EG =，则AM ⊥平面EFGH ，则AEM ∠为斜柱与地面所成的角，即AEM θ∠=． 显然1A ，A ，M 三点共线，在等腰梯形AEGC中，AC =EG =则EM =，AM θ=，立柱112AA θ=-，因为10sin sin 19A EM θ<<∠=，所以sin 0,19θ⎛∈ ⎝⎭．答：塑像上半部分的高度()12θ-米，sin θ的范围为0,19⎛ ⎝⎭．（2）cos AE θ=，设总造价为y ，则()1442y AA AE AB =⨯⨯+⨯，的()412442cos y θθ⎛⎫=-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭)(2162cos θθ=++， 记()2cos f θθθ-=，则()22sin cos f θθθ-'=， 令()0f θ'=，则sin θ⎛= ⎝⎭，所以3πθ=， 列表：所以当3πθ=时，()fθ有最小值．答：当3πθ=时，塑像总造价最低．【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、利用导数求函数的最值，属于中档题. 19.各项为正数的数列{}n a 如果满足：存在实数1k，对任意正整数n ，11n na k k a +≤≤恒成立，且存在正整数n ，使得1n n a k a +=或11n n a a k+=成立，则称数列{}n a 为“紧密数列”，k 称为“紧密数列”{}n a 的“紧密度”．已知数列{}n a 的各项为正数，前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，2n n n S Aa Ba C =++（A ，B ，C为常数）恒成立． （1）当14A =，12B =，14C =时， ①求数列{}n a 的通项公式；②证明数列{}n a 是“紧密度”为3的“紧密数列”；（2）当0A =时，已知数列{}n a 和数列{}n S 都为“紧密数列”，“紧密度”分别为1k ，2k ，且1k ，[]21,2k ∈，求实数B 的取值范围．【答案】（1）①21n a n =-②见解析；（2）(],1-∞- 【解析】 【分析】（1）利用公式1n n n a S S -=-得到{}n a 是以首项为1，公差为2的等差数列，得到通项公式；计算11133n na a +≤≤≤恒成立，得到证明. （2）根据递推公式得到{}n a 是以首项10a >，公比1Bq B =-的等比数列，考虑1q >和01q <<两种情况，计算得到112q ≤<，根据1B q B =-解得答案.【详解】（1）①当14A =，12B =，14C =时，2111424n n n S a a =++，当2n ≥时，2111111424n n n S a a ---=++，相减得：221111114422n n n n n a a a a a --=-+-，整理得：()()()1111124n n n n n n a a a a a a ---+=+-，因为0n a >，则10n n a a ->+，即有12n n a a --=，当1n =时，21111111424S a a a ==++，则11a =．则{}n a 是以首项为1，公差为2的等差数列，则21n a n =-． ②21n a n =-，得121212121n n a n a n n ++==+--随着n 的增大而减小， 则对任意正整数n ，11133n n a a +≤≤≤恒成立，且存在1n =，使得13n na a +=． 则数列{}n a 是“紧密度”3的“紧密数列”．（2）当0A =时，n n S Ba C =+，11n n S Ba C ++=+，相减得：()11n n Ba B a +=-， 若0B =，则上式右端中10n a +=，与0n a >矛盾；若1B =，则上式左端0n a =，与0n a >矛盾，则0B ≠，1B ≠． 则11n n a B a B +=-为常数，即{}n a 是以首项10a >，公比1B q B =-的等比数列．因数列{}n a 为“紧密数列”，则0n a >， 所以01B q B =>-，又11Bq B =≠-． 当1q >时，111n na q q a +≤<≤，对任意正整数n 恒成立， 且存在正整数n ，使得1n na q a +=，所以数列{}n a 的“紧密度”为[]11,2q k =∈， 又1q ≠，即12q <≤，此时()111n n a q S q-=-，111111n n n n n S q q q S q q ++--==+--随n 的增大而减小， 所以11111n nS q q S +≤<≤++，对任意正整数n 恒成立， 且当1n =时，11n nS q S +=+，所以数列{}n S 的“紧密度”为[]211,2k q =+∈， 则01q <<，与12q <≤矛盾，不成立； 当01q <<时，111n n a q a q+≤<≤，对任意正整数n 恒成立， 且存在正整数n ，使得1n na q a +=， 则此时{}n a 的“紧密度”为[]111,2k q =∈，即112q ≤<．而()111111111nn n n n nn q q q S q q q S q q q++-+---===+---随着n 的增大而减小， 则1111111n nn S qq q q S q+-≤<=+≤++-对任意正整数n 恒成立， 且当1n =时，11n nS q S +=+，则{}n S 的“紧密度”[]211,2k q =+∈，即01q <<， 故112q ≤<，即1121BB ≤<-，解得1B ≤-． 综上所述：实数B 的取值范围为(],1-∞-．【点睛】本题考查了数列的新定义问题，求数列的通项公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，理解数列的新定义是解题的关键.20.已知函数()()xf x e ax a R =-∈，其中e 是自然对数的底数．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）如果对任意x ∈R ，不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）讨论函数()()xg x f x e -=-的零点个数．【答案】（1）()e 1y x =-（2）0a e ≤≤（3）当2a ≤时，函数()g x 有一个零点；当2a >时，()g x 有三个零点． 【解析】 【分析】（1）代入1a =的函数解析式，求得导函数及切点坐标，由导数的几何意义即可得切线方程；（2）求得导函数，并对a 分类讨论，即可确定()y f x =的单调性，进而由不等式恒成立求得a 的取值范围；（3）将()f x 的解析式代入可得()g x 解析式，结合基本不等式可知在2a ≤时，函数()g x 有唯一零点；当2a >时，可知()g x 为奇函数，由()0g x '=可判断()g x 的单调情况，进而构造()2xh x e x =-，可证明当2x >时，2x e x >，进而可知当0x >时，函数()g x 有唯一零点，即可判断2a >时()g x 的零点个数. 【详解】（1）当1a =时，()xf x e x =-，可得()1xf x e '=-，则有()11k f e ='=-，()11f e =-，即切点坐标为()1,1e -， 则切线方程为()()111y e x e =--+-， 化简可得()e 1y x =-.（2）函数()()xf x e ax a R =-∈，则()xf x e a '=-，当0a <时，()0xf x e a '=->恒成立，则函数()f x 在R 上单增，而110xf e a ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，与()0f x ≥恒成立矛盾，不合题意；当0a =时，()0xf x e =>恒成立，则符合题意；当0a >时，由()0x f x e a '=-=得ln x a =，则()f x (),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上为单调递增，则()()min ln ln 0f x f a a a a ==-≥，解得0a e <≤． 综上：0a e ≤≤．（3）因()(), xxxg x f x e e eax x R -=-=--∈，当2a ≤时，因为()20x x g x e e a a a -'=+-≥=-≥恒成立， 则()g x 在R 上为增函数，而()00g =，则此时函数()g x 有唯一零点． 当2a >时，()()xx g x e e ax g x --=-+=-则()g x 为奇函数．只需研究0x ≥情形．由()210x x xxxe ae g x e e a e--+'=+-==，得210xxe ae -+=，则有xe =则1ln 02a x ==<，2ln 02a x =>， 则()g x 在()20,x 上为减函数，在()2,x +∞上为增函数， 则有()()200g x g <=． 下面证明：当2x >时，2x e x >．证明：令()2xh x e x =-，则()e 2x h x x '=-，()2e 2e 20x h x ''=->->，即函数()h x '在()2,+∞上为增函数，故有()()22e 40h x h ''>=->，则()h x 在()2,+∞上为增函数，故有()()2240h x h e >=->，则2x e x >．当2x >时，有1x e -<，则()21xxg x e eax x ax -=-->--，取022a x +=>，则()002000010x x g x e e ax x ax -=-->--=，因为()g t 为连续函数，由零点存在性定理可得：存在唯一()20,t x x ∈，使得()0g t =，即当0x >时，函数()g x 有唯一零点，也即此时函数()g x 有三个零点．综上：当2a ≤时，函数()g x 有一个零点；当2a >时，()g x 有三个零点．【点睛】本题考查了导数的几何意义，利用导数研究不等式恒成立问题，导函数与单调性、极值和最值的应用，由导函数证明不等式成立，构造函数分析函数零点个数的应用，综合性强，属于难题.。
江苏省镇江市句容实验中学高三数学理模拟试卷含解析
江苏省镇江市句容实验中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知α，β，γ是三个不同的平面，l1，l2是两条不同的直线，下列命题是真命题的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若l1∥α，l1⊥β，则α∥βC．若α∥β，l1∥α，l2∥β，则l1∥l2 D．若α⊥β，l1⊥α，l2⊥β，则l1⊥l2E．若α⊥β，l1⊥α，l2⊥β，则l1⊥l2 F．若α⊥β，l1⊥α，l2⊥β，则l1⊥l2参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】反例判断A的错误；利用直线与平面的关系判断B错误；反例判断C错误；直线与平面垂直判断D正误即可．【解答】解：α，β，γ是三个不同的平面，l1，l2是两条不同的直线，对于A，α⊥γ，β⊥γ，则α∩β=a也可能平行，所以A不正确．对于B，若l1∥α，l1⊥β，则α⊥β，所以B不正确；对于C，α∥β，l1∥α，l2∥β，则l1∥l2，也可能相交也可能异面，所以C不正确；对于D，若α⊥β，l1⊥α，l2⊥β，则l1⊥l2，l1与l2是平面的法向量，显然正确；故选：D．2. 若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1处有极值，则ab的最大值（）A．2 B．3 C．6 D．9参考答案：D【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，由极值的概念得到f′（1）=0，即有a+b=6，再由基本不等式即可得到最大值．【解答】解：函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2的导数f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，由于函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1处有极值，则有f′（1）=0，即有a+b=6，（a，b＞0），由于a+b≥2，即有ab≤（）2=9，当且仅当a=b=3取最大值9．故选D．3. 在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11= ( )(A)58 (B)88 (C)143 (D)176参考答案：C略4. 设是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，则下列说法正确的是（）A．过一定存在平面,使得 B．过一定不存在平面,使得C．在平面内一定存在直线，使得 D．在平面内一定不存在直线，使得参考答案：C5. 已知直线与曲线相切，则a的值为（）A．1 B．2 C．-3 D．-2参考答案：C略6. 设全集，集合，，则为A． B． C. D．参考答案：C7. 已知集合A=，集合B=，则（）A． B. C. D.参考答案：C8. 设全集U=M ∪N=﹛1,2,3,4,5﹜, M∩C u N=﹛2,4﹜,则N= （ ）A ．{1,2,3}B . {1,3,5}C . {1,4,5}D . {2,3,4}参考答案： B9. 若角的终边经过点，则（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案：B10. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ． C.D ．参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若，，若，则角A的大小为．参考答案：12. 已知数列，若点在直线上，则数列的前11项和=参考答案：3313. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ．参考答案：【考点】等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．【分析】先由题意写出成等比数列的10个数为，然后找出小于8的项的个数，代入古典概论的计算公式即可求解【解答】解：由题意成等比数列的10个数为：1，﹣3，（﹣3）2，（﹣3）3…（﹣3）9 其中小于8的项有：1，﹣3，（﹣3）3，（﹣3）5，（﹣3）7，（﹣3）9共6个数 这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是P=故答案为：【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题14. 已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px （p >0）的准线相切，，则此抛物线的焦点坐标是___________。
江苏省镇江市高考数学三模试卷
高考数学三模试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x＞1}，则A∪B=______．2.设复数z=（1+2i）2（i为虚数单位），则z的共轭复数为______．3.执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为______．4.已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是______．5.一个盒子中放有大小相同的4个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为______．6.用半径为4的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为_______.7.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：（a＞0）的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线C的方程为______．8.在等比数列{a n}中，4a1，2a4，a7成等差数列，则=______．9.若函数f（x）=2sin（ωx+φ）（0＜ω＜1，0＜φ＜）的图象过点（0，），且关于点（-2，0）对称，则f（-1）=______．10.已知圆C：（x-1）2+（y-a）2=16，若直线ax+y-2=0与圆C相交于AB两点，且CA⊥CB，则实数a的值是______．11.已知函数，若函数y=f（x）+x-a有且只有一个零点，则实数a的取值范围为______．12.在△ABC中，AB=AC，，则△ABC面积的最大值为______．13.若x，y均为正实数，则的最小值为______．14.设，若存在实数m，n（m＜n），使得f（x）的定义域和值域都是[m，n]，则实数t的取值范围为______．二、解答题（本大题共11小题，共146.0分）15.如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO中点.（1）若PD∥平面ACE，求证：E为PB的中点；（2）若，求证：CG⊥平面PBD.16.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边，若向量=（b，cos B），=（cos C，c-2a），且⊥．（1）求角B；（2）若，且ac=24，求边a，c．17.江心洲有一块如图所示的江边，OA，OB为岸边，岸边形成120°角，现拟在此江边用围网建一个江水养殖场，有两个方案：方案l：在岸边OB上取两点P，Q，用长度为1km的围网依托岸边线PQ围成三角形MPQ（MP，MQ两边为围网）；方案2：在岸边OA，OB上分别取点E，F，用长度为1km的围网EF依托岸边围成三角形EOF．请分别计算△MPQ，△EOF面积的最大值，并比较哪个方案好．18.在平面直角坐标系中，圆的方程为，且圆与x轴交于两点，设直线的方程为.（1）当直线与圆相切时，求直线的方程；（2）已知直线与圆相交于两点.（i），求直线的方程；（ii）直线与直线相交于点，直线，直线，直线的斜率分别为，，，是否存在常数a，使得恒成立？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.19.已知函数f（x）=（mx+n）e-x（m，n∈R，e是自然对数的底数）．（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+ey-3=0，试确定函数f（x）单调区间；（2）①当n=-1，m∈R时，若对于任意x∈[，2]，都有f（x）≥x恒成立，求实数m的最小值；②当m=n=1时，设函数g（x）=xf（x）+tf'（x）+e-x（t∈R），是否存在实数a，b，c∈[0，1]，使得g（a）+g（b）＜g（c）？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．20.对于无穷数列{a n}，{b n}，若b k=max{a1，a2，…，a k}-min{a1，a2，…，a k}，k=1，2，3，…，则称{b n}是{a n}的“收缩数列”．其中max{a1，a2，…，a k}，min{a1，a2，…，a k}分别表示a1，a2，…，a k中的最大数和最小数．已知{a n}为无穷数列，其前n项和为S n，数列{b n}是{a n}的“收缩数列”．（1）若a n=2n+1，求{b n}的前n项和；（2）证明：{b n}的“收缩数列”仍是{b n}；（3）若（n=1，2，3，…）且a1=1，a2=2，求所有满足该条件的{a n}．21.已知矩阵A=，B=，若直线l：x-y+2=0在矩阵AB对应的变换作用下得到直线l1，求直线l1的方程．22.在极坐标中，过点P（，）作曲线ρ=2cosθ的切线l，求直线l的极坐标方程．23.己知x，y＞0，且x+y=1，求证：．24.我市某商场为庆祝“城庆2500周年”进行抽奖活动．已知一抽奖箱中放有8只除颜色外，其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色．现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取三次，拿到红色球的个数记为X．（1）若取球过程是无放回的，求事件“X=2”的概率；（2）若取球过程是有放回的，求X的概率分布列及数学期望E（X）．25.设a n为下述正整数N的个数：N的各位数字之和为n，且每位数字只能取1，3或4．（1）求a1，a2，a3，a4的值；（2）对∀n∈N*，试探究a2n•a2n+2与a22n+1的大小关系，并加以证明．答案和解析1.【答案】（0，+∞）【解析】解：∵A={x|0＜x＜2}，B={x|x＞1}；∴A∪B=（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．进行并集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的概念，以及并集的运算．2.【答案】-3-4i【解析】解：∵z=（1+2i）2=1+4i+4i2=-3+4i，∴．故答案为：-3-4i．利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】-1【解析】解：由程序语句知：算法的功能是求f（x）=的值，当x≥0时，y=2x+1=1，解得x=-1，不合题意，舍去；当x＜0时，y=2-x2=1，解得x=±1，应取x=-1；综上，x的值为-1．故答案为：-1．分析出算法的功能是求分段函数f（x）的值，根据输出的值为1，分别求出当x≤0时和当x＞0时的x值即可．本题考查了选择结构的程序语句应用问题，根据语句判断算法的功能是解题的关键．4.【答案】0.1【解析】解：数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为：=×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，∴该组数据的方差为：S2=×[（4.8-5.2）2+（4.9-5.2）2+（5.2-5.2）2+（5.5-5.2）2+（5.6-5.2）2]=0.1．故答案为：0.1．根据平均数与方差的公式计算即可．本题考查了平均数与方差的计算问题，是基础题．5.【答案】【解析】解：所取的两个球不同色的概率为1-=1-=．故答案为：用1减同色的概率可得．本题考查了古典概型及其概率计算公式，属基础题．6.【答案】【解析】解：显然圆锥的母线长为l=4，设圆锥的底面半径为r，则2πr=4π，即r=2，∴圆锥的高h==2，∴圆锥的体积V===．故答案为：．根据侧面展开图列方程计算圆锥的底面半径，根据勾股定理计算圆锥的高，代入体积公式计算即可．本题考查了圆锥的结构特征，体积计算，属于基础题．7.【答案】-=1【解析】解：依题意得：点（a，0）到渐近线4x-ay=0的距离为，即：=，解得a2=9，故答案为：-=1利用点到直线的距离列方程解得本题考查了双曲线的性质，属中档题．8.【答案】【解析】【分析】本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．等比数列{a n}的公比设为q，运用等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程即可得到所求值．【解答】解：等比数列{a n}的公比设为q，4a1，2a4，a7成等差数列，可得4a4=4a1+a7，即有4a1q3=4a1+a1q6，即为q6-4q3+4=0，解得q3=2，则====，故答案为．9.【答案】1【解析】解：因为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（0＜ω＜1，0＜φ＜）的图象过点（0，），所以sinφ=，又0＜φ＜，所以φ=，∴f（x）=2sin（ωx+），又f（x）的图象关于点（-2，0）对称，∴-2ω+=kπ，k∈Z，∴ω=-，k∈Z，∵0＜ω＜1，∴k=0，ω=，∴f（x）=2sin（x+），∴f（-1）=2sin（-+）=2sin=2×=1．故答案为：1．根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（0＜ω＜1，0＜φ＜）的图象过点（0，），可得φ=；根据f（x）的图象关于点（-2，0）对称可得ω=，再可求出f（-1）．本题考查了正弦函数的图象，属中档题．10.【答案】-1【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．根据圆的标准方程求出圆C的圆心C（1，a），半径r=4，由直线ax+y-2=0与圆C相交于A，B两点，且CA⊥CB，得到AB=4，由此利用圆心C（1，a）到直线AB的距离d==，即可求出a．【解答】解：圆C：（x-1）2+（y-a）2=16的圆心C（1，a），半径r=4，∵直线ax+y-2=0与圆C相交于A，B两点，且CA⊥CB，∴AB==4，∴圆心C（1，a）到直线AB的距离为d===，解得a=-1,故答案为-1．11.【答案】【解析】【分析】本题要采用数形结合法比较方便，将函数y=f（x）+x-a有且只有一个零点的问题转化成y=f（x）与直线y=-x+a有且只有一个交点，再画出图形，结合图形运动可得出a的取值范围．本题主要考查数形结合法的运用，零点问题的解决方法，直线的平移问题．本题属中档题.【解答】解：由题意，可知：令y=0，则f（x）=-x+a，∵函数y=f（x）+x-a有且只有一个零点，∴在图象上，y=f（x）与直线y=-x+a有且只有一个交点，画图如下：由图可知：当a=2时，y=f（x）与直线y=-x+a刚好有两个交点，要使y=f（x）与直线y=-x+a有且只有一个交点，则直线只能向上平移，即：a＞2．故答案为：．12.【答案】4【解析】解：以BC为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，设C（m，0），A（0，n），B（-m，0），（m＞0，n＞0）∴=（m，-n），=（2m，0），∴+=（3m，-n），∵|+|=2，∴9m2+n2=24，∵24=9m2+n2≥2•3m•n=6mn，当且仅当3m=n时，即n=2，m=，∴mn≤4，∴S△ABC=mn≤4，∴△ABC面积的最大值为4，故答案为：4．以BC为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，设C（m，0），A（0，n），B（-m，0），（m＞0，n＞0），根据向量的坐标运算，求出=（3m，-n），再根据向量的模的计算得到9m2+n2=24，根据基本不等式即可求出mn的最大值，即为△ABC面积的最大值．本题考查了向量的坐标运算，模的计算，基本不等式的性质，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由题意，可知：∵y为正实数，∴可对分式的分子分母同时除以y，得=≥．可令t=x+2，则x=t-2．∴==2=2=2≥2=．故答案为：．本题根据y为正实数，可对分式的分子分母同时除以y，再对分子运用均值不等式，则变成只关于x的算式，再令t=x+2，则x=t-2，可将算式变成只关于t的算式，可变成关于的二次函数的形式取得极小值．即可得出结果．本题主要考查运用基本不等式将二元问题转化为一元问题．再利用换元法将表达式进一步化简，利用二次函数即可得到极小值．本题属较难的中档题．14.【答案】（-，-2]【解析】解：因为，所以y=f（x）在[-3，+∞）为减函数，由存在实数m，n（m＜n），使得f（x）的定义域和值域都是[m，n]，则，①-②得：+=1，即，即t=x-+1在[-3，+∞）有两不等实根，设m=，则t=x-+1在[-3，+∞）有两不等实根等价于直线y=t与函数f（m）=m2-m-2（m≥0）的图象有两个不同的交点，由直线y=t与函数f（m）=m2-m-2（m≥0）的图象的位置关系如图所示，则实数t的取值范围为-＜t≤-2，故答案为：（-]．由函数的单调性得：y=f（x）在[-3，+∞）为减函数，由存在实数m，n（m＜n），使得f（x）的定义域和值域都是[m，n]，则，①-②得：+=1，即，即t=x-+1在[-3，+∞）有两不等实根，由方程的解的个数与函数图象间交点个数的关系得：设m=，则t=x-+1在[-3，+∞）有两不等实根等价于直线y=t与函数f（m）=m2-m-2（m≥0）的图象有两个不同的交点，由直线y=t与函数f（m）=m2-m-2（m≥0）的图象的位置关系如图所示，则实数t的取值范围为-＜t≤-2，得解．