2020年高一数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题2(A卷02)
2020年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案(二)
2020年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案（二）一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“∃x0＞0，2≤0”的否定是（）A．∀x＞0，2x＞0 B．∀x≤0，2x＞0 C．∀x＞0，2x＜0 D．∀x≤0，2x＜02．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m3．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a．b．c，已知B=30°，c=150，b=50，那么这个三角形是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰三角或直角三角形4．如图所示的程序框图，若输出的S=31，则判断框内填入的条件是（）A．i＞4？B．i＞5？C．i≤4？D．i≤5？5．设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值6．如图所示，E是正方形ABCD所在平面外一点，E在面ABCD上的正投影F恰在AC上，FG∥BC，AB=AE=2，∠EAB=60°，有以下四个命题：（1）CD⊥面GEF；（2）AG=1；（3）以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是8；（4）∠EAD=60°．其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．下列命题中，正确的命题个数为（）①△ABC的三边分别为a，b，c，则该三角形是等边三角形的充要条件为a2+b2+c2=ab+ac+bc；②数列{a n}的前n项和为S n，则S n=An2+Bn是数列{a n}为等差数列的充要条件；③在数列{a n}中，a1=1，S n是其前n项和，满足S n+1=S n+2，则{a n}是等比数列；④已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是不等于零的实数，关于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集分别为P，Q，则==是P=Q的充分必要条件．A．1 B．2 C．3 D．48．如图，设P为正四面体A﹣BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）A．4个B．6个C．10个D．14个二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．已知数列{a n}的前n项和为S n，a n≠0（n∈N*），a n a n+1=S n，则a3﹣a1=______．10．执行如图所示的程序框图，输出的a值为______．11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，主视图和左视图都是腰长为1的等腰直角三角形，那么，这个三棱锥的表面积为______．12．a＞0，b＞0，a+b=1，则+的最小值为______．13．如图，四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为1，记四面体ABCD的体积为F（x），则函数F（x）的单调增区间是______；最大值为______．14．在数列{a n}中，若a n2﹣a n﹣12=p（n≥2，n∈N×，p为常数），则称{a n}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；①若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等差数列；②{（﹣1）n}是等方差数列；③若{a n}是等方差数列，则{a kn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列；④若{a n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．其中正确命题序号为______．（将所有正确的命题序号填在横线上）三、解答题（本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知p：＞1，q：∃x∈R，ax2+ax﹣1≥0，r：（a﹣m）（a﹣m﹣1）＞0．（1）若p∧q为真，求实数a的取值范围；（2）若￢p是￢r的必要不充分条件，求m的取值范围．16．如图△ABC中，已知点D在BC边上，满足•=0．sin∠BAC=，AB=3，BD=．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°，点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB∥EF；（2）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求①二面角E﹣AF﹣D的二面角的余弦值；②在线段PC上是否存在一点H，使得直线BH与平面AEF所成角等于60°，若存在，确定H的位置，若不存在，说明理由．18．已知等差数列{a n}的公差d≠0，若a2=5且a1，a3，a6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=0且对任意的n≥2，均有|b n﹣b n﹣1|=2①写出b3所有可能的取值；②若b k=2116，求k的最小值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“∃x0＞0，2≤0”的否定是（）A．∀x＞0，2x＞0 B．∀x≤0，2x＞0 C．∀x＞0，2x＜0 D．∀x≤0，2x＜0【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0＞0，2≤0”的否定是：∀x＞0，2x＞0．故选：A．2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【考点】直线与平面平行的判定．【分析】根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；C：l∥α，m⊂α，则l∥m或两线异面，故不正确．D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．故选B3．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a．b．c，已知B=30°，c=150，b=50，那么这个三角形是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰三角或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】由正弦定理求出sinC=，C=60°或120°．再根据三角形的内角和公式求出A的值，由此即可这个三角形的形状．【解答】解：∵△ABC中，已知B=30°，b=50，c=150，由正弦定理可得，∴sinC=，可得：C=60°或120°．当C=60°，∵B=30°，∴A=90°，△ABC是直角三角形．当C=120°，∵B=30°，∴A=30°，△ABC是等腰三角形．故△ABC是直角三角形或等腰三角形，故选：D．4．如图所示的程序框图，若输出的S=31，则判断框内填入的条件是（）A．i＞4？B．i＞5？C．i≤4？D．i≤5？【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程知，算法的功能是计算S=1+2+22+...+2n的值，由输出的S是31，得退出循环体的n值为5，由此得判断框的条件．【解答】解：根据框图的流程得：算法的功能是计算S=1+2+22+ (2)的值，∵输出的S是31，∴S==2n+1﹣1=31，解得n=4；退出循环体的n值为5，∴判断框的条件为n≥5或n＞4．故选：A．5．设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用结论：n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1，易推出a6＞0，a7=0，a8＜0，然后逐一分析各选项，排除错误答案．【解答】解：由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2++a5+a6，即a6＞0，又∵S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，故B正确；同理由S7＞S8，得a8＜0，∵d=a7﹣a6＜0，故A正确；而C选项S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由结论a7=0，a8＜0，显然C选项是错误的．∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴S6与S7均为S n的最大值，故D正确；故选C．6．如图所示，E是正方形ABCD所在平面外一点，E在面ABCD上的正投影F恰在AC上，FG∥BC，AB=AE=2，∠EAB=60°，有以下四个命题：（1）CD⊥面GEF；（2）AG=1；（3）以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是8；（4）∠EAD=60°．其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】连结EG，通过证明AB⊥平面EFG得出CD⊥平面EFG，在直角三角形AEG中求出AG，EF，求出三角形ACE的面积，根据AG判断出F的位置，利用全都三角形判断∠EAD．【解答】解：连结EG，（1）∵EF⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴EF⊥AB，∵FG∥BC，BC⊥AB，∴AB⊥FG，又EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EF∩FG=F，∴AB⊥平面EFG，∵AB∥CD，∴CD⊥平面EFG．故（1）正确．（2）∵AB⊥平面EFG，∴AB⊥EG，∵∠EAB=60°，AE=2，∴AG=AE=1，故（2）正确．（3））∵AG=1=，∴F为AC的中点．∵AE=2，AC==2，AF==，∴EF==．∴S△ACE===2，∴以AC，AE作为邻边的平行四边形面积为2S△ACE=4，故（3）错误；（4）过F作FM⊥AD于M，则AM=1，由（1）的证明可知AD⊥平面EFM，故而AD⊥EM，∴Rt△EAG≌Rt△EAM，∴∠EAM=∠EAG=60°，故（4）正确．故选：C7．下列命题中，正确的命题个数为（）①△ABC的三边分别为a，b，c，则该三角形是等边三角形的充要条件为a2+b2+c2=ab+ac+bc；②数列{a n}的前n项和为S n，则S n=An2+Bn是数列{a n}为等差数列的充要条件；③在数列{a n}中，a1=1，S n是其前n项和，满足S n+1=S n+2，则{a n}是等比数列；④已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是不等于零的实数，关于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集分别为P，Q，则==是P=Q的充分必要条件．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据等边三角形的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断，②根据等差数列的定义和性质进行判断，③根据数列项和前n项和的关系，结合等比数列的定义进行判断．④举反例进行判断即可．【解答】解：①若a=b=c，则a2+b2+c2=ab+ac+bc成立，反之若a2+b2+c2=ab+ac+bc，则2（a2+b2+c2）=2（ab+ac+bc），整理得（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，当且仅当a=b=c时成立故充分性成立，故①正确；②当n=1时，a1=A+B；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2An+B﹣A，显然当n=1时也满足上式，∴a n﹣a n﹣1=2A，∴{a n}是等差数列．反之，若数列{a n}为等差数列，∴S n=na1+d=n2+（a1﹣）n，令A=，B=a1﹣，则S n=An2+Bn，A，B∈R．综上，“S n=An2+Bn，是“数列{a n}为等差数列”的充要条件．故②正确，③在数列{a n}中，a1=1，S n是其前n项和，满足S n+1=S n+2，则当n≥2时，S n=S n﹣1+2，两式作差得S n+1﹣S n=S n+2﹣S n﹣1﹣2，即a n+1=a n，即=，（n≥2），当n=1时，S2=S1+2，即a1+a2=a1+2，即a2=﹣a1+2=2﹣=，则=≠，即{a n}不是等比数列；故③错误，④举反例，不等式x2+x+1＞0与x2+x+2＞0的解集都是R，但是≠，则==是P=Q的充分必要条件错误，故④错误．故正确的是①②，故选：B．8．如图，设P为正四面体A﹣BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）A．4个B．6个C．10个D．14个【考点】计数原理的应用．【分析】根据分类计数加法原理可得，由题意符合条件的点只有两类，一在棱的中点，二在面得中心，问题得以解决．【解答】解：符合条件的点P有两类：（1）6条棱的中点；（2）4个面的中心．共10个点．故集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有4+6=10．故选：C二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．已知数列{a n}的前n项和为S n，a n≠0（n∈N*），a n a n+1=S n，则a3﹣a1=1．【考点】数列递推式．【分析】由题意可得a n+1=，从而可得a2==1，a3===1+a1；从而解得．【解答】解：∵a n a n+1=S n，∴a n+1=；∴a2==1；a3===1+a1；∴a3﹣a1=1+a1﹣a1=1，故答案为：1．10．执行如图所示的程序框图，输出的a值为﹣．【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，发现a值的周期为4，再根据条件确定跳出循环的i值，从而可得输出的a值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环a==﹣2，i=2；第二次循环a==﹣，i=3；第三次循环a==，i=4；第四次循环a==3，i=5；第五次循环a==﹣2，i=6；…∴a值的周期为4，又跳出循环的i值为11，∴输出的a=﹣．故答案为：﹣．11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，主视图和左视图都是腰长为1的等腰直角三角形，那么，这个三棱锥的表面积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该三棱锥为P﹣ABC，满足PD⊥底面BAC，D 为点P在底面ABC的射影，四边形ABCD是边长为1的正方形，PD=1，即可得出．【解答】解：如图所示，该三棱锥为P﹣ABC，满足PD⊥底面BAC，D为点P在底面ABC的射影，四边形ABCD是边长为1的正方形，PD=1，这个三棱锥的表面积S=+++=．故答案为：．12．a＞0，b＞0，a+b=1，则+的最小值为5+2．【考点】基本不等式．【分析】根据基本不等式即可求出最小值．【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴+=（a+b）（+）=2+3++≥5+2=5+2，当且仅当a=，b=时取等号，∴则+的最小值为5+2，故答案为：5+2，13．如图，四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为1，记四面体ABCD的体积为F（x），则函数F（x）的单调增区间是，；最大值为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】如图所示，设BC=x，AB=AC=AD=CD=BD=1．取AD的中点O，连接OB，OC，则OB⊥AD，OC⊥AD，OB=OC=．又OB∩OC=O，则AD⊥平面OBC．取BC的中点E，连接OE，则OE ⊥BC，可得OE，可得F（x）==（0＜x＜）．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：如图所示，设BC=x，AB=AC=AD=CD=BD=1．取AD的中点O，连接OB，OC，则OB⊥AD，OC⊥AD，OB=OC=．又OB∩OC=O，则AD⊥平面OBC，取BC的中点E，连接OE，则OE⊥BC，OE==．∴S△OBC==．∴F（x）==×1=（0＜x＜）．F′（x）=，令F′（x）≥0，解得，此时函数F（x）单调递增；令F′（x）＜0，解得，此时函数F（x）单调递减法．因此当x=时，F（x）取得最大值，==．故答案分别为：，．14．在数列{a n}中，若a n2﹣a n﹣12=p（n≥2，n∈N×，p为常数），则称{a n}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；①若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等差数列；②{（﹣1）n}是等方差数列；③若{a n}是等方差数列，则{a kn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列；④若{a n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．其中正确命题序号为①②③④．（将所有正确的命题序号填在横线上）【考点】等差数列的性质．【分析】根据等差数列的性质及题中的等方差数列的新定义，即可判断出正确的答案．【解答】解：①因为{a n}是等方差数列，所以a n2﹣a n﹣12=p（n≥2，n ∈N×，p为常数）成立，得到{a n2}为首项是a12，公差为p的等差数列；②因为a n2﹣a n﹣12=（﹣1）2n﹣（﹣1）2n﹣1=1﹣（﹣1）=2，所以数列{（﹣1）n}是等方差数列；③数列{a n}中的项列举出来是：a1，a2，…，a k，a k+1，a k+2，…，a2k，…，a3k，…数列{a kn}中的项列举出来是：a k，a2k，a3k，…因为a k+12﹣a k2=a k+22﹣a k+12=a k+32﹣a k+22=…=a2k2﹣a k2=p所以（a k+12﹣a k2）+（a k+22﹣a k+12）+（a k+32﹣a k+22）+…+（a2k2﹣a2k﹣12）=a2k2﹣a k2=kp，类似地有a kn2﹣a kn﹣12=a kn﹣12﹣a kn﹣22=…=a kn+32﹣a kn+22=a kn+22﹣a kn+12=a kn+12﹣a kn2=p同上连加可得a kn+12﹣a kn2=kp，所以，数列{a kn}是等方差数列；④{a n}既是等方差数列，又是等差数列，所以a n2﹣a n﹣12=p，且a n﹣a n﹣1=d（d≠0），所以a n+a n﹣1=，联立解得a n=+，所以{a n}为常数列，当d=0时，显然{a n}为常数列，所以该数列为常数列．综上，正确答案的序号为：①②③④故答案为：①②③④三、解答题（本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知p：＞1，q：∃x∈R，ax2+ax﹣1≥0，r：（a﹣m）（a﹣m﹣1）＞0．（1）若p∧q为真，求实数a的取值范围；（2）若￢p是￢r的必要不充分条件，求m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【分析】分别求出p，q，r为真时的a的范围，（1）p∧q为真，则p，q均为真，得到关于a的不等式组，解出即可；（2）问题转化为r是p的必要不充分条件，得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：（1）p为真时：由＞1解得﹣2＜a＜1，q为真时，当a＞0，一定存在ax2+ax﹣1≥0，当a＜0，△=a2+4a≥0，解得a≤﹣4，故q为真时，实数a的取值范围为a＞0或a≤﹣4，∵p∧q为真，则p，q均为真，∴a的取值范围为（0，1）；（2）关于r：（a﹣m）（a﹣m﹣1）＞0，解得：a＞m+1或a＜m，若￢p是￢r的必要不充分条件，即r是p的必要不充分条件，即p⇒r，∴m+1≤﹣2或m＞1，即m≤﹣3或m＞1，故m的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）．16．如图△ABC中，已知点D在BC边上，满足•=0．sin∠BAC=，AB=3，BD=．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．【考点】余弦定理的应用；正弦定理．【分析】（I）通过向量的数量积，判断垂直关系，求出cos∠BAD的值，在△ABD中，由余弦定理求AD的长；（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，求出sin∠ADB，通过三角形是直角三角形，即可求cosC．【解答】解：（Ⅰ）∵•=0，∴AD⊥AC，∴，∵sin∠BAC=，∴…．在△ABD中，由余弦定理可知BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcos∠BAD，即AD2﹣8AD+15=0，解之得AD=5或AD=3 …．由于AB＞AD，∴AD=3…..（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知，又由，可知，∴=，∵∠ADB=∠DAC+∠C，∠DAC=，∴．…17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°，点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB∥EF；（2）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求①二面角E﹣AF﹣D的二面角的余弦值；②在线段PC上是否存在一点H，使得直线BH与平面AEF所成角等于60°，若存在，确定H的位置，若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角．【分析】（1）根据CD∥平面ABEF即可得出CD∥EF，结合CD∥AB得出结论；（2）①以AD的中点O为原点建立空间坐标系，分别求出平面AEF 和平面ADF的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的大小；②假设存在H符合条件，设=λ，求出，令cos＜，＞=解出λ即可得出结论．【解答】解：（1）证明：∵CD∥AB，AB⊂平面ABEF，CD⊄平面ABEF，∴CD∥平面ABEF，又CD⊂平面PCD，平面PCD∩平面ABEF=EF，∴CD∥EF．又CD∥AB，∴AB∥EF．（2）取AD的中点O，连结PO，OB，BD．∵ABCD是菱形，且∠ABC=120°，PA=PD=AD．∴△ABD，△PAD是等边三角形，∴PO⊥AD，OB⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD．以O为原点，以OB，OD，OP为坐标轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则A=（0，﹣1，0），D（0，1，0），P（0，0，），B（，0，0），C（，2，0），∴E（，1，），F（0，，）．①=（0，，），=（﹣，﹣，0），设平面AEF的法向量为=（x，y，z），则，∴，令x=1得=（1，﹣，3），∵OB⊥平面PAD，∴=（，0，0）为平面PAD的一个法向量，∴cos＜，＞===．∴二面角E﹣AF﹣D的二面角的余弦值为．②假设PC上存在点H使得直线BH与平面AEF所成角等于60°，则与所成夹角为30°，设=λ=（﹣λ，﹣2λ，）（0≤λ≤1），则==（﹣，2﹣2λ，）．∴cos＜＞===，化简得19λ2﹣12λ﹣6=0，解得λ=或λ=（舍）∴线段PC上存在一点H，使得直线BH与平面AEF所成角等于60°，18．已知等差数列{a n}的公差d≠0，若a2=5且a1，a3，a6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=0且对任意的n≥2，均有|b n﹣b n﹣1|=2①写出b3所有可能的取值；②若b k=2116，求k的最小值．【考点】数列递推式．【分析】（1）由题意列式求得等差数列的公差，则等差数列的通项公式可求；（2）①把数列{a n}的通项公式代入|b n﹣b n﹣1|=2（n≥2），去绝对值，即可求得b3所有可能的取值；②在①的基础上依次求解，即可得到满足b k=2116时k的最小值．【解答】解：（1）由题意，，即（5+d）2=（5﹣d）（5+4d），整理得5d2﹣5d=0，∵d≠0，∴d=1，则a1=a2﹣d=5﹣1=4，∴a n=4+1×（n﹣1）=n+3；（2）①由|b n﹣b n﹣1|=2（n≥2），得，∴，则b2=±32．，当b2=32时，b3=﹣32或b3=96；当b2=﹣32时，b3=﹣96或b3=32．∴b3所有可能的取值为﹣96，﹣32，32，96；②=±128，当b3=96时，b4=224；，当b4=224时，；b5=580；，当b5=580时，b6=1092；，当b6=1092时，b7=2116．∴b k=2116，k的最小值为7．。
