易拉罐形状和尺寸的最优设计 终结版
易拉罐形状和尺寸的最优设计
淮海工学院毕业论文题目：易拉罐形状和尺寸的最优设计作者：吴杰学号：********** 系(院)：数理科学系专业班级：信息与计算科学032指导者：谭飞（高等数学教研室主任）评阅者：2007年5月连云港毕业论文中文摘要毕业论文文摘要目录1 引言 (1)1．1易拉罐的发展和前景 (1)1．2 实际调研 (2)1.3基本设计方案 (2)2可口可乐易拉罐的优化设计 (3)2．1模型的假设 (4)2．2数据测量 (4)2.3符号说明 (5)2．4 模型的建立与求解 (5)2．4．1 模型一的建立与求解 (5)2．4．2 模型二的建立与求解 (7)2．4．3 模型三的建立与求解 (9)2．5 模型的评价与推广 (11)结论 (13)致谢 (14)参考文献 (15)图1 罐体主要尺寸图 (4)图2 圆柱罐体剖面图 (5)图3 柱台罐体剖面图 (7)图 4 罐体受压性能图 (10)表 1 罐体主要尺寸 (4)表 2 罐体物理性能 (10)1 引言1．1易拉罐的发展和前景铝质易拉罐具有许多优点，如重量轻、密闭性好、不易破碎等，被大量用作啤酒、碳酸类饮料、果汁等食品的包装材料。
1963 年，易拉罐在美国得以发明，它继承了以往罐形的造型设计特点，在顶部设计了易拉环。
这是一次开启方式的革命，给人们带来了极大的方便和享受，因而很快得到普遍应用。
到了1980年，欧美市场基本上全都采用了这种铝罐作为啤酒和碳酸饮料的包装形式。
经过30多年来的发展已在全球形成庞大的生产规模，供求关系已出现严重的失衡。
即使是易拉罐技术发展最快，消费水平最高的美国，近年来罐厂生产能力的提高比消费需求增长快，生产能力年增2%，而需求量年增1%，同样出现年生产能力超过需求10亿只的局面。
随着设计和生产技术的进步，铝罐趋向轻量化，从最初的60克降到了1970年的21～15克左右。
国内的易拉罐业始于80年代，当时年产仅24亿只，随着原罐厂进行重大技术改造的完成以及国外罐业投资者的资本输入，到目前全国易拉罐年生产能力超过100亿只。
易拉罐形状和尺寸的最优设计 (1)
②外形美观：按上述数学优化计算，易拉罐上下底直径之比1：2， 虽然材料省，但上底开口小，形状就不美观。
模型推广
用该数学模型解决了现实问题，甚至解决了当前生产生活中 的一些技术难关，并将具体模型应用与实际生产中，给社会带来 一些经济效益。
易拉罐用料=侧面材料+底面材料+顶盖材料
sv=( (r b)2 - r2 )(h+(1+ )b)+b r2 b r2
将上式化简，有
sv(r, h) 2 rhb (1 ) r2b 2 r(1 )b2 h b2 (1 )b3
作简化，因为 b r ，则 b2 , b3 很小，所以可将带 b2 , b3
由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1， 用料最省； 在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料 设想为外体积减内体积，得用料模型：
min s(r, h)
g(r, h) r 2h v 0
s.t.r 0 h 0
用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为3：1。
'
s (r) 0
；
4
因此
v
3
是 s(r) 的极小值，而 r (0,) 没有其它极值点，
4
故
v r 3
是 s(r) 的最小值点。
4
此时，易拉罐的直径
D 2r 2 3 v
4
易拉罐的高
h
v
r
2
v
3
(4 )2
v2
43
易拉罐的形状和尺寸的最优设计
摘要
本文研究的是易拉罐外形和尺寸的最优化问题， 通过建立数学模型找到在易拉罐 体积一定的条件下，使得易拉罐表面积最小，材料最省的外形及尺寸。 首先动手测量易拉罐的各项尺寸，然后通过一个由简单到复杂的分析过程， 逐步建立模型与实测数据比较确定易拉罐外形和尺寸的设计方案， 并且通过进一 步优化得到最优的设计方案。 第一题需要我们亲自动手用各种工具测量易拉罐上底面及下底面直径、 易拉 罐各部分高度以及厚度。 第二题假设易拉罐为一个正圆柱体， 问题简化为已知圆柱体的体积求其高度 和底面半径为多少时表面积最小。进一步分析问题建立目标函数，用微分地方法 求解。 模型一与实际情况相差过大， 所以考虑上下底面的厚度来进一步优化模型， 就是模型二。 第三题继续优化，贴近实际，假设易拉罐的上部是一个正圆台，这样问题就 变为上部圆台和下部圆柱体体积和一定的条件下，求其表面积和最小，与第二步 相同建立目标函数， 并考虑到各种约束条件， 例如实用， 美观， 人体工程学等 （其 实最优化是没有尽头的，可口可乐公司在 08 年就已经将可乐罐改为 330ml） 。 第四题从回收和美观的角度将罐子设计成花瓶型， 易于抓握， 便于折叠回收。
