《数系的扩充和复数的概念》课件
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数系的扩充与复数的概念 课件
复数的分类 m 取何实数时，复数 z＝m2m－＋m3－6＋(m2－2m－
15)i. (1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？ [分析] 在本题是复数的标准形式下，即 z＝a＋bi(a，b∈
R)，根据复数的概念，只要对实部和虚部分别计算，总体整合 即可．
[解析] (1)由条件得mm＋2－32≠m0－，15＝0， ∴mm＝ ≠5－或3m. ＝－3， ∴当 m＝5 时，z 是实数． (2)由条件得mm＋2－32≠m0－. 15≠0， ∴mm≠ ≠5－且3m. ≠－3， ， ∴当 m≠5 且 m≠－3 时，z 是虚数．
3．复数的定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中 i叫做虚数单位，满足i2＝___－__1___.
这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的 __复__数_集___与__虚_部_____．全体复数构成的集合叫做 实部
复数的相等与复数的分类
4．复数相等的充要条件
设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋ di⇔a_＝__c且__b_＝_d_______.
数系的扩充与复数的概念
数系的扩充与复数的概念
我们认识数的过程是先认识了自然数，又扩充到整数集，再扩充到有 理数(分数、有限小数和无限循环小数)，再扩充无理数到实数集，但 在实数集中，我们已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当Δ＝ b2－4ac<0时无实数解，我们能否设想一种方法使得Δ<0时方程也有 解呢？
1．数系扩充的原因、脉络、原则
脉 络 ： 自 然 数 系 → 整 数 系 → 有 理 数 系 → 实 数 系 → _ _ _ _复_ _数_系_
原因：数系的每一次扩充都与实际需求密切相关，实际需求与 数学内部的矛盾在数系扩充中起了主导作用．
7.1.1数系的扩充和复数的概念课件(人教版)
A.2，3
B.2，-3
C.-2，3
( B )
D.-2，-3
分析：两个复数相等，即这两个复数的实部和虚部分别对应相等，
得到等式求解.
解析：由2+bi与a-3i相等，得a=2，b=-3.故
实数a，b的值分别为2，-3.
五、举例应用 掌握定义
【例6】若关于x的方程3x²- x-1=(10-x-2x²)i有实根，求实
问题2：两个复数有大小关系吗？探究5：复数z=a+bi在什么条件下是实数、虚数？
四、定义辨析 强化理解
辨析1：若a，b为实数，则z=a+bi为虚数.( × )
提示：只有当b不等于零时z=a+bi为虚数.
辨析2：复数z1=3i，z2=2i，则z1>z2. ( × )
提示：复数不能比较大小，只有相等和不相等之分.
辨析3：复数z=bi(b∈R)是纯虚数.
( × )
提示：只有当b不等于零时z=bi才为纯虚数.
辨析4：实数集与复数集的交集是实数集.( √ )
提示：因为实数和虚数统称为复数，故实数集与复数
集的交集是实数集.
五、举例应用 掌握定义
【例1】复数3-i的实部和虚部分别是( C )
A.3和1
B.3和i
C.3和-1
所以ቊ
≠ 0.
解得y=3.
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
²−−6
+(m²-2m-15)i.当m为何值时，
+3
(1)z是虚数；(2)z是纯虚数.
分析：解决复数分类问题的关键是找出等价条件，
列出方程(组).
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
B.2，-3
C.-2，3
( B )
D.-2，-3
分析：两个复数相等，即这两个复数的实部和虚部分别对应相等，
得到等式求解.
解析：由2+bi与a-3i相等，得a=2，b=-3.故
实数a，b的值分别为2，-3.
五、举例应用 掌握定义
【例6】若关于x的方程3x²- x-1=(10-x-2x²)i有实根，求实
问题2：两个复数有大小关系吗？探究5：复数z=a+bi在什么条件下是实数、虚数？
四、定义辨析 强化理解
辨析1：若a，b为实数，则z=a+bi为虚数.( × )
提示：只有当b不等于零时z=a+bi为虚数.
辨析2：复数z1=3i，z2=2i，则z1>z2. ( × )
提示：复数不能比较大小，只有相等和不相等之分.
辨析3：复数z=bi(b∈R)是纯虚数.