2019-2020学年高一数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题2(A卷01).doc
2019-2020学年高一数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题2（A 卷01）第I 卷（选择题）一、选择题（每小题5分，共60分）1．运行如图所示程序，若输入,,a b c 的值依次为1,2,3--，则输出的S 的值为（ ）A. 4-B. 1-C. 1D. 2 【答案】B【解析】由题意， ()231S =+-=-，故选B 。
2．甲、乙两人下棋,已知和棋的概率为,乙胜的概率为,则甲胜的概率和甲不输的概率分别为( )A.B.C.D.【答案】C3．设数列，，，，…，则是这个数列的（ ）A. 第6项B. 第7项C. 第8项D. 第9项 【答案】B【解析】分析：由题意首先归纳出数列的通项公式，然后结合通项公式即可求得最终结果. 详解：数列即：，据此可归纳数列的通项公式为，令可得：，即是这个数列的第7项.本题选择B选项.点睛：根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．4．某学院A B C、、三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方祛抽取一个容量为120的样本,已知该学院的A专业有380名学生, B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取的学生人数为（）A. 30B. 40C. 50D. 60【答案】B【解析】C专业的学生有1200380420400--=由分层抽样原理，应抽取400 120401200⨯=名故选B5．在下列各点中，不在不等式表示的平面区域内的点为（）A. B. C. D.【答案】C点睛：本题考查了二元一次不等式（组）表示的平面区域，试题比较基础，解题时要认真审题，仔细解答.6．已知中，分别是角的对边，，则等于（）A. 或B.C. 或D.【答案】A【解析】分析：根据正弦定理求解，解题时要注意解的个数的讨论．详解：在中，由正弦定理得，∴．又，∴，∴或．故选A．点睛：在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以对解答此类问题时要进行分类讨论．7．设是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程有两个不相等的实数根的概率为（）A. B. C. D.【答案】A点睛：本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式.，属于基础题．解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，利用排列组合有关知识，正确找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数代入公式.8．若，则（）A. 无最大值，有最小值B. 无最大值，有最小值C. 有最大值，有最小值D. 有最大值，无最小值【答案】D9．已知关于的方程的两根之和等于两根之积的一半，则一定是( ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形【答案】B【解析】分析：根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A=B，即可确定出三角形形状．详解：设已知方程的两根分别为x1，x2，根据韦达定理得：x1+x2=cosAcosB，x1x2=2sin2=1﹣cosC，∵x1+x2=x1x2，∴2cosAcosB=1﹣cosC，∵A+B+C=π，∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB，∴cosAcosB+sinAsinB=1，即cos（A﹣B）=1，∴A﹣B=0，即A=B，∴△ABC为等腰三角形．故选：B．点睛：此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：根与系数的关系，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．10．若实数满足不等式组，则的最小值为( ).A. B. C. D.【答案】A【解析】作可行域，如图，则直线过点A（-1，2）时取最小值0，选A.11．如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，图中的表示正整数除以正整数后的余数为，例如．执行该程序框图，则输出的等于（）A. 23B. 38C. 44D. 58【答案】A【解析】本题框图计算过程要求找出一个数除以3余数为2；除以5余数为3；除以7余数为2，那么这个数首先是23，故选12．已知数列的首项，且满足，则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据叠加法求数列通项公式，再利用对勾函数单调性确定函数最值.详解：因为，所以；因此，因为，所以当时，取最小值，选C.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.二、填空题（每小题5分，共20分）13．射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：从这四个人选择一人参加该射击项目比赛，最佳人选是 。
2020高一数学第二学期期末模拟试卷及答案(共三套)
范文2020学年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案1/ 7(共三套)2020 年学年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案（共三套）2020 年学年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案（一）一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分） 1．设集合 A={1，2}，B=（a+1，2），若A∪B={1，2，3}，则实数 a 的值为． 2．若向量 =（2，1）， =（﹣4，x），且∥ ，则 x 的值为． 3．在△ABC 中，已知 AB=2，AC=3，∠A=120°，则△ABC 的面积为． 4．函数 f（x）=lg（2﹣x﹣x2）的定义域为． 5．若指数函数 f（x）=（a﹣1）x 是 R 上的单调减函数，则实数 a 的取值范围是． 6．已知直线 x﹣y=0 与圆（x﹣2）2+y2=6 相交于 A，B 两点，则弦 AB 的长为． 7．已知两曲线 f（x）=cosx 与 g（x）= sinx 的一个交点为 P，则点 P 到 x 轴的距离为． 8．已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=AD=2．AA1=4，则该长方体外接球的表面积为． 9．如图，D，E 分别是△ABC 的边 AC，BC 上的点，且 = ， = ．若=λ +μ （λ，μ∈R），则λ+μ 的值为．第1页（共78页）10．如图，已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长均为 2，△DEF 为平行于棱柱底面的截面，O1，O 分别为上、下底面内一点，则六面体O1DEFO 的体积为． 11．将函数 f（x）=sinωx（0＜ω＜6）图象向右平移个单位后得到函数 g（x）的图象．若 g（x）图象的一个对称中心为（，0），则 f（x）的最小正周期为． 12．在△ABC 中，已知 AB=AC=4，BC=2，∠B 的平分线交 AC 于点 D，则 ? 的值为． 13．已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f（x）=x2﹣3x．若方程 f（x）+x﹣t=0 恰有两个相异实根，则实数 t 的所有可能值为． 14．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（2a，0）（a＞0），直线 l1： mx ﹣ y ﹣ 2m+2=0 与直线 l2：x+my=0 （m∈R）相交于点 M ，且 MA2+MO2=2a2+16，则实数 a 的取值范围是．二、解答题（共 6 小题，满分 90 分） 15．已知 tan（α﹣）=﹣．（1）求tanα 的值；（2）求cos2α 的值．第2页（共78页）3/ 716．在四棱锥 P﹣ABCD 中，已知DC∥AB，DC=2AB，E 为棱 PD 的中点．（1）求证：AE∥平面 PBC；（2）若PB⊥PC，PB⊥AB，求证：平面PAB⊥平面 PCD． 17．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，边长为 1 的正△OAB 的顶点 A， B 均在第一象限，设点 A 在 x 轴的射影为 C，∠AOC=α．（1）试将 ? 表示α 的函数 f（α），并写出其定义域；（2）求函数 f（α）的值域． 18．如图，海平面某区域内有 A，B，C 三座小岛，岛 C 在 A 的北偏东70°方向，岛C 在 B 的北偏东40°方向，且 A，B 两岛间的距离为 3 海里．（1）求 B，C 两岛间的距离；（2）经测算海平面上一轮船D 位于岛 C 的北偏西50°方向，且与岛 C 相距 3 海里，求轮船在岛 A 的什么位置．（注：小岛与轮船视为一点）第3页（共78页）19．在平面直角坐标系 xOy 中，圆：x2+y2=4，直线 l：4x+3y﹣20=0．A （，）为圆 O 内一点，弦 MN 过点 A，过点 O 作 MN 的垂线交 l 于点 P．（1）若MN∥l．①求直线 MN 的方程；②求△PMN 的面积．（2）判断直线 PM 与圆 O 的位置关系，并证明． 20．已知函数 f（x）=a|x﹣b|+1，其中 a，b∈R．（1）若 a＜0，b=1，求函数 f（x）的所有零点之和；（2）记函数 g（x）=x2﹣f（x）．①若 a＜0，b=0，解不等式 g（2x+1）≤g（x﹣1）；②若 b=1，g（x）在[0，2]上的最大值为 0，求 a 的取值范围．第4页（共78页）5/ 7参考答案与试题解析一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分70 分） 1．设集合 A={1，2}，B=（a+1，2），若A∪B={1，2，3}，则实数 a 的值为 2 ．【考点】1D：并集及其运算．【分析】由并集定义得 a+1=3，由此能求出实数 a 的值．【解答】解：∵集合 A={1，2}，B=（a+1，2），A∪B={1，2，3}，∴a+1=3，解得实数 a 的值 2．故答案为：2． 2．若向量 =（2，1）， =（﹣4，x），且∥ ，则 x 的值为﹣2 ．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵ ∥ ，∴﹣4﹣2x=0，解得 x=﹣2．故答案为：﹣2． 3．在△ABC 中，已知 AB=2，AC=3，∠A=120°，则△ABC 的面积为．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式求解即可得答案．【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠A=120°，第5页（共78页）∴S△ABC= AB?AC?sinA= 故答案为：． =． 4．函数 f（x）=lg （2﹣x﹣x2）的定义域为（﹣2，1）．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据函数 y 的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：函数 f（x）=lg（2﹣x ﹣x2），∴2﹣x﹣x2＞0，即 x2+x﹣2＜0，解得﹣2＜x＜1，∴函数 f（x）的定义域为（﹣2，7/ 7。
2020-2021学年高一数学下学期期末测试卷(北师大版)02(必修三和必修四考试版)
2020–2021学年下学期期末测试卷02卷高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：北师大版老版必修三、必修四 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（每题5分，共60分）1．点P(cos 2 022°，sin 2 022°)所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．2C ．3D ．43．集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )4.人骑自行车的速度是v 1,风速为v 2,则逆风行驶的速度为 ( ) A.v 1-v 2B.v 1+v 2C.|v 1|-|v 2|D.5．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( ) A ．3144AB AC - B ．1344AB AC -C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +6．某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式有：A.结伴步行，B.自行乘车，C.家人接送，D.其他方式．将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，知本次抽查的学生中结伴步行(A)上学的人数是( )A ．30B ．40C ．42D ．487．一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据中的每个数都乘以a(a>0)得到一组新数据，则下列说法正确的是( )A ．这组新数据的平均数为mB ．这组新数据的平均数为a ＋mC ．这组新数据的方差为anD ．这组新数据的标准差为a n8．计算机执行算法步骤后输出的结果是( )A ．4，－2B ．4,1C ．4,3D ．6.09.已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P(3,4)，则sin α＋2cos αsin α－cos α＝( )A ．10B ．110 C ．5D ．1510．在直角坐标系xOy 中，已知角θ 的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线y ＝3x 上，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－2θ＝( )A ．45B ．－45C ．－35D ．1211、若非零向量,a b 满足2||||a b =，且(3)(2)a b a b +⊥-，则a 与b 的夹角为（ ）A.π4B.π3C.2π3D.5π612.定义a b e ae bfc d f ce df+⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦运算，例如1241403515⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.若已知α+β=π，α-β=2π则sin cos coscos sin sina aa aββ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=（）A．0⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．01⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．1⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．11⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，共20分）13.在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为.14.若点E,F分别是△ABC的边AB,AC的中点,则=______ .15．如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为[2,2.5)范围内的居民有____人．16．已知总体的各个个体的值从小到大为－3，0，3，x，y，6，8，10，且总体的中位数为4.若要使该总体的方差最小，则2x－y＝________．三、解答题（共6题，共70分）17．（10分）求下列三角函数值：(1)sin256π＋cos193π；(2)sin217π4＋tan2⎝⎛⎭⎪⎫－11π6tan9π4.18.(10分)如图,点O是平行四边形ABCD的中心,E,F分别在边CD,AB上,且==.求证:点E,O,F在同一直线上.19.（12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组[75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 频数 6 26 38 22 8①在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：②估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；③根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？20.（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8零件尺寸9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04抽取次序9 10 11 12 13 14 15 16零件尺寸10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得x＝116∑16i＝1x i＝9.97，s＝116∑16i＝1x i－x2＝116∑16i＝1x2i－16x2≈0.212，∑16i＝1i－8.52≈18.439，∑16i＝1(x i－x)(i－8.5)＝－2.78，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2， (16)(1)求(x i ，i)(i ＝1,2，…，16)的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x －3s ，x ＋3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？②在(x －3s ，x ＋3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0.01)附：样本(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n)的相关系数r ＝∑ni ＝1 x i －xy i －y∑n i ＝1x i －x2∑ni ＝1y i －y2.0.008≈0.09.21.（12分）已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x · cos x －sin 4x .(1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值及取最小值时的x 的集合．22．（14分）在四边形ABCD 中，AB =(6，1)，BC =(x ，y)，CD =(-2，-3)，(1)若BC //DA ，试求x 与y 满足的关系式；(2)满足(1)的同时又有AC 垂直于BD ，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积.2020–2021学年下学期期末测试卷02卷高一数学·全解全析1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CCCBAADBAACC1．点P(cos 2 022°，sin 2 022°)所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】因为2 022°＝360°×5＋222°，所以2 022°与222°终边相同，是第三象限角．所以cos 2 022°<0，sin 2 022°<0，所以点P 在第三象限．故选C.2．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是( C )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧θR ＝6，12θR 2＝6.解得θ＝3，即扇形的圆心角的弧度数是3.故选C.3．集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( C )【答案】C【解析】当k ＝2n(n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，结合图形知选C. 4.人骑自行车的速度是v 1,风速为v 2,则逆风行驶的速度为 ( ) A.v 1-v 2B.v 1+v 2C.|v 1|-|v 2|D.【答案】B【解析】选B.由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v 1+v 2.注意速度是有方向和大小的,是一个向量. 5．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC -C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +【答案】A【解析】因为在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，所以EB =111()222AB AE AB AD AB AB AC →→→→→→→-=-=-⨯+3144AB AC→→=-故选A.6．某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式有：A.结伴步行，B.自行乘车，C.家人接送，D.其他方式．将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，知本次抽查的学生中结伴步行(A)上学的人数是( )A ．30B ．40C ．42D ．48【答案】 A【解析】由条形统计图知B.自行乘车上学的有42人，C.家人接送上学的有30人，D.其他方式上学的有18人，采用B ，C ，D 三种方式上学的共90人，设A.结伴步行上学的有x 人，由扇形统计图知A.结伴步行上学与B.自行乘车上学的学生占60%，所以x ＋42x ＋90＝60100，解得x ＝30，故选A.7．一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据中的每个数都乘以a(a>0)得到一组新数据，则下列说法正确的是( )A ．