六．自由设计
普通易拉罐外观单一，没有特色，且废瓶占用空间大，不易回收，因此我们 设计如图所示的单叶双曲面，并在瓶壁上加上螺纹，增大摩擦。不仅形状美观， 而且易于握紧，不会滑落。当饮料饮用完时，由于其物理特性，可以轻易用手旋 转并将其压扁，节约空间，不会占用太多地方。
七．模型的评价
1.模型的优点
优化设计，利用简单的算法简便了大部分运算，得出较为准确的模型。
模型二.
考虑上下底与侧壁材料的厚度不同 设易拉罐上底厚度为 d ,下底厚度为 d ，
易拉罐形状和尺寸的最优设计
目录
• 引言 • 易拉罐的历史与现状 • 易拉罐形状和尺寸的影响因素 • 最优设计的探索与实验 • 最优设计的实现与应用 • 结论与展望
01
引言
主题简介
• 易拉罐作为一种常见的包装容器，广泛应用于饮料、食品等领 域。其形状和尺寸的设计对于产品的展示、运输、存储以及消 费者的使用体验等方面都有着重要的影响。因此，研究易拉罐 形状和尺寸的最优设计，对于提升产品品质、降低生产成本以 及增强市场竞争力等方面都具有重要的意义。
形状单一，缺乏个性化，难以满 足消费者多样化的需求。
定制化易拉罐优点
可根据客户需求进行个性化设计 ，适用范围广。
可重复使用易拉罐缺点
成本较高，清洗和保养较为麻烦 ，消费者接受度有待提高。
可重复使用易拉罐优点
可减少浪费和环境污染，节约资 源。
定制化易拉罐缺点
成本较高，生产周期较长，消费 者认知度有限。
材料选择和设计应考虑环保和可持续性。
实验设计与方法
文献调研
查阅相关文献，了解现有易拉罐的设 计和市场情况。
用户调研
通过问卷和访谈，收集用户对易拉罐 的期望和需求。
原型制作与测试
根据设计思路制作多个原型，进行实 际使用测试。
数据分析
收集用户反馈，分析数据，优化设计。
实验结果与分析
功能性测试结果
原型在开启、关闭和携带方面表现良好，满 足基本功能需求。
研究目的和意义
• 随着市场竞争的加剧和消费者需求的多样化，对于包装容器的要求也越来越高。易拉罐作为包装容器的一种，其形状和尺 寸的设计直接影响到产品的外观、使用便利性以及存储运输的效率。因此，研究易拉罐形状和尺寸的最优设计，旨在满足 消费者对于产品外观和使用体验的需求，提升产品的市场竞争力，同时降低生产成本，为企业创造更大的经济效益。
易拉罐形状和尺寸的最优设计
易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要本文针对各问题中假设的易拉罐形状，通过构建以制造易拉罐所需材料的体积为目标函数，易拉罐容积等于所测数值为约束条件的数学模型，求解分析出实际中易拉罐形状设计的合理性，并找到了影响其形状的关键参数。
在问题一中，通过观察易拉罐实物，分析认为得出对后面模型建立和验证模型有帮助的物理量，并用直接测量和间接测量两种方法获得了比较精确的数据。
在约束条件——易拉罐容积的测量中，引入其质量和密度，用物理天平成功测出易拉罐容积为370.7ml。
在问题二中，首先针对最简化形状——圆柱体，建立了比较精确的模型一，通过Lingo软件求解出结果，进一步作出假设（侧壁厚度远小于罐体半径）并对模型一作一定的简化，运用拉格朗日乘数法，求得了模型的解析解。
在此基础上，通过将求得结果与实际数据相比较，分析出对形状的最优设计起关键作用的参数α（顶盖厚度与侧壁厚度比值）和β（底面厚度与侧壁厚度比值），并揭示出决定易拉罐形状的关系式：()=+r hαβ/1/。
在问题三中，针对易拉罐形状变为正圆台与正圆柱体的组合体，对模型一做了相应的改动，在运用几何知识求解目标函数中，引入圆台倾斜角的正切值s，对于分析罐体的承重和受压性能以及模型的进一步修正起到很好的帮助。
在此模型结果基础上，继续与实际数据比较，发现、决定。