本题考查了函数的单调性及方程的解的个数与函数图象间交点个数的关系，属中档题．15.【答案】证明：（1）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，O为BD中点，∵PD∥平面ACE，PD⊂平面PBD,面PBD面ACE=OE，∴PD∥OE，∵O为BD中点∴E为PB的中点．解：（2）在四棱锥P-ABCD中，AB=PC∵四边形ABCD是正方形∴OC=AB∴PC=OC∵G为PO中点∴CG⊥PO又∵PC⊥底面ABCD，BD底面ABCD∴PC⊥BD而四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD∵AC,CG平面PAC, AC CG=C∴BD⊥平面PAC又CG平面PAC∴BD⊥CG∵PO,BD平面PBD, PO BD=O∴CG⊥平面PBD【解析】（1）推导出PD与OE共面，由PD∥平面ACE，得PD∥OE，由此能证明E为PB的中点．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CG⊥平面PBD．本题考查点为线段中点的证明，考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．16.【答案】解：（1）∵=（b，cos B），=（cos C，c-2a），且⊥．∴•=0，∴b cos C+（c-2a）cos B=0，∴由正弦定理可得：sin B cos C+sin C cos B=2sin A cos B，∴sin（B+C）=sin A=2sin A cos B，∵sin A≠0，∴可得：cos B=，∵B∈（0，π），∴B=．（2）由（1）可知B=，∴|m|==，∴b2+=，即b2=28，故b=，在△ABC中，由余弦定理可得：b2=a2+c2-2ac cos B，又B=，∴28=a2+c2-ac，即：28=（a+c）2-3ac，又ac=24，解得：，．【解析】（1）由已知利用平面向量数量积的坐标运算可得b cos C+（c-2a）cos B=0，由正弦定理，两角和的正弦函数公式结合sin A≠0，可得cos B=，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（2）由（1）可知B=，根据已知可求b的值，在△ABC中，由余弦定理可得28=（a+c）2-3ac，结合ac=24，即可解得a，c的值．本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算，正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.【答案】解：方案1：设MP=xkm，MQ=ykm，由已知“用长度为1km的围网，MP，MQ两边为围网”，得x，y∈（0，1），且x+y=1，∴S△MPQ=≤•sin=，当且仅当x=y=，且∠PMQ=时，等号成立，∴△MPQ的面积的最大值为km2．方案2：设OE=akm，OF=bkm，则在△EOF中，由余弦定理得：EF2=OE2+OF2-2OE•OF•cos∠EOF，即12=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，（当且仅当a=b=时，等号成立），,∴△EOF面积的最大值为km2，∵＞．∴方案2好．【解析】本题考查最优方案的判断，考查三角函数、均值定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．方案1：设MP=xkm，MQ=ykm，则x，y∈（0，1），且x+y=1，从而S△MPQ=≤•sin=，进而得到△MPQ的面积的最大值为km2．方案2：设OE=akm，OF=bkm，由余弦定理得12=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，（当且仅当a=b=时，等号成立），从而△EOF面积的最大值为km2，由此得到方案2好．18.【答案】解：（1）由题意，k＞0，∴圆心C到直线l的距离d=，∵直线l与圆C相切，∴d==1，∴k=，∴直线l：y=x．（2）由=2，可得|AB|=，由（1）可知d=，∴|AB|=2=2=，解得k=，∴直线l的方程为y=x．证明：（3）由题意得直线AM为：y=k1（x-3），与圆（x-4）2+y2=1联立，得：（x-3）[（1+k12）x-（3k12+5）]=0，∴，∴A（，），同理，得：B（，），∵k OA=k OB，∴=，即（1+k1k2）（3k1+5k2）=0，∵k1k2≠-1，∴，设P（x0，y0），则，∴，∴P（，），即P（），∴=，∴，∴存在常数a=2，使得k1+k2=2k3恒成立．【解析】本题考查直线方程的求法，考查圆与直线的位置关系、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．（1）圆心C到直线l的距离d=，由直线l与圆C相切求出k=，由此能求出直线l的方程．（2）由=2，可得|AB|=，从而d=，求出|AB|=2=，由此能求出直线l的方程．（3）l AM：y=k1（x-3），与圆（x-4）2+y2=1联立，得A（，），同理B（，），由k OA=k OB，得，由此能推导出存在常数a=2，使得k1+k2=2k3恒成立．19.【答案】解：（1）由题意，f′（x）=∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+ey-3=0∴f（1）=，f′（1）=-∴，∴m=1，n=1∴f（x）=（x+1）e-x，f′（x）=令f′（x）＞0，可得x＜0，令f′（x）＜0，可得x＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，在（-∞，0）上单调递增；（2）①当n=-1，m∈R时，，即m≥对于任意，都有f（x）≥x恒成立，等价于m≥，对于任意恒成立记φ（x）=，则φ′（x）=记h（x）=，则h′（x）=＞0对于任意恒成立，∴h（x）=在上单调递增∵∴φ′（x）=在上有唯一的零点x0，∴x∈（，x0），φ′（x）＜0，x∈（x0，2），φ′（x）＞0∴φ（x）在（，x0）上单调递减，在（x0，2）上单调递增∴φ（x）的最大值是φ（）和φ（2）中的较大的一个∴m≥φ（）且m≥φ（2）∴m≥+2且m≥∴m的最小值为；②假设存在a，b，c∈[0，1]，使得g（a）+g（b）＜g（c），则问题等价于2g（x）min ＜g（x）max，∵g（x）=xf（x）+tf'（x）+e-x=，∴g′（x）=当t≥1时，在[0，1]上g′（x）≤0，∴g（x）在[0，1]上单调递减，∴2g（1）＜g（0），∴2×＜1，∴；当t≤0时，在[0，1]上g′（x）≥0，∴g（x）在[0，1]上单调递增，∴2g（0）＜g（1），∴2＜，∴t＜3-2e＜0；当0＜t＜1时，在[0，t）上，g′（x）＜0，∴g（x）在[0，t）上单调递减，在（t，1]上，g′（x）＞0，∴g（x）在（t，1]上单调递增，∴2g（t）＜max{g（0），g（1）}∴2×由（1）知f（t）=在[0，1]上单调递减，故，∵∴2×无解综上所述，存在t∈（-∞，3-2e）∪（3-，+∞），使得命题成立．【解析】（1）求导函数，利用函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+ey-3=0，可得f（1）=，f′（1）=-，从而可得函数的解析式，利用导数的正负可得函数的单调区间；（2）①对于任意，都有f（x）≥x恒成立，等价于m≥，对于任意恒成立，构造函数可得φ（x）的最大值是φ（）和φ（2）中的较大的一个，由此可求m的最小值；②假设存在a，b，c∈[0，1]，使得g（a）+g（b）＜g（c），则问题等价于2g（x）min ＜g（x）max，1求导函数，分类讨论求出函数的最值，即可求得结论．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，正确求导，合理分类是关键．20.【答案】解：（1）由a n=2n+1可得{a n}为递增数列，所以b n=max{a1，a2，…，a n}-min{a1，a2，…，a n}=a n-a1=2n+1-3=2n-2，故{b n}的前n项和为（2n-2）n=n（n-1）（2）因为max{a1，a2，…，a n}≤max{a1，a2，…，a n+1}，因为min{a1，a2，…，a n}≥min{a1，a2，…，a n+1}，所以max{a1，a2，…，a n+1}-min{a1，a2，…，a n+1}≥max{a1，a2，…，a n}-min{a1，a2，…，a n}，所以b n+1≥b n，又因为b n=a1-a1=0，所以max{b1，b2，…，b n}-min{b1，b2，…，b n}=b n-b1=b n，所以{b n}的“收缩数列”仍是{b n}，（3）由S1+S2+…+S n=n（n+1）a1+n（n-1）b1，当n=1时，a1=a1，当n=2时，3a1+2a2+a3=6a3+3b3，即3b3=2（a2-a1）+（a3-a1），（*），若a1＜a3＜a2，则b3=a2-a1，所以由（*）可得a3=a2与a3＜a2矛盾，若a3＜a1≤a2，则b3=a2-a3，所以由（*）可得a3-a2=3（a1-a3），所以a3-a2与a1-a3同号，这与a3＜a1≤a2矛盾；若a3≥a2，则b3=a3-a2，由（*）可得a3=a2，猜想：满足S1+S2+…+S n=n（n+1）a1+n（n-1）b1的数列{a n}是，a n=，a2≥a1，经验证：左式=S1+S2+…+S n=na1+[1+2+…+（n-1）]=na1+n（n-1）a2，右式=n（n+1）a1+n（n-1）b1=n（n+1）a1+n（n-1）（a2-na1）=na1+n（n-1）a2下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件由上述n≤3的情况可知，n≤3，a n=，a2≥a1是成立的，假设a k=是首次不符合a n=，a2≥a1的项，则a1≤a2=a3=…=a k-1≠a k由题设条件可得（k2-k-2）a2+a k=k（k-1）a1+k（k-1）b k（*），若a1＜a k＜a2，则由（*）可得a k=a2与a k＜a2矛盾，若a k＜a1≤a2，则b k=a2-a k，所以由（*）可得a k-a2=k（k-1）（a1-a k），所以a k-a2与a1-a k同号，这与a k＜a1≤a2矛盾；所以a k≥a2，则b k=a k-a1，所以由（*）化简可得a k=a2，这与假设a k≠a2相矛盾，所以不存在数列不满足a n=，a2≥a1的{a n}符合题设条件【解析】（1）由新定义可得b n=2n-2，即可求出前n项和，（2）根据“收缩数列”的定义证明即可，（3）猜想：满足S1+S2+…+S n=n（n+1）a1+n（n-1）b1的数列{a n}是，a n=，a2≥a1，并证明即可．本题考查了新定义和应用，考查了数列的求和和分类讨论的思想，以及反证法，属于难题．21.【答案】解：矩阵A=，B=，∴AB=，设点P′（x′，y′）是直线l上的任意一点，P′在矩阵AB对应的变换作用下得到的P（x，y）；由P′（x′，y′）在直线l上：可得x′-y′+2=0；……①由AB=，即=，∴2x′+2y′=x，y′=y；∴x′=y′=y带入①式得：x-4y+4=0故得直线l1的方程为：x-4y+4=0．【解析】根据矩阵的乘法原理，求解AB，在矩阵AB对应的变换作用即可求解直线l1的方程．本题考查看矩阵的乘法原理和矩阵左右下的对应关系的应用．属于基础题．22.【答案】解：点P（，）化为直角坐标：P（1，1）．曲线ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2x，配方为（x-1）2+y2=1，可得圆心（1，0），半径r=1．由于点P满足圆的方程，可得切线方程为：y=1．化为极坐标方程：ρsinθ=1．【解析】把极坐标化为直角坐标，判断出点P与圆的位置关系，即可得出切线方程．本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、圆的切线方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．23.【答案】证明：要证，即证（+）2≤6，即证x+y+2+2≤6，即有3+2≤6，即有2≤3，由3=（x+1）+（y+1）≥2，当且仅当x=y=时，上式取得等号，以上均可逆，则．【解析】运用分析法证明，结合基本不等式即可得证．本题考查不等式的证明，注意运用分析法，以及基本不等式，考查化简变形能力，属于基础题．24.【答案】解：（1）；（2）随机变量X的可能取值为：0，1，2，3，∵取球过程是有放回的，∴每次取出红球的概率为，其他球的概率为，数学期望为．【解析】（1）判断是古典概率即可利用排列组合知识求解即可（2）每次取出红球的概率为，其他球的概率为，可判断为独立重复试验利用概率公式，求解即可得出分布列，数学期望．本题考察了有放回，不放回的摸球问题，判断即古典概率，还是独立重复试验，理解题意是关键．25.【答案】解：（1）n=1，则N=1，∴a1=1；n=2，则N=11，∴a2=1；n=3，则N=111或N=3，∴a3=2；n=4，则N=1111，N=13，N=31，N=4，∴a4=4；综上：a1=1，a2=1，a3=2，a4=4．（2）由（1）猜想：a2n•a2n+2=a22n+1；记，其中x1，x2，…，x k∈{1，3，4}且x1+x2+…+x k=n．假定n＞4，删去x1，则当x1依次取1，3，4时，x2+x3+…+x k分别等于n-1，n-3，n-4．故当n＞4时，a n=a n-1+a n-3+a n-4．先用数学归纳法证明下式成立：a2n+1=a2n+a2n-1①n=1时，由（1）得：a3=a1+a2，结论成立；②假设n=k时，a2k+1=a2k+a2k-1；当n=k+1时，a2k+3=a2k+2+a2k+a2k-1=a2k+2+a2k+（a2k+1-a2k）=a2k+2+a2k+1∴n=k+1时，结论成立；综合①②，a2n+1=a2n+a2n-1，n∈N*．再用数学数学归纳法证明下式成立：a2n•a2n+2=a22n+1；①n=1时，由（1）得：，结论成立；②假设n=k时，a2k•a2k+2=；当n=k+1时，a2k+2•a2k+4=a2k+2•（a2k+3+a2k+1+a2k）=a2k+2a2k+3+a2k+2a2k+1+=a2k+2a2k+3+a2k+1（a2k+2+a2k+1）=a2k+2a2k+3+a2k+1a2k+3=a2k+3（a2k+2+a2k+1）=．∴n=k+1时，结论成立；综合①②，a2n•a2n+2=a22n+1，n∈N*．【解析】（1）n=1，则N=1，可得a1=1；同理可得a2=1；a3=2；a4=4；（2）由（1）猜想：a2n•a2n+2=a22n+1；记，其中x1，x2，…，x k∈{1，3，4}且x1+x2+…+x k=n．假定n＞4，删去x1，则当x1依次取1，3，4时，x2+x3+…+x k分别等于n-1，n-3，n-4．故当n＞4时，a n=a n-1+a n-3+a n-4．先用数学归纳法证明下式成立：a2n+1=a2n+a2n-1，再用数学数学归纳法证明下式成立：a2n•a2n+2=a22n+1即可．本题考查了数学归纳法，考查了猜想归纳推理计算能力及其分析问题与解决问题的能力，属于难题．。
2020届江苏省镇江市高三考前模拟(三模)数学试题Word版含解析
2020届江苏省镇江市高三考前模拟（三模）数学试题一、填空题1．已知集合{|02}A x x =<<，{}1B x x =，则A B ⋂=____.【答案】{}|12x x <<【解析】利用交集定义直接求解．【详解】Q 集合A {x |0x 2}=<<，{}B x x 1=，A B {x |1x 2}∴⋂=<<．故答案为：{x |1x 2}<<．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．设复数2(12)z i =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为_______.【答案】34i --【解析】根据复数运算整理出34z i =-+，根据共轭复数定义得到结果.【详解】14434z i i =+-=-+ z ∴的共轭复数为：34i --本题正确结果：34i --【点睛】本题考查复数的运算，共轭复数的求解，属于基础题.3．执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1，则输入x 的值为_______.【答案】-1【解析】 执行此程序框图可知，当0x ≥时，121x +=-，此时方程无解；当0x <时，221x -=-，解得1x =-，所以输入x 的值为1-.4．已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是______． 【答案】 【解析】数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，∴该组数据的方差为： s 2=×[（4.8–5.2）2+（4.9–5.2）2+（5.2–5.2）2+（5.5–5.2）2+（5.6–5.2）2]=0.1．故答案为：0.1．5．一个盒子中放有大小相同的4个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为_______. 【答案】25【解析】列举出任取两个球所有可能的结果，找到两个球不同色的所有情况，根据古典概型求得结果.【详解】设4个白球编号为：1,2,3,4；1个黑球为：A从中任取两个球的所有可能结果为：12、13、14、1A 、23、24、2A 、34、3A 、4A ，共10种所取的两个球不同色的有：1A 、2A 、3A 、4A ，共4种∴所求概率为：42105P == 本题正确结果：25【点睛】 本题考查古典概型的概率问题的求解，考查列举法的应用，属于基础题.6．用半径为4的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为_______.【答案】83π 【解析】由半圆弧长可求得圆锥的底面半径，从而得到圆锥的高，代入圆锥体积公式求得结果.【详解】半圆的弧长为：12442ππ⨯⨯= 42R ππ∴= 即圆锥的底面半径为：2R =圆锥的高为：224223h -=∴圆锥的体积为：2132333V π=⨯⨯⨯= 本题正确结果：833【点睛】 本题考查圆锥侧面积、体积的相关问题的求解，属于基础题.7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线222C :1(0)16x y a a -=>的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为125，则双曲线C 的方程为_______.【答案】221916x y -= 【解析】根据双曲线方程得到右顶点坐标和渐进线方程；利用点到直线距离公式构造出关于a 的方程，解方程求得a ，从而得到双曲线方程.【详解】 双曲线的右顶点为：(),0a ；渐近线为：4y x a=±212516a =+，解得：3a = ∴双曲线C 的方程为：221916x y -= 本题正确结果：221916x y -= 【点睛】 本题考查双曲线标准方程的求解，关键是能够熟练应用双曲线的几何性质，利用点到直线距离构造出方程.8．在等比数列{}n a 中，14a ，42a ，7a 成等差数列，则35119a a a a +=+_______. 【答案】14【解析】根据三项成等差数列可构造方程求得等比数列的公比q 满足32q =，将所求式子化为1a 和q 的形式，化简可得结果.【详解】14a Q ，42a ，7a 成等差数列 17444a a a ∴+=即：6311144a a q a q +=，解得：32q =243511108611911114a a a q a q a a a q a q q ++∴===++ 本题正确结果：14 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合应用问题，关键是能够求解出等比数列的基本量，属于基础题.9．若函数()2sin()f x x ωϕ=+ （01ω<<，02πϕ<<）的图像过点，且关于点(2,0)-对称，则(1)f -=_______.【答案】1【解析】根据图象过(可求得ϕ；利用图象关于()2,0-对称代入23k πωπ-+=，k Z ∈，结合01ω<<求得ω；从而可得()f x ，代入1x =-求得结果.【详解】函数()()2sin f x x ωϕ=+的图像过点(2sin ϕ∴=sin 2ϕ= 02πϕ<<Q 3πϕ∴=又函数图象关于点()2,0-对称 2sin 203πω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，即：23k πωπ-+=，k Z ∈ 126k πωπ∴=-+，k Z ∈ 01ω<<Q 6πω∴= ()2sin 63f x x ππ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭， ()12sin 2sin 1636f πππ⎛⎫∴-=-+== ⎪⎝⎭本题正确结果：1【点睛】本题考查根据三角函数的性质求解函数的解析式，利用解析式求值的问题，属于常规题型.10．已知圆C ：22(1)()16x y a -+-=，若直线20ax y +-=与圆C 相交于A ，B 两点，且CA CB ⊥，则实数a 的值为_______.【答案】1-【解析】利用CA CB ⊥求得42AB =；根据直线被圆截得的弦长等于222R d -可利用a 表示出弦长AB ，从而得到方程，解方程求得结果.【详解】圆心C 的坐标为：()1,C a ，半径4R =CA CB ⊥Q ∴弦长224442AB =+=圆心C 到直线20ax y +-=的距离为：2221a d a -=+∴弦长()22222421|22|2421611a a a AB a a -+⎛⎫-=-=- ⎪++⎝⎭()22421216421a a a -+∴-=+2210a a ++=解得：1a =-本题正确结果：1-【点睛】本题考查利用直线被圆截得的弦长求解参数值的问题，关键是能够明确直线被圆截得的弦长等于222R d -11．已知函数ln ,0()21,0x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数()y f x x a =+-有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______.【答案】()2,+∞【解析】将问题转变为()y f x =与y x a =-+的图象且只有一个交点，画出()f x 的图象，通过平移直线y x =-找到符合题意的情况，从而确定参数范围.【详解】由()0y f x x a =+-=得：()f x x a =-+∴函数()0y f x x a =+-=有且只有一个零点等价于：()y f x =与y x a =-+的图象且只有一个交点画出函数()ln ,021,0x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩的图象如下图：y x a =-+的图象经过点()0,2A 时有2个交点，平移y x =-，由图可知，直线与y 轴的交点在A 点的上方时，两图象只有1个交点， 在A 点下方时，两图象有2个交点2a ∴>，即()2,a ∈+∞本题正确结果：()2,+∞【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围，涉及到指数函数、对数函数图象的应用，关键是能够将问题转化为曲线与直线的交点个数问题，通过数形结合的方式，结合直线的平移得到结果.12．在等腰中，，，则面积的最大值为__________．【答案】4【解析】由题意建立坐标系，结合向量模的坐标运算及基本不等式求解即可．【详解】以为轴，以的垂直平分线为轴，设，，，，，，，，，当且仅当时，即，，面积的最大值为4，故答案为：4．【点睛】本题考查了用解析的方法解决平面几何问题，考查了向量的坐标运算，模的计算，考查了基本不等式的应用，属于中档题．13．若x，y均为正实数，则221(2)x yx y+++的最小值为_______.25【解析】将所求式子变为()222112x ty t y xy y++-++，利用基本不等式可求得()22122x y x y xy y +++≥++，则可知当12=时，可求得最小值. 【详解】()()2222211122x ty t y x y x yxy y ++-+++=≥++()01t <<12=，即15t =时 ()2212x y x y +++5=【点睛】 本题考查利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够配凑出符合基本不等式的形式，易错点是忽略等号成立的条件.14．设()f x t =，若存在实数,()m n m n <，使得()f x 的定义域和值域都是()()f x g x +，则实数t 的取值范围为_______. 【答案】9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】根据()f x 单调性可得()()f m n f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩p =q =，由m n <可整理出1p q p p =+>+，从而求得102p ≤<，将方程组变为2233p t q q t p ⎧-+=-⎨-+=-⎩，整理可得21924t p ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据p 的范围求得t 的取值范围.【详解】()f x t =在[3,)-+∞是减函数 ()()f m n f n m ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩即：33m t nn t m ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩……①设3m p+=，3n q+=23m p=-，23n q=-，1p q+=由m n<，得p q<1p q p p∴=+>+12p∴≤<则①变为：2233p t qq t p⎧-+=-⎨-+=-⎩()2226p q t p q∴-++=+-，即：2212(1)6t p p-+=+--2222(1)5192224p pt p p p+--⎛⎫∴==--=--⎪⎝⎭924t∴-<≤-本题正确结果：9,24⎛⎤--⎥⎝⎦【点睛】本题考查函数定义域和值域的应用问题，关键是能够根据单调性确定最值取得的点从而构造出方程组，通过换元的方式可将问题转化为二次函数值域的求解问题；易错点是忽略自变量的取值范围，造成求解错误.二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO中点.（1）若PD∥平面ACE，求证：E为PB的中点；（2）若2AB PC=，求证：CG⊥平面PBD.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）连接OE ，根据线面平行的性质定理可知//PD OE ，又O 为BD 中点，可证得结论；（2）利用线面垂直的性质可知PC BD ⊥，正方形可得AC BD ⊥，根据线面垂直的判定定理可得BD ⊥平面PAC ，根据线面垂直性质可知BD CG ⊥，根据等腰三角形三线合一可知CG PO ⊥，根据线面垂直判定定理可证得结论. 【详解】（1）连接OE ，由四边形ABCD 是正方形知，O 为BD 中点//PD Q 平面ACE ，PD ⊂面PBD ，面PBD I 面ACE OE = //PD OE ∴O Q 为BD 中点 E ∴为PB 的中点 （2）在四棱锥P ABCD -中，2AB PC =Q 四边形ABCD 是正方形 2OC AB ∴= PC OC ∴= Q G 为PO 中点 CG PO ∴⊥又PC ⊥Q 底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD PC BD ∴⊥ 而四边形ABCD 是正方形 AC BD ∴⊥,AC CG ⊂Q 平面PAC ，AC CG C ⋂= BD ∴⊥平面PAC 又CG ⊂平面PAC BD CG ∴⊥,PO BD ⊂Q 平面PBD ，PO BD O =ICG ∴⊥平面PBD 【点睛】本题考查立体几何中直线与直线、直线与平面位置关系的证明问题，涉及到线面平行性质定理、线面垂直的判定定理和性质定理的应用，属于常规题型.16．