这组新数据的平均数为mB ．这组新数据的平均数为a ＋mC ．这组新数据的方差为anD ．这组新数据的标准差为a n【答案】D【解析】由题意，知这组新数据的平均数为am ，方差为a 2n ，标准差为a n.故选D. 8．计算机执行算法步骤后输出的结果是( )A ．4，－2B ．4,1C ．4,3D ．6.0 【答案】B【解析】由赋值语句a ＝1，b ＝3知，赋值后，a ＝a ＋b ＝1＋3＝4，b ＝a －b ＝4－3＝1，故选B. 答案：B9.已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P(3,4)，则sin α＋2cos αsin α－cos α＝( )A ．10B ．110C ．5D ．15【答案】A【解析】 根据角α的终边过P(3,4)，利用三角函数的定义，得tan α＝43，所以有sin α＋2cos αsin α－cos α＝tan α＋2tan α－1＝43＋243－1＝10313＝10.故选A ．10．在直角坐标系xOy 中，已知角θ 的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线y ＝3x 上，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－2θ＝( )A ．45 B ．－45C ．－35D ．12【答案】A【解析】 因为角θ的终边落在直线y ＝3x 上，所以tan θ＝3，cos 2θ＝110，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2θ＝－cos 2θ＝－(2cos 2θ－1)＝45.故选A 项．11、若非零向量,a b 满足2||||a b =，且(3)(2)a b a b +⊥-，则a 与b 的夹角为（ ） A.π4B.π3C.2π3D.5π6【答案】C【解析】由(3)(2)a b a b +⊥-，得(3)(2)0a b a b +⋅-=， 即223520a a b b -⋅-=，设,a b θ<>=，则223||5||||cos 2||0a a b b θ-⋅-= 又∵2||||a b =，∴2223||10||cos 8||0a a a θ--=， ∴1cos 2θ=-又∵0πθ≤≤， ∴2π3θ=.13. 定义a b e ae bf c d f ce df +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦运算，例如1241403515⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.若已知α+β=π，α-β=2π则sin cos cos cos sin sin a a a a ββ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=（ ）A ．00⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．01⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．11⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】 A【解析】因为α+β=π，α-β=2π，所以a=34π,ᵝ=π4 因为a b e ae bf c d f ce df +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以sin cos cos cos sin sin a a a a ββ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦= 33sin cos cos sinsin cos cos sin 4444cos cos sin sin 33cos cos +sin sin 44442222()022*******()2222a a a a ππππββββππππ⎡⎤+⎢⎥+⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⨯+-⨯⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⨯+⨯⎢⎥⎣⎦二、填空题（每题5分，共20分）13.在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为 . 【答案】－5π6【解析】∵2 010°＝67π6＝12π－5π6，∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－5π6.14.若点E,F 分别是△ABC 的边AB,AC 的中点,则=______.【答案】【解析】由题意知EF 是中位线,故=.15．如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为[2,2.5)范围内的居民有____人．【答案】25【解析】100×(0.5×0.5)＝25(人)．16．已知总体的各个个体的值从小到大为－3，0，3，x ，y ，6，8，10，且总体的中位数为4.若要使该总体的方差最小，则2x －y ＝________． 【答案】4【解析】由总体的中位数为4，得x ＋y 2＝4，即x ＋y ＝8，所以数据的平均数为x －＝－3＋0＋3＋x ＋y ＋6＋8＋108＝4，所以数据的方差为s 2＝18[(－3－4)2＋(0－4)2＋(3－4)2＋(x －4)2＋(y －4)2＋(6－4)2＋(8－4)2＋(10－4)2]＝18[122＋(x －4)2＋(y －4)2]＝18[122＋2(x －4)2]．当x ＝4时，s 2最小，此时y ＝4，所以2x －y ＝2×4－4＝4. 三、解答题（共6题，共70分） 17．（10分）求下列三角函数值：(1)sin 256π＋cos 193π；(2)sin 2 17π4＋tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6tan 9π4. 【解析】解：(1)sin 256π＋cos 193π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋π3＝sin π6＋cos π3＝12＋12＝1.(2)原式＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋4π＋tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2π·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2π＝sin2π4＋tan 2 π6·tan π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332×1＝12＋13＝56.18.(10分)如图,点O是平行四边形ABCD的中心,E,F分别在边CD,AB上,且==.求证:点E,O,F在同一直线上.【证明】设=m,=n,由==知E,F分别是CD,AB的三等分点,所以=+=+=-m+(m+n)=m+n,=+=+=(m+n)-m=m+n.所以=.又O为和的公共点,故点E,O,F在同一直线上.19.（12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组[75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 频数 6 26 38 22 8②估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；③根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？【解析】 (1)设新农村建设前，农村的经济收入为a ，则新农村建设后，农村的经济收入为2a.新农村建设前后，各项收入的对比如下表：新农村建设前新农村建设后 新农村建设后变化情况结论 种植收入 60%a 37%×2a ＝74%a 增加 A 错 其他收入 4%a 5%×2a ＝10%a 增加了一倍以上 B 对 养殖收入 30%a 30%×2a ＝60%a 增加了一倍 C 对 养殖收入＋第三产业收入 (30%＋6%)a＝36%a (30%＋28%)×2a ＝116%a超过经济收入2a 的一半D 对(2)①②质量指标值的样本平均数为x －＝80×6＋90×26＋100×38＋110×22＋120×8100＝100，质量指标值的样本方差为s 2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104所以，这种产品质量指标的平均数估计值为100，方差的估计值为104.③依题意38＋22＋8100＝68%<80%，所以该企业生产的这种产品不符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．20.（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸10.269.9110.1310.029.22 10.0410.059.95经计算得x ＝116∑16i ＝1x i ＝9.97，s ＝116∑16i ＝1x i －x 2＝116∑16i ＝1x 2i －16x 2≈0.212，∑16i ＝1i －8.52≈18.439，∑16i ＝1(x i －x )(i －8.5)＝－2.78，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)(1)求(x i ，i)(i ＝1,2，…，16)的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x －3s ，x ＋3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？②在(x －3s ，x ＋3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0.01)附：样本(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n)的相关系数r ＝∑ni ＝1 x i －xy i －y∑n i ＝1x i －x2∑ni ＝1y i －y2.0.008≈0.09.【解析】(1)由样本数据得(x i ，i)(i ＝1,2，…，16)的相关系数为r ＝∑16i ＝1 x i －x i －8.5∑16i ＝1x i －x2∑16i ＝1i －8.52＝－2.780.212×16×18.439≈－0.18.由于|r|<0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．(2)①由于x ＝9.97，s ≈0.212，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x －3s ，x ＋3s)以外，因此需对当天的生产过程进行检查． ②剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02， 这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.∑16i ＝1x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134， 剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为115×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.008≈0.09. 21.（12分）已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x · cos x －sin 4x .(1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值及取最小值时的x 的集合． 【解析】 (1)因为f(x)＝cos 4x －2sin xcos x －sin 4x ＝(cos 2x －sin 2x)(cos 2x ＋sin 2x)－2sin xcos x ＝cos 2x －sin 2x －2sin xcos x ＝cos 2x －sin 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，解不等式－3π2＋2k π≤2x －π4≤－π2＋2k π(k ∈Z )，得－5π8＋k π≤x ≤－π8＋k π(k ∈Z )，因此函数y ＝f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π8＋k π，－π8＋k π(k ∈Z )． (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以－π4≤2x －π4≤3π4.当2x －π4＝π2时，即当x ＝3π8时，函数y ＝f(x)取得最小值－ 2.因此函数y ＝f(x)的最小值为－2，对应的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫3π8.22．（14分）在四边形ABCD 中，AB =(6，1)，BC =(x ，y)，CD =(-2，-3)，(1)若BC //DA ，试求x 与y 满足的关系式；(2)满足(1)的同时又有AC 垂直于BD ，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积. 【解析】BC →=(x ，y)，DA =-AD =-(AB BC CD ++）=-(x+4,y-2)=(-x-4,-y+2). (1)∵BC //DA ，则有x(-y+2)-y(-x-4)=0 化简得x+2y=0.(2)AC =AB +BC =(x+6，y+1)，BD =BC +CD =(x-2,y-3)，又AC 垂直BD ，则(x+6)·(x-2)+(y+1)·(y-3)=0， 化简有2x +2y +4x-2y-15=0， 联立224215200x y y x x y ++--+==⎧⎨⎩， 解得63x y =-⎧⎨=⎩， 或21x y =⎧⎨=-⎩，因为BC //DA ，AC ⊥BD ，则四边形AB C D 为对角线互相垂直的梯形.当63x y =-⎧⎨=⎩时，AC =(0，4)，BD =(-8，0)，此时ABCD S =12·|AC ||BD |=16. 当21x y =⎧⎨=-⎩时，AC =(8，0)，BD =(0，-4），此时ABCD S =12·|AC ||BD |=16.。
2020年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案(共五套)
2020年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案（共五套）2020年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案（一）一、选择题：1．重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．232．等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．43．在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）A．B．C．D．4．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．16．在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D．2π7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2 D．58．对于集合{a1，a2，…，a n}和常数a0，定义w=为集合{a1，a2，…，a n}相对a0的“正弦方差”，则集合{，， }相对a0的“正弦方差”为（）A．B．C．D．与a0有关的一个值二、填空题：9．某电子商务公司对1000名网络购物者2015年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为______．10．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=______．11．等比数列{a n}的前n项和为S n，公比不为1．若a1=1，且对任意的n∈N+都有a n+2+a n+1﹣2a n=0，则S5=______．12．已知1＜a＜2，2＜a+b＜4，则5a﹣b的取值范围是______．13．如图，在正三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB=2，A1A=2，D，F 分别是棱AB，AA1的中点，E为棱AC上的动点，则△DEF周长的最小值为______．14．已知函数f（x）=．（1）若f（x）＞k的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，则k的值等于______；（2）对任意x＞0，f（x）≤t恒成立，则t的取值范围是______．三、解答题：本大题共5小题，共50分.15．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区 A B C数量50 1510（Ⅰ）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，AA1=8，BC=10，点E，F 分别在A1B1C1D1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH．（I）在图中画出这个正方形EFGH（不必说明画法和理由），并说明G，H在棱上的具体位置；（II）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．17．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c且f（A）=1．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若a=7，b=5，求c的值．18．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁10√×√√21×√×√720√√√×30√×√×85 √××××√××98（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？19．已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=（n∈N*）．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设c n=（n∈N*）．记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有S k≥S n．参考答案与试题解析一、选择题：1．重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．23【考点】茎叶图．【分析】根据中位数的定义进行求解即可．【解答】解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为，故选：B2．等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等差数列的通项公式．【分析】设数列{a n}的公差为d，则由题意可得2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．【解答】解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B．3．在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的区间长度，即可得到结论．【解答】解：在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则﹣2≤X≤3，则X≤1的概率P=，故选：B．4．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】根据程序运行条件，分别进行判断，即可得到结论．【解答】解：第一次运行，n=5，不是偶数，则n=3×5+1=16，k=1，第二次运行，n=16，是偶数，则n==8，k=2，第三次运行，n=8，是偶数，则n==4，k=3，第四次运行，n=4，是偶数，则n==2，k=4，第五次运行，n=2，是偶数，则n==1，k=5，此时满足条件n=1，输出k=5．故选：C．5．已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1【考点】简单线性规划．【分析】首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值．【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A．6．在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D．2π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：=．故选：C．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2 D．5【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．S△BCO=2×=．故该三棱锥的表面积是2，故选：C．8．对于集合{a1，a2，…，a n}和常数a0，定义w=为集合{a1，a2，…，a n}相对a0的“正弦方差”，则集合{，， }相对a0的“正弦方差”为（）A．B．C．D．与a0有关的一个值【考点】进行简单的合情推理．【分析】先根据题意表示出正弦方差μ，进而利用二倍角公式把正弦的平方转化成余弦的二倍角，进而利用两角和公式进一步化简整理，求得结果即可．【解答】解：因为集合{，， }相对a0的“正弦方差”，所以W===故选：C．二、填空题：9．某电子商务公司对1000名网络购物者2015年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为600．【考点】频率分布直方图．【分析】频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，先算出频率，在根据频率和为1，算出a的值，再求出消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的频率，再求频数．【解答】解：由题意，根据直方图的性质得（1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2）×0.1=1，解得a=3由直方图得（3+2.0+0.8+0.2）×0.1×1000=600．故答案为：600．10．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=1．【考点】余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理．【分析】利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==∴sinC=，sinA=，∴==1．故答案为：1．11．等比数列{a n}的前n项和为S n，公比不为1．若a1=1，且对任意的n∈N+都有a n+2+a n+1﹣2a n=0，则S5=11．【考点】等比数列的性质；数列的求和．【分析】由题意可得a n q2+a n q=2a n ，即q2+q=2，解得q=﹣2，或q=1（舍去），由此求得S5=的值．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且对任意的n ∈N+都有a n+2+a n+1﹣2a n=0，∴a n q2+a n q=2a n ，即q2+q=2，解得q=﹣2，或q=1（舍去）．∴S5==11，故答案为11．12．已知1＜a＜2，2＜a+b＜4，则5a﹣b的取值范围是（2，10）．【考点】简单线性规划．【分析】由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的范围．