易拉罐最优形状依然主要由参数αβ在问题四中，通过仔细观察易拉罐实物，认为之前的假设都比较粗糙，对问题二的模型作了三点改进，即充分考虑到圆台侧壁厚度与圆柱侧壁厚度不相同、易拉罐顶部和底部都有凸起、底部包含一个球冠，通过模型求解，得到了与实际数据更为吻合的最优形状。
一、问题重述 （略）二、模型假设与符号说明2.1模型假设（1）测量易拉罐容积时，不考虑由于开启而导致饮料挥发和降压膨胀等物理因素造成的饮料体积的变化。
（2）不考虑涂料对易拉罐侧壁厚度的影响。
（3）假设易拉罐各个表面的厚度为均匀的（不考虑拉环对其体积的影响）。
易拉罐形状和尺寸的最优设计
关键词：易拉罐 最优设计
一、问题的提出
每年我国易拉罐的使用量是很大的，（近年我国每年 用易拉罐亿只），如果每个易拉罐在形状和尺寸作优化设 计，节约一点用料，则总的节约就很大了。为此提出下述 问题：
1：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口 可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各 部分的直径、高度、厚度等，并把数据列表加以说明。
4
故
v r3
是 s ( r ) 的最小值点。
4
此时，易拉罐的直径
D 2r 2 3 v
4
易拉罐的高 hv r2v3(4v 2)2434v 4r2D
4.结果分析
上述模型及其求解得到的结论是：在正圆柱体易拉罐体积一 定时，当高与直径之比为2：1时，易拉罐的用料最省。 即为考虑用料最少，正圆柱体易拉罐的的高与直径之比为2：1是 最优设计。 此结果正好符合实际大多数易拉罐的形状和尺寸。如我们所测的 355毫升的可口可乐易拉罐高104，直径65，（比例2：1.06）， 其它355毫升的易拉罐如青岛啤酒、百威啤酒、统一冰红茶、统 一鲜橙多等其比例都如此。 又如 180毫升的雀巢咖啡高10.5mm,直径54mm（比例为2：1.02）。
对问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下 ，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分 一定而研究此正圆台的用料优化设计。
圆台面积s(r)r2(R r) 2(r2 9 r v R 2R 2)2 (R r)2
用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=４5.07最小 。
问题二再解 上述问题二的解中，是基于一个重要假设：“易拉罐顶盖厚
罐形状和尺寸的最优设计方案
易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要易拉罐十分流行，对易拉罐的优化设计有重要的经济意义与实际意义。
对问题一，我们通过实际测量得出（355ml ）易拉罐各部分的数据。
对问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建立易拉罐用料模型2()2(2)vs r rd r rππ=+，由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型：2min (,)(,)0.00s r h g r h r h v s t r h π⎧=-=⎪>⎨⎪>⎩用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为3：1。
对问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计。
模型圆台面积2()(s r r R r ππ=++用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=４5.07最小。
结论：易拉罐总高：底直径=2：1，上下底之比=1：2，与实际比较分析了各种原因。
对问题四，从重视外观美学要求（黄金分割），认为高与直径之比1：0.4更别致、美观。
对这种比例的正圆柱体易拉罐作了实际优化分析。
另从美学及经济学的角度提出正四面柱体易拉罐的创新设想，分析了这样易拉罐的优缺点和尺寸优化设计。
对问题五，写出了我们对数学建模的体会文章。
关键词：易拉罐 最优设计 数学建模一、问题的提出每年我国易拉罐的使用量是很大的，（近年我国每年用易拉罐6070亿只），如果每个易拉罐在形状和尺寸作优化设计，节约一点用料，则总的节约就很大了。