已知,,a b c 分别为ABC △三个内角,,A B C 所对的边，若向量(,cos )m b B =u r，(cos ,2)n C c a =-r ，且m n ⊥u r r.（1）求角B ；（2）若||m =u r ，且24ac =，求边,a c .【答案】（1）3B π=；（2）64a c =⎧⎨=⎩或46a c =⎧⎨=⎩. 【解析】（1）利用向量垂直可知数量积等于零，从而得到()cos 2cos 0b C c a B +-=，利用正弦定理可整理为()sin 2sin cos 0B C A B +-=，从而可求得1cos 2B =，根据()0,B π∈求得B ；（2）利用m =u r 构造方程求得b ，利用余弦定理可构造关于,a c 的方程，解方程求得结果.【详解】（1）m n ⊥u r r Q 0m n ∴⋅=u r r，又向量(),cos m b B =u r ，()cos ,2n C c a =-r ， 故()cos 2cos 0b C c a B +-= 由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===得：sin cos cos sin 2sin cos 0B C B C A B +-= ()sin 2sin cos 0B C A B ∴+-=又()()sin sin sin B C A A π+=-= sin 2sin cos 0A A B ∴-=sin 0A ≠Q 1cos 2B ∴= 又()0,B π∈ 3B π∴=（2）由（1）知3B π= 1,2m b ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭u rm ∴==u r ∴2111344b ∴+=，即：228b =，解得：b =在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+- 又3B π=，故2228a c ac =+-，即：()2283a c ac =+-又24ac =，解得：64a c =⎧⎨=⎩或46a c =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到向量模长的求解和垂直关系的应用、正弦定理化简边角关系式、三角形内角和的应用、余弦定理解三角形，属于中档题.17．江心洲有一块如图所示的江边，OA ，OB 为岸边，岸边形成120︒角，现拟在此江边用围网建一个江水养殖场，有两个方案：方案l ：在岸边OB 上取两点,P Q ，用长度为1km 的围网依托岸边线PQ 围成三角形MPQ （MP ，MQ 两边为围网）；方案2：在岸边OA ，OB 上分别取点,E F ，用长度为1km 的围网EF 依托岸边围成三角形EOF .请分别计算MPQ △，EOF △面积的最大值，并比较哪个方案好.【答案】MQP ∆，EOF ∆面积的最大值分别为218km 23.其中方案2好.【解析】分别在三角形面积公式中应用基本不等式、余弦定理中利用基本不等式计算出方案1和方案2中MPQ ∆和EOF ∆面积的最大值，通过最大值的比较可知方案2好. 【详解】方案1：设MP xkm =，MQ ykm =由已知“用长度为1km 的围网，MP ，MQ 两边为围网”得(),0,1x y ∈且1x y +=2211111sin sin 12222228MPQx y S xy PMQ π+⎛⎫⎛⎫∴=∠≤⋅=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当12x y ==且2PMQ π∠=时，等号成立 MPQ ∴∆面积的最大值为218km方案2：设OE akm =，OF bkm =在EOF ∆中，由余弦定理得：2222cos EF OE OF OE OF EOF =+-⋅⋅∠即222212cos3a b a b π=+-⋅⋅22123a b a b ab ab ab ∴=++⋅≥+=（当且仅当a b ==1211sin 2323EOF S ab π∆∴=≤⨯=（当且仅当a b ==时等号成立）EOF ∴∆21128>Q∴方案2好 【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，主要是求解三角形面积的最大值，涉及到基本不等式的应用，属于常规题型.18．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(4)1x y -+=，且圆C 与x 轴交于,M N 两点，设直线l 的方程为(0)y kx k =>.（1）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；（2）已知直线l 与圆C 相交于,A B 两点.（i ）2OA AB =u u u r u u u r，求直线l 的方程；（ii ）直线AM 与直线BN 相交于点P ，直线AM ，直线BN ，直线OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在常数a ，使得123k k ak +=恒成立？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）:l y =；（2）（i ）直线l 的方程为y x =；（ii ）存在常数2a =，使得1232k k k +=恒成立.【解析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径构造关于k 的方程，解方程求得结果；（2）（i ）设()11,A x y ，由2OA AB =u u u r u u u r 可得1133,22B x y ⎛⎫⎪⎝⎭，代入圆的方程可求解出A 点坐标，从而得到斜率，求得直线方程；（ii ）将直线AM 方程代入圆的方程可求得A 点坐标；同理将直线BN 方程代入圆的方程可求得B 点坐标；利用OA OB k k =可求得12,k k 的关系，利用12,k k 表示出P 点坐标，整理可得3115k k =，进而可得到123,,k k k 满足1232k k k +=，得到常数a .【详解】（1）由题意，0k > ∴圆心C 到直线l的距离d =Q 直线l 与圆C 相切1d ∴==，解得：k =∴直线l方程为：15y x =（2）（i ）设()11,A x y ，由2OA AB =u u u r u u u r 得：1133,22B x y ⎛⎫⎪⎝⎭由()2211221141334122x y x y ⎧-+=⎪⎨⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得：11258x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩k ∴= ∴直线l的方程为：25y x =（ii ）由题意知：()3,0M ，()5,0N则()1:3AM l y k x =-，与圆()22:41C x y -+=联立得：()()()221131350x k x k ⎡⎤-+-+=⎣⎦ 3M x =Q 2121351A k x k +∴=+ 2112211352,11k k A k k ⎛⎫+∴ ⎪++⎝⎭同理可得：2222222532,11k k B k k ⎛⎫+- ⎪++⎝⎭OAOB k k =Q 122212221222122211355311k k k k k k k k -++∴=++++，整理可得：()()12121350k k k k ++=121k k ≠-Q 2135k k ∴=-设()00,P x y ()()01002035y k x y k x ⎧=-⎪∴⎨=-⎪⎩ 1201212012352k k x k k k k y k k -⎧=⎪-⎪∴⎨-⎪=⎪-⎩12121212352,k k k k P k k k k ⎛⎫--∴ ⎪--⎝⎭，即1315,44k P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1313141554k k k ∴== 1213225k k k k ∴+==∴存在常数2a =，使得1232k k k +=恒成立【点睛】本题考查根据直线与圆的位置关系求解直线方程、直线与圆中的存在性、定值类问题，关键是能够灵活运用直线与圆联立，将所涉及的变量用同一变量来表示，从而可整理得到所求参数的值.19．已知函数()()xf x mx n e -=+（,m n R ∈，e 是自然对数的底数）.（1）若函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为30x ey +-=，试确定函数()f x 的单调区间；（2）①当1n =-，m R ∈时，若对于任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，都有()f x x ≥恒成立，求实数m 的最小值；②当1m n ==时，设函数()()()()xg x xf x tf x e t R -'=++∈，是否存在实数[],,0,1a b c ∈，使得()()()g a g b g c +<？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）()f x 在()0,∞+上单调递减，在(),0-∞上单调递增；（2）①212e +；②存在(),323,2e t e ⎛⎫∈-∞--+∞ ⎪⎝⎭U ，使得命题成立【解析】（1）利用切线方程可知()21f e =，()11f e'=-，从而构造出方程组求得,m n ，得到()f x 解析式，根据导函数的符号确定()f x 的单调区间；（2）①将问题转化为1xm e x ≥+对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立；设()1x x e x ϕ=+，利用导数求解()max x ϕ，可得()max m x ϕ≥；②设存在[],,0,1a b c ∈，使得()()()g a g b g c +<，将问题转化为()()()()min max 2g x g x <，利用导数分别在1t ≥，0t ≤和01t <<研究()g x 的最大值和最小值，从而根据最值的关系可求得t 的取值范围. 【详解】（1）由题意()()()()2x xxx me mx n e mx m n f x e e -+-+-'==()f x Q 在点()()1,1f 处的切线方程为：30x ey +-=()21f e ∴=，()11f e '=-，即：21m n e en ee +⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 解得：1m =，1n =()1x x f x e +∴=，()xxf x e '=- 当0x >时，()0f x '<，当0x <时，()0f x '>()f x ∴在()0,∞+上单调递减，在(),0-∞上单调递增 （2）①由1n =-，m R ∈，1x mx x e -≥，即：1xm e x≥+ 对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，都有()f x x ≥恒成立等价于1xm e x ≥+对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立记()1x x e x ϕ=+，()21xx e xϕ'=-设()21xh x e x =-()320xh x e x '∴=+>对1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立 ()21x h x e x ∴=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增而1402h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()21204h e =->()21x x e x ϕ'∴=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点0x 当01,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，当()0,2x x ∈时，()0x ϕ'>()x ϕ∴在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在()02x ,上单调递增()x ϕ∴的最大值是12ϕ⎛⎫⎪⎝⎭和()2ϕ中的较大的一个∴()122m m ϕϕ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪∴⎝⎭⎨⎪≥⎩，即2212m m e ⎧≥⎪⎨≥+⎪⎩ 212m e ∴≥+， m ∴的最小值为212e +②假设存在[],,0,1a b c ∈，使得()()()g a g b g c +<，则问题等价于()()()()min max 2g x g x <()()211xx t x g x e +-+=Q ()()()1x x t x g x e ---'∴= ⑴当1t ≥时，()0g x '≤，则()g x 在[]0,1上单调递减()()210g g ∴<，即321t e -⋅<，得：312e t >-> 3,2e t ⎛⎫∴∈-+∞ ⎪⎝⎭②当0t ≤时，()0g x '≥，则()g x 在[]0,1上单调递增()()201g g ∴<，即32te-<，得：320t e <-< (),32t e ∴∈-∞- ③当01t <<时，当[)0,x t ∈时，()0g x '<；当(],1x t ∈时，()0g x '>，()g x ∴在[)0,t 上单调递减，在(],1t 上单调递增 ∴()()(){}2max 0,1g t g g ∴<，即132max 1,t t t e e +-⎧⎫⨯<⎨⎬⎩⎭……（） 由（1）知()1t t f t e +=在[]0,1t ∈上单调递减，故142t t e e+⨯≥，而33t e e -< ∴不等式（）无解综上所述，存在(),323,2e t e ⎛⎫∈-∞--+∞ ⎪⎝⎭U ，使得命题成立【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数的几何意义的应用、研究函数的单调性、恒成立问题的求解.本题的解题关键是能够将问题转化为函数最值之间的关系，从而将恒成立问题进行等价转化，转变为函数最值的求解问题，20．对于无穷数列{}n a ，{}n b ，若{}{}1212max ,,,min ,,,k k k b a a a a a a =-L L ，1,2,3,k =L ，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”.其中{}12max ,,,k a a a L ，{}12min ,,,k a a a L 分别表示12,,,k a a a L 中的最大数和最小数.已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”. （1）若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和； （2）证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ； （3）若121(1)(1)(1,2,3,)22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=L L 且11a =，22a =，求所有满足该条件的{}n a .【答案】（1）(1)n n -；（2）详见解析；（3）12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥.【解析】（1）根据21n a n =+可得{}n a 为递增数列，从而可得22n b n =-，利用等差数列求和公式可得结果；（2）可证得{}{}121121max ,,,min ,,,n n a a a a a a ++⋅⋅⋅-⋅⋅⋅{}{}1212max ,,,min ,,,n n a a a a a a ≥⋅⋅⋅-⋅⋅⋅，即1n n b b +≥，则可知{}{}12121max ,,,min ,,,n n n n b b b b b b b b b ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=，可证得结论；（3）令1,2,3n =猜想可得12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥，整理可知此数列满足题意；利用反证法可证得不存在数列不满足12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥的{}n a 符合题设条件，从而可得结论.【详解】（1）由21n a n =+可得{}n a 为递增数列{}{}12121max ,,,min ,,,21322n n n n b a a a a a a a a n n ∴=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=+-=- 由通项公式可知{}n b 为等差数列{}n b ∴的前n 项和为：()2212n n n n -⨯=- （2）{}{}()12121max ,,,max ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅=⋅⋅⋅Q{}{}()12121min ,,,min ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅=⋅⋅⋅{}{}{}{}1211211212max ,,,min ,,,max ,,,min ,,,n n n n a a a a a a a a a a a a ++∴⋅⋅⋅-⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅-⋅⋅⋅()11,2,3,n n b b n +∴≥=⋅⋅⋅，又1110b a a =-= {}{}12121max ,,,min ,,,n n n n b b b b b b b b b ∴⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-= {}n b ∴的“收缩数列”仍是{}n b （3）由()()()121111,2,3,22n n n n n n S S S a b n +-++⋅⋅⋅+=+=⋅⋅⋅可得： 当1n =时，11a a =；当2n =时，121223a a a b +=+，即221b a a =-，所以21a a ≥；当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即()()3213132b a a a a =-+-（）， 若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（）可得32a a =，与32a a <矛盾； 若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（）可得()32133a a a a -=- 所以32a a -与13a a -同号，这与312a a a <≤矛盾； 若32a a ≥，则331b a a =-，由（）可得32a a =. 猜想：满足()()()121111,2,3,22n n n n n n S S S a b n +-++⋅⋅⋅+=+=⋅⋅⋅的数列{}n a 是： 12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥经验证，左式()()12121211212n n n S S S na n a na a -=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+-=+⎡⎤⎣⎦ 右式()()()()()()1121121111122222n n n n n n n n n n n a b a a a na a +-+--=+=+-=+ 下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件由上述3n ≤时的情况可知，3n ≤时，12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥是成立的假设k a 是首次不符合12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥的项，则1231k k a a a a a -≤==⋅⋅⋅=≠由题设条件可得()()2211112222k k k k k k k a a a b ----+=+（） 若12k a a a ≤<，则由（）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾； 若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（）可得()()2112k k k k a a a a --=- 所以2k a a -与1k a a -同号，这与12k a a a <≤矛盾； 所以2k a a ≥，则1k k b a a =-，所以由（）化简可得2k a a =. 这与假设2k a a ≠矛盾.所以不存在数列不满足12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥的{}n a 符合题设条件综上所述：12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥【点睛】本题考查新定义运算的问题求解，关键是能够明确新定义的具体意义，从而将问题转化为最大项与最小项的问题，涉及到递增数列、猜想与证明、反证法等知识，对于学生理解与应用能力、转化与化归能力要求较高，属于难题.21．已知矩阵，若直线在矩阵对应的变换作用下得到直线，求直线的方程． 【答案】.【解析】分析：先求出AB ＝，再设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P (x ，y )，再求直线的方程．详解：因为A ＝，B ＝，所以AB ＝．设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P (x ，y )． 因为P 0(x 0，y 0)在直线l : x －y ＋2＝0上，所以x 0－y 0＋2＝0． ①由AB ，即，得, 即,②将②代入①得x －4y ＋4＝0， 所以直线l 1的方程为x －4y ＋4＝0．点睛：本题主要考查矩阵和矩阵变换下直线方程的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.22．极坐标中，过点2,4P π⎫⎪⎭作曲线2cos ρθ=的切线l ，求直线l 的极坐标方程.【答案】sin 1ρθ=【解析】将极坐标方程化为普通方程，可验证出点P 在圆上，从而可得过P 点切线的直角坐标方程，将直角坐标方程再化回极坐标方程即可. 【详解】曲线2cos ρθ=的直角坐标方程为：()2211x y -+=点2,4P π⎫⎪⎭的直角坐标为()1,1 ∴点P 在圆上，又因为圆心()1,0故过点P 的切线为1y =∴所求的切线的极坐标方程为：sin 1ρθ=【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，涉及到过圆上一点的圆的切线的求解，属于常规题型. 23．已知,0x y >，且1x y +=116x y ++≤【答案】详见解析【解析】根据柯西不等式可证得结果. 【详解】()()2221111x y++++≤Q又1x y+=26∴+≤≤【点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式的问题，属于常规题型.24．某商场进行抽奖活动.已知一抽奖箱中放有8只除颜色外，其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色.现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取三次，拿到红色球的个数记为X. （1）若取球过程是无放回的，求事件“2X=”的概率；（2）若取球过程是有放回的，求X的概率分布列及数学期望()E X.【答案】（1）1528；（2）详见解析.【解析】（1）利用超几何分布概率公式即可计算概率；（2）随机变量X的可能取值为：0,1,2,3；且53,8X B⎛⎫⎪⎝⎭:，根据二项分布概率公式可求得每个取值对应的概率，从而得到分布列；利用二项分布数学期望的计算公式求得期望.【详解】（1）根据超几何分布可知：()21533815228C CP XC===；（2）随机变量X的可能取值为：0,1,2,3；且53,8X B⎛⎫⎪⎝⎭:()335388kkkP X k C-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3k=∴分布列如下：()515388E X =⨯=【点睛】本题考查超几何分布的概率问题求解、二项分布的分布列和数学期望的求解，关键是能够明确有放回与无放回所符合的分布类型.25．设{}n a 为下述正整数N 的个数：N 的各位数字之和为n ，且每位数字只能取1，3或4 （1）求1a ，2a ，3a ，4a 的值；（2）对*n N ∀∈，试探究222n n a a +⋅与221n a +的大小关系，并加以证明.【答案】（1）11a =，21a =，32a =，44a =；（2）222221n n n a a a ++=，证明详见解析.【解析】（1）根据已知条件，依次取1,2,3,4n =，列出符合的正整数N ，从而得到个数，得到所求结果；（2）由（1）猜想可知：222221n n n a a a ++=，首先证得当4n >时，134n n n n a a a a ---=++，再用数学归纳法证得21221n n n a a a +-=+，接着用数学归纳法证明猜想的结论成立. 【详解】（1）1n =，则1N = 11a ∴=；2n =，则11N = 21a ∴=；3n =，则111N =或3N = 32a ∴=；4n =，则1111N =，13N =，31N =，4N = 44a ∴=；综上：11a =，21a =，32a =，44a =（2）由（1）猜想：222221n n n a a a ++=；记12k N x x x ⋅⋅⋅=，其中{}12,,,1,3,4k x x x ⋯∈且12k x x x n ++⋯+=假定4n >，删去1x ，则当1x 依次取1,3,4时，23k x x x ++⋯+分别等于1n -，3n -，4n - 故当4n >时，134n n n n a a a a ---=++先用数学归纳法证明下式成立：21221n n n a a a +-=+①1n =时，由（1）得：312a a a =+，结论成立； ②假设当n k =时，21221k k k a a a +-=+当1n k =+时，2322221k k k k a a a a ++-=++=222212()k k k k a a a a ++++-2221k k a a ++=+∴当1n k =+时，结论成立；综合①②，21221n n n a a a +-=+，*n N ∈再用数学归纳法证明下式成立：222221n n n a a a ++=①当1n =时，由（1）得：2243a a a =，结论成立； ②假设当n k =时，222221k k k a a a ++=当1n k =+时，()2222422232122223222121k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a ++++++++++=++=++= ()()222232122212223212323222123k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a +++++++++++++++=+=+=∴当1n k =+时，结论成立；综合①②，222221n n n a a a ++=，*n N ∈【点睛】本题考查利用数学归纳法证明数列中的递推关系的问题，关键是能够明确n a 的定义，通过赋值的方式求解数列中的项；进而采用猜想的方法得到结论，再利用数学归纳法进行证明.。
2020届镇江市高三数学三模试卷含答案
镇江市高三数学三模考试答案及评分标准
一、填空题：每小题 5 分.