【解答】解：画出1＜a＜2，2＜a+b＜4的可行域，如图：目标函数z=5a﹣b在直线2=a+b与直线a=2的交点B（2，0）处，z 值的上界取：10，在直线4=a+b与直线a=1的交点A（1，3）处，目标函数z值的下界取：2，5a﹣b的取值范围是（2，10）．故答案为：（2，10）．13．如图，在正三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB=2，A1A=2，D，F 分别是棱AB，AA1的中点，E为棱AC上的动点，则△DEF周长的最小值为+2．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】由正三棱柱A1B1C1﹣ABC的性质可得：AA1⊥AB，AA1⊥AC．在Rt△ADF中，利用勾股定理可得DF=2．因此只要求出DE+EF 的最小值即可得出．把底面ABC展开与侧面ACC1A1在同一个平面，如图所示，只有当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值．利用余弦定理即可得出．【解答】解：由正三棱柱A1B1C1﹣ABC，可得AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥AB，AA1⊥AC．在Rt△ADF中，DF==2．把底面ABC展开与侧面ACC1A1在同一个平面，如图所示，只有当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值．在△ADE中，∠DAE=60°+90°=150°，由余弦定理可得：DE==．∴△DEF周长的最小值=+2．故答案为： +2．14．已知函数f（x）=．（1）若f（x）＞k的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，则k的值等于﹣；（2）对任意x＞0，f（x）≤t恒成立，则t的取值范围是[，+∞）．【考点】其他不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）根据不等式和方程之间的关系，转化为方程进行求解即可．（2）任意x＞0，f（x）≤t恒成立，等等价于t≥=恒成立，根据基本不等式即可求出．【解答】解：（1）：f（x）＞k⇔kx2﹣2x+6k＜0．由已知{x|x＜﹣3，或x＞﹣2}是其解集，得kx2﹣2x+6k=0的两根是﹣3，﹣2．由根与系数的关系可知（﹣2）+（﹣3）=，解得k=﹣，（2）任意x＞0，f（x）≤t恒成立，等价于t≥=恒成立，∵x+≥2=2，当且仅当x=时取等号，∴t≥，故答案为：（1）：﹣，（2）：[，+∞）三、解答题：本大题共5小题，共50分.15．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区 A B C数量50 1510（Ⅰ）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）先计算出抽样比，进而可求出这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）先计算在这6件样品中随机抽取2件的基本事件总数，及这2件商品来自相同地区的事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）A，B，C三个地区商品的总数量为50+150+100=300，故抽样比k==，故A地区抽取的商品的数量为：×50=1；B地区抽取的商品的数量为：×150=3；C地区抽取的商品的数量为：×100=2；（Ⅱ）在这6件样品中随机抽取2件共有：=15个不同的基本事件；且这些事件是等可能发生的，记“这2件商品来自相同地区”为事件A，则这2件商品可能都来自B 地区或C地区，则A中包含=4种不同的基本事件，故P（A）=，即这2件商品来自相同地区的概率为．16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，AA1=8，BC=10，点E，F 分别在A1B1C1D1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH．（I）在图中画出这个正方形EFGH（不必说明画法和理由），并说明G，H在棱上的具体位置；（II）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（I）过E作EM⊥AB于M，由勾股定理可得MH=6，从而确定出G，H的位置；（II）两部分均为底面为梯形的直棱柱，代入棱柱的体积公式求出两部分的体积即可得出体积比．【解答】解：（I）作出图形如图所示：过E作EM⊥AB于M，∵四边形EFGH为正方形，∴EH=EF=BC=10，∵EM=AA1=8，∴MH==6，∴AH=AM+MH=10，∴DG=10，即H在棱AB上，G在棱CD上，且AH=DG=10．（II）设平面α把该长方体分成的两部分体积分别为V1，V2，则V1=S•AD=×（4+10）×8×10=560，V2=V长方体﹣V1=16×8×10﹣560=720．∴==．17．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c且f（A）=1．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若a=7，b=5，求c的值．【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦；余弦定理．【分析】（I）由f（x）=sinxcosx﹣cos2x+利用二倍角公式及辅助角公式对已知化简，然后结合f（A）=1，及A∈（0，π）可求A；（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA可求c【解答】解：（I）因为f（x）=sinxcosx﹣cos2x+==sin（2x﹣）…又f（A）=sin（2A﹣）=1，A∈（0，π），…所以，∴…（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得到，所以c2﹣5c﹣24=0 …解得c=﹣3（舍）或c=8 …所以c=818．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁10√×√√21×√×√720√√√×30√×√×85 √××××√××98（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，从而求得顾客同时购买乙和丙的概率．（2）根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人，求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．（3）在这1000名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率，从而得出结论．【解答】解：（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，故顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2．（2）在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300（人），故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为=0.3．（3）在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为=0.2，同时购买甲和丙的概率为=0.6，同时购买甲和丁的概率为=0.1，故同时购买甲和丙的概率最大．19．已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=（n∈N*）．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设c n=（n∈N*）．记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有S k≥S n．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和．【分析】（Ⅰ）先利用前n项积与前（n﹣1）项积的关系，得到等比数列{a n}的第三项的值，结合首项的值，求出通项a n，然后现利用条件求出通项b n；（Ⅱ）（i）利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；（ii）本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明．【解答】解：（Ⅰ）∵a1a2a3…a n=（n∈N*）①，当n≥2，n∈N*时，②，由①②知：，令n=3，则有．∵b3=6+b2，∴a3=8．∵{a n}为等比数列，且a1=2，∴{a n}的公比为q，则=4，由题意知a n＞0，∴q＞0，∴q=2．∴（n∈N*）．又由a1a2a3…a n=（n∈N*）得：，，∴b n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅱ）（i）∵c n===．∴S n=c1+c2+c3+…+c n====；（ii）因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；当n≥5时，，而=＞0，得，所以，当n≥5时，c n＜0，综上，对任意n∈N*恒有S4≥S n，故k=4．2020年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案（二）一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“∃x0＞0，2≤0”的否定是（）A．∀x＞0，2x＞0 B．∀x≤0，2x＞0 C．∀x＞0，2x＜0 D．∀x≤0，2x＜02．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m3．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a．b．c，已知B=30°，c=150，b=50，那么这个三角形是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰三角或直角三角形4．如图所示的程序框图，若输出的S=31，则判断框内填入的条件是（）A．i＞4？B．i＞5？C．i≤4？D．i≤5？5．设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值6．如图所示，E是正方形ABCD所在平面外一点，E在面ABCD上的正投影F恰在AC上，FG∥BC，AB=AE=2，∠EAB=60°，有以下四个命题：（1）CD⊥面GEF；（2）AG=1；（3）以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是8；（4）∠EAD=60°．其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．下列命题中，正确的命题个数为（）①△ABC的三边分别为a，b，c，则该三角形是等边三角形的充要条件为a2+b2+c2=ab+ac+bc；②数列{a n}的前n项和为S n，则S n=An2+Bn是数列{a n}为等差数列的充要条件；③在数列{a n}中，a1=1，S n是其前n项和，满足S n+1=S n+2，则{a n}是等比数列；④已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是不等于零的实数，关于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集分别为P，Q，则==是P=Q的充分必要条件．A．1 B．2 C．3 D．48．如图，设P为正四面体A﹣BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）A．4个B．6个C．10个D．14个二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．已知数列{a n}的前n项和为S n，a n≠0（n∈N*），a n a n+1=S n，则a3﹣a1=______．10．执行如图所示的程序框图，输出的a值为______．11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，主视图和左视图都是腰长为1的等腰直角三角形，那么，这个三棱锥的表面积为______．12．a＞0，b＞0，a+b=1，则+的最小值为______．13．如图，四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为1，记四面体ABCD的体积为F（x），则函数F（x）的单调增区间是______；最大值为______．14．在数列{a n}中，若a n2﹣a n﹣12=p（n≥2，n∈N×，p为常数），则称{a n}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；①若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等差数列；②{（﹣1）n}是等方差数列；③若{a n}是等方差数列，则{a kn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列；④若{a n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．其中正确命题序号为______．（将所有正确的命题序号填在横线上）三、解答题（本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知p：＞1，q：∃x∈R，ax2+ax﹣1≥0，r：（a﹣m）（a﹣m﹣1）＞0．（1）若p∧q为真，求实数a的取值范围；（2）若￢p是￢r的必要不充分条件，求m的取值范围．16．如图△ABC中，已知点D在BC边上，满足•=0．sin∠BAC=，AB=3，BD=．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°，点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB∥EF；（2）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求①二面角E﹣AF﹣D的二面角的余弦值；②在线段PC上是否存在一点H，使得直线BH与平面AEF所成角等于60°，若存在，确定H的位置，若不存在，说明理由．18．已知等差数列{a n}的公差d≠0，若a2=5且a1，a3，a6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=0且对任意的n≥2，均有|b n﹣b n﹣1|=2①写出b3所有可能的取值；②若b k=2116，求k的最小值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“∃x0＞0，2≤0”的否定是（）A．∀x＞0，2x＞0 B．∀x≤0，2x＞0 C．∀x＞0，2x＜0 D．∀x≤0，2x＜0【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0＞0，2≤0”的否定是：∀x＞0，2x＞0．故选：A．2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【考点】直线与平面平行的判定．【分析】根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；C：l∥α，m⊂α，则l∥m或两线异面，故不正确．D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．故选B3．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a．b．c，已知B=30°，c=150，b=50，那么这个三角形是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰三角或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】由正弦定理求出sinC=，C=60°或120°．再根据三角形的内角和公式求出A的值，由此即可这个三角形的形状．【解答】解：∵△ABC中，已知B=30°，b=50，c=150，由正弦定理可得，∴sinC=，可得：C=60°或120°．当C=60°，∵B=30°，∴A=90°，△ABC是直角三角形．当C=120°，∵B=30°，∴A=30°，△ABC是等腰三角形．故△ABC是直角三角形或等腰三角形，故选：D．4．如图所示的程序框图，若输出的S=31，则判断框内填入的条件是（）A．i＞4？B．i＞5？C．i≤4？D．i≤5？【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程知，算法的功能是计算S=1+2+22+...+2n的值，由输出的S是31，得退出循环体的n值为5，由此得判断框的条件．【解答】解：根据框图的流程得：算法的功能是计算S=1+2+22+ (2)的值，∵输出的S是31，∴S==2n+1﹣1=31，解得n=4；退出循环体的n值为5，∴判断框的条件为n≥5或n＞4．故选：A．5．设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用结论：n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1，易推出a6＞0，a7=0，a8＜0，然后逐一分析各选项，排除错误答案．【解答】解：由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2++a5+a6，即a6＞0，又∵S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，故B正确；同理由S7＞S8，得a8＜0，∵d=a7﹣a6＜0，故A正确；而C选项S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由结论a7=0，a8＜0，显然C选项是错误的．∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴S6与S7均为S n的最大值，故D正确；故选C．6．如图所示，E是正方形ABCD所在平面外一点，E在面ABCD上的正投影F恰在AC上，FG∥BC，AB=AE=2，∠EAB=60°，有以下四个命题：（1）CD⊥面GEF；（2）AG=1；（3）以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是8；（4）∠EAD=60°．其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】连结EG，通过证明AB⊥平面EFG得出CD⊥平面EFG，在直角三角形AEG中求出AG，EF，求出三角形ACE的面积，根据AG判断出F的位置，利用全都三角形判断∠EAD．【解答】解：连结EG，（1）∵EF⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴EF⊥AB，∵FG∥BC，BC⊥AB，∴AB⊥FG，又EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EF∩FG=F，∴AB⊥平面EFG，∵AB∥CD，∴CD⊥平面EFG．故（1）正确．（2）∵AB⊥平面EFG，∴AB⊥EG，∵∠EAB=60°，AE=2，∴AG=AE=1，故（2）正确．（3））∵AG=1=，∴F为AC的中点．∵AE=2，AC==2，AF==，∴EF==．∴S△ACE===2，∴以AC，AE作为邻边的平行四边形面积为2S△ACE=4，故（3）错误；（4）过F作FM⊥AD于M，则AM=1，由（1）的证明可知AD⊥平面EFM，故而AD⊥EM，∴Rt△EAG≌Rt△EAM，∴∠EAM=∠EAG=60°，故（4）正确．故选：C7．下列命题中，正确的命题个数为（）①△ABC的三边分别为a，b，c，则该三角形是等边三角形的充要条件为a2+b2+c2=ab+ac+bc；②数列{a n}的前n项和为S n，则S n=An2+Bn是数列{a n}为等差数列的充要条件；③在数列{a n}中，a1=1，S n是其前n项和，满足S n+1=S n+2，则{a n}是等比数列；④已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是不等于零的实数，关于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集分别为P，Q，则==是P=Q的充分必要条件．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据等边三角形的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断，②根据等差数列的定义和性质进行判断，③根据数列项和前n项和的关系，结合等比数列的定义进行判断．④举反例进行判断即可．【解答】解：①若a=b=c，则a2+b2+c2=ab+ac+bc成立，反之若a2+b2+c2=ab+ac+bc，则2（a2+b2+c2）=2（ab+ac+bc），整理得（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，当且仅当a=b=c时成立故充分性成立，故①正确；②当n=1时，a1=A+B；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2An+B﹣A，显然当n=1时也满足上式，∴a n﹣a n﹣1=2A，∴{a n}是等差数列．反之，若数列{a n}为等差数列，∴S n=na1+d=n2+（a1﹣）n，令A=，B=a1﹣，则S n=An2+Bn，A，B∈R．综上，“S n=An2+Bn，是“数列{a n}为等差数列”的充要条件．故②正确，③在数列{a n}中，a1=1，S n是其前n项和，满足S n+1=S n+2，则当n≥2时，S n=S n﹣1+2，两式作差得S n+1﹣S n=S n+2﹣S n﹣1﹣2，即a n+1=a n，即=，（n≥2），当n=1时，S2=S1+2，即a1+a2=a1+2，即a2=﹣a1+2=2﹣=，则=≠，即{a n}不是等比数列；故③错误，④举反例，不等式x2+x+1＞0与x2+x+2＞0的解集都是R，但是≠，则==是P=Q的充分必要条件错误，故④错误．故正确的是①②，故选：B．8．如图，设P为正四面体A﹣BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）A．4个B．6个C．10个D．14个【考点】计数原理的应用．【分析】根据分类计数加法原理可得，由题意符合条件的点只有两类，一在棱的中点，二在面得中心，问题得以解决．【解答】解：符合条件的点P有两类：（1）6条棱的中点；（2）4个面的中心．共10个点．故集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有4+6=10．故选：C二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．已知数列{a n}的前n项和为S n，a n≠0（n∈N*），a n a n+1=S n，则a3﹣a1=1．【考点】数列递推式．【分析】由题意可得a n+1=，从而可得a2==1，a3===1+a1；从而解得．【解答】解：∵a n a n+1=S n，∴a n+1=；∴a2==1；a3===1+a1；∴a3﹣a1=1+a1﹣a1=1，故答案为：1．10．执行如图所示的程序框图，输出的a值为﹣．【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，发现a值的周期为4，再根据条件确定跳出循环的i值，从而可得输出的a值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环a==﹣2，i=2；第二次循环a==﹣，i=3；第三次循环a==，i=4；第四次循环a==3，i=5；第五次循环a==﹣2，i=6；…∴a值的周期为4，又跳出循环的i值为11，∴输出的a=﹣．故答案为：﹣．