2016年秋季新版华东师大版八年级数学上学期11.1.1、平方根课件11
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华东师大版初中八年级上册数学精品授课课件 第11章 数的开方 11.1 平方根与立方根 2.立方根
课堂小结
立方根
定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数
叫做a的立方根或三次方根.
性质：正数的立方根是正数，负数的立方根
是负数，0的立方根是0.
开立方
求一个数的立方根的运算，叫做开立方， 又叫做开三次方.
用计算器可以求一个数的立方根.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
2.求下列各数的立方根：
（1）512；
（2）-0.027；
8
-0.3
64 （3） . 125 4 5
3.用计算器计算：
（ 到10）.0316）85. 9
；
3
（2）
17.576
3；5.69（1 3） （精确
19
2.6
1.79
4.已知5x-1的算术平方根是3，4x+2y+1的立方根是1，求4x2y的值.
（1）8 ； （2）-125； （3）-0.008. 27
解：（1）因为
2 3
3
=
8 27
，所以
3
8 27
=
2 3
.
（2）因为(-5)3=-125，所以 3 125= 5 .
（3）因为(-0.2)3=-0.008，所以 3 0.008= 0.2 .
例5 用计算器求下列各数的立方根：
（1）1331； （2）9.263（精确到0.01）.
华东师大版·八年级上册
2.立方根
新课导入
问题
要 做是多少？
思考：这个实际问题，在数学上可以转化成 一个怎样的计算问题？
与“平方根”
类似，试作一些讨 论和研究.
新课导入
5 cm3
问题
华师大版八年级数学上册《平方根》课件
解：（1）∵x2－361＝0，∴x2＝361. ∴x＝± 361 ，即x＝±19。
（2）∵(x+1)2=289，∴x+1=± 289 ，即x+1=±17。
当x+1=17时，x=16；当x+1=－17时，x=－18。
（3）9(3x+2)2－64＝0
解：（3）∵9(3x+2)2=64，∴(3x+2)2= 64 .
平方根定义：
一般地，如果一个数的平方根等于a，那么这个数叫 做a的平方根或二次方根，即若x2=a，则x为a的平方 根，记为x=± a.
把求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，而平 方运算与开平方运算互为逆运算，根据这种关系，可 以求一个数的平方根。
推进新课
例1 求下列各数的平方根和算术平方根。 （1） 9 ；（2）0.0004；（3）(－6)2；（4）256
9
∴3x+2=± 64 ，即3x+2=± 8 .
当3x+2=
8
9
时，x=
2
；
3
3
9
当3x+2=- 8 时，x=- 14 .
3
9
例5 某建筑工地，用一根钢筋围成一个面 积是25m2的正方形后还剩下7m，你能求出这根钢 筋的长度吗？
解：正方形的边长为5m，钢筋的长 度为27m。
当堂训练
3 8
4 3
-9
-2
4、如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个
数是（ C ）
A.1
B.－1
C.0
D.1，0
5、要使 a 4 意义，则a的取值范围是（ D ）
A.a＞0 B.a≥0 C.a＞－4 D.a≥－4
11.1.1平方根课件华东师大版数学八年级上册2
平方根
定义
正数有两个平方根，它们互为相反数.
性质 0的平方根是0.
负数没有平方根.
算术平方根
开平方
说明：用计算器求一个正数的算术平方根，只需直接按书 写顺序按键即可.
（2）在计算器上依次键入： ■ 4 4 . 8 1 = ，
显示结果为6.6940271884718，要求精确到0.01，可得
44.81 6.69.
1.完成下列表格：
被开方 数
0
1
4
9 16 25 36 49 64 81 100
算术平 方根
11.1.1 平方根
问题1：已知一幅正方形的油画的面积是25cm2，这幅油画的 边长是多少？
( 5 )2=25.
问题2：若正方形的面积如下，请填表： 正方形的面积/cm2 1 4 9 16 25 36 正方形的边长/cm 1 2 3 4 5 6
思考：你能发现问题1与问题2有哪些共同的点吗？
上述问题的实质都是已知一个正数 的平方，求这个正数.
■ 被开方数 =
例3 用计算器求下列各数的算术平方根： （1）529； （2）44.81（精确到0.01）.
说明：用计算器求一个正数的算术平方根，只需直接按书 写顺序按键即可.
解：（1）在计算器上依次键入： ■ 5 2 9 = ，显
示结果为23，所以529的算术平方根为 529=23.
例3 用计算器求下列各数的算术平方根： （1）529； （2）44.81（精确到0.01）.