1. 1
2. 1
3. 充分不必要
4. 20
5. 5
1 6.
2
7. 2
8. 184
9. 3
10. 2
11. 144 229
二、解答题
12. 90
13. （0， 15 ) （1，e ]
5
e3
14. 3 5
15. 证明：（1）设 A1B 与 AB1 交于 O ，连接 OD ，在平行四边形 ABB1A1 中， O 为 AB1 中点， D 为 AC 中点，则 OD 为△ AB1C 的中位线，所以 OD ∥ B1C ， OD 平面 A1BD ，因 B1C 平面 A1BD ，所以 B1C ∥平面 A1BD .
tan A
tan B tan C 的最大值为
.
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.
15. （本小题满分 14 分）
如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， D 为 AC 中点， AB BC, A1D AC1.求证：
（1） B1C ∥平面 A1BD ；
（2）平面 A1BD 平面 AB1C1.
16.解：在△ABC 中， A B C π ， 0 A π ， sin A 0 ，因为 cos A 5 ， 5
不 交 代 sin A 0 和
得 sin A 1 cos2 A 1 ( 5 )2 2 5 ①. 平方和公式使用形
5
5
式的分别扣 1 分
（1）因为 5 cosC sin B sin(π (A C)) sin(A C) sin Acos C cos Asin C ，
千多年.其中有这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”
江苏省镇江市2025届高考数学三模试卷含解析
江苏省镇江市2025届高考数学三模试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知21,0(),0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，则21log 3f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A ．2B ．23 C ．23-D ．32．如图，ABC 中260A B ∠=∠=︒，点D 在BC 上，30BAD ∠=︒，将ABD △沿AD 旋转得到三棱锥B ADC '-，分别记B A '，BD'与平面ADC 所成角为α，β，则α，β的大小关系是（ ）A ．2αβα<≤B ．23αβα≤≤C ．2βα≤，23αβα<≤两种情况都存在D ．存在某一位置使得3a β>3．双曲线2212y x -=的渐近线方程为（ ）A ．3y x =B ．y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±4． “1cos 22α=-”是“3k παπ=+，k Z ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．若数列{}n a 为等差数列，且满足5383a a a ++＝，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则11S ＝（ ） A ．27B ．33C ．39D ．446． “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（ ）A ．165B ．325C ．10D ．1857．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP 中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（ ）A ．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长B ．2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP 比例持续7年保持在4%以上C ．从2010年至2018年，中国GDP 的总值最少增加60万亿D ．从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年8．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a 、b 、c ，满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=，则（ ） A ．max37a c+-=B ．max37a c-+=C ．min37a c+-=D ．min37a c-+=9．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i -B ．2i +C ．12i +D ．12i -10．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b11．下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是( ) A ．sin y x =π. B ．|1|y x =- C ．cos y x π=D ．e e x x y -=+12．已知数列{}n a 满足()*331log 1log n n a a n N ++=∈,且2469a a a ++=,则()13573log a a a ++的值是( )A ．5B ．3-C ．4D ．991二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届江苏省镇江市高三下学期高考前练习(三模)数学试卷
2024届江苏省镇江市高三下学期高考前练习(三模)数学试卷一、单选题(★) 1. 已知复数为纯虚数，则实数的值为（）A．2B．C．1D．(★★★) 2. 等轴双曲线经过点，则其焦点到渐近线的距离为（）A．B．2C．4D．(★★★) 3. 命题P：的平均数与中位数相等；命题Q：是等差数列，则P是Q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 4. 圆被直线所截得劣弧的弧长为（）A．B．C．D．(★) 5. 自“”横空出世，全球科技企业掀起一场研发大模型的热潮，随着算力等硬件底座逐步搭建完善，大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用. 函数和函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，（）A．B．C．D．(★★★) 6. 生活中有各种不同的进制，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用十进制. 任何进制数均可转换为十进制数，如八进制数转换为十进制数的算法为.若将八进制数转换为十进制数，则转换后的数的末位数字是（）A．1B．3C．5D．7(★★★) 7. 已知角满足，，则（）A．B．C．D．2(★★★) 8. 已知及其导函数的定义域均为，记，，若关于对称，是偶函数，则（）A．B．2C．3D．二、多选题(★★) 9. 同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件，“乙正面向上”为事件，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件，则下列判断正确的是（）A．与相互对立B．与相互独立C．D．(★★★) 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（）A．B．C．为偶函数D．在区间的最小值为(★★★★) 11. 在正四棱柱中，点M，N分别为面和面的中心.已知与点关于平面对称的点在棱柱的内部（不含表面），并记直线与平面所成的角为，直线与所成的角为，对所有满足上述条件的正四棱柱，下列关系式一定成立的是（）A．B．C．D．三、填空题(★★) 12. 设随机变量，则 ______ .(★★★)13. 若对项数为的数列中的任意一项，也是该数列中的一项，则称这样的数列为“可倒数数列”.已知正项等比数列是“可倒数数列”，其公比为，所有项和为，写出一个符合题意的的值 ____________ . (★★★)14. 有一个简易遮阳棚三角形长度分别为5米、3米、4米. 两点固定在底面，成正南北方向，此时太阳光从正西方向与底面成方向射入. 当遮阳棚与底面所成角为 _____________ 时，遮阴面积最大，最大面积为 _____________ 平方米.四、解答题(★★★) 15. 如图，三棱锥中，，，，D 是棱AB的中点，点E在棱AC上.(1)下面有①②③三个命题，能否从中选取两个命题作为条件，证明另外一个命题成立？如果能，请你选取并证明（只要选取一组并证明，选取多组的，按第一组记分）；①平面⊥平面；②；③.(2)若三棱锥的体积为，以你在（1）所选的两个条件作为条件，求平面与平面所成二面角的大小.(★★★) 16. 如图，椭圆C：( )的中心在原点，右焦点，椭圆与轴交于两点，椭圆离心率为，直线与椭圆C交于点.(1)求椭圆C的方程；(2) P是椭圆C弧上动点，当四边形的面积最大时，求P点坐标. (★★★) 17. 在一场羽毛球比赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军. 比赛采用“双败淘汰制”：首先，四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”. 接着，“胜区”中两人对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名. 然后，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名. 最后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名. 已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p( )，且不同对阵的结果相互独立.(1)若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；①求甲获得第四名的概率；②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜者获得冠军. 已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p( )，则哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.(★★★) 18. 设函数( ).(1)当时，求在处的切线方程；(2)讨论的单调性；(3)当时，，求a的取值范围.(★★★★) 19. 已知正整数为常数，且，无穷数列的各项均为正整数，其前项和为，且对任意正整数，恒成立.(1)证明无穷数列为等比数列，并求；(2)若，，求证：；(3)当时，数列中任意不同两项的和构成集合A.设集合，中元素的个数记为，求数列的通项公式.。
江苏省镇江市2021届新高考第三次模拟数学试题含解析
江苏省镇江市2021届新高考第三次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题p:直线a ∥b ，且b ⊂平面α，则a ∥α；命题q:直线l ⊥平面α，任意直线m ⊂α，则l ⊥m.下列命题为真命题的是（ ） A ．p ∧q B ．p ∨（非q ）C ．（非p ）∧qD ．p ∧（非q ）【答案】C 【解析】 【分析】首先判断出p 为假命题、q 为真命题，然后结合含有简单逻辑联结词命题的真假性，判断出正确选项. 【详解】根据线面平行的判定，我们易得命题:p 若直线//a b ，直线b ⊂平面α，则直线//a 平面α或直线a 在平面α内，命题p 为假命题；根据线面垂直的定义，我们易得命题:q 若直线l ⊥平面α，则若直线l 与平面α内的任意直线都垂直，命题q 为真命题.故:A 命题“p q ∧”为假命题；B 命题“()p q ∨⌝”为假命题；C 命题“()p q ⌝∧”为真命题；D 命题“()p q ∧⌝”为假命题. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查线面平行与垂直有关命题真假性的判断，考查含有简单逻辑联结词的命题的真假性判断，属于基础题.2．已知曲线cos(2)||2C y x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭：的一条对称轴方程为3x π=，曲线C 向左平移(0)θθ>个单位长度，得到曲线E 的一个对称中心的坐标为,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则θ的最小值是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．12π【答案】C 【解析】 【分析】cos(2)y x ϕ=+在对称轴处取得最值有2cos()13πϕ+=±，结合||2ϕπ<，可得3πϕ=，易得曲线E 的解ππk ππ∵直线3x π=是曲线C 的一条对称轴.2()3k k πϕπ∴⨯+=∈Z ，又||2ϕπ<. 3πϕ∴=.∴平移后曲线E 为cos 223y x πθ⎛⎫=++⎪⎝⎭. 曲线E 的一个对称中心为04π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.22()432k k Z πππθπ∴⨯++=+∈.()26k k Z ππθ=-∈，注意到0θ> 故θ的最小值为3π. 故选：C. 【点睛】本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.3．双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( ) A．0x ±= B ．20x y ±= C0y ±= D ．20x y ±=【答案】A 【解析】 【分析】将双曲线方程化为标准方程为22112y x -=，其渐近线方程为2212y x -=，化简整理即得渐近线方程. 【详解】双曲线22:21C x y -=得22112y x -=，则其渐近线方程为22012y x -=，【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用.4．2(1ii +=- ) A ．132i +B ．32i+ C ．32i- D ．132i-+ 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【详解】()()()()22122313131112222i i i i i i i i i i ++++++====+--+ 本题正确选项：A 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题． 5．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A ∪B= A ．（–1，1） B ．（1，2）C ．（–1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C 【解析】 【分析】根据并集的求法直接求出结果. 【详解】∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=> ， ∴(1,)AB =-+∞ ，故选C. 【点睛】考查并集的求法，属于基础题.6．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率355113≈π．设胡夫金字塔的高为h ，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为C ．(8h π+D ．(2h π【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】设胡夫金字塔的底面边长为a ，由题可得42a h =π，所以2h a π=，所以需要灯带的总长度约为44(22h+π⨯=π+h ，故选D ．7．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =-【答案】B 【解析】 【分析】根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解. 【详解】z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则z x yi =+，z x yi =-，∵12z zz +=+，1x =+， 解得221y x =+. 故选：B. 【点睛】本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题. 8．若0.60.5a ＝,0.50.6b ＝,0.52c ＝,则下列结论正确的是( ) A ．b c a >> B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >>【答案】D【分析】根据指数函数的性质，取得,,a b c 的取值范围，即可求解，得到答案. 【详解】由指数函数的性质，可得0.50.50.610.60.50.50>>>>，即10b a >>>， 又由0.512c =>，所以c b a >>. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.9．2021年某省将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为 A ．18B ．14C ．16D ．12【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】甲同学所有的选择方案共有122412C C =种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有133C =种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率31124P ==，故选B ． 10．对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是( )A ．2B ．3C ．3.5D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据表中数据，即可容易求得中位数.由图表可知，种子发芽天数的中位数为343.52+=， 故选：C. 【点睛】本题考查中位数的计算，属基础题.11．集合{|20}N A x x B =-≤=，，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}0,1,2【答案】D 【解析】 【分析】利用交集的定义直接计算即可. 【详解】{}|2A x x =≤，故{}0,1,2A B =，故选：D. 【点睛】本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题.12．若复数z 满足2312z z i -=+，其中i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z =（ ）A ．B ．C ．4D ．5【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则先求出复数z ，再计算它的模长． 【详解】解：复数z ＝a+bi ，a 、b ∈R ； ∵2z 312z i -=+，∴2（a+bi ）﹣（a ﹣bi ）＝312i +， 即23212a ab b -=⎧⎨+=⎩，解得a ＝3，b ＝4， ∴z ＝3+4i ，∴|z|5=．【点睛】本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省镇江市2021届新第三次高考模拟考试数学试卷含解析
江苏省镇江市2021届新第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin 2o 的近似值为（ ）A ．π90B ．π180C ．π270D ．π360【答案】A 【解析】 【分析】设圆的半径为r ,每个等腰三角形的顶角为360n ︒,则每个等腰三角形的面积为21360sin 2r n︒,由割圆术可得圆的面积为221360sin 2r n r n π︒=⋅,整理可得3602sin n nπ︒=,当180n =时即可为所求. 【详解】由割圆术可知当n 变得很大时,这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积, 设圆的半径为r ,每个等腰三角形的顶角为360n︒, 所以每个等腰三角形的面积为21360sin 2r n ︒, 所以圆的面积为221360sin2r n r n π︒=⋅,即3602sin n n π︒=, 所以当180n =时,可得3602sin sin 218018090ππ︒=︒==, 故选:A 【点睛】本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力.2．已知()21AB =-u u u r ，，()1,AC λ=u u u r ，若10cos BAC ∠=，则实数λ的值是（ ）A ．-1B ．7C ．1D ．1或7【答案】C 【解析】根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得λ的值. 【详解】由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得210cos 51AB AC BAC AB AC λ⋅∠===⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r . ∴解得1λ=. 故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.3．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（ ）A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18% 【答案】D 【解析】 【分析】A.从第一个图观察居住占23%，与其他比较即可.B. CPI 一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，再判断.C.食品占19.9%，再看第二个图，分清2.5%是在CPI 一篮子商品中，还是在食品中即可.D. 易知猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%. 【详解】A. CPI 一篮子商品中居住占23%，所占权重最大的，故正确.B. CPI 一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，权重超过50%，故正确.C.食品占中19.9%，分解后后可知猪肉是占在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%，故正确.D. 猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%，故错误.【点睛】本题主要考查统计图的识别与应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.4．已知函数()()222ln 25f x a x ax =+++.设1a <-，若对任意不相等的正数1x ，2x ，恒有()()12128f x f x x x -≥-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,1--B ．()2,1--C ．(],3-∞-D ．(],2-∞-【答案】D 【解析】 【分析】求解()f x 的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数12,x x ，构造新函数，讨论其单调性即可求解. 【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()()2221224ax a a f x ax x x+++'=+=， 当1a <-时，()0f x '<，故()f x 在()0,∞+单调递减； 不妨设12x x <，而1a <-，知()f x 在()0,∞+单调递减， 从而对任意1x 、()20,x ∈+∞，恒有()()12128f x f x x x -≥-，即()()12128f x f x x x -≥-，()()()12218f x f x x x -≥-，()()112288f x x f x x ≥++，令()()8g x f x x =+，则()2248a g x ax x+'=++，原不等式等价于()g x 在()0,∞+单调递减，即1240a ax x+++≤， 从而()222214122121x x a x x ---≤=-++，因为()22212221x x --≥-+， 所以实数a 的取值范围是(],2-∞- 故选：D. 【点睛】此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目.5．已知双曲线222:1(0)3-=>y x C a a 的一个焦点与抛物线28x y =的焦点重合，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2 BC ．3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，由此可得双曲线的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得234a +=，解可得1a =，由离心率公式计算可得答案．【详解】根据题意，抛物线28x y =的焦点为(0,2)，则双曲线22213y x a -=的焦点也为(0,2)，即2c =，则有234a +=，解可得1a =， 双曲线的离心率2ce a==. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程，关键是求出抛物线焦点的坐标，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．6．已知平面向量a r ，b r满足()1,2a =-r ，()3,b t =-r ，且()a ab ⊥+r r r ，则b =r （ ）A ．3B ．C ．D ．5【答案】B 【解析】 【分析】先求出a b +r r，再利用()0a a b ⋅+=r r r 求出t ，再求b r .【详解】解：()()()1,23,2,2t t a b -+-=-=-+r r由()a a b ⊥+r r r ，所以()0a a b ⋅+=r r r()()()12220t ⨯-+-⨯-=，1t =，()3,1b =-r，=r b 故选：B 【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题. 7．51(1)x x-+展开项中的常数项为 A ．1 B ．11C ．-19D ．51【答案】B 【解析】 【分析】展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况. 【详解】展开式中的项为常数项，有3种情况： （1）5个括号都出1，即1T =；（2）两个括号出x ，两个括号出1()x-，一个括号出1，即2222531()130T C x C x =⋅⋅⋅-⋅=；（3）一个括号出x ，一个括号出1()x-，三个括号出1，即11541()120T C x C x =⋅⋅⋅-⋅=-；所以展开项中的常数项为1302011T =+-=，故选B. 【点睛】本题考查二项式定理知识的生成过程，考查定理的本质，即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的.8．函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-成立，且函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，()14f =，则()()()201620172018f f f ++的值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．1【答案】C 【解析】 【分析】根据函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称可得()f x 为奇函数，结合()()2f x f x +=-可得()f x 是周期为4的周期函数，利用()00f =及()14f =可得所求的值. 【详解】因为函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，所以()y f x =的图象关于原点对称， 所以()f x 为R 上的奇函数.由()()2f x f x +=-可得()()2f x f x +=-，故()()()42f x f x f x +=-+=， 故()f x 是周期为4的周期函数.因为20164504,201745041,201845042=⨯=⨯+=⨯+，所以()()()()()()()20162017201012428f f f f f f f +=+=+++. 因为()()2f x f x +=-，故()()()02000f f f +=-=-=， 所以()()()2016201720148f f f +=+. 故选：C. 【点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性，一般地，如果R 上的函数()f x 满足()()()0f x a f x a +=-≠，那么()f x 是周期为2a 的周期函数，本题属于中档题.9．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】 画出曲线与围成的封闭区域，表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，然后结合图形求解可得所求范围． 【详解】 画出曲线与围成的封闭区域，如图阴影部分所示．表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，设，结合图形可得或，由题意得点A,B 的坐标分别为，∴，∴或，∴的取值范围为．故选D ． 【点睛】解答本题的关键有两个：一是根据数形结合的方法求解问题，即把看作两点间连线的斜率；二是要正确画出两曲线所围成的封闭区域．考查转化能力和属性结合的能力，属于基础题．10．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 92344935 820036234869 69387481A ．08B ．07C ．02D ．01【答案】D 【解析】从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力. 11．在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()322213f x x bx a c ac x =+++- 1+有极值点，则B Ð的范围是（ ）A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．0,3π⎛⎤⎥⎝⎦C ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,3π⎛⎫π⎪⎝⎭【答案】D试题分析：由已知可得()()222'20f x x bx a c ac =+++-=有两个不等实根()2222222221440cos 22a cb b ac ac a c b ac B B ac +-⇒∆=-+->⇒+-<⇒=<⇒∈,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭.考点：1、余弦定理；2、函数的极值.【方法点晴】本题考查余弦定理，函数的极值，涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用转化化归思想将原命题转化为()()222'20f x x bx a c ac =+++-=有两个不等实根，从而可得()2222222221440cos 22a cb b ac ac a c b ac B B ac +-∆=-+->⇒+-<⇒=<⇒∈,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭.12．如图，四边形ABCD 为正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =，点P 在线段CD 上运动.设AP x AB y AE =+u u u r u u u r u u u r，则x y +的取值范围是（ ）A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]2,3D ．[]2,4【答案】C 【解析】 【分析】以A 为坐标原点，以,AB AD 分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可解决. 【详解】以A 为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，不妨设正方形ABCD 的边长为1，则(1,0)B ，(1,1)E -，设(,1)(01)P t t ≤≤，则(,1)(1,0)(1,1)t x y =+-，所以t x y =-，且1y =， 故2x y t +=+[]2,3∈. 故选：C.本题考查利用向量的坐标运算求变量的取值范围，考查学生的基本计算能力，本题的关键是建立适当的直角坐标系，是一道基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省镇江市高三数学考前模拟(三模)试题(含解析)