11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，主视图和左视图都是腰长为1的等腰直角三角形，那么，这个三棱锥的表面积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该三棱锥为P﹣ABC，满足PD⊥底面BAC，D 为点P在底面ABC的射影，四边形ABCD是边长为1的正方形，PD=1，即可得出．【解答】解：如图所示，该三棱锥为P﹣ABC，满足PD⊥底面BAC，D为点P在底面ABC的射影，四边形ABCD是边长为1的正方形，PD=1，这个三棱锥的表面积S=+++=．故答案为：．12．a＞0，b＞0，a+b=1，则+的最小值为5+2．【考点】基本不等式．【分析】根据基本不等式即可求出最小值．【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴+=（a+b）（+）=2+3++≥5+2=5+2，当且仅当a=，b=时取等号，∴则+的最小值为5+2，故答案为：5+2，13．如图，四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为1，记四面体ABCD的体积为F（x），则函数F（x）的单调增区间是，；最大值为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】如图所示，设BC=x，AB=AC=AD=CD=BD=1．取AD的中点O，连接OB，OC，则OB⊥AD，OC⊥AD，OB=OC=．又OB∩OC=O，则AD⊥平面OBC．取BC的中点E，连接OE，则OE ⊥BC，可得OE，可得F（x）==（0＜x＜）．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：如图所示，设BC=x，AB=AC=AD=CD=BD=1．取AD的中点O，连接OB，OC，则OB⊥AD，OC⊥AD，OB=OC=．又OB∩OC=O，则AD⊥平面OBC，取BC的中点E，连接OE，则OE⊥BC，OE==．∴S△OBC==．∴F（x）==×1=（0＜x＜）．F′（x）=，令F′（x）≥0，解得，此时函数F（x）单调递增；令F′（x）＜0，解得，此时函数F（x）单调递减法．因此当x=时，F（x）取得最大值，==．故答案分别为：，．14．在数列{a n}中，若a n2﹣a n﹣12=p（n≥2，n∈N×，p为常数），则称{a n}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；①若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等差数列；②{（﹣1）n}是等方差数列；③若{a n}是等方差数列，则{a kn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列；④若{a n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．其中正确命题序号为①②③④．（将所有正确的命题序号填在横线上）【考点】等差数列的性质．【分析】根据等差数列的性质及题中的等方差数列的新定义，即可判断出正确的答案．【解答】解：①因为{a n}是等方差数列，所以a n2﹣a n﹣12=p（n≥2，n ∈N×，p为常数）成立，得到{a n2}为首项是a12，公差为p的等差数列；②因为a n2﹣a n﹣12=（﹣1）2n﹣（﹣1）2n﹣1=1﹣（﹣1）=2，所以数列{（﹣1）n}是等方差数列；③数列{a n}中的项列举出来是：a1，a2，…，a k，a k+1，a k+2，…，a2k，…，a3k，…数列{a kn}中的项列举出来是：a k，a2k，a3k，…因为a k+12﹣a k2=a k+22﹣a k+12=a k+32﹣a k+22=…=a2k2﹣a k2=p所以（a k+12﹣a k2）+（a k+22﹣a k+12）+（a k+32﹣a k+22）+…+（a2k2﹣a2k﹣12）=a2k2﹣a k2=kp，类似地有a kn2﹣a kn﹣12=a kn﹣12﹣a kn﹣22=…=a kn+32﹣a kn+22=a kn+22﹣a kn+12=a kn+12﹣a kn2=p同上连加可得a kn+12﹣a kn2=kp，所以，数列{a kn}是等方差数列；④{a n}既是等方差数列，又是等差数列，所以a n2﹣a n﹣12=p，且a n﹣a n﹣1=d（d≠0），所以a n+a n﹣1=，联立解得a n=+，所以{a n}为常数列，当d=0时，显然{a n}为常数列，所以该数列为常数列．综上，正确答案的序号为：①②③④故答案为：①②③④三、解答题（本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知p：＞1，q：∃x∈R，ax2+ax﹣1≥0，r：（a﹣m）（a﹣m﹣1）＞0．（1）若p∧q为真，求实数a的取值范围；（2）若￢p是￢r的必要不充分条件，求m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【分析】分别求出p，q，r为真时的a的范围，（1）p∧q为真，则p，q均为真，得到关于a的不等式组，解出即可；（2）问题转化为r是p的必要不充分条件，得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：（1）p为真时：由＞1解得﹣2＜a＜1，q为真时，当a＞0，一定存在ax2+ax﹣1≥0，当a＜0，△=a2+4a≥0，解得a≤﹣4，故q为真时，实数a的取值范围为a＞0或a≤﹣4，∵p∧q为真，则p，q均为真，∴a的取值范围为（0，1）；（2）关于r：（a﹣m）（a﹣m﹣1）＞0，解得：a＞m+1或a＜m，若￢p是￢r的必要不充分条件，即r是p的必要不充分条件，即p⇒r，∴m+1≤﹣2或m＞1，即m≤﹣3或m＞1，。
2020-2021学年度下期高一期末数学模拟试卷2
装订线内禁止答题装订线内禁止答题学校：班级：姓名：考号/座号：装订线2020-2021学年度下期高一期末模拟试卷2数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1．设a b>，c d>，则下列不等式恒成立的是()A．a c b d->-B．ac bd>C．a dc b>D．b d a c+<+2．cos15cos75(︒⋅︒=)A．32B．12C．34D．143．设等比数列{}na的公比2q=，前n项和为nS，则42(Sa=)A．2B．4C．152D．1724．某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．8B．10C．12D．245．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的()A．若αβ⊥，βγ⊥，则αγ⊥B．若//αβ，mβ⊂/，//mα，则//mβC．若αβ⊥，mα⊥，则//mβD．若//mα，//nβ，αβ⊥，则m n⊥6．阿基米德（公元前287年-公元前212年）伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形；在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上、下底面相切，则在该几何体中，图柱的体积与球的体积之比为()A．32B．43C．23或32D．237．已知0a>，0b>，且1a b+=，则11a b+的最小值是()A．2B．22C．4D．88．已知25cos5α=，则44cos sin(αα-=)A．35B．45C．1225D．1225-9．已知等差数列{}na的前n项和为nS，19a=，95495S S-=-，则nS取最大值时的n为()A．4B．5C．6D．4或510．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为()A．AC BD⊥B．//AC截面PQMNC．AC BD=D．异面直线PM与BD所成的角为45︒11．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC∆中，512BCAC-=．根据这些信息，可得sin234(︒=)A．1254-B．358+-C．514+-D．458+-12．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D-中，E为棱1AA的上的一点，且122A E EA==，M为侧面11ABB A上的动点．若1//C M面1ECD，动点M形成的图形为线段PQ，则三棱锥11B PQC-的外接球的表面积是()A．27πB．11πC．14πD．17π二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．不等式(9)0x x->的解集是．14．在ABC∆中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若ABC∆的面积2223()12a b c+-，则C的大小为．15．如图所示，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-中，点P，Q，R分别是11AC，1BC，1A B的中点，则锥体1B PQR-的体积为．16．在下列所给的结论中：①在ABC∆中，若sin2sin2A B=，则ABC∆是等腰三角形；②在ABC∆中，角A、B、C均不等于2π，则tan tan tan tan tan tanA B C A B C++=；③等比数列{}na的前n项和3nnS m=+，m为常数，则1m=-；④如果锐角α、β、γ满足222cos cos cos1αβγ++=，那么tan tan tanαβγ的最小值为22．第1页,共8页第2页,共8页装订线内禁止答题装订线内禁止答题装订线第3页,共8页 第4页,共8页其中正确命题的序号为 ．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答直写出文字说明、证明过程成演算步骤． 17．（10分）已知数列{}n a 是各项均不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，59a =，636S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和．18．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝2a n +1； （1）设b n ＝a n +1，求证：数列{b n }是等比数列； （2）求数列{a n }的通项公式；（3）设c n ＝na n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．19．（12分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90BAD ∠=︒，22CD AB AD ==，侧面PAD 是正三角形且垂直于面ABCD ，E 是PC 中点． （1）求证：//BE 面PAD ； （2）求证：BE ⊥平面PCD ．20．（12分）设函数2()1f x mx mx =--．（1）若对于一切的实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围； （2）设0m >，则关于x 的不等式()2f x x <-．21．（12分）已知ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足sin sin 2cos cos sin cos B C B CA A+--=． （1）证明：b ，a ，c 成等差数列；（2）如图，若b c =，点O 是ABC ∆外一点，设(0)AOB θθπ∠=<<，22OA OB ==，求平面四边形OACB 面积的最大值．22．（12分）已知α是锐角，tan 21α=-，函数2()tan 2sin(2)4f x x x παα=++，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2()n S f n =．数列{}n b 是等比数列，11b =，523a b -=． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n nab 的前n 项和为n T ，若n T M 对一切的正整数n 都成立，求M 的最小值；（3）设数列{}n c 满足32n a n n c b λ=-，且{}n c 是递增数列，求实数λ的取值范围．装订线内禁止答题装订线内禁止答题学校：班级：姓名：考号/座号：装订线川绵外2020-2021学年度下期高一期末模拟试卷2参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：a b>，c d>∴设1a=，1b=-，2c=-，5d=-选项A，1(2)1(5)-->---，不成立选项B，1(2)(1)(5)⨯->-⨯-，不成立取选项C，1125->--，不成立故选：D．2．【解答】解：111cos15cos75cos15sin152cos15sin15sin30224︒⋅︒=︒⋅︒=⨯︒⋅︒=︒=．故选：D．3．【解答】解：由于2q=，∴4141(12)1512aS a-==-∴4121151522S aa a==；故选：C．4．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其直观图如下图所示：底面边长为4AB=，3BC=，高14AA=的长方体1111ABCD A B C D-中：该几何体为图中的四面体1A ABC-，体积11434832V=⨯⨯⨯⨯=；故选：A．5．【解答】解：A中α与γ可以平行，也可以相交，C中可能有mβ⊂，D中m与n可以平行、相交或异面．故选：B．6．【解答】解：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上，下底面相切，设球的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r，∴圆柱的体积为：2322V sh r r rππ===，球的体积为：343V rπ=，∴图柱的体积与球的体积之比为3323423rrππ=．故选：A．7．【解答】解：1a b+=∴11(a b+=11)()2224b aa ba b a b++=+++=故最小值为：4故选：C．8．【解答】解：25cos5α=，442222cos sin(cos sin)(cos sin)αααααα∴-=+-2222253cos sin cos22cos12()155αααα=-==-=⨯-=．故选：A．9．【解答】解：等差数列{}na的前n项和为nS，∴112nS na dn-=+为等差数列，设公差为2d，首项为1a．19a=，95495S S-=-，442d∴-=⨯，解得2d=-．则22(1)9210(5)252nn nS n n n n-=-⨯=-+=--+，∴当5n=时，nS取得最大值．故选：B．10．【解答】解：因为截面PQMN是正方形，所以//PQ MN、//QM PN，则//PQ平面ACD、//QM平面BDA，所以//PQ AC，//QM BD，由PQ QM⊥可得AC BD⊥，故A正确；由//PQ AC可得//AC截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，故D正确；//BD PN，//PQ AC．∴PN ANBD AD=，MN DNAC AD=，而当AN DN≠时，由PN MN=，知BD AC≠，故C错误．故选：C．11．【解答】解：由图可知，72ACB∠=︒，且1512cos724BCAC-︒==．251cos14427214cos+∴︒=︒-=-．则51sin234sin(14490)cos1444+︒=︒+︒=︒=-．故选：C．12．【解答】解：若1//C M面1ECD，则P、Q分别满足122B Q QB==，1122B P PA==．理由如下：连接1C Q、1C P，122A E EA==，122B Q QB==，11//C D EQ∴，11C D EQ=，∴四边形11C D EQ为平行四边形，11//C QD E∴．122B Q QB==，1122B P PA==11////PQ A B D C∴．又1C Q PQ Q=，111D E D C D=，1C Q、PQ⊂平面1C PQ，1D E、1D C⊂平面1ECD，∴平面1//C PQ平面1ECD，1C M⊂平面1C PQ，1//C M∴面1ECD．以1B为顶点，12B P=、12B Q=、113B C=分别为长、宽、高构造一个长方体，则该长方体的体对角线为三棱锥11B PQC-外接球的直径，2222322R∴=++，其中R为外接球的半径，172R∴=，∴外接球的表面积2417S Rππ==．故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．【解答】解：不等式(9)0x x->可化为(9)0x x-<，解得09x<<，∴该不等式的解集是(0,9)．故答案为：(0,9)．14．【解答】解：ABC∆中，1sin2S ab C=，2222cosa b c ab C+-=，且2223()12S a b c=+-，∴13sin2cos212ab C ab C=⨯，整理得：3sin cosC C=，3tan3C∴=，由(0,180)C∈︒︒，∴可得：30C=︒．故答案为：30︒．15．【解答】解：如图，正方体1111ABCD A B C D-的棱长为1，∴△11A BC是边长为2的等边三角形，∴1113322222A BCS=⨯⨯⨯=．P，Q，R分别是11AC，1BC，1A B的中点，∴1111334428PQR A BCS S∆==⨯=．设1B到平面11A BC的距离为h，由111111B A BC B A B CV V--=，得13111113232h⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，即33h=．∴锥体1B PQR-的体积为133138324V=⨯⨯=．故答案为：124．16．【解答】解：①在ABC∆中，若sin2sin2A B=，则22A B=或22A Bπ+=，A B∴=或2A Bπ+=，则ABC∆为等腰或直角三角形，故①错误；②A、B、C均不为直角，且A B Cπ++=，∴任意两角和不为2π，由两角和的正切公式可得tan tantan()1tan tanA BA BA B++=-，tan tan tan()(1tan tan)A B A B A B∴+=+-tan()(1tan tan)tan(1tan tan)C A B C A Bπ=--=--tan tan tan tan(1tan tan)tan tan tan tanA B C C A B C A B C∴++=--+=，故②正确；③等比数列{}na的前n项和3nnS m=+，则113a S m==+，当2n时，1113323n n nn n na S S m m---=-=+--=⋅，由013232a m=+=⋅=，的1m=-，故③正确；④由222cos cos cos1αβγ++=，联想到锐角α、β、γ是长方体的对角线与过一个顶点的三条棱所成角，第5页,共8页第6页,共8页装订线内禁止答题装订线内禁止答题装订线第7页,共8页 第8页,共8页记该长方体过一个顶点的三条棱长分别为a 、b 、c ，则222222222tan tan tan 22b c a c a b bc ac aba b c a b cαβγ+++=⋅⋅⋅⋅=，当且仅当a b c ==时，等号成立．tan tan tan αβγ∴的最小值为22，故④正确．∴正确的命题是②③④．故答案为：②③④． 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答直写出文字说明、证明过程成演算步骤．17．【解答】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题设知：1149656362a d da +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解之得：11a =，2d =， 12(1)21n a n n ∴=+-=-；（2）由（1）知：21n a n =-，111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +∴===--+-+，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则111111111()(1)21335212122121n nT n n n n =-+-+⋯+-=-=-+++． 故数列{}n b 的前n 项和为21nn +．18．【解答】解：（1）证明：a n +1＝2a n +1，可得a n +1+1＝2（a n +1）， 即有b n +1＝2b n ，则数列{b n }是首项为a 1+1＝2，公比为2的等比数列； （2）由等比数列的通项公式可得，b n ＝2•2n ﹣1＝2n ，即有a n ＝2n ﹣1；（3）c n ＝na n ＝n •2n ﹣n ，令S n ＝1•2+2•22+3•23+…+n •2n ，①2S n ＝1•22+2•23+3•24+…+n •2n +1，② ①﹣②可得，﹣S n ＝2+22+23+ (2)﹣n •2n +1＝﹣n •2n +1，即有S n ＝（n ﹣1）•2n +1+2， 则前n 项和T n ＝（n ﹣1）•2n +1+2﹣．19．【解答】证明：（1）取PD 的中点F ，连接AF 、EF ，E 是PC 中点，//EF CD ∴，12EF CD =，//AB CD ，2CD AB =，//EF AB ∴，EF AB =， ∴四边形ABEF 是平行四边形， //BE AF ∴， 又BE ⊂/平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，//BE ∴面PAD ．（2）面PAD ⊥面ABCD ，面PAD ⋂面ABCD AD =，CD AD ⊥，CD ∴⊥面PAD ， AF ⊂平面PAD ，CD AF ∴⊥，等边三角形PAD ，F 为PD 的中点，AF PD ∴⊥，又CD PD D =，CD 、PD ⊂平面PCD ，AF ∴⊥平面PCD ，//AF BE ，BE ∴⊥平面PCD ． 20．【解答】解：（1）要使210mx mx --<恒成立，当0m =时，不等式化为10-<，显然满足题意，故0m =符合题意；当0m ≠时，只需2()40m m m <⎧⎨-+<⎩成立，解得40m -<<． 综上可知，m 的取值范围是(4-，0]．（2）原不等式可化为：2(1)10mx m x -++<，0m >．即1()(1)0m x m m--<，当01m <<时，11m >，原不等式的解为：11x m <<；当1m =时，11m =，原不等式无解；当1m >时，11m <，原不等式的解为：11x m<<．综上可知：当01m <<时，原不等式的解集为1{|1}x x m <<；当1m =时，原不等式的解集为Φ；当1m >时，原不等式的解集为1{|1}x x m<<．21．【解答】（1）证明：由sin sin 2cos cos sin cos B C B CA A+--=． 可得：sin cos sin cos 2sin sin cos cos sin B A C A A A B C A +=-- 即sin cos sin cos sin cos cos sin 2sin A B B A C A C A A +++=sin()sin()2sin A B A C A ∴+++=A B C π++=sin sin 2sin C B A ∴+= 由正弦定理：2b c a +=，故得b ，a ，c 成等差数列；（2）解：由（1）可知2b c a +=，b c =，则a b c ==．ABC ∴∆是等边三角形．由题意(0)AOB θθπ∠=<<，22OA OB ==，则112sin 2AOB S θ=⨯⨯⨯．余弦定理可得：22cos 54cos c AO OB AO BO θθ=+-=-则21333(54cos )2244ABC S c c c θ=⨯⨯==-．故四边形OACB 面积5353sin 3cos 2sin()434S πθθθ=-+=-+．0θπ<<，∴2333πππθ-<-<，∴当32ππθ-=时，S 取得最大值为53853244++=故平面四边形OACB 面积的最大值为8534+． 22．【解答】解：（1）α是锐角，tan 21α=-，22(21)tan 211(21)α-∴==--，24πα=，sin(2)14πα+=，2()f x x x ∴=+，22()n S f n n n ==+，22n n nS +∴=．∴①当1n =时，111a S ==，②当2n 时，221(1)(1)22n n n n n n n a S S n -+-+-=-=-=，综合①②得：n a n =．设数列{}n b 的公比为q ，11b =，523a b -=，253532b a q ∴=-=-==，12n n b -∴=，n a n ∴=，12n n b -=；（2）由（1）可得12n n n a n b -=，又01211111()2()3()2222n n nT -=⨯+⨯+⨯+⋯+，12111111()2()(1)()22222n n n n T n -=⨯+⨯+⋯+-+， 两式相减得：123111()11111121()()()()2(2)()12222222212nn n n n n n n T n --=++++⋯+-=-=-+-，1242n n n T -+∴=-， n T 随n 的增大而增大，且4n T <，4min M ∴=；（3）由（1）可得：132232n n n n n c λλ-=-=-，{}n c 是递增数列，11132322320n n n n n n n n c c λλλ+++∴-=--+=⨯->，32()2n λ∴<⨯，又33(2())2322n min ⨯=⨯=，3λ∴<．。