( × )
提示：只有当b不等于零时z=bi才为纯虚数.
辨析4：实数集与复数集的交集是实数集.( √ )
提示：因为实数和虚数统称为复数，故实数集与复数
集的交集是实数集.
五、举例应用 掌握定义
【例1】复数3-i的实部和虚部分别是( C )
A.3和1
B.3和i
C.3和-1
所以ቊ
≠ 0.
解得y=3.
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
²−−6
+(m²-2m-15)i.当m为何值时，
+3
(1)z是虚数；(2)z是纯虚数.
分析：解决复数分类问题的关键是找出等价条件，
列出方程(组).
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
数系的扩充和复数的概念-完整版课件
C．4 或－1
D．1 或 6
答案：B
[随堂检测]
1．已知复数 z＝a2－(2－b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3，则实数
a，b 的值分别是
()
A． 2，1
B． 2，5
C．± 2，5
D．± 2，1
答案：C
2．若 4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数 a 的值为________．
答案：－4
3．已知复数 z＝(m2－3m＋2)＋(2m2－3m－2)i.当实数 m 取什么 值时，复数 z 是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 解：(1)当 2m2－3m－2＝0 时，解得 m＝－12或 2，此时复 数 z 是实数． (2)当 2m2－3m－2≠0 时，解得 m≠－12且 m≠2，此时复 数 z 是虚数． (3)当m2m2－2－3m3m＋－2＝2≠0，0 时，解得 m＝1，此时复数 z 是纯 虚数．
数为
()
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：C
2．3i2＋7i 的实部为________，虚部为________．
答案：－3 7
知识点三 复数相等
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.
[做一做]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数． (2)复数z1＝3i，z2＝2i，则z1>z2.
知识点二 复数的分类 1．对于复数 z＝a＋bi(a，b∈R )而言， (1)z 为实数⇔b＝0； (2)z 为虚数⇔b≠0； (3)z 为纯虚数⇔ab＝≠00.， 2．集合表示：
注意：两个虚数不能比较大小
[做一做]
1．在 2＋ 7，27i,8＋5i，(1－ 3)i,0.68 这几个数中，纯虚数的个
课件1：3.1.1数系的扩充和复数的概念
3.1.1数系的扩充和复数的概念
第三章：数系的扩充和复数的概念
教学过程
教法、学法分析
板书设计
教学效果预测
教学背景分析
数系的扩充和复数的概念
教学过程
教法、学法分析
板书设计
教学效果预测
教学背景分析
本课时在教材中的地位和作用
推理与证明
类比
理性思考与探究
承上启下
数学文化
理性精神
数系的扩充和复数的概念
教法、学法分析
板书设计
教学效果预测
教学背景分析
精设问题、引发冲突
引入新数、生成概念
应用举例、强化新知
课堂小结、回顾归纳
布置作业、课外拓展
数系的扩充和复数的概念
教学过程
教法、学法分析
板书设计
教学效果预测
教学背景分析
精设问题、引发冲突
万物皆数
数统治着整个宇宙
数系的扩充和复数的概念
教学过程
教法、学法分析
板书设计
教学效果预测
教学背景分析
精设问题、引发冲突
无实数解
数系的扩充和复数的概念
教学过程
教法、学法分析
板书设计
教学效果预测
教学背景分析
引入新数、生成概念
数系的扩充和复数的概念
教学过程
教法、学法分析
板书设计
教学效果预测
教学背景分析
引入新数、生成概念
与实数可以像实数与实数一样进行加法和乘法运算.
板书设计
教学效果预测
教学背景分析
本课时在教材中的地位和作用
学情分析
教学目标的确定及依据
知识与技能目标
过程与方法目标
经历
第三章：数系的扩充和复数的概念
教学过程
教法、学法分析
板书设计
教学效果预测
教学背景分析
数系的扩充和复数的概念
教学过程
教法、学法分析
板书设计
教学效果预测
教学背景分析
本课时在教材中的地位和作用
推理与证明
类比
理性思考与探究
承上启下
数学文化
理性精神
数系的扩充和复数的概念
教法、学法分析
板书设计
教学效果预测
教学背景分析
精设问题、引发冲突
引入新数、生成概念
应用举例、强化新知
课堂小结、回顾归纳
布置作业、课外拓展
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教学过程
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数统治着整个宇宙
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教学过程
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教学背景分析
精设问题、引发冲突
无实数解
数系的扩充和复数的概念
教学过程
教法、学法分析
板书设计
教学效果预测
教学背景分析
引入新数、生成概念
数系的扩充和复数的概念
教学过程
教法、学法分析
板书设计
教学效果预测
教学背景分析
引入新数、生成概念
与实数可以像实数与实数一样进行加法和乘法运算.