思考：正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？
一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相 反数.显然，如果我们知道了这两个平方根中的一个，那么立 即可以得到另一个.
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作 a ，读 作“根号a”；另一个平方根是它的相反数，即 a.因此，正 数a的平方根可以记作 a ，其中a称为被开方数.
华师大版八年级数学上册第11章第1节《平方根》优质课件
⑾ 0.0121
⑶ 196
⑹
5
1 16
⑼ 1.44
⑿ 1.69
辨一辨
下列叙述正确的打“ √” ，错误的打“×”：
⑴ 16的平方根是 ±4; ( √ ) ⑵ ±7是49的平方根 ; ( √ )
⑶ 112的平方根是11; ( × )
⑷ -9是81的平方根; ( √ )
⑸ 52的平方根是±25; ( × ) ⑹ -9的平方根是 -3; ( × )
试一试
操作: √50 ≈7.071 ,√43 ≈6.557 ,√81 = 9 ,√0 = 0 √123 ≈11.09 ,√1000 ≈31.62 ,√7 ≈2.646
比较:
√x √0 ＜√7 ＜√43 ＜√50 ＜√81 ＜√123 ＜√1000
x 0 ＜ 7 ＜ 43 ＜ 50 ＜ 81 ＜ 123 ＜ 1000
x2=2 x=
如图中, 设面积为25cm2的正方形, 其边长为多少呢？
根据正方形的面积公式，
应该是, 边长 2 = 25 所以, 其边长为 5cm
219a556cm2
又：面积为16，则边长为 4 ； 面积为9，则边长为 3 ；
34x
面积为5，则边长为多少呢？
5cm
面积为a，则边长又如何呢？
这时，可设其边长为 x ，得到 x2 = a .
64开平方得__±_8__;
-6是__3_6___的平方根; (-9)2的平方根是_±__9__.
求下列各式中的x:
1. x2=16 x=±4
2. 64x2=25
x2=
25 64
3. (x-1)2=9 x-1=±3
x=±
5 8
x=4 或x= -2
11.1.1 平方根 华东师大版八年级数学上册导学课件
的那个(0 除外)
平方根和算术平方根都只 存在条件相同 有非负数才有，0 的平方
根与算术平方根都是0
感悟新知
特别提醒 1. 任何一个数的平方都是非负数，所以求算术平方根时，
被开方数必须是非负数，它的算术平方根也一定是非 负数. 2. 平方与开平方是互逆运算，平方的结果叫做幂，而开 平方的结果叫做平方根.
第11章 数的开方
11.1 平方根与立方根
11.1.1 平方根
学习目标
1 本节要点 2 学习流程
平方根 平方根的性质 算术平方根 算术平方根的估算
逐点 学练
本节 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 平方根
1. 平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平
方根.
特别解读 平方根的定义中a是非负数，即a ≥ 0.
感悟新知
3. 两个重要公式：
2
(1) a a(a 0);
(2)
a2
a
a a 0， －a a＜0 .
个数 一个正数的算术平方根 一个正数的平方根有两个，
区 不同 只有一个
它们互为相反数
别
表示方 非负数a 的算术平方根 法不同 表示为 a
非负数a 的平方根表示为 a
取值范 围不同
正数的算术平方根一定 是正数
正数的平方根是一正一负
感悟新知
联系
平方根包含算术平方根， 具有包含关系 算术平方根是平方根中正
特别解读
判断一个数是否有 平方根，要先判断这个 数是正数、负数还是0， 负数没有平方根.
感悟新知
例2 求下列各式中x 的值： (1)x2=361；(2)81x2－49=0；(3)(3x－1)2=(－5)2. 解题秘方：若x2=a(a ≥ 0)，则x=± a . 先把各 题化为x2=a 的形式，再求x 的值.
平方根和算术平方根都只 存在条件相同 有非负数才有，0 的平方
根与算术平方根都是0
感悟新知
特别提醒 1. 任何一个数的平方都是非负数，所以求算术平方根时，
被开方数必须是非负数，它的算术平方根也一定是非 负数. 2. 平方与开平方是互逆运算，平方的结果叫做幂，而开 平方的结果叫做平方根.
第11章 数的开方
11.1 平方根与立方根
11.1.1 平方根
学习目标
1 本节要点 2 学习流程
平方根 平方根的性质 算术平方根 算术平方根的估算
逐点 学练
本节 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 平方根
1. 平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平
方根.
特别解读 平方根的定义中a是非负数，即a ≥ 0.
感悟新知
3. 两个重要公式：
2
(1) a a(a 0);
(2)
a2
a
a a 0， －a a＜0 .