2020学年高一数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题(A卷02)江苏版
2020学年高一数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题（A 卷02）江苏版一、填空题1．已知tan 2α=-， ()1tan 7αβ+=，则tan β的值为 ． 【答案】3【解析】试题分析： ()()()()12tan tan 7tan tan 311tan tan 127αβαβαβααβα++-=+-===+++⨯-考点：两角和差的正切公式2．如图，设A ， B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ， 45ACB ∠=︒， 105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ， B 两点的距离为__________．【答案】502【解析】由正弦定理得()50sin45502sin 18010545=--oo o o3．在△ABC 中，若a ＝，b ＝，A ＝120°，则B 的大小为______．【答案】45° 【解析】由正弦定理得，又，即，所以．4．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，且数列{}nS 也为等差数列，则11a=________．【答案】63【解析】由题意得21322233333S S S d d =+∴⨯+=+⨯+21112360,6,31063.d d d a d ∴-+===+=5．设数列{}ln n a 是公差为1的等差数列，其前n 项和为n S ，且11S =55 则2a 的值为________． 【答案】e【解析】111115511ln11101ln02S a a==+⨯⨯⨯∴=Q所以22ln1,.a a e==6．设等差数列{}n a的公差为d，若1234567,,,,,,a a a a a a a的方差为1，则d=________．【答案】12±7．若正实数a，b，c满足()a abc bc++=，则ab c+的最大值为____．【答案】212-【解析】a(a+b+c)=bc，∴a2+(b+c)a−bc=0，∴a为方程x2+(b+c)x−bc=0的正根，∴()()24b c b c bca-++++=，则：()()()2411411421112222422b c b c bcab cc b-++++-=-+++≤-++=++，当且仅当b=c时取等号，即ab c+的最大值为212-.点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．8．若实数满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】可行域如图,则直线过点A(2,2)时取最大值8,过点B(0,2)时取最小值2点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 9．若函数y ＝x ＋，x ∈(－2，＋∞)，则该函数的最小值为______．【答案】4 【解析】时，，在上是减函数，在上是增函数，因此时，．10．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列四个结论中正确的序号．．为__________． ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 【答案】③11．在正方体1111ABCD A B C D -中，与1A C 垂直的面对角线的条数是___________． 【答案】6【解析】由1,BD AC BD AA ⊥⊥ 可得BD ⊥平面1A CA ，从而可得1A C BD ⊥ ，同理可证与1A C 垂直的面对角线还有有1111,,,,BD BC AD AB DC ，因此1A C 垂直的面对角线的条数是6，故答案为6 . 12．已知圆的方程为22680x y x y +--=，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为__________． 【答案】20613．过圆上一点作圆的切线，则切线方程为__________．【答案】【解析】因为,所以切线斜率为方程为,即14．已知圆C 经过点()0,6A -， ()1,5B -，且圆心在直线:10l x y -+=上，则圆C 的标准方程为 __________．【答案】()()223225x y +++= 【解析】由题意可得AB 的中点坐标为111,22⎛⎫-⎪⎝⎭， ()()56110AB k ---==-，故其中垂线的方程为11122y x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭即50x y ++=，联立50{ 10x y x y ++=-+=得3{ 2x y =-=-，故圆心()3,2--，半径()()2231215r =--+--=，即圆方程为()()223225x y +++=，故答案为()()223225x y +++=.点睛：本题主要考查了圆的方程的求法，解答有关圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，关键是确定圆心的坐标，常见的确定圆心的方法有：1、圆心在过切点且与切线垂直的直线上；2、圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；3、两圆相切时，切点与两圆圆心共线. 二、解答题 15．已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）利用两角差的正弦公式可求值；（2）先求出，再由正切的二倍角公式可得．16．在中，角所对的边分别为，且．（1）求的值；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由余弦定理得，代入即得的值；（2）由正弦定理得，代入即得．试题解析：（1）由余弦定理得，所以．（2）由正弦定理得，所以．点睛：1．选用正弦定理或余弦定理的原则在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．17．设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S，已知35S a =， 525S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若p ， q 为互不相等的正整数，且等差数列{}n b 满足p a b p =， qa b q =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =-（2）234n n nT +=试题解析：解：（1）由已知，得11133451025a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩，， 解得11,2.a d =⎧⎨=⎩∴21n a n =-．（2）p ， q 为正整数， 由（1）得21p a p =-， 21q a q =-． 进一步由已知，得21p b p -=， 21q b q -=． ∵{}n b 是等差数列， p q ≠，∴{}n b 的公差1222q p d q p -'-==．由()21122b b b p d p -=+'-=，得11b =．∴()211324nn n n nT nb d'-+=+=．18．已知函数．（1）若的解集为，求的值；（2）当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，解关于的不等式（结果用表示）．【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】试题分析：（1）根据不等式解集与方程根的关系得的两个根为-1和3，再根据韦达定理可得．（2）一元二次方程恒成立，得，解得实数的取值范围；（3）当时，先因式分解得，再根据a与1的大小分类讨论不等式解集（2）当时，，因为对任意恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是．（3）当时，即，所以，当时，；当时，；当时，．综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．19．(2020·江苏高考)如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明EF AB P ，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC ⊥平面ABD ，则BC ⊥ AD ，再由AB ⊥AD 及线面垂直判定定理得AD ⊥平面ABC ，即可得AD ⊥AC ．试题解析：证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ， EF AD ⊥，所以EF AB P .又因为EF ⊄平面ABC ， AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .所以AD ⊥平面ABC ， 又因为AC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥AC.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．20．已知直线x－2y＋2＝0与圆C：x2＋y2－4y＋m＝0相交，截得的弦长为.(1) 求圆C的方程；(2) 过原点O作圆C的两条切线，与抛物线y＝x2相交于M，N两点(异于原点)．求证：直线MN与圆C相切．【答案】(1) x2＋(y－2)2＝1.(2) 见解析.【解析】试题分析：(1)利用弦长公式求得r=1，则圆的方程为x2＋(y－2)2＝1(2)利用题意求得圆心到直线的距离等于半径，则直线与圆相切.试题解析：(1) 解：∵ C(0，2)，∴ 圆心C到直线x－2y＋2＝0的距离为d＝＝.∵ 截得的弦长为，∴ r2＝＋＝1，∴ 圆C的方程为x2＋(y－2)2＝1.。
2020年高一数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题1(A卷02)
2017-2018学年下学期期末复习备考之精准复习模拟题高一数学（A 卷02）第I 卷（选择题）一、选择题（每小题5分，共60分）1．若向量()()2,0,1,1a b ==，则下列结论正确的是A. 1a b ⋅=B. a b =C. a ∥bD. ()a b b -⊥ 【答案】D【解析】()1,1a b -=-，所以()·0a b b -=，所以()a b b -⊥，选D. 2．函数y =cos(2x －)在区间[－，π]上的简图是A. B.C. D.【答案】D3．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】C【解析】依次为8N = , 7,6,2N N N ===，输出2N = ，选C. 【考点】 程序框图【名师点睛】识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．4．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从第1行的第5列和第6列数字开始由左往右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）A. 01B. 02C. 14D. 19 【答案】A【解析】从随机数表第一行的第五列和第六列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于的和编号依次为，，，，，，其中第三个和第五个都是，重复。
可知对应的数值为，，，，，则第五个个体的编号为. 故选A.5．从含有3件次品， 97件正品的100件产品中任取2件，观察正品件数和次品件数，则下列每对事件中是互斥事件但不是对立事件的是（ ）A. 至少有1件次品和至少有1件正品B. 至少有1件次品和全是次品C. 至少有1件次品和全是正品D. 恰好有1件次品和恰好有2件次品 【答案】D6．若函数f(x)=asinx+bcosx 在x=处取得最大值4,则= A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】B【解析】对于函数f(x)有解得a=2,b=2,所以=,故选B.7．已知ABC ∆的边BC 上有一点D 满足3BD DC =，则AD 可表示为（ ）A. 3144AD AB AC =+B. 1344AD AB AC =+ C. 23AD AB AC =-+ D. 2133AD AB AC =+【答案】B【解析】由3BD DC =，则()1144AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+- 3144AB AC =+，故选B.8．为了得到函数的图象，可将的图象A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度 【答案】D【解析】分析：首先利用辅助角公式化简，然后根据平移公式，判断平移方向和平移单位量.详解：，，根据左加右减的原则可知，应向右平移个单位，故选D.点睛：本题需注意平移前后的解析式，，这种类型的平移量，需要提出，平移量为个单位.9．点在边长为2的正方形内运动，则动点到定点的距离的概率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：本题考査的知识点是几何概型，我们要根据已知条件，求出满足条件的正方形的面积及动点动点到定点的距离对应平面区域的面积，代入几何概型计算公式，结合对立事件的概率公式即可求出答案.点睛：对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．10．阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为（）A. 3k ≤B. 4k ≤C. 5k ≤D. 6k ≤ 【答案】B【解析】试题分析：第一次循环， 211,2S k ===；第二次循环， 22126,3S k =⨯+==；第三次循环，226321,4S k =⨯+==；第四次循环， 2221458,5S k =⨯+==,最后输出的数据为58,所以判断框中应填入4k ≤,选B. 考点：程序框图.11．对具有线性相关关系的变量x ，y ，测得一组数据如下根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+，据此模型预测当x=10时，y 的估计值为（ ）A. 105.5B. 106C. 106.5D. 107 【答案】C【解析】根据表中数据,计算，，代入回归直线方程=10.5x+中， 计算， ∴回归直线方程为=10.5x+；当x =10时，y 的估计值为=10.5×10+1.5=106.5. 故选：C.12．已知，若，则等于（ ）A. B. C. D.【答案】A点睛：此题主要考查向量垂直关系的坐标表示，三角函数中诱导公式、两角和正弦公式在解决三角函数值中的应用，属于中档题型，是常规考点.三角函数和平面向量这两部分内容是解决数学问题的重要工具，不仅是这两部分内容相互渗透，也和其他数学分支进行融合，因而这两部分内容的基础、工具性显得非常重要.第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共20分）13．如图，在矩形ABCD 中，已知3,2AB AD ==，且1,2BE EC DF FC ==，则AE BF ⋅=__________.【答案】-4【解析】由题意得12,23AE AB BE AB AD BF BC CF AB AD =+=+=+=-+， ∴221222123332AE BF AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2194432=-⨯+⨯=-答案： 4-14．随意安排甲、乙、丙三人在3天节假日中值班,每人值班1天,甲排在乙之前的概率是_____.【答案】1 2【解析】安排甲、乙、丙三人在3天中值班,每人值1天,故甲在乙之前和乙在甲之前的机会相等,所以概率为12.15．一名篮球运动员在最近6场比赛中所得分数的茎叶图如图所示，由于疏忽，茎叶图中的两个数据上出现了污点，导致这两个数字无法辨认，但统计员记得除掉污点2处的数字不影响整体中位数，且这六个数据的平均数为17，则污点1，2处的数字之和为。
2020学年高一数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题2A卷022020071301199
2020 学年放学期期末复习备考之精确复习模拟试题高一数学（ A卷 02）第 I 卷（选择题）一、选择题（每题 5 分，共 60 分）1．整体由编号为01,02 ，， 19,20 的 20 个个体构成 . 利用下边的随机数表选用 5 个个体，选用方法是从第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左往右挨次选用两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为（）A. 01B. 02C. 14D. 19【答案】 A2．阅读下边的程序框图，运转相应的程序，若输入N 的值为19，则输出 N 的值为（）A.0B.1C.2D.3【答案】 C【分析】挨次为N 8,N 7,N 6,N 2，输出N 2 ，选C.【考点】程序框图【名师点睛】辨别算法框图和完美算法框图是近来几年高考的要点和热门．解决这种问题：第一，要明确算法框图中的次序构造、条件构造和循环构造；第二，要辨别运转算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，达成解答．近来几年框图问题考察很活，常把框图的考察与函数和数列等知识考察相联合．3．若a b ，则以下结论必定正确的选项是( )A. 11 B. 1 1 C.a3 b3 D. a2 b2a b a b【答案】 C点睛：实数的大小比较经常转变为对它们差( 简称作差法 ) 的符号的判断，当分析式里面含有字母经常需分类议论，有时也可依据函数的性质进行比较．4．从含有3件次品，97 件正品的 100 件产品中任取 2 件，察看正品件数和次品件数，则以下每对事件中是互斥事件但不是对峙事件的是（）A.起码有1件次品和起码有1件正品B.起码有1件次品和全部是次品C. 起码有1件次品和全部是正品D.恰巧有1件次品和恰巧有 2 件次品【答案】 D【分析】对于 A 项．起码有 1 件正品和起码有 1 件次品能同时发生，二者不是互斥事件；对于 B 项．起码有1件次品和全部是次品能同时发生，二者不是互斥事件；对于 C 项．起码有 1件次品和全部是正品不可以同时发生，且起码一个发生，∴二者是对峙事件；对于 D 项．恰巧有1件次品和恰巧有 2 件次品不可以同时发生，但能同时不发生，∴二者是互斥事件但不是对峙事件，应选 D ．5．《算法统宗》是中国古代数学名著，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不犯难，次日脚痛减一半，六朝才获取其关，要见次日行里数，请公认真算相还, ”题目粗心为：“有一个人走378 里路，第一天健步行走，从次日起脚痛走的行程为前一天的一半，走了 6 天抵达目的地。
2020学年高一数学下学期期末统考模拟试题(2)新版 人教版
2019学年高一数学下学期期末统考模拟试题（2）一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分． 1、不等式1203xx -≥+的解集是 2、在ABC ∆中，已知====b c a A ，则，6,245 ___________3、等比数列{}n a 的公比为正数，已知23954a a a ⋅=，22a =，则1a =4、已知直线x ＋a 2y －a ＝0(a ＞0，a 是常数)，则当此直线在x ，y 轴上的截距和最小时，a 的值是5、已知正四棱锥的底面边长是2，这个正四棱锥的侧面积为16，则该正四棱锥的体积为 .6、已知实数x y ，满足约束条件 13230x x y x y ⎧⎪+⎨⎪--⎩≥≤≤ 若z ax y =+取得最小值时的最优解有无数个， 则a = ．7、直线 01=-+by ax的倾斜角是直线40x +=的倾斜角的2倍，且它在y 轴上的截距是1，则=a ．8、已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若371517233a a a a ++-=，则17S =9、(原创)设{}n a 是公比为q 的正项等比数列，令*∈+=N n a b n n ，2log 1，若数列{}n b 有连续四项在集合11,13}{7,9,10，中，则=q10、设集合A=()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=--R y x x y y x ,213|,，，B (){}R y x ay x y x ∈=--,0164|,， ，若=⋂B A ，a =11、已知向量a ＝(x,2)，b ＝(1，y )，其中x ≥0，y ≥0.若a ·b ≤4，则y －x 的取值范围为________ 12、（改编）已知实数y x ,满足)11(322≤≤-+-=x x x y ，则23++x y 的取值范围为 13.对直线n m l ,,与平面α，下列说法：①若,α⊥l 则l 与α相交；②若n l m l n m ⊥⊥⊂⊂,,,αα，则α⊥l ；③若αα⊥⊥n m m l ,,//，则n l //；④若αα⊂n m ,//，则n m //；⑤若α⊂n n m ,//，则α//m .其中正确的有 （将所有正确的序号都填上）.14．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数．若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 等于 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分)在ΔABC 中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. 若B A sin sin 4－2cos 42BA -22-=. （1）求角C 的大小； （2）已知4sin sin =ABa ，ΔABC 的面积为8. 求边长c 的值.16、(本小题满分14分)如图，四棱锥的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，M 是AD 中点，N 是PC 中点，（1）求证：//MN 面PAB ；（2）若面PMC ⊥面PAD ，求证：CM AD ⊥．D17(本小题满分14分)已知ABC ∆的三个顶点的坐标为(1,1),(3,2),(5,4)A B C ． （1）求边AB 上的高所在直线的方程；（2）若直线l 与AC 平行，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 与两条坐标轴围成的三角形的周长．18、(本小题满分16分)某隧道长2150m ，通过隧道18、(本小题满分15分)的车速不能超过20m/s 。
北京市2020〖人教版〗高一数学下册期末复习试卷第二学期高一测试数学模拟试题
