《高等几何》教学大纲最新

《高等几何》教学大纲

一、课程名称

《高等几何》（Projective Geometry）

二、课程性质

数学与应用数学专业限选课。它跟初等几何、解析几何、高等代数等课程有紧密的联系；它对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、方法的多样起着重要作用，从而大有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的培养。本课程的主旨在于拓展读者的几何空间知识，学习了解变换群观点，进而达到训练理性思维的能力，提高数学修养的目的。本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形。通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。

本大纲要求本课程的内容处理上实行解析法与综合法并用，以解析法为主。前修课程包括：初等几何、解析几何、数学分析、高等代数、近世代数。

三、课程教学目的

通过本课程的学习，使学生掌握射影几何的基本内容和处理几何问题的方法，同时也认识射影几何、仿射几何、欧氏几何的内在联系，以及在初等几何和解析几何中的应用，并为学习数学的其他分支打好基础。尤其是对无穷远元素的认识和理解，以开拓同学们的思维方式和视野，使同学们能以居高临下的观点来处理初等数学问题。

四、课程教学原则和方法

1、理论与实践相结合的原则；

2、《高等几何》知识与高等数学中的其它知识相结合原则；

3、《高等几何》知识与初等几何知识相结合的原则；

4、在课堂教学中使用传统的讲解法，并适当采用教具演示的方法相结合的原则；

5、讲解法与自学相结合的原则。

五、课程总学时

72学时，习题课占1/5。

六、教学内容要点及建议学时分配

课程教学内容要点及建议学时分配

第一章仿射坐标与仿射变换（计划学时6）

一、本章教学目标：通过本章的学习，掌握透视仿射对应(变换)，仿射对应(变换)以及其代数表达式等。

二、本章主要内容：

第一节透视仿射对应

1、弄清共线三点的单比和透视仿射对应的基本概念。

2、熟练掌握透视仿射对应的四个性质---保持同素性、结合性、共线三点的单比和平行性。

第二节仿射对应与仿射变换

1、掌握平面上的透视链、二直线间和二平面间的仿射对应与仿射变换的概念。

2、掌握仿射对应与仿射变换的性质。

第三节仿射坐标

1、深刻理解仿射坐标系和仿射坐标的定义，理解“笛卡儿坐标系是仿射坐标系”的确切含义。

2、握共线三点单比的坐标表示、仿射变换的代数表示-----基本定理、点变换与仿射变换之间的关系，认识几种特殊的仿射变换----正交变换、位似变换、相似变换和压缩变换。

第四节仿射性质

1、握仿射变换的性质和仿射不变量的概念以及仿射性质的证明方法，特别是两个多边形面积之比、两个封闭图形面积之比是仿射不变量。

2、理解和掌握透视仿射对应、仿射对应和仿射变换的概念。理解和掌握不变点、不变直线的求法，以及判断图形的仿射性质和仿射不变量。

一、本章教学重点：仿射变换的代数表示和仿射变换的性质。

二、本章教学难点：仿射变换的应用。

三、教学手段：传统教学手段，注意讲练结合。

第二章射影平面（计划学时12）

一、本章教学目标：通过本章的学习，理解射影平面不同于欧式平面的特点，熟练掌握德萨格定理德应用，掌握齐次坐标以及复元素。

二、本章主要内容：

第一节射影直线和射影平面

1、深刻理解拓广欧氏平面的必要性，掌握射影平面、仿射平面和它们与欧氏平面的区别和联系，即对拓广后的欧氏平面有两种不同的观点：一种是仿射观点，另一种是射影观点。

2、掌握图形的射影性质和射影不变量，尤其注意单比不是射影不变量。

3、熟悉笛沙格定理，了解笛沙格定理的图形结构，会运用笛沙格定理和逆定理来证明某些“点共线”或“线共点”的问题及简单的作图问题。

第二节齐次坐标

1、理解为什么要引进齐次坐标以及引进齐次坐标的方法和它的作用。要会用

齐

次点（线）坐标表示两点(直线)连线（交点）上点(直线)的齐次坐标。

2、理解并掌握直线的坐标和点的方程的概念，会利用它们解决图形的有关问题。

第三节对偶原理

1、掌握对偶原理的内容，了解对偶原理在射影几何中的重要地位。

2、熟悉射影平面上的对偶元素、对偶运算、代数对偶、会画对偶图形。能写

出

一个命题的对偶命题，会运用对偶原理推证一些简单的命题。

第四节复元素

1、了解二维空间复点和复直线、两共轭复直线和两共轭复点的性质。

2、掌握基本的证明方法。

一、本章教学重点：射影直线、射影平面、图形的射影性质、笛沙格定理、齐次坐标、对偶原理等基本概念，两个重要的图形——笛沙格构图和简单四点形(简单四线形)。

二、本章教学难点：笛沙格定理的证明及其应用。

三、教学手段：传统教学手段，注意讲练结合。

第三章射影变换与射影坐标（计划学时16）

一、本章教学目标：通过本章的学习，掌握交比的定义与性质，掌握一维与二维射影变换。

二、本章主要内容：

第一节交比与调和比

1、掌握点列中四点和线束中四直线交比与调和比的定义及其基本性质，能熟练运用交比的性质和代数表示来进行计算或证明。

2、要明确完全四点形与完全四线形的调和性，善于利用它解决和调和共轭有关

的点列或线束的证明问题，掌握利用它仅用直尺做出已知三点（直线）的第四调和

点（直线）的方法。

第二节一维射影变换

1、深刻理解一维基本形透视对应的意义，掌握三种透视对应的几何特点。

2、重点掌握一维基本形射影对应的定义、性质；明确透视对应和射影对应的关

系，掌握利用透视对应链证明射影对应的方法，掌握利用射影对应成为透视的条件证

明三点共线或三线共点方法，掌握利用巴卜斯（Pappus）定理求作射影对应（变换）

对应元素的方法。

3、对合的定义、性质；了解完全四点形与对合点列的关系从而掌握仅用直尺求

作对合对应元素的方法。

第三节一维射影坐标

1、熟悉并掌握直线上的射影坐标系、射影坐标的概念、点的笛氏坐标与射影坐

标的变换关系及交比的坐标表示。

2、熟练掌握一维射影对应（变换）代数表示和射影变换不变元素的计算以及射

影变换成为对合的解析条件；了解对合的不变元素和由它进行的分类。

第四节二维射影变换与二维射影坐标

1、理解并掌握二维射影对应的定义和确定条件；熟练掌握二维射影变换及不变

元素的求法；注意射影对应和非齐线性对应的等价性，从而联系高等代数知识加深

对二维射影对应（变换）的理解。

2、掌握平面上射影坐标的建立方法；明确用笛氏坐标表示的公式或定理对射影

坐标同样成立。

一、本章教学重点：一维基本形的射影对应和射影变换，它是二维射影对应（变换）

及后面各章内容的重要理论基础。

二、本章教学难点：证明两点列（线束）成射影对应。解决这个难点的方法是善于