板书设计
教学效果预测
教学背景分析
本课时在教材中的地位和作用
学情分析
教学目标的确定及依据
知识与技能目标
过程与方法目标
经历
数系的扩充和复数的概念 课件
m 1 2
[变式]若x R, x 2 (1 2i ) x 3m i 0, 求实数m的值. m 3.
2
x
x 3m 0
1
1
2
, 解得x , m .
析 : 整理得x x 3m (2 x 1)i 0,
2
12
2 x 1 0
正解 : 原方程整理为( x 2 x 3m) ( 2 x 1)i 0
x 2 x 3m 0
1
1
, 解得x , m .
2
12
2 x 1 0
②引入i后的新数集和实数间仍能进行加/乘法运算.
所有实数a能和i相加, 记作a i.
所有实数b能和i相乘, 记作bi.
把实数a和数bi相加, 记作a bi.
③扩充为新数集C={a+bi|a,b∈R}.
复数集
i
实数
a+bi
1. 复数的概念
LOGO
形如a+bi (a,b∈R)的数叫做复数. i 叫做虚数单位.
全体复数所构成的集合C={a+bi |a,b∈R}叫做复数集.
2. 复数的代数形式
复数通常用字母z表示，即
z=a+bi (a,b∈R)
a叫做复数的实部
b叫做复数的虚部
注意：复数z的实部和虚部都是 实 数.
【例】复数i－2的虚部是(
A．i
B． －2
C．1
)
D．2
3. 复数的分类
z a bi(a, b R).
,
5x y 2
x 1
解得
.
y 7
[变式]若x R, x 2 (1 2i ) x 3m i 0, 求实数m的值. m 3.
2
x
x 3m 0
1
1
2
, 解得x , m .
析 : 整理得x x 3m (2 x 1)i 0,
2
12
2 x 1 0
正解 : 原方程整理为( x 2 x 3m) ( 2 x 1)i 0
x 2 x 3m 0
1
1
, 解得x , m .
2
12
2 x 1 0
②引入i后的新数集和实数间仍能进行加/乘法运算.
所有实数a能和i相加, 记作a i.
所有实数b能和i相乘, 记作bi.
把实数a和数bi相加, 记作a bi.
③扩充为新数集C={a+bi|a,b∈R}.
复数集
i
实数
a+bi
1. 复数的概念
LOGO
形如a+bi (a,b∈R)的数叫做复数. i 叫做虚数单位.
全体复数所构成的集合C={a+bi |a,b∈R}叫做复数集.
2. 复数的代数形式
复数通常用字母z表示，即
z=a+bi (a,b∈R)
a叫做复数的实部
b叫做复数的虚部
注意：复数z的实部和虚部都是 实 数.
【例】复数i－2的虚部是(
A．i
B． －2
C．1
)
D．2
3. 复数的分类
z a bi(a, b R).
,
5x y 2
x 1
解得
.
y 7
3.1 数系的扩充和复数的概念课件
y
满足|z|=5(z∈C) 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎 样的图形？ –5 设z=x+yi(x,y∈R)
| z | x y 5
2 2
5
5 O x
–5
课堂小结
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念： 复数的代数形式: z a bi (a R, b R)
复数的实部 、虚部 复数的分类 复数相等
i
复数的分类
实数(b 0) 2、复数a+bi 纯虚数(a 0，b 0) 虚数(b 0) 非纯虚数(a 0，b 0)
思 考？
3.复数集，虚数集，实数 集，纯虚数集之间的关 系？
虚数集 复数集
R C
纯虚数集
实数集
例1.请指出哪些是实数，哪些是虚数，哪 些是纯虚数.