北京市2020年〖人教版〗高一数学下册期末复习试卷第二学期高一测试数学模拟试题一、选择题：（本大题共10小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．每小题5分，共计50分） 1. 如果角θ的终边经过点)21,23(-，则=θcos （ ） A.21B. 23-C. 3D. 33- 2.已知集合()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k M ,42παα，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k N ,8παα，则下列正确的是（ ） A ．N M = B ．N M ⊆ C ．N M ⊇ D ．∅=N M3.若(0,)2πα∈，4cos()25πα+=-，则3sin()2πα-的值是（ ） A .45-B .45C .35-D .354.已知点(314)A -，，，则点A 关于y 轴的对称点的坐标为（ ） A.()3,1,4-- B.()4,1,3- C.()3,1,4- D.()3,1,4-5.已知扇形面积为83π，半径是1，则扇形的圆心角是（ ） A.43π B.83π C.163π D.23π6.两圆229x y +=和228690x y x y +-++=的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相交 C ．内切 D ．外切 7. 已知1cos sin -=+x x ,则x x 20122012cos sin+的值为（ ）A.0B.-1C.1D.± 1高一数学试题 第1页（共4页）8.对于α∈R ，下列等式中恒成立的是（ ） A ．cos()cos αα-=- B ．sin()sin αα-=-C ．sin()sin παα+=D ．cos()cos παα+=9..点P(x ,y)在直线x +y-4=0上，O 是坐标原点，则│OP │的最小值是（ ） A ．7 B. 6 C.2 2 D. 510.定义新运算“&”与“*”：1&y x y x -=，(1)log x x y y -*=，则函数(&3)1()32xx f x +=* 是（ ）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．化简：11()(1cos )sin tan ααα+-=． 12.两平行直线1l ：3x+4y-2=0与2l ：6x+8y-5=0之间的距离为 13.关于x 的方程11()21lg xa=-有正根，则实数a 的取值范围是14.()y f x =为R 上的偶函数，且满足()()44f x f x +=-，()63f =，sin 2cos αα=，则()22012sin sin cos f ααα+⋅=三、解答题（共6个小题，共80分） 15.（本题满分13分）已知α为第三象限角，()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=----． （１）化简()fα（２）若31cos()25πα-=，求()f α的值 高一数学试题 第2页（共4页）16.（本小题满分13分）已知a ∈R , 函数()()11,0,11,0.x f x xa x x ⎧->⎪=⎨⎪-+≤⎩(1) 求()1f 的值；(2) 证明: 函数()f x 在()0,+∞上单调递增； (3) 求函数()f x 的零点.117.（本小题满分14分）如图，已知四棱柱1111D C B A ABCD -的俯视图是边长为3的正方形，侧 视图是长为3宽为3的矩形． ⑴求该四棱柱的体积；⑵取1DD 的中点E ，证明：面⊥BCE 面11A ADD ．18.满分13分）1)2(:=-+y x M ,Q 是x 轴上的动点,QA 、QB 分别切圆M 于B A ,两点(1)若点Q 的坐标为（1，0），求切线QA 、QB 的方程； (2)求四边形QAMB 的面积的最小值；(3)若||AB =，求直线MQ 的方程. 高一数学试题 第3页（共4页）19.(本小题满分14分)已知圆O:122=+y x 和定点()2,1A ，由圆O 外一点(),P a b 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足PQ PA =. （1）求实数a b 、间满足的等量关系； （2）求线段PQ 长的最小值；（3）若以P 为圆心所作的圆P 与圆0有公共点， 试求半径取最小值时圆P 的方程. 20.(本题满分14分) 已知函数()log ()log ()f x x x 22=1--1+.(1)求函数()f x 的定义域； (2)判断()f x的奇偶性；(3)方程()f x x =+1是否有根?如果有根x 0，请求出一个长度为14的区间(),a b ，使1x 0∈(),a b ；如果没有，请说明理由?(注：区间的长度为b a -).高一数学试题 第4页（共4页）答题卡一、 选择题：（每小题只有一个选项是正确的，请把正确的选项填入下列表格中对应的题号下，每小题5分，共50分）二、填空题：（请把答案填入对应题号横线上每小题5分，共20分）11.12. 13.14.三、解答题（共6个小题，共80分）15. (本小题满分13分) 解：高一数学试题答题卷 第1页（共4页）16. (本题满分13分) 解：17. (本题满分13分) 解：2页（共4页）18. (本小题满分13分) 解：19. (本小题满14分) 解：高一数学试题答题卷 第3页（共4页）20. (本小题满分14分) 解：参考答案一、选择题：（每小题只有一个选项是正确的，请把正确的选项填入下列表格中 对应的题号下，每小题5分，共50分）二、填空题：（请把正确的答案填入对应的题号后的横线上每小题5分，共20分） 11. αsin 12.10113.(0,1)14.3 三、解答题（共6个小题，共80分） 15.解：（1）()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=---- (cos )(sin )(tan )(tan )sin cos αααααα--=-=-………………………………7分 （2）∵31cos()25πα-= ∴1sin 5α-= 从而1sin 5α=-………………………………9分又α为第三象限角∴cos α==11分 即()f α的值为………………………………13分16.(1)解: 当0x >时, ()11f x x =-, ∴()11101f =-=.……2分 (2)证明:在()0,+∞上任取两个实数12,x x ,且12x x <,……3分则()()12121111f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2111x x =-1212x x x x -=. ……5分 ∵120x x <<, ∴12120,0x x x x -<>. ∴12120x x x x -<, 即()()120f x f x -<.∴()()12f x f x <. ∴函数()f x 在()0,+∞上单调递增. ……8分 (3) (ⅰ)当0x >时, 令()0f x =, 即110x-=, 解得10x =>. ∴1x =是函数()f x 的一个零点. ……9分 （ⅱ）当0x ≤时, 令()0f x =, 即()110a x -+=.(※)① 当1a >时, 由(※)得101x a=<-, ∴11x a=-是函数()f x 的一个零点; ② 当1a =时, 方程(※)无解;③ 当1a <时, 由(※)得101x a=>-,(不合题意,舍去). ……12分综上, 当1a >时, 函数()f x 的零点是1和11a-;当1a ≤时, 函数()f x 的零点是1.------13分17.⑴依题意，四棱柱的底面是矩形，侧面11A ABB 与底面垂直，过1A 作底面垂线的垂足是AB 的中点，四棱柱的体积h S V ABCD ⨯=……2分，h AD AB ⨯⨯=……3分，332⨯⨯=……5分，36=……6分⑵连接1CD ，依题意1CDD ∆是正三角形……8分，所以1DD CE ⊥……9分， 又⊥AD 面11C CDD ……10分，⊂CE 面11C CDD ，所以CE AD ⊥……11分， 因为D DD AD =1 ，所以⊥CE 面11A ADD ……12分， 因为⊂CE 面BCE ，面⊥BCE 面11A ADD ……14分． 18.（1）设过点Q 的圆M 的切线方程为1+=my x ，------1分则圆心M 到切线的距离为1，∴3411|12|2-=⇒=++m m m 或0，------3分∴切线QA 、QB 的方程分别为0343=-+y x 和1=x ------6分 （2）AQ MA ⊥ ，||||||MAQB S MA QA QA ∴=⋅=222||||||1MQ MA MQ =-=-2||13MO ≥-= ------9分（3）设AB 与MQ 交于点P ，则,MP AB MB BQ ⊥⊥ 2221||1()33MP =-=，在MBQ Rt ∆中，2||||||MB MP MQ =⋅，解得||=3MQ 设)0,(x Q ，则)0,5(,5,9222±∴±==+Q x x∴直线MQ 的方程为05252=-+y x 或05252=+-y x ------13分19.连接OP ，Q 为切点，PQ OQ ⊥，由勾股定理有222PQ OP OQ =-.23b a =-+.22226415128555PQ a b a a a ⎛⎫=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭.---------7分故当65a =时，min 255PQ =.即线段PQ 长的最小值为255.---------10分 而()222226423555OP a b a a a ⎛⎫=+=+-+=-+⎪⎝⎭.故当65a =时，min 355OP =--------12分. ………………14分 20.解：（1），由{1010x x ->+>得11x -<< 故函数()f x 的定义域为()1,1-…2分（2）()log ()log ()log xf x x x x2221-=1--1+=1+()()22211()()log log log 1011x xf x f x f x f x xx+--+=+==∴=--+，故()f x 为奇函数.…………6分(3)方程()1f x x =+可化为log x x x 21---1=01+，令()log xg x x x21-=--11+ (),g x 1⎛⎫=0-0 ⎪2⎝⎭在内有根.即方程()f x x =+1有根x 0，x 0∈,1⎛⎫-0 ⎪2⎝⎭……10分log ,g g g 215311⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-<0∴-•-<0 ⎪ ⎪ ⎪43424⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 有x 0∈,11⎛⎫-- ⎪24⎝⎭,此时区间长度为14综上方程()f x x =+1有根x 0，使x 0∈,11⎛⎫-- ⎪24⎝⎭,,11⎛⎫-- ⎪24⎝⎭即为所求长度为的14区间……14分。
【2020】高一数学下学期期末考试试题2
教学资料范本【2020】高一数学下学期期末考试试题2编 辑：__________________ 时 间：__________________20xx至20xx学年度第二学期高一年级期末考试题1 / 11注意事项：数学1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），试卷满分150分,考试时间120分 钟；2.答题前，考生务必将自己的班级、姓名、考号用黑色的钢笔或签字笔填写在答题卷密 封线内相应的位置；3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效，考试结束后，只交答题卷，务必用黑 色的钢笔或签字笔填写在各题指定答题处。
第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．不等式 x2 x 2 0 的解集为（ ） A. x x 2或x 1 B. x 2 x 1 C. x x 1或x 2 D. x 1 x 22．在 C 中，角 , B,C 所对的边分别为 a,b, c ，且 sin A : sin B : sin C 3 :1:1，则三角形的最大角为（ ）A. 900B. 1200C. 1350D. 15003．在等差数列an 中，若 a1 6 ， a3 2 ，则 a5 （ ）A. 6B. 4C. 0D. 24．已知 A(1,2)、B(1,4)、C(5,2) ，则 C 的边 AB 上的中线所在的直线方程为（ ）A. x 5y 15 0B. x 3C. x y 1 05．圆 x 22 y2 5 关于 y 轴对称的圆的方程为（ ）D. y 3 0A. x 22 y2 5B. x2 y 22 5C. x 22 y 22 5D. x2 y 22 56．设 m 、 n 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若 且 m ，则 m . B. 若 m / /n 且 n ，则 m . C. 若 且 m / / ，则 m . D. 若 m n 且 n / / ，则 m . 7．已知一个圆锥的底面面积为 3 ，体积为 ，则这个圆锥的侧面面积为（ ）A． 3B． C． 2 3D． 32 / 118．若直线 x y 2 与圆 x2 y2 a 至多有一个公共点，则（ ）A． a 2B． a 2C． 0 a 2D． 0 a 29．如图中的直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、k3，则 A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2 C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2()10．若x,yR且2xy 1，则1 x1 y的最小值（）A． 3 2 2B． 3 2 2C．11 D． 211 ． 三 棱 柱 ABC A1B1C1 的 侧 棱 垂 直 于 底 面 ， 且AB BC ， AB BC AA1 2 ，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A． 48B． 32C．12D． 812．若圆 x2 y2 2x 4 y 1 0 关于直线 l 对称，则 l被圆心在原点半径为 3 的圆截得的最短的弦长为()A. 2B. 3C. 4D. 5第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13．过点 (2,1) 且与直线 x 3y 4 0 垂直的直线方程为．14．如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F、G、H 分别为 AA1、AB、B1B、B1C1 的中点，则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于．3 / 1115．在 ABC 中, a 1 , A 300 , C 450 ，则 ABC 的面积为________． 16．若数列an 的首项 a1 2 ，且 an1 3an 2 n N * ；令 bn log3 an 1 ，则 b1 b2 b3 L b100 _____________．三、解答题（本大题共 6 小题共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分 10 分）记 Sn 为等差数列an的前 项和，已知 a1 7, S3 15 ． （1）求 an 的通项公式；（2）求 Sn，并求 Sn 的最小值．18．(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 E ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， AC 与 BD 交于点 O ， EC 底面 ABCD ， F 为 BE 的中点. （1）求证： DE ∥平面 ACF ； （2）求证： BD AE .19. (本小题满分 12 分)在 C 中，角 , B, C 所对的边分别为 a,b, c ，且满足 3a cos C c sin 0 ． （1）求角 C 的大小； （2）已知 b 4 ， C 的面积为 6 3 ，求边长 c 的值．20．(本小题满分 12 分)设 an是公比大于 1 的等比数列， Sn 为数列an的前 n 项和，已知S3 7 ，且 a1 3、3a2、a3 4 构成等差数列．4 / 11（1）求数列 an 的通项公式；bn（2）令n an，求数列bn的前 n项和 Tn．21．(本小题满分 12 分)如图，在三棱锥中，，，为 的中点．（1）证明： 平面 ；（2）若点 在棱 上，且，求点 到平面 的距离．22. (本小题满分 12 分)已知圆 C : (x 3)2 ( y 4)2 4 ，直线 l1 过定点 A(1,0) ．（1）若 l1 与圆 C 相切，求 l1 的方程； （2）若 l1 的倾斜角为 4 ， l1 与圆 C 相交于 P、Q 两点，求线段 PQ 中点 M 的坐标； （3）若 l1 与圆 C 相交于 P、Q 两点，求 CPQ 面积的最大值．5 / 112020 届高一年级第二学期期末数学试题参考答案一、选择题（每题 5 分，共 60 分）题号 123456789 10 11 12答案 ABDAABCDDACC 1．A 【解析】： x2 x 2 x 2 x 1 0 ,解得 x x 2或x 1 ，故选 A.2 4 21 62．B 【解析】：由三视图可知该几何体为四棱柱，底面为梯形，故体积为 2.3．Dd【解析】：由题意a3 a1 226 2 2 ,a5 a1 4d 6 4 2 2 .4 ． A 【 解 析 】 ： 由 题 可 知 AB 的 中 点 为 0,3 ， 又 点 C(5,2) , 所 以 中 线 的 方 程 ：x 5y 15 0 .5 ． A 【 解 析 】 ： 圆 心 2, 0 关 于 y 轴 的 对 称 点 为 2, 0 ， 所 以 所 求 圆 的 方 程 为 x 22 y2 5 ，故选择 A .6．B 【解析】：由 m / /n 且 n 可得 m ，故选 B .7．C 【解析】：因为圆锥的底面面积为 3 ，所以圆锥的底面圆的半径 r 3 ，又因为圆锥 的体积为 ，所以圆锥的高为 h 1 ，所以圆锥的母线长 l 2 ，所以圆锥的侧面积为S侧 rl 2 3 . 8．D 【解析】方程 x2 y2 a 表示圆,所以 a 0 ,由题意,直线与圆相切或相离,所以圆心2 = 2 a,a 2O(0,0) 到 直 线 的 距 离 大 于 或 等 于 a , 即 12 +12,又 a 0 ,所以0 a 2 ,选 D.9．答案 D 解析 直线 l1 的斜率角 α1 是钝角，故 k1<0，直线 l2 与 l3 的倾斜角 α2 与 α3均为锐角，且 α2>α3，所以 0<k3<k2，因此 k1<k3<k2，故选 D.10．A【解析】：1 x1 y 1 x1 y 2xy32x yy x3222x y，当且仅 y x 时等号成立，取得最小值 3 2 2 .11．C 【解析】：试题分析：如图，由题可知矩形 AA1C1C 的中心 O 为该三棱柱外接球的球心， OC 12 22 3， 2∴该球的表面积为 4 3 12 ，故选 C．12．C 【解析】：由题意，直线 l 过圆 x2 y2 2x 4 y 1 0 的圆心为 M 1, 2 ，则问题转化为过点 M 的直线 l 被圆 x2 y2 9 所截得的最短弦长，即直线 l 垂直于 OM 时，被圆6 / 11x2 y2 9 所截得的弦长最短， OM 5 ，则弦长为 2 9 5 4 ，故选择 C .二、填空题（每题 5 分，共 20 分）3 113、 3x y 5 014、 60°15、 416、 505013． 3x y 5 0 【解析】：与 x 3y 4 0 垂直的直线可设为 3x y m 0 ，代入(2,1) 得 m 5 ，所以直线方程为 3x y 5 0 .14． 60°【解析】 连接 A1B，BC1，因为 E、F、G、H 分别是 AA1、AB、BB1、B1C1 的中点．A1B∥EF，BC1∥GH.∴A1B 和 BC1 所成角为异面直线 EF 与 GH 所成角，连结 A1C1 知，△A1BC1 为正三角形，故∠A1BC1＝60°.3 1ac1c15. 4 【解析】：由 sin A sin C得 sin 30o sin 45o c 2 S 1 ac sin B 1 1 2 sin 30o 45o 3 1224. 16. 5050【解析】：由 an1 3an 2n N*可知an113 an 1 ,an1 1 an 13，所以数列 an 1 是以 3 为首项， 3 为公比的等比数列，所以 an 1 3n ,an 3n 1 ，所以bn log3 an 1 n ，因此.三、解答题（共 70 分）17．记 Sn 为等差数列的前 项和，已知．（1）求 an 的通项公式；（2）求 Sn，并求 Sn 的最小值．【答案】解：（1）设{an}的公差为 d，由题意得 3a1+3d= –15．由 a1= –7 得 d=2．所以{an}的通项公式为 an=2n–9． （2）由（1）得 Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当 n=4 时，Sn 取得最小值，最小值为–16．7 / 1118．(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 E ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， AC 与 BD 交于点 O ， EC 底面 ABCD ， F 为 BE 的中点. （1）求证： DE ∥平面 ACF ； （2）求证： BD AE .【解析】：（1）连接 OF .由 ABCD 是正方形可知,点 O 为 BD 中点.又 F 为 BE 的中点， 所以 OF ∥ DE .…………4 分 又 OF 平 面 ACF , DE 平 面 ACF , 所 以 DE ∥ 平 面 ACF .…………6 分 （2）证明：由 EC 底面 ABCD, BD 底面 ABCD ，所以 EC BD ，…………8 分 由 ABCD 是 正 方 形 可 知 , AC BD ， 所 以 BD 平 面 ACE ， …………10 分 又 AE 平面 ACE ，所以 BD AE . …………12 分 19 ． ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 C 中 ， 角 , B, C 所 对 的 边 分 别 为 a,b, c ， 且 满 足3a cos C c sin 0 ． （1）求角 C 的大小； （2）已知 b 4 ， C 的面积为 6 3 ，求边长 c 的值．【 解 析 】 ： （ 1 ） 在 ABC 中 ， 因 为 3a cos C c sin 0 ， 由 正 弦 定 理 得 ：3 sin Acos C sin C sin A 0 ，因为 0 A ，所以 sin A 0 ,从而 3 cos C sin C ，C 又 cos C 0 ,所以 tan C 3 ，所以 3 ． …………6 分（2）在ABC中，SABC1 4a sin 2363，得 a6 ，由余弦定理得：c2 62 42 2 6 4 cos 28 3所以 c 2 7 ． …………12 分20．(本小题满分 12 分)设 an是公比大于 1 的等比数列， Sn 为数列an的前 n 项和，已知8 / 11S3 7 ，且 a1 3、3a2、a3 4 构成等差数列．（1）求数列 an 的通项公式；bn（2）令n an，求数列bn的前 n项和 Tn．a1 a2 a3 7【解析】：（1）由已知得： (a1 3) (a3 24)3a2，解得．设数列 的公比为 ，由，可得．又，可知，即，解得．由题意得．．故数列 的通项为．……………………6 分Q bn（2）n an=n 2n1,Tn1 202 + 21+Ln + 2n11 2Tn1 212 + 22+L+n 1 2n1n 2n,…8 分1111n1nn2两 式 相 减 得 ： 2 Tn 1 21 22 L 2n1 2n 2(1 2n ) 2n 2 2n.……11分Tn4n2 2n1 .………………………………12 分21．如图，在三棱锥中，（1）证明： 平面 ；（2）若点 在棱 上，且，， 为 的中点．，求点 到平面 的距离．【答案】解： （1）因为 AP=CP=AC=4，O 为 AC 的中点，所以 OP⊥AC，且 OP= ． 连结 OB．因为 AB=BC= ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且 OB⊥AC，OB= =2．9 / 11由知，OP⊥OB．由 OP⊥OB，OP⊥AC 知 PO⊥平面 ABC．（2）作 CH⊥OM，垂足为 H．又由（1）可得 OP⊥CH，所以 CH⊥平面 POM． 故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离．由题设可知 OC= =2，CM= = ，∠ACB=45°．所以 OM= ，CH==．所以点 C 到平面 POM 的距离为 ．22.(本小题满分 12 分)已知圆 C : (x 3)2 ( y 4)2 4 ，直线 l1 过定点 A(1,0) ．（1）若 l1 与圆 C 相切，求 l1 的方程； （2）若 l1 的倾斜角为 4 ， l1 与圆 C 相交于 P、Q 两点，求线段 PQ 中点 M 的坐标；（3）若 l1 与圆 C 相交于 P、Q 两点，求 CPQ 面积的最大值．【解析】：（1）①若直线 l1 的斜率不存在，则直线 x 1 ，符合题意．…………… 1 分②若直线 l1 的斜率存在，设直线 l1 为 y k(x 1) ，即 kx y k 0 ，由题意知，圆心 (3,4) 到直 线 l1 的 距 离 等 于 半 径 2 ， 即 ：3k 4 k 2k2 1解之得k3 4，所求直线l1方程是3x 4 y 3 0 ………3 分， 综上所述：所求直线 l1 方程是 x 1 或 3x 4 y 3 0 ……4 分(2) 直线 l1 的方程为 y x 1， ∵ M 是弦 PQ 的中点，∴ PQ CM ，∴ CM 方程为 y 4 (x 3) ,即 x y 7 0 x＋y－7＝0. …………6 分 y x 1,∵ xy70,x 4,∴ y3.,∴ M 点坐标 (4,3) ．…………………8 分10 / 11。