个数 一个正数的算术平方根 一个正数的平方根有两个，
区 不同 只有一个
它们互为相反数
别
表示方 非负数a 的算术平方根 法不同 表示为 a
非负数a 的平方根表示为 a
取值范 围不同
正数的算术平方根一定 是正数
正数的平方根是一正一负
感悟新知
联系
平方根包含算术平方根， 具有包含关系 算术平方根是平方根中正
特别解读
判断一个数是否有 平方根，要先判断这个 数是正数、负数还是0， 负数没有平方根.
感悟新知
例2 求下列各式中x 的值： (1)x2=361；(2)81x2－49=0；(3)(3x－1)2=(－5)2. 解题秘方：若x2=a(a ≥ 0)，则x=± a . 先把各 题化为x2=a 的形式，再求x 的值.
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11.1 平方根与立方根
平方根
36 ?
学习六步曲
学习目标 回顾思考 探究新知 例题讲解 巩固练习
课堂小结
学习目标
1、了解一个数的平方根与算术平方根的意义,会 用根号表示一个数的平方根、算术平方根. 2、了解开方与乘方是互逆运算,会利用这个逆运算 关系求某些非负数的算术平方根.
回顾思考
我们已学过了有理数的加法、减法、乘法、除法、 乘方这五种运算。 在这五种运算中： ★加法与减法互为逆运算； ★乘法与除法互为逆运算； ★那么乘方与谁互为逆运算呢？ 本节课我们就来学习研究这个问题。
（2）0.25； （3）49 81
学习小结：
本节课我们学习了哪些内容，你能回答吗？ 1.平方根的概念: 一个数的平方等于a,这个数叫做a的平方根. 2.平方根的性质: 一个正数的平方根有两个,它们互为相反数. 0的平方根还是0.
负数没有平方根.
3.平方根的表示法:
a (a 0)
4.算术平方根的概念: 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根
2
2
例2：求下列各数的平方根。 16 （1）100；（2）1.44；（3） 49 解：（1） (10) 100
2
7 ；（2 4） 9
∴100的平方根是±10 即 100 10 注意：不能写成
100 10
请你妨照上面的例子完成其余三个小题。
巩固练习
求下列各数的平方根。 （1）6400；
(
) 9
2
显然，括号里应是±3，但－ 3不符题意。
∴方桌面的边长应是3分米。 你还能举出类似的等式吗?
？分米
认真观察下式可知：
(
) 9
2
2
我们把括号里的±3叫做9的平方根（二次方根）。
x 一般地，如果 a x 的平方根， 叫
a
x ，那么 的平方数。
a叫说出刚才举例中什么数是么数的平方根?2 例如： ∵ 52 25 (5) 25 ∴5 和 －5 都是25的平方根。 25的平方根是±5 3 2 9 3 2 9 ( ) ∵ ( 7 ) 49 7 49 3 9 3 ∴ 7 和－ 都是 的平方根。 49 7 9 3 的平方根是 49 7
a 一个正数a的平方根表示为：
0的算术平方根还是0 说明：这样求一个正数的平方根，只要求出它的 算术平方根后，就可以写出它的平方根了。
“负数没有平方根”与“一个数的平方根不能 为负数”意义是否一样？ 求一个数的平方根（二次方根）的运算，叫做开 平方，开平方运算的结果就是平方根。 平方与开平方是互为逆运算.
试一试: (1)144的平方根是什么?
(2)0的平方根是什么?
(3)-4的平方根是什么?为什么? 从上面的回答中,你发现了什么?
归纳：1.一个正数有两个平方根，这两 个平方根互为相反数.
2.零的平方根是零. 3.负数没有平方根.
通过上面的学习可以得到平方根的性质： ★一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
a
★零的平方根是零。
★负数没有平方根。
练习:下列说法中不正确的个数有 ①0.25的平方根是0.5 ②-0.5的平方 根是-0.25 ③只有正数才有平方根 ④0的平方根是0 ( C )
A. 1个 个
B. 2个.
C. 3个
D. 4
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。
正数a的算术平方根记作： a
它的另一个平方根记作： a
知识回顾：
指数
a N
m
底数 幂
探究新知 要做一张边长是3分米的方桌面，它的面积是
多少？
这个问题实际上就是求：
3 ?