江苏省镇江市2019届高三数学考前模拟（三模）试题（含解析）第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.）1.已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =I ____. 【答案】{}|12x x << 【解析】 【分析】利用交集定义直接求解．【详解】Q 集合A {x |0x 2}=<<，{}B x x 1=，A B {x |1x 2}∴⋂=<<．故答案为：{x |1x 2}<<．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.设复数2(12)z i =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为_______. 【答案】34i -- 【解析】 【分析】根据复数运算整理出34z i =-+，根据共轭复数定义得到结果. 【详解】14434z i i =+-=-+ z ∴的共轭复数为：34i -- 本题正确结果：34i --【点睛】本题考查复数的运算，共轭复数的求解，属于基础题.3.执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1，则输入x 的值为_______.【答案】-1 【解析】执行此程序框图可知，当0x ≥时，121x +=-，此时方程无解； 当0x <时，221x -=-，解得1x =-，所以输入x 的值为1-.4.已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是______． 【答案】0.1 【解析】数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为15x =×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2， ∴该组数据的方差为：s 2=15×[（4.8–5.2）2+（4.9–5.2）2+（5.2–5.2）2+（5.5–5.2）2+（5.6–5.2）2]=0.1．故答案为：0.1．5.一个盒子中放有大小相同的4个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为_______. 【答案】25【解析】 【分析】列举出任取两个球所有可能的结果，找到两个球不同色的所有情况，根据古典概型求得结果. 【详解】设4个白球编号为：1,2,3,4；1个黑球为：A从中任取两个球的所有可能结果为：12、13、14、1A 、23、24、2A 、34、3A 、4A ，共10种所取的两个球不同色的有：1A 、2A 、3A 、4A ，共4种∴所求概率为：42105P == 本题正确结果：25【点睛】本题考查古典概型的概率问题的求解，考查列举法的应用，属于基础题.6.用半径为4的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为_______. 【答案】833π 【解析】 【分析】由半圆弧长可求得圆锥的底面半径，从而得到圆锥的高，代入圆锥体积公式求得结果.【详解】半圆的弧长为：12442ππ⨯⨯= 42R ππ∴= 即圆锥的底面半径为：2R = 圆锥的高为：224223h =-=∴圆锥的体积为：21832333V π=⨯⨯⨯=83 【点睛】本题考查圆锥侧面积、体积的相关问题的求解，属于基础题.7.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线222C :1(0)16x y a a -=>的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为125，则双曲线C 的方程为_______. 【答案】221916x y -=【解析】 【分析】根据双曲线方程得到右顶点坐标和渐进线方程；利用点到直线距离公式构造出关于a 的方程，解方程求得a ，从而得到双曲线方程.【详解】双曲线的右顶点为：(),0a ；渐近线为：4y x a=±212516a =+，解得：3a = ∴双曲线C 的方程为：221916x y -=本题正确结果：221916x y -=【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，关键是能够熟练应用双曲线的几何性质，利用点到直线距离构造出方程.8.在等比数列{}n a 中，14a ，42a ，7a 成等差数列，则35119a a a a +=+_______.【答案】14【解析】 【分析】根据三项成等差数列可构造方程求得等比数列的公比q 满足32q =，将所求式子化为1a 和q 的形式，化简可得结果.【详解】14a Q ，42a ，7a 成等差数列 17444a a a ∴+=即：6311144a a q a q +=，解得：32q =243511108611911114a a a q a q a a a q a q q ++∴===++ 本题正确结果：14【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合应用问题，关键是能够求解出等比数列的基本量，属于基础题.9.若函数()2sin()f x x ωϕ=+ （01ω<<，02πϕ<<）的图像过点，且关于点(2,0)-对称，则(1)f -=_______.【答案】1 【解析】 【分析】根据图象过(可求得ϕ；利用图象关于()2,0-对称代入23k πωπ-+=，k Z ∈，结合01ω<<求得ω；从而可得()f x ，代入1x =-求得结果.【详解】函数()()2sin f x x ωϕ=+的图像过点(2sin ϕ∴=即：sin 2ϕ=02πϕ<<Q 3πϕ∴=又函数图象关于点()2,0-对称 2sin 203πω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，即：23k πωπ-+=，k Z ∈ 126k πωπ∴=-+，k Z ∈01ω<<Q 6πω∴=()2sin 63f x x ππ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，()12sin 2sin 1636f πππ⎛⎫∴-=-+== ⎪⎝⎭本题正确结果：1【点睛】本题考查根据三角函数的性质求解函数的解析式，利用解析式求值的问题，属于常规题型.10.已知圆C ：22(1)()16x y a -+-=，若直线20ax y +-=与圆C 相交于A ，B 两点，且CA CB ⊥，则实数a 的值为_______.【答案】1- 【解析】 【分析】利用CA CB ⊥求得42AB =；根据直线被圆截得的弦长等于222R d -可利用a 表示出弦长AB ，从而得到方程，解方程求得结果.【详解】圆心C 的坐标为：()1,C a ，半径4R =CA CB ⊥Q ∴弦长224442AB =+=圆心C 到直线20ax y +-=的距离为：2221a d a -=+∴弦长()22222421|22|2421611a a a AB a a -+⎛⎫-=-=- ⎪++⎝⎭()22421216421a a a -+∴-=+2210a a ++=解得：1a =- 本题正确结果：1-【点睛】本题考查利用直线被圆截得的弦长求解参数值的问题，关键是能够明确直线被圆截得的弦长等于222R d -.11.已知函数ln ,0()21,0xx x f x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数()y f x x a =+-有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】()2,+∞ 【解析】 【分析】将问题转变为()y f x =与y x a =-+的图象且只有一个交点，画出()f x 的图象，通过平移直线y x =-找到符合题意的情况，从而确定参数范围. 【详解】由()0y f x x a =+-=得：()f x x a =-+∴函数()0y f x x a =+-=有且只有一个零点等价于：()y f x =与y x a =-+的图象且只有一个交点 画出函数()ln ,021,0xx x f x x >⎧=⎨+≤⎩的图象如下图：y x a =-+的图象经过点()0,2A 时有2个交点，平移y x =-，由图可知，直线与y 轴的交点在A 点的上方时，两图象只有1个交点， 在A 点下方时，两图象有2个交点2a ∴>，即()2,a ∈+∞本题正确结果：()2,+∞【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围，涉及到指数函数、对数函数图象的应用，关键是能够将问题转化为曲线与直线的交点个数问题，通过数形结合的方式，结合直线的平移得到结果.12.在等腰ABC ∆中，AB AC =，AC BC +=u u u r u u u r则ABC ∆面积的最大值为__________．【答案】4 【解析】 【分析】由题意建立坐标系，结合向量模的坐标运算及基本不等式求解即可．【详解】以BC 为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴，设(),0C m ，()0,A n ，(),0B m - ，()0,0m n >>(),AC m n ∴=-u u u v ，()2,0BC m =u u u v， ()3,AC BC m n ∴+=-u u u v u u u v，AC BC +=u u u v u u u vQ ， 22924m n ∴+= ，22249236m n m n mn =+≥⋅⋅=Q ，当且仅当3m n =时，即n m ==4mn ∴≤ ，4ABC S mn ∆∴=≤ ，ABC ∆∴面积的最大值为4，故答案为：4．【点睛】本题考查了用解析的方法解决平面几何问题，考查了向量的坐标运算，模的计算，考查了基本不等式的应用，属于中档题．13.若x ，y 均为正实数，则221(2)x y x y+++的最小值为_______.【解析】 【分析】将所求式子变为()222112x ty t y xy y++-++，利用基本不等式可求得()2212x y x y ++≥+12=时，可求得最小值.【详解】()()2222211122x ty t y x y x yxy y ++-+++=≥++()01t <<12=，即15t =时()2212x y x y +++=【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够配凑出符合基本不等式的形式，易错点是忽略等号成立的条件.14.设()f x t =，若存在实数,()m n m n <，使得()f x 的定义域和值域都是[,]m n ，则实数t 的取值范围为_______. 【答案】9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】根据()f x 单调性可得()()f m n f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，设p =，q =，由m n <可整理出1p q p p =+>+，从而求得102p ≤<，将方程组变为2233p t q q t p ⎧-+=-⎨-+=-⎩，整理可得21924t p ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据p 的范围求得t 的取值范围.【详解】()3f x x t =-++在[3,)-+∞是减函数 ()()f m n f n m ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩即：33m t nn t m⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩……①设3m p +=，3n q +=23m p =-，23n q =-，1p q +=由m n <，得p q < 1p q p p ∴=+>+ 102p ∴≤<则①变：2233p t q q t p ⎧-+=-⎨-+=-⎩ ()2226p q t p q ∴-++=+-， 即：2212(1)6t p p -+=+--2222(1)5192224p p t p p p +--⎛⎫∴==--=-- ⎪⎝⎭ 924t ∴-<≤-本题正确结果：9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【点睛】本题考查函数定义域和值域的应用问题，关键是能够根据单调性确定最值取得的点从而构造出方程组，通过换元的方式可将问题转化为二次函数值域的求解问题；易错点是忽略自变量的取值范围，造成求解错误.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，PC ⊥底面ABCD ，E 为PB 上一点，G 为PO 中点.（1）若PD P 平面ACE ，求证：E 为PB 的中点；（2）若2AB PC =，求证：CG ⊥平面PBD .【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）连接OE ，根据线面平行的性质定理可知//PD OE ，又O 为BD 中点，可证得结论；（2）利用线面垂直的性质可知PC BD ⊥，正方形可得AC BD ⊥，根据线面垂直的判定定理可得BD ⊥平面PAC ，根据线面垂直性质可知BD CG ⊥，根据等腰三角形三线合一可知CG PO ⊥，根据线面垂直判定定理可证得结论.【详解】（1）连接OE ，由四边形ABCD 是正方形知，O 为BD 中点//PD Q 平面ACE ，PD ⊂面PBD ，面PBD I 面ACE OE = //PD OE ∴O Q 为BD 中点 E ∴为PB 的中点（2）在四棱锥P ABCD -中，2AB PC =Q 四边形ABCD 是正方形 2OC AB ∴= PC OC ∴= Q G 为PO 中点 CG PO ∴⊥又PC ⊥Q 底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD PC BD ∴⊥ 而四边形ABCD 是正方形 AC BD ∴⊥,AC CG ⊂Q 平面PAC ，AC CG C ⋂= BD ∴⊥平面PAC又CG ⊂平面PAC BD CG ∴⊥,PO BD ⊂Q 平面PBD ，PO BD O =ICG ∴⊥平面PBD【点睛】本题考查立体几何中直线与直线、直线与平面位置关系的证明问题，涉及到线面平行性质定理、线面垂直的判定定理和性质定理的应用，属于常规题型.16.已知,,a b c 分别为ABC △三个内角,,A B C 所对的边，若向量(,cos )m b B =u r，(cos ,2)n C c a =-r ，且m n ⊥u r r.（1）求角B ； （2）若||m =u r，且24ac =，求边,a c . 【答案】（1）3B π=；（2）64a c =⎧⎨=⎩或46a c =⎧⎨=⎩.【解析】 【分析】（1）利用向量垂直可知数量积等于零，从而得到()cos 2cos 0b C c a B +-=，利用正弦定理可整理为()sin 2sin cos 0B C A B +-=，从而可求得1cos 2B =，根据()0,B π∈求得B ；（2）利用2m =u r 构造方程求得b ，利用余弦定理可构造关于,a c 的方程，解方程求得结果.【详解】（1）m n ⊥u r r Q 0m n ∴⋅=u r r，又向量(),cos m b B =u r ，()cos ,2n C c a =-r ，故()cos 2cos 0b C c a B +-= 由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===得：sin cos cos sin 2sin cos 0B C B C A B +-= ()sin 2sin cos 0B C A B ∴+-=又()()sin sin sin B C A A π+=-= sin 2sin cos 0A A B ∴-=sin 0A ≠Q 1cos 2B ∴=又()0,B π∈ 3B π∴=（2）由（1）知3B π= 1,2m b ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭u rm ∴==u r2111344b ∴+=，即：228b =，解得：b =在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+- 又3B π=，故2228a c ac =+-，即：()2283a c ac =+-又24ac =，解得：64a c =⎧⎨=⎩或46a c =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到向量模长的求解和垂直关系的应用、正弦定理化简边角关系式、三角形内角和的应用、余弦定理解三角形，属于中档题.17.江心洲有一块如图所示的江边，OA ，OB 为岸边，岸边形成120︒角，现拟在此江边用围网建一个江水养殖场，有两个方案：方案l ：在岸边OB 上取两点,P Q ，用长度为1km 的围网依托岸边线PQ 围成三角形MPQ （MP ，MQ 两边为围网）；方案2：在岸边OA ，OB 上分别取点,E F ，用长度为1km 的围网EF 依托岸边围成三角形EOF .请分别计算MPQ V ，EOF △面积的最大值，并比较哪个方案好.【答案】MQP ∆，EOF ∆面积的最大值分别为218km ，2312km .其中方案2好. 【解析】 【分析】分别在三角形面积公式中应用基本不等式、余弦定理中利用基本不等式计算出方案1和方案2中MPQ ∆和EOF ∆面积的最大值，通过最大值的比较可知方案2好. 【详解】方案1：设MP xkm =，MQ ykm =由已知“用长度为1km 的围网，MP ，MQ 两边为围网”得(),0,1x y ∈且1x y +=2211111sin sin 12222228MPQx y S xy PMQ π+⎛⎫⎛⎫∴=∠≤⋅=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当12x y ==且2PMQ π∠=时，等号成立 MPQ ∴∆面积的最大值为218km方案2：设OE akm =，OF bkm =在EOF ∆中，由余弦定理得：2222cos EF OE OF OE OF EOF =+-⋅⋅∠ 即222212cos3a b a b π=+-⋅⋅22123a b a b ab ab ab ∴=++⋅≥+=（当且仅当3a b ==时等号成立）1211sin 2323EOF S ab π∆∴=≤⨯=（当且仅当a b ==时等号成立）EOF ∴∆21128>Q∴方案2好 【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，主要是求解三角形面积的最大值，涉及到基本不等式的应用，属于常规题型.18.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(4)1x y -+=，且圆C 与x 轴交于,M N 两点，设直线l 的方程为(0)y kx k =>.（1）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；（2）已知直线l 与圆C 相交于,A B 两点.（i ）2OA AB =u u u r u u u r，求直线l方程；（ii ）直线AM与直线BN 相交于点P ，直线AM ，直线BN ，直线OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在常数a ，使得123k k ak +=恒成立？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）:l y x =；（2）（i ）直线l 的方程为y x =；（ii ）存在常数2a =，使得1232k k k +=恒成立. 【解析】 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径构造关于k 的方程，解方程求得结果；（2）（i ）设()11,A x y ，由2OA AB =u u u r u u u r 可得1133,22B x y ⎛⎫⎪⎝⎭，代入圆的方程可求解出A 点坐标，从而得到斜率，求得直线方程；（ii ）将直线AM 方程代入圆的方程可求得A 点坐标；同理将直线BN 方程代入圆的方程可求得B 点坐标；利用OA OB k k =可求得12,k k 的关系，利用12,k k 表示出P 点坐标，整理可得3115k k =，进而可得到123,,k k k 满足1232k k k +=，得到常数a . 【详解】（1）由题意，0k > ∴圆心C 到直线l的距离d =Q 直线l 与圆C 相切1d ∴==，解得：15k =∴直线l方程为：15y x =（2）（i ）设()11,A x y ，由2OA AB =u u u r u u u r得：1133,22B x y ⎛⎫⎪⎝⎭ 由()2211221141334122x y x y ⎧-+=⎪⎨⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得：11258x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩0k k k ∴=>∴=∴直线l的方程为：y x =（ii ）由题意知：()3,0M ，()5,0N则()1:3AM l y k x =-，与圆()22:41C x y -+=联立得：()()()221131350x k x k ⎡⎤-+-+=⎣⎦ 3M x =Q 2121351A k x k +∴=+2112211352,11k k A k k ⎛⎫+∴ ⎪++⎝⎭同理可得：2222222532,11k k B k k ⎛⎫+- ⎪++⎝⎭OAOB k k =Q 122212221222122211355311k k k k k k k k -++∴=++++，整理可得：()()12121350k k k k ++=121k k ≠-Q 2135k k ∴=-设()00,P x y ()()01002035y k x y k x ⎧=-⎪∴⎨=-⎪⎩ 1201212012352k k x k k k k y k k -⎧=⎪-⎪∴⎨-⎪=⎪-⎩12121212352,k k k k P k k k k ⎛⎫--∴ ⎪--⎝⎭，即1315,44k P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1313141554k k k ∴== 1213225k k k k ∴+==∴存在常数2a =，使得1232k k k +=恒成立【点睛】本题考查根据直线与圆的位置关系求解直线方程、直线与圆中的存在性、定值类问题，关键是能够灵活运用直线与圆联立，将所涉及的变量用同一变量来表示，从而可整理得到所求参数的值.19.已知函数()()xf x mx n e-=+（,m n R ∈，e 是自然对数的底数）.（1）若函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为30x ey +-=，试确定函数()f x 的单调区间；（2）①当1n =-，m R ∈时，若对于任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，都有()f x x ≥恒成立，求实数m 的最小值；②当1m n ==时，设函数()()()()xg x xf x tf x et R -'=++∈，是否存在实数[],,0,1a b c ∈，使得()()()g a g b g c +<？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）()f x 在()0,∞+上单调递减，在(),0-∞上单调递增；（2）①212e +；②存在(),323,2e t e ⎛⎫∈-∞--+∞ ⎪⎝⎭U ，使得命题成立【解析】 【分析】（1）利用切线方程可知()21f e =，()11f e'=-，从而构造出方程组求得,m n ，得到()f x 解析式，根据导函数的符号确定()f x 的单调区间；（2）①将问题转化为1xm e x≥+对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立；设()1x x e x ϕ=+，利用导数求解()max x ϕ，可得()max m x ϕ≥；②设存在[],,0,1a b c ∈，使得()()()g a g b g c +<，将问题转化为()()()()minmax 2g x g x <，利用导数分别在1t ≥，0t ≤和01t <<研究()g x 的最大值和最小值，从而根据最值的关系可求得t 的取值范围.【详解】（1）由题意()()()()2x xxx me mx n e mx m n f x e e -+-+-'==()f x Q 在点()()1,1f 处的切线方程为：30x ey +-=()21f e ∴=，()11f e '=-，即：21m n e en ee +⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 解得：1m =，1n =()1x x f x e +∴=，()xxf x e '=- 当0x >时，()0f x '<，当0x <时，()0f x '>()f x ∴在()0,∞+上单调递减，在(),0-∞上单调递增（2）①由1n =-，m R ∈，1x mx x e -≥，即：1xm e x≥+ 对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，都有()f x x ≥恒成立等价于1xm e x ≥+对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立 记()1xx e x ϕ=+，()21xx e xϕ'=- 设()21xh x e x =-()320xh x e x '∴=+>对1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立()21x h x e x ∴=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增而1402h ⎛⎫=<⎪⎝⎭，()21204h e =-> ()21x x e x ϕ'∴=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点0x 当01,2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，当()0,2x x ∈时，()0x ϕ'> ()x ϕ∴在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在()02x ,上单调递增()x ϕ∴的最大值是12ϕ⎛⎫⎪⎝⎭和()2ϕ中的较大的一个()122m m ϕϕ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪∴⎝⎭⎨⎪≥⎩，即2212m m e ⎧≥⎪⎨≥+⎪⎩ 212m e ∴≥+， m ∴的最小值为212e +②假设存在[],,0,1a b c ∈，使得()()()g a g b g c +<，则问题等价于()()()()minmax 2g x g x <()()211xx t x g x e+-+=Q ()()()1x x t x g x e ---'∴= ⑴当1t ≥时，()0g x '≤，则()g x 在[]0,1上单调递减()()210g g ∴<，即321t e -⋅<，得：312e t >-> 3,2e t ⎛⎫∴∈-+∞ ⎪⎝⎭（2）当0t ≤时，()0g x '≥，则()g x 在[]0,1上单调递增()()201g g ∴<，即32te-<，得：320t e <-< (),32t e ∴∈-∞- （3）当01t <<时，当[)0,x t ∈时，()0g x '<；当(],1x t ∈时，()0g x '>，()g x ∴在[)0,t 上单调递减，在(],1t 上单调递增 ()()(){}2max 0,1g t g g ∴<，即132max 1,t t t e e +-⎧⎫⨯<⎨⎬⎩⎭……（*）由（1）知()1t t f t e +=在[]0,1t ∈上单调递减，故142t t e e+⨯≥，而33t e e -< ∴不等式（*）无解综上所述，存在(),323,2e t e ⎛⎫∈-∞--+∞ ⎪⎝⎭U ，使得命题成立 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数的几何意义的应用、研究函数的单调性、恒成立问题的求解.本题的解题关键是能够将问题转化为函数最值之间的关系，从而将恒成立问题进行等价转化，转变为函数最值的求解问题，20.对于无穷数列{}n a ，{}n b ，若{}{}1212max ,,,min ,,,k k k b a a a a a a =-L L ，1,2,3,k =L ，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”.其中{}12max ,,,k a a a L ，{}12min ,,,k a a a L 分别表示12,,,k a a a L 中的最大数和最小数.