为此提出下述问题：1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度、厚度等，并把数据列表加以说明。
2．设易拉罐是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
易拉罐形状和尺寸的最优设计
易拉罐形状和尺寸的最优设计万涛胡围墙朱忠沫指导老师：数模组一．摘要本文涉及易拉罐形状和尺寸的最优设计问题，对其最优方案进行分析建立了易拉罐形状和尺寸的最优化模型。
求解得到在易拉罐形状和尺寸不同的情况下，灌装一定体积的饮料，易拉罐的用料最省（易拉罐表面积最小）从而为企业节约更多的成本，产生更大的利益。
据此对现行方案进行了比较和评判，解决了所提出的问题，并对求解结果作了分析。
问题（1）我们运用几何数学中的画法几何知识。
首先建立了易拉罐正圆柱体模型I，对模型进行了合格的理论证明和推导，所验证的理论证明结果为V =365cm3, 可以算得r = 3.074 cm。
然而运用多元函数极值法和基本几何知识对附件中所提供的数据进行筛选，去除异常数据对残缺进行适当补充，并从中随机抽取数据，对理论结果进行数据模拟。
结果显示，理论结果与数据结果不吻合。
问题（2），我们在对模型I改进的基础上建立了一个易拉罐上面的正圆台。
下面是正圆体的易拉罐模型II，大约为2min(,)(,)0.0s r hg r h r h vs t rhπ⎧=-=⎪>⎨⎪>⎩用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为3：1。
问题（3）在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计。
圆台面积2()(s r r R rππ=++求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=４5.07最小。
结论：易拉罐总高：底直径=2：1，上下底之比=1：2，与实际比较分析了各种原因。
问题（4）从重视外观美学要求（黄金分割），认为高与直径之比1：0.618更别致、美观。
对这种比例的正圆柱体易拉罐作了实际优化分析。
最后，从这类问题的存在性、吻合性、相应参数进行了深入的讨论。
二．关键词易拉罐形状和尺寸、画法几何、多元函数极值法。
三．问题重述我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。
易拉罐形状和尺寸的最优设计方案 (2)
04
最优设计方案探索
理想形状的探讨
圆柱形
01
圆柱形易拉罐具有较高的稳定性，便于堆放和运输，且在视觉
上给人以舒适感。
扁圆形
02
扁圆形易拉罐可以更好地利用空间，减少包装材料的使用量，
降低成本。
异形
03
异形易拉罐可以吸引消费者的注意力，提高产品附加值，但需
要考虑生产成本和实用性。
理想尺寸的探讨
小型
适用于单人使用，便于携带和储存，如饮料、咖啡等。
易拉罐形状和尺寸的最优 设计方案
• 引言 • 易拉罐的历史与现状 • 易拉罐的历史与现状 • 易拉罐形状和尺寸的重要性 • 最优设计方案探索 • 实验与验证 • 最优设计方案实施与展望 • 结论
01
引言
主题简介
• 易拉罐作为常见的包装容器，广泛应用于饮料、食品等领域。 其形状和尺寸的设计对于产品的展示、运输、储存以及消费者 的使用体验等方面具有重要影响。
中型
适用于家庭使用，满足一家人的需求，如啤酒、果汁等。
大型
适用于聚会或特殊场合，提供大量饮品，如可乐、汽水等。
材料选择与环保性考虑
1 2
可回收材料
选择可回收材料制作易拉罐，减少对环境的污染。
轻量化材料
采用轻量化材料，降低易拉罐的重量，减少资源 消耗。
3
可降解材料
在特殊情况下，可选择可降解材料制作易拉罐， 以应对环保要求。
3
政府和相关机构应加强监管和标准制定，促进易 拉罐行业的可持续发展，保护环境和公共健康。
THANKS
感谢观看
其他形状
如星形、心形等，用于吸 引消费者注意力或增加趣 味性。
易拉罐尺寸设计
小容量
易拉罐的形状和尺寸的最优设计
易拉罐的形状和尺寸的最优设计摘要本文讨论了以假设易拉罐的上、下底面及侧面所用材料相同为前提，在相同体积情况下，哪种形状的易拉罐所用材料最少。