2
答：9平方分米
乘方运算
这是已知底数和指数，求幂的运算
3分 米
反过来，要做一张面积是9平方分米的方桌面，它 的边长是多少分米？
实际上就是要求出一个数， 使它的平方等于9，即：
9平方分米
举一个实际例子吧！
5 的平方根，可以记作
5 和－ 5
，或± 5
注意：因为负数没有平方根，所以在式子 a
中的被开方数 a ≥0 ，否则式子a
即式子
没有意义。
a 中的 a 是一个非负数。
例题讲解 例1：判断下列各数有没有平方根，如果有平方 根，试求出它的平方根；如果没有平方根，说明理由。
（1）81 （2）－81 （3）0 （4） (7) （5） 7
平方根
36 ?
学习六步曲
学习目标 回顾思考 探究新知 例题讲解 巩固练习
课堂小结
学习目标
1、了解一个数的平方根与算术平方根的意义,会 用根号表示一个数的平方根、算术平方根. 2、了解开方与乘方是互逆运算,会利用这个逆运算 关系求某些非负数的算术平方根.
回顾思考
我们已学过了有理数的加法、减法、乘法、除法、 乘方这五种运算。 在这五种运算中： ★加法与减法互为逆运算； ★乘法与除法互为逆运算； ★那么乘方与谁互为逆运算呢？ 本节课我们就来学习研究这个问题。
（2）0.25； （3）49 81
学习小结：
本节课我们学习了哪些内容，你能回答吗？ 1.平方根的概念: 一个数的平方等于a,这个数叫做a的平方根. 2.平方根的性质: 一个正数的平方根有两个,它们互为相反数. 0的平方根还是0.
负数没有平方根.
3.平方根的表示法:
a (a 0)
4.算术平方根的概念: 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根
2
2
例2：求下列各数的平方根。 16 （1）100；（2）1.44；（3） 49 解：（1） (10) 100
2
7 ；（2 4） 9
∴100的平方根是±10 即 100 10 注意：不能写成
100 10
请你妨照上面的例子完成其余三个小题。
巩固练习
求下列各数的平方根。 （1）6400；
(
) 9
2
显然，括号里应是±3，但－ 3不符题意。
∴方桌面的边长应是3分米。 你还能举出类似的等式吗?
？分米
认真观察下式可知：
(
) 9
2
2
我们把括号里的±3叫做9的平方根（二次方根）。
x 一般地，如果 a x 的平方根， 叫
a
x ，那么 的平方数。
a叫说出刚才举例中什么数是么数的平方根?2 例如： ∵ 52 25 (5) 25 ∴5 和 －5 都是25的平方根。 25的平方根是±5 3 2 9 3 2 9 ( ) ∵ ( 7 ) 49 7 49 3 9 3 ∴ 7 和－ 都是 的平方根。 49 7 9 3 的平方根是 49 7
a 一个正数a的平方根表示为：
0的算术平方根还是0 说明：这样求一个正数的平方根，只要求出它的 算术平方根后，就可以写出它的平方根了。
“负数没有平方根”与“一个数的平方根不能 为负数”意义是否一样？ 求一个数的平方根（二次方根）的运算，叫做开 平方，开平方运算的结果就是平方根。 平方与开平方是互为逆运算.
试一试: (1)144的平方根是什么?
(2)0的平方根是什么?
(3)-4的平方根是什么?为什么? 从上面的回答中,你发现了什么?
归纳：1.一个正数有两个平方根，这两 个平方根互为相反数.
2.零的平方根是零. 3.负数没有平方根.
通过上面的学习可以得到平方根的性质： ★一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
a
★零的平方根是零。
★负数没有平方根。
练习:下列说法中不正确的个数有 ①0.25的平方根是0.5 ②-0.5的平方 根是-0.25 ③只有正数才有平方根 ④0的平方根是0 ( C )
A. 1个 个
B. 2个.
C. 3个
D. 4
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。
正数a的算术平方根记作： a
它的另一个平方根记作： a
知识回顾：
指数
a N
m
底数 幂
探究新知 要做一张边长是3分米的方桌面，它的面积是
多少？
这个问题实际上就是求：
3 ?
2
答：9平方分米
乘方运算
这是已知底数和指数，求幂的运算
3分 米
反过来，要做一张面积是9平方分米的方桌面，它 的边长是多少分米？
实际上就是要求出一个数， 使它的平方等于9，即：
9平方分米
举一个实际例子吧！
5 的平方根，可以记作
5 和－ 5
，或± 5
注意：因为负数没有平方根，所以在式子 a
中的被开方数 a ≥0 ，否则式子a
即式子
没有意义。
a 中的 a 是一个非负数。
例题讲解 例1：判断下列各数有没有平方根，如果有平方 根，试求出它的平方根；如果没有平方根，说明理由。
（1）81 （2）－81 （3）0 （4） (7) （5） 7