已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”.（1）若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和； （2）证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ；（3）若121(1)(1)(1,2,3,)22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=L L 且11a =，22a =，求所有满足该条件的{}n a .【答案】（1）(1)n n -；（2）详见解析；（3）12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥.【解析】 【分析】（1）根据21n a n =+可得{}n a 为递增数列，从而可得22n b n =-，利用等差数列求和公式可得结果；（2）可证得{}{}121121max ,,,min ,,,n n a a a a a a ++⋅⋅⋅-⋅⋅⋅{}{}1212max ,,,min ,,,n n a a a a a a ≥⋅⋅⋅-⋅⋅⋅，即1n n b b +≥，则可知{}{}12121max ,,,min ,,,n n n n b b b b b b b b b ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=，可证得结论；（3）令1,2,3n =猜想可得12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥，整理可知此数列满足题意；利用反证法可证得不存在数列不满足12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥的{}n a 符合题设条件，从而可得结论.【详解】（1）由21n a n =+可得{}n a 递增数列{}{}12121max ,,,min ,,,21322n n n n b a a a a a a a a n n ∴=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=+-=-由通项公式可知{}n b 为等差数列{}n b ∴的前n 项和为：()2212n n n n -⨯=- （2）{}{}()12121max ,,,max ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅=⋅⋅⋅Q{}{}()12121min ,,,min ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅=⋅⋅⋅{}{}{}{}1211211212max ,,,min ,,,max ,,,min ,,,n n n n a a a a a a a a a a a a ++∴⋅⋅⋅-⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅-⋅⋅⋅()11,2,3,n n b b n +∴≥=⋅⋅⋅，又1110b a a =-= {}{}12121max ,,,min ,,,n n n n b b b b b b b b b ∴⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-= {}n b ∴的“收缩数列”仍是{}n b（3）由()()()121111,2,3,22n n n n n n S S S a b n +-++⋅⋅⋅+=+=⋅⋅⋅可得： 当1n =时，11a a =；当2n =时，121223a a a b +=+，即221b a a =-，所以21a a ≥；当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即()()3213132b a a a a =-+-（*）， 若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（*）可得32a a =，与32a a <矛盾； 若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（*）可得()32133a a a a -=- 所以32a a -与13a a -同号，这与312a a a <≤矛盾； 若32a a ≥，则331b a a =-，由（*）可得32a a =. 猜想：满足()()()121111,2,3,22n n n n n n S S S a b n +-++⋅⋅⋅+=+=⋅⋅⋅的数列{}n a 是：12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥经验证，左式()()12121211212n n n S S S na n a na a -=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+-=+⎡⎤⎣⎦ 右式()()()()()()1121121111122222n n n n n n n n n n n a b a a a na a +-+--=+=+-=+ 下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件由上述3n ≤时的情况可知，3n ≤时，12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥是成立的假设k a 是首次不符合12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥的项，则1231k k a a a a a -≤==⋅⋅⋅=≠由题设条件可得()()2211112222k k k k k k k a a a b ----+=+（*）若12k a a a ≤<，则由（*）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾； 若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（*）可得()()2112k k k k a a a a --=- 所以2k a a -与1k a a -同号，这与12k a a a <≤矛盾；所以2k a a ≥，则1k k b a a =-，所以由（*）化简可得2k a a =. 这与假设2k a a ≠矛盾.所以不存在数列不满足12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥的{}n a 符合题设条件综上所述：12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥【点睛】本题考查新定义运算的问题求解，关键是能够明确新定义的具体意义，从而将问题转化为最大项与最小项的问题，涉及到递增数列、猜想与证明、反证法等知识，对于学生理解与应用能力、转化与化归能力要求较高，属于难题.第II 卷（附加题，共40分）【选做题】本题包括三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21.已知矩阵1220,0101A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，若直线:20l x y -+=在矩阵AB 对应的变换作用下得到直线1l ，求直线1l 的方程． 【答案】440x y -+=. 【解析】分析：先求出AB ＝2201⎡⎤⎢⎥⎣⎦，再设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P (x ，y )，再求直线1l 的方程． 详解：因为A ＝2201⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ＝2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以AB ＝2201⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P (x ，y )． 因为P 0(x 0，y 0)在直线l : x －y ＋2＝0上，所以x 0－y 0＋2＝0． ① 由AB 00x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即002201x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 得00022x y x y y +=⎧⎨=⎩, 即0012x x y y y⎧=-⎪⎨⎪=⎩,② 将②代入①得x －4y ＋4＝0， 所以直线l 1的方程为x －4y ＋4＝0．点睛：本题主要考查矩阵和矩阵变换下直线方程的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.22.极坐标中，过点4P π⎫⎪⎭作曲线2cos ρθ=的切线l ，求直线l 的极坐标方程. 【答案】sin 1ρθ= 【解析】 【分析】将极坐标方程化为普通方程，可验证出点P 在圆上，从而可得过P 点切线的直角坐标方程，将直角坐标方程再化回极坐标方程即可.【详解】曲线2cos ρθ=的直角坐标方程为：()2211x y -+=点4P π⎫⎪⎭的直角坐标为()1,1 ∴点P 在圆上，又因为圆心()1,0 故过点P 的切线为1y =∴所求的切线的极坐标方程为：sin 1ρθ=【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，涉及到过圆上一点的圆的切线的求解，属于常规题型.23.已知,0x y >，且1x y +=≤【答案】详见解析 【解析】 【分析】根据柯西不等式可证得结果.【详解】()()2221111x y ++++≤Q又1x y += 26∴≤【点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式的问题，属于常规题型.【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.24.某商场进行抽奖活动.已知一抽奖箱中放有8只除颜色外，其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色.现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取三次，拿到红色球的个数记为X . （1）若取球过程是无放回的，求事件“2X =”的概率；（2）若取球过程是有放回，求X 的概率分布列及数学期望()E X .【答案】（1）1528；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布概率公式即可计算概率；（2）随机变量X 的可能取值为：0,1,2,3；且53,8X B ⎛⎫⎪⎝⎭:，根据二项分布概率公式可求得每个取值对应的概率，从而得到分布列；利用二项分布数学期望的计算公式求得期望.【详解】（1）根据超几何分布可知：()21533815228C C P X C ===； （2）随机变量X 的可能取值为：0,1,2,3；且53,8X B ⎛⎫⎪⎝⎭:()335388kk k P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3k =∴分布列如下：()515388E X =⨯=【点睛】本题考查超几何分布的概率问题求解、二项分布的分布列和数学期望的求解，关键是能够明确有放回与无放回所符合的分布类型.25.设{}n a 为下述正整数N 的个数：N 的各位数字之和为n ，且每位数字只能取1，3或4 （1）求1a ，2a ，3a ，4a 的值；（2）对*n N ∀∈，试探究222n n a a +⋅与221n a +的大小关系，并加以证明.【答案】（1）11a =，21a =，32a =，44a =；（2）222221n n n a a a ++=，证明详见解析.【解析】 【分析】（1）根据已知条件，依次取1,2,3,4n =，列出符合的正整数N ，从而得到个数，得到所求结果；（2）由（1）猜想可知：222221n n n a a a ++=，首先证得当4n >时，134n n n n a a a a ---=++，再用数学归纳法证得21221n n n a a a +-=+，接着用数学归纳法证明猜想的结论成立. 【详解】（1）1n =，则1N = 11a ∴=；2n =，则11N = 21a ∴=；3n =，则111N =或3N = 32a ∴=；4n =，则1111N =，13N =，31N =，4N = 44a ∴=；综上：11a =，21a =，32a =，44a =（2）由（1）猜想：222221n n n a a a ++=；记12k N x x x ⋅⋅⋅=，其中{}12,,,1,3,4k x x x ⋯∈且12k x x x n ++⋯+=假定4n >，删去1x ，则当1x 依次取1,3,4时，23k x x x ++⋯+分别等于1n -，3n -，4n - 故当4n >时，134n n n n a a a a ---=++先用数学归纳法证明下式成立：21221n n n a a a +-=+ ①1n =时，由（1）得：312a a a =+，结论成立； ②假设当n k =时，21221k k k a a a +-=+当1n k =+时，2322221k k k k a a a a ++-=++=222212()k k k k a a a a ++++-2221k k a a ++=+∴当1n k =+时，结论成立；综合①②，21221n n n a a a +-=+，*n N ∈再用数学归纳法证明下式成立：222221n n n a a a ++=①当1n =时，由（1）得：2243a a a =，结论成立； ②假设当n k =时，222221k k k a a a ++=当1n k =+时，()2222422232122223222121k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a ++++++++++=++=++=()()222232122212223212323222123k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a +++++++++++++++=+=+=∴当1n k =+时，结论成立；综合①②，222221n n n a a a ++=，*n N ∈【点睛】本题考查利用数学归纳法证明数列中的递推关系的问题，关键是能够明确n a 的定义，通过赋值的方式求解数列中的项；进而采用猜想的方法得到结论，再利用数学归纳法进行证明.。
江苏省镇江市高三数学三模(最后一卷)试题
镇江市高三数学第三次模拟考试试卷数学2017.5注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置．3．答题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．已知集合{1,3}A=，{1,2,}B m=,若A B⊆,则实数m= ▲2．已知复数512iz=+（i是虚数单位），则复数z的模为▲ ．3．为了镇江市中学生运动会，现要在学生人数比例为5:3:2的A、B、C三所学校中，用分层抽样方法抽取n名志愿者，若在A学校恰好抽出了6名志愿者，那么n=▲ ．4. 在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4的四个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为5的概率是▲ ．5．已知F为双曲线C：2224(0)x my m m-=>的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为▲ .6. 运行右图所示程序框图，若输入值x∈[-2，2]，则输出值y的取值范围是▲ .7.已知,x y满足约束条件0,2,0,x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y=+的最大值为4，则a的值为▲ .8.设,a b为不重合的两条直线，,αβ为不重合的两个平面，给出下列命题：结束开始x≥0输出y（第6题）y ← x(x-2)输入xy ←-3xYN（1）若a ∥α且b ∥α，则a ∥b ； （2）若a α⊥且a β⊥，则α∥β； （3）若α⊥β，则一定存在平面γ，使得,γαγβ⊥⊥； （4）若α⊥β，则一定存在直线l ，使得,//l l αβ⊥． 上面命题中，所有真命题．．．的序号是 ▲ . 9. 等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式22d x ＋12d a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋c ≥0的解集为[0，20]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是 ▲ .10. 设α为锐角，若53)6πcos(=+α，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ▲ .11. 在ABC ∆中，6=AB ,2=AC ，3π2=∠BAC ，若AC y AB x AM +=，且13=+y x ， 则AM 的最小值为 ▲ .12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的方程为221x y +=，()2,0A -，对圆O 上的任意一点P ，存在一定点()(),02B b b ≠-和常数λ，都有PB PA λ=成立，则b λ+的值为 ▲ .13. 已知函数R 2)(2∈+=x x x x f ，,若方程01)(=--x a x f 恰有4个互异的小于1的实数 根，则实数a 的取值范围为 ▲ .14. 若实数y x ,满足1222112sin cos =x x e y y--++，则x y 2tan 2的值为 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()(sin sin )(3)sin a c A C b c B -+=-. （1）求角A ；（2）若22()cos ()sin ()f x x A x A =+--，求()f x 的单调递增区间.16.（本小题满分14分）ABPNCM（第16题）如图，在三棱锥P ABC -中，PA PC =，AC AB ⊥,M 为BC 的中点，N 为AC 上一点， 且MN ∥平面PAB ．求证：（1）直线AB ∥平面PMN ； （2）平面ABC ⊥平面PMN ．17.（本小题满分14分）某学校有长度为14米的旧墙一面，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126 m 2的活动室，工程条件是：① 建1 m 新墙的费用为a 元；② 修1 m 旧墙的费用是4a元；③ 拆去1 m 旧墙所得的材料，建1 m 新墙的费用为2a元，经过讨论有两种方案： （1）问如何利用旧墙的一段x 米)14(<x 为矩形厂房的一面边长； （2）矩形活动室的一面墙的边长14x ….利用旧墙，即x 为多少时建墙的费用最省？（1）（2）两种方案，哪种方案最好？18.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知斜率为1-的直线l 与椭圆22221(0)y x a b a b +=>>相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(2,1)M . （1）求椭圆的离心率；（2）设椭圆的右焦点为F ，且5AF BF ⋅=，求椭圆的方程.19.（本小题满分16分）已知正项数列{}n a 满足*112(1)(N )n n a a a S n +-=-∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和， 2a t =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：1()2n n n a a S +…，并指出等号成立的条件.20.（本小题满分16分）已知函数()ln f x x =,2()g x kx ax =-，其中,k a 为实数. （1）若1,0k a ==,求方程()()0f x g x +=的零点个数；（2）若0a =，实数k 使得()()f x g x <恒成立，求k 的取值范围； （3）若1k =，试讨论函数()()()h x g x f x =-的单调性.2016-2017学年度高三教学情况调研（三）数学Ⅱ 试题2017.5注意事项：1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题，如多答，则按选做题中的前2题计分．第22，23题为必答题．每小题10分，共40分．考试用时30分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置．3．答题时，必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．21．【选做题】本题包括A，B，C，D四小题，每小题10分. 请选定其中两题．．．．．．，并在相应的．．．．．答题．．区域．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A．（选修4－1：几何证明选讲）BC如图，A，B，C是圆O上不共线的三点，OD AB⊥于D，和AC分别交DO的延长线于P和Q，求证：OBP CQP∠=∠.B．（选修4—2：矩阵与变换）QPDCBAO已知矩阵1221A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，31B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦满足AX B =，求矩阵X ．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）将参数方程(22)cos ,(22)sin ,t tt tx y θθ--⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数，t 为常数）化为普通方程．D.（选修4—5：不等式选讲）已知,,x y z 均为正数．求证：111yx z yz zx xy x y z≥++++．【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分. 请把答案写在答题纸的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某考生从6道预选题一次性随机的抽取3道题作答，其中4道填空题，2道解答题． (1)求该考生至少抽到1道解答题的概率；(2)若所取的3道题中有2道填空题，1道解答题．已知该生答对每道填空题的概率均为23，答对每道解答题的概率均为12，且各题答对与否相互独立．用X 表示该考生答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）设整数9n ≥，在集合{1,2,3,,}n L 中任取三个不同元素,,a b c ()a b c >>，记()f n 为满足a b c ++能被3整除的取法种数.(1) 直接写出(9)f 的值； (2) 求()f n 表达式.镇江市高三数学第三次模拟考试试卷数学参考答案 2017.5一、填空题． 1． 3 2． 53．30 4． 315． 26．[-1,6] 7． 28．（2）（3）（4）9．10 10．50231 11．1 12．32 13．）（32-4,014．21 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15. 解：（1）由B c b C A c a sin )3()sin )(sin (-=+-， 及CcB b A a sin sin sin ==，（不交代定理扣1分） 得b c b c a c a )3())((-=+-即 bc c b a 3222-+= ... ... 3分 由余弦定理，（不交代定理扣1分）得： 21cos =A ， .. ... 5分 由0<A<π， 则6π=A . ... ... 7分(2)2)32cos(12)32cos(1)6(sin )6(cos )(sin )(cos )(2222ππππ---++=--+=--+=x x x x A x A x x f ... ...10分x 2cos 21=... ...12分2222,,2k x k k Zk x k k Zππππππππ+≤≤+∈+≤≤+∈令得： （不交代k Z ∈合计扣1分）()[,],2f x k k k Z ππππ++∈则的单调增区间为 ... ...14分16. 证明：（1）因为MN ∥平面PAB ，MN ⊂平面ABC ，平面PAB I 平面ABC AB =，所以MN ∥AB ． ········3分因为MN ⊂平面PMN ，AB ⊄平面PMN ，所以AB ∥平面PMN ． ·········6分（2）因为M 为BC 的中点，MN ∥AB ，所以N 为AC 的中点． ·········8分又因为PA PC =，所以PN AC ⊥， ·······10分 又MN AC ⊥．MN PN ⊂，平面PMN ，MN PN N =I ，所以AC ⊥平面PMN ． ·······12分因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面PMN ． ········14分17. 解：设利用旧墙的一面边长x 米，则矩形另一边长为126x米. ········1分（1） 当14x <时，总费用25236()(14)(214)7(1)35424a a x f x x x a x a a x x=+-++-=+-≥， 当且仅当12x =时取最小值35a . …… 7分（2） 当14x ≥时，总费用25212649()14(214)2()44a f x a x a x x x =⨯++-=+-，…… 10分 则2126()2(1)0f x a x '=->，故()f x 在[14,)+∞上单调递增， 所以，当14x =时取最小值35.5a . ……13分答：第（1）种方案最省，即当14x =米时，总费用最省，为35a 元. ……14分18. 解：（1）由题意可知，l 的方程为y =-x +3 ... ... 2分 代入12222=+by a x ，得096)(2222222=-+-+b a a x a x a b 设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）,则x 1+x 2=2226a b a +，x 1x 2=222229a b b a a +- ① ... ... 5分由AB 中点为M （2,1）故 2226ab a +=4，即222b a = 故22122=-=ab e ② ... ... 8分（2）由①②知椭圆方程为：122222=+by b xx 1+x 2=4，x 1x 2=2326b -因为121212221212222,()()()1243354353AFe AF a ex a x cBF a ex AF BF a ex a ex a ae x x e x x b b b b b ==--=-⋅=--=-++=-+-=-+=则同理：则因此： ... ...10分即:061252=--b b)(52,3舍或-==b b ... ... 14分则18222==b a因此椭圆方程为：191822=+y x ... ... 16分19. 解：（1）令1n =，得2121(1)a a a a -=-，即221a a a =⋅， 因0n a >，则11a =，得221a a t a ==， ……2分 当2n ≥时 112(1)n n a a a S +-=-， 121(1)n n a a a S --=- 两式相减得：12(1)n n n a a a a +-=- 即12n n a a a +=，因0n a >则12n na a t a +== ……5分 综上：1(*)n na t n N a +=∈ ……6分 从而，{}n a 是以1为首项，t 为公比的等比数列故1n n a t -=. ……7分（2）令111()(1)()1,022n n n n n n a a n t f t S t t t --++=-=++⋅⋅⋅+->当1t =时，(1)0n f =，即1()2n n n a a S += ……9分当1t ≠时，22(1)'()12(1)2n n n n n t f t t n t---=++⋅⋅⋅+--， 若(0,1)t ∈，22(1)'()[12(1)]02n n n n n t f t n t--->++⋅⋅⋅+--=若(1,)t ∈+∞，22(1)'()[12(1)]02n n n n n t f t n t---<++⋅⋅⋅+--=即'()n f t 在(0,1)t ∈时单调递增，当(1,)t ∈+∞时单调递减， ……14分 则()(1)0n n f t f <=，即1()2n n n a a S +<， ……15分 故1()2n n n a a S +≤，当且仅当1t =时取“=”. ……16分 20. 解：（1）1,0k a ==，则2()()ln f x g x x x +=+， 记2()ln F x x x =+，因为()F x 在(0,)+∞上单调递增， ……1分221111()ln 10F e e e e =+=-+<， ……2分(1)10F => ……3分所以()0F x =仅有一个零点01(,1)x e ∈， 即方程()()0f x g x +=的零点个数为1. ……4分（2）由0a =，实数k 使得()()f x g x <恒成立，可得：2ln xk x ≥在0x >时恒成立，则max 2ln ()x k x >， ……5分记2ln (),(0)xG x x x =>,312ln '()xG x x -= ……6分当(0,),'()0x e G x ∈>，()G x 在(0,)e 上单调递增，当(,),'()0x e G x ∈+∞<，()G x 在(,)e +∞上单调递减，则x e =时，()G x 取得最大值12e ，故k 的取值范围是1(,)2e +∞. ……8分（3）21,()ln ,(0)k h x x ax x x ==-->若0a …，则2()ln h x x ax x =--，故2121()2x ax h x x a x x --'=--=令()0h x '=，得28a a x ±+=（负值舍去）记28a ab ++=于是，()h x 在区间(0,)b 上单调递减，在区间(,)b +∞上单调递增； ……10分 若0a >，则22ln ,()ln ,0x ax x x ah x x ax x x a ⎧--⎪=⎨-+-<<⎪⎩≥，先讨论2()ln ()h x x ax x x a =--≥的单调性，由2121()2x ax h x x a x x --'=--=令()0h x '=，得280a a x ++=>当b a >，即1a <时，()h x 在区间(,)a b 上单调递减，在区间(,)b +∞上单调递增；当b a …，即1a ≥时，()h x 在区间(,)a +∞上单调递增； ……12分 再讨论2()ln (0)h x x ax x x a =-+-<<的单调性，注意到2121()2x ax h x x a x x -+-'=-+-=当280a ∆=-…时，即0a <…()0h x '≤()h x 在区间(0,)a 上单调递减.