将易拉罐设计成正圆柱体，分析并建立了非线性规划模型，用连续函数求极值的方法，获得结果；探讨了易拉罐形状为由上面圆台和下面正圆柱体组成的最优化设计，建立了非线性规划模型,分别用隐函数求导数和拉格朗日乘子两种方法求解；最后采用相同体积时球体表面积最小这一数学结论，以及便于运输和放置的实际状况，我们把易拉罐形状设计为用两个平面截去顶部后的圆台，建立非线性规划模型。
也尝试用旋转曲线建立球体最优设计。
通过计算对比结果,第二种形状(目前使用易拉罐形状)是最优的。
本文还对模型进行了推广。
关键词: 非线性规划拉格朗日定理隐函数一．问题重述日常生活中，我们稍加留意就会发现很多的饮料罐(即易拉罐)形状和尺寸几乎都一样。
看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。
当然，单个易拉罐的生产，对资源充分利用，节约生产成本并不明显。
但如果生产的数量非常多的话，那么节约的钱就很可观了。
为什么不同工厂的易拉罐采用统一规格？从数学的角度怎样给予合理的解释？易拉罐的圆柱底面圆的直径与圆柱的高的比是多少才为最优？和现实中的实际情况有什么差异，为什么？假设易拉罐的上、下底面及侧面所用的材料相同，则在相同的体积情况下，哪种形状和尺寸的饮料罐所用的材料最少则成本就越低，也就最合理。
需要研究的内容:(1) 对现实生活中易拉罐(可口可乐罐为例)的准确测量,包括罐体形状,尺寸等。
(2) 当易拉罐为一正圆柱体时,讨论它的最优设计方案,通过对半径和高的比值来说明和验证所测量的相关数据。
（3）当易拉罐有上面圆台和下面正圆柱体组成,如下图:讨论这种形状的最优方案,并与实际测量数据相分析比较。
(4) 查阅资料,发挥想象力,设计出易拉罐形状和尺寸最优的方案。
进行拉罐设计成本最小问题的数学建模及求解过程。
最后,总结做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。
易拉罐形状和尺寸的最优设计
易拉罐形状和尺寸的最优设计摘 要本文研究的是易拉罐形状和尺寸的最优设计。
对于问题1我们利用游标卡尺对饮料量为355毫升的蓝带“纯爽”牌啤酒的建立了规划模型，目标函数关系式为：22123min 2S w R w RH w R πππ=+⋅+得到高与半径比为： 3.476H R =与我们所测量的尺寸（559.351.3328.119=）比较接近，其结果可以合理地说明我们所测量的易拉罐的尺寸，但不能说明其形状。
对于问题3在圆台上底面半径一定的情况下，形状为黄金分割比且用铝量最小是它的最优设计，建立目标函数关系式：()2223221min 2S R r l R Rh r πωπωπωπω=++++得到高与半径之比为： 12 3.417h h R +=其结果从形状和尺寸都能比较合理的说明我们所测量的数据。
对于问题4我们将开口设计成为旋合式瓶盖，并且得到一组新的尺寸，虽然成本可能偏高，但它比现有易拉罐更为方便和卫生。
最后我们通过做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验写下了自己的感受。
关键词：易拉罐 规划模型 黄金分割 Lingo一、问题的提出我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。
看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
对于易拉罐的形状和尺寸的最优设计我们提出了以下问题：1. 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。
2. 设易拉罐是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
2006易拉罐形状和尺寸的最优设计
论文4易拉罐形状和尺寸的最优设计获奖等级：国家二等奖指导教师：黎克麟参赛队员：王坤1李杨平2陈秋霖1 (乙组)(1、物理系物教专041学生；2、机电系工设专041学生)摘要：本文验证了一个在物理、力学、工程，材料等方面综合的最优化设计模型。
我们先测量市场上流行的易拉罐的尺寸等数据，再通过建立极值的数学模型，运用微分法计算出的结果解释这样的尺寸是否合理，最后提出我们认为更好的易拉罐形状和尺寸优化设计。