昆明市名校2020年新高考高一数学下学期期末预测试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则满足(lg )(1)f x f <的x 的取值范围是（ ）A ．1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．[1,10)C ．(0,10)D ． 10,(10,)10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭2．已知向量()1,1m λ=+，()2,2n λ=+，若()()m n m n +⊥-，则λ=（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-3．用数学归纳法(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=⋅⋅-时，从“k 到1k +”左边需增乘的代数式是（ ）A ．21k +B ．211k k ++ C ．()221k + D ．2(21)1k k ++ 4．棱长为2的正四面体的表面积是（ ）AB ．4 C．D ．165．在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形6．若变量,x y R ∈，且满足约束条件22011x y x y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）A ．15B ．12C ．3D ．1-7．已知角θ以坐标系中Ox 为始边，终边与单位圆交于点34(,)55，则tan θ的值为（ ）A ．43B ．34C ．43-D ．34- 8．cos300的值是( )A ．12B ．12- CD． 9．等比数列{}n a 中，122a a =，2416a a =，则公比q 等于（ ）A ．2B ．3 CD．10．[]x 表示不超过x的最大整数，设函数()ln(h x x =，则函数()[()][()]f x h x h x =+-的值域为（ ）A ．{0}B ．{2,0}-C ．{1,0,1}-D ．{1,0}-11．为了得到函数2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（） A ．向左平移724π B ．向右平移724π C ．向左平移712π D ．向右平移712π 12．不论m 为何值，直线()()21250m x m y -+++=恒过定点A ．()1,2--B ．()1,2-C ．()1,2-D ．()1,2二、填空题：本题共4小题13．已知()tan 2tan αββ+=，,(0,)2παβ∈，则当α最大时，tan2α=________. 14．已知cosθ35=-，θ∈（π，2π），则sinθ＝_____，tan 2θ=_____. 15．在等比数列{}n a 中，11a =，54a =，则3a =______________.16．已知()()24C 13AB A ==，，，，则AB BC ⋅=________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
合肥市名校2020年新高考高一数学下学期期末预测试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，若4,5,AB AC ==BCD ∆为等边三角形（,A D 两点在BC 两侧），则当四边形ABDC的面积最大时，BAC ∠=（ ） A ．56πB ．23π C ．3π D ．2π 2．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且10100S =，则7a 的值为 A ．11B ．12C ．13D ．143．已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>4．将函数sin y x =的图象上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是( ) A ．sin(2)10y x π=-B ．y =sin(2)5x π-C ．y =1sin()210x π-D ．1sin()220y x π=-5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若113a =，312S S =，则8a 的值为（ ） A ．137-B ．0C ．137D ．1826．书架上有2本数学书和2本语文书，从这4本书中任取2本，那么互斥但不对立的两个事件是（ ） A ．“至少有1本数学书”和“都是语文书” B ．“至少有1本数学书”和“至多有1本语文书” C ．“恰有1本数学书”和“恰有2本数学书” D ．“至多有1本数学书”和“都是语文书”7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,1cos 9C =，且边2c =，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A B ．9C D8．若角α的终边与单位圆交于点1,22P ⎛ ⎝⎭，则sin α=（ ）A 1B C D9．在ABC 中，sin sin sin cos cos B CA B C+=+，则ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形10．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为3π的扇形，则圆锥的高为（ ） A ．33B ．34C ．35D ．511．在区间[1,4]-内随机取一个实数a ，使得关于x 的方程2420x x a ++=有实数根的概率为（ ） A ．25B ．13C ．35D ．2312．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角B AC D --的大小为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°二、填空题：本题共4小题13．已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项,i j a a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S =_____． 14．点(3,4)A -与点(1,8)B -关于直线l 对称，则直线l 的方程为______．15．若正四棱锥的侧棱长为3，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是________ . 16．21111lim 12612n n n →∞⎛⎫+++++= ⎪+⎝⎭_______________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020学年高一数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题B卷02江苏版
2020学年高一数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题（B 卷02）江苏版一、填空题 1．已知，则____．【答案】【解析】试题分析：由题意可得，将分别平方，再整体相加，即可得到的值.考点：三角函数化简求值.2．若钝角三角形ABC 三边长分别是,1,2()a a a a N ++∈，则a = . 【答案】2考点：余弦定理．3．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，2(1)n n S n a =+，若关于正整数n 的不等式222n n a ta t -≤的解集中的整数解有两个，则正实数t 的取值范围为 ．【答案】3(1,)2【解析】试题分析：2(1)n n S n a =+，11112(2)2(1),(1)(2)n n n n n n n S na n a n a na n a na n ----=≥∴=+--=≥，因此112121n n n a a n n n -=⋅⋅⋅=--L ，由222n n a ta t -≤得2222n tn t t n t -≤⇒-≤≤，因为关于正整数n 的解集中的整数解有两个，因此322312t t ≤<⇒≤<考点：叠乘法求数列通项 4．如图,互不相同的点和分别在角的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等，设．若，，则数列的通项公式是____．【答案】考点：1.推理能力;2.等差数列的性质.5．设n S ,n T 分别是等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和,已知121-+=n n T S n n ,*n N ∈,则=55b a ． 【答案】1710【解析】试题分析： 根据等差数列的前n 项和公式，则n n S T =222n n n n +- ，设2n S n n =+，22n T n n =-，则 595999a S b T =1017=. 考点：奇数项等差数列的前n 项和及其中间项的问题. 6．已知，则的最小值为____．【答案】考点：基本不等式.7．已知为正实数，且，则的最小值为___．【答案】【解析】试题分析：由题意得，令，则，所以，，然后相加得=2+考点：1.换元法;2.基本不等式求最值. 8．已知，则的最小值为____．【答案】3 【解析】试题分析：由题意可得，因为，所以，故（当且仅当时取等号），所以的最小值为3.考点：构造利用基本不等式。
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2017-2018学年下学期期末复习备考之精准复习模拟题高一数学（A 卷02）第I 卷（选择题）一、选择题（每小题5分，共60分）1．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从第1行的第5列和第6列数字开始由左往右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）A. 01B. 02C. 14D. 19 【答案】A2．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】C【解析】依次为8N = , 7,6,2N N N ===，输出2N = ，选C. 【考点】 程序框图【名师点睛】识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．3．若a b>，则下列结论一定正确的是 ( )A. 11a b> B.11a b< C. 33a b> D. 22a b>【答案】C点睛：实数的大小比较常常转化为对它们差(简称作差法)的符号的判定，当解析式里面含有字母时常需分类讨论，有时也可根据函数的性质进行比较．4．从含有3件次品，97件正品的100件产品中任取2件，观察正品件数和次品件数，则下列每对事件中是互斥事件但不是对立事件的是（）A. 至少有1件次品和至少有1件正品B. 至少有1件次品和全是次品C. 至少有1件次品和全是正品D. 恰好有1件次品和恰好有2件次品【答案】D【解析】对于A项．至少有1件正品和至少有1件次品能同时发生，两者不是互斥事件；对于B项．至少有1件次品和全是次品能同时发生，两者不是互斥事件；对于C项．至少有1件次品和全是正品不能同时发生，且至少一个发生，∴两者是对立事件；对于D项．恰好有1件次品和恰好有2件次品不能同时发生，但能同时不发生，∴两者是互斥事件但不是对立事件，故选D．5．《算法统宗》是中国古代数学名著，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还,”题目大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛走的路程为前一天的一半，走了6天到达目的地。
”则该人最后一天走的路程是( ) A. 3里 B. 4里 C. 5里 D. 6里【答案】D【解析】记每天走的路程里数为，可知数列是公比的等比数列，由，得，解得，故选D.6．在中，已知，则的形状是 ( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形【答案】A点睛：由边角关系判断三角形形状，可以灵活应用“角化边”或“边化角”两个途径，其中方法一综合应用正弦定理完成边向角的转化，应用和差角公式进行三角变形，得出角之间的关系，最终确定三角形的形状。
方法二通过正、余弦定理完成角向边的转化，利用因式分解得出三边关系，从而确定形状。
7．不等式组表示的平面区域是一个（）．A. 三角形B. 梯形C. 矩形D. 平行四边形【答案】D【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，易知，该平面区域是一个平行四边形，故选．8．点在边长为2的正方形内运动，则动点到定点的距离的概率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：本题考査的知识点是几何概型，我们要根据已知条件，求出满足条件的正方形的面积及动点动点到定点的距离对应平面区域的面积，代入几何概型计算公式，结合对立事件的概率公式即可求出答案.详解：满足条件的正方形，如图所示，其中满足动点到定点的距离的平面区域如图中阴影所示：则正方形的面积，阴影部分的面积，故动点到定点的距离的概率，的概率为故选D.点睛：对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．9．阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为（）A. 3k ≤B. 4k ≤C. 5k ≤D. 6k ≤ 【答案】B考点：程序框图.10．对具有线性相关关系的变量x ，y ，测得一组数据如下 x 2 4 5 6 8 y2040607080根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+，据此模型预测当x=10时，y 的估计值为（ ） A. 105.5 B. 106 C. 106.5 D. 107 【答案】C【解析】根据表中数据,计算，，代入回归直线方程=10.5x+中， 计算， ∴回归直线方程为=10.5x+；当x =10时，y 的估计值为=10.5×10+1.5=106.5. 故选：C.11．甲船在岛的正南方处，千米，甲船以每小时千米的速度向正北航行，同时乙船自出发以每小时千米的速度向北偏东的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）A. 分钟B. 分钟C. 分钟D. 分钟【答案】A【解析】分析：设经过x小时距离最小，然后分别表示出甲乙距离B岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最值的方法可得到答案．详解：假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至C，D如图示可知BC=10﹣4x，BD=6X，∠CBD=120°CD2=BC2+BD2﹣2BC×BD×cosCBD=（10﹣4x）2+36x2+2×（10﹣4x）×6x×=28x2﹣20x+100当x=小时即分钟时距离最小故选：A．点睛：解决测量角度问题的注意事项(1)明确方位角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．12．若等比数列的前,且5，则等于（）A. 5B. 16C. 17D. 25【答案】C【解析】分析：对公比进行分类讨论，利用前n项和公式及条件，求出，从而得到结果.详解：当公比时，故公比不为1，当公比时，∴，∴故选：C点睛：本题重点考查了等比前n项和，注意对公比的分类讨论，这是一个易错点,同时注意首项与公比均不为零.第II卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共20分）13．一名篮球运动员在最近6场比赛中所得分数的茎叶图如图所示，由于疏忽，茎叶图中的两个数据上出现了污点，导致这两个数字无法辨认，但统计员记得除掉污点2处的数字不影响整体中位数，且这六个数据的平均数为17，则污点1，2处的数字之和为。
【答案】12【解析】由于除掉处的数字后剩余个数据的中位数为，故污点处的数字为，，则污点处的数字为，故填12.14．随意安排甲、乙、丙三人在3天节假日中值班,每人值班1天,甲排在乙之前的概率是_____.【答案】1 2【解析】安排甲、乙、丙三人在3天中值班,每人值1天,故甲在乙之前和乙在甲之前的机会相等,所以概率为12.15．若等比数列的前n项和Sn=,则=_______. 【答案】点睛：本题考查数列的前项和与通项的关系、等比数列等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力.16．在中，角所对的边分别是，若，，.则_________.【答案】2【解析】分析：对已知等式两边同时取正弦，利用二倍角正弦和正弦定理相结合可得，再利用余弦定理将角化为边，最后将及代入可得关于的一元二次方程，解出即可.详解：∵，∴，由正弦定理得：，根据余弦定理可得：，将及代入化简得，解得，（根据大角对大边舍去），则，故答案为2.三、解答题（共6个小题，共70分）17．（本题满分12分）某制造商为运功会生产一批直径为的乒乓球，现随机抽样检查只，测得每只球的直径（单位：，保留两位小数）如下：（1）完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；（2）假定乒乓球的直径误差不超过为合格品，若这批乒乓球的总数为只，试根据抽样检查结果估计这批产品的合格只数.【答案】(1)答案见解析；(2)9000.【解析】分析：（1）由题意结合所给数据所在的区间完成频率分布表，然后绘制频率分布直方图即可；（2）由题意可得合格率为，利用频率近似概率值可估计这批产品的合格只数为.详解：（1）分组频数频率合计（2）∵抽样的只产品中在范围内有只，∴合格率为，∴（只）.即根据抽样检查结果，可以估计这批产品的合格只数为.点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.18．已知函数.(1)当时，解不等式；(2)若关于的不等式数的解集为，求的值..【答案】(1);(2).（2）关于的不等式数的解集为，可得-1，4是方程的解于是由韦达定理可得：，解得点睛：本题主要考查一元二次不等式的结法，以及一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于简单题.19．（本题满分12分）某机构为了解某市民用电情况，抽查了该市100户居民月均用电量（单位：，以分组的频率分布直方图如图所示.(1)求样本中月均用电量为的用户数量；(2)估计月均用电量的中位数；(3)在月均用电量为的四组用户中，用分层抽样的方法抽取22户居民，则月均用电量为的用户中应该抽取多少户？【答案】（1）15；（2）224；（3）10【解析】分析：（1）根据各矩形面积之和为求得月均用电量为的用户的频率，从而可得结果；（2）由频率分布直方图面积为的横坐标即为月均用电量的中位数；（3）月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，抽取比列为，，由此能求出月平均用电量在的用户中应抽取的户数.详解：(1)由得,所以月均用电量为的频率为，用户应有户.(2)因为，所以月均用电量的中位数在内.设中位数为，则，解得，即中位数为224.(3)月均用电量为的用户有（户），同理可求月均用电量为的用户分别有15户、10户、5户，故抽取比列为，所以从月均用电量在的用户中应抽取(户).点睛：本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直观图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率.20．等比数列中，已知.（1）求数列的通项公式；（2）若分别为等差数列的第项和第项，求数列的通项公式及前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：(1)先根据等比数列通项公式列出公比与首项的方程组，解得公比与首项，代入通项公式即得结果，（2）先根据等差数列通项公式列出公差与首项的方程组，解得公差与首项，代入通项公式即得数列的通项公式，代入求和公式即得.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.21．（本题满分12分）某游乐场推出了一项趣味活动，参加活动者需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为,x y ，奖励规则如下：①若3xy ≤，则奖励玩具一个；②若8xy ≥，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.（1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由. 【答案】(1)516；(2)答案见解析. 【解析】试题分析：(1)由几何概型得到所有可能的事件，据此可得小亮获得玩具的概率是516； (2)结合古典概型计算公式可得小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，则小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 试题解析：用数对(),x y 表示小亮参加活动记录的数，则基本事件空间Ω与点集(){},|,,14,14S x y x N y N x y =∈∈≤≤≤≤一一对应，因为S 中元素个数是4416⨯=，所以基本事件总数为16n =.(1)记“3xy ≤”为事件A ，则事件A 包含的基本事件共有5个，即()()()()()1,1,1,2,1,3,2,1,3,1.所以()516P A =，即小亮获得玩具的概率为516. (2)即“8xy ≥”为事件B ，“38xy <<”为事件C ，则事件B 包含的基本事件有6个，即()()()()()()2,4,3,3,3,4,4,2,4,3,4,4，所以()63168P B ==，则事件C 包含的基本事件有5个，即()()()()()1,4,2,2,2,3,3,2,4,1，所以()535,16816P C =>Q ，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 22．已知向量与共线，其中A 是△ABC 的内角．（1）求角的大小；（2）若BC=2，求△ABC 面积的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状. 【答案】（1）（2）△ABC 为等边三角形【解析】分析：（1）由，得，利用三角恒等变换的公式，求解，进而求解角的大小； （2）由余弦定理，得和三角形的面积公式，利用基本不等式求得，即可判定当时面积最大，得到三角形形状．（2）由余弦定理，得又，而，（当且仅当时等号成立）所以.当△ABC的面积取最大值时，.又，故此时△ABC为等边三角形点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.。