当280a ∆=->时，即a >时，令()0h x '=得x a <，则()h x 在区间)a 上单调递减，在区间上单调递增； ……15分综上，当1a <时，()h x 在区间上单调递减，在区间)+∞上单调递增；当1a 剟()h x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增；当a >时，则()h x 在区间)a 上单调递减，在区间上单调递增. ……16分数 学 Ⅱ 试 题A ．（选修4－1：几何证明选讲）证：连接OA ，因为OD AB ⊥，OA OB =，所以12BOD AOD AOB ∠=∠=∠， 又12ACB AOB ∠=∠，所以ACB DOB ∠=∠， ………5分又因为180BOP DOP ∠=-∠o ，180QCP ACB ∠=-∠o ，所以BOP QCP ∠=∠，所以B ，O ，C ，Q 四点共圆，所以OBP CQP ∠=∠. ………10分B ．（选修4—2：矩阵与变换）解：设a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由123211a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦得23,21,a b a b +=⎧⎨-=⎩ ………6分 解得1,1,a b =⎧⎨=⎩此时11X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. ………10分C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）解：当t =0时，y =0，x =2cos θ，即y =0，且22x -≤≤； ………2分当t ≠0时，cos 22t t x θ-=+，sin 22t t y θ-=- ， ………6分 所以22221(22)(22)t t t t x y --+=+-. ………10分D.（选修4—5：不等式选讲）证明：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()x y x y yz zx z y x z +=+≥． ………5分 同理可得22y z z x zx xy x xy yz y ++≥，≥，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得 111x y z yz zx xy x y z++++≥． ………10分【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分. 请把答案写在答题纸的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分） 解 (1)记该考生至少抽到1道解答题为事件A ，则()343614()11155C P A P A C =-=-=-=. ………4分 (2)X 所有的可能取值为0，1，2，3.2211(0)(1)(1)3218P X ==-⋅-=； 122221215(1)(1)(1)(1)3323218P X C ==⋅⋅-⋅-+-⋅=； 12222121105(2)(1)()(1)33232189P X C ==⋅⋅-⋅+⋅-==； 22121(3)()32189P X ==⋅==.所以X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 118 518 59 19………8分所以155131()0123.18189918E X =⨯+⨯+⨯+⨯= ………10分 23．（本小题满分10分）解 (1) (9)12=f . ………2分(2)①当*3(3,)N n k k k =∈≥时，记3n k =，集合为{1,2,3,,31,3}k k -L . 将其分成三个集合：{1,4,,32}A k =-L ，{2,5,,31}B k =-L ，{3,6,,3}C k =L .要使得a b c ++能被3整除，,,a b c 可以从A 取三个或从B 取三个或从C 取三个或从C 取一个，从A 中取一个，从B 中取一个（此数与A 中取的那个数之和能被3整除）.故有323112(1)(2)3183254k k kk k k n n n C C C k ---++=+=g 种取法； ………5分 ②当*31(3,)N n k k k =+∈≥时，记13n k -=，集合为{1,2,3,,3,31}k k +L . 将其分成三个集合：{1,4,,32,31}A k k =-+L ，{2,5,,31}B k =-L ，{3,6,,3}C k =L . 要使得a b c ++能被3整除，,,a b c 可以从A 取三个或从B 取三个或从C 取三个或从C 取一个，从B 中取一个，从A 中取一个（此数与B 中取的那个数之和能被3整除）.故有2323311221(1)(2)(1)(1)(1)31210236254k k k kk k k k k k k k n n n C C C C k k +--+---+-++=++=+=g 种取法； ……7分③当*32(3,)N n k k k =+∈≥时，记23n k -=，集合为{1,2,3,,31,32}k k ++L . 将其分成三个集合：{1,4,,32,31}A k k =-+L ，{2,5,,31,32}B k k =-+L ，{3,6,,3}C k =L . 要使得a b c ++能被3整除，,,a b c 可以从A 取三个或从B 取三个或从C 取三个或从C 取一个，从B 中取一个，从A 中取一个（此数与B 中取的那个数之和能被3整除）.故有 232331111(1)(2)(1)(1)(1)318322(1)(1)63254k k k k k k k k k k k k n n n C C C C k k k k ++--+---++++=+++=++=g 种取法； ………9分综上所述，32*32*32*318,3(3,),5431210(),31(3,),5431832,32(3,).54NNNn n nn k k kn n nf n n k k kn n nn k k k⎧-+=∈⎪⎪⎪-+-==+∈⎨⎪⎪-++=+∈⎪⎩≥≥≥………10分。
江苏省镇江市三岔乡中学高三数学理模拟试卷含解析
江苏省镇江市三岔乡中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，则（）[来源:学科网]A．B．C．D．参考答案：B略2. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．32πB．16πC．12πD．8π参考答案：D3. 已知函数f（x）=，若函数y=f2（x）﹣2bf（x）+b﹣有6个零点，则b的取值范围是( )A．B．（，+∞）∪（﹣∞，）C．（0，）∪（，1）D．（，）参考答案：A考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：利用换元法将函数转化为关于t的一元二次函数，作出函数f（x）的图象，利用一元二次方程根的分布，建立不等式关系即可得到结论．解答：解：设t=f（x），则函数等价为y=g（t）=t2﹣2bt+b﹣．作出函数f（x）的图象如图：当t＞1或t＜0时，t=f（x）有1个零点，当t=1或t=0时，t=f（x）有2个零点，当0＜t＜1时，t=f（x）有3个零点，若函数y=f2（x）﹣2bf（x）+b﹣有6个零点，等价为方程t2﹣2bt+b﹣=0有两个根t1，t2，且0＜t1＜1，0＜t2＜1，则，即，解得≤b＜或＜b≤，故选：A点评：本题主要考查分段函数的应用，利用换元法，结合一元二次函数图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 4. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若，则B=（ ）C5. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(0,0,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，，绘制该四面体的三视图时，按照如下图所示的方向画正视图，则得到的侧（左）视图可以为（ ）A ．B ．C. D ．参考答案：B6. 下列命题：①若，为两个命题，则“且为真”是“或为真”的必要不充分条件；②若为：，则为：；③命题为真命题，命题为假命题。
江苏省镇江市中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析
江苏省镇江市中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，则，，的大小关系为（）A．B． C. D．参考答案：A2. （00全国卷文）已知，那么下列命题成立的是（A）若、是第一象限角，则（B）若、是第二象限角，则（C）若、是第三象限角，则（D）若、是第四象限角，则参考答案：答案:D3. 命题“存在”的否定是（）A．不存在 B．存在C．对任意的 D．对任意的参考答案：D4. 下列函数中,既是偶函数又在上单调递增的是 ( )A． B． C． D．参考答案：D5. 已知平面区域，向区域内随机投一点，点落在区域内的概率为（）A． B． C． D．参考答案：C略6. 抛物线上有三点，是它的焦点，若成等差数列，则（）A．B．C.D．参考答案：C7. 已知上恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.参考答案：B做出函数在区间上的图象，以及的图象，由图象可知当直线在阴影部分区域时，条件恒成立，如图，点,,所以，即实数a的取值范围是，选B.8. 给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么，c 至多与a , b 中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。
那么，( )( A )命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确 ( B )命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确( C )两个命题都正确 ( D )两个命题都不正确参考答案：D如图，c与a、b都相交；故命题Ⅰ不正确；又可以取无穷多个平行平面，在每个平面上取一条直线，且使这些直线两两不同向，则这些直线中的任意两条都是异面直线，从而命题Ⅱ也不正确．9. 若为等差数列，是其前项和，且，则的值为（）A. B. C. D.参考答案：B略10. 有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若同学每科成绩不低于同学，且至少有一科成绩比高，则称“同学比同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（）A. B. C. D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在中，，点是内心，且，则▲．参考答案：12. 设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于________.参考答案：213. （5分）已知直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于不同的两点A、B，O是坐标原点，，那么实数m的取值范围是．参考答案：【考点】：直线与圆相交的性质．【专题】：计算题．【分析】：根据直线与圆有两个交点可推断出圆心到直线的距离小于或等于半径，根据，利用平行四边形法则推断出和的夹角为锐角，利用直线的斜率可推断出其与x轴的夹角，看当和的夹角为直角时求得原点到直线的距离，进而可推断出d＞1，最后综合可得d范围，然后过原点作一直线与x+y+m=0垂直，两直线交点可得，进而求得d和m的关系，进而根据d的范围求得m的范围．解：∵直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于相异两点A、B，∴O点到直线x+y+m=0的距离d＜，又∵，由平行四边形可知，夹角为钝角的邻边所对的对角线比夹角为锐角的邻边所对的对角线短，∴和的夹角为锐角．又∵直线x+y+m=0的斜率为﹣1，即直线与x 的负半轴的夹角为45度，当和的夹角为直角时，直线与圆交于（﹣，0）、（0，﹣），此时原点与直线的距离为1，故d ＞1综合可知1≤d＜，过原点作一直线与x+y+m=0垂直，即y=x ，两直线交点为（﹣，﹣），则d=|m|综上有：﹣2＜m≤﹣或≤m＜2故答案为：【点评】： 本题主要考查了直线与圆相交的性质，向量的几何意义等．考查了学生分析问题和解决问题的能力．14. 如图，l 1，l 2，l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1，l 3与l 2间的距离是2，正△ABC 的三顶点分别在l 1，l 2，l 3上，则△ABC 的边长是 ．参考答案：略15. 设集合A={x|（x+3）（x ﹣4）≤0}，集合B={x|m ﹣1≤x≤3m﹣2}，若A∩B=B，则实数m 的取值范围为 ．参考答案：m≤2考点： 集合的包含关系判断及应用． 专题： 计算题；集合．分析： 先求出集合A ，然后对B 是否为空集讨论，求出m 的范围 解答： 解：集合A={x|（x+3）（x ﹣4）≤0}=[﹣3，4]，∵A∩B=B， ∴B ?A ，当B 为空集时，m ﹣1＞3m ﹣2，可得m ＜，当B 不是空集时，m且可得≤m≤2，所以：m≤2．故答案为：m≤2．点评： 本题考查绝对值不等式的解法，集合的包含关系判断及应用，考查学生分析问题解决问题的能力．16. 某校今年计划招聘女教师人，男教师人，若满足，则该学校今年计划招聘教师最多人.参考答案：1017. 在△ABC 中，a ＝，b ＝，B ＝60°，则A 等于参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年江苏省镇江市高考数学三模试卷(有解析)
2020年江苏省镇江市高考数学三模试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 集合A ={a 2,a +1,−1}，B ={2a −1,|a −2|,3a 2+4}，−1∈A ∩B ，则a = ______ ．2. 已知：(1−2i)z =5+10i(i 是虚数单位 )，则z = ______ ．3. 已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的______条件．(填充要关系)4. 某学校高一年级500名学生中，血型为O 型的有200人，A 型的有125人，B 型的有125人，AB 型的有50人，为了研究血型与色弱之间的关系，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则在血型为O 型的学生中应抽取_______人．5. 两条平行线l 1：3x +4y =2与l 2：ax +4y =7的距离为______ ．6. 已知A,B,C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A 与B 在相邻两天值班的概率为_________．7. 已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1=−1，S 10=35，则a 20=________． 8. 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2且F 2恰为抛物线x =14y 2的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若△AF 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的方程为______ ．9. 一个圆锥，母线长为1，高为h ，当高为________时，其体积取最大值．10. 若圆C 1：(x −a)2+y 2=4(a >0)与圆C 2：x 2+(y −√5)2=9相外切，则实数a 的值为______ ． 11. 在△ABC 中，A =120°，AB =4，若点D 在边BC 上，且BD =2DC ，AD =2√73，则AC 的长为______ ．12. 已知向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√22)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12)则∠ABC = ______ ．13. 已知f(x)=e x ，g(x)={√1−(x +2)2,−3≤x ≤−12g(x −2),−1<x ≤1，则在区间[−3,1]上的函数y =f(x)−g(x)的零点个数为______．14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知sinB =513，且a ，b ，c 成等比数列．则______ ．二、解答题（本大题共11小题，共144.0分）15.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点．(1)求证：BF//平面A1EC；(2)求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1．16.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a=3，cosA=√63，B=A+π2．(Ⅰ)求b的值；(Ⅱ)求△ABC的面积．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(0,−√3)，点F是椭圆的右焦点，点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F的直线l交椭圆于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)当MF=2FN时，求直线l的方程．18.某地拟建一座长为640米的大桥AB，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A、B造价总共为100万元，当相邻两个桥墩的距离为x米时(其中64<x<100)，中间每个桥墩的平均造价为803√x万元，桥面每1米长的平均造价为(2+x√x640)万元．(1)试将桥的总造价表示为x的函数f(x)；(2)为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间(两端桥墩A、B除外)应建多少个桥墩？19.已知数列{a n}和{b n}满足a1=1318，a n+1=−12a n+n，b n=a n−2n3+49，求数列{b n}的通项公式b n．20.已知函数f(x)=lnx+a2x2−(a2+2)x+2,a∈R，(I)当a=1时，求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(II)若x∈[1,+∞)时，函数f(x)的最小值为0，求a的取值范围．21.21(本题10分)已知矩阵M =[−12523] ．(1)求M 的特征值和特征向量； (2)若向量α=[116]，求M 3α．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =−1+2cosφy =2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 1的极坐标方程为ρ=√2sin (θ+π4)，设l 1与C 相交于A ，B 两点，AB 的中点为M ，过点M 作l 1的垂线l 2交C 于P ，Q 两点． (1)写出曲线C 的普通方程与直线l 1的直角坐标方程； (2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23. 已知a >0，b >0，c >0，函数f(x)=|x +a|+|x −b|+c 的最小值为4．(Ⅰ)求a +b +c 的值；(Ⅱ)求a2+b2+c2的最小值．24.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF中，AB=√2，CE=1，CE⊥平面ABCD．(1)求异面直线DF与BE所成角的余弦值；(2)求二面角A−DF−B的大小．25.从集合P={x|1≤x≤9,x∈N∗}中等可能地取出m个不同元素，记所取元素之和为ξ．(1)若m=2，求ξ为偶数的概率；(2)若m=3，η表示ξ被3整除的余数，求η的概率分布及数学期望E(η)．【答案与解析】1.答案：0解析：解：∵−1∈A∩B，∴2a−1=−1，则a=0，此时A={0,1，−1}，B={−1,2，4}．故答案为：0．由−1∈A∩B，2a−1=−1从而得到a的值，验证即可．本题考查了集合的运算，属于基础题．2.答案：−3−4i解析：解：由(1−2i)z=5+10i，得：z=5+10i1−2i =(5+10i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−15+20i5=−3+4i，∴z=−3−4i．故答案为：−3−4i．把已知的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再求其共轭复数得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的概念，是基础的计算题．3.答案：充分不必要解析：本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断及其应用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，由题意知p⇒r，r⇒s，s⇒q，从而得到p⇒q，由此能求出结果．解：∵p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q 是s 的必要条件，∴p⇒r，r⇒s，s⇒q，∴p⇒q，∴p是q成立的充分不必要条件．故答案为充分不必要．4.答案：16解析：本题考查分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决抽样问题的依据，由题意知，从500名学生中抽取一个容量为40的样本，采用分层抽样，可以知道每个个体被抽到的概率，用O型血型的人数乘以概率得到这种血型所要抽取的人数，即可求解．解：根据题意知用分层抽样方法抽样，∵40500=450，故O型血抽200×450=16人，故答案为16．5.答案：5解析：解：l2：ax+4y=7为3x+4y=7，由平行线间的距离公式可得：两平行线间的距离d=√9+16=5，故答案为5由平行线间的距离公式可得两平行线间的距离．本题考查平行线间的距离公式，属基础题．6.答案：23解析：本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．先求出基本事件总数n=A33=6，再求出A与B在相邻两天值班包含的基本事件个数m=A33−A22=4，由此能求出A与B在相邻两天值班的概率．解：A，B，C三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，基本事件总数n=A33=6，A与B在相邻两天值班包含的基本事件个数m=A33−A22=4，∴A与B在相邻两天值班的概率P=mn =46=23．故答案为23．7.答案：18解析：设等差数列{a n}的公差为d，由已知列式求得公差，再由等差数列的通项公式求得a20.本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1=−1，S10=35，得10×(−1)+10×(10−1)d2=35，解得d=1．∴a20=a1+19d=−1+19×1=18．故答案为18．8.答案：23−2√222√2−2=1解析：解：抛物线的焦点坐标(1,0)，所以双曲线中，c=1，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以b2a=2c，c2=a2+b2=1，解得a=√2−1，所以b2=2(√2−1)，所以双曲线C的方程为23−2√222√2−2=1．故答案为：23−22222−2=1．求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线C的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出双曲线的方程．本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9.答案：√33解析：本题考查圆锥的体积计算公式及函数的最大值，属于基础题． 解：设底面半径为r ，则r 2=1−ℎ2，则体积为V =13πr 2ℎ=π3(1−ℎ2)ℎ=π3(ℎ−ℎ3)， 令t =ℎ−ℎ3，由t′=1−3ℎ2=0得ℎ=√33，所以当ℎ∈(0,√33)时，t 单调递增；当ℎ∈(√33,1)时，t 单调递减，所以当ℎ=√33时，圆锥体积V 取得最大值，故答案为√33．10.答案：2√5解析：解：∵圆C 1：(x −a)2+y 2=4(a >0)与圆C 2：x 2+(y −√5)2=9相外切， ∴(0+a)2+(−√5−0)2=(2+3)2， ∴a =2√5． 故答案为2√5．利用两圆外切，圆心距等于半径之和，建立方程，即可求得实数a 的值．本题以圆的方程为载体，考查圆与圆的位置关系，解题的关键是利用两圆外切，圆心距等于半径之和，建立方程．11.答案：3解析：解：如图所示：△ABC 中，∠BAC =120°，AB =4，点D 在边BC 上，BD =2DC ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方得9AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2， 又AD =2√73， ∴9×(2√73)2=4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+4×|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |×4×cos120°+42， 化简得|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−3=0， 解得|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3或|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−1(不合题意舍去)， 故答案为：3．画出图形，结合图形，利用BD =2DC ，得出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，再利用平面向量的数量积求出|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |即可． 本题考查了利用平面向量的线性运算与数量积运算求三角形边长的应用问题．12.答案：arccos 3+√66解析：解：∵向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√22)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12)，则cos∠ABC =BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12⋅√32+√22⋅12√34⋅√34+14=√3+√22√3，∴∠ABC =arccos√3+√22√3=3+√66，故答案为：arccos 3+√66，利用cos∠ABC =BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值，求得∠ABC 的值．本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量的数量积的定义，属于基础题．13.答案：4解析：解：当x ∈(−1,1]时，x −2∈(−3,−1]， ∴g(x)=2g(x −2)=2√1−x 2，x ∈(−1,1]． 做出f(x)与g(x)的函数图象如下：由图象可知两图象共有4个交点，∴y=f(x)−g(x)共有4个零点．故答案为4．求出g(x)的解析式，作出两函数的图象，根据函数图象的交点个数判断．本题考查了函数解析式的求解，函数零点与函数图象的关系，属于中档题．14.答案：135解析：解：∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac．∴sinAsinC=sin2B.．．故答案为：135利用等比数列可得b2=ac.再利用正弦定理可得sinAsinC=sin2B.利用同角三角函数基本关系式、诱导公式、两角和差的正弦公式即可得出．本题考查了等比数列、正弦定理、同角三角函数基本关系式、诱导公式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．15.答案：证明：(1)连接A1C与AC1交于点O，连接OF，OE，∵F为AC的中点，C1C，∴OF//C1C且OF=12∵E为BB1的中点，C1C，∴BE//C1C且BE=12∴BE//OF且BE=OF，∴四边形BEOF是平行四边形，∴BF//OE，∵BF⊄平面A1EC，OE⊂平面A1EC，∴BF//平面A1EC．(2)∵AB=CB，F为AC的中点，∴BF⊥AC，由(1)知BF//OE，∴OE⊥AC，∵AA1⊥底面ABC，BF⊂底面ABC，∴AA1⊥BF，∵BF//OE，∴OE⊥AA1，∵AA1∩AC=A，∴OE⊥平面AA1C1C，∵OE⊂面A1EC，∴平面A1EC⊥平面AA1C1C.解析：本小题主要考查线面平行，平面与平面垂直的判定等有关基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于中档题．(1)连接A 1C 与AC 1交于点O ，连接OF 、OE ，证明四边形BEOF 是平行四边形，可得BF//OE ，利用线面平行的判定定理，即可证明BF//平面A 1EC ；(2)证明平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1，只需证明OE ⊥平面A 1EC ．16.答案：解：(Ⅰ)∵cosA =√63， ∴sinA =√1−69=√33， ∵B =A +π2．∴sinB =sin(A +π2)=cosA =√63， 由正弦定理知a sinA =bsinB ， ∴b =asinA ⋅sinB =√33×√63=3√2．(Ⅱ)∵sinB =√63，B =A +π2>π2∴cosB =−√1−69=−√33， sinC =sin(π−A −B)=sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =√33×(−√33)+√63×√63=13，∴S =12a ⋅b ⋅sinC =12×3×3√2×13=3√22．解析：(Ⅰ)利用cos A 求得sin A ，进而利用A 和B 的关系求得sin B ，最后利用正弦定理求得b 的值． (Ⅱ)利用sin B ，求得cos B 的值，进而根两角和公式求得sin C 的值，最后利用三角形面积公式求得答案．本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用．17.