我们用物理实验工具测得所需易拉罐的数据（见正文），紧接着我们运用同种方法分别建立了易拉罐为正圆柱体和正圆柱体加圆台的模型，根据最优设计涉及到诸多方面，当易拉罐为正圆柱体，我们考虑以易拉罐所用材料最省为目标函数，用微分法求解出了易拉罐的高与半径的比值为4时，且用料最省也满足人机工程，此时就是易拉罐的最优设计，我们的结果在半径与高的比值能合理说明我们所测量的易拉罐的形状和尺寸；当易拉罐为正圆柱体加圆台同理求解出了易拉罐的主要尺寸，我们得到在安全和美学方面是此模型的最优设计，我们所得到的结果还是能够合理地说明我们所测的易拉罐的形状和尺寸；最后，我们在综合考虑怎样设计最优，利用现在市场的需求方向为进一步满足消费者需要和发展趋势。
设想一个有盖模型，设计出了一个正圆柱加一个圆锥的易拉罐模型。
根据我们自身的体验写出了以前与现在对建模不同认识，在认识上升华了一步（见附录）。
一、问题的提出内容：我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。
看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。
问题：1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。
易拉罐形状和尺寸的最优设计
； 体积一定的柱体中，正圆柱体的表面积最小。
2. 符号说明： h：易拉罐的高； r：易拉罐的上下底半径； d：易拉罐金属板的厚度； V：易拉罐的体积； D：易拉罐上下底直径。
3．问题分析与模型
20grhrhv????2vhr??221vsrhrbrr???????????32210bsrvr??????????3242100vsbrr????????????????????????????31vr????31vr????又由于则由对问题二的前一解的结论得结论
易拉罐形状和尺寸的最优设计
•
报告人：刘璐 201931208
s.t
r 0
h0
4.模型求解
由约束条件 g(r,h)r2hv0
，得
h
v
r2
，代入目标函数
s(r,
h(r))
b
2v r
(1
)r
2
令
s'
2b r2
(1 ) r 3
v
0
得
v r3
(1 )
又因为 s'' 4 b 2(1 )2 rv 3 0 (r0 )
2．易拉罐的形状和尺寸假设为“正圆柱体”或“正圆台与正圆 柱体的结合”等等。
3．易拉罐的基本构造为“两片罐”。 4．实际测量允许有一定的误差。
(对不同问题的研究再作补充假设)。 5. 不考虑压强
三．模型的假设与求解
问题一 ： 我们实际测量355ml易拉罐的各种数据如下表：
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与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
论文（设计）作者签名：日期：2013 年3月10 日毕业论文（设计）版权使用授权书本毕业论文（设计）作者同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文（设计）的复印件和电子版，允许论文（设计）被查阅和借阅。
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论文（设计）作者签名：日期：2013 年 3 月10 日指导教师签名：日期：年月日毕业论文中文摘要毕业论文文摘要目录1引言 (1)1．1易拉罐的发展和前景 (1)1．2实际调研 (2)1.3基本设计方案 (2)2可口可乐易拉罐的优化设计 (3)2．1模型的假设 (4)2．2数据测量 (4)2.3符号说明 (5)2．4模型的建立与求解 (5)2．4．1模型一的建立与求解 (5)2．4．2模型二的建立与求解 (7)2．4．3模型三的建立与求解 (9)2．5模型的评价与推广 (11)结论…………………………………………………………………………………………1 3致谢…………………………………………………………………………………………1 4 参考文献……………………………………………………………………………………1 5图1罐体主要尺寸图 (4)图2圆柱罐体剖面图 (5)图3柱台罐体剖面图 (7)图4罐体受压性能图 (10)表1罐体主要尺寸 (4)表2罐体物理性能 (10)1 引言1．1易拉罐的发展和前景铝质易拉罐具有许多优点，如重量轻、密闭性好、不易破碎等，被大量用作啤酒、碳酸类饮料、果汁等食品的包装材料。