15 15
它表示什么意义？ 15 能作为“数”吗？
新课：数系的扩充
它表示什么意义？ 15 能作为“数”吗？
1637年，法国 数学家笛卡尔把这 样的数叫做“虚数”
笛卡尔 (R.Descartes,1596--1661)
欧 拉 Leonhard Euler （1707-1783）
1777年 欧拉首次提出用i表示平方等于-1的新数
例5 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。
3 m 2 m 2 m 6 0 得 解：由 2 m 2 或 m 1 m m 2 0
m (3,2) (1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想：数形结合思想
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复数的分类
实数(b 0) 纯虚数(a 0，b 0) 2、复数z=a+bi 虚数(b 0) 非纯虚数(a 0，b 0)
做一 个练 习吧
3. 复数集、虚数集、实数集、 纯虚数集之间的关系 虚数集
复数集R C 纯虚源自集实数集典例讲解，变式拓展 例1:当m为何实数时，复数
引入新数，完善数系
引入一个新数：
i
规定
i 1
2
复数有关概念
1、定义:形如a+bi（a∈R，b∈R）的数叫复数, 其中i叫虚数单位。
注意:①复数通常用字母z表示，即复数a+bi （a∈R，b∈R)可记作:z =a+bi （a∈R， b∈R）， 把这一表示形式叫做复数的代数形式。 ②复数z=a+bi (a∈R， b∈R )把实数a，b叫做 复数的实部和虚部。 ③全体复数所组成的集合叫复数集，记作C。
根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d∈R，两个复数
a+bi和 c+di 相等规定为 : a+bi = c+di a c
b d
例2 已知 (2 x 1) i y (3 y )i ，其中 x, y R
求x与y? 复数相等
解题思考：
转化
求方程组的解的问题
实数集
R ?
Q
Z
N
关于无理数的发现
古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都 可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条. 有一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长 为1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究, 终于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕 达哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外 传.但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯 大怒,要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住 了,被扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命. 希伯斯发现的这类数,被称为无理数.无理数的发现, 导致了第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡 献.
z m m 2 (m 1)i
2 2
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
变式练习
m m2 2 -2 复数 z (m 1)i 当实数m=___ m 1
2
时z为纯虚数；当实数m= 1 时z为零。
复数相等的定义 规定： 如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这 两个复数相等.
一种重要的数学思想：转化思想
思考？
同样的转化思想我们在哪里还遇见过？
向量相等
转化
求方程组的解的问题
1、已知两个复数x2-1+(y+1)i大于
2x+2+(y2-1)i试求实数x,y的取值范围
2、已知实数x与纯虚数y满足2x-1+2i=y, 求x,y。
课堂小结
1、虚数单位i的引入，数系的扩充； 2. 复数有关概念： 复数的代数形式: z a bi (a R, b R)
即时训练，巩固新知
对于复数z= a+bi（a∈R，b∈R） 1、请指出下列复数的实部与虚部。
1 3
3i
2 0.63i 5 2 0.63 i 5
0
当b= 0 时，z为实数
i
当a= 0 且b ≠0时， z为纯虚数
非纯虚数的虚数： a ≠ 0,b ≠ 0
5i+4
3 2i
当b ≠0 时，z为虚数 特别的，当a= 0 且b= 0 时，z=0
创设情景，探究问题
计数的需要
——数的发展过程(经历):
—————自然数 (正整数和零) —————————分数 ———————负数
解方程3 x=5 解方程x+3=1 测量、分配中的等分 表示相反意义的量
—————无理数
解方程x2=2
度量 (分数集 有理数集 循环小数集 ) 循环小数 _ __________ —————— 不循环小数 __________ 2_ 解方程x =-1
古老的问题:“正方形的对角线是个‘奇怪’的数”
D D C 1 1 F
x
1 A
x
1 B 1
C
A
1
B
x
E
S BEFD 2S ABCD
BD2= 2
BD 2 2 AB 2
BD = ？
合情推理，类比扩充
一元二次方程 范围内的解是 ？
x 1
2
在实数集
思考？
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集 中，该问题能得到圆满解决呢？
复数的实部 、虚部
复数的分类
复数相等
a bi
a c c di b d
作业
课本 P106 A组 1、2