答案：解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由椭圆经过点(0 , −√3)得b =√3，①由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等， 得a +c =a 2c−c ，②又a 2=b 2+c 2，③由①②③可得a=2，c=1，所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(2)当直线l与x轴重合时，M(−2,0)，N(2,0)，此时MF=3FN，不合题意；当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x=my+1，M(x1,y1)，N(x2,y2)，将直线l与椭圆x24+y23=1联立并消去x得，(3m2+4)y2+6my−9=0．因为，所以y1+y2=−6m3m2+4，④y1y2=−93m2+4，⑤由MF=2FN得y1=−2y2，⑥由④⑥解得y1=−12m3m2+4,y2=6m3m2+4，代入⑤得−72m 2(3m2+4)2=−93m2+4，所以m=±2√55，所以直线方程为√5x±2y−√5=0.解析：本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆方程的综合应用，难度较大．(1)由题意列出关于a，b，c的式子解出即可得到结果；(2)由MF=2FN得y1=−2y2联立方程即可得到关于m的式子，解出即可得到结果．18.答案：解：(1)由桥的总长为640米，相邻两个桥墩的距离为x米，知中间共有(640x−1)个桥墩，于是桥的总造价f(x)=640(2+x√x640)+803√x(640x−1)+100，即f(x)=x32+640×803x−12−803x12+1380=x32+512003x−12−803x12+1380(64<x<100)…(7分)(表达式写成f(x)=x√x3√x −803√x+1380同样给分)(2)由(1)可求f′(x)=32x12−640×403x−32−403x−12，整理得f′(x)=16x−32(9x2−80x−640×80)，由f′(x)=0，解得x 1=80，x 2=−6409(舍)，又当x ∈(64,80)时，f′(x)<0； 当x ∈(80,100)时，f′(x)>0，所以当x =80，桥的总造价最低，此时桥墩数为64080−1=7…(14分)解析：(1)设相邻两个桥墩的距离为x 米，推出桥的总造价的函数关系式． (2)求出函数的导数，利用导函数求解函数的极值点，求出最值即可． 本题考查函数的综合应用，函数的导数与函数的最值的求法，考查计算能力． 19.答案：解：∵a 1=1318，∴b 1=1318−23+49=12，b n+1=a n+1−2(n+1)3+49=(−12a n +n)−2(n+1)3+49=−12a n +n3−29=−12(a n −2n 3+49)=−12b n ，所以{bn}是以12为首项，−12为公比的等比数列， 所以b n =12(−12)n−1=−(−12)n ．解析：本题考查数列递推关系，考查数列通项公式求法， 依题意，根据a n+1=−12a n +n ，b n =a n −2n 3+49，得b n+1=−12b n ，从而求得通项公式．20.答案：解：(Ⅰ)当a =1时，f(x)=lnx +12x 2−52x +2，f′(x)=1x +x −52，f′(1)=−12，f(1)=0，故f(x)在(1,f(1))处的切线方程是：y −0=−12(x −1)， 即x +2y −1=0；(Ⅱ)f′(x)=1x +ax −(a2+2)=(ax−2)(2x−1)2x，a =0时，f′(x)=−2(2x−1)2x<0，故函数在[1,+∞)递减，而f(1)=0， 故此时不合题意，a <0时，任意x ∈[1,+∞)都有f′(x)<0，故函数在[1,+∞)递减，而f(1)=0， 故此时不合题意，当0<a <2时，由f′(x)=0解得：x =12或x =2a >1， x ∈(1,2a )时，f′(x)<0， x ∈(2a ,+∞)时，f′(x )>0．故函数在[1,2a )递减，而f(1)=0， 故此时不合题意；a ≥2时，在x ≥1时，f′(x)=(ax−2)(2x−1)2x≥0，此时函数在[1,+∞)递增，故f(x)≥f(1)=0，即函数的最小值是0，符合题意， 综上，a 的范围是[2,+∞)．解析：(Ⅰ)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)的值，求出切线方程即可；(Ⅱ)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，从而确定a 的具体范围．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．21.答案：解：(1)M =[−12523]有两个特征值λ1=4,λ2=−2；属于λ1=4的一个特征向量为α1=[25]；属于λ2=−2的一个特征向量为α2=[−21]．(2)α=[116]=3α1+α2，∴M 3α=3λ13α1+λ23α2=[208952]．解析：本题考查特征值、特征向量的定义，考查学生的计算能力，属于中档题． (1)考查矩阵特征值和特征向量；(2)考查的矩阵的运算，利用α=[116]=3α1+α2计算即可．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程{x =−1+2cosφy =2sinφ，消去参数φ，得曲线C的普通方程为(x+1)2+y2=4．由曲线l1的极坐标方程ρ=√2sin (θ+π4)，得ρsinθ+ρcosθ=1，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得l1的直角坐标方程为x+y−1=0；(2)由l1⊥l2，得直线l2的斜率k l2=−1k l1=1，所以l2的倾斜角为π4，又l2过圆心(−1,0)，所以l2的方程为y=x+1，与x+y−1=0联立，得AB的中点M(0,1)，故l2的参数方程为{x=tcosπ4y=1+tsinπ4,(t为参数)，即{x=√22ty=1+√22t,(t为参数)，代入(x+1)2+y2=4中，化简、整理得t2+2√2t−2=0，设P，Q对应的参数分别为t1，t2，则由韦达定理得t1·t2=−2，又线段PQ为圆的直径，所以|PQ|=4，所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)∵|x+a|+|x−b|≥|a+b|，∴f(x)≥|a+b|+c，当且仅当(x+a)(x−b)≤0时，等号成立，又a>0，b>0，∴|a+b|=a+b，∴f(x)的最小值为a+b+c，∴a+b+c=4．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，a+b+c=4，又a>0，b>0，c>0，∴由柯西不等式得，(a2+b2+c2)×(12+12+12)≥(a×1+b×1+c×1)2=(a+b+c)2=42=16，即a2+b2+c2≥163，当且仅当a=b=c=43时取等号，∴a 2+b 2+c 2的最小值为163．解析：本题主要考查绝对值三角不等式，柯西不等式，属于中档题． (Ⅰ)由|x +a|+|x −b|≥|a +b|，可得f(x)的最小值； (Ⅱ)利用柯西不等式，即可求出结果．24.答案：解：(1)以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴，建立空间直角坐标系，则D(√2,0，0)，F(√2,√2,1)，E(0,0，1)，B(0,√2,0)，C(0,0，0)，则DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,1)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√2,1)， ∴cos <DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=√3×√3=−13，∴异面直线DF 与BE 所成角的余弦值为13． (2)平面ADF 的法向量m ⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,0)， 设平面BDF 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 由BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,1)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,1)，得： {n ⃗ ⋅BF⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x +z =0n ⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y +z =0，取x =1，得n⃗ =(1,1，−√2)， 设二面角A −DF −B 的大小为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√2√4×√2=12，θ=π3，∴二面角A −DF −B 的大小为π3．解析：(1)以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DF 与BE 所成角的余弦值．(2)求出平面ADF 的法向量和设平面BDF 的法向量，利用向量法能求出二面角A −DF −B 的大小． 本题考查异面直线所成角的余弦值、二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25.答案：解：(1)从集合P ={x|1≤x ≤9,x ∈N ∗}中等可能地取出2个不同元素，记所取元素之和为ξ．基本事件总数n =C 92=36，ξ为偶数包含的基本事件个数m=C42+C52=16，∴ξ为偶数的概率p=mn =1636=49．(2)从集合P={x|1≤x≤9,x∈N∗}中等可能地取出3个不同元素，记所取元素之和为ξ．η表示ξ被3整除的余数，则η的可能取值为0，1，2，设集合A={1,4，7}，B={2,5，8}，C={3,6，9}，则“η=0”表示从A，B，C中各取1个或从A中取3个或从C中取3个，∴P(η=0)=(C31)3+3×C33C93=3084，“η=1”表示从A中取1个，C中取2个或从A中取2个，B中取1个或从B中取2个，C中取1个，∴P(η=1)=C31⋅C32×3C93=2784，“η=2”表示从A中取2个，C中取1个或从B中取1个，C中取2个，或从A中取1个，B中取2个，∴P(η=2)=C31⋅C32×3C93=2784，∴η的分布列为：数学期望E(η)=0×3084+1×2784+2×2784=2728．解析：(1)基本事件总数n=C92=36，ξ为偶数包含的基本事件个数m=C42+C52=16，由此能求出ξ为偶数的概率．(2)η表示ξ被3带队的余数，则η的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出η的分布列和数学期望E(η)．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
2020年江苏镇江九校高三下学期3月高考模拟数学试卷-学生用卷
2020年江苏镇江九校高三下学期3月高考模拟数学试卷-学生用卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第1题5分已知全集U={−2,−1,0,1,2}，集合A={−2,−1,1}，则∁U A=．2、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第2题5分已知复数z=(1−i)⋅(a+i)（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为．3、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第3题5分数据1，3，5，7，9的标准差为．4、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第4题5分2018~2019学年江苏南京鼓楼区南京师范大学附属中学高一上学期期中第8题3分函数f(x)=√1−2x的定义域是．5、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第5题5分在一底面半径和高都是2m的圆柱形容器中盛满小麦，有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出2m3的种子，则取出了带麦锈病种子的概率是．6、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟九校第6题5分2018~2019学年12月江苏扬州广陵区江苏省扬州中学高二上学期月考第4题5分2018~2019学年11月江苏南通海安市江苏省海安高级中学高三上学期月考第5题5分右图是一个算法的伪代码，则输出的i的值为．7、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第7题5分在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2−y2b2=1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的准线方程为．8、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第8题5分设S n是等比数列{a n}的前n项的和，S3，S9，S6成等差数列，则a2+a5a8=．9、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第9题5分给出下列四个命题，其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）①x=π3时，sin(x+2π3)≠sinx，所以2π3一定不是函数y=sinx的周期；②对于定义在R上的函数f(x)，若f(−2)≠f(2)，则函数f(x)一定不是偶函数；③”M>N”是”log2M>log2N”成立的充分必要条件；④若实数a满足a2<4，则a⩽2．10、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第10题5分如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为．11、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第11题5分2020~2021学年四川成都郫都区郫都区成都外国语学校高三上学期期末模拟文科第15题5分 在平面直角坐标系xOy 中，若函数f(x)=lnx −ax 在x =1处的切线与圆C ：x 2−2x +y 2+1−a =0存在公共点，则实数a 的取值范围为 ．12、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第12题5分已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx ，若关于x 的不等式f(x)<0的解集是(−∞,−1)∪(0,2)，则b+c a的值为 ．13、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第13题5分在边长为4的菱形ABCD 中，A =60°．点P 在菱形ABCD 所在的平面上．若PA =3，PC =√21，则PB →⋅PD →= ．14、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第14题5分2020~2021学年10月天津和平区天津市第一中学高三上学期月考第15题设函数f (x )={2−|(k+174)x +2|，x ⩽0x 2，x >0，g (x )=k (x −43)，其中k >0，若存在唯一的整数x ，使得f (x )<g (x )，则实数k 的取值范围是 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第15题14分如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，M为棱PD的中点，MA=MC．求证：(1) PB//平面AMC．(2) 平面PBD⊥平面AMC．16、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第16题14分在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanA，tanB，tanC成等差数列，cosA，√cosC，cosB成等比数列．(1) 求A的值．(2) 若△ABC的面积为1，求c的值．17、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第17题14分某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖，如图，该弓形所在的圆是以AB为直径的圆，且AB=300米，景观湖边界CD与AB平行且它们间的距离为50√2米，开发商计划从A点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行），桥面在湖面上的部分记作PQ，设∠AOP=2θ．(1) 用θ表示线段PQ，并确定sin2θ的范围．(2) 为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将PQ的长度设计到最长，求PQ的最大值．18、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第18题16分在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，右顶点A(2,0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为12．(1) 求椭圆C的标准方程．(2) 若M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，设P(−4,0)，连接PM交椭圆C于另一点E．求证：直线NE过定点B，并求出点B的坐标．(3) 在（2）的条件下，过点B的直线交椭圆C于S，T两点，求OS→⋅OT→的取值范围．19、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第19题16分已知函数f(x)=ax 2+12bx，其中a>0，b>0．(1) 请解答下列各题：①求函数f(x)的单调区间．②若x1，x2满足|x i|>√a =1,2)，且x1+x2>0，x2>0．求证：f(x1)+2f(x2)>√ab．(2) 函数g(x)=12ax2−lnx．若对任意x1，x2∈√a)，x1≠x2，都有|f(x1)−f(x2)|>|g(x1)−g(x2)|，求b−a的最大值．20、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第20题16分已知{a n}，{b n}，{c n}都是各项不为零的数列，且满足a1b1+a2b2+⋯+a n b n=c n S n，n∈N∗，其中S n是数列{a n}的前n项和，{c n}是公差为d(d≠0)的等差数列．(1) 若数列{a n}是常数列,d=2，c2=3，求数列{b n}的通项公式．(2) 若a n=λn (λ是不为零的常数)，求证：数列{b n}是等差数列．(3) 若a1=c1=d=k (k为常数，k∈N∗)，b n=c n+k(n⩾2,n∈N∗)．求证：对任意的n⩾2，n∈N∗，b na n>b n+1a n+1恒成立．附加题三、选做题（本大题共3小题，选做2题，共20分）选修4-2：矩阵与变换21、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第21题10分2017~2018学年10月江苏南通崇川区南通市天星湖中学高三上学期月考第21题10分2018~2019学年江苏南京江宁区高二下学期期末第21题10分2019~2020学年12月江苏南通海安市江苏省海安高级中学高三上学期月考理科第21题10分2017~2018学年10月江苏南通启东市启东中学高三上学期月考第21题10分已知二阶矩阵A=[abcd]，矩阵A属于特征值λ1=−1的一个特征向量为α1→=[1−1]，属于特征值λ2=4的一个特征向量为α2→=[32]．求矩阵A．选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第21题10分在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为{x=2cosαy=sinα，(α为参数)．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=2√2．点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第21题10分若正数a、b、c满足a+b+c=1，求13a+2+13b+2+13c+2的最小值．四、必做题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟九校第22题10分2018~2019学年江苏南通启东市高三上学期期中第23题10分如图，在正四棱锥P−ABCD中，底面正方形的对角线AC，BD交于点O且OP=12AB．(1) 求直线BP与平面PCD所成角的正弦值．(2) 求锐二面角B−PD−C的大小．25、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第23题10分定义：若数列{a n}满足所有的项均由−1 , 1构成且其中−1有m个 , 1有p个(m+p⩾3)，则称{a n}为“(m,p)−数列”．(1) a i，a j，a k(i<j<k)为“(3,4)−数列”{a n}的任意三项，则使得a i a j a k=1的取法有多少种？(2) a i，a j，a k(i<j<k)为“(m,p)−数列”{a n}中的任意三项，则存在多少正整数对(m,p)使得1⩽m⩽p⩽100，且a i a j a k=1的概率为1？21 、【答案】{0,2};2 、【答案】−1;3 、【答案】2√2;4 、【答案】(−∞,0];;5 、【答案】14π6 、【答案】5;;7 、【答案】x=±√338 、【答案】2;9 、【答案】①;;10 、【答案】4√3311 、【答案】(0,1]∪[2,+∞);12 、【答案】−3;13 、【答案】−1;14 、【答案】173⩽k<6;15 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 证明见解析．;16 、【答案】 (1) A=π4．;(2) c=√3．;17 、【答案】 (1) PQ=300sinθ−50√2cosθ>0，sin2θ>√23，且2θ∈(0,π)．;(2) 50√6．;18 、【答案】 (1) 椭圆C的标准方程为x24+y23=1．;(2) 直线NE过x轴上的定点B(−1,0)．;(3) OS→⋅OT→的取值范围是[−4,−54]．;19 、【答案】 (1)①f(x)的单调增区间为(−∞,√a )和(√a+∞)，f(x)的单调减区间为√a 0)和√a)．②证明见解析．;(2) 116．;20 、【答案】 (1) b n=4n−3(n∈N∗)．;(2) 证明见解析．;(3) 证明见解析．;21 、【答案】A=[23 21 ]．;22 、【答案】2√2+√102．;23 、【答案】1．;24 、【答案】 (1) √63．;(2) 60°．;25 、【答案】 (1) 16．;(2) 115．;。
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江苏省镇江市高考数学三模试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2017·临沂模拟) 已知集合M= ，集合N={x|y=log2（3﹣x）}，则∁R（M∩N）=（）
A . [2，3）
B . （﹣∞，2]∪（3，+∞）
C . [0，2）
D . （﹣∞，2）∪[3，+∞）
2. （2分）(2017·莆田模拟) 若复数z满足i（z﹣1）=1+i（i虚数单位），则z=（）
A . 2﹣i
B . 2+i
C . 1﹣2i
D . 1+2i
3. （2分）关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：
①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；
②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；
③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；
④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；
其中真命题的序号是（）
A . ①②
B . ③④
C . ①④
D . ②③
4. （2分）在我们写程序时，对于“∥”号的说法中正确的是（）
A . “∥”后面是注释内容，对程序运行起着重要作用
B . “∥”后面是程序执行的指令，对程序运行起着重要作用
C . “∥”后面是注释内容，对程序运行不起作用
D . “∥”后面是程序执行的指令，对程序运行不起作用
5. （2分） (2018高一上·台州月考) 函数的单调递增区间为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2019高二上·兰州期中) 在各项均为正数的等比数列中，若，则
的值为（）
A . 6
B . 5
C . -6
D . -5
7. （2分） (2018高二上·汕头期末) 若从2个海滨城市和2个内陆城市中随机选2个去旅游，至少选一个海滨城市的概率是（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分）曲线与直线有两个不同的交点时，实数k的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） (2019高三上·沈阳月考) 函数（）
A . 在单调递减
B . 在单调递增
C . 在单调递减
D . 在单调递增
10. （2分） (2017高二上·黄山期末) 在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是面DCC1D1内的动点，且满足∠APD=∠MPC，则三棱锥P﹣BCD的体积最大值是（）
A . 36
B . 12
C . 24
D . 18
11. （2分）如图，已知抛物线的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线的交点的连线过F，则该双曲线的离心率为（）
A .
B . 2
C .
D .
12. （2分）已知是定义在上的可导函数的导数，对任意，且，且，都有 , ，，则下列结论错误的是（）
A . 的增区间为
B . 在 =3处取极小值，在 =-1处取极大值
C . 有3个零点
D . 无最大值也无最小值
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）若x, y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为________ .
14. （1分）(2017·成都模拟) 二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是a，若m，n满足
，则u=m﹣2n的取值范围是________．
15. （1分）(2017·广安模拟) 在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，则 =________．
16. （1分） (2016高一下·天津期中) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，若Sn=n2+2n+1，则数列{an}的通项公式为________．
三、解答题 (共7题；共70分)
17. （10分） (2017高一下·运城期末) 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+ asinC ﹣b﹣c=0．
（1）求角A；
（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．
18. （10分）(2017·大庆模拟) 五一期间，某商场决定从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品进行促销活动．
（1）试求选出3种商品中至少有一种是家电的概率；
（2）商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高60元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为n元的奖金；若中两次奖，则获得数额为3n元的奖金；若中三次奖，则共获得数额为 6n元的奖金．假设顾客每次抽奖中奖的概率都是，请问：商场将奖金数额n最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？
19. （10分） (2017高二下·湖北期中) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，BC=2，PA= ，E为BC的中点．
（1）证明：PE⊥ED；
（2）求二面角E﹣PD﹣A的大小．
20. （10分）(2017·合肥模拟) 如图，在平面直角坐标系中，点F（﹣1，0），过直线l：x=﹣2右侧的动点P作PA⊥l于点A，∠APF的平分线交x轴于点B，|PA|= |BF|．
（1）
求动点P的轨迹C的方程；
（2）
过点F的直线q交曲线C于M，N，试问：x轴正半轴上是否存在点E，直线EM，EN分别交直线l于R，S两点，使∠RFS为直角？若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
21. （15分）(2017·枣庄模拟) 已知函数f（x）=x•ex﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为x轴，求a的值：
（2）在（1）的条件下，求f（x）的单调区间；
（3）若∀x＞0，f（x）≥f（m）恒成立，且f（m）≥0，求证：f（m）≥2（m2﹣m3）．
22. （5分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线C：ρsin2θ=2acosθ
（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；
（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．
23. （10分） (2019高三上·广东月考) 已知函数，．
（1）求的解集；
（2）若有两个不同的解，求的取值范围．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、19-1、
19-2、20-1、
20-2、21-1、
21-2、
21-3、
22-1、23-1、
23-2、。