易拉罐形状和尺寸的最优设计模型综述
易拉罐形状和尺寸的最优设计模型查建飞郑娴雅金兰贞(2006年获全国二等奖)摘要：目前，易拉罐饮料在市场上的销量很大，易拉罐的需求也是难以估计的。
而资源是有限的，因此易拉罐的最优设计是非常有必要的。
本文着重从形状和尺寸的角度分析碳酸饮料的铝质易拉罐，在容积确定的条件下以材料最省为目标建立优化模型。
首先对雪碧、可口可乐、蓝带啤酒等易拉罐容器进行测量，获取实测值。
针对易拉罐现有形状和尺寸等数据，进行综合分析，建立了逐渐改进的三个数学模型。
模型I :把易拉罐近似地看成一个正圆柱体，在易拉罐的容积一定时，以材料最省为目标，用求极值的方法求得易拉罐高度h与底面半径r之间的关系为h - ：^：：.2 r，用实测值进行验证发现比较吻合，但还是有一定误差存在，因此进一步建立模型U进行分析。
模型U :进一步考虑易拉罐的形状，即罐体上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体时，利用线性规划方法求得此时易拉罐的最优设计。
通过对模型I中的圆柱型易拉罐的对比，所得模型与实测值更加吻合。
模型川：以材料最省为主要目的，兼顾易拉罐的舒适度进行设计，建立模型，并给出具体的设计方案。
最后结合本模型的建立过程写对数学建模的认识与数学建模过程的难点。
关键词：最优设计形状与尺寸合适度一、问题重述生活中我们发现饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等销量很大的饮料易拉罐的形状和尺寸几乎都是一样的。
这应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
请通过数学建模来分析上述情况并回答如下问题：(1)取一个饮料量为355毫升的易拉罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，请注明出处。
(2)设易拉罐是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。
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y 表示制作易拉罐所用的材料的体积；
h 表示易拉罐总高；
h1 表示易拉罐圆台部分的高；
2
h2 表示易拉罐圆柱部分的高； r1 表示易拉罐顶盖半径；
r2 表示易拉罐圆柱半径；
d 1 表示易拉罐顶面厚度； d 2 表示易拉罐底面厚度；
d 3 表示易拉罐壁的厚度；
4. 模型的建立与求解
4.1问题一的求解 通过网络我们查询的 355ml 易拉罐的相关数据 如下表
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
易拉罐形状和尺寸的最优设计
摘 要
本文根据题目要求,结合实际,在合理的假设下,以材料最少，美观，实用性强、具有 通用性为目标， 建立了合适的多约束非线性规划模型,最终给出. 易拉罐形状和尺寸的最 优设计。 针对问题一,我们通过网络这一强大工具查询相关数据. 针对问题二,在给定正圆柱这一物理形状的前提下,首先假设易拉罐的厚度处处相等, 为此建立用料关于半径和高度的二元函数,求得半径与高度的比为 1:2 的最优比例,然后 又加入易拉罐顶盖、底面和侧壁厚度不同这一因素,求得新的比例关系,半径与高度的比 值等于侧壁厚度比上顶盖与底面厚度之和,这个比例关系是符合实际的. 针对问题三,我们在问题二的基础上修改了模型,同时又考虑人们拿着易拉罐时的手 感舒适度问题和考虑舒适和放置时的稳定性问题,由此建立了非线性规划模型,并用软件 编程求得最优解,得到用料最省为 3.3551cm3 的结果. 针对问题四,我们考虑到在体积一定的情况下 ,球的表面积是最小的,考虑的实际中, 为了设计美观,更加吸引消费者,借鉴黄金比例,由此引入黄金椭球体,接着又加入增加抗 压性这一因素,其它约束同问题三一样 ,建立了多约束非线性规划模型 , 得到用料最省为 2.7379cm3 的结果,同时这个模型也具有通用性和可移植性,可推广到更多情形.
r 0.2685 ,二者的结果比较接近,较之前 h
4
4.3问题三的求解 由于易拉罐的形状改变成上面为正圆台,下面是圆柱,我们在模型二的基础上修改建 l 立了模型三. h1 r1 d3 h2 r2 d2
1. 问题的重述
日常生活中 ,我们稍加留意就会发现很多的饮料罐 (即易拉罐 )形状和尺寸几乎都一 样.看来,这并非偶然,这应该是某种意义下的最优设计.当然,单个易拉罐的生产,对资源充 分利用,节约生产成本并不明显.但如果生产的数量非常多的话,那么节约的钱就很可观了. 为什么不同工厂的易拉罐采用统一规格？从数学的角度怎样给予合理的解释？易拉罐 的圆柱底面圆的直径与圆柱的高的比是多少才为最优？和现实中的实际情况有什么差 异,为什么？ 假设易拉罐的上、下底面及侧面所用的材料相同,则在相同的体积情况下,哪种形状 和尺寸的饮料罐所用的材料最少则成本就越低,也就最合理. 需要研究的内容: (1) 对现实生活中易拉罐(可口可乐罐为例)的准确测量,包括罐体形状,尺寸等. (2) 当易拉罐为一正圆柱体时,讨论它的最优设计方案,通过对半径和高的比值来说 明和验证所测量的相关数据. （3）当易拉罐有上面圆台和下面正圆柱体组成,如下图:
表格 1：易拉罐的相关数据 圆柱的半径 圆台上表面半径 罐的总高度 圆柱的高度 顶盖的厚度 侧壁的厚度 下底的厚度 单位均为 cm 3.305 2.885 12.310 10.210 0.028 0 问题二给定的易拉罐是一正圆柱体 , 圆柱的体积公式是 v r 2 h ,我们先考虑材料 的厚度处处一样的情况,由于厚度 d<<圆柱的半径 r,我们可忽略厚度,此时使用材料最优, 既是圆柱的表面积最小,表面积公式 S 2r2 2rh ,建立如下规划模型
易拉罐的设计是在满足最节省制作材料的前提下 ,考虑人们在饮用时手感舒适度和 放置的平稳度的条件下的最优设计. 对于问题一：我们通过网络查询得到相关数据. 对于问题二：我们考虑到易拉罐的侧壁、顶盖、底面的厚度均不相同且为常数,在体 积等于 355ml 的前提下,构建非线性规划模型,最终求解得最优的正圆柱体,此为模型一. 对于问题三：在问题二的基础上,我们对模型二加以改进,构造易拉罐上部分为圆台 的非线性规划模型,然后在满足体积等于 355ml 的条件下,我们考虑人们拿着易拉罐时的 手感舒适度问题,对此我们查阅相关资料 ,如国人平均手掌长度约为 18.56 cm,掌宽约为 8.71cm 这是最具有优势的手[1],又考虑到易拉罐在放置时的稳定性,我们根据所查询和采 集的数据定义了稳定度,由此设计出了材料最节省的模型即模型三. 对于问题四： 在容积一定的条件下,球体是最节省材料的 ,然后同样考虑人们拿着易 拉罐时的手感舒适度和放置时的稳定性,接着考虑了易拉罐的美观性,生活告诉我们满足 黄金比例的图形是最美的[2],故我们引入黄金椭球体,在黄金椭球体上切割出我们所要的 “易拉罐”,又考虑“饮料”对易拉罐的压力,我们把“易拉罐”的下底做成球冠一样的 拱形,在这些条件下我们建立了多约束非线性规划模型即模型四.
讨论这种形状的最优方案,并与实际测量数据相分析比较. (4) 查阅资料,发挥想象力,设计出易拉罐形状和尺寸最优的方案. 进行拉罐设计成本最小问题的数学建模及求解过程. 最后,总结做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验,写一篇短文,阐述什么是 数学建模、它的关键步骤,以及难点.源自12. 问题的分析
y r2 * d 1 r 2 * d 2 2rh * d 3
v r2h h v r 2
y 2vd 2r * (d 1 d 2 ) 2 3 0 r r
得
r d3 h d1 d 2
由问题一中的数据得 的结果更优.
d3 d1 d 2
0.2245 ,
2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 北方民族大学训练论文
编号： 组长： 组员：
2011JM12 张重威 黄锐奇 赵 乾
2011 年 8 月 15 日
2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承
诺
书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。
关键字：易拉罐、多约束非线性规划、黄金比例
目
录
1. 问题的重述 .................................................................................................................. 1 2. 问题的分析 .................................................................................................................. 2 3. 模型的假设与符号的约定 .......................................................................................... 2 3.1 模型的假设与说明： ......................................................................................... 2 3.2 符号说明 ............................................................................................................. 2 4. 模型的建立与求解 ...................................................................................................... 3 4.1 问题一的求解 ..................................................................................................... 3 4.2 问题二的求解 ..................................................................................................... 4 4.3 问题三的求解 ..................................................................................................... 5 4.4 问题四的求解 ..................................................................................................... 6 5. 模型的评价与改进 ...................................................................................................... 8 5.1 模型的优点 ......................................................................................................... 8 5.2 模型的缺点 ......................................................................................................... 8 6. 总结 .............................................................................................................................. 9 7. 参考文献 